Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 2008 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΑΞΗ Α

Transcript

1 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ

2 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ Θέμ 1 ο Α. Ν δώσετε τον ορισμό της πόλυτης τιμής ενός πργμτικού ριθμού Μονάδες 5 Β. Αν 0 κι μ, ν θετικοί κέριοι ν ποδείξετε ότι: μ μν ν = Γ. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στην κόλλ σς τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση.. Αν x +β >0 κι <0, τότε x > β Μονάδες β. Ισχύει x = x, γι κάθε x R Μονάδες γ. Αν <β κι γ <δ, τότε πάντοτε ισχύει γ < β δ Μονάδες δ. Ισχύει γι κάθε R Μονάδες ε. Οι ευθείες y = x + βκι y = x + β είνι κάθετες ν κι μόνο ν = 1 Θέμ ο Ν λύσετε την νίσωση: Θέμ 3 ο x x 5x 3 36 > Μονάδες Μονάδες 5 Δίνετι το σύστημ: λx + y = λ +1, λ R x + λy = λ. Ν βρείτε τις ορίζουσες D, D x, D y κι ν τις πργοντοποιήσετε Μονάδες 1 β. Ν λύσετε κι ν διερευνήσετε το σύστημ Μονάδες 13 Θέμ 4 ο Δίνετι η εξίσωση: ( ) ( ) x λ 1x λ +1 = 0 (1), λ R. Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση (1) έχει δύο ρίζες πργμτικές κι άνισες γι κάθε λ R β. Αν x 1, x είνι οι ρίζες της εξίσωσης (1) ν υπολογίσετε τις πρστάσεις x+ x κι Μονάδες 3 1 x 1 x γ. Ν βρείτε γι ποιες τιμές του λ ισχύει: x + x 1 Μονάδες 1 1

3 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 Θέμ 1 ο 195 Α. Έστω x 1, x ρίζες της εξίσωσης x + βx + γ = 0, 0 κι S = x + x, P = x x είνι 1 1 β το άθροισμ κι το γινόμενο των ριζών ντίστοιχ Ν δείξετε ότι S = κι Β. Ν συμπληρωθούν οι ισότητες: γ Ρ = Μονάδες 13. ν μ =... β. Αν θ >0 κι x θ. γ. Αν x =. Μονάδες 6 Γ. Ν σημειώσετε ν είνι Σωστή (Σ) ή Λάθος (Λ) κθεμιά πό τις πρκάτω προτάσεις:. =, όπου πργμτικός β. + β = + β,, β πργμτικοί γ. Αν, γ ετερόσημοι, τότε η εξίσωση x + βx + γ = 0, 0 έχει πάντ πργμτικές ρίζες Θέμ ο Α. Ν λυθούν οι εξισώσεις: x 3x + = 0 κι 9 x = 0 Μονάδες 9 Β. Αν Θέμ 3 ο P(x) = ( x 3x + )( 9 x ) x 4 ν λυθεί η νίσωση Ρ(x) 0 Μονάδες 16 Δίνοντι οι ευθείες ε : y = λ( x) κι 1 ε : y = (λ +1)x λx + 4. Γι ποι τιμή του λ οι ευθείες είνι κάθετες; Μονάδες 7 β. Γι λ = 1 ν βρείτε το σημείο τομής των ε 1, ε Μονάδες 6 γ. Ν βρεθούν τ κ, μ ώστε το σημείο Β(κ,) ν νήκει στην ε 1 κι το σημείο Γ ( 4, μ) στην ε Μονάδες 6 δ. Ν βρεθεί η πόστση (ΒΓ) Μονάδες 6 Θέμ 4 ο Α. Δίνετι η εξίσωση x λx + λ = 0. ΝΔΟ έχει δύο ρίζες πργμτικές κι άνισες γι κάθε λ R Μονάδες 6 β. Αν x 1, x οι ρίζες της κι 3x x + 3x x =18, ν βρεθεί το λ Μονάδες 6 Β. Ν δειχθεί ότι: ( ) 1 1 λ λ + x x +1 >0 x R Μονάδες 13

4 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 Θέμ ΘΕΜΑTA Α. N δείξετε ότι β = β γι κάθε, β R. Β. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ). Αν x, y 0 τότε x + y = x + y β. Γι κάθε x R ισχύει ( x) = x γ. Γι κάθε x, y R ισχύει x + y xy δ. Αν x + y < y τότε x < 0 ε. Η εξίσωση x = 0 είνι δύντη Θέμ Ν λυθεί η εξίσωση: Θέμ 3 Δίνοντι οι νισώσεις: x 1+ 1 x x = x 1 5 x +3x 5 0 Ν βρείτε τις τιμές του x γι τις οποίες συνληθεύουν οι πρπάνω νισώσεις. Θέμ 4 Μονάδες 5 Μονάδες 5 λx + y = 0. Ν λυθεί το σύστημ Μονάδες 5 4x + λy = 0 β. Αν D, Dx, Dy είνι οι ορίζουσες του συστήμτος ν δείξετε ότι η εξίσωση ω ω D+D D = 0 x y έχει ρίζες πργμτικές κι άνισες. γ. Ν βρείτε το άθροισμ κι το γινόμενο των ριζών της προηγούμενης εξίσωσης. Μονάδες 4 δ. Ν λυθεί η εξίσωση S P +10λ = 0 όπου S κι P το άθροισμ κι το γινόμενο των ριζών της προηγούμενης εξίσωσης. Μονάδες 6

5 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 Θέμ 1 ο 197 Α. Αν, β 0,ν ποδείξετε ότι: ν ν β = ν β Β. Ν χρκτηρίσετε (Σ) Σωστή ή (Λ) Λνθσμένη κάθε μί πό τις πρκάτω προτάσεις: x + y = 7. Το σύστημ (Σ) είνι δύντο 6x + 3y = 0 ν ν ν β. Aν 0, β 0τότε +β = + β. γ. Αν > β κι γ > δ τότε ισχύει πάντοτε γ > βδ δ. Γι κάθε x πργμτικό είνι x = x ε. Αν στην εξίσωση x + βx + γ = 0 με 0, οι ριθμοί,γ είνι ετερόσημοι, τότε έχει δύο ρίζες πργμτικές κι άνισες. Γ. Κάθε στοιχείο της στήλης (Α) ντιστοιχεί με έν μόνο στοιχείο της στήλης (Β). Ν Θέμ ο κάνετε τη σωστή ντιστοίχιση : Μονάδες Στήλη (Α) Στήλη (Β) Σχέσεις x + βx + γ > 0. Αληθεύει γι κάθε x R 1. Δ < 0 κι < 0 β. Αληθεύει γι κάθε x μετξύ των ριζών. Δ < 0 κι > 0 γ. Αληθεύει γι κάθε x εκτός των ριζών δ. Δεν ληθεύει γι κνέν x 3. Δ > 0 κι 0 ε. Δεν μπορούμε ν πντήσουμε γι ποι x ληθεύει η νίσωση. Ν πλοποιήσετε την πράστση : Α= 1 3x β. Ν λύσετε την εξίσωση: x 3 = 5 γ. Ν λύσετε την νίσωση: x 3 < 3 Μονάδες Θέμ 3 ο. N λυθεί κι ν διερευνηθεί η εξίσωση: (λ 1) x =λ + 3λ + (κ+1)x y = κ+1 β. Δίνετι το σύστημ κ R κx κψ = 1 i) Γι ποιες τιμές του κ R έχει άπειρες λύσεις; ii) Ν γράψετε την μορφή των πείρων λύσεων. +15 Θέμ 4 ο Δίνετι η εξίσωση : (λ )x λx+1 = 0 με λ R κι λ. Ν δείξετε ότι η εξίσωση υτή έχει δύο ρίζες πργμτικές κι άνισες γι κάθε λ β. Αν x 1, x είνι οι ρίζες της πρπάνω εξίσωσης ν βρεθούν οι τιμές του λ ώστε ν ισχύει: x 1 + x λ +15

6 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ Θέμ 1 Α. Έστω x 1 κι x οι ρίζες της εξίσωσης x + βx + γ = 0, 0. β Ν ποδείξετε ότι : x 1 + x = κι x 1 x = γ Μόρι 13 Β. Σε κάθε μί πό τις επόμενες προτάσεις ν σημειώσετε το Σ (σωστή) ή το Λ (λνθσμένη). Τις προτάσεις ν τις μετφέρετε στην κόλλ σς. 1. =, R.. Αν > β κι γ > δ με, β,γ,δ R, τότε ισχύει πάντοτε γ > βδ 3. Οι ευθείες με εξισώσεις : ψ = 0,5x + 3 κι ψ = x 4 1 είνι πράλληλες. 4. Το πρόσημο του τριωνύμου x + βx + γ, 0 είνι ρνητικό ότν: Δ <0 κι > 0 Θέμ 1. Ν λυθεί η εξίσωση : x 3 = x + 1. Μόρι 13. Ν βρεθεί η τιμή της πρμέτρου λ R, ώστε η εξίσωση Θέμ 3 ( λ + λ ) x = λ ν έχει άπειρες λύσεις. Μόρι 1 Δίνοντι οι ευθείες : (ε 1 ) με εξίσωση y = ( β ) x + 3 κι (ε ) με εξίσωση y = ( + β ) x 5. Ν βρεθούν οι, β R, ν γνωρίζουμε ότι : i. Η ευθεί (ε ) διέρχετι πό το σημείο Α ( 1,3 ) ii. Οι ευθείες (ε 1 ) κι (ε ) είνι πράλληλες. Μόρι 5 Θέμ 4 Δίνετι η εξίσωση x (λ ) x +λ + 1 = 0. Μόρι 1 Α. Ν βρεθούν οι τιμές του λ R, ώστε η εξίσωση ν έχει πργμτικές ρίζες. Μόρι 10 Β. Αν x 1 κι x οι ρίζες της εξίσωσης ν βρείτε γι ποι τιμή του λ R ισχύει: x 1 + x = 4. Μόρι 07 Γ. Γι την τιμή του λ που βρήκτε στο προηγούμενο ερώτημ ν υπολογίσετε την τιμή της πράστσης Κ = (x 1 + ) (x + ), όπου x 1 κι x οι ρίζες της εξίσωσης x (λ )x +λ + 1 = 0. Μόρι 08

7 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ Θέμ 1 ο Α. Ν δώσετε τον ορισμό της πόλυτης τιμής του πργμτικού ριθμού. Μονάδες 3 Β. Ν ποδείξετε ότι: ν θ > 0, x < θ θ < x < θ. Γ. Ν γράψετε ν είνι σωστοί (Σ) ή λάθος (Λ), οι πρκάτω ισχυρισμοί:. + β = + β,, β R. β. x = x, x R γ. x + +7 = 0 είνι δύντη, x R δ. Αν + β = 0 τότε = 0 ή β = 0 ε. x > 1, x R Θέμ ο Α. Ν ποδείξετε ότι: = 4 Β. Αν Α = 1 +, ν βρείτε την τιμή της πράστσης: Κ = Α Α +1 Θέμ 3 ο 10x + (λ + 10)y = λ+10 Δίνετι το σύστημ: (3λ+10)x + (4λ + 10)y = 5λ + 14 Α. Ν βρεθεί το λ γι ν είνι το σύστημ δύντο Μονάδες 13 (μ+λ)x + y = 1 Β. Γι λ = 0 ν δείξετε ότι το σύστημ x + (μ 3λ)y =1 έχει μονδική λύση Μονάδες 1 Θέμ 4 ο Δίνετι η εξίσωση x ( + 1)x + 1 = 0 (1) Α. Γι ποιες τιμές του R η εξίσωση (1) έχει δύο πργμτικές κι άνισες ρίζες. Μονάδες 13 Β. Αν x 1, x οι δύο ρίζες της εξίσωσης (1) ν βρείτε το R ώστε ν ισχύει : 1 1 x + x 1 = 3

8 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 Θέμ 1 ο 00 Α. Ν ποδείξετε ότι, ν θ > 0 τότε x θ θ x θ Β 1. Ν λυθεί η νίσωση: x < 6 Β. Ν γίνει η ντιστοίχιση:. x 5 > 1. χ { 1, 5} Θέμ ο β. 3 x =. Αδύντη γ. x+ 5 = x (, 5) (5, + ) δ. x 5 > x R 5. x < 5 ή x > 15 Μονάδες 5 Α. Ν βρεθεί η εξίσωση της ευθείς που έχει συντελεστή διεύθυνσης -4 κι διέρχετι πό το σημείο Α(, 3). Στη συνέχει ν γίνει η γρφική της πράστση. Β. Γι ποιες τιμές του R οι ευθείες : Θέμ 3 ο ε 1 : y 6χ = x κι ε : y = ( 1)x + 5 είνι πράλληλες; 5x 6y = 5 Α. Ν λυθεί το σύστημ: 3x y = 3 Β. Ν βρείτε τις τιμές του λ έτσι ώστε η δευτεροβάθμι εξίσωση: Θέμ 4 ο 4x + 5x + λ = 0 ν έχει κριβώς μί διπλή ρίζ ως προς x. Α. Ν πλοποιηθεί η πράστση: Β. Ν λυθεί η πρκάτω νίσωση: x 8x x 5x 6x + 4x + 7x + 3 (x +1) (x + 7) 0

9 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 Θέμ 1 ο Έστω x 1 κι x οι ρίζες της εξίσωσης 01 x + βx + γ = 0, 0. Ν βρείτε:. Το άθροισμ S = x + x κι 1 β. Το γινόμενο Ρ = x x των ριζών υτών 1 Θέμ ο Α. Χρκτηρίστε ως σωστή (Σ) ή λνθσμένη (Λ) κάθε μι πό τις πρκάτω προτάσεις:. 4 <0 β. x 3 = x + 3 γ. 7 = ( 7) δ. ( + 008) + ( 8 ) = ε. 6 + x 9 = x +15 Β. Ν λύσετε την εξίσωση: x 8 + x x 8 = Θέμ 3 ο Α. Ν υπολογίσετε τις ορίζουσες: xy x β. 3 y x y Β. Ν λύσετε το σύστημ: x + 5y = 7 5x + 7y = 1 Θέμ 4 ο Α. Ν συμπληρώσετε τον πίνκ:. β. γ. δ. ε. Εξίσωση Συντελεστές x +βx + γ = 0 β γ x x = 0 x + x + 4 = 0 x 7x =10 8x = 6x x 9 = 0 ( 7 x)( x x 3) Β. Ν λύσετε την νίσωση: 0

10 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 Θέμ 1 ο 0 Έστω x 1 κ ι x οι ρίζες της εξίσωσης x + βx + γ = 0, 0. Ν βρείτε:. Το άθροισμ S = x + x 1 β. Το γινόμενο Ρ = x x Θέμ ο 1 Α. Χρκτηρίστε ως σωστή (Σ) ή λνθσμένη (Λ) κάθε μι πό τις πρκάτω προτάσεις:. 4 <0 β. x 3 = x + 3 γ. 7 = ( 7) ( ) ( ) δ = ε. 6 + x 9 = x +15 Β. Ν λύσετε την εξίσωση: x 4 x 3 4 x 1 = Θέμ 3 ο x + y = 11 Α. Ν λύσετε το σύστημ: 3x y = 5 Β. Ν λύσετε τις νισώσεις:. x 5x + 6<0 β. x + 6x 9 0 γ. x+ x +1>0 Θέμ 4 ο Ν λύσετε τις εξισώσεις:. x 4x + 3 = 0 Μονάδες 5 β. 4x + 4x +1= 0 Μονάδες 5 γ. x x + 6 = 0 Μονάδες 5 ( ) ( δ. x 1 x +1)=

11 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ Θέμ 1 ο Α. Έστω x1, x ρίζες της x + βx + γ = 0, 0. ν δείξετε ότι: β γ x+ x= κι x 1 1 x = Μονάδες 9 Β. Ν δώσετε τους ορισμούς :. της νιοστής ρίζς ενός θετικού ριθμού, ν Ν β. της συνάρτησης πό έν σύνολο Α σ έν σύνολο Β. Μονάδες 6 Γ. Ν χρκτηρίστε ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) τις προτάσεις :. x x, > 0 β. ν, β 0 τότε ν ν ν β = β γ. Η εξίσωση x + β = 0 έχει μί λύση, ότν = 0 κι β 0 δ. H πόστση σημείων Α(x, y ), Β (x ν τύπο 1 1, y ) δίνετι πό το (ΑΒ) = ( ) ( x x + y 1 y 1 ) ε. Γι τις ευθείες ε : y = x + β κ ι ε : y = x + β ισχύει: ε 1 1 // ε = Θέμ ο x 4 x 5 Α. Ν λυθ εί η εξίσωση : = Μονάδες Β. Ν λυθεί η νίσωση : x Μονάδες 9 Γ. Ν δείξετε ότι Θέμ 3 ο : = Δίνετι η εξ ίσωση : x (λ 3)x + 1 = 0 (1) Μονάδες 6 Α. Γ ποιες τιμές του λ R η εξίσωση (1) έχει ρίζες πργμτικές κι άνισες. Β. Ν δικιολογήσετε ( με δεδομένο το Α), γιτί οι ρίζες της (1) είνι ντίστροφες : Γ. Ν βρείτε την τιμή του λ ώστε ν ισχύει Θέμ 4 ο λx + y = λ Δίνετι το σύστημ : x + λy = = 4, όπου x 1, x οι ρίζες της (1) x x 1 Μονάδες Α. Ν βρείτε τις ορίζουσες D, Dx, Dy κι ν τις πργοντοποιήσετε Μονάδες 9 Β. Ν βρείτε γι ποιες τιμές του λ το (Σ) έχει μονδική λύση, κι ν υπολογιστεί η λύση υτή συνρτήσει του λ Μονάδες 8 Γ. Ν βρείτε γι ποι τιμή του λ το (Σ) είνι όριστο κι ν βρείτε τις άπειρες λύσεις του. Μονάδες 8

12 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 Θέμ 1 ο 04 Α. Ν ποδείξετε ότι, ν θ > 0 τότε: x < θ θ < x < θ. Β. Πότε μι συνάρτηση f λέγετι γνησίως ύξουσ σε έν διάστημ Δ του Πεδίου Ορισμού της; Β. Ν χρκτηρίσετε στο γρπτό σς την κάθε μί πό τις πρκάτω προτάσεις, ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ). d(, β) = + β β. Η εξίσωση x x + = 1, είνι δύντη γ. Αν < β κι γ < δ τότε γ < β δ δ. Η εξίσωση x + βx + γ = 0, 0 έχει δύο ρίζες πργμτικές κι άνισες, ν β 4γ > 0. ε. Αν ε : y = x + β, ε : y = x + β ισχύει ε //ε =. Θέμ ο. Αν > 1 > β τότε + β >1 + β β. Αν < < 4 κι 3 β 5, ν βρείτε μετξύ ποιών ριθμών περιέχετι η πράστση: β. Θέμ 3 ο Δίνετι η συνάρτηση f με τύπο f(x) = λ x + 1, λ R.. Ν βρεθεί το Πεδίο Ορισμού της f. β. Αν η γρφική πράστση της f, διέρχετι π ό το Α(3, 1) ν βρεθεί το λ. γ. Γι λ = 3 ν βρείτε τ σημεί τομής της f με τους άξονες xx κι yy. δ. Γι λ = 3 ν μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονί της. Θέμ 4 ο Αν οι x 1, x είνι οι ρίζες της εξίσωσης x κx + λ = 0. Ν υπολογ ίσετε τις πρστάσεις: i. x 1 + x ii. x 1 x iii. x + x 1 β. Ν σχημτίσετε εξίσωση β βθμού με ρίζες ρ 1 = x 1 + κι ρ = x +

13 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ Θέμ 1 ο Α. Δίνοντι οι δικεκριμένες ευθείες (ε 1 ) κι (ε ) με εξισώσεις y = x + β κι 1 1 y = x + β, ντίστοιχ. Ν ποδείξετε ότι: ε 1 //ε 1 =. Μονάδες 1 B. Πότε δύο συστήμτ εξισώσεων λέγοντι ισοδύνμ. Μονάδες 5 Γ. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν γράφοντς στο γρπτό σς δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση τη λέξη Σωστό ή Λάθος.. Αν γι την εξίσωση x + βx + γ = 0 ισχύει γ < 0 τότε η εξίσωση είνι δύντη στο R γ. Αν x, x ρίζες της εξίσωσης x + βx + γ = 0 με Μονάδες β. Αν < β κι γ < δ τότε γ < βδ γι κάθε, β, γ, δ R. Μονάδες 1 0 τότε x x = 1 γ. Μονάδες δ. Αν 0, β 0 τότε v v v β= β,όπου ν θετικός κέριος. Μονάδες Θέμ ο Έστω = +.. Ν ποδείξετε ότι: =. Μονάδες 8 β. Γι = i. Ν λύσετε την εξίσωση x =. Μονάδες 8 Θέμ 3 ο ii. Ν λ ύσετε την νίσωση 3 x < 4. Μονάδες 9 Θεωρούμε την εξίσωση x + 3x + λ = 0 με x άγνωστο κι λ R.. Ν βρείτε τις τιμές του λ R ώστε η εξίσωση ν έχει ρίζες στο R. Μονάδες 8 β. Ν βρείτε τις τιμές του λ R ώστε: ( ) 4 x + x +x x = 4 1 1, όπου x 1, x οι ρίζες της εξίσωσης Μονάδες 9 γ. Γι λ= 5 ν κτσκευάσετε εξίσωση ου βθμού με ρίζες ρ 1 = x 1 + κι ρ = x + Μονάδες 8 ο Θέμ 4 Δίνετι το σύστημ ( ) λ+1 x λy = λ+3, όπου x, y άγνωστοι κι λ R. λ x + y = λ + 4. Ν ποδείξετε ότι το σύστημ έχει μονδική λύση γι κάθε λ R. β. Ν βρεθεί η μονδική λύση (x 0, y 0 ) του συστήμτος. γ. Ν βρείτε τις τιμές του λ R ώστε: 3x 0, λy 0 9. Μονάδες

14 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ Θέμ 1 ο Α. Αν θ >0 ν ποδείξετε ότι: x θ θ x θ Β. Τι ονομάζουμε ν-οστή ρίζ (ν θετικός κέριος ) ενός μη ρνητικού ριθμού κι τι πριστάνει; Γ. Ν συμπληρώσετε τις πρκάτω μθημτικές σχέσε ις φού τις μετφέρετε στην κόλλ σς, έτσι ώστε ν ισχύουν:. Η εξίσωση x + β = 0έχει λύση το μηδέν ν. β. d(1, x) =.. γ. Έστω έν σύστημ εξισώσεων με γνώστους. Εάν ισχύει D = D x = 0 κι D y 0 τότε το σύστημ είνι δ. Έστω το δευτεροβάθμιο τριώνυμο x + βx + γ, 0. Αν Δ < 0.. ρίζες.. κι το πρόσημό του.. ν ν ε. β = Θέμ ο 3 1 Δίνο ντι οι ευθείες ε : y = x κι ε :y = + x Ν βρεθούν οι τιμές του, ώστε ν είνι πράλληλες. Μονάδες 5 Θέμ 3 ο λx + y = λ 3 Έστω το σύστημ: x + λy = 1. Ν βρεθεί η λύση του συστήμτος ότν D 0 β. Εάν η λύση του συστήμτος γι λ = 1 είνι το σημείο Α(x, y) ν υπολογίσετε την τιμή του κ R ώστε η πόστση του Α πό το σημείο Β(κ, 3) ν είνι Θέμ 4 ο Δίνετι η εξίσωση x x 1= 0.Αν ρ 1, ρ οι ρίζες της εξίσωσης, τότε χωρίς ν βρεθούν οι ρίζες με χρήση της δικρίνουσς: Α. Ν υπολογιστούν οι πρστάσεις:. ρ ρ + ρ ρ β. + ρ ρ 1 γ. ρ + ρ 1 3 Β. Ν λυθεί η νίσωση γι τις διάφορες τιμές του x: (x + 1) x + ( ρ ρ + ρ ρ ) x 1 0 Μονάδες

15 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 Θέμ 1 o 07 Α. Αν x 1, x είνι οι ρίζες της εξίσωσης x + βx + γ = 0 με 0 κι Δ 0, ν δείξετε ότι: x1 + x= β γ κι x 1 x =. Β. Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις με (Σ) τις σωστές κι με (Λ) τις λνθ σμένες, ν x,, β, γ R.. Γι κάθε πργμτικό ριθμό x ισχύει : x = x β. Αν 0, τότε : μ ν = μν ( μ, ν θετικοί κέριοι) γ. Aν x>1 τότε: x >1 ή x< 1 δ. Aν < 3 τότε : 3 = 3 ε. Αν γ > 0 τότε : > β γ > βγ Θέμ o x x 1 Ν λυθεί η νίσωση : + < 3 3 Θέμ 3 ο Γι τις διάφορες τιμές του λ ν λύσετε το σύστημ: (λ )x + 5y = 5 x + (λ + )y = 5 Θέμ 4 o (x 16) (x x + 1) Ν λυθεί η νίσωση : 0 x 5x + 6

16 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ Θέμ 1 ο Α. Αν x 1, x οι ρίζες της εξίσωσης x + βx + γ = 0, 0, ν δειχτεί ότι : β S = x + x =, Ρ = x 1 x = γ 1 Β. Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις σωστή (Σ) ή λάθος (Λ).. x = x β. 6 = 3 10 β γ. Aν < τότε β = β δ. A ν + β = 0 τότε = β = 0 ε. H εξίσωση x + β = 0 με = 0 κι β 0 είνι όριστη. Θέμ ο Α. Ν λυθεί η εξίσωση: x 1+1 x 1 1 = 1 3 Μονάδες 1 Β. Ν λυθεί η νίσωση x x Μονάδες 13 Θέμ 3 ο λx + y = 4 Δίνετι το σύστημ: (Σ) = x + λy = λ Α. Γι ποιες τιμές του λ το σύστημ έχει μονδική λύση. Μονάδες 9 Β. Ν βρεθεί η τιμή του λ ώστε το (Σ) ν είνι δύντο. Μονάδες 9 Γ. Ν βρείτε τις τιμές του λ ώστε γι την μονδική λύση του (Σ) (x o, y o ) ν ισχύει η σχέση x o y o 1 Μονάδες 7 Θέμ 4 ο Aν x 1, x είνι οι ρίζες της εξίσωσης x x + λ 1 = 0 (1) (λ 1). x Α. Ν βρεθεί η εξίσωση που έχει ως ρίζες τους ριθμούς ρ 1 κι ρ με ρ 1 = x 1 x κι ρ = x Μονάδες 1 Β. Ν βρεθεί η τιμή του λ ώστε η εξίσωση που βρήκτε πό τη σχέση (Α) ν έχει διπλή ρίζ. Μονάδες 13 1

17 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ Θέμ 1 ο Α. Ν ποδείξετε την πρότση: Aν θ > 0, τότε x <θ θ < x < θ Β. Ν γράψετε στην κόλλ σς συμπληρωμένες τις πρκάτω προτάσεις:. Μί συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α λέγετι περιττή ν γι κάθε x A ισχύει: i. κι ii.. β. Δύο ευθείες ε 1 : y = 1 x + β 1 κι ε : y = x + β είνι πράλληλες μόνον ότν ισχύει η σχέση γ. Αν μ, ν, κ, ρ, θετικοί κέριοι κι 0 τότε: i. ii. ν νρ κ μρ = = iii. ο μ ν = Θέμ Α. Ν βρείτε τ πεδί ορισμού των συνρτήσεων: 5x x 4 f(x) = κι x 1+3 x 3x + x x 1 3 x + 5 Β. Ν λυθεί η νίσωση ο Θέμ 3 Δίνετι η συνάρτηση f με f(x)= ( λ 6λ + 9 4) x 9. με λ > 0 κι x R Α. Αν η γρφική πράστση της f τέμνει τον xx στο σημείο (3,0), ν ποδείξετε ότι:. λ= 8 β. f(x)= x 9 Μονάδες Β. Γι τη συνάρτηση f(x)= x 9.. Ν ποδείξετε ότι είνι άρτι στο πεδίο ορισμού της. Μονάδες 3 β. Ν βρείτε την κορυφή της κι ν τη μελετήσετε ως προς την μονοτονί της. γ. Ν βρείτε τ σημεί που η γρφική της πράστση τέμνει τους άξονες xx κι yy. Μονάδες 5 ο Θέμ 4 Δίνετι η εξίσωση x 37 3λ (3λ 1)x + ( ) = 0 με λ > 4. Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες πργμτικές κι άνισες. Μονάδες 5 β. Αν x 1 κι x είνι οι ρίζες της πρ πάνω εξίσωσης ν βρείτε συνρτήσει του λ τις πρστάσεις x 1 + x κι x 1 x Μονάδες 5 γ. Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση δευτέρου βθμού με ρίζες x κι x +1 είνι η: x 6λx +36 = 0 Μονάδες 7 δ. Αν η εξίσωση x 6λx +36 = 0 έχει μί ρίζ x = 4 ν βρεθεί η δεύτερη ρίζ της. Μονάδες 8

18 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ Θέμ 1 ο Α. Ν γράψετε κι ν ποδείξετε τους τύπους του Vieta που δίνουν το άθροισμ κι το γινόμενο των ριζών μις εξίσωσης ου β θμού Β. Ν δώ σετε τον ορισμό της ν οστής ρίζς ενός μη ρνητικού ριθμού, με ν * Ν Γ. Ν συμπληρωθούν οι ισότητες, ώστε ν είνι ληθείς:. = β. d (, β) =.. Μονάδες 3 γ. μ ν =...όπου 0 κι μ, ν * Ν νρ μρ δ. =... * όπου 0 κι μ, ν, ρ Ν Μονάδες 4 Δ. Δίνοντι οι ευθείες ε 1, ε με εξισώσεις ε 1 : y = 1 x + β 1, ε : y = x + β ντίστοιχ.. Πότε είνι πράλληλες ; β. Πότε είνι κάθετες ; γ. Ποι μορφή έχουν οι ευθείες ν 1 = = 0; δ. Ποι μορφή έχουν οι ευθείες ν β 1 = β = 0; Μονάδες 8 Θέμ ο Ν λυθεί η νίσωση: 1< x+ 3 Μονάδες 5 Θέμ 3 ο 3 x+ 4x Δίνοντι οι συνρτήσεις: f(x) = x 5, 16x 5x g(x) =, x+1 4 h(x) = 1 x x. Ν βρεθούν τ πεδί ορισμού τους Μονάδες 13 β. Ν βρεθούν (ν υπάρχουν) τ : f(1), f(), g(0), g(1), h(0), h(1) Μονάδες 1 Θέμ 4 ο Ν λυθεί η εξίσωση: ( ) 3 x + 1 x 1 =1 Μονάδες 5 x

19 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ Θέμ 1 ο Α. Γι την εξίσωση x + βx + γ = 0 με 0 κι Δ > 0 η οποί έχει ρίζες x 1 κι x ν δείξετε ότι ισχύει: β. x 1 + x = β. x 1 x = γ Β. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ).. Τ σημεί Α(, β) κι Β(, -β) είνι συμμετρικά ως προς τον άξον x x. β. Αν θ > 0, x IR κι x < θ τότε x < θ. γ. Ισχύει β = β, γι κάθε, β IR. δ. Ισχύει β = β, γι κάθε, β 0. ε. Η εξίσωση x + βx + γ = 0 με γ < 0, έχει δύο πργμτικές ρίζες. ο Θέμ Ν βρεθούν οι λύσεις γι τις πρκάτω εξισώσεις κι νισώσεις:. x = 3 Μονάδες 5 β. x + x 6 = 0 Μονάδες 5 γ. x + 4 Μονάδες 5 x + 1 δ. x = 5 Μονάδες 5 3 ε. x 3x 0 Μονάδες 5 Θέμ 3 ο Δίνοντι οι ευθείες ε 1 κι ε με εξισώσεις ε 1 : y = 3x 5 κι ε : y = (λ 1)x+1.. Γι ποι τιμή του λ IR οι ευθείες ε 1 κι ε είνι πράλληλές. Μονάδες 8 β. Αν λ = ν δείξετε ότι οι ευθείες ε 1 κι ε έχουν κοινό σημείο το σημείο Α(3,4). Μονάδες 8 γ. Ν βρείτε την πόστση του σημείου Α(3, 4) πό την ρχή των ξόνων κι την πόστση του σημείου Α(3, 4) πό το σημείο Β( 5, ). Μονάδες 9 Θέμ 4 ο λx + 3y = 1 Δίνετι το σύστημ (Σ), με λ R 4x + (λ 1)y = λ 3. Ν βρεθούν οι τιμές του λ IR γι τις οποίες το σύστημ (Σ) έχει μονδική λύση κι ν βρεθεί η μονδική υτή λύση. Μονάδες 8 β. Ν βρεθεί η τιμή του λ IR γι την οποί το σύστημ (Σ) έχει άπειρες λύσεις. Μονάδες 8 γ. Ν λυθεί η νίσωση D + Dx 0 γι τις διάφορες τιμές του λ R. Μονάδες 9

20 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ Θέμ 1 ο γ Α. Αν x 1, x οι ρίζες της εξίσωσης x + βx + γ = 0, με 0, ν δείξετε ότι x x = 1 Β. Ν χρκτηρίσετε με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) τις πρκάτω προτάσεις:. Αν θ > 0, τότε ισχύει x θ x θ ή x θ β. Αν γ = 0 τότε η εξίσωση x + βx + γ = 0 έχει ρίζ το 0 γ. Αν γ<0 τότε η εξίσωση x + βx + γ = 0 έχει δύο ρίζες ετερόσημες στο R δ. Τ σημεί Α(, β) κι Β (, β) είνι συμμετρικά ως προς τον άξον y y ν ε. Γι οποιουσδήποτε πργμτικούς ισχύει: ν ν β = β Θέμ ο x +1. Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της συνρτήσεως: f(x) = x + x + 1+ x 4 β. Αν x 1, x είνι ρίζες της εξίσωσης x + 6x 3 = 0ν υπολογίσετε την πράστση 1 1 Α = + x x 1 Θέμ 3 ο λ 3 λ 1 Δίνετι η ευθεί ε : y = x +, λ 1. Ν προσδιοριστεί ο λ ώστε η ε: λ Ν είνι πράλληλη στην ευθεί ε : y = x β. Ν είν ι κάθετη στην ευθεί ε : y = x + 3 γ. Ν διέρχετι πό την ρχή των ξόνων Μονάδες 5 Θέμ 4 ο λx + 3y =1 Δίνετι το σύστημ (Σ) με λ R 4x + (λ 1)y = λ 3. Ν βρεθούν οι τιμές του λ R γι τις οποίες το σύστημ (Σ) έχει μονδική λύση η οποί ν βρεθεί Μονάδες 8 β. Ν βρεθεί η τιμή του λ R γι την οποί το σύστημ (Σ) έχει άπειρες λύσεις Μονάδες 8 γ. Ν λυθεί η νίσωση D +D x 0 γι τις διάφορες τιμές του λ R Μονάδες 9

21 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ Θέμ 1 ο Α. Ν ποδειχτεί ότι γι κάθε δύο πργμτικούς ριθμούς κι β ισχύει: β = β Β. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις πο υ κολουθούν γράφοντς στο γρπτό σς τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση:. Γι κάθε πργμτικό ριθμό ισχύει: = β. Αν θ>0 τότε ισχύει: x <θ θ < x < θ γ. Γι κάθε πργμτικό ισχύει: δ. Αν x 1, x είνι οι ρίζες της εξίσωσης x+ βx + γ = 0 με, β, γ πργμτικούς κι 0, β τότε ισχύει: x+ x=. 1 ε. Αν γι τη δικρίνουσ Δ της εξίσωσης x + βx + γ = 0 με, β, γ πργμτικούς κι 0 ισχύει Δ 0, τότε η εξίσωση έχει μί τουλάχιστον πργμτική λύση. Δίνετι η εξίσωση( ) Θέμ ο 3 x 5 = x με πργμτικό ριθμό.. Αν =, ν λυθεί η εξίσωση. β. Αν = 1, τι συμπερίνετε γι την εξίσωση; Θέμ 3 ο Δίνοντι οι δύο νισώσεις: x 1 7 κι x x>. Ν λυθεί η πρώτη νίσωση β. Ν λυθεί η δεύτερη νίσωση γ. Ν βρεθούν οι κοινές τους λύσεις Μονάδες 5 Θέμ 4 ο ( λ ) Δίνετι το σύστημ των γρμμικών εξισώσεων: ( ) x + λy = λ 3x + λ + y =1 όπου λ R Α. Γι την τιμή λ = 4:. ν δειχθεί ότι το σύστημ έχει άπειρες λύσεις β. ν βρεθεί η μορφή των λύσεων Μονάδες Β. γι την τιμή λ = 1ν δειχτεί ότι το σύστημ είνι δύντο 5

22 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ Θέμ 1 o Α. Ν ποδειχθε ί ότι η πόλυτη τιμή του θροίσμτος δύο ριθμών είνι ίση ή μικρότερη πό το άθροισμ των πόλυτων τιμών των ριθμών υτών. Δηλδή: +β + β Πότε ισχύει το «ίσον». Μονάδες 5 Β. Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις με (Σ) ν είνι σωστές ή με (Λ) ν είνι λάθος.. Γι κάθε πργμτικό ριθμό ισχύει: x > x β. Αν σε έν γρμμικό σύστημ δυο εξισώσεων με δυο γνώστους ισχύει D = 0, το σύστημ είνι δύντο. x β γ. Το άθροισμ των ριζών της εξίσωσης + βx + γ = 0 ισούτι με δ. Αν 0 κι μ, ν φυσικοί ριθμοί τότε ισχύει: = μ ν μν ε. Αν Α(x 1, y 1 ) κι Β(x, y ) είνι σημεί του επιπέδου, τότε η πόστση (ΑΒ) ισούτι με: (x x ) + (y y ) o Θέμ 1 1 Ν λυθεί η νίσωση: Θέμ 3 o x 3 3 x 4 < Μονάδες 5 3 Δίνετι η εξίσωση : x (μ + 1)x + μ = 0, όπου μ πργμτικός ριθμός.. Αποδείξτε ότι υτή έχει γι κάθε πργμτικό ριθμό μ μι τουλάχιστον λύση β. Βρείτε το μ ώστε ν έχει μι διπλή ρίζ γ. Αν ρ 1, ρ οι ρίζες της πρπάνω εξίσωσης, προσδιορίστε τον ρνητικό ριθμό μ ώστε ν ισχύει: ρ 1 + ρ ρ = ρ + Μονάδες 5 1 Θέμ 4 o Δίνετι το σύστημ (Σ): κι η εξίσωση x λy = λ + 1 λx y = λ + 3 (Ε): (λ 1)x 5λ = 5, όπου λ πργμτικός ριθμός. Ν βρεθεί η ορίζουσ D του συστήμτος Μονάδες 8 β. Ν λυθεί η εξίσωση D = 0 Μονάδες 7 γ. Γι την τιμή του λ που το (Σ) είνι δύντο, ν βρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης (Ε)

23 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 Θέμ 1 o 15. Γι κάθε, β R ν δείξετε ότι ισχύει: + β + β β. Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις σωστό (Σ) ή λάθος (Λ). i. Αν < 0 τότε = ii. Αν, β > 0 τότε ισχύει + β = + β iii. Αν,β R τότε ισχύει β = β iv. Δυο ευθείες με εξισώσεις ( ε 1): y = 1x + β1κι (ε ): y = x + βείνι κάθετες ότν = 1 1 v. Αν μι συνάρτηση f είνι περιττή στο πεδίο ορισμού της Α, η γρφική της πράστση Θέμ έχει άξον συμμετρίς του άξον x x. o x 1 x 1 1. Ν λυθεί η εξίσωση : = 3 β. Ν λυθεί η νίσωση : (x ) 5 Θέμ 3 ο 3 x 1 3 Ν λυθεί η νίσωση : + x + 1 x 4 Θέμ 4 o Δίνετι η εξίσωση : λx + x (λ ) = 0 με λ 0. Μονάδες 5. Ν δείξετε ότι η εξίσωση έχει ρίζες πργμτικές γι κάθε λ R β. Αν λ = 1 κι x 1, x είνι οι ρίζες της (1) ν υπολογίσετε τις τιμές των πρστάσεων : i. x 1 + x x ii. ( ) 1 Μονάδες 7 x Μονάδες 8

24 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ Θέμ 1 ο Α. Ν ποδειχθεί ότι ν x 1, x είνι οι ρίζες της εξίσωσης x + βx + γ = 0 με 0, τότε x+ x= 1 β γ κι x x = Μονάδες 1 1 Β. Ν ντιγράψετε τις σχέσεις που είνι ελλιπείς στην κόλλ σς κι ν συμπληρώσετε τ κενά ώστε ν προκύψουν ληθείς προτάσεις.. Α ν ε : y = x + β κ ι ε : y = x + β δύο ευθείες τότε ε 1 1 / /ε. Μονάδες 1 1 β. Αν θ >0 τότε ισχύει: x <θ.. x >θ.. Μονάδες 4 γ. =... β =..., ν μ ν ν ν ν β =..., =... όπου, β R κι 0, β 0 κι μ, ν θετικοί κέριοι Μονάδες 4 δ. Αν Α(x 1, y 1 ) κι Β(x, y ) δύο σημεί σε κρτεσινό σύστημ συντετγμένων, τότε η πόστσή τους δίνετι πό τον τύπο: (ΑΒ) = Μονάδες 3 Θέμ ο λx y =1 Δίνετι το σύστημ (Σ):, λ R x λy = 3. Ν βρείτε τις τιμές του λ γι τις οποίες το σύστημ (Σ) έχει μονδική λύση. Μονάδες 13 β. Ν λύσετε το σύστημ (Σ) γι λ= Μονάδες 1 Θέμ 3 ο x 3x 4 Δίνετι η συνάρτηση f με τύπο: f( x ) = x 1. Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της f Μονάδες 6 β. Ν πλοποιηθεί ο τύπος της f Μονάδες 6 γ. Αν Α,Β είνι τ σημεί τομής της γρφικής πράστσης της f με τους άξονες xx κι yy ντίστοιχ τότε ν βρείτε την πόστση των σημείων Α κι Β κι την εξίσωση της ευθείς που διέρχετι πό τ Α κι Β. Μονάδες 13 Θέμ 4 ο Δίνετι η εξίσωση: x 7x + λ = 0 λ R (1) Α.. Γι ποιες τιμές του λ η εξίσωση έχει ρίζες πργμτικές κι άνισες; Μονάδες 6 β. Ν βρείτε γι ποι τιμή του λ η εξίσωση (1) έχει δύο ρίζες x 1, x τέτοιες ώστε ν ισχύει x x 1 + = 3 Μονάδες 7 3 Β.. Ν λύσετε την εξίσωση (1) γι λ = 1 Μονάδες 6 β. Ν λύσετε την εξίσωση x x = 3 x 7 όπου x 1 1 είνι η μικρότερη πό τις ρίζες της εξίσωσης που βρήκτε στο προηγούμενο ερώτημ. Μονάδες 6

25 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ Θέμ 1 ο Α. Ν δείξετε ότι: «Η πόλυτη τιμή του γινομένου δυο ριθμών ισούτι με το γινόμενο των πόλυτων τιμών τους». Β. Ν συμπληρώσετε τ κενά. ν ν β =..., ότν, β θετικοί. β. + β. + β γ. β = β δ. Αν x 1, x είνι οι ρίζες του τριωνύμου x + βx + γ, 0, τότε x + β x + γ = ( x... )(x...). ε. Το τριώνυμο x + βx + γ, 0, γίνετι ετερόσημο του ότν Δ κι το x βρίσκετι Μονάδες 5 =10 Θέμ ο Α. Ν μεττρέψετε την πράστση σε ισοδύνμη με ρητό προνομστή: Β. Ν υπο λογίσετε την τιμή της πράστσης: ( 1) 5( 1)( +1 ) + ( +1) Θέμ 3 ο Α. Ν λυθούν οι νισώσεις:. x 1 x < 3 1 x 3 β. x 1> + 10 Β. Ν βρεθούν οι κοινές λύσεις των πρπάνω νισώσεων Μονάδες 5 Θέμ 4 ο Δίνετι η εξίσωση x λx + λ 1= 0, όπου λ πργμτικός ριθμός.. Ν π οδείξετε ότι γι κάθε τιμή του λ η πρπάνω εξίσωση έχει ρίζες πργμτικές β. Ν βρείτε τις τιμές του λ γι τις οποίες οι ρίζες x, x της εξίσωσης ικνοποιούν 1 τη σχέση x+ x+ 3 xx = 7 : ( ) ( ) 1 1

26 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ Θέμ 1 ο Α. Ν δώσετε τον ορισμό της πόλυτης τιμής του πργμτικού ριθμού. Μονάδες 3 Β. Ν ποδείξετε ότι β = β, γι οποιουσδήποτε, β R Γ. Ν γράψετε ν είνι σωστοί (Σ) ή λάθος (Λ), οι πρκάτω ισχυρισμοί:. Ισχύει + β > + β. β. Ισχύει x < θ θ < x < θ με θ > 0. γ. Ισχύει =, με R δ. + β = + β με 0, β 0. ε. Αν δύο ευθείες είνι κάθετες, το γινόμενο των συντελεστών διεύθυνσής τους είνι 1. μ ν μν στ. Ισχύει = με 0. Μονάδες 1 Θέμ ο λx + y = λ Ν λυθεί το σύστημ: ( Σ), γι τις διάφορες τιμές του λ R Μονάδες 5 x + λy = 4 Θέμ 3 ο Έστω η δευτεροβάθμι εξίσωση: x λx + (λ 1 ) = 0 (1) με λ R κι x, x οι ρίζες της. 4. Ν δείξετε ότι η εξίσωση (1) έχει πργμτικές ρίζες. β. Ν βρείτε την τιμή του λ R, ώστε η εξίσωση (1) ν έχει ρίζες ντίθετες. γ. Ν βρείτε την τιμή του λ R, ώστε η εξίσωση (1) ν έχει ρίζες ντίστροφες. δ. Ν δείξετε ότι ισχύει η σχέση x + x 6x 1 x. Μονάδες ο Θέμ 4 Ένς κάτοικος της Αττικής πηγίνει κθημερινά με το υτοκίνητο του πό το σπίτι του,που βρίσκετι στη θέση Α(-1,3), στο γρφείο του που βρίσκετι στη θέση Γ (όπως φίνετι στο σχήμ).όμως λόγω έργων επέκτσης της Αττικής οδού (κτσκευή σήργγς στη θέση Δ ), φού προχωρήσει έως τη θέση Β(3, 1) πίρνει την πρκμπτήριο οδό Β Ο Γ, γι ν φτάσει τελικά στο γρφείο του Γ.. Ν βρείτε την εξίσωση της ευθείς ΑΒ. β. Ν βρείτε την εξίσωση της ευθείς ΟΒ, ν O(0,0) είνι η ρχή των ξόνων. γ. Ν βρείτε την εξίσωση της ευθείς ΟΓ, ν δίνετι ότι ΟΒ ΟΓ δ. Ν υπολογίσετε την τετγμένη του σημείου Γ, ν η τετμημένη του είνι 1 κι γνωρίζετε επίσης ότι οι ποστάσεις ΟΒ κι ΟΓ είνι ίσες. ε. Ν δείξετε ότι υτός ο κάτοικος της Αττικής θ ωφεληθεί πρ γμτικά μετά την κτσκευή της σήργγς κι την διάνοιξη του δρόμου Β Δ Γ κι ότι θ κάνει κθημερινά ( ) 10 λιγότερη πόστση γι ν πάει πό το σπίτι στο γρφείο του. Μονάδες 5 5 = 5

27 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ Θέμ 1 ο Α.. Έστω x 1 κι x οι ρίζες της εξίσωσης x + βx + γ = 0, 0. Αν με S συμβολίσουμε το άθροισμ x+ x κι με Ρ το γινόμενο x x των ριζών υτών, ν ποδείξετε ότι: 1 1 β γ S = x + x = κι Ρ = x x = Μονάδες β. Ν γρά ψετε τη μορφή που πίρνει η εξίσωση x + βx + γ = 0, 0 ν είνι γνωστό το άθροισμ S κι το γινόμενο Ρ των ριζών της x, x Μονάδες 4 1 γ. Ν γράψετε το τριώνυμο f(x) = x + βx + γ, 0 σε μορφή γινομένου στην περίπτωση που η δικρίνουσ είνι θετική (Δ >0) Μονάδες 3 Β. Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση. Η πράστση ισούτι με: τίποτ πό τ προηγούμεν Μονάδες 5 β. Αν σε έν γρμμικό σύστη μ δύο εξισώσεων με δύο γνώστους ισχύει D = D x = 0 κι D y 0 τότε το σύστημ: 1. είνι όριστο. έχει μονδική λύση 3. είνι δύντο 4. τίποτ πό τ προηγούμεν Μονάδες 5 Θέμ ο Δίνετι η πράστση Α = 8 x 4. Ν λύσετε την εξίσωση: Α = 8 β. Ν λύσετε την νίσωση: Α < 8 Θέμ 3 ο ε : y = λ +1 x + κι ( ) Δίνοντι οι ευθείες ε 1, ε με εξισώσεις: 1 ( ) ε : y = 3λ 1x 1. Ν βρείτε τις τιμές του λ R ώστε οι ευθείες ε 1, ε ν είνι πράλληλες β. Γι λ = 1 ν βρείτε τ σημεί τομής Α κι Β της ευθείς ε 1 με τους άξονες x x κι y y ντίστοιχ Μονάδες 5 γ. Ν βρείτε το μήκος του ευθυγράμμου τμήμτος ΑΒ Μονάδες 5 Θέμ 4 ο Δίνετι η εξίσωση x λx + λ + 3 = 0, λ R (1). Ν συμπληρώσετε στην κόλλ σς στις πρκάτω ισότητες, τ κενά που σημειώνοντι με =.., β =., γ =., Δ =.. Μονάδες 4 β. Ν βρείτε γι ποιες τιμές του λ R, η εξίσωση (1) έχει ρίζες πργμτικές κι άνισες Μονάδες 16 γ. Αν x 1, x είνι οι ρίζες της εξίσωσης (1) ν βρείτε τον πργμτικό ριθμό λ, ώστε ν ισχύει xx+ xx < 10 4λ Μονάδες 5 1 1

28 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ Θέμ 1 ο Α. Ν συμπληρώσετε τις ρίζες της εξίσωσης (φού τον μετφέρετε στο τετράδιό σς). Δ Δ >0 Δ = 0 Δ <0 Ρίζες της εξίσωσης x + βx + γ = 0, 0 στον πρκάτω πίνκ Β. Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση:. ( 3) = 3 β. ( 1 ) = 1 γ. Αν x < 1 τότε x x +1= x 1 δ. Ισχύει: x= 3 x = 3 ε. Ισχύει: = Θέμ ο Α. Ν ποδειχτεί ότι η εξ ίσωση x+ λx 1= 0έχει πάντ ρίζες πργμτικές κι άνισες. Β. Χωρίς ν υπολογίσετε τις ρίζες, ν βρείτε τις τιμές των πρστάσεων συνρτήσει του λ, της πρπάνω εξίσωσης.:. x+ x 1 β. x x 1 γ. x x + x x 1 1 Θέμ 3 ο Δίνοντι οι νισώσεις: x x 5x x 5 > 3 κι Ν λύσετε την πρώτη νίσωση Μονάδες 8 β. Ν λύσετε τη δεύτερη νίσωση Μονάδες 1 γ. Ν βρείτε τις κοινές λύσεις των δύο νισώσεων Μονάδες 5 Θέμ 4 ο ( λ 5) x ( λ 5) y = 0 Δίνετι το σύστημ: κι η εξίσωση x ( λ ) x + 9 = 0 x + λy = 7 4. Ν βρεθούν οι τιμές του λ, γι τις οποίες το σύστημ είνι δύντο. Μονάδες 9 β. Ν δείξετε ότι ν το σύστημ είνι δύντο, η εξίσωση έχει μι διπλή ρίζ η οποί κι ν βρεθεί. Μονάδες 8 γ. Ν βρείτε τη μονδική λύση του συστήμτος (x 0, y 0 ) Μονάδες 8

29 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 Θέμ 1 ο 1 Α. Αν x 1, x είνι ρίζες της εξίσωσης x + βx + γ = 0, με 0 ν δείξετε ότι: S = x 1 + x = β γ κι P = x 1 x =. Β. Ν πντήσετε ν είνι σωστές ή λάθος οι πρκάτω προτάσεις: i. Γι κάθε 0 ισχύει ν μ μ ν =. ii. Γι θ > 0 ισχύει η ισοδυνμί x θ θ x θ. iii. Αν σε έν γρμμικό σύστημ εξισ ώσεων με γνώστους ισχύει D = D x = 0, τότε υτό είνι πάντ όριστο. iv. Η εξίσωση x + λx λ = 0 έχει λύση γι κάθε λ R. v. Αν η f(x) = x + βx + γ με 0 έχει διπλή ρίζ x 0 τότε f(x) = (x+x 0 ). Θέμ ο Α. Ν διλέξετε τη σωστή λύση της νίσωσης x 3 < 11 δικιολογώντς την πάντησή σς:. x (, 4) β. x ( 4, 7) γ. x ( 4, ) δ. x (, 4) ( 7, ) ε. x ( 7, + ) Β. Ν δείξετε ότι Θέμ 3 ο 1 + = Α. Ν λύσετε τις εξισώσεις: i. 6 3x= 0 κι ii. x = 8x Β. Ν λύσετε την νίσωση Θέμ 4 ο Α. Ν λύσετε το σύστημ 6 3x x 8x λ x + y = λ 0. γι τις διάφορες τιμές του λ R. λx + y = λ 1 Β. Αν (x 0, y 0 ) είνι η μονδ ική λύση του πρπάνω συστήμτος ν βρεθούν οι τιμές του λ R ώστε ν ισχύει y 0 3 x 0 =.

30 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 Θέμ 1 ο Α. Αν x, x είνι οι ρίζες της εξίσωσης : x + βx + γ = 0, με 0 ν δειχθεί ότι: 1 x 1 x = γ Β. Πότε μι συνάρτηση f λέγετι γνησίως ύξουσ σε έν διάστημ Δ του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 5 Γ. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν γράφοντς στην κόλλ σς τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλ στο γράμμ που ντ ιστοιχεί σε κάθε πρότση. Γι κάθε πργμτικούς ριθμούς, β, γ ισχύει ότι: >β γ > βγ β. Γι κάθε πργμτικούς ριθμούς, β, ισχύει : + β = + β γ. Αν οι ευθείες y = x + βκι y = x + β είνι κάθετες τότε ισχύει: = 1 ε. Η ευθεί y = x είνι διχοτόμος των γωνιών του πρώτου κι τρίτου τετρτημορίου με λ διάφορο του 1. Ν δειχθεί ότι έχει μονδική λύση την: δ. Η συνάρτηση f(x) = x με διάφορο του μηδέν έχει γρφική πράστση ευθεί Θέμ ο Δίνετι το σύστημ: λx + y =1 x + y = λ β. Ν ποδειχτεί ότι το σημείο ( ) Θέμ 3 ο Δίνετι η f(x) = x +1 x = (λ +1), y = λ + λ +1 ( ) Α λ +1, λ + λ +1. Ν βρεθούν οι κέριες τιμές του x γι τις οποίες ισχύει: f(x) < Μονάδες 18 βρίσκετι πάνω πό τον άξον xx Μονάδες 7 Μονάδες 7 β. Ν βρεθεί το λ γι το οποίο η ευθεί y = λ(λ )x + 5 είνι κάθετη στη γρφική πράστση της f Μονάδες 9 γ. Αν > 1 >β ν δειχθεί ότι: f( + β) >f(β) +1 Μονάδες 9 Θέμ 4 ο Δίνετι το τριώνυμο: f(x) = x (λ )x λ. Ν δειχθεί ότι γι κάθε πργμτικό ριθμό λ έχει ρίζες Μονάδες 7 β. Αν ρ 1 κι ρ οι ρίζες του, ν λυθεί η νίσωση: ρ + ρ >5 Μονάδες 9 1 γ. Αν λ = 4 ν βρεθεί η τιμή του x γι την οποί πίρνει την ελάχιστη τιμή την οποί κι ν βρείτε Μονάδες 9

31 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ ο Θέμ 1 Α. Έστω x 1, x οι ρίζες της εξίσωσης x + βx + γ = 0, 0. Αν S = x 1 + x είνι το άθροισμ κι P = x 1 x είνι το γινόμενο των ριζών, ν δείξετε ότι: β. S = Μονάδες 6 β. P = γ Μονάδες 7 Β. Ν χρκτηρίσετε με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) τις πρκάτω προτάσεις:. + β = + β, ν > 0 κι β > 0 κ λ κλ β. =, ν > 0. γ. x= 5 x = 5 δ. Η εξίσωση x 3 = 0 είνι δύντη τούν τ D x, D y. ε. Αν η εξίσωση (λ 1)x = λ 1 είνι όριστη, τότε λ = 1 ζ. Ισχύει ότι β = β Μονάδες 1 Θέμ ο Α. Αν 0 x 5 κι 5 y, ν βρείτε μετξύ ποιων ριθμών βρίσκοντι οι τιμές των πρστάσεων:. x + y Μονάδες 4 β. x y Μονάδες 6 γ. x y Μονάδες 6 Β. Ν επιλέξετε το σωστό ισχυρισμό: x. Η νίσωση: < 0 : i. ληθεύει γι κάθε x > 0, ii. ληθεύει γι κάθε x < 0, iii. ληθεύει γι κάθε x 0, β. Η νίσωση: 0 x 0 : i. ληθεύει μόνο γι x = 0, ii. ληθεύει μόνο γι κάθε x 0, iii. ληθεύει γι κάθε x R γ. Οι νισώσεις x < 1 κι x, συνληθεύουν: i. γι κάθε x ( 1, ], ii. γι κάθε x, iii. γι κάθε x < 1. Θέμ 3 ο Μονάδες 9 λx + 4y = 4 Δίνετι το σύστημ: x + λy =. Ν υπολογισ D, β. Γι ποιες τιμές του λ το σύστημ έχει μονδική λύση κι ποι είνι; γ. Ν λύσετε το σύστημ γι λ = δ. Γι λ = ν εξετάσετε ν οι εξισώσεις το υ συστήμτος πριστάνουν ευθείες που τέμνοντι ή είνι πράλληλες ή τυτίζοντι. Μονάδες Α. Ν λύσετε την εξίσωση: 3(x+1) 5 x + 1 = 0 Θέμ 4 ο Β. Ν λύσετε τις πρκάτω νισώσεις:. β. ( x ) ( x + 1) x + 4 x x + < x + 1 x 3 0 Μονάδες 7 Μονάδες 8

32 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ ο Θέμ 1 Α. Έστω ευθεί ε κι σημείο Α εκτός υτής. Τι ονομάζουμε πόστση του σημείου Α πό την ευθεί ε ; B. Ν ποδείξετε ότι κάθε σημείο της διχοτόμου μις γωνίς ισπέχει πό τις πλευρές της κι ντίστροφ κάθε εσωτερικό σημείο της γωνίς που ισπέχει πό τις πλευρές της είνι σημείο της διχοτόμου της. Γ. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ). δ. με το μισό της υποτείνουσς. Μονάδες 5. Η διάμεσος ισοσκελούς τριγώνου που ντιστοιχεί στη βάση του είνι διχοτόμος κι ύψος. β. Στο ορθογώνιο πρλληλόγρμμο οι διγώνιες τέμνοντι κάθετ. γ. Σε ορθογώνιο τρίγωνο που μι γωνί του είνι 60, η πένντι κάθετη πλευρά είνι ίση Η διάμεσος τρπεζίου ισούτι με το άθροισμ των βάσεών του. ε. Έν τρπέζιο που έχει τις γωνίες που πρόσκειντι σε μι βάση του ίσες, έχει κι ίσες διγώνιους. Θέμ ο Δίνετι ισοσκελές τρπέζιο ΑΒΓΔ με ΑΒ//ΓΔ κι ΓΔ = ΑΒ. Έστω Μ το μέσον της ΑΒ, Ν το μέσον της ΒΔ κι Ρ το μέσον της ΑΓ. Ν δείξετε ότι:. Το τρίγωνο ΜΝΡ είνι ισοσκελές ΑΒ β. ΝΡ = Θέμ 3 ο Δίνετι τρίγωνο ΑΒΓ( Α = 45 ). Φέρνουμε τ ύψη του ΒΔ, ΓΕ, Ν δείξετε ότι: β. Μονάδες 1 Μονάδες 13 κι έστω Μ το μέσο της ΒΓ.. ΜΔ = ΜΕ ΔΜΕ = 90 Θέμ 4 ο Δίνετι τρίγωνο ΑΒΓ. Φέρνουμε την ΑΓ ΑΓ με ΑΓ = ΑΓ κι την ΑΒ ΑΒ με ΑΒ = ΑΒ. Φέρνουμε επίσης την διάμεσο ΑΜ κι στην προέκτση της πίρνουμε τμήμ ΜΖ =ΑΜ Ν ποδείξετε ότι:. Το τετράπλευρο ΑΒΖΓ είνι πρλληλόγρμμο Μονάδες 5 β. Τ τρίγων Β ΓΆ κι ΑΓΖ είνι ίσ γ. ΑΜ Β Γ.

33 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 Θέμ 1 o 5 Α. Ν ποδείξετε ό τι: β= β,, β R Β. Ν χρκτηρίσετε σν σωστές ή λάθος τις πρκάτω προτάσεις:. Γι κάθε R ισχύει : β. Αν > β κι γ < 0 τότε: γ < βγ γ. Αν = β = 0 τότε η εξίσωση x + β = 0 είνι δύντη. δ. Αν γι τριώνυμο x + βx + γ, 0 είνι Δ < 0 τότε υτό είνι ομόσημο του γι κάθε x R. Θέμ o Α. Ν λυθούν οι νισώσεις : x + 1. > 0 x 3 β. x 3 < 5 Β. Ν βρεθούν οι τιμές του x γι τις οποίες συνληθεύουν οι νισώσεις. Θέμ 3 o Δίνετι το σύστημ: λx + y = 4 x + (λ 1)y = λ A. Ν βρεθούν οι ορίζουσες D, D x, κι D y κι ν πργοντοποιηθούν. B. Ν βρεθούν :. Οι τιμές του λ γι τις οποίες το σύστημ έχει μονδική λύση κι ή λύση του συστήμτος Μονάδες 5 β. Οι τιμές του λ γι τις οποίες το σύστημ είνι δύντο. Μονάδες 5 γ. Οι τιμές του λ γι τις οποίες το σύστημ έχει άπειρες λύσεις. Μονάδες 5 Θέμ 4 o Δίνετι η εξίσωση : x (λ )x + λ + 1 = 0, λ R.. Αν η εξίσωση έχει δυο ρίζες κι η μί είνι η 3 ν βρεθεί η άλλη ρίζ. β. Ν βρεθούν οι τιμές του λ γι τις οποίες ισχύει η σχέση: Μονάδες 5 x + x + x + x > , όπου x, x οι ρίζες της εξίσωσης.

34 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ Θέμ 1 ο Α. 1. Ν δώσετε τον ορισμό της πόλυτης τιμής πργμτικού ριθμού. Μονάδες 5. Ν ποδείξετε ότι γι κάθε, β R ισχύει : β = β. Β. Ν γράψετε στην κόλλ σς ν είνι ΣΩΣΤΗ ή ΛΑΘΟΣ η πρότση : 1. Αν 0, τότε η εξίσωση x + β = 0 έχει μί λύση.. Γι χ R κι θ > 0 ισχύει : x = θ x = ± θ. 3. Αν > β κι γ < 0, τότε γ < β γ 4. Αν η δικρίνουσ Δ της εξίσωσης x + βx + γ = 0, 0 είνι θετική, τότε η εξίσωση δεν έχει πργμτικές ρίζες. 5. Η ευθεί ψ = β είνι πράλληλη στον άξον y y. Θέμ ο 1. Ν λυθεί η εξίσωση : 4 ( x 1 ) + 1 = 5. Ν λυθεί η νίσωση : x Θέμ 3 ο Δίνοντι οι ευθείες : ε 1 : ψ = 3x 1 κι ε : y = x + 1 Μονάδες 6. Ν βρεθεί το σημείο τομής της ε 1 με τον άξον χ χ κι της ε με τον άξον ψ ψ. β. Ν βρεθούν οι συντετγμένες του σημείου τομής των ε 1 κι ε γ. Ν σχεδιάσετε ε 1 κι ε στο ίδιο σύστημ ξόνων. Μονάδες 13 Μονάδες 6 Θέμ 4 o Δίνετι η εξίσωση : x x + λ = 0 ( 1 ). Ν βρείτε γι ποιες τιμές του λ R η εξίσωση ( 1 ) έχει δύο ρίζες πργμτικές κι άνισες. β. Έστω x 1, x οι ρίζες της εξίσωσης ( 1 ) γι λ = Ν βρεθεί η εξίσωση που έχει ρίζες :, x x 1

35 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 Θέμ 1 ο 7 Α. Ν ποδείξετε ότι: Δύο δικεκριμένες ευθείες (ε 1 ) κι (ε ) με εξισώσεις y = x + βκι 1 1 y = x + β ντίστοιχ, είνι πράλληλες μόνο ότν οι συντελεστές διεύθυνσης υτών είνι ίσοι Μονάδες 13 B. Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ):. Μι ευθεί πράλληλη στον άξον x x σχημτίζει με τον άξον των x γωνί 90 β. Αν ω η γωνί που σχημτίζει η ευθεί y = x + β με τον άξον των x, τότε εφω = β γ. Οι συντελεστές διεύθυνσης δύο κάθετων ευθειών έχουν γινόμενο ίσο με δ. Η ευθεί y = x δε διέρχετι πό την ρχή των ξόνων Θέμ ο 1 Μονάδες 1. Ν λύσετε την εξίσωση: x 3 = x 5 Μονάδες 1 β. Ν λύσετε την νίσωση: x 3 Μονάδες 13 Θέμ 3 ο x y = λ 1 Έστω το σύστημ: 7x 4y = λ. Ν υπολογίσετε τις ορίζο υσες D, D x, D y β. Ν βρείτε τη λύση (x, y) του συστήμτος ως συνάρτηση του λ Μονάδες 9 Μονάδες 7 γ. Γι τ πρπάν ω (x, y) ν βρείτε τις τιμές του λ ώστε x y <1 Θέμ 4 ο Μονάδες 9 Δίνετι η εξίσωση: x+ λx 1= 0. Ν ποδείξετε ότι έχει πργμτικές ρίζες γι κάθε πργμτικό ριθμό λ Μονάδες 13 β. Χωρίς ν υπολογίσετε τις ρίζες υτές, ν βρείτε τις πρ κάτω πρστάσεις: x+ x+1 κι 1 1 x x +1 Μονάδες 1

36 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ Θέμ 1 o i. Ν δοθεί ο ορισμός της πολύτου τιμής πργμτικού ριθμού ( R). Μονάδες 5 ii. Ν δειχθεί ότι: Αν θ > 0 τότε x < θ θ < x < θ iii. Τι συμπέρσμ βγάζετε ν θ > 0 κι x > θ; Μονάδες 5 Θέμ o Ν λυθεί κι διερευνηθεί το σύστημ: Θέμ 3 ο x + y = λ Μονάδες 5 λx + y = 1. Δίδετι η εξίσωση x x 15 = 0. Ν λυθεί. β. Αν x, x οι ρίζες της εξίσωσης του ) ερωτήμτος ν βρείτε εξίσωση ου βθμού με ρίζες 1 x 1 + κι x + Θέμ 4 ο (x + 1)(x + 4)(x 7x +1) Ν λυθεί η νίσωση : > 0 Μονάδες 5 (x )(x + 5)

37 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 Θέμ 1 ο 9 Α. Ν ποδείξετε ότι γι κάθε, β R, ισχύει: + β + β Β. Ν βρείτε ποιες πό τις πρκάτω προτάσεις είνι σωστές κι ποιες είνι λνθσμένες:. 3 = 3 β. x = x γ. + β = + β δ. ( β ) = ( + β) ( ) ( 3 3 ε. β = + β) Θέμ ο Ν βρείτε τις κοινές λύσεις των νισώσεων: x x > x κι x 3 + x ο x 3 3 Μονάδες 5 Θέμ Ν λυθεί κι ν διερευνηθεί γι τις διάφορες πργμτικές τιμές της πρμέτρου λ, λ x + y = λ το σύστημ: λx + y =1 Θέμ 4 ο ( ) Μονάδες 5 Δίνετι η εξίσωση x + 1x 1= 0. Ν ποδείξετε ότι γι κάθε R { 0, 1}, η εξίσωση έχει δύο ρίζες πργμτικές κι άνισες. β. Αν x 1, x είνι οι δύο ρίζες της εξίσωσης, ν υπολογίσετε συνρτήσει του R : x 1 + x, x 1 x, κι x τις πρστάσεις 1 + x

38 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ Θέμ 1 o Α. Δίνετι η εξίσωση x + βx + γ = 0, ( 0). Η πρπάνω εξίσωση είνι ου βθμού Σ Λ β. Ν γράψετε την πράστση που ονομάζετι δικρίνουσ της πρπάνω εξίσωσης. γ. Τι πρέπει ν ισχύει γι την δικρίνουσ, ώστε η πρπάνω εξίσωση ν έχει ρίζες πργμτικές κι άνισες; δ. Ποιος είνι ο τύπος που δίνει τις ρίζες της πρπάνω εξίσωσης; Μονάδες Β. Αν χ 1, χ είνι οι πργμτικές ρίζες τη ς πρπάνω εξίσωσης, ν δείξετε ότι:. x + x = 1 β β. x 1 x = γ Μονάδες Γ. Αν x 1, x είνι οι ρίζες της εξίσωσης: x + 7x + = 0 τότε:. Η πράστση κ x 1 + κ x (κ 0) ισούτι με: Α : 7, Β: 7, Γ: 7κ, Δ: 7κ, Ε: 7κ 1 1 β. Ν υπολογίσετε την τιμή της πράστσης: + Μονάδες x x Θέμ o Δίνετι το σύστημ: λx y = 3 x + λy = 1. Ν δείξετε ότι γι κάθε λ R το σύστημ έχει μονδική λύση (x 0, y 0 ) β. Ν βρεθεί η λύση του συστήμτος γ. Γι την λύση (x 0, y 0 ) που βρήκτε, ν λύσετε την νίσωση: x 0 + 3y 9 Μονάδες Θέμ 3 ο λ 1. Ν βρείτε το λ έτσι ώστε οι ευθείες (ε 1 ): y = πράλληλες. β. Ν λύσετε την νίσωση: 4x 1 7 γ. Αν x y 1 0 τότε είνι: x + 5 κι (ε ): y = 3x ν είνι Α: x < 1 κι y >1, Β: x > 1 κι y <1, Γ: x = 1 κι y =1, Δ: x > 1 κι y > 1 Ε: τίποτε πό τ πρπάνω Θέμ 4 ο Ν βρεθούν οι τιμές του λ R,έτσι ώστ ε η νίσωση: (λ+)x λx + 3λ > 0, λ ν ληθεύει γι όλες τις πργμτικές τιμές του x. Μονάδες 5

39 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ Θέμ 1 ο 1. Γι τους πργμτικούς ριθμούς, β ν ποδείξετε ότι: + β + β Μονάδες 9. Ν γράψετε στο τετράδιό σς το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση Α. Έστω x [, β ), τότε:. < x < β, β. x β, γ. x < β, δ. < x β, ε. τίποτε πό τ προηγούμεν Β. Η εξίσωση ( λ ) x + 3x + λ 3 = 0 είνι ου βθμού ότν:. λ 0, β. λ =, γ. λ, δ. λ = 3, ε. λ > 0 Μονάδες 6 Γ. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη Σω στό ή Λά θος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση Α. Αν x 1, x είνι ρίζες της εξίσωσης x + βx + γ = 0 με 0, τότε:. β γ x+ x=, β. x x = 1 1 Β. Αν 0 τό τε η εξίσωση x + β = 0 έχει μονδική λύση.. Το τριώ νυμο x + βx + γ με 0 κι Δ < 0 δεν νλύετι σε γινόμενο πρωτοβάθμιων πργόντων. β. Αν = β, τότε = β γ. Αν < β κι γ <δ τότε: γ< β δ ο Θέμ ( λ 1) x + y = 1 Δίνετι το σύστημ: 3x + λy = 1. Ν υπολογιστούν οι ορίζουσες D, D x κι D y β. Ν βρεθεί ο ριθμός λ ώστε το σύστημ ν είνι δύντο Μονάδες 5 γ. Ν βρεθεί ο ριθμός λ ώστε το σύστημ ν έχει άπειρες λύσεις Μονάδες 5 ο Θέμ 3. Ν γράψετε σε πλούστερη μορφή την πράστση: ( ) ( ) Α = β + β γ με 0 < β < γ Μονάδες 5 β. Ν κάνετε τις πρά ξεις: Μονάδες 7 1 x 1 x γ. Ν λυθεί η νίσωση: 3x Μονάδες 13 ο Θέμ 4 Α. Ν βρεθεί το πρόσημο των τριωνύμων:. x+ 3x 4 β. x x 3 γ. x 1 δ. x + Μονάδες 1 ( )( ) με: x 1 x + Β. Δίνετι η συνάρτηση f x + 3x 4. Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της f. β. Ν λύσετε την νίσωση f(x) 0 ( )( ) Μονάδες 4 Μονάδες 9

40 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ Θέμ 1 ο Έστω x,x ρίζες της εξίσωσης x + β x + γ = 0, 0. Α. 1 Ν ποδείξετε ότι Ρ = x 1 x = γ Μονάδες 6 Β. Τι ονομάζετι ν-οστή ρίζ (ν θετικός κέριος) ενός μη ρνητικού ριθμού. Μονάδες 4 Γ. Ν χρκτηρίσετε με την ένδειξη Σ ή Λ κάθε μί πό τις πρκάτω προτάσεις νάλογ με το ν θεωρείτε την πρότση σωστή (Σ) ή λνθσμένη (Λ). β 1 1. Αν μί στήλη της ορίζουσς έχει όλ της τ στοιχεί ίσ με το μηδέν τότε η β ορίζουσ ισούτι με το μηδέν. Σ Λ β. Υπάρχουν δύο ριθμοί με άθροισμ κι γινόμενο Σ Λ γ. Γι κάθε πργμτικό ριθμό ισχύει: κι Σ Λ δ. Ότν η δικρίνουσ του τριωνύμου f(x) = x + β x + γ = 0, 0 είνι μεγλύτερη του μηδενός (Δ > 0) τότε υτό μεττρέπετι σε γινόμενο του επί δύο πρωτοβάθμιους πράγοντες. Σ Λ ε. Ότν οι ορίζουσες D, D x, D y ενός γρμμικού συστήμτος ικνοποιούν την σχέση D = D x = D y = 0 τότε το σύστημ θ είνι πάντ όριστο. Σ Λ Θέμ ο (λ 1)x y = Α. Δίνετι το πρμετρικό σύστημ x + (λ + 1)y =. Γι τις διάφορες τιμές της πρμέτρου λ ν λυθεί το πρπάνω σύστημ. Μονάδες 11 β. Ν βρείτε την τιμή της πρμέτρου λ ώστε το πρπάνω σύστημ ν έχει μί λύση (x 0, y 0) που ν ικνοποιεί την σχέση x 0 y 0 = Μονάδες 5 Β. Γι ποιες τιμές του πργμτικού ριθμού x ορίζετι η πράστση: A = 1 x x 9 Μονάδες 9 Δίνετι η εξίσωση (x 1) = (x 3) με ρίζες τις x 1, x Θέμ 3 ο. Ν δείξετε ότι x 1 + x = ( + 1) κι x 1 x = Μονάδες 6 β. Ν βρείτε γι ποιες τιμές του ισχύει x + x = 4 Μονάδες 9 1 γ. Ν βρείτε γι ποι τιμή του η εξίσωση έχει ρίζες ντίστροφες Μονάδες δ. Ν δείξετε ότι η πράστση x x 1 είνι νεξάρτητη του Μονάδες 7 Θέμ 4 ο Α. Δίνετι ο πργμτικός ριθμός x όπου x 1. Ν πλοποιήσετε την πράστση y = x (x 1) + 3 (x+1) Μονάδες 6 β. Γι ποι τιμή του x η πράστση y του πρπάνω ερωτήμτος ικνοποιεί τη σχέση: 3y y = Μονάδες 8 (x x + 1) ( x) B. Ν λυθεί η νίσωση: 0 Μονάδες 11 x + 3x 5

41 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ Θέμ 1 ο A. Αν θ > 0 τότε ν ποδείξετε ότι: x< θ θ < x < θ Β. Πότε μ ι συνάρτηση f λέγετι γνησίως φθίνουσ σε έν διάστημ Δ του πεδίου ορισμού της Μονάδες 5 Γ. Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις μ ε την ένδειξη Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ). Γι κάθε x R ισχύει ότι x = x Μονάδες 5 β. Αν μι συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α είνι περιττή τότε γι κάθε x Α ισχύει f(x) + f( x) = 0 γ. Δίνετι ax + βx + γ = 0 με 0 κι γ < 0 τότε η εξίσωση έχει δύο ρίζες πργμτικές κι άνισες. δ. Μί άρτι συνάρτηση έχει κέντρ ο συμμετρίς την ρχή των ξόνων. ε. Η πόστση των σημείων Α (x 1, y 1 ) κι B (x, y ) δίνετι πό τον τύπο Θέμ ( ΑΒ ) = ( x + x ) + ( y + y ) 1 1 ο Η γρφική πράστση της f(x) = x + β διέρχετι πό τ σημεί Α (3, 1) κι Β(, 4). Α. Ν βρείτε τ κι β Μονάδες 5 Β. Γι = κι β = τότε:. Ν λύσετε την εξίσωση f(x) 1= 0 Μονάδες 5 β. Ν λύσετε την νίσωση 1< f(x) 3 γ. Ν υπολογίσετε την πόστση των σημείων Α κι Β Μονάδες 5 Θέμ 3 ο Δίνετι η f(x) = x + λ x + λ + λ 1. Ν βρεθούν οι τιμές του λ R ώστε η f(x) 0 γι κάθε x R β. Ν βρεθεί η τιμή του λ ώστε η εξίσωση f(x) = 0 ν έχει δύο ρίζες ντίθετες Θέμ 4 ο 1 Δίνετι η f( x) = x + x + λ 4. Ν βρεθούν οι τιμές του λ R ώστε f(x) = 0 ν έχει δύο ρίζες πργμτικές β. Αν Δ η δικρίνουσ της f (x) κι g(λ) = Δ, ν δείξετε ότι η συνάρτηση g είνι άρτι Μονάδες 1

42 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 Θέμ 1 ο 34 Α. Έστω x 1, x οι ρίζες της εξίσωσης x + βx + γ = 0, 0. Αν S = x 1 + x κι Ρ = x x, το άθροισμ κι το γινόμενο των ριζών της εξίσωσης ν δείξετε ότι: 1 β S = κι γ Ρ = Β. Ν γράψετε στην κόλλ σς τον ριθμό της ερώτησης κι ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις με Σ ν είνι σωστές ή με Λ ν υτές είνι λνθσμένες. Μί λύση της εξίσωσης x + βx + γ = 0, 0 είνι η β + β 4γ x = β. Οι γρφικές πρστάσεις των εξισώσεων y = x + βκι y = x + β είνι κάθετες 1 1 ότν = 1 γ. Ισχύει β= β γι κάθε, β πργμτικούς ριθμούς δ. Η πόστση των σημείων Α(x 1, ) κι Β(x, ) είνι η (ΑΒ) = x x 1 ε. Η λύση της νίσωσης x + β >0, με, β πργμτικούς ρ ιθμούς είνι η x > β Θέμ ο x +1 x +1 4 Ν λυθεί η νίσωση: > x +1 Μονάδες Θέμ 3 ο Δίνετι η συνάρτηση f(x) = x x x. Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης β. Ν βρεθεί ο πργμτικός ριθμός, ν γνωρίζουμε ότι το σημείο Α(,7) νήκει στη γρφική πράστ ση της συνάρτησης f Θέμ 4 ο λx + y = λ. Ν λυθεί κι ν διερευνηθεί το σύστημ : Μονάδες 18 x + λy = λ + λ β. Γι τη μονδική λύση x=, 0 λ 1 λ y= 0 λ 1 που βρήκτε στο προηγούμενο σύστημ, ν βρεθεί ο ριθμός λ ώστε το σημείο Α(x 0, y 0 ), νήκει στη ευθεί με εξίσωση: x 3y = 4 Μονάδες 7

43 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 Θέμ 1 ο Α. Ν ποδείξετε ότι: 35 Αν θ > 0, τότε: x < θ θ < x < θ Β. Ν γίνει ντιστοίχιση κάθε εξίσωσης με τις λύσεις της. Α. 5 x = 0 1. x = 1 ή x= 5 Β. x 4 = 5. x = 4 ή x = 4 Γ. 3 x = 3. Αδύντη x + 3 Δ. x +1= 4. x = 1 ή x = 9 E. x 1 = 1 5. x = 1 ή x = 1 Θέμ ο Α. Ν λυθεί η εξίσωση: λ x 9x = λ 6λ + 9. Β. Επιλέξετε τη σωστή πάντηση στις πρκάτω προτάσεις: 3x + y = 0. Το σύστη μ είνι δύντο 5x + 10y = 0 i. = 0 ii. = 6 iii. = 10 iv. ποτέ v. πάντ β. Α ν το 4 είνι ρίζ της εξίσωσης x κx + 4 = 0, τότε το κ ισούτι με: i. 5 ii. 5 iii. 3 iv. 3 v. 4 γ. Αν σε μι δευτεροβάθμι εξίσωση η μί ρίζ είνι x 1 =3, το γινόμενο των ριζών P είνι 3, τότε το άθροισμ των ριζών S είνι: i. 1 ii. 5 iii. 4 iv. 5 v. 4 Θέμ 3 ο Α. Ν λυθεί η νίσωση: ( x 1) ( x ) ( x +x 15) 0 Β 1. Δίνοντι οι ευθείες ε 1 : ψ = (4λ+1)x + 5 κι ε : ψ = (λ 1)x 3. Ν βρεθεί το λ ώστε οι ευθείες ν είνι πράλληλες. Β. Δίνοντι οι ευθείες : ε 3 : ψ = λx 5 κι ε 4 : ψ = (λ )x + 6. Ν βρεθεί το λ ώστε οι ευθείες ν είνι κάθετες. Θέμ 4 ο λx + λy = 1 Ν λυθεί το σύστημ: x + λy = λ

44 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ Θέμ 1 ο Α.. Δίνετι το τριώνυμ ο f(x) = x + βx + γ ( 0) με άνισες ρίζες x 1 κι x. Δείξτε ότι β γ S = x + x = κι Ρ = x x = 1 1 β. Ν γράψετε το f(x) με μορφή γινομένου Μονάδες 5 Β. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν με τη λέξη Σωστό ή Λάθος. Η εξίσωση λ( λ 1) x = λ 1είνι δύντη ότν λ = 1 Μονάδες β. = Μονάδες γ. = Μονάδες δ. = Μονάδες ε. ν ν ν + β= + β, β 0 Μονάδες ο Θέμ Α. Ν λυθούν οι νισώσεις:. x 4 5 x + < 3 3 Μονάδες 1 β. x > 1 Μονάδες 8 Β. Ν βρεθούν οι κοινές λύσεις των πρπάνω νισώσεων Μονάδες 5 Θέμ 3 ο λx + y = λ Δίνετι το σύστημ x + y = λ 1. Ν λυθεί το σύστημ γι τις διάφορες τιμές του λ R Μονάδες 0 β. Γι ποι τιμή του λ R ισχύει x 0 + y 0 = 0 όπου (x 0, y 0 ) η μονδική λύση του συστήμτος Μονάδες 5 Θέμ 4 ο Δίνοντι τ τριώνυμ f(x) = x λx + 4 κι g(x) = x 1. Ν βρεθούν οι τιμές του λ R ώστε η εξίσωση f(x) = 0 ν έχει μι διπλή ρίζ Μονάδες 8 β. Ν βρεθεί η τιμή του λ R ώστε η εξίσωση f(x) = 0 ν έχει ρίζ το 1 Μονάδες 7 γ. Αν λ = 5 ν λυθεί η νίσωση ( x) f(x) 0 g(x)