ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΚΕΦ. 6-11) ΑΣΚΗΣΗ 1

Transcript

1 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΚΕΦ. -11) 1 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΚΕΦ. -11) ΑΣΚΗΣΗ 1 Μία αµφιέρειστη (για κάµψη σε οποιοδήποτε επίπεδο) δοκός µήκους 1 m έχει διατοµή λεπτότοιχου ανεστραµµένου ταυ (µε κατακόρυφο άξονα συµµετρίας) και φορτίζεται αφενός µε οµοιόµορφα κατανεµηµένο φορτίο q π = 0.4 kn/m σε κάθε πέλµα, αφετέρου µε οριζόντια δύναµη P = kn, η οποία δρα στο µέσον του µήκους, κάθετα στον άξονα της δοκού και εντός του επιπέδου του πέλµατος (στο µέσον του πάχους). Θεωρώντας το υλικό της δοκού γραµµικά ελαστικό µε µέτρο ελαστικότητας E = 00 GPa, να γίνει: (α) Υπολογισµός της µέγιστης εφελκυστικής και της µέγιστης θλιπτικής τάσης (θέση και µέγεθος). (β) Εύρεση της θέσης του ουδέτερου άξονα στη διατοµή του µέσου της δοκού. (γ) Εύρεση (ποιοτικά) της κατανοµής των διατµητικών τάσεων στην(ις) διατοµή(ές) όπου αυτές είναι κρίσιµες (µέγιστες) και υπολογισµός της µέγιστης διατµητικής τάσης στον κορµό (θέση και µέγεθος). (δ) Υπολογισµός της µετατόπισης (βύθισης) της δοκού στο µέσον του ανοίγµατος. mm q π = 0.4 kn/m mm P = kn 1 m ΟΚΟΣ 0.5 m 0 mm ΙΑΤΟΜΗ mm Εύρεση κέντρου βάρους και ροπών αδράνειας: Η απόσταση c του κέντρου βάρους από την πάνω ίνα της διατοµής είναι c = = mm 0

2 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΚΕΦ. -11) mm Ουδ. άξονας Οι άξονες του σχήµατος εκτός από κεντροβαρικοί είναι και κύριοι (ο είναι άξονας συµµετρίας) B 87.4 ο C (κέντρο βάρους) A Κέντρο διάτµησης 0 I = =.75 mm I = = 0.84 mm Το κέντρο διάτµησης της διατοµής βρίσκεται στην τοµή των δύο λεπτότοιχων στοιχείων, γιαυτό ούτε το οµοιόµορφα κατανεµηµένο φορτίο (λόγω συµµετρίας) αλλά ούτε και η συγκεντρωµένη δύναµη προκαλούν στρέψη. Η δοκός καταπονείται σε διαξονική κάµψη: στο επίπεδο επίπεδο x λόγω του οµοιόµορφα κατανεµηµένου φορτίου λόγω της δύναµης P. q = qπ και στο q = 0.8 kn/m P = kn x x ql/ = 0.4 kn ql/ = 0.4 kn P/ = 1 kn Αντιδράσεις P/ = 1 kn Αντιδράσεις M,max = PL/4 = 0.5 knm ιάγραµµα ροπών κάµψης Μ - M,max = ql /8 = 0.1 knm ιάγραµµα ροπών κάµψης Μ ιάγραµµα τεµνουσών V ql/ = 0.4 kn ql/ = 0.4 kn - ιάγραµµα τεµνουσών V P/ = 1 kn - P/ = 1 kn

3 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΚΕΦ. -11) (α)(β) Οι µέγιστες ορθές τάσεις αναπτύσσονται στο µέσον του ανοίγµατος, εκεί όπου οι ροπές είναι µέγιστες. Στη διατοµή του µέσου είναι M M σ x = = I I Η εφελκυστική τάση είναι µέγιστη για = mm και = - 50 mm (σηµείο Α της διατοµής): σ A = 0.7 MPa. Για την εύρεση της µέγιστης θλιπτικής τάσης θα γίνει πρώτα ο προσδιορισµός της θέσης του ουδέτερου άξονα. προσδιορίζεται βάσει της γωνίας β : Στην µεσαία διατοµή της δοκού ο ουδέτερος άξονας M I tanβ = = =. β = o M I Εποµένως το σηµείο της θλιβόµενης περιοχής που απέχει περισσότερο από τον ουδέτερο άξονα είναι το Β. Στο σηµείο αυτό η θλιπτική τάση είναι µέγιστη, µε τιµή που προσδιορίζεται θέτοντας στην παραπάνω εξίσωση για τις ορθές τάσεις = mm και = 50 mm. Έτσι υπολογίζεται σ B = MPa. (γ) Οι διατµητικές τάσεις είναι µέγιστες στις διατοµές των στηρίξεων, όπου είναι µέγιστη η τέµνουσα V (η V είναι σταθερή κατά µήκος της δοκού). Στην αριστερή στήριξη, για παράδειγµα, οι διατµητικές τάσεις έχουν την παρακάτω κατανοµή (στη δεξιά στήριξη είναι ίσες αλλά αντίθετες). 0.4 MPa Λόγω V Λόγω V Στον κορµό αναπτύσσονται διατµητικές τάσεις λόγω V, ίσες µε (βλ. Παράδειγµα 7.):

4 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΚΕΦ. -11) 4 τ x V S V V = = td = It It I V = I ( ) 1 Οι τάσεις αυτές γίνονται µέγιστες για 1 = 0, δηλαδή στην περιοχή του κέντρου βάρους της διατοµής, µε τιµή: 0.4 τ max = = 0.4 MPa.75 (δ) Μετατόπιση (προς τα αρνητικά του ) στο µέσον του ανοίγµατος λόγω κατακόρυφου φορτίου q (βλ. Παράδειγµα. για την απόδειξη του τύπου): v 4 4 q = 5qL ( 00) = = mm 84EI Μετατόπιση (προς τα αρνητικά του ) στο µέσον του ανοίγµατος λόγω οριζόντιου φορτίου P (βλ. Παράδειγµα.4 για την απόδειξη του τύπου): PL (00) v P = = = 0.5 mm 48EI ΑΣΚΗΣΗ Θεωρήστε τη δοκό της Άσκησης 1 σε κάµψη ως προς οριζόντιο άξονα. Υποθέτουµε ότι το υλικό της δοκού είναι ελαστοπλαστικό (σε εφελκυσµό και θλίψη) µε τάση διαρροής f = 00 MPa (σε εφελκυσµό και θλίψη). Να υπολογίσετε για τη διατοµή της δοκού (α) την ροπή διαρροής M και (β) την πλαστική ροπή M pl. (α) Για κάµψη ως προς άξονα ισχύει σ x M = I Η διαρροή εµφανίζεται στα σηµεία της δοκού όπου το είναι µέγιστο, δηλαδή = mm. Τότε είναι M = 1.57 knm. M = M και σ f = 00 MPa, οπότε από την παραπάνω σχέση x = (β) Για τον υπολογισµό της πλαστικής ροπής πρέπει πρώτα να βρεθεί η κατανοµή των ορθών τάσεων. Με δεδοµένο ότι οι τάσεις αυτές είναι παντού ίσες µε την τάση διαρροής, αρκεί να γίνει ο προσδιορισµός της θέσης του ουδέτερου άξονα (πλαστικός ουδέτερος

5 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΚΕΦ. -11) 5 άξονας). Θεωρώντας την απόσταση του πλαστικού ουδέτερου άξονα από την πάνω ίνα ίση pl, η κατανοµή των τάσεων κατά την πλαστικοποίηση της διατοµής είναι: f pl - x pl xf Πλαστικός ουδέτερος άξονας x(- pl )xf x0xf f Κατανοµή ορθών τάσεων Αποτέλεσµα των ορθών τάσεων στη διατοµή είναι µια θλιπτική δύναµη πάνω από τον πλαστικό ουδέτερο άξονα ίση µε και µια εφελκυστική δύναµη κάτω από τον pl f ουδέτερο άξονα, η οποία είναι συνισταµένη της δύναµης στο κάτω πέλµα της διατοµής ( 0 f ) και της δύναµης στο τµήµα του κορµού µεταξύ του πέλµατος και του πλαστικού ουδέτερου άξονα [ ( ) f ]. Ισορροπία των δυνάµεων αυτών δίνει: pl ( ) f 1 pl f = 0 f pl pl = mm Για την εύρεση της πλαστικής ροπής αρκεί να γίνει υπολογισµός της ροπής των παραπάνω εσωτερικών δυνάµεων ως προς οποιοδήποτε σηµείο της διατοµής. Λαµβάνοντας ροπές ως προς το σηµείο εφαρµογής της θλιπτικής δύναµης στον κορµό, έχουµε: f xxf x0xf 70 0 f - x1xf M pl = f 0 0 f 70 =.80 knm

6 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΚΕΦ. -11) ΑΣΚΗΣΗ Να υπολογίσετε τη µέγιστη ροπή κάµψης (ως προς τον οριζόντιο κεντροβαρικό άξονα) που µπορεί να παραλάβει η σύνθετη διατοµή ξύλου-χάλυβα του σχήµατος, θεωρώντας ότι: (α) Τα δύο υλικά συµπεριφέρονται γραµµικά ελαστικά και είναι συνδεδεµένα έτσι ώστε να συνεργάζονται πλήρως. (β) Ο χάλυβας έχει µέτρο ελαστικότητας E s =00 GPa και το ξύλο E w = GPa. Η αντοχή του χάλυβα είναι f s =450 MPa (ίση σε εφελκυσµό και θλίψη) και του ξύλου f wc =0 MPa σε θλίψη και f wt =0 MPa σε εφελκυσµό. 5 mm 5 mm ξύλο 50 mm Κατ αρχήν µετασχηµατίζουµε τη διατοµή, θεωρώντας ως υλικό αναφοράς π.χ. το ξύλο. Έτσι είναι E ref = E W = GPa, n s = E s / E w =00/ = 0. Η µετασχηµατισµένη διατοµή έχει ύψος 50 mm και συνολικό πλάτος 150(5x0) = 50 mm Η ροπή αδράνειας της διατοµής είναι I = = 45 mm 4 1 Οι µέγιστες τάσεις στη διατοµή για ροπή 150 mm M είναι: Στο ξύλο, µέγιστη εφελκυστική τάση σ wt, max και µέγιστη θλιπτική τάση σ wc, max : σ wt,max M = ( 15) = I 15M 45 σ wc,max M 15M = (15) = I 45 Στον χάλυβα, µέγιστη εφελκυστική τάση σ st, max και µέγιστη θλιπτική τάση σ sc, max : M 500M M σ st,max = ( 15) ns = σ I sc, max = - ( 15) ns = - 45 I 500M 45 εδοµένου ότι και τα δύο υλικά θεωρούνται γραµµικά ελαστικά, η µέγιστη ροπή κάµψης εµφανίζεται όταν επέλθει η πρώτη αστοχία, δηλαδή είτε όταν αστοχήσει ο χάλυβας (σε εφελκυσµό και θλίψη ταυτόχρονα, δεδοµένου ότι οι µέγιστες εφελκυστικές και θλιπτικές τάσεις είναι ίσες αλλά και οι αντίστοιχες αντοχές είναι ίσες), είτε όταν αστοχήσει το ξύλο. εδοµένου ότι οι µέγιστες εφελκυστικές και θλιπτικές τάσεις στο ξύλο είναι ίσες και η

7 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΚΕΦ. -11) 7 αντοχή του σε εφελκυσµό είναι µικρότερη αυτής σε θλίψη, καθοριστική για την αστοχία του ξύλου είναι η εφελκυστική αντοχή. 500M Για αστοχία χάλυβα: 450 = 45 MPa, άρα M = 8 knm 15M Για αστοχία ξύλου: 0 = 45 MPa, άρα M = 7 knm Συµπεραίνεται ότι η διατοµή θα αστοχήσει όταν εξαντληθεί η (εφελκυστική) αντοχή του ξύλου, µε αντίστοιχη ροπή κάµψης 7 knm. ΑΣΚΗΣΗ 4 Αποµονώσατε το σκιασµένο στοιχείο διαστάσεων 50x150x00 mm από τη δοκό ορθογωνικής διατοµής (00x00 mm) του σχήµατος και σε ένα διάγραµµα ελευθέρου σώµατος δείξατε τις ορθές και διατµητικές τάσεις (µέγεθος και φορά). Το βάρος της δοκού θεωρείται αµελητέο. P = 0 kn x Αντιδράσεις 40 kn 0 kn 7 knm ιάγραµµα ροπών κάµψης (Μ ) - 0 kn 40 kn ιάγραµµα τεµνουσών V

8 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΚΕΦ. -11) 8 Επιλύοντας τον φορέα βρίσκουµε ότι οι αντιδράσεις στις δύο στηρίξεις είναι 40 kn (προς τα πάνω) στην αριστερή και 0 kn (προς τα πάνω) στη δεξιά. Συνεπώς το διάγραµµα ροπών κάµψης στο τµήµα της δοκού µεταξύ της αριστερής στήριξης και του σηµείου εφαρµογής της εξωτερικής δύναµης έχει εξίσωση M = 40x, όπου x η απόσταση από την αριστερή στήριξη. Στο ίδιο τµήµα η τέµνουσα είναι σταθερή και ίση µε 40 kn. H ροπή στη θέση x =0 mm (δηλαδή στην αριστερή πλευρά του σκιασµένου ορθογωνίου) είναι M,αριστ. = 40x0 = 48x knmm και αυτή στη θέση x =150 mm (δηλαδή στη δεξιά πλευρά του σκιασµένου ορθογωνίου) είναι M,δεξ. = 40x150 = 50x knmm Η διατοµή της δοκού έχει ροπή αδράνειας I = = 450 mm 4 1 Οι παραπάνω ροπές προκαλούν ορθές τάσεις σ αριστ. = και σ δεξ. = όπου για το σκιασµένο ορθογώνιο είναι Οι τάσεις αυτές γίνονται µέγιστες (εφελκυστικές) στην κάτω ίνα ( = -150 mm) και µηδενίζονται στις πάνω κορυφές του ορθογωνίου ( = 0). Οι µέγιστες τιµές είναι σδεξ. max 1.7 MPa. σ αριστ. max =1 MPa και H τέµνουσα δύναµη στις διατοµές x =0 mm και x =150 mm προκαλεί διατµητικές τάσεις ( 150 ) V S V τ x = = όπου για το σκιασµένο ορθογώνιο είναι It I Οι τάσεις αυτές γίνονται µέγιστες για =0 και ίσες µε ( 150 ) = 1 40 τπ ά νω = MPa 450 ενώ µηδενίζονται (µειούµενες παραβολικά) για =-150 mm. Τελικά, η κατανοµή των τάσεων στο σκιασµένο ορθογώνιο έχει ως εξής:

9 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΚΕΦ. -11) 9 1 MPa 1 MPa 1 MPa 1 MPa 1.7 MPa ΑΣΚΗΣΗ 5 Η ορθογωνική διατοµή του σχήµατος (πλάτους 0 mm και ύψους 150 mm) καταπονείται σε θετική ροπή κάµψης (ως προς τον ισχυρό άξονα) µεγέθους 1 knm. Υπολογίσατε (α) τη συνολική θλιπτική δύναµη C στη σκιασµένη επιφάνεια στο άνω τµήµα της διατοµής και (β) τη συνολική εφελκυστική δύναµη T στην µικρή σκιασµένη επιφάνεια κάτω-δεξιά του µέσου της διατοµής. (To υλικό θεωρείται γραµµικά ελαστικό). 0 mm H κατανοµή των ορθών τάσεων στη διατοµή είναι: σ =5 σ =75 C T σ = Ροπή αδράνειας: I = = mm 1 1 σ = 75 = 75 = 4. 7 MPa σ MPa = 5 = 5 = σ = 5 = ( 5) = 14. MPa ( 14.) 1 C = 50 0 = 14. kn T = = kn

10 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΚΕΦ. -11) 0 ΑΣΚΗΣΗ Μια αµφιέρειστη ξύλινη δοκός ορθογωνικής διατοµής πλάτους b = 150 mm και ύψους h = 00 mm φορτίζεται µε συγκεντρωµένη δύναµη P στο µέσον του ανοίγµατος. Το υλικό της δοκού έχει γραµµικά ελαστική συµπεριφορά σε εφελκυσµό και εφελκυστική αντοχή f t = 50 MPa, ενώ σε θλίψη µπορεί να θεωρηθεί ως ελαστοπλαστικό µε αντοχή (τάση διαρροής ) f c = 5 MPa. To µέτρο ελαστικότητας του ξύλου είναι GPa (ίδιο σε εφελκυσµό και θλίψη). Να υπολογίσετε: τη µέγιστη δύναµη P max που µπορεί να παραλάβει η δοκός έως ότου καταρεύσει. P f t σ ε L = m f c Κατ αρχήν κατασκευάζεται το διάγραµµα ροπών κάµψης, ώστε να προκύψει η διατοµή στην οποία θα γίνει η αστοχία του υλικού της δοκού (κρίσιµη διατοµή). ιάγραµµα ροπών κάµψης Μ M,max = PL/4 Ακολούθως δηµιουργείται η κατανοµή των τάσεων στην κρίσιµη διατοµή κατά την αστοχία (κατάρρευση) της δοκού. Λόγω της ανελαστικής συµπεριφοράς του υλικού, ο ουδέτερος άξονας δεν βρίσκεται στο µέσον του ύψους της διατοµής, αλλά σε θέση τέτοια ώστε η συνισταµένη θλιπτική δύναµη στη διατοµή F c (δηλ. το άθροισµα των τάσεων πάνω από τον ουδέτερο άξονα, στη θλιβόµενη περιοχή) να ισούται µε την συνισταµένη εφελκυστική περιοχή). F t (άθροισµα τάσεων κάτω από τον ουδέτερο άξονα, στην εφελκυόµενη f c x x ο _ F c _ h Ουδ. άξονας b f t ιατοµή Τάσεις Παραµορφώσεις F t

11 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΚΕΦ. -11) 1 1 Συνισταµένη των εφελκυστικών τάσεων στη διατοµή: Ft = ft ( h x) b x x Συνισταµένη των θλιπτικών τάσεων στη διατοµή: F o c = fcb Εξισώνοντας τις παραπάνω ποσότητες (εφαρµόζοντας δηλαδή την συνθήκη ισορροπίας των εσωτερικών δυνάµεων στη διατοµή) θα µπορούσε να προκύψει η θέση του ουδέτερου άξονα x, αρκεί να απαλειφθεί η άγνωστη ποσότητα x o. Για να επιτευχθεί αυτό θα προσπαθήσουµε να εκφράσουµε το x o συναρτήσει άλλων γνωστών ποσοτήτων (αλλά και του x ), βάσει γεωµετρικών σχέσεων που προκύπτουν από οµοιότητα τριγώνων. Έτσι έχουµε: fc ft = x xo h x xo (ft = fc )x fch ft Ισορροπία εσωτερικών δυνάµεων στη διατοµή δίνει αντικαθιστώντας για το x o έχουµε τελικά: x x o 1 fcb = ft ( h x ) b και ft f c f f 0.5 x = c t h = 00 = ft f c 0.5 fc ft mm και άρα x o =.7 mm Στη συνέχεια υπολογίζουµε τη ροπή των εσωτερικών δυνάµεων, λαµβάνοντας ροπές ως προς οποιοδήποτε σηµείο της διατοµής. Έτσι, αν π.χ. οι ροπές υπολογισθούν ως προς την ακραία θλιβόµενη ίνα έχουµε: F c F t M = F t Fc όπου F c = F t =. 7 kn, συνεπώς M = knm Τέλος, εξισώνοντας την παραπάνω τιµή ροπής µε την υπολογισθείσα από το διάγραµµα ροπών ( PL / 4) υπολογίζουµε το φορτίο αστοχίας της δοκού: P / 4 = 41.7 P = 8.4 kn

12 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΚΕΦ. -11) ΑΣΚΗΣΗ 7 Στη διατοµή του παρακάτω σχήµατος δρα θλιπτική δύναµη 50 kn στο σηµείο Α που βρίσκεται 0 mm πάνω και 0 mm δεξιά από το κέντρο βάρους (C). Να υπολογίσετε τη µέγιστη εφελκυστική τάση και πάνω Α 80 mm στο σχήµα να σηµειώσετε πού αυτή αναπτύσσεται. Το υλικό συµπεριφέρεται γραµµικά ελαστικά. B C 0 Η απόσταση c του κέντρου βάρους από την πάνω ίνα της διατοµής είναι c = = mm A = = I = 1 mm = I = = 90 mm Οι άξονες του σχήµατος εκτός από κεντροβαρικοί είναι και κύριοι (ο είναι άξονας συµµετρίας). Τα εντατικά µεγέθη στη διατοµή είναι Ν = -50x N, M = 50x x0 = 1.5x Nmm και M = 50x x0 = 1.0x Nmm. N M M σ x = = - A I I Η εφελκυστική τάση είναι µέγιστη για = -.8 mm και = 0 mm (σηµείο B της διατοµής): σ B = MPa. ΑΣΚΗΣΗ 8 Η µεταλλική δοκός του παρακάτω σχήµατος φορτίζεται µε κατακόρυφο οµοιόµορφα κατανεµηµένο φορτίο q = kn/m και οριζόντια συγκεντρωµένη δύναµη P =5 kn σε

13 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΚΕΦ. -11) απόσταση 1.0 m από την πάκτωση. H διατοµή της δοκού είναι λεπτότοιχη ορθογωνική, συµµετρική ως προς τον άξονα, µε πλάτος b = mm, ύψος h (x) = 180 mm στη θέση της πάκτωσης, µειούµενο γραµµικά στα mm στο ελεύθερο άκρο (εξωτερικές διαστάσεις), πάχος κορµών mm και πάχος πελµάτων 8 mm. Ο άξονας (x) της δοκού είναι οριζόντιος. Η δύναµη P διέρχεται από το µέσον του πάχους του κάτω πέλµατος της διατοµής στην οποία ασκείται. ιατοµή στη θέση εφαρµογής της δύναµης P q q 1.0 m L=1.7 m P x P mm mm Ζητείται: (α) Να προσδιορισθεί η µέγιστη εφελκυστική και η µέγιστη θλιπτική τάση στη διατοµή της στήριξης. (β) Η φορά και το µέγεθος της διατµητικής τάσης στο µέσον κάθε πέλµατος και κάθε κορµού στη διατοµή της στήριξης. Κατ αρχήν γίνεται η εξαγωγή των διαγραµµάτων ροπών και τεµνουσών. ql / = knm q = kn/m x PL 1 = 5 knm L 1 = 1 m P = 5 kn x ql = 17 kn Αντιδράσεις Αντιδράσεις P = 5 kn knm M = -ql / qx /qlx _ ιάγραµµα ροπών κάµψης Μ ιάγραµµα ροπών κάµψης Μ 5 knm M = PL 1 - Px ιάγραµµα τεµνουσών V ql = 17 kn ιάγραµµα τεµνουσών V P = 5 kn

14 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΚΕΦ. -11) 4 T = P(144.7/ 4) = 4 Nm T = 4 Nm x Αντίδραση ιάγραµµα ροπής στρέψης Τ T = 4 Nm (α) I = = 18. mm I = = 8.7 mm M M σ x = = I I Η εφελκυστική τάση είναι µέγιστη για = 90 mm και = 0 mm (σηµείο Α της διατοµής): σ = 4. MPa. A Η θλιπτική τάση είναι µέγιστη για = -90 mm και = -0 mm (σηµείο Β της διατοµής): σ = 4. MPa. B A B (β) Οι διατµητικές τάσεις λόγω V είναι πολύ µικρές στα πέλµατα και µέγιστες (µε φορά προς τα αρνητικά του ) στο µέσον των κορµών. Κατά (συντηρητική!) προσέγγιση µπορούµε να θεωρήσουµε ότι η V προκαλεί διατµητικές τάσεις µόνο στους δύο κορµούς, δηλαδή η διατοµή λειτουργεί περίπου ως ορθογωνική, µε πλάτος ίσο µε το άθροισµα των παχών των κορµών ( = 1 mm) και ύψος ίσο µε 180 mm. 17 τ x = = 11.8 MPa Οµοίως, οι διατµητικές τάσεις λόγω V είναι πολύ µικρές στους κορµούς και µέγιστες (µε φορά προς τα αρνητικά του ) στο µέσον των πελµάτων. Και πάλι κατά προσέγγιση µπορούµε να θεωρήσουµε ότι η V προκαλεί διατµητικές τάσεις µόνο στα δύο πέλµατα,

15 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΚΕΦ. -11) 5 δηλαδή η διατοµή λειτουργεί περίπου ως ορθογωνική, µε πλάτος ίσο µε το άθροισµα των παχών των πελµάτων (88 = 1 mm) και ύψος ίσο µε mm. 5 τ x = =.9 MPa 1 ιατµητικές τάσεις λόγω στρέψης: Εµβαδόν της µέσης περιµέτρου, A m = (-)(180-8) = 1908 mm T 4 ιατµητική ροή, q = = = 8. 7 Ν/mm 1908 A m Οι διατµητικές τάσεις στα πέλµατα είναι 8.7/8 = 1.09 MPa και στους κορµούς 8.7/ = 1.45 MPa, µε φορά αριστερόστροφη. Τα αποτελέσµατα για τις διατµητικές τάσεις στο µέσον των πελµάτων και των κορµών συνοψίζονται στα παρακάτω σχήµατα. Λόγω V Λόγω V Λόγω T Συνολικά 1.09 MPa.81 MPa 11.8 MPa.9 MPa 1.45 MPa 1.45 MPa = 1.5 MPa.5 MPa 1.09 MPa 4.99 MPa ΑΣΚΗΣΗ 9 Η δοκός-πρόβολος του σχήµατος, µήκους L = m και διατοµής Τ µε κατακόρυφο άξονα συµµετρίας ( ), φορτίζεται µε συγκεντρωµένη δύναµη P = kn στο ελεύθερο άκρο. Η δύναµη σχηµατίζει γωνία θ = 0 o ως προς τον κατακόρυφο άξονα. Τα γεωµετρικά στοιχεία της διατοµής έχουν ως εξής: h = 500 mm, b = 400 mm, t f = 50 mm, t w = 40 mm. (α) Σε τι απόσταση s από την επάνω επιφάνεια της δοκού θα πρέπει να βρίσκεται το σηµείο εφαρµογής της δύναµης P (επάνω στον άξονα ) ώστε να µην προκύπτει στρεπτική καταπόνηση? (β) Θεωρώντας ότι δεν αναπτύσσεται στρέψη (δηλ. η δύναµη ασκείται στο σηµείο του προηγούµενου ερωτήµατος), να υπολογίσετε τη µέγιστη εφελκυστική και τη µέγιστη θλιπτική τάση, σ t, max και c, max σ, αντιστοίχως. (γ) Αγνοώντας τη στρέψη, να υπολογίσετε τη µέγιστη διατµητική τάση στον κορµό ( τ ) και τη µέγιστη διατµητική τάση στο πέλµα ( τ ). f, max w, max

16 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΚΕΦ. -11) b s t f h P θ P t w (α) Το κέντρο διάτµησης της διατοµής βρίσκεται στην τοµή πέλµατος κορµού, συνεπώς s = t f / = 5 mm. (β) Θεωρώντας ότι δεν αναπτύσσεται στρέψη, η δοκός καταπονείται σε διαξονική κάµψη: στο επίπεδο x λόγω της δύναµης P cosθ και στο επίπεδο λόγω της δύναµης P sinθ. Έτσι αναπτύσσονται µέγιστες ροπές κάµψης στη διατοµή της στήριξης ίσες µε M = ( P cosθ ) L = knm και M = ( P sinθ ) L = -4.5 knm. Εύρεση κέντρου βάρους και ροπών αδράνειας: Η απόσταση c του κέντρου βάρους από την πάνω ίνα της διατοµής είναι c = = 14.4 mm Κέντρο διάτµησης Α 14.4 mm Β. ο C (κέντρο βάρους) Οι άξονες του σχήµατος εκτός από κεντροβαρικοί Ουδέτερος άξονας είναι και κύριοι (ο είναι άξονας συµµετρίας) Β I = = 900 mm I = = 9 mm 4 1 1

17 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΚΕΦ. -11) 7 (Pcosθ)L Pcosθ (Psinθ)L Pcosθ x Αντιδράσεις Psinθ Psinθ x Αντιδράσεις (Pcosθ)L = 7.79 knm _ ιάγραµµα ροπών κάµψης Μ (Psinθ)L = 4.5 knm _ ιάγραµµα ροπών κάµψης Μ ιάγραµµα τεµνουσών V Pcosθ =. kn Psinθ = 1.5 kn ιάγραµµα τεµνουσών V _ Οι µέγιστες ορθές τάσεις αναπτύσσονται στη στήριξη, εκεί όπου οι ροπές είναι µέγιστες. Στη διατοµή αυτή είναι: M M σ x = = I I Η εφελκυστική τάση είναι µέγιστη για = 14.4 mm και = - 00 mm (σηµείο Α της διατοµής): σ MPa. t, max = Για την εύρεση της µέγιστης θλιπτικής τάσης θα γίνει πρώτα ο προσδιορισµός της θέσης του ουδέτερου άξονα. Στη διατοµή της στήριξης ο ουδέτερος άξονας προσδιορίζεται βάσει της γωνίας β : MI tanβ = = = 1. 9 β = M I o Πιθανά σηµεία για µέγιστη θλιπτική τάση είναι τα Β και Β. Στο σηµείο Β, για = 9.4 mm και = 00 mm είναι σ =. 54 MPa. B Στο σηµείο Β, για = mm και = 0 mm είναι σ B' =. 4 MPa. Άρα η µέγιστη θλιπτική τάση αναπτύσσεται στο σηµείο Β και είναι σ c, max =. 4 MPa.

18 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΚΕΦ. -11) 8 (γ) Οι διατµητικές τάσεις είναι ίδιες σε κάθε διατοµή (σταθερές τέµνουσες κατά µήκος του µέλους). Κατά προσέγγιση, δεδοµένου ότι το πέλµα και ο κορµός είναι µικρού πάχους, η τέµνουσα V προκαλεί µόνο κατακόρυφες διατµητικές τάσεις ( τ x ) στον κορµό και η τέµνουσα V προκαλεί µόνο οριζόντιες διατµητικές τάσεις ( τ x ) στο πέλµα. Ουσιαστικά η διατοµή συµπεριφέρεται ως το άθροισµα δύο ορθογωνικών διατοµών: µια κατακόρυφη (κορµός) για την τέµνουσα V και µία οριζόντια (πέλµα) για την τέµνουσα V. Έτσι η µέγιστη τάση στον κορµό είναι V. τ x, max = = MPa tw h και στο πέλµα V 1.5 τ, max x = = 0.11 MPa. tf b ΑΣΚΗΣΗ Θεωρήστε τη δοκό της Άσκησης 9, µε τη δύναµη P να ασκείται κατακόρυφα. Αν το υλικό της δοκού είναι ελαστοπλαστικό µε τάση διαρροής f = 500 MPa, να υπολογίσετε την τιµή της δύναµης P u που θα οδηγήσει τη δοκό σε πλαστική κατάρρευση. Η δοκός θα καταρρεύσει όταν η µέγιστη ροπή κάµψης (στην πάκτωση) γίνει ίση µε την πλαστική ροπή. Η ροπή στην πάκτωση είναι PL, συνεπώς η συνθήκη κατάρρευσης είναι P =. Η πλαστική ροπή της διατοµής υπολογίζεται κατ αντιστοιχία µε την ul M pl Άσκηση. Κατ αρχήν υποθέτουµε ότι ο πλαστικός ουδέτερος άξονας βρίσκεται στον κορµό. pl t f xbxf f Πλαστικός ουδέτερος άξονας t w x( pl -t f )xf t w x(h- pl )xf _ Κατανοµή ορθών τάσεων f

19 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΚΕΦ. -11) 9 Αποτέλεσµα των ορθών τάσεων στη διατοµή είναι µια θλιπτική δύναµη κάτω από τον πλαστικό ουδέτερο άξονα ίση µε t w ( h pl ) f και µια εφελκυστική δύναµη πάνω από τον ουδέτερο άξονα, η οποία είναι συνισταµένη της δύναµης στο πάνω πέλµα της διατοµής ( t b f ) και της δύναµης στο τµήµα του κορµού µεταξύ του πέλµατος και f του πλαστικού ουδέτερου άξονα [ t ( t ) f ]. Ισορροπία των δυνάµεων αυτών δίνει: w ( h pl ) f = tf b f tw ( pl tf f ( 500 ) 500 = ( 50) 500 = t w ) 40 pl pl pl 5 mm pl Όµως, η τιµή αυτή του pl υπολογίσθηκε βάσει της υπόθεσης πλαστικού ουδέτερου άξονα στον κορµό, δηλαδή 50 mm, συνεπώς η λύση δεν είναι αποδεκτή. Αυτό pl σηµαίνει ότι η αρχική υπόθεση ήταν εσφαλµένη, γιαυτό και στη συνέχεια θεωρούµε τον πλαστικό ουδέτερο άξονα στο πέλµα. f pl Πλ. ουδ. άξονας pl xbxf f (t f - pl )xbxf _ t w x(h-t f )xf Κατανοµή ορθών τάσεων f Αποτέλεσµα των ορθών τάσεων στη διατοµή είναι µια εφελκυστική δύναµη πάνω από τον πλαστικό ουδέτερο άξονα ίση µε pl b f και µια θλιπτική δύναµη κάτω από τον ουδέτερο άξονα, η οποία είναι συνισταµένη της δύναµης στον κορµό της διατοµής [ t w ( h tf ) f ] και της δύναµης στο τµήµα του πέλµατος µεταξύ του άνω τµήµατος του κορµού και του πλαστικού ουδέτερου άξονα ( t f pl ) b f. Ισορροπία των δυνάµεων αυτών δίνει: ( h tf ) f ( tf pl b f ( ) 500 (50 ) 400 = pl b f = tw ) = mm (<50 mm) pl pl pl Για την εύρεση της πλαστικής ροπής αρκεί να γίνει υπολογισµός της ροπής των παραπάνω εσωτερικών δυνάµεων ως προς οποιοδήποτε σηµείο της διατοµής. Λαµβάνοντας ροπές ως προς την ακραία εφελκυόµενη ίνα της διατοµής (άνω επιφάνεια) έχουµε:

20 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΚΕΦ. -11) /=.75 f 50-.5/= x400xf.5x400xf 75 _ 40x450xf f M pl = f f f.75 = 7.75 knm Τελικά, το φορτίο κατάρρευσης είναι: Pu = M pl / L = kn. ΑΣΚΗΣΗ 11 Να υπολογίσετε το φορτίο κατάρρευσης P u για τον πρόβολο του σχήµατος θεωρώντας υλικό µε ελαστοπλαστική συµπεριφορά και τάση διαρροής 400 MPa (ίση σε εφελκυσµό και θλίψη). Η διατοµή του προβόλου είναι τετραγωνική πλευράς b = 50 mm αλλά η κάµψη γίνεται ως προς µια εκ των διαγωνίων. P u m 50 mm ιατοµή Pu = M pl / L, εποµένως πρέπει να υπολογιστεί η πλαστική ροπή της διατοµής. _ f C=b f / Πλ. ουδ. άξονας T b f Κατανοµή ορθών τάσεων Αποτέλεσµα των ορθών τάσεων στη διατοµή είναι οι εσωτερικές δυνάµεις C και T πάνω και κάτω από τον πλαστικό ουδέτερο άξονα. Οι δυνάµεις αυτές έχουν σηµείο εφαρµογής στο κέντρο βάρους του κάθε τριγώνου πάνω και κάτω από τον πλαστικό ουδέτερο άξονα, ενώ ισχύει: 1 C = T = b b f

21 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΚΕΦ. -11) 41 b f b b Έτσι η πλαστική ροπή είναι M pl = = f = knm Τελικά, το φορτίο κατάρρευσης είναι P u =11.785/=5.89 kn ΑΣΚΗΣΗ 1 Το υλικό µιας δοκού ορθογωνικής διατοµής 0x180 mm χαρακτηρίζεται από τις σχέσεις τάσης - παραµόρφωσης του σχήµατος, δηλαδή είναι ελαστοπλαστικό µε διαφορετική τάση διαρροής σε εφελκυσµό (0 MPa) και θλίψη (00 MPa). Υπολογίσατε: (α) Tη ροπή διαρροής ( M ) της διατοµής. (β) Tη ροπή αστοχίας ( M ), δηλαδή τη µέγιστη ροπή u που µπορεί να παραλάβει η διατοµή). 0 mm 180 σ (MPa) ε Ροπή αδράνειας: I = 1 4 = 480 mm Κατανοµή τάσεων στην εκκίνηση της διαρροής: -0 MPa 0 = M 90 M 480 = 54 knm 0 MPa Κατανοµή τάσεων στην αστοχία: pl -00 MPa Προσδιορισµός του πλαστικού ουδέτερου άξονα από ισορροπία εσωτερικών δυνάµεων: pl 00 0 = (180 pl ) 0 0 pl = 0 mm 0 MPa

22 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΚΕΦ. -11) 4 Ροπές εσωτερικών δυνάµεων: 180 Mu = M pl = = 8 Nmm = 8 knm ΑΣΚΗΣΗ 1 Ο πρόβολος του σχήµατος φορτίζεται µε συγκεντρωµένη δύναµη P = Ν στο ελεύθερο άκρο. Υπολογίσατε τις τάσεις στα σηµεία Α και Β στις ακραίες ίνες της διατοµής σε απόσταση 0 mm από το ελεύθερο άκρο. Οι τάσεις αυτές να δειχθούν (σχεδιαστικά) στα απειροστά στοιχεία γύρω από τα σηµεία Α και Β. A P P = N B 0 0 mm 15 0 mm Στη διατοµή όπου είναι τα σηµεία A και Β είναι: M = P 0 = 00 Nmm, V = N, T = P = 0 Nmm Ροπές αδράνειας διατοµής: 4 ( )/ mm 4 ( )/1 155 mm I = = I = = Τάσεις λόγω κάµψης: 00 σ A = 0 ( = 0 ) σ B = 15 = 0. 7 MPa 155 Τάσεις λόγω τέµνουσας: Στο Α: ( ) τ A = = 0. 4 MPa Στο Β: τ B = 0

23 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΚΕΦ. -11) 4 Τάσεις λόγω στρέψης: 0 = τ A =τ B = = MPa 504 A m ( 0 )(0 ) = 504 mm Εντατική κατάσταση στα σηµεία Α και Β: MPa 0.05 MPa Α B 0.7 MPa ΑΣΚΗΣΗ 14 Ένας πρόβολος µε διατοµή αυτή του σχήµατος φορτίζεται στο ελεύθερο άκρο µε θλιπτική δύναµη P = 90 kn στο σηµείο Κ που βρίσκεται στο κέντρο βάρους του εξωτερικού ορθογωνίου. Η διατοµή του υποστυλώµατος είναι σύνθετη και αποτελείται από υλικά Α και Β µε µέτρο ελαστικότητας και 70 GPa, αντιστοίχως. Να υπολογίσετε την κατ απόλυτη τιµή µέγιστη τάση στη διατοµή. Α Β Κ mm 00 Κατ αρχήν γίνεται µετασχηµατισµός της διατοµής, έστω σε µια νέα διατοµή µε υλικό αναφοράς το Β. n A = /70 =. Το κέντρο βάρους της νέας διατοµής είναι: c = = 1 mm (από την πάνω ίνα της διατοµής) Κ mm Η δύναµη P δρα σε απόσταση 40 mm κάτω από το κέντρο βάρους, εποµένως το πρόβληµα ανάγεται σε κάµψη ως προς άξονα µε αξονική δύναµη. Είναι N = -90 kn και M = =. knm. Pοπή αδράνειας της διατοµής:

24 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΚΕΦ. -11) = = I mm 4 Εµβαδόν διατοµής: A = = 50 mm Ορθές τάσεις στο υλικό B: N M 90. σ x = = 190 mm A I Ορθές τάσεις στο υλικό A: N M 90. σ x = na = 1 mm A I Κατανοµή των τάσεων καθ ύψος της διατοµής: _ Υλικό Α Οι τάσεις σε όλη τη διατοµή είναι θλιπτικές. Η κατ απόλυτη τιµή µέγιστη τάση ισούται µε 5.1 ΜPa και αναπτύσσεται στην κατώτατη ίνα του υλικού Α _ Υλικό Β -.9 ΑΣΚΗΣΗ 15 Ο πρόβολος του σχήµατος αποτελείται από υλικό ελαστικό απόλυτα πλαστικό µε τάση διαρροής σε εφελκυσµό ίση µε f t =00 MPa και σε θλίψη f c =50 MPa. Η διατοµή του προβόλου έχει σχήµα ασύµµετρου διπλού ταυ. Να υπολογίσετε το φορτίο κατάρρευσης. b 1 =40 mm P t f =1 mm A m B t w =1 mm h 1 =180 mm t f =1 mm b = mm

25 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΚΕΦ. -11) 45 Ο πρόβολος θα καταρρεύσει όταν η µέγιστη ροπή κάµψης (στην πάκτωση) γίνει ίση µε την πλαστική ροπή. Η ροπή στην πάκτωση είναι PL, συνεπώς η συνθήκη κατάρρευσης είναι P =. Η πλαστική ροπή της διατοµής υπολογίζεται κατ αντιστοιχία µε την ul M pl Άσκηση. Κατ αρχήν υποθέτουµε ότι ο πλαστικός ουδέτερος άξονας βρίσκεται στον κορµό. pl T 1 = t f xb 1 xf t T =t w x( pl -t f )xf t Πλαστικός ουδέτερος άξονας f t C 1 =t w x(h 1 t f - pl )xf c _ C =t f xb xf c f c Κατανοµή ορθών τάσεων Αποτέλεσµα των ορθών τάσεων στη διατοµή είναι οι εφελκυστικές δυνάµεις T 1 και T στο άνω πέλµα και στο εφελκυόµενο τµήµα του κορµού, αντιστοίχως, καθώς επίσης οι θλιπτικές δυνάµεις C 1 και C στο θλιβόµενο τµήµα του κορµού και στο κάτω πέλµα, αντιστοίχως. Ισορροπία των δυνάµεων αυτών δίνει: T T = C1 C K 1 pl = mm > 1 mm, συνεπώς η λύση είναι αποδεκτή. Για την εύρεση της πλαστικής ροπής αρκεί να γίνει υπολογισµός της ροπής των παραπάνω εσωτερικών δυνάµεων ως προς οποιοδήποτε σηµείο της διατοµής. Λαµβάνοντας ροπές ως προς το σηµείο εφαρµογής της δύναµης T 1 (κέντρο βάρους του άνω πέλµατος) έχουµε: Mpl = fc ( ) 1 f c (180 ) ft ( ) =. 7 knm Τελικά, το φορτίο κατάρρευσης είναι: Pu = Mpl / L = 0. 5 kn ΑΣΚΗΣΗ 1 Για τον πρόβολο συνολικού µήκους L= m του σχήµατος υπολογίσατε (α) τη µέγιστη εφελκυστική και (β) τη µέγιστη διατµητική τάση. Η δύναµη P 1 στο ελεύθερο άκρο

26 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΚΕΦ. -11) 4 διέρχεται από το κέντρο βάρους της διατοµής και αυτή στο µέσο του µήκους ( P ) είναι παράλληλη στην κάτω ακραία ίνα της διατοµής. ιατοµή P = kn 1 m 1 m P 1 =8 kn 0 mm 180 mm Κέντρο βάρους, ροπές αδράνειας, κέντρο διάτµησης: Οι άξονες του σχήµατος εκτός από κεντροβαρικοί είναι και κύριοι (άξονες συµµετρίας). Το κέντρο βάρους είναι και κέντρο διάτµησης. A 8.47 ο C I = = 48. mm I = = 15 mm O πρόβολος καταπονείται σε διαξονική κάµψη και στρέψη. Η κάµψη γίνεται στο επίπεδο x λόγω της δύναµης P 1 και στο επίπεδο λόγω της δύναµης P. Η στρέψη προκαλείται λόγω της απόστασης των 90 mm της δύναµης P από το κέντρο διάτµησης. Έτσι, η φόρτιση του προβόλου αναλύεται ως ακολούθως:

27 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΚΕΦ. -11) 47 P 1 L P 1 P L/ P x x P P 1 Αντιδράσεις Αντιδράσεις 1 knm _ ιάγραµµα ροπών κάµψης Μ ιάγραµµα ροπών κάµψης Μ knm 8 kn ιάγραµµα τεµνουσών V kn ιάγραµµα τεµνουσών V T = kn x 0.09 m = 0.9 knm T = 0.9 knm x Αντιδράσεις ιάγραµµα ροπής στρέψης Τ 0.9 knm (α) Οι µέγιστες ορθές τάσεις αναπτύσσονται στη στήριξη, όπου οι ροπές είναι µέγιστες. Στη διατοµή της στήριξης είναι M M σ x = = I I Η εφελκυστική τάση είναι µέγιστη για = 90 mm και = 50 mm (σηµείο Α της διατοµής): σ =.9 MPa. A

28 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΚΕΦ. -11) 48 (β) Οι διατµητικές τάσεις είναι µέγιστες σε ολόκληρο το µισό του µήκους από τη στήριξη µέχρι το µέσον. Σε οποιαδήποτε διατοµή εντός του µήκους αυτού οι διατµητικές τάσεις έχουν την κατανοµή των παρακάτω σχηµάτων: τ x Β τ x Β τ max ιατµητικές τάσεις λόγω V ιατµητικές τάσεις λόγω V C ιατµητικές τάσεις λόγω T V 8 Η µέγιστη διατµητική τάση λόγω Vείναι τ x,max = = = 0. 7 MPa bh V Η µέγιστη διατµητική τάση λόγω Vείναι τ x,max = = = 0. 8 MPa bh Τέλος, η µέγιστη διατµητική τάση λόγω στρέψης είναι = T 0.9 τ max = =.08 αb h MPa ( α = 0. 4 για h / b = ) 180 Εκτιµώντας ότι η διατµητική τάση λόγω στρέψης στο σηµείο C είναι τουλάχιστον =0.1 MPa µικρότερη από τα.08 MPa, συνάγεται ότι η µέγιστη διατµητική τάση στη διατοµή αναπτύσσεται στο σηµείο B και ισούται µε =.75 MPa. ΑΣΚΗΣΗ 17 (α) Να βρεθεί η µέγιστη διατµητική τάση (θέση και µέγεθος) στη δοκό ΑΓ, όταν ενεργεί στο Γ ροπή στρέψης ίση µε 1 knm, στο Β ροπή στρέψης 8 knm και στο B συγκεντρωµένη δύναµη προς τα κάτω ίση µε 7 kn. H διατοµή της δοκού είναι λεπτότοιχη µε πάχος τοιχωµάτων ίσο µε 8 mm. (β) Να βρεθεί η στροφή του Γ ως προς το Α. (γ) Να βρεθεί η βύθιση στο σηµείο Γ. ίνεται E = GPa, G = 0 GPa.

29 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΚΕΦ. -11) 49 7 kn A B Γ ιατοµή 8 knm 1 knm m m 8 mm mm 0 mm ιαγράµµατα: Α _ Β Γ Ροπή M -1 knm 7 kn Τέµνουσα V Α Β Γ Α Β Γ _ -4 knm Ροπή στρέψης Τ -1 knm (α) Στο τµήµα ΑΒ αναπτύσσονται διατµητικές τάσεις λόγω V και λόγω T, ενώ στο τµήµα ΒΓ αναπτύσσονται διατµητικές τάσεις µόνο λόγω T. Οι διατµητικές τάσεις σε κάθε διατοµή του τµήµατος ΑΒ είναι ίδιες, όπως και αυτές σε κάθε διατοµή του τµήµατος ΒΓ, επειδή τα διαγράµµατα εµφανίζουν ίσες τιµές στα τµήµατα ΑΒ και ΒΓ. Τµήµα ΑΒ Λόγω στρέψης: A m = 9 15 = 1984 mm MPa TAB 4 τ = = = MPa A t m Λόγω τέµνουσας: I = = 1. mm

30 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΚΕΦ. -11) 50 Μέγιστη διατµητική τάση στο µέσο του ύψους της διατοµής, µε φορά προς τα κάτω και µέγεθος ( ) VS 7 τ x = = =.8 MPa I t Μέγιστη διατµητική τάση στο ΑΒ: = 1. MPa προς τα κάτω, στο µέσο του ύψους του δεξιού κορµού. Τµήµα ΒΓ Λόγω στρέψης: 5. MPa TΒΓ 1 τ = = = 5. MPa A t m Μέγιστη διατµητική τάση στο ΒΓ: 5. MPa σε οποιοδήποτε σηµείο της διατοµής. Αυτή είναι και η µέγιστη διατµητική τάση στη δοκό. 5. (β) φ Γ Τi L s i j TABL s AB j TBΓ LΒΓ = = i m j t A G j AmG j t 4 4 j 4AmG s t j j j 4 s j j = 1 t j = ( 0 8) ( 8) 8 8 = 1 ( 1984) ( 4 1 ) = φ Γ = rad 4 0 (γ) Υπολογισµός βύθισης στο Β µε τη µέθοδο επιφανειών καµπυλότητας: Ελαστική γραµµή _ ( / ) = 4000 mm 1 1. mm -1 Επιφάνειες καµπυλότητας

31 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΚΕΦ. -11) v Γ = = 45.5 mm 1. ΑΣΚΗΣΗ 18 Μία αµφιέρειστη για κάµψη (σε οποιοδήποτε επίπεδο) και αξονική καταπόνηση αλλά αµφίπακτη για στρεπτική καταπόνηση δοκός µήκους m έχει ορθογωνική διατοµή πλάτους b = 0 mm και ύψους h = 180 mm και φορτίζεται: (α) µε οµοιόµορφα κατανεµηµένο φορτίο q = 0. kn/m (προς τα κάτω), (β) µε οριζόντια δύναµη P 1 = 1 kn, η οποία δρα στο µέσον του µήκους, κάθετα στον άξονα της δοκού και σε απόσταση 0 mm από την πάνω ίνα της διατοµής. Θεωρώντας το υλικό της δοκού γραµµικά ελαστικό µε µέτρο ελαστικότητας E = 15 GPa και µέτρο διάτµησης G = 7 GPa, να γίνει: (1) Εύρεση της θέσης του ουδέτερου άξονα στη διατοµή του µέσου της δοκού. () Υπολογισµός της µέγιστης εφελκυστικής και της µέγιστης θλιπτικής τάσης (θέση και µέγεθος). () Εύρεση (ποιοτικά) της κατανοµής των διατµητικών τάσεων όπου αυτές είναι µέγιστες και της µέγιστης διατµητικής τάσης τ x (προς τα κάτω) (θέση και µέγεθος). (4) Υπολογισµός της µετακίνησης της διατοµής της δοκού στο µέσον του ανοίγµατος (χωρίς να γίνει χρήση έτοιµων τύπων). Ακολούθως, θεωρήσατε ότι πλέον των παραπάνω φορτίσεων, στη δοκό ασκείται και θλιπτική αξονική δύναµη P = 1.8 kn. Να γίνει: (5) Εύρεση της θέσης του ουδέτερου άξονα στη διατοµή του µέσου της δοκού. () Υπολογισµός της µέγιστης εφελκυστικής και της µέγιστης θλιπτικής τάσης (θέση και µέγεθος). Τέλος, θεωρήσατε ότι στο µέλος ασκείται µόνο αξονική δύναµη. (7) Να υπολογίσετε την θλιπτική αντοχή του υλικού του µέλους ώστε η αστοχία του να προκαλείται λόγω θραύσης (σύνθλιψης) του υλικού και όχι λόγω λυγισµού.

32 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΚΕΦ. -11) 5 q = 0. kn/m P m P 1 = 1 kn 1 m 0 mm (P = 1.8 kn) q 50 mm P 1 ΙΑΤΟΜΗ 180 mm Κέντρο βάρους, ροπές αδράνειας, κέντρο διάτµησης: 0 mm Β 8.47 ο C Οι άξονες του σχήµατος εκτός από κεντροβαρικοί είναι και κύριοι (άξονες συµµετρίας). Το κέντρο βάρους είναι και κέντρο διάτµησης. A Ουδ. άξονας I = = 48. mm I = = 15 mm Για τα ερωτήµατα (1)-(4) η δοκός καταπονείται σε διαξονική κάµψη και στρέψη. Η κάµψη γίνεται στο επίπεδο x λόγω του οµοιόµορφα κατανεµηµένου φορτίου q και στο επίπεδο λόγω της δύναµης P 1. Η στρέψη προκαλείται λόγω της απόστασης των 0 mm της δύναµης P 1 από το κέντρο διάτµησης. Έτσι, η φόρτιση της δοκού αναλύεται ως ακολούθως:

33 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΚΕΦ. -11) 5 q = 0. kn/m P = 1 kn x x ql/ = 0.1 kn Αντιδράσεις ql/ = 0.1 kn P/ = 0.5 kn P/ = 0.5 kn Αντιδράσεις ιάγραµµα ροπών κάµψης Μ ιάγραµµα ροπών κάµψης Μ M,max = ql /8 = 0.1 knm M,max = PL/4 = 0.5 knm ιάγραµµα τεµνουσών V ql/ = 0. kn ql/ = 0. kn - ιάγραµµα τεµνουσών V P/ = 0.5 kn - P/ = 0.5 kn T = 0 Nm T/ = 0 Nm x T/= 0 Nm Αντιδράσεις ιάγραµµα ροπής στρέψης Τ T/ = 0 Nm - T/ = 0 Nm (1) Στη µεσαία διατοµή της δοκού ο ουδέτερος άξονας προσδιορίζεται βάσει της γωνίας β : MI tanβ = = = 1. 0 β = 8.47 o MI

34 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΚΕΦ. -11) 54 () Οι µέγιστες ορθές τάσεις αναπτύσσονται στο µέσον του ανοίγµατος, εκεί όπου οι ροπές είναι µέγιστες. Στη διατοµή του µέσου είναι M M σ x = = I I Η εφελκυστική τάση είναι µέγιστη για = - 90 mm και = 50 mm (σηµείο Α της διατοµής): σ A = MPa. Η θλιπτική τάση είναι µέγιστη για = 90 mm και = - 50 mm (σηµείο Β της διατοµής): σb = MPa. () Οι διατµητικές τάσεις είναι µέγιστες στις διατοµές των στηρίξεων, όπου είναι µέγιστη η τέµνουσα V (η V και η T είναι σταθερές κατά µήκος της δοκού). Στην αριστερή στήριξη, για παράδειγµα, οι διατµητικές τάσεις έχουν την κατανοµή των παρακάτω σχηµάτων: τ x D τ x τ max D ιατµητικές τάσεις λόγω V ιατµητικές τάσεις λόγω V ιατµητικές τάσεις λόγω T Η διατµητική τάση τ x στη διατοµή της αριστερής στήριξης γίνεται µέγιστη το σηµείο D, όπου προστίθεται η µέγιστη τάση λόγω τέµνουσας V µε την µέγιστη τάση λόγω στρέψης: V ( T / ) 0. 0 τ x, max = = = = MPa bh αb h ( α = για h / b = ) (4) Μετατόπιση (προς τα αρνητικά του ) στο µέσον του ανοίγµατος λόγω κατακόρυφου φορτίου q (βλ. Παράδειγµα. για την απόδειξη του τύπου): 4 5qL 5 0. (000) v q = = = mm 84EI

35 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΚΕΦ. -11) 55 Μετατόπιση (προς τα θετικά του ) στο µέσον του ανοίγµατος λόγω οριζόντιου φορτίου P 1 (βλ. Παράδειγµα.4 για την απόδειξη του τύπου): P1 L 1 (000) v P = = = 0.74 mm 1 48EI Γωνία στροφής της µεσαίας διατοµής (αριστερόστροφη) λόγω της ροπής στρέψης T : ( T / )( L / ) 0 00 φ = = = 0.9 rad βb hg ( β = για h / b = ) (5) Για την εύρεση του ουδέτερου άξονα αρκεί να θέσουµε σ = 0. M N M σ x = = A I I , οπότε η εξίσωση του ουδέτερου άξονα είναι: = 0. Θέτοντας = 0 βρίσκουµε = mm, ενώ για = 0 βρίσκουµε = 48. mm. Β x C A Ουδ. άξονας () εδοµένου ότι η αξονική δύναµη είναι σταθερή κατά µήκος του µέλους, οι µέγιστες ορθές τάσεις αναπτύσσονται στο µέσον του ανοίγµατος, εκεί όπου οι ροπές είναι µέγιστες. Στη διατοµή του µέσου είναι σ M N M x = = A I I Βάσει του παραπάνω σχήµατος µε τη νέα θέση του ουδέτερου άξονα, η εφελκυστική τάση είναι µέγιστη και πάλι για = - 90 mm και = 50 mm (σηµείο Α): σ = MPa. A

36 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΚΕΦ. -11) 5 Οµοίως η θλιπτική τάση είναι µέγιστη για = 90 mm και = - 50 mm (σηµείο Β): σ B = 1.95 MPa. P (7) Το φορτίο αστοχίας για θραύση του υλικού είναι m = fc Pm = b h fc b h Για αστοχία λόγω λυγισµού είναι P cr θραύσης του υλικού έναντι λυγισµού αρκεί EImin L m P cr π =. Για να προηγηθεί αστοχία λόγω P, συνεπώς: b h fc π EI L fc π EI bhl π Ehb /1 π Eb = = bhl 1L (.14) 15 0 = 1 (000) = = 0.81 MPa ΑΣΚΗΣΗ 19 Ο κατακόρυφος στύλος του σχήµατος φορτίζεται µε συγκεντρωµένη οριζόντια δύναµη στο κέντρο βάρους ορθογωνικής πινακίδας, η οποία είναι στερεωµένη στο άνω τµήµα του. O στύλος είναι πακτωµένος στη βάση και έχει λεπτότοιχη τετραγωνική διατοµή πλευράς 0 mm (εξωτερική διάσταση) και πάχους mm. Να υπολογίσετε τη µέγιστη διατµητική τάση στο στύλο (θέση και µέγεθος). x 1 m mm P = 7.5 kn 5 m 0 mm 0 mm 7.5 knm 7.5 kn Η δύναµη P προκαλεί κάµψη και στρέψη. Μεταφέροντάς την στον άξονα του στύλου εµφανίζεται ροπή στρέψης 7.5x1 = 7.5 knm. 5 m

37 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΚΕΦ. -11) 57 ιαγράµµατα: 7.5 kn 7.5 knm - Τέµνουσα V Ροπή στρέψης Τ Όλες οι διατοµές καταπονούνται µε την ίδια τέµνουσα και την ίδια ροπή στρέψης. Σε µια τυχαία διατοµή, οι διατµητικές τάσεις είναι: Λόγω στρέψης: A m = = 440 mm 8.5 MPa T τ = A t m 7.5 = = MPa Λόγω τέµνουσας: I = - = 1.88 mm Μέγιστη διατµητική τάση στο µέσο του ύψους της διατοµής, µε φορά προς τα πάνω και µέγεθος V S 7.5 ( ) τx = = = MPa I t 1.88 MPa Συνεπώς η µέγιστη διατµητική τάση αναπτύσσεται στο µέσο του ύψους του δεξιού κορµού και ισούται µε 8.5 =.5 MPa. ΑΣΚΗΣΗ 0 Να προσδιορίσετε την ελαστική γραµµή αµφιέρειστης ελαστικής δοκού υπό ηµιτονοειδές φορτίο και τη βύθιση στο µέσον του ανοίγµατος. Το υλικό έχει µέτρο ελαστικότητας E και η διατοµή ροπή αδράνειας I.

38 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΚΕΦ. -11) 58 v q=q o sin(πx/l) A B x L EI ιαφορική εξίσωση ελαστικής γραµµής: 4 d v πx EI = qo sin 0 x L 4 dx L Μετά από διαδοχικές ολοκληρώσεις έχουµε: q L x EIv o π = cos C 1 π L q L x EIv o π = sin C 1x C π L q L x x EIv o π = cos C 1 Cx C π L 4 q L x x x EIv o π = sin C 4 1 C Cx C π L Συνοριακές συνθήκες: v ( 0) = 0, v ( 0) = 0, v ( L) = 0, v ( L) = 0. Από την συνθήκη v ( 0) = 0 βρίσκουµε C 0 και άρα από την συνθήκη v ( L) = 0 = προκύπτει C 1 = 0. Η σχέση v ( 0) = 0 δίνει C 4 = 0 και από τη σχέση v ( L) = 0 προκύπτει C = 0. Έτσι η εξίσωση της ελαστικής γραµµής γράφεται: 4 q L x v x o π ( ) = sin 4 π EI L Η βύθιση στο µέσον της δοκού υπολογίζεται από την παραπάνω σχέση για x = L / : v( L / ) = 4 ol 4 q π EI 4

39 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΚΕΦ. -11) 59 ΑΣΚΗΣΗ 1 Ο πρόβολος ABC του σχήµατος έχει ροπή αδράνειας I στο τµήµα ΑΒ και I στο τµήµα BC. Να υπολογισθεί το βέλος κάµψης ( v c ) και η κλίση ( θ c ) της ελαστικής γραµµής στο ελεύθερο άκρο C. Το υλικό του προβόλου είναι γραµµικά ελαστικό µε µέτρο ελαστικότητας E. P P A B C L L Η άσκηση θα λυθεί συνδυάζοντας τη µέθοδο επαλληλίας µε τη µέθοδο επιφανειών καµπυλότητας. (α) ύναµη Pστο σηµείο Β: PL _ Ελαστική γραµµή ιάγραµµα ροπών κάµψης _ LL/ PL/E(I) Επιφάνειες καµπυλότητας Κατ αντιστοιχία µε το Παράδειγµα.8, είναι: v 1 PL L 5PL C = L L = EI 1 EI θ C 1 PL PL = L = EI 4EI (β) ύναµη P στο σηµείο C:

40 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΚΕΦ. -11) 0 PL _ Ελαστική γραµµή ιάγραµµα ροπών κάµψης _ 4L/ L/ PL/E(I) PL/EI Επιφάνειες καµπυλότητας Και πάλι κατ αντιστοιχία µε το Παράδειγµα.8, είναι: v 1 PL 4L 1 PL L PL C = L L = EI EI EI θ C = 1 PL L EI 1 PL EI 5PL L = 4EI Αθροίζοντας, έχουµε: v 5PL PL PL C = = 1EI EI 1 EI θ C PL = 4EI 5PL 4EI PL = EI ΑΣΚΗΣΗ Οι δύο πρόβολοι ΑD και BF του σχήµατος έχουν την ίδια δυσκαµψία EI = 4x 1 Nmm και συνδέονται µε ράβδο CD µε εµβαδόν διατοµής A = 00 mm, µέτρο ελαστικότητας E = 00 GPa και µήκος 5 m. Να υπολογισθεί η προς τα κάτω µετατόπιση v D του σηµείου D λόγω συγκεντρωµένης δύναµης στο ελεύθερο άκρο του προβόλου BF P = 50 kn. Σηµείωση: Η βύθιση προβόλου µήκους L σε απόσταση x από το ελεύθερο άκρο για P δύναµη P στο ελεύθερο άκρο είναι v = (L L x x ). EI

41 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΚΕΦ. -11) 1 Ράβδος µήκους 5000 mm και διατοµής Α = 00 mm Η δύναµη P έχει ως αποτέλεσµα την ανάπτυξη εφελκυστικής δύναµης X στη ράβδο, που προκαλεί βύθιση v D στο σηµείο D του προβόλου AD αλλά και µήκυνση της ράβδου κατά ράβδου. Έτσι, η βύθιση στο σηµείο C του προβόλου BF ισούται µε τη βύθιση στο σηµείο D του προβόλου AD προσαυξηµένη κατά ράβδου : v C = vd ράβδου. Για την v D είναι Xa v D = ενώ η µήκυνση της ράβδου είναι EI H βύθιση v C οφείλεται αφενός στη δύναµη P, αφετέρου στην X. Xa P vc λ όγω X =, [ ( ) ( ) vc λ όγω P = - a - a a a ] EI EI XLCD ρ ά βδου =. AE v D v C ρ ά βδου v C

42 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΚΕΦ. -11) Τελικά έχουµε: Xa EI P EI Xa XLCD [ ( a) ( a) a a ] = EI AE P EI Xa Xa XLCD [ ( a) ( a) a a ] = EI EI AE X [ ( ) ( ) ( ) ] ( 000) = X X = 454 N και vd ( 000) 454 = 1 4 = 5.05 mm (δηλ. προς τα κάτω). ΑΣΚΗΣΗ Το αριστερό άκρο D της ελαστικής δοκού του σχήµατος είναι πακτωµένο σε κατακόρυφο τοίχο, ενώ το δεξιό συνδέεται µέσω ελαστικής ράβδου στο ακλόνητο σηµείο Α. Λόγω κατασκευαστικού λάθους, το περικόχλιο ( παξιµάδι ) στο σηµείο Β της ράβδου είναι χαλαρό, έτσι ώστε, όταν η δοκός είναι αφόρτιστη, να υπάρχει ένα κενό mm µεταξύ του άνω τµήµατος του περικοχλίου και του κάτω τµήµατος της δοκού. Η δοκός φορτίζεται µε δύναµη F, η οποία ασκείται σταδιακά, φθάνοντας µέχρι την τιµή των 50 kn. Να υπολογίσετε (θέση και µέγεθος): (α) τη µέγιστη εφελκυστική τάση στη δοκό όταν αυτή έρχεται σε επαφή µε το περικόχλιο. (β) Την εφελκυστική δύναµη στη ράβδο όταν η F γίνει ίση µε 50 kn. Η δοκός έχει συµµετρική διατοµή ως προς τον άξονα κάµψης, συνολικό ύψος διατοµής = 00 mm και ροπή αδράνειας Ι = 00x mm 4. Η ράβδος (ΑΒ) έχει εµβαδόν διατοµής Α = 00 mm. Η δοκός και η ράβδος είναι από χάλυβα, µε µέτρο ελαστικότητας E = 00 GPa. ίνεται ότι η βύθιση στο ελεύθερο άκρο προβόλου µήκους L για δύναµη P στο ελεύθερο άκρο είναι PL /EI. Στο ίδιο σηµείο, η κλίση της ελαστικής γραµµής είναι PL /EI. A F 4 m D C B mm L= m L= m περικόχλιο

43 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΚΕΦ. -11) (α) Πρώτα θα υπολογισθεί η τιµή της F, έστω F 1, για την οποία η δοκός έρχεται σε επαφή µε το περικόχλιο. F 1 D v C,1 θ C,1 C v B,1 = mm B F 1LCD F1 LCD 5F1 L Τότε θα είναι: v Β,1 = v C,1 θ C,1 L BC mm = LBC = mm EI EI EI 5F = mm F 1 =.7 N =.7 kn Για δύναµη F 1 η ροπή κάµψης είναι µέγιστη στην πάκτωση και ίση µε -.7x = -80 knm. Η µέγιστη εφελκυστική τάση που αντιστοιχεί στη ροπή αυτή αναπτύσσεται στην άνω ίνα της διατοµής της πάκτωσης και ισούται µε σ t,max 80 = = 40 MPa (β) Μετά την επαφή µε το περικόχλιο, η δύναµη F αυξάνεται από.7 kn στα 50 kn, ήτοι κατά F =. kn. Ταυτοχρόνως, λόγω της επαφής µε το περικόχλιο, το σηµείο B µετατοπίζεται προς τα κάτω κατά v B,. Η βύθιση v B, οφείλεται αφενός στη δύναµη F, αφετέρου στην (άγνωστη) δύναµη Χ που αναπτύσσεται στο σηµείο Β λόγω της αντίστασης που προβάλει η ράβδος ΑΒ. F Χ D C Β v Bλόγω F CD FL = EI CD FL EI L BC 5FL = EI (προς τα κάτω) v Bλόγω X = XL BD EI 8XL = EI (προς τα πάνω) Η µήκυνση της ράβδου λόγω της εφελκυστικής δύναµης Χ είναι XLAB EAAB

44 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΚΕΦ. -11) 4 Η µήκυνση αυτή ισούται µε τη συνολική προς τα κάτω µετατόπιση του σηµείου Β της δοκού λόγω F και X, δηλαδή τη v B,. 5FL 8XL Έτσι τελικά είναι - EI EI XLAB = EAAB X X 4000 = Χ = 709. Ν = 7.09 kn ΑΣΚΗΣΗ 4 Μία χάλυβδινη ράβδος µήκους 5 m και διατοµής mm είναι στερεωµένη µεταξύ του µέσου αµφιέρειστης δοκού και ακλόνητης στήριξης, όπως φαίνεται στο σχήµα. Προσδιορίσατε την κατακόρυφη µετατόπιση στο µέσον της δοκού λόγω πτώσης της θερµοκρασίας κατά 50 ο C. Για την ράβδο είναι: E = 00 GPa, α = 1x - / o C (συντελεστής θερµικής διαστολής). Η δοκός έχει ορθογωνική διατοµή πλάτους 80 mm και ύψους mm και το υλικό της έχει µέτρο ελαστικότητας Ε b = GPa. 1 m 1 m 5 m Έστω P η δύναµη στη ράβδο. προκαλώντας κατακόρυφη µετατόπιση Η δύναµη αυτή δρα στο µέσον της δοκού δοκ. Είναι v = ραβδ = δοκ. Pl ραβδ PL v = ραβδ = δοκ α δτ l ραβδ = EA 48EI P 5000 P = ( 80 /1) P = kn Έτσι τελικά είναι v = =. 7 mm 48 ( 80 /1)

45 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΚΕΦ. -11) 5 ΑΣΚΗΣΗ 5 P Μια απαραµόρφωτη (άκαµπτη) ράβδος µήκους L φέρει άρθρωση στη βάση και σε απόσταση a στηρίζεται πλευρικά από ελατήριο µε σταθερά k. Η ράβδος φορτίζεται αξονικά µε δύναµη P. Να προσδιορίσετε το κρίσιµο φορτίο P cr (δηλαδή το φορτίο που αντιστοιχεί στη µετάβαση από ευσταθή σε ασταθή ισορροπία). L k a Θεωρούµε ότι η ράβδος µετατοπίζεται πλευρικά κατά µία πολύ µικρή απόσταση ίση µε δ στο επάνω άκρο. Η δύναµη P προκαλεί ροπή ανατροπής P δ, ενώ η ροπή επαναφοράς της ράβδου µέσω του ελατηρίου στην αρχική κατάσταση είναι Fa. Εποµένως κατά τη µετάβαση της ράβδου από την ευσταθή στην ασταθή ισορροπία θα έχουµε: L δ P F = kδ(a/l) a Pδ = Fa = kδ ( a / L) a Pcr = ka / L ΑΣΚΗΣΗ Ένα αµφιαρθρωτό υποστύλωµα ορθογωνικής διατοµής µε λόγο πλευρών h : b = :1 έχει µήκος L = m και είναι κατασκευασµένο από γραµµικά ελαστικό υλικό µέτρου ελαστικότητας E = 0 GPa και θλιπτικής αντοχής f c = 0 MPa. Τo υποστύλωµα φορτίζεται σε κεντρική θλίψη µε δύναµη P = 0 kn. Θεωρώντας ότι οι αρθρώσεις στα άκρα του υποστυλώµατος είναι σφαιρικού τύπου, δηλαδή επιτρέπουν στροφή σε οποιοδήποτε επίπεδο, να υπολογίσετε τις απαιτούµενες διαστάσεις της διατοµής ώστε το υποστύλωµα να µπορεί να παραλάβει την θλιπτική δύναµη µε ασφάλεια. (α) Για αστοχία υλικού: P 0 fc 0 b. mm b h b b (β) Για αστοχία λόγω λυγισµού:

46 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΚΕΦ. -11) P cr π EI π 0 (b b /1) = P 0 b 4.71 mm L 000 Συνεπώς b mm και h = b ΑΣΚΗΣΗ 7 Το δικτύωµα ABC του σχήµατος φορτίζεται µε κατακόρυφη δύναµη P στον κόµβο Β. Το µέλος ΑΒ έχει µήκος L 1 και το µέλος BC έχει κυκλική διατοµή µε διάµετρο d. Θεωρώντας ότι κρίσιµη µορφή αστοχίας για το δικτύωµα είναι ο λυγισµός, να υπολογίσετε τη γωνία θ που αντιστοιχεί στο ελάχιστο δυνατό βάρος του µέλους BC. Α Β θ P C L 1 Το βάρος του µέλους BC ισούται µε την πυκνότητα του υλικού επί τον όγκο, εποµένως είναι ανάλογο της ποσότητας d ( L 1 / cosθ ). Το ζητούµενο λοιπόν, για σταθερό L 1, είναι η ελαχιστοποίηση της ποσότητας d / cosθ. Από ισορροπία του κόµβου Β, το µέλος BC φορτίζεται από θλιπτική δύναµη P / sinθ (ενώ η δύναµη στο µέλος ΑΒ είναι εφελκυστική). Συνεπώς, το δικτύωµα αστοχεί λόγω λυγισµού του µέλους BC, όταν η θλιπτική δύναµη γίνει ίση µε το φορτίο λυγισµού: P π EI π E( d / 4) 4 1 = = d d sinθ ( L / cosθ ) ( L / cosθ ) sinθ cos θ cosθ 1 sinθ Έτσι, η ποσότητα που πρέπει να γίνει ελάχιστη είναι 1 1 cosθ sinθ = cosθ cos θ 1 sinθ Ισοδύναµα, αρκεί να γίνει µέγιστη η αντίστροφη της παραπάνω ποσότητας, δηλαδή το cos θ sinθ. Παραγωγίζοντας ως προς θ έχουµε:

47 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΚΕΦ. -11) 7 1 ( cos θ sinθ ) = ( cos θ) sinθ cos θ( sinθ ) = cosθ( sinθ ) sinθ cos θ cosθ sinθ Τέλος, θέτοντας την τελευταία έκφραση ίση µε το µηδέν βρίσκουµε: cosθ( sinθ ) sinθ cos θ 1 cosθ = 0 cosθ sin sinθ ο 4sin θ = 1 sin θ sin θ = 0. θ =.57 1 θ cos θ = 0 4sin θ = cos θ ΑΣΚΗΣΗ 8 P Μια απαραµόρφωτη ράβδος µήκους L φέρει άρθρωση στη βάση και στηρίζεται πλευρικά από k L/ δύο ελατήρια µε σταθερά k στην κορυφή και k στο µέσον του ύψους. αξονικά µε δύναµη P. κρίσιµο φορτίο P cr. Η ράβδος φορτίζεται Να προσδιορίσετε το L k L/ Θεωρούµε ότι η ράβδος µετατοπίζεται πλευρικά δ P κατά µία πολύ µικρή απόσταση ίση µε δ στο επάνω άκρο. Η δύναµη P προκαλεί ροπή F 1 = kδ ανατροπής P δ, ενώ η ροπή επαναφοράς της ράβδου µέσω του ελατηρίου στην αρχική κατάσταση είναι F L F / ). Εποµένως κατά 1 ( L τη µετάβαση της ράβδου από την ευσταθή στην L F = (k)(δ/) ασταθή ισορροπία θα έχουµε: L P k L δ δ = δ k = Pcr kl =

48 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΚΕΦ. -11) 8 ΑΣΚΗΣΗ 9 Η αµφιαρθρωτή ελαστική ράβδος του σχήµατος έχει στα άκρα της ακλόνητες στηρίξεις. Να υπολογίσετε τη µεταβολή της θερµοκρασίας δ T ώστε η ράβδος να υποστεί λυγισµό. Η διατοµή της ράβδου είναι τετραγωνική πλευράς 0 mm, το µήκος της ράβδου είναι L =1 m και το υλικό έχει µέτρο ελαστικότητας E =00 GPa και συντελεστή θερµικής διαστολής α =1x - / o C. 1 m Για να υποστεί η ράβδος λυγισµό θα πρέπει λόγω αύξησης της θερµοκρασίας να αναπτυχθεί θλιπτική τάση ίση µε P cr / A, ήτοι α δτ Ε = P cr A π ΕΙ = δt AL = α Ι ΑL π 0 0 π 1 = 1 00 ( 0 0) = 7.4 ο C ΑΣΚΗΣΗ 0 Ο κατακόρυφος πρόβολος του σχήµατος φέρει στο ελεύθερο (άνω) άκρο υδατοδεξαµενή. Το µήκος του προβόλου είναι m και η διατοµή του είναι λεπτότοιχη κυκλική µε εσωτερική διάµετρο D εσ = 00 mm και πάχος τοιχώµατος mm. Το υλικό του προβόλου συµπεριφέρεται ελαστικά, έχει µέτρο ελαστικότητας Ε = 00 GPa και θλιπτική αντοχή f c = 400 MPa. Να υπολογίσετε πόσα κυβικά µέτρα νερού µπορεί να φέρει η δεξαµενή, ώστε ο πρόβολος να παραλαµβάνει το κατακόρυφο αξονικό φορτίο (λόγω του βάρους του νερού) µε συντελεστή ασφάλειας n =. m Εµβαδόν διατοµής: εξ εσ = πd πd π 0 π 00 A - = - = mm Ροπή αδράνειας: 4 εξ 4 εσ 4 4 = πd πd π 0 π 00 I - = - = mm 4 Έστω P η θλιπτική δύναµη που ασκεί η υδατοδεξαµενή στο άκρο του προβόλου. (α) Για αστοχία υλικού:

49 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΚΕΦ. -11) 9 P A fc n P = kn (β) Για αστοχία λόγω λυγισµού: 0.5 π EI 0.5 π P cr = np P P kn L 000 Συνεπώς η δεξαµενή µπορεί να φέρει κατά µέγιστο 88.5/9.81 = 9.4 m νερού.

50 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΚΕΦ. -11) 70