Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων & Φωτογραµµετρία

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Σχολή Αγρονόµων και Τοπογράφων Μηχ. Τοµέας Τοπογραφίας Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων & Φωτογραµµετρία Φωτογραµµετρική Οπισθοτοµία Υποδειγµατικά λυµένη άσκηση εδοµένα Τα δεδοµένα είναι οι γεωδαιτικές συντεταγµένες πέντε φωτοσταθερών (Φ i, καθώς και οι µετρηµένες (και διορθωµένες από συστηµατικά σφάλµατα, δηλ. συρρίκνωση, πρωτεύον σηµείο και ακτινική διαστροφή εικονοσυντεταγµένες τους. ϊνεται ακόµα η σταθερά της µηχανής 5.mm Συvτεταγµέvες φωτσταθερώv (ΣΑ/Φ α/α Χ(m Y(m (m (mm (mm Φ Φ Φ Φ Φ Επίλυση. Εισαγωγή Το πρόβληµα που τίθεται αφορά στον προσδιορισµό των στοιχείων του εξωτερικού προσανατολισµού (Χο, Υο, Ζο, ω, φ, κ µιας λήψης από µετρήσεις των εικονοσυντεταγµένων i, i πέντε φωτοσταθερών σηµείων. Για τα σηµεία αυτά θεωρούνται γνωστές οι συντεταγµένες Χ i, Y i στην προβολή Hatt καθώς και τα ορθοµετρικά τους υψόµετρα Ζ i (H i. Έτσι, επειδή τα µετρηµένα στοιχεία είναι n (δύο εικονοσυντεταγµένες για κάθε ένα από τα πέντε φωτοσταθερά, ενώ οι άγνωστες ανεξάρτητες καθοριστικές παράµετροι είναι m6 (τα στοιχεία του εξωτερικού προσανατολισµού απαιτείται συνόρθωση. Στη συγκεκριµένη περίπτωση η συνόρθωση γίνεται µε τη µέθοδο των εµµέσων παρατηρήσεων.

2 . Συνθήκη Συγγραµµικότητας Ως σχέσεις που συνδέουν το διάνυσµα των µετρήσεων µε το διάνυσµα των ανεξάρτητων καθοριστικών παραµέτρων (εξισώσεις παρατήρησης θεωρούνται οι εξισώσεις της Συνθήκης Συγγραµµικότητας. Η συνθήκη αυτή εκφράζει µε µαθηµατικό τρόπο το γεγονός ότι το σηµείο Μ στο αντικείµενο, το προβολικό κέντρο Ο και η εικόνα µ του σηµείου στη φωτογραφία βρίσκονται πάνω σε ευθεία ή, ισοδύναµα, ότι τα διανύσµατα M και µ είναι συγγραµµικά. Οι εξισώσεις αυτές διατυπώνονται υπό µορφή πινάκων ως εξής: λ R ωφκ X X Y Y εδοµένου ότι η κλίµακα λ αφορά στο συγκεκριµένο σηµείο και διαφοροποιείται από σηµείο σε σηµείο της λήψης, είναι επιθυµητή η εξάλειψή της. Για το λόγο αυτό µε διαίρεση της πρώτης και δεύτερης µε την τρίτη εξίσωση προκύπτουν οι εξισώσεις της Συνθήκης Συγγραµµικότητας: (X X (Y Y ( A (X X (Y Y ( (X X (Y Y ( A (X X (Y Y ( Όπου ij τα στοιχεία του πίνακα στροφής R: ( sφ sκ Rωφκ sφ sinκ sinφ sinω sinφ sκ sω sinκ sinω sinφ sinκ sω sκ sinω sφ sω sinφ sκ sinω sinκ sω sinφ sinκ sinω sκ sω sφ. αραγώγιση εξισώσεων της Συνθήκης Συγγραµµικότητας Οι εξισώσεις της Συνθήκης Συγγραµµικότητας δεν είναι, προφανώς, γραµµικές ως προς τις άγνωστες παραµέτρους. Για να µπορεί να εφαρµοστεί η µέθοδος των εµµέσων παρατηρήσεων απαιτείται γραµµικοποίηση κατά Tal των εξισώσεων αυτών. Η γραµµικοποίηση πραγµατοποιείται γύρω από κάποιες προσωρινές τιµές (Χο, Υο, Ζο, ω, φ, κ (ο για τους αγνώστους. Για τη γραµµικοποίηση θεωρούνται οι προηγούµενες εξισώσεις των εικονοσυντεταγµένων και ως συναρτήσεις και αντίστοιχα: (X X (X X (X X (X X (Y Y (Y Y (Y Y (Y Y ( ( ( (

3 Η γραµµικοποίηση των εξισώσεων αυτών ως προς τους αγνώστους της οπισθοτοµίας µε ταυτόχρονη παράλειψη των διαφορικών ανώτερης τάξης δίνει: Όπου: ( ( dx X dx X dy d dω dφ dκ Y ω φ κ dy d dω dφ dκ Y ω φ κ ( και ( είναι οι τιµές των παρατηρήσεων και υπολογισµένες από τις προσωρινές τιµές των αγνώστων παραµέτρων δx,δy,δ,δω, δφ,δκ είναι οι µεταβολές των προσωρινών τιµών και ουσιαστικώς οι νέοι άγνωστοι της συνόρθωσης και οι συντελεστές των αγνώστων, που είναι οι µερικές παράγωγοι των αρχικών συναρτήσεων ως προς τους αγνώστους, παίρνουν τιµές για τις προσωρινές τιµές των αγνώστων Οι µερικές παράγωγοι των αρχικών εξισώσεων ως προς τις άγνωστες παραµέτρους µε βάση το συµβολισµό των εξισώσεων ( προσδιορίζονται ως εξής: α (-Α X β (-A X α Y (-A β Y (-A α (-A β (-A Για vα διευκλυvθεί η καταvόηση τυ υπλγισµύ τωv υπολοίπωv συvτελεστώv δίvεται παρακάτω η παραγώγιση, ως πρς τις τρεις στρφές ω, φ και κ τωv στιχείωv τυ πίvακα στρφής R: ϑ ij /... ϑω ϑφ ϑκ - sinφ sκ f - sinω sφ sκ f - sω sφ sκ f sinφ sinκ f sinω sφ sinκ f - sω sφ sinκ f - sφ f - sinω sinφ f - sω sinφ f

4 Με βάση τα παραπάvω ι υπόλιπι συvτελεστές των εξισώσεων παρατήρησης για την Οπισθτµία είvαι: α - [ (- (Y- Y (- A(- (Y- Y (- ] ω α5 - [ ( f(x- X f(y- Y f(- - φ - A( f (X- X f (Y- Y f (- ] α - [ (X-X (Y- Y (- ] κ 6 β - [ ( -(Y - Y ( - A (- (Y - Y ( - ω β 5 - [ ( f(x - X f(y - Y f( - φ - A ( f (X - X f (Y - Y f ( - ] β 6 - [- (X - X -(Y - Y -( - ] κ. ροσωρινές τιµές Για τον υπολογισµό των προσωρινών τιµών ακολουθούνται διάφορες τεχνικές. Για µεν τα γωνιακά µεγέθη στην περίπτωση αεροφωτογραφίας, που κατά 99% θα πρόκειται για σχεδόν κατακόρυφη λήψη, οι προσωρινές τιµές των γωνιών λαµβάνονται ως, µε την εξαίρεση της κ, όπου πρέπει να γίνεται ένας σχετικός χονδρικός έλεγχος για τον αζιµουθιακό προσανατολισµό της γραµµής πτήσης. Οι προσωρινές τιµές των γραµµικών µεγεθών µπορεί να αντληθούν από ένα διατιθέµενο χάρτη. Σε αντίθετη περίπτωση, όπως άλλωστε και στην παρούσα άσκηση, η µόνη διατιθέµενη πληροφορία για το αντικείµενο είναι τα δεδοµένα φωτοσταθερά. Έτσι από τις οριζοντιογραφικές συντεταγµένες των φωτοσταθερών είναι δυνατόν παίρνοντας, για παράδειγµα, το µέσο όρο - να υπολογιστούν κάποιες προσωρινές συντεταγµένες για τα Χο και Υο: ( ( X X 66.9 m και Υ Υ 96.7 m i i

5 Για το υψόµετρο πτήσης (Ζο θα χρειαστεί να εκτιµηθεί η κλίµακα των εικόνων. Αυτή θα µπορούσε να υπολογιστεί εύκολα υποθέτοντας ότι οι αεροφωτογραφία είναι αυστηρά κατακόρυφη. Στην περίπτωση αυτή ισχύει η σχέση: α a X X Y Y k Από απλή εφαρµογή της, τυχαία για τα του πρώτου φωτοσταθερού (Φ προκύπτει: mm ( m 865 Με τη βοήθεια της κλίµακας υπολογίζεται µια προσέγγιση του ύψους πτήσης: ( κ 5. mm 865/ 7 m Το ύψος πτήσης προστιθέµενο στο µέσο ανάγλυφο του εδάφους (µέσος όρος των Ζ των φωτοσταθερών δίνει µια καλή προσέγγιση για το Ζο: H m i 5. Συµβατότητα µονάδων εν αποµένει πλέον παρά η αντικατάσταση όλων των τιµών στις εξισώσεις παρατήρησης και η επίλυση του συστήµατος σύµφωνα µε τη ΜΕΤ. Ένα σηµείο στο οποίο θα πρέπει να δίνεται ιδιαίτερη προσοχή είναι η συµβατότητα των µονάδων. Θα πρέπει, δηλαδή, να διασφαλίζεται ότι όλα τα µεγέθη είναι σε τέτοιες µονάδες ώστε το αποτέλεσµα της επίλυσης να είναι και αυτό στις επιθυµητές µονάδες. Στην προκειµένη περίπτωση έχουµε τις εξής µονάδες: Α. Οι εικονοσυντεταγµένες µετρώνται σε χιλιοστά (mm άρα και το δεύτερο µέλος των εξισώσεων παρατήρησης πρέπει να είναι σε χιλιοστά(mm Β. Η σταθερά της µηχανής δίνεται σε χιλιοστά (mm Γ. Οι γεωδαιτικές συντεταγµένες των φωτοσταθερών δίνονται σε µέτρα (m. Τα γωνιακά µεγέθη δίνονται σε βαθµούς, ή καλύτερα σε δευτερόλεπτα ( Οι διορθώσεις δω, δφ, δκ είναι επιθυµητό να προσδιοριστούν σε, έτσι οι συντελεστές των αντίστοιχων µεγεθών διαιρούνται µε p. Οι διορθώσεις δχ δυ δζ είναι επιθυµητό να προσδιοριστούν σε µέτρα οπότε δεν χρειάζεται καµία επέµβαση στους συντελεστές Για να διασφαλιστεί εποµένως η επιθυµητή συµβατότητα των µονάδων θα πρέπει οι συντελεστές των εξισώσεων παρατήρησης που αναφέρονται στα µεγέθη δω, δφ, δκ, δηλαδή οι µερικές παράγωγοι, να πολλαπλασιάζονται µε ρ 666

6 6. Επίλυση Κατόπιν των παραπάνω το σύστηµα των εξισώσεων παρατήρησης διαµορφώνεται ως εξής: 5 ( 5 ( ( υ υ υ dκ dφ dω d dy dx κ φ ω Y X κ φ ω Y X κ φ ω Y X Επισηµαίνεται ότι οι εικονοσυντεταγµένες µετρώνται στα σύγχρονα όργανα µε την ίδια ακρίβεια, τόσο οι και, όσο και για κάθε σηµείο. Συνεπώς οι παρατηρήσεις στην προκειµένη περίπτωση είναι ισοβαρείς και έτσι δεν απαιτείται πίνακας βαρών. Σε µορφή πινάκων έχουµε συνεπώς: υ δl δ A Η επίλυση ακολουθεί τη γνωστή διαδικασία των διαδοχικών προσεγγίσεων, δεδοµένου ότι από κάθε επίλυση του συστήµατος προκύπτουν τιµές για τις διαφορικές µεταβολές των προσωρινών τιµών, ώστε αυτές προστιθέµενες να πλησιάσουν την καλύτερη τιµή: (Χο, Υο, Ζο, ω, φ, κ ( (Χο, Υο, Ζο, ω, φ, κ ( (dχο, dυο, dζο, dω, dφ, dκ Η πρώτη επίλυση του συστήµατος, όπως διατυπώθηκε παραπάνω δίνει: -,5986, ,566E-5,976,969 -,5986 -,79 -,8-7,566E-5,86 -,9765 -, ,89E-5,96,76 -,9765 -,57977 Α 7 -,6578 9,89E-5 -,968 -, ,9755 -,59E-6,,7979E-5 -, ,6 -,9,59E-6 -,587E-5 -,99765, ,956E-5,7797 -,78 -,99765,556 -,655 6,956E-5 9,5865E-5 -,697 -, ,57E-5,6596 -,578 -,697, ,98-5,57E-5-7,98795E-5

7 ,78, ,97E-6 -,866-6,578E-6,78,8797,968-9,97E-6 5,659E-6,68588,8797,65759,597E-5-9,99E-6-5,8E- -,866-9,97E-6-9,99E-6 -,99E-8,8686E-7,78E-9-6,578E-6 5,659E-6-5,8E-,957E-9,78E-9,5596E-7 N 9,97E-6,968,597E-5 5,7577E-7 -,99E-8,957E-9 -,86 -, m X 655.m -6,76887.m 96.68m -,88785 Y 5.7m -, m δ l X 68 ω.68-9, φ.66, κ.6-6,5759 -, δ -6,57885 ˆσ.599mm Στο σηµείο αυτό θα πρέπει να πραγµατοποιηθεί ένας έλεγχος κατά πόσο οι υπολογισθείσες τιµές των µεταβολών των προσωρινών τιµών έχουν πρακτικό νόηµα ή όχι. ηλαδή εάν εφαρµοζόµενες θα µεταβάλουν τις αρχικές τιµές κατά ποσότητα µεγαλύτερη από κάποιο όριο. Εν προκειµένω εφόσον δεν δίνεται ρητώς - η τιµή του ορίου µπορεί να εκτιµηθεί ως εξής: Η προσέγγιση µε την οποία δίνονται οι συντεταγµένες των φωτοσταθερών είναι 5m. Συνεπώς δεν είναι δυνατό να επιζητήσει κανείς προσέγγιση υπολογισµού των γραµµικών αγνώστων µεγαλύτερη από αυτήν. Εϊναι µάλιστα λογικό να θεωρείται ρεαλιστική προσέγγιση µια τάξη µεγέθους χειρότερη από αυτήν των φωτοσταθερών, δεδοµένου ότι στη διαδικασία υπεισέρχονται µετρήσεις και υπολογισµοί, οι οποίοι είναι αναπόφευκτο ότι θα εισαγάγουν κάποιες αβεβαιότητες. Έτσι το επιζητούµενο όριο στον υπολογισµό των γραµµικών στοιχείων του εξωτερικού προσανατολισµού εκτιµάται σε.m. Το αντίστοιχο όριο για τα γωνιακά µεγέθη υπολογίζεται θεωρώντας ότι. m για ύψος 7 m αντιστοιχούν σε δα atan(./7 p 86. Ένα πιο ασφαλές κριτήριο είναι η σύγκλιση του a psteii τυπικού σφάλµατος της µονάδας βάρους ˆσ, που στην συγκεκριµένη περίπτωση ταυτίζεται µε το a psteii τυπικό σφάλµα της µίας µέτρησης. ηλαδή γίνεται έλεγχος αν το a psteii τυπικό σφάλµα της µονάδας βάρους που προκύπτει σε κάθε συνόρθωση διαφέρει από εκείνο της αµέσως προηγούµενης. Έτσι τα αποτελέσµατα της πρώτης επίλυσης του συστήµατος των κανονικών εξισώσεων ελέγχονται εάν πληρούν τα παραπάνω κριτήρια µε βάση το µέγεθος των τιµών του πίνακα δ. Από την πρώτη επίλυση προκύπτουν µεγάλες

8 διορθώσεις στις προσεγγιστικές τιµές και γι αυτό το λόγο γίνεται και δεύτερη συνόρθωση αυτή τη φορά µε προσεγγιστικές τιµές εκείνες του πίνακα. Έτσι υπολογίζονται οι νέες διορθωµένες αρχικές τιµές και επαναλαµβάνεται η κατάστρωση των εξισώσεων παρατήρησης, η διαµορφωση του συστήµατος των κανονικών εξισώσεων και η εκ νέου επίλυσή του. X.6m X 658.9m.5m 96.m Y.77m 995.7m δ X 57.5 ω φ κ.68 σ ˆ.58mm Κατόπιν επαναλαµβάνεται ο έλεγχος και όλη η διαδικασία, έως ότου οι υπολογιζόµενες τιµές να πάψουν να συµβάλλουν στην ουσιαστική µεταβολή των αρχικών τιµών. Αυτό επιτυγχάνεται µε την τρίτη συνόρθωση..9m X 658.m.6m 96.8m Y.8m 99.99m δ X 9.97 ω.575 ˆσ.8mm 5.6 φ κ.65 αρατηρούµε όµως πως το δεύτερο κριτήριο, σχετικά µε το a psteii τυπικό σφάλµα της µονάδας βάρους, δεν ικανοποιείται αφού σˆ σˆ. Έτσι παραγµατοποιείται και τέταρτη συνόρθωση που τα αποτελέσµατα της οποίας είναι: -, ,788558, ,E-5,95865,59 -,9889 -,7695 -, ,965-6,799E-5,99 -,5779 -,689 -, ,95E-5,898,856 -, , ,669 -,99 5,66E-5 -, -,896 -,88, ,9969E-6,99,76E-5 Α,6 -,865 -,9896 -,79-5,87E-6,95E-6 -,787 -,7995, ,5757E-5,8896 -,675,979 -,8987,758 -,89 6,86588E- 5,8 -,98 -,95 -,59,8687E-5,586 -,66,8765 -,55675, ,566 -,79E-5-5,8E-5

9 ,859,E-5 -,6656 7,5E-6 -,5769 7,56E-6,E-5,88 -,66997,76-9,55E-6-9,68E-6 -,6656 -,66997, ,65E-6,559E-5-9,9858E-7 7,5E-6,76-6,65E-6 5,6E-7 -,7785E-8-6,9966E-9 -,5769-9,55E-6,559E-5 -,7785E-8,855E-7-9,67699E-9 7,56E-6-9,68E-6-9,9858E-7-6,9966E-9-9,67699E-9,6E-7,86679, , m X 658.m -, m.78 m Y -5 9,788E-5.6 m 995.m δl δ X ˆσ 6,568E-5.9 ω.576.8mm, φ -6,999E-5 5. κ.65 -,88 -,6675 Ν 8,9E-5 -,658E-6 -,E-5,796, ,98 -,658E-6 9,86E-5 -,65E-6 -,576 -,796,895 -,E-5 -,65E-6,5E-5, ,99,587E-5 ˆV ˆX,796 -,576,58596,688, ,9576, ,796 -,99,67656, ,55 -,98,895,587E-5 -,9576 -,55 5,566 Έτσι τα τελικά αποτελέσµατα είναι: Χο(m 658. ±.9 Y(m 96.9 ±. (m 995. ±. ω (ad.576 ±.6 φ (ad.779 ±.6 κ (ad.65 ±. Α.Μ. Αγατζά Μπαλοδήµου Α. Γεωργόπουλος. Τσίνη