Γραμμική και δικτυακή βελτιστοποίηση και στοιχεία θεωρίας γράφων

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Γραμμική και δικτυακή βελτιστοποίηση και στοιχεία θεωρίας γράφων"

Transcript

1 Σημειώσεις στα πλαίσια του μαθήματος: Βελτιστοποίηση συστημάτων υδατικών πόρων Υδροπληροφορική Γραμμική και δικτυακή βελτιστοποίηση και στοιχεία θεωρίας γράφων Ανδρέας Ευστρατιάδης & Χρήστος Μακρόπουλος Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

2 Μαθηματική διατύπωση προβλημάτων γραμμικής βελτιστοποίησης Γενική διατύπωση προβλημάτων βελτιστοποίησης: minimize / maximize f(x) = f(x 1, x 2,, x n ), όπου x X Απαιτήσεις γραμμικής βελτιστοποίησης: Γραμμική στοχική συνάρτηση: Γραμμικοί περιορισμοί: f(x) = c 1 x 1 + c 2 x c n x n g i (x) = a i1 x 1 + a i2 x a in x n b i i = 1,, m Συνεχείς και μη αρνητικές μεταβλητές ελέγχου: Μητρωική διατύπωση: minimize / maximize subject to x j 0 j = 1,, n f(x) = c T x A x b x 0 όπου x: n 1 διάνυσμα μεταβλητών ελέγχου, c: n 1 διάνυσμα συντελεστών, A: m n μητρώο συντελεστών, b: m 1 διάνυσμα συντελεστών, και 0: n 1 μηδενικό διάνυσμα. Α. Ευστρατιάδης & Χ. Μακρόπουλος, Γραμμική και δικτυακή βελτιστοποίηση και στοιχεία θεωρίας γράφων 2

3 Γεωμετρική ερμηνεία Ο εφικτός χώρος που ορίζουν οι περιορισμοί A x b και x 0 ένα n-διάστατο κυρτό γεωμετρικό σχήμα (πολύεδρο), με πλήθος ακμών ίσο με m + n. Οι λύσεις που βρίσκονται στις κορυφές του πολυέδρου υπολογίζονται από την επίλυση όλων των συνδυασμών συστημάτων των n μεταβλητών ελέγχου και των m + n περιορισμών, απ όπου προκύπτουν q = (m + n)! / (m! n!) σημεία. Ισχύουν οι ακόλουθες θεμελιώδεις ιδιότητες: Ο αριθμός των εφικτών λύσεων (κορυφές πολυέδρου) είναι πεπερασμένος. Αν υπάρχει μοναδική βέλτιστη λύση, αυτή βρίσκεται σε μια κορυφή του πολυέδρου, δηλαδή στην τομή κάποιων περιορισμών. Αν μια εφικτή λύση ακραίου σημείου είναι καλύτερη από όλες τις γειτονικές της, τότε είναι η βέλτιστη του προβλήματος. Παρατήρηση: Αν και ο αριθμός των κορυφών του χώρου πολιτικής είναι πεπερασμένος, η αναζήτησή τους μέσω απαρίθμησής τους είναι πρακτικά αδύνατη (π.χ. για n = m = 20, q ~ ). x 2 f < f * Εφικτός χώρος f * f > f * (x 1*, x 2 * ) x 1 Α. Ευστρατιάδης & Χ. Μακρόπουλος, Γραμμική και δικτυακή βελτιστοποίηση και στοιχεία θεωρίας γράφων 3

4 Ιστορικό Οικονομική ερμηνεία Η γραμμική βελτιστοποίηση έχει ως αφετηρία το πρόβλημα εύρεσης της οικονομικότερης κατανομής ή προγραμματισμού ανταγωνιστικών δραστηριοτήτων σε συνθήκες πεπερασμένης διαθεσιμότητας πόρων (απ όπου ο όρος γραμμικός προγραμματισμός), με βασικό πεδίο εφαρμογής τις στρατιωτικές επιχειρήσεις στη διάρκεια του Β Παγκοσμίου Πολέμου (απ όπου ο όρος επιχειρησιακή έρευνα). Ερμηνεία συνιστωσών προβλήματος: f: κόστος (προς ελαχιστοποίηση) ή όφελος (προς μεγιστοποίηση) x j : δραστηριότητες των οποίων ζητείται η βέλτιστη κατανομή c j : κέρδος ή κόστος ανά μονάδα δραστηριότητας j a ij : ποσότητα πόρου i που παράγεται ή καταναλώνεται ανά μονάδα δραστηριότητας j b i : διαθεσιμότητα (για περιορισμούς τύπου ) ή ελάχιστη απαίτηση-ζήτηση (για περιορισμούς τύπου ) πόρου i. Σκιώδης τιμή (shadow price) καλείται η μεταβολή της βέλτιστης τιμής της στοχικής συνάρτησης λόγω μοναδιαίας μεταβολής ενός περιορισμού, ήτοι το περιθώριο όφελος (marginal utility) που προκύπτει λόγω της «χαλάρωσης» ενός περιορισμού κατά μία μονάδα ή το περιθώριο κόστος (marginal cost) που προκύπτει λόγω της «ενίσχυσης» του περιορισμού κατά μία μονάδα. Α. Ευστρατιάδης & Χ. Μακρόπουλος, Γραμμική και δικτυακή βελτιστοποίηση και στοιχεία θεωρίας γράφων 4

5 Μέθοδος simplex: Ορισμοί και παραδοχές Αναζητά διαδοχικά καλύτερες εφικτές λύσεις του προβλήματος, μεταβαίνοντας από κορυφή σε κορυφή του εφικτού χώρου, μέχρι τον εντοπισμό της βέλτιστης κορυφής. Το πρόβλημα αναδιατυπώνεται στην ακόλουθη τυπική μορφή (standard form), με την προσθήκη μιας μεταβλητής απόκλισης (slack variable) για κάθε περιορισμό: maximize z = f(x) = c 1 x 1 + c 2 x c n x n s.t. a i1 x 1 + a i2 x a in x n + x n + i = b i i = 1,, m x j 0 j = 1,, n + m Οι μεταβλητές απόκλισης x n + i εκφράζουν τις αποστάσεις από τους αντίστοιχους περιορισμούς τύπου. Κάθε διάνυσμα (x 1,, x n, x n + 1,, x n + m ) που ικανοποιεί τους εξισωτικούς, πλέον, περιορισμούς καλείται επαυξημένο (augmented). Κάθε επαυξημένο διάνυσμα που κείται σε κορυφή του εφικτού χώρου καλείται βασικό (basic) διάνυσμα, και περιλαμβάνει εξ ορισμού n μηδενικά και m μη μηδενικά στοιχεία, που καλούνται μη βασικές και βασικές μεταβλητές, αντίστοιχα. Ο αλγόριθμος διαρθρώνεται ως εξής: Αρχικοποίηση: Επιλογή σημείου εκκίνησης x [0] (βασική λύση) Επαναληπτικός κύκλος: Αντικατάσταση μιας εφικτής ακραίας (βασικής) λύσης x [k] από μια γειτονική x [k + 1], τέτοια ώστε f(x [k + 1] ) f(x [k ] ) Έλεγχος τερματισμού: Αναγνώριση βέλτιστης λύσης.

6 Μέθοδος simplex: Επιλογή σημείου εκκίνησης Ως σημείο εκκίνησης της διαδικασία αναζήτησης μπορεί να ληφθεί οποιαδήποτε κορυφή του εφικτού χώρου, δηλαδή οποιαδήποτε βασική λύση του προβλήματος. Αν b i 0 για κάθε περιορισμό i, τότε ως σημείο εκκίνησης λαμβάνεται η αρχή των αξόνων, οπότε ισχύει: x j = 0 j = 1,, n x n + i = b i i = 1,, m z = 0 (μεταβλητές ελέγχου μη βασικές) (μεταβλητές απόκλισης βασικές) (αρχική τιμή στοχικής συνάρτησης) Αν b i < 0 για έναν τουλάχιστο περιορισμό i, τότε το διάνυσμα (0,, 0, b 1,, b m ) είναι μη εφικτό (αφού μία τουλάχιστον μεταβλητή απόκλισης είναι αρνητική). Στην περίπτωση αυτή ακολουθείται ειδική μεθοδολογία, γνωστή ως μέθοδος δύο φάσεων (two-phase simplex method), κατά την οποία εντοπίζεται αρχικά μια εφικτή βασική λύση, που στη συνέχεια χρησιμοποιείται ως σημείο εκκίνησης για την επίλυση του αρχικού προβλήματος. Παρατήρηση: Περιορισμοί της μορφής a i1 x 1 + a i2 x a in x n b i γράφονται στην ισοδύναμη μορφή a i1 x 1 a i2 x 2 a in x n b i, ώστε να είναι συνεπείς με την τυπική διατύπωση του προβλήματος. Στην περίπτωση αυτή, ο όρος στο δεξί μέλος του περιορισμού γίνεται αρνητικός, οπότε εφαρμόζεται η μέθοδος των δύο φάσεων για τον εντοπισμό της αρχικής βασικής λύσης. Α. Ευστρατιάδης & Χ. Μακρόπουλος, Γραμμική και δικτυακή βελτιστοποίηση και στοιχεία θεωρίας γράφων 6

7 Μέθοδος simplex: Επαναληπτική διαδικασία Σκοπός: Αναζητείται μια νέα βασική λύση που προκύπτει με την αντικατάσταση μιας τρέχουσας βασικής μεταβλητής (εξερχόμενη μεταβλητή, x l ) από μια μη βασική (εισερχόμενη μεταβλητή, x e ), δηλαδή με μετάβαση από την τρέχουσα κορυφή του εφικτού χώρου σε μια γειτονική. Επιλογή εισερχόμενης μεταβλητής: Μεταξύ του συνόλου των μη βασικών μεταβλητών που μπορούν να βελτιώσουν την τιμή της συνάρτησης, δηλαδή των x j με μηδενική τρέχουσα τιμή και θετική μοναδιαία αξία, επιλέγεται η μεταβλητή x e με τη μέγιστη μοναδιαία αξία. Επιλογή εξερχόμενης μεταβλητής: Κάθε περιοριστική εξίσωση i = 1,, m επιλύεται ως προς την εισερχόμενη μεταβλητή x e, μηδενίζοντας την τρέχουσα βασική μεταβλητή x i. Από τις m τιμές της x e, επιλέγεται αυτή που εξασφαλίζει μη αρνητικές τιμές για το σύνολο των λοιπών βασικών μεταβλητών. Ισοδύναμα, επιλέγεται η μεταβλητή x i που τείνει γρηγορότερα προς το μηδέν καθώς αυξάνει η τιμή της εισερχόμενης μεταβλητής x e, ήτοι αυτή για την οποία b i / α ie = min. Αναδιατύπωση προβλήματος: Διαμορφώνεται μια ισοδύναμη μορφή του προβλήματος, αντικαθιστώντας την εισερχόμενη μεταβλητή σε όλες τις αλγεβρικές σχέσεις (στοχική συνάρτηση και εξισωτικοί περιορισμοί) από έναν γραμμικό συνδυασμό των μη βασικών μεταβλητών. Α. Ευστρατιάδης & Χ. Μακρόπουλος, Γραμμική και δικτυακή βελτιστοποίηση και στοιχεία θεωρίας γράφων 7

8 Αριθμητικό παράδειγμα Έστω το πρόβλημα μεγιστοποίησης: maximize 5x1 + 4x2 + 3x3 subject to 2x1 + 3x2 + x3 5 4x1 + x2 + 2x3 11 3x1 + 4x2 + 2x3 8 x1, x2, x3 0 Για κάθε έναν από τους ανισωτικούς περιορισμούς εισάγεται μία μεταβλητή απόκλισης έτσι ώστε: x4 = 5 2x1 3x2 x3 x5 = 11 4x1 x2 2x3 x6 = 8 3x1 4x2 2x3 Το αρχικό πρόβλημα είναι ισοδύναμο με το: maximize z = 5x1 + 4x2 + 3x3 subject to x1, x2, x3, x4, x5, x6 0 Περιορισμοί τύπου, μη αρνητικά b i Κάθε εφικτή λύση του αρχικού προβλήματος (x1, x2, x3) είναι ισοδύναμη με την επαυξημένη λύση (x1, x2, x3, x4, x5, x6) και αντίστροφα. Α. Ευστρατιάδης & Χ. Μακρόπουλος, Γραμμική και δικτυακή βελτιστοποίηση και στοιχεία θεωρίας γράφων 8

9 Αριθμητικό παράδειγμα 1 η δοκιμή Σημείο εκκίνησης: x 1 = x 2 = x 3 = 0 (μη βασικές μεταβλητές), x 4 = 5, x 5 = 11, x 6 = 8 (βασικές μεταβλητές), με z = 5x 1 + 4x 2 + 3x 3 = 0. Εισερχόμενη μεταβλητή είναι η x 1, καθώς c 1 = max c j = max {5, 4, 3}. Επιλύοντας τους περιορισμούς ως προς x 1, με μηδενισμό της αντίστοιχης βασικής μεταβλητής, λαμβάνονται οι εναλλακτικές τιμές x 1 {5/2, 11/4, 8/3}. Για x 1 = 5/2 (εξερχόμενη μεταβλητή η x 4 ) προκύπτει x 5 = 1.00 και x 6 = 0.50, για x 1 = 11/4 (εξερχόμενη μεταβλητή η x 5 ) προκύπτει x 4 = και x 6 = -0.25, ενώ για x 1 = 8/3 (εξερχόμενη μεταβλητή η x 6 ) προκύπτει x 4 = και x 5 = Επειδή x 4, x 5, x 6 0, μοναδική εφικτή λύση είναι η x 1 = 5/2, άρα ως εξερχόμενη μεταβλητή λαμβάνεται η x 4, οπότε η εισερχομένη διατυπώνεται στη μορφή: x 1 = 5/2 3/2 x 2 1/2 x 3 1/2x 4 Ισοδύναμα (και απλούστερα), εξερχόμενη μεταβλητή είναι η x 4 (περιορισμός 1), αφού min (b 1 /α 11, b 2 /α 21, b 3 /α 31 ) = min (5/2, 11/4, 8/3) = 5/2 = b 1 /α 11. Το πρόβλημα αναδιατυπώνεται ως εξής: maximize x x 3 2.5x 4 subject to x 1 = x 2 0.5x 3 0.5x 4 x 5 = x x 4 x 6 = x 2 0.5x 3 1.5x 4 Α. Ευστρατιάδης & Χ. Μακρόπουλος, Γραμμική και δικτυακή βελτιστοποίηση και στοιχεία θεωρίας γράφων 9

10 Αριθμητικό παράδειγμα 2 η δοκιμή Σημείο εκκίνησης: x 2 = x 3 = x 6 = 0 (μη βασικές μεταβλητές), x 1 = 2.5, x 5 = 1.0, x 6 = 0.5 (βασικές μεταβλητές), με z = x x 3 2.5x 4 = Εισερχόμενη μεταβλητή είναι η x 3 (η μοναδική με θετική μοναδιαία αξία). Επιλύοντας τους περιορισμούς ως προς x 3, με μηδενισμό της αντίστοιχης βασικής μεταβλητής, λαμβάνονται οι εναλλακτικές τιμές x 3 {5, 1}. Για x 3 = 5 (εξερχόμενη μεταβλητή η x 1 ) προκύπτει x 6 = -2, ενώ για x 3 = 1 (εξερχόμενη μεταβλητή η x 6 ) προκύπτει x 1 = 2 (η βασική μεταβλητή x 5 δεν εξαρτάται από τη x 3, συνεπώς x 5 = 1). Επειδή x 4, x 5, x 6 0, μοναδική εφικτή λύση είναι η x 3 = 1, άρα ως εξερχόμενη μεταβλητή λαμβάνεται η x 6, οπότε η εισερχομένη διατυπώνεται στη μορφή: x 3 = 1 + x 2 3x 4 2x 6 Ισοδύναμα (και απλούστερα), εξερχόμενη μεταβλητή είναι η x 6 (περιορισμός 3), αφού min (b 3 /α 13, b 2 /α 23, b 3 /α 33 ) = min (2.5/0.5, 1/0, 0.5/0.5) = 1 = b 3 /α 33. Το πρόβλημα αναδιατυπώνεται ως εξής: maximize x 2 4x 4 x 6 subject to x 1 = x 2 + x 4 + x 6 x 3 = x 2 3.0x 4 2.0x 6 x 5 = x x 4 Αφού όλοι οι συντελεστές της z είναι αρνητικοί, δεν υπάρχει καμία υποψήφια εισερχόμενη μεταβλητή, άρα έχει εντοπιστεί η βέλτιστη λύση. Α. Ευστρατιάδης & Χ. Μακρόπουλος, Γραμμική και δικτυακή βελτιστοποίηση και στοιχεία θεωρίας γράφων 10

11 Μέθοδος simplex: Παρατηρήσεις Το κριτήριο επιλογής της εισερχόμενης μεταβλητής, με βάση τη μέγιστη μοναδιαία αξία, δεν εξασφαλίζει την ταχύτερη βελτίωση της στοχικής συνάρτησης, καθώς δεν λαμβάνονται υπόψη οι περιορισμοί. Αν περισσότερες από μία μη βασικές μεταβλητές ικανοποιούν το κριτήριο εξόδου, η επιλογή της εισερχόμενης μεταβλητής γίνεται αυθαίρετα, καθώς δεν είναι δυνατό να εντοπιστεί εκ των προτέρων (χωρίς επίλυση των περιορισμών) η μέγιστη βελτίωση της συνάρτησης, δηλαδή η ταχύτερη διαδρομή. Αν καμία μη βασική μεταβλητή δεν ικανοποιεί το εν λόγω κριτήριο εισόδου, τότε δεν μπορεί να αυξηθεί περαιτέρω η τιμή της συνάρτησης και η τρέχουσα λύση είναι η βέλτιστη. Αν περισσότερες από μία βασικές μεταβλητές ικανοποιούν το κριτήριο εξόδου, οποιαδήποτε μπορεί να ληφθεί ως εξερχόμενη (και να λάβει εξ ορισμού μηδενική τιμή), ενώ και οι υπόλοιπες θα πρέπει να λάβουν μηδενική τιμή, οπότε καλούνται εκφυλισμένες (degenerated). Η περίπτωση αυτή συχνά οδηγεί σε ανακύκλωση των βασικών λύσεων, και συνεπώς εγκλωβισμό του αλγορίθμου. Αν καμία βασική μεταβλητή δεν ικανοποιεί το κριτήριο εξόδου, η εισερχόμενη μεταβλητή μπορεί να αυξηθεί απεριόριστα, δηλαδή δεν υπάρχει άνω όριο στην τιμή της στοχικής συνάρτησης. Α. Ευστρατιάδης & Χ. Μακρόπουλος, Γραμμική και δικτυακή βελτιστοποίηση και στοιχεία θεωρίας γράφων 11

12 Δυαδική θεωρία γραμμικού προγραμματισμού Για κάθε πρωτεύον (primal) πρόβλημα ΓΠ μπορεί να διατυπωθεί ένα αντίστοιχο δυαδικό (dual), μεταξύ των οποίων ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις: Πρωτεύον Δυαδικό Μεταβλητές ελέγχου xj yi Αριθμός μεταβλητών n m Αριθμός περιορισμών m n Στόχος maximize minimize Συντελεστές στοχικής συνάρτησης cj Περιορισμοί A x b A T y c Θεμελιώδες θεώρημα: Αν το πρωτεύον πρόβλημα έχει μια βέλτιστη λύση (x1 *, x2 *,..., xn * ), τότε το δυαδικό του έχει μια βέλτιστη λύση (y1 *, y2 *,..., ym * ) τέτοια n ώστε: cj xj * = j = 1 m bi yi * i = 1 σκιώδεις τιμές Παρατήρηση: Στη μέθοδο simplex, το πλήθος των επαναλήψεων είναι ανάλογο του αριθμού των περιορισμών m (διπλάσιο ως τριπλάσιο), ενώ παραμένει σχετικά αδιάφορο έναντι του πλήθους των μεταβλητών n. Εφόσον m > n, επιτυγχάνεται σημαντική μείωση του υπολογιστικού φόρτου με επίλυση του δυαδικού αντί του πρωτεύοντος προβλήματος. Α. Ευστρατιάδης & Χ. Μακρόπουλος, Γραμμική και δικτυακή βελτιστοποίηση και στοιχεία θεωρίας γράφων 12 bi

13 Δικτυακές μορφές προβλημάτων γραμμικής βελτιστοποίησης (προβλήματα γράφων) Γενική διατύπωση προβλήματος : Ποια είναι η οικονομικότερη ροή των διαθέσιμων πόρων μέσω ενός δικτύου μεταφοράς, το οποίο συνδέει ένα πλήθος σημείων προσφοράς με ένα πλήθος σημείων ζήτησης; Ειδικές διατυπώσεις: Πρόβλημα μεταφόρτωσης (transshipment): υποθέτει πεπερασμένη μεταφορική ικανότητα (χωρητικότητα) των κλάδων του δικτύου Πρόβλημα μεταφοράς (transportation): δίκτυο χωρίς ενδιάμεσους κόμβους, στο οποίο όλα τα σημεία προσφοράς συνδέονται απευθείας με ίσο αριθμό σημείων ζήτησης Πρόβλημα εκχώρησης (assignment): αμφιμονοσήμαντη αντιστοίχιση ενός πλήθους σημείων προέλευσης σε αντίστοιχο πλήθος σημείων προορισμού. Α. Ευστρατιάδης & Χ. Μακρόπουλος, Γραμμική και δικτυακή βελτιστοποίηση και στοιχεία θεωρίας γράφων 13

14 Βασικές έννοιες θεωρίας γράφων Γράφος (graph) καλείται ένα σύνολο σημείων (κόμβων) Ν και ένα σύνολο διατεταγμένων ζευγών αυτών Α (στοιχεία μεταφοράς, που καλούνται τόξα ή κλάδοι), και μπορεί να παρασταθεί με τη μορφή (N, A). Διγράφος (digraph) είναι ένας γράφος με προσανατολισμένη φορά κλάδων. Δίκτυο (network) είναι ένας γράφος στα στοιχεία του οποίου (κόμβοι και κλάδοι) αντιστοιχούν κάποιες ιδιότητες. Δίαυλος (chain) καλείται ένα σύνολο κλάδων που συνδέουν δύο κόμβους s και t. Εάν όλοι οι κλάδοι έχουν κοινή φορά, ο δίαυλος καλείται διαδρομή (path), ενώ αν οι κόμβοι s και t ταυτίζονται τότε καλείται κύκλωμα (circuit) ή βρόχος (loop). Συνδεδεμένος (connected) καλείται ο γράφος για τον οποίο ορίζεται ένας τουλάχιστον δίαυλος για κάθε ζεύγους κόμβων. Δένδρο (tree) καλείται ένας συνδεδεμένος γράφος που δεν σχηματίζει βρόχους. Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες: κάθε δένδρο αποτελείται από n κόμβους και n 1 κλάδους κάθε ζεύγος κόμβων του δένδρου συνδέεται με ένα και μόνο δίαυλο η διαγραφή ενός έστω κλάδου δημιουργεί μη συνδεδεμένο γράφο. Κάθε γράφος (Ν, Α ) που προκύπτει από τον αρχικό (Ν, Α) με θεώρηση ενός υποσυνόλου των κλάδων του καλείται μερικός γράφος (partial graph). Α. Ευστρατιάδης & Χ. Μακρόπουλος, Γραμμική και δικτυακή βελτιστοποίηση και στοιχεία θεωρίας γράφων 14

15 Μαθηματική περιγραφή τοπολογίας δικτύων Σε κάθε δίκτυο n κόμβων και m κλάδων διαμορφώνονται r = m n + 1 βρόχοι (σε ακτινωτά Η τοπολογία δίκτυα ενός είναι γράφου r = 0, οπότε (N, m A) = ο n οποίος 1). αποτελείται από n κόμβους και m κλάδ Η τοπολογία μπορεί να ενός περιγραφεί διγράφου αλγεβρικά (N, A) που με αποτελείται δύο τύπους από μητρώων: n κόμβους και m κλάδους μπορεί α) Το να n περιγραφεί n μητρώο αλγεβρικά σύνδεσης (adjacency μέσω δύο τύπων matrix) μητρώων: με στοιχεία aij = 1, αν υπάρχει κλά που Το συνδέει n n μητρώο τους κόμβους γειτνίασης i και (adjacency j κατά τη matrix), φορά με (i, στοιχεία j) και aij = a ij 0 = αν 1 αν δεν υπάρχει. β) κλάδος Το n που m μητρώο συνδέει αντιστοίχισης τον κόμβο i με (incidence τον κόμβο j, matrix) και a ij = με 0 διαφορετικά τιμές aik = 1 αν η φορά εί από Το τον n m κόμβο μητρώο i προς πρόσπτωσης τον κλάδο (incidence k, aik = - matrix) 1 αν η με φορά τιμές είναι a ik = ανάστροφη 1 ο κλάδος και k aik = 0 δεν ξεκινά υπάρχει από σύνδεση τον κόμβο μεταξύ i, a ik = -1 του αν κόμβου ο κλάδος i και k καταλήγει του κλάδου στον k. κόμβο i, και a ik = 0 Μειονέκτημα αν δεν υπάρχει του σύνδεση μητρώου μεταξύ σύνδεσης του κόμβου είναι i και η αδυναμία του κλάδου απεικόνισης k. παράλληλ Στο κλάδων, μητρώο γειτνίασης ενώ το μειονέκτημα δεν είναι δυνατή του η απεικόνιση μητρώου παράλληλων αντιστοίχισης κλάδων, είναι ενώ η το αδυνα μητρώο απεικόνισης πρόσπτωσης βροχωτών δεν απεικονίζει κλάδων. ανακυκλώσεις Μητρώο μητρώο γειτνίασης σύνδεσης n n, m μη μηδενικά στοιχεία Μητρώο μητρώο πρόσπτωσης αντιστοίχισης n m, 2m μη μηδενικά στοιχεία Α. Ευστρατιάδης & Χ. Μακρόπουλος, Γραμμική και δικτυακή βελτιστοποίηση και στοιχεία θεωρίας γράφων 15

16 Θεώρημα ελάχιστης τομής μέγιστης ροής δικτύων (min cut max flow) Ζητούμενο: Εκτίμηση της μέγιστης δυνατής ποσότητας που μπορεί να μεταφερθεί από μία πηγή s σε έναν κόμβο προορισμού t μέσω ενός δικτύου, κάθε κλάδος (i, j) του οποίου έχει πεπερασμένη μεταφορική ικανότητα, u ij. Ορισμοί: Τομή (cut) του δικτύου καλείται κάθε σύνολο κόμβων C που περιλαμβάνει την πηγή s αλλά όχι τον κόμβο προορισμού t. Η χωρητικότητα (capacity) μιας τομής C δίνεται από τη σχέση: Θεώρημα: Κάθε δίκτυο ικανοποιεί μία ακριβώς από τις ακόλουθες συνθήκες: Η μεταφορική ικανότητα του δικτύου είναι απεριόριστη, εφόσον η χωρητικότητα όλων των τομών του είναι απεριόριστη Η μέγιστη μεταφορική ικανότητα του δικτύου είναι ίση με την ελάχιστη χωρητικότητα όλων των τομών του. k c = u jk, όπου j C, k C 5 8 k 1 = k 2 = 10 k 3 = k 4 = 11 Α. Ευστρατιάδης & Χ. Μακρόπουλος, Γραμμική και δικτυακή βελτιστοποίηση και στοιχεία θεωρίας γράφων 16

17 Διατύπωση προβλήματος μεταφόρτωσης Στοχική συνάρτηση: Ελαχιστοποίηση κόστους μεταφοράς ροών Μεταβλητές ελέγχου: Ποσότητες x j, που μεταφέρονται μέσω κάθε κλάδου j Χαρακτηριστικά μεγέθη δικτύου: Τοπολογία, που περιγράφεται μέσω του n m μητρώου πρόσπτωσης Α Εισερχόμενες (y i > 0) και εξερχόμενες (y i < 0) ροές στους αντίστοιχους κόμβους προσφοράς και ζήτησης, που περιγράφονται από το n-διάστατο διάνυσμα y Χωρητικότητες u j, και μοναδιαία κόστη c j, κλάδων, που περιγράφονται από τα n- διάστατα διανύσματα u και c, αντίστοιχα. Παραδοχές: Η συνολική προσφορά ισούται με τη συνολική ζήτηση (καθολική εξίσωση συνέχειας αν δεν τηρείται διαμορφώνεται ένα ισοδύναμο εικονικό δίκτυο) Σε κάθε κόμβο, η συνολική εισερχόμενη ποσότητα ισούται με την συνολική εξερχόμενη μείον την καταναλισκόμενη (εξίσωση συνέχειας κόμβων). Μαθηματική διατύπωση: minimize f(x) = c T x subject to A x = y (εξισώσεις συνέχειας) 0 x u (εξισώσεις χωρητικότητας) Α. Ευστρατιάδης & Χ. Μακρόπουλος, Γραμμική και δικτυακή βελτιστοποίηση και στοιχεία θεωρίας γράφων 17

18 Επίλυση προβλήματος μεταφόρτωσης Επίλυση: Η αραιή (sparse) δομή του μητρώου πρόσπτωσης Α, με στοιχεία {1, - 1, 0}, επιτρέπει τη χρήση ειδικών αλγορίθμων δικτυακής γραμμικής βελτιστοποίησης (network simplex), που είναι 2-3 τάξεις μεγέθους ταχύτεροι από την συμβατική μέθοδο. Ειδική περίπτωση: Εφόσον δεν ισχύει η καθολική εξίσωση συνέχειας, οι κόμβοι προσφοράς και ζήτησης συνδέονται μέσω εικονικών κλάδων με έναν σωρευτικό κόμβο ζήτησης ίσης με τη συνολική προσφορά, που απορροφά την πλεονάζουσα προσφορά (με μηδενικό κόστος) και την κατανάλωση. H «μεταφερόμενη» κατανάλωση έχει άνω όριο την αντίστοιχη ζήτηση και αρνητικό κόστος, το οποίο ορίζεται με βάση την ιεραρχία των εκροών. Κλάδος μεταφοράς της πλεονάζουσας προσφοράς, με u i = y i και c i = 0 Ζήτηση δικτύου, ίση με τη συνολική προφορά Σωρευτικός κόμβος Κλάδος μεταφοράς κατανάλωσης, με u i = y i και c i < 0 Α. Ευστρατιάδης & Χ. Μακρόπουλος, Γραμμική και δικτυακή βελτιστοποίηση και στοιχεία θεωρίας γράφων 18

19 Το πρόβλημα εκχώρησης Ζητούμενο: Ελαχιστοποίηση κόστους αντιστοίχισης n «στοιχείων» προέλευσης σε n «στοιχεία» προορισμού, τα οποία αναπαρίστανται ως κόμβοι Μεταβλητές ελέγχου: Δυαδικές (0 ή 1), με x ij = 1 αν υπάρχει αντιστοίχιση μεταξύ των κόμβων i και j, και x ij = 0 αν δεν υπάρχει Μαθηματική διατύπωση: n minimize f(x) = i = 1 n j = 1 cij xij subject to n i = 1 xij = 1 για κάθε j = 1,, n n j = 1 xij = 1 για κάθε i = 1,, n 0 xij 1 για κάθε i, j = 1,, n Παρατήρηση: Οι περιορισμοί δυαδικότητας (x ij = 0 ή 1), εξασφαλίζονται από το θεώρημα ακεραίου, σύμφωνα με το οποίο αν σε ένα πρόβλημα μεταφόρτωσης όλα τα στοιχεία του διανύσματος προσφοράς-ζήτησης y είναι ακέραιοι αριθμοί, τότε όλες οι εφικτές λύσεις είναι επίσης ακέραιοι αριθμοί. Α. Ευστρατιάδης & Χ. Μακρόπουλος, Γραμμική και δικτυακή βελτιστοποίηση και στοιχεία θεωρίας γράφων 19

20 Εφαρμογή 1: Εκτίμηση μεγεθών ταμιευτήρα Ζητούμενο: Προσδιορισμός ελάχιστης ωφέλιμης χωρητικότητας k, ταμιευτήρα, ώστε να ικανοποιείται μια σταθερή ζήτηση d, με δεδομένη χρονοσειρά εισροών i t για ένα χρονικό ορίζοντα ελέγχου, μήκους n, και δεδομένο αρχικό απόθεμα s 0 Μεταβλητές ελέγχου: Ωφέλιμη χωρητικότητα k, ωφέλιμο απόθεμα s t, εκροές λόγω υπερχείλισης w t, για το σύνολο του ορίζοντα ελέγχου (2n + 1 μεταβλητές) Μαθηματική διατύπωση ως πρόβλημα ΓΠ: minimize subject to z = k s t = s t 1 + i t d w t για κάθε t = 1,, n (υδατικό ισοζύγιο) s t k για κάθε t = 1,, n s n = s 0 (πρόβλημα μόνιμων συνθηκών steady state) k, s t, w t 0 Εναλλακτική διατύπωση: Γνωστή η χωρητικότητα k, άγνωστη η ζήτηση d (πρόβλημα μεγιστοποίησης, maximize z = d) Μειονεκτήματα: Πολύ μεγάλος αριθμός μεταβλητών ελέγχου Αδυναμία χειρισμού μη γραμμικών σχέσεων Πλήρως ντετερμινιστική θεώρηση απουσιάζει η έννοια της αξιοπιστίας Εναλλακτική προσέγγιση: στοχαστική προσομοίωση Α. Ευστρατιάδης & Χ. Μακρόπουλος, Γραμμική και δικτυακή βελτιστοποίηση και στοιχεία θεωρίας γράφων 20

21 Εφαρμογή 2: Διαστασιολόγηση ακτινωτών δικτύων διανομής νερού υπό πίεση Ζητούμενο: Διαστασιολόγηση ακτινωτού δικτύου n κλάδων, με ελαχιστοποίηση του κόστους των σωληνώσεων, οι οποίες επιλέγονται από ένα διακριτό σύνολο r διαμέτρων d k, με κόστος c k ανά μέτρο μήκους Μεταβλητές ελέγχου: Μήκος αγωγού x ijk που εφαρμόζεται σε κάθε κλάδο (i, j) από κάθε διάμετρο εμπορίου k (n r μεταβλητές) Προεργασία: Υπολογίζονται οι παροχές του δικτύου q ij και ακολούθως η υδραυλική κλίση J ijk ανά κλάδο (i, j) και διάμετρο k, μέσω μιας μη γραμμικής σχέσης απωλειών της μορφής J = J(ε, q, d) (ε: ισοδύναμη τραχύτητα αγωγού) Μαθηματική διατύπωση ως πρόβλημα ΓΠ: minimize z = i = 1 n n r aij xijk j = 1 k = 1 Στοιχεία μητρώου πρόσπτωσης subject to Συνάρτηση των ανάντη απωλειών ενέργειας r xijk = Lij για κάθε κλάδο (i, j) k = 1 r hi Jijk xijk hj * για κάθε κόμβο j k = 1 xijk 0 για κάθε i, j = 1,, n και k = 1,, r Γνωστό ενεργειακό υψόμετρο h 0 Ελάχιστο ενεργειακό υψόμετρο h* Κλάδος μήκους L Α. Ευστρατιάδης & Χ. Μακρόπουλος, Γραμμική και δικτυακή βελτιστοποίηση και στοιχεία θεωρίας γράφων 21

22 Εφαρμογή 2: Μειονεκτήματα ΓΠ και εναλλακτικές προσεγγίσεις Η επίλυση του προβλήματος μέσω ΓΠ είναι εφικτή μόνο για ακτινωτά δίκτυα, στα οποία είναι δυνατός ο εκ των προτέρων υπολογισμός των παροχών των κλάδων (επισημαίνεται ότι, για λόγους ασφαλείας και λειτουργικότητας, τα δίκτυα διανομής υδρευτικού νερού σχεδιάζονται βροχωτά). Ο μεγάλος αριθμός των μεταβλητών και περιορισμών καθιστά δυσχερή την επίλυση, ακόμα και για μεσαίου μεγέθους δίκτυα. Δεν είναι δυνατή η προσομοίωση αντλιοστασίων και μειωτών πίεσης, τα οποία εισάγουν μη γραμμικές σχέσεις παροχής-απωλειών. Δεν είναι δυνατή η εφαρμογή αγωγών από διαφορετικό υλικό, γιατί προκύπτουν συναρτήσεις κόστους ασυνεχείς και μη κυρτές. Ο σχεδιασμός που προκύπτει παρουσιάζει κατασκευαστικές δυσκολίες, εξαιτίας της μη ελεγχόμενης εναλλαγής διαμέτρων ακόμα και σε μεμονωμένους κλάδους (στην πράξη εφαρμόζονται κοινές διάμετροι σε εκτενή τμήματα του δικτύου, τα οποία περιλαμβάνουν περισσότερους κλάδους). Εναλλακτικές προσεγγίσεις: ακτινωτά δίκτυα δυναμικός προγραμματισμός ακτινωτά και βροχωτά δίκτυα ευρετικοί εξελικτικοί αλγόριθμοι Α. Ευστρατιάδης & Χ. Μακρόπουλος, Γραμμική και δικτυακή βελτιστοποίηση και στοιχεία θεωρίας γράφων 22

23 Εφαρμογή 3: Κατανομή υδατικών πόρων σε υδροσυστήματα με ανταγωνιστικές χρήσεις Υδροσύστημα: Φυσικό σύστημα και υδραυλικά έργα, στο οποίο ορίζονται χρήσεις νερού και περιορισμοί (κατά σειρά προτεραιότητας), καθώς και υδατικές ανάγκες. Ο εντοπισμός της πλέον πρόσφορης κατανομής των διαθέσιμων υδατικών πόρων διατυπώνεται ως ένα πρόβλημα γραμμικής βελτιστοποίησης σε ένα μετασχηματισμένο δίκτυο. Οι φυσικοί και λειτουργικοί περιορισμοί και η ιεραρχία των χρήσεων νερού τηρούνται με την εισαγωγή εικονικών τιμών κόστους (θετικού ή αρνητικού). Συντελεστής Κόμβος διήθησης, λ Ομάδα ζήτησης D γεωτρήσεων 1 Q 1 Εισροή από υπολεκάνη Q 2 Έξοδος λεκάνης D 2 Q 3 Υδραγωγείο Κόμβος Απώλειες ζήτησης διήθησης Κατανάλωση Εισροή λεκάνης Παροχή Παροχή ποταμού εξόδου Γεώτρηση Απολήψιμο Σωρευτικός δυναμικό κόμβος υδροφορέα Παροχή υδραγωγείου Άντληση Α. Ευστρατιάδης & Χ. Μακρόπουλος, Γραμμική και δικτυακή βελτιστοποίηση και στοιχεία θεωρίας γράφων 23

24 Γενική βιβλιογραφία Γραμμικός προγραμματισμός Chvatal, V., Linear Programming, W. H. Freeman and Company, Hillier F., and G. Lieberman, Operations Research, Holden-Day, Inc., 1967, 1974, 1980, 1989 (ελληνική μετάφραση από τις Εκδόσεις Παπαζήση). Loucks, D. P. and E. van Beek, Water Resources Systems Planning and Management - An Introduction to Methods, Models and Applications, UNESCO Publishing, Winston, W. L., Operations Research Applications and Algorithms, 1440 p., Duxbury Press, Ευστρατιάδης, Α., και Δ. Κουτσογιάννης, Σημειώσεις Βελτιστοποίησης Συστημάτων Υδατικών Πόρων - Μέρος 2, 140 σελίδες, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Αθήνα, 2004 ( Μποναζούντας, Μ., και Δ. Καλλιδρομίτου, Σημειώσεις Ανάλυσης Συστημάτων Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Θεωρία γράφων και δικτυακός γραμμικός προγραμματισμός Deo, N., Graph Theory with Applications to Engineering and Computer Science, Prentice-Hall Inc., Smith, D. K., Network Optimization Practice: A Computational Guide, John Wiley & Sons, Α. Ευστρατιάδης & Χ. Μακρόπουλος, Γραμμική και δικτυακή βελτιστοποίηση και στοιχεία θεωρίας γράφων 24

25 Εφαρμογές σε προβλήματα υδατικών πόρων Bhave, P., and V. Sonak, A critical study of the linear programming gradient method for optimal design of water supply networks, Water Resources Research, 28(6), , Dai, T., and J. W. Labadie, River basin network model for integrated water quantity/quality management, Journal of Water Resources Planning and Management, 127(5), , Efstratiadis, A., D. Koutsoyiannis, and D. Xenos, Minimising water cost in the water resource management of Athens, Urban Water Journal, 1(1), 3-15, Goulter, I. C., Systems analysis in water distribution network design: from theory to practice, Journal of Water Resources Planning and Management, 118(3), , Graham, L. P., J. W. Labadie, I. P. G. Hutchison, and K. A. Ferguson, Allocation of augmented water supply under a priority water rights system, Water Resources Research, 22(7), , Ilich, N., Shortcomings of linear programming in optimizing river basin allocation, Water Resources Research, 44, W02426, doi: /2007wr006192, Kuczera, G., Fast multireservoir multiperiod linear programming models, Water Resources Research, 25(2), , Loucks, D. P., and E. van Beek, Water Resources Systems Planning and Management An Introduction to Methods, Models and Applications, UNESCO Publishing, Manca, A., G. Sechi, and P. Zuddas, Water supply network optimisation using equal flow algorithms, Water Resources Management, 24(13), , ReVelle, C., Optimizing Reservoir Resources, 180 p., John Wiley & Sons, Βαμβακερίδου, Λ., Δίκτυα υδρεύσεων αρδεύσεων υπό πίεση: Επίλυση βελτιστοποίηση, 1990 Α. Ευστρατιάδης & Χ. Μακρόπουλος, Γραμμική και δικτυακή βελτιστοποίηση και στοιχεία θεωρίας γράφων 25

Το µαθηµατικό µοντέλο του Υδρονοµέα

Το µαθηµατικό µοντέλο του Υδρονοµέα Ερευνητικό έργο: Εκσυγχρονισµός της εποπτείας και διαχείρισης του συστήµατος των υδατικών πόρων ύδρευσης της Αθήνας Το µαθηµατικό µοντέλο του Υδρονοµέα Ανδρέας Ευστρατιάδης και Γιώργος Καραβοκυρός Τοµέας

Διαβάστε περισσότερα

Αστικά υδραυλικά έργα

Αστικά υδραυλικά έργα Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Αστικά υδραυλικά έργα Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής Δημήτρης Κουτσογιάννης, Καθηγητής ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Άδεια Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 12: Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής

Κεφάλαιο 12: Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής Κεφάλαιο 12: Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής Εννοιολογική αναπαράσταση δίκτυων διανομής Σχηματοποίηση: δικτυακή απεικόνιση των συνιστωσών του φυσικού συστήματος ως συνιστώσες ενός εννοιολογικού μοντέλου

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση δικτύων διανομής

Ανάλυση δικτύων διανομής Υδραυλική & Υδραυλικά Έργα 5 ο εξάμηνο Σχολής Πολιτικών Μηχανικών Ανάλυση δικτύων διανομής Χρήστος Μακρόπουλος, Ανδρέας Ευστρατιάδης & Παναγιώτης Κοσσιέρης Τομέας Υδατικών Πόρων & Περιβάλλοντος, Εθνικό

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση δικτύων διανοµής

Επίλυση δικτύων διανοµής Επίλυση δικτύων διανοµής Σηµειώσεις στα πλαίσια του µαθήµατος: Τυπικά υδραυλικά έργα Ακαδηµαϊκό έτος 00-06 Ανδρέας Ευστρατιάδης & ηµήτρης Κουτσογιάννης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τοµέας Υδατικών Πόρων

Διαβάστε περισσότερα

ικτυακός προγραµµατισµός Ανδρέας Ευστρατιάδης και ηµήτρης Κουτσογιάννης Τοµέας Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

ικτυακός προγραµµατισµός Ανδρέας Ευστρατιάδης και ηµήτρης Κουτσογιάννης Τοµέας Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραµµικός Προγραµµατισµός ικτυακός προγραµµατισµός Ανδρέας Ευστρατιάδης και ηµήτρης Κουτσογιάννης Τοµέας Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηµατική διατύπωση του προβλήµατος ΓΠ Ένα πρόβληµα

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήματα Ελάχιστου Κόστους Ροής σε Δίκτυο. Δίκτυα Ροής Ελάχιστου Κόστους (Minimum Cost Flow Networks)

Προβλήματα Ελάχιστου Κόστους Ροής σε Δίκτυο. Δίκτυα Ροής Ελάχιστου Κόστους (Minimum Cost Flow Networks) Προβλήματα Ελάχιστου Κόστους Ροής σε Δίκτυο Ορισμοί Παραδείγματα Δικτυακή Simplex (προβλήματα με και χωρίς φραγμούς). Δίκτυα Ροής Ελάχιστου Κόστους (Minimum ost Flow Networks) Ένα δίκτυο μεταφόρτωσης αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Αστικά υδραυλικά έργα

Αστικά υδραυλικά έργα Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Αστικά υδραυλικά έργα Διαστασιολόγηση αγωγών και έλεγχος πιέσεων δικτύων διανομής Δημήτρης Κουτσογιάννης, Καθηγητής ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 14: Διαστασιολόγηση αγωγών και έλεγχος πιέσεων δικτύων διανομής

Κεφάλαιο 14: Διαστασιολόγηση αγωγών και έλεγχος πιέσεων δικτύων διανομής Κεφάλαιο 14: Διαστασιολόγηση αγωγών και έλεγχος πιέσεων δικτύων διανομής Έλεγχος λειτουργίας δικτύων διανομής με χρήση μοντέλων υδραυλικής ανάλυσης Βασικό ζητούμενο της υδραυλικής ανάλυσης είναι ο έλεγχος

Διαβάστε περισσότερα

ικτυακός προγραµµατισµός

ικτυακός προγραµµατισµός Γραµµικός Προγραµµατισµός ικτυακός προγραµµατισµός ΑνδρέαςΕυστρατιάδηςκαι ηµήτρης Κουτσογιάννης Τοµέας Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηµατική διατύπωση του προβλήµατος ΓΠ Ένα πρόβληµα γραµµικού

Διαβάστε περισσότερα

Q 12. c 3 Q 23. h 12 + h 23 + h 31 = 0 (6)

Q 12. c 3 Q 23. h 12 + h 23 + h 31 = 0 (6) Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας Υδατικών Πόρων Μάθηµα: Τυπικά Υδραυλικά Έργα Μέρος 2: ίκτυα διανοµής Άσκηση E0: Μαθηµατική διατύπωση µοντέλου επίλυσης απλού δικτύου διανοµής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4ο: Δικτυωτή Ανάλυση

Κεφάλαιο 4ο: Δικτυωτή Ανάλυση Κεφάλαιο ο: Δικτυωτή Ανάλυση. Εισαγωγή Η δικτυωτή ανάλυση έχει παίξει σημαντικό ρόλο στην Ηλεκτρολογία. Όμως, ορισμένες έννοιες και τεχνικές της δικτυωτής ανάλυσης είναι πολύ χρήσιμες και σε άλλες επιστήμες.

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Δημήτρης Φωτάκης Προσθήκες (λίγες): Άρης Παγουρτζής Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραμμικός Προγραμματισμός Ελαχιστοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Υπενθύµιση εννοιών από την υδραυλική δικτύων υπό πίεση

Υπενθύµιση εννοιών από την υδραυλική δικτύων υπό πίεση Υπενθύµιση εννοιών από την υδραυλική δικτύων υπό πίεση Σηµειώσεις στα πλαίσια του µαθήµατος: Τυπικά υδραυλικά έργα Ακαδηµαϊκό έτος 2005-06 Ανδρέας Ευστρατιάδης & ηµήτρης Κουτσογιάννης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Διαβάστε περισσότερα

Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου

Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Προϋποθέσεις Εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 23: Κλασική Ανάλυση Ευαισθησίας, Βασικές Έννοιες Γραφημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήματα Μεταφορών (Transportation)

Προβλήματα Μεταφορών (Transportation) Προβλήματα Μεταφορών (Transportation) Παραδείγματα Διατύπωση Γραμμικού Προγραμματισμού Δικτυακή Διατύπωση Λύση Γενική Μέθοδος Simplex Μέθοδος Simplex για Προβλήματα Μεταφοράς Παράδειγμα: P&T Co ΗεταιρείαP&T

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Πρόβλημα Μεταφοράς. Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Πρόβλημα Μεταφοράς. Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Πρόβλημα Μεταφοράς Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα To Πρόβλημα Μεταφοράς Μαθηματική Διατύπωση Εύρεση Αρχικής Λύσης Προσδιορισμός Βέλτιστης Λύσης

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η μέθοδος Simplex. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η μέθοδος Simplex. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017 Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Η μέθοδος Simplex Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017 1 Πλεονεκτήματα Η μέθοδος Simplex Η μέθοδος Simplex είναι μια

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Υδατικών Πόρων Πολυκριτηριακή ανάλυση

Διαχείριση Υδατικών Πόρων Πολυκριτηριακή ανάλυση Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Διαχείριση Υδατικών Πόρων Πολυκριτηριακή ανάλυση Ανδρέας Ευστρατιάδης & Δημήτρης Κουτσογιάννης Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Αθήνα Άδεια

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Δυϊκότητα. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Δυϊκότητα. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016 Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Δυϊκότητα Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016 1 Το δυϊκό πρόβλημα Για κάθε πρόβλημα Γραμμικού Προγραμματισμού υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα Διανομής και Δικτύων

Μοντέλα Διανομής και Δικτύων Μοντέλα Διανομής και Δικτύων 10-03-2017 2 Πρόβλημα μεταφοράς (1) Τα προβλήματα μεταφοράς ανακύπτουν συχνά σε περιπτώσεις σχεδιασμού διανομής αγαθών και υπηρεσιών από τα σημεία προσφοράς προς τα σημεία

Διαβάστε περισσότερα

Η μέθοδος Simplex. Γεωργία Φουτσιτζή-Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Η μέθοδος Simplex. Γεωργία Φουτσιτζή-Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2017-2018 Η μέθοδος Simplex Γεωργία Φουτσιτζή-Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017 1 Πλεονεκτήματα Η μέθοδος Simplex Η μέθοδος

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Επιχειρησιακή Έρευνα Τυπικό Εξάμηνο: Δ Αλέξιος Πρελορέντζος Εισαγωγή Ορισμός 1 Η συστηματική εφαρμογή ποσοτικών μεθόδων, τεχνικών

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα I

Επιχειρησιακή Έρευνα I Επιχειρησιακή Έρευνα I Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή 2. Γραμμικός Προγραμματισμός 1. Μοντελοποίηση 2. Μέθοδος Simplex (C) Copyright Α.

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα I

Επιχειρησιακή Έρευνα I Επιχειρησιακή Έρευνα I Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή 2. Γραμμικός Προγραμματισμός 1. Μοντελοποίηση 2. Μέθοδος Simplex 1. Αλγόριθμός Simplex

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρία Δυαδικότητας Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Βασικά Θεωρήματα 2. Παραδείγματα 3. Οικονομική Ερμηνεία

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Το πρόβλημα του ελάχιστου ζευγνύοντος δένδρου

4.4 Το πρόβλημα του ελάχιστου ζευγνύοντος δένδρου . Το πρόβλημα του ελάχιστου ζευγνύοντος δένδρου Σ αυτή την παράγραφο θα εξεταστεί μια παραλλαγή του προβλήματος της συντομότερης διαδρομής, το πρόβλημα του ελάχιστου ζευγνύοντος δένδρου. Σ αυτό το πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας Υδατικών Πόρων Μάθηµα: Αστικά Υδραυλικά Έργα Μέρος Α: Υδρευτικά έργα

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας Υδατικών Πόρων Μάθηµα: Αστικά Υδραυλικά Έργα Μέρος Α: Υδρευτικά έργα Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας Υδατικών Πόρων Μάθηµα: Αστικά Υδραυλικά Έργα Μέρος Α: Υδρευτικά έργα Άσκηση E9: Εκτίµηση παροχών εξόδου κόµβων, υπολογισµός ελάχιστης κατώτατης

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation)

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Μέθοδος Simplex για Προβλήµατα Μεταφοράς Προβλήµατα Εκχώρησης (assignment) Παράδειγµα: Κατανοµή Νερού Η υδατοπροµήθεια µιας περιφέρεια

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1 Βελτιστοποίηση Στην προσπάθεια αντιμετώπισης και επίλυσης των προβλημάτων που προκύπτουν στην πράξη, αναπτύσσουμε μαθηματικά μοντέλα,

Διαβάστε περισσότερα

3 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΝΟΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ

3 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΝΟΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗN ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΝΟΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ Μ. Καρλαύτης Ν. Λαγαρός Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ»

Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» 2 ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Προβλήματα ελάχιστης συνεκτικότητας δικτύου Το πρόβλημα της ελάχιστης

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα I

Επιχειρησιακή Έρευνα I Επιχειρησιακή Έρευνα I Operations/Operational Research (OR) Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα EE 1&2 Εισαγωγή Μαθηματικός Προγραμματισμός - Γραμμικός

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας ΙΙ

Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας ΙΙ Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας ΙΙ 1 η Διάλεξη: Αναδρομή στον Μαθηματικό Προγραμματισμό 2019, Πολυτεχνική Σχολή Εργαστήριο Συστημάτων Σχεδιασμού, Παραγωγής και Λειτουργιών Περιεχόμενα 1. Γραμμικός Προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n

z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Κεντρικής Μακεδονίας - Σέρρες Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Γραμμικός Προγραμματισμός & Βελτιστοποίηση Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Καθηγητής Εφαρμογών Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 7: Επίλυση με τη μέθοδο Simplex (1 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.)

Διαβάστε περισσότερα

4.γ. μερική επανάληψη, εισαγωγή στη βελτιστοποίηση υδατικών συστημάτων. Δρ Μ.Σπηλιώτης

4.γ. μερική επανάληψη, εισαγωγή στη βελτιστοποίηση υδατικών συστημάτων. Δρ Μ.Σπηλιώτης 4.γ. μερική επανάληψη, εισαγωγή στη βελτιστοποίηση υδατικών συστημάτων Δρ Μ.Σπηλιώτης Ολοκληρωμένη διαχείριση υδατικών πόρων (integrated water resources management), έμφαση στην εξέταση όλων των πτυχών

Διαβάστε περισσότερα

800 m. 800 m. 800 m. Περιοχή A

800 m. 800 m. 800 m. Περιοχή A Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας Υδατικών Πόρων Μάθηµα: Τυπικά Υδραυλικά Έργα Μέρος 2: ίκτυα διανοµής Άσκηση E5: Τροφοδοσία µονάδας επεξεργασίας αγροτικών προϊόντων (Εξέταση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ - ΤΟΜΕΑΣ ΥΔ. ΠΟΡΩΝ & ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ ΚΑΙ ΥΔΡΑΥΛΙΚΑ ΕΡΓΑ ΕΞΕΤΑΣΗ ΠΡΟΟΔΟΥ ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2017

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ - ΤΟΜΕΑΣ ΥΔ. ΠΟΡΩΝ & ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ ΚΑΙ ΥΔΡΑΥΛΙΚΑ ΕΡΓΑ ΕΞΕΤΑΣΗ ΠΡΟΟΔΟΥ ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2017 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ - ΤΟΜΕΑΣ ΥΔ. ΠΟΡΩΝ & ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ ΚΑΙ ΥΔΡΑΥΛΙΚΑ ΕΡΓΑ ΕΞΕΤΑΣΗ ΠΡΟΟΔΟΥ ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2017 Σύνταξη ασκήσεων: Α. Ευστρατιάδης, Π. Κοσσιέρης, Χ. Μακρόπουλος, Δ. Κουτσογιάννης

Διαβάστε περισσότερα

Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός

Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018-2019 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Γκόγκος Χρήστος- Γεωργία Φουτσιτζή Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 12/01/2017 1 Ακέραιος

Διαβάστε περισσότερα

Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός

Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2017-2018 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 12/01/2017 1 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Όταν για

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3. Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3. Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3 Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Bέλτιστος σχεδιασμός με αντικειμενική συνάρτηση και περιορισμούς

Διαβάστε περισσότερα

Υ ΡΟΓΑΙΑ. Λογισµικό ιαχείρισης Υδατικών Πόρων. Υ ΡΟΝΟΜΕΑΣ: : Βέλτιστη διαχείριση υδροσυστηµάτων

Υ ΡΟΓΑΙΑ. Λογισµικό ιαχείρισης Υδατικών Πόρων. Υ ΡΟΝΟΜΕΑΣ: : Βέλτιστη διαχείριση υδροσυστηµάτων Υ ΡΟΓΑΙΑ Λογισµικό ιαχείρισης Υδατικών Πόρων Υ ΡΟΝΟΜΕΑΣ: : Βέλτιστη διαχείριση υδροσυστηµάτων Υ ΡΟΓΑΙΑ: Υδρονοµέας Hydria Ζυγός Μοντέλο υδρολογικού ισοζυγίου λεκάνης Ρύπος Εκτίµηση ρυπαντικών φορτίων Ηριδανός

Διαβάστε περισσότερα

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος. Τεχνολογία Συστημάτων Υδατικών Πόρων

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος. Τεχνολογία Συστημάτων Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Τεχνολογία Συστημάτων Υδατικών Πόρων Βελτιστοποίηση Μέρος b: Συμβατικές Μέθοδοι συνέχεια Σύνοψη προηγούμενου μαθήματος Στόχος βελτιστοποίησης:

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι Βελτιστοποίησης

Μέθοδοι Βελτιστοποίησης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Ενότητα # : Επιχειρησιακή έρευνα Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην υδροπληροφορική και βελτιστοποίηση συστημάτων υδατικών πόρων

Εισαγωγή στην υδροπληροφορική και βελτιστοποίηση συστημάτων υδατικών πόρων Σημειώσεις στα πλαίσια του μαθήματος: Βελτιστοποίηση Συστημάτων Υδατικών Πόρων Υδροπληροφορική Εισαγωγή στην υδροπληροφορική και βελτιστοποίηση συστημάτων υδατικών πόρων Ανδρέας Ευστρατιάδης, Χρήστος Μακρόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιασμός επέκτασης του συστήματος ηλεκτροπαραγωγής με τη χρήση Πολυκριτηριακού Γραμμικού Προγραμματισμού

Σχεδιασμός επέκτασης του συστήματος ηλεκτροπαραγωγής με τη χρήση Πολυκριτηριακού Γραμμικού Προγραμματισμού 3ο Πανελλήνιο Επιστημονικό Συνέδριο Χημικής Μηχανικής Αθήνα,, IούνιοςI 200 Σχεδιασμός επέκτασης του συστήματος ηλεκτροπαραγωγής με τη χρήση Πολυκριτηριακού Γραμμικού Προγραμματισμού Γιώργος Μαυρωτάς Δανάη

Διαβάστε περισσότερα

Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός

Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 12/01/2017 1 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Όταν για

Διαβάστε περισσότερα

Ειδικά θέµατα δικτύων διανοµής

Ειδικά θέµατα δικτύων διανοµής Ειδικά θέµατα δικτύων διανοµής Σηµειώσεις στα πλαίσια του µαθήµατος: Τυπικά υδραυλικά έργα Ακαδηµαϊκό έτος 2005-06 Ανδρέας Ευστρατιάδης & ηµήτρης Κουτσογιάννης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τοµέας Υδατικών

Διαβάστε περισσότερα

Υδραυλικός Υπολογισμός Βροχωτών Δικτύων

Υδραυλικός Υπολογισμός Βροχωτών Δικτύων Υδραυλικός Υπολογισμός Βροχωτών Δικτύων Π. Σιδηρόπουλος Εργαστήριο Υδρολογίας και Ανάλυσης Υδατικών Συστημάτων Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Π.Θ. E-mail: psidirop@uth.gr Συνολικό δίκτυο ύδρευσης Α. Ζαφειράκου,

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Ταμιευτήρα

Διαχείριση Ταμιευτήρα Διαχείριση Ταμιευτήρα Μονοκριτηριακή βελτιστοποίηση Διαχείριση υδατικών πόρων Ανάγκη σύνθεσης επιστημών Σημερινό μάθημα: έμφαση στη χρήση εννοιών και μεθόδων από την επιχειρησιακή έρευνα Κουτσογιάννης,

Διαβάστε περισσότερα

είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές

είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές Ένα τυχαίο π.γ.π. maximize/minimize z=c x Αx = b x 0 Τυπική μορφή του π.γ.π. maximize z=c x Αx = b x 0 b 0 είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιασμός και ανάλυση δικτύων διανομής Υπολογισμός Παροχών Αγωγών

Σχεδιασμός και ανάλυση δικτύων διανομής Υπολογισμός Παροχών Αγωγών Σχεδιασμός και ανάλυση δικτύων διανομής Υπολογισμός Παροχών Αγωγών Π. Σιδηρόπουλος Εργαστήριο Υδρολογίας και Ανάλυσης Υδατικών Συστημάτων Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Π.Θ. E-mail: psidirop@uth.gr Παροχή H

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Δρ Μ. Σπηλιώτης Κείμενα σχήματα Τσακίρης 2008 Και κατά τις παραδόσεις του Κ.Κ.Μπέλλου

Επιμέλεια: Δρ Μ. Σπηλιώτης Κείμενα σχήματα Τσακίρης 2008 Και κατά τις παραδόσεις του Κ.Κ.Μπέλλου Συλλογικά δίκτυα κλειστών αγωγών υπό πίεση Βελτιστοποίηση Επιμέλεια: Δρ Μ. Σπηλιώτης Κείμενα σχήματα Τσακίρης 2008 Και κατά τις παραδόσεις του Κ.Κ.Μπέλλου Γενικές αρχές Συλλογικό: Μόνιμοι αγωγοί με σκάμμα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Μεθόδου Simplex

Θεωρία Μεθόδου Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Επιχειρησιακή Έρευνα Ι Διδάσκων: Δρ. Σταύρος Τ. Πόνης Θεωρία Μεθόδου Simplex Άδεια Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200 ΑΣΚΗΣΗ Η εταιρεία logistics Orient Express έχει αναλάβει τη διακίνηση των φορητών προσωπικών υπολογιστών γνωστής πολυεθνικής εταιρείας σε πελάτες που βρίσκονται στο Hong Kong, τη Σιγκαπούρη και την Ταϊβάν.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ Συνδυασμένη χρήση μοντέλων προσομοίωσης βελτιστοποίησης. Η μέθοδος του μητρώου μοναδιαίας απόκρισης Νικόλαος

Διαβάστε περισσότερα

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Γραμμικός προγραμματισμός: μέθοδος simplex Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών ΤμήμαΠληροφορικής Διάλεξη 4 η /2017 Η γεωμετρία των προβλημάτων γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην υδροπληροφορική και βελτιστοποίηση συστημάτων υδατικών πόρων

Εισαγωγή στην υδροπληροφορική και βελτιστοποίηση συστημάτων υδατικών πόρων Σημειώσεις στα πλαίσια του μαθήματος: Βελτιστοποίηση Συστημάτων Υδατικών Πόρων Υδροπληροφορική Εισαγωγή στην υδροπληροφορική και βελτιστοποίηση συστημάτων υδατικών πόρων Ανδρέας Ευστρατιάδης, Χρήστος Μακρόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα Μεταφοράς

Το Πρόβλημα Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφοράς Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραμμικός Προγραμματισμός Ελαχιστοποίηση γραμμικής αντικειμενικής συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

m 1 min f = x ij 0 (8.4) b j (8.5) a i = 1

m 1 min f = x ij 0 (8.4) b j (8.5) a i = 1 KΕΦΑΛΑΙΟ 8 Προβλήµατα Μεταφοράς και Ανάθεσης 8. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Μια ειδική κατηγορία προβληµάτων γραµµικού προγραµµατισµού είναι τα προβλήµατα µεταφοράς (Π.Μ.), στα οποία επιζητείται η ελαχιστοποίηση του κόστους

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Ενότητα 5 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας

Διαβάστε περισσότερα

3. Δίκτυο διανομής επιλύεται για δύο τιμές στάθμης ύδατος της δεξαμενής, Η 1 και

3. Δίκτυο διανομής επιλύεται για δύο τιμές στάθμης ύδατος της δεξαμενής, Η 1 και ΕΜΠ Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Αστικά Υδραυλικά Έργα Επαναληπτική εξέταση 10/2011 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ (Μονάδες 3, Διάρκεια 20') ΠΑΡΑΛΛΑΓΗ Α Απαντήστε στις ακόλουθες ερωτήσεις, σημειώνοντας

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα I

Επιχειρησιακή Έρευνα I Επιχειρησιακή Έρευνα I Operations/Operational Research (OR) Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 9: : Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα EE & Εισαγωγή Μαθηματικός Προγραμματισμός - Γραμμικός Προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 9: Γεωμετρία του Χώρου των Μεταβλητών, Υπολογισμός Αντιστρόφου Μήτρας Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Θεμελιώδεις έννοιες βελτιστοποίησης και κλασικές μαθηματικές μέθοδοι

Θεμελιώδεις έννοιες βελτιστοποίησης και κλασικές μαθηματικές μέθοδοι Σημειώσεις στα πλαίσια του μαθήματος: Βελτιστοποίηση συστημάτων υδατικών πόρων Υδροπληροφορική Θεμελιώδεις έννοιες βελτιστοποίησης και κλασικές μαθηματικές μέθοδοι Ανδρέας Ευστρατιάδης & Χρήστος Μακρόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Κλασικές Τεχνικές Βελτιστοποίησης Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών ΤμήμαΠληροφορικής Διάλεξη 2 η /2017 Μαθηματική Βελτιστοποίηση Η «Μαθηματική

Διαβάστε περισσότερα

Υδροηλεκτρικοί ταμιευτήρες

Υδροηλεκτρικοί ταμιευτήρες Υδροηλεκτρικά Έργα 8ο εξάμηνο Σχολής Πολιτικών Μηχανικών Υδροηλεκτρικοί ταμιευτήρες Ανδρέας Ευστρατιάδης, Νίκος Μαμάσης, & Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων & Περιβάλλοντος, Εθνικό Μετσόβιο

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρητική Θεμελίωση της Μεθόδου Simplex

Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρητική Θεμελίωση της Μεθόδου Simplex Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρητική Θεμελίωση της Μεθόδου Simplex Νίκος Τσάντας ιατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Τμήμ. Μαθηματικών Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων Ακαδημαϊκό έτος 2006-07

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 10: Το πρόβλημα μεταφοράς: μαθηματικό μοντέλο και μεθοδολογία επίλυσης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 19: Επίλυση Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Αστικά υδραυλικά έργα

Αστικά υδραυλικά έργα Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Αστικά υδραυλικά έργα Διαμόρφωση μοντέλου υδραυλικής ανάλυσης δικτύου διανομής Δημήτρης Κουτσογιάννης, Καθηγητής ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Κεφάλαιο 3 3.1 Γενικά Τις τελευταίες δεκαετίες ένας μεγάλος αριθμός μεθόδων βελτιστοποίησης έχει αναπτυχθεί με βάση τη θεωρία του μαθηματικού λογισμού. Οι διάφοροι μαθηματικοί

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραμμικός Προγραμματισμός Ελαχιστοποίηση γραμμικής αντικειμενικής συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex 3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Παραγωγής ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

Συστήματα Παραγωγής ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Συστήματα Παραγωγής ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Περιεχόμενα 1 Γενικά στοιχεία γραμμικού προγραμματισμού 2 Παράδειγμα γραμμικού προγραμματισμού και γραφικής επίλυσης του 3 Γραμμικός προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Καταθλιπτικοί αγωγοί και αντλιοστάσια

Καταθλιπτικοί αγωγοί και αντλιοστάσια Υδραυλική & Υδραυλικά Έργα 5 ο εξάμηνο Σχολής Πολιτικών Μηχανικών Καταθλιπτικοί αγωγοί και αντλιοστάσια Δημήτρης Κουτσογιάννης & Ανδρέας Ευστρατιάδης Τομέας Υδατικών Πόρων & Περιβάλλοντος, Εθνικό Μετσόβιο

Διαβάστε περισσότερα

min f(x) x R n b j - g j (x) = s j - b j = 0 g j (x) + s j = 0 - b j ) min L(x, s, λ) x R n λ, s R m L x i = 1, 2,, n (1) m L(x, s, λ) = f(x) +

min f(x) x R n b j - g j (x) = s j - b j = 0 g j (x) + s j = 0 - b j ) min L(x, s, λ) x R n λ, s R m L x i = 1, 2,, n (1) m L(x, s, λ) = f(x) + KΕΦΑΛΑΙΟ 4 Κλασσικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Με Περιορισµούς Ανισότητες 4. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ Ζητούνται οι τιµές των µεταβλητών απόφασης που ελαχιστοποιούν την αντικειµενική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING)

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING) ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING) Δρ. Βασιλική Καζάνα Αναπλ. Καθηγήτρια ΤΕΙ Καβάλας, Τμήμα Δασοπονίας & Διαχείρισης Φυσικού Περιβάλλοντος Δράμας Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής

Διαβάστε περισσότερα

Δυαδικό Πρόβλημα Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας

Δυαδικό Πρόβλημα Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Επιχειρησιακή Έρευνα Ι Διδάσκων: Δρ. Σταύρος Τ. Πόνης Δυαδικό Πρόβλημα Εισαγωγή στην Ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

5 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑΚΟΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

5 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑΚΟΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗN ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 5 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑΚΟΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Μ. Καρλαύτης Ν. Λαγαρός Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

1. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ

1. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ . ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Μέγιστα και Ελάχιστα Συναρτήσεων Χωρίς Περιορισμούς Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής Εστω f ( x) είναι συνάρτηση μιας μόνο μεταβλητής. Εστω επίσης ότι x είναι ένα σημείο στο πεδίο ορισμού

Διαβάστε περισσότερα

Η μέθοδος Simplex. Χρήστος Γκόγκος. Χειμερινό Εξάμηνο ΤΕΙ Ηπείρου

Η μέθοδος Simplex. Χρήστος Γκόγκος. Χειμερινό Εξάμηνο ΤΕΙ Ηπείρου Η μέθοδος Simplex Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 1 / 17 Η μέθοδος Simplex Simplex Είναι μια καθορισμένη σειρά επαναλαμβανόμενων υπολογισμών μέσω των οποίων ξεκινώντας από ένα αρχικό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6: Γενική διάταξη υδρευτικών έργων

Κεφάλαιο 6: Γενική διάταξη υδρευτικών έργων Κεφάλαιο 6: Γενική διάταξη υδρευτικών έργων Γενικές παρατηρήσεις Σκοπός των έργων ύδρευσης είναι η εξασφάλιση του απαιτούμενου νερού, σε επαρκή ποσότητα και κατάλληλη ποιότητα, και η μεταφορά και διανομή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Αλγόριθμοι Γραμμικής Βελτιστοποίησης 28/3/2012. Lecture07 1

Θεωρία Αλγόριθμοι Γραμμικής Βελτιστοποίησης 28/3/2012. Lecture07 1 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ 8 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΑΜΑΡΑΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, ΕΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Χαρακτηριστικά αλγορίθμων τύπου simplex (5) Αν το βασικό σημείο ικανοποιεί ακριβώς n-m ανισότητες

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 2 η : Αρχές εκτίμησης παραμέτρων Μέρος 1 ο

Παρουσίαση 2 η : Αρχές εκτίμησης παραμέτρων Μέρος 1 ο Εφαρμογές Ανάλυσης Σήματος στη Γεωδαισία Παρουσίαση η : Αρχές εκτίμησης παραμέτρων Μέρος ο Βασίλειος Δ. Ανδριτσάνος Αναπληρωτής Καθηγητής Γεώργιος Χλούπης Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Τοπογραφίας

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 24: Ειδικές Περιπτώσεις του Προβλήματος Ροής Ελαχίστου Κόστους Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ, Διαλ. 2. Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 8/4/2017

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ, Διαλ. 2. Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 8/4/2017 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ, Διαλ. 2 Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 8/4/2017 Αντικειμενικοί στόχοι Η μελέτη των βασικών στοιχείων που συνθέτουν ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβλημα Μεταφοράς. Επιχειρησιακή Έρευνα Ι Διδάσκων: Δρ. Σταύρος Τ. Πόνης

Πρόβλημα Μεταφοράς. Επιχειρησιακή Έρευνα Ι Διδάσκων: Δρ. Σταύρος Τ. Πόνης ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Επιχειρησιακή Έρευνα Ι Διδάσκων: Δρ. Σταύρος Τ. Πόνης Πρόβλημα Μεταφοράς Άδεια Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ. 4.1 Επίλυση Εκφυλισμένων Γραμμικών Προβλημάτων

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ. 4.1 Επίλυση Εκφυλισμένων Γραμμικών Προβλημάτων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ 4. Επίλυση Εκφυλισμένων Γραμμικών Προβλημάτων Η περιγραφή του ΔΑΣΕΣ στο προηγούμενο κεφάλαιο έγινε με σκοπό να διευκολυνθούν οι αποδείξεις

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος. Διαχείριση Υδατικών Πόρων

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος. Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Διαχείριση Υδατικών Πόρων Βελτιστοποίηση Μέρος b: Συμβατικές Μέθοδοι συνέχεια Σύνοψη προηγούμενου μαθήματος Στόχος βελτιστοποίησης: Εύρεση

Διαβάστε περισσότερα

Βελτιστοποίηση συστημάτων υδατικών πόρων Εισαγωγή. Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Βελτιστοποίηση συστημάτων υδατικών πόρων Εισαγωγή. Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Βελτιστοποίηση συστημάτων υδατικών πόρων Εισαγωγή Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γενικές έννοιες Σύστημα (system) (1) Σύνολο συνδεδεμένων τμημάτων που αποτελούν

Διαβάστε περισσότερα