Μοντέλα Διανομής και Δικτύων

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μοντέλα Διανομής και Δικτύων"

Transcript

1 Μοντέλα Διανομής και Δικτύων

2 2 Πρόβλημα μεταφοράς (1) Τα προβλήματα μεταφοράς ανακύπτουν συχνά σε περιπτώσεις σχεδιασμού διανομής αγαθών και υπηρεσιών από τα σημεία προσφοράς προς τα σημεία ζήτησης (πώλησης) Συνήθως, οι διαθέσιμες ποσότητες προϊόντων σε κάθε σημείο προσφοράς (πηγή) είναι περιορισμένες και οι ζητούμενες ποσότητες σε κάθε σημείο ζήτησης (προορισμός) είναι δεδομένες Στόχος των προβλημάτων μεταφοράς είναι η ελαχιστοποίηση του κόστους μεταφοράς των αγαθών από τις πηγές προς τους προορισμούς

3 3 Πρόβλημα μεταφοράς (2) Θα εξετάσουμε το πρόβλημα μεταφοράς της Foster Generators Το πρόβλημα αναφέρεται στη μεταφορά προϊόντων από τρία εργοστάσια προς τέσσερα κέντρα διανομής Η εταιρία κατέχει τρία εργοστάσια, στο Cleveland, στο Bedford και στο York Η δυναμικότητα παραγωγής ως προς ένα συγκεκριμένο τύπο προϊόντος για το προσεχές τρίμηνο είναι η εξής: Πηγή Εργοστάσιο Δυναμικότητα παραγωγής (μονάδες) 1 Cleveland Bedford York Σύνολο

4 4 Πρόβλημα μεταφοράς (3) Η διανομή των προϊόντων πραγματοποιείται από τέσσερα περιφερειακά κέντρα διανομής (Boston, Chicago, St. Louis και Lexington) Εκτιμάται ότι η ζήτηση ανά κέντρο διανομής για το προσεχές τρίμηνο είναι: Προορισμός Κέντρο διανομής Εκτίμηση ζήτησης (μονάδες) 1 Boston Chicago St. Louis Lexington Σύνολο

5 5 Πρόβλημα μεταφοράς (4) Το κόστος μεταφοράς ανά μονάδα μεταξύ των πηγών και των προορισμών παρουσιάζεται στον παρακάτω Πίνακα Πηγή Προορισμός Boston Chicago St. Louis Lexington Cleveland Bedford York Η διοίκηση της εταιρίας επιθυμεί να προσδιορίσει τον αριθμό των μονάδων που θα μεταφερθούν από κάθε εργοστάσιο προς κάθε κέντρο διανομής

6 6 Πρόβλημα μεταφοράς (5) Το δίκτυο του προβλήματος είναι το εξής:

7 7 Πρόβλημα μεταφοράς (6) Σκοπός είναι ο προσδιορισμός των διαδρομών που θα χρησιμοποιηθούν και των ποσοτήτων που θα διακινηθούν μέσω κάθε διαδρομής ώστε να ελαχιστοποιείται το συνολικό κόστος μεταφοράς Οι μεταβλητές απόφασης θα είναι οι εξής: x ij : ο αριθμός των μονάδων που μεταφέρονται από την πηγή i στον προορισμό j, i=1,2,3 και j=1,2,3,4

8 8 Πρόβλημα μεταφοράς (7) Η αντικειμενική συνάρτηση (που πρέπει να ελαχιστοποιηθεί) αποτελείται από το άθροισμα των κοστών μεταφοράς από κάθε πηγή σε καθένα από τους τέσσερις προορισμούς κόστος μεταφοράς των μονάδων από το Cleveland 3x x x x 14 κόστος μεταφοράς των μονάδων από το Bedford 7x x x x 24 κόστος μεταφοράς των μονάδων από το York 2x x x x 34

9 9 Πρόβλημα μεταφοράς (8) Περιορισμοί προσφοράς πηγών 1. x 11 + x 12 + x 13 + x x 21 + x 22 + x 23 + x x 31 + x 32 + x 33 + x Περιορισμοί ζήτησης κέντρων διανομής 1. x 11 + x 21 + x 31 = x 12 + x 22 + x 32 = x 13 + x 23 + x 33 = x 14 + x 24 + x 34 = 1.500

10 10 Πρόβλημα μεταφοράς (9) Το συνολικό μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού για το πρόβλημα της μεταφοράς της Foster Generators Min 3x x x x x21 + 5x x x x x x x 34 subject to x 11 + x 12 + x 13 + x x 21 + x 22 + x 23 + x x 31 + x 32 + x 33 + x x 11 + x 21 + x 31 = x 12 + x 22 + x 32 = x 13 + x 23 + x 33 = x 14 + x 24 + x 34 = x ij 0, i=1,2,3 και j=1,2,3,4

11 11 Πρόβλημα μεταφοράς (10) Βέλτιστη λύση για το πρόβλημα μεταφοράς τηςfoster Generators

12 12 Πρόβλημα μεταφοράς Παραλλαγές (1) Συνολική προσφορά διάφορη της συνολικής ζήτησης Συχνά, η συνολική προσφορά είναι διάφορη της συνολικής ζήτησης Εάν η συνολική προσφορά υπερβαίνει τη συνολική ζήτηση δεν απαιτείται τροποποίηση του μοντέλου του γραμμικού προγραμματισμού Η υπερβάλλουσα προσφορά θα εμφανιστεί ως χαλαρή τιμή στη βέλτιστη λύση του προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού Η χαλαρή τιμή για οποιαδήποτε πηγή ερμηνεύεται ως αχρησιμοποίητη προσφορά ή ως ο αριθμός των μονάδων που δεν μεταφέρθηκαν από την πηγή

13 13 Πρόβλημα μεταφοράς Παραλλαγές (2) Συνολική προσφορά διάφορη της συνολικής ζήτησης Εάν η συνολική προσφορά είναι μικρότερη από τη συνολική ζήτηση το μοντέλο του γραμμικού προγραμματισμού δεν έχει εφικτή λύση Σε αυτή την περίπτωση τροποποιούμε το δίκτυο προσθέτοντας μια εικονική πηγή, με προσφορά ίση με τη διαφορά συνολικής ζήτησης και συνολικής προσφοράς Με την προσθήκη της εικονική πηγής και των ακμών από την εικονική πηγή προς κάθε προορισμό, το μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού αποκτά εφικτή λύση Το κόστος που θα αντιστοιχηθεί σε κάθε ακμή της εικονικής πηγής είναι μηδενικό, ώστε η τιμή της βέλτιστης λύσης να αντιπροσωπεύει το κόστος μεταφοράς των μονάδων που θα μεταφερθούν στην πραγματικότητα (στην πράξη δε θα πραγματοποιηθούν μεταφορές από την εικονική πηγή) Εφόσον επιλυθεί το τροποποιημένο μοντέλο, οι προορισμοί που εμφανίζονται να λαμβάνουν προϊόντα από την εικονική πηγή θα είναι οι προορισμοί που θα παρουσιάσουν έλλειμμα (ζήτηση που δεν ικανοποιείται)

14 14 Πρόβλημα μεταφοράς Παραλλαγές (3) Αντικειμενική συνάρτηση μεγιστοποίησης Σε ορισμένες περιπτώσεις προβλημάτων μεταφοράς, ο στόχος είναι ο προσδιορισμός της βέλτιστης λύσης που μεγιστοποιεί τα κέρδη ή τα έσοδα Χρησιμοποιώντας τα ανά μονάδα κέρδη ή έσοδα ως συντελεστές της αντικειμενικής συνάρτησης, ουσιαστικά επιλύουμε ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης αντί για ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης Οι εν λόγω τροποποιήσεις δεν επηρεάζουν τους ήδη υφιστάμενους περιορισμούς του αρχικού μοντέλου

15 15 Πρόβλημα μεταφοράς Παραλλαγές (4) Δυναμικότητα διαδρομών ή ελάχιστες ποσότητες διαδρομών Υπάρχει η δυνατότητα ενσωμάτωσης στο μοντέλο στοιχείων δυναμικότητας των διαδρομών ή ελάχιστης ποσότητας διαδρομών Για παράδειγμα, θεωρείστε ότι στο παράδειγμα της Foster Generators η διαδρομή York-Boston (πηγή 3 προορισμός 1) έχει δυναμικότητα μονάδων, εξαιτίας περιορισμένης χωρητικότητας του μέσου μεταφοράς που χρησιμοποιείται Συμβολίζοντας με x 31 τον αριθμό των μονάδων που μεταφέρονται από το York στο Boston, ο περιορισμός της διαδρομής York- Boston θα είναι: x

16 16 Πρόβλημα μεταφοράς Παραλλαγές (5) Δυναμικότητα διαδρομών ή ελάχιστες ποσότητες διαδρομών Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να ορίσουμε ελάχιστες ποσότητες διαδρομών Για παράδειγμα, η σχέση x εξασφαλίζει ότι θα καλυφθεί η δέσμευση της εταιρίας ως προς μια μεταφορά τουλάχιστον μονάδων από το Bedford (πηγή 2) προς το Chicago (προορισμός 2)

17 17 Πρόβλημα μεταφοράς Παραλλαγές (6) Μη αποδεκτές διαδρομές Ενδέχεται να μην είναι δυνατή η δημιουργία διαδρομών από κάθε πηγή προς κάθε προορισμό Για να διαχειριστούμε αυτή την κατάσταση, διαγράφουμε τη συγκεκριμένη ακμή από το δίκτυο και την αντίστοιχη μεταβλητή από το μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού Για παράδειγμα, αν η διαδρομή Cleveland-St. Louis (πηγή 1 προορισμός 3) ήταν μη αποδεκτή ή ήταν αδύνατο να χρησιμοποιηθεί, θα αφαιρούσαμε τη μεταβλητή x 13 από το μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού

18 18 Πρόβλημα εκχώρησης (1) Ένα τυπικό πρόβλημα εκχώρησης μπορεί να αναφέρεται σε ανάθεση εργασιών σε μηχανήματα υπαλλήλων σε έργα Εμπορικών αντιπροσώπων σε εμπορικές περιφέρειες συμβολαίων σε συμμετέχοντες σε διαγωνισμό, κλπ. Ένα χαρακτηριστικό που διαφοροποιεί τα προβλήματα εκχώρησης από άλλα προβλήματα λήψης αποφάσεων είναι ότι σε έναν υπάλληλο θα ανατεθεί ένα και μόνο ένα έργο Στόχος θα μπορούσε να είναι ο προσδιορισμός των αναθέσεων που ελαχιστοποιούν το κόστος, ελαχιστοποιούν το χρόνο ή μεγιστοποιούν το κέρδος

19 19 Πρόβλημα εκχώρησης (2) Ας εξετάσουμε την περίπτωση της Fowle Marketing Reserch, η οποία μόλις έλαβε εντολή να διενεργήσει έρευνα αγοράς για τρεις διαφορετικούς πελάτες της Η εταιρία αντιμετωπίζει το πρόβλημα της ανάθεσης κάθε πελάτη (έργο) σε έναν υπεύθυνο έργου (υπάλληλος) Τρεις υπάλληλοι της Fowle είναι διαθέσιμοι για να αναλάβουν υπηρεσία ως υπεύθυνοι έργου Ο απαιτούμενος χρόνος για την ολοκλήρωση κάθε έρευνας θα εξαρτηθεί από την εμπειρία και ικανότητα του υπεύθυνου έργου που θα την αναλάβει Τα τρία έργα έχουν τον ίδιο βαθμό προτεραιότητας και η διεύθυνση της εταιρίας επιδιώκει την ελαχιστοποίηση του συνολικού αριθμού των ημερών που θα απαιτηθούν για την ολοκλήρωση και των τριών έργων Εάν κάθε πελάτης μπορεί να ανατεθεί σε ένα μόνο υπεύθυνο, με ποιον τρόπο θα γίνει η ανάθεση;

20 20 Πρόβλημα εκχώρησης (3) Για να απαντηθεί το συγκεκριμένο ερώτημα, θα πρέπει να εξετάσουμε όλους τους πιθανούς συνδυασμούς υπεύθυνου έργου πελάτη και κατόπιν να εκτιμήσουμε τους αντίστοιχους χρόνους ολοκλήρωσης έργου Για τρεις υπεύθυνους έργου και τρεις πελάτες, οι πιθανές εναλλακτικές υποθέσεις είναι εννέα Οι εναλλακτικές υποθέσεις και οι αντίστοιχοι χρόνοι ολοκλήρωσης παρουσιάζονται στον ακόλουθο Πίνακα Υπεύθυνος έργου Πελάτης Terry Carle McClymonds

21 21 Πρόβλημα εκχώρησης (4) Το δίκτυο του προβλήματος είναι το εξής:

22 22 Πρόβλημα εκχώρησης (5) Το πρόβλημα εκχώρησης αποτελεί ειδική περίπτωση του προβλήματος μεταφοράς, όπου όλες οι τιμές προσφοράς και ζήτησης ισούνται με τη μονάδα και η ποσότητα που μεταφέρεται μέσω κάθε ακμής είναι 0 ή 1 Οι μεταβλητές απόφασης για το πρόβλημα εκχώρησης της Fowle είναι οι εξής: x ij = 1 εάν στον υπεύθυνο έργου i ανατεθεί ο πελάτης j ή 0 εάν στον υπεύθυνο έργου i δεν ανατεθεί ο πελάτης j, i=1,2,3 και j=1,2,3

23 23 Πρόβλημα εκχώρησης (6) Η αντικειμενική συνάρτηση (που πρέπει να ελαχιστοποιηθεί) είναι το άθροισμα των χρόνων ολοκλήρωσης κάθε ενός από τα τρία έργα Ημέρες που απαιτούνται για την ανάθεση του Terry 10x x x 13 Ημέρες που απαιτούνται για την ανάθεση του Carle 9x x x 23 Ημέρες που απαιτούνται για την ανάθεση του McClymonds 6x x x 33

24 24 Πρόβλημα εκχώρησης (7) Οι περιορισμοί για το πρόβλημα εκχώρησης αποτυπώνουν τις απαιτήσεις του προβλήματος (σε κάθε υπεύθυνο έργου δεν μπορούν να ανατεθούν περισσότεροι από ένας πελάτες και σε κάθε πελάτη αντιστοιχεί μόνο ένας υπεύθυνος έργου) x 11 + x 12 + x 13 1 x 21 + x 22 + x 23 1 x 31 + x 32 + x 33 1 (ανάθεση Terry) (ανάθεση Carle) x 11 + x 21 + x 31 = 1 (πελάτης 1) x 12 + x 22 + x 32 = 1 (πελάτης 2) x 13 + x 23 + x 33 = 1 (πελάτης 3) (ανάθεση McClymonds) Επειδή ο αριθμός των υπεύθυνων έργου ισούται με τον αριθμό των πελατών, όλοι οι περιορισμοί μπορούν να διατυπωθούν ως ισότητες Όταν όμως ο αριθμός των υπεύθυνων έργου υπερβαίνει τον αριθμό των πελατών, θα πρέπει να χρησιμοποιηθούν περιορισμοί της μορφής για τους περιορισμούς του υπεύθυνου έργου

25 25 Πρόβλημα εκχώρησης (8) Το μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού της Fowle Marketing Research είναι το ακόλουθο Min 10x x x x x x x x x 33 subject to x 11 + x 12 + x 13 1 x 21 + x 22 + x 23 1 (ανάθεση Terry) (ανάθεση Carle) x 31 + x 32 + x 33 1 (ανάθεση McClymonds) x 11 + x 21 + x 31 = 1 (πελάτης 1) x 12 + x 22 + x 32 = 1 (πελάτης 2) x 13 + x 23 + x 33 = 1 (πελάτης 3) x ij 0, i=1,2,3 και j=1,2,3

26 26 Πρόβλημα εκχώρησης Παραλλαγές (1) Συνολικός αριθμός υπαλλήλων διάφορος του συνολικού αριθμού έργων Εάν ο αριθμός των υπαλλήλων υπερβαίνει τον αριθμό των πελατών, οι επιπλέον υπάλληλοι δε θα αναλάβουν κανένα έργο Εάν ο αριθμός των υπαλλήλων είναι μικρότερος από τον αριθμό των πελατών, το μοντέλο του γραμμικού προγραμματισμού δεν έχει εφικτή λύση Στην περίπτωση αυτή μια απλή λύση είναι να προσθέσουμε τόσους εικονικούς υπεύθυνους έργου, ώστε ο αριθμός των υπεύθυνων έργου να ισούται με τον αριθμό των πελατών Οι συντελεστές της αντικειμενικής συνάρτησης για τους εικονικούς υπεύθυνους έργου θα είναι μηδενικοί, προκειμένου η τιμή της βέλτιστης λύσης να αντιστοιχεί μόνο στο συνολικό αριθμό ημερών που απαιτούνται για τα έργα, τα οποία θα ανατεθούν σε πραγματικούς υπεύθυνους έργων (τα έργα που θα ανατεθούν σε εικονικούς υπεύθυνους έργων δε θα πραγματοποιηθούν)

27 27 Πρόβλημα εκχώρησης Παραλλαγές (2) Αντικειμενική συνάρτηση μεγιστοποίησης Εάν οι εναλλακτικές επιλογές εκτιμηθούν σε όρους κέρδους ή εσόδων, αντί κόστους ή χρόνου, το μοντέλο μπορεί να επιλυθεί ως πρόβλημα μεγιστοποίησης

28 28 Πρόβλημα εκχώρησης Παραλλαγές (3) Μη αποδεκτές αναθέσεις Εάν μία ή περισσότερες αναθέσεις είναι μη αποδεκτές, θα αφαιρέσουμε τις αντίστοιχες μεταβλητές από μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού Μια τέτοια περίπτωση θα μπορούσε να προκύψει εάν ένας υπάλληλος δε διαθέτει την απαιτούμενη εμπειρία (ή τις απαιτούμενες ικανότητες / γνώσεις) για να αναλάβει ένα ή περισσότερα έργα

29 29 Πρόβλημα μεταφόρτωσης (1) Το πρόβλημα μεταφόρτωσης αποτελεί επέκταση του προβλήματος μεταφοράς, με προσθήκη ενδιάμεσων κόμβων (κόμβοι μεταφόρτωσης), οι οποίοι αντιπροσωπεύουν ενδιάμεσους σταθμούς μεταφοράς (π.χ. αποθήκες) Οι μεταφορές είναι δυνατές μεταξύ κάθε ζεύγους από τα τρία είδη κόμβων: από πηγές προς κόμβους μεταφόρτωσης και στη συνέχεια προς προορισμούς από μια πηγή προς μια άλλη πηγή από ένα σημείο μεταφόρτωσης προς ένα άλλο σημείο μεταφόρτωσης από έναν προορισμό προς έναν άλλο προορισμό απευθείας από μια πηγή προς έναν περιορισμό

30 30 Πρόβλημα μεταφόρτωσης (2) Στόχος είναι ο προσδιορισμός των μονάδων που θα μεταφερθούν σε κάθε ακμή του δικτύου, προκειμένου να καλυφθεί πλήρως η ζήτηση των προορισμών με το ελάχιστο δυνατό κόστος μεταφοράς

31 31 Πρόβλημα μεταφόρτωσης (3) Η εταιρία Ryan Electronics κατασκευάζει προϊόντα πληροφορικής και διαθέτει μονάδες παραγωγής στο Denver και στην Atlanta Τα έτοιμα προϊόντα των δύο μονάδων αποστέλλονται στις δύο περιφερειακές της εταιρίας στο Kansas City και στο Louisville Οι αποθήκες προμηθεύουν με προϊόντα τα καταστήματα λιανικής της εταιρίας στο Detroit, στο Miami, στο Dallas και στη New Orleans Στο δίκτυο του προβλήματος λοιπόν υπάρχουν: 2 κόμβοι πηγής 2 κόμβοι μεταφόρτωσης 4 κόμβοι προορισμού

32 32 Πρόβλημα μεταφόρτωσης (4) Το ανά μονάδα κόστος μεταφοράς των διαδρομών παρουσιάζεται στους επόμενους Πίνακες Εργοστάσιο Kansas City Αποθήκη Louisville Denver 2 3 Atlanta 3 1 Αποθήκη Καταστήματα λιανικής Detroit Miami Dallas New Orleanes Kansas City Louisville

33 33 Πρόβλημα μεταφόρτωσης (5) Το δίκτυο που προβλήματος είναι το εξής:

34 34 Πρόβλημα μεταφόρτωσης (6) Θα διατυπώσουμε ένα περιορισμό για κάθε κόμβο και μια μεταβλητή για κάθε ακμή x ij : ο αριθμός των μονάδων που θα μεταφερθούν από τον κόμβο i στον κόμβο j Αντικειμενική συνάρτηση Min 2x x x 23 + x x x x x x x x x 48 Περιορισμοί κόμβων πηγής Ο αριθμός των μονάδων που θα μεταφερθεί από το Denver (κόμβος 1) πρέπει να είναι ίσος ή μικρότερος του 600 (προσφορά) x 13 + x (Denver) Ο αριθμός των μονάδων που θα μεταφερθεί από την Atlanta (κόμβος 2) πρέπει να είναι ίσος ή μικρότερος του 400 (προσφορά) x 23 + x (Atlanta)

35 35 Πρόβλημα μεταφόρτωσης (7) Περιορισμοί κόμβων μεταφόρτωσης Ο αριθμός των μονάδων που εξέρχονται από το Kansas City (κόμβος 3) πρέπει να είναι ίσος με τον αριθμό των μονάδων που εισέρχονται σε αυτό x 35 + x 36 + x 37 + x 38 = x 13 + x 23 (Kansas City) Ο αριθμός των μονάδων που εξέρχονται από το Louisville (κόμβος 4) πρέπει να είναι ίσος με τον αριθμό των μονάδων που εισέρχονται σε αυτό x 45 + x 46 + x 47 + x 48 = x 14 + x 24 (Louisville)

36 36 Πρόβλημα μεταφόρτωσης (8) Περιορισμοί κόμβων προορισμού Ο αριθμός των μονάδων που θα εισέλθουν στο Detroit (κόμβος 5) πρέπει να είναι ίσος με 200 (ζήτηση) x 35 + x 45 = 200 (Detroit) Ο αριθμός των μονάδων που θα εισέλθουν στο Miami (κόμβος 6) πρέπει να είναι ίσος με 150 (ζήτηση) x 36 + x 46 = 150 (Miami) Ο αριθμός των μονάδων που θα εισέλθουν στο Dallas (κόμβος 7) πρέπει να είναι ίσος με 350 (ζήτηση) x 37 + x 47 = 350 (Dallas) Ο αριθμός των μονάδων που θα εισέλθουν στο New Orleans (κόμβος 8) πρέπει να είναι ίσος με 300 (ζήτηση) x 38 + x 48 = 300 (New Orleans)

37 37 Πρόβλημα μεταφόρτωσης (9) Το μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού για το πρόβλημα της Ryan Electronics είναι το εξής: Min 2x x x 23 + x x x x x x x x x 48 subject to x 13 + x x 23 + x (Denver) (Atlanta) x 35 + x 36 + x 37 + x 38 -x 13 - x 23 = 0 (Kansas City) x 45 + x 46 + x 47 + x 48 - x 14 - x 24 = 0 (Louisville) x 35 + x 45 = 200 x 36 + x 46 = 150 x 37 + x 47 = 350 x 38 + x 48 = 300 (Detroit) (Miami) (Dallas) x ij 0 για κάθε i και j (New Orleans)

38 38 Πρόβλημα μεταφόρτωσης (10) Όπως αναφέραμε στην αρχή της ενότητας, στα προβλήματα μεταφόρτωσης οι ακμές μπορούν να συνδέσουν οποιοδήποτε ζεύγος κόμβων Στην περίπτωση αυτή, χρησιμοποιούμε πάλι έναν περιορισμό ανά κόμβο, αλλά ο περιορισμός θα περιλαμβάνει μια μεταβλητή για κάθε ακμή που εξέρχεται ή εισέρχεται στο συγκεκριμένο κόμβο για οποιοδήποτε είδος κόμβων

39 39 Πρόβλημα μεταφόρτωσης (11) Για τους κόμβους πηγής Το άθροισμα των μεταφερόμενων αγαθών που εισέρχονται στον κόμβο μείον το άθροισμα των μεταφερόμενων αγαθών που εξέρχονται από αυτόν θα πρέπει να είναι μικρότερο ή ίσο με την προσφορά του κόμβου Για τους κόμβους μεταφόρτωσης Το άθροισμα των μεταφερόμενων αγαθών που εξέρχονται από τον κόμβο θα πρέπει να είναι ίσο με το άθροισμα των μεταφερόμενων αγαθών που εισέρχονται σε αυτόν Για τους κόμβους προορισμού Το άθροισμα των μεταφερόμενων αγαθών που εισέρχονται στον κόμβο μείον το άθροισμα των μεταφερόμενων αγαθών που εξέρχονται από αυτόν θα πρέπει να είναι ίσο με τη ζήτηση του κόμβου

40 40 Πρόβλημα μεταφόρτωσης (12) Έστω ότι τροποποιούμε το πρόβλημα της Ryan Electronics Υποθέτουμε ότι είναι δυνατές οι εξής απευθείας αποστολές προϊόντων από την Atlanta (κόμβος 2) προς τη New Orleans (κόμβος 8) με κόστος $4 ανά μονάδα από το Dallas (κόμβος 7) προς τη New Orleans (κόμβος 8) με κόστος $1 ανά μονάδα

41 41 Πρόβλημα μεταφόρτωσης (13) Το δίκτυο του τροποποιημένου προβλήματος είναι το εξής:

42 42 Πρόβλημα μεταφόρτωσης (14) Το μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού για το τροποποιημένο πρόβλημα της Ryan Electronics είναι το εξής: Min 2x x x 23 + x x x x x x x x x x 28 + x 78 subject to x 13 + x (Denver) x 23 + x 24 + x (Atlanta) x 35 + x 36 + x 37 + x 38 -x 13 - x 23 = 0 (Kansas City) x 45 + x 46 + x 47 + x 48 - x 14 - x 24 = 0 (Louisville) x 35 + x 45 = 200 x 36 + x 46 = 150 x 37 + x 47 - x 78 = 350 (Detroit) (Miami) (Dallas) x 38 + x 48 + x 28 + x 78 = 300(New Orleans) x ij 0 για κάθε i και j

43 43 Πρόβλημα μεταφόρτωσης Παραλλαγές Οι παραλλαγές που υπάρχουν είναι οι εξής: Συνολική ζήτηση διάφορη της συνολικής προσφοράς Αντικειμενική συνάρτηση μεγιστοποίησης Δυναμικότητα διαδρομών ή ελάχιστες ποσότητες διαδρομών Μη αποδεκτές διαδρομές Οι απαιτούμενες τροποποιήσεις του μοντέλου γραμμικού προγραμματισμού, για την ενσωμάτωση των ανωτέρω παραλλαγών, είναι όμοιες με αυτές του προβλήματος μεταφοράς

44 44 Πρόβλημα συντομότερης διαδρομής (1) Προσδιορισμός της συντομότερης (με το χαμηλότερο κόστος) διαδρομής μεταξύ δύο κόμβων ενός δικτύου H Gorman Construction Company είναι μια κατασκευαστική εταιρία με έργα τοποθετημένα σε τρεις περιφέρειες Το πλήθος των απαιτούμενων μεταφορών προσωπικού, εξοπλισμού και υλικών, από τα γραφεία της Gorman προς τα εργοτάξια σε ημερήσια βάση, καθιστά το κόστος μεταφοράς μια παράμετρο εξαιρετικής σημαντικότητας Οι εναλλακτικές διαδρομές από τα γραφεία της Gorman προς τα εργοτάξια περιγράφονται από δίκτυο διαδρομών της επόμενης διαφάνειας Οι αποστάσεις μεταξύ των κόμβων μετριούνται σε χιλιόμετρα και παρουσιάζονται επάνω από τις αντίστοιχες ακμές του δικτύου

45 45 Πρόβλημα συντομότερης διαδρομής (2)

46 46 Πρόβλημα συντομότερης διαδρομής (3) Η εταιρία επιθυμεί να προσδιορίσει τη διαδρομή που θα ελαχιστοποιήσει τη συνολική απόσταση μεταξύ των γραφείων της (κόμβος 1), ενός κόμβου προορισμού (κόμβος 6) και τεσσάρων κόμβων μεταφόρτωσης (κόμβοι 2, 3, 4 και 5) Το δίκτυο μεταφόρτωσης για το πρόβλημα συντομότερης διαδρομής της Gorman απεικονίζεται στην επόμενη διαφάνεια Τα βέλη των ακμών αντιπροσωπεύουν την κατεύθυνση της ροής, η οποία είναι πάντοτε από τον κόμβο πηγής προς τον κόμβο προορισμού Σε κάθε ζεύγος κόμβων μεταφόρτωσης αντιστοιχούν δύο προσανατολισμένες ακμές Η απόσταση μεταξύ δύο κόμβων μεταφόρτωσης είναι η ίδια, ανεξάρτητα από τον προσανατολισμό της ακμής

47 47 Πρόβλημα συντομότερης διαδρομής (4)

48 48 Πρόβλημα συντομότερης διαδρομής (5) Για τον προσδιορισμό της συντομότερης διαδρομής μεταξύ του κόμβου 1 και του κόμβου 6, θεωρούμε ότι η προσφορά του κόμβου 1 και η ζήτηση του κόμβου 6 είναι ίση με τη μονάδα x ij : ο αριθμός των μονάδων που μεταφέρονται από τον κόμβο i στον κόμβο j Επειδή μόνο μία μονάδα θα μεταφερθεί από τον κόμβο 1 προς τον κόμβο 6, η τιμή του x ij θα είναι 1 ή 0 Συνεπώς, αν x ij = 1, η ακμή από τον κόμβο i προς τον κόμβο j περιλαμβάνεται στη συντομότερη διαδρομή από τον κόμβο 1 στον κόμβο 6 Αντίθετα, αν x ij = 0, η ακμή από τον κόμβο i προς τον κόμβο j δεν περιλαμβάνεται στη συντομότερη διαδρομή από τον κόμβο 1 στον κόμβο 6

49 49 Πρόβλημα συντομότερης διαδρομής (6) Επειδή στόχος μας είναι η ελαχιστοποίηση της διαδρομής (η εύρεση της διαδρομής με το μικρότερο κόστος) μεταξύ του κόμβου 1 και του κόμβου 6, η αντικειμενική συνάρτηση για το πρόβλημα της Gorman είναι: Min 25x x x x x x x x x x x x x 56 Επειδή στον κόμβο πηγή η εξερχόμενη ροή πρέπει να είναι ίση με την προσφορά, ο περιορισμός για τον κόμβο 1 είναι: x 12 + x 13 = 1 (κόμβος 1) Επειδή στον κόμβο προορισμό η εισερχόμενη ροή πρέπει να είναι ίση με τη ζήτησης, ο περιορισμός για τον κόμβο 6 είναι: x 26 + x 46 + x 56 = 1 (κόμβος 6)

50 50 Πρόβλημα συντομότερης διαδρομής (7) Για τους κόμβους μεταφόρτωσης θα πρέπει η ροή από τον κόμβο μείον τη ροή προς τον κόμβο να είναι ίση με μηδέν Οι περιορισμοί για τους κόμβους μεταφόρτωσης είναι οι εξής: x 23 + x 24 + x 26 x 12 x 32 x 42 = 0 (κόμβος 2) x 32 + x 35 x 13 x 23 x 53 = 0 (κόμβος 3) x 42 + x 45 + x 46 x 24 x 54 = 0 (κόμβος 4) x 53 + x 54 + x 56 x 35 x 45 = 0 (κόμβος 5)

51 51 Πρόβλημα συντομότερης διαδρομής (8) Το μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού για το πρόβλημα ελάχιστης διαδρομής της Gorman Company είναι: Min 25x x x x x x x x x x x x x 56 subject to x 12 + x 13 = 1 (κόμβος 1) x 26 + x 46 + x 56 = 1 (κόμβος 6) x 23 + x 24 + x 26 x 12 x 32 x 42 = 0 (κόμβος 2) x 32 + x 35 x 13 x 23 x 53 = 0 (κόμβος 3) x 42 + x 45 + x 46 x 24 x 54 = 0 (κόμβος 4) x 53 + x 54 + x 56 x 35 x 45 = 0 (κόμβος 5) x ij 0 για κάθε i και j

52 52 Πρόβλημα μέγιστης ροής (1) Ο προσδιορισμός της μέγιστης ροής (οχημάτων, μηνυμάτων, υγρών, κλπ.) που μπορεί να εισέλθει και να εξέλθει από ένα σύστημα δικτύου σε μια δεδομένη χρονική περίοδο Το μέγιστο ύψος ροής μιας ακμής ενός δικτύου αναφέρεται ως δυναμικότητα ροής της ακμής Παρόλο που σε αυτού του τύπου τα προβλήματα δεν προσδιορίζεται η δυναμικότητα των κόμβων, υποθέτουμε ότι οι εκροές από κάθε κόμβο ισούνται με τις εισροές προς αυτόν

53 53 Πρόβλημα μέγιστης ροής (2) Έστω το οδικό σύστημα του Cincinnati του οποίου η ροή οχημάτων ανέρχεται σε οχήματα ανά ώρα, σε ώρες αιχμής Εξαιτίας έργων συντήρησης, κρίθηκε απαραίτητη η παύση λειτουργίας ορισμένων λωρίδων κυκλοφορίας και η μείωση των ορίων ταχύτητας Για το λόγο αυτό, προτείνεται η χρήση ενός δικτύου εναλλακτικών διαδρομών από την επιτροπή σχεδιασμού του συστήματος συγκοινωνιών Οι εναλλακτικές διαδρομές περιλαμβάνουν άλλους αυτοκινητόδρομους και τοπικές οδούς Οι διαφορές στα όρια ταχύτητας και στην ένταση της κυκλοφορίας διαφοροποιούν τη δυναμικότητα ροής των εναλλακτικών διαδρομών

54 54 Πρόβλημα μέγιστης ροής (3) Το προτεινόμενο δίκτυο είναι το εξής:

55 55 Πρόβλημα μέγιστης ροής (4) Θα αναπτύξουμε ένα μοντέλο μεταφόρτωσης με περιορισμούς δυναμικότητας ροής για το πρόβλημα μέγιστης ροής Αρχικά, θα προσθέσουμε μία ακμή με προσανατολισμό από τον κόμβο 7 προς τον κόμβο 1, για να αναπαραστήσουμε τη συνολική ροή του οδικού συστήματος Σε αυτή την επιπρόσθετη ακμή δεν αναφέρεται δυναμικότητα Θα επιδιώξουμε τη μεγιστοποίηση της ροής της συγκεκριμένης ακμής, δηλαδή τη μεγιστοποίηση του αριθμού των οχημάτων που θα διέλθουν μέσα από το οδικό δίκτυο του Cincinnati

56 56 Πρόβλημα μέγιστης ροής (5) Το τροποποιημένο δίκτυο είναι το εξής:

57 57 Πρόβλημα μέγιστης ροής (6) Οι μεταβλητές απόφασης έχουν την ακόλουθη μορφή: x ij : ροή οχημάτων από τον κόμβο i στον κόμβο j Όπως σε όλα τα προβλήματα μεταφόρτωσης, σε κάθε ακμή αντιστοιχεί μία μεταβλητή και σε κάθε κόμβο αντιστοιχεί ένας περιορισμός Η αντικειμενική συνάρτηση που μεγιστοποιεί τη ροή του οδικού συστήματος είναι: Max x 71

58 58 Πρόβλημα μέγιστης ροής (7) Για κάθε κόμβο διατυπώνεται ένας περιορισμός διατήρησης ροής, ο οποίος αντιπροσωπεύει την απαίτηση για εξίσωση της ροής προς και από τον κόμβο x 12 + x 13 + x 14 - x 71 = 0 (κόμβος 1) x 23 + x 25 - x 12 - x 32 = 0 (κόμβος 2) x 32 + x 34 + x 35 + x 36 - x 13 - x 23 = 0 (κόμβος 3) x 46 - x 14 - x 34 = 0 (κόμβος 4) x 56 + x 57 - x 25 - x 35 - x 65 = 0 (κόμβος 5) x 65 + x 67 - x 36 - x 46 - x 56 = 0 (κόμβος 6) x 71 - x 57 - x 67 = 0 (κόμβος 7)

59 59 Πρόβλημα μέγιστης ροής (8) Επιπλέον, πρέπει να διατυπώσουμε 14 περιορισμούς για να εξασφαλιστεί η τήρηση της δυναμικότητας των 14 ακμών x 12 5 x 13 6 x 14 5 x 23 2 x 25 3 x 32 2 x 34 3 x 35 3 x 36 7 x 46 5 x 56 1 x 57 8 x 65 1 x 67 7

60 60 Πρόβλημα μέγιστης ροής (9) Το συνολικό μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού είναι ως εξής: Max x 71 subject to x 12 + x 13 + x 14 - x 71 = 0 (κόμβος 1) x 23 + x 25 - x 12 - x 32 = 0 (κόμβος 2) x 32 + x 34 + x 35 + x 36 - x 13 - x 23 = 0 (κόμβος 3) x 46 - x 14 - x 34 = 0 (κόμβος 4) x 56 + x 57 - x 25 - x 35 - x 65 = 0 (κόμβος 5) x 65 + x 67 - x 36 - x 46 - x 56 = 0 (κόμβος 6) x 71 - x 57 - x 67 = 0 (κόμβος 7) x 12 5 x 13 6 x 14 5 x 23 2 x 25 3 x 32 2 x 34 3 x 35 3 x 36 7 x 46 5 x 56 1 x 57 8 x 65 1 x 67 7 x ij 0 για κάθε i και j

61 61 Πρόβλημα μέγιστης ροής (10) Η μέγιστη ροή του οδικού δικτύου του Cincinnati φαίνεται παρακάτω:

62 62 Εφαρμογή στην παραγωγή και διατήρηση αποθεμάτων (1) Η Contois Carpets είναι μια μικρή ταπητουργία, η οποία κατασκευάζει χαλιά για οικιακή και επαγγελματική χρήση Η δυναμικότητα παραγωγής, η ζήτηση, το κόστος παραγωγής ανά τετραγωνικό μέτρο και το κόστος αποθήκευσης ανά τετραγωνικό μέτρο για τα προσεχή τέσσερα τρίμηνα, παρουσιάζονται στον Πίνακας της επόμενης διαφάνειας Σημειώνεται ότι η δυναμικότητα παραγωγής, η ζήτηση και το κόστος παραγωγής ανά τ.μ. διαφοροποιούνται ανά τρίμηνο, ενώ το κόστος αποθήκευσης είναι σταθερό ($0,25 ανά τ.μ.)

63 63 Εφαρμογή στην παραγωγή και διατήρηση αποθεμάτων (2) Τρίμηνο Δυναμικότητα παραγωγής (τ.μ.) Ζήτηση (τ.μ.) Κόστος παραγωγής ($/τ.μ.) Κόστος αποθήκευσης ($/τ.μ.)

64 64 Εφαρμογή στην παραγωγή και διατήρηση αποθεμάτων (3) Η Contois επιθυμεί να προσδιορίσει το μέγεθος της παραγωγής της ανά τρίμηνο, προκειμένου να ελαχιστοποιηθεί το συνολικό κόστος παραγωγής και αποθήκευσης κατά την εξεταζόμενη περίοδο Αρχικά, θα διατυπώσουμε το πρόβλημα με τη μορφή δικτύου Δημιουργούμε τέσσερις κόμβους που αντιπροσωπεύουν την παραγωγή κάθε τριμήνου και τέσσερις κόμβους που αντιπροσωπεύουν τη ζήτηση κάθε τριμήνου Κάθε κόμβος παραγωγής συνδέεται με τον κόμβο ζήτησης του αντίστοιχου τριμήνου με μια προσανατολισμένη ακμή Η ροή κάθε ακμής αντιπροσωπεύει τα τ.μ. χαλιού που παράγεται κάθε τρίμηνο

65 65 Εφαρμογή στην παραγωγή και διατήρηση αποθεμάτων (4) Κάθε προσανατολισμένη ακμή που ξεκινάει από έναν κόμβο ζήτησης αντιπροσωπεύει το μέγεθος των αποθεμάτων (τ.μ. χαλιού) που μεταφέρονται στον κόμβο ζήτησης της επόμενης περιόδου Στην εικόνα της επόμενης διαφάνειας παρουσιάζεται το μοντέλο του δικτύου Οι κόμβοι 1-4 αντιπροσωπεύουν την παραγωγή κάθε τριμήνου και οι κόμβοι 5-8 τη ζήτηση κάθε τριμήνου Η δυναμικότητα παραγωγής για κάθε τρίμηνο παρουσιάζεται στο αριστερό περιθώριο, ενώ η ζήτηση στο δεξί περιθώριο

66 66 Εφαρμογή στην παραγωγή και διατήρηση αποθεμάτων (5)

67 67 Εφαρμογή στην παραγωγή και διατήρηση αποθεμάτων (6) Στόχος είναι ο προσδιορισμός ενός σχεδίου παραγωγής και διατήρησης αποθεμάτων που ελαχιστοποιεί το συνολικό κόστος για την εξεταζόμενη περίοδο Min 2x x x x x x x 78 Οι περιορισμοί αφορούν τη δυναμικότητα παραγωγής και τη ζήτηση κάθε τριμήνου Σε κάθε κόμβο αντιστοιχεί ένας περιορισμός και σε κάθε ακμή μια μεταβλητή

68 68 Εφαρμογή στην παραγωγή και διατήρηση αποθεμάτων (7) Συμβολίζουμε με x 15 τα τ.μ. χαλιού που θα παραχθούν κατά το πρώτο τρίμηνο Η δυναμικότητα παραγωγής για το πρώτο τρίμηνο ανέρχεται σε 600 τ.μ., άρα ο αντίστοιχος περιορισμός είναι: x (δυναμικότητα παραγωγής πρώτου τριμήνου) Με παρόμοιο τρόπο προκύπτουν οι περιορισμοί προσφοράς για τα τρίμηνα 2-4: x x x (δυναμικότητα παραγωγής δεύτερου τριμήνου) (δυναμικότητα παραγωγής τρίτου τριμήνου) (δυναμικότητα παραγωγής τέταρτου τριμήνου)

69 69 Εφαρμογή στην παραγωγή και διατήρηση αποθεμάτων (8) Στη συνέχεια διατυπώνουμε τους περιορισμούς που αναφέρονται στους κόμβους της ζήτησης Αναφορικά με τον κόμβο 5, μια ακμή εισέρχεται στον κόμβο και αντιπροσωπεύει τα τ.μ. χαλιού που παράγονται κατά το πρώτο τρίμηνο Μια ακμή εξέρχεται από αυτόν και αντιπροσωπεύει τα τ.μ. χαλιού που δε θα πωληθούν κατά το πρώτο τρίμηνο και θα μεταφερθούν προς πώληση στο δεύτερο τρίμηνο Γενικά, για κάθε τρίμηνο, το απόθεμα αρχής (έναρξης), εφόσον προσθέσουμε την παραγωγή και αφαιρέσουμε το απόθεμα τέλους (λήξης), θα πρέπει να ισούται με τη ζήτηση

70 70 Εφαρμογή στην παραγωγή και διατήρηση αποθεμάτων (9) Επειδή στο πρώτο τρίμηνο δεν υπάρχει απόθεμα αρχής, ο περιορισμός για τον κόμβο 5 είναι: x 15 x 56 = 400 (ζήτηση πρώτου τριμήνου) Οι περιορισμοί που αναφέρονται στη ζήτηση του δεύτερου του τρίτου και του τέταρτου τριμήνου είναι: x 56 + x 26 x 67 = 500 x 67 + x 37 x 78 = 400 x 78 + x 48 = 400 (ζήτηση δεύτερου τριμήνου) (ζήτηση τρίτου τριμήνου) (ζήτηση τέταρτου τριμήνου)

71 71 Εφαρμογή στην παραγωγή και διατήρηση αποθεμάτων (10) Το πλήρες μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού για το πρόβλημα της Contois Carpets είναι: Min 2x x x x x x x 78 subject to x (δυναμικότητα παραγωγής πρώτου τριμήνου) x (δυναμικότητα παραγωγής δεύτερου τριμήνου) x (δυναμικότητα παραγωγής τρίτου τριμήνου) x (δυναμικότητα παραγωγής τέταρτου τριμήνου) x 15 x 56 = 400 (ζήτηση πρώτου τριμήνου) x 56 + x 26 x 67 = 500 (ζήτηση δεύτερου τριμήνου) x 67 + x 37 x 78 = 400 (ζήτηση τρίτου τριμήνου) x 78 + x 48 = 400 (ζήτηση τέταρτου τριμήνου) x ij 0 για κάθε i και j

3. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ( Transportation )

3. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ( Transportation ) 3. ΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ 3. ΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ( Transportation ) Σε αυτή την ενότητα θα ασχοληθούμε με προβλήματα που αφορούν τη μεταφορά αγαθών από διαφορετικά σημεία παραγωγής ή κεντρικής αποθήκευσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200 ΑΣΚΗΣΗ Η εταιρεία logistics Orient Express έχει αναλάβει τη διακίνηση των φορητών προσωπικών υπολογιστών γνωστής πολυεθνικής εταιρείας σε πελάτες που βρίσκονται στο Hong Kong, τη Σιγκαπούρη και την Ταϊβάν.

Διαβάστε περισσότερα

Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Ένα πολυσταδιακό πρόβλημα που αφορά στον τριμηνιαίο προγραμματισμό για μία βιομηχανική επιχείρηση παραγωγής ελαστικών (οχημάτων) Γενικός προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα Μεταφοράς

Το Πρόβλημα Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφοράς Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4ο: Δικτυωτή Ανάλυση

Κεφάλαιο 4ο: Δικτυωτή Ανάλυση Κεφάλαιο ο: Δικτυωτή Ανάλυση. Εισαγωγή Η δικτυωτή ανάλυση έχει παίξει σημαντικό ρόλο στην Ηλεκτρολογία. Όμως, ορισμένες έννοιες και τεχνικές της δικτυωτής ανάλυσης είναι πολύ χρήσιμες και σε άλλες επιστήμες.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

m 1 min f = x ij 0 (8.4) b j (8.5) a i = 1

m 1 min f = x ij 0 (8.4) b j (8.5) a i = 1 KΕΦΑΛΑΙΟ 8 Προβλήµατα Μεταφοράς και Ανάθεσης 8. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Μια ειδική κατηγορία προβληµάτων γραµµικού προγραµµατισµού είναι τα προβλήµατα µεταφοράς (Π.Μ.), στα οποία επιζητείται η ελαχιστοποίηση του κόστους

Διαβάστε περισσότερα

3.12 Το Πρόβλημα της Μεταφοράς

3.12 Το Πρόβλημα της Μεταφοράς 312 Το Πρόβλημα της Μεταφοράς Σ αυτή την παράγραφο και στις επόμενες μέχρι το τέλος του κεφαλαίου θα ασχοληθούμε με μερικά σπουδαία είδη προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού Οι ειδικές αυτές περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις)

Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις) Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις) ΤΕΙ Ηπείρου (Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής) Γκόγκος Χρήστος (06-01-2015) 1. Γραφική επίλυση προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού A) Με τη βοήθεια της γραφικής

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Το πρόβλημα του ελάχιστου ζευγνύοντος δένδρου

4.4 Το πρόβλημα του ελάχιστου ζευγνύοντος δένδρου . Το πρόβλημα του ελάχιστου ζευγνύοντος δένδρου Σ αυτή την παράγραφο θα εξεταστεί μια παραλλαγή του προβλήματος της συντομότερης διαδρομής, το πρόβλημα του ελάχιστου ζευγνύοντος δένδρου. Σ αυτό το πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα #: Εφαρμογές του Γραμμικού Προγραμματισμού Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ

2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ 2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Ο Συγκεντρωτικός Προγραμματισμός Παραγωγής (Aggregae Produion Planning) επικεντρώνεται: α) στον προσδιορισμό των ποσοτήτων ανά κατηγορία προϊόντων και ανά χρονική

Διαβάστε περισσότερα

Λυμένες ασκήσεις στα πλαίσια του μαθήματος «Διοίκηση Εφοδιαστικής Αλυσίδας»

Λυμένες ασκήσεις στα πλαίσια του μαθήματος «Διοίκηση Εφοδιαστικής Αλυσίδας» Λυμένες ασκήσεις στα πλαίσια του μαθήματος «Διοίκηση Εφοδιαστικής Αλυσίδας» Άσκηση 1. Έστω ότι μια επιχείρηση αντιμετωπίζει ετήσια ζήτηση = 00 μονάδων για ένα συγκεκριμένο προϊόν, σταθερό κόστος παραγγελίας

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation)

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Μέθοδος Simplex για Προβλήµατα Μεταφοράς Προβλήµατα Εκχώρησης (assignment) Παράδειγµα: Κατανοµή Νερού Η υδατοπροµήθεια µιας περιφέρεια

Διαβάστε περισσότερα

2 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

2 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗN ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 2 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Μ. Καρλαύτης Ν. Λαγαρός Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες Χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Το µαθηµατικό µοντέλο του Υδρονοµέα

Το µαθηµατικό µοντέλο του Υδρονοµέα Ερευνητικό έργο: Εκσυγχρονισµός της εποπτείας και διαχείρισης του συστήµατος των υδατικών πόρων ύδρευσης της Αθήνας Το µαθηµατικό µοντέλο του Υδρονοµέα Ανδρέας Ευστρατιάδης και Γιώργος Καραβοκυρός Τοµέας

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήματα Ελάχιστου Κόστους Ροής σε Δίκτυο. Δίκτυα Ροής Ελάχιστου Κόστους (Minimum Cost Flow Networks)

Προβλήματα Ελάχιστου Κόστους Ροής σε Δίκτυο. Δίκτυα Ροής Ελάχιστου Κόστους (Minimum Cost Flow Networks) Προβλήματα Ελάχιστου Κόστους Ροής σε Δίκτυο Ορισμοί Παραδείγματα Δικτυακή Simplex (προβλήματα με και χωρίς φραγμούς). Δίκτυα Ροής Ελάχιστου Κόστους (Minimum ost Flow Networks) Ένα δίκτυο μεταφόρτωσης αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Εισαγωγή Ασχολείται με το πρόβλημα της άριστης κατανομής των περιορισμένων πόρων μεταξύ ανταγωνιζόμενων δραστηριοτήτων μιας επιχείρησης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Παράδειγμα προβλήματος ελαχιστοποίησης Μια κατασκευαστική εταιρία κατασκευάζει εξοχικές κατοικίες κοντά σε γνωστά θέρετρα της Εύβοιας Η

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2009 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΜΑ 1 ο Η Περιφέρεια Κεντρικής Μακεδονίας σχεδιάζει την ανάπτυξη ενός συστήματος αυτοκινητοδρόμων

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρία Δυαδικότητας Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Βασικά Θεωρήματα 2. Παραδείγματα 3. Οικονομική Ερμηνεία

Διαβάστε περισσότερα

Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ

Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ Η «OutBoard Motors Co» παράγει τέσσερα διαφορετικά είδη εξωλέμβιων (προϊόντα 1 4) Ο γενικός διευθυντής κ. Σχοινάς, ενδιαφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Δ.Α.Π. Ν.Δ.Φ.Κ. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΕΙΡΑΙΩΣ www.dap-papei.gr ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 ΑΣΚΗΣΗ 1 Η FASHION Α.Ε είναι μια από

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κ4.1 Μέθοδος ανάλυσης νεκρού σημείου για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής ή σημείου παραγωγής Επιλογή διαδικασίας παραγωγής Η μέθοδος ανάλυσης νεκρού για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής αναγνωρίζει

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ) Εικονικές Παράμετροι Μέχρι στιγμής είδαμε την εφαρμογή της μεθόδου Simplex σε προβλήματα όπου το δεξιό μέλος ήταν θετικό. Δηλαδή όλοι οι περιορισμοί ήταν της μορφής: όπου Η παραδοχή ότι b 0 μας δίδει τη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κ4.1 Μέθοδος ανάλυσης νεκρού σημείου για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής ή σημείου παραγωγής Επιλογή διαδικασίας παραγωγής Η μέθοδος ανάλυσης νεκρού για την επιλογή

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα Διαχείρισης Αποθεμάτων

Μοντέλα Διαχείρισης Αποθεμάτων Μοντέλα Διαχείρισης Αποθεμάτων 2 Εισαγωγή (1) Ο όρος απόθεμα αναφέρεται σε προϊόντα και υλικά που αποθηκεύονται από την επιχείρηση για μελλοντική χρήση Τα αποθέματα μπορεί να περιλαμβάνουν Πρώτες ύλες

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι Βελτιστοποίησης

Μέθοδοι Βελτιστοποίησης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Ενότητα # : Επιχειρησιακή έρευνα Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Case 09: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων ΙI ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 09: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων ΙI ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 09: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων ΙI ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Η βιομηχανική επιχείρηση «ΑΤΛΑΣ Α.Ε.» δραστηριοποιείται στο χώρο του φυσικού αερίου και ειδικότερα στις συσκευές οικιακής χρήσης. Πρόκειται να εισάγει

Διαβάστε περισσότερα

σει κανένα modem των 128Κ. Θα κατασκευάσει συνολικά = 320,000 τεμάχια των 64Κ και το κέρδος της θα γίνει το μέγιστο δυνατό, ύψους 6,400,000.

σει κανένα modem των 128Κ. Θα κατασκευάσει συνολικά = 320,000 τεμάχια των 64Κ και το κέρδος της θα γίνει το μέγιστο δυνατό, ύψους 6,400,000. Σ ένα εργοστάσιο ειδών υγιεινής η κατασκευή των πορσελάνινων μπανιέρων έχει διαμορφωθεί σε τρία διαδοχικά στάδια : καλούπωμα, λείανση και βάψιμο. Στον πίνακα που ακολουθεί καταγράφονται τα ωριαία δεδομένα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX. 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX. 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί Ο αλγόριθμος Simplex για τα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού, βλέπε Dntzig (1963), αποδίδει αρκετά καλά στην πράξη, ιδιαίτερα σε προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

Case 05: Επιλογή Επενδύσεων (πολυσταδιακό πρόβλημα) ΣΕΝΑΡΙΟ

Case 05: Επιλογή Επενδύσεων (πολυσταδιακό πρόβλημα) ΣΕΝΑΡΙΟ Case 05: Επιλογή Επενδύσεων (πολυσταδιακό πρόβλημα) ΣΕΝΑΡΙΟ Ο χρονικός ορίζοντας απαρτίζεται από διαδοχικές χρονικές περιόδους. Διαμόρφωση ενός χαρτοφυλακίου στο οποίο, καθώς ο χρόνος εξελίσσεται, το διαθέσιμο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 12: Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής

Κεφάλαιο 12: Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής Κεφάλαιο 12: Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής Εννοιολογική αναπαράσταση δίκτυων διανομής Σχηματοποίηση: δικτυακή απεικόνιση των συνιστωσών του φυσικού συστήματος ως συνιστώσες ενός εννοιολογικού μοντέλου

Διαβάστε περισσότερα

Case 07: Στρατηγική Χρηματοοικονομικής Δομής ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 07: Στρατηγική Χρηματοοικονομικής Δομής ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 07: Στρατηγική Χρηματοοικονομικής Δομής ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Οι στρατηγικές χρηματοοικονομικής δομής αναφέρονται στην επιλογή των μέσων χρηματοδότησης επενδυτικών προγραμμάτων, λειτουργιών της παραγωγής και

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό Τι είναι ο Γραμμικός Προγραμματισμός; Είναι το σημαντικότερο μοντέλο στη Λήψη Αποφάσεων Αντικείμενό του η «άριστη» κατανομή περιορισμένων

Διαβάστε περισσότερα

z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n

z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Κεντρικής Μακεδονίας - Σέρρες Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Γραμμικός Προγραμματισμός & Βελτιστοποίηση Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Καθηγητής Εφαρμογών Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος

Διαβάστε περισσότερα

Α. Διατύπωση μοντέλου προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού

Α. Διατύπωση μοντέλου προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού Ασκήσεις ΠΣΔ Α. Διατύπωση μοντέλου προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού Μια επιχείρηση παράγει 3 προϊόντα και έχει 4 διαθέσιμαεργοστάσια. Ο χρόνος παραγωγής (σε λεπτά) για κάθε προϊόν διαφέρει από εργοστάσιο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 3 ΑΣΚΗΣΗ 4 ΑΣΚΗΣΗ 5

ΑΣΚΗΣΗ 3 ΑΣΚΗΣΗ 4 ΑΣΚΗΣΗ 5 ΑΣΚΗΣΗ Μία εταιρεία διανομών διατηρεί την αποθήκη της στον κόμβο και μεταφέρει προϊόντα σε πελάτες που βρίσκονται στις πόλεις,,,7. Το οδικό δίκτυο που χρησιμοποιεί για τις μεταφορές αυτές φαίνεται στο

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Εισαγωγή Το πρόβλημα του Σχεδιασμού στη Χημική Τεχνολογία και Βιομηχανία. Το συνολικό πρόβλημα του Σχεδιασμού, από μαθηματική άποψη ανάγεται σε ένα πρόβλημα επίλυσης συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Νίκος Λαγαρός

Διδάσκων: Νίκος Λαγαρός ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ 5 η Σειρά Ασκήσεων του Μαθήματος «ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗN ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ» Διδάσκων: Νίκος Λαγαρός Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες Χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ Η αρχική τους εφαρµογή, όπως δηλώνει και η ονοµασία τους, αφορούσε τον καθορισµό του βέλτιστου τρόπου µεταφοράς αγαθών από διαφορετικά σηµεία παραγωγής ή κεντρικής αποθήκευσης (π.χ.,

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Σε βιομηχανικό περιβάλλον η αποθεματοποίηση γίνεται στις εξής μορφές

Σε βιομηχανικό περιβάλλον η αποθεματοποίηση γίνεται στις εξής μορφές 3. ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑΤΟΣ 3. Τι Είναι Απόθεμα Σε βιομηχανικό περιβάλλον η αποθεματοποίηση γίνεται στις εξής μορφές. Απόθεμα Α, Β υλών και υλικών συσκευασίας: Είναι το απόθεμα των υλικών που χρησιμοποιούνται

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβληµα Μεταφοράς ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Επιχειρησιακή Έρευνα

Πρόβληµα Μεταφοράς ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Επιχειρησιακή Έρευνα Πρόβληµα Μεταφοράς Η παρουσίαση προετοιµάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόµενα Παρουσίασης 1. Μοντέλο Προβλήµατος Μεταφοράς 2. Εύρεση Μιας Αρχικής Βασικής

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Παράδειγμα ΕΠΙΠΛΟΞΥΛ Η βιοτεχνία ΕΠΙΠΛΟΞΥΛ παράγει δύο βασικά προϊόντα: τραπέζια και καρέκλες υψηλής ποιότητας. Η διαδικασία παραγωγής και για τα δύο προϊόντα περιλαμβάνει την

Διαβάστε περισσότερα

Γενική Ανταγωνιστική Ισορροπία και Αποτελεσματικές κατά Pareto Κατανομές σε Ανταλλακτική Οικονομία

Γενική Ανταγωνιστική Ισορροπία και Αποτελεσματικές κατά Pareto Κατανομές σε Ανταλλακτική Οικονομία Γενική Ανταγωνιστική Ισορροπία και Αποτελεσματικές κατά Pareto Κατανομές σε Ανταλλακτική Οικονομία Βασικές Υποθέσεις (i) Οι αγορές όλων των αγαθών είναι τέλεια ανταγωνιστικές. Οι καταναλωτές και οι επιχειρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Αναζητάμε το εβδομαδιαίο πρόγραμμα παραγωγής που θα μεγιστοποιήσει 1/20

Αναζητάμε το εβδομαδιαίο πρόγραμμα παραγωγής που θα μεγιστοποιήσει 1/20 Μια από τις εταιρείες γάλακτος στην προσπάθειά της να διεισδύσει στην αγορά του παγωτού πολυτελείας επενδύει σε μια μικρή πιλοτική γραμμή παραγωγής δύο προϊόντων της κατηγορίας αυτής. Πρόκειται για οικογενειακές

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. Διοίκηση Εργοταξίου

ΤΕΙ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. Διοίκηση Εργοταξίου ΤΕΙ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. Διοίκηση Εργοταξίου Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας Χρονικός προγραμματισμός κατασκευής τεχνικών έργων. Μέθοδος Gantt, Μέθοδος κρίσιμης όδευσης (CPM). Επίλυση ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

25. Μία τυπική επιχείρηση που λειτουργεί σε καθεστώς τέλειου ανταγωνισμού, στη μακροχρόνια θέση ισορροπίας της: α. πραγματοποιεί θετικά οικονομικά κέρδη. β. πραγματοποιεί μηδενικά οικονομικά κέρδη. γ.

Διαβάστε περισσότερα

Αστικά υδραυλικά έργα

Αστικά υδραυλικά έργα Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Αστικά υδραυλικά έργα Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής Δημήτρης Κουτσογιάννης, Καθηγητής ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Άδεια Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

max c 1 x 1 + c 2 x c n x n υπό a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m

max c 1 x 1 + c 2 x c n x n υπό a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m Υπολογιστικές Μέθοδοι στη Θεωρία Αποφάσεων Ενότητα 10 Εισαγωγή στον Ακέραιο Προγραμματισμό Αντώνης Οικονόμου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Προπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών 29 Φεβρουαρίου 2016 Προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ροή Δικτύου Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Μοντελοποίηση Δικτύων Μεταφοράς Τα γραφήματα χρησιμοποιούνται συχνά για την μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1 Βελτιστοποίηση Στην προσπάθεια αντιμετώπισης και επίλυσης των προβλημάτων που προκύπτουν στην πράξη, αναπτύσσουμε μαθηματικά μοντέλα,

Διαβάστε περισσότερα

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2011 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α ΘΕΜΑ 1 ο Σε ένα διαγωνισμό για την κατασκευή μίας καινούργιας γραμμής του

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Επιχειρησιακή Έρευνα Τυπικό Εξάμηνο: Δ Αλέξιος Πρελορέντζος Εισαγωγή Ορισμός 1 Η συστηματική εφαρμογή ποσοτικών μεθόδων, τεχνικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ. 4.1 Επίλυση Εκφυλισμένων Γραμμικών Προβλημάτων

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ. 4.1 Επίλυση Εκφυλισμένων Γραμμικών Προβλημάτων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ 4. Επίλυση Εκφυλισμένων Γραμμικών Προβλημάτων Η περιγραφή του ΔΑΣΕΣ στο προηγούμενο κεφάλαιο έγινε με σκοπό να διευκολυνθούν οι αποδείξεις

Διαβάστε περισσότερα

Η άριστη λύση με τη μέθοδο simplex:

Η άριστη λύση με τη μέθοδο simplex: http://usrs.uo.gr/~acg 1 UΜετάβαση από τον ΓΠ στη Θεωρία ικτύων UΤο πρόβλημα Μεταφοράς (Transportation probl) UΗ «Μακεδονική Εταιρεία Αναψυκτικών Α.Ε.» Παράγει ένα αναψυκτικό ευρείας κατανάλωσης Το προϊόν

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Ζήτηση εργασίας στο βραχυχρόνιο διάστημα - Ανταγωνιστικές αγορές

4.1 Ζήτηση εργασίας στο βραχυχρόνιο διάστημα - Ανταγωνιστικές αγορές 4. ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΓΟΡΑΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ (ΝΕΟΚΛΑΣΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ). ΖΗΤΗΣΗ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Η ζήτηση εργασίας στο σύνολο της οικονομίας ορίζεται ως ο αριθμός εργαζομένων που οι επιχειρήσεις επιθυμούν να απασχολούν

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Κόστους και η Καμπύλη Προσφοράς της Ανταγωνιστικής Επιχείρησης

Συναρτήσεις Κόστους και η Καμπύλη Προσφοράς της Ανταγωνιστικής Επιχείρησης Συναρτήσεις Κόστους και η Καμπύλη Προσφοράς της Ανταγωνιστικής Επιχείρησης - Στο εξής, συμβολίζουμε την ποσότητα του καταναλωτικού αγαθού με q. - Έστω ότι η συνάρτηση παραγωγής της επιχείρησης είναι: q=f(k,l),

Διαβάστε περισσότερα

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Το πρόβλημα της επιλογής των μέσων διαφήμισης (??) το αντιμετωπίζουν τόσο οι επιχειρήσεις όσο και οι διαφημιστικές εταιρείες στην προσπάθειά τους ν' αναπτύξουν

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβλημα Μεταφοράς. Επιχειρησιακή Έρευνα Ι Διδάσκων: Δρ. Σταύρος Τ. Πόνης

Πρόβλημα Μεταφοράς. Επιχειρησιακή Έρευνα Ι Διδάσκων: Δρ. Σταύρος Τ. Πόνης ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Επιχειρησιακή Έρευνα Ι Διδάσκων: Δρ. Σταύρος Τ. Πόνης Πρόβλημα Μεταφοράς Άδεια Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex 3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ )

ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ ) ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Μια εταιρεία ταχυμεταφορών διατηρεί μια αποθήκη εισερχομένων. Τα δέματα φθάνουν με βάση τη διαδικασία Poion με μέσο ρυθμό 40 δέματα ανά ώρα. Ένας υπάλληλος

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Πρόβληµα µεταφοράς Η ανάπτυξη και διαµόρφωση του προβλήµατος µεταφοράς αναπτύσσεται στις σελίδες 40-45 του βιβλίου των

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING)

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING) ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING) Δρ. Βασιλική Καζάνα Αναπλ. Καθηγήτρια ΤΕΙ Καβάλας, Τμήμα Δασοπονίας & Διαχείρισης Φυσικού Περιβάλλοντος Δράμας Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3 ΑΣΚΗΣΗ 1 Δύο επιχειρήσεις Α και Β, μοιράζονται το μεγαλύτερο μερίδιο της αγοράς για ένα συγκεκριμένο προϊόν. Καθεμία σχεδιάζει τη νέα της στρατηγική για τον επόμενο χρόνο, προκειμένου να αποσπάσει πωλήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. και το Κόστος

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. και το Κόστος ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Κεφάλαιο 3 ο : Η Παραγωγή της Επιχείρησης και το Κόστος ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΝΙΚΟΣ Χ. ΤΖΟΥΜΑΚΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΣ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. Το συνολικό προϊόν παίρνει την μέγιστη τιμή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Κεφάλαιο 3 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Κεφάλαιο 3 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Κεφάλαιο 3 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού 1 Σχέση γραμμικού και ακέραιου προγραμματισμού Ενα πρόβλημα ακέραιου προγραμματισμού είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΟΥΝΙΟΣ 12 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΘΕΜΑ 1 ο Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α Μία εταιρεία παροχής ολοκληρωμένων ευρυζωνικών υπηρεσιών μελετά την

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Κεφάλαιο 2 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Κεφάλαιο 2 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Κεφάλαιο 2 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού 1 Μεταξύ δύο περιορισμών, ο ένας πρέπει να ισχύει Έστω ότι για την κατασκευή ενός προϊόντος

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός και έλεγχος αποθεμάτων. Source: Corbis

Προγραμματισμός και έλεγχος αποθεμάτων. Source: Corbis Προγραμματισμός και έλεγχος αποθεμάτων Source: Corbis Προγραμματισμός και έλεγχος αποθεμάτων Προγραμματισμός και έλεγχος αποθεμάτων Στρατηγική παραγωγής Η αγορά απαιτεί μια ποσότητα προϊόντων και υπηρεσιών

Διαβάστε περισσότερα

είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές

είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές Ένα τυχαίο π.γ.π. maximize/minimize z=c x Αx = b x 0 Τυπική μορφή του π.γ.π. maximize z=c x Αx = b x 0 b 0 είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων Επιχειρησιακής Έρευνας (17/09/2014)

Λύσεις θεμάτων Επιχειρησιακής Έρευνας (17/09/2014) Λύσεις θεμάτων Επιχειρησιακής Έρευνας (17/09/2014) Θέμα 1 Μια επιχείρηση χρησιμοποιεί 3 πρώτες ύλες Α, Β, Γ για να παράγει 2 προϊόντα Π1 και Π2. Για την παραγωγή μιας μονάδας προϊόντος Α απαιτούνται 1

Διαβάστε περισσότερα

800 m. 800 m. 800 m. Περιοχή A

800 m. 800 m. 800 m. Περιοχή A Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας Υδατικών Πόρων Μάθηµα: Τυπικά Υδραυλικά Έργα Μέρος 2: ίκτυα διανοµής Άσκηση E5: Τροφοδοσία µονάδας επεξεργασίας αγροτικών προϊόντων (Εξέταση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός

Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός 3.1 Εισαγωγή Πολλοί πιστεύουν ότι η ανάπτυξη του γραμμικού προγραμματισμού είναι μια από τις πιο σπουδαίες επιστημονικές ανακαλύψεις στα μέσα του εικοστού αιώνα.

Διαβάστε περισσότερα

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α Από ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2012 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α ΘΕΜΑ 1 ο Η UCC είναι μια μικρή εταιρεία παραγωγής εντομοκτόνων. Σε

Διαβάστε περισσότερα

1. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

1. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η επιχειρησιακή έρευνα επικεντρώνεται στη λήψη αποφάσεων από επιχειρήσεις οργανισμούς, κράτη κτλ. Στα πλαίσια της επιχειρησιακής έρευνας εξετάζονται οι ακόλουθες περιπτώσεις : Γραμμικός προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Η Μέθοδος Αναθεωρηµένης Εκχώρησης (MODI)

Η Μέθοδος Αναθεωρηµένης Εκχώρησης (MODI) Η Μέθοδος Αναθεωρηµένης Εκχώρησης (MODI) Ηµέθοδος MODIεπιτρέπει τον υπολογισµό των οριακών µεταβολών στο συνολικό κόστος µεταφοράς για κάθε µη επιλεγείσα διαδροµή µε αλγεβρικό τρόπο, χωρίς τη διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού Σημασία μοντέλου Το μοντέλο δημιουργεί μια λογική δομή μέσω της οποίας αποκτούμε μια χρήσιμη άποψη

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 7: Επίλυση με τη μέθοδο Simplex (1 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.)

Διαβάστε περισσότερα

Συγκοινωνιακός Σχεδιασµός κόµβος Σχήµα.. Αναπαράσταση σε χάρτη του οδικού δικτύου µιας περιοχής... Μέθοδοι καταµερισµού των µετακινήσεων.. Εύρεση βέλτ

Συγκοινωνιακός Σχεδιασµός κόµβος Σχήµα.. Αναπαράσταση σε χάρτη του οδικού δικτύου µιας περιοχής... Μέθοδοι καταµερισµού των µετακινήσεων.. Εύρεση βέλτ Καταµερισµός των µετακινήσεων στο οδικό δίκτυο.. Εισαγωγή Το τέταρτο και τελευταίο στάδιο στη διαδικασία του αστικού συγκοινωνιακού σχεδιασµού είναι ο καταµερισµός των µετακινήσεων στο οδικό δίκτυο (λεωφόρους,

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Αποθεµάτων. Υποθέστε ότι την στιγμή αυτή υπάρχει στην αποθήκη απόθεμα για 5 μήνες.

Ασκήσεις Αποθεµάτων. Υποθέστε ότι την στιγμή αυτή υπάρχει στην αποθήκη απόθεμα για 5 μήνες. Ασκήσεις Αποθεµάτων 1. Το πρόγραμμα παραγωγής μιας βιομηχανίας προβλέπει την κατανάλωση 810.000 μονάδων πρώτης ύλης το χρόνο, με ρυθμό πρακτικά σταθερό, σε όλη τη διάρκεια του έτους. Η βιομηχανία εισάγει

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός & Έλεγχος Παραγωγής. Κεφ. 6 Συγκεντρωτικός Προγραμματισμός Συμπληρωματικές Σημειώσεις

Προγραμματισμός & Έλεγχος Παραγωγής. Κεφ. 6 Συγκεντρωτικός Προγραμματισμός Συμπληρωματικές Σημειώσεις Προγραμματισμός & Έλεγχος Παραγωγής Κεφ. 6 Συγκεντρωτικός Προγραμματισμός Συμπληρωματικές Σημειώσεις Στέλλα Σοφιανοπούλου Καθηγήτρια Πειραιάς 2012 Ενότητα 6.1 2 Τυπικά δεδομένα Ενότητα 6.3 Δοκιμή με σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

Μέγιστη ροή. Κατευθυνόμενο γράφημα. Συνάρτηση χωρητικότητας. αφετηρίακός κόμβος. τερματικός κόμβος. Ροή δικτύου. με τις ακόλουθες ιδιότητες

Μέγιστη ροή. Κατευθυνόμενο γράφημα. Συνάρτηση χωρητικότητας. αφετηρίακός κόμβος. τερματικός κόμβος. Ροή δικτύου. με τις ακόλουθες ιδιότητες Κατευθυνόμενο γράφημα Συνάρτηση χωρητικότητας 2 6 20 Ροή δικτύου Συνάρτηση αφετηρίακός κόμβος 0 με τις ακόλουθες ιδιότητες 9 7 τερματικός κόμβος Περιορισμός χωρητικότητας: Αντισυμμετρία: Διατήρηση ροής:

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3. Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3. Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3 Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Bέλτιστος σχεδιασμός με αντικειμενική συνάρτηση και περιορισμούς

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1 Ένα κεντρικό βιβλιοπωλείο ειδικεύεται στα λογοτεχνικά βιβλία και τα βιβλία τέχνης. Προκειμένου να προωθήσει μια νέα συλλογή λογοτεχνικών βιβλίων και βιβλίων τέχνης, η διεύθυνση του βιβλιοπωλείου

Διαβάστε περισσότερα

Ακέραιος Γραµµικός Προγραµµατισµός

Ακέραιος Γραµµικός Προγραµµατισµός Μέγιστο Ανεξάρτητο Σύνολο Μέγιστο Ανεξάρτητο Σύνολο Εφαρµογές : Παράλληλη εκτέλεση εργασιών Χρονοπρογραµµατισµός (scheduling) Ανάθεση πόρων (resource allocation) Πρόβληµα k-ϐασιλισσών Τηλεπικοινωνίες Μέγιστο

Διαβάστε περισσότερα

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας Υδατικών Πόρων Μάθηµα: Αστικά Υδραυλικά Έργα Μέρος Α: Υδρευτικά έργα

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας Υδατικών Πόρων Μάθηµα: Αστικά Υδραυλικά Έργα Μέρος Α: Υδρευτικά έργα Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας Υδατικών Πόρων Μάθηµα: Αστικά Υδραυλικά Έργα Μέρος Α: Υδρευτικά έργα Άσκηση E9: Εκτίµηση παροχών εξόδου κόµβων, υπολογισµός ελάχιστης κατώτατης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ ΤΕΤΑΡΤΟ. Η δοµή της αγοράς και οι πρακτικές τιµολόγησης

ΜΕΡΟΣ ΤΕΤΑΡΤΟ. Η δοµή της αγοράς και οι πρακτικές τιµολόγησης ΜΕΡΟΣ ΤΕΤΑΡΤΟ Η δοµή της αγοράς και οι πρακτικές τιµολόγησης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Η δοµή της αγοράς: Τέλειος ανταγωνισµός, µονοπώλιο και µονοπωλιακός ανταγωνισµός Η δοµή της αγοράς Περισσότερος αντα αγωνισµός Τέλειος

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΦΟΔΙΑΣΤΙΚΗΣ ΑΛΥΣΙΔΑΣ

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΦΟΔΙΑΣΤΙΚΗΣ ΑΛΥΣΙΔΑΣ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΦΟΔΙΑΣΤΙΚΗΣ ΑΛΥΣΙΔΑΣ Ενότητα 8: Μοντέλα χωροθέτησης και ανάθεσης δυναμικότητας - Μέρος ΙΙ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ 11/26/2007. Νίκος Τσάντας Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστημίου Πατρών, Ακαδημαϊκό έτος Δικτυωτή Ανάλυση

ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ 11/26/2007. Νίκος Τσάντας Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστημίου Πατρών, Ακαδημαϊκό έτος Δικτυωτή Ανάλυση ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ // Επιχειρησιακή Έρευνα ικτυωτή Ανάλυση Νίκος Τσάντας Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστημίου Πατρών, Ακαδημαϊκό έτος - Δικτυωτή Ανάλυση Δίκτυο είναι ένα διάγραμμα το οποίο το οποίο αναπαριστά τη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Dr. Christos D. Tarantilis Associate Professor in Operations Research & Management Science http://tarantilis.dmst.aueb.gr/ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι - 1- ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΔΟΜΗ:

Διαβάστε περισσότερα

Λήψη αποφάσεων υπό αβεβαιότητα

Λήψη αποφάσεων υπό αβεβαιότητα Διαχείριση Αβεβαιότητας Λήψη αποφάσεων υπό αβεβαιότητα Όταν έχω να αντιμετωπίσω ένα πρόβλημα λήψης αποφάσεων υπό αβεβαιότητα, μπορώ να ακολουθήσω τις ακόλουθες στρατηγικές: 1. Η λάθος προσέγγιση: «Βελτιστοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Case 11: Πρόγραμμα Παρακίνησης Πωλητών ΣΕΝΑΡΙΟ

Case 11: Πρόγραμμα Παρακίνησης Πωλητών ΣΕΝΑΡΙΟ Case 11: Πρόγραμμα Παρακίνησης Πωλητών ΣΕΝΑΡΙΟ Η κ. Δημητρίου είναι γενική διευθύντρια σε μία επιχείρηση με κύρια δραστηριότητα την παραγωγή μαγνητικών μέσων και αναλώσιμων ειδών περιφερειακών συσκευών

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 5: Εφαρμογές Γραμμικού Προγραμματισμού (1 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµός. (neighboring) καταστάσεων. ηλαδή στην περίπτωση αλυσίδας Markov. 1.2 ιαµόρφωση µοντέλου

Ορισµός. (neighboring) καταστάσεων. ηλαδή στην περίπτωση αλυσίδας Markov. 1.2 ιαµόρφωση µοντέλου 200-04-25. ιαδικασίες γεννήσεων-θανάτων. Ορισµός Οι διαδικασίες γεννήσεων-θανάτων (birth-death rocesses) αποτελούν µια σπουδαία κλάση αλυσίδων Markov (διακριτού ή συνεχούς χρόνου). Η ιδιαίτερη συνθήκη

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων Ι Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων Ι Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων Ι Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα