ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΟΙ ΧΩΡΟΙ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΟΙ ΧΩΡΟΙ Διπλωματική Εργασία Για Μεταπτυχιακό Δίπλωμα Ειδίκευσης ΑΡΕΤΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ Επιβλέπων Καθηγητής: ΓΕΩΡΓΙΟΥ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ Πάτρα Σεπτέμβριος 6

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ομοιόμορφοι χώροι...3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ομοιόμορφα συνεχείς απεικονίσεις...6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Εφαρμογές των ομοιόμορφων χώρων σε χώρους συναρτήσεων.. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ολικά φραγμένοι και πλήρεις ομοιόμορφοι χώροι. Συμπάγεια στους ομοιόμορφους χώρους.6 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ.35

3 Εισαγωγή Η θεωρία των ομοιόμορφων χώρων είναι ανάλογη της θεωρίας των μετρικών χώρων, αλλά η δυνατότητα εφαρμογής της είναι πολύ ευρύτερη. Οι Bourbak μελετούν τη θεωρία των ομοιόμορφων χώρων σε μεγάλο μέρος του βιβλίου τους και θεωρούν αυτούς ως ανεξάρτητη θεωρία που συσχετίζεται με τη θεωρία των τοπολογικών χώρων. Η παρούσα διπλωματική εργασία περιέχει τέσσερα κεφάλαια. Στο Κεφάλαιο δίνουμε τις έννοιες της ομοιομορφίας και του ομοιόμορφου χώρου. Προσδιορίζεται η σχέση ομοιόμορφων και τοπολογικών χώρων. Αποδεικνύεται ότι ο μονοσήμαντα ορισμένος τοπολογικός χώρος που προσδιορίζει ένας ομοιόμορφος χώρος είναι Tychonoff και ότι κάθε χώρος Tychonoff προσδιορίζεται (όχι μονοσήμαντα) από έναν ομοιόμορφο χώρο. Μελετώνται ιδιότητες των ομοιόμορφων χώρων και παραθέτονται παραδείγματα αυτών. Στο Κεφάλαιο ορίζονται και μελετώνται οι ομοιομόρφως συνεχείς απεικονίσεις και διάφορες ιδιότητες των ομοιόμορφων χώρων. Στο κεφάλαιο 3 ορίζονται και μελετώνται ολικά φραγμένοι, πλήρεις και συμπαγείς ομοιόμορφοι χώροι. Στο Κεφάλαιο 4 δίνονται εφαρμογές των ομοιόμορφων χώρων σε χώρους συναρτήσεων. 3

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΟΙ ΧΩΡΟΙ Ορισμός. Έστω ένα σύνολο και A και B υποσύνολα του. Συμβολίζουμε με Α και A+B τα σύνολα -A = {( x, y ): ( y, x ) A} και A+B={( x, z ): υπάρχει ένα y τέτοιο ώστε ( x, y ) A και ( y, z ) B}. Το Α καλείται αντίστροφη σχέση του A και το A+B σύνθεση των A και B. Παρατηρήσεις. Έστω ένα σύνολο και A, B, C Χ. () Η σύνθεση των σχέσεων είναι προσεταιριστική, δηλαδή (A+B)+C = A+ (B+C). () Η σύνθεση των σχέσεων δεν είναι γενικά αντιμεταθετική, δηλαδή Α + Β Β+Α. (3) Για έναν φυσικό αριθμό n η σχέση na Χ ορίζεται επαγωγικά ως εξής: A = A και n A =(n-) A + A. (4) Έστω m, n φυσικοί αριθμοί. Τότε από την προσεταιριστικότητα της σύνθεσης έχουμε: mα+nα= nα+mα =(m+n)α. Ορισμός. Έστω Χ ένα σύνολο. Το υποσύνολο Δ = {( x x) : x }, του Χ. καλείται διαγώνιος του καρτεσιανού γινομένου Χ. 4

5 Κάθε υποσύνολο V Χ που περιέχει το Δ και ικανοποιεί τη συνθήκη V =-V ονομάζεται entourage της διαγώνιου. Η οικογένεια όλων των entourage της διαγωνίου Δ Χ συμβολίζεται με D. Έστω x, y και V D. Αν (x, y ) V, τότε λέμε ότι η απόσταση μεταξύ x και y είναι μικρότερη από V και γράφουμε x y <V αλλιώς γράφουμε x y V. Έστω A Χ και V D. Αν x y <V για κάθε x, y Α, δηλαδή εάν A A V, τότε λέμε ότι η διάμετρος του Α είναι μικρότερη από V και γράφουμε δ( A)<V. Παρατήρηση. Εύκολα ελέγχουμε ότι για κάθε x, y, z V, V, V D ικανοποιούνται οι παρακάτω σχέσεις: () x x <V. () x y <V εάν και μόνο εάν y x <V. (3) Εάν x y < V και y z < V, τότε x z < V + V. και Ορισμός 3. Έστω σύνολο, x και V D. Το σύνολο B( x,v )={ x : 5 x x <V } καλείται σφαίρα με κέντρο x και ακτίνα V. U x A Έστω A Χ και V D. Με B( A,V ) συμβολίζουμε το σύνολο B( x, V ). Δηλαδή B( A,V ) =U B( x, V ). Παρατήρηση. Έστω y, z) B(x, V ) B(x, ). Τότε x y < V και x A ( V x z < V. Συνεπώς από την ιδιότητα (3) της προηγούμενης παρατήρησης έχουμε y z <V +V =V, δηλαδή ( y, z) V. Οπότε η διάμετρος μιας σφαίρας με κέντρο x και ακτίνα V είναι μικρότερη από V. Ορισμός 4. Μια ομοιομορφία σε ένα σύνολο Χ είναι μια υποοικογένεια U της D που ικανοποιεί τις παρακάτω συνθήκες: (U ) Εάν V U και V W D, τότε W U. (U ) Εάν V, V U, τότε V V U. (U 3 ) Για κάθε V U υπάρχει W U τέτοιο ώστε W V. (U 4 ) { V : V U}= Δ.

6 Ορισμός 5. Έστω Χ ένα σύνολο και U μια ομοιομορφία επί του Χ. Μια οικογένεια B U ονομάζεται βάση για την ομοιομορφία U εάν για κάθε V U υπάρχει W B τέτοιο ώστε W V, δηλαδή κάθε μέλος της U περιέχει ένα μέλος της B. Κάθε βάση B για μια ομοιομορφία σε ένα σύνολο Χ έχει τις παρακάτω ιδιότητες: (ΒU ) Για κάθε V, V B υπάρχει V B τέτοιο ώστε V V V. (BU ) Για κάθε V B υπάρχει W B τέτοιο ώστε W V. (ΒU 3 ) { V : V B }=Δ. Μια ομοιομορφία U μπορεί να έχει πολλές βάσεις, ο μικρότερος πληθικός αριθμός B, όπου B είναι βάση της U, ονομάζεται βάρος της ομοιομορφίας U και συμβολίζεται με w(u). Ορισμός 6. Κάθε ζευγάρι (Χ,U), όπου Χ ένα σύνολο και U ομοιομορφία επί του Χ καλείται ομοιόμορφος χώρος. Το βάρος του ομοιόμορφου χώρου (Χ, U) ορίζεται ως το βάρος της ομοιομορφίας U. Κάθε ομοιομορφία U σε ένα σύνολο Χ παράγει μια τοπολογία O στο Χ, έτσι κάθε ομοιόμορφος χώρος (Χ,U) ορίζει έναν τοπολογικό χώρο (Χ, O). Ακριβέστερα έχουμε: Θεώρημα. Έστω (Χ,U) ομοιόμορφος χώρος. Η οικογένεια O={G / για κάθε x G υπάρχει ένα V U τέτοιο ώστε B( x,v) G} ορίζει τοπολογία επί του Χ και ο τοπολογικός χώρος (Χ,O) είναι Τ -χώρος. Η τοπολογία O ονομάζεται τοπολογία παραγόμενη από την ομοιομορφία U. Απόδειξη. Είναι προφανές ότι Ø O. Επίσης το Χ O. Πράγματι για κάθε x Χ υπάρχει το Δ U τέτοιο ώστε B( x,δ)={ x } Χ. Έστω G O, I G O. Για κάθε. Αποδεικνύουμε ότι U I x U I G υπάρχει I τέτοιο ώστε x G. Επειδή υπάρχει V U τέτοιο ώστε B( x, V ) G U I G. Οπότε U I G O. 6 G O

7 Τώρα, έστω G, G O. Αποδεικνύουμε ότι G G O. Έστω x G G. Από τον ορισμό της O υπάρχουν B( x, V ) G και B( x, V ) V, V U τέτοια ώστε G. Από την (U ) προκύπτει ότι V = V V U. Θα δείξουμε ότι B ( x, V V ) = B(x, V ) B(x, V ). Έστω ω B( x, V V ), τότε ( x, ω ) V V και συνεπώς ( x, ω) V και ( x, ω ) V. Οπότε ω B( x, V ), ω B( x, V ) και ω B( x, V ) B(x, V ). Αντιστρόφως, έστω ω B( x, V ) B(x, V ). Τότε ω B( x, V ) και ω B( x, V ). Οπότε ( x, ω ) V, ( x, ω ) V και ( x, ω ) V V. Συνεπώς ω B( x, V V ). Άρα για το x G G υπάρχει το B (x, V ) = x, V ) B(x, ) G. B G Οπότε G G O. Τέλος, αποδεικνύουμε ότι ο (Χ, O) είναι Τ -χώρος. Προφανώς, αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε x Χ το σύνολο G = Χ { x } είναι ( V ανοικτό. Για κάθε y G έχουμε ότι x y, έτσι από την (U 4 ) υπάρχει ένα V U τέτοιο ώστε x y V. Θεωρούμε το σύνολο B( y,v ). Προφανώς B( y,v ) G. Οπότε το σύνολο G είναι ανοικτό και επιπλέον ο (Χ, O) είναι Τ -χώρος. Παρατήρηση. Όπως στην περίπτωση των μετρικών χώρων, έτσι και στους ομοιόμορφους χώρους παρουσιάζει ενδιαφέρον για ένα τοπολογικό χώρο (Χ,O) η ύπαρξη ομοιομορφίας U επί του συνόλου Χ έτσι ώστε η τοπολογία που παράγεται από τηνu να συμπίπτει με την αρχική τοπολογία O. Ορισμός 7. Έστω Χ τοπολογικός χώρος. ΑνU είναι ομοιομορφία στο σύνολο Χ που παράγει την αρχική τοπολογία του Χ, τότε λέμε ότι η U είναι μια ομοιομορφία επί του χώρου Χ ή ότι ο χώρος Χ είναι unformzable. Πρόταση. Το εσωτερικό ενός συνόλου Α Χ ως προς την τοπολογία O που παράγεται από μια ομοιομορφία U στο σύνολο Χ συμπίπτει με το σύνολο: B={ x Χ / υπάρχει ένα V U ώστε B( x,v ) Α}. Δηλαδή Int(Α)=B. Απόδειξη. Έστω G ανοικτό σύνολο τέτοιο ώστε G Α. Αποδεικνύουμε ότι G B. Έστω x G. Τότε υπάρχει V U 7

8 τέτοιο ώστε B( x,v ) G. Επειδή G Α έχουμε ότι B( x,v ) Α και x B. Επιπλέον G B. Αποδεικνύουμε ότι το B είναι ανοικτό σύνολο. Αρκεί να αποδείξουμε ότι για κάθε x B υπάρχει V U τέτοιο ώστε B( x,v ) Α. Από την (U 3 ) υπάρχει W U τέτοιο ώστε W V.Παρατηρούμε ότι για κάθε y B( x,w ) έχουμε B( y,w ) B( x,v ) Α. Πράγματι, έστω z B( y,w ),τότε y z < W. Επίσης x y < W. Οπότε x z < W + W = W και επιπλέον x z < V. Συνεπώς z B( x,v ). Άρα B( x,w ) B και επιπλέον από τον ορισμό της O το B είναι ανοικτό σύνολο. Πόρισμα. Εάν η τοπολογία ενός χώρου Χ παράγεται από μια ομοιομορφία U, τότε για κάθε x Χ και κάθε V U το σύνολο Int(B( x,v)) είναι ανοικτή γειτονιά του x. Απόδειξη. Το x Int(B( x,v )) διότι υπάρχει το V U έτσι ώστε B( x,v ) B( x,v ). Επίσης το Int(B( x,v )) είναι ανοικτό σύνολο. Οπότε το Int(B( x,v )) αποτελεί ανοικτή γειτονιά του x. Πόρισμα. Εάν η τοπολογία ενός χώρου Χ παράγεται από μια ομοιομορφία U, τότε για κάθε x Χ και κάθε Α Χ έχουμε: x A εάν και μόνο εάν Α B ( x,v) Ø για κάθε V U. Απόδειξη. Έστω x A. Το σύνολο B( x,v ), όπου V U είναι γειτονιά του x διότι x B( x,v ) και υπάρχει το ανοικτό σύνολο Int(B( x,v )) τέτοιο ώστε x Int(B( x,v )) B( x,v ). Οπότε B( x,v ) Α Ø. Αντιστρόφως, έστω x Χ τέτοιο ώστε B( x,v ) Α Ø, για κάθε V U. Αποδεικνύουμε ότι x A. Έστω x A. Τότε υπάρχει ανοικτό σύνολο G στον χώρο (Χ, O) τέτοιο ώστε x G και G A = Ø. Eπειδή το G είναι ανοικτό, υπάρχει V U τέτοιο ώστε B( x,v ) G. Προφανώς για το B( x,v ) G έχουμε B( x,v ) Α =Ø (αφού B( x,v ) A G A = Ø) που είναι άτοπο. Άρα x A. Πόρισμα 3. Έστω ότι η τοπολογία ενός χώρου Χ παράγεται από μια ομοιομορφία U, Α Χ και V U με δ(α)<v. Τότε δ( A)<3V. Απόδειξη. Από το Πόρισμα για κάθε x, y A έχουμε ότι Α B ( x,v ) Ø και Α B ( y,v ) Ø, όπου V U. Οπότε υπάρχουν x, y Α τέτοια ώστε x B( x,v ) και y B ( y,v ). Έτσι 8

9 έχουμε x y <V (αφού δ(α)<v και x, y Α), x x <V και y y = y y <V. Συνεπώς x y < V + V + V = 3V. Παράδειγμα. Το κενό σύνολο είναι ομοιόμορφος χώρος με U={Ø}. Παράδειγμα. Η τετριμμένη ομοιομορφία U σε ένα σύνολο Χ είναι η ομοιομορφία με μοναδικά entourages τα Χ και Δ, δηλαδή U ={ Χ, Δ}. Παράδειγμα 3. Η συνήθης ομοιομορφία του συνόλου R των πραγματικών αριθμών έχει ως βάση την οικογένεια όλων των υποσυνόλων του R R της μορφής U ε = { ( x, y) R R: x - y <ε }, ε >. y Έστω B ={ U ε : ε >}. Παρατηρούμε ότι αν U ε B, τότε -U ε = U ε. Πράγματι -U ε ={ ( y, x) R R: ( x, y) U ε }={ ( y, x) R R: x - y <ε }= { ( x, y) R R: x - y <ε }= U ε. Οπότε -Uε B. Τώρα, έστω U ε, U ε B και ε < mn{ ε, } ε. Τότε το U ε B και προφανώς το Uε Uε U ε. Τέλος, έστω U ε B. Τότε για το U B έχουμε ότι U U ε. Πράγματι, αν (x, z ) U, τότε ε ε 9 ε

10 υπάρχει y R έτσι ώστε ( x, y ) U και ( y, z ) U. Οπότε ε ε ε ε x z = x - y + y - z < x - y + y z < + = ε και συνεπώς ( x, z ) U ε. Επίσης είναι φανερό ότι { U ε :ε >}= Δ. Παράδειγμα 4. Για κάθε σύνολο Χ, η οικογένεια U=D είναι μια ομοιομορφία στο Χ, καλείται διακριτή ομοιομορφία στο και ο χώρος (Χ,U ) ονομάζεται διακριτός ομοιόμορφος χώρος. Η οικογένεια B={Δ} είναι μια βάση για την U. Οπότε W (U )=. Επειδή B( x, Δ)={ x }, κάθε υποσύνολο Α του Χ είναι ανοικτό ως προς την τοπολογία που παράγεται από την U. Πράγματι, έστω x Α. Τότε υπάρχει το Δ U έτσι ώστε B( x, Δ)={ x } A. Οπότε Α O. Συνεπώς η διακριτή ομοιομορφία παράγει την διακριτή τοπολογία. Παρατήρηση. Από το Παράδειγμα 4 προκύπτει ότι το βάρος ενός τοπολογικού χώρου (Χ, O), όπου O τοπολογία που παράγεται από μια ομοιομορφία U, μπορεί να είναι μεγαλύτερο από το βάρος της U. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα W (U )=<W (Χ)= P ( ). Παράδειγμα 5. Έστω Χ σύνολο και V ( x, x,..., x ) το σύνολο k k Χ \ ( { x }) ({ x } ) U = x, x,..., x Χ. Συμβολίζουμε με [ ] { \ Δ}. Τα σύνολα V ( x, x,..., x ) είναι entourages της διαγώνιου. Θεωρούμε k την οικογένεια U D που αποτελείται από όλα τα entourages της διαγωνίου που περιέχουν ένα σύνολο V ( x, x,..., x ). Θα δείξουμε ότι k ηu είναι μια ομοιομορφία στο Χ. Χ x k x U k x x x x k Χ

11 Παρατηρούμε ότι: ( = ( ) \ k C { Δ }= U{ [( { x }) U ({ x } )]\ Δ} = \ U [( { x }) ({ x } )] = k ) I U = {[( { }) ({ } )] } c C x x Δ k = C {[( { x }) ({ } )] } k = ( ) I I= x Δ C = ( k ) I I = C [( { x }) Δ] { x } C { [( ) Δ] } C ( { x }) Δ) ({ } ) = ( )I I ( x Δ)I... I C ( { x }) Δ) ({ x } ) k Έστω W U και U υπάρχει V ( x C I ( Δ) k W W D. Επειδή, x..., x ) τέτοιο ώστε V ( k C W U από τον ορισμό της x, x..., x W. Άρα ) k V ( x, x..., x ) k W. Οπότε W U και επιπλέον η U ικανοποιεί την (U ). Έστω W, W U. Είναι εύκολο να δει κανείς ότι W U, δηλαδή η U ικανοποιεί την (U ). W I Επίσης, παρατηρούμε ότι V ( x, x..., x )=V ( x x x k,..., ). k Οπότε η (U 3 ) ικανοποιείται. Τέλος, η συνθήκη (U 4 ) επαληθεύεται γιατί C C ( x, y) V ( x ) = ( ) {} x Δ x Δ όταν x y. I( ) ) ({} ) I( ) Παρατήρηση. Για την ομοιομορφία U του Παραδείγματος 5 έχουμε B( x,v ( x ))={ x }. Συνεπώς η ομοιομορφίαu επάγει την διακριτή τοπολογία στο Χ. Εάν το σύνολο Χ είναι άπειρο, τότε U D. Οπότε, βλέπε και το Παράδειγμα 4, διαφορετικές ομοιομορφίες μπορούν να παράγουν την ίδια τοπολογία. Στη συγκεκριμένη περίπτωση δυο διαφορετικές ομοιομορφίες παράγουν την διακριτή τοπολογία στο Χ. Παράδειγμα 6. Έστω I [, ] =. Η οικογένεια U όλων των entourage της διαγωνίου Δ I I που περιέχουν ένα ανοικτό υποσύνολο του I I που περιέχει το Δ είναι μια ομοιομορφία στο I.

12 Ορισμός 8. Έστω Χ σύνολο και U ομοιομορφία επί του Χ. Η τοπολογία Tychonoff στο καρτεσιανό γινόμενο, όπου Χ έχει τοπολογία που παράγεται από την U, ονομάζεται τοπολογία που παράγεται από την ομοιομορφία U στο σύνολο. Ορισμός 9. Έστω (Χ,U) ομοιόμορφος χώρος και ρ ψευδομετρική στο σύνολο Χ. Λέμε ότι η ψευδομετρική ρ είναι ομοιόμορφη ως προς τη U εάν για κάθε ε> υπάρχει ένα V U τέτοιο ώστε ρ ( x, y) <ε όταν x y <V. Θεώρημα. Εάν μια ψευδομετρική ρ σε ένα σύνολο Χ είναι ομοιόμορφη ως προς μια ομοιομορφία U στο Χ, τότε η ρ : R είναι συνεχής συνάρτηση, όπου στο σύνολο θεωρούμε την τοπολογία που παράγεται από την ομοιομορφία U. Απόδειξη. Έστω ( x y ) ένα σημείο του, ε>, και V U, τέτοιο ώστε: ρ ( x, y) < ε όταν x y <V. Από το Πόρισμα x Int(B( x,v )) και y Int(B( y,v )). Οπότε το σύνολο Int(B( x,v )) Int(B( y,v )) είναι γειτονιά του σημείου ( x, y ). Έστω S ( ρ(x, ), ε) = y { z R : ρ(x, y ) - z <ε} ανοικτή περιοχή του σημείου ρ( x, y ). Αποδεικνύουμε ότι για κάθε ( x, y) B( x,v ) B( y,v ) έχουμε ότι ρ ( x, y) S ( ρ(x, y ), ε). Αρκεί να δείξουμε ότι ρ( x, y ) -ρ( x, y) <ε για κάθε ( x, y) B( x,v ) B( y,v ). Έστω ( x, y) B( x,v ) B( y,v ). Τότε x x <V και y y <V. Οπότε, έχουμε: ( x, y ) ρ( x, y) ρ( x, x) + ρ( x, y ) ρ(x, y) ρ(x, x) + ρ(x, y) + ρ( y, y ) ρ(x, ) ρ y = ρ x, x) + ρ( y, y ) ρ(x, x) + ρ( y, y ) = ρ(x, x) + ( y, y ) < ε ( ρ ε + =ε. Θεώρημα 3. Για κάθε ακολουθία σε ένα σύνολο Χ, όπου V, V, μελών μιας ομοιομορφίας U (4) V = και 3 V V για =,,... +

13 υπάρχει μια ψευδομετρική ρ στο σύνολο Χ τέτοια ώστε για κάθε V (, y ): ρ( x, y) / V { }. x Απόδειξη. Έστω f: R τέτοια ώστε f(x, {, εαν (x, y) IV y) = = /, εαν (x, y) V \ V + Προκύπτει από τον ορισμό της f ότι f, =, (x, y) =,, κλπ (x, y) I = (x, y) V (x, y) V (x, y) V Επειδή Δ V, =,,,... έχουμε ότι Δ I { V : =,,,...}. Οπότε (5) f( x, x )=. V V V V 3 Επίσης, αν ( x, y) V \ V +, τότε το ( y, x) V \ V +. Πράγματι, αφού ( x, y ) V \ V +, έχουμε ότι ( x, y) V. Επειδή V = V έχουμε ότι ( y, x) V. Προφανώς ( y, x) V + διότι αν ( y, x) V + θα έπρεπε και το ( x, y ) V + αυτό όμως είναι άτοπο διότι ( x, y ) V +. Άρα αν x, y ) V \ V, τότε ( + 3

14 (6) f( x, y )=f(, x y ) =. Τώρα για κάθε ζευγάρι x, y σημείων του ορίζουμε ρ( x, y ) ως το μέγιστο κάτω φράγμα των αριθμών f ( x, x ), όπου x, x..., x είναι k ακολουθία των σημείων του τέτοια ώστε x = x και x k = y. Προκύπτει από τις (5), (6) ότι ρ( x, x )= και ρ( x, y )=ρ( y, x ) για όλα τα x, y, εφόσον η ρ εξ ορισμού ικανοποιεί την τριγωνική ανισότητα, η ρ είναι μια ψευδομετρική στο. Η απόδειξη του υπόλοιπου θεωρήματος θα αποδειχθεί από την διπλή ανισότητα (7) f ( x, y) ρ( x, y) f ( x, y) k =. Για να αποδείξουμε την (7) αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε x, y και για κάθε ακολουθία x, x,..., x τέτοια ώστε x = x και x y έχουμε k (8) f ( x, y ) f ( x, x ). k Θα αποδείξουμε την (8) με εφαρμογή της επαγωγής ως προς k. Για k = η ανισότητα (8) είναι προφανής. Υποθέτουμε ότι m > και ότι η (8) ισχύει για όλα τα k < m. Θεωρούμε μια ακολουθία x x, x,..., τέτοια ώστε x m = m = k = x = και x m = y και έστω α= f ( x, x ). Εάν α, τότε η (8) ικανοποιείται για k = m, διότι f( x, y ), έτσι μπορούμε να υποθέσουμε ότι α</. Εξετάζουμε πρώτα την περίπτωση που α >. Προφανώς έχουμε είτε f ( x, x) α ή f ( x, x ) α m m και από την συμμετρία των υποθέσεών μας μπορούμε να υποθέσουμε ότι f ( x, x) α. Έστω ότι το j είναι ο μεγαλύτερος δείκτης τέτοιος ώστε j j f ( x, x ) α, έτσι ( ) = + f x, x > α από όπου έπεται ότι = m f ( x, x ) α. Από την επαγωγική υπόθεση έχουμε ότι f ( x, x ) α = j + j και f ( x, x ) α. Από τον ορισμό του α προκύπτει επίσης ότι j + m 4

15 f ( x j, x ) α. Συμβολίζουμε με l τον μικρότερο ακέραιο που j+ ικανοποιεί την l α. Οπότε για α< είναι l. Προφανώς έχουμε ( x, x j ) Vl, ( x j, x j+ ) V l και ( x j+ x, m) Vl. Από την (4) προκύπτει ότι ( x, x m ) = ( x, y) Vl. Έτσι f ( x, y ) α l, δηλ. f ( x, y ) α και η (8) ικανοποιείται για k = m εάν α>. Τώρα, στην περίπτωση όπου α=, για =,,..., m έχουμε f ( x, x ) =, και από τον ορισμό της f, ( x, x ) V j για j =,,... Από αυτό έπεται ότι ( x, y) mv για j=,, έτσι από τη σχέση (4) το j ( ) I x, y V, δηλ. f( x, y )=. Έτσι η (8) ικανοποιείται επίσης για k = m = στην περίπτωση που α=. Γι αυτό η (8) είναι αληθής για όλα τα k και η (7) αποδείχθηκε. Τώρα, από την (7) και από τον ορισμό της f προκύπτει ότι V ( x, y ): ρ ( x, y) V για =,,... Συνεπώς το θεώρημα αποδείχθηκε. Πόρισμα 4. Για κάθε ομοιομορφία U στο σύνολο Χ και για οποιοδήποτε V U υπάρχει ψευδομετρική ρ στο σύνολο Χ η οποία είναι ομοιόμορφη ως προς την U και ικανοποιεί την συνθήκη ( x, y) : ρ( x, y) < V { }. Απόδειξη. Από την (U 3 ), υπάρχει ακολουθία 5 V, V,..., μελών της U τέτοια ώστε V = V και η (4) του Θεωρήματος 3 ικανοποιείται. Από όπου έχουμε ότι η ψευδομετρική ρ=4ρ, όπου ρ είναι μια ψευδομετρική που ικανοποιεί το Θεώρημα 3, έχει την απαιτούμενη ιδιότητα. Πόρισμα 5. Για κάθε ομοιομορφία U στο σύνολο Χ η οικογένεια όλων των μελών της U που είναι ανοικτά ως προς την τοπολογία που παράγεται από την U στον Χ x Χ, καθώς και η οικογένεια όλων των μελών της U που είναι κλειστά ως προς την τοπολογία είναι και τα δυο βάσεις της U. Απόδειξη. Έστω V μέλος της U και ρ η ψευδομετρική που ικανοποιεί το Πόρισμα 4. Από τη σχέση (U ) τα σύνολα W = {( x, y) : ρ ( x, y) < } V και U = {( x, y) : ρ ( x, y) / } V

16 είναι μέλη του U. Προκύπτει από το Θεώρημα ότι το πρώτο είναι ανοικτό και το τελευταίο είναι κλειστό. Πόρισμα 6. Έστω Χ σύνολο και U ομοιομορφία επί του Χ. Το σύνολο Χ με την τοπολογία που παράγεται από την U είναι χώρος Tychonoff. Απόδειξη. Για κάθε x Χ και κλειστό σύνολο F τέτοιο ώστε x F υπάρχει V U τέτοιο ώστε F B( x, V ) = Ø. Η συνάρτηση f : I ορισμένη από την ισότητα f ( y ) = mn(,ρ( x, y)), όπου ρ η ψευδομετρική του Πορίσματος 4, είναι συνεχής, μηδενίζεται στο x και είναι ίση με ένα στο F. Στο παρακάτω θεώρημα δίνουμε μέθοδο κατασκευής ομοιομορφίας με χρήση του ορισμού της βάσης, μιας ομοιομορφίας. Θεώρημα 4. Υποθέτουμε ότι έχουμε ένα σύνολο Χ και μια οικογένεια B D των entourages της διαγωνίου η οποία έχει τις ιδιότητες (ΒU)-(BU3). Η οικογένεια U που αποτελείται από όλα τα μέλη της D τα οποία περιέχουν ένα μέλος της B είναι μια ομοιομορφία στο σύνολο Χ. Επίσης η οικογένεια B είναι βάση για την U. Η ομοιομορφίαu ονομάζεται ομοιομορφία που παράγεται από την βάση B. Παρατήρηση. Η μέθοδος παραγωγής ομοιομορφίας εξ ορισμού μιας βάσης εφαρμόστηκε στα Παραδείγματα 5 και 6. Θεώρημα 5. Η τοπολογία ενός χώρου Χ μπορεί να επαχθεί από μια ομοιομορφία στο σύνολο Χ εάν και μόνο εάν το Χ είναι χώρος Tychonoff. Θεώρημα 6. Μια ομοιομορφία U σε ένα σύνολο Χ παράγεται από μια μετρική στο σύνολο Χ εάν και μόνο εάν W (U ) ℵ. Απόδειξη. Προφανώς, κάθε ομοιομορφία που παράγεται από έναν μετρικό έχει βάρος ℵ. Θεωρούμε μια ομοιομορφία U, σε ένα σύνολο Χ, η οποία έχει μια αριθμήσιμη βάση { U }. Υπάρχει μια ακολουθία V =, V, μελών της U έτσι ώστε V = x, 3 V V και V U για =,, + 6

17 Από τα παραπάνω έπεται I = V = Δ, έτσι η ψευδομετρική ρ στο Θεώρημα 3, που αντιστοιχεί στην ακολουθία V, V, μελών της U είναι μια μετρική. Από τον διπλό εγκλεισμό στο Θεώρημα 3 έπεται ότι η ρ παράγει την αρχική ομοιομορφία U. Παράδειγμα 7. Έστω (, d) μετρικός χώρος. Η οικογένεια όλων των υποσυνόλων U ε του τέτοια ώστε U ε = { ( x, y ): d ( x, y) <ε }, με ε > αποτελεί βάση για μια ομοιομορφία U επί του. { } Έχουμε U ε = {( x, y) : ( y, x) Uε } = ( x, y) : d( y, x) < ε = {( x, y ) : d ( x, y) < ε} = Uε. Έστω U ε, U ε U. Θέτουμε ε < mn{ ε, ε }. Προφανώς U ε U και Uε Uε U ε. Τέλος, έστω ε Uε U. Θεωρούμε το U = ( x, y) : d( x, y) < ε. Προφανώς, αν ( y) U, τότε υπάρχει z έτσι ώστε ( x, z) και (, y) x, ε ε ε U ε z U. ε Επειδή d( x, y ) < d( x,z) + d( z, y) < + = ε έχουμε ότι ( y) U, δηλαδή U U. ε ε Επίσης είναι φανερό ότι { U ε :ε >}= Δ. x, ε Παράδειγμα 8. Έστω ={α,β,γ}. Τότε Δ={(α,α),(β,β),(γ,γ)}. Το σύνολο B = { Δ,V }, όπου V = {( α,α ), ( β,β ), ( γ,γ),( β,γ),( γ,β) } αποτελεί βάση για μια ομοιομορφία. V γ β α α 7 β

18 Πράγματι, για κάθε U B έχουμε U =U και Δ U. Τώρα για τα V, Δ B, υπάρχει το Δ έτσι ώστε Δ V Δ = Δ, δηλαδή ικανοποιείται η (ΒU ). Επίσης, προφανώς για κάθε U B, έχουμε U =U. Οπότε ικανοποιείται και η (ΒU ). Τέλος, { U : U B } = Δ. Άρα η B είναι βάση για μια ομοιομορφία επί του. 8

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΩΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ Ορισμός. Έστω (, U ) και (Y, V) ομοιόμορφοι χώροι. Μια απεικόνιση f του στο Y καλείται ομοιομόρφως συνεχής ως προς τις ομοιομορφίες U και V εάν για κάθε V V υπάρχει ένα U U έτσι ώστε για κάθε x, x με x x <U να έχουμε f ( x) f (x ) <V. Παρατήρηση. Αν η f:(, U ) (Y, V ) είναι ομοιομόρφως συνεχής, τότε η f είναι συνεχής απεικόνιση του χώρου, με την τοπολογία που παράγεται από την U, στο χώρο Y, με την τοπολογία που παράγεται από την V. Πρόταση. Έστω (,U ), (Y,V ) και (Z,W ) ομοιόμορφοι χώροι. Εάν f:(,u ) (Y, V ) και g:(y, V ) (Z, W ) ομοιομόρφως συνεχείς απεικονίσεις τότε η gοf:(,u) (Z,W) είναι ομοιομόρφως συνεχής. Δηλαδή η σύνθεση ομοιομόρφως συνεχών απεικονίσεων είναι ομοιομόρφως συνεχής απεικόνιση. Απόδειξη. Έστω W W. Επειδή η g:(y, V ) (Z, W ) είναι ομοιομόρφως συνεχής υπάρχει V V έτσι ώστε για κάθε y, y Y με y y <V να έχουμε g ( y) g( y ) < W. Τώρα επειδή η f:(,u ) (Y, V ) είναι ομοιομόρφως συνεχής για το V V υπάρχει U U τέτοιο ώστε για κάθε x, x με x x <U να έχουμε f(x) f (x ) <V. Οπότε g(f(x)) g (f (x )) = (g οf)(x) (g οf)(x ) <W. Επιπλέον η g ο f είναι ομοιομόρφως συνεχής. Πρόταση. Έστω (, U ) και (Y, V ) ομοιόμορφοι χώροι και f απεικόνιση του Χ στο Υ. Τότε οι παρακάτω προτάσεις είναι ισοδύναμες: (ι)η απεικόνιση f είναι ομοιομόρφως συνεχής ως προς τιςu καιv. (ιι) Υπάρχουν βάσεις B και ޓ για τις U και V αντιστοίχως, τέτοιες ώστε για κάθε V ޓ υπάρχει U B ικανοποιώντας την σχέση U ( f x f ) ( V ). (ιιι) Για κάθε ψευδομετρική ρ στο Υ η οποία είναι ομοιόμορφη ως προς την V η ψευδομετρική σ στο Χ που δίνεται από τη σχέση ( x, y) ρ( f (x), f ( y)) σ = είναι ομοιόμορφη ως προς U. 9

20 Απόδειξη. Η απόδειξη της πρότασης είναι άμεση συνέπεια των ορισμών της ομοιομόρφως συνεχούς απεικόνισης και της βάσεως ομοιομορφίας. Ορισμός. Μια ένα-προς-ένα απεικόνιση f του (,U ) στον (Y,V ) είναι ένας ομοιόμορφος ισομορφισμός ως προς τις ομοιομορφίες U και V στα και Y αντιστοίχως,αν η f είναι ομοιομόρφως συνεχής ως προς τις U και V και η αντίστροφη απεικόνιση f - είναι ομοιομόρφως συνεχής ως προς τις V και U. Παρατήρηση. Ένας ομοιόμορφος ισομορφισμός είναι ένας ομοιομορφισμός των επαγόμενων τοπολογικών χώρων. Μπορούμε να πούμε ότι δυο ομοιόμορφοι χώροι (, U ) και (Y, V ) είναι ομοιόμορφα ισομορφικοί εάν υπάρχει ένας ομοιόμορφος ισομορφισμός του (, U ) στο (Y, V ). Ορισμός 3. Έστω (,U) ομοιόμορφος χώρος και M. Είναι εύκολο να φανεί ότι η οικογένεια U Μ ={ ( M x M ) V : V U } D M ικανοποιεί τις συνθήκες (U )-(U 4 ), δηλαδή η U Μ ορίζει ομοιομορφία επί του M. Ο ομοιόμορφος χώρος ( M,U Μ ) καλείται υποχώρος του ομοιόμορφου χώρου (,U). Παρατηρήσεις: Έστω (,U ) ομοιόμορφος χώρος και M. Εύκολα ελέγχουμε ότι: () Η τοπολογία η παραγόμενη στο Μ από την ομοιομορφία U Μ συμπίπτει με την τοπολογία επί του Μ που παράγεται από τον χώρο όταν ο έχει τοπολογία παραγόμενη από την U. () Εάν U είναι ομοιομορφία που παράγεται από μια μετρική ρ στο, τότε η ομοιομορφία U Μ συμπίπτει με την ομοιομορφία που παράγεται από τη μετρική ρ Μ στο Μ. (3) Για κάθε ομοιόμορφο χώρο (,U) και οποιοδήποτε M, ο τύπος M ( x ) = x ορίζει ομοιομόρφως συνεχή απεικόνιση M :(Μ, U Μ ) (,U). Η ομοιομορφία M ονομάζεται εμφύτευση του υποχώρου (Μ, U Μ ) στο χώρο (,U).

21 Ορισμός 4. Έστω {( S, U s ) s S } οικογένεια ομοιόμορφων χώρων. Η οικογένεια B όλων των entourages της διαγωνίου Δ Π s ) ( Π ) τα οποία δίνονται από τον τύπο {({ x }{, y }): x y < V, =, k} s s s s s,..., ( s όπου s, s,..., sk S και V s U s για =,,,k, έχει τις ιδιότητες (ΒU )- (ΒU 3 ). Οπότε η οικογένεια B ορίζει ομοιομορφία στο s η οποία καλείται Καρτεσιανό γινόμενο των ομοιομορφιών {U s } s S και συμβολίζεται με U s. Παρατήρηση. Το Καρτεσιανό γινόμενο μιας πεπερασμένης οικογένειας ομοιομορφιών {U } k = συμβολίζεται με U xu x x U k. Εάν όλες οι ομοιομορφίες U s είναι ίσες η μια με την άλλη, δηλ. εάν s = και U s = U για s S, τότε το Καρτεσιανό γινόμενο U s συμβολίζεται U m, όπου m = S. Ο ομοιόμορφος χώρος ( s, χώρων {(, S U s ) καλείται Καρτεσιανό γινόμενο των ομοιόμορφων U s )} s S. Παρατηρήσεις. (). Εύκολα αποδεικνύεται ότι η τοπολογία που παράγεται στο s από την ομοιομορφία U s συμπίπτει με την τοπολογία Tychonoff του Καρτεσιανού γινομένου τοπολογία που παράγεται από την U s., όπου το s s έχει την (). Εάν για =,, η ομοιομορφία U στο που παράγεται από μια μετρική ρ στο χώρο φραγμένη από το, τότε η ομοιομορφία U στο συμπίπτει με την ομοιομορφία που = = παράγεται από την μετρική ρ, που ορίζεται από τον τύπο = ρ ( x, y) ρ ( x, y ). = (3). Εάν ( s, ομοιόμορφων χώρων {(, S p s του Καρτεσιανού γινομένου δίνεται από τον τύπο p s ({ s} ) χ s U s ) είναι το Καρτεσιανό γινόμενο των U s )} s S, τότε για κάθε s S η προβολή πάνω στον άξονα των s που s χ =, είναι ομοιoμόρφως συνεχής ως

22 προς τις ομοιομορφίες U s και U s. Πρόταση 3. Έστω ομοιόμορφος χώρος (,U), {(Υ s, V s )} s S οικογένεια ομοιόμορφων χώρων και f μια απεικόνιση του συνόλου στο Καρτεσιανό γινόμενο Υ s. Η απεικόνιση f είναι ομοιομόρφως συνεχής ως προς τις U και V s εάν και μόνο εάν η σύνθεση p s ο f είναι ομοιoμόρφως συνεχής ως προς U και V s για κάθε s S. Απόδειξη. Η απόδειξη είναι άμεση συνέπεια των Ορισμών και 4 και των παραπάνω παρατηρήσεων. Παράδειγμα. Παίρνουμε το διάστημα Ι με την ομοιομορφία U που παράγεται από τη φυσική μετρική στο Ι. Στο Καρτεσιανό γινόμενο Ι m, όπου m ℵ, εξετάζουμε την ομοιομορφία U m, δηλαδή το Καρτεσιανό γινόμενο των m αντιγράφων της ομοιομορφίας U. Σαφώς, η U m παράγει στο Ι m την τοπολογία του κύβου Tychonoff βάρους m. Αποδεικνύεται ότι W (U m ) m και επιπλέον W (U m )=m. Κάθε χώρος Tychonoff βάρους m μπορεί να θεωρηθεί ως υποχώρος του Ι m. Δεδομένου ότι η ομοιομορφία U m παράγει στο Ι m την τοπολογία του κύβου Tychonoff, η ομοιομορφία (U m ) Χ παράγει την αρχική τοπολογία στο Χ. Ως εκ τούτου η τοπολογία κάθε χώρου Tychonoff βάρους m μπορεί να παραχθεί από μια ομοιομορφία βάρους m. Θεώρημα. Κάθε ομοιόμορφος χώρος είναι ομοιόμορφα ισομορφικός μ ένα υποχώρο του Καρτεσιανού γινομένου μιας οικογένειας μετρικοποιήσιμων ομοιομόρφων χώρων. Απόδειξη. Θεωρούμε ένα ομοιόμορφο χώρο (,U). Δυνάμει της (U 3 ), για κάθε V U υπάρχει μια ακολουθία V, V,... μελών της U τέτοια ώστε: () V = x, V = V και 3 V+ V για =,,... Εφαρμόζοντας το Θεώρημα 3 του Κεφαλαίου παίρνουμε μια ψευδομετρική ρ ν στο σύνολο τέτοια ώστε για κάθε { v } V () V ( x, ): ( x, y) y ρ.

23 Θέτοντας xε ν y εάν και μόνο εάν ρ ν (x,y)= καθορίζουμε μια σχέση ισοδυναμίας Ε ν στο Χ. Έστω Χ ν το σύνολο όλων των κλάσεων ισοδυναμίας της Ε ν. Προκύπτει από την τριγωνική ανισότητα ότι για όλα τα x, x, y, y τέτοια ώστε x E x και ye v y έχουμε ρ ( x, y) = ρ ( x, y ). Θέτοντας ρ ([ x][, y] ) = ρ (x, y) v v ορίζουμε μια μετρική ρ στο που παράγεται από τη μετρική θέτοντας ( x) = [ x] v v v v για όλα τα [ x ][, ] y v. Έστω U v η ομοιομορφία στον v v ρ. Προκύπτει από την () ότι v f v βρίσκουμε μια ομοιόμορφα συνεχή απεικόνιση f v της (,U) στην ( v,u v ). Από την Πρόταση 3 έπεται ότι η διαγώνιος Δ f είναι ομοιομόρφως συνεχής απεικόνιση της (,U) στο Καρτεσιανό γινόμενο v, u v. Θα δείξουμε ότι ο περιορισμός f = ( Δ f v ) V u V u V u είναι ομοιόμορφος ισομορφισμός. Από τις (U 4 ), () και () προκύπτει ότι για κάθε ζευγάρι x,y διαφορετικών σημείων του υπάρχει V U τέτοιο ώστε ρ v ( x, y) >, ως εκ τούτου έχουμε f ( x) f ( y) και επιπλέον η f είναι ένα-προς-ένα. Απομένει να αποδείξουμε ότι η f είναι ομοιομόρφως συνεχής ως προς ( U V ) f ( x) και U. Δηλαδή να δείξουμε ότι για V u κάθε V U υπάρχει W U V τέτοιο ώστε x y < V όταν V u f ( x) f ( y) <W. Από τις () και () προκύπτει ότι η W {({ }{, y }): ρ (x, y ) } έχει την απαιτούμενη ιδιότητα. = V xv V V < V 4 Παρατήρηση. Για όλους τους ομοιόμορφους χώρους βάρους m, δεν υπάρχει καθολικός χώρος, δηλαδή δεν υπάρχει ομοιόμορφος χώρος (,U) βάρους m έτσι ώστε για κάθε ομοιόμορφο χώρο (Y,V ) βάρους m, να περιέχει έναν ομοιόμορφα ισομορφικό υπόχωρο. Πράγματι, προκύπτει από το Παράδειγμα 4 του ου κεφαλαίου ότι το βάρος ενός διακριτού ομοιόμορφου χώρου είναι ίσο με και δεδομένου ότι ο πληθικός αριθμός του σύνολου Χ μπορεί να είναι αυθαίρετα μεγάλο, δεν υπάρχει κανένας ομοιόμορφος χώρος που να περιέχει υποχώρους ομοιόμορφα ισομορφικούς ή ακόμα και υποσύνολα σε όλους τους διακριτούς ομοιόμορφους χώρους. V u v 3

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΟΛΙΚΑ ΦΡΑΓΜΕΝΟΙ ΚΑΙ ΠΛΗΡΕΙΣ ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΟΙ ΧΩΡΟΙ. ΣΥΜΠΑΓΙΑ ΣΤΟΥΣ ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ. Ορισμός. Έστω (Χ,U) ομοιόμορφος χώρος, V μέλος της ομοιομορφίας U και Α υποσύνολο του Χ. Λέμε ότι το Α είναι V- πυκνό στον (Χ,U) εάν για κάθε x υπάρχει x A τέτοιο ώστε x x < V. Ορισμός. Ένας ομοιόμορφος χώρος (Χ,U) είναι ολικά φραγμένος εάν για κάθε V U υπάρχει ένα πεπερασμένο σύνολο A που είναι V-πυκνό στον (Χ,U). Η ομοιομορφία U στο Χ καλείται ολικά φραγμένη όταν ο χώρος (Χ,U) είναι ολικά φραγμένος. Παρατήρηση. Εύκολα βλέπουμε ότι εάν υπάρχει μια ομοιομόρφως συνεχής απεικόνιση f ενός ολικά φραγμένου ομοιόμορφου χώρου (Χ,U) σε ένα ομοιόμορφο χώρο (Υ,V) τέτοια ώστε f ( ) = Y, τότε ο χώρος (Υ,V) είναι επίσης ολικά φραγμένος. Πρόταση. Εάν η ομοιομορφία U στο Χ παράγεται από μια μετρική ρ, τότε ο ομοιόμορφος χώρος (Χ,U) είναι ολικά φραγμένος εάν και μόνο εάν ο μετρικός χώρος (, ρ) είναι ολικά φραγμένος. Θεώρημα. Εάν (Χ,U) είναι ολικά φραγμένος ομοιόμορφος χώρος, τότε για κάθε υποσύνολο M ο χώρος (Μ, U Μ ) είναι ολικά φραγμένος. Θεώρημα. Εάν (Χ,U) ομοιόμορφος χώρος και για ένα υποσύνολο M ο χώρος (Μ, U Μ ) είναι ολικά φραγμένος, τότε ο χώρος (M, U M ) είναι επίσης ολικά φραγμένος. Θεώρημα 3. Έστω {( S, U s ) S s } οικογένεια μη κενών U s ) είναι ομοιόμορφων χώρων. Το Καρτεσιανό γινόμενο ( ολικά φραγμένο εάν και μόνο εάν όλοι οι χώροι ( S, φραγμένοι. s, U s ) είναι ολικά 4

25 Ορισμός 3. Έστω (Χ,U) ομοιόμορφος χώρος και F οικογένεια υποσυνόλων του. Λέμε ότι η F περιέχει αυθαίρετα μικρά σύνολα εάν για κάθε V U υπάρχει F F τέτοιο ώστε δ ( F ) < V. Από την (U 4 ) προκύπτει ότι εάν η F περιέχει αυθαίρετα μικρά σύνολα, τότε η τομή I F περιέχει το πολύ ένα σημείο. Ορισμός 4. Έστω μη κενό σύνολο. Φίλτρο F του καλείται κάθε μη κενό υποσύνολο του P()={A:A } που ικανοποιεί τις παρακάτω συνθήκες: (F ) Ø F. (F ) Αν Α,Β F τότε Α Β F. (F 3 ) Αν Α F και Α Β τότε Β F για όλα τα υποσύνολα Β του Χ. Παρατήρηση. Από τη συνθήκη (F 3 ) είναι φανερό ότι για κάθε φίλτρο F στο, το ανήκει στο F. Ορισμός 5. Έστω Χ μη κενό σύνολο. Κάθε μη κενό υποσύνολο B του P()={A:A } καλείται βάση φίλτρου στο Χ αν: (ΒF ) Ø B. (ΒF ) Αν Β,Β B υπάρχει Β 3 B τέτοιο ώστε το Β 3 Β Β. Παρατήρηση. Αν B είναι βάση φίλτρου στο Χ τότε το σύνολο όλων των υπερσυνόλων των συνόλων της B είναι φίλτρο στο Χ. Έστω Χ μη κενό σύνολο και F φίλτρο στο Χ. Το φίλτρο F συγκλίνει στο x αν F N (x ) όπου N (x ) το φίλτρο περιοχών του x. Ορισμός 6. Έστω (Χ,U) ομοιόμορφος χώρος. Ένα φίλτρο F του Χ καλείται φίλτρο Cauchy αν για κάθε V entourage της διαγωνίου υπάρχει Α F με (x,y) V για κάθε (x,y) Α. Δηλαδή, φίλτρο Cauchy F σε ομοιόμορφο χώρο (Χ,U) είναι ένα φίλτρο F τέτοιο ώστε για κάθε V entourage της διαγωνίου υπάρχει Α F τέτοιο ώστε Α A V. Ανάλογα με την έννοια του πλήρους μετρικού χώρου μπορούμε να ορίσουμε πληρότητα σε ομοιόμορφο χώρο. 5

26 Ορισμός 7. Ένας ομοιόμορφος χώρος (Χ,U) καλείται πλήρης εάν κάθε φίλτρο Cauchy συγκλίνει. Παρατήρηση. Ένας ομοιόμορφος χώρος (Χ,U) είναι πλήρης εάν κάθε οικογένεια F υποσυνόλων του Χ κλειστή ως προς την τοπολογία που παράγεται από την U, η οποία έχει την ιδιότητα πεπερασμένης τομής και η οποία περιέχει αυθαίρετα μικρά σύνολα έχει μη-κενή τομή. Μια ομοιομορφία U στον Χ είναι πλήρης εάν ο χώρος (Χ,U) είναι πλήρης. Πρόταση. Εάν η ομοιομορφία U στο Χ παράγεται από μια μετρική ρ, τότε ο ομοιόμορφος χώρος (Χ,U) είναι πλήρης εάν και μόνο εάν ο μετρικός χώρος (Χ, ρ) είναι πλήρης. Θεώρημα 4. Εάν (Χ,U) είναι πλήρης ομοιόμορφος χώρος, τότε για ένα υποσύνολο M ο ομοιόμορφος χώρος (Μ, U Μ ) είναι πλήρης εάν και μόνο εάν ο Μ είναι κλειστός στον Χ ως προς την τοπολογία που παράγεται από την U. Απόδειξη. Υποθέτουμε ότι ο χώρος (Μ, U Μ ) είναι πλήρης και θεωρούμε ένα σημείο x M. Έστω F η οικογένεια όλων των συνόλων B( x, V ) M, όπου V είναι μέλος της U κλειστό ως προς την τοπολογία που παράγεται από την U στον Χ x Χ. Προκύπτει από τα Πορίσματα και 5 του Κεφαλαίου ότι η οικογένεια F έχει την ιδιότητα πεπερασμένης τομής. Εύκολα βλέπουμε ότι η F αποτελείται από υποσύνολα του Μ κλειστά ως προς την τοπολογία που παράγεται από την U Μ και ότι η F περιέχει αυθαίρετα μικρά σύνολα. Καθώς I F {} x, προκύπτει από την πληρότητα του (Μ, U Μ ) ότι x M. Επιπλέον εάν ο (Χ,U) είναι πλήρης και το Μ είναι κλειστό στον Χ ως προς την τοπολογία που παράγεται από την U, τότε το γεγονός ότι ο χώρος (Μ, U Μ ) είναι πλήρης προκύπτει από τον ορισμό της πληρότητας. Λήμμα. Για κάθε μετρικοποιήσιμο ομοιόμορφο χώρο (Χ,U) υπάρχει πλήρης μετρικοποιήσιμος ομοιόμορφος χώρος (Υ, V) τέτοιος ώστε για κάποιο M Y ο χώρος (Χ,U) είναι ομοιόμορφα ισομορφικός στο χώρο (Μ,V M ). 6

27 Από το Θεώρημα του Κεφαλαίου το Θεώρημα 3 και το πιο πάνω λήμμα έχουμε: Θεώρημα 5. Κάθε πλήρης ομοιόμορφος χώρος είναι ομοιόμορφα ισομορφικός με κλειστό υποχώρο του Καρτεσιανού γινομένου μιας οικογένειας πλήρων μετρικοποιήσιμων ομοιόμορφων χώρων. Θεώρημα 6. Έστω {( S, U s ) S ομοιόμορφων χώρων. Το Καρτεσιανό γινόμενο ( πλήρης εάν και μόνο εάν όλοι οι χώροι ( S, Απόδειξη. Εάν το Καρτεσιανό γινόμενο ( 7 s } οικογένεια μη-κενών U s ) είναι s, U s ) είναι πλήρεις. s, U s ) είναι πλήρης, τότε κάθε χώρος ( S, U s ) είναι πλήρης, διότι είναι ομοιόμορφα ισομορφικός μ ένα κλειστό υποχώρο αυτού του Καρτεσιανού γινομένου. Η απόδειξη της πληρότητας του Καρτεσιανού γινομένου των πλήρων ομοιόμορφων χώρων είναι παρόμοια με την απόδειξη του θεωρήματος Tychonoff. Θεώρημα 7. Εάν (Χ,U) είναι ένας ομοιόμορφος χώρος και (Υ,V) πλήρης ομοιόμορφος χώρος, τότε κάθε ομοιόμορφα συνεχής απεικόνιση f :(Α,U Α ) (Υ,V), όπου Α είναι ένα υποσύνολο του Χ πυκνό ως προς την τοπολογία που παράγεται από την U, είναι επεκτάσιμη σε μια ομοιομόρφως συνεχή απεικόνιση F: (Χ,U) (Υ,V). Απόδειξη. Για κάθε x η οικογένεια { f ( B( x, U ) A) } U U έχει την ιδιότητα της πεπερασμένης τομής και περιέχει αυθαίρετα μικρά σύνολα. Ως εκ τούτου, δυνάμει της πληρότητας του χώρου (Υ,V), ο τύπος () F( x) = f ( B( x, U ) A) I U u ορίζει μια απεικόνιση του Χ στο Υ, από όπου εύκολα βλέπουμε ότι για κάθε x A έχουμε F ( x) = f ( x). Τώρα θα δείξουμε ότι η απεικόνιση F είναι ομοιομόρφως συνεχής. Για οποιοδήποτε W V παίρνουμε ένα V V τέτοιο ώστε 6 V W και ένα U U, ανοικτό ως προς την τοπολογία που παράγεται από την U στον Χ x, τέτοια ώστε για όλα τα α, α A

28 εάν α α < U, τότε ( α ) f ( α ) Κεφαλαίου προκύπτει ότι για κάθε M έχουμε (3) ( f ( M A) ) δ < V f <. 8 V Από το Πόρισμα 3 του 3 όποτε δ ( M ) < U Τώρα, θεωρούμε ένα ζευγάρι σημείων χ, y τέτοιο ώστε x y <U, και έστω B = B( x, U ) και B = B( y, U ). Η τομή B B είναι μη-κενή και ανοικτή στον Χ έτσι υπάρχει σημείο α A B B. Έχουμε f ( α ) f ( B A) f ( B A) και από την (3) συνεπάγεται ότι δ ( f ( B A) f ( B A)) < 6 V, έτσι από την () έχουμε F( x) F( y) < 6V W. Πόρισμα. Εάν (Χ,U) και (Υ,V) είναι πλήρεις ομοιόμορφοι χώροι τότε κάθε ομοιόμορφος ισομορφισμός του (Α,U Α ) στον (Β,V Β ), όπου Α και Β είναι πυκνά υποσύνολα των Χ και Υ αντιστοίχως, είναι επεκτάσιμος σ ένα ομοιόμορφο ισομορφισμό του (Χ,U) στον (Υ,V). Θεώρημα 8. Για κάθε ομοιόμορφο χώρο (Χ,U) υπάρχει ακριβώς ~ ένας πλήρης ομοιόμορφος χώρος (, U) τέτοιος ώστε για ένα πυκνό υποσύνολο Α του ~ ο χώρος (Χ,U ) είναι ομοιόμορφα ισομορφικός στον (Α, U Α ). Επιπλέον έχουμε w(u )=w(u) και εάν ο (Χ,U) είναι ~ ολικά φραγμένος χώρος, τότε ο (, U) είναι επίσης ολικά φραγμένος. ~ Απόδειξη. Η ύπαρξη του χώρου (, U) προκύπτει από τα: Θεώρημα, Λήμμα, Θεώρημα 3 και Θεώρημα 6, του ου Κεφαλαίου η ~ μοναδικότητα του (, U) είναι συνέπεια του Πορίσματος. Η ισότητα w(u )=w(u) προκύπτει από την Παρατήρηση 5 του Κεφαλαίου και του γεγονότος ότι εάν w(u )< ℵ, τότε η U είναι διακριτή ομοιομορφία. Τελικά, από το δεύτερο μέρος του Θεωρήματος, εάν ο (, U) είναι ολικά φραγμένος χώρος, τότε ο ~ (, U) είναι επίσης ολικά φραγμένος. ~ Ορισμός 8. Ο χώρος (, U) που ικανοποιεί τις συνθήκες του Θεωρήματος 8 ονομάζεται πλήρωση του ομοιόμορφου χώρου (, U). Ολοκληρώνουμε αυτή την ενότητα με μια αναφορά στις ομοιομορφίες των συμπαγών χώρων.

29 Θεώρημα 9. Για κάθε συμπαγή χώρο Χ υπάρχει ακριβώς μια ομοιομορφία U στο σύνολο Χ που παράγει την αρχική τοπολογία του Χ. Όλα τα entourages της διαγωνίου Δ που είναι ανοικτά στο Καρτεσιανό γινόμενο αποτελούν βάση για την ομοιομορφία U. Απόδειξη. Η ύπαρξη μιας ομοιομορφίαςu στον χώρο Χ προκύπτει από το Θεώρημα 5 του ου Κεφαλαίου. Θα δείξουμε ότι όλα τα entourages της διαγωνίου Δ που είναι ανοικτά στο αποτελούν μια βάση για την ομοιομορφία U. Από το γεγονός αυτό προκύπτει η μοναδικότητα της U. Από το Πόρισμα 5 του ου Κεφαλαίου προκύπτει ότι κάθε V U περιέχει entourage της διαγωνίου που είναι ανοικτό στο. Εξετάζουμε τώρα ένα ανοικτό entourage W της διαγωνίου Δ. Από την (U 4 ) και το Πόρισμα 5 του ου Κεφαλαίου έχουμε Δ = { V : V U } W. Εφαρμόζοντας τη συμπαγότητα του συμπεραίνουμε ότι υπάρχει μια πεπερασμένη οικογένεια { V, V,..., V k } U τέτοια ώστε Δ V V... Vk V V... Vk W. Έτσι από τις (U ) και (U ) έχουμε W U. Ορισμός 9. Ένας τοπολογικός χώρος καλείται αριθμήσιμος συμπαγής χώρος αν είναι Hausdorff και κάθε αριθμήσιμο ανοικτό κάλυμμα έχει πεπερασμένο υποκάλυμμα. Θεώρημα. Κάθε ομοιομορφία σε έναν αριθμήσιμο συμπαγή χώρο είναι ολικά φραγμένη. Θεώρημα. Κάθε ομοιομορφία σε έναν συμπαγή χώρο είναι πλήρης. Ορισμός. Ένας ομοιόμορφος χώρος (, U) ονομάζεται συμπαγής εάν το Χ με την τοπολογία που παράγεται από την U είναι συμπαγής χώρος. Θεώρημα. Ένας ομοιόμορφος χώρος (, U) είναι συμπαγής εάν και μόνο εάν είναι συγχρόνως ολικά φραγμένος και πλήρης. Απόδειξη. Από τα Θεωρήματα 9 και, αρκεί να αποδείξουμε ότι κάθε ομοιόμορφος χώρος (, U) που είναι ολικά φραγμένος και πλήρης είναι συμπαγής. Από το Θεώρημα 4 προκύπτει ότι ο (, U) 9

30 είναι ομοιόμορφα ισομορφικός μ έναν κλειστό υποχώρο του Καρτεσιανού γινομένου ( s, U s ), όπου οι χώροι ( S, U s ) είναι πλήρεις και μετρικοποιήσιμοι. Χωρίς απώλεια της γενικότητας μπορούμε να υποθέσουμε ότι = s, U= ( U s ) Χ και p s ( ) = s για κάθε s S. Δεδομένου ότι το ολικό φράξιμο είναι αναλλοίωτο των ομοιομόρφως συνεχών απεικονίσεων, οι χώροι ( p s ( ),(U s ) p s ( )) είναι ολικά φραγμένοι και το δεύτερο μέρος του Θεωρήματος συνάγει ότι οι χώροι (Χ s,u s ) είναι επίσης ολικά φραγμένοι. Ως εκ τούτου, από τις Προτάσεις, οι χώροι (Χ s,u s ) είναι συμπαγείς. Τέλος, εφαρμόζοντας το θεώρημα Tychonoff συμπεραίνουμε ότι ο χώρος (, U) είναι συμπαγής. Πόρισμα. Η πλήρωση ενός ομοιόμορφου χώρου (, U) είναι συμπαγής εάν και μόνο εάν ο (, U) είναι ολικά φραγμένος χώρος. 3

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΧΩΡΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Ορισμός. Έστω τοπολογικός χώρος και (Υ,U) ομοιόμορφος χώρος. Συμβολίζουμε με Y το σύνολο όλων των συνεχών απεικονίσεων του χώρου στον χώρο Υ, όπου ο Υ είναι εφοδιασμένος με την τοπολογία που παράγεται από την U. Για κάθε V U συμβολίζεται με Vˆ το entourage της διαγωνίου Δ Y xy που ορίζεται από τον τύπο Vˆ = ( f, g) : f (x) g(x) < V, x. Από τους τύπους: { } ˆ και U ˆ + V ˆ U + V U V ˆ = U V προκύπτει ότι η οικογένεια { V ˆ :V (BU3), δηλαδή είναι βάση για ομοιομορφία στο στο σύνολο U} έχει τις ιδιότητες (BU)- Y που παράγεται από την { V :V Y ˆ. Η ομοιομορφία U} καλείται ομοιομορφία της ομοιόμορφης σύγκλισης παραγόμενη από την U και συμβολίζεται ως û. Ορισμός. Έστω Χ Hausdorff χώρος, Z( ) είναι η οικογένεια όλων των συμπαγών υποσυνόλων του και (Υ,U) ομοιόμορφος χώρος. Η ομοιομορφία û Z( ) στον Y παράγεται από τη βάση που αποτελείται από όλες τις πεπερασμένες τομές των συνόλων της μορφής (3) Vˆ Ζ={ ( f, g) : f (x) g(x) < V, x Z }, όπου V U και Z Z( ). Παρατήρηση. Μπορούμε εύκολα να ελέγξουμε ότι η οικογένεια όλων των πεπερασμένων τομών των συνόλων Vˆ Ζ (βλέπε σχέση (3)) έχει τις ιδιότητες (BU)-(BU3). Η ομοιομορφία û Z( ) καλείται ομοιομορφία της ομοιόμορφης σύγκλισης στο compacta παραγόμενη από την U. 3

32 Λήμμα. Εάν η τοπολογία σε ένα χώρο Χ παράγεται από μια ομοιομορφία U, τότε για κάθε συμπαγές σύνολο Z και για οποιοδήποτε ανοικτό σύνολο G που περιέχει το Ζ υπάρχει ένα V U τέτοιο ώστε B( Z, V ) G. Απόδειξη. Για κάθε x Z επιλέγουμε V x U τέτοιο ώστε B( x,v x ) G. Από το Πόρισμα του Κεφαλαίου, η οικογένεια { Z IntB( x, Vx ): x Z} είναι ανοικτή κάλυψη του συνόλου Ζ. Οπότε υπάρχει πεπερασμένο σύνολο { x, x,..., x k } Z τέτοιο ώστε (4) Z IntB(, V ) IntB( x, V )... IntB( x, V ) x x x με V = Vx Vx... Vx U. Από την (4) έχουμε ότι για οποιοδήποτε k x Z υπάρχει ένα k τέτοιο ώστε x x < V x. Συνεπώς για κάθε x B ( x, V ) B( x, V x ) έχουμε x B( x, V x ) G,και επιπλέον B( Z, V ) G. Ορισμός 3. Έστω Χ, Υ τοπολογικοί χώροι. Η συμπαγή-ανοικτή τοπολογία στον Y ορίζεται να είναι η τοπολογία που έχει ως υποβάση τα σύνολα M ( Z, G) ={ f Y : f( Z ) G}, όπου Z Z(Χ) και G ανοικτό σύνολο του χώρου Y. Θεώρημα. Για κάθε χώρο Hausdorff Χ και οποιοδήποτε ομοιόμορφο χώρο (Υ,U) η τοπολογία στο Y που παράγεται από την ομοιομορφία û Z(Χ) συμπίπτει με τη συμπαγή-ανοικτή τοπολογία στο Y, όπου η Υ έχει την τοπολογία που παράγεται από τηνu. Απόδειξη. Συμβολίζουμε με O την τοπολογία στον 3 k x k Y που παράγεται από την ομοιομορφία û Z(Χ) και με O την συμπαγήανοικτή τοπολογία. Πρώτα από όλα θα αποδείξουμε ότι O O. Αρκεί να δείξουμε ότι όλα τα σύνολα M ( Z, G), όπου Z Z(Χ) και G ανοικτό υποσύνολο του Υ, ανήκει στο O. Θεωρούμε Z Z(Χ), ένα ανοικτό σύνολο G Y και f M ( Z, G). Επειδή ο Υ είναι χώρος Tychonoff, f ( Z ) είναι συμπαγής υποχώρος του G. Εφαρμόζοντας το Λήμμα παίρνουμε ένα V U τέτοιο ώστε B( f ( Z ), V ) G. Προφανώς έχουμε ότι B( f, Vˆ Ζ) M ( Z, G) και f είναι ένα αυθαίρετο στοιχείο του M ( Z, G). Οπότε M ( Z, G) O. Τώρα αποδεικνύουμε ότι O O. Αρκεί να δείξουμε ότι για οποιοδήποτε Z Z(Χ), V U και f Y υπάρχουν συμπαγή υποσύνολα Z, Z,..., Z k του Χ και ανοικτά σύνολα G, G,..., Gk του Υ

33 τέτοιοι ώστε f M ( Z G ) B k I =, ( f, Vˆ Ζ). Από το Πόρισμα 5 του Κεφαλαίου υπάρχει ένα entourage W U της διαγωνίου Δ Y Y το οποίο είναι κλειστό ως προς την τοπολογία που παράγεται από την U στο Y Y και ικανοποιεί την σχέση 3W V. Από την συμπάγια της f ( Z ) προκύπτει ότι υπάρχει ένα πεπερασμένο σύνολο { x, x,..., xk } Z τέτοιο ώστε f ( Z ) B( f ( x ), W ). Θα δείξουμε ότι τα σύνολα U k = Z = Z f ( B( f ( x ), W )) και G = IntB( f ( x ), W ) έχουν τις απαιτούμενες ιδιότητες. Ξεκινώντας παρατηρούμε ότι από την κλειστότητα του W στο Y Y προκύπτει η κλειστότητα των σφαιρών B( f ( x ), W ) στο Υ και η συμπάγια των συνόλων I k = Z. Επιπλέον, f M (, ). Τώρα 33 I k = Z G θεωρούμε απεικόνιση g M (, ). Για κάθε x Z υπάρχει ένα k τέτοιο ώστε Z f B f x, W f Z G x. Προφανώς έχουμε g( x) B( f ( x ), W ) και ( x) ( ( ) ). Έτσι, ( x ) g( x) < 3W V για κάθε x Z. Συνεπώς g B( f, Vˆ Ζ). Πόρισμα. Για κάθε συμπαγή χώρο Χ και οποιοδήποτε ομοιόμορφο χώρο (Υ,U) η τοπολογία στον Y που παράγεται από την ομοιομορφία û συμπίπτει με τη συμπαγή-ανοικτή τοπολογία στο Y και εξαρτάται μόνο από την τοπολογία που παράγεται στον Υ από την ομοιομορφίαu. Παρατήρηση. Για κάθε χώρο Tychonoff Υ υπάρχει ομοιομορφία U στον Υ που παράγει την αρχική τοπολογία του Υ. Από το Θεώρημα, η συμπαγής-ανοικτή τοπολογία στον Y παράγεται από μια ομοιομορφία στον Y έτσι ο χώρος Y με την συμπαγή-ανοικτή τοπολογία είναι χώρος Tychonoff. Για τις απεικονίσεις ενός τοπολογικού χώρου Χ σε ένα χώρο Tychonoff Υ κάποιος μπορεί να ορίσει την έννοια της ισοσυνέχειας ως προς μια ομοιομορφία U στον Υ. Ορισμός 4. Λέμε ότι μια οικογένεια F απεικονίσεων του Χ στο Υ είναι ισοσυνεχείς ως προς μια ομοιομορφίαu στο χώρο Υ εάν για κάθε x και οποιοδήποτε V U υπάρχει γειτονιά G του σημείου x τέτοια ώστε f ( x ) f ( x ) <V όταν f F και x G.

34 Στη συνέχεια διατυπώνουμε βασικά αποτελέσματα της θεωρίας των ομοιόμορφων χώρων για θεωρήματα τύπου Ascol. Ορισμός 5. Μια οικογένεια των απεικονίσεων F Y είναι evenly contnuous εάν για κάθε x, κάθε y Y και οποιαδήποτε γειτονιά Η του y υπάρχει γειτονιά G του x και γειτονιά H του y τέτοιες ώστε από τις συνθήκες f F και f ( x) H να συνεπάγεται ότι f ( G) H. Λήμμα. Έστω Χ τοπολογικός χώρος, Υ χώρος Tychonoff και U ομοιομορφία στον Υ. Εάν η οικογένεια F Y απεικονίσεων του Χ στον Υ είναι ισοσυνεχής ως προς τηνu, τότε η οικογένεια F είναι evenly contnuous. Απόδειξη. Υποθέτουμε ότι F Y είναι ισοσυνεχής ως προς μια ομοιομορφία U. Θεωρούμε x, y Y και μια γειτονιά H του y. Παίρνουμε ένα V U που ικανοποιεί τη σχέση B( y,v ) H και μια γειτονιά G του σημείου x τέτοια ώστε f ( x ) f ( x ) <V όποτε f F και x G. Έστω H = B( y, V ) και θεωρούμε ένα f F τέτοιο ώστε f ( x) H. Επειδή f ( x ) H, y f ( x) <V, έτσι για κάθε x G έχουμε y f ( x ) < V, δηλαδή f ( x ) B( y,v ) H. Οπότε f ( G) H το οποίο δείχνει ότι η οικογένεια F είναι evenly contnuous. Λήμμα 3. Έστω Χ τοπολογικός χώρος, Υ χώρος Tychonoff και U ομοιομορφία στον Υ. Εάν η οικογένεια F Y απεικονίσεων του Χ στον Υ είναι evenly contnuous και για κάθε x το σύνολο { f ( x ): f F} έχει συμπαγές περίβλημα, τότε η οικογένεια F είναι ισοσυνεχής ως προς την ομοιομορφίαu. Απόδειξη. Υποθέτουμε ότι F Y είναι evenly contnuous και τα σύνολα A( x) = { f ( x) : f F} είναι συμπαγή. Έστω x και V U. Θεωρούμε W U τέτοιο ώστε W V. Επίσης, για κάθε y A( x) και κάθε γειτονιά H ( y) = IntB( y, W ) του y επιλέγουμε γειτονιά G ( y) του x και γειτονιά H ( y) του y τέτοιες ώστε οι συνθήκες f F και f ( x ) H ( y) να συνεπάγουν τη σχέση f ( G( y) ) H ( y). Το σύνολο A ( x) είναι συμπαγές και υπάρχει ένα πεπερασμένο σύνολο { y, y,..., yk } ( x) τέτοιο ώστε A( x) H ( ) A 34 U k = y. Έστω f F και x σημείο της γειτονιάς G = G( y) του σημείου x. Υπάρχει ένα k τέτοιο ώστε f ( x ) H ( ), έτσι έχουμε I k = y

35 f ( G( y )) H ( y ). Αφού το x και το x ανήκουν στο G ( y ), έχουμε f ( x ), f ( x ) H ( y ), δηλαδή f ( x ) f ( x ) <V. Συνεπώς η οικογένεια F είναι ισοσυνεχής ως προς την ομοιομορφία U. Ορισμός 6. Ένας Hausdorff χώρος Χ καλείται k-χώρος αν τα ανοιχτά υποσύνολά του είναι τα U Χ με την ιδιότητα το U Z να είναι ανοικτό στο Ζ για κάθε συμπαγές υποσύνολο Ζ Χ. Παρατηρήσεις: () Ο Χ είναι k-χώρος αν και μόνον αν τα κλειστά υποσύνολά του είναι τα σύνολα F με την ιδιότητα το F Z είναι κλειστό στο Ζ για κάθε συμπαγές υποσύνολο Ζ του Χ. () Αποδεικνύεται ότι: α) Κάθε τοπικά συμπαγής χώρος είναι k-χώρος. β) Αν ο Χ είναι k-χώρος και F κλειστό, τότε ο F είναι k-χώρος. γ) Αν ο Χ είναι k-χώρος και ο Y συμπαγής, τότε ο Y είναι k-χώρος. Θεώρημα (ASCOLI). Έστω Χ k-χώρος, Υ χώρος Tychonoff και U μια ομοιομορφία στον Υ. Ένα κλειστό υποσύνολο F του χώρου Y με την συμπαγή-ανοικτή τοπολογία είναι συμπαγές εάν και μόνο εάν η F είναι ισοσυνεχής ως προς την ομοιομορφίαu και το σύνολο { f ( x) : f F} Y έχει συμπαγές περίβλημα για κάθε x. 35

36 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ [] Isbell, J. R. Unform spaces. Mathematcal Surveys, No. Amercan Mathematcal Socety, Provdence, R.I. 964 [] James, I. M. Introducton to unform spaces. London Mathematcal Socety Lecture Note Seres, 44. Cambrdge Unversty Press, Cambrdge, 99. [3] James, I. M. Topologcal and unform spaces. Undergraduate Texts n Mathematcs. Sprnger-Verlag, New York, 987. [4] Tukey, John W. Convergence and Unformty n Topology. Annals of Mathematcs Studes, no.. Prnceton Unversty Press, Prnceton, N. J., 94 [5] Bourbak,Ncolas Elements of mathematcs. General topology. Part. Hermann, Pars; Addson-Wesley Publshng Co., Readng, Mass.-London- Don Mlls, Ont. 966 [6] Bourbak,Ncolas Elements of mathematcs. General topology. Part. Hermann, Pars; Addson-Wesley Publshng Co., Readng, Mass.-London- Don Mlls, Ont [7] Encyclopeda of general topology. Edted by Klaas Peter Hart, Jun-t Nagata and Jerry E. Vaughan. Elsever Scence Publshers, B.V., Amsterdam, 4. [8] Wllard, Stephen General topology. Reprnt of the 97 orgnal [Addson-Wesley, Readng, MA; MR6458]. Dover Publcatons, Inc., Mneola, NY, 4. [9] Kelley, John L. General topology. D. Van Nostrand Company, Inc., Toronto-New York-London, 955. [] Csaszar, Akos General Topology. Translated from the Hungaran by Klara Csaszar. Adam Hlger Ltd., Brstol, 978. [] Nagata, Jun-t Modern general topology. Second edton. North- Holland Mathematcal Lbrary, 33. North-Holland Publshng Co., Amsterdam,