Αντιστρέψιµα και µη αντιστρέψιµα συστήµατα

Transcript

1 Αντιστρέψιµα και µη αντιστρέψιµα συστήµατα Ένα σύστηµα λέγεται αντιστρέψιµο, όταν η γνώση του σήµατος εξόδου καθιστά εφικτό τον υπολογισµό του σήµατος εισόδου. x () y ( ) c x ( ) x () y() Αντίστροφο σύστηµα c x() x () y ( ) x 2 ( ) εν αντιστρέφεται x (n) y ( n) x( k ) x (n) y(n) n k Αντίστροφο σύστηµα x ( n) x ( n ) Εισαγωγή στα συστήµατα 2-2

2 Η διαδικασία αντιστροφής ενός συστήµατος S συνίσταται στον προσδιορισµό ενός συστήµατος S τοοποίοσυνδεόµενοσεσειράµετο S, παρέχειστηνέξοδότουτοσήµαεισόδουτου S. y () x () y () S S z ( ) x ( ) Αντίστροφο σύστηµα Μεταδιδόµενο σήµα x () Λαµβανόµενο σήµα y () Κανάλι έκτης z () x () Ο δέκτης αποτελεί τον αντιστροφέα του καναλιού. Ο σκοπός του δέκτη είναι η ανάκτηση του µεταδιδόµενου σήµατος Εισαγωγή στα συστήµατα 2-22

3 A Στατικά Συστήµατα ή συστήµατα χωρίς µνήµη Ένα σύστηµα χαρακτηρίζεται ως στατικό σύστηµα ή σύστηµα χωρίς µνήµη όταν για κάθε σήµα εισόδου η αντίστοιχη έξοδος για κάθε χρονική στιγµή, εξαρτάται µόνο από την τιµή της εισόδου την ίδια χρονική στιγµή. x() χωρίς µνήµη Η είσοδος και η έξοδος συστήµατος χωρίς µνήµη. υναµικά Συστήµατα ή συστήµατα µε µνήµη Σεραφείµ Καραµπογιάς y() B x() A µε µνήµη Η είσοδος και η έξοδος συστήµατος µε µνήµη. y() Εισαγωγή στα συστήµατα 2-23

4 Ευστάθεια Σεραφείµ Καραµπογιάς Μία από τις σηµαντικότερες έννοιες στην θεωρία συστηµάτων είναι αυτή της ευστάθειας. x() x() y() y() Στο σύστηµα το σφαιρίδιο ισορροπεί και αν εφαρµοστεί µία µικρή οριζόντια δύναµη για µικρό χρονικό διάστηµα θα µετακινηθεί λίγο και θα επανέλθει στην αρχική του θέση µετά από κάποιες ταλαντώσεις (το σύστηµα θεωρείται πραγµατικό και παρουσιάζει τριβές). Πρόκειται για ένα ευσταθές σύστηµα. Στο σύστηµα το σφαιρίδιο ισορροπεί αλλά αν µετακινηθεί λίγο λόγω µικρής και περιορισµένης διάρκειας οριζόντιας δύναµης, θα κυλίσει προς τα κάτω και δεν πρόκειται ποτέ να επανέλθει στην αρχική του θέση, κατάσταση που εκφράζει ότι το σύστηµα είναι ασταθές. Παρατηρήστε ότι η απόκριση, η κατακόρυφη θέση, θα αυξάνει µε το χρόνο χωρίς περιορισµό. x() Στο σύστηµα µία µικρή και περιορισµένης διάρκειας οριζόντια δύναµη θα µετακινήσει λίγο το σφαιρίδιο, το οποίο θα παραµείνει εκεί που θα πάει, όπου έχει την ίδια απόκριση (κατακόρυφη θέση). Η κατάσταση αυτή αδιάφορης ισορροπίας, εκφράζει την οριακή ευστάθεια. Εισαγωγή στα συστήµατα 2-24

5 Ευστάθεια Σεραφείµ Καραµπογιάς Ένα σύστηµα λέγετε ότι είναι ΦΕΦΕ ευσταθές (ευστάθεια Φραγµένης Εισόδου Φραγµένης Εξόδου) (Bounded Inpu Bounded Oupu (BIBO) sable) αν και µόνον αν για κάθε φραγµένη είσοδοηέξοδόςτουπαραµένειφραγµένη. Φραγµένη εισόδος M Ευσταθές σύστηµα x ( ) y ( ) M 2 ευσταθές. Φραγµένη έξοδος Φραγµένη εισόδος x ( ) M Μη ευσταθές σύστηµα µη ευσταθές. Μη φραγµένη έξοδος Εισαγωγή στα συστήµατα 2-25

6 ζουµε την έξοδο ενός γραµµικού χρονικά αναλλοίωτου συστήµατος, αν γνωρίζουµε α) το σήµα εισόδου του συστήµατος και x() ΓΧΑ y() Σχέση µεταξύ Εισόδου - Εξόδου συστήµατος Στην ενότητα αυτή θα διατυπώσουµε τη σχέση µε τη βοήθεια της οποίας προσδιορίβ) την απόκριση του συστήµατος (το σήµα εξόδου), όταν αυτό διεγείρεται από τη δ() δ () ΓΧΑ { δ ( )} h( ) S S { δ ( ) } Ορίζουµε ως κρουστική απόκριση του συστήµατος την έξοδο του συστήµατος όταν το σήµα εισόδου είναι η κρουστική συνάρτηση Εισαγωγή στα συστήµατα 2-26

7 Το ολοκλήρωµα της συνέλιξης (συγκερασµού). x() ΓΧΑ h() h () ) y() Το σήµα εξόδου του συστήµατος δίνεται από τη σχέση y () x(τ ) h ( τ ) Η σχέση αυτή είναι γνωστή ως ολοκλήρωµα της συνέλιξης, και συµβολίζεται ως y( ) h( ) x( ) Το ολοκλήρωµα της συνέλιξης γράφεται και ως y () h(τ ) x ( τ ) Εισαγωγή στα συστήµατα 2-27

8 h() x () y() Σεραφείµ Καραµπογιάς Παρατηρούµε ότι σε ένα ΓΧΑ σύστηµα αρκεί η γνώση µιας µόνο συνάρτησης, της h(), για να περιγραφεί πλήρως η σχέση µεταξύ του σήµατος εισόδου x() και του σήµατος εξόδου y() του συστήµατος µε τη βοήθεια του ολοκληρώµατος της συνέλιξης. y( ) h( ) x( ) x(τ ) Η πράξη η οποία συνδυάζει δύο σήµατα x() και h() για το σχηµατισµό του σήµατος y() καλείται συνέλιξη. Αντοσύστηµαείναιαιτιατότότετοσήµαεξόδουτουσυστήµατοςδίνεταιαπότην Αν το σήµα εισόδου είναι αιτιατό σήµα, τότε το σήµα εξόδου δίνεται από την y( ) h( ) x( ) x(τ ) y( ) h( ) x( ) x(τ ) h h h ( τ ) ( τ ) ( τ ) Εισαγωγή στα συστήµατα 2-28

9 Ένα ΓΧΑ σύστηµα είναι ΦΕΦΕ ευσταθές, αν η κρουστική του απόκριση είναι απόλυτα ολοκληρώσιµη, δηλαδή, αν h() h (ξ ) Το σήµα εισόδου είναι φραγµένο, δηλαδή είναι y ( ) x( τ ) h( τ ) dξ x () y() y() < + x(τ ) h M x ( τ ) h( τ ) M h( τ ) y ( ) M h( ξ ) dξ x(τ ) ( τ ) < τ ξ και επειδή η κρουστική του απόκριση είναι απόλυτα ολοκληρώσιµη έπεταιότικαιτοσήµα εξόδουτουσυστήµατοςείναιεπίσηςφραγµένο, οπότε το σύστηµα είναι ΦΕΦΕ ευσταθές. M 2 Εισαγωγή στα συστήµατα 2-29

10 Το σύστηµα το οποίο περιγράφεται από τη σχέση σήµατος εισόδου σήµατος εξόδου y () x ( τ ) αναφέρεται ως σύστηµα µέσης τιµής. Να υπολογιστεί η κρουστική απόκριση του συστήµατος. x (τ ) h() x( ) δ ( ) y ( ) h( ) h() τ h() δ ( τ ) δ (τ ) d u(τ ) u(τ ) u() u( ) d u(τ ) δ ( τ ) d τ d u( τ ) Π 2 Εισαγωγή στα συστήµατα 2-3

11 Το σύστηµα το οποίο περιγράφεται από τη σχέση σήµατος εισόδου σήµατος εξόδου y () x ( τ ) αναφέρεται ως σύστηµα µέσης τιµής. Να εξετάσετε, αν το σύστηµα είναι γραµµικό. Έστω y ( ) x τ ) ( και y 2 ( ) x τ ) 2 ( η απόκρισητουσυστήµατοςστογραµµικόσυνδυασµότωνδύοσηµάτων x () και x 2 () είναι y() a [ a x τ ) + β x ( τ )] ( 2 x ( τ ) + β x τ ) 2 ( y() a y ( ) + β y2 ( ) παρατηρούµε ότι η y() ισούται µε τον αντίστοιχο γραµµικό συνδυασµό των αποκρίσεων του συστήµατος στο καθένα από τα σήµατα αυτά, εποµένως το σύστηµα είναι γραµµικό. Εισαγωγή στα συστήµατα 2-3

12 Το σύστηµα το οποίο περιγράφεται από τη σχέση σήµατος εισόδου σήµατος εξόδου y () x ( τ ) αναφέρεται ως σύστηµα µέσης τιµής. Να εξετάσετε, αν το σύστηµα είναι χρονικά αναλλοίωτο. Έστω y () x ( τ ) ηέξοδοςτουσυστήµατοςγιασήµαεισόδου x(). Η απόκριση του συστήµατος σε χρονική ολίσθηση του σήµατος x() είναι y( ) S{ x( )} x ξ ) dξ ( τ ξ x ( τ ) ( ) y παρατηρούµε ότι χρονική ολίσθηση του σήµατος εισόδου προκαλεί αντίστοιχη χρονική ολίσθηση στο σήµα εξόδου, εποµένως το σύστηµα είναι χρονικά αναλλοίωτο Το σύστηµα είναι αιτιατό αφού η έξοδός του εξαρτάται µόνο από την παρούσα και προηγού- µενεςτιµέςτηςεισόδουτου. Εισαγωγή στα συστήµατα 2-32