Πρόλογος. αιώνα-. 1 Θεωρία Huygens 17 ος αιώνας-, Ηλεκτρομαγνητική Θεωρία του Maxwell μέσον 19 ου

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Πρόλογος. αιώνα-. 1 Θεωρία Huygens 17 ος αιώνας-, Ηλεκτρομαγνητική Θεωρία του Maxwell μέσον 19 ου"

Transcript

1 Πρόλογος Δυϊσμός (άλλως δυαδισμός, διαρχία): επιστημονικός και φιλοσοφικός όρος που δηλώνει (i) σε γενική έννοια κάθε διδασκαλία η οποία σε κάποιο τμήμα του επιστητού ή σε κάποιο θέμα οποιοδήποτε και αν είναι αυτό- παραδέχεται την ύπαρξη δύο αρχών κατ ουσίαν διαφορετικών, που δεν μπορεί να αναχθεί η μία στην άλλη (ii) σε μερική έννοια, κάθε κοσμοθεωρία που παραδέχεται την ύπαρξη δύο τελείως αναξαρτήτων μεταξύ τους πρωταρχικών αρχών. Ο δυϊσμός (λατινιστί dualismus) γεννήθηκε και αναπτύχθηκε για πρώτη φορά στην Ανατολή με την επίδραση της θρησκείας. Κατόπιν έγινε αποδεκτός εν ονόματι του λόγου και με χαρακτήρα καθαρά μεταφυσικό από τους Έλληνες φιλοσόφους και, τέλος, επανεμφανίσθηκε στη νεώτερη και τη σύγχρονη φιλοσοφία. Δυϊσμός είναι η θεωρία περί δυνάμεως και ενεργείας του Αριστοτέλους, η θεωρία του πνεύματος και της ύλης του Καρτεσίου, η θεωρία του θεού και της φύσεως (Dieu et la nature) των Βολταίρου και Ρουσσώ κ.α. Αντίθετος όρος του δυϊσμού είναι ο όρος μονισμός, ενισμός. Τον δυϊσμό τον συναντούμε και σήμερα ακόμη στο χώρο της Φυσικής, ιδιαιτέρως σε φαινόμενα για την εξήγηση των οποίων δεν έχει βρεθεί ακόμη μια ικανοποιητική θεωρία. Με δυϊσμό αντιμετωπίζεται ο χαρακτήρας του φωτός στην Οπτική. Σήμερα δεχόμαστε ότι το φως έχει κυματικό 1 και σωματιδιακό 2 χαρα- 1 Θεωρία Huygens 17 ος αιώνας-, Ηλεκτρομαγνητική Θεωρία του Maxwell μέσον 19 ου αιώνα-.

2 Πρ.2 Πρόλογος κτήρα. Δεχόμαστε τον κυματικό χαρακτήρα, όταν θέλουμε να εξηγήσουμε φαινόμενα παρουσιαζόμενα κατά τη διάδοση του φωτός, ενώ δεχόμαστε τον σωματιδιακό χαρακτήρα, όταν θέλουμε να εξηγήσουμε τα φαινόμενα που παρατηρούνται κατά την αλληλεπίδραση του φωτός με την ύλη. Με μια διττότητα αντιμετωπίζεται η μελέτη των σημάτων είτε αυτά είναι ακουστικά, είτε είναι ηλεκτρομαγνητικά. Τα σήματα μελετώνται στην περιοχή του χρόνου (time domain) και στην περιοχή της συχνότητας (frequency domain). Φαινόμενα που έχουν σχέση με το πλάτος, τη φάση, την κυματομορφή, τη συμβολή, το συντονισμό κ.λπ. αντιμετωπίζονται στην περιοχή του χρόνου, όπου το σήμα σχεδιάζεται σε ορθογωνίους άξονες πλάτος-χρόνος. Φαινόμενα που σχετίζονται με τις συχνοτικές ιδιότητες των σημάτων, την αρμονική τους δομή, την επεξεργασία τους με ηθμούς (=φίλτρα) κ.λπ. αντιμετωπίζονται στην περιοχή της συχνότητας, όπου το σήμα σχεδιάζεται σε ορθογωνίους άξονες στάθμη έντασης (db)-συχνότητα. Μπορούμε να μεταβούμε από την περιοχή του χρόνου στην περιοχή της συχνότητας λαμβάνοντας τον μετασχηματισμό Fourier του σήματος και, αντιστρόφως, μπορούμε να μεταβούμε από την περιοχή της συχνότητας στην περιοχή του χρόνου λαμβάνοντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier του φάσματος. Εντρυφώντας κι εμβαθύνοντας στην πραγματεία του Ευκλείδου «Κανόνος 3 Κατατομή» 4 διερωτήθηκα πολλές φορές γιατί ο Ευκλείδης αντιμε- 2 Θεωρία Newton 17 ος αιώνας-, Θεωρία των κβάντα ή των φωτονίων κατά τον Planck 20 ος αιώνας-. 3 Κανών είναι το μονόχορδο. Όργανο πειραματισμού και έρευνας των κανονικών, δηλαδή αυτών που στις μελέτες και τις έρευνές τους χρησιμοποιούσαν τον κανόνα.

3 Ο Δυϊσμός του μουσικού διαστήματος Πρ.3 τωπίζει την έννοια «μουσικό διάστημα» από δύο εντελώς διαφορετικές οπτικές. Μάλιστα δε διεπίστωσα ότι για την κάθε μια οπτική χρησιμοποιεί με μεγάλη αυστηρότητα για τα μουσικά διαστήματα εντελώς διαφορετική ορολογία. Αυτές τις δύο οπτικές αντιμετωπίσεως του μου- 4 Η «κανόνος κατατομή» είναι μια πυθαγόρεια πραγματεία πάνω στη σχέση που συνδέει μαθηματικές και ακουστικές αλήθειες, αποτελώντας, έτσι, τη βάση για την ακουστική επιστήμη του Δυτικού κόσμου. Είναι γραμμένη με το ίδιο ύφος που είναι γραμμένα τα «Στοιχεία» του Ευκλείδου και γι αυτό αποδίδεται σ αυτόν. Εάν ο Ευκλείδης είναι όντως ο συγγραφέας της πραγματείας, διότι κάποιοι το αμφισβητούν, αυτή θα πρέπει να έχει γραφεί γύρω ατο 300 π.χ. Το έργο διασώζεται από τρεις ξεχωριστές πηγές: 1. μια μεγάλης έκτασης έκδοση, που αποδίδεται στον Ευκλείδη ή στον Κλεωνείδη ή στον Ζώσιμο τον Πανοπολίτη, 2. μια συντομότερη Ελληνική έκδοση που εμπεριέχεται στο υπόμνημα του Πορφυρίου «εις τα αρμονικά Πτολεμαίου» και 3. μια Λατινική έκδοση που εμπεριέχεται στο έργο «De institutione musica του Βοηθίου. Μερικοί σχολιαστές αμφιβάλλουν, όσον αφορά στον ένα και μοναδικό συγγραφέα της πραγματείας, ακόμη και εάν γράφτηκε σε μία και μόνο περίοδο, εικασίες που ενθαρρύνονται από την πιθανότητα ο Πορφύριος και ο Βοήθιος να μη γνώριζαν την Κατατομή κανόνος ως ολότητα, με τη μορφή που έφθασε σε μας. Η κατατομή κανόνος με το Ευκλείδειο ύφος, τη σπονδυλωτή (κομματιαστή) και ουσιαστικά Πυθαγόρεια φύση αποτελεί έργο αναφοράς από την αρχαιότητα και έχει τραβήξει την προσοχή και το ενδιαφέρον πολλών μουσικολόγων, φιλολόγων, μαθηματικών και ιστορικών της επιστήμης. Έτσι, η κατατομή κανόνος έχει πολυμελετηθεί, αφού πρώτα πολυαντιγραφήθηκε. Πράγματι, σήμερα η μεγάλης έκτασης Ελληνική έκδοση σώζεται σε 32 χειρόγραφα αντίγραφα, η συντομότερη Ελληνική έκδοση, που εμπεριέχεται στο υπόμνημα του Πορφυρίου «εις τα αρμονικά Πτολεμαίου», σώζεται σε 52 χειρόγραφα αντίγραφα και, τέλος, η Λατινική έκδοση, που εμπεριέχεται στο έργο «De institutione musica του Βοηθίου, σώζεται σε περισσότερα από 130 χειρόγραφα αντίγραφα. Οι Karl von Jan (1895) και Heinrich Menge (1916) μεταφράζουν και εκδίδουν τη μεγάλης έκτασης Ελληνική έκδοση της κατατομής κανόνος. Ο Ingemar During (1930) εκδίδει τα αρμονικά του Πτολεμαίου και (1932) εκδίδει το σχολιασμό του Πορφυρίου. Ο Godofred Friedlein (1867) εκδίδει μια συλλογή έργων του Βοηθίου, εις την οποία συμπεριλαμβάνεται και το έργο De institutione musica. Πρέπει να σημειωθεί ότι σε καμιά έκδοση δεν ελήφθησαν υπ όψιν όλα τα υπάρχοντα χειρόγραφα του έργου.

4 Πρ.4 Πρόλογος σικού διαστήματος από τον Ευκλείδη ονόμασα «δυϊσμό του μουσικού διαστήματος», διότι είναι εντελώς διαφορετικές μεταξύ τους μη μπορώντας άμεσα, δηλαδή χωρίς κάποιον μετασχηματισμό, να συμπέσει η μία με την άλλη. Συγκεκριμένα στην πραγματεία «Κανόνος Κατατομή» ο Ευκλείδης α- σχολείται διεξοδικώτατα με τον δυϊσμό του μουσικού διαστήματος, αντιμετωπίζοντας το μουσικό διάστημα αφενός μεν ως μία σχέση δύο αριθμών προς αλλήλους 5, αφετέρου δε ως μία απόσταση μεταξύ δύο σημείων 6 επί του κανόνος. Η σχέση των δύο αριθμών προς αλλήλους εκφράζει το λόγο των μηκών δύο δονουμένων τμημάτων χορδής επί του κανόνος, τα οποία ακουστικά υλοποιούν το μουσικό διάστημα. Η απόσταση μεταξύ δύο σημείων επί του κανόνος εκφράζει το μήκος του σιγούντος (=μη ηχούντος) τμήματος χορδής μεταξύ των δύο πατημάτων (=τάστων) επί του κανόνος δια των οποίων υλοποιείται ακουστικά το μουσικό διάστημα. Σήμερα θα λέγαμε ότι η πρώτη αντιμετώπιση του μουσικού διαστήματος είναι «λογαριθμική», ενώ η δεύτερη ότι είναι «γραμμική». Η με τους λόγους αντιμετώπιση των μουσικών διαστημάτων είναι περισσότερον «εύπλαστη» κατά τη μαθηματική της επεξεργασία και προ- 5 Δύο σχόλια του Πορφυρίου στην περί της αρμονίας διδασκαλία του Πτολεμαίου άναφέρουν «καὶ τῶν κανονικῶν δὲ καὶ πυθαγορείων οἱ πλείους τὰ διαστήματα ἀντὶ τῶν λόγων λέγουσιν» και «τὸν λόγον καὶ τὴν σχέσιν τῶν πρὸς ἀλλήλους ὅρων τὸ διάστημα καλοῦσι» γεγονός που σημαίνει ότι στην Πυθαγόρειο μουσική θεωρία οι έννοιες «διάστημα» και «λόγος (αριθμητική σχέση ή αναλογία)» είναι ταυτόσημες. Αναλόγως εκφράζεται και ο Γεώργιος Παχυμέρης στην Τετράβιβλό του Περί Αρμονικής κεφ. ΙΒ, στίχος 10 «Σχέσις δὲ λόγος ἐν ἑκάστῳ διαστήματι μετρητικὸς τῆς ἐπιτάσεως». 6 Ο Νικόμαχος γράφει «διάστημα δ ἐστὶ δυοῖν φθόγγων μεταξύτης», όπου με τον όρο μεταξύτης εννοεί «ό,τι περιέχεται ή ό,τι βρίσκεται ανάμεσα» σε δύο σημεία. Παρομοίως εκφράζεται και ο Γεώργιος Παχυμέρης στην Τετράβιβλό του κεφ. ΙΒ, στίχος 9 «Διάστημα δὲ δὺο φθόγγων μεταξύτης».

5 Ο Δυϊσμός του μουσικού διαστήματος Πρ.5 τιμητέα από τους Μαθηματικούς. Η με τις αποστάσεις μεταξύ δύο σημείων αντιμετώπιση των μουσικών διαστημάτων είναι περισσότερον «κατανοητή» από τους μη κατέχοντες μαθηματικές γνώσεις μουσικούς εκτελεστές. Ο Ευκλείδης στην πραγματεία του «Κανόνος Κατατομή» επιλέγει να αντιμετωπίσει πρώτα 7 τα μουσικά διαστήματα ως σχέσεις 8 αριθμητικών δυάδων και τα εύφωνα διαστήματα εντός μιας οκτάβας τα ονομάζει «διπλάσιον» ( 2 =οκτάβα), 1 3 «ημιόλιον» ( =πέμπτη), 2 4 «επίτριτον» ( =τετάρτη», 3 9 «επόγδοον» ( = διάστημα τόνου). 8 Στη συνέχεια, προκειμένου να δείξει την ισχύν του δυϊσμού των μουσικών διαστημάτων, αντιμετωπίζει τα ίδια μουσικά διαστήματα ως αποστάσεις μεταξύ δύο σημείων επί του κανόνος 9, προσδίδει σε αυτά ονόματα «διαπασών», «διαπέντε», «διατεσσάρων», «τονιαίον» 7 Η αντιμετώπιση αυτή γίνεται στις Προτάσεις ς, ζ, η, θ. 8 Βλέπε στο Παράρτημα Ι περί της σχετικής ποσότητος. 9 Η αντιμετώπιση αυτή γίνεται στις Προτάσεις ι, ια, 12, 13, 14, 15, 16.

6 Πρ.6 Πρόλογος και στην Πρόταση 12 μας καθιστά γνωστή την ακόλουθη αντιστοίχιση των ονομάτων των τεσσάρων προμνημονευθέντων μουσικών διαστημάτων από τη δυϊκή αντιμετώπιση αυτών 10 : 10 Θεώρησα καλό να παραθέσω στη συνέχεια τις διάφορες δυϊκές εκφράσεις από την πραγματεία του Ευκλείδου «Κανόνος Κατατομή» περί των διαστημάτων δίδοντας εντός παρενθέσεως τον αριθμό της Προτάσεως και τους αριθμούς των στίχων εντός της εν λόγω Προτάσεως, όπου συναντώνται οι συγκεκριμένες εκφράσεις. TÕ dipl sion di sthma k dúo tîn meg stwn pimor wn sunšsthken, œk te toà ¹miol ou kaˆ k toà pitr tou. (Πρόταση γ, 1-3) ll' peid¾ tõ di pasîn sti dipl sion, tõ d dipl sion k tîn meg stwn pimor wn dúo sunšsthke, kaˆ tõ di pasîn ra x ¹miol ou kaˆ pitr tou sunšsthke taàta g r mšgista. sunšsthke d k toà di pšnte kaˆ k toà di tess rwn, Ôntwn pimor wn tõ mn ra di pšnte, peid¾ me zòn stin, ¹miÒlion n e h, tõ d di tess rwn p triton. (Πρόταση 12, 11-17) TÕ di tess rwn di sthma kaˆ tõ di pšnte k teron pimòriòn stin. (Πρόταση ια, 1-2) 'E n põ ¹miol ou diast»matoj p triton di sthma faireqí, tõ loipõn katale petai pògdoon. (Πρόταση η, 1-3) n d põ toà di pšnte tõ di tess rwn faireqí, tõ loipõn tonia Òn sti di sthma tõ ra tonia on di sthm stin pògdoon. (Πρόταση 13, 5-7) T έx pògdoa diast»mata me zon sti diast»matoj nõj diplas ou. (Πρόταση θ, 1-2) tõ ra di pasîn œlattòn stin έx tònwn. (Πρόταση 14, 1)

7 Ο Δυϊσμός του μουσικού διαστήματος Πρ.7 Διπλάσιον διαπασών ημιόλιον διαπέντε επίτριτον διατεσσάρων επόγδοον τονιαίον Αναφερόμενος στις οθόνες των ηλεκτρονικών υπολογιστών κατά τη διδασκαλία του μαθήματος «Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές» στους φοιτητές του Τμήματος Μουσικών Σπουδών του Πανεπιστημίου Αθηνών τονίζω με έμφαση ότι η ευκρίνεια μιας εικόνας στην οθόνη του υπολογιστού εξαρτάται από το μέγεθος των εικονοστοιχείων (pixels) της οθόνης. Ο αριθμός των εικονοστοιχείων στα οποία μπορεί να αναλυθεί μια οθόνη λέγεται ανάλυση (resolution) οθόνης ή διακριτική ικανότητα οθόνης και αποτελεί μέτρο της παραστατικής ικανότητας της οθόνης. Όσο πιο μικρό το μέγεθος των εικονοστοιχείων, τόσο καλύτερη η ευκρίνεια που παρέχει η οθόνη και τόσο πιο ζωντανή είναι η εικόνα στην οθόνη. Άρα με τη διαχείριση του μεγέθους των εικονο- 'Ek toà diplas ou diast»matoj kaˆ ¹miol ou tripl sion di sthma g netai. (Πρόταση ζ, 1-2) fanerõn d», Óti kaˆ tõ di pšnte kaˆ di pasîn tripl siòn stin. (Πρόταση 12, 27-28) 'Epimor ou diast»matoj oùdeˆj mšsoj, oüte eœj oüte ple ouj, n logon mpese tai riqmòj. (Πρόταση γ, 1-3) tõ ra tonia on di sthm stin pògdoon. (Πρόταση 13, 6-7) `O tònoj où diaireq»setai e j dúo sa oüte e j ple w. (Πρόταση 16, 1-2)

8 Πρ.8 Πρόλογος στοιχείων διαφοροποιούμε την ευκρίνεια, που παρέχει η οθόνη, με αντίκτυπο στην ποιότητα της εμφανιζόμενης εικόνας. Κατ αναλογία, το μέγεθος των ψηφίδων σε ένα ψηφιδωτό επειρεάζει την ομορφιά και τη ζωντάνια του ψηφιδωτού. Στη μουσική διαδικασία τον ρόλο των εικονοστοιχείων της οθόνης ή των ψηφίδων στο ψηφιδωτό παίζουν τα μουσικά διαστήματα. Πιστεύω ακραδάντως ότι είναι εξαιρετικά σημαντική η γνώση του «διαχειρίζεσθαι» τα μουσικά διαστήματα στη μουσική πρακτική και δεν εννοώ τα διαστήματα της Ευρωπαϊκής μουσικής ΜΟΝΟΝ, αλλά της όποιας «μουσικής» με το όποιο μέγεθος των μουσικών διαστημάτων της. Συνέγραψα το ανά χείρας βιβλίο με τίτλο «Ο ΔΥΪΣΜΟΣ ΤΟΥ ΜΟΥΣΙ- ΚΟΥ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ» με σκοπό αφενός μεν να διδάξω τους φοιτητές μου πώς να διαχειρίζονται τα μουσικά διαστήματα με την όποια από τις δύο οπτικές του Ευκλείδου και ιδιαίτερα τα διαστήματα της αρχαίας Ελληνικής μουσικής, αφετέρου δε να επιχειρήσω να μεταπείσω εκείνους που αυτήν τη γνώση «του διαχειρίζεσθαι τα μουσικά διαστήματα» τη θεωρούν περιττή και άνευ αξίας. Γι αυτούς παραθέτω την ακόλουθη αναφορά του Αριστείδου του Κοϊντιλιανού 11, που είναι σχετική με τη γνώση, τη διαχείριση και την εκτέλεση των μουσικών διαστημάτων των τετραχόρδων των τριών γενών της αρχαίας Ελληνικής μουσικής, δηλαδή του διατόνου, του χρώματος και του εναρμονίου:... toútwn d fusikèteron mšn sti tõ di tonon (p si g r kaˆ to j paideútoij pant pasi meljdhtòn sti), tecnikèteron d tõ crîma (par g r mònoij meljde tai to j pepaideumšnoiς), kribšsteron d tõ narmònion par g r to j pifanest toij n mousikí tetúchke paradocáj, to j d pollo j stin dúnaton Óqen pšgnws n tinej t¾n kat d esin meljd an, di t¾n aøtîn sqš- 11 Αριστείδης Κοϊντιλιανός: Περί Μουσικής, Βιβλίο 1, Παράγραφος 9, Στίχοι

9 Ο Δυϊσμός του μουσικού διαστήματος Πρ.9 neian kaˆ pantelîj melódhton enai tõ di sthma ØpolabÒntej. Το ανα χείρας βιβλίο απαρτίζουν τρία Κεφάλαια και τέσσερα Παραρτήματα. Το πρώτο Κεφάλαιο με την πρέπουσα τεκμηρίωση και μαθηματική ανάλυση αναφέρεται σ αυτόν καθαυτόν τον δυϊσμό του μουσικού διαστήματος, δηλαδή στο διάστημα ως λόγου μηκών και στο διάστημα ως μήκους, στη λογαριθμικότητα και στη γραμμικότητα του μουσικού διαστήματος, στον «Πυθαγορισμό» και στον «Αριστοξενισμό» του μουσικού διαστήματος. Παρουσιάζεται 1. η σπουδαιότητα του διαιρεμένου σε ίσα διαστήματα «κανόνα 12 (=μονοχόρδου)» στην κατανόηση του πώς προστίθενται και του πώς αφαιρούνται τα μουσικά διαστήματα και 12 Με μια επιπόλαιη ματιά ο γενικός σκοπός της πραγματείας «Κανόνος Κατατομή» εμφανίζεται να είναι η επιβολή με τη βοήθεια της θεωρίας των λόγων ενός συστήματος προσδιορισμού των μαθηματικών σχέσεων μεταξύ των φθόγγων της κλίμακας. Εκείνο που πρέπει με έμφαση να τονισθεί είναι το γεγονός ότι οι σχέσεις των μουσικών υψών των φθόγγων ΔΕΝ ΜΠΟΡΟΥΝ ΕΠΑΚΡΙΒΩΣ ΝΑ ΜΕΤΡΗΘΟΥΝ ΜΕ ΤΟ ΑΥΤΙ. Οι προσπάθειες των «αρμονικών (=θεωρητικών της μουσικής)» να επιβάλλουν μια ακουστική μονάδα μέτρησης των μουσικών διαστημάτων ΑΠΕΤΥΧΑΝ κυρίως διότι δεν αντελήφθηκαν τη λογαριθμικότητα στο μέτρο των μουσικών διαστημάτων και επέμεναν να τα αντιμετωπίζουν γραμμικά. Συνεπώς δεν βρήκαν καμμιά ξεκάθαρα προσδιορισμένη μεζούρα ακουστικών μετρήσεων. Κάποια στιγμή, όμως, αντελήφθησαν ότι, εάν επιδιώκεται η ακρίβεια στις μετρήσεις, θα πρέπει να βρεθεί κάποιος τρόπος μεταφοράς των σχέσεων των μουσικών υψών από τον χώρο τον ΑΚΟΥΣΤΟ στον χώρο τον ΟΠΤΙΚΟ, όπου μπορούν να πραγματοποιηθούν αποδεκτές μετρήσεις. Αυτό ακριβώς υλοποιείται με τον ΚΑΝΟΝΑ (=μονόχορδο). Δηλαδή λόγοι μουσικών υψών του ΑΚΟΥΣΤΟΥ χώρου- μεταφέρονται σε λόγους δονουμένων τμημάτων χορδής του ΟΠΤΙΚΟΥ χώρου-.

10 Πρ.10 Πρόλογος 2. η ονοματολογία των «συμφωνιών (=ευφώνων διαστημάτων)» στην κάθε μία οπτική του δυϊσμού. Στο δεύτερο Κεφάλαιο, που φέρει τον τίτλο «Η ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΟΥΣΙΚΑ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΑ ΗΧΟΥΝΤΑ ΤΜΗΜΑΤΑ ΧΟΡΔΗΣ» αντιμετωπίζεται το μουσικό διάστημα ως λόγος δονουμένων (=ηχούντων) μηκών χορδής, δηλαδή αντιμετωπίζεται ο λογαριθμικός χαρακτήρας του μουσικού διαστήματος. Εκτίθενται με την απόδειξή τους όλα τα θεωρήματα που αφορούν στην πρόσθεση, στην αφαίρεση μουσικών διαστημάτων, στον πολλαπλασιασμό μουσικού διαστήματος επί αριθμόν και στη διαίρεση ενός μουσικού διαστήματος σε ίσα διαστήματα (συγκερασμός). Επειδή ο λογαριθμικός χαρακτήρας του μουσικού διαστήματος δεν μπορεί να γίνει κατανοητός από τον νου του μουσικού εκτελεστή, ο οποίος έχει μάθει ότι τα μεγέθη αθροίζονται με πρόσθεση και όχι με πολλαπλασιασμό και η διαφορά τους προκύπτει με αφαίρεση και όχι με διαίρεση, εισάγεται η έννοια «μέγεθος» του μουσικού διαστήματος και παρουσιάζονται με τις αποδείξεις τους όλα τα θεωρήματα, που αφορούν στις πράξεις με μεγέθη μουσικών διαστημάτων. Για την πλήρη κατανόηση της ύλης παρατίθεται μια πληθώρα παραδειγμάτων και εφαρμογών με ιδιαίτερη αναφορά στους αρχαίους αρμονικούς. Στο τρίτο Κεφάλαιο 13, που φέρει τον τίτλο «Η ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΟΥ- ΣΙΚΑ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΑ ΜΗ ΗΧΟΥΝΤΑ ΤΜΗΜΑΤΑ 13 Όλα όσα αναφέρονται στο Κεφάλαιο αυτό είναι εντελώς πρωτότυπα και πρωτοδιετυπώθησαν από τον συγγραφέα του ανά χείρας βιβλίου το καλοκαίρι του 2002 με την ολοκλήρωση της πραγματείας του «ΕΥΚΛΕΙΔΟΥ Κανόνος Κατατομή, Ερμηνεία, Αποδείξεις και Σχόλια».

11 Ο Δυϊσμός του μουσικού διαστήματος Πρ.11 ΧΟΡΔΗΣ» αντιμετωπίζεται το μουσικό διάστημα ως ακίνητο (=μη ηχούν) μήκος χορδής ανάμεσα σε δύο πατήματα (=τάστα) του «κανόνος», δηλαδή αντιμετωπίζεται ο γραμμικός χαρακτήρας του μουσικού διαστήματος. Εκτίθενται με την απόδειξή τους όλα τα αντίστοιχα με το δεύτερο Κεφάλαιο θεωρήματα, που αφορούν στην πρόσθεση, στην αφαίρεση μουσικών διαστημάτων, στον πολλαπλασιασμό μουσικού διαστήματος επί αριθμόν και στη διαίρεση ενός μουσικού διαστήματος σε ίσα διαστήματα (συγκερασμός). Ο γραμμικός χαρακτήρας του μουσικού διαστήματος γίνεται εύκολα κατανοητός από τον νου του μουσικού εκτελεστή, διότι τα μεγέθη τώρα αθροίζονται με πρόσθεση και η διαφορά τους προκύπτει με αφαίρεση. Για την πλήρη κατανόηση της ύλης και αυτού του Κεφαλαίου παρατίθεται μια πληθώρα παραδειγμάτων και εφαρμογών με ιδιαίτερη αναφορά στους αρχαίους αρμονικούς. Επειδή τα μουσικά διαστήματα κατά την Πυθαγόρεια θεώρησή τους αντιμετωπίζονται ως λόγοι δύο αριθμών, ο συγγραφεύς θεώρησε χρήσιμη τη γνώση των αρχαίων περί της σχετικής ποσότητος (=λόγου). Στο Παράρτημα Ι αναφέρονται αναλυτικά τα είδη της μεγαλύτερης και της μικρότερης ανισότητος και η ονοματοδοσία τους. Έτσι, ο αναγνώστης μπορεί να αφενός μεν να ονοματοδοτεί τα πολλαπλάσια και τα υποπολλαπλάσια, τα επιμόρια και τα υποεπιμόρια, τα επιμερή και τα υποεπιμερή, τα πολλαπλασιεπιμόρια και τα υποπολλαπλασιεπιμόρια, τα πολλαπλασιεπιμερή και τα υποπολλαπλασιεπιμερή μουσικά διαστήματα, αφετέρου δε να αντλεί την πρέπουσα πληροφορία, όταν αυτά τα ονόματα τα συναντά στα κείμενα των αρχαίων Ελλήνων αρμονικών συγγραφέων.

12 Πρ.12 Πρόλογος Επειδή οι πράξεις με τα μουσικά διαστήματα κατά την Πυθαγόρεια θεώρησή τους αντιμετωπίζονται με πράξεις μεταξύ λόγων αριθμών, ο συγγραφεύς θεώρησε χρήσιμη τη γνώση των αρχαίων περί των Πυθαγορείων Αναλογικοτήτων ή Αναλογιών ή Μεσοτήτων. Στο Παράρτημα ΙΙ συμπεριελήφθη η Πυθαγόρεια γνώση (φιλοσοφική και μαθηματική) για δέκα αναλογίες, όσον αφορά στους δημιουργούς τους, στις ονομασίες τους, στις μαθηματικές τους σχέσεις και στις μαθηματικές τους ιδιότητες. Για την κάθε μία αναλογία δίδεται και μία τριάδα αντιπροσωπευτικών μικρών ακεραίων αριθμών, που την ικανοποιούν. Ιδιαίτερη έμφαση δίδεται σε τρεις από τις δέκα αναλογίες, την Αριθμητική, τη Γεωμετρική και την Αρμονική, οι οποίες λειτουργούν με δεσπόζοντα τρόπο στο χώρο της Μουσικής. Στο Παράρφτημα ΙΙΙ αναφέρεται το κατά τον Ιάμβλιχον Πυθαγόρειο πείραμα των χορδών (αρχαίο κείμενο και απόδοση στη νεοελληνική από τον συγγραφέα). Αναφέρεται η θεωρία Fourier περί αρμονικών και μη αρμονικών υπερτόνων των ήχων καθώς επίσης η θεωρία των χορδών από τη Φυσική, προκειμένου να ελεγχθεί το «πραγματοποιήσιμον» του εν λόγω Πυθαγορείου πειράματος. Με μία λεπτομερειακή ανάλυση του πειράματος με βάση τα Μαθηματικά και τη Φυσική ο συγγραφεύς το απορρίπτει ως μη δυνάμενο να υλοποιηθεί. Στο Παράρτημα IV, τέλος, συμπεριελήφθη η Ευκλείδειος μέθοδος της Ανταναιρέσεως ή της Ανθυφαιρέσεως με τις εφαρμογές της στο χώρο των Μαθηματικών (όσον αφορά στην εύρεση του Μεγίστου Κοινού Διαιρέτη δοθέντων αριθμών και στην απόδειξη ότι ο λόγος δύο δοθέντων αριθμών ή ευθυγράμμων τμημάτων ή περισσότερο πολυπλόκων γεωμετρικών αντικειμένων αποτελεί ρητό ή άρρητο αριθμό) και της Μουσικής (όσον αφορά στα δονούμενα και στα μη δονούμενα τμήματα χορδής των εγχόρδων μουσικών οργάνων).

13 Ο Δυϊσμός του μουσικού διαστήματος Πρ.13 Επιθυμώ να ευχαριστήσω την θυγατέρα μου Ελένη Χ. Σπυρίδου PhD, BSc (Hons) για την επιμέλεια του εξωφύλλου, των εσωφύλλων και όλων των σχημάτων του βιβλίου. Αθήνα 2004 Χαράλαμπος Χ. Σπυρίδης Καθηγητής Μουσικής Ακουστικής, Πληροφορικής Τμήματος Μουσικών Σπουδών Πανεπιστημίου Αθηνών

Ο δυισμός του μουσικύ διαστήματος

Ο δυισμός του μουσικύ διαστήματος Ο δυισμός του μουσικύ διαστήματος 1 Εισαγωγή Ο Νικόμαχος ο Γερασηνός στην πραγματεία του «Αριθμητική Εισαγωγή» αναφέρει ότι χαρακτηριστικά γνωρίσματα των όντων είναι το πλήθος και το μέγεθος. Το ορισμένο

Διαβάστε περισσότερα

«Μουσικό διάστημα: Μήκος ή λόγος μηκών;»

«Μουσικό διάστημα: Μήκος ή λόγος μηκών;» «Μουσικό διάστημα: Μήκος ή λόγος μηκών;» Η έννοια «διάστημα» ως σχέσεως δύο αριθμών προς αλλήλους. Η σχέση μεταξύ δύο αριθμών στη Πυθαγόρειο θεωρία της Μουσικής και σ αυτήν ακόμη την Κατατομή Κανόνος του

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη

ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη Ο ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ (572-500 ΠΧ) ΗΤΑΝ ΦΟΛΟΣΟΦΟΣ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΣ ΤΗΣ ΜΟΥΙΣΚΗΣ. ΥΠΗΡΞΕ Ο ΠΡΩΤΟΣ ΠΟΥ ΕΘΕΣΕ ΤΙΣ ΒΑΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ: Γνωριμία με την ΑΚΟΥΣΤΙΚΗ 1 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΘΕΩΡΙΑ 5. 1 ος ΘΕΜΑΤΙΚΟΣ ΑΞΟΝΑΣ: ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 7 Προσδοκώμενα αποτελέσματα 8

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ: Γνωριμία με την ΑΚΟΥΣΤΙΚΗ 1 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΘΕΩΡΙΑ 5. 1 ος ΘΕΜΑΤΙΚΟΣ ΑΞΟΝΑΣ: ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 7 Προσδοκώμενα αποτελέσματα 8 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ: Γνωριμία με την ΑΚΟΥΣΤΙΚΗ 1 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΘΕΩΡΙΑ 5 1 ος ΘΕΜΑΤΙΚΟΣ ΑΞΟΝΑΣ: ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 7 Προσδοκώμενα αποτελέσματα 8 1.1. Περιοδική κίνηση Περιοδικά φαινόμενα 9 1.2. Ταλάντωση - Ταλαντούμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΥΣΙΚΕΣ ΣΧΟΛΕΣ ΚΑΤΆ ΤΗΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΑ ΑΡΙΣΤΟΞΕΝΕΙΑ ΣΧΟΛΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΑ ΣΧΟΛΗ

ΜΟΥΣΙΚΕΣ ΣΧΟΛΕΣ ΚΑΤΆ ΤΗΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΑ ΑΡΙΣΤΟΞΕΝΕΙΑ ΣΧΟΛΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΑ ΣΧΟΛΗ ΜΟΥΣΙΚΕΣ ΣΧΟΛΕΣ ΚΑΤΆ ΤΗΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΑ ΑΡΙΣΤΟΞΕΝΕΙΑ ΣΧΟΛΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΑ ΣΧΟΛΗ ΑΡΙΣΤΟΞΕΝΕΙΑ ΣΧΟΛΗ Στον τομέα της μουσικής η έρευνα του Αριστόξενου ήταν επαναστατική. Παραμέρισε τις έρευνες των πυθαγορείων

Διαβάστε περισσότερα

Μουσική και Μαθηματικά!!!

Μουσική και Μαθηματικά!!! Μουσική και Μαθηματικά!!! Η μουσική είναι ίσως από τις τέχνες η πιο δεμένη με τα μαθηματικά, με τη μαθηματική σκέψη, από την ίδια τη φύση της. Η διατακτική δομή μπορεί να κατατάξει τα στοιχεία ενός συνόλου,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ - ΑΣΥΜΜΕΤΡΑ ΜΕΓΕΘΗ

ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ - ΑΣΥΜΜΕΤΡΑ ΜΕΓΕΘΗ Αναστασία Πέτρου Κωνσταντίνος Χρήστου Β 3 ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ - ΑΣΥΜΜΕΤΡΑ ΜΕΓΕΘΗ Ο Πυθαγόρας ο Σάμιος, υπήρξε σημαντικός Έλληνας φιλόσοφος, μαθηματικός, γεω μέτρης και θεωρητικός της μουσικής. Είναι ο κατεξοχήν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΑΚΟΥΣΤΙΚΗ II

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΑΚΟΥΣΤΙΚΗ II ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΑΚΟΥΣΤΙΚΗ II (Έκδοση 1.1, 12/10/2012) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1. ΤΟΝΙΚΟ ΥΨΟΣ ΚΑΙ ΧΡΟΙΑ... 1.1. Κλίμακες... 1.2 Διάκριση του τονικού ύψους... 1.3 Το τονικό ύψος των καθαρών τόνων... 1.4 Τονικό

Διαβάστε περισσότερα

Δυστυχώς, κάποτε, κάποιοι «αρμόδιοι» απεφάσισαν να μη διδάσκονται στο Λύκειο όλα τα πεδία της Φυσικής! Μεταξύ αυτών καταλέγεται και το πεδίο της

Δυστυχώς, κάποτε, κάποιοι «αρμόδιοι» απεφάσισαν να μη διδάσκονται στο Λύκειο όλα τα πεδία της Φυσικής! Μεταξύ αυτών καταλέγεται και το πεδίο της ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βιβλίο αυτό με τίτλο «Λυμένες Ασκήσεις Μουσικής Ακουστικής» απευθύνεται κυρίως στους φοιτητές μου στο Τμήμα Μουσικών Σπουδών του Εθνικού και Καποδιστριακού Πανεπιστημίου Αθηνών, στους φοιτητές

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Κατασκευή: Το μονόχορδο του Πυθαγόρα 2005-2006 Τόλιας Γιάννης Α1 Λ Υπεύθυνη Καθηγήτρια: Α. Τσαγκογέωργα Περιεχόμενα: Τίτλος Εργασίας Σκοπός Υπόθεση (Περιγραφή Κατασκευής) Ορισμός Μεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

Μουσική και Μαθηματικά

Μουσική και Μαθηματικά Μουσική και Μαθηματικά Πρόλογος Ορισμός μουσικής : Ως μουσική ορίζεται η τέχνη που βασίζεται στην οργάνωση ήχων με σκοπό τη σύνθεση, εκτέλεση και ακρόαση /λήψη ενός μουσικού έργου, καθώς και η επιστήμη

Διαβάστε περισσότερα

Δόμηση Χροών: Άλλο Θεωρία και άλλο πράξη

Δόμηση Χροών: Άλλο Θεωρία και άλλο πράξη Δόμηση Χροών: Άλλο Θεωρία και άλλο πράξη Κυρίες και κύριοι Σύνεδροι, στην Τετράβιβλο του Γεωργίου Παχυμέρη και συγκεκριμένα στο κεφάλαιο Ε μπορεί να διαβάσει κανείς για τα γένη των τετραχόρδων και τις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014 Εαρινό εξάμηνο 2014 18.03.14 Χ. Χαραλάμπους Πως ορίζονται αξιωματικά από το σύστημα των ρητών αριθμών οι πραγματικοί αριθμοί? Τομές του Dedekind (1831-1916) στους ρητούς: δημιουργία των άρρητων (αξιωματική

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα.

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. (2) Ποιοι είναι οι άρτιοι και ποιοι οι περιττοί αριθμοί; Γράψε από τρία παραδείγματα.

Διαβάστε περισσότερα

Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα

Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα Κ. Σ. Δ. Μ. Ο. Μ. Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα της Κάτω Ιταλίας. Η κοινότητα στεγαζόταν

Διαβάστε περισσότερα

Η ΟΜΗΡΙΚΗ ΛΕΞΙΚΟΓΡΑΦΙΑ & ΣΤΙΧΟΓΡΑΦΙΑ από τον πυλώνα των Ηλεκτρονικών Υπολογιστών

Η ΟΜΗΡΙΚΗ ΛΕΞΙΚΟΓΡΑΦΙΑ & ΣΤΙΧΟΓΡΑΦΙΑ από τον πυλώνα των Ηλεκτρονικών Υπολογιστών Η ΟΜΗΡΙΚΗ ΛΕΞΙΚΟΓΡΑΦΙΑ & ΣΤΙΧΟΓΡΑΦΙΑ από τον πυλώνα των Ηλεκτρονικών Υπολογιστών Επιμέλεια εκδόσεως: Χαράλαμπος Χ. Σπυρίδης Πάρου 33, 153 43 Αγία Παρασκευή, Τηλέφωνο και Τηλεομοιότυπο 210-6003066 e-mail

Διαβάστε περισσότερα

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Διδακτέα- Εξεταστέα ύλη Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η, Βλάμου Π., Κατσούλη Γ., Μαρκάκη

Διαβάστε περισσότερα

«Μουσικός Διανυσματικός Λογισμός»

«Μουσικός Διανυσματικός Λογισμός» «Μουσικός Διανυσματικός Λογισμός» Χαράλαμπος Χ. Σπυρίδης Καθηγητής Μουσικής Ακουστικής, Πληροφορικής Διευθυντής Εργαστηρίου Μουσικής Ακουστικής Τεχνολογίας, Τμήμα Μουσικών Σπουδών, Φιλοσοφική Σχολή, Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

2. ΤΟ ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ SYNTHESIS ΣΤΗΝ ΑΠΟ ΟΣΗ ΤΩΝ ΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ Η ΑΙΤΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΟΥ

2. ΤΟ ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ SYNTHESIS ΣΤΗΝ ΑΠΟ ΟΣΗ ΤΩΝ ΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ Η ΑΙΤΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΟΥ 2. ΤΟ ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ SYNTHESIS ΣΤΗΝ ΑΠΟ ΟΣΗ ΤΩΝ ΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ Η ΑΙΤΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΟΥ Tο σύστηµα γραφής που χρησιµοποιεί ο χρήστης στο πρόγραµµα Synthesis προσφέρει αρκετές από τις δυνατότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ ΣΧ. ΧΡΟΝΙΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ ΣΧ. ΧΡΟΝΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ ΣΧ. ΧΡΟΝΙΑ 2015-16 ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΥΧΟΣ Α ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΣΥΝΟΛΑ (Σελ. 25 42) Η Έννοια του Συνόλου Σχέσεις Συνόλων Πράξεις Συνόλων ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΑΡΙΘΜΟΙ (Σελ. 46 83)

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ

ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ ΤΙ ΡΩΤΑΜΕ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΤΙ ΜΑΣ ΑΦΗΓΕΙΤΑΙ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΠΩΣ ΜΑΣ ΤΟ ΑΦΗΓΕΙΤΑΙ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΣΥΝΘΕΣΗ: Οργάνωση ενός συνόλου από επιμέρους στοιχεία σε μια ενιαία διάταξη Αρχική ιδέα σύνθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Μουσικοθεωρητικό σύστημα - Αρμονική

Μουσικοθεωρητικό σύστημα - Αρμονική Μουσικοθεωρητικό σύστημα - Αρμονική Κλεονίδης, Εισαγωγή Αρμονική. Αρμονική εστίν επιστήμη θεωρητική και πρακτική. μέρη δε αυτής επτά. Περί φθόγγων Περί διαστημάτων Περί γενών Περί συστήματος Περί τόνου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α Τάξης Ημερησίου ΓΕΛ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α Τάξης Ημερησίου ΓΕΛ ΑΛΓΕΒΡΑ Α Τάξης Ημερησίου ΓΕΛ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ Ι. Εισαγωγή Το μάθημα «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων» περιέχει σημαντικές μαθηματικές έννοιες, όπως, της απόλυτης τιμής, των προόδων, της συνάρτησης κ.ά.,

Διαβάστε περισσότερα

Α. Κατασκευασμενοι Ρητοι λογοι

Α. Κατασκευασμενοι Ρητοι λογοι Α. ατασκευασμενοι Ρητοι λογοι Η διαδικασια κατασκευης είναι γνωστη εκ των προτερων, εμεις καθοριζουμε τα μηκη οπότε γνωριζουμε και τη σχεση μεγεθους. Α. 5 0 5 0 To ορθογωνιο εχει μηκος μοναδες και πλατος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ σε word! ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΤΣΟΛΚΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ σε word! ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΤΣΟΛΚΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ σε word! ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΤΣΟΛΚΑΣ Ένα «ανοικτό» αρχείο, δηλαδή επεξεργάσιμο που όλοι μπορούν να συμμετέχουν είτε προσθέτοντας είτε διορθώνοντας υλικό. Μετά

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

«Η διαίρεση του τόνου»

«Η διαίρεση του τόνου» ΣΧΟΛΗ ΒΥΖΑΝΤΙΝΗΣ ΜΟΥΣΙΚΗΣ ΑΓΙΑΣ ΜΑΡΙΝΗΣ ΑΝΩ ΙΛΙΣΙΩΝ Γ ΗΜΕΡΙΔΑ ΨΑΛΤΙΚΗΣ «Θέματα Θεωρίας της Ψαλτικής» «Η διαίρεση του τόνου» Μιχαήλ Φράγκος Σάββατο 23 Μαΐου 2015 ΜΙΧΑΗΛ ΦΡΑΓΚΟΣ Η διαίρεση του τόνου Ο προσδιορισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΚΛΕΙΔΟΥ: Κατατομή Κανόνος

ΕΥΚΛΕΙΔΟΥ: Κατατομή Κανόνος ΕΥΚΛΕΙΔΟΥ: Κατατομή Κανόνος Χαράλαμπος Χ. Σπυρίδης, Καθηγητής Μουσικής Ακουστικής, Πληροφορικής, Τμήμα Μουσικών Σπουδών, Πανεπιστήμιο Αθηνών, hspyridis@music.uoa.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στο Τμήμα Μουσικών Σπουδών

Διαβάστε περισσότερα

Ιστορία των Μαθηματικών

Ιστορία των Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 4: Διόφαντος και Αραβικά Μαθηματικά. Χαρά Χαραλάμπους ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ: 1. ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ: 1. ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2 ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ: 1. ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ. Μαθηματικά. Β μέρος

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ. Μαθηματικά. Β μέρος ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ 2 5 +32 17 2= 1156 Μαθηματικά Β μέρος 8 9 15 Δ=2 δ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας

Διαβάστε περισσότερα

Στ Τάξη. Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1

Στ Τάξη. Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1 Ενδεικτική Οργάνωση Ενοτήτων Στ Τάξη Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1 15 Αρ3.1 Απαγγέλουν, διαβάζουν, γράφουν και αναγνωρίζουν ποσότητες αριθμών Επανάληψη μέχρι το 1 000

Διαβάστε περισσότερα

Εαρινό εξάμηνο 2012 1.03.12 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ

Εαρινό εξάμηνο 2012 1.03.12 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ Εαρινό εξάμηνο 2012 1.03.12 Χ. Χαραλάμπους Ποια είναι τα χαρακτηριστικά των μαθηματικών των αρχαίων Αιγυπτίων? Υπάρχει διαχωρισμός ανάμεσα στις ακριβείς τιμές ποσοτήτων και στις προσεγγίσεις? Όλοι αυτοί

Διαβάστε περισσότερα

καλύπτει πολλά πεδία του επιστητού, ασχέτως του εάν στην Ελλάδα δεν διδάσκεται στο Λύκειο ως τμήμα της Φυσικής.

καλύπτει πολλά πεδία του επιστητού, ασχέτως του εάν στην Ελλάδα δεν διδάσκεται στο Λύκειο ως τμήμα της Φυσικής. ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ H ιστορία των μουσικών οργάνων είναι τόσο παλιά, όσο ο πολιτισμός του ανθρώπου. Το ενδιαφέρον των «επιστημόνων» για τα μουσικά όργανα χρονολογείται από την εποχή του Πυθαγόρα (τουλάχιστον)

Διαβάστε περισσότερα

5 ΠΡΟΟΔΟΙ 5.1 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ. Η έννοια της ακολουθίας

5 ΠΡΟΟΔΟΙ 5.1 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ. Η έννοια της ακολουθίας 5 ΠΡΟΟΔΟΙ 5.1 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Η έννοια της ακολουθίας Ας υποθέσουμε ότι καταθέτουμε στην τράπεζα ένα κεφάλαιο 10000 ευρώ με ανατοκισμό ανά έτος και με επιτόκιο 2%. Αυτό σημαίνει ότι σε ένα χρόνο οι τόκοι που

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Ιστορία των Μαθηματικών

Ιστορία των Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Τα Μαθηματικά στην αρχαία Ελλάδα. Χαρά Χαραλάμπους ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

Χημεία Γ Λυκείου Θετικής Κατεύθυνσης

Χημεία Γ Λυκείου Θετικής Κατεύθυνσης Χημεία Γ Λυκείου Θετικής Κατεύθυνσης Κεφάλαιο 1 Ηλεκτρονιακή δομή των ατόμων 1 Εισαγωγή Δομή του ατόμου Δημόκριτος Αριστοτέλης Dalton Thomson 400 π.χ. 350π.χ. 1808 1897 Απειροελάχιστα τεμάχια ύλης (τα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α.1. 1) Ποιοι φυσικοί αριθμοί λέγονται άρτιοι και ποιοι περιττοί; ( σ. 11 ) 2) Από τι καθορίζεται η αξία ενός ψηφίου σ έναν φυσικό αριθμό; ( σ. 11 ) 3) Τι

Διαβάστε περισσότερα

----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: Μαρούσι Ιστοσελίδα: Πληροφορίες: Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο:

----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: Μαρούσι Ιστοσελίδα:  Πληροφορίες: Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ, ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α -----

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ)

ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Α ΜΕΡΟΣ- ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΡΩΤΗΣΗ 1 Ποιοι αριθμοί ονομάζονται πρώτοι και ποιοι σύνθετοι; Να δώσετε παραδείγματα. ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1 Όταν ένας αριθμός διαιρείται

Διαβάστε περισσότερα

«Ευθέα και Αντίστροφα δικτυωτά»

«Ευθέα και Αντίστροφα δικτυωτά» «Ευθέα και Αντίστροφα δικτυωτά» Χαράλαμπος Χ. Σπυρίδης Καθηγητής Μουσικής Ακουστικής, Πληροφορικής Διευθυντής Εργαστηρίου Μουσικής Ακουστικής Τεχνολογίας, Τμήματος Μουσικών Σπουδών, Φιλοσοφικής Σχολής,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Οι κλίµακες της Βυζαντινής Mουσικής, κατά την Μουσική Επιτροπή του 1881

Οι κλίµακες της Βυζαντινής Mουσικής, κατά την Μουσική Επιτροπή του 1881 Οι κλίµακες της Βυζαντινής Mουσικής, κατά την Μουσική Επιτροπή του 1881 του Παναγιώτη. Παπαδηµητρίου panayiotis@analogion.net, α έκδοση: 4 Οκτωβρίου 2005 Το Οικουµενικό Πατριαρχείο στα 1881 συγκρότησε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΣ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΑΞΙΩΜΑ ΓΙΑ ΤΗ ΜΟΥΣΙΚΗ ΣΥΜΦΩΝΙΑ

ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΣ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΑΞΙΩΜΑ ΓΙΑ ΤΗ ΜΟΥΣΙΚΗ ΣΥΜΦΩΝΙΑ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΣ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΑΞΙΩΜΑ ΓΙΑ ΤΗ ΜΟΥΣΙΚΗ ΣΥΜΦΩΝΙΑ Χαράλαμπος Χ. Σπυρίδης Καθηγητής Μουσικής Ακουστικής, Πληροφορικής, Διευθυντής Εργαστηρίου Μουσικής Ακουστικής τεχνολογίας, Τμήματος Μουσικών Σπουδών

Διαβάστε περισσότερα

----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180 Μαρούσι Ιστοσελίδα: www.minedu.gov.gr Πληροφορίες: Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο: 210-3443422

----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180 Μαρούσι Ιστοσελίδα: www.minedu.gov.gr Πληροφορίες: Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο: 210-3443422 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ, ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α -----

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER 4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Σκοπός του κεφαλαίου είναι να παρουσιάσει μερικές εφαρμογές του Μετασχηματισμού Fourier (ΜF). Ειδικότερα στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφούν έμμεσοι τρόποι

Διαβάστε περισσότερα

MAΘΗΜΑΤΙΚΑ. κριτήρια αξιολόγησης. Κωνσταντίνος Ηλιόπουλος A ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

MAΘΗΜΑΤΙΚΑ. κριτήρια αξιολόγησης. Κωνσταντίνος Ηλιόπουλος A ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ A ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κωνσταντίνος Ηλιόπουλος κριτήρια αξιολόγησης MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Διαγωνίσματα σε κάθε μάθημα και επαναληπτικά σε κάθε κεφάλαιο Διαγωνίσματα σε όλη την ύλη για τις τελικές εξετάσεις Αναλυτικές απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά A Γυμνασίου

Μαθηματικά A Γυμνασίου Μαθηματικά A Γυμνασίου ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Μέρος Α - Άλγεβρα 1. Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; (σελ. 15) 2. Πως ορίζεται η πράξη της αφαίρεσης στους φυσικούς και πότε αυτή μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή Φώτης Πλέσσας

Εισαγωγή Φώτης Πλέσσας Ανάλυση Κυκλωμάτων Εισαγωγή Φώτης Πλέσσας fplessas@inf.uth.gr Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Δομή Παρουσίασης Εισαγωγικές Κυκλωμάτων Έννοιες Ανάλυσης Φυσικά και μαθηματικά μοντέλα

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς Σημειώσεις Ανάλυσης Ι 1. Οι ρητοί αριθμοί Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς 1, 2, 3, και τις πράξεις (πρόσθεση - πολλαπλασιασμό)μεταξύ αυτών. Οι φυσικοί αριθμοί είναι επίσης διατεταγμένοι με κάποια

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Α ΕΠΑΛ Εξεταστέα ύλη Από το βιβλίο «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου» Εισαγωγικό κεφάλαιο E.2. Σύνολα Κεφ.

Άλγεβρα Α ΕΠΑΛ Εξεταστέα ύλη Από το βιβλίο «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου» Εισαγωγικό κεφάλαιο E.2. Σύνολα Κεφ. Άλγεβρα Α ΕΠΑΛ Από το βιβλίο «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου» Εισαγωγικό κεφάλαιο E.2. Σύνολα Κεφ.2ο: Οι Πραγματικοί Αριθμοί 2.1 Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.2 Διάταξη Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Μαθηματικά (Άλγεβρα - Γεωμετρία) Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α, Β ΤΑΞΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ ΚΕΝΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 2ο. οι πράξεις και οι ιδιότητές τους

Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 2ο. οι πράξεις και οι ιδιότητές τους οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Μερικές ακόμη ταυτότητες (επιπλέον από τις αξιοσημείωτες που βρίσκονται στο σχολικό βιβλίο) ) Διαφορά δυνάμεων με ίδιο εκθέτη: ειδικά αν ο εκθέτης ν είναι άρτιος υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΚΛΕΙΔΟΥ ΚΑΝΟΝΟΣ 1 ΚΑΤΑΤΟΜΗ

ΕΥΚΛΕΙΔΟΥ ΚΑΝΟΝΟΣ 1 ΚΑΤΑΤΟΜΗ ΕΥΚΛΕΙΔΟΥ ΚΑΝΟΝΟΣ 1 ΚΑΤΑΤΟΜΗ 1 Κάννα ή κάννη, ης, η, Λατινικά canna: καλάμι (ή με εξομοίωση κάθε ευθεία ράβδο, που χρησιμεύει ιδιαιτέρως στο να τηρεί κάτι ίσιο). Αυτή η ευθύτητα του καλαμιού δίδει τη λέξη

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

Ύλη εξετάσεων Κλάσματα Δεκαδικοί Δυνάμεις Ρητοί Αριθμοί Διαιρετότητα ΕΚΠ ΜΚΔ...

Ύλη εξετάσεων Κλάσματα Δεκαδικοί Δυνάμεις Ρητοί Αριθμοί Διαιρετότητα ΕΚΠ ΜΚΔ... ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Ύλη εξετάσεων...2 1. Κλάσματα...3 2. Δεκαδικοί...8 3. Δυνάμεις...11 4. Ρητοί Αριθμοί...13. Διαιρετότητα...16 6. ΕΚΠ ΜΚΔ...17 7. Εξισώσεις- υστήματα...19 8. Αναλογίες - Απλή μέθοδος των τριών...2

Διαβάστε περισσότερα

Μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες που συναντά ο φυσικός στη διάρκεια ενός πειράματος, είναι τα σφάλματα.

Μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες που συναντά ο φυσικός στη διάρκεια ενός πειράματος, είναι τα σφάλματα. Εισαγωγή Μετρήσεις-Σφάλματα Πολλές φορές θα έχει τύχει να ακούσουμε τη λέξη πείραμα, είτε στο μάθημα είτε σε κάποια είδηση που αφορά τη Φυσική, τη Χημεία ή τη Βιολογία. Είναι όμως γενικώς παραδεκτό ότι

Διαβάστε περισσότερα

Μουσικές Νότες και Κλίμακες Κλίμακες και Ηχοχρώματα (συγκερασμός) Η Πυθαγόρεια Κλίμακα Ισο συγκερασμένη Κλίμακα Ανορθόδοξες Κλίμακες

Μουσικές Νότες και Κλίμακες Κλίμακες και Ηχοχρώματα (συγκερασμός) Η Πυθαγόρεια Κλίμακα Ισο συγκερασμένη Κλίμακα Ανορθόδοξες Κλίμακες Η Φυσική της Μουσικής Τ.Ε.Ι. Ιονίων Νήσων Διάλεξη 10 Μουσικές Νότες και Κλίμακες Κλίμακες και Ηχοχρώματα (συγκερασμός) Η Πυθαγόρεια Κλίμακα Ισο συγκερασμένη Κλίμακα Ανορθόδοξες Κλίμακες Επανάληψη της Διάλεξης

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα Μάθημα: Μαθηματικά Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών (1 ο, 2 ο, 3 ο Κεφάλαιο) 11-10-2017, 18-10-2017 Διδάσκουσα: Αριστούλα Κοντογιάννη ΩΡΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Οι Αριθμοί. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Οι Αριθμοί. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 1: Οι Αριθμοί Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014 Εαρινό εξάμηνο 2014 6.03.14 Χ. Χαραλάμπους 1(και 60) 8 10 30 11 79883= (22*60 2 )+(11*60)+23 70 Δεν έχουν βρεθεί πίνακες για πρόσθεση. Έχουν βρεθεί πολλοί πίνακες για τον πολλαπλασιασμό: Έτσι ένας πίνακας

Διαβάστε περισσότερα

Το Φως Είναι Εγκάρσιο Κύμα!

Το Φως Είναι Εγκάρσιο Κύμα! ΓΙΩΡΓΟΣ ΑΣΗΜΕΛΛΗΣ Μαθήματα Οπτικής 3. Πόλωση Το Φως Είναι Εγκάρσιο Κύμα! Αυτό που βλέπουμε με τα μάτια μας ή ανιχνεύουμε με αισθητήρες είναι το αποτέλεσμα που προκύπτει όταν φως με συγκεκριμένο χρώμα -είδος,

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτική Οργάνωση Ενοτήτων. E Τάξη. Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1

Ενδεικτική Οργάνωση Ενοτήτων. E Τάξη. Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1 Ενδεικτική Οργάνωση Ενοτήτων E Τάξη Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1 Αρ3.1 Απαγγέλουν, διαβάζουν, γράφουν και αναγνωρίζουν ποσότητες αριθμών μέχρι το 1 000 000 000 8 Επανάληψη

Διαβάστε περισσότερα

2. Ανάλυση και Σύνθεση κυματομορφών με την μέθοδο Fourier

2. Ανάλυση και Σύνθεση κυματομορφών με την μέθοδο Fourier 2.1 2. Ανάλυση και Σύνθεση κυματομορφών με την μέθοδο Fourier 2.1 Εισαγωγή Η βασική ιδέα στην ανάλυση των κυματομορφών με την βοήθεια της μεθόδου Fourier συνίσταται στο ότι μία κυματομορφή μιας οποιασδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ Επιμέλεια: Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Σχολικό Έτος: 016-017 Μαθηματικός Περιηγητής:

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ.

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Σάλαρης Πολλές φορές μας δίνεται να λύσουμε ένα πρόβλημα που από την πρώτη

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική Απειροστικού Λογισμού

Διδακτική Απειροστικού Λογισμού Διδακτική Απειροστικού Λογισμού Ενότητα 6: Θέματα σχετικά με τη διδασκαλία των ολοκληρωμάτων. Ζαχαριάδης Θεοδόσιος Τμήμα Μαθηματικών 6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ 1. Ένας μαθητής κατά την μελέτη της ολοκλήρωσης

Διαβάστε περισσότερα

Περί της Ταξινόμησης των Ειδών

Περί της Ταξινόμησης των Ειδών Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής 541 24 Θεσσαλονίκη Καθηγητής Γεώργιος Θεοδώρου Tel.: +30 2310998051, Ιστοσελίδα: http://users.auth.gr/theodoru Περί της Ταξινόμησης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Ταχ. /νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ και ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ και ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΤΑΞΗ: ΕΝΟΤΗΤΕΣ: ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ και ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ (ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ) ΜΙΧΕΛΑΚΑΚΗΣ ΗΛΙΑΣ 1.Διδακτικός στόχοι: Να ορίζουν το στάσιμο

Διαβάστε περισσότερα

Μην ξεχνάµε την διαπεραστική µατιά του Λυγκέα.

Μην ξεχνάµε την διαπεραστική µατιά του Λυγκέα. Η φύση του φωτός Το ρήµα οράω ορώ ( βλέπω ) είναι ενεργητικής φωνής. Η όραση θεωρείτο ενεργητική λειτουργία. Το µάτι δηλαδή εκπέµπει φωτεινές ακτίνες( ρίχνει µια µατιά ) οι οποίες σαρώνουν τα αντικείµενα

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα 5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα εισάγει τους μαθητές στο ολοκλήρωμα Riemann μέσω του υπολογισμού του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου. Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. Να γράψετε τον τύπο της Ευκλείδειας διαίρεσης. Πώς ονομάζεται κάθε σύμβολο του τύπου;

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. Να γράψετε τον τύπο της Ευκλείδειας διαίρεσης. Πώς ονομάζεται κάθε σύμβολο του τύπου; ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Να γράψετε τον τύπο της Ευκλείδειας διαίρεσης. Πώς ονομάζεται κάθε σύμβολο του τύπου; 2. Τι ξέρετε για το υπόλοιπο που προκύπτει από μια Ευκλείδεια διαίρεση; 3. Τι ονομάζουμε τέλεια

Διαβάστε περισσότερα

Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I.

Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I. Γεωμετρία Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I. Εισαγωγή Η διδασκαλία της Γεωμετρίας στην Α Λυκείου εστιάζει στο πέρασμα από τον εμπειρικό στο θεωρητικό τρόπο σκέψης, με ιδιαίτερη έμφαση στη μαθηματική απόδειξη. Οι

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγήτρια : Ιωάννα Ερωτοκρίτου τηλ:

Καθηγήτρια : Ιωάννα Ερωτοκρίτου τηλ: ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Ύλη εξετάσεων...2 1. Κλάσματα...3 2. Δεκαδικοί...8 3. Δυνάμεις...11 4. Ρητοί Αριθμοί...13 5. Διαιρετότητα...16 6. ΕΚΠ ΜΚΔ...17 7. Εξισώσεις- υστήματα...19 8. Αναλογίες - Απλή μέθοδος των τριών...25

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΑ ΚΛΙΜΑΚΑ ΜΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ ΤΗΣ ΑΡΜΟΝΙΑΣ

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΑ ΚΛΙΜΑΚΑ ΜΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ ΤΗΣ ΑΡΜΟΝΙΑΣ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΑ ΚΛΙΜΑΚΑ ΜΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ ΤΗΣ ΑΡΜΟΝΙΑΣ Νίκος Α. Φωτιάδης ρ. Μαθηµατικών Επιµορφωτής Β επιπέδου κλάδου ΠΕ 0 Η αίσθηση της ακοής δηµιουργείται στον άνθρωπο όταν διακυµάνσεις του αέρα διεγείρουν

Διαβάστε περισσότερα

Κουρδίσµατα (περίληψη)

Κουρδίσµατα (περίληψη) Κουρδίσµατα (περίληψη) Ι. Αρµονική στήλη Κάθε νότα που παράγεται µε φυσικά µέσα είναι ένα πολύ σύνθετο φαινόµενο. Ως προς το τονικό ύψος, συνιστώσες του ("αρµονικοί") είναι η συχνότητα που ακούµε ("θεµελιώδης")

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΕΦ.1,1.1, 1.1.1, 1.1.2, 1.1.3, 1.2, 1.3 ΚΕΦ.2.Α.2.1, 2.2, 2.2.1, 2.2.2, 2.2.3, 2.2.4, 2.2.5, 2.3, 2.5 ΚΕΦ.2.Β. 2.1, 2.2, 2.3, 2.4 ΚΕΦ.3. 3.1, 3.5, 3.5.1, 3.5.2, 3.5.3

Διαβάστε περισσότερα

Ιστορία των Μαθηματικών

Ιστορία των Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 1: Εισαγωγή. Τα Μαθηματικά των αρχαίων Αιγυπτίων και των Βαβυλωνίων. Χαρά Χαραλάμπους ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Εαρινό Εξάμηνο Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ

Εαρινό Εξάμηνο Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ Εαρινό εξάμηνο 2012 28.03.12 Χ. Χαραλάμπους Τι είναι αριθμητική? Τι είναι Άλγεβρα? Είναι Άλγεβρα η «Γεωμετρική Άλγεβρα»? Έκανε ο Διόφαντος Άλγεβρα? Ασχολήθηκαν με Άλγεβρα οι αρχαίοι Βαβυλώνιοι? Πολυωνυμικές

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Η χρησιμότητα της Γραμμικής Άλγεβρας είναι σχεδόν αυταπόδεικτη. Αρκεί μια ματιά στο πρόγραμμα σπουδών, σχεδόν κάθε πανεπιστημιακού τμήματος θετικών επιστημών, για να διαπιστώσει κανείς την παρουσία

Διαβάστε περισσότερα

II ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ. Κεφ.3ο: Τρίγωνα 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων

II ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ. Κεφ.3ο: Τρίγωνα 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΛΗΣ (version 22-10-2016) Τα παρακάτω προέρχονται (με δικές μου αλλαγές μορφοποίησης προσθήκες και σχολιασμό) από το έγγραφο (σελ.15 και μετά) με Αριθμό Πρωτοκόλλου 150652/Δ2, που

Διαβάστε περισσότερα

Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση

Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση Ενότητα 6: Γεωμετρικά σχήματα και μεγέθη δύο και τριών διαστάσεων Δημήτρης Χασάπης Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία

Διαβάστε περισσότερα

Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής μάθησης

Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής μάθησης Επιμορφωτικό Εργαστήριο Διδακτικής των Μαθηματικών Του Δημήτρη Ντρίζου Σχολικού Συμβούλου Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α Τάξης Γυμνασίου

Μαθηματικά Α Τάξης Γυμνασίου Μαθηματικά Α Τάξης Γυμνασίου Διδακτικό Έτος 2018-2019 Ι. Διδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου. Κεφ. 1 ο :

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015.

Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015. Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ. Δ/νσεις Δ/θμιας Εκπ/σης Γραφεία Σχολικών Συμβούλων Γενικά Λύκεια (μέσω των Δ/νσεων Δ.Ε.

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ. Δ/νσεις Δ/θμιας Εκπ/σης Γραφεία Σχολικών Συμβούλων Γενικά Λύκεια (μέσω των Δ/νσεων Δ.Ε. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη:

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδεια Γεωμετρία

Ευκλείδεια Γεωμετρία Ευκλείδεια Γεωμετρία Γεωμετρία Γεω + μετρία Γη + μετρώ Οι πρώτες γραπτές μαρτυρίες γεωμετρικών γνώσεων ανάγονται στην τρίτη με δεύτερη χιλιετία π.χ. και προέρχονται από τους λαούς της αρχαίας Αιγύπτου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER (H ΣΕΙΡΑ FOURIER ΚΑΙ Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ 1 Άδειες

Διαβάστε περισσότερα