Προ βλεψη ζη τησης με τη χρη ση Extended Discrete Fourier Transform

Transcript

1 Αριστοτε λειο Πανεπιστη μιο Θεσσαλονι κης Πολυτεχνικη Σχολη Τμη μα Ηλεκτρολο γων Μηχανικω ν και Μηχανικω ν Υπολογιστω ν Τομεάς Ηλεκτρονικη ς και Υπολογιστω ν Προ βλεψη ζη τησης με τη χρη ση Extended Discrete Fourier Transform Εκπο νηση Εργασιάς: Μπι σμπας Γεω ργιος Επιβλε πων Καθηγητη ς: Νικο λαος Πιτσια νης Θεσσαλονι κη, Ιου λιος 2017

2 ii

3 Η παρου σα αποτελει τη διπλωματικη μου εργασιά για το Τμη μα Ηλεκτρολο γων Μηχανικω ν και Μηχανικω ν Ηλεκτρονικω ν Υπολογιστω ν του Αριστοτελειόυ Πανεπιστημιόυ Θεσσαλονι κης, η οποιά εκπονη θηκε κατα τη δια ρκεια του ακαδημαι κου ε τους Θε λω να ευχαριστη σω ιδιαι τερα τον καθηγητη μου κ. Νικο λαο Πιτσια νη που μου ε δωσε την δυνατο τητα να ασχοληθω με ε να το σο ενδιαφε ρον θε μα, καθω ς επι σης και για την καθοδη γηση και την υπομονη του καθ ο λη τη δια ρκεια αυτη ς της συνεργασιάς που ει χαμε, ο πως και τους υποψη φιους διδα κτορες Φλω ρο Δημη τριο και Μυλωνα κη Κωνσταντι νο για ο λη τους τη βοη θεια και την ευχα ριστη συνεργασιά. Επι σης, θα η θελα να ευχαριστη σω τους γονει ς μου, τα αδε ρφια μου και ο λους τους φι λους που με στη ριξαν σε αυτη την πορειά και ιδιαι τερα τους Μπουτσου κη Χρη στο και Σιδηρο πουλο Αντω νιο για την συνεργασιά και τη βοη θεια τους. Η παρου σα εργασιά αφιερω νεται εις μνη μην του εκλιπο ντος Σιμε τη Παντελη, ο οποιός με βοη θησε να κα νω τα πρω τα μου βη ματα στον προγραμματισμο. Μπι σμπας Γεω ργιος iii

4 iv

5 Περιεχο μενα 1 Εισαγωγη Περιγραφη προβλη ματος Αντικει μενο της παρου σας εργασιάς - Η διαδικασιά των προβλε ψεων ζη τησης Δεδομε να πραγμα τευσης Υπα ρχουσες προσεγγι σεις Στο χοι της Εργασιάς Δομη της Εργασιάς Απεικο νιση, χαρτογρα φηση και στατιστικη ανα λυση δεδομε νων Στατιστικη ανα λυση των δεδομε νων Απεικο νιση και χαρτογρα φηση για τα δεδομε να Απρι λιος - Σεπτε μβριος Στατιστικη ανα λυση για τα δεδομε να Απρι λιος - Σεπτε μβριος Απεικο νιση και χαρτογρα φηση για τα δεδομε να Ιανουα ριος - Ιου νιος Στατιστικη ανα λυση για τα δεδομε να Ιανουα ριος - Ιου νιος Δυναμικο ς πληθυσμο ς του Manhattan Δημιουργιά ταινιω ν ζη τησης - Gaussian Heatmaps Αντιστοι χιση δρομολογιών στην κοντινο τερη διασταυ ρωση Δημιουργιά χρονοσειρω ν Μια διαφορετικη προσε γγιση του αντι στροφου προβλη ματος με τη χρη ση Kriging O Extended Discrete Fourier Transform Εισαγωγη Διατυ πωση του προβλη ματος Βασικε ς εκφρα σεις της κλασικη ς ανα λυσης Fourier Βασικε ς εκφρα σεις της επεκταμε νης ανα λυσης Fourier Λυ ση του προβλη ματος v

6 3.3.1 Extended Fourier Ανα λυση συνεχω ν στον χρο νο σημα των Extended Discrete Time Fourier Transform Ο Extended DFT αλγο ριθμος Πειρα ματα και αποτελε σματα Αναζη τηση κυ ριων συχνοτη των στις χρονοσειρε ς Συ γκριση συχνοτικου περιεχομε νου EDFT και FFT Αποτελε σματα προ βλεψης με τη χρη ση του EDFT Προ βλεψη με τη χρη ση προκαθορισμε νου και σταθερου συνο λου δεδομε νων εκπαι δευσης Προ βλεψη με τη χρη ση κινου μενου παραθυ ρου για τα δεδομε να εκπαι δευσης Προ βλεψη με τη χρη ση ενο ς AR μοντε λου προ βλεψης Προ βλεψη με τη χρη ση αλγορι θμου Fast-Block LMS Συ γκριση των αποτελεσμα των του EDFT και συ γκριση με αποτελε σματα α λλων προσεγγι σεων Συ γκριση αποτελεσμα των για προ βλεψη με σταθερο αλλα και κινου μενο παρα θυρο δεδομε νων Συ γκριση αποτελεσμα των για προ βλεψη με τη χρη ση περισσο τερων δεδομε νων εκπαι δευσης Συ γκριση αποτελεσμα των του EDFT σε σχε ση με το μοντε λο AR και τον αλγο ριθμο Fast-Block LMS Συ γκριση αποτελεσμα των για κα θε ξεχωριστη διασταυ ρωση Παραγωγη εικο νων της ζη τησης στον χα ρτη με σω προ βλεψης Τελικα συμπερα σματα για την ακρι βεια του EDFT ως με σο προ βλεψης Απο πειρα επεξη γησης ανωμαλιω ν και μεγα λων σφαλμα των στην προ βλεψη Μελλοντικε ς επεκτα σεις, συμπερα σματα και ανοιχτα θε ματα 65 Α Kω δικας Matlab 67 Α.1 Κω δικας Extended Discrete Fourier Transform Β Χα ρτες και χρη σιμα στοιχειά της περιοχη ς. 73 vi

7 Κατα λογος σχημα των 2.1 Τοποθεσιές ο που πραγματοποιη θηκε ε ναρξη δρομολογιόυ κατα το δια στημα Απρι λιος - Σεπτε μβριος (Πηγη :[6]) Heatmap συχνο τητας ε ναρξης δρομολογιών πα νω σε grid. (Πηγη :[6]) Πλη θος δρομολογιών ανα μη να. (Πηγη :[6]) Συνολικη ζη τηση τους μη νες Απρι λιο και Μαίο. (Πηγη :[6]) Συνολικη ζη τηση τους μη νες Ιου νιο και Ιου λιο. (Πηγη :[6]) Συνολικη ζη τηση τους μη νες Αυ γουστο και Σεπτε μβριο. (Πηγη :[6]) Πλη θος δρομολογιών ανα ημε ρα της εβδομα δος. (Πηγη :[6]) Πλη θος δρομολογιών ανα ω ρα της ημε ρας. (Πηγη :[6]) Συνολικη ζη τηση στις ω ρες 0ΠΜ, 2ΠΜ (Πηγη :[6]) Συνολικη ζη τηση στις ω ρες 4ΠΜ, 6ΠΜ (Πηγη :[6]) Συνολικη ζη τηση στις ω ρες 8ΠΜ, 10ΠΜ (Πηγη :[6]) Συνολικη ζη τηση στις ω ρες 12ΠΜ, 2ΜM (Πηγη :[6]) Συνολικη ζη τηση στις ω ρες 4ΜΜ, 6ΜΜ (Πηγη :[6]) Συνολικη ζη τηση στις ω ρες 8ΜΜ, 10ΜΜ (Πηγη :[6]) Τα δημοτικα διαμερι σματα της Νεάς Υο ρκης Ιστο γραμμα δρομολογιών ανα μη να των δεδομε νων του (Πηγη :[6]) Συ γκριση δεδομε νων για τους διαθε σιμους μη νες. (Πηγη :[6]) Ημερη σια ιστογρα μματα για δεδομε να 2014 και (Πηγη :[6]) Ωριαιά ιστογρα μματα για δεδομε να 2014 και (Πηγη :[6]) Δια γραμμα τυπικη ς απο κλισης Gaussian κατανομη ς Η επιρροη ενο ς δρομολογιόυ με κε ντρο το (0,0) στον περιβα λλοντα χω ρο Συνολικη ζη τηση στις ω ρες 0ΠΜ, 2ΠΜ, 4ΠΜ Συνολικη ζη τηση στις ω ρες 06ΠΜ, 08ΠΜ, 10ΠΜ Συνολικη ζη τηση στις ω ρες 12ΜΜ, 2ΜΜ, 4ΜΜ Συνολικη ζη τηση στις ω ρες 6ΜΜ, 8ΜΜ, 10ΜΜ vii

8 2.26 Ζη τηση στις Δευτε ρα 1, Τρι τη 2, Τετα ρτη 3 Σεπτεμβριόυ Ζη τηση στις Πε μπτη 4, Παρασκευη 5, Σα ββατο 6 Σεπτεμβριόυ Ζη τηση την Κυριακη 7 Σεπτεμβριόυ Σημειά διασταυρω σεων της Νεάς Υο ρκης Σημειά διασταυρω σεων της Νεάς Υο ρκης επι χα ρτη του MATLAB Συνολικη ζη τηση στις ω ρες 0ΠΜ, 2ΠΜ Συνολικη ζη τηση στις ω ρες 4ΠΜ, 6ΠΜ Συνολικη ζη τηση στις ω ρες 8ΠΜ, 10ΠΜ Συνολικη ζη τηση στις ω ρες 12ΜΜ, 2ΜΜ Συνολικη ζη τηση στις ω ρες 4ΜΜ, 6ΜΜ Συνολικη ζη τηση στις ω ρες 8ΜΜ, 10ΜΜ α) Δεδομε να διασταυρω σεων, β) Διατη ρηση μο νο ε ντονων σε ζη τηση διασταυρω σεων Σημειά δειγματοληψιάς Προ βλεψη ζη τησης με σω Kriging με δια φορα colorbars Single sided frequency spectrum Single sided frequency spectrum Ανακατασκευη ση ματος με τη χρη ση τριω ν(3) κυριών συχνοτη των Ανακατασκευη ση ματος με τη χρη ση δε κα(10) κυριών συχνοτη των Ανακατασκευη ση ματος με τη χρη ση ει κοσι(20) κυριών συχνοτη των Ανακατασκευη ση ματος με τη χρη ση τρια ντα ε ξι(36) κυριών συχνοτη των Συ γκριση fft και edft για συγκεκριμε νη χρονοσειρα Συ γκριση fft και edft για συγκεκριμε νη χρονοσειρα Προ βλεψη για τις χρονοσειρε ς Προ βλεψη για τις χρονοσειρε ς Προ βλεψη για τις χρονοσειρε ς Προ βλεψη για τις χρονοσειρε ς Προ βλεψη για τις χρονοσειρε ς Προ βλεψη για τις χρονοσειρε ς Προ βλεψη για τις χρονοσειρε ς Προ βλεψη για τις χρονοσειρε ς Προ βλεψη για τις χρονοσειρε ς Προ βλεψη για τις χρονοσειρε ς viii

9 4.19 Aποτελε σματα προ βλεψης με τη χρη ση ενο ς AR μοντε λου Aποτελε σματα προ βλεψης με τη χρη ση ενο ς AR μοντε λου Aποτελε σματα προ βλεψης με τη χρη ση Fast-Block LMS Aποτελε σματα προ βλεψης με τη χρη ση Fast-Block LMS Συ γκριση μεθο δων προ βλεψης για την χρονοσειρα Συ γκριση μεθο δων προ βλεψης για την χρονοσειρα Συ γκριση μεθο δων προ βλεψης για την χρονοσειρα Συ γκριση μεθο δων προ βλεψης για την χρονοσειρα Συ γκριση μεθο δων προ βλεψης για την χρονοσειρα Συ γκριση μεθο δων προ βλεψης για την χρονοσειρα Συ γκριση μεθο δων προ βλεψης για την χρονοσειρα Συ γκριση μεθο δων προ βλεψης για την χρονοσειρα Κλιμακοποιημε νη ζη τηση για τα Uber για δια στημα περι που 10 μηνω ν. (Πηγη :[15]).. 63 Β.1 Χα ρτης του Manhattan ix

10 x

11 Κατα λογος πινα κων 2.1 Δρομολο για ανα μη να για τα δεδομε να Απρι λιος - Σεπτε μβριος Δρομολο για ανα ημε ρα για τα δεδομε να Απρι λιος-σεπτε μβριος Δρομολο για ανα περιφε ρεια για τα δεδομε να Ιανουαριόυ - Ιουνιόυ Ποσοστο διατη ρησης ισχυός σε σχε ση με τον αριθμο των κυριο τερων συχνοτη των Ποσοστο διατη ρησης ισχυός σε σχε ση με τον αριθμο των κυριο τερων συχνοτη των για ο λα τα δεδομε να Πι νακας αντιστοι χισης των διασταυρω σεων που μελετω νται με μοναδικο ID Naive forecast με θεω ρηση δια φορων περιοδικοτη των MASE για τυχαιές προβλε ψεις επι των δεδομε νων για σταθερο και κινου μενο παρα θυρο MASE για τυχαιές προβλε ψεις επι των δεδομε νων MASE για τυχαιές προβλε ψεις επι των δεδομε νων MASE για προβλε ψεις σε ο λο το μη κος των δεδομε νων MASE για προβλε ψεις σε ο λο το μη κος των δεδομε νων xi

12 Περι ληψη Στα πλαι σια της παρου σας εργασιάς ε γινε προσπα θεια προ βλεψης της ζη τησης των Uber στην περιοχη της Νεάς Υο ρκης και ειδικο τερα στο δημοτικο διαμε ρισμα του Μανχα ταν το οποιό αποτελει το σημαντικο τερο απο τα πε ντε δημοτικα διαμερι σματα της Νεάς Υο ρκης. Προκειμε νου να επιτυ χουμε το στο χο μας χρησιμοποιη σαμε τα δεδομε να που παρε χονται ελευ θερα στο διαδι κτυο απο την New York City s Taxi and Limousine Commission. Τα δεδομε να αυτα περιε χουν πληροφοριά σχετικα με τα δρομολο για που εκτελε στηκαν απο την Uber απο τον Απρι λιο εώς και τον Σεπτε μβριο του 2014 (4.5 εκατομμυ ρια) και τα δρομολο για που ε γιναν απο τον Ιανουα ριο εώς και τον Ιου νιο του 2015 (14.3 εκατομμυ ρια δρομολο για). Tα δεδομε να αποκτη θηκαν στις 3 Αυγου στου 2015 και 22 Σεπτεμβριόυ 2015 με σω υποβολη ς ενο ς Freedom of Information Law request απο την FiveThirtyEight στις 20 Ιουλιόυ Πιο συγκεκριμε να τα δεδομε να αυτα περιε χουν στοιχειά για τα δρομολο για που πραγματοποιη θηκαν ο πως ω ρα, με ρα, γεωγραφικο πλα τος και μη κος καθω ς και την TLC base που σχετι ζεται με το δρομολο γιο που πραγματοποιη θηκε. Αρχικα μελετη θηκαν απλα στατιστικα στοιχειά για τα δεδομε να προκειμε νου να διαπιστω σουμε πως μεταβα λλεται η ζη τηση κατα τη δια ρκεια μιάς ημε ρας, εβδομα δας η μη να. Ακολου θως χαρτογραφη σαμε τα δεδομε να πα νω στον χα ρτη της Νεάς Υο ρκης προκειμε νου να διαπιστω σουμε την ε νταση της ζη τησης που υπα ρχει σε κα θε περιοχη της πο λης και σε ποιους δρο μους η γειτονιε ς ε χουμε ε ντονη η μη δραστηριο τητα. Επιπλεόν δημιουργη θηκαν ταινιές μορφη ς heatmap στις οποιές μπορου με να δου με την α νοδο και την πτω ση της ζη τησης στην ευρυ τερη περιοχη του Μανχα ταν ανα ω ρα για ο λα τα διαθε σιμα δεδομε να. Εν συνεχειά, αντιστοιχη σαμε τα δεδομε να μας στις κοντινο τερες διασταυρω σεις στις οποιές αυτα πραγματοποιη θηκαν και δημιουργη σαμε ε τσι μια χρονοσειρα για κα θε διασταυ ρωση που αποτελει την μεταβολη της ζη τησης στην α μεση περιοχη της. Προκειμε νου να προβλε ψουμε την ζη τηση σε α γνωστες μελλοντικε ς χρονικε ς στιγμε ς ε γινε χρη ση του αλγορι θμου Extended Discrete Fourier Transform που αποτελει παραλλαγη των γνωστω ν FFT και DFT και μπορει να επεκτει νει στο χρο νο ε να γνωστο περιοδικο ση μα αναγνωρι ζοντας τις περιοδικο τητες του ση ματος αυτου. Πραγματοποιη θηκαν πειρα ματα για δια φορα μεγε θη γνωστω ν δεδομε νων και χρο νου προ βλεψης καθω ς και προ βλεψη χρησιμοποιω ντας ε να κινου μενο παρα θυρο στο χρο νο -sliding window- σταθερου μεγε θους προκειμε νου να προβλε πουμε κα θε φορα την αμε σως επο μενη χρονικη περιόδο που επιθυμου με. Στο χος μας ει ναι να αποδει ξουμε ο τι η με θοδος μας ει ναι ικανη να προσεγγι σει αρκετα αποτελεσματικα την ζη τηση σε δια φορες περιοχε ς της Νεάς Υο ρκης συνυπολογι ζοντας το σο γνωστου ς παρα γοντες ο πως καιρικα φαινο μενα, εργα σιμες και μη ημε ρες αλλα και προσπαθου με να ερμηνευ σουμε τυχο ν αστοχιές με σω αστα θμητων παραγο ντων. xii

13 Abstract In the present work, an effort was made to predict Uber s demand in New York City s area, and in particular in the borough of Manhattan, which is the most important of New York s five boroughs. In order to achieve our goal, we used the data freely available on the Internet from New York City s Taxi and Limousine Commission. This data contains information on the trips done by Uber from April to September 2014 (4.5 million trips) and the trips done from January to June 2015 (14.3 million trips). The data was acquired on August 3, 2015 and September 22, 2015, by submitting a Freedom of Information Law request by FiveThirtyEight on July 20, In particular, this data contains information on the trips done, such as time, date, latitude and longitude, as well as the TLC base associated with the Uber car that made the trip.at first, we studied simple data statistics to see how demand varied over a day, a week or a month. Then, we mapped the data on the New York map in order to examine the intensity of demand in each area of the city and on which streets or neighborhoods we have more intense or not activity. In addition, heatmap films were created in which we can see the rise and fall in demand in the wider Manhattan area per hour for all available data. We then mapped our data to the nearest crossroad coordinates they were done and thus created a time series for each crossroad that demonstrates the change in demand for the crossroad s near area. In order to predict the unknown demand at future moments, we took advantage of the capabilities of the Extended Discrete Fourier Transform algorithm, which is a variation of the known FFT and DFT, and is able to extend over time a known periodic signal recognizing the periodicity of this signal. Experiments were performed for various lengths of known data and prediction time as well as predictions using a sliding window with fixed size in order to predict each time the demand in selected area in future moments. Our goal is to demonstrate that our method is capable of approaching demand effectively in different areas of New York, taking into account not only factors as weather phenomena, working days as well as non-working days, but also trying to interpret any faults through unoredictable factors. xiii

14 xiv

15 Κεφα λαιο 1 Εισαγωγη 1.1 Περιγραφη προβλη ματος Αντικει μενο της παρου σας εργασιάς αποτελει η προ βλεψη της ζη τησης των Uber σε μελλοντικε ς χρονικε ς στιγμε ς. Με σω των η δη γνωστω ν δεδομε νων ει ναι εφικτο να αναγνωρι σουμε προ τυπα πα νω σε αυτα και οι υπηρεσιές μεταφορω ν να γι νουν πολυ αποδοτικο τερες απο ο τι ει ναι ση μερα. Ο προγραμματισμο ς των διαδικασιω ν παροχη ς εξαρτα ται σε μεγα λο βαθμο απο τις προβλε ψεις της ζη τησης. Οι παρε χοντες υπηρεσιω ν χρεια ζονται μεσοπρο θεσμες η και μακροπρο θεσμες προβλε ψεις της ζη τησης κατα τη δια ρκεια της εμπορικη ς τους δραστηριο τητας. Επι σης, οι αποφα σεις που σχετι ζονται με τον ε λεγχο των υπηρεσιω ν τους, η τοι οι ποσο τητες των οχημα των, και ο χρο νος εξυπηρε τησης της ζη τησης, βασι ζονται σε προβλε ψεις της ζη τησης, η ακρι βεια των οποιών επηρεα ζει την απο δοση της εταιρειάς. Πιο συγκεκριμε να, υπερεκτι μηση της ζη τησης μπορει να οδηγη σει στη κακη απο δοση των οδηγω ν Uber καθω ς δεν θα ει ναι ευχαριστημε νοι απο την απο δοση τους και την εργασιά, ενω αντι θετα υποεκτι μηση της ζη τησης προκαλει χαμε νες ευκαιριές δημιουργιάς κερδω ν για την εταιρειά και κακη εξυπηρε τηση των πελατω ν. Γι νεται ευ κολα αντιληπτο ο τι η προ βλεψη της ζη τησης ει ναι μια σκιαγρα φηση η εκτι μηση της διακυ μανσης της ζη τησης στο με λλον. Η αξιοπιστιά της προ βλεψης εξαρτα ται απο το χρονικο ορι ζοντα της προβολη ς στο με λλον. Ο σο μεγαλω νει ο χρονικο ς ορι ζοντας της προ βλεψης το σο αυξα νεται και το σφα λμα της. Δεδομε νης της πολυπλοκο τητας και των σφαλμα των που εισε ρχονται, η ενδεχο μενη εξα ρτηση απο τις προβλε ψεις της ζη τησης θα πρε πει να μειω νεται στο μικρο τερο δυνατο βαθμο. 1.2 Αντικει μενο της παρου σας εργασιάς - Η διαδικασιά των προβλε ψεων ζη τησης. Οι με θοδοι προ βλεψης βασι ζονται ει τε σε μαθηματικα μοντε λα χρησιμοποιω ντας ιστορικα δεδομε να προηγουμε νων περιο δων ει τε σε ποιοτικε ς μεθο δους χρησιμοποιω ντας την εμπειριά των στελεχω ν της επιχει ρησης ει τε σε συνδυασμου ς αυτω ν των δυο. Σε κα θε περι πτωση τα στοιχειά και οι πληροφοριές που χρησιμοποιου νται για τις προβλε ψεις θα πρε πει να ανανεω νονται σε συνεχη βα ση. Με αυτο ν τον τρο πο, εξασφαλι ζεται αφενο ς η επικυ ρωση των προβλε ψεων και αφετε ρου μειω νονται τα σφα λματα και αυξα νεται η ακρι βεια των προβλε ψεων τουλα χιστον βραχυπρο θεσμα. Η διαδικασιά προβλε ψεων περιλαμβα νει συνη θως τρεις κυ ριες φα σεις ως ακολου θως: -Συλλογη και ανα λυση ιστορικω ν στοιχειών και πληροφοριω ν. -Αξιολο γηση παραγο ντων που επηρεα ζουν τη ζη τηση. -Παρακολου θηση των προβλε ψεων. 1

16 2 Κεφα λαιο 1. Εισαγωγη Φα ση 1η: Συλλογη και ανα λυση ιστορικω ν στοιχειών και πληροφοριω ν Η 1η φα ση της διαδικασιάς προ βλεψης περιλαμβα νει αρχικα τη συλλογη ιστορικω ν στοιχειών και πληροφοριω ν απο δια φορες πη γες δεδομε νων. Στην παρου σα εργασιά χρησιμοποιη σαμε τα δεδομε να που παρε χονται ελευ θερα στο διαδι κτυο απο την New York City s Taxi and Limousine Commission. Τα δεδομε να αυτα περιε χουν πληροφοριά σχετικα με τα δρομολο για που εκτελε στηκαν απο την Uber απο τον Απρι λιο εώς και τον Σεπτε μβριο του 2014 (4,5 εκατομμυ ρια) και τα δρομολο για που ε γιναν απο τον Ιανουα ριο εώς και τον Ιου νιο του 2015 (14,3 εκατομμυ ρια δρομολο για). Τα δεδομε να αποκτη θηκαν στις 3 Αυγου στου 2015 και 22 Σεπτεμβριόυ 2015 με σω υποβολη ς ενο ς Freedom of Information Law request απο την FiveThirtyEight στις 20 Ιουλιόυ Εν συνεχειά, τα δεδομε να αυτα αναλυόνται με στο χο το ξεκαθα ρισμα και την επιλογη εκει νων που διαστρεβλω νουν λιγο τερο και αποτυπω νουν καλυ τερα την παρελθοντικη εικο να της ζη τησης. Τε λος, παρα γεται μια στατιστικη προ βλεψη της ζη τησης χρησιμοποιω ντας την τεχνικη του Extended Discrete Fourier Transform. Η συλλογη και η επιλογη των κατα λληλων δεδομε νων αποτελει ε να αρκετα κρι σιμο βη μα. Σε γενικε ς γραμμε ς μπορει να ειπωθει ο τι ο σο αυξα νει ο ο γκος των διαθε σιμων δεδομε νων το σο αυξα νει η ακρι βεια των προβλε ψεων υπο την πρου πο θεση ο τι τα δεδομε να ει ναι καθαρα και δεν επισυ ρουν στρεβλω σεις. Φα ση 2η: Αξιολο γηση παραγο ντων που επηρεα ζουν τη ζη τηση Η 2η φα ση περιλαμβα νει τη μελε τη, αξιολο γηση και προσθη κη παραγο ντων (deterministic overrides) ει τε εξωτερικω ν ει τε εσωτερικω ν που πιθανω ς επηρεα ζουν τη ζη τηση. Πιο συγκεκριμε να, στο χος της 2ης φα σης ει ναι ο καθορισμο ς του αντι κτυπου των εκα στοτε παραγο ντων που ενδεχομε νως επηρεα ζουν τη ζη τηση, ε τσι ω στε να αναθεωρηθου ν και να αναπροσαρμοστου ν κατα λληλα οι προβλε ψεις ζη τησης. Οι εξωτερικοι παρα γοντες σχετι ζονται το σο με την ω ρα και το με ρος της ζη τησης κατα κυ ριο λο γο, με τον αν ε χουμε εργα σιμη η μη ημε ρας αλλα και τις εκα στοτε ιδιαι τερες συνθη κες που μπορει να επικρατου ν σε συγκεκριμε νο με ρος κα ποια συγκεκριμε νη ω ρα. Φα ση 3η: Παρακολου θηση των προβλε ψεων Η τελικη φα ση αφορα στην παρακολου θηση και τη συνεχη αξιολο γηση των προβλε ψεων σε συ γκριση με την πραγματικη διακυ μανση της ζη τησης. Γι νεται ευ κολα αντιληπτο ο τι η αξιοπιστιά της προ βλεψης μπορει να βελτιωθει με σα απο την κατανοήση των αι τιων που ενδεχομε νως οδη γησαν σε μεγα λα σφα λματα η λανθασμε νες εκτιμη σεις. 1.3 Δεδομε να πραγμα τευσης Τα δεδομε να που χρησιμοποιη θηκαν σε αυτη την εργασιά ελη φθησαν απο την ηλεκτρονικη διευ θυνση [1] και περιλαμβα νουν πληροφοριά σε μορφη.csv αρχειών για την ω ρα και τη με ρα που ε να ο χημα της Uber ξεκι νησε δρομολο γιο με ε ναν πελα τη, το γεωγραφικο πλα τος, το γεωγραφικο μη κος καθω ς και τον κωδικο της βα σης του οχη ματος της Uber. Περιλαμβα νονται περι που 19 εκατομμυ ρια δρομολο για στην περιοχη της Νεάς Υο ρκης απο τον Απρι λιο εώς και τον Σεπτε μβριο του 2014, και απο τον Ιανουα ριο εώς και τον Ιου νιο του Παρακα τω μπορει τε να δει τε την ενδεικτικη μορφη των δεδομε νων που χρησιμοποιη θηκαν για πληροφοριά που αφορα 4 δρομολο για: "Date/Time", "Lat","Lon","Base" "4/1/2014 0:11:00", , ,"B02512" "4/1/2014 0:17:00", , ,"B02512" "8/1/2014 0:27:00", , ,"B02512" "9/1/2014 0:48:00", , ,"B02512" * Τα δεδομε να αποκτη θηκαν στις 3 Αυγου στου 2015 και 22 Σεπτεμβριόυ 2015 με σω υποβολη ς ενο ς Freedom of Information Law request απο την FiveThirtyEight στις 20 Ιουλιόυ 2015.

17 1.4. Υπα ρχουσες προσεγγι σεις Υπα ρχουσες προσεγγι σεις Τα τελευταιά χρο νια η Uber ε χει ανελιχθει σε υψηλη θε ση στην συνεργατικη οικονομιά. Αποτελει μια υπηρεσιά η οποιά προσπαθει να ταιρια ξει πελα τες που επιθυμου ν να κα νουν κα ποιο δρομολο γιο με οδηγου ς οι οποιόι ει ναι προ θυμοι να το διεκπεραιω σουν. Ωστο σο, αντι θετα με α λλες υπηρεσιές η Uber ει ναι ε να black-box που δεν μας επιτρε πει να ε χουμε μια καλη εικο να σχετικα το σο με την ζη τηση που εμφανι ζεται, ο σο και με το κατα πο σο αυτη ικανοποιει ται. Α μεση συνε πεια αυτη ς της θολη ς εικο νας που ε χουμε για δεδομε να που αφορου ν την ζη τηση ει ναι να μην ε χουμε επαρκη στοιχειά τα οποιά θα μπορου σαν να προβλε ψουν την ζη τηση και συνεπω ς να μπορε σουμε να κατασκευα σουμε ε να μοντε λο προ βλεψης το οποιό να μας βοηθη σει προς αυτη την κατευ θυνση. Παρα λληλα με την α νοδο της Uber, ε γιναν και αρκετε ς προσπα θειες για προ βλεψη της ζη τησης. Κατα τις προσπα θειες αυτε ς οι ενδιαφερο μενοι ε λαβαν υπο ψιν δια φορες αιτιές οι οποιές θα μπορου σαν να επηρεα σουν την ζη τηση. Χαρακτηριστικα παραδει γματα τε τοιων αιτιω ν αποτελου ν τα καιρικα φαινο μενα, συμβα ντα που δημιουργου ν αξιοπρο σεκτη κι νηση ο πως η επιρροη των μη εργα σιμων ημερω ν αλλα και αιτιές ο πως η δυναμικη τιμολο γηση που επιβα λλουν οι υπηρεσιές του Uber κατα τη δια ρκεια υψηλη ς ζη τησης. Σε κα θε περι πτωση ε χουν καταγραφει πολλε ς προσπα θειες επι λυσης ενο ς προβλη ματος που σε τελικη ανα λυση αποτελει προσπα θεια προ βλεψης μιάς χρονοσειρα ς, με την προσπα θεια κα θε φορα να εστια ζεται στις αιτιές που μπορου ν να παι ξουν σημαντικο ρο λο στην μεταβολη των τιμω ν της. Θα μπορου σαμε κα λλιστα να ομαδοποιη σουμε αυτε ς τις μεθο δους σε 4 κατηγοριές: γραμμικε ς με θοδοι, μη γραμμικε ς με θοδοι, ομαλε ς υπολογιστικε ς με θοδοι και συνδυαστικε ς με θοδοι. Γραμμικε ς με θοδοι ο πως προ βλεψη χρονοσειρω ν, φι λτρα Kalman, fuzzy-ar και εκθετικη εξομα λυνση, ε χουν χρησιμοποιηθει τα τελευταιά χρο νια. Αυτε ς οι με θοδοι χρησιμοποιη θηκαν αρχικα για την προ βλεψη της κι νησης. Για παρα δειγμα, o Smith [2] χρησιμοποιήσε seasonal autoregressive integrated moving average (ARIMA), μια κλασσικη παραμετροποιη σιμη προσε γγιση ενο ς μοντε λου για χρονοσειρε ς, αλλα ε χουν προταθει και μη παραμετρικα μοντε λα παλινδρο μησης καθω ς ταιρια ζουν καλα για εφαρμογη σε ενιαιά σημειά βραχυπρο θεσμης προ βλεψης κυκλοφοριάς. O Lam [3] ανε πτυξε ε ναν προσομοιωτη της ροη ς της κι νησης για βραχυπρο θεσμη προ βλεψη του χρο νου ταξιδιου, στην οποιά η απο κλιση του σφα λματος στον χρο νο ταξιδιου και οι διακυμα νσεις στη ζη τηση προε λευσης προορισμου θεωρου νται ρητα. Ωστο σο η συνολικη υπολογιστικη πολυπλοκο τητα αυτω ν των μοντε λων ει ναι χαμηλη και η λειτουργιά τους ει ναι απλη. Για πιο πολυ πλοκα οδικα συστη ματα αυτε ς οι με θοδοι μπορου ν να ικανοποιη σουν τις απαιτη σεις για ακρι βεια των αποτελεσμα των της προ βλεψης και με σω δυναμικη ς ανατροφοδο τησης. Υπα ρχουν και πιο συ γχρονες δουλειε ς για βραχυπρο θεσμη προ βλεψη ζη τησης ο πως του Li [4]. Σε η δη υπα ρχουσες προσεγγι σεις, ο πως για παρα δειγμα η ανα λυση του βλε πουμε ο τι πιθανοι παρα γοντες επιρροη ς ο πως ο καιρο ς δεν επηρεα ζει την ζη τηση. Παρα γοντες ο πως ο χρο νος ε χουν μια πολυ μεγαλυ τερη επιρροη. 1.5 Στο χοι της Εργασιάς Στα πλαι σια αυτη ς της εργασιάς επιχειρου με να προβλε ψουμε την ζη τηση που εμφανι ζεται για δρομολο για της Uber το σο για μεγα λες περιοχε ς, σε επι πεδο δημοτικου διαμερι σματος της Νεάς Υο ρκης ο σο και σε πολυ χαμηλο τερο επι πεδο ο πως σε επι πεδο διασταυ ρωσης η τετραγω νου. Στο χος μας η ταν να αναγνωρι σουμε ο λα τα κυριάρχα προ τυπα τα οποιά διε πουν την ζη τηση αλλα και περιοδικο τητες μη εμφανει ς οι οποιές ενδε χεται να επηρεα ζουν την ζη τηση. Κυ ριος στο χος της εργασιάς μας ει ναι να προβλε ψουμε με ο σο το δυνατο ν μεγαλυ τερη ακρι βεια την ζη τηση λαμβα νοντας υπο ψιν το σο γνωστου ς παρα γοντες και μεταβλητε ς ο σο και να υποθε σουμε νεόυς τους οποιόυς θα ελε γξουμε και θα εξετα σουμε. Κα νοντας την υπο θεση ο τι τα δεδομε να εισο δου στον αλγο ριθμο EDFT αποτελου ν ε να υποσυ νολο μιας μεγαλυ τερης περιοδικη ς χρονοσειρα ς επιχειρου με να ανακατασκευα σουμε το κομμα τι αυτο της χρονοσειρα ς που δεν γνωρι ζουμε εκ των προτε ρων και ε τσι να δομη σουμε μια προ βλεψη τις ασυνε πειες της οποιάς, σε συ γκριση με τα πραγματικα δεδομε να, θα προσπαθη σουμε να

18 4 Κεφα λαιο 1. Εισαγωγη αιτιολογη σουμε. Απω τερος στο χος τε τοιων μοντε λων προ βλεψης μπορει κα λλιστα να ει ναι η χρη ση αυτω ν σε συστη ματα στα οποιά θα μπορου με να βρου με το βε λτιστο ται ριασμα μεταξυ ζη τησης και παροχη ς υπηρεσιω ν μεταφορα ς για βε λτιστη απο δοση του συστη ματος σε δια φορες καταστα σεις συνθηκω ν λειτουργιάς. 1.6 Δομη της Εργασιάς Στο Κεφα λαιο 2 υπολογι ζουμε και παρουσια ζουμε αναλυτικα στατιστικα δεδομε να που αφορου ν τα δεδομε να τα οποιά επεξεργαστη καμε. Παρουσια ζουμε γραφη ματα που δει χνουν την μεταβολη της ζη τησης ανα λογα με την ω ρα, την ημε ρα αλλα και τον μη να απο τα υπα ρχοντα δεδομε να. Παρουσια ζονται χα ρτες που δει χνουν την ανα ω ρα μεταβολη της ζη τησης σε κα θε περιοχη της Νεάς Υο ρκης και ειδικο τερα του Manhattan. Θα δειχθου ν στιγμιο τυπα κινου μενων αλληλουχιω ν εικο νων οι οποιές δει χνουν την μεταβολη για δια φορες χρονικε ς περιο δους. Θα παρουσια σουμε τον τρο πο με τον οποιό δημιουργη σαμε τις χρονοσειρε ς οι οποιές μελετη θηκαν με τον αλγο ριθμο EDFT. Στο Κεφα λαιο 3 παρουσια ζουμε τον Εκτεταμε νο Διακριτο Μετασχηματισμο Fourier η Extended Discrete Fourier Transform. Παρουσια ζεται το θεωρητικο υπο βαθρο του μετασχηματισμου, οι επιπλεόν δυνατο τητες που μας προσφε ρει ε ναντι των η δη γνωστω ν μετασχηματισμω ν FFT και DFT. Επι σης παρουσια ζεται ο αλγο ριθμος του Extended Discrete Fourier Transform που ει ναι γραμμε νος σε γλω σσα MATLAB. Για τον Extended Discrete Fourier Transform στηριζο μαστε στην διδακτορικη διατριβη του Vilnis Liepins [5]. Στο Κεφα λαιο 4 παρουσια ζουμε τα αποτελε σματα της προ βλεψης με τη χρη ση του EDFT. Γι νονται πειρα ματα το σο για σταθερο και προκαθορισμε νο συ νολο δεδομε νων ο σο και για κινου μενο παρα θυρο δεδομε νων. Παρουσια ζονται το σο τα αποτελε σματα των επιτυχω ν προβλε ψεων, ο σο και εκει να των ανεπιτυχω ν. Αναφε ρονται μετρικε ς σφαλμα των που μας δει χνουν το κατα πο σο η προ βλεψη μας ει ναι ικανοποιητικη. Στο Κεφα λαιο 5 παρουσια ζουμε πιθανε ς μελλοντικε ς επεκτα σεις του αλγορι θμου καθω ς και μεθο δους που μπορου με να χρησιμοποιη σουμε για να βελτιω σουμε ακο μα περισσο τερο την προ βλεψη. Καταθε τουμε τα συμπερα σματα απο την δουλεια που ε γινε στην παρου σα εργασιά αλλα και συγκρι σεις και συσχετι σεις με παλαιο τερες δουλειε ς.

19 Κεφα λαιο 2 Απεικο νιση, χαρτογρα φηση και στατιστικη ανα λυση δεδομε νων Σε αυτο το κεφα λαιο θα παρουσια σουμε αναλυτικα στατιστικα στοιχειά σχετικα με τα δεδομε να μας. Θα δου με πως μεταβα λλεται η ζη τηση ανα ω ρα σε κα θε περιοχη, ποιε ς ω ρες της ημε ρας ε χουν περισσο τερη κι νηση, ποιε ς ημε ρες της εβδομα δας ει ναι οι πιο ε ντονες για κα θε περιοχη, πως επηρεα ζουν τα καιρικα φαινο μενα την ζη τηση και ποια η διαφορα μεταξυ εργα σιμων και μη εργα σιμων ημερω ν. Θα παρουσιαστου ν στιγμιο τυπα απο ταινιές εικο νων που παρη χθησαν για να διακρι νουμε την μεταβολη της ε ντασης της ζη τησης ανα ω ρα και ανα περιοχη. Τε λος θα δου με τα βη ματα που κα ναμε προκειμε νου να εισα γουμε τις συντεταγμε νες των διασταυρω σεων στο χα ρτη αλλα και να τοποθετη σουμε με τη χρη ση αλγορι θμου του ενο ς κοντινο τερου γει τονα (1-nearest neighbour) κα θε καταγεγραμμε νο δρομολο γιο στην κοντινο τερη διασταυ ρωση. Ιδιαι τερα χρη σιμο για την α ντληση του παρο ντος υλικου η ταν το [6]. 2.1 Στατιστικη ανα λυση των δεδομε νων Το πρω το βη μα για να μπορε σουμε να εξα γουμε στοιχειά πα νω στα δεδομε να μας η ταν να κα νουμε μια πρω τη στατιστικη ανα λυση πα νω σε αυτα προκειμε νου να αποκτη σουμε μιά καλη εικο να αναφορικα με με τρα πρω της η και δευ τερης τα ξης. Ο πως αναφε ραμε και νωρι τερα τα δεδομε να αυτα περιε χουν πληροφοριά σχετικα με τα δρομολο για που εκτελε στηκαν απο την Uber απο τον Απρι λιο εώς και τον Σεπτε μβριο του 2014 (4,5 εκατομμυ ρια) και τα δρομολο για που ε γιναν απο τον Ιανουα ριο εώς και τον Ιου νιο του 2015 ( 14,3 εκατομμυ ρια δρομολο για ). Αξι ζει να σημειωθει ο τι τα δεδομε να απο τον Απρι λιο εώς και τον Σεπτε μβριο του 2014 ει ναι της μορφη ς: "Date/Time", "Lat","Lon","Base" "4/1/2014 0:11:00",40.769, ,"B02512" "4/1/2014 0:17:00", , ,"B02512" "8/1/2014 0:27:00", , ,"B02512" "9/1/2014 0:48:00", , ,"B02512" και ο πως ει ναι ευκρινε ς εμπεριε χουν πληροφοριά αναφορικα με την ακριβη ω ρα, με ακρι βεια λεπτου, που ε γινε το δρομολο γιο αλλα και αρκετα μεγα λη ακρι βεια αναφορικα με το γεωγραφικο πλα τος και το γεωγραφικο μη κος που ξεκι νησε το δρομολο γιο. Τα δεδομε να αναφορικα με τα δρομολο για τα οποιά ε γιναν απο τον Ιανουα ριο εώς και τον Ιου νιο του 2015 ει ναι της παρακα τω μορφη ς: 5

20 6 Κεφα λαιο 2. Απεικο νιση, χαρτογρα φηση και στατιστικη ανα λυση δεδομε νων Dispatching_Base_Num, Pickup_Date, Affiliated_Base_Num, locationid B02617, :47:00,B02617,141 B02682, :41:18,B02682,231 B02764, :58:00,B02764,163 B02764, :14:00,B02764,88 Τα δεδομε να αποκτη θηκαν στις 3 Αυγου στου 2015 και 22 Σεπτεμβριόυ 2015 με σω υποβολη ς ενο ς Freedom of Information Act request απο την FiveThirtyEight στις 20 Ιουλιόυ Σημειώση 1: To Freedom of Information Act (FOIA), 5 U.S.C. 552, ει ναι ε νας κρατικο ς νο μος περι ελευθεριάς πληροφοριω ν που επιτρε πει την ολικη η μερικη αποκα λυψη πληροφοριω ν και εγγρα φων που δεν ε χουν εκδοθει στο παρελθο ν και ελε γχονται απο την κυβε ρνηση των Ηνωμε νων Πολιτειω ν. Σημειώση 2: Η FiveThirtyEight, που πολλε ς φορε ς αναφε ρεται και ως 538, ει ναι μιά ιστοσελι δα που εστια ζει στην ανα λυση πολιτικω ν, οικονομικω ν, και αθλητικω ν ιστολογιω ν. Η ιστοσελι δα αυτη, πη ρε το ο νομα της απο τον αριθμο των εκλεκτο ρων στο εκλογικο κολλε γιο των Ηνωμε νων Πολιτειω ν Αμερικη ς που ιδρυ θηκε στις 7 Μαρτιόυ του 2008, ως μιά ιστοσελι δα συλλογη ς δημοσκοπη σεων με ιστολο γιο που δημιουργη θηκε απο τον Nate Silver. 2.2 Απεικο νιση και χαρτογρα φηση για τα δεδομε να Απρι λιος - Σεπτε μβριος 2014 Η πρω τη ενε ργεια που εφαρμο στηκε πα νω στα δεδομε να, η ταν η απεικο νιση τους πα νω στο χα ρτη της Νεάς Υο ρκης, προκειμε νου να ε χουμε μια καλη εποπτικη εικο να σχετικα με την κατανομη των δρομολογιών στο χω ρο. Για το σκοπο αυτο χρησιμοποιη θηκαν οι δυνατο τητες που μας δι νει το Mapping Toolbox του MATLAB. Για την πρω τη αυτη απεικο νιση χρησιμοποιη σαμε μο νο το γεωγραφικο πλα τος και το γεωγραφικο μη κος απο τα δεδομε να Απριλιόυ-Σεπτεμβριόυ Απεικονι σαμε κα θε ζευγα ρι συντεταγμε νων με ε να σημειό στο χα ρτη. Ο πως μπορει τε να δει τε το κε ντρο του Manhattan ει ναι ιδιαι τερα φορτωμε νο σε συ γκριση το σο με τις υπο λοιπες περιοχε ς του, ο σο ακο μα περισσο τερο και με τις ακο μα πιο περιφερειακε ς περιοχε ς. Ο πως προει παμε στον παρακα τω χα ρτη απεικονι ζουμε περι που 4,4 εκατομμυ ρια σημειά. Προκειμε νου να δου με καλυ τερα ποιε ς ει ναι εκει νες οι περιοχε ς στις οποιές υπα ρχει ισχυρη πυκνο τητα ε ναρξης δρομολογιών, κατασκευα ζουμε ε να heatmap. Για το σκοπο αυτο απλω νουμε ε να πλε γμα (grid) πα νω στον χα ρτη και θεωρου με τις συντεταγμε νες μας απλα ως σημειά στο δισδια στατο επι πεδο. Χρησιμοποιου με για αυτο το σκοπο την συνα ρτηση histogram2 του MATLAB.

21 2.2. Απεικο νιση και χαρτογρα φηση για τα δεδομε να Απρι λιος - Σεπτε μβριος Σχη μα 2.1: Τοποθεσι ες ο που πραγματοποιη θηκε ε ναρξη δρομολογι ου κατα το δια στημα Απρι λιος Σεπτε μβριος (Πηγη :[6])

22 8 Κεφα λαιο 2. Απεικο νιση, χαρτογρα φηση και στατιστικη ανα λυση δεδομε νων Ο πως μπορει τε να παρατηρη σετε η πυκνο τητα ει ναι ιδιαι τερα υψηλη σε περιοχε ς γει τονες στην 5η και 6η λεωφο ρο ο πως το Grand Central Station, το Tiffany αλλα και στο Soho και το Chelsea. Επιπλεόν παρατηρει ται ακο μα ιδιαι τερα υψηλη πυκνο τητα στην περιοχη του αεροδρομιόυ LaGuardia στην α νω δεξια πλευρα του χα ρτη. Στις περιοχε ς ε ξω απο το Manhattan ε χουμε χαμηλη πυκνο τητα χρη σης των Uber. Κα λλιστα θα μπορου σε κανει ς να πει πως τα Uber δραστηριοποιου νται αρκετα σε περιοχε ς με ε ντονη εμπορικη κινητικο τητα και περιοχε ς που αφορου ν μεταφορε ς ο πως για παρα δειγμα οι σιδηροδρομικοι σταθμοι. Σε αυτο το σημειό αξι ζει να παρατηρηθει πως τα δεδομε να μας ει χαν κα ποιες εσφαλμε νες μετρη σεις κατα την λη ψη του στι γματος για τις συντεταγμε νες ε ναρξης του δρομολογιόυ καθω ς ο πως μπορει τε να διαπιστω σετε υπα ρχουν ορισμε να στι γματα εντο ς της θα λασσας. Αν ανατρε ξουμε ο μως στην προηγου μενη εικο να, στην εικο να 2.1 τα στι γματα αυτα ει ναι μεμονωμε να και αποτελου ν προφανω ς αμελητεά ποσο τητα, συγκρι νοντας τα με το συ νολο των στιγμα των που αγγι ζει τα 4,4 εκατομμυ ρια στι γματα. 2.3 Στατιστικη ανα λυση για τα δεδομε να Απρι λιος - Σεπτε μβριος 2014 Αφου απεικονι σαμε τα δεδομε να πα νω στον χα ρτη του Manhattan και της ευρυ τερης περιοχη ς της Νεάς Υο ρκης, δηλαδη την απεικο νιση στον χω ρο αυτω ν των δεδομε νων ει ναι ω ρα να δου με και κα ποια μεγε θη που αφορου ν πλεόν την κατανομη στον χρο νο αυτω ν των δεδομε νων Στην παρακα τω εικο να μπορου με να δου με ε να ιστο γραμμα που αφορα τον μη να στον οποιό ανη κουν αυτα τα δεδομε να. Σχη μα 2.3: Πλη θος δρομολογιών ανα μη να. (Πηγη :[6]) Μη νας Συ νολο δρομολογιών Απρι λιος Μαίος Ιου νιος Ιου λιος Αυ γουστος Σεπτε μβριος Συ νολο Πι νακας 2.1: Δρομολο για ανα μη να για τα δεδομε να Απρι λιος - Σεπτε μβριος 2014

23 2.3. Στατιστικη ανα λυση για τα δεδομε να Απρι λιος - Σεπτε μβριος Ει ναι εμφανε ς πως στο σχη μα 2.3 διακρι νουμε μιά διαρκη α νοδο της ζη τησης των Uber ο σο περνου ν οι μη νες. Λο γω των περιορισμω ν στα δεδομε να που μας παρε χονται ο πως δεν ει μαστε ακο μα ικανοι να κρι νουμε αν αυτη η α νοδος οφει λεται στο γεγονο ς ο τι τους καλοκαιρινου ς μη νες υπα ρχει αυ ξηση της κινητικο τητας η αν οφει λεται στο γεγονο ς ο τι τα Uber παρουσια ζουν ε ντονη α νοδο στην δημοφιλιά τους μεταξυ των κατοι κων της Νεάς Υο ρκης. Αφη νουμε ε να μικρο ερωτηματικο εδω το οποιό θα σας το απαντη σουμε στη συνε χεια, κατα την ανα λυση των δεδομε νων που αφορου ν την περιόδο Ιανουα ριος - Ιου νιος Σχη μα 2.4: Συνολικη ζη τηση τους μη νες Απρι λιο και Μαίο. (Πηγη :[6]) Σχη μα 2.5: Συνολικη ζη τηση τους μη νες Ιου νιο και Ιου λιο. (Πηγη :[6])

24 10 Κεφα λαιο 2. Απεικο νιση, χαρτογρα φηση και στατιστικη ανα λυση δεδομε νων Σχη μα 2.6: Συνολικη ζη τηση τους μη νες Αυ γουστο και Σεπτε μβριο. (Πηγη :[6]) Στο επο μενο σχη μα θα δου με ε να ιστο γραμμα που αφορα την με ρα κατα την οποιά ε χει γι νει κα θε δρομολο γιο. Σχη μα 2.7: Πλη θος δρομολογιών ανα ημε ρα της εβδομα δος. (Πηγη :[6]) Στο σχη μα 2.7 παρατηρου με ο τι τα δρομολο για που πραγματοποιου νται ει ναι περισσο τερα της καθημερινε ς παρα τα Σαββατοκυ ριακα. Ο πως μπορου με να διαπιστω σουμε παρατηρει ται πως η Πε μπτη ει ναι η ημε ρα με την περισσο τερη ζη τηση, ενω απο κοντα την ακολουθου ν η Παρασκευη και ακολου θως η Τετα ρτη. Ωστο σο ακο μα και η Τρι τη ε χει υψηλο τερη ζη τηση σε σχε ση με την Κυριακη, ενω Κυριακη και Δευτε ρα ει ναι οι λιγο τερο ε ντονες ημε ρες με αρκετη διαφορα μα λιστα απο τις υπο λοιπες, περι που 100 με 200 χιλια δες λιγο τερα δρομολο για απο τις υπο λοιπες ημε ρες. Αφου ει δαμε πως διαμορφω νεται η ζη τηση ανα μη να και ανα με ρα, θα δου με τω ρα πως μεταβα λλεται η κι νηση κατα τη δια ρκεια της ημε ρας. Στο παρακα τω ιστο γραμμα μπορει τε να δει τε πο σα δρομολο για ε γιναν κα θε ω ρα με σα στην ημε ρα.

25 2.4. Απεικο νιση και χαρτογρα φηση για τα δεδομε να Ιανουα ριος - Ιου νιος Ημε ρα Συ νολο δρομολογιών Κυριακη Δευτε ρα Τρι τη Τετα ρτη Πε μπτη Παρασκευη Σα ββατο Συ νολο Πι νακας 2.2: Δρομολο για ανα ημε ρα για τα δεδομε να Απρι λιος-σεπτε μβριος 2014 Σχη μα 2.8: Πλη θος δρομολογιών ανα ω ρα της ημε ρας. (Πηγη :[6]) Στο σχη μα 2.8 μπορει τε να δει τε πως ξεκινω ντας η ημε ρα, υπα ρχει μιά πρω τη αυ ξηση που κορυφω νεται στις 8ΠΜ το πρωι που κατα κυ ριο λο γο οφει λεται στην κι νηση που δημιουργει ται καθω ς ο κο σμος κατευθυ νεται προς τον εργασιακο του χω ρο. Η ζη τηση εξομαλυ νεται ακολου θως σε κα πως χαμηλο τερα επι πεδα με χρι και τις 1MM. Απο εκει και πε ρα αυξα νεται σταθερα και μεγα λα βη ματα με χρι τις 5MM ο που και παρουσια ζει το ολικο με γιστο κατα τη δια ρκεια της ημε ρας. Ακολου θως μειω νεται αλλα παραμε νει σε υψηλα επι πεδα με χρι και τις 10MM, απ ο που ακολου θως πε φτει δραματικα κατα τη δια ρκεια της νυ χτας. Παρατηρου με πως το δια στημα απο τις 3MM με χρι και τις 10MM η ζη τηση ει ναι τε τοια, που υπερβαι νει ακο μα και το πρωινο τοπικο με γιστο στις 8ΠM. 2.4 Απεικο νιση και χαρτογρα φηση για τα δεδομε να Ιανουα ριος - Ιου νιος 2015 Ο πως αναφε ρθηκε και νωρι τερα, για τα δεδομε να αυτα δεν διαθε τουμε πληροφοριές σχετικα με το γεωγραφικο πλα τος και το γεωγραφικο μη κος του κα θε δρομολογιόυ, παρα μο νο πληροφοριά σχετικα με τις βα σεις τις οποιές συνδεόνται. Προκειμε νου, ελλει ψει πληροφοριάς για γεωγραφικο πλα τος και μη κος να ε χουμε μια εικο να σχετικα με τα δεδομε να αυτου του συνο λου αντιστοιχι σαμε τις βα σεις στο δημοτικο διαμε ρισμα στο οποιά ανη κουν. Ε τσι γνωρι ζουμε πλεόν ποιε ς ει ναι οι συντεταγμε νες κα θε βα σης.

26 12 Κεφα λαιο 2. Απεικο νιση, χαρτογρα φηση και στατιστικη ανα λυση δεδομε νων Στις παρακα τω εικο νες θα δει τε με ε ναν γεμισμε νο κυ κλο την κα θε βα ση, και τις μεταβολε ς στη ζη τηση της κα θε βα σης ανα ω ρα. Σχη μα 2.9: Συνολικη ζη τηση στις ω ρες 0ΠΜ, 2ΠΜ (Πηγη :[6]) Σχη μα 2.10: Συνολικη ζη τηση στις ω ρες 4ΠΜ, 6ΠΜ (Πηγη :[6]) Σχη μα 2.11: Συνολικη ζη τηση στις ω ρες 8ΠΜ, 10ΠΜ (Πηγη :[6])

27 2.4. Απεικο νιση και χαρτογρα φηση για τα δεδομε να Ιανουα ριος - Ιου νιος Σχη μα 2.12: Συνολικη ζη τηση στις ω ρες 12ΠΜ, 2ΜM (Πηγη :[6]) Σχη μα 2.13: Συνολικη ζη τηση στις ω ρες 4ΜΜ, 6ΜΜ (Πηγη :[6]) Σχη μα 2.14: Συνολικη ζη τηση στις ω ρες 8ΜΜ, 10ΜΜ (Πηγη :[6]) Α λλη μια φορα μπορου με να παρατηρη σουμε την ε νταση της ζη τησης να αυξα νεται ο σο κατευθυνο μαστε προς το βρα δυ στα κεντρικα σημειά του Manhattan αλλα και κα ποια ε ντονα hotspots στο Queens και το Brooklyn.

28 14 Κεφα λαιο 2. Απεικο νιση, χαρτογρα φηση και στατιστικη ανα λυση δεδομε νων Αρχικα ας ε χουμε μια εικο να για το πως ορι ζονται οι συνοριακε ς γραμμε ς των προαστιών της Νεάς Υο ρκης Σχη μα 2.15: Τα δημοτικα διαμερι σματα της Νεάς Υο ρκης. Ενδιαφε ρον ο μως ε χει να δου με πως κατανε μεται η ζη τηση στα δημοτικα διαμερι σματα της Νεάς Υο ρκης. Αναλυόντας τα δεδομε να που ε χουμε, αφου αντιστοιχη σαμε βε βαια και την κα θε βα ση στην αντι στοιχη περιφε ρεια, ε χουμε: Δημοτικο διαμε ρισμα Total Pickups Manhattan Brooklyn Queens Bronx Staten Island NA EWR 105 Συ νολο Πι νακας 2.3: Δρομολο για ανα περιφε ρεια για τα δεδομε να Ιανουαριόυ - Ιουνιόυ 2015 Παρατηρου με πως το Manhattan ε χει την μερι δα του λεόντος στα δρομολο για που πραγματοποιει η Uber με περι που 4,5 φορε ς περισσο τερα απο το δευ τερο Brooklyn. Ακολουθει το Queens και μετα το Bronx. To Manhattan ο πως βλε πετε στον πι νακα 2.3 ε χει τα 10,3 απο τα 14,2 εκατομμυ ρια που ε γιναν σε αυτο το χρονικο δια στημα.

29 2.5. Στατιστικη ανα λυση για τα δεδομε να Ιανουα ριος - Ιου νιος Στατιστικη ανα λυση για τα δεδομε να Ιανουα ριος - Ιου νιος 2015 Σε αυτη την ενο τητα θα δου με λοιπο ν πως κατανε μονται αυτα τα δεδομε να στον χρο νο. Στο παρακα τω σχη μα βλε πετε το ιστο γραμμα που μας δει χνει πο σα δρομολο για πραγματοποιη θηκαν για κα θε μη να. Σχη μα 2.16: Ιστο γραμμα δρομολογιών ανα μη να των δεδομε νων του (Πηγη :[6]) Στην εικο να 2.3 αφη σαμε ε να κενο ερωτω μενοι αν η α νοδος του Uber οφει λεται στο ο τι οδευόυμε στους καλοκαιρινου ς μη νες η στην αυξανο μενη δημοφιλιά του. Ο πως ει δατε στην εικο να 2.17 παρατηρει ται και εδω μιά α νοδος ο σο κατευθυνο μαστε στους θερινου ς μη νες. Ας ρι ξουμε ο μως μιά ματια στη συ νθεση των ιστογραμμα των των σχημα των 2.16 και 2.3. Σχη μα 2.17: Συ γκριση δεδομε νων για τους διαθε σιμους μη νες. (Πηγη :[6]) Βλε πουμε πως υπα ρχει μιά ραγδαιά αυ ξηση στην χρη ση του Uber απο τον Σεπτε μβριο του 2014 με χρι

30 16 Κεφα λαιο 2. Απεικο νιση, χαρτογρα φηση και στατιστικη ανα λυση δεδομε νων και τον Ιανουα ριο του Επομε νως δεν σχετι ζεται σε καμιά περι πτωση η αυ ξηση αυτη με το ο τι πηγαι ναμε προς θερινου ς μη νες. Ει ναι προφανε ς ο τι η α νοδος του Uber ει ναι θεαματικη καθω ς αν κρι νουμε απο τους 3 μη νες για τους οποιόυς ε χουμε δεδομε να, τον Απρι λιο, τον Μαίο και τον Ιου νιο βλε πουμε πως με σα σε ε να χρο νο η ζη τηση γι νεται 4 με 6 φορε ς μεγαλυ τερη. Απο περι που 500 με 600 χιλια δες δρομολο για, φτα νουμε στα 2,25 με 2,75 εκατομμυ ρια δρομολο για. Ας δου με ο μως αυτη η ραγδαιά α νοδος πως αντικατοπτρι ζεται στα ιστογρα μματα το σο των ημερω ν της εβδομα δος, ο σο και των ωρω ν κατα τη δια ρκεια της ημε ρας. Στο ακο λουθο σχη μα βλε πετε την συ γκριση των ιστογραμμα των το σο για το 2014 ο σο και για το Σχη μα 2.18: Ημερη σια ιστογρα μματα για δεδομε να 2014 και (Πηγη :[6]) Αυτο που μπορου με να παρατηρη σουμε πε ραν της αυ ξησης η οποιά ει ναι ανα λογη με την α νοδο στα μεγε θη που παρατηρη σαμε και στους μη νες, ει ναι η μετατο πιση που υπα ρχει στην κορυ φωση της χρη σης του Uber. Πλεόν οι πολι τες της Νεάς Υο ρκης χρησιμοποιου ν πιο πολυ τα Uber τα Σαββατοκυ ριακα σε σχε ση με τις καθημερινε ς, κα τι που δεν ι σχυε το Στο παρακα τω σχη μα βλε πετε πως μεταβλη θηκε το ωριαιό ιστο γραμμα απο το 2014 στο 2015 Στο προηγου μενο ιστο γραμμα της εικο να 2.18 παρατηρη σαμε μια μεταβολη της κι νησης προς τα Σαββατοκυ ριακα. Α λλη μια μεταβολη βλε πουμε και εδω. Παρατηρου με πως σε συ γκριση με το 2014 υπα ρχει μια μετατο πιση των τοπικω ν αλλα και των ολικω ν μεγι στων κατα 2 ω ρες περι που. Πλεόν το τοπικο με γιστο του πρωινου ε χει παέι στις 8ΠΜ με 9ΠΜ απο τις 7ΠΜ με 8ΠΜ που η τανε. Επιπλεόν, τις βραδινε ς ω ρες η κορυ φωση μετατοπι ζεται στις 19MΜ απο τις 17ΜM. Αξιοσημειώτη ει ναι η ιδιαι τερη δημοφιλιά που αποκτα πλεόν το Uber τις πρω τες πρωινε ς ω ρες μετα τα μεσα νυχτα. Πλεόν τα δρομολο για που πραγματοποιου νται στις 12ΜΜ ε χουν γι νει σχεδο ν τα ι δια με αυτα του πρωινου τοπικου μεγι στου, κα τι που δεν ι σχυε το 2014 ο που η ταν σχεδο ν τα μισα. Τα στοιχειά αυτα, το σο του 2.18 ο σο και του 2.19 μας δει χνουν πως υπα ρχει μια τα ση να προτιμα ται περισσο τερο το Uber για την διασκε δαση του Σαββατοκυ ριακου αλλα και τις βραδινε ς εξο δους. Οι η εργα σιμες ημε ρες προφανω ς ε χουν διαφορετικο μοτι βο και μεταβολε ς εντο ς της ημε ρας ωστο σο δεν ε χουν κα ποια σημαντικη επιρροη στην συνολικη κι νηση της κα θε ημε ρας. Την κυ ρια προσοχη μας στη συνε χεια της εργασιάς μας θα αποσπα σει το Manhattan λο γω της υψηλη ς ζη τησης που ε χει αλλα και λο γω του ιδιο μορφου δυναμικου του πληθυσμου του. Ειδικη αναφορα στις τερα στιες ιδιαιτερο τητες οι οποιές διε πουν το Manhattan παρε χεται εδω [7]. Ενδεικτικα αξι ζει να αναφε ρουμε κα ποια μεγε θη αυτη ς της δυναμικη ς κατα στασης παραθε τοντας πληροφοριές απο το [7].

31 2.6. Δυναμικο ς πληθυσμο ς του Manhattan 17 Σχη μα 2.19: Ωριαιά ιστογρα μματα για δεδομε να 2014 και (Πηγη :[6]) 2.6 Δυναμικο ς πληθυσμο ς του Manhattan To Manhattan δεν μπορει να γι νει κατανοητο τον 21ο αιω να βασιζο μενοι σε σε συμβατικα με τρα της αστικη ς δραστηριο τητας του. Το Manhattan συνι σταται σε πολυ περισσο τερο απο τον σταθερο πληθυσμο που κατοικει σε αυτο και το ημερη σιο εργατικο δυναμικο του. Το νησι ε χει ε κταση 22,96 τετραγωνικα χιλιο μετρα και εξυπηρετει περι που 4 εκατομμυ ρια ανθρω πους σε μια τυπικη καθημερινη, 2,9 εκατομμυ ρια ανθρω πους σε μια με ρα του Σαββατοκυ ριακου και ο πληθυσμο ς τα βρα δια των καθημερινω ν αγγι ζει τα 2,05 εκατομμυ ρια. To Manhattan, με μο νιμο πληθυσμο περι τα 1,6 εκατομμυ ρια, διπλασια ζει τον ημερη σιο πληθυσμο του ως αποτε λεσμα το περι πλοκου δικτυόυ των του νελ, γεφυρω ν, τρε νων, ακτοπλοι κω ν, ποδηλατολορι δων και πεζο δρομων που συνδεόυν το Manhattan με τις πο λεις που το περιβα λλουν. Ο πληθυσμο ς των κατοι κων δεν περιλαμβα νει τους 1,6 εκατομμυ ρια ανθρω πους που μπαι νουν στο Manhattan κα θε ημε ρα της εβδομα δας, η τους εκατοντα δες χιλια δες επισκε πτες που ε ρχονται για τα αξιοθεάτα του Manhattan αλλα και για τα νοσοκομειά, πανεπιστη μια και νυχτερινα κε ντρα. Θα δου με παρακα τω μερικου ς ακο μη αριθμου ς που θα μας βοηθη σουν να ε χουμε μια ακο μη καλυ τερη εικο να σχετικα με τον ο γκο των ανθρω πων που εισε ρχονται και εξε ρχονται απο το Manhattan σε κα θε εικοσιτετραώρο. Επι σης θα δει τε παρακα τω μια εκτι μηση του με γιστου πληθυσμου του Manhattan κατα τη δια ρκεια μιας τυπικη ς εργα σιμης ημε ρας. Παρα τα 1,6 εκατομμυ ρια μο νιμους κατοι κους μπορου με να που με πως το Manhattan ει ναι μια πο λη τεσσα ρων εκατομμυριών κατοι κων. 1. O ημερη σιος πληθυσμο ς του Manhattan ει ναι περι που 3,94 εκατομμυ ρια. Συ μφωνα με την απογραφη ο πληθυσμο ς της ημε ρας χα νει περι που ε να τε ταρτο του συνολικου πληθυσμου η περι που ανθρω πους. Ο ημερη σιος πληθυσμο ς αποτελει ται απο περι που 1,61 εκατομμυ ρια μετακινου μενους εργα τες, 1,46 εκατομμυ ρια τοπικου ς κατοι κους, επισκε πτες εκτο ς πο λης, τοπικου ς ημερη σιους επισκε πτες, ασθενει ς νοσοκομειόυ και περι που μετακινου μενους μαθητε ς. 2. To 52% του πληθυσμου της απογραφη ς του Manhattan αποτελει ται απο α τομα που δεν κατοικου ν στο Manhattan και μετακινου νται εκει για τις δουλειές τους. Κα θε με ρα 1,63 εκατομμυ ρια

32 18 Κεφα λαιο 2. Απεικο νιση, χαρτογρα φηση και στατιστικη ανα λυση δεδομε νων α τομα πηγαι νουν στο Manhattan για δουλεια ενω απο τους κατοι κους του Manhattan πηγαι νουν αλλου για δουλεια. 3. Συ μφωνα με τον ορισμο του ημερη σιου πληθυσμου κατα την απογραφη υπα ρχουν περι που 3,1 εκατομμυ ρια α νθρωποι στο Manhattan κατα τη δια ρκεια της ημε ρας ενω τη νυ χτα ε χουμε περι που 1,6 εκατομμυ ρια ανθρω πους. 4. Τα σαββατοκυ ριακα ο πληθυσμο ς κατα τη δια ρκεια της ημε ρας αγγι ζει περι που τα 2,9 εκατομμυ ρια ανθρω πους, με εργα τες που μετακινου νται προς εκει και 1,54 εκατομμυ ρια κατοι κους της περιοχη ς. Ο πληθυσμο ς κατα τη δια ρκεια της νυ χτας για μια καθημερινη ει ναι περι που 2,05 εκατομμυ ρια, κα τι που σημαι νει ο τι μπορει να ει ναι με χρι περισσο τεροι α νθρωποι στο Manhattan τη νυ χτα αποτελου μενοι απο νυχτερινου ς εργα τες, επισκε πτες για βραδινη ε ξοδο απο τα υπο λοιπα δημοτικα διαμερι σματα, ασθενει ς νοσοκομειών και επισκε πτες που διανυκτερευόυν επιπλεόν απο τους 1,58 εκατομμυ ρια κατοι κους. 5. Ο συνολικο ς αριθμο ς των ανθρω πων στο Manhattan μπορει να ποικι λει δραματικα σε διαφορετικε ς ω ρες της ημε ρας και της εβδομα δας. Οι εκτιμη σεις του πληθυσμου που βασι ζονται στον τοπικο πληθυσμο μας δι νουν μετρη σεις για κα θε γειτονια, αλλα η πυκνο τητα του πληθυσμου για περιοχε ς-κλειδια ο πως το Manhattan ει ναι ιδιαι τερα μεγαλυ τερη κατα τη δια ρκεια της ημε ρας με την ει σοδο των ανθρω πων και ορισμε νες περιοχε ς ελκυόυν επισκε πτες τη νυ χτα πε ραν του μονι μου πληθυσμου των. 6. Γεγονο τα που αυξα νουν κατακο ρυφα τον πληθυσμο, η γεγονο τα ημερη σιων εκδρομω ν, ελκυ ουν εντο ς του Manhattan ανθρω πους απο ολο κληρη την πο λη και την υπο λοιπη περιοχη θα μπορου σαν να εκτοξευ σουν τον πληθυσμο πολυ περισσο τερο απο τα 4 εκατομμυ ρια και ι σως στα 5 εκατομμυ ρια, αναλο γως πα ντοτε τις συνθη κες. 7. Το Manhattan ε χει την μεγαλυ τερη αυ ξηση στον πληθυσμο κατα τη δια ρκεια της ημε ρας ανα μεσα σε ο λες τις χω ρες των Ηνωμε νων Πολιτειω ν η διοικητικω ς ισοδυ ναμες περιοχε ς τυ που περιφερειω ν (+1,49 εκατομμυ ρια), και την υψηλο τερη αναλογιά μεταξυ του πληθυσμου της ημε ρας και της νυ χτας (1,92), το οποιό μας λεέι ο τι υπα ρχουν στο Manhattan περι που διπλα σιοι α νθρωποι κατα τη δια ρκεια της ημε ρας σε σχε ση με τη νυ χτα κατα τη δια ρκεια μιας τυπικη ς εργα σιμης ημε ρας. 8. Το Queens, το Brooklyn, και το Bronx, με αυτη την σειρα, ε χουν τη μεγαλυ τερη πτω ση σε πληθυσμο κατα τη δια ρκεια της ημε ρας, και συγκεκριμε να στο Queens βρι σκονται περι που λιγο τεροι α νθρωποι κατα τη δια ρκεια της ημε ρας σε σχε ση με τη νυ χτα. 9. Τε σσερις απο τους πε ντε ανθρω πους που πηγαι νουν κα θε με ρα στο Manhattan απο τα ε ξω δημοτικα διαμερι σματα πηγαι νουν στη δουλεια τους με δημο σια συγκοινωνιά κα θε ημε ρα: 50,1% με σω subway, 17,1% με τρε νο, και 13,8% με σω λεωφορειόυ. Οι τελευταιές τα σεις στην χρη ση του subway μας δει χνουν ο τι η μεγαλυ τερη αυ ξηση στα ταξι δια κατα τη δια ρκεια της ημε ρας την τελευταιά δεκαετιά πραγματοποιου νταν κατα τις ω ρες αργα το βρα δυ, απο τις 7ΜΜ με χρι τις 6ΠM, και κατα τη δια ρκεια των σαββατοκυ ριακων, υπογραμμι ζοντας ο τι οι εισροε ς, οι εκροε ς αλλα και οι μετακινη σεις εντο ς του Manhattan δεν γι νονται πια κατα τη δια ρκεια ωρω ν αιχμη ς. 10. Η δυνατο τητα του Manhattan να φιλοξενει μεγα λο ο γκο ροω ν πληθυσμου επιτρε πει να εξυπηρετει ως ε νας το πος με πολυ μεγα λο αριθμο συναλλαγω ν. Ο πως αναφε ραμε ο μως και νωρι τερα, το κυ ριο κομμα τι στο οποιό θα εστια σουμε στο συ νολο δεδομε νων που ε χουμε ει ναι ο αριθμο ς των δρομολογιών που πραγματοποιη θηκαν. Το σο απο την οπτικη γωνιά περιβαλλοντικω ν επιπτω σεων ο σο και απο την οπτικη γωνιά του εργασιακου τομεά, το να ε χουμε αυτοκι νητα που περιπλανω νται σε μια περιοχη ενω η ζη τηση ει ναι σε μια α λλη περιοχη η το να γεμι ζουμε τους δρο μους με αυτοκι νητα κατα τη δια ρκεια μια περιο δου με χαμηλη ζη τηση, ενω μπορει να ε χουμε λι γα αυτοκι νητα κατα τη δια ρκεια ωρω ν αιχμη ς δεν ει ναι αποδοτικο.

33 2.7. Δημιουργιά ταινιω ν ζη τησης - Gaussian Heatmaps 19 Ας δου με ο μως και κα ποια α λλα στοιχειά στα δεδομε να μας που θα βοηθη σουν την ε ρευνα παραγο ντων που μας ενδιαφε ρουν. Ε νας πολυ σημαντικο ς παρα γοντας ει ναι σι γουρα το δημοτικο διαμε ρισμα. Οι διαφορε ς μεταξυ των διαφο ρων προαστιών ει ναι το σο μεγα λες που σι γουρα επιβα λλεται η δημιουργιά διαφορετικου μοντε λου για κα θε δημοτικο διαμε ρισμα. Αναμφισβη τητα, οι δια φορες περιοδικο τητες που θα μπορου σαμε να συναντη σουμε σε κα θε δημοτικο διαμε ρισμα ει ναι διαφορετικε ς. 2.7 Δημιουργιά ταινιω ν ζη τησης - Gaussian Heatmaps Επο μενο βη μα μας στον δρο μο για να καταλη ξουμε σε μια ακο μα πιο ακριβη εικο να σχετικα με την μεταβολη στη ζη τηση ει ναι η εξε ταση των δεδομε νων απο μια κοντινη σκοπια στο χω ρο λαμβα νοντας υπο ψιν και το σχετικο σφα λμα κα θε φορα των μετρη σεων μας πα νω στα δεδομε να που εξετα ζουμε. Προκειμε νου να αντιμετωπι σουμε το σχετικο χωρικο σφα λμα εισαγα γουμε για κα θε δρομολο γιο μια επιρροη στον περι γυρο του, το σο χρονικα ο σο και χωρικα. Χωρικα ορι σαμε το σημειό που ε γινε το δρομολο γιο ως το κε ντρο μιας 2D Gaussian κατανομη ς με παραμετροποιη σιμη ακτι να σ, ενω για το χρονικο σφα λμα θεωρη σαμε πως ο ταν ε να δρομολο γιο εμφανι ζεται σε συγκεκριμε νο γεωγραφικο πλα τος και μη κος, προσθε τει ε να βα ρος στο pixel στο οποιό περιλαμβα νονται οι συντεταγμε νες αυτε ς. Το βα ρος αυτο εξασθενει καθω ς προχωρα με στον χρο νο με καθορισμε νο και σταθερο, πλην ο μως παραμετροποιη σιμο με γεθος. Σχη μα 2.20: Δια γραμμα τυπικη ς απο κλισης Gaussian κατανομη ς. Σχη μα 2.21: Η επιρροη ενο ς δρομολογιόυ με κε ντρο το (0,0) στον περιβα λλοντα χω ρο.

34 20 Κεφα λαιο 2. Απεικο νιση, χαρτογρα φηση και στατιστικη ανα λυση δεδομε νων Με σα απο αυτη την αναπαρα σταση θα μπορε σουμε να δου με με μια α λλη σκοπια το πως μεταβα λλονται τα δεδομε να μας. Πλεόν η πληροφοριά μας δεν αφορα ολο κληρο το δημοτικο διαμε ρισμα του Manhattan αλλα μπορου με να δου με πα νω στο χα ρτη με τρο πο παρο μοιο με αυτο ν που ει δαμε στην εικο να 2.2 την αυξομειώση μαζι με την πιθανη διακυ μανση το σο στο χω ρο ο σο και στο χρο νο ο χι μο νο για μεταβολη που αφορα ο λες τις ω ρες η ο λες τις με ρες, αλλα θα δου με μια συνεχω ς κινου μενη αλληλουχιά απο frames που μας δι νει ζωντανα την κι νηση για κα θε ω ρα και κα θε με ρα. Κα θε frame αφορα την εικο να που υπα ρχει για τα δρομολο για που πραγματοποιη θηκαν συγκεκριμε νη ω ρα και συγκεκριμε νη με ρα. Για παρα δειγμα μια ταινιά που μας δει χνει την μεταβολη της ζη τησης για ε να μη να ε χει = 720 frames. Στα παρακα τω σχη ματα θα δει τε ενδεικτικα κα ποια screens απο τις ταινιές που παρη χθησαν. Ας πα ρουμε αρχικα τον Σεπτε μβριο του 2014 που απο το πρω το συ νολο δεδομε νων ει χε την υψηλο τερη ζη τηση και ας δου με πως μεταβα λλεται στο χω ρο και τον χρο νο αυτη. Στις παρακα τω εικο νες μπορει τε να δει τε την συνολικη κι νηση για κα θε 2 ω ρες με σα στο μη να. Σχη μα 2.22: Συνολικη ζη τηση στις ω ρες 0ΠΜ, 2ΠΜ, 4ΠΜ Σχη μα 2.23: Συνολικη ζη τηση στις ω ρες 06ΠΜ, 08ΠΜ, 10ΠΜ Σχη μα 2.24: Συνολικη ζη τηση στις ω ρες 12ΜΜ, 2ΜΜ, 4ΜΜ

35 2.7. Δημιουργιά ταινιω ν ζη τησης - Gaussian Heatmaps 21 Σχη μα 2.25: Συνολικη ζη τηση στις ω ρες 6ΜΜ, 8ΜΜ, 10ΜΜ Μπορου με να παρατηρη σουμε στην εικο να 2.22 πως τις πρω τες μεταμεσονυ χτιες ω ρες η κυ ρια ζη τηση εντοπι ζεται στην περιοχη του Chelsea και στη νοτιοανατολικη περιοχη του νησιου. Η κι νηση εξασθενει κατα τις 2ΠΜ ενω στις 4ΠΜ υπα ρχει πολυ χαμηλη ζη τηση.στην εικο να 2.23 βλε πουμε πως στις 6ΠΜ αρχι ζουν και ξυπνου ν κα ποιες περιοχε ς οι οποιές και πληθαι νουν σταθερα με χρι τις 10ΠΜ ο που ο κο σμος ε χει πλεόν κατευθυνθει στον εργασιακο του χω ρο. Στην συνε χεια, στην εικο να 2.24 βλε πουμε πως πλεόν η κι νηση αρχι ζει και περιορι ζεται χωρικα στο κε ντρο του Manhattan ωστο σο αυξα νεται σε ε νταση και ειδικο τερα γυ ρω απο τις περιοχε ς οι οποιές εντα σσονται γυ ρω απο την 5η και 6η λεωφο ρο και τις εγγει ς περιοχε ς στα νοτιοανατολικα του Central Park. Η ζη τηση παραμε νει υψηλη σε Penn Station και Grand Central Station. Στην α νω δεξια γωνιά του χα ρτη μπορει τε να δει τε την υψηλη ζη τηση που υπα ρχει στο αεροδρο μιο LaGuardia η οποιά και παραμε νει υψηλη καθ ο λη τη δια ρκεια της ημε ρας. Προς τις βραδινε ς ω ρες, στην εικο να 2.25 βλε πουμε πως η κι νηση αρχι ζει και διαχεέται στη νο τια πλευρα του νησιου με τα πιο ε ντονα hotspots να μετατοπι ζονται εκει αφη νοντας την ε ντονη δραστηριο τητα τους κατα τη δια ρκεια της ημε ρας, σε περιοχε ς ο πως τα νοτιοανατολικα του Central Park. Ας δου με τω ρα την μεταβολη της ζη τησης για την πρω τη εβδομα δα του Σεπτεμβριόυ, για κα θε ημε ρα απο τις 7 στις 8ΜΜ. Η 1η Σεπτεμβριόυ του 2014 ει ναι ημε ρα Δευτε ρα. Σχη μα 2.26: Ζη τηση στις Δευτε ρα 1, Τρι τη 2, Τετα ρτη 3 Σεπτεμβριόυ 2014 Σχη μα 2.27: Ζη τηση στις Πε μπτη 4, Παρασκευη 5, Σα ββατο 6 Σεπτεμβριόυ 2014

36 22 Κεφα λαιο 2. Απεικο νιση, χαρτογρα φηση και στατιστικη ανα λυση δεδομε νων Σχη μα 2.28: Ζη τηση την Κυριακη 7 Σεπτεμβριόυ 2014 Αξι ζει να σημειωθει πως η Δευτε ρα 1 Σεπτεμβριόυ ει ναι Εθνικη Αργιά στις Η.Π.Α. καθω ς θεωρει ται ημε ρα εργασιάς. Βλε πουμε πως στις 8ΜΜ η κι νηση ει ναι πιο ε ντονη τις ημε ρες Τετα ρτη, Πε μπτη και Παρασκευη, ενω το Σαββατοκυ ριακο ει ναι φανερα ελαττωμε νη. Ασφαλω ς και αυτο το παρα δειγμα δεν περιγρα φει μιά γενικη εικο να για την κι νηση που υπα ρχει κα θε εβδομα δα καθω ς αποτελει μια τυχαιά επιλογη εβδομα δας. 2.8 Αντιστοι χιση δρομολογιών στην κοντινο τερη διασταυ ρωση Στη συνε χεια επιχειρη σαμε να φτα σουμε ακο μα πιο κοντα στο επι πεδο του χω ρου λαμβα νοντας υπο ψιν τις συντεταγμε νες ο λων των χαρτογραφημε νων διασταυρω σεων του Manhattan και της ευρυ τερη περιοχη ς της Νεάς Υο ρκης. Για το σκοπο αυτο χρησιμοποιη σαμε το πακε το εντολω ν για MATLAB του [8]. Στο παρακα τω σχη μα βλε πετε ο λες τις διασταυρω σεις που λα βαμε υπο ψιν: Σχη μα 2.29: Σημειά διασταυρω σεων της Νεάς Υο ρκης. Ακολου θως βα λαμε τις συντεταγμε νες των διασταυρω σεων που μας επε στρεψε το openstreetmap της

37 2.9. Δημιουργι α χρονοσειρω ν 23 εικο νας 2.29 πα νω στον χα ρτη που η δη ει χαμε απο το MATLAB και ε χουμε πλε ον μια καλυ τερη εικο να των αποτελεσμα των. Αξι ζει να σημειωθει πως στην εικο να 2.30 βλε πεται και κα ποιες διασταυρω σεις οι οποι ες δεν αφορου ν οδικε ς αρτηρι ες, ο πως για παρα δειγμα μια πληθω ρα μονοπατιω ν εντο ς του Central Park αλλα και δια φορα α λλα. Ωστο σο, λο γω της ε λλειψης δρομολογι ων σε αυτε ς τις περιοχε ς θα δει τε πως μετα την αντιστοι χιση δεν επηρεα ζουν το αποτε λεσμα καθω ς πλε ον θα αντιστοιχου ν σε κο μβους οι οποι ο ει ναι χωρι ς κανε να δρομολο γιο κοντα τους και ε τσι δεν θα μελετηθου ν. Χρησιμοποιω ντας την με θοδο του κοντινο τερου γει τονα αντιστοιχη σαμε κα θε καταγεγραμμε νο δρομολο γιο που ει δαμε στην εικο να 2.1 στην κοντινο τερη του διασταυ ρωση. Στην ουσι α αυτο που κα ναμε, η ταν να μετατοπι σουμε τις συντεταγμε νες κα θε δρομολογι ου, στις συντεταγμε νες της κοντινο τερης του διασταυ ρωσης. Ε τσι σε κα θε διασταυ ρωση ε χουμε πλε ον τα δρομολο για που πραγματοποιη θηκαν στο εγγυ ς χωρικο της περιβα λλον. Προκειμε νου να γι νει αυτη η αντιστοι χιση ο σο το δυνατο ν πιο αντιπροσωπευτικη γινο ταν, σκεφτη καμε και α λλες εκδοχε ς, ο πως η αντιστοι χιση κα θε δρομολογι ου σε 2 η περισσο τερες διασταυρω σεις με η χωρι ς διανυ σματα βα ρους ανα λογα με την απο σταση απο κα θε διασταυ ρωση. Ωστο σο αυτο θα οδηγου σε σε θεω ρηση διπλασιασμου η και n-πλασιασμου (ο που n ο αριθμο ς των κοντινο τερων γειτο νων) των συνολικω ν δεδομε νων ως προς επεξεργασι α και ε τσι η προ βλεψη που θα επιχειρου σαμε να κα νουμε στη συνε χεια, θα η ταν πιο ασφαλη ς και πολυ πιο επιτυχημε νη, καθω ς ο σο το δυνατο ν περισσο τερα τα δεδομε να, το σο πιο πολυ κα θε διασταυ ρωση θα προσομοι αζε με μια ευρυ τερη περιοχη, με αποτε λεσμα να ε χουμε λιγο τερες ανωμαλι ες και πιο ασφαλη συμπερα σματα. Σχη μα 2.30: Σημει α διασταυρω σεων της Νε ας Υο ρκης επι χα ρτη του MATLAB 2.9 Δημιουργι α χρονοσειρω ν Ε τσι τω ρα ο heatmap μας δει χνει την μεταβολη των τιμω ν της ζη τησης για τα εγγυ τερα σε κα θε διασταυ ρωση δρομολο για. Στη συνε χεια εκτελε σαμε τον κω δικα για την δημιουργι α αυτω ν των ταινιω ν σε ο λο το χρονικο ευ ρος των δεδομε νων μας, δηλαδη του 6 διαθε σιμους μη νες λαμβα νοντας ως χρονοσειρα την μεταβολη της ζη τησης σε κα θε διασταυ ρωση.

38 24 Κεφα λαιο 2. Απεικο νιση, χαρτογρα φηση και στατιστικη ανα λυση δεδομε νων Στα παρακα τω σχη ματα μπορει τε να δει τε δια φορα στιγμιο τυπα απο τις ταινιές που δει χνουν την μεταβολη της κι νησης σε κα θε διασταυ ρωση. Οι παρακα τω heatmaps δεν περιε χουν Gaussian επιρροη για κα θε διασταυ ρωση. Προκειμε νου να ει ναι διακριτο ς ο χρωματισμο ς της ε ντασης σε κα θε διασταυ ρωση, στις παρακα τω εικο νες ε χουμε εστια σει στην περιοχη του κεντρικου και βο ρειου Manhattan, απο το κε ντρο περι που του Manhattan με χρι και τα α νω ο ρια του Central Park. Στις παρακα τω εικο νες μπορου με να δου με με κο κκινο χρω μα τις διασταυρω σεις στις οποιές υπα ρχει η μεγαλυ τερη ζη τηση. Αυτε ς βρι σκονται κατα κυ ριο λο γο στα βο ρεια της 5ης και 6ης λεωφο ρου, στα νοτιοανατολικα του Central Park αλλα και σε δια φορες α λλες επιλεγμε νες περιοχε ς ενδιαφε ροντος. Στο Κεφα λαιο 4 θα εστια σουμε στις 24 πιο ε ντονες σε ζη τηση διασταυρω σεις. Σχη μα 2.31: Συνολικη ζη τηση στις ω ρες 0ΠΜ, 2ΠΜ. Σχη μα 2.32: Συνολικη ζη τηση στις ω ρες 4ΠΜ, 6ΠΜ

39 2.9. Δημιουργιά χρονοσειρω ν 25 Σχη μα 2.33: Συνολικη ζη τηση στις ω ρες 8ΠΜ, 10ΠΜ Σχη μα 2.34: Συνολικη ζη τηση στις ω ρες 12ΜΜ, 2ΜΜ Σχη μα 2.35: Συνολικη ζη τηση στις ω ρες 4ΜΜ, 6ΜΜ

40 26 Κεφα λαιο 2. Απεικο νιση, χαρτογρα φηση και στατιστικη ανα λυση δεδομε νων Σχη μα 2.36: Συνολικη ζη τηση στις ω ρες 8ΜΜ, 10ΜΜ 2.10 Μια διαφορετικη προσε γγιση του αντι στροφου προβλη ματος με τη χρη ση Kriging Σε αυτη την υποενο τητα θα αφιερω σουμε λι γο χω ρο για να αναφε ρουμε μια πιθανη προ ταση η οποιά θα μπορου σε να η ταν χρη σιμη ο ταν προσπαθου με να κατασκευα σουμε απο την αρχη, ει τε δεδομε να τα οποιά δεν ε χουν καλη ακρι βεια, ει τε δεδομε να τα οποιά ει ναι σε συγκεκριμε να σημειά του χω ρου. Προφανω ς η συγκεκριμε νη με θοδος δεν ε χει εφαρμογη στο συγκεκριμε νο τυ πο δεδομε νων που χρησιμοποιου με καθω ς και ε χουμε καλη ακρι βεια συντεταγμε νων αλλα και πολυ καλη πληροφοριά για τον χω ρο στον οποιό μπορου ν να βρι σκονται τα δεδομε να. Να σημειωθει πως η παρου σα ενο τητα αναφε ρεται αυτοτελω ς σχετικα με την διαδικασιά της προ βλεψης και αποτελει απλα μια προσε γγιση που ε γινε χωρι ς να ε χει σχε ση ει τε με τις χρονοσειρε ς που παρη χθησαν ει τε με την προ βλεψη με σω του Extended Discrete Fourier Transform στον οποιό θα εστια σουμε πιο αναλυτικα στη συνε χεια. Η με θοδος αυτη ει ναι η με θοδος του Krige [9] γνωστη και ως Kriging. Το Kriging, ει ναι ο γεωστατιστικο ς ο ρος που χρησιμοποιει ται για βε λτιστη γραμμικη προ βλεψη χωρικω ν διαδικασιω ν. Η προσπα θεια που κα ναμε για ανακατασκευη των δεδομε νων αφορου σε μο νο την χωρικη προ βλεψη περιοχω ν για τις οποιές θα μπορου σε για τον οποιονδη ποτε λο γο να μην διαθε τουμε δεδομε να. Χρησιμοποιει ται κατα κυ ριο λο γο στους τομει ς της γεωλογιάς, της υδρολογιάς, της περιβαλλοντικη ς παρακολου θησης και σε α λλους τομει ς που αφορου ν την παρεμβολη σε χωρικα δεδομε να. Δεν ε χει χρησιμοποιηθει ακο μα σε τε τοια προβλη ματα και η αποτελεσματικο τητα του θεωρει ται αμφι βολη. Παρα την εκτεταμε νη χρη ση του, δεν υπα ρχει ακο μα κα ποια θεωρητικη βα ση για την απο δοση του Kriging ο ταν πρε πει να εκτιμηθει κα ποια πτυχη της δομη ς εξα ρτησης της χωρικη ς διαδικασιάς, πρα γμα που συμβαι νει γενικα στην πρα ξη, ο πως και στο δικο μας παρα δειγμα.η διαδικασιά που ακολουθη θηκε ει ναι η εξη ς. Στην εικο να 2.37 βλε πετε τα δεδομε να που ει χαμε στην αρχη και πως τα φιλτρα ραμε προκειμε νου να θεωρη σουμε πως ε χουμε πληροφοριά μο νο απο διασταυρω σεις με ε ντονη κι νηση.

41 2.10. Μια διαφορετικη προσε γγιση του αντι στροφου προβλη ματος με τη χρη ση Kriging 27 Σχη μα 2.37: α) Δεδομε να διασταυρω σεων, β) Διατη ρηση μο νο ε ντονων σε ζη τηση διασταυρω σεων Στην εικο να 2.38 με τις μαυ ρες κουκκι δες μπορει τε να δει τε την δειγματοληψιά που ε γινε πα νω σε ε να συ νολο ε ντονων σε ζη τηση διασταυρω σεων. Επιλε ξαμε ο λες τις υψηλε ς σε ζη τηση διασταυρω σεις ως δει γματα μαζι με μιά ομοιο μορφη δειγματοληψιά των κενω ν απο ζη τηση περιοχω ν ο πως οι περιοχε ς εντο ς των ποταμω ν για παρα δειγμα. Σχη μα 2.38: Σημειά δειγματοληψιάς. Ακολου θως μπορει τε να δει τε την προ βλεψη που πραγματοποιη θηκε στα χωρικα δεδομε να με δια -

42 28 Κεφα λαιο 2. Απεικο νιση, χαρτογρα φηση και στατιστικη ανα λυση δεδομε νων φορες εντα σεις χρωμα των. Σχη μα 2.39: Προ βλεψη ζη τησης με σω Kriging με δια φορα colorbars.

43 Κεφα λαιο 3 O Extended Discrete Fourier Transform. O Extended Discrete Fourier Transform, ο πως και ο κω δικας edft.m αποτελου ν ε ργο του Vilnis Liepins ο πως αναφε ρεται στη βιβλιογραφιά και συγκεκριμε να στο [5]. Στο προηγου μενο κεφα λαιο παρουσια σαμε τον τρο πο με τον οποιό παρη χθησαν οι χρονοσειρε ς τις οποιές θα χρησιμοποιη σουμε για να προβλε ψουμε την ζη τηση σε κα θε διασταυ ρωση και ειδικο τερα σε εκει νες οι οποιές παρουσια ζουν την μεγαλυ τερη ε νταση και δυναμικη απο πλευρα ς κι νησης και ε ντασης δραστηριο τητας. Χαρακτηριστικα παραδει γματα τε τοιων περιοχω ν αποτελου ν οι διασταυρω σεις της νοτιοανατολικη ς περιοχη ς του Central Park, το αεροδρο μιο LaGuardia, το Penn Station, το Grand Central Station αλλα και η Times Square. Στο παρο ν κεφα λαιο θα παρουσιαστει το θεωρητικο υπο βαθρο του Επεκταμε νου Διακριτου Μετασχηματισμου Fourier - Extended Discrete Fourier Transform αλλα και ο αλγο ριθμος ο οποιός θα μας δω σει τα αποτελε σματα που αναζητου με. Θα παρουσιαστου ν επιπλεόν και τα συγκριτικα πλεονεκτη ματα της χρη σης του EDFT στην παρου σα εργασιά ε ναντι των η δη γνωστω ν υλοποιη σεων μετασχηματισμω ν Fourier FFT και DFT. Στο χος του αλγορι θμου δεν ει ναι α λλος απο το να χρησιμοποιη σουμε αυτο το εργαλειό με τε τοιο τρο πο ω στε να εκμεταλλευτου με την αναγνω ριση προτυ πων στις περιοδικο τητες που αναπτυ σσονται εντο ς του συνο λου των δεδομε νων εκπαι δευσης προκειμε νου να αναπαραστη σουμε με σω επε κτασης στον χρο νο τον μετασχηματισμο απο τη συχνο τητα στο χρο νο του νεόυ συχνοτικου περιεχομε νου το οποιό λαμβα νουμε απο τη χρη ση αυτου του αλγορι θμου. Ει ναι γνωστο πως ο ταν επιλε γουμε να καλε σουμε στο MATLAB τον dft με μη κος μεγαλυ τερο του μη κους των δεδομε νων που εισα γουμε σε αυτο ν, ο DFT λυ νει το προ βλημα των α γνωστων δεδομε νων της εισο δου τοποθετω ντας μηδενικα απο το τε λος των γνωστω ν δεδομε νων με χρι το επιθυμητο μη κος το οποιό εμει ς ορι σαμε στην ως ει σοδο στα ορι σματα της συνα ρτησης που καλε σαμε. O Extended DFT που χρησιμοποιου με στην παρου σα εργασιά λυ νει αυτο το προ βλημα με ε ναν διαφορετικο τρο πο, χρησιμοποιω ντας τον ακε ραιο μετασχηματισμο Fourier και βελτιω νει την βα ση μετασχηματισμου στο επεκταμε νο ευ ρος συχνοτη των χωρι ς να λαμβα νει αλλα ου τε και να θε τει περιορισμου ς στο χρο νο. Συνεπω ς ο αντι στροφος - Inverse DFT που εφαρμο ζεται στο αποτε λεσμα του EDFT εκτο ς απο τα η δη γνωστα δεδομε να, επιστρε φει και τα επεκταμε να στο χρο νο δεδομε να, κα τι το οποιό δεν θα μπορου σε να κα νει ο DFT, ο οποιός θα επε στρεφε απλα τα μηδενικα τα οποιά ει χαν τοποθετηθει νωρι τερα. Επιπλεόν επιτυγχα νεται μεγαλυ τερη ανα λυση σε συχνο τητες στις οποιές τα δεδομε να επεκτα θηκαν επιτυχω ς. Ε χει παρουσιαστει επι σης ο τι ο ΕDFT μπορει να επεξεργαστει δεδομε να με ελλειπη στοιχειά η κενα η ακο μα μη ομοιο μορφα κατανεμημε να δεδομε να. Ε τσι ο EDFT επεκτει νει σε μεγα λο βαθμο την χρη ση μεθο δων βασισμε νων στον DFT. O ΕDFT βρι σκει τη λυ ση με ε ναν επαναληπτικο τρο πο και απαιτει επαναλαμβανο μενους υπολογισμου ς για να φτα σει στην επιθυμητη νεά προσαρμοσμε νη βα ση και γιαυτο η αριθμητικη του πολυπλοκο τητα ει ναι πολυ μεγαλυ τερη συγκρινο μενη με αυτη του DFT. Αυτο το μειονε κτημα η ταν ε να αρκετα σημαντικο προ βλημα στη δεκαετιά του 1990 ο που προτα θηκε αυτη η με θοδος. Ευτυχω ς, απο τη στιγμη που η υπολογιστικη ισχυ ς ε χει αυξηθει κατα πολυ απο το τε η εφαρμογη του EDFT μπορει να θεωρηθει ως μιά πολυ καλη εναλλακτικη. 29

44 30 Κεφα λαιο 3. O Extended Discrete Fourier Transform. 3.1 Εισαγωγη Ο μετασχηματισμο ς Fourier αποτελει ε να πολυ ισχυρο εργαλειό για ανα λυση σημα των και αναπαρα σταση μιάς πραγματικη ς η φανταστικη ς συνα ρτησης χρο νου x(t) (απο εδω και καθεξη ς θα αναφε ρεται ως ση μα) στην περιοχη των συχνοτη των. F (ω) = + x(t)e jωt dt, (3.1) x(t) = 1 2π + F (ω)e jωt dω. (3.2) Η ιδιο τητα της ορθογωνιο τητας παρε χει μιά βα ση για την επιλεκτικη ανα λυση συχνο τητας ση ματος + e jω 0t e jωt dt = 2πδ(ω ω 0 ), (3.3) ο που ω, ω 0 ει ναι οι κυκλικε ς συχνο τητες και δ(ω ω 0 ) ει ναι η συνα ρτηση δε λτα του Dirac. Δυστυχω ς, ο υπολογισμο ς του μετασχηματισμου Fourier συ μφωνα με την 3.1 απαιτει γνω ση του ση ματος x(t) καθω ς και την πραγματοποιήση ολοκλη ρωσης στο α πειρο χρονικο δια στημα. Επομε νως, για τον πρακτικο υπολογισμο του 3.1 αριθμητικα, η περιόδος εξε τασης του ση ματος και το δια στημα της ολοκλη ρωσης περιορι ζεται πα ντα απο μιά πεπερασμε νη τιμη Θ, Θ/2 t Θ/2. Το ι διο ισχυέι για την ανα λυση των δειγματισμε νων εκδοχω ν του ση ματος x(t), το σο για ση ματα μη ομοιο μορφης δειγματοληψιάς x(t k ) ο σο και για ση ματα ομοιο μορφης δειγματοληψιάς x(kt ), k =,..., 1, 0, 1,.... Μο νο ε να πεπερασμε νο μη κος της ακολουθιάς x(t k ) η x(kt ), k = 0, 1, 2,... γι νεται αντικει μενο της ανα λυσης Fourier, ο που Κ ει ναι το διακριτο μη κος της ακολουθιάς, Τ η περιόδος δειγματοληψιάς και η περιόδος παρατη ρησης του ση ματος ισου ται με Θ = t K 1 t 0 η Θ = KT. Για να αποφευχθει το aliasing του ση ματος και να ικανοποιει ται το ο ριο του Nyquist, θα πρε πει να πραγματοποιηθει ομοιο μορφη δειγματοληψιά με περιόδο δειγματοληψιάς T π/ω, ο που Ω ει ναι η ανω τερη κυκλικη συχνο τητα ενο ς ση ματος x(t). Παρα το γεγονο ς ο τι η μη ομοιο μορφη δειγματοληψιά δεν ε χει τε τοιους αυστηρου ς περιορισμου ς στη με ση περιόδο δειγματοληψιάς, T s = Θ/K, στην υποκει μενη ανα λυση υποθε τουμε ο τι και οι δυό ακολουθιές, x(t k ) και x(kt ), πηγα ζουν-προε ρχονται απο ε να band-limited στο Ω ση μα x(t). Παρακα τω βλε πουμε τις βασικε ς εκφρα σεις της κλασσικη ς αλλα και της επεκταμε νης ανα λυσης Fourier συνεχω ν σημα των x(t) αλλα και σημα των που προη λθαν απο δειγματοληψιά αυτου x(t k ) και x(kt ). 3.2 Διατυ πωση του προβλη ματος Βασικε ς εκφρα σεις της κλασικη ς ανα λυσης Fourier Στην κλασικη ανα λυση Fourier διαθε τουμε τους παρακα τω τυ πους για μετασχηματισμου ς Fourier πεπερασμε νου χρο νου. F Θ (ω) = F Θ (ω) = +Θ/2 Θ/2 K 1 k=0 x(t)e jωt dt, (3.4) x(t k )e jωt k, (3.5)

45 3.2. Διατυ πωση του προβλη ματος 31 F Θ (ω) = x Θ (t) = 1 2π K 1 k=0 +Ω Ω x(kt )e jωkt, (3.6) F Θ (ω)e jωt dω. (3.7) ο που η 3.7 ει ναι ο αντι στροφος μετασχηματισμο ς Fourier που παι ρνουμε απο την 3.2 για ε να περιορισμε νων συχνοτη των ση μα με ανω τερη συχνο τητα μεγε θους Ω. Οι μετασχηματισμοι 3.5 και 3.6 ει ναι γνωστοι και ως Discrete Time Fourier Transforms (DTFT) σημα των μη ομοιο μορφης και ομοιο μορφης δειγματοληψιάς, αντι στοιχα. Οι τιμε ς των ανακατασκευασμε νων σημα των x Θ (t) εκτο ς της περιοχη ς που εξετα ζουμε το ση μα θα ει ναι μηδε ν η θα εξαφανι ζονται εξαρτω μενες απο το κατα πο σο η 3.7 εφαρμο ζεται στις 3.4 η 3.5 και 3.6. Το φα σμα ε ντασης του ση ματος ισου ται με τον μετασχηματισμο Fourier 3.4, 3.5, 3.6 διαιρου μενο με την περιοχη του χρο νου που μελετου με το ση μα. S Θ (ω) = 1 Θ F Θ(ω). (3.8) Η ανα λυση της συχνο τητας της κλασσικη ς ανα λυσης Fourier ει ναι αντιστρο φως ανα λογη στην περιοχη εξε τασης του ση ματος Θ, ε τσι ο σο μεγαλυ τερο ει ναι το δια στημα που λαμβα νουμε υπο ψιν για την ανα λυση του ση ματος, το σο υψηλο τερη ει ναι η ανα λυση που επιτυγχα νεται. Προφανω ς, μπορου με να πα ρουμε τον τυ πο 3.4 κα νοντας συ μπτυξη στα α πειρα ο ρια ολοκλη ρωσης στην 3.1 και τους 3.5, 3.6 ως αποτε λεσμα επι σης της αντικατα στασης των απει ρων αθροισμα των απο πεπερασμε να. Με σω αυτου του περιορισμου των διαστημα των παρατη ρησης η κλασσικη ανα λυση Fourier υποθε τει ο τι το ση μα μας ει ναι 0 ε ξω απο την περιοχη Θ. Με α λλα λο για ο υπολογισμο ς του μετασχηματισμου Fourier με σω των τυ πων 3.4, 3.5, 3.6 ει ναι σωστα αιτιολογημε νος ο ταν εφαρμο ζεται σε πεπερασμε να χρονικα ση ματα εντο ς του διαστη ματος μη κους Θ. Εναντιάς, ε να πεπερασμε νο στη συχνο τητα band-limited στο Ω ση μα δεν μπορει να ει ναι επι σης πεπερασμε νο στο χρο νο και προφανω ς δυ ναται να ε χει μη μηδενικε ς τιμε ς ε ξω απο το δια στημα μη κους Θ. Γενικα τα αποτελε σματα της ανα λυσης Fourier που λαμβα νονται χρησιμοποιω ντας την εκθετικη βα ση τει νουν στον μετασχηματισμο Fourier, αν Θ, ενω για κα θε πεπερασμε νο Θ μπορει να υπα ρχει μια α λλη βα ση μετασχηματισμου παρε χοντας ε ναν πιο ακριβη υπολογισμο του Βασικε ς εκφρα σεις της επεκταμε νης ανα λυσης Fourier Η κεντρικη ιδεά γυ ρω απο την Extended ανα λυση Fourier ει ναι η ευ ρεση της βα σης μετασχηματισμου, που μπορει να εφαρμοστει σε πεπερασμε να σε ευ ρος συχνοτη των ση ματα που βρι σκονται στο πεπερασμε νο χρονικο δια στημα Θ και δι νει αποτελε σματα ο σο το δυνατο ν πιο κοντα υπο τον περιορισμο της L 2 νο ρμας του μετασχηματισμου Fourier 3.1 που ορι ζεται σε ε να πεπερασμε νο χρονικο δια στημα. Οι τυ ποι της προτεινο μενης Extended Fourier Analysis μπορου ν να ει ναι οι εξη ς: F α (ω) = F α (ω) = F α (ω) = x α (t) = 1 2π +Θ/2 Θ/2 K 1 k=0 K 1 k=0 +Ω x(t)α(ω, t)dt, (3.9) x(t k )α(ω, t k ), (3.10) x(kt )α(ω, kt ), (3.11) Ω F α (ω)e jωt dω. (3.12)

46 32 Κεφα λαιο 3. O Extended Discrete Fourier Transform. ο που στη γενικη περι πτωση η νεά βα ση μετασχηματισμου α(ω, t), α(ω, t k ) και α(ω, kt ) δεν ισου ται με τις κλασσικε ς των τυ πων 3.4, 3.5, 3.6. Αξι ζει να σημειωθει ο τι ο αντι στροφος μετασχηματισμο ς Fourier 3.12 διατηρει την εκθετικη του βα ση. Για να βεβαιωθου με ο τι τα αποτελε σματα των μετασχηματισμω ν 3.9, 3.10, 3.11 ει ναι κοντα στα αποτελε σματα του 3.1 για το ση μα x(t), συνθε τουμε την παρακα τω ε κφραση ελαχι στων τετραγω νων που προσπαθου με να λυ σουμε. min a F (ω) F α (ω) 2. (3.13) Δυστυχω ς, ο πως αναφε ρθηκε και νωρι τερα, ο υπολογισμο ς του F (ω) για ε να ση μα πεπερασμε νων συχνοτη των δεν μπορει να πραγματοποιηθει απευθειάς. Γι αυτο, προκειμε νου να συνθε σουμε την σχε ση 3.13 πρε πει να βρεθει μια επαρκη ς αντικατα σταση. Σε αυτο το σημειό να θυμηθου με ο τι ε νας μιγαδικο ς εκθε της σε κυκλικη συχνο τητα ω 0 με μιγαδικο πλα τος S(ω 0 ) ορι ζονται στο α πειρο δια στημα χρο νου ως: x(ω 0, t) = S(ω 0 )e jω 0t, < t <. (3.14) O μετασχηματισμο ς Fourier του ση ματος που παρουσια ζεται στη σχε ση 3.13 μπορει να εκφραστει απο την συνα ρτηση Delta του Dirac 3.3 ως εξη ς: + x(ω 0, t)e jω 0t dt = 2πS(ω 0 )δ(ω ω 0 ), (3.15) Τω ρα θα χρησιμοποιη σουμε την σχε ση 3.14 ως ε να ση μα με γνωστο φα σμα ε ντασης στις συχνο τητες Ω ω 0 Ω και στον τυ πο 3.13 αντικαθιστου με το F (ω) με τον μετασχηματισμο Fourier του ση ματος απο τον τυ πο 3.15 και τα ση ματα x(t), x(t k )x(kt ) των σχε σεων 3.9, 3.10, 3.11 απο τα ση ματα τυ που 3.14 αντι στοιχα. Τε λος τα ολοκληρω ματα των σφαλμα των των ελαχι στων τετραγω νων και για τις τρεις παραπα νω περιπτω σεις των σημα των παι ρνουν τη μορφη : = = = +Ω Ω +Ω Ω +Ω Ω 2πS(ω 0 )δ(ω ω 0 ) +Θ/2 Θ/2 S(ω 0 )e jω 0t α(ω, t)dt 2 dω 0. (3.16) K 1 2πS(ω 0 )δ(ω ω 0 ) S(ω 0 )e jω 0t k α(ω, t k ) 2 dω 0. (3.17) k=0 K 1 2πS(ω 0 )δ(ω ω 0 ) S(ω 0 )e jω0kt α(ω, kt ) 2 dω 0. (3.18) Οι λυ σεις των 3.16, 3.17, 3.18 για ε να ορισμε νο ση μα ο πως το 3.14 παρε χουν τις βα σεις α(ω, t),α(ω, t k ) και α(ω, kt ) για τους Extended Fourier μετασχηματισμου ς 3.9, 3.10, Για να ελε γξουμε πο σο κοντα ει ναι το S(ω 0 ) στο amplitude spectrum των σημα των x(t), x(t k ) και x(kt ) θα βρου με τυ πους για να υπολογι σουμε το φα σμα του ευ ρους ση ματος S α (ω) στις βα σεις του Extended Fourier α(ω, t), α(ω, t k ) και α(ω, kt ). Ο τυ πος 3.15 δει χνει την συ νδεση μεταξυ του μετασχηματισμου Fourier του ση ματος x(t) και του ευ ρους φα σματος του, απο ο που το S(ω 0 ) μπορει να εκφραστει ως ο μετασχηματισμο ς Fourier του ση ματος διαιρου μενος με 2πδ(ω ω 0 ). Λαμβα νοντας υπο ψιν την 3.15, το S α (ω) υπολογι ζεται ως οι μετασχηματισμοι 3.9, 3.10, 3.11 διαιρου μενοι δια το 2πδ(ω ω 0 ) στην επεκταμε νη βα ση Fourier, η οποιά ορι ζεται απο τις σχε σεις 3.16, 3.17, 3.18 στην περι πτωση που Δ=0 και ω 0 = ω, k=0 S α (ω) = +Θ/2 Θ/2 x(t)α(ω, t)dt +Θ/2 Θ/2 ejωt α(ω, t)dt. (3.19)

47 3.3. Λυ ση του προβλη ματος 33 S α (ω) = S α (ω) = K 1 k=0 x(t k)α(ω, t k ) K 1 k=0 ejωt k α(ω, tk ). (3.20) K 1 k=0 x(kt )α(ω, kt ) K 1 k=0 ejωkt α(ω, kt ). (3.21) δει χνοντας ο τι το φα σμα του ευ ρους στη συχνο τητα ω υπολογι ζεται ως ο λο γος του Extended Fourier Transform προς τον μετασχηματισμο του εκθετικου με μοναδιαιό ευ ρος στην ι δια βα ση. Αυτο ισχυέι επι σης για τον κλασσικο μετασχηματισμο Fourier. Για παρα δειγμα, μετα την αντικατα σταση της εκθετικη ς βα σης α(ω, t) = e jωt στην 3.19 ο παρονομαστη ς ισου ται με Θ ο πως στον τυ πο 3.8 για την κλασσικη ανα λυση Fourier. Οι τιμε ς του παρονομαστη στους τυ πους 3.19, 3.20, 3.21 ει ναι αντιστρο φως ανα λογα στην αναλυτικο τητα της συχνο τητας του Extended Fourier Transform. Πριν βρου με την βα ση του Extended DFT για ε να οποιοδη ποτε αυθαι ρετο ση μα με κα ποιο S(ω 0 ) ει ναι λογικο να θεωρη σουμε ε να απλο ση μα σε ορθογωνικη μορφη, S(ω 0 ) = 1 για Ω ω 0 Ω και μηδενικα εκτο ς αυτου. Ε τσι οι σχε σεις 3.16, 3.17, 3.18 απλοποιου νται σε: = = = +Ω Ω +Ω Ω +Ω Ω 2πδ(ω ω 0 ) +Θ/2 Θ/2 e jω 0t α(ω, t)dt 2 dω 0. (3.22) K 1 2πδ(ω ω 0 ) e jω 0t k α(ω, t k ) 2 dω 0. (3.23) k=0 K 1 2πδ(ω ω 0 ) e jω0kt α(ω, kt ) 2 dω 0. (3.24) Οι λυ σεις των 3.22, 3.23, 3.24 μας επιτρε πουν να θεμελιω σουμε μια σχε ση μεταξυ της κλασσικη ς και της Extended ανα λυσης Fourier. k=0 3.3 Λυ ση του προβλη ματος Σε αυτη την ενο τητα θα λυ σουμε τους τυ πους 3.16, 3.17, 3.18 και 3.22, 3.23, 3.24 και θα πραγματοποιη σουμε ανα λυση των αποτελεσμα των που πη ραμε για να βρου με εκει νες τις λυ σεις που μπορου ν να μας οδηγη σουν σε εφικτου ς αλγορι θμους Extended Fourier Ανα λυση συνεχω ν στον χρο νο σημα των Η λυ ση του 3.22 για ση ματα συνεχου ς χρο νου x(t) μπορει να βρεθει με μερικη παραγω γιση 0, Θ/2 τ Θ/2, και μας οδηγει στην παρακα τω γραμμικη εξι σωση ολοκλη ρωσης: α(ω,t) = +Θ/2 Θ/2 sin(ω(t τ)) α(ω, t)dt = e jωτ. (3.25) π(t τ) H αναλυτικη λυ ση της εξι σωσης 3.25 δι νεται σε προγενε στερη ε κδοση του [5]. Τε λος η επιθυμητη βα ση λαμβα νεται εφαρμο ζοντας ε να συγκεκριμε νο συ στημα συναρτη σεων - prolate spheroidal wave functions ψ k (t), k = 0, 1, 2... και γρα φονται ως επε κταση σειρω ν: α(ω, t) = k=0 B k (ω) λ k ψ k (t). (3.26)

48 34 Κεφα λαιο 3. O Extended Discrete Fourier Transform. O μετασχηματισμο ς Fourier συνεχω ν σημα των στο χρο νο x(t) δι νεται απο : α k = 1 λ k = Θ/2 Θ/2 F α (ω) = x α (τ) = B k (ω)α k, Ω ω Ω. (3.27) k=0 ψ k (t)α k, τ. (3.28) k=0 S α (ω) = x(τ)ψ k (τ)dτ, λ k = K 1 k=0 B k(ω)α k K 1 k=0 B k(ω) 2. (3.29) Θ/2 Θ/2 ψ 2 k (t), B k(ω) = πθ λ k Ω ψ k(ω Θ 2Ω )( j)k. (3.30) O Extended Discrete Fourier Transform συ μφωνα με την 3.27 απαιτει ε ναν υπολογισμο απει ρων αθροισμα των, δηλαδη μιά α πειρη ποσο τητα μαθηματικω ν υπολογισμω ν και επομε νως θεωρει ται ακατα λληλος για εφαρμογε ς πρακτικου τυ που. Θεωρητικα, η τιμη του παρονομαστη K k=0 B k(ω) 2 στον τυ πο 3.29 τει νει στο για K και ο Extended Fourier Transform παρε χει μια ιδιαι τερα υψηλη ανα λυση - ε χοντας ε τσι τη δυνατο τητα να καθορι σει τον μετασχηματισμο Fourier για το α θροισμα ημιτονοειδω ν η μιγαδικω ν εκθετω ν, εα ν οι συχνο τητες τους διαφε ρουν κατα μια αυθαι ρετη μικρη πεπερασμε νη τιμη Extended Discrete Time Fourier Transform Σε αυτη την υποενο τητα λυ νονται οι εκτιμητε ς των minimum least squares 3.17, 3.18 και 3.23, 3.24 και λαμβα νονται οι Extended Fourier μετασχηματισμοι για ση ματα μιγαδικω ν τιμω ν που ε χουν υποστει ομοιο μορφη η μη δειγματοληψιά. Στις παρακα τω εξισω σεις χρησιμοποιου νται οι εξη ς συμβολισμοι : Τα superscripts X 1, X T, X, X H δηλω νουν αντι στροφο, ανα στροφο,συζυγη μιγαδικο και συζυγη μιγαδικο ανα στροφο (Ερμιτιανο ) του πι νακα X Το./ αναπαριστα διαι ρεση στοιχειόυ προς στοιχειόυ για 2 πι νακες με το ι διο μη κος (elementwise division). Το sum(x) σημαι νει προ σθεση ο λων των στοιχειών του πι νακα Χ. Το diag(x) σχηματι ζει δια νυσμα γραμμη ς ει τε παι ρνοντας τα στοιχειά της κυ ριας διαγωνιόυ απο τον τετραγωνικο πι νακα Χ ει τε βα ζει τα στοιχειά του διανυ σματος Χ στην κυ ρια διαγω νιο για να σχηματι σει ε να διαγω νιο πι νακα. Μιά συγκεκριμε νη λυ ση για ση ματα διακριτου χρο νου. Μπορου με να λυ σουμε τους 3.23, 3.24 με τον ι διο τρο πο που λυ σαμε τον 3.22 παι ρνοντας τις μερικε ς παραγω γους α(ω,t l ) = 0, α(ω,lt ) = 0, l = 0, 1, 2,..., K 1 και οδηγου μαστε ε τσι στο συ στημα των γραμμικω ν εξισω σεων: K 1 k=0 sin(ω(t k t l )) α(ω, t k ) = e jωt l. (3.31) π(t k t l )

49 3.3. Λυ ση του προβλη ματος 35 K 1 k=0 sin(ω(k l)t ) α(ω, kt ) = e jωlt. (3.32) π(k l)t Οι λυ σεις των ( ) σε μορφη πινα κων μπορου ν να εκφραστου ν ως εξη ς: a ω = R 1 e ω, (3.33) ο που a ω (Kx1) και e ω (Kx1) ει ναι οι βα σεις του Extended Fourier και η εκθετικη αντι στοιχα. Οι τυ ποι του Extended Discrete Time Fourier Transform (EDTFT) για το ση μα που πη ραμε ως μοντε λο με S(ω 0 ) = 1, Ω ω 0 Ω, προκυ πτουν απο την αντικατα σταση της βα σης μετασχηματισμου 3.33 στις εκφρα σεις 3.9, 3.10, 3.11, 3.12 και 3.19, 3.20, F α (ω) = x T R 1 e ω, Ω ω 0 Ω, (3.34) x α (t) = x T R 1 e t, t, (3.35) S α (ω) = xt R 1 e ω e H ω R 1 e ω. (3.36) Οι πι νακες για ση ματα με που δεν ε χουν υποστει ομοιο μορφη δειγματοληψιά x(t k ) συντι θενται ως εξη ς: x(kx1) για x(t k ), e ω (Kx1) για e jωt l, R(KxK) για r l,k = sinω(t k t l ), π(t k t l ) e t (Kx1) για e l = sinω(t t l), π(t t l ) Ακολουθιές οι οποιές ε χουν προε λθει απο ομοιο μορφη δειγματοληψιά τυ που x(kt ) μπορου ν να θεωρηθου ν ως ειδικη περι πτωση μη ομοιο μορφης δειγματοληψιάς τις χρονικε ς στιγμε ς t k = kt, k = 0, 1, 2,..., K 1, το τε οι πι νακες στις εξισω σεις 3.33, 3.34, 3.35, 3.36 διαμορφω νονται ως εξη ς: x(kx1) για x(kt ), e ω (Kx1) για e jωlt, R(KxK) για r l,k = e t (Kx1) για e l = sinω(k l)t π(k l)t, sinω(t lt ), π(t lt ) Πιο συγκεκριμε να, αν η δειγματοληψιά ενο ς ση ματος x(kt ) γι νεται κατα Nyquist, T = π/ω, o πι νακας R γι νεται ο μοναδιαιός πι νακας Ι και ο τυ πος 3.34 συμπι πτει με τον κλασσικο τυ πο του DTFT 3.6 αλλα ο τυ πος 3.36 απλοποιει ται στην πολυ γνωστη σχε ση μεταξυ του διακριτου μετασχηματισμου Fourier και του φα σματος του πλα τους F α (ω) = F Θ (ω) = x T e ω, (3.37) S α (ω) = 1 K xt e ω, (3.38) Ενω για ση ματα μη ομοιο μορφης δειγματοληψιάς x(t k ) ο πι νακας R I ακο μα και αν η με ση περιόδος δειγματοληψιάς ει ναι T s = π/ω και οι τυ ποι 3.34, 3.35, 3.36 μας δι νουν αποτελε σματα που ει ναι κοντα στην ομοιο μορφη περι πτωση και ανω τερα απο αυτα που μας επιστρε φονται απο τον κλασσικο

50 36 Κεφα λαιο 3. O Extended Discrete Fourier Transform. DTFT απο ση ματα μη ομοιο μορφης δειγματοληψιάς 3.5. Η ανα λυση της συχνο τητας και για τις δυό περιπτω σεις δειγματοληψιάς ισου ται με 1/KT και προ κειται για μια φυσιολογικη ανα λυση συχνο τητας. Παρα λληλα, για ση ματα που ε χουν υποστει υπερδειγματοληψιά ( με T s < π/ω ), η προσε γγιση του EDTFT μπορει να μας δω σει υψηλη αναλυτικο τητα στη συχνο τητα και καλυ τερη ποιο τητα στον υπολογισμο του φα σματος. Δυστυχω ς, το να επιτευχθου ν τε τοια αποτελε σματα περιορι ζεται απο την πεπερασμε νη ακρι βεια στους μαθηματικου ς υπολογισμου ς και απο περιορισμου ς στο ευ ρος των συχνοτη των στην διαδικασιά της δειγματοληψιάς ση ματος. Η θεωρητικη τιμη του παρονομαστη στην 3.36 ει ναι e H ω R 1 e ω = K και η ανα λυση της συχνο τητας μπορει να αυξηθει αναλογικα με τον αριθμο των δειγμα των στην περιόδο παρατη ρησης του ση ματος Θ. Στην οριακη περι πτωση, αν ο αριθμο ς των δειγμα των εντο ς του Θ αυξα νεται στο α πειρο, δηλαδη K, και το διακριτο στο χρο νο ση μα τει νει στο συνεχε ς στο χρο νο x(t), o EDTFT του 3.34 μας επιστρε φει το ι διο αποτε λεσμα με τον Γενικη λυ ση για ση ματα διακριτου χρο νου. Τω ρα θα υπολογι σουμε τη λυ ση των minimum least squares εκτιμητω ν σφαλμα των 3.17, 3.18 για ε να αυθαι ρετα επιλεγμε νο μοντε λο ση ματος με αυθαι ρετο S(ω 0 ). Οι τυ ποι που προκυ πτουν και για τους δυό εκτιμητε ς ει ναι ι διοι με αυτου ς που δι νονται στην προηγου μενη ενο τητα. Παι ρνουμε την μερικη παρα γωγο του 3.17 ως προς τη συνα ρτηση βα σης να ισου ται με 0, παρε χοντας την λυ ση των ελαχι στων τετραγω νων: α(ω,t l ) = 0, l = 0, 1, 2,..., K 1 +Ω Ω η οποιά μπορει να γραφτει και ως: K 1 k=0 ( K 1 ) 2πS(ω 0 )δ(ω ω 0 ) S(ω 0 )e jω 0t k α(ω, t k )dt S (ω 0 )e jω 0t l dω 0 = 0, (3.39) k=0 ( +Ω S(ω 0 ) 2 e jω 0(t k t l ) dω 0 )α(ω, t k ) = 2π Ω +Ω Ω S(ω 0 ) 2 e jω 0t l δ(ω ω 0 )dω 0, (3.40) Απο τις ιδιο τητες της συνα ρτησης Delta του Dirac ε χουμε + f(x)(x x 0)dx = f(x 0 ) και εφαρμο ζοντας αυτη την ιδιο τητα στη δεξια πλευρα της 3.40 ε χουμε την τελικη μορφη του συστη ματος των γραμμικω ν εξισω σεων: K 1 k=0 K 1 k=0 ( 1 2π ( 1 2π +Ω Ω +Ω Ω S(ω 0 ) 2 e jω 0(t k t l ) dω 0 ) α(ω, t k ) = S(ω 0 ) 2 e jω 0(t l ) S(ω) 2 e jω 0(k l)t dω 0 ) α(ω, kt ) = S(ω) 2 e jω 0(lT ) (3.41) (3.42) ο που το S(ω) 2 ει ναι η ισχυ ς του ση ματος για ω 0 = ω. Το συ στημα των γραμμικω ν εξισω σεων 3.42 βρι σκει εφαρμογη σε ση ματα που ε χουν υποστει ομοιο μορφη δειγματοληψιά x(kt ) και μπορει να προκυ ψει απο την 3.18 με τον ι διο τρο πο ο πως και η Οι EDTFT βα σεις a ω (Kx1) για α(ω, t k ) η α(ω, kt ) βρι σκονται ως λυ σεις των 3.41, a ω = S(ω) 2 R 1 e ω, (3.43) Αλλα ζοντας την βα ση της 3.43 στις εκφρα σεις 3.9, 3.10, 3.11 και 3.19, 3.20, 3.21 προκυ πτουν οι τυ ποι για τον υπολογισμο του EDTFT στη γενικη περι πτωση: F α (ω) = x T a ω = S(ω) 2 x T R 1 e ω, Ω ω Ω, (3.44) x α (t) = x T R 1 e t, < t <, (3.45)

51 3.3. Λυ ση του προβλη ματος 37 S α (ω) = xt a ω e H ω a ω = xt S(ω) 2 R 1 e ω e H ω S(ω) 2 R 1 e ω = xt R 1 e ω e H ω R 1 e ω. (3.46) Τα στοιχειά των πινα κων R(KxK) και e t (Kx1) στους τυ πους 3.43, 3.44, 3.45 εκφρα ζονται απο τα ολοκληρω ματα: r l,k = 1 2π r l,k = 1 2π e l = 1 2π e l = 1 2π +Ω Ω +Ω Ω +Ω Ω +Ω Ω S(ω 0 ) 2 e jω 0(t k t l ) dω 0 (3.47) S(ω 0 ) 2 e jω 0(k l)t dω 0 (3.48) S(ω 0 ) 2 e jω 0(t t l ) dω 0 (3.49) S(ω 0 ) 2 e jω 0(t lt ) dω 0 (3.50) για μη ομοιο μορφες 3.47, 3.49 και ομοιο μορφες 3.48, 3.50 περιπτω σεις δειγματοληψιάς αντι στοιχα. Εα ν το ση μα και το φα σμα ισχυός του ει ναι κοντα, δηλαδη S a (ω 0 ) S(ω 0 ), το τε η (3.47) ει ναι επι σης ε νας υπολογισμο ς της συνα ρτησης αυτοσυσχε τισης της ακολουθιάς x. Ο αντι στροφος μετασχηματισμο ς 3.45 υπολογι ζεται για χρονικε ς στιγμε ς t = t k η t = kt, k = 0, 1, 2,..., K 1 και μας επιστρε φει την ακολουθιά εισο δου x χωρι ς στρεβλω σεις καθω ς ο πι νακας e t θα γι νει ι σος με τον R. Στην περι πτωση που διαθε τουμε ση μα με S(ω 0 ) = 1 οι τυ ποι 3.43, 3.44, 3.45, 3.46 απλοποιου νται στους 3.33, 3.34, 3.35, Η αναλυτικο τητα των συχνοτη των του EDTFT ει ναι αντιστρο φως ανα λογη του e H ω S(ω) 2 R 1 e ω και ποικι λει στο ευ ρος συχνοτη των Ω ω Ω. Επαναληπτικο ς αλγο ριθμος EDTFT Ο υπολογισμο ς του EDTFT απο τους τυ πους 3.44, 3.45, 3.46 απαιτει την γνω ση του φα σματος του ση ματος το οποιό στην γενικη περι πτωση δεν ει ναι γνωστο. Παρα λληλα, το φα σμα του πλα τους που λα βαμε στην προηγου μενη ενο τητα απο τον τυ πο 3.36 μπορει να χρησιμοποιηθει ως πηγη για τε τοια πληροφοριά. Αυτο πρου ποθε τει τον παρακα τω επαναληπτικο αλγο ριθμο ο που το φα σμα του ση ματος που χρησιμοποιει ται ως μοντε λο S(ω 0 ) τει νει στο φα σμα του αρχικου ση ματος S α (ω 0 ): Επανα ληψη 1: Υπολογι ζουμε το S (1) α (ω) 3.36 εφαρμο ζοντας το default μοντε λο ση ματος - S(ω 0 ) = 1 Επανα ληψη 2: Υπολογι ζουμε το S (2) α (ω) 3.46 εφαρμο ζοντας το μοντε λο ση ματος - S (1) α (ω 0 ) Επανα ληψη 3: Υπολογι ζουμε το S α (3) (ω) 3.46 εφαρμο ζοντας το μοντε λο ση ματος - S α (2) (ω 0 )... Επανα ληψη I: Υπολογι ζουμε το S α (i) (ω) 3.46 εφαρμο ζοντας το μοντε λο ση ματος - S α (i 1) (ω 0 ). Οι υπολογισμοι επαναλαμβα νονται με χρι ει τε να φτα σουμε τον με γιστο αριθμο επαναλη ψεων που επιτρε πεται απο τον αλγο ριθμο η με χρι το φα σμα της ισχυός να μην αλλα ζει απο επανα ληψη σε επανα ληψη - S α (i) (ω) 2 S α (i 1) (ω) 2 Η ε ξοδος του EDTFT F α (ω) 3.44 υπολογι ζεται για την τελευταιά επανα ληψη Ι που πραγματοποιη θηκε. Απο προεπιλογη το μοντε λο ση ματος με S(ω 0 ) = 1 χρησιμοποιει ται ως ει σοδος στον EDTFT αλγο ριθμο. Ωστο σο επιπλεόν πληροφοριά σχετικα με το ση μα που προ κειται να αναλυθει μπορει να εφαρμοστει για να δημιουργη σουμε ε να πιο ρεαλιστικο μοντε λο για την ει σοδο του EDTFT και να μειω σουμε τον αριθμο των επαναλη ψεων που απαιτου νται για να φτα σουμε τα κριτη ρια τερματισμου, ο πως για παρα δειγμα εα ν επιτρε πουμε ε να με γιστο αριθμο επαναλη ψεων, 30 επαναλη ψεις.

52 38 Κεφα λαιο 3. O Extended Discrete Fourier Transform. 3.4 Ο Extended DFT αλγο ριθμος Ο EDTFT που θεωρη θηκε στην προηγου μενη ενο τητα ει ναι μια συνα ρτηση συνεχω ν συχνοτη των ( Ω ω Ω), ενω ο ο EDTFT που παρακα τω εξηγει ται και υπολογι ζεται σε ε να διακριτο σετ συχνοτη των ( Ω ω n Ω), για n = 0, 1, 2,..., N 1. Ο αριθμο ς των σημειών της συχνο τητας N K και θα πρε πει να επιλεγει επαρκω ς μεγα λος για να αντικαταστη σει τα ολοκληρω ματα 3.47, 3.48 που χρησιμοποιου νται για τον υπολογισμο του πι νακα R (KxK) στις εκφρα σεις 3.43, 3.44, 3.45, 3.46 απο τα πεπερασμε να αθροι σματα: r l,k = 1 2π r l,k = 1 2π +Ω Ω +Ω Ω S(ω 0 ) 2 e jω 0(t k t l ) dω 0 S(ω 0 ) 2 e jω 0(k l)t dω 0 Ω N 1 S(ω n ) 2 e jωn(t k t l ) πn n=0 (3.51) Ω N 1 S(ω n ) 2 e jωn(k l) (3.52) πn l, k = 0, 1, 2,..., K 1. Οι πι νακες που προκυ πτουν απο τις 3.51 και 3.52 ει ναι οι εξη ς: n=0 r 0,0 (0) r 0,1 (t 1 t 0 ) r 0,2 (t 2 t 0 ) r 0,K 1 (t k 1 t 0 ) r 1,0 (t 0 t 1 ) r 1,1 (0) r 1,2 (t 2 t 1 ) r 1,K 1 (t k 1 t 1 ) R = r 2,0 (t 0 t 2 ) r 2,1 (t 1 t 2 ) r 2,2 (0) r 2,K 1 (t k 1 t 2 ) r K 1,0 (t 0 t K 1 ) r K 1,1 (t 1 t K 1 ) r K 1,2 (t 2 t K 1 ) r K 1,K 1 (0) (3.53) r 0,0 (0) r 0,1 (T ) r 0,2 (2T ) r 0,K 1 ((K 1)T ) r 1,0 ( T ) r 1,1 (0) r 1,2 (T ) r 1,K 1 ((K 2)T ) R = r 2,0 ( 2T ) r 2,1 ( T ) r 2,2 (0) r 2,K 1 ((K 3)T ) r K 1,0 ( (K 1)T ) r K 1,1 ( (K 2)T ) r K 1,2 ( (K 3)T ) r K 1,K 1 (0) (3.54) Οι πι νακες αυτοι ε χουν ερμιτιανη συμμετριά, r l,k = rk,l αλλα ο 3.54 του ση ματος απο μη ομοιο μορφη δειγματοληψιά ε χει επι σης Toeplitz δομη. Τα στοιχειά του πι νακα r l,k αναπαριστου ν τη συνα ρτηση αυτοσυσχε τισης το επιλεγμε νου ση ματος και μπορου ν να υπολογιστου ν εφαρμο ζοντας τον IDFT στο φα σμα ισχυός του ση ματος S(ω n ) 2. H συχνο τητα Ω/π = 2f u = f N στις 3.51 και 3.52 ο που f u ει ναι η απω τερη συχνο τητα του ση ματος και f N ει ναι η συχνο τητα Nyquist για ε να ση μα πεπερασμε νου ευ ρους ζω νης και υποτι θεται ο τι κανονικοποιει ται (ι ση με 1) κατα τους υπολογισμου ς του DFT. H επιλογη των συχνοτη των ω n = 2πf n εξαρτα ται απο τον αριθμο των συχνοτη των που απαιτου νται για τον ακριβη υπολογισμο των 3.51 και 3.52 καθω ς και για την λεπτομερη αναπαρα σταση του φα σματος του ση ματος, αλλα και τους περιορισμου ς στον συνολικο φο ρτο εργασιάς κατα τον υπολογισμο. Εν τε λει ε να ομοιο μορφο συ νολο συχνοτη των ει ναι αυτο που προτιμα ται στις πιο πολλε ς περιπτω σεις εφαρμογω ν. O EDFT μπορει να εκφραστει απο τον παρακα τω επαναληπτικο αλγο ριθμο: R (i) = 1 N EW(i) E H, (3.55) F (i) = x T A (i) = x T (R (i) ) 1 EW (i), (3.56) S (i) = x T (R (i) ) 1 E diag(e H (R (i) ) 1 E), (3.57)

53 3.4. Ο Extended DFT αλγο ριθμος 39 W (i+1) = diag( S (i) 2 ), (3.58) ο που i = 1, 2, 3,..., I ει ναι ο αριθμο ς επανα ληψης και το α θροισμα της 3.55 ει ναι σε μορφη πινα κων. Ο πι νακας Ε(KxN) ε χει στοιχειά e j2πf nt k η e j2πf nkt στην περι πτωση που η δειγματοληψιά του x ε χει γι νει με μη ομοιο μορφο τρο πο. Απο προεπιλογη, ο διαγω νιος πι νακας των βαρω ν W (i) (NxN) για την πρω τη επανα ληψη ει ναι ε νας μοναδιαιός πι νακας, W (i) = I. Αν α λλος διαγω νιος πι νακας επιλεχθει ως ει σοδος στον EDFT αλγο ριθμο το τε θα πρε πει να ε χει τουλα χιστον K μη μηδενικα στοιχειά. Για τις επο μενες επαναλη ψεις ο W (i) γεμι ζει με τιμε ς φα σματος ισχυός που υπολογι ζονται απο την Θα μπορου σαν να υπα ρξουν και περαιτε ρω κριτη ρια αναφορικα με τη διακοπη της επαναληπτικη ς διαδικασιάς απο τον αλγο ριθμο πρωτου φτα σουμε στον με γιστο αριθμο επαναλη ψεων Ι, για παρα δειγμα αν η σχετικη μεταβολη στο φα σμα ισχυός ει ναι μικρο τερη απο ε να δοθε ν κατω φλι, δηλαδη sum(w (i) sum(w (i 1) ) /sum(w (2) ). Ακολου θως ο IDFT μπορει να εφαρμοστει στην ε ξοδο F για κα θε επανα ληψη και να επιστρε ψει τα αρχικα K-δει γματα ομοιο μορφων η μη ακολουθιω ν x T = 1 N FEH, (3.59) Απο τη στιγμη που μη κος του συνο λου συχνοτη των ει ναι N K το τε η 3.28 μπορει να τροποποιηθει για να πα ρουμε μια επεκταμε νη στο χρο νο ακολουθιά x T α = 1 N FEH N, ο που ο πι νακας των εκθετω ν E N (NxN) ε χει στοιχειά e j2πfnt k η e j2πfnkt στην περι πτωση της ομοιο μορφης ακολουθιάς x α. Η ακολουθιά που λαμβα νουμε απο την 3.59 ει ναι η αρχικη ακολουθιά προσαυξημε νη με προ σθια η οπι σθια στο χρο νο παρε κταση του x. H με γιστη αναλυτικο τητα στη συχνο τητα περιορι ζεται απο το μη κος N του συνο λου συχνοτη των και ο χι απο το μη κος K της ακολουθιάς, ο πως γι νεται κατα την εφαρμογη του κλασσικου DFT. Αυτο προφανω ς σημαι νει ο τι ο EDFT ει ναι ικανο ς να βελτιω σει τη ανα λυση στη συχνο τητα κατα N/K φορε ς σε συ γκριση με τον κλασσικο DFT. Αυτο μπορει να επιβεβαιωθει συγκρι νοντας τα διαγω νια στοιχειά του εσωτερικου γινομε νου της βα σης του IDFT και του DFT, diag( 1 N EH E) που ει ναι ι σο με K/N για ο λες τις συχνο τητες, με την σχε ση 0 < diag( 1 N EH A) = 1 N F./S 1 αντι στοιχα για τις βα σεις του IDFT και του EDFT, την A Ταυτο χρονα δεν υπα ρχει περιορισμο ς στην ανα λυση της συχνο τητας sum(f./s) = N K που να ικανοποιει ται με σω επανα ληψης, και προκειμε νου να επιτυ χουμε υψηλη ανα λυση σε συγκεκριμε νες συχνο τητες, ο EDFT θα πρε πει να μειω σει την ανα λυση σε α λλες συχνο τητες. Η απο κλιση sum(f./s) N K 0 μπορει επι σης να χρησιμοποιηθει ως επιπρο σθετο στοιχειό για τον τερματισμο των επαναλη ψεων, επειδη μας δει χνει την πιθανη ανακρι βεια στα αποτελε σματα που λα βαμε τα οποιά προκυ πτουν κυριώς απο την πεπερασμε νη υπα ρχουσα ακρι βεια στους υπολογισμου ς μας. Ο ταν συμβει κα τι τε τοιο, το αποτε λεσμα της προηγου μενης επανα ληψης του EDFT θα πρε πει να θεωρηθει ως τελικο. Στην οριακη περι πτωση ο που N = K το αποτε λεσμα του επαναληπτικου αλγο ριθμου δεν εξαρτα ται απο τον πι νακα βαρω ν W και η βε λτιστη βα ση του EDFT βρι σκεται με μη επαναληπτικο τρο πο, ως το αποτε λεσμα της πρω της, και μο νο αυτη ς, επανα ληψης.

54 40 Κεφα λαιο 3. O Extended Discrete Fourier Transform.

55 Κεφα λαιο 4 Πειρα ματα και αποτελε σματα Στο προηγου μενο κεφα λαιο ει δαμε ο λη τη θεωρητικη προσε γγιση στον Επεκταμε νο Διακριτο Μετασχηματισμο Fourier - Extended Discrete Fourier Transform και εξηγη σαμε τον τρο πο με τον οποιό αυτο ς χειρι ζεται μια χρονοσειρα και την επεκτει νει στο επιθυμητο χρονικο δια στημα το οποιό ζητου με περνω ντας το ως ο ρισμα κατα την κλη ση της συνα ρτησης edft.m. Στις ενο τητες αυτου του κεφαλαιόυ θα δου με την εφαρμογη αυτου του αλγορι θμου στις χρονοσειρε ς τις οποιές δημιουργη σαμε στο τε λος του κεφαλαιόυ 2 και θα συγκρι νουμε τις προβλε ψεις τις οποιές πραγματοποιη σαμε με τα η δη υπα ρχοντα δεδομε να προκειμε νου να εξακριβω σουμε την ακρι βεια και την ορθο τητα αυτω ν των προβλε ψεων. Στο χος μας ει ναι η κατα το δυνατο ν ακριβε στερη προσε γγιση της ζη τησης και η αιτιολο γηση τυχο ν κακω ν προβλε ψεων. Ο πως ει δαμε κατα κο ρον στο κεφα λαιο 2, η ζη τηση σε ο λα τα σημειά ακολουθει σε μεγα λο βαθμο κα ποια προ τυπα τα οποιά επι το πλει στον εμφανι ζουν περιοδικο τητες οι οποιές συχνα ει ναι ευ κολο να τις αναγνωρι σουμε. Ει δαμε χαρακτηριστικα πως η ωριαιά, ημερη σια και εβδομαδιαιά κι νηση ακολουθου ν κα ποιους κανο νες απο τους οποιόυς α λλοτε ξεφευ γουν λι γο και α λλοτε πολυ. 4.1 Αναζη τηση κυ ριων συχνοτη των στις χρονοσειρε ς. Πρω το με λημα μας αποτελει η αναζη τηση εκει νων των συχνοτη των οι οποιές διαδραματι ζουν τον πιο σημαντικο ρο λο στη διαμο ρφωση της ζη τησης. Στις παρακα τω εικο νες βλε πουμε το συχνοτικο περιεχο μενο μιάς πλευρικη ς ζω νης των χρονοσειρω ν των 2 διασταυρω σεων με την μεγαλυ τερη ζη τηση. Για την αναζη τηση του συχνοτικου περιεχομε νου που βλε πετε στα σχη ματα 4.1 και 4.2 λα βαμε δεδομε να 3 εβδομα δων. Σχη μα 4.1: Single sided frequency spectrum. 41

56 42 Κεφα λαιο 4. Πειρα ματα και αποτελε σματα Σχη μα 4.2: Single sided frequency spectrum. Ο πως γνωρι ζουμε απο την κατασκευη των χρονοσειρω ν που κα ναμε στο κεφα λαιο 2 τα δεδομε να 3 εβδομα δων αφορου ν = 504 ω ρες. Επομε νως το single-sided frequency spectrum θα ε χει μη κος 252 σημειών. Απ ο τι μπορου με να διακρι νουμε στα σχη ματα 4.1 και 4.2 η πιο ε ντονη συχνο τητα εμφανι ζεται στο 21. Προφανω ς λοιπο ν παρατηρου με πως στο μη κος των 3 εβδομα δων η πιο ισχυρη επανα ληψη ει ναι η ημερη σια η οποιά εμφανι ζεται κα θε 504/21 = 24 ω ρες. Ακολουθου ν αρκετα ισχυρε ς και οι περιοδικο τητες των ακε ραιων πολλαπλασιών αυτη ς της περιο δου, ο πως ανα 2, 3, 4 και λιγο τερο 5 ημε ρες. Ας προσπαθη σουμε τω ρα να ανακατασκευα σουμε ε να ση μα λαμβα νοντας τις κυριο τερες συχνο τητες. Ας πα ρουμε την ζη τηση στο αεροδρο μιο LaGuardia. Demand in LaGuardia Airport Pixel Demand in LaGuardia Airport Pixel for Sept 2014 (28 days-4 weeks) Data 1 Frequency (Week freq=168hours) (#fc) 3 Frequencies Week in September-14 Σχη μα 4.3: Ανακατασκευη ση ματος με τη χρη ση τριω ν(3) κυριών συχνοτη των.

57 4.1. Αναζη τηση κυ ριων συχνοτη των στις χρονοσειρε ς. 43 Demand in LaGuardia Airport Pixel Demand in LaGuardia Airport Pixel for Sept 2014 (28 days-4 weeks) Data 1 Frequency (Week freq=168hours) (#fc) 10 Frequencies Week in September-14 Σχη μα 4.4: Ανακατασκευη ση ματος με τη χρη ση δε κα(10) κυριών συχνοτη των. Demand in LaGuardia Airport Pixel Demand in LaGuardia Airport Pixel for Sept 2014 (28 days-4 weeks) Data 1 Frequency (Week freq=168hours) (#fc) 20 Frequencies Week in September-14 Σχη μα 4.5: Ανακατασκευη ση ματος με τη χρη ση ει κοσι(20) κυριών συχνοτη των.

58 44 Κεφα λαιο 4. Πειρα ματα και αποτελε σματα Demand in LaGuardia Airport Pixel Demand in LaGuardia Airport Pixel for Sept 2014 (28 days-4 weeks) Data 1 Frequency (Week freq=168hours) (#fc) 36 Frequencies Week in September-14 Σχη μα 4.6: Ανακατασκευη ση ματος με τη χρη ση τρια ντα ε ξι(36) κυριών συχνοτη των. Στις εικο νες 4.3, 4.4, 4.5, 4.6, διατηρου με με κο κκινο χρω μα την εβδομαδιαιά συχνο τητα, προκειμε νου να ε χουμε ε να οπτικο με τρο συ γκρισης μεταξυ της εβδομαδιαιάς περιο δου και της πιο μικρη ς ημερη σιας περιο δου. Στην εικο να 4.3 ε χουμε τις πρω τες 3 συχνο τητες και σιγα σιγα βλε πουμε πως ε χουν η δη αρχι σει να παι ρνουν μορφη οι κορυφε ς της ζη τησης εντο ς της εβδομα δας. Το προ τυπο αυτο ενισχυέται ακο μα περισσο τερο ο ταν χρησιμοποιου με τις 10 και 20 καλυ τερες συχνο τητες στις εικο νες 4.4, 4.5 αντι στοιχα ενω στο τε λος στην 4.6 το σχη μα ε χει σχεδο ν ανακατασκευαστει. Ει ναι ενδεικτικο πως κατα τον υπολογισμο του ενεργειακου περιεχομε νου οι 3 κυ ριες συχνο τητες μας δι νουν μια διατη ρηση ισχυός στο ση μα της τα ξεως του 63%. Πιο αναλυτικα : # κυριο τερων συχνοτη των Ποσοστο διατη ρησης ισχυός % % % % % Πι νακας 4.1: Ποσοστο διατη ρησης ισχυός σε σχε ση με τον αριθμο των κυριο τερων συχνοτη των. Σημειώση: Στον πι νακα 4.1 οι μετρη σεις ε χουν γι νει για δεδομε να τεσσα ρων εβδομα δων σε πολλε ς διαφορετικε ς χρονοσειρε ς. Τε σσερις εβδομα δες μας δι νουν ε να συ νολο 339 συχνοτη των στη μιά πλευρικη ζω νη. Ωστο σο πραγματοποιη σαμε και πειρα ματα για χρονοσειρε ς μεγαλυ τερου μεγε θους. Στα υπο λοιπα πειρα ματα, διαπιστω σαμε ο τι η διατη ρηση κατα 90% της ενε ργειας του ση ματος απαιτει περι που το 10% των συχνοτη των απο το συχνοτικο περιεχο μενο του εκα στοτε ση ματος. Τα ι δια πειρα ματα πραγματοποιη σαμε ο χι μο νο για 4 εβδομα δες αλλα και για ο λα τα δεδομε να, δηλαδη τους 6 μη νες που διαθε τουμε συνεχο μενους απο το 1ο σετ δηλαδη τους μη νες Απρι λιο-σεπτε μβριο Παρακα τω παρατι θενται τα αποτελε σματα για ο λα τα δεδομε να. Ο πως ει δαμε για μια ακρι βεια της τα ξεως του 90% παι ρνουμε την ισχυ του ση ματος με περι που το 10% των κυριάρχων συχνοτη των (34 απο τις 337 συχνο τητες) και για τα δεδομε να ε ξι μηνω ν παι ρνουμε 89.51% την ισχυ του ση ματος με το 10% περι που πα λι των κυριάρχων συχνοτη των (202 απο τις 2017 συχνο τητες). Επομε νως ακο μα και ο εξαπλασιασμο ς των δεδομε νων, παρα τις ο ποιες ακραιές τιμε ς (μη περιοδικη ς φυ σεως) που θα εμφανιστου ν σε επιπλεόν 5 μη νες δεν φαι νεται να

59 4.2. Συ γκριση συχνοτικου περιεχομε νου EDFT και FFT 45 # κυριο τερων συχνοτη των Ποσοστο διατη ρησης ισχυός 3 62,56% 5 68,42% 10 78% 20 84,57% ,51 % Πι νακας 4.2: Ποσοστο διατη ρησης ισχυός σε σχε ση με τον αριθμο των κυριο τερων συχνοτη των για ο λα τα δεδομε να. επηρεα ζει την ακρι βεια μας. Παρατηρου νται δηλαδη ανωμαλιές στην ζη τηση, που στη γλω σσα των σημα των θα λε γαμε θο ρυβο πολυ χαμηλη ς επιρροη ς στην ενε ργεια του ση ματος. 4.2 Συ γκριση συχνοτικου περιεχομε νου EDFT και FFT Μετα την θεωριά που ει δαμε στο Κεφα λαιο 3, ει ναι ω ρα να δου με πως αντικατοπτρι ζεται η μεταβολη του φασματικου περιεχομε νου με σω του EDFT ο ταν επιχειρου με να πραγματοποιη σουμε μια προ βλεψη. Στις παρακα τω εικο νες βλε πετε τη συ γκριση του φασματικου περιεχομε νου που επιστρε φει ο fft σε σχε ση με αυτο που επιστρε φει ο edft για την ι δια χρονοσειρα με ο ρισμα κατα λληλο για την επιθυμητη επε κταση του ση ματος. Σχη μα 4.7: Συ γκριση fft και edft για συγκεκριμε νη χρονοσειρα -1

60 46 Κεφα λαιο 4. Πειρα ματα και αποτελε σματα Σχη μα 4.8: Συ γκριση fft και edft για συγκεκριμε νη χρονοσειρα -2 Στις εικο νες 4.7 και 4.8 βλε πουμε το συχνοτικο περιεχο μενο 3 εβδομα δων για τον fft και τριω ν(3) εβδομα δων συν μιάς (1) ημε ρας για τον edft. Παρατηρου με πως πλεόν ε χουμε πιο πολλε ς συχνο τητες, πρα γμα που σημαι νει μεγαλυ τερη αναλυτικο τητα συχνοτη των και μια ελαφρα μετατο πιση του συχνοτικου περιεχομε νου προς τα δεξια. Η μεταβολη αυτη θα γι νει πιο εμφανη ς στις παρακα τω εικο νες ο που θα ε χουμε προ βλεψη για περισσο τερες ημε ρες. 4.3 Αποτελε σματα προ βλεψης με τη χρη ση του EDFT Στις παρακα τω υποενο τητες θα παρουσια σουμε τα αποτελε σματα των προβλε ψεων μας το σο για περιπτω σεις ο που χρησιμοποιη σαμε σταθερο συ νολο δεδομε νων ως ει σοδο στον αλγο ριθμο για να προβλε ψουμε μελλοντικε ς στιγμε ς, ο σο και περιπτω σεις ο που χρησιμοποιη σαμε ε να κινου μενο παρα θυρο δεδομε νων ως ει σοδο στον αλγο ριθμο. Θα γι νει συ γκριση αποτελεσμα των το σο για σταθερο ο σο και για κινου μενο παρα θυρο δεδομε νων. Θα συγκρι νουμε τα αποτελε σματα μας με αυτα ενο ς αυτοπαλινδρομου μενου AR μοντε λου αλλα και θα συγκρι νουμε τα αποτελε σματα που παι ρνουμε για προ βλεψη ενο ς διαστη ματος με χρη ση το σο λι γων ο σο και περισσο τερων δεδομε νων. Για να κρι νουμε τα αποτελε σματα μας θα χρησιμοποιη σουμε τη μετρικη σφαλμα των MASE. Οι διασταυρω σεις οι οποιές εξετα στηκαν ει ναι με φθι νουσα σειρα συνολικη ς κι νησης οι εξη ς: Σε κα ποιες απο αυτε ς θεωρη σαμε πιο χρη σιμο να αναφε ρουμε το κυ ριο σημειό που τις καθιστα πιο γνωστε ς ως σημειά κλειδια : Στα αποτελε σματα που θα παρουσιαστου ν στη συνε χεια με τη χρη ση της μετρικη ς σφαλμα των MASE θα αναφερο μαστε στο με σο MASE των 24 διασταυρω σεων. Σε αντι θετη περι πτωση θα το σημειω νουμε.

61 4.3. Αποτελε σματα προ βλεψης με τη χρη ση του EDFT 47 # ID διασταυ ρωσης Τοποθεσιά 1 Penn Station 2 6th and W.Houston 3 6th and 49th 4 Times Square Midtown-Manhattan center 5 7th and 57th 6 Broadway 7 8th and 50th (Theaters) 8 7th and 49th 9 Carnegie Hall 10 7th and 53rd 11 7th and 42nd 12 Greyhound Bus Station and Madamme Tussauds 13 Museum of Modern Arts 14 Lenox Hill Hospital 15 Plaza Hotel 16 5th and 59th 17 Apple 18 Trump Tower 19 6th and 50th Rockfeller Center 20 Lexington and 59th 21 7th and Madison 22 Metropolitan Opera and Fiorello 23 La Guardia 1 24 La Guardia 2 Πι νακας 4.3: Πι νακας αντιστοι χισης των διασταυρω σεων που μελετω νται με μοναδικο ID Προ βλεψη με τη χρη ση προκαθορισμε νου και σταθερου συνο λου δεδομε νων εκπαι δευσης Στην παρου σα υποενο τητα θα παρουσιαστου ν προβλε ψεις με τη χρη ση σταθερου συνο λου δεδομε νων ως ει σοδο στον αλγο ριθμο. Παρακα τω θα δει τε εικο νες για κα ποιες απο τις 24 πιο ζωντανε ς σε ζη τηση διασταυρω σεις της Νεάς Υο ρκης, για τις οποιές υπα ρχει αντιστοι χιση στον πι νακα Forecast with E-DFT 40 Forecast with E-DFT 12 Data EDFT forecast 35 Data EDFT forecast Demand in specific cross Demand in specific cross Hours Hours Σχη μα 4.9: Προ βλεψη για τις χρονοσειρε ς 11-13

62 48 Κεφα λαιο 4. Πειρα ματα και αποτελε σματα 30 Forecast with E-DFT 25 Forecast with E-DFT 25 Data EDFT forecast 20 Data EDFT forecast Demand in specific cross Demand in specific cross Hours Hours Σχη μα 4.10: Προ βλεψη για τις χρονοσειρε ς Forecast with E-DFT 25 Forecast with E-DFT 25 Data EDFT forecast 20 Data EDFT forecast Demand in specific cross Demand in specific cross Hours Hours Σχη μα 4.11: Προ βλεψη για τις χρονοσειρε ς Προ βλεψη με τη χρη ση κινου μενου παραθυ ρου για τα δεδομε να εκπαι δευσης Στην παρου σα υποενο τητα θα παρουσια σουμε τα αποτελε σματα της προ βλεψης με τη χρη ση κινου μενου παρα θυρου για τα δεδομε να που θα δω σουμε ως ει σοδο στην συνα ρτηση edft.m. Ε τσι αν θε λουμε να προβλε ψουμε k ημε ρες ε χοντας ως ει σοδο n ημε ρες, θα προβλε πουμε κα θε φορα ξεχωριστα καθεμιά απο τις k ημε ρες εισα γοντας ως δεδομε να εισο δου στον αλγο ριθμο τις αμε σως προηγου μενες n ημε ρες. Στις παρακα τω εικο νες μπορει τε να δει τε πιο αναλυτικα ε να τε τοιο παρα δειγμα.

63 4.3. Αποτελε σματα προ βλεψης με τη χρη ση του EDFT Forecast with edft 20 Forecast with edft 18 EDFT forecast Data 18 EDFT forecast Data Demand in specific cross Demand in specific cross Hours Hours Σχη μα 4.12: Προ βλεψη για τις χρονοσειρε ς Forecast with edft 20 Forecast with edft 18 EDFT forecast Data 18 EDFT forecast Data Demand in specific cross Demand in specific cross Hours Hours Σχη μα 4.13: Προ βλεψη για τις χρονοσειρε ς Forecast with edft 20 Forecast with edft 18 EDFT forecast Data 18 EDFT forecast Data Demand in specific cross Demand in specific cross Hours Hours Σχη μα 4.14: Προ βλεψη για τις χρονοσειρε ς 5-6

64 50 Κεφα λαιο 4. Πειρα ματα και αποτελε σματα Forecast with edft EDFT forecast Data Demand in specific cross Hours Σχη μα 4.15: Προ βλεψη για τις χρονοσειρε ς 7 Ακολου θως θα δου με τα αποτελε σματα αυτω ν των προβλε ψεων με τα ι δια δεδομε να που χρησιμοποιη θηκαν και στην ενο τητα Χρησιμοποιη σαμε τα ι δια δεδομε να ως ει σοδο στον αλγο ριθμο και στις παρακα τω εικο νες μπορει τε να δει τε τα αποτελε σματα. 14 Forecast with sliding window edft 40 Forecast with sliding window edft 12 Data EDFT forecast 35 Data EDFT forecast Demand in specific cross Demand in specific cross Hours Hours Σχη μα 4.16: Προ βλεψη για τις χρονοσειρε ς Forecast with sliding window edft 25 Forecast with sliding window edft 25 Data EDFT forecast 20 Data EDFT forecast Demand in specific cross Demand in specific cross Hours Hours Σχη μα 4.17: Προ βλεψη για τις χρονοσειρε ς 15-16

65 4.4. Προ βλεψη με τη χρη ση ενο ς AR μοντε λου προ βλεψης Forecast with sliding window edft 25 Forecast with sliding window edft 25 Data EDFT forecast 20 Data EDFT forecast Demand in specific cross Demand in specific cross Hours Hours Σχη μα 4.18: Προ βλεψη για τις χρονοσειρε ς Προ βλεψη με τη χρη ση ενο ς AR μοντε λου προ βλεψης Σε αυτη την ενο τητα μπορου με να δου με τα αποτελε σματα της αντι στοιχης προ βλεψης που πραγματοποιη σαμε χρησιμοποιω ντας ε να μοντε λο παλινδρο μησης (AR μοντε λο). Τα μοντε λα παλινδρο μησης ορι ζουν μια μεταβλητη (εξαρτημε νη) ως συνα ρτηση κα ποιων α λλων εξαρτημε νων μεταβλητω ν. Στα γραμμικα μοντε λα παλινδρο μησης η συνα ρτηση αυτη ει ναι γραμμικη, δηλαδη η εξαρτημε νη μεταβλητη δι νεται ως γραμμικο ς συνδυασμο ς των ανεξα ρτητων μεταβλητω ν. Τα αυτοπαλινδρομου μενα μοντε λα (AutoRegressive models, AR) ει ναι μοντε λα γραμμικη ς παλινδρο μησης ο που θεωρου με ως εξαρτημε νη μεταβλητη την τυχαιά μεταβλητη της χρονοσειρα ς σε μια χρονικη στιγμη t, x t και ως ανεξα ρτητες μεταβλητε ς θεωρου με την τυχαιά μεταβλητη της χρονοσειρα ς σε προηγου μενους χρο νους, δηλαδη τις x t 1,, x t p. Ο αριθμο ς των υστερη σεων που συμπεριλαμβα νουμε λε γεται η τα ξη (order) του αυτοπαλινδρομου μενου μοντε λου. Για την κατασκευη του μοντε λου χρησιμοποιη σαμε στοιχειά απο το [10]. Ε να αυτοπαλινδρομου μενο μοντε λο τα ξης p συμβολι ζεται AR(p) και ορι ζεται ως: x t = ϕ 0 + ϕ 1 x t ϕ p x t p + z t, (4.1) Αντι στοιχα και με τον τρο πο που κα ναμε την προβλεψη στον EDFT, ε τσι και εδω δι νουμε ως ει σοδο στον αλγο ριθμο τα δεδομε να χα ρη στα οποιά θε λουμε να δημιουργηθει το μοντε λο και ορι ζουμε το δια στημα στο με λλον στο οποιό θε λουμε να κα νουμε την προ βλεψη. Η προ βλεψη με τη χρη ση αυτου του μοντε λου ει ναι αποδοτικο τερη σε σχε ση με τη χρη ση του EDFT, ωστο σο αναλυτικα αποτελε σματα με τη χρη ση των μετρικω ν θα δου με στη συνε χεια. Στις παρακα τω εικο νες μπορει τε ενδεικτικα να δει τε πειρα ματα για προ βλεψη χρονοσειρω ν μη κους 2 εβδομα δων.

66 52 Κεφα λαιο 4. Πειρα ματα και αποτελε σματα 30 Forecast using AR model forecast 25 Forecast using AR model forecast 25 DATA Forecast 20 DATA Forecast Σχη μα 4.19: Aποτελε σματα προ βλεψης με τη χρη ση ενο ς AR μοντε λου. 30 Forecast using AR model forecast 25 Forecast using AR model forecast 25 DATA Forecast 20 DATA Forecast Σχη μα 4.20: Aποτελε σματα προ βλεψης με τη χρη ση ενο ς AR μοντε λου. 4.5 Προ βλεψη με τη χρη ση αλγορι θμου Fast-Block LMS O αλγο ριθμος Fast - Block LMS αποτελει ε ναν προσαρμοστικο αλγο ριθμο για επιτα χυνση των υπολογισμω ν σε προσαρμοστικα φι λτρα και ενημερω νει τους συντελεστε ς του προσαρμοστικου φι λτρου μετα απο ε να συ νολο δειγμα των εισο δου (τμη μα-block) και ο χι σε κα θε νεό δει γμα.το με γεθος του τμη ματος (block) επιλε γεται συνη θως να ει ναι ι σο με το πλη θος των συντελεστω ν του φι λτρου (Μ+1). Το κο στος για αυτη την επιλογη ει ναι μια μικρη καθυστε ρηση στον υπολογισμο της εξο δου η οποιά ει ναι αναγκαιά για τη συγκε ντρωση σε ε να καταχωρητη (buffer)των απαραι τητων δειγμα των. Η ομαδοποιήση των δειγμα των εισο δου δι νει τη δυνατο τητα υλοποιήσης του φι λτρου με τη βοη θεια του μετασχηματισμου στο πεδιό της συχνο τητας. Επιπλεόν κα νει τον αλγο ριθμο λιγο τερο ευαι σθητο σε παροδικε ς μεταβολε ς του ση ματος εισο δου. Χα ρη λοιπο ν στην ει σοδο του αλγορι θμου και την προσαρμογη ενο ς φι λτρου πα νω σε αυτο, οι τελικοι ενημερωμε νοι συντελεστε ς οι οποιόι λαμβα νονται απο το φι λτρο μας δι νουν τη δυνατο τητα να σχηματι σουμε ε να γραμμικο συνδυασμο μιας επιθυμητη ς χρονικη ς στιγμη ς συναρτη σει παρελθο ντων χρονικω ν στιγμω ν. Μας δι νεται ε τσι η δυνατο τητα με σω αυτω ν των συντελεστω ν να προβλε ψουμε τις τιμε ς οι οποιές θα ακολουθη σουν στο με λλον. Παρο μοια και με τις προηγου μενες μεθο δους δι νουμε ως ει σοδο ε να τμη μα δεδομε νων χα ρη στο οποιό θε λουμε να δημιουργηθου ν οι συντελεστε ς του φι λτρου και ε τσι χρησιμοποιου με αυτου ς για να κα νουμε την προ βλεψη σε επιλεγμε νες χρονικε ς στιγμε ς. Για τον αλγο ριθμο χρησιμοποιη σαμε την αντι στοιχη θεωριά η οποιά αναφε ρεται στο [11]. Παρακα τω μπορει τε να δει τε μερικε ς

67 4.6. Συ γκριση των αποτελεσμα των του EDFT και συ γκριση με αποτελε σματα α λλων προσεγγι σεων 53 εικο νες απο αποτελε σματα προ βλεψης με τη χρη ση του Fast- Block LMS και στις επο μενες υποενο τητες πως αυτα τα αποτελε σματα μπορου ν να συγκριθου ν με τις προαναφερθει σες μεθο δους. 30 Fast Block LMS Forecast 25 Fast Block LMS Forecast 25 DATA Fast Block LMS 20 DATA Fast Block LMS Value of Demand Value of Demand Hours Hours Σχη μα 4.21: Aποτελε σματα προ βλεψης με τη χρη ση Fast-Block LMS. 30 Fast Block LMS Forecast 35 Fast Block LMS Forecast 25 DATA Fast Block LMS 30 DATA Fast Block LMS Value of Demand Value of Demand Hours Hours Σχη μα 4.22: Aποτελε σματα προ βλεψης με τη χρη ση Fast-Block LMS. 4.6 Συ γκριση των αποτελεσμα των του EDFT και συ γκριση με αποτελε σματα α λλων προσεγγι σεων Προκειμε νου να μπορου με να κρι νουμε κατα πο σο η προ βλεψη μας η ταν μια επιτυχη ς η μη προ βλεψη χρησιμοποιη σαμε την μετρικη MASE (Mean Absolute Scaled Error) [12]. Η μετρικη αυτη χρησιμοποιει ται στη στατιστικη για να μετρου με την ακρι βεια προβλε ψεων. Προτα θηκε απο τον Hyndman [12] και περιγρα φηκε ως μια μετρικη με γενικη εφαρμογη και πλεόν κατα λληλη σε σχε ση με α λλες μεθο δους. Η σχε ση που χρησιμοποιου με για να μετρη σουμε το MASE για μη περιοδικε ς χρονοσειρε ς ει ναι η: MASE = 1 T ( T t=1 e t 1 T 1 T t=2 Y t Y t 1 ) = T t=1 e t T T 1 T t=2 Y t Y t 1 (4.2) ενω για περιοδικε ς χρονοσειρε ς ει ναι η:

68 54 Κεφα λαιο 4. Πειρα ματα και αποτελε σματα MASE = 1 T ( T t=1 e t 1 T m T t=m+1 Y t Y t m ) = T t=1 e t T T m T t=m+1 Y t Y t m (4.3) Για την 4.2 ο αριθμητη ς περιγρα φει το σφα λμα προ βλεψης e t για την περιόδο που θε λουμε να εξετα σουμε την ακρι βεια της και ορι ζεται ως η πραγματικη τιμη (Y t ) μειόν την τιμη της προ βλεψης (F t ) για αυτη την περιόδο: e t = Y t F t, και ο παρονομαστη ς ει ναι το με σο απο λυτο σφα λμα μιας αφηρημε νης προσε γγισης προ βλεψης στα δεδομε να μας η οποιά για να προβλε ψει την επο μενη τιμη της προ βλεψης χρησιμοποιει την προηγου μενη πραγματικη τιμη ως προ βλεψη: F t = Y t 1. Για την 4.3 η διαφορα με την 4.2 ει ναι ο τι ο παρονομαστη ς ει ναι ο τι τω ρα θα χρησιμοποιη σουμε την τιμη απο μια περιόδο νωρι τερα και πλεόν να ε χουμε: F t = Y t m ο που m ει ναι η κυριάρχη περιόδος. Αυτη η με θοδος ει ναι ανεξα ρτητη κλι μακας και μπορει να χρησιμοποιηθει για να συγκρι νουμε την ακρι βεια της προ βλεψης αλλα και αποτελε σματα μεταξυ διαφορετικω ν προβλε ψεων. Αυτη η μετρικη ταιρια ζει καλα και σε χρονοσειρε ς διαλει πουσας ζη τησης καθω ς δεν δι νει ποτε α πειρες η μηδενικε ς τιμε ς εκτο ς απο την ιδιαι τερη περι πτωση ο που ο λα τα δεδομε να μας ει ναι ι δια(ισο τιμα). Αναμφι βολα η χρονοσειρα μας παρουσια ζει περιοδικο τητες, επομε νως θα λα βουμε υπο ψιν δει κτη MASE το σο για περιοδικο τητα ημερη σια (24 ω ρες) ο σο και για εβδομαδιαιά (168 ω ρες). Προκειμε νου ο παρονομαστη ς μας να ει ναι ο μικρο τερος δυνατο ς θα πρε πει να επιλε ξουμε την περιοδικο τητα με το μικρο τερο σφα λμα για να κα νουμε τις συγκρι σεις μας. Στον πι νακα 4.4 παραθε τουμε τα αποτελε σματα δια φορων προβλε ψεων, με σταθερο παρα θυρο προκειμε νου να δου με ποια ει ναι η περιοδικο τητα της naive forecast με τα λιγο τερα λα θη. Λο γω του ο τι το Mean Absolute Error της naive forecast βρι σκεται στον παρονομαστη, ο σο μεγαλυ τερος θα ει ναι ο δει κτης MASE το σο καλυ τερη θα ει ναι η με θοδος naive forecast. Σε αυτο το σημειό αξι ζει να σημειωθει πως για την αξιολο γηση των δικω ν μας προβλε ψεων, επιδιω κουμε χαμηλο δει κτη MASE καθω ς το Mean Absolute Error της προ βλεψης μας βρι σκεται στον αριθμητη. Χωρι ς περιοδικο τητα Περιοδικο τητα 24 ωρω ν Περιοδικο τητα 168 ωρω ν Data Forecast Πι νακας 4.4: Naive forecast με θεω ρηση δια φορων περιοδικοτη των. Μπορου με να παρατηρη σουμε πως ο μικρο τερος δει κτης MASE ει ναι κατα κανο να για συ γκριση των αποτελεσμα των μας με Naive Forecast περιοδικο τητας 24 ωρω ν και ο μεγαλυ τερος δει κτης ο ταν θεωρου με πως ε χουμε μη περιοδικη χρονοσειρα. Αυτο σημαι νει πως η naive forecast κα νει τα λιγο τερα λα θη, ο ταν χρησιμοποιει για προ βλεψη την αμε σως προηγου μενη τιμη των πραγματικω ν δεδομε νων. Κα τι που σημαι νει πως οι χρονοσειρε ς μας δεν θεωρου νται ως χρονοσειρε ς με μεγα λες διακυμα νσεις απο ω ρα σε ω ρα, η καλυ τερα, οι διακυμα νσεις αυτε ς ει ναι μικρο τερες απο τις αντι στοιχες σε σχε ση με την προηγου μενη με ρα η προηγου μενη εβδομα δα. Συμπεραι νουμε λοιπο ν πως αν θε λαμε να χρησιμοποιη σουμε naive forecast θα προτιμου σαμε να γνωρι ζουμε την ζη τηση την προηγου μενη ω ρα, παρα την ζη τηση για την ι δια ω ρα την χθεσινη με ρα η την προηγου μενη εβδομα δα. Ωστο σο ο πως βλε πετε και στον πι νακα 4.4 το ποσοστο της διαφορα ς των σφαλμα των αν δεν θεωρη σουμε περιοδικο τητα σε σχε ση με θεω ρηση περιοδικο τητας 24 ωρω ν σχεδο ν ποτε δεν ξεπερναέι το 9% 10%. Για αυτο λοιπο ν στη συνε χεια των αποτελεσμα των μας θα συγκρι νουμε τα αποτελε σματα μας με

69 4.6. Συ γκριση των αποτελεσμα των του EDFT και συ γκριση με αποτελε σματα α λλων προσεγγι σεων 55 την χει ριστη δυνατη θεω ρηση για εμα ς, με τα αποτελε σματα naive forecast χωρι ς περιοδικο τητα. Δεν θα παραλει ψουμε ωστο σο να αναφερθου με και σε ποιο δι καιες και για εμα ς συγκρι σεις ο πως ει ναι η συ γκριση με naive forecast εβδομαδιαιάς περιοδικο τητας (168 ωρω ν). Ο ταν συγκρι νουμε μεθο δους με την μετρικη MASE, η με θοδος με το χαμηλο τερο MASE ει ναι η προτιμω μενη με θοδος. Στη συνε χεια θα παρουσια σουμε τα αποτελε σματα των προβλε ψεων μας εκφρασμε να με τη μετρικη MASE Συ γκριση αποτελεσμα των για προ βλεψη με σταθερο αλλα και κινου μενο παρα θυρο δεδομε νων Στην παρου σα ενο τητα θα συγκρι νουμε τα αποτελε σματα το σο για σταθερο ο λο και για κινου μενο παρα θυρο δεδομε νων για να δου με πο σο κοντα ει μαστε στις προβλε ψεις μας σε κα θε περι πτωση. Στις εικο νες μπορει τε να δει τε προ βλεψη με σταθερο και κινου μενο παρα θυρο για τις ι διες χρονοσειρε ς. 30 Forecast with E-DFT 30 Forecast with sliding window edft 25 Data EDFT forecast 25 Data EDFT forecast Demand in specific cross Demand in specific cross Hours Hours Σχη μα 4.23: Συ γκριση μεθο δων προ βλεψης για την χρονοσειρα Forecast with E-DFT 25 Forecast with sliding window edft Data EDFT forecast Data EDFT forecast Demand in specific cross Demand in specific cross Hours Hours Σχη μα 4.24: Συ γκριση μεθο δων προ βλεψης για την χρονοσειρα 16

70 56 Κεφα λαιο 4. Πειρα ματα και αποτελε σματα 25 Forecast with E-DFT 25 Forecast with sliding window edft Data EDFT forecast Data EDFT forecast Demand in specific cross Demand in specific cross Hours Hours Σχη μα 4.25: Συ γκριση μεθο δων προ βλεψης για την χρονοσειρα 18 Μπορου με να παρατηρη σουμε πως και στην περι πτωση του απλου EDFT αλλα και στην περι πτωση του sliding window τα αποτελε σματα φαι νεται να ει ναι πολυ καλα. Περισσο τερες λεπτομε ρειες για τη συ γκριση μεταξυ των 2 μεθο δων αυτω ν θα δου με στη συνε χεια με τη χρη ση του δει κτη MASE. Fixed window Sliding window Data Forecast Πι νακας 4.5: MASE για τυχαιές προβλε ψεις επι των δεδομε νων για σταθερο και κινου μενο παρα θυρο. Ο πως μπορου με να παρατηρη σουμε η προ βλεψη με σταθερο παρα θυρο δεδομε νων που στοχευέι σε προ βλεψη μιας ολο κληρης εβδομα δας κα θε φορα ει ναι περι που 10% καλυ τερη απο την αντι στοιχη για κινου μενο παρα θυρο δεδομε νων. Επομε νως την προτιμου με περισσο τερο Συ γκριση αποτελεσμα των για προ βλεψη με τη χρη ση περισσο τερων δεδομε νων εκπαι δευσης Στην παρου σα ενο τητα θα δου με τη συ γκριση στην απο δοση για προ βλεψη με περισσο τερα δεδομε να προκειμε νου να διαπιστω σουμε αν βοηθαέι τελικα η χρη ση παλαιο τερων δεδομε νων για να ενισχυ -

71 4.6. Συ γκριση των αποτελεσμα των του EDFT και συ γκριση με αποτελε σματα α λλων προσεγγι σεων 57 σουμε την περιοδικο τητα η αν τελικα η παλαιο τητα των δεδομε νων επιδρα αρνητικα στο αποτε λεσμα. Στον παρακα τω πι νακα μπορει τε να δει τε αποτελε σματα προβλε ψεων ο που ε γινε χρη ση το σο λι γων, ο σο και περισσο τερων δεδομε νων για να προβλε ψουμε 2 εβδομα δες. Fixed window Sliding window AR Data Forecast Πι νακας 4.6: MASE για τυχαιές προβλε ψεις επι των δεδομε νων. Ενδεικτικα μπορου με να δου με στον πι νακα 4.6 πως υπα ρχει μια τα ση αυ ξησης του σφα λματος ο σο περισσο τερα παλια δεδομε να χρησιμοποιου με. Φαι νεται πως για προ βλεψη 2 εβδομα δων για παρα δειγμα ει μαστε εντα ξει αν χρησιμοποιη σουμε τις 2-3 προηγου μενες. Για το συγκεκριμε νο πει ραμα χρησιμοποιη θηκε σταθερο παρα θυρο και για τον AR, εξ ου και σταθερο τητα στην απο δοση, καθω ς στο συγκεκριμε νο πι νακα δεν αποτελει με τρο συ γκρισης(500 ω ρες). Η προ βλεψη με AR διατηρει σταθερο MASE για ο λα τα πειρα ματα πλην για χρη ση των εβδομα δων καθω ς για κα θε προ βλεψη χρησιμοποιει τα δεδομε να περι που 500 ωρω ν. Φαι νεται καθαρα πως με το που χρησιμοποιει κα τω απο τα προβλεπο μενα αμε σως χειροτερευέι σε MASE 0.86 ε ναντι Συ γκριση αποτελεσμα των του EDFT σε σχε ση με το μοντε λο AR και τον αλγο ριθμο Fast-Block LMS Στον πι νακα 4.7 μπορει τε να δει τε ενδεικτικα αποτελε σματα απο τυχαιές εκτελε σεις προβλε ψεων για ποικι λα μεγε θη δεδομε νων. Στη συνε χεια στον πι νακα 4.8 θα δει τε προβλε ψεις οι οποιές ε χουν χρησιμοποιη σει ο λο το μη κος των δεδομε νων και μας βοηθου ν να βγα λουμε πιο καλα συμπερα σματα σχετικα με την απο δοση των προβλε ψεων. Στον πι νακα 4.8 ε χουμε παραλει ψει την χρη ση του sliding window γιατι ει δαμε πως με χρι τω ρα δεν ει ναι το ι διο αποδοτικη με τη χρη ση του απλου EDFT και την χρησιμοποιη σαμε με διαφορετικο παρα θυρο δεδομε νων και επομε νως τα κριτη ρια δεν ει ναι ι δια. Στην πρω τη στη λη (Fixed window) μπορει τε να δει τε την μετρικη MASE για προ βλεψη με EDFT και σταθερο παρα θυρο δεδομε νων. Στη δευ τερη στη λη (Sliding window) μπορει τε να δει τε την προ βλεψη με EDFT για κινου μενο παρα θυρο δεδομε νων. Στην τρι τη στη λη (AR) μπορει τε να δει τε την προ βλεψη με την χρη ση του αυτοπαλινδρομου μενου μοντε λου που αναφε ρθηκε νωρι τερα. Στην τε ταρτη στη λη μπορει τε να δει τε τα αποτελε σματα με τη χρη ση του αλγορι θμου Fast-Block LMS. Στην πε μπτη και ε κτη στη λη μπορει τε αντι στοιχα να δει τε το με γεθος των δεδομε νων που χρησιμοποιη σαμε και για πο σες εβδομα δες θε λαμε να προβλε ψουμε αντι στοιχα. Στη στη λη Data του πι νακα η τιμη αντιστοιχει σε χρη ση της 18ης, της 19ης και της 20ης εβδομα δας του συνο λου δεδομε νων για προ βλεψη αριθμου εβδομα δων ο πως μπορει τε να δει τε στη στη λη Forecast Ο πως ευ κολα μπορει να γι νει αντιληπτο και αναφε ρθηκε η δη και στον πι νακα 4.4 χρησιμοποιου με για συ γκριση με τα αποτελε σματα μας την μετρικη MASE η οποιά λαμβα νει υπο ψιν της για την λυ ση του προβλη ματος ακο μα και δεδομε να τα οποιά παι ρνει απο τα πραγματικα μο λις μιάς ω ρας νωρι τερα. Μπορου με να παρατηρη σουμε στην πρω τη στη λη ο που ει ναι η προ βλεψη μας με σταθερο παρα θυρο δεδομε νων πως μπορου με να επιτυ χουμε σχεδο ν τα ι δια και πολλε ς φορε ς καλυ τερα αποτελε σματα χα ρη στη με θοδο μας, χωρι ς μα λιστα να γνωρι ζουμε δεδομε να πολυ κοντα σε αυτα

72 58 Κεφα λαιο 4. Πειρα ματα και αποτελε σματα Fixed window Sliding window AR FB LMS Data Forecast Πι νακας 4.7: MASE για τυχαιές προβλε ψεις επι των δεδομε νων. που θε λουμε να προβλε ψουμε. Ε τσι για παρα δειγμα ε στω ο τι θε λουμε με δεδομε να 8 εβδομα δων να προβλε ψουμε α λλες 8, μπορει τε να δει τε πως ε χουμε σχεδο ν τα ι δια λα θη, με μεθο δους οι οποιές χρησιμοποιου ν για την προ βλεψη της τελευταιάς απο τις 8 εβδομα δες με χρι και την τελευταιά ω ρα πριν απο την επιθυμητη, ενω εμει ς δεν γνωρι ζουμε κανε να στοιχειό απο τις 8 εβδομα δες που επιθυμου με να γι νει η προ βλεψη. Η χρη ση sliding window ακολουθει απο κοντα με μικρε ς διαφορε ς της τα ξεως του 5-7%. EDFT AR FB LMS Data Forecast Πι νακας 4.8: MASE για προβλε ψεις σε ο λο το μη κος των δεδομε νων. Στον πι νακα 4.8 ε χουμε τις προβλε ψεις οι οποιές πραγματοποιη θηκαν για ο λο το μη κος των δεδομε νων και αποτελου ν πιο χρη σιμες ενδει ξεις σχετικα με την αποδοτικο τητα των μεθο δων τις οποιές χρησιμοποιη σαμε στην παρου σα εργασιά. Ο πως μπορου με να παρατηρη σουμε η με θοδος AR ει ναι η καλυ τερη. Κατα με σο ο ρο ει ναι 10-12% καλυ τερη απο τον EDFT και περι που 12-15% καλυ τερη απο τον αλγο ριθμο του Fast Block LMS. O EDFT ει ναι καλυ τερος απο τον Fast-Block κατα περι που 3-4%. Αξι ζει να σημειωθει πως το γεγονο ς πως τα διανυ σματα βαρω ν του Fast Block LMS δεν επηρεα ζονται ευ κολα απο μη περιοδικα φαινο μενα που θα εμφανιστου ν κα νει τη με θοδο αυτη να μην ε χει μεγα λες διακυμα νσεις στις διαφορετικε ς περιπτω σεις των πειραμα των, βλε πετε πως κυμαι νεται απο 0.98 με χρι Το ευ ρος ει ναι μο λις Απο την α λλη ο EDFT παρουσια ζουν μιά σταθερο τητα στην μεταξυ τους απο σταση ο ταν πε φτουν ε ξω στην προ βλεψη. Δει τε για παρα δειγμα τις περιπτω σεις που χρησιμοποιου με δεδομε να 22 εβδομα δων και 14 εβδομα δων. Εδω ο EDFT και o AR δεν τα ε χουν παέι καλα. Ωστο σο ο FB LMS δεν φαι νεται να επηρεα ζεται πολυ. Στις εικο νες που ακολουθου ν μπορει τε να δει τε ενδεικτικα αποτελε σματα για προ βλεψη χρονοσειρω ν μεταξυ του απλου EDFT σε σχε ση με το μοντε λο AR.

73 4.6. Συ γκριση των αποτελεσμα των του EDFT και συ γκριση με αποτελε σματα α λλων προσεγγι σεων Forecast with E-DFT Data EDFT forecast Forecast using AR model forecast DATA Forecast Demand in specific cross Hours Σχη μα 4.26: Συ γκριση μεθο δων προ βλεψης για την χρονοσειρα Forecast with E-DFT Data EDFT forecast 25 Forecast using AR model forecast DATA Forecast Demand in specific cross Hours Σχη μα 4.27: Συ γκριση μεθο δων προ βλεψης για την χρονοσειρα Συ γκριση αποτελεσμα των για κα θε ξεχωριστη διασταυ ρωση Εδω θα προστεθου ν μετρικε ς για κα θε ξεχωριστη διασταυ ρωση. Επιπλεόν πραγματοποιη θηκαν πειρα ματα προκειμε νου πε ραν του με σου MASE για τις 24 διασταυρω σεις που ε χουμε δει ξει με χρι τω ρα να δου με και πο σο καλη ει ναι η ανταπο κριση μας σε κα θε διασταυ ρωση. Στο παρακα τω πι νακα μπορει τε να δει τε πο σο ακριβη ς η ταν η προ βλεψη μας για κα θε διασταυ ρωση απο τις 24 που μελετη θηκαν για το πει ραμα με 20 εβδομα δες δεδομε να και 6 εβδομα δες προ βλεψη. Στον πι νακα 4.9 βλε πουμε πως το ευ ρος του MASE για τον EDFT κυμαι νεται περι που απο 0.90 με χρι 1.02 για κα θε διασταυ ρωση. Ο πως ει δαμε και νωρι τερα φαι νεται η υπεροχη του μοντε λου AR αλλα και η απο δοση του Fast-Block LMS που κατα κανο να ει ναι χειρο τερη αλλα για λι γο σε σχε ση με τον EDFT. Μπορου με με αυτο ν τον τρο πο να δου με ποιε ς διασταυρω σεις αποτελου ν ευ κολο στο χο για προ βλεψη και ποιε ς ει ναι εκει νες που ει ναι δυσκολο τερες. Χαρακτηριστικα βλε πουμε πως η διασταυ ρωση 10 αλλα και η 21 ει χαν καλη απο δοση στην προ βλεψη κα τι που δεν ι σχυε για το συγκεκριμε νο πει ραμα στην διασταυ ρωση 8. Ο πως ε χει αναφερθει και νωρι τερα, ο πι νακας με την αντιστοιχιά των διασταυρω σεων ει ναι ο 4.3.

74 60 Κεφα λαιο 4. Πειρα ματα και αποτελε σματα # διασταύρωσης EDFT AR FB LMS M.O Πι νακας 4.9: MASE για προβλε ψεις σε ο λο το μη κος των δεδομε νων. 4.7 Παραγωγη εικο νων της ζη τησης στον χα ρτη με σω προ βλεψης Στη συνε χεια χρησιμοποιη σαμε τις προβλε ψεις τις οποιές πραγματοποιη σαμε με τη χρη ση του EDFT προκειμε νου να κατασκευα σουμε νεές εικο νες που θα μας δει χνουν την ζη τηση σε μελλοντικε ς στιγμε ς. Στις παρακα τω εικο νες μπορει τε να δει τε τε τοιες εικο νες οι οποιές παρη χθησαν αφου εφαρμο σαμε τον EDFT στις χρονοσειρε ς μεταβολη ς της ζη τησης που αφορα κα θε pixel. Συνθε σαμε τις προβλε ψεις για κα θε διασταυ ρωση και κατασκευα στηκαν οι νεόι χα ρτες που δει χνουν την ζη τηση στην περιοχη του Manhattan. Λο γω περιορισμω ν στις υπολογιστικε ς δυνατο τητες και τους χρο νους θα δει ξουμε μο νο τις 160 περι που πιο ζωντανε ς διασταυρω σεις για προβλε ψεις που ε γιναν τον μη να Νοε μβριο και για τις οποιές χρησιμοποιη θηκαν ο λα τα διαθε σιμα δεδομε να.

75 4.8. Τελικα συμπερα σματα για την ακρι βεια του EDFT ως με σο προ βλεψης 61 Σχη μα 4.28: Συ γκριση μεθο δων προ βλεψης για την χρονοσειρα 15 Σχη μα 4.29: Συ γκριση μεθο δων προ βλεψης για την χρονοσειρα 16 Σχη μα 4.30: Συ γκριση μεθο δων προ βλεψης για την χρονοσειρα Τελικα συμπερα σματα για την ακρι βεια του EDFT ως με σο προ βλεψης Στην παρου σα υποενο τητα θα σας παρουσια σουμε συνοπτικα τα συμπερα σματα μας για το κατα πο σο ο EDFT μπορει να κρι νεται ως μια αποδοτικη με θοδος προ βλεψης για προβλη ματα προ βλεψης σε ανα λογες περιπτω σεις και το πο σο χειρο τερος ει ναι συ μφωνα με την μετρικη MASE με α λλες

76 62 Κεφα λαιο 4. Πειρα ματα και αποτελε σματα προβλε ψεις ο πως για παρα δειγμα με τη με θοδο αυτοπαλινδρο μησης AR και τη με θοδο του Fast-Block LMS. Ο πως προκυ πτει απο την μελε τη που ε γινε με χρι τω ρα, ο EDFT μπορει κα λλιστα να αποτελε σει μια με θοδο προ βλεψης καθω ς και μο νο που η με ση απο δοση του συ μφωνα με την μετρικη MASE ει ναι κα τω απο 1 μπορει να κριθει ως αποδοτικη με θοδος. Σαφω ς και προς το παρο ν δεν μπορει να προσεγγι σει την ακρι βεια η δη γνωστω ν και εξελιγμε νων μεθο δων ο πως η αυτοπαλινδρο μηση AR. Ενθαρρυντικο στοιχειό αποτελει το γεγονο ς ο τι φαι νεται να ε χουμε μια καλυ τερη απο δοση σε σχε ση με τα αποτελε σματα του Fast Block LMS ωστο σο σι γουρα απαιτει ται περισσο τερη μελε τη προς αυτη την κατευ θυνση προκειμε νου να γι νει εκτενε στερη συ γκριση σε σχε ση με παρο μοιες μεθο δους αλλα και γενικο τερα forward predictors. Ο πως ει δαμε φαι νεται πως ε χουμε περι που μια απο δοση της τα ξεως του 12-15% σε σχε ση με το AR μοντε λο και περι που 3-4% καλυ τερη σε σχε ση με τον αλγο ριθμο του Fast-Block LMS. 4.9 Απο πειρα επεξη γησης ανωμαλιω ν και μεγα λων σφαλμα των στην προ βλεψη Στην παρου σα ενο τητα θα δου με κατα πο σο μπορου με να εξηγη σουμε ακραιές τιμε ς σφαλμα των αναζητω ντας πηγε ς πληροφοριάς οι οποιές θα μπορου σαν να μας επεξηγη σουν τε τοια σφα λματα. Χαρακτηριστικο τερο ο λων των παραδειγμα των ει ναι μια μεγα λη χιονοθυέλλα στα τε λη του Ιανουαριόυ κατα την οποιά τα αυτοκι νητα και οι πεζοι που κυκλοφο ρησαν στους δρο μους της Νεάς Υο ρκης η ταν ελα χιστα-οι. Παρα το γεγονο ς πως οι προβλε ψεις μας ει ναι αρκετα κοντα στα πραγματικα δεδομε να αναμφισβη τητα κατα τη δια ρκεια της ανα λυσης μας συναντου με ημε ρες η ω ρες που παρουσια ζουν ιδιαι τερες ανωμαλιές. Στην παρου σα εργασιά εξετα σαμε τις 24 πιο κινητικε ς διασταυρω σεις του Manhattan. Ει δαμε πως παρα το γεγονο ς πως κατα κανο να συναντη σαμε με γιστο αριθμο δρομολογιών ανα ω ρα κοντα στα για μιά διασταυ ρωση γι νεται ευ κολα κατανοητο πως το ε ργο μιας προ βλεψης χωρι ς λα θη ει ναι ιδιαι τερα δυ σκολο και επισφαλε ς καθω ς θα πρε πει μαντε ψουμε με χρι και γεγονο τα που μπορει να συμβου ν σε ακτι να με τρων και να δου με πο σο αυτα μπορει να αυξη σουν την κι νηση στη συγκεκριμε νη διασταύρωση. Αν επιχειρη σουμε να κα νουμε προ βλεψη λαμβα νοντας υπο ψιν ο λες τις πιθανε ς παραμε τρους που μπορει να επηρεα ζουν την ζη τηση σε κα ποια διασταυ ρωση θα αναγκαζο μασταν να χρειαζο μαστε πληροφοριές ο πως meetings σε επιλεγμε να κτη ρια, η ακο μα και πληροφοριές απο τις αρχε ς του Manhattan σχετικα με το πο τε ε νας δρο μος θα η ταν κλειστο ς λο γω ε ργων για παρα δειγμα. Δεν ει ναι κρυφο, πως ιδιαι τερο ρο λο στην ζη τηση ανα περιοχη παι ζει και το surge pricing. Ο πως μπορου με να δου με και στο [13] κατα τη δια ρκεια ωρω ν με υψηλη ζη τηση για δρομολο για, τα κο μιστρα μπορει να αυξηθου ν προκειμε νου τα οχη ματα να κα νουν βε βαιο το γεγονο ς πως θα εξυπηρετηθου ν αυτοι που ε χουν περισσο τερη ανα γκη και προφανω ς δεν θα επηρεαστου ν απο την αυ ξηση της τιμη ς. Η Uber ισχυρι ζεται πως η πολιτικη αυτη της τιμολο γησης εξασφαλι ζει πως η πραγματοποιήση του δρομολογιόυ θα εκκινη σει γρη γορα και αξιο πιστα. Για τους οδηγου ς-μετο χους της Uber σημαι νει υψηλο τερα ε σοδα και σταθερο ρυθμο πελατω ν προς εξυπηρε τηση. Για το σκοπο αυτο και η εφαρμογη της Uber ενημερω νει τους υποψη φιους πελα τες εα ν βρι σκονται εντο ς μιας περιοχη ς με μεγα λη η μη ζη τηση την χρονικη στιγμη της αι τησης για δρομολο γιο. Ενδεικτικη δουλεια που μπορει να επεξηγη σει τε τοιες περιπτω σεις που ο πελα της μπορει να επιλε ξει ε να α λλο μεταφορικο με σον γι νεται στο [14] ο που πραγματοποιει ται μια συ γκριση σχετικα με την τιμολο γηση το σο του Uber ο σο και των Yellow Taxis σχετικα με το ποιο με σον ει ναι ποιο συμφε ρων κατα τη δια ρκεια της ημε ρας αλλα και με βα ση δια φορες περιοχε ς. Γεγονο τα ο πως εορτε ς αλλα και συμβα ντα μεγα λου βεληνεκου ς, ει ναι γνωστο πως μπορου ν να επηρεα σουν α μεσα ει τε θετικα ει τε αρνητικα την ζη τηση. Προ σφατα αναπτυ χθηκαν και απο την Uber συστη ματα προβλε ψεων με τη χρη ση recurrent neural networks που ωστο σο προβλε πουν την συνολικη κι νηση και δεν κα νουν κα ποια προσε γγιση σε χαμηλο τερο επι πεδο [15]. Στην παρακα τω εικο να η οποιά μας δει χνει και τον τρο πο προσε γγισης με νευρωνικα δι κτυα για την προ βλεψη μπορει τε να δει τε πως μεταβα λλεται για παρα δειγμα η ζη τηση τις ημε ρες των Χριστουγεννια τικων εορτω ν.

77 4.9. Απο πειρα επεξη γησης ανωμαλιω ν και μεγα λων σφαλμα των στην προ βλεψη 63 Σχη μα 4.31: Κλιμακοποιημε νη ζη τηση για τα Uber για δια στημα περι που 10 μηνω ν. (Πηγη :[15]) Μπορει τε να παρατηρη σετε την ε ντονη πτω ση στην κι νηση την ημε ρα των Ευχαριστιω ν και την Πρωτοχρονια αλλα και την α νοδο στο μεταξυ τους δια στημα.

78 64 Κεφα λαιο 4. Πειρα ματα και αποτελε σματα

79 Κεφα λαιο 5 Μελλοντικε ς επεκτα σεις, συμπερα σματα και ανοιχτα θε ματα H προ βλεψη της ζη τησης ει ναι ιδιαι τερα σημαντικη για κα θε εταιρειά η οποιά επιθυμει την μακροχρο νια επιβιώση της στο ανταγωνιστικο πλαι σιο που την περιβα λλει. Η αναζη τηση αποδοτικω ν αλγορι θμων οι οποιόι θα βοηθη σουν στην ο σο το δυνατο ν ασφαλε στερη προ βλεψη ει ναι απαραι τητη. Προκειμε νου οι προβλε ψεις που πραγματοποιου νται να ει ναι ο σο το δυνατο ν πιο ακριβει ς θα πρε πει να λα βουμε υπο ψιν ο σο πιο πολλου ς παρα γοντες που να επηρεα ζουν την ζη τηση. Στην παρου σα εργασιά λα βαμε υπο ψιν μο νο χωρικου ς και χρονικου ς παρα γοντες με κυριο τερο παρα γοντα τις περιοδικο τητες οι οποιές αναπτυ σσονται ως κυριάρχα προ τυπα κατα τον καθορισμο της κι νησης σε δια φορες διασταυρω σεις του Manhattan και της ευρυ τερης περιοχη ς της Νεάς Υο ρκης. Προφανω ς, ο μως η κι νηση μπορει κα λλιστα να επηρεαστει απο αστα θμητους παρα γοντες. Αυτοι οι αστα θμητοι παρα γοντες μπορει να ει ναι απο κα τι που θα επηρεα σει πολυ την κι νηση σε κα ποια διασταυ ρωση, ο πως για παρα δειγμα μιά εκδη λωση μεγα λου βεληνεκου ς στην εγγυ τερη περιοχη της διασταυ ρωσης, με χρι κα τι πιο μικρο, ο πως μια εορτη σε ε να σπι τι ο που οι φιλοξενου μενοι θα καλε σουν μερικα Uber επειδη θα καθυστερη σουν λι γο παραπα νω. Η πιθανη προ βλεψη με σω κα ποιας ενημε ρωσης εκ των προτε ρων για τε τοια συμβα ντα μπορει σι γουρα να βελτιω σει την προ βλεψη, ωστο σο φαντα ζει ακο μα μακρινο ως σενα ριο. Αντι θετα η προεργασιά για περιπτω σεις τυ που θεαμα των, αθλητικω ν, κινηματογραφικω ν, εμπορικω ν η πολιτικω ν εκδηλω σεων σι γουρα μπορει να προετοιμα σει το ε δαφος για καλυ τερη και ταχυ τερη αντιμετω πιση της ζη τησης απο την πλευρα της εταιριάς. Στην περι πτωση μας ο Extended Discrete Fourier Transform προσπαθει να εκμεταλλευτει την υ παρξη θορυ βου σε παλαιο τερες χρονικε ς στιγμε ς. Ως θο ρυβος νοει ται μικρη η μεγαλυ τερη ανωμαλιά στην χρονοσειρα μας που ξεφευ γει απο τα καθορισμε να, λο γω κυριάρχων περιοδικοτη των, προ τυπα. Α λλη μια προ κληση μπορει να αποτελε σει η παραλληλοποιήση του αλγορι θμου του Extended Discrete Fourier Transform, κα τι το οποιό θα μας δω σει την δυνατο τητα να επιταχυ νουμε προσεγγι σεις α μεσης προ βλεψης με χρη ση μεγα λου ο γκου δεδομε νων. Ε τσι θα ει ναι ακο μα πιο εφικτη μια short-term προ βλεψη λαμβα νοντας υπο ψιν ιστορικα δεδομε να ακο μα και πολλω ν ετω ν. Η παρου σα εργασιά θα μπορου σε μελλοντικα να χρησιμοποιηθει και για μεταφορικα με σα α λλου ει δους το σο για ε λεγχο της κι νησης σε μικρη κλι μακα ο σο και για αποδοτικη λειτουργιά του μοντε λου παροχη ς ζη τησης της Uber. 65

80 66 Κεφα λαιο 5. Μελλοντικε ς επεκτα σεις, συμπερα σματα και ανοιχτα θε ματα

81 Παρα ρτημα Α Kω δικας Matlab Στο παρα ρτημα αυτο θα παραθε σουμε τον κω δικα του αλγορι θμου Extended Discrete Fourier Transform. Α.1 Κω δικας Extended Discrete Fourier Transform 1 f u n c t i o n [ F, S, S t o p i t ]= e d f t (X, N, I,W) 3 % EDFT Extended D i s c r e t e F o u r i e r Transform. % 5 % F u n c t i o n EDFT produce d i s c r e t e N p o i n t F o u r i e r t r a n s f o r m F and a m p l i t u d e s p e c t r u m S % of t h e d a t a v e c t o r X. Data X may c o n t a i n NaN ( Not a Number ). 7 % % SYNTAX 9 % [ F, S, S t o p i t ]= e d f t (X,N) f o r N> l e n g t h (X) c a l c u l a t e F and S i t e r a t i v e l y % ( s e e an ALGORITHM below ). I f d a t a X do n o t c o n t a i n NaN and N<= l e n g t h ( X) 11 % or N i s n o t s p e c i f i e d, EDFT r e t u r n t h e same r e s u l t s as f a s t F o u r i e r % t r a n s f o r m : F= f f t (X,N) or F= f f t (X) and S=F /N. 13 % [ F, S, S t o p i t ]= e d f t (X, N, I ) p e r f o r m s e d f t (X,N) with l i m i t I f o r maximum number of i t e r a t i o n s. % D e f a u l t v a l u e f o r I i s s e t by p a r a m e t e r M i t e r a t i o n, t h a t i s, 15 % e d f t (X,N) = e d f t (X, N, M i t e r a t i o n ). % To complete i t e r a t i o n p r o c e s s f a s t e r, t h e v a l u e f o r M i t e r a t i o n s h o u l d be d e c r e a s e d. 17 % [ F, S, S t o p i t ]= e d f t (X, N, I,W) e x e c u t e e d f t (X, N, I ) with i n i t i a l c o n d i t i o n s d e f i n e d by w e i g h t % v e c t o r W. D e f a u l t v a l u e s f o r W a r e ones ( s i z e ( F ) ). W must have a t l e a s t 19 % l e n g t h (X) nonzero e l e m e n t s. % S t o p i t i s an i n f o r m a t i v e ( o p t i o n a l ) o u t p u t p a r a m e t e r. The f i r s t row of S t o p i t showing 21 % t h e number of performed i t e r a t i o n, t h e second row i n d i c a t e b r e a k i n g of i t e r a t i o n % r e a s o n and may have t h e f o l l o w i n g v a l u e s : 23 % 0 Maximum number of i t e r a t i o n performed. I f l e n g t h (X) <=N, only one EDFT % i t e r a t i o n i s performed ( I =1). 67

82 68 Παρα ρτημα α. Kω δικας Matlab 25 % 1 Sum of o u t p u t s d i v i s i o n sum ( F. / S ) i s n o t e q u a l t o l e n g t h (X) *N w i t h i n R e l a t i v e % d e v i a t i o n Rdeviat. The c a l c u l a t i o n s were i n t e r r u p t e d b e c a u s e of r e s u l t s c o u l d 27 % be i n a c c u r a t e. I f t h i s o c c u r i n t h e f i r s t i t e r a t i o n t h e n o u t p u t s F and S a r e z e r o s. % 2 R e l a t i v e t h r e s h o l d Rthresh r e a c h e d. To c o m p l e t e i t e r a t i o n p r o c e s s f a s t e r, 29 % t h e v a l u e f o r Rthresh s h o u l d be i n c r e a s e d. % ALGORITHM 31 % I n p u t : % X i n p u t d a t a. 33 % N l e n g t h of d i s c r e t e F o u r i e r t r a n s f o r m. % I ( o p t i o n a l ) number of maximum i t e r a t i o n. I f n o t s p e c i f i e d, I = % W ( o p t i o n a l ) w e i g h t v e c t o r W. I f n o t s p e c i f i e d, W = ones ( 1,N) i s used % f o r t h e f i r s t i t e r a t i o n. 37 % E F o u r i e r t r a n s f o r m b a s i s m a t r i x : E=exp( i *2* p i * ( 0 : l e n g t h (X) 1) * ( 0 :N 1) /N) ; % I f p a r t of unknown d a t a i n X a r e r e p l a c e d by NaN t h e n t h e time v e c t o r 39 % ( 0 : l e n g t h (X) 1) i s changed t o e x c l u d e time moments where NaN i n s e r t e d. % Output F and S f o r each EDFT i t e r a t i o n a r e c a l c u l a t e d by f o l l o w i n g f o r m u l a s : 41 % 1. R=E* d i a g (W/N) *E ; % EDFT u s i n g f u n c t i o n i f f t t o c a l c u l a t e R f a s t e r. 43 % 2. F=W. * (X* i n v (R) *E ) ; % S=(X* i n v (R) *E ). / d i a g ( E * i n v (R) *E ). ; 45 % Levinson Durbin r e c u r s i o n used f o r i n v e r s e of t o e p l i t z R. % F u n c t i o n f f t a p p l i e d t o speed up m a t r i x m u l t i p l i c a t i o n s. 47 % 3. W=S. * c o n j ( S ) ; W used as i n p u t t o t h e n e x t EDFT i t e r a t i o n. % A s p e c i a l c a s e : I f l e n g t h (X) i s e q u a l t o N, t h e EDFT o u t p u t do n o t depend on s e l e c t e d 49 % weight v e c t o r W and i s c a l c u l a t e d i n non i t e r a t i v e way. % FEATURES 51 % 1. EDFT o u t p u t F i s t h e N p o i n t F o u r i e r t r a n s f o r m of d a t a X. % The Power S p e c t r a l D e n s i t y ( PSD) f u n c t i o n can be c a l c u l a t e d by t h e f o l l o w i n g 53 % f o r m u l a : abs ( F ). ^ 2 / ( N*T ), T s a m p l i n g p e r i o d. % 2. EDFT can e x t r a p o l a t e i n p u t d a t a X t o l e n g t h N. That i s, i f a p p l y EDFT f o r 55 % N> l e n g t h (X), g e t t h e r e s u l t s : F= e d f t (X,N) = e d f t (Y) = f f t (Y) ; Y= i f f t ( F ), where % Y i s i n p u t X p l u s non z e r o f o r w a r d and backward e x t r a p o l a t i o n of X t o l e n g t h N. 57 % 3. EDFT o u t p u t S e s t i m a t e a m p l i t u d e s and p h a s e s of s i n u s o i d a l components i n % i n p u t d a t a X. 59 % 4. EDFT can i n c r e a s e f r e q u e n c y r e s o l u t i o n N/ l e n g t h (X) t i m e s. D i v i s i o n of o u t p u t s % 1 / ( T*F. / S ) d e m o n s t r a t e t h e f r e q u e n c y r e s o l u t i o n of EDFT. The f o l l o w i n g i s t r u e 61 % f o r any EDFT i t e r a t i o n : % 0<F. / S<=N,

83 α.1. Κω δικας Extended Discrete Fourier Transform % sum ( F. / S ) =N* l e n g t h (X). % 5. EDFT i n p u t d a t a X may c o n t a i n NaN. NaN i n d i c a t e u n a v a i l a b l e d a t a or m i s s i n g 65 % samples or d a t a segments i n X. EDFT O u t p u t s F and S a r e c a l c u l a t e d by % a p p l y i n g s l o w e r a l g o r i t h m t h e n i n c a s e of X w i t h o u t NaN. 67 % 6. I f X i s a matrix, t h e EDFT o p e r a t i o n i s a p p l i e d t o each column. % 69 % See a l s o FFT, IFFT, FFTSHIFT. % 71 % V i l n i s L i e p i n s ( v i l n i s l g m a i l. com ) % R e f e r e n c e : V. Liepin sh, An a l g o r i t h m f o r e v a l u a t i o n a d i s c r e t e F o u r i e r t r a n s f o r m f o r 73 % i n c o m p l e t e d a t a, Automatic c o n t r o l and computer s c i e n c e s, % Vol. 3 0, No. 3, pp.27 40, % NOTE: The f i r s t v e r s i o n of f i l e ( g d f t.m) was s u b m i t t e d on 1 0 / 7 / as Matlab 4. 1 code. 77 %======================= S e t d e f a u l t p a r a m e t e r s f o r EDFT ============================ M i t e r a t i o n =30; % L i m i t f o r maximum number of i t e r a t i o n ( S t o p i t 0). 79 R d e v i a t = ; % Value f o r r e l a t i v e d e v i a t i o n ( S t o p i t 1). R t h r e s h = ; % Value f o r r e l a t i v e t h r e s h o l d ( S t o p i t 2). 81 %======================= Check EDFT i n p u t arguments ============================== i f n a r g i n ==0, e r r o r ( Not enough i n p u t arguments. See h e l p e d f t. ), end % Check i n p u t argument X. 83 i f sum ( any ( i s i n f (X) ) ), e r r o r ( I n p u t argument X c o n t a i n I n f. See h e l p e d f t. ), end i f s i z e (X, 1 ) ==1, 85 X=X. ; t r f =1; % X i s row v e c t o r e l s e 87 t r f =0; % X i s 2 dim a r r a y end 89 [K L]= s i z e (X) ; % K l e n g t h of i n p u t d a t a X i f n a r g i n >1, % Checking i n p u t argument N. 91 i f i s e m p t y (N),N=K; end N= f l o o r (N( 1 ) ) ; 93 i f N<K, X=X( 1 : N, : ) ;K=N; end % T r u n c a t e X i f has more t h a n N p o i n t s e l s e 95 N=K; end % Checking X on NaNs : 97 Xnan=~ i s n a n (X) ; % Xnan i n d i c a t e samples as 1, NaN as 0 i f N==1, 99 KK=Xnan ; e l s e 101 KK=sum ( Xnan ) ; % KK l e n g t h of i n p u t d a t a X w i t h o u t NaN end 103 i f n a r g i n <3, % Checking i n p u t argument I. I = M i t e r a t i o n ; % S e t d e f a u l t v a l u e f o r I. 105 e l s e i f i s e m p t y ( I ), I = M i t e r a t i o n ; end 107 I = f l o o r ( I ( 1 ) ) ; end

84 70 Παρα ρτημα α. Kω δικας Matlab 109 i f n a r g i n <4, % Checking of i n p u t argument W. W= ones (N, L ) ; % S e t d e f a u l t v a l u e s f o r W 111 e l s e i f t r f ==1,W=W. ; end 113 i f ( s i z e (W, 1 ) ~=N) ( s i z e (W, 2 ) ~=L ), e r r o r ( I n c o r r e c t s i z e of i n p u t argument W. See h e l p e d f t. ), end W=W. * c o n j (W) ; 115 i f any ( f i n d ( sum (W>0)<KK) ), e r r o r ( Too many z e r o s i n i n p u t argument W. See h e l p e d f t. ), end end 117 %======================= S e t d e f a u l t v a l u e s f o r EDFT o u t p u t arguments ============== F= z e r o s (N, L ) ; S= z e r o s (N, L ) ; % F i l l with z e r o s o u t p u t m a t r i x e s F, S. 119 S t o p i t =[ I * ones ( 1, L ) ; z e r o s ( 1, L ) ] ; % S e t d e f a u l t v a l u e f o r S t o p i t. %======================= C a l c u l a t e EDFT f o r each X column l ===================== 121 f o r l =1:L, %======================= Check f o r a s p e c i a l c a s e s ============================ 123 i f KK( l ) ==N KK( l ) ==0, % I f l e n g t h (X) =N or X ( :, l ) has a l l NaNs t h e n F ( :, l ) = f f t (X ( :, l ),N) ; % EDFT o u t p u t ( F, S ) e q u a l s t o FFT. 125 S ( :, l ) =F ( :, l ) /N; S t o p i t ( :, l ) = [ 1 ; 0 ] ; 127 e l s e i f K==1&N~=1, % S p e c i a l case, t h e l e n g t h (X) =1, F ( :, l ) = f f t (X ( :, l ),N). ; % EDFT o u t p u t ( F, S ) e q u a l s t o FFT. 129 S ( :, l ) =F ( :, l ) /N; S t o p i t ( :, l ) = [ 1 ; 0 ] ; 131 e l s e i f i s e m p t y ( f i n d (X ( :, l ) ) )&KK( l ) >0, % I f i n p u t X ( :, l ) has a l l z e r o s or z e r o s&nan S t o p i t ( :, l ) = [ 1 ; 0 ] ; % t h e n EDFT o u t p u t ( F, S ) i s z e r o s. 133 %======================= B a s i c EDFT a l g o r i t h m s t a r t e d ========================== e l s e i f KK( l ) ==K, % I n p u t X ( :, l ) does n o t c o n t a i n NaN 135 %======================= Apply FASTER a l g o r i t h m ============================== f o r i t =1: I, % S t a r t i t e r a t i o n s r = i f f t (W( :, l ) ) ; % C a l c u l a t e c o r r e l a t i o n v e c t o r ( r ). % Perform i n v e r s e of c o r r e l a t i o n m a t r i x : Levinson Durbin r e c u r s i o n. 139 a= r ( 2 ) / r ( 1 ) ; V= r ( 1 ) r ( 2 ) * c o n j ( r ( 2 ) ) / r ( 1 ) ; 141 f o r n =1:K 2, a l f a =[1 a. ] * r ( n +2: 1:2) ; 143 rho= a l f a /V; V=V+ rho * c o n j ( a l f a ) ; 145 a =[ a+ rho * c o n j ( f l i p u d ( a ) ) ; rho ] ; end 147 a = [ 1 ; a ] ; % I n v e r s e by Matlab b a c k s l a s h o p e r a t o r ( an a l t e r n a t i v e a p p r o a c h ). 149 % a = [ 1 ; t o e p l i t z ( c o n j ( r ( 1 : K 1) ) ) \( r ( 2 :K) ) ] ; % V=a. * c o n j ( r ( 1 :K) ) ; 151 % C a l c u l a t e ERE= d i a g ( E * i n v (R) *E ) and XR=X* i n v (R). XR= z e r o s (K, 1 ) ; RE= z e r o s (K, 1 ) ; r c =a ; 153 f o r k =1:K/ 2,

85 α.1. Κω δικας Extended Discrete Fourier Transform 71 k0=k k +1; 155 k1 =2:K 2*k +1; k2=k +1:K k ; 157 k3=k :K k +1; RE ( 1 ) =RE ( 1 ) +2* r c ( k ) ; 159 RE( k0 k +1)=RE( k0 k +1) +2* r c ( k0 ) ; RE( k1 ) =RE( k1 ) +4* r c ( k2 ) ; 161 XR( k ) =XR( k ) + r c ( k3 ) *X( k3, l ) ; XR( k0 ) =XR( k0 ) +( f l i p u d ( r c ( k3 ) ) ). *X( k3, l ) ; 163 XR( k2 ) =XR( k2 ) + r c ( k2 ) *X( k, l ) + f l i p u d ( c o n j ( r c ( k2 ) ) ) *X( k0, l ) ; r c ( k2 ) = r c ( k2 1)+ c o n j ( a ( k +1) ) * a ( k2 ) a ( k0 ) * f l i p u d ( c o n j ( a ( k2 +1) ) ) ; 165 end i f round (K/ 2 ) >K/ 2, 167 RE ( 1 ) =RE ( 1 ) + r c ( k +1) ; XR( k +1)=XR( k +1)+X( k +1, l ) * r c ( k +1) ; 169 end ERE= r e a l ( f f t (RE,N) ) ; 171 W( :, l ) =W( :, l ) / r e a l (V) ; % S t o p i t 1 : Break i t e r a t i o n s i f sum ( F. / S ) i s n o t e q u a l t o N*K or NaN. 173 s t i t = abs (ERE. *W( :, l ) /N/K 1) ; i f ( s t i t > R d e v i a t ) i s n a n ( s t i t ), S t o p i t ( :, l ) =[ i t 1; 1 ] ; break, end 175 % C a l c u l a t e o u t p u t s f o r i t e r a t i o n ( i t ) : N p o i n t EDFT ( F ) and Amplitude Spectrum ( S ). F ( :, l ) = f f t (XR,N) ; 177 S ( :, l ) =F ( :, l ). / ERE ; F ( :, l ) =F ( :, l ). *W( :, l ) ; 179 % C a l c u l a t e w e i g h t (W) f o r t h e n e x t i t e r a t i o n. W( :, l ) =S ( :, l ). * c o n j ( S ( :, l ) ) ; 181 % S t o p i t 2 : Break i t e r a t i o n s i f r e l a t i v e t h r e s h o l d r e a c h e d. SW( i t ) =sum (W( :, l ) ) ; 183 i f i t >1, t h i t = abs (SW( i t 1) SW( i t ) ) /SW( 1 ) ; i f t h i t <= Rthresh, S t o p i t ( :, l ) =[ i t ; 2 ] ; break, end 185 end end %... end i t e r a t i o n s. 187 %======================= End of FASTER a l g o r i t h m ============================= e l s e % I n p u t X ( :, l ) c o n t a i n s NaN 189 %======================= Apply SLOWER a l g o r i t h m ============================= INVR= z e r o s (K) ; ER= z e r o s (K, 1 ) ; 191 X( f i n d (~ Xnan ( :, l ) ), l ) = z e r o s (K KK( l ), 1 ) ; % Replace NaN by 0 i n X t = f i n d ( Xnan ( :, l ) ) ; % Sample numbers v e c t o r ( t ) 193 f o r i t =1: I, % S t a r t i t e r a t i o n s... % C a l c u l a t e c o r r e l a t i o n m a t r i x (R) by a p p l y i n g i f f t and i n v e r s e of R. 195 RT= i f f t (W( :, l ) ) ; R= t o e p l i t z (RT ( 1 :K) ) ; 197 INVR( t, t ) = i n v (R( t, t ) ) ; % I n v e r s e of R % INVR( t, t ) =R( t, t ) \ eye (KK) ; % I n v e r s e by Matlab b a c k s l a s h o p e r a t o r 199 % INVR( t, t ) = pinv (R( t, t ) ) ; % P s e u d o i n v e r s e i f R i s n e a r l y s i n g u l a r ER ( 1 ) = t r a c e (INVR) ; 201 f o r k =1:K 1 ER( k +1,1) =sum ( d i a g ( INVR, k ) + c o n j ( d i a g ( INVR, k ) ) ) ; 203 end

86 72 Παρα ρτημα α. Kω δικας Matlab % C a l c u l a t e ERE= d i a g ( E * i n v (R) *E ). by a p p l y i n g f f t. 205 ERE= r e a l ( f f t (ER,N) ) ; % S t o p i t 1 : Break i t e r a t i o n s i f sum ( F. / S ) i s n o t e q u a l t o N*KK or NaN. 207 s t i t = abs (ERE. *W( :, l ) /N/KK( l ) 1) ; i f ( s t i t > R d e v i a t ) i s n a n ( s t i t ), S t o p i t ( :, l ) =[ i t 1; 1 ] ; break, end 209 % C a l c u l a t e o u t p u t s f o r i t e r a t i o n ( i t ) : N p o i n t EDFT ( F ) and Amplitude Spectrum ( S ). F ( :, l ) = f f t ( c o n j ( INVR) *X ( :, l ),N) ; 211 S ( :, l ) =F ( :, l ). / ERE ; F ( :, l ) =F ( :, l ). *W( :, l ) ; 213 % C a l c u l a t e w e i g h t (W) f o r t h e n e x t i t e r a t i o n. W( :, l ) =S ( :, l ). * c o n j ( S ( :, l ) ) ; 215 % S t o p i t 2 : Break i t e r a t i o n s i f r e l a t i v e t h r e s h o l d r e a c h e d. SW( i t ) =sum (W( :, l ) ) ; 217 i f i t >1, t h i t = abs (SW( i t 1) SW( i t ) ) /SW( 1 ) ; i f t h i t <= Rthresh, S t o p i t ( :, l ) =[ i t ; 2 ] ; break, end 219 end end %... end i t e r a t i o n s. 221 %======================= End of SLOWER a l g o r i t h m ============================= end 223 end %======================= A d j u s t s i z e of EDFT o u t p u t ============================= 225 i f t r f ==1,F=F. ; S=S. ; end Listing Α.1: Αρχικη συνα ρτηση αλγορι θμου.

87 Παρα ρτημα Β Χα ρτες και χρη σιμα στοιχειά της περιοχη ς. Χα ρτης του Manhattan Σχη μα Β.1: Χα ρτης του Manhattan 73