ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z. χρόνου και εξηγήσουµε έννοιες όπως περιοχή σύγκλισης, πόλος και µηδενικό.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z. χρόνου και εξηγήσουµε έννοιες όπως περιοχή σύγκλισης, πόλος και µηδενικό."

Transcript

1 7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να: ορίσουµε τον µετασχηµατισµό και τον µονόπλευρο µετασχηµατισµό και να περιγράψουµε τις βασικές διαφορές τους. περιγράψουµε τι είναι συνάρτηση µεταφοράς συστήµατος διακριτού χρόνου και εξηγήσουµε έννοιες όπως περιοχή σύγκλισης, πόλος και µηδενικό. υπολογίσουµε τον µετασχηµατισµό στοιχειωδών σηµάτων. αναφέρουµε τις ιδιότητες του µετασχηµατισµού. Μετασχηµατισµός 7-

2 υπολογίζουµε εύκολα τον αντίστροφο µετασχηµατισµό συνάρτησης, χωρίς να καταφεύγουµε στην εξίσωση αντιστροφής. µιας επιλύουµε γραµµικές εξισώσεις διαφορών µε αρχικές συνθήκες µε τη βοήθειατουµονόπλευρουµετασχηµατισµού. υπολογίζουµε τη συνάρτηση µεταφοράς ενός ΓΧΑ συστήµατος διακριτού χρόνου µε τη βοήθεια της εξίσωσης διαφορών, η οποία συνδέει την είσοδο και την έξοδο του συστήµατος. υπολογίζουµε την έξοδο ενός συστήµατος, το οποίο δεν βρίσκεται απαραίτητα σε κατάσταση ηρεµίας, όταν γνωρίζουµε την είσοδό του και την εξίσωση διαφορών η οποία συνδέει την είσοδο και την έξοδο του συστήµατος. προσδιορίζουµε τη συµπεριφορά ενός συστήµατος από τη θέση των πόλων της συνάρτησης µεταφοράς του στο µιγαδικό επίπεδο. Μετασχηµατισµός 7-

3 Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z Ο µετασχηµατισµός είναι ο αντίστοιχος Laplace για σήµατα διακριτού χρόνου και αποτελεί γενίκευση του µετασχηµατισµού Fourier διακριτού χρόνου. Ο µετασχηµατισµός αντιστοιχεί στην ακολουθία x() τη συνάρτηση: X( ) x( ) O X() είναι µιγαδική συνάρτηση, της µιγαδικής µεταβλητής r e jω και ονοµάζεται αµφίπλευρος µετασχηµατισµός ή απλά µετασχηµατισµός. Im{ } 0 r Ω r e jω Re{ } r Ηπεριοχήτιµώντου, γιατιςοποίεςο µετασχηµατισµός έχει πεπερασµένη τιµή καλείται περιοχή σύγκλισης (ΠΣ) (regio of covergece ROC) Το µιγαδικό επίπεδο - Μετασχηµατισµός 7-

4 Παρατηρήσεις Αν ο µετασχηµατισµός υπάρχει και για τιµές r,δηλαδή, για τα σηµεία του µοναδιαίουκύκλου e jω τότε X ( ) X ( e j ) x( ) e j F[ x( )] e j Ω Ω Ω Im{ } Μοναδιαίος κύκλος 0 Ω r e jω Re{ } Ο µετασχηµατισµός µετατρέπεται σε µετασχηµατισµό Fourier διακριτού χρόνου για τις τιµές του που βρίσκονται στο µοναδιαίο κύκλο. Μετασχηµατισµός 7-4

5 Για την περίπτωση κατά την οποία r έχουµε ( re jω) [ x( ) r ] e jω F[ x( ) r ] X ( ) X re j Ω Παρατηρούµε ότι X(r e jω ) είναι ο µετασχηµατισµός Fourier της ακολουθίας x() πολλαπλασιασµένηςµετηνπραγµατικήεκθετικήακολουθία r -. Ηπαρουσίατουόρου r - παρέχειτηδυνατότητασύγκλισηςτουαθροίσµατοςκαι κατά συνέπεια την ύπαρξη του µετασχηµατισµού ακόµη και αν δεν υπάρχει ο µετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου της ακολουθίας x(). r x( ) a u( ), a> x( ) r Η ακολουθία x() για την οποία δεν υπάρχει ο DTFT. Οπαράγονταςεξασθένισης r -. Ηακολουθία x()r - ηοποίαείναι αριθµήσιµη κατά απόλυτο τιµή Μετασχηµατισµός 7-5

6 Να υπολογιστεί ο Mετασχηµατισµός του τετραγωνικού παραθύρου πλάτους Ν+. αλλιως 0, 0, ) ( ɺ N x Η περιοχή σύγκλισης καλύπτει όλο το µιγαδικό επίπεδο εκτός από το µηδέν. ( ) + + +, 0,, ) ( N X N N N N Απάντηση Παράδειγµα (σήµα πεπερασµένης έκτασης) Σεραφείµ Καραµπογιάς Μετασχηµατισµός 7-6

7 Παράδειγµα (το εκθετικό αιτιατό σήµα) Να υπολογιστεί ο Mετασχηµατισµός του αιτιατού εκθετικού σήµατος διακριτού χρόνου: όπου α πραγµατικός αριθµός. Απάντηση X ( ) a a x ( ) a u( ), Σεραφείµ Καραµπογιάς µε περιοχή σύγκλισης: > a Η περιοχή σύγκλισης του µετασχηµατισµού εκτείνεται έξω από κύκλο µε τη µικρότερη ακτίνα ο οποίος περιέχει τον πόλο του X(). Im{ } x() Μοναδιαίος κύκλος a Re{ } Τοεκθετικόσήµα x() a u()όταν a είναι πραγµατικός αριθµός <. Η περιοχή σύκλισης, ο πόλος και το µηδενικό του µετασχηµατισµού του σήµατος x(). Μετασχηµατισµός 7-7

8 Ο µετασχηµατισµός για τη µοναδιαία βηµατική ακολουθία είναι U( ), µε περιοχή σύγκλισης: > Οµετασχηµατισµός γιατηνακολουθία x() a u()είναι x( ) a u( ) Z µε περιοχή σύγκλισης: > a ( a) Ο µετασχηµατισµός για το µοναδιαίο δείγµα x() δ() είναι [ ( ) ], Z δ µε περιοχή σύγκλισης: 0 και του ολισθηµένου κατά k βήµατα µοναδιαίου δείγµατος δ( - k) είναι Z [ δ ( k) ] 0, k, k< 0 k 0 η περιοχή σύγκλισης καλύπτει όλο το µιγαδικό επίπεδο εκτός από την αρχή C {0}. Μετασχηµατισµός 7-8

9 Παράδειγµα (αυστηρά µη αιτιατό εκθετικό σήµα) Να υπολογιστεί ο Mετασχηµατισµός του αυστηρά µη αιτιατού εκθετικού σήµατος διακριτού χρόνου: όπου α πραγµατικός αριθµός. x ( ) a u( ) Σεραφείµ Καραµπογιάς Απάντηση X ( ), a a µε περιοχή σύγκλισης: < a Η περιοχή σύγκλισης του µετασχηµατισµού είναι το εσωτερικό κύκλου µε τη µεγαλύτερη ακτίνα ο οποίος δεν περιέχει τον πόλο του X(). x() Im{ } Μοναδιαίος κύκλος a Re{ } Τοαυστηράµηεκθετικόσήµα x() a u() όταν a είναι πραγµατικός αριθµός >. Η περιοχή σύκλισης, ο πόλος και το µηδενικό του µετασχηµατισµού του σήµατος x(). Μετασχηµατισµός 7-9

10 Παράδειγµα (δεξιόπλευρη ακολουθία) Να υπολογιστεί ο Mετασχηµατισµός του σήµατος: Απάντηση X( ) x() ( 5 6) ( )( ) ( ) ( ) x ( ) u ( ) + u ( ) > Με περιοχή σύγκλισης Im{ } Σεραφείµ Καραµπογιάς Η περιοχή σύγκλισης του µετασχηµατισµού εκτείνεται έξω από κύκλο µε τη µικρότερη ακτίνα ο οποίος περιέχει τους πόλους του X() Re{ } Τοσήµα ( ) + ( ) x ( ) u ( ) u ( ) Ηπεριοχήσύκλισης, οιπόλοικαιταµηδενικά του µετασχηµατισµού του σήµατος x(). Μετασχηµατισµός 7-0

11 Παράδειγµα (αµφίπλευρη ακολουθία) Να υπολογιστεί ο µετασχηµατισµός του σήµατος x( ) a, < <, a < Απάντηση X ( ) a a + a Με περιοχή σύγκλισης a < < a Η περιοχή σύγκλισης του µετασχηµατισµού έχει την µορφή δακτυλίου. x() Im{ } a a Re{ } Ηακολουθία x() a όταν a είναιπραγµατικός αριθµός <. Η περιοχή σύκλισης, οι πόλοι και το µηδενικό του µετασχηµατισµού της ακολουθίας x(). Μετασχηµατισµός 7-

12 Παράδειγµα (αµφίπλευρη ακολουθία) Να υπολογιστεί ο µετασχηµατισµός του σήµατος Λύση x ( ) a, < < Το σήµα x() γράφεται ως x( ) a au( ) + au( ) Για το αιτιατό τµήµα έχουµε Για το µη αιτιατό τµήµα έχουµε a Z u( ) Im{ } a a u( ) Im{ } Z a a Re{ } a Re{ } Επειδή η τοµή των επιµέρους µετασχηµατισµών είναι το κένο σύνολο η ακολουθία x() a δενέχειαµφίπλευροµετασχηµατισµό. Μετασχηµατισµός 7-

13 Ιδιότητες του Μετασχηµατισµού Z Γραµµικότητα Αν X () Z[x ()] µεπεδίοσύγκλισης P και X () Z[x ()] µεπεδίοσύγκλισης P τότε µε περιοχή σύγκλισης τουλάχιστον Z ax ( ) + bx( ) ax( ) + bx ( ) P P P Ιδιότητα της χρονικής ολίσθησης µε την ίδια περιοχή σύγκλισης. x Z ( 0 0 ) X ( ) Για 0 έχουµε Z[x( )] - X(). Τοσύστηµαδιακριτούχρόνουτοοποίο προκαλείχρονικήκαθυστέρησηενόςδείγµατοςσυµβολίζεταιµε -. x () x ( ) Μετασχηµατισµός 7-

14 Ιδιότητα της συνέλιξης ή συνέλιξη στο πεδίο του χρόνου x( ) x ( ) x( ) X( ) X ( ) µε περιοχή σύγκλισης τουλάχιστον P P P Z Ιδιότητα της διαµόρφωσης ή ολίσθηση συχνότητας κλιµάκωση στο πεδίο του Αν X() Z[x()] µεπεδίοσύγκλισης P {єc: R + < < R τότε y( ) µεπεριοχήσύγκλισης c R + < < c R c x( ) Y ( ) Z X c Μετασχηµατισµός 7-4

15 Ιδιότητα της παραγώγισης στο πεδίο του dx ( x( ) d Με την ίδια περιοχή σύγκλισης Z ) Ιδιότητα της συζυγίας (συζυγής ακολουθία) Z * x * ( ) X *( * ) R < < R Κατοπτρισµός στο χρόνο µε περιοχή σύγκλισης + Z Re[ x( )] [ X ( ) + X *( *)] Z Im[ x( )] [ X ( ) X *( *)] R < < Z j x( ) X ( ) R Μετασχηµατισµός 7-5

16 Συσχέτιση Αν θεωρήσουµε δύο σήµατα ως διανύσµατα, ένας αριθµός που µετράει την οµοιότητά τους είναι το εσωτερικό τους γινόµενο, τούτο γίνεται µέγιστο για διανύσµατα (σήµατα) που συµπίπτουν ενώ µηδενίζεται για διανύσµατα που είναι κάθετα. Η συνάρτηση - ακολουθία συσχέτισης ή ετεροσυσχέτιση των σήµατων διακριτού χρόνου -ακολουθιών x() και y() συµβολίζεταιως r xy καιορίζεται rxy ( l) x( ) y( ) x( ) y( l), < l Σεραφείµ Καραµπογιάς < Ηανεξάρτητηµεταβλητή lεκφράζειτηνµετατόπισηµεταξύτωνδύοσηµάτων x() και y() και ονοµάζεται καθυστέρηση (lag). Αν X () Z[x()] µεπεδίοσύγκλισης P και Y() Z[y()] µεπεδίοσύγκλισης P τότε r xy Z ( l) X ( ) Y ( ) µε περιοχή σύγκλισης τουλάχιστον P P P Μετασχηµατισµός 7-6

17 Οσυντελεστήςσυσχέτισηςσηµάτωνδιακριτούχρόνουσυµβολίζεταιωςρ xy (l) και ορίζεται από την rxy ( l) ρxy ( l), < l< E E x y όπου E x καιε y είναιηενέργειατωνσηµάτων x() και y() αντίστοιχα. Ηρ xy (l) είναι συνάρτηση µόνο της καθυστέρησης των δύο σηµάτων και όχι των ενεργειών τους Μετασχηµατισµός 7-7

18 Η συνάρτησηαυτοσυσχέτισης του σήµατος διακριτού χρόνου x() ως r xx (l) και ορίζεται rxx ( l) x( ) x( ) x( ) x( l), < l < και έχει τις ακόλουθες ιδιότητες Η ενέργεια του σήµατος x() είναι ίση µε τη τιµή της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης τουγια l 0 r ( ) xx ( 0) x Ο µετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης ενός σήµατος ισούται µε τη φασµατική πυκνότητα ενέργειας του σήµατος. και από το θεώρηµα του Parseval έχουµε E x r xx r E * F ( ) ( ) ( l) x( ) x X Ω xx ( 0) x( ) X ( Ω) dω x π π Μετασχηµατισµός 7-8

19 Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z Ο µονόπλευρος µετασχηµατισµός ορίζεται από τη σχέση: Σεραφείµ Καραµπογιάς X( ) X + ( ) x( ) 0 Ο µονόπλευρος µετασχηµατισµός του σήµατος x() ταυτίζεται µε τον αµφίπλευρο µετασχηµατισµό του σήµατος x() u(). Η περιοχή σύγκλισης του µονόπλευρου µετασχηµατισµού είναι πάντα το εξωτερικόµέροςκύκλουµετηµικρότερηακτίνα R x πουπεριλαµβάνειτουςπόλου του σήµατος. Επειδή το κάτω όριο του αθροίσµατος ορισµού του µονόπλευρου µετασχηµατισµού είναι το µηδέν ο µονόπλευρος µετασχηµατισµός έχει την ιδιότητα της δεξιάς και τηςαριστερήςολίσθησης. Οι ιδιότητες αυτές και η ιδιότητα της συνέλιξης παρέχει στο µονόπλευρο µετασχηµατισµό τη δυνατότητα επίλυσης εξισώσεων διαφορών, οι οποίες έχουν µη µηδενικές αρχικές συνθήκες. Μετασχηµατισµός 7-9

20 Ιδιότητες του µονόπλευρου µετασχηµατισµού Z Ιδιότητα της δεξιάς ολίσθησης - Καθυστέρηση Z 0 i + 0 ( ) 0 x X( ) + 0 x( i) i, γιακάθε 0 Παρατηρούµε ότι κατά τη δεξιά ολίσθηση νέα δείγµατα εισέρχονται στο διάστηµα [0, ) θαπρέπειναλάβουνκαιαυτάµέροςστουςυπολογισµούς. Τανέαδείγµατα είναιτα x(-), x(-),..., x(- 0 ). Για 0 έχουµε Z [ x( )] X( ) + ( ) + x Μετασχηµατισµός 7-0

21 Ιδιότητα της αριστερής ολίσθησης - Προήγηση [ x( )] 0 0 i 0 Z+ X( ) x( i) i, γιακάθε 0 Παρατηρούµε ότι κατά την αριστερή ολίσθηση κάποια από τα υπάρχοντα δείγµατα βρίσκονται εκτός διαστήµατος [0, ) και συνεπώς θα πρέπει να αφαιρεθούν από το συνολικόάθροισµα. Τανέαδείγµαταείναιτα x(0), x(),..., x( 0 -). Για 0 έχουµε Z+ [ x( + )] X( ) + x (0) Θεώρηµα της Αρχικής Τιµής Αντοσήµα x() έχειμμ X() Θεώρηµα της Τελικής Τιµής Αντοσήµα x() έχειμμ µεακτίνασύγκλισης R x, τότε x( 0) limx( ) X() lim x( ) µεακτίνασύγκλισης R x, τότε lim( ) X( ) Μετασχηµατισµός 7-

22 Παράδειγµα Να υπολογιστεί ο µονόπλευρος και ο αµφίπλευρος µετασχηµατισµό του σήµατος + y ( ) a u( + ) Απάντηση Ο µονόπλευρος µετασχηµατισµός είναι + a Z [ y( ) ] a > a Ο αµφίπλευρος µετασχηµατισµός είναι Z[ y( ) ] > a a Μετασχηµατισµός 7-

23 Ο ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Αν είναι γνωστός ο µετασχηµατισµός ενός σήµατος τότε η ανασύνθεση του σήµατος γίνεται µε τη βοήθεια της π j x( ) X ( ) C όπου C είναι µια αριστερόστροφη κλειστή καµπύλη ολοκλήρωσης γύρω από την αρχή των αξόνων η οποία βρίσκεται στο εσωτερικό της περιοχής σύγκλισης του µετασχηµατισµού, η δε ολοκλήρωση γίνεται αντίστροφα από τη φορά των δεικτών του ρολογιού. d Ο απευθείας υπολογισµός του αντίστροφου µετασχηµατισµού µέσω του παραπάνω ολοκληρώµατος είναι επίπονη διαδικασία και γι' αυτό συνήθως ακολουθούνταιέµµεσοιτρόποιεύρεσηςτουαντίστροφουµετασχηµατισµού. Μετασχηµατισµός 7-

24 Υπολογισµός του αντίστροφου Μ για ρητές συναρτήσεις Αν η συνάρτηση X() είναι ρητή συνάρτηση τότε την αναπτύσσουµε σε απλά κλάσµατα και τότε εύκολα υπολογίζουµε τον αντίστροφο µετασχηµατισµό, µε τη χρήση γνωστών µετασχηµατισµών. Μετασχηµατισµός 7-4

25 Παράδειγµα Να υπολογιστεί το σήµα το οποίο έχει µετασχηµατισµό τη συνάρτηση: Απάντηση X ( ) 5 6 X ( ) Ο µετασχηµατισµός αναλύεται σε απλά κλάσµατα ως + 4 Το σήµα x() είναι ίσο µε το άθροισµα των αντιστόφων M των απλών κλασµάτων οι οποίοι βρίσκονται εύκολα µε τη βοήθεια του ζεύγους 4 του Πίνακα 7.. ( ) u( ) ( ) u( ) x( ) Σεραφείµ Καραµπογιάς > b [, -5/6]; a poly([/4, /]); [R,p,C] residue(b,a) R p C [] Μετασχηµατισµός 7-5

26 Παράδειγµα Να υπολογιστεί το σήµα το οποίο έχει µετασχηµατισµό τη συνάρτηση: ( )( ) 4 ) ( < < X Απάντηση ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( 4 u u x 4 ) ( + X Ο µετασχηµατισµός αναλύεται σε απλά κλάσµατα ως Τοσήµα x()είναιίσοµετοάθροισµατωναντιστόφων Mτωναπλώνκλασµάτωνοι οποίοι βρίσκονται εύκολα µε τη βοήθεια των ζευγών 4 και 5 του Πίνακα 7.. Σεραφείµ Καραµπογιάς Μετασχηµατισµός 7-6

27 Να υπολογιστεί το σήµα το οποίο έχει µετασχηµατισµό τη συνάρτηση Λύση Παράδειγµα X( ) + Αναλύουµε σε απλά κλάσµατα τη συνάρτηση X()/ και έχουµε X ( ) X ( ) Οι πιθανές περιοχές σύγκλισης του M του σήµατος είναι Σεραφείµ Καραµπογιάς + + < Im{ } < < Im{ } < < Im{ } Re{ } Re{ } Re{ } x ( ) ( ) u( ) u( ) x ( ) ( ) u( ) u( ) x ( ) ( ) u( ) u( ) Μετασχηµατισµός 7-7

28 Παράδειγµα Να υπολογιστεί το αιτιατό σήµα δικριτού χρόνου το οποίο έχει µετασχηµατισµό τη συνάρτηση Απάντηση X ( ) + x ( ) ( ) ( ) x u ( ) ( ) u( ) Μετασχηµατισµός 7-8

29 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ Z Στο παράδειγµα που ακολουθεί προσδιορίζεται, χωρίς να καταφύγουµε στο άθροισµα της συνέλιξης, η ακολουθία εξόδου ενός ΓΧΑ συστήµατος διακριτού χρόνου, αν η κρουστική απόκριση και η είσοδός του είναι ακολουθίες πεπερασµένης έκτασης. Να προσδιοριστεί η ακολουθία εξόδου ενός ΓΧΑ διακριτού συστήµατος, το οποίο έχει κρουστικήαπόκριση h() {,, } ότανδιεγείρεταιαπότηνακολουθία x() {, 4, 5, }. Παράδειγµα Απάντηση y ( ) {,0,, 4,9, 6} Σεραφείµ Καραµπογιάς x[,4,5,]; h[,,]; ycov(h,x) h[,,]; y[,0,,4,9,6]; xdecov(y,h) fuctio[y,y]cov_m(x,x,h,h) % Modified covolutio routie for sigal processig % %[x,x] first sigal %[h,h] secod sigal %[y,y] covolutio result % ybx()+h(); yex(legth(x))+h(legth(h)); y[yb:ye]; ycov(x,h); x [ ]; [-:]; x [ 4 5]; [-:]; [x,] cov_m(x,,x,); Μετασχηµατισµός 7-9

30 Συστήµατα τα οποία χαρακτηρίζονται από γραµµικές εξισώσεις διαφορών µε σταθερούς συντελεστές x ( ) h ( ) y ( ) Το σήµα εισόδου x() και το σήµα εξόδου y() ενός ΓΧΑ συστήµατος διακριτού χρόνου ικανοποιούν µία γραµµική εξίσωση διαφορών µε σταθερούς συντελεστές της µορφής N k 0 a k H ( ) y( k) Y ( ) X ( ) a 0 Η ευστάθεια και η αιτιατότητα προσδιορίζουν την περιοχή σύγκλισης M k 0 k k b k H x( k) Το σήµα εισόδου, x(), και το σήµα εξόδου, y(), ενός ΓΧΑ συστήµατος συνδέονται µε το άθροισµα της συνέλιξης. Η συνάρτηση µεταφοράς του ΓΧΑ συστήµατος είναι M µε y ( ) x ( k) h( k) k 0 ( ) N k 0 b a k k k k Μετασχηµατισµός 7-0

31 Παράδειγµα (Σύστηµα διακριτού χρόνου πρώτης τάξης) Να υπολογιστεί η συνάρτηση µεταφοράς και η κρουστική απόκριση του αιτιατού ΓΧΑ συστήµατος διακριτού χρόνου πρώτης τάξης, το οποίο περιγράφεται από την εξίσωση διαφορών όπου a και b θετικοί πραγµατικοί αριθµοί. y ( ) a y( ) b x( ) Λύση Η συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος είναι H b a ( ) b [,0]; a [, -0.9]; plae(b,a); title(' ιάγραµµαπόλων Μηδενικών '); text(0.85,-0.,'0.9'); text(0.0,-0.,'0'); b[,0]; a[, -0.9]; [H,W]freq(b,a,00); subplot(,,); plot(w/pi,abs(h)); title(' Μέτρο της απόκρισης ') subplot(,,); plot(w/pi,agle(h)); title(' Φάση της απόκρισης ') Επειδή το σύστηµα είναι αιτιατό η περιοχή σύγκλισης είναι > a. ιάγραµµα Πόλων Μηδενικών 0 Μέτρο της απόκρισης 0.5 Η κρουστική απόκριση του συστήµατος είναι Φάση της απόκρισης 0 h( ) Z [ H ( )] b a u( ) Μετασχηµατισµός 7-

32 Το σύστηµα πρώτης τάξης διακριτού χρόνου όπως αυτό έχει υλοποιηθεί µε τη βοήθεια µιας µονάδας καθυστέρησης ενός δείγµατος, ενός αθροιστή και δύο πολλαπλασιαστών και η κρουστική του απόκριση, δηλαδή, η ακολουθία εξόδου του όταν η είσοδός του είναι η κρουστική ακολουθία. x( ) δ ( ) x () y () b y ( ) h( ) 0 -a 0 b [b,0]; a [, -a]; subplot(,,); plae(b,a); title(' ιάγραµµα πόλων-µηδενικών'); [x,] impseq(0, -0, 0); h filter(b,a,x); subplot(,,); stem(,h); xlabel(' ') ylabel(' h() ') title(' Κρουστική απόκριση ') Μετασχηµατισµός 7-

33 Παράδειγµα (Σύστηµα διακριτού χρόνου δεύτερης τάξης) Να υπολογιστεί η συνάρτηση µεταφοράς και η κρουστική απόκριση του αιτιατού ΓΧΑ συστήµατος διακριτού χρόνου πρώτης τάξης, το οποίο περιγράφεται από την εξίσωση διαφορών όπου a καια πραγµατικοίαριθµοί. Λύση Η συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος είναι H ( ) a + a Επειδή το σύστηµα είναι αιτιατό η περιοχή σύγκλισης είναι > R. y ( ) a y( ) + a y( ) x( ) b[]; a[, -a, a ]; [H,W] freq(b,a,000); subplot(,,); plot(w/pi,abs(h)); xlabel(' Συχνότητα σε µονάδες π ') ylabel(' Μέτροσε Volts ') title(' Απόκριση πλάτους ') subplot(,,6); plot(w/pi,agle(h)); xlabel(' Συχνότητα σε µονάδες π ') ylabel(' Φάση σε µονάδες π ') title(' Απόκριση φάσης ') Μετασχηµατισµός 7-

34 Αν a -,78 και a 0,8τοσύστηµαέχειδύοσυζυγείςπόλουςτους 0,9 e ±jπ/4. Η συνάρτηση µεταφοράς H() αναλύεται σε απλά κλάσµατα ως H ( ) e π j 4 0,9e π + j 4 + e π + j 4 0,9e π j 4 και η κρουστική απόκριση του συστήµατος είναι π ( 0,9) cos[ ( ) ] u( ) h( ) 4 Στο Σχήµα περιγράφεται η περιοχή σύγκλισης οι συζυγείς µιγαδικοί πόλοι, το µηδενικό µε πολλαπλότητα του συστήµατος διακριτού χρόνου και η κρουστική του απόκριση η οποία είναι µία φθίνουσα ηµιτονοειδής ακολουθία. Το σύστηµα είναι ευσταθές. Μοναδιαίος κύκλος { } Im 0,9 π e + j 4 h() 0,9 π e j 4 Re{ } 0 Μετασχηµατισµός 7-4

35 Αν a -,5556 και a,τοσύστηµαέχειδύοσυζυγείςπόλουςτους, e ±jπ/4. Η συνάρτηση µεταφοράc H() αναλύεται σε απλά κλάσµατα ως H ( ) e π j 4, e π + j 4 + e π + j 4, e π j 4 και η κρουστική απόκριση του συστήµατος είναι π (,) cos[ ( ) ] u( ) h( ) 4 Στο Σχήµα περιγράφεται η περιοχή σύγκλισης οι συζυγείς µιγαδικοί πόλοι του, το µηδενικό µε πολλαπλότητα του συστήµατος διακριτού χρόνου και η κρουστική του απόκριση η οποία είναι µία αύξουσα ηµιτονοειδής ακολουθία. Το σύστηµα τώρα είναι µη ευσταθές. Im{ } Μοναδιαίος κύκλος, π e + j 4 h(), π e j 4 Re{ } Μετασχηµατισµός 7-5

36 Παράδειγµα Έστω το αιτιατό σύστηµα του οποίου η είσοδος και η έξοδος ικανοποιούν τη γραµµική εξίσωση διαφορών Να υπολογιστεί η κρουστική απόκριση του συστήµατος. ( ) ) ( ) ( ) ( + x x y y Λύση Η συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος είναι ) ( + H Επειδήτοσύστηµαείναιαιτιατόηπεριοχήσύγκλισηςείναι >. Επειδή ο βαθµός του πολυωνύµου του αριθµητή είναι ίσος µε το βαθµό του πολυωνύµου του παρονοµαστή πρέπει να γίνει διαίρεση πριν την ανάλυση σε απλά κλάσµατα. 'Έτσι έχουµε για την κρουστική απόκριση του συστήµατος [ ] ) ( 5 ) ( 5 ) ( ) ( u Z H Z h + + δ Σεραφείµ Καραµπογιάς Μετασχηµατισµός 7-6

37 Παράδειγµα (προσδιορισµός συνάρτησης µεταφοράς κρουστικής απόκρισης) ίνεται το αιτιατό ΓΧΑ σύστηµα διακριτού χρόνου του οποίοιυ η είσοδος και η έξοδος συνδέονται από την εξίσωση διαφορών y ( ) 0,5y( ) x( ) Να βρεθεί η συνάρτηση µεταφοράς και η κρουστική απόκριση του συστήµατος. Απάντηση Η συνάρτηση µεταφοράς µεταφοράς του συστήµατος είναι H 0,5 ( ) µε περιοχή σύγκλισης > 0,5 αφού το σύστηµα είναι αιτιατό. Η κρουστική απόκριση του συστήµατος είναι h( ) (0,5) u( ) Μετασχηµατισµός 7-7

38 Παράδειγµα (προσδιορισµός εξόδου χωρίς αρχικές συνθήκες) Ναυπολογιστείηέξοδοςτουσυστήµατοςαντοσήµαεισόδουείναι x() u() καιτο σύστηµα βρίσκεται σε ηρεµία Λύση Η συνάρτηση µεταφοράς µεταφοράς είναι H ( ) µε ΠΣ > 0,5 0,5 Ο M της ακολουθίας εισόδου είναι X ( ) µε ΠΣ > 0,5 Ο M της ακολουθίας εξόδου είναι Y H X ( ) ( ) ( ) 0,5 0,5 µε περιοχή σύγκλισης την τοµή των δύο επιµέρους περιοχών σύγκλισης, δηλαδή, >. Η ακολουθία εξόδου το συστήµατος είναι y( ) (0,5) u( ) + u( ) + Μετασχηµατισµός 7-8

39 x ( ) u( ) x () y () h() y() µεταβατική κατάσταση µόνιµη κατάσταση Αν δεν έχουµε αρχικές συνθήκες τότε η έξοδος του συστήµατος προσδιορίζεται µε τη βοήθεια του θεωρήµατος της συνέλιξης γνωρίζοντας τη συνάρτηση µεταφοράς και το µετασχηµατισµό του σήµατος εισόδου. Αν έχουµε αρχικές συνθήκες τότε στην εξίσωση διαφορών λόγω της ιδιότητας της αριστερήςολίσθησηςτουµετασχηµατισµού συµπεριλαµβάνουµε τις αρχικές συνθήκες. Z [ x( )] X( ) + ( ) + x Μετασχηµατισµός 7-9

40 Παράδειγµα (προσδιορισµός εξόδου µε αρχικές συνθήκες) Να υπολογιστεί η έξοδος του συστήµατος αν το σήµα εισόδου είναι x() u() µε αρχικήσυνθήκη y(-). Λύση: Εφαρµόζουµε µονόπλευρο µετασχηµατισµό και στα δύο µέρη της εξίσωσης διαφορών y() 0,5 y(-) x() έχουµε [ Y+ ( ) + y( ) ] X ( ) Y + + ( ) 0,5 Y 0,5 0,5 0,5 + ( + ) X ( ) + H Y 0,5 0,5 + ( ) X ( ) + ( ) Y ( ) o + i Μετασχηµατισµός 7-40

41 όπου 0,5 0,5 ( + Y o ) H ( ) X ( ) + είναι ο µετασχηµατισµός της εξόδου του συστήµατος για µηδενικές αρχικές συνθήκες. Ο αντίστροφος µετασχηµατισµός δίνει y ( 0,5) u( ) u( ) ( ) o + η οποία ονοµάζεται απόκριση µηδενικής κατάστασης (ero stage respose) και Y i ( ) 0,5 είναι ο µετασχηµατισµός της εξόδου του συστήµατος ο οποίος προέρχεται από τις αρχικές συνθήκες του συστήµατος. Η συνεισφορά του όρου στην έξοδο του συστήµατος βρίσκεται µε αντίστροφο µετασχηµατισµό και είναι yi ( ) ( 0,5) u( ) η οποία ονοµάζεται απόκριση µηδενικής εισόδου (ero iput respose). Η έξοδος του συστήµατος είναι y( ) yo ( ) + yi ( ) ( 0,5) u( ) + u( ) + ( 0,5) u( ) + 0,5 u( ) + u( ( ) ) Σεραφείµ Καραµπογιάς Μετασχηµατισµός 7-4

42 b[]; a[, -0.5]; subplot(,,); plae(b,a); title(' ιάγραµµα πόλων µηδενικών'); [x,] impseq(0, -5, 5); h filter(b,a,x); subplot(,,); stem(,h); xlabel(' ') ylabel(' h() ') title(' Κρουστικ απόκριση') Y[]; % Αρχικέςσυνθήκεςεξόδου X[0]; % Αρχικέςσυνθήκεςεισόδου xicfiltic(b,a,y,x); [u,] stepseq(0, 0, 0); y filter(b,a,u,xic); [u,] stepseq(0, -5, 0); y [ y]; subplot(,,5); stem(,y); xlabel(' ') ylabel(' y() ') title(' Απόκριση στη βηµατική ακολουθία µε αρχική συνθήκη y(-) ') Μετασχηµατισµός 7-4

43 ιάγραµµα Πόλων Μηδενικών Κρουστική απόκριση Imagiary Part h() Real Part Απόκριση στη βηµατική ακολουθία µε αρχική συνθήκη y(-).5 y() Μετασχηµατισµός 7-4

44 Μελέτη γραµµικού χρονικά αναλλοίωτου συστήµατος µε τη βοήθεια M Απότηνπεριοχήσύγκλισηςκαιτηθέσητωνπόλωνκαιτωνµηδενικώνµπορούµενα εξάγουµε συµπεράσµατα για την ευστάθεια και την αιτιατότητα του συστήµατος Για να είναι ένα σύστηµα διακριτού χρόνου αιτιατό πρέπει η περιοχή σύγκλισης να είναι το εξωτερικό κύκλου µε τη µικρότερη ακτίνα που περιέχει τους πόλους. Για να είναι το σύστηµα ευσταθές πρέπει η περιοχή σύγκλισης της συνάρτησης µεταφοράς του H() να περιέχει το µοναδιαίο κύκλο. Η θέση των πόλων της συνάρτησης µεταφοράς του H() στο επίπεδο προσδιορίζει τη συµπεριφορά της κρουστικής απόκρισης του συστήµατος. Μετασχηµατισµός 7-44

45 Η συµπεριφορά της κρουστικής του απόκρισης ενός συστήµατος διακριτού χρόνου ανάλογα µε τη θέση των πόλων της συνάρτησης µεταφοράς του στο µιγαδικό επίπεδο. Μοναδιαίος κύκλος Im{ } Re{ } Μετασχηµατισµός 7-45

46 Παράδειγµα Θεωρούµε το σύστηµα διακριτού χρόνου, µε είσοδο x() και έξοδο y(), που περιγράφεται από την εξίσωση διαφορών y( ) 7 y( ) + y( ) x( ) Να υπολογιστεί η κρουστική απόκριση του συστήµατος. Απάντηση Για να είναι το σύστηµα αιτιατό πρέπει 5 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h u + u > Για να είναι το σύστηµα ευσταθές πρέπει 5 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h u u < < Η παραπάνω εξίσωση διαφορών δεν µπορεί να περιγράφει σύστηµα που να είναι συγχρόνως ευσταθές και αιτιατό. Μετασχηµατισµός 7-46

Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z

Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z Ο µετασχηµατισµός είναι ο αντίστοιχος Laplace για σήµατα διακριτού χρόνου και αποτελεί γενίκευση του µετασχηµατισµού Fourier διακριτού χρόνου. Ο µετασχηµατισµός αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z

Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z Ο μετασχηματισμός είναι ο αντίστοιχος Laplace για σήματα διακριτού χρόνου και αποτελεί γενίκευση του μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου. Ο μετασχηματισμός αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να:

Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να: 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να: ορίσουµε το Μετασχηµατισµό Laplace (ML) και το Μονόπλευρο Μετασχηµατισµό Laplace (MML) και να περιγράψουµε

Διαβάστε περισσότερα

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ z

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ z 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ο μετασχηματισμός είναι ο αντίστοιχος Laplace για σήματα διακριτού χρόνου και αποτελεί γενίκευση του μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου. Σκοπός του Κεφαλαίου είναι να ορίσει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Όταν θα έχουµε τελειώσει το κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να: υπολογίσουµε το µετασχηµατισµό aplace στοιχειωδών σηµάτων. αναφέρουµε τις ιδιότητες του µετασχηµατισµού aplace. Σεραφείµ Καραµπογιάς 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Ο μετασχηματισμός z αντιστοιχεί στην ακολουθία συνάρτηση: Xz ()

Ο μετασχηματισμός z αντιστοιχεί στην ακολουθία συνάρτηση: Xz () Ο Ρ Ι Σ Μ Ο Σ Ο μετασχηματισμός αντιστοιχεί στην ακολουθία συνάρτηση: X x x τη X O Μετασχηματισμός,, της ακολουθίας είναι μιγαδική συνάρτηση, της μιγαδικής μεταβλητής x r j Ω Ο μονόπλευρος μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών

Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών Το εκπαιδευτικό υλικό που ακολουθεί αναπτύχθηκε στα πλαίσια του έργου «Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών», του Μέτρου «Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE Σκοπός του κεφαλαίου είναι να ορίσει τον αμφίπλευρο μετασχηματισμό aplace ή απλώς μετασχηματισμό aplace (Μ) και το μονόπλευρο μετασχηματισμό aplace (ΜΜ), να περιγράψει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Μετασχηµατισµός Laplace. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Μετασχηµατισµός Laplace. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Μετασχηµατισµός Laplace Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αιτιατότητα Μη-Αιτιατότητα. Ευστάθεια. Περιοχή Σύγκλισης Μετασχηµατισµού Laplace

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform)

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform) Μετασχηµατισµός Ζ (-traform) Εργαλείο ανάλυσης σηµάτων και συστηµάτων διακριτού χρόνου ιεργασία ανάλογη του Μετ/σµού Laplace Απόκριση συχνότητας Εφαρµογές επίλυση γραµµικών εξισώσεων διαφορών µε σταθερούς

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Μετασχηματισμός z και Συνάρτηση μεταφοράς

Κεφάλαιο 5 Μετασχηματισμός z και Συνάρτηση μεταφοράς Κεφάλαιο Μετασχηματισμός και Συνάρτηση μεταφοράς Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό δίνεται ο ορισμός του μετασχηματισμού και παρουσιάζονται οι ιδιότητες του μετασχηματισμού Δίνεται ο ορισμός της συνάρτησης μεταφοράς

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα

Σήματα και Συστήματα Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 12: Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplace Ο αντίστροφος Μετασχηματισμός aplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplace 1. Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι Βασικές Έννοιες Σήματα Κατηγορίες Σημάτων Συνεχούς/ Διακριτού Χρόνου, Αναλογικά/ Ψηφιακά Μετασχηματισμοί Σημάτων Χρόνου: Αντιστροφή, Κλιμάκωση, Μετατόπιση Πλάτους Βασικά

Διαβάστε περισσότερα

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER 4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Υπολογίζουµε εύκολα τον αντίστροφο Μετασχηµατισµό Fourier µιας συνάρτησης χωρίς να καταφεύγουµε στην εξίσωση ανάλυσης. Υπολογίζουµε εύκολα την απόκριση

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 11: Μετασχηματισμός Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 11: Μετασχηματισμός Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη : Μετασχηματισμός Laplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Laplace. Μαθηματικός ορισμός μετασχηματισμού Laplace 2. Η περιοχή σύγκλισης του μετασχηματισμού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ. Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος.

ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ. Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος. 3. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος. Ορίσουµε το µετασχηµατισµό Fourier ενός µη περιοδικού

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Μετασχηματισμός Laplace 1. Ο μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 0: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ # Μετασχηματισμός Laplace και ΓΧΑ Συστήματα Συνάρτηση μεταφοράς αιτιατών και ευσταθών συστημάτων Συστήματα που περιγράφονται από ΔΕ Διαγράμματα Μπλοκ Μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER 4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Σκοπός του κεφαλαίου είναι να παρουσιάσει μερικές εφαρμογές του Μετασχηματισμού Fourier (ΜF). Ειδικότερα στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφούν έμμεσοι τρόποι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Μετασχηµατισµός Laplace. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Μετασχηµατισµός Laplace. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Μετασχηµατισµός Laplace Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Διευρύνει τη κλάση των σηµάτων για τα οποία µπορεί να επιτευχθεί η µετάβαση

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 1.1. Τι είναι το Matlab... 13 1.2. Περιβάλλον εργασίας... 14 1.3. Δουλεύοντας με το Matlab... 16 1.3.1. Απλές αριθμητικές πράξεις... 16 1.3.2. Σχόλια...

Διαβάστε περισσότερα

Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace ορίζεται από το μιγαδικό ολοκλήρωμα : + +

Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace ορίζεται από το μιγαδικό ολοκλήρωμα : + + Μετασχηματισμός aplace ορίζεται ως εξής : t X() [x( t)] xte () dt = = Ο αντίστροφος μετασχηματισμός aplace ορίζεται από το μιγαδικό ολοκλήρωμα : t x(t) = [ X()] = X() e dt π j c C είναι μία καμπύλη που

Διαβάστε περισσότερα

( s ) Παραγώγιση στο χρόνο. Ολοκλήρωση στο χρόνο. Θεώρηµα αρχικής και τελικής τιµής Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE. Σεραφείµ Καραµπογιάς

( s ) Παραγώγιση στο χρόνο. Ολοκλήρωση στο χρόνο. Θεώρηµα αρχικής και τελικής τιµής Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE. Σεραφείµ Καραµπογιάς Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE Παραγώγιση στο χρόνο d x( ) sx ( s ) x ( ) [ x ) ] X X x( ) e ( s Μετασχηµατισµός aplace παραγώγου dx ( ) sx Ολοκλήρωση στο χρόνο Μετασχηµατισµός aplace ολοκληρώµατος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΙ (22Y603) ΕΝΟΤΗΤΑ 3 ΔΙΑΛΕΞΗ 1 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1 Διαφορετικοί Τύποι Μετασχηµατισµού Fourier Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΙ (22Y603)

Διαβάστε περισσότερα

x[n]z n = ) nu[n]z n z 1) n z 1 (5) ( 1 z(2z 1 1]z n +

x[n]z n = ) nu[n]z n z 1) n z 1 (5) ( 1 z(2z 1 1]z n + ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-7: Ψηφιακή Επεξεργασία Σήµατος Χειµερινό Εξάµηνο 6 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού - Γ. Καφεντζής εύτερη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις Ηµεροµηνία Ανάθεσης : //6 Ηµεροµηνία

Διαβάστε περισσότερα

Ο Μετασχηματισμός Ζ. Ανάλυση συστημάτων με το μετασχηματισμό Ζ

Ο Μετασχηματισμός Ζ. Ανάλυση συστημάτων με το μετασχηματισμό Ζ Ο Μετασχηματισμός Ζ Ανάλυση συστημάτων με το μετασχηματισμό Ζ Ο μετασχηματισμός Z (Ζ-Τransform: ZT) χρήσιμο μαθηματικό εργαλείο για την ανάλυση των διακριτών σημάτων και συστημάτων αποτελεί ό,τι ο μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Εξετάσεων Ιουνίου 2003 στο μάθημα Σήματα και Συστήματα και Λύσεις

Θέματα Εξετάσεων Ιουνίου 2003 στο μάθημα Σήματα και Συστήματα και Λύσεις Θέματα Εξετάσεν Ιουνίου 00 στο μάθημα Σήματα και Συστήματα και Λύσεις ΘΕΜΑ. μονάδες Έστ το αιτιατό σύστημα d y t y t x t d t όπου x t η είσοδος και y t η έξοδος του συστήματος. α Να υπολογιστεί η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενότητα : ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ζ (ΖTransform)

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενότητα : ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ζ (ΖTransform) ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ζ (ΖTransform) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

1. Τριγωνοµετρικές ταυτότητες.

1. Τριγωνοµετρικές ταυτότητες. . Τριγωνοµετρικές ταυτότητες. co( y co( co( y i( i( y i( y i( co( y co( i( y ± m (. ± ± (. π m (. 3 co ± i( i ± π ± co( (. co( co ( i ( (. 5 i( i( co( (. 6 j j co( + (. 7 j j j i ( (. 8 ( ( y ( y + ( +

Διαβάστε περισσότερα

x[n] = e u[n 1] 4 x[n] = u[n 1] 4 X(z) = z 1 H(z) = (1 0.5z 1 )(1 + 4z 2 ) z 2 (βʹ) H(z) = H min (z)h lin (z) 4 z 1 1 z 1 (z 1 4 )(z 1) (1)

x[n] = e u[n 1] 4 x[n] = u[n 1] 4 X(z) = z 1 H(z) = (1 0.5z 1 )(1 + 4z 2 ) z 2 (βʹ) H(z) = H min (z)h lin (z) 4 z 1 1 z 1 (z 1 4 )(z 1) (1) Ασκήσεις με Συστήματα στο Χώρο του Ζ Επιμέλεια: Γιώργος Π. Καφεντζης Δρ. Επιστήμης Η/Υ Πανεπιστημίου Κρήτης Δρ. Επεξεργασίας Σήματος Πανεπιστημίου Rennes 1 7 Νοεμβρίου 015 1. Υπολόγισε τον μετ. Ζ και την

Διαβάστε περισσότερα

Συστήµατα τα οποία χαρακτηρίζονται από γραµµικές εξισώσεις διαφορών µε σταθερούς συντελεστές

Συστήµατα τα οποία χαρακτηρίζονται από γραµµικές εξισώσεις διαφορών µε σταθερούς συντελεστές Συστήµατα τα οποία χαρακτηρίζονται από γραµµικές εξισώσεις διαφορών µε σταθερούς συντελεστές x h γραµµική εξίσωση διαφορών µε σταθερούς συντελεστές της µορφής x µπορεί να θεωρηθεί ως ένας αλγόριθµος υπολογισµού

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα ΙΙ

Σήματα και Συστήματα ΙΙ Σήματα και Συστήματα ΙΙ Ενότητα 5: Μετασχηματισμός Ζ Α. Ν. Σκόδρας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Επιμέλεια: Αθανάσιος Ν. Σκόδρας, Καθηγητής Γεώργιος Α. Βασκαντήρας, Υπ. Διδάκτορας

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Μετασχηµατισµός-Z. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Μετασχηµατισµός-Z. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Μετασχηµατισµός-Z Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Μετασχηµατισµός - Ιδιότητες Μετασχηµατισµού- Γραµµικότητα Χρονική Ολίσθηση Κλιµάκωση

Διαβάστε περισσότερα

Συστήµατα τα οποία χαρακτηρίζονται από γραµµικές εξισώσεις διαφορών µε σταθερούς συντελεστές

Συστήµατα τα οποία χαρακτηρίζονται από γραµµικές εξισώσεις διαφορών µε σταθερούς συντελεστές Συστήµατα τα οποία χαρακτηρίζονται από γραµµικές εξισώσεις διαφορών µε σταθερούς συντελεστές x h γραµµική εξίσωση διαφορών µε σταθερούς συντελεστές της µορφής x µπορεί να θεωρηθεί ως ένας αλγόριθµος υπολογισµού

Διαβάστε περισσότερα

2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Γενικά τι είναι σύστηµα - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων.

2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Γενικά τι είναι σύστηµα - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων. 2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Γενικά τι είναι - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων. Κατηγορίες των συστηµάτων ανάλογα µε τον αριθµό και το είδος των επιτρεποµένων εισόδων και εξόδων. Ιδιότητες των

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Διάλεξη 3 η Τα Συστήματα στις Τηλεπικοινωνίες

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Φυσική Σημασία του Μετασχηματισμού Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ

ΣΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ 5 σιμοποιούμε, δηλαδή όσο περισσότερα bits χρησιμοποιούμε για την αναπαράσταση της κάθε τιμής του πλάτους. ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΣΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Στην ενότητα αυτή θα ασχοληθούμε με τα σήματα διακριτού χρόνου.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Σκοπός του µαθήµατος Η Συστηµατική Περιγραφή: των Σηµάτων και των Συστηµάτων Τι είναι Σήµα; Ένα πρότυπο µεταβολών µιας ποσότητας που µπορεί να: επεξεργαστεί αποθηκευθεί

Διαβάστε περισσότερα

Εξεταστική Ιανουαρίου 2007 Μάθηµα: «Σήµατα και Συστήµατα»

Εξεταστική Ιανουαρίου 2007 Μάθηµα: «Σήµατα και Συστήµατα» Εξεταστική Ιανουαρίου 27 Μάθηµα: «Σήµατα και Συστήµατα» Θέµα 1 ο (3%) Έστω δύο διακριτά σήµατα: x(n) = {1,,, -1} και h(n) = {1,, 1} µε το πρώτο δείγµα να αντιστοιχεί σε n= και για τα δύο. Υπολογίστε τα

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 14.2 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων

Παράδειγμα 14.2 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων Κεφάλαιο 4 Μετασχηματισμός aplace 4. Μετασχηματισμός aplace της εκθετικής συνάρτησης e Είναι Άρα a a a u( a ( a ( a ( aj F( e e d e d [ e ] [ e ] ( a e (c ji, με a (4.9 a a a [ e u( ] a, με a (4.3 Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

[ ], σχηµατίζουµε το άθροισµα. Το άθροισµα αυτό είναι µια δυαδική πράξη η οποία αντιστοιχεί στις ακολουθίες f [ 1

[ ], σχηµατίζουµε το άθροισµα. Το άθροισµα αυτό είναι µια δυαδική πράξη η οποία αντιστοιχεί στις ακολουθίες f [ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΣΥΝΕΛΙΞΗ 4.. ΣΥΝΕΛΙΞΗ Στην προηγούµενη παράγραφο εισαγάγαµε την ιδέα της συνέλιξης από τα συµφραζόµενα των γραµµικών συστηµάτων. Σ' αυτήν την παράγραφο ορίζουµε τη συνέλιξη σαν µια πράξη η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ενότητα : Συστήματα Διακριτού Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Συστήματα Διακριτού Χρόνου Εξισώσεις Διαφορών Επίλυση Εξισώσεων Διαφορών με Γραμμικούς Συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Μετασχηματισμός Ζ (Ζ Transform) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών. στο χώρο της συχνότητας

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών. στο χώρο της συχνότητας HMY 49: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 3: Σήματα και Συστήματα διακριτού χρόνου Διάλεξη 3: Σήματα και Συστήματα διακριτού χρόνου στο χώρο της συχνότητας Μιγαδικά εκθετικά σήματα και

Διαβάστε περισσότερα

20-Φεβ-2009 ΗΜΥ Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier

20-Φεβ-2009 ΗΜΥ Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier ΗΜΥ 429 8. Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier 1 Μετασχηματισμός Fourier 4 κατηγορίες: Μετασχηματισμός Fourier: σήματα απεριοδικά και συνεχούς χρόνου Σειρά Fourier: σήματα περιοδικά και συνεχούς χρόνου Μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Περιγραφή Σηµάτων Συνεχούς Χρόνου Συνάρτηση δέλτα Κατανοµές

ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Περιγραφή Σηµάτων Συνεχούς Χρόνου Συνάρτηση δέλτα Κατανοµές ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Περιγραφή Σηµάτων Συνεχούς Χρόνου Συνάρτηση δέλτα Κατανοµές Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Περιγραφή Σηµάτων Διακριτού Χρόνου Η Ακολουθία

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω σύστηµα µε είσοδο βηµατική συνάρτηση δηλαδή () =(). (3)

Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω σύστηµα µε είσοδο βηµατική συνάρτηση δηλαδή () =(). (3) Παράδειγµα 1: Έστω ένα σύστηµα που περιγράφεται από τη διαφορική εξίσωση () +2 () 29 () +42()=() (1) µε µηδενικές αρχικές συνθήκες. (δηλαδή ()(0) = () (0)=()(0)=0) (2) Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµός FOURIER ιακριτού χρόνου DTFT

Μετασχηµατισµός FOURIER ιακριτού χρόνου DTFT Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ Κεφάλαιο 3 ο DTFT -7- Μετασχηµατισµός FOURIER ιακριτού χρόνου DTFT (discrete time Fourier transform) 3.. Εισαγωγικά. 3.. Είδη µετασχηµατισµών Fourier Με την ονοµασία Μετασχηµατισµοί Fourier

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα- συμβολισμοί. x(n)={x(n)}={,x(-1),x(0), x(1),.} x(n)={0,-2,-3, -1, 0, 1, 2, 3, 4,0 }

Σήματα- συμβολισμοί. x(n)={x(n)}={,x(-1),x(0), x(1),.} x(n)={0,-2,-3, -1, 0, 1, 2, 3, 4,0 } ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Σήματα- συμβολισμοί 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1-1 -4-3 -2-1 1 2 3 4 5-1 1 2 3 4 5 6 7 8-2 -2-3 -3 x()=, x(-1),x(), x(1),. x()={,-2,-3,-1,, 1, 2, 3, 4, } x()={x()}={,x(-1),x(), x(1),.} x()={,-2,-3, -1,,

Διαβάστε περισσότερα

( ) + t = = T ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ ΣΕ ΣΕΙΡΑ FOURIER - ΣΕΙΡΑ FOURIER. Σεραφείµ Καραµπογιάς

( ) + t = = T ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ ΣΕ ΣΕΙΡΑ FOURIER - ΣΕΙΡΑ FOURIER. Σεραφείµ Καραµπογιάς ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ ΣΕ ΣΕΙΡΑ FOURIER - ΣΕΙΡΑ FOURIER ω Γιατοσύνολοτωνορθογωνίωναναλογικώνεκθετικώνπεριοδικώνσηµάτων e, για, ±, ±, ±3, παρατηρούµεότι j e e j ω jm, ω e jω e jmω d,, m m δ ( m e j ω Ταεκθετικάσήµατα,,,

Διαβάστε περισσότερα

x(t) = e st = e (σ+j2πf)t (7.1) h(t)e st dt (7.4) H(s) = y(t) = H{e st } = H(s)e st (7.5)

x(t) = e st = e (σ+j2πf)t (7.1) h(t)e st dt (7.4) H(s) = y(t) = H{e st } = H(s)e st (7.5) Κεφάλαιο 7 Συστήματα στο χώρο του Laplace 7. Εισαγωγή Ο μετασχ. Laplace είναι ένα πολύτιμο εργαλείο για την ανάλυση συστημάτων. Η ικανότητά του να ερμηνεύει συχνοτικά πλήθος σημάτων, σημαντικά περισσότερων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Χώρος Κατάστασης Μοντέλα Πεπερασµένων Διαφορών & Παραγώγων

ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Χώρος Κατάστασης Μοντέλα Πεπερασµένων Διαφορών & Παραγώγων ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Χώρος Κατάστασης Μοντέλα Πεπερασµένων Διαφορών & Παραγώγων Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Χώρος Κατάστασης Παραστάσεις στο Πεδίο του

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγµα ενός ηλεκτρικού συστήµατος

Παράδειγµα ενός ηλεκτρικού συστήµατος ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός aplace Μετασχηµατισµός Z Εφαρµογές Παράδειγµα ενός ηλεκτρικού συστήµατος A R B i( ) i

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Ηλεκτρονικη και 1/60 Πληροφορίας

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Ηλεκτρονικη και 1/60 Πληροφορίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 /6 Σήματα- συμβολισμοί 5 5 4 4 3 3 2 2 - -4-3 -2-2 3 4 5-2 3 4 5 6 7 8-2 -2-3 -3 x()=, x(-),x(), x(),. x()={,-2,-3,-,,, 2, 3, 4, } x()={x()}={,x(-),x(), x(),.} x()={,-2,-3, -,,, 2, 3, 4, } 2/6

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

Α. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE 73 Α. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Ο µετασχηµατισµός Laplace µετασχηµατίζει τις διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν τα γραµµικά µη χρονικά µεταβαλλόµενα συστήµατα συνεχούς χρόνου, σε αλγεβρικές εξισώσεις και

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace.

Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace. 5 Εισαγωγή Kεφάλαιο 5 Ο µετασχηµατισµός Lplce Τόσο οι συνήθεις όσο και οι µερικές διαφορικές εξισώσεις περιγράφουν νόµους µε τους οποίους κάποιες ποσότητες µεταβάλλονται σε σχέση µε το χρόνο, όπως το ρεύµα

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 8: Ιδιότητες του Μετασχηματισμού Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 8: Ιδιότητες του Μετασχηματισμού Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 8: Ιδιότητες του Μετασχηματισμού ourier Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού ourier 1. Ιδιότητες του Μετασχηματισμού ourier 2. Θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace.

Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace. 5 Εισαγωγή Kεφάλαιο 5 Ο µετασχηµατισµός Lplce Τόσο οι συνήθεις όσο και οι µερικές διαφορικές εξισώσεις περιγράφουν νόµους µε τους οποίους κάποιες ποσότητες µεταβάλλονται σε σχέση µε το χρόνο, όπως το ρεύµα

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Z

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Z ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Laplace Μετασχηµατισµός Z Εφαρµογές Παράδειγµα ενός ηλεκτρικού συστήµατος Σύστηµα Παράδειγµα

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ #20 Πόλοι και μηδενικά Διάγραμμα πόλων και μηδενικών Ιδιότητες της περιοχής σύγκλισης Ο αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Μετασχηματισμός Laplace Αμφίπλευρος μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΗΑ ΨΕΣ /4/2013 2:12 πµ

ΣΤΗΑ ΨΕΣ /4/2013 2:12 πµ ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 4/4/3 : πµ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Σήµατος ΨΕΣ Η Επεξεργασία Σήµατος µέσω της ψηφιοποίησής του και της επεξεργασίας µε ηλεκτρονικό υπολογιστή ή ειδικά ολοκληρωµένα κυκλώµατα

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµός FOURIER ιακριτού Χρόνου - DTFT. Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 1

Μετασχηµατισµός FOURIER ιακριτού Χρόνου - DTFT. Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 1 Μετασχηµατισµός FOURIER ιακριτού Χρόνου - DTFT Οκτώβριος 2005 ΨΕΣ 1 Γενικά Μορφές Μετασχηµατισµού Fourir Σήµατα που αντιστοιχούν στους τέσσερους τύπους µετασχηµατισµών α Μετασχηµατισµός Fourir FT β Σειρά

Διαβάστε περισσότερα

(CLR, κεφάλαιο 32) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier

(CLR, κεφάλαιο 32) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier CLR, κεφάλαιο 3 Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 2. Συστήματα Εξισώσεων Διαφορών ΔιακριτάΣήματαστοΧώροτης Συχνότητας

Διάλεξη 2. Συστήματα Εξισώσεων Διαφορών ΔιακριτάΣήματαστοΧώροτης Συχνότητας University of Cyprus Biomedical Imaging & Applied Optics Διάλεξη 2 Συστήματα Εξισώσεων Διαφορών Συστήματα Εξισώσεων Διαφορών Γραμμικές Εξισώσεις Διαφορών με Σταθερούς Συντελεστές (Linear Constant- Coefficient

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης 6 Nv 6 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Ανάπτυξη σε Σειρές Furier Αθανάσιος

Διαβάστε περισσότερα

Η Έννοια της τυχαίας ιαδικασίας

Η Έννοια της τυχαίας ιαδικασίας Η Έννοια της τυχαίας ιαδικασίας Η έννοια της τυχαίας διαδικασίας, βασίζεται στην επέκταση της έννοιας της τυχαίας µεταβλητής, ώστε να συµπεριλάβει το χρόνο. Σεκάθεαποτέλεσµα s k ενόςπειράµατοςτύχης αντιστοιχούµε,

Διαβάστε περισσότερα

( t) όπου το * αντιστοιχεί σε συνέλιξη και. (t 2) * x 2

( t) όπου το * αντιστοιχεί σε συνέλιξη και. (t 2) * x 2 Πανεπιστήµιο Κύπρου Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών ΗΜΥ 0: ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Ακαδηµαϊκό έτος 0-3 -- Εαρινό Εξάµηνο Σειρά Ασκήσεων αρ. 6 Παρασκευή 5 Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση ΓΧΑ Συστημάτων

Ανάλυση ΓΧΑ Συστημάτων University of Cyprus Biomedical Imaging & Applied Optics Διάλεξη 9 με Μετασχηματισμούς Κεφ. 5 (εκτός 5.7.4 και 5.3 μόνο από διάλεξη) Ένα ΓΧΑ σύστημα καθορίζεται πλήρως από Κρουστική απόκριση (impulse response)

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων 1. Γενικά Για να κατανοήσουμε και να ελέγξουμε διάφορα πολύπλοκα συστήματα πρέπει να καταφύγουμε σε κάποιο ποσοτικό μοντέλο των συστημάτων αυτών. Έτσι, είναι απαραίτητο να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER 4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Υπολογίζουµε εύκολα τον αντίστροφο Μετασχηµατισµό Fourir µιας συνάρτησης χρίς να καταφεύγουµε στην εξίσση ανάλυσης. Υπολογίζουµε εύκολα την απόκριση συχνότητας

Διαβάστε περισσότερα

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες.

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Στην περίπτωση της ταλάντωσης µε κρίσιµη απόσβεση οι δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις εκφυλίζονται (καταλήγουν να ταυτίζονται) Στην περιοχή ασθενούς απόσβεσης ( ) δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις είναι

Διαβάστε περισσότερα

Τυπική µορφή συστήµατος 2 ας τάξης

Τυπική µορφή συστήµατος 2 ας τάξης Τυπική µορφή συστήµατος 2 ας τάξης Έστω το γενικό σύστηµα 2 ας τάξεως µε σταθερό αριθµητή (1) Είθισται αυτό να γράφεται σε συγκεκριµένη µορφή, την εξής: θέτουµε ±, επιλέγοντας το πρόσηµο ούτως ώστε το

Διαβάστε περισσότερα

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 13: Ανάλυση ΓΧΑ συστημάτων (Ι) Περιγραφές ΓΧΑ συστημάτων Έχουμε δει τις παρακάτω πλήρεις περιγραφές ΓΧΑ συστημάτων: 1. Κρυστική απόκριση (impulse

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Fourier Στο κεφάλαιο αυτό θα εισάγουμε και θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι σήµα; Σεραφείµ Καραµπογιάς

Τι είναι σήµα; Σεραφείµ Καραµπογιάς Τι είναι σήµα; Σεραφείµ Καραµπογιάς Ωςσήµαορίζεταιέναφυσικόµέγεθοςτοοποίοµεταβάλλεταισεσχέσηµετοχρόνοή το χώρο ή µε οποιαδήποτε άλλη ανεξάρτητη µεταβλητή ή µεταβλητές Παραδείγµατα: Σήµα οµιλίας Σήµα εικόνας

Διαβάστε περισσότερα

DFT ιακριτός µετ/σµός Fourier Discrete Fourier Transform

DFT ιακριτός µετ/σµός Fourier Discrete Fourier Transform DFT ιακριτός µετ/σµός Fourier Discrete Fourier Transform Νοέµβριος 5 ΨΕΣ Ορισµοί O διακριτός µετασχηµατισµός Fourier DFT, αναφέρεται σε µία πεπερασµένου µήκους ακολουθία σηµείων και ορίζεται ως εξής: X(

Διαβάστε περισσότερα

Σ. Φωτόπουλος -1- ΨΕΣ- AΣΚΗΣΕΙΣ-ΛΥΣΕΙΣ- Κεφάλαιο 2 ο

Σ. Φωτόπουλος -1- ΨΕΣ- AΣΚΗΣΕΙΣ-ΛΥΣΕΙΣ- Κεφάλαιο 2 ο Σ. Φωτόπουλος -- ΨΕΣ- AΣΚΗΣΕΙΣ-ΛΥΣΕΙΣ- Κεφάλαιο ο Άσκηση. Περιγράψτε τα σήµατα που φαίνονται στο σχήµα. χρησιµοποιώντας κατάλληλα την συνάρτηση µοναδιαίας κρούσης δ[]. x[] + x[] + + + + + (a) (b) -.5 Σχήµα.

Διαβάστε περισσότερα

6-Μαρτ-2009 ΗΜΥ Μετασχηματισμός z

6-Μαρτ-2009 ΗΜΥ Μετασχηματισμός z 6-Μαρτ-29 ΗΜΥ 429. Μετασχηματισμός . Μετασχηματισμός 6-Μαρτ-29 Μετασχηματισμός Μέθοδος εκπροσώπησης, ανάλυσης και σχεδιασμού συστημάτων και σημάτων διακριτού χρόνου. Ό,τι είναι η μέθοδος Lplce στο συνεχή

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφή Συστηµάτων. στο Επίπεδο z. Πόλοι και Μηδενισµοί Συνάρτησης Μεταφοράς. Νοέµβριος 2005 ΨΕΣ 1

Περιγραφή Συστηµάτων. στο Επίπεδο z. Πόλοι και Μηδενισµοί Συνάρτησης Μεταφοράς. Νοέµβριος 2005 ΨΕΣ 1 Περιγραφή Συστηµάτων στο Είεδο Πόλοι και Μηδενισµοί Συνάρτησης Μεταφοράς Νοέµβριος 005 ΨΕΣ Rmindr Ο Μετασχηµατισµός Ζ µιας ακολουθίας xn διακριτού χρόνου ορίζεται αό την σχέση: X x n n n Η µιγαδική µεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις. ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Laplace- Σειρές Fourier. Nικόλαος Aτρέας

Σηµειώσεις. ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Laplace- Σειρές Fourier. Nικόλαος Aτρέας Σηµειώσεις ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Lplce- Σειρές Fourier Nικόλαος Aτρέας ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 4 Περιεχόµενα Κεφάλαιο Επισκόπηση γνωστών εννοιών Σειρές πραγµατικών αριθµών Σειρές συναρτήσεων 3 Γενικευµένα

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρήσεις για το µετασχηµατισµό Laplace

Παρατηρήσεις για το µετασχηµατισµό Laplace Παρατηρήσεις για το µετασχηµατισµό plce Η συνάρτηση µεταφοράς, H, ενός ΓΧΑ συστήµατος είναι µία ρητή συνάρτηση, δηλαδή, µπορείναεκφραστείςλόγοςδύοπολυνύµντηςµεταβλητής. D N H Για να είναι ένα σύστηµα αιτιατό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ. Περιγράψουμε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήματος.

ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ. Περιγράψουμε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήματος. 3. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ OURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ Περιγράψουμε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά ourir ενός περιοδικού αναλογικού σήματος. Ορίσουμε το μετασχηματισμό ourir ενός μη περιοδικού

Διαβάστε περισσότερα

z έχει µετασχ-z : X(z)= 2z 2

z έχει µετασχ-z : X(z)= 2z 2 ΨΕΣ-Μετασχ- Λύσεις Ασκήσεων Σ.Φωτόουλος ΑΣΚΗΣΗ 4. Βρείτε τον µετασχηµατισµό- των σηµάτων ου φαίνονται στο αρακάτω σχήµα Α4. εκφράζοντάς τους σε όσο το δυνατόν αλούστερη-συµαγέστερη µορφή. a a a -->...

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY. 0, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY. 0, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα

Διαβάστε περισσότερα

X(e jω ) = x[n]e jωn (1) x[n] = 1. T s

X(e jω ) = x[n]e jωn (1) x[n] = 1. T s Αναπαράσταση Σημάτων και Συστημάτων στο Χώρο της Συχνότητας Ο Μετασχηματισμός Fourier Επιμέλεια: Γιώργος Π. Καφεντζης Δρ. Επιστήμης Η/Υ Πανεπιστημίου Κρήτης Δρ. Επεξεργασίας Σήματος Πανεπιστημίου Rennes

Διαβάστε περισσότερα

x(t) 2 = e 2 t = e 2t, t > 0

x(t) 2 = e 2 t = e 2t, t > 0 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-215: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 216-17 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λυµένες Ασκήσεις σε Σήµατα και Συστήµατα Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Ισοδυναµία τοπολογιών βρόχων.

Ισοδυναµία τοπολογιών βρόχων. Ισοδυναµία τοπολογιών βρόχων. Κατά κανόνα, συµφέρει να ανάγουµε τις «πολύπλοκες» τοπολογίες βρόχων σε έναν απλό κλειστό βρόχο, µε µία συνάρτηση µεταφοράς στον κατ ευθείαν κλάδο και µία συνάρτηση µεταφοράς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ...3

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ...3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ- ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ...3 ΕΝΟΤΗΤΑ 3.. Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ-Z...4 3... ΟΡΙΣΜΌΣ...4 3... ΎΠΑΡΞΗ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΎ-Z...5 3..3. ΙΔΙΌΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΎ-Z... ΕΝΟΤΗΤΑ 3..

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Χρονική Απόκριση και Απόκριση Συχνότητας

Εισαγωγή στην Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Χρονική Απόκριση και Απόκριση Συχνότητας ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Εισαγωγή στην Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Χρονική Απόκριση και Απόκριση Συχνότητας 6 Ncola Tapaoul Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [5]: Κεφάλαιο 4 Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΥ ΔΙΠΛΩΜΑΤΟΣ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ : «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-370: Ψηφιακή Επεξεργασία Σήµατος Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού - Γ.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-370: Ψηφιακή Επεξεργασία Σήµατος Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού - Γ. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-370: Ψηφιακή Επεξεργασία Σήµατος Χειµερινό Εξάµηνο 206 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού - Γ. Καφεντζής εύτερη Σειρά Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : 25/0/206 Ηµεροµηνία

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστα γραµµικά χρονικά αναλλοίωτα συστήµατα Συστήµατα που ελαχιστοποιούν το µέσο-τετραγωνικό σφάλµα

Βέλτιστα γραµµικά χρονικά αναλλοίωτα συστήµατα Συστήµατα που ελαχιστοποιούν το µέσο-τετραγωνικό σφάλµα Σεραφείµ Καραµπογιάς Βέλτιστα γραµµικά χρονικά αναλλοίωτα συστήµατα Ο Wiener εέτασε το προβληµα της εκτίµησης µίας επιθυµητής κυµατοµορφής σήµατος s παρουσία προσθετικού θορύβου n, βάση του λαµβανόµενου

Διαβάστε περισσότερα

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ A. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταβολές 3.(Οριακός) ρυθµός µεταβολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα