ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Ηµιαγωγοί και Ηµιαγώγιµες οµές (7 ο Εξάµηνο Σπουδών)

Transcript

1 ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Ηµιαγωγοί και Ηµιαγώγιµες οµές (7 ο Εξάµηνο Σουδών) η Σειρά Ασκήσεων //7 Ι. Σ. Ράτης Ειστροφή µέχρι //7. Η σχέση διασοράς για τη ζώνη αγωγιµότητας Ε c c () ενός κυβικού ηµιαγώγιµου υλικού κατά µήκος της διεύθυνσης [] του αντίστροφου χώρου στην οοία αρουσιάζει τοικό ελάχιστο και σε µικρές αοστάσεις γύρω α αυτό (µε είεδο αναφοράς (Ε) το µέγιστο της ζώνης σθένους) έχει τη µορφή : c( ) ( ) όου Ε και θετικές σταθερές και η µάζα του ελεύθερου ηλεκτρονίου. (α) ώστε τις µονάδες των Ε και και ροσδιορίστε τη θέση (στον αντίστροφο χώρο) και την τιµή του ελαχίστου της ζώνης αγωγιµότητας. (β) Αν η ζώνη σθένους του υλικού αρουσιάζει µέγιστο στο κέντρο της ζώνης Brillouin δείξτε ότι το υλικό αυτό έχει έµµεσο ενεργειακό χάσµα και ροσδιορίστε το µήκος κύµατος ου ρέει να έχουν οι λεγµατικές ταλαντώσεις (φωνόνια) ου θα µορούσαν να συµµετάσχουν σε µία οτική διέγερση ηλεκτρονίου αό το µέγιστο της ζώνης σθένους στο ελάχιστο της ζώνης αγωγιµότητας. (γ) Αν η θέση και η τιµή του ελαχίστου της ζώνης αγωγιµότητας r είναι αντίστοιχα ξ και in (όου < ξ < Ε > και η λεγµατική σταθερά) να υολογιστούν τα και συναρτήσει των ( ξ Ε). (δ) Να υολογιστούν η εγκάρσια και η διαµήκης µάζα του ηλεκτρονίου κοντά στο ελάχιστο της ζώνης αγωγιµότητας. (α) Οι διαστάσεις των και ροκύτουν αό την ααίτηση να έχει διαστάσεις ενέργειας (.χ. V) όλη η αράσταση c( ) ( ) [Ε ] V Εειδή: : καθαρός αριθµός άρα : [] [] [ ] Και [] [] καθαροί αριθµοί ια τα ακρότατα: V [ ] [ ] [ ] [ ] < για > για αρα : µεγιστο αρα : ελαχιστο

2 ου µηδενίζονται στα οότε : > άρα ελάχιστο Εοµένως σηµείο ελαχίστου: και για λόγους (κυβικής) συµµετρίας τα υόλοια (ισοδύναµα) σηµεία ελαχίστου στον αντίστροφο χώρο είναι τα: ± ± ± (β) Εειδή (κατά την εκφώνηση) το V είναι στο r v ενώ (σύµφωνα µε το ερώτηµα (α)) το in βρίσκεται σε r r έχουµε υλικό έµµεσου ενεργειακού χάσµατος. Προκειµένου να ειτευχθεί.χ. οτική διέγερση ηλεκτρονίου αό V σε in είναι ααραίτητη η συµµετοχή.χ.. µίας λεγµατικής ταλάντωσης ου θα εξασφαλίσει την αροχή κρυσταλλικής ορµής στο διεγειρόµενο ηλεκτρόνιο. Εειδή το κυµατάνυσµα του φωτονίου µίας.χ.. οτικής διέγερσης είναι αµελητέο σε σχέση µα τα όρια της ζώνης Brillouin όου εντοίζεται το in (η ακριβής θέση βέβαια εξαρτάται αό τις τιµές των σταθερών και ) η λεγµατική ταλάντωση ου θα µεσολαβήσει θα ρέει να έχει κρυσταλλική ορµή (κυµατάνυσµα) ίση µε q ponon ponon λ λ (γ) Αν ξ ξ () και () in ξ ξ Είσης: 8 ξ (δ) T T T

3 . Ένας ηµιαγωγός µε κυβική δοµή αδάµαντα και έµµεσο ενεργειακό χάσµα έχει το µέγιστο της ζώνης σθένους στο κέντρο της ζώνης Brillouin (όου θεωρούµε ότι V ()) και χαρακτηρίζεται αό τα εξής µεγέθη: i) στο κέντρο της ζώνης Brillouin (). V ii) κοντά σε ένα αό τα έξι ισοδύναµα ελάχιστα της ζώνης αγωγιµότητας ( ) Acos ( 9.8 n ) B cos( b ) cos( b ) όου Α.5 V B. V. /( A) ½ b. /( B) ½ και η µάζα του ελεύθερου ηλεκτρονίου. α) Προσδιορίστε το σηµείο του αντίστροφου χώρου ( ) όου η ζώνη αγωγιµότητας αρουσιάζει ελάχιστο ειβεβαιώστε ότι το υλικό έχει έµµεσο ενεργειακό χάσµα και υολογίστε την τιµή του g. β) Ποια είναι κατά τη γνώµη σας τα άλλα έντε (5) σηµεία του αντίστροφου χώρου όου η ζώνη αγωγιµότητας αρουσιάζει ισοδύναµα ελάχιστα. ώστε τις συντεταγµένες τους και εξηγείστε µε ειχειρήµατα συµµετρίας. γ) Ανατύξτε σε σειρά Tlor ως ρος την ενέργεια της ζώνης αγωγιµότητας κοντά σε ένα αό τα ισοδύναµα σηµεία του αντίστροφου χώρου όου αρουσιάζει ελάχιστο [ Υενθύµιση: cos(θ) -θ / για µικρές τιµές του θ] και υολογίστε την εγκάρσια και τη διαµήκη ενεργό µάζα του ηλεκτρονίου σε αυτές τις εριοχές της ζώνης Brillouin. και [ ( 9.8 )] n 9.8 n Asin A> ελάχιστο ( b ) bbsin Όµοια στο έχουµε ελάχιστο. (β) Άρα το και b Bcos( b ) b B> ελάχιστο in λαµβάνει χώρα στα εξής έξι (6) ισοδύναµα (λόγω κυβικής συµµετρίας) σηµεία ( ± 9.8 n ) ( ± 9.8 n ) ( 9.8 ) ± n και εειδή το V αρατηρείται στο r ( ) το υλικό έχει έµµεσο ενεργειακό χάσµα.. Η τιµή του ελαχίστου υολογίζεται σε ένα αό τα 6 ισοδύναµα σηµεία και βρίσκεται η τιµή του ενεργειακού χάσµατος g A B..5. V. [ ] V (γ) Ανατύσσοντας κατά Tlor στην εριοχή του ελαχίστου έχουµε: ( 9.8 n ) b b A B A. Όµοια A T Bb Οότε:.86 και.89 T

4 . Ενδογενής ηµιαγωγός µε δοµή αδάµαντα και λεγµατική σταθερά έχει µέγιστο της ζώνης σθένους στο κέντρο της ζώνης Brillouin (σηµείο ) και αρουσιάζει την εξής δοµή ζώνης-αγωγιµότητας: i) υάρχουν έξι (6) ελάχιστα στα 6 ισοδύναµα σηµεία Χ [στα όρια της ζώνης Brillouin κατά µήκος της διεύθυνσης () και των συµµετρικά ισοδυνάµων διευθύνσεων του αντίστροφου χώρου] µε ενέργεια Ε Χ ως ρος το µέγιστο της ζώνης σθένους ii) υάρχει είσης ένα τοικό ελάχιστο της ζώνης αγωγιµότητας στο σηµείο της ζώνης Brillouin µε ενέργεια Ε ως ρος το µέγιστο της ζώνης σθένουςκαι Ε >Ε Χ. Οι ενεργές µάζες των ελευθέρων ηλεκτρονίων στη ζώνη αγωγιµότητας είναι () () (). α) ώστε συναρτήσει του τις συντεταγµένες ( ) των 6 ισοδύναµων τοικών ελαχίστων Ε (Χ). β) Με ενεργειακό είεδο αναφοράς το µέγιστο της ζώνης σθένους γράψτε µία έκφραση για την ενέργεια των ηλεκτρονίων αγωγιµότητας ου έχουν κρυσταλλική ορµή ( ) τέτοια ώστε να ευρίσκονται ενεργειακά λίγο άνω αό το τοικό ελάχιστο Ε () γ) Μέ ενεργειακό είεδο αναφοράς το µέγιστο της ζώνης σθένους γράψτε µία έκφραση για την ενέργεια των ηλεκτρονίων αγωγιµότητας ου έχουν κρυσταλλική ορµή ( ) τέτοια ώστε να ευρίσκονται ενεργειακά λίγο άνω αό το τοικό ελάχιστο Ε (Χ) κοντά σε ένα αό τα 6 σηµεία της ερώτησης (α) το οοίο µορείτε να ειλέξετε ελεύθερα. δ) Ποια σχέση ρέει να ικανοοιούν τα µεγέθη () () () ώστε να υάρχει εερασµένη θερµοκρασία κατά την οοία οι υκνότητες ηλεκτρονίων στα ελάχιστα και Χ να εξισώνονται; ε) Στην ερίτωση ου ικανοοιείται η συνθήκη (δ) υολογίστε συναρτήσει των Ε Ε Χ () () () τη θερµοκρασία κατά την οοία εξισώνονται οι υκνότητες ηλεκτρονίων στα δύο ελάχιστα ( και Χ) της ζώνης αγωγιµότητας; (α)τα έξι ισοδύναµα ελάχιστα βρίσκονται στα σηµεία ± ± ± Αφού / είναι το όριο της ζώνης Brillouin µε την λεγµατική σταθερά. (β) Η δοµή ζώνης όως εριγράφεται στην άσκηση έχει την αρακάτω µορφή όου : το σηµείο του αντίστροφου χώρου και gp : το σηµείο Χ του αντίστροφου χώρου V (γ) Η ενέργεια των ηλεκτρονίων κοντά στο ελάχιστο (σηµείο: Χ) της ζώνης αγωγιµότητας γράφεται :

5 ) ( ) ( ) ( r (δ) Προκειµένου να εξισωθούν οι υκνότητες ηλεκτρονίων στα ελάχιστα Χ και ρέει T T T T T T όου M M οότε ln T M T. Εοµένως ροκειµένου να υάρχει Τ> ου να ικανοοιείται η ροηγούµενη σχέση ρέει ln > >. (ε) Στην ερίτωση ου ικανοοιείται η ροηγούµενη συνθήκη (ερώτηµα (γ)) η θερµοκρασία στην οοία εξισώνονται οι συγκεντρώσεις ηλεκτρονίων στα δύο ελάχιστα δίνεται αό τη σχέση ln T

6 A A A () () () () () () B B B. Στο διλανό σχήµα φαίνονται: i) ισοενεργειακές ειφάνειες Ε ()σταθ. γύρω αό το ελάχιστο της ζώνης αγωγιµότητας στον αντίστροφο χώρο ( ) για τρία ηµιαγώγιµα υλικά (Α Α Α) και ii) τρείς δοµές ζώνης (σχέσεις διασοράς Β Β Β) ου αντιστοιχούν στα ίδια υλικά ΑΛΛΑ ΟΧΙ ΜΕ ΤΗΝ Ι ΙΑ ΣΕΙΡΑ. iii) ια τα ίδια υλικά δίνονται στον αρακάτω ίνακα τιµές για τον αριθµό των ισοδυνάµων ακροτάτων και τις ενεργές µάζες ΜΕ ΤΗΝ ΣΩΣΤΗ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΑ. Si (Μ6) (Μ) As ( / ).9/.9.8/.6.7/.7 ( l / ).5/.5./..7/.5 (α) Α() (β) Β() (γ) (δ) Συµληρώστε τον Πίνακα γράφοντας κάτω αό κάθε στοιχείο (Si As) τη σωστή αντιστοιχία α) των ισοενεργειακών ειφανειών β) των σχέσεων διασοράς γ) την ενεργό µάζα υκνότητας καταστάσεων ηλεκτρονίων δ) την ενεργό µάζα υκνότητας καταστάσεων οών για κάθε υλικό. ε) Εξηγήστε τις τιµές Μ6 και Μ του Πίνακα. Si (Μ6) (Μ) As ( / ).9/.9.8/.6.7/.7 ( l / ).5/.5./..7/.5 (α) Α() Α Α Α (β) Β() Β Β Β (γ) (δ) (γ) M ( ) (δ) l (α) Αφού ο αριθµός των ισοδύναµων ελαχίστων της ζώνης αγωγιµότητας είναι Μ6 για το Si και Μ για το τότε στο Si αντιστοιχούν οι ισοενεργειακές ειφάνειες Α µε τα Μ6 ελλειψοειδή. Στο µε Μ αντιστοιχούν οι ισοενεργειακές ειφάνειες Α όου τα 8 ελλειψοειδή έχουν το κέντρο τους ακριβώς στα όρια της ζώνης Brillouin εοµένως συνεισφέρουν µόνο κατά το ήµισυ (Μ 8/ ) στην αγωγιµότητα. Η ισοενεργειακή ειφάνεια Α αρουσιάζει ένα µόνο ελάχιστο στο εοµένως αντιστοιχεί στο As για το οοίο δεν αναγράφεται αριθµός ισοδύναµων ελαχίστων (άρα Μ). (β) Με βάση τις ααντήσεις ου έχουν δοθεί στο ερώτηµα (α) οι σχέσεις διασοράς Β ου αρουσιάζουν ελάχιστο στο αντιστοιχούν στο As. Όµοια οι σχέσεις διασοράς Β ου αρουσιάζουν ελάχιστο κατά µήκος του άξονα () αντιστοιχούν στο ενώ οι Β ου αρουσιάζουν ελάχιστο κατά µήκος του άξονα () αντιστοιχούν στο Si.