Επιβλέπων Καθηγητής : κ. Θ. Ξένος

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ ΤΟΜΕΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Γαρουφαλής Γεώργιος Α.Ε.Μ.: 4411 Παπαβασιλείου Ιωάννης Α.Ε.Μ.: 4481 Επιβλέπων Καθηγητής : κ. Θ. Ξένος ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Ιούλιος 2006

2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η παρούσα διπλωματική εργασία ασχολείται με τη μελέτη ιονοσφαιρικών δεδομένων TEC με τη χρήση κυματιδίων (wavelets). Αρχικά παρατίθενται στοιχεία για την ιονόσφαιρα και τις ιδιότητες της. Στη συνέχεια, μετά από μια αναφορά στους μετασχηματισμούς στη συχνότητα, αναπτύσσεται η θεωρία των κυματιδίων και εφαρμόζεται ο διακριτός μετασχηματισμός στην επεξεργασία των TEC δεδομένων αναδεικνύοντας τα πλεονεκτήματα του και προσφέροντας μας πολύτιμα συμπεράσματα. Τέλος, θα θέλαμε να εκφράσουμε τις θερμές μας ευχαριστίες στον επιβλέποντα καθηγητή κ. Θ. Ξένο για την ευκαιρία που μας έδωσε να ασχοληθούμε με αυτή την εργασία καθώς και για την πολύτιμη βοήθειά του στη διεκπεραίωση αυτής. Θεσσαλονίκη, Ιούλιος 2006 Γαρουφαλής Γεώργιος Παπαβασιλείου Ιωάννης 2

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Στοιχεία Ιονόσφαιρας Εισαγωγή Ιονοσφαιρική διάδοση Στρωμάτωση της ατμόσφαιρας Μηχανισμός δημιουργίας της ιονόσφαιρας Στρωμάτωση ιονόσφαιρας Συχνότητα πλάσματος και κρίσιμη συχνότητα Ιονοσφαιρικές μεταβολές Ημερήσιες Μεταβολές Εποχιακές Μεταβολές Ηλιακές κηλίδες Μεταβολές στα στρώματα Ε και F Γεωγραφικές μεταβολές Επίδραση του γήινου μαγνητικού πεδίου Ιονοσφαιρικές διαταραχές Ιονοσφαιρικές καταιγίδες Αιφνίδιες ιονοσφαιρικές διαταραχές Οδεύουσες ιονοσφαιρικές διαταραχές Άνεμοι-Ρεύματα Επίδραση πυρηνικών εκρήξεων Εκλείψεις ΤΕC 16 KEΦΑΛΑΙΟ 2: Μετασχηματισμοί στη συχνότητα Εισαγωγή Μετασχηματισμός Fourier Μετασχηματισμός Fourier με παράθυρο 23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Κυματίδια Συνεχής μετασχηματισμός κυματιδίου Ιστορική αναδρομή στα κυματίδια Εφαρμογές των κυματιδίων Διακριτός μετασχηματισμός κυματιδίου 40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Πολυεπίπεδη ανάλυση Εισαγωγή Κωδικοποίηση υποζωνών και πολυεπίπεδη ανάλυση Συστοιχίες φίλτρων και μαθηματική ανάλυση Μαθηματική ανάλυση Σχέση των φίλτρων Ερμηνεία 58 3

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Επεξεργασία TEC δεδομένων Δεδομένα Αποκατάσταση πληροφορίας-regression Κατηγορίες κυματιδίων Επιλογή κυματιδίου Εφαρμογή του DWT στα TEC δεδομένα Συμπίεση-Αποθορυβοποίηση 77 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Συμπεράσματα 80 Βιβλιογραφία και Πηγές 83 4

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΟΝΟΣΦΑΙΡΑΣ 5

6 1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η διάδοση των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων στον χώρο πραγματοποιείται με διάφορους μηχανισμούς. Ο απλούστερος είναι αυτός με το κατ ευθείαν κύμα (direct wave) όπου το κύμα διαδίδεται επί ευθείας γραμμής. Μια άλλη οδός λήψης του διαδιδόμενου κύματος είναι η δι ανακλάσεως επί του εδάφους ( ground-reflected wave).τα δύο αυτά κύματα αποτελούν τα καλούμενα κύματα χώρου (space waves). Ένας άλλος μηχανισμός χρησιμοποιεί την επιφάνεια της γης σαν μια γραμμή μεταφοράς για την διάδοση του κύματος. Το κύμα επιφανείας,λοιπόν, ακολουθεί την πορεία του εδάφους και επιτρέπει την διάδοση των ραδιοηλεκτρικών σημάτων συχνότητας LF και MF (μακρά και μεσαία κύματα). Τα κύματα χώρου και τα κύματα επιφανείας αποτελούν τα λεγόμενα κύματα εδάφους ( ground waves). Μία άλλη κατηγορία είναι τα τροποσφαιρικά κύματα (tropospheric waves) τα οποία φθάνουν στον δέκτη κατόπιν διάθλασης, σκέδασης ή ανάκλασης στην τροπόσφαιρα. Τέλος, τα κύματα που φθάνουν στον δέκτη κατόπιν ανάκλασης ή σκέδασης στην ιονόσφαιρα είναι γνωστά σαν ουράνια κύματα (sky waves) ή ιονοσφαιρικά κύματα (ionospheric waves) και ο μηχανισμός διάδοσης αυτών των κυμάτων αναφέρεται ως ιονοσφαιρική διάδοση. Με αυτόν τον τελευταίο μηχανισμό θα ασχοληθούμε αποκλειστικά σε αυτήν την εργασία. 1.2 ΙΟΝΟΣΦΑΙΡΙΚΗ ΔΙΑΔΟΣΗ Κατά τη χρησιμοποίηση της ιονοσφαιρικής διάδοσης, τα ραδιοκύματα αφήνουν τη γήινα επιφάνεια και κατευθύνονται προς την ιονόσφαιρα και μερικά από αυτά επιστρέφουν στη γη. Για συχνότητες μικρότερες των 30 MHz, ως επίσης και μικρότερες των 100 ΜΗz, η ιονόσφαιρα προσφέρεται για ζεύξεις αποστάσεως πολύ πέραν των δυνατοτήτων των κυμάτων εδάφους και των τροποσφαιρικών κυμάτων. Σημειώνεται ότι για συχνότητες μεγαλύτερες των 30 MHz και μικρότερες των 100 MHz ο μηχανισμός διάδοσης είναι διαφορετικός από εκείνο των συχνοτήτων που είναι μικρότερες των 30 MHz. Συχνότητες από 1,6 μέχρι 30 MHz διαδίδονται κατόπιν διάθλασης και ανάκλασης στην ιονόσφαιρα. Ιονοσφαιρικές τηλεπικοινωνιακές ζεύξεις 6

7 χρησιμοποιήθηκαν και χρησιμοποιούνται ακόμη και σήμερα σε ορισμένες ειδικές εφαρμογές, για την κάλυψη μεγάλων αποστάσεων. Ζεύξεις μέσω δορυφόρων αντικατέστησαν αυτές, αν και χρησιμοποιούνται ευρύτατα ακόμη στις τηλεπικοινωνίες για τη ναυσιπλοΐα. Αν και η διάδοση που χρησιμοποιεί την ιονόσφαιρα μπορεί να μην είναι τόσο αξιόπιστη όσο αυτή που παρέχεται από τους δορυφόρους, εντούτοις παρέχει μια πολύ οικονομικώς αποδοτική μορφή ραδιοεπικοινωνίας. Φυσικά αυτό είναι μια απλοποιημένη προσέγγιση επειδή η συχνότητα, ο χρόνος της ημέρας και πολλές άλλες παράμετροι επηρεάζουν την αντανάκλαση, ή σωστότερα τη διάθλαση των σημάτων πίσω στη γη. Υπάρχουν στην πραγματικότητα διάφορα στρώματα, ή σωστότερα περιοχές μέσα στην ιονόσφαιρα και αυτές ενεργούν με διαφορετικούς τρόπους πάνω στη διάδοση. Για να εκμεταλλευτούν όσο το δυνατόν περισσότερο το μέσο αυτό διάδοσης πολλοί χρήστες κάνουν εκτενή χρήση προγραμμάτων πρόβλεψης της διάδοσης για να προβλεφθούν οι περιοχές του πλανήτη στις οποία τα σήματα μπορούν να ταξιδέψουν ή η πιθανότητα τους να φθάνουν σε μια δεδομένη περιοχή. Αυτά τα προγράμματα πρόβλεψης διάδοσης χρησιμοποιούν ένα μεγάλο όγκο δεδομένων που έχει αναπτυχθεί κατά τη διάρκεια πολλών ετών, κυρίως δεδομένων για τις επικρατούσες συνθήκες. Εντούτοις είναι ακόμα χρήσιμο να έχουμε μια άποψη για το πώς τα σήματα ταξιδεύουν χρησιμοποιώντας την ιονόσφαιρα και να καταλάβουμε γιατί αλλάζουν οι συνθήκες σε αυτήν. Κατ' αυτό τον τρόπο μπορεί να γίνει καλύτερη χρήση της ιονοσφαιρικής διάδοσης. Ένα από αυτά τα δεδομένα είναι οι τιμές TEC (Total Electron Content) που περιγράφονται στο τέλος αυτού του κεφαλαίου. Ακολουθούν η περιγραφή και βασικές έννοιες της ιονόσφαιρας και οι παράγοντες που την επηρεάζουν. 1.3 ΣΤΡΩΜΑΤΩΣΗ ΤΗΣ ΑΤΜΟΣΦΑΙΡΑΣ Η γήινη ατμόσφαιρα ποικίλλει ως προς την πυκνότητα και τη σύνθεσή της, καθώς μεταβάλλεται το ύψος πάνω από την επιφάνεια της γης. Το χαμηλότερο μέρος της ατμόσφαιρας καλείται τροπόσφαιρα και εκτείνεται μέχρι 10km περίπου από την επιφάνεια της γης. Τα αέρια σε αυτήν την περιοχή είναι κυρίως μοριακό οξυγόνο 7

8 ( O 2 ) και μοριακό άζωτο ( N 2 ). Οι καιρικές μεταβολές είναι εντοπισμένες σε αυτή την χαμηλότερη περιοχή. Σχήμα 1.1: Στρωμάτωση της ατμόσφαιρας Το στρώμα της ατμόσφαιρας σε ύψος πάνω από 10km καλείται στρατόσφαιρα. O αέρας είναι ακόμα αρκετά πυκνός, ωστόσο αρχίζουν να εμφανίζονται, μέσα στο στρώμα αυτό αλλαγές στη σύνθεση του αέρα καθώς το ύψος αυξάνεται. Μέσα στη στρατόσφαιρα, η εισερχόμενη ηλιακή ακτινοβολία με μήκη κύματος κάτω από 240nm είναι σε θέση να χωρίσει το μοριακό οξυγόνο ( O 2 ) σε μεμονωμένα άτομα οξυγόνου, κάθε ένα από τα οποία, στη συνέχεια μπορεί να συνδυαστεί με ένα μόριο οξυγόνου ( O 2 ), και να διαμορφώσει το όζον, ένα μόριο οξυγόνου που αποτελείται από τρία άτομα ( O 3). Το αέριο αυτό φτάνει σε μια μέγιστη πυκνότητα σε ύψος περίπου 25km. 8

9 Σε ύψος 80km, η πυκνότητα του αέρα μειώνεται σημαντικά με αποτέλεσμα τη συνύπαρξη ελεύθερων ηλεκτρονίων και θετικά φορτισμένων ιόντων. Το στρώμα αυτό της ατμόσφαιρας καλείται ιονόσφαιρα και εκτείνεται μέχρι 1000km πάνω από την επιφάνεια της γης. 1.4 ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΣ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΤΗΣ ΙΟΝΟΣΦΑΙΡΑΣ Στον εξωτερικό χώρο του γήινου περιβάλλοντος, η ηλιακή ακτινοβολία φτάνει με μια πυκνότητα ισχύος 1370 Watt/m 2 ή 0,137 Watt/cm 2, τιμή που είναι γνωστή ως "ηλιακή σταθερά." Αυτό το έντονο επίπεδο ακτινοβολίας είναι εξαπλωμένο σε ένα ευρύ φάσμα συχνοτήτων που κυμαίνεται από την υπέρυθρη ακτινοβολία (IR) και το ορατό φως ως τις ακτίνες X. Η ηλιακή αυτή ακτινοβολία είναι σε θέση να διαχωρίσει ένα ηλεκτρόνιο από ένα ουδέτερο μόριο αερίου, κατά τη διάρκεια μιας σύγκρουσης ενός φωτονίου με αυτό. Ένα μέρος της εισερχόμενης ηλιακής ακτινοβολίας απορροφάται από τα άτομα (ή μόρια) στον αέρα με αποτέλεσμα τη διάσπασή τους και τη δημιουργία ελεύθερων ηλεκτρονίων και θετικά φορτισμένων ιόντων. Οι κοσμικές ακτίνες και τα ηλιακά μόρια αέρα διαδραματίζουν επίσης έναν ρόλο σε αυτήν την διαδικασία, αλλά η επίδρασή τους είναι δευτερεύουσα έναντι αυτής, που προκαλεί η ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία του ήλιου. Παρακάτω φαίνεται σχηματικά μια απλουστευμένη εξήγηση της διαδικασίας αυτής. Σχήμα 1.2 : Διαδικασία ιονισμού Στα πιο υψηλά επίπεδα της γήινης εξωτερικής ατμόσφαιρας, η ηλιακή ακτινοβολία είναι πολύ ισχυρή αλλά υπάρχουν λίγα μόρια οξυγόνου με συνέπεια ο ιονισμός να είναι μικρός. Καθώς το ύψος μειώνεται, αυξάνεται η πυκνότητα σε οξυγόνο, με συνέπεια την αύξηση του φαινομένου του ιονισμού. Συγχρόνως, αρχίζει να πραγματοποιείται μια αντιτιθέμενη διαδικασία επανασυνδυασμού, κατά την οποία 9

10 ένα ελεύθερο ηλεκτρόνιο "συλλαμβάνεται" από ένα θετικό ιόν, εάν κινείται αρκετά κοντά προς αυτό. Η διαδικασία επανασυνδυασμού επιταχύνεται δεδομένου ότι τα στρώματα αέρα αποκτούν μεγαλύτερη πυκνότητα καθώς πλησιάζουμε στα χαμηλότερα ύψη. Το σημείο της ισορροπίας μεταξύ αυτών των δύο διαδικασιών καθορίζει το βαθμό "ιονισμού" του ατμοσφαιρικού στρώματος σε οποιαδήποτε στιγμή. Σε ακόμα χαμηλότερα ύψη, η πυκνότητα σε άτομα και μόρια του αέρα αυξάνεται και υπάρχει μεγαλύτερη δυνατότητα απορρόφησης της ενέργειας της UV ηλιακής ακτινοβολίας από ένα φωτόνιο. Όμως, η ένταση αυτής της ακτινοβολίας εξασθενεί σε αυτά τα ύψη, λόγω της απορρόφησης που συνέβη στα πιο υψηλά επίπεδα. Αυτό οδηγεί στο σχηματισμό των αιχμών ή των στρωμάτων ιονισμού (επίσης αποκαλούμενων ως στρώματα "Heaviside" ). 1.5 ΣΤΡΩΜΑΤΩΣΗ ΙΟΝΟΣΦΑΙΡΑΣ Τα στρώματα που σχηματίζονται, ανάλογα με την πυκνότητα ηλεκτρονίων, είναι τα D, E, F1, F2. Σχήμα 1.3 : Κατανομή της πυκνότητας ηλεκτρονίων Tα στρώματα F1, F2 σε ύψος 140 km και 300 km περίπου, συγκεντρώνουν τη μέγιστη πυκνότητα ηλεκτρονίων και είναι, ουσιαστικά, υπεύθυνα για την ανάκλαση 10

11 των ραδιοκυμάτων με συχνότητες μεταξύ 3 και 30 MHz και τη σκέδαση ραδιοκυμάτων υψηλότερων συχνοτήτων (40-70 MHz). Κατά τη διάρκεια της νύχτας τα στρώματα αυτά συγχωνεύονται σε ένα στρώμα, το F, ενώ το στρώμα D, το οποίο προκαλεί κυρίως απορρόφηση των ραδιοκυμάτων, εξαφανίζεται. Σημειώνεται ότι έντονος ιονισμός, οπότε και έντονα φαινόμενα διάθλασης - ανάκλασης, παρουσιάζονται την ημέρα και ειδικά τις μεσημεριανές ώρες. Τέλος, τo στρώμα F2 είναι το πιο σημαντικό για τις HF επικοινωνίες, αλλά και το πιο ευμετάβλητο. 1.6 ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ ΠΛΑΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΡΙΣΙΜΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ Αρχικά θα πρέπει να σημειωθεί πως θεωρούμε την ιονόσφαιρα, όσον αφορά τη διάδοση των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων, σαν ένα διηλεκτρικό μέσο. Η συχνότητα του κύματος που μηδενίζει τη σχετική διηλεκτρική σταθερά ε r καλείται συχνότητα πλάσματος και δίνεται από τη σχέση : f p 9 N Σχέση (1.1) όπου Ν είναι η πυκνότητα των ηλεκτρονίων. Εύκολα αποδεικνύεται ότι ισχύει: 2 N f p f f Σχέση (1.2) όπου η ο δείκτης διάθλασης. Από την προηγούμενη σχέση βλέπουμε ότι ο δείκτης διάθλασης μηδενίζεται αν το κύμα έχει συχνότητα ίση με τη συχνότητα πλάσματος. Τότε το προσπίπτον κύμα απαλείφεται από το ανακλώμενο. Η μεγαλύτερη συχνότητα που ανακλάται από δεδομένο ιονοσφαιρικό στρώμα (για κύμα που προσπίπτει κάθετα σε αυ τό), καθορίζεται από την μέγιστη πυκνότητα ηλεκτρονίων του, και δίνεται από τη σχέση : 11

12 fc 9 N Σχέση (1.3) max Η συχνότητα f c ονομάζεται κρίσιμη συχνότητα για το δεδομένο στρώμα, αφού συχνότητες μεγαλύτερες από αυτή δεν ανακλώνται. 1.7 ΙΟΝΟΣΦΑΙΡΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ Έπειτα από συστηματικές παρατηρήσεις, έχει διαπιστωθεί ότι η ιονοσφαιρική στρωμάτωση και συμπεριφορά παρουσιάζει διαφόρων ειδών μεταβολές ανάλογα με τους παράγοντες που επιδρούν κάθε φορά σε αυτή. Οι κυριότερες από αυτές είναι: Ημερήσιες μεταβολές Το στρώμα F1 κατά τη διάρκεια της νύχτας εξαφανίζεται. Το στρώμα Ε εμφανίζεται την αυγή και εξαφανίζεται τη δύση, ενώ η πυκνότητα των ηλεκτρονίων είναι γενικά μεγαλύτερη κατά τη διάρκεια της ημέρας σε όλα τα ύψη εξαιτίας της ηλιακής δραστηριότητας. Το ύψος στο οποίο παρουσιάζεται το μέγιστο της πυκνότητας στο στρώμα F2, μεταβάλλεται και αυτό κατά τη διάρκεια της ημέρας Εποχιακές μεταβολές Το καλοκαίρι, η πυκνότητα των ηλεκτρονίων, όπως επίσης και το ύψος του στρώματος F, είναι σαφώς αυξημένα κατά τη διάρκεια της νύχτας σε σχέση με τις χειμωνιάτικες τιμές τους. Σε μεσαία πλάτη, πολλές φορές, το μέγιστο της πυκνότητας είναι μεγαλύτερο το χειμώνα απ ότι το καλοκαίρι, φαινόμενο το οποίο καλείται εποχιακή ανωμαλία. Σε αυτά τα πλάτη, τους καλοκαιρινούς μήνες το στρώμα F διαχωρίζεται στα F1 και F Ηλιακές κηλίδες Βασική αιτία του ιονισμού της ιονόσφαιρας είναι, όπως ήδη αναφέρθηκε, η ακτινοβολία του ήλιου. Πρόκειται για σκοτεινές κηλίδες στην επιφάνεια του ήλιου οι οποίες εμφανίζονται και εξαφανίζονται περιοδικά, με χρόνο ζωής που ποικίλει από λίγες ημέρες ως 27 περίπου ημέρες. Το σκοτεινό τους χρώμα οφείλεται στη χαμηλή τους θερμοκρασία. Ο αριθμός των κηλίδων παριστάνεται από το δείκτη R. 12

13 O κύκλος περιοδικότητας των ηλιακών κηλίδων διαρκεί 11 χρόνια. Κατά τη διάρκεια αυτού του κύκλου, ο αριθμός των κηλίδων είναι αρχικά μικρός για 1 ή 2 συνεχόμενα έτη, έπειτα αυξάνει για τα επόμενα 4 χρόνια, μέχρι να φτάσει κάποια μέγιστη τιμή. Στη συνέχεια τα επόμενα 6 χρόνια ελαττώνεται μέχρι το ελάχιστο. Σχήμα 1.4: Ηλιακή δραστηριότητα τους τελευταίους 3 αιώνες Τα χαρακτηριστικά της ιονόσφαιρας μεταβάλλονται ανάλογα με τη μεταβολή του αριθμού των ηλιακών κηλίδων. Πιο συγκεκριμένα, το μέγιστο της ηλεκτρονιακής πυκνότητας και αυτό του ύψους αυξάνονται, καθώς ο αριθμός των κηλίδων μεγαλώνει Μεταβολές στα στρώματα Ε και F2 Στρώμα Ε : Η συχνότητα foe κατά την ημερήσια μεταβολή της ακολουθεί την ηλιακή δραστηριότητα δίνοντας ένα μέγιστο το μεσημέρι. Παρουσιάζει ένα μέγιστο τον Ιούνιο και ένα ελάχιστο το Δεκέμβριο. Έχει αποδειχθεί δε, για αυτή, ότι ισχύει η εξής σχέση : f o E 4 (cos x) 1.2 ( R 12 1 )(88 31cos )( )(cos x 2 d ) ( cos ) 12 Σχέση(1.4) όπου : χ : ζενίθια γωνία της ακτίνας του ήλιου d : λόγος της απόστασης γης-ήλιου τη 15η ημέρα κάθε μήνα προς την αντίστοιχη μέση τιμή της για το έτος R 12 : η εξομαλυσμένη τιμή του αριθμού R των ηλιακών κηλίδων φ : το γεωγραφικό πλάτος του τόπου cosx 12 : η ανάλογη μηνιαία τιμή του cosx της ζενίθιας ακτίνας του ηλίου το μεσημέρι. 13

14 Η σχέση αυτή ισχύει για τη διάρκεια της ημέρας - και μάλιστα με πολύ καλή ακρίβεια, γύρω στα 0.06 ΜHz - ενώ για τις βραδινές ώρες ισχύει : f o E 4 ( cos φ) ( COV12 66)(cos x12 ) (92 35cos )(cos xa όπου επιπλέον, x 3log(1 exp(( x 89.98) / 3)) x a ) 1.2 Σχέση (1.5) και COV R R 2 12 Αξιοσημείωτο είναι το γεγονός ότι στις πολικές περιοχές, αν και το κατώτερο στρώμα E της ιονόσφαιρας δε φωτίζεται αρκετά από τον ήλιο με συνέπεια τη μειωμένη πυκνότητα ηλεκτρονίων, η f o E παρουσιάζεται μεγαλύτερη από ότι ίσως θα αναμενόταν. Τέλος, αναφέρεται ότι εκτός από το κανονικό στρώμα Ε εμφανίζεται και μια περισσότερο ιονισμένη περιοχή, η οποία ονομάζεται " σποραδικό στρώμα Ε " και ανακλά σήματα, συγκριτικά υψηλότερων συχνοτήτων. Το " σποραδικό στρώμα Ε " εμφανίζεται κυρίως σε υψηλά γεωγραφικά πλάτη. Στρώμα F2 : To στρώμα F2 είναι το πιο σημαντικό για τις HF επικοινωνίες, αλλά και το πιο ευμετάβλητο. Η συχνότητα fof2 βρίσκεται σε αντίφαση με την ηλιακή ένταση, σε αντίθεση με τις fof1 και foε. Αν και η ηλιακή ένταση είναι υποτονική τον Ιανουάριο σε σχέση με τον Ιούνιο, παρατηρείται πως η τιμή της fof2 το χειμώνα κατά τη διάρκεια της ημέρας, είναι μεγαλύτερη από την αντίστοιχη του καλοκαιριού (χειμερινή ανωμαλία), ενώ συνήθως παρατηρείται ένα μέγιστο της τιμής της το χειμώνα και ένα το καλοκαίρι, και υπό άλλες συνθήκες ένα ακόμη μέγιστο την άνοιξη ή το φθινόπωρο. Το καλοκαίρι η fof2 παρουσιάζει μικρότερες ημερήσιες μεταβολές, ενώ αξιοσημείωτη είναι και η συμπεριφορά του στρώματος F1 το οποίο απουσιάζει τις καλοκαιρινές νύχτες. Το χειμώνα η fof2 αυξάνεται με μέγιστη τιμή τις μεσημβρινές ώρες. Όμως, για ελαττωμένη ηλιακή δραστηριότητα κατά τη διάρκεια του ηλιακού κύκλου παρατηρείται και ένα μέγιστο τη νύχτα, ενώ το ελάχιστο εμφανίζεται κοντά στην ανατολή. Το καλοκαίρι ένα ελάχιστο εμφανίζεται το μεσημέρι με μέγιστα εκατέρωθεν, και ισχυρότερο από αυτά, αυτό που παρουσιάζεται το απόγευμα. Το χειμώνα, παρατηρείται ένα μικρότερο ελάχιστο τα ξημερώματα σε σχέση με το καλοκαίρι. Την άνοιξη και το φθινόπωρο η συμπεριφορά του στρώματος F2 είναι ένας συνδυασμός της συμπεριφοράς του για το χειμώνα και το καλοκαίρι, με 14

15 διαφορές όμως μεταξύ των δύο. Στη συνέχεια παρατίθενται διαγράμματα, τα οποία παραστατικά αποδίδουν όλα τα παραπάνω. Σχήμα 1.5 : Μεσαίες μηνιαίες τιμές των κρίσιμων συχνοτήτων foe, fof1, fof2 Σχήμα 1.6 : Εποχιακή μεταβολή των κρίσιμων συχνοτήτων foe, fof1, fof2, στη διάρκεια της ημέρας Γεωγραφικές μεταβολές Τα ποσοστά ιονισμού της ιονόσφαιρας μεταβάλλονται σημαντικά με την περιοχή, τόσο με το γεωγραφικό πλάτος όσο και με το γεωγραφικό μήκος. Η επίδραση του γεωγραφικού πλάτους είναι σημαντική αφού για διαφορετικά πλάτη, η γωνία εισόδου των ηλιακών ακτινών στην ατμόσφαιρα διαφέρει. 15

16 Πλησιάζοντας προς τον ισημερινό, οι ακτίνες του ήλιου προσπίπτουν πιο κάθετα, με αποτέλεσμα τον εντονότερο ιονισμό και επομένως την αύξηση της συχνότητας αποκοπής. Ωστόσο, περιοχές του ίδιου πλάτους δεν παρουσιάζουν παρόμοιες τιμές της fof2 εξαιτίας κυρίως της επίδρασης του μαγνητικού πεδίου της γης, αλλά και των άλλων πλανητών. Το καλοκαίρι, σε μεσαία πλάτη 20 φ 80, οι μεσημεριανές τιμές της fof2 είναι μικρότερες από τις αντίστοιχες του χειμώνα. Τη χειμερινή νύχτα αντίθετα, οι τιμές της είναι μικρότερες σε σχέση με τις αντίστοιχες του καλοκαιριού. Όσον αφορά τις μεταβολές ανά ημισφαίριο, τις χειμερινές νύχτες οι τιμές της fof2 στο Νότιο ημισφαίριο είναι μεγαλύτερες από τις αντίστοιχες στο Βόρειο ημισφαίριο, σε αντίθεση με ό,τι συμβαίνει την ημέρα. Οι εποχιακές μεταβολές όμως στο Νότιο ημισφαίριο είναι μικρότερες. Τέλος, στον ισημερινό, το χειμώνα αλλά και το καλοκαίρι, η fof2 είναι σημαντικά υψηλότερη, με μοναδική εξαίρεση το καλοκαιρινό μεσημέρι, όπου εξαιτίας της ιδιαίτερα αυξημένης θερμοκρασίας η ιονόσφαιρα διαστέλλεται με αποτέλεσμα η κρίσιμη συχνότητα να μην αυξάνει, διατηρώντας την καμπύλη μεταβολής της σχεδόν οριζόντια. Επιπλέον, η κλίση της fof2 σε σχέση με το γεωγραφικό πλάτος μεταβάλλεται για τις διάφορες ώρες της ημέρας, τις εποχές και την ηλιακή δραστηριότητα στο εξής διάστημα: fof MHz / km Σχέση (1.6) To μέγιστο της κλίσης εμφανίζεται το χειμώνα κοντά στον ισημερινό, για πλάτη μεταξύ 60 φ 70 την ημέρα, και 30 φ 40 τη νύχτα. Το καλοκαίρι η κλίση είναι μέγιστη για 30 φ 40. Σε γενικές γραμμές, οι μεγαλύτερες σε μέγεθος μεταβολές εμφανίζονται στα μεσαία πλάτη 40 φ 60. Οι τιμές τις fof2 σε περιοχές ίδιου πλάτους αλλά διαφορετικού μήκους, είναι αρκετά διαφορετικές, όπως επίσης διαφορετικός είναι και ο τρόπος που μεταβάλλονται, αν και η γωνία πρόσπτωσης των ηλιακών ακτινών είναι η ίδια. Χαμηλότερες τιμές παρατηρούνται γενικά στα δυτικά πλάτη. Η κλίση της fof2 σε σχέση με το γεωγραφικό μήκος μεταβάλλεται στο εξής διάστημα: fof Σχέση (1.7) To μέγιστο της κλίσης εμφανίζεται στα μεσαία πλάτη το χειμώνα, κυρίως κοντά στον ισημερινό. Τέλος, τόσο η κλίση της fof2 με το γεωγραφικό πλάτος, όπως 16

17 και η κλίση της με το γεωγραφικό μήκος, αυξάνονται γενικά με την αύξηση της ηλιακής δραστηριότητας Επίδραση του γήινου μαγνητικού πεδίου Οι σημαντικότερες επιδράσεις του γεωμαγνητικού πεδίου στο ιονοσφαιρικό στρώμα είναι: α) η απόσβεση που υφίσταται το κύμα που οδεύει εντός αυτού, εξαιτίας της γυροσυχνότητας, η οποία αναγκάζει τα ηλεκτρόνια να ακολουθούν ευρείες τροχιές. β) η διπλή διάθλαση και γ) η περιστροφή του επιπέδου πόλωσης. Η επίδραση που αφορά το στρώμα F2 είναι η διπλή διάθλαση που υφίσταται το ραδιοκύμα από το πλάσμα, φαινόμενο το οποίο έχει σαν αποτέλεσμα την ύπαρξη δύο κυμάτων, του συνήθους και του ασυνήθους κύματος, τα οποία ακολουθούν διαφορετικές διαδρομές με διαφορετικές φασικές ταχύτητες. Έτσι στην περιοχή F2 υπάρχουν δύο συχνότητες αποκοπής: η fof2 για το σύνηθες κύμα (ordinary wave), και μία, fxf2, για το ασύνηθες (extraordinary wave). 1.8 IONOΣΦAIΡIKEΣ ΔΙΑΤΑΡΑΧΕΣ Ως διαταραχές στην ιονόσφαιρα, χαρακτηρίζονται οι απότομες μεταβολές στην συμπεριφορά της, όπως αυτή διαμορφώνεται από παράγοντες που επιδρούν πάνω σε αυτή, και ξεφεύγουν από το πλαίσιο των συνηθισμένων και αναμενόμενων μεταβολών της. Τέτοιες διαταραχές οφείλονται σε φαινόμενα όπως: Ιονοσφαιρικές καταιγίδες (IONOSPHERIC STORMS) Οι ιονοσφαιρικές καταιγίδες οφείλονται στις ηλιακές εκρήξεις που προκαλούν αποβολή φορτισμένων σωματιδίων μεγάλης ταχύτητας, τα οποία ταξιδεύουν προς τη γη και βομβαρδίζοντας τη μαγνητόσφαιρα αυξάνουν τον ιονισμό και την απορρόφηση του στρώματος D. Ταυτόχρονα, προκαλούν αλλαγές και στη δομή των στρωμάτων F και Ε, με αποτέλεσμα η διάδοση στα βραχέα να επηρεάζεται αρνητικά ή και να διακόπτεται για λίγα δευτερόλεπτα, λεπτά ή και κάποιες μέρες. Το φαινόμενο εμφανίζεται εντονότερο σε υψηλά γεωγραφικά πλάτη εξαιτίας των 17

18 έντονων διακυμάνσεων του γήινου μαγνητικού πεδίου εκεί, αφού σχετίζεται άμεσα με αυτές. Σε αυτές τις διαταραχές διακρίνουμε τρεις βασικές κατηγορίες: Αρνητικές διαταραχές: Στην περίπτωση αυτή η fof2 έχει μικρότερες τιμές από τις μη διαταραγμένες περιόδους. Εμφανίζονται κυρίως στις ισημερίες. Διφασικές διαταραχές: Εδώ η fof2 αρχικά αυξάνεται και στη συνέχεια μειώνεται. Θετικές διαταραχές: Η fof2 έχει μεγαλύτερες τιμές από τις τιμές μη διαταραγμένων περιόδων. Σχήμα 1.7: Χρονικές μεταβολές της μέγιστης πυκνότητας ηλεκτρονίων (F2) σε διαφορετικά πλάτη λόγω ιονοσφαιρικών καταιγίδων Αιφνίδιες ιονοσφαιρικές διαταραχές (SIDS) Μερικές φορές, οι ζεύξεις HF μιας περιοχής διακόπτονται απότομα. Στην περίπτωση αυτή προκαλείται ισχυρός ιονισμός του στρώματος D, λόγω αυξημένης έντασης των υπεριωδών ακτινών και των ακτινών Χ, η οποία οφείλεται στις ηλιακές φλόγες. Αυτές, εμφανίζονται πιο συχνά κοντά στο μέγιστο του κύκλου των ηλιακών κηλίδων, και έχουν σαν αποτέλεσμα την σημαντική εξασθένιση του κύματος εξαιτίας της απορρόφησής του από το στρώμα D, το οποίο και τελικά δεν ανακλάται στο F Οδεύουσες ιονοσφαιρικές διαταραχές (TIDs) Οι διαταραχές αυτές είναι κυματοειδείς διακυμάνσεις της πυκνότητας ηλεκτρονίων του στρώματος F, που οφείλονται σε ατμοσφαιρικά κύματα βαρύτητας. Διακρίνονται σε δύο κατηγορίες: Οδεύουσες ιονοσφαιρικές διαταραχές μεγάλης κλίμακας 18

19 Οδεύουσες ιονοσφαιρικές διαταραχές μέσης κλίμακας Στην πρώτη κατηγορία παρουσιάζονται ταχύτητες μεγαλύτερες από την ταχύτητα του ήχου, ενώ η περίοδός τους διαρκεί 30 λεπτά με 3 ώρες. Στη δεύτερη κατηγορία, η διάρκεια της περιόδου της διαταραχής είναι από 15 λεπτά ως μία ώρα και οι φασικές ταχύτητες που εμφανίζονται είναι m/sec, μικρότερες από την ταχύτητα του ήχου. Οι ιονοσφαιρικές διαταραχές μεγάλης κλίμακας σχετίζονται με γεωφυσικά φαινόμενα και λαμβάνουν χώρα σε διαστήματα υψηλής μαγνητικής δραστηριότητας. Αντιθέτως, οι διαταραχές μέσης κλίμακας δεν έχουν συσχετιστεί αποδεδειγμένα με κάποια φαινόμενα. Ωστόσο, υπάρχουν εκτιμήσεις που τις συνδέουν με διάφορα μετεωρολογικά φαινόμενα. Το κυριότερο πρόβλημα που προκαλούν και οι δύο στις HF επικοινωνίες είναι η μετατόπιση Doppler Άνεμοι-Ρεύματα Πρόκειται για παλιρροϊκές κινήσεις των ιόντων της ιονόσφαιρας εξαιτίας του ήλιου, οι οποίες εξαρτώνται από το μαγνητικό πεδίο της γης. Οι παλιρροιακές ταλαντώσεις διαδίδονται προς τα πάνω και η ταχύτητά τους αυξάνει με το ύψος. Σε μικρά πλάτη διαδίδονται κατακόρυφα, ενώ στα μεγάλα παγιδεύονται στην στρατόσφαιρα Επίδραση πυρηνικών εκρήξεων Κατά τη διάρκεια μιας πυρηνικής έκρηξης απελευθερώνεται πολύ μεγάλος αριθμός φορτισμένων σωματιδίων, τα οποία μπορούν να αυξήσουν την πυκνότητα του στρώματος F μέχρι και 10 6 φορές, γεγονός που προκαλεί μεγάλη αύξηση της συχνότητας fof Εκλείψεις Όταν συμβαίνει έκλειψη ηλίου, ο ιονισμός διασκορπίζεται πολύ γρήγορα αφού εξαφανίζεται η αιτία που τον προκαλεί. Επίσης εξαιτίας της έντονης εναλλαγής μεταξύ θέρμανσης και ψύξης προκαλούνται ΤΙDs. 19

20 1.9 Τ.E.C. (Total Electron Content) Οι τιμές TEC είναι ένα χαρακτηριστικό της ιονόσφαιρας και εκφράζουν τον αριθμό των ηλεκτρονίων, κατά μήκος διαδρομής πάχους 2 cm ενός ηλεκτρομαγνητικού κύματος, μέσα σε αυτή, μετρημένο σε ηλεκτρόνια/ cm 2. Το TEC χρησιμοποιείται στον προσδιορισμό της καθυστέρησης και των αλλαγών στη διεύθυνση ενός κύματος μέσα στην ιονόσφαιρα. Δεν υπάρχουν αυτή τη στιγμή παγκόσμια μοντέλα μέσων μηνιαίων TEC παρά τη σημασία των TEC για τα τηλεπικοινωνιακά συστήματα γης - δορυφόρων. Προς το παρόν, για σκοπούς μοντελοποίησης, μια εκτίμηση των TEC μπορεί να δοθεί από την προδιαγραφή του μέσου μηνιαίου IRI ιονόσφαιρας ( Bilitza, 1990). Παρότι δεν υπάρχουν διαθέσιμες αναλυτικές εκφράσεις για την ολοκλήρωση αυτού του μοντέλου, αριθμητικές τεχνικές μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την εξαγωγή τιμών για κάθε τοποθεσία, χρόνο και ομάδα επιλεγμένων υψών ως τα 1000km. Δυστυχώς, κάποιες εξωπραγματικές τιμές TEC λαμβάνονται από την ολοκλήρωση του IRI-90 για συνθήκες υψηλής ηλιακής δραστηριότητας ( Leitinger και Feichter, 1993 καθώς και Singer και al., 1993). Οι τιμές IRI είναι γενικά πολύ μεγάλες, ιδιαίτερα κατά τη διάρκεια της μέρας. Για να αποφευχθεί αυτή η ασυνέπεια, είναι αποδοτικό για πολλές εφαρμογές να εκτιμούμε το περιεχόμενο ηλεκτρονίων πολλαπλασιάζοντας την μέγιστη πυκνότητα ηλεκτρονίων με μια αντίστοιχη τιμή πάχους στρώματος 300km. Ένα μοντέλο TEC ως ένα ονομαστικό ύψος 1000km έχει αναπτυχθεί από τους Leitinger και Feichter (1992,1993) και βελτιώθηκε από τους Leitinger και Spalla (1994). Η διαδικασία που υιοθετήθηκε ( Bradley, 1995) βασίζεται στις ομάδες δεδομένων των διαφορικών Doppler για το Lindau (Γερμανία) ρυθμισμένες με μετρήσεις του Graz (Αυστρία) και ομαδοποιημένες μπάντες γεωγραφικού πλάτους με κέντρα στις 45,50,55 και 60 μοίρες βόρεια για ονομαστικό γεωγραφικό μήκος 15 μοίρες ανατολικά. Μια δισδιάστατη ανάλυση Fourier επιτρέπει την ανακατασκευή των μεσαίων τιμών και την ομαλή παρεμβολή σε τοπική ώρα και για εποχιακή συμπεριφορά. Θα πρέπει να σημειωθεί ότι καμία αλλαγή γεωγραφικού μήκους δεν περιλαμβάνεται στο μοντέλο αυτό. Ο καλύτερος τρόπος για να καθορίσουμε στιγμιαίο TEC και το αντίκτυπό του σε ένα συγκεκριμένο σύστημα γης-διαστήματος είναι να το μετρήσουμε απευθείας με ένα διαφορικό σύστημα Doppler δύο συχνοτήτων ακριβώς κατά μήκος της τροχιάς 20

21 που μας ενδιαφέρει (Bradley, 1995), αλλά δυστυχώς αυτό συνήθως δεν είναι δυνατό. Το στιγμιαίο TEC δίνεται από την ολοκλήρωση της στιγμιαίας πυκνότητας ηλεκτρονίων. 21

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ2 ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ 22

23 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι μαθηματικοί μετασχηματισμοί εφαρμόζονται σε σήματα για να εξαχθούν από αυτά πληροφορίες που δεν είναι άμεσα διαθέσιμες στο πεδίο του χρόνου. Με τον όρο χρονοσειρά εννοούμε την αναπαράσταση ενός σήματος σε δύο άξονες, εκ των οποίων ο ένας αναφέρεται στο χρόνο (ανεξάρτητη μεταβλητή) και ο άλλος συνήθως στο πλάτος του (εξαρτημένη μεταβλητή). Στις περισσότερες περιπτώσεις η χρήσιμη πληροφορία βρίσκεται στο συχνοτικό περιεχόμενο του σήματος. Για παράδειγμα, ένας καρδιολόγος συμβουλεύεται το ηλεκτροκαρδιογράφημα για τη διάγνωση παθολογικών καταστάσεων, οι οποίες ανιχνεύονται ως απόκλιση από ένα τυπικό ΗΚΓ. Η εργασία αυτή, που μερικές φορές είναι αδύνατη στο πεδίο του χρόνου, μπορεί να γίνει πολύ πιο εύκολα και ευδιάκριτα στο πεδίο της συχνότητας. Ο μετασχηματισμός χρονοσειρών στο πεδίο της συχνότητας αποτελεί λοιπόν, εδώ και πολλά χρόνια, ένα ισχυρό μαθηματικό εργαλείο στην ανάλυση δεδομένων και σημάτων. Όπως και σε πολλά φυσικά φαινόμενα, έτσι και στην περίπτωση των TEC δεδομένων, η αναπαράσταση τους στο πεδίο του χρόνου δεν είναι απαραίτητα η καλύτερη μέθοδος για την ανάλυση, την εξαγωγή ασφαλών συμπερασμάτων και την περαιτέρω επεξεργασία τους. Υπάρχει πληθώρα τεχνικών μετασχηματισμού ενός σήματος στο πεδίο της συχνότητας. Ανάμεσα σε αυτές, ο μετασχηματισμός Fourier κατέχει την πιο δημοφιλή θέση. 2.2 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Τον 19 ο αιώνα ο μαθηματικός J.B. Fourier απέδειξε ότι κάθε περιοδική συνάρτηση μπορεί να εκφραστεί ως άπειρο άθροισμα περιοδικών μιγαδικών συναρτήσεων. Αρκετά χρόνια αργότερα, η ιδιότητα αυτή γενικεύτηκε πρώτα για μη περιοδικές συναρτήσεις και στη συνέχεια για περιοδικά και μη περιοδικά διακριτά σήματα. Έτσι, ο Μετασχηματισμός Fourier (Fourier Transform, FT) αναλύει ένα σήμα σε μιγαδικές εκθετικές συναρτήσεις διαφορετικών συχνοτήτων. Οι εξισώσεις 23

24 ορισμού του Μετασχηματισμού Fourier X ( f ) ενός σήματος (πεπερασμένης) ενέργειας x( t), t R είναι: j2 ft X ()() f x t e dt Ευθύς FT Σχέση (2.1) j2 ft x()() t X f e dt Αντίστροφος FT Σχέση (2.2) Το ολοκλήρωμα X f ), γνωστό και ως φασματικό περιεχόμενο του σήματος ( 1 x (t) σε κάποια συχνότητα f 1, αναπαριστά το περιεχόμενο του x(t) στη συχνότητα f 1, ή, με άλλα λόγια, πόσες συνιστώσες ταλαντώσεις στη συχνότητα f 1 περιέχει το σήμα. Ο FT, δηλαδή αναλύει το σήμα στις συνιστώσες συχνότητες που περιέχει στο πεδίο των συχνοτήτων. Ο αντίστροφος μετασχηματισμός συνθέτει το σήμα ως ένα άθροισμα ημιτονοειδών κυμάτων με συχνότητα f 1, και βάρος X ( f 1 ) ολοκληρώνοντας πάνω σε όλο τον άξονα των συχνοτήτων. Αποκαλύπτει, έτσι, το βαθμό συνεισφοράς κάθε συχνότητας στο σήμα. Ένα από τα μειονεκτήματα του FT είναι ότι, εξ ορισμού, το ολοκλήρωμα δεν είναι δυνατό να υπολογιστεί παρά μόνο αν η κυματομορφή του σήματος είναι γνωστή σε ολόκληρο το διάστημα (-,+ ). Αιτία του περιορισμού αυτού είναι το γεγονός ότι οι συναρτήσεις e 2 j ft ορίζονται στο (-,+ ). Ο FT μας επιτρέπει να μετακινούμαστε από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο της συχνότητας και αντίστροφα, όμως μία από αυτές τις απεικονίσεις είναι διαθέσιμη σε μια δεδομένη χρονική στιγμή. Δεν μπορούμε δηλαδή να εξάγουμε πληροφορίες για τη συχνότητα από τη χρονοσειρά, ούτε πληροφορίες για το πότε υπάρχουν οι συνιστώσες συχνότητες. Η πληροφορία αυτή δεν χρειάζεται όταν το σήμα είναι στάσιμο. Στάσιμα είναι τα σήματα των οποίων το συχνοτικό περιεχόμενο δεν αλλάζει στο χρόνο. Σε αυτά, όλες οι συχνότητες υπάρχουν σε όλη τη διάρκεια του σήματος. Για παράδειγμα το σήμα x(t)=cos(2π10t)+ cos(2π25t)+ cos(2π50t)+ cos(2π100t) 24

25 που απεικονίζεται στο σχήμα 2.1 είναι στάσιμο, καθώς οι συχνότητες των 10,25, 50 και 100 Hz συνυπάρχουν σε κάθε χρονική στιγμή. Στο σχήμα 2.2 φαίνεται ο FT του x(t). Σχήμα 2.1: Το σήμα x(t)=cos(2π10t)+ cos(2π25t)+ cos(2π50t)+ cos(2π100t) Σχήμα 2.2: O FT του σήματος x(t) Από την άλλη, στο σχήμα 2.3 απεικονίζεται ένα μη στάσιμο σήμα, που περιέχει τέσσερις διαφορετικές συχνότητες σε διαφορετικά χρονικά διαστήματα. Στο διάστημα ms έχει ένα συνημίτονο 100 Hz, στο ms ένα 50 Hz, στο ms ένα 25 Hz και στο ms ένα 10 Hz. Ακριβώς μετά ο FT του. 25

26 Σχήμα 2.3: α) Ένα μη στάσιμο σήμα και β) ο FT του Τα πλάτη των υψηλότερων συνιστωσών συχνοτήτων είναι μεγαλύτερα, επειδή αυτές διαρκούν περισσότερο από τις αντίστοιχες χαμηλές (300 έναντι 200 ms). Συγκρίνοντας τα φάσματα στα σχήματα 2.2 και 2.3 παρατηρούμε ότι είναι σχεδόν ταυτόσημα, αν εξαιρέσουμε τη διαφορά στα πλάτη που μπορεί να κανονικοποιηθεί και τις διακυμάνσεις του δεύτερου φάσματος. Και τα δύο δείχνουν φασματικές συνιστώσες στις ίδιες συχνότητες-10,25,50 και 100 Hz. Δύο τόσο διαφορετικά σήματα απεικονίζονται με παρόμοιο τρόπο στο πεδίο της συχνότητας. 26

27 Αυτό έχει να κάνει με το γεγονός ότι το φάσμα του σήματος δεν περιέχει καμία απολύτως πληροφορία στο πεδίο του χρόνου. Γνωρίζουμε ποιες συχνότητες αυτό περιέχει, δεν έχουμε όμως καμία πληροφορία για το αν αυτές οι συχνότητες είναι συνέχεια παρούσες στο σήμα ή όχι, πότε εμφανίζονται και πόσο διαρκούν, παρά μόνο αν ολοκληρώσουμε σε όλο το φάσμα. Επιπλέον, από τα παραπάνω μπορούμε να συμπεράνουμε ότι μία μικρή διαταραχή στο σήμα σε οποιοδήποτε χρονικό σημείο επηρεάζει καθολικά το φάσμα και, αντιστρόφως, η εμφάνιση μιας συχνότητας έστω και με μικρό συντελεστή απλώνεται σε όλο το σήμα, στο χρόνο. Γίνεται εμφανής πλέον η ανάγκη ύπαρξης ενός μετασχηματισμού ο οποίος θα αναλύει το σήμα σε δύο διαστάσεις, μία στο χρόνο και μία στη συχνότητα, αποτυπώνοντας την τοπική εξάρτησή του πάνω σε ένα χρονικο-συχνοτικό πλέγμα. 2.3 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΜΕ ΠΑΡΑΘΥΡΟ Με απλή παρατήρηση του σήματος του προηγούμενου σχήματος γίνεται φανερό πως ενώ το σήμα δεν είναι συνολικά στάσιμο, εντούτοις, παραμένει στάσιμο σε καθένα από τα τέσσερα διαστήματα των 300 ή 200 ms. Η κοινή λογική επιβάλλει ότι για την εύρεση του φάσματος συχνοτήτων του σήματος κατά τόπους, θα πρέπει πρώτα να απομονώσουμε το σήμα σε διαστήματα όπου είναι στάσιμο και στη συνέχεια να εκτελέσουμε το μετασχηματισμό Fourier στα τμήματα αυτά. Με αυτή τη συλλογιστική καταλήγουμε σε ένα είδος ανάλυσης γνωστό ως Short Time Fourier Transform (STFT) ή Windowed Fourier Transform (WFT). Κατά το μετασχηματισμό STFT, το σήμα διαιρείται σε τομείς αρκετά μικρούς σε μήκος ώστε η υπόθεση ότι το σήμα είναι στάσιμο σε αυτούς να στέκει με μικρή πιθανότητα σφάλματος. Προς το σκοπό αυτό, επιλέγεται μία συνάρτηση παραθύρου w. Έστω 2 W το μήκος του πεδίου ορισμού της συνάρτησης w, με τιμή 0 εκτός του 2 W. Το παράθυρο εφαρμόζεται πρώτα στην αρχή του σήματος, πολλαπλασιάζεται με αυτό και στη συνέχεια ο FT του γινομένου υπολογίζεται. Η ίδια διαδικασία επαναλαμβάνεται μέχρι να σαρωθεί όλο το σήμα, με το ίδιο πάντα παράθυρο. Ο μαθηματικός ορισμός του STFT είναι: 27

28 () w ' * ' 2 j ft X ( t,) f [()()] x t w t t e dt Σχέση (2.3) Η συνάρτηση παραθύρου w μπορεί να είναι μιγαδική αρκεί να ικανοποιεί τη συνθήκη: W (0)() w0 t dt Σχέση (2.4) Η συνάρτηση παραθύρου συμπεριφέρεται σαν χαμηλοπερατό φίλτρο, αφού έχει μη μηδενικό DC φάσμα. Έτσι, αντίθετα με τον FT, στον οποίο, θυμίζουμε, το σήμα πρέπει να είναι γνωστό στο σύνολό του για τον υπολογισμό του φάσματος σε κάθε συχνότητα, στον STFT το x (t) μας ενδιαφέρει μόνο στο διάστημα όπου η συνάρτηση παραθύρου είναι μη μηδενική. Με λίγα λόγια, ο STFT δίνει μία προσέγγιση του φάσματος του σήματος κοντά στο σημείο t=t. Απεικονίζει το βαθμό (πλάτος του διαγράμματος) που μια αρμονική της συχνότητας f είναι παρούσα κατά το διάστημα ' ' [ t w, t w]. Τα παραπάνω μπορούν να γίνουν πιο κατανοητά με ένα παράδειγμα.. Παίρνουμε ένα μη στάσιμο σήμα, σχήμα (2. 4). Αναμένουμε o STFT να είναι τρισδιάστατος, μια και είναι συνάρτηση τόσο του χρόνου όσο και της συχνότητας Σχήμα 2.4 Υπάρχουν τέσσερις συχνότητες σε αυτό το σήμα, που εμφανίζονται κάθε 250 ms, 300, 200, 100 και 50 Hz αντίστοιχα. Πιο κάτω φαίνεται ο STFT του. 28

29 Σχήμα 2.5: STFT Το διάγραμμα είναι συμμετρικό ως προς τη συχνότητα. Το συμμετρικό μέρος έχει να κάνει με αρνητικές συχνότητες, έννοια που δεν είναι όμως σημαντική για την κατανόηση του STFT και έτσι μπορεί να παραβλεφθεί προς το παρόν. Το ίδιο φαινόμενο παρουσιάζεται και στον FT. Το σημαντικό σημείο είναι οι τέσσερις κορυφές που αντιστοιχούν στις διαφορετικές συχνότητες και που, σε αντίθεση με τον FT, εντοπίζονται σε διαφορετικά χρονικά διαστήματα. Όπως κάθε μέθοδος, όμως, έτσι και ο STFT έχει και τα μειονεκτήματά του. Το κυριότερο από αυτά πηγάζει από την αρχή της αβεβαιότητας του Heisenberg. Η αρχή αυτή βρήκε την πρώτη της εφαρμογή στη χημεία, περιορίζοντας την ταυτόχρονη γνώση της ακριβούς ορμής και της θέσης ενός κινούμενου σωματιδίου. Δεν παύει να ισχύει και στην περίπτωση της ανάλυσης/προβολής του σήματος σε ένα χρονικο-συχνοτικό πλέγμα, απαγορεύοντας την ταυτόχρονη γνώση του ακριβούς φάσματος ενός σήματος σε μία δεδομένη χρονική στιγμή. Αυτό που μπορεί κάποιος να γνωρίζει είναι μόνο τα χρονικά διαστήματα μέσα στα οποία εμφανίζεται ένα εύρος φάσματος συχνοτήτων. Αυτό συμβαίνει επειδή η συχνότητα δεν μπορεί να μετρηθεί στιγμιαία. Δηλαδή, για να πούμε ότι ένα σήμα έχει συχνότητα ω, πρέπει να παρατηρηθεί για τουλάχιστον μία περίοδο, για διάστημα t 1. Με άλλα λόγια, όσο πιο στενό το παράθυρο του STFT στο χρόνο, τόσο πιο ακριβής η ανάλυση των υψηλών συχνοτήτων του σήματος και πιο φτωχή αυτή των χαμηλών, ενώ όσο πιο εκτενές, οι ρόλοι αντιστρέφονται. 29

30 Στενό παράθυρο καλή ανάλυση στο χρόνο, φτωχή ανάλυση στη συχνότητα Πλατύ παράθυρο καλή ανάλυση στη συχνότητα, φτωχή ανάλυση στο χρόνο Σχήμα 2.6: Παράθυρο του Heisenberg στο επίπεδο χρόνου-συχνότητας (σ t και σ ω τα αντίστοιχα μήκη του ) Ας υποθέσουμε πως η συνάρτηση παραθύρου της εξίσωσης (2.4) είναι μη μηδενική σε διάστημα μήκους 2 στο χρόνο, κεντραρισμένη στη χρονική στιγμή w t '. Εύλογα προκύπτει πως το παράθυρο του μετασχηματισμού στο χρόνο είναι εύρους [ t ', t ' ]. Για να βρούμε το αντίστοιχο παράθυρο στη συχνότητα w w εφαρμόζουμε την εξίσωση του Parseval στη σχέση ορισμού του STFT και μετά από πράξεις καταλήγουμε στο εύρος του παραθύρου στη συχνότητα [ ' f ˆ w, ' f ˆ w ]. Επομένως το ορθογώνιο παράθυρο στο χρονικο-συχνοτικό πλέγμα είναι το: ˆ w ˆ w ' ' [ t ' w, t ' w ] [ f, f ] Σχέση (2.5) Μπορούμε να υπολογίσουμε τον STFT του προηγούμενου σήματος χρησιμοποιώντας παράθυρα διαφορετικού πλάτους κανονικής μορφής ( Gaussian), για να εξηγηθούν γραφικά τα παραπάνω 1. Το παράθυρο έχει λοιπόν τη μορφή: 30 () 2 2 t w () t e a

31 Ο παράγοντας α καθορίζει το πλάτος του παραθύρου. Το επόμενο σχήμα δείχνει τέσσερις τέτοιες συναρτήσεις. Ο προηγούμενος STFT υπολογίστηκε για α= Σχήμα 2.7: Gaussian παράθυρα 1. Ένα άλλο συχνά χρησιμοποιούμενο παράθυρο είναι αυτό που δίνεται από τη συνάρτηση g() t t 2 2 e. Ο αντίστοιχος μετασχηματισμός ονομάζεται Μ/Σ του Gabor, ο οποίος ήταν από τους πρώτους που χρησιμοποίησαν τον STFT συστηματικά, παρατηρώντας ότι το προηγούμενο παράθυρο είναι αρκετά ευνοϊκό. Υπολογίζονται οι STFT και με τα άλλα τρία παράθυρα. Πρώτα με το στενότερο. Περιμένουμε καλή χρονική ανάλυση και φτωχή συχνοτική. 31

32 Σχήμα 2.8: STFT για α=0.01 Οι τέσσερις κορυφές διακρίνονται πολύ καλά στο χρόνο, αλλά στη συχνότητα καλύπτουν μεγάλο εύρος συχνοτήτων αντί για μία. Μεγαλώνοντας το παράθυρο (α=0.0001, το τρίτο κατά σειρά) παίρνουμε τον ακόλουθο STFT : Σχήμα 2.9: STFT για α= Οι τέσσερις κορυφές δεν ξεχωρίζουν καλά, αλλά η ανάλυση στη συχνότητα είναι πολύ καλύτερη. Ας μεγαλώσουμε το παράθυρο να δούμε τι συμβαίνει. 32

33 Σχήμα 2.10: STFT για α= Η χρονική ανάλυση είναι απαράδεκτη. Τα παραδείγματα δείχνουν το συμβιβασμό που πρέπει να επιτευχθεί στη χρονική και συχνοτική ανάλυση, ο οποίος πηγάζει από το γεγονός ότι το παράθυρο παραμένει σταθερό καθ όλη τη διάρκεια της ανάλυσης. Η απάντηση σε αυτό το πρόβλημα εξαρτάται από την εφαρμογή και τις απαιτήσεις της ανάλυσης. Στην οριακή περίπτωση που w καταλήγουμε στο Μετασχ/μό Fourier ενώ όταν w 0 έχουμε την κλασσική αντιμετώπιση των χρονοσειρών με τη χρυσή τομή ανάμεσα στις δύο αναλύσεις να περιορίζεται από τη αρχή της αβεβαιότητας. Το παράθυρο μπορεί να μεταβληθεί με αλλαγή της συνάρτησης παραθύρου w μόνο πριν την έναρξη υπολογισμού του Μετασχηματισμού. Σε πρακτικές-αριθμητικές εφαρμογές μπορούμε να καταφύγουμε στην διακριτή εκδοχή του STFT, χρησιμοποιώντας ίσα διαστήματα τόσο στον άξονα του χρόνου, όσο και στης συχνότητας. 33

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ3 ο ΚΥΜΑΤΙΔΙΑ 34

35 3.1 ΣΥΝΕΧΗΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΥΜΑΤΙΔΙΩΝ Ο Συνεχής Μετασχηματισμός Κυματιδίων ( Continuous Wavelet Transform, CWT) εφαρμόστηκε ως μια εναλλακτική προσέγγιση στον STFT για να παρακαμφθεί το πρόβλημα της ανάλυσης. Η ανάλυση με τον CWT γίνεται με παρόμοιο τρόπο με τον STFT, από την άποψη ότι ένα σήμα πολλαπλασιάζεται με μια συνάρτηση (το κυματίδιο) αντίστοιχη με τη συνάρτηση παραθύρου του STFT και ο Μ/Σ υπολογίζεται ξεχωριστά για τα διαφορετικά τμήματα του σήματος. Υπάρχουν όμως κάποιες σημαντικές διαφορές μεταξύ τους: Δεν υπολογίζεται ο FT των τμημάτων του σήματος και έτσι μία κορυφή θα εμφανιστεί στον CWT για κάθε συχνότητα, δεν υπολογίζονται δηλαδή αρνητικές συχνότητες. Το πλάτος του παραθύρου αλλάζει καθώς ο Μ/Σ υπολογίζεται για κάθε συνιστώσα συχνότητα, το οποίο αποτελεί και το πιο σημαντικό χαρακτηριστικό του CWT. Η συνάρτηση κυματιδίου δεν ορίζεται συγκεκριμένα. Η θεωρία του Μ/Σ ασχολείται μόνο με τις γενικές ιδιότητες των κυματιδίων. Καθορίζει ένα πλαίσιο μέσα στο οποίο κάποιος μπορεί να επιλέξει ή να δημιουργήσει κυματίδια, σύμφωνα με τις ανάγκες της κάθε εφαρμογής. Ο CWT ενός σήματος ορίζεται ως εξής: 1 t Wx (,)()() s x t dt Σχέση (3.1) s s Στην προηγούμενη εξίσωση ο CWT του σήματος x (t) είναι συνάρτηση δύο μεταβλητών, της μετατόπισης τ και της κλίμακας s. Ο πυρήνας του μετασχηματισμού είναι η συνάρτηση που ονομάζεται μητρικό κυματίδιο. Ο παράγοντας 35 () s 1 εξασφαλίζει πως η ενέργεια κάθε κυματιδίου που παράγεται από το μητρικό και χρησιμοποιείται στο μετασχηματισμό είναι ίση με αυτή του μητρικού. Ο όρος μητρικό οφείλεται στο γεγονός ότι όλες οι συναρτήσεις με διαφορετική διάρκεια που χρησιμοποιούνται στη διάρκεια του μετασχηματισμού, παράγονται από την ίδια κύρια συνάρτηση, το μητρικό κυματίδιο.

36 Για λόγους πληρότητας δίνεται και ο αντίστροφος CWT: 1 1 t 2 2 c s s x()( t,)() W x s d ds Σχέση (3.2) όπου c ψ είναι σταθερά που εξαρτάται από το χρησιμοποιούμενο κυματίδιο. Ο CWT δίνει, εξ ορισμού, καλό χρονικό εντοπισμό και μεγάλο φασματικό όριο διακύμανσης στις υψηλές συχνότητες, ενώ στις χαμηλές συχνότητες δίνει καλή φασματική ανάλυση αυξάνοντας την αβεβαιότητα στο χρόνο. Η μεταβολή του παραθύρου που χρησιμοποιείται, «εγκλωβίζει» τις χαμηλές συχνότητες με παράθυρα στενού χρονικού εύρους και τις υψηλές με ευρύτερα παράθυρα. Αυτή η προσέγγιση ταιριάζει σε σήματα με υψηλές συχνότητες που διαρκούν λίγο στο χρόνο και χαμηλές συχνότητες που απλώνονται σε μεγάλα χρονικά διαστήματα. Τέτοιου είδους σήματα απαντούν συνήθως στο φυσικό κόσμο και ένα από αυτά, τα TEC δεδομένα, καλούμαστε να αναλύσουμε σε αυτή την εργασία. Σχήμα 3.1: Σύγκριση των παραθύρων που η κλασική Ανάλυση Χρονοσειρών, ο Μετασχ/μός Fourier, o STFT και η Ανάλυση Κυματιδίου χρησιμοποιούν στο χρονικο-συχνοτικό πλέγμα. Η μετατόπιση τ σχετίζεται με τη θέση της συνάρτησης παραθύρου καθώς αυτό σαρώνει το σήμα και προφανώς αντιστοιχεί στο χρόνο. Η έννοια της συχνότητας απουσιάζει από τον ορισμό του CWT, μιας και χρησιμοποιείται στον FT. 36

37 Όπως θα δούμε εκτενώς στη συνέχεια, είναι ακριβώς αντίστροφη από αυτή της κλίμακας. Η κλίμακα s είναι έννοια εντελώς αντίστοιχη με την κλίμακα στους χάρτες: υψηλή κλίμακα (s>1) αντιστοιχεί σε σφαιρική απεικόνιση του σήματος, ενώ χαμηλή κλίμακα (0<s<1) αντιστοιχεί σε λεπτομερείς πληροφορίες που ενυπάρχουν στο σήμα. Σημαντικό είναι επίσης το γεγονός ότι το χρονικό-συχνοτικό παράθυρο του CWT έχει σταθερό εμβαδόν σε όλη τη διάρκεια του υπολογισμού του ολοκληρώματος. Αν και είναι η απόκλιση του σήματος στο πεδίο των συχνοτήτων t η αντίστοιχη απόκλιση στο πεδίου του χρόνου, τότε η αρχή της αβεβαιότητας 2 2 επιβάλλει: 1 t. 4 Σχήμα 3.2: α) χρόνος-κλίμακα και β) χρόνος-συχνότητα στον CWT Οι πιο σημαντικές ιδιότητες που πληρούν τα κυματίδια είναι οι συνθήκες της αποδοχής ( admissibility) και κανονικότητας ( regularity). Μπορεί να αποδειχθεί ότι μια συνάρτηση Ψ(t) -o FT της ψ(t)- που ικανοποιεί την πρώτη, δηλαδή 2 () d Σχέση (3.3) μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την ανάλυση και ανακατασκευή ενός σήματος χωρίς απώλεια πληροφορίας. Η παραπάνω σχέση υπονοεί ότι ο FT της Ψ(t) μηδενίζεται στη μηδενική συχνότητα: 2 () 0 Σχέση (3.4) 0 Αυτό σημαίνει ότι τα κυματίδια πρέπει να έχουν ζωνοπερατό φάσμα. Η Σχέση (3.4) σημαίνει ότι και η μέση τιμή του κυματιδίου στο πεδίο του χρόνου πρέπει να είναι μηδέν: () t dt 0 Σχέση (3.5) 37

38 δηλαδή το ψ(t) πρέπει να ταλαντώνεται, ή αλλιώς, να είναι κύμα. Ο όρος κυματίδιο υποδηλώνει, ακόμα, ένα μικρό κύμα.. Είναι μικρό γιατί, αντίθετα με το j2 ft e πεπερασμένο πεδίο ορισμού ή υποστήριξης στην ψηφιακή του μορφή (Σχέση 3.3)., έχει Επιπλέον των συνθηκών ( ), η συνθήκη κανονικότητας επιβάλλει το κυματίδιο να έχει ομαλή συμπεριφορά και να είναι συγκεντρωμένο τόσο στο χρόνο όσο και στη συχνότητα, έτσι ώστε ο CWT να μειώνεται γρήγορα με ελάττωση της κλίμακας s. Έτσι, ένα κυματίδιο κατασκευάζεται ώστε να έχει μηδενισμό ροπών υψηλής τάξης. Για μηδενισμό ροπών τάξης m έχουμε: p t () t dt 0, p 0,..., m 1 Σχέση (3.6) Στο σχήμα 3.3 φαίνεται πιο παραστατικά ο τρόπος υπολογισμού του CWT. Από τη στιγμή που επιλέγεται το μητρικό κυματίδιο, όλα τα υπόλοιπα κυματίδια του Μ/Σ θα είναι διευρυμένα (ή συμπιεσμένα) και μετατοπισμένα παράγωγα του αρχικού. Η διαδικασία αρχίζει για s=1 και συνεχίζεται για μικρότερες και μεγαλύτερες τιμές της κλίμακας. Στις πρακτικές εφαρμογές παρ όλα αυτά, τα σήματα είναι περιορισμένα στη συχνότητα και γι αυτό ένας πεπερασμένος αριθμός κλιμάκων είναι κατάλληλος. Στο παρόν παράδειγμα, για λόγους καλύτερης απεικόνισης, η κλίμακα ξεκινά από την τιμή 1 και αυξάνεται (πηγαίνει προς τις μικρότερες συχνότητες). Το κυματίδιο τοποθετείται στην αρχή (τ=0) κα για s=1 διατρέχει όλο το σήμα. Το αποτέλεσμα αυτής της ολοκλήρωσης πολλαπλασιάζεται φυσικά με 1, έτσι s ώστε το μετασχηματισμένο σήμα να έχει σταθερή ενέργεια σε κάθε κλίμακα. Η διαδικασία συνεχίζεται για κάθε τιμή του s. Ο υπολογισμός για κάθε κλίμακα συμπληρώνει και από μία σειρά στο επίπεδο χρόνου-κλίμακας. 38

39 Σχήμα 3.3: Υπολογισμός του CWT για διαφορετικές κλίμακες και για όλη τη διάρκεια του σήματος (α) s=1, (β) s=5, (γ) s=20. Αν το σήμα μας έχει φασματική συνιστώσα που αντιστοιχεί σε μία συγκεκριμένη κλίμακα, τότε το γινόμενο σήματος-κυματιδίου είναι σχετικά μεγάλο. Στο προηγούμενο σχήμα αυτό συμβαίνει προς τη μέση του σήματος (τ=100), όσον αφορά την κλίμακα s=1. Για μεγαλύτερες κλίμακες ο CWT θα δώσει μεγάλες τιμές καθ όλη τη διάρκεια, καθώς χαμηλές συχνότητες υπάρχουν συνέχεια. 39

40 Πιο κάτω (στο σχήμα 3.4) φαίνεται ο CWT ενός μη στάσιμου σήματος που είναι παρόμοιο με αυτό που χρησιμοποιήθηκε στο παράδειγμα του STFT. Σε αυτό εμφανίζονται διαδοχικά κάθε 250 ms οι συχνότητες 30, 20, 10 και 5 Hz. Σχήμα 3.4: ο CWT ενός μη στάσιμου σήματος Στον CWT οι άξονες έχουν κανονικοποιηθεί. Πρώτα εμφανίζεται η μεγαλύτερη συχνότητα (30 Hz) που αντιστοιχεί σε μικρότερη κλίμακα και μετά κατά σειρά οι υπόλοιπες. Είναι εμφανές ότι οι μεγαλύτερες συχνότητες έχουν καλύτερη 40

41 ανάλυση στο χρόνο και καλύτερη ανάλυση στην κλίμακα, που αντιστοιχεί όμως σε χειρότερη ανάλυση στη συχνότητα (υπενθυμίζεται ότι είναι αντίστροφες έννοιες). Ακολουθεί ένα ακόμα παράδειγμα CWT ενός ενθόρυβου ημιτονοειδούς σήματος. Σχήμα 3.5: ο CWT ενθόρυβου ημιτόνου 3.2 ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ ΣΤΑ ΚΥΜΑΤΙΔΙΑ Στη συνέχεια παρατίθενται χρονολογικά κάποια σημαντικά γεγονότα στην εξέλιξη των κυματιδίων. 1909: Ο A. Haar ανακαλύπτει μία βάση συναρτήσεων, που σήμερα αναγνωρίζονται ως τα πρώτα κυματίδια. Αποτελούνται από ένα σύντομο θετικό παλμό, ακολουθούμενο από έναν αρνητικό. 1946: O D. Gabor αναλύει σήματα σε πακέτα χρόνου-συχνότητας (Gabor chirps). 1976: Οι Cl. Galand και D. Esteban της IBM ανακαλύπτουν την πολυεπίπεδη ανάλυση, ως τρόπο κωδικοποίησης ψηφιακών μεταδόσεων μέσω τηλεφώνου. 41

42 1981: Ο J. Morlet βρίσκει έναν τρόπο ανάλυσης σεισμικών κυμάτων σε κυματίδια σταθερού σχήματος. 1984: Σε εργασία των J. Morlet και A. Grossmann αναφέρεται για πρώτη φορά ο όρος «κυματίδιο». 1985: Ο Y. Meyer ανακαλύπτει τα πρώτα ορθογώνια κυματίδια (βάση από κυματίδια που δεν επικαλύπτονται, δηλαδή). 1986: Ο St. Mallat δείχνει ότι η βάση του Haar, τα Gabor-chirps και η πολυεπίπεδη ανάλυση σχετίζονται με τα κυματίδια. 1990: Οι D. Donoho και I. Johnstone χρησιμοποιούν κυματίδια για να «αποθορυβοποιήσουν» εικόνες (να τις κάνουν πιο ομαλές). 1992: Το FBI επιλέγει μια μέθοδο σχετική με κυματίδια για να συμπιέσει την τεράστια βάση δεδομένων του από δαχτυλικά αποτυπώματα. 1999: Εγκρίνεται από τον ISO μια νέα μέθοδος συμπίεσης ψηφιακών εικόνων, που λέγεται JPEG Η νέα μέθοδος χρησιμοποιεί κυματίδια για συμπίεση ως 200 φορές, χωρίς αισθητή απώλεια ποιότητας. 3.3 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΚΥΜΑΤΙΔΙΩΝ Σε πολλά πεδία της επιστήμης, οι επιστήμονες έρχονται αντιμέτωποι με το πρόβλημα της ανάκτησης ενός σήματος από ελλιπή ή θορυβώδη δεδομένα. Τα κυματίδια μπορούν να βοηθήσουν στην επίλυση αυτού του προβλήματος, με τον ακόλουθο τρόπο: κατά την ανάλυση δεδομένων (όπως θα εξηγηθεί αναλυτικά στο επόμενο κεφάλαιο) χρησιμοποιούνται φίλτρα που παράγουν προσεγγίσεις και λεπτομέρειες. Κάποιοι συντελεστές αντιστοιχούν στις λεπτομέρειες του συνόλου δεδομένων. Αν είναι μικροί μπορούν να παραληφθούν, χωρίς να επηρεάζουν σημαντικά τα κύρια χαρακτηριστικά του συνόλου. Η μέθοδος της κατωφλίωσης 42

43 μηδενίζει όλους τους συντελεστές που είναι μικρότεροι από ένα συγκεκριμένο όριο (κατλωφλι). Η ανακατασκευή επιτυγχάνεται με τον αντίστροφο WT και δίνει σήμα που, με μεγάλη πιθανότητα, έιναι τόσο ομαλό όσο το πραγματικό. Η αποθορυβοποίηση μπορεί να αφορά και εικόνες ή ήχο (πολλά παλιά ηχητικά ντοκουμέντα έχουν «καθαριστεί» με τη μέθοδο αυτή). Μία άλλη σημαντική εφαρμογή των κυματιδίων είναι η συμπίεση δεδομένων ή αρχείων (εικόνας,ήχου). Χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι η τεράστια βάση δαχτυλικών αποτυπωμάτων (δεκάδες εκατομμύρια) του FBI που αναφέρθηκε παραπάνω. Πριν το 1992 είχαν αναπτυχθεί αρκετές μέθοδοι ψηφιοποίησής της. Λόγω όμως προβλημάτων συμβατότητας μεταξύ τους, ανέκυψε η ανάγκη για ένα πρότυπο ψηφιοποίησης και συμπίεσης, που θα διατηρεί την υψηλή ποιότητα της εικόνας. Μέσω λοιπόν του διακριτού WT, λαμβάνονται οι συντελεστές του Μ/Σ, οι οποίοι υπόκεινται σε κβαντοποίηση, εξισώνονται δηλαδή με συγκεκριμένες ακέραιες τιμές. Το σύστημα δίνει ανακατασκευή εικόνας που είναι δύσκολο να ξεχωρίσει από την αυθεντική, με λόγο συμπίεσης 20:1. Κυματίδια χρησιμοποιούνται και στα μαθηματικά για την αριθμητική επίλυση μερικών διαφορικών εξισώσεων (ΜΔΕ), ειδικά στην περίπτωση ύπαρξης παραγώγων μεγάλης τάξης. Εκτός όμως από την επίλυση ΜΔΕ, τα κυματίδια βοηθούν και στη γρήγορη, προσεγγιστική ανάγνωση και κατανόηση των αποτελεσμάτων που αυτές δίνουν, όταν πρόκειται για μεγάλα υπολογιστικά συστήματα που εξάγουν τεράστιο όγκο ασυμπίεστων δεδομένων. Και στη σύνθεση ήχου, όμως, ένα απλό πακέτο «γεννήτριας» κυματιδίων μπορεί να αντικαταστήσει μεγάλο αριθμό ταλαντωτών. Δείγματα από τις νότες που παράγονται από ένα μουσικό όργανο αναλύονται στους συντελεστές κυματιδίων. Η αναπαραγωγή μιας νότας απαιτεί το φόρτωμα των συντελεστών από μια τέτοια γεννήτρια σε πραγματικό χρόνο, για παράδειγμα, από ένα πληκτρολόγιο. Η διαδικασία αυτή μπορεί να ακολουθηθεί και στην αναπαραγωγή ανθρώπινης ομιλίας. Η επιτυχία αυτής της τεχνικής οφείλεται στο μικρό χώρο που καταλαμβάνουν οι συντελεστές και στο μικρό σφάλμα που εισάγεται από την παράλειψη συντελεστών μικρού μεγέθους. Τα παραπάνω παραδείγματα δείχνουν φυσικά μόνο μερικές εφαρμογές των κυματιδίων, η χρήση των οποίων είναι ιδιαίτερα ευρεία στις μέρες μας. 3.4 ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΥΜΑΤΙΔΙΩΝ 43

44 Για να γίνει πιο πρακτικός ο WT και να χρησιμοποιηθεί στον υπολογιστή είναι απαραίτητο να διακριτοποιηθεί. Ενώ ένας σταθερός ρυθμός δειγματοληψίας ακούγεται η πιο φυσική επιλογή, στην περίπτωση του WT μπορούμε να εκμεταλλευτούμε τη μεταβολή της κλίμακας για να πετύχουμε περαιτέρω μείωση. Σε μεγαλύτερες κλίμακες, ο ρυθμός μπορεί να μειωθεί σύμφωνα με τον κανόνα του Nyquist, που δίνει την κατώτερη τιμή του. Αν είναι Ν 1 στην κλίμακα s 1 και Ν 2 στην s 2 τότε ισχύει: N N s s ή N N f f Με άλλα λόγια, στις χαμηλές συχνότητες ο ρυθμός δειγματοληψίας μπορεί να μειωθεί, πράγμα που συμβάλλει στην εξοικονόμηση υπολογιστικού χρόνου. Η παράμετρος κλίμακας s διακριτοποιείται σε λογαριθμική κλίμακα και ακολούθως η παράμετρος τ διακριτοποιείται σύμφωνα με την s, με διαφορετικό ρυθμό για κάθε κλίμακα. Επιλέγεται η δυαδική δειγματοληψία (σχήμα 3.6), που είναι μια λογική επιλογή όσον αφορά τους υπολογιστές. Εφ όσον η κλίμακα ματαβάλλεται κατά ένα παράγοντα 2, ο ρυθμός δειγματοληψίας στο χρόνο μειώνεται κατά τον ίδιο παράγοντα σε κάθε κλίμακα. Σχήμα 3.6: Δυαδικό πλέγμα δειγματοληψίας Χρησιμοποιώντας μαθηματική ορολογία, η συνεχής συνάρτηση κυματιδίου 1 t, s s s για j j s s0 και k s0 0, όπου s 0 1 και 0 0 γίνεται j 2 j, ()() j k t s s t k Σχέση (3.7) 44

45 Για τις τιμές s 0 =2 και τ 0 =1 που αναφέρθηκαν πιο πάνω παίρνουμε: 2, () 2(2) j j j k t t k Σχέση (3.8) Η σχέση αυτή αναφέρεται ως διακριτοποιημένος συνεχής μετασχηματισμός κυματιδίων. Για ένα σήμα x[n] διακριτού χρόνου ή δειγματοληπτημένο, ορίζουμε το Διακριτό Μετασχηματισμό Κυματιδίου (Discrete Wavelet Transform, DWT) ως εξής: W j k x n n k Σχέση (3.9) j x 2 j (,) 2 [ ] [2 ] n Ο DWT είναι ο αλγόριθμος με τον οποίο θα αναλύσουμε τα TEC δεδομένα στην εργασία αυτή, γι αυτό και το επόμενο κεφάλαιο είναι εξ ολοκλήρου αφιερωμένο στην ανάπτυξη της θεωρίας που τον διέπει. 45

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΕΠΙΠΕΔΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 46

47 4.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Αν και o διακριτοποιημένος συνεχής μετασχηματισμός κυματιδίων επιτρέπει τον υπολογισμό του συνεχούς μετασχηματισμού κυματιδίων με υπολογιστές, δεν είναι ένας αληθινός διακριτός μετασχηματισμός. Στην πραγματικότητα, η σειρά κυματιδίων είναι απλά μια δειγματοληπτημένη εκδοχή του CWT, και οι πληροφορίες που παρέχουν είναι πλεονάζουσες όσον αφορά για την ανακατασκευή του σήματος. Αυτός ο πλεονασμός όμως απαιτεί αύξηση του χρόνου υπολογισμού και των πόρων του υπολογιστικού συστήματος. O διακριτός μετασχηματισμός κυματιδίων (DWT), αφ' ετέρου, παρέχει ικανοποιητικές πληροφορίες και για την ανάλυση και για τη σύνθεση του αρχικού σήματος, με μια σημαντική μείωση του χρόνου υπολογισμού. Ο DWT είναι αρκετά ευκολότερος να εφαρμοστεί όταν συγκρίνεται με τον CWT. Οι βασικές έννοιες του DWT θα εισαχθούν σε αυτό το τμήμα μαζί με τις ιδιότητές της και τους αλγορίθμους που χρησιμοποιούνται για να τον υπολογίσουν. Όπως στα προηγούμενα κεφάλαια, τα παραδείγματα παρέχονται ως ενίσχυση στην ερμηνεία του DWT. Τα θεμέλια του DWT κρατούν από το 1976 όταν επινόησαν οι Croiser, esteban, και Galand μια τεχνική για να αποσυντεθούν τα διακριτά σήματα. Οι Crochiere, Weber, και Flanagan έκαναν μια παρόμοια εργασία για την κωδικοποίηση των σημάτων ομιλίας στο ίδιο έτος. Ονόμασαν το σχέδιο ανάλυσής τους ως κωδικοποίηση υποζωνών ( subband coding). Το 1983,οBurt καθόρισε μια τεχνική πολύ παρόμοια με την κωδικοποίηση υποζωνών και την ονόμασε πυραμιδική κωδικοποίηση που είναι επίσης γνωστή ως πολυεπίπεδη ανάλυση ( multiresolution analysis). Στα τέλη του 1989,οι Vetterli και LE Gall έκαναν μερικές βελτιώσεις στο σχέδιο κωδικοποίησης υποζωνών, αφαιρώντας τον υπάρχοντα πλεονασμό στο πυραμιδικό σχέδιο κωδικοποίησης. Ακολουθεί η εξήγηση της κωδικοποίησης υποζωνών. 4.2 ΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΥΠΟΖΩΝΩΝ ΚΑΙ ΠΟΛΥΕΠΙΠΕΔΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Η κύρια ιδέα είναι η ίδια με αυτή του CWT. Μια αντιπροσώπευση ενός ψηφιακού σήματος στο επίπεδο χρόνου-κλίμακας λαμβάνεται χρησιμοποιώντας τις ψηφιακές τεχνικές φιλτραρίσματος. Ας θυμηθούμε ότι ο CWT είναι ένας 47

48 συσχετισμός μεταξύ ενός κυματιδίου σε διαφορετικές κλίμακες και του σήματος, με την κλίμακα (ή τη συχνότητα) να χρησιμοποιείται ως μέτρο της ομοιότητας. Ο συνεχής μετασχηματισμός κυματιδίων υπολογίστηκε με την αλλαγή της κλίμακας του παραθύρου ανάλυσης, μετατοπίζοντας το παράθυρο στο χρόνο, πολλαπλασιάζοντας με το σήμα και ολοκληρώνοντας κατά τη διάρκεια όλου του χρονικού διαστήματος. Στην διακριτή περίπτωση, φίλτρα διαφορετικών συχνοτήτων αποκοπής χρησιμοποιούνται για να αναλύσουν το σήμα στις διαφορετικές κλίμακες. Το σήμα περνά μέσω μιας σειράς υψιπερατών φίλτρων για να αναλύσει τις υψηλές συχνότητες, και μέσω μιας σειράς χαμηλοπερατών φίλτρων για να αναλύσει τις χαμηλές συχνότητες. Για τα φίλτρα αναφέρονται περισσότερα στην παράγραφο 4.3. Η ανάλυση ( resolution) του σήματος,η οποία είναι ένα μέτρο του ποσού πληροφοριών λεπτομέρειας (detail information) στο σήμα, αλλάζει από τις διαδικασίες φιλτραρίσματος, και η κλίμακα αλλάζει με τις διαδικασίες υπερδειγματοληψίας ( upsampling) και υποδειγματοληψίας ( subsampling). Η υποδειγματοληψία σε ένα σήμα επιφέρει μείωση του ρυθμού δειγματοληψίας, ή την αφαίρεση μερικών από τα δείγματα του σήματος. Παραδείγματος χάριν, η υποδειγματοληψία κατά ένα παράγοντα δύο επιφέρει την απόρριψη των μισών δειγμάτων του σήματος. Η υποδειγματοληψία κατά έναν παράγοντα ν μειώνει τον αριθμό δειγμάτων του σήματος ν φορές. Η υπερδειγματοληψία σε ένα σήμα αντιστοιχεί στην αύξηση του ρυθμού δειγματοληψίας ενός σήματος με την προσθήκη νέων δειγμάτων στο σήμα. Παραδείγματος χάριν, η υπερδειγματοληψία κατά ένα παράγοντα δύο αναφέρεται στην προσθήκη ενός νέου δείγματος, συνήθως ένα μηδέν ή μια παρεμβάλλουσα τιμή, μεταξύ κάθε δύο δειγμάτων του σήματος. Η υπερδειγματοληψία σε ένα σήμα κατά έναν παράγοντα ν αυξάνει τον αριθμό δειγμάτων στο σήμα ν φορές. Δεδομένου ότι το σήμα είναι μια συνάρτηση διακριτή στο χρόνο, οι όροι συνάρτηση και ακολουθία θα χρησιμοποιηθούν εναλλακτικά στην ακόλουθη παρουσίαση. Αυτή η ακολουθία θα αναφέρεται ως x [n], όπου το n είναι ένας ακέραιος αριθμός. Η διαδικασία αρχίζει καθώς περνά το διακριτό σήμα (ακολουθία) x[n] μέσα από ένα ψηφιακό χαμηλοπερατό φίλτρο μισής ζώνης ( half band) με κρουστική απόκριση h[n]. Το φιλτράρισμα ενός σήματος αντιστοιχεί στη μαθηματική λειτουργία της συνέλιξης του σήματος με την κρουστική απόκριση του φίλτρου. Η συνέλιξη στον διακριτό χρόνο καθορίζεται ως εξής: 48

49 x[ n] h[ n] x[ k] h[ n k] Σχέση (4.1) k Ένα μισής ζώνης ψηφιακό χαμηλοπερατό το φίλτρο αφαιρεί όλες τις συχνότητες που είναι επάνω από τη μισή της υψηλότερης συχνότητας στο σήμα. Παραδείγματος χάριν, εάν ένα σήμα έχει ως υψηλότερη συχνότητα αυτή των 1000 Hz, το φίλτρο αφαιρεί όλες τις συχνότητες επάνω από 500 Hz. Η μονάδα της συχνότητας είναι ιδιαίτερα σημαντική αυτή τη στιγμή. Στα διακριτά σήματα, η συχνότητα εκφράζεται σε ακτίνια ( radians). Συνεπώς, η συχνότητα δειγματοληψίας του σήματος είναι ίση με 2π rads. Επομένως, το υψηλότερο συχνοτικό περιεχόμενο του σήματος θα είναι π rads, εάν το σήμα έχει υποστεί δειγματοληψία με ρυθμό Nyquist ( ο οποίος είναι δύο φορές η μέγιστη συχνότητα που υπάρχει στο σήμα) δηλαδή ο ρυθμός Nyquist αντιστοιχεί σε π rad/s. Επομένως η χρησιμοποίηση των Hz δεν είναι κατάλληλη για τα διακριτά σήματα. Εντούτοις, η μονάδα Hz χρησιμοποιείται όποτε απαιτείται να διευκρινιστεί μια συζήτηση, δεδομένου της ευκολίας κατανόησης του μεγέθους με τη χρήση των Hz. Πρέπει πάντα να έχουμε κατά νου ότι η μονάδα της συχνότητας για τα διακριτά σήματα είναι τα ακτίνια. Μετά το πέρασμα του σήματος μέσω του χαμηλοπερατού φίλτρου, τα μισά από τα δείγματα μπορούν να απαλειφθούν σύμφωνα με τον κανόνα του Nyquist, δεδομένου ότι το σήμα έχει τώρα ως υψηλότερη συχνότητα τα π/2 rads αντί των π rads. Απορρίπτοντας απλά κάθε άλλο δείγμα το σήμα θα υποστεί υποδειγματοληψία κατά δύο και θα έχει πλέον το μισό αριθμό δειγμάτων. Η κλίμακα του σήματος τώρα διπλασιάζεται. Σημειώστε ότι το χαμηλοπερατό φιλτράρισμα αφαιρεί τις πληροφορίες υψηλής συχνότητας, αλλά αφήνει την κλίμακα αμετάβλητη. Μόνο η διαδικασία της υποδειγματοληψίας αλλάζει την κλίμακα.η ανάλυση, αφ' ετέρου, συσχετίζεται με το ποσό πληροφοριών στο σήμα, και επομένως, επηρεάζεται από τις διαδικασίες φιλτραρίσματος.το χαμηλοπερατό φιλτράρισμα αφαιρεί τις μισές από τις συχνότητες, το οποίο μπορεί να ερμηνευθεί ως χάσιμο του μισού των πληροφοριών. Επομένως, η ανάλυση διχοτομείται μετά από τη λειτουργία φιλτραρίσματος. Σημειώστε, εντούτοις, ότι η υποδειγματοληψία μετά το φιλτράρισμα δεν έχει επιπτώσεις στη ανάλυση, καθώς η αφαίρεση του μισού φασματικού περιεχομένου από το σήμα κάνει το μισό αριθμό δειγμάτων περιττά ούτως ή άλλως. Τα μισά από τα δείγματα μπορούν να απορριφθούν χωρίς οποιαδήποτε απώλεια πληροφοριών. 49

50 Εν περιλήψει, το χαμηλοπερατό φιλτράρισμα διχοτομεί τη ανάλυση, αλλά αφήνει την κλίμακα αμετάβλητη και η υποδειγματοληψία υποδιπλασιάζει τον αριθμό δειγμάτων και διπλασιάζει την κλίμακα. Αυτή η διαδικασία μπορεί από μαθηματική άποψη να εκφραστεί ως: Σχέση (4.2) y[ n] h[ k] x[2 n k] k Έχοντας αναφέρει αυτά, φαίνεται τώρα πώς ο DWT υπολογίζεται πραγματικά: Ο DWT αναλύει το σήμα σε διαφορετικά φάσματα συχνοτήτων με διαφορετική ανάλυση το καθένα με την αποσύνθεση του σήματος σε μια χονδροειδή προσέγγιση και πληροφορίες λεπτομέρειας. Ο DWT υιοθετεί δύο σύνολα συναρτήσεων, τις αποκαλούμενες συναρτήσεις κλιμάκωσης και συναρτήσεις κυματιδίων,οι οποίες συνδέονται με τα χαμηλοπερατά και τα υψιπερατά φίλτρα, αντίστοιχα. Η αποσύνθεση του σήματος στις διαφορετικές ζώνες συχνότητας λαμβάνεται απλά με το διαδοχικό υψιπερατό και χαμηλοπερατό φιλτράρισμα του σήματος στο πεδίο του χρόνου. Το αρχικό σήμα x[n] περνά αρχικά μέσω ενός υψιπερατού φίλτρου φίλτρου g[n] και ενός χαμηλοπερατού φίλτρου h[n]. Μετά από το φιλτράρισμα, τα μισά από τα δείγματα μπορούν να απαλειφθούν σύμφωνα με τον κανόνα του Nyquist, δεδομένου ότι το σήμα έχει τώρα ως υψηλότερη συχνότητα την π/2 rads αντί της π. Το σήμα μπορεί επομένως να υποστεί υποδειγματοληψία κατά 2 απλά με την απόρριψη κάθε άλλου δείγματος. Αυτό αποτελεί ένα επίπεδο ανάλυσης και μπορεί από μαθηματική άποψη να εκφραστεί ως εξής: Σχέση (4.3α) yhigh[ k] x[ n] g[2 k n] n Σχέση (4.3β) ylow[ k] x[ n] h[2 k n] n όπου yhigh[k ] και ylow[k ] είναι οι έξοδοι των υψιπερατών και χαμηλοπερατών φίλτρων, αντίστοιχα, μετά την υποδειγματοληψία. Αυτή η αποσύνθεση υποδιπλασιάζει τη χρονική ανάλυση δεδομένου ότι μόνο ο μισός αριθμός δειγμάτων χαρακτηρίζει τώρα το ολόκληρο σήμα. Εντούτοις, αυτή η λειτουργία διπλασιάζει τη συχνοτική ανάλυση, καθώς το φάσμα συχνοτήτων εκτείνεται τώρα μόνο στο μισό του προηγούμενου φάσματος, μειώνοντας αποτελεσματικά την αβεβαιότητα στη συχνότητα κατά το ήμισυ. Η ανωτέρω διαδικασία, η οποία είναι επίσης γνωστή ως κωδικοποίηση υποζωνών, μπορεί να 50

51 επαναληφθεί για την περαιτέρω αποσύνθεση. Σε κάθε επίπεδο, το φιλτράρισμα και η υποδειγματοληψία θα οδηγήσουν στο μισό αριθμό δειγμάτων (και ως εκ τούτου στη μισή ανάλυση στο χρόνο) και στο μισό φάσμα (και ως εκ τούτου στη διπλάσια ανάλυση στη συχνότητα). To Σχήμα 4.1 επεξηγεί αυτήν την διαδικασία, όπου x[n ] είναι το αρχικό σήμα που αποσυντίθεται, και h[n] και g[n] είναι τα χαμηλοπερατά και υψιπερατά φίλτρα, αντίστοιχα. Το εύρος ζώνης του σήματος είναι σε κάθε επίπεδο χαρακτηρισμένο στο σχήμα ως "f". Σχήμα 4.1: Ο αλγόριθμος της κωδικοποίησης υποζωνών. Για παράδειγμα, υποθέστε ότι το αρχικό σήμα x[n] έχει 512 δείγματα, καταλαμβάνοντας το φάσμα συχνοτήτων από 0 εώς π rad. Στο πρώτο επίπεδο αποσύνθεσης, το σήμα περνά μέσω των υψιπερατών και χαμηλοπερατών φίλτρων και ακολουθεί η υποδειγματοληψία. Η έξοδος του υψιπερατού φίλτρου έχει 256 δείγματα (δηλαδή τη μισή χρονική ανάλυση), αλλά εκτείνεται μόνο στις συχνότητες π/2 έως π 51

52 rad/s (δηλαδή τη διπλάσια συχνοτική ανάλυση). Αυτά τα 256 δείγματα αποτελούν το πρώτο επίπεδο συντελεστών του DWT. Η έξοδος του χαμηλοπερατού φίλτρου έχει επίσης 256 δείγματα, αλλά εκτείνεται στο υπόλοιπο μισό του φάσματος, στις συχνότητες από 0 εώς π/2 rad/s. Αυτό το σήμα περνά έπειτα μέσω των ίδιων χαμηλοπερατών και υψιπερατών φίλτρων για την περαιτέρω αποσύνθεση. Η έξοδος του δεύτερου χαμηλοπερατού φίλτρου έπειτα και από την υποδειγματοληψία έχει 128 δείγματα που εκτείνονται στις συχνότητες από 0 εώς π/4 rad, και η έξοδος του δεύτερου υψιπερατού φίλτρου ακολουθούμενη από υποδειγματοληψία έχει 128 δείγματα που εκτείνονται στις συχνότητες από π/4 εώς π/2 rad. Το δεύτερο υψιπερατά φιλτραρισμένο σήμα αποτελεί το δεύτερο επίπεδο συντελεστών του DWT. Αυτό το σήμα έχει τη μισή χρονικά ανάλυση, αλλά τη διπλάσια συχνοτική ανάλυση από του πρώτου επιπέδου σήμα. Με άλλα λόγια, η χρονική ανάλυση έχει μειωθεί κατά έναν παράγοντα 4, και η συχνοτική ανάλυση έχει αυξηθεί κατά έναν παράγοντα επίσης 4 έναντι του αρχικού σήματος. Η έξοδος του χαμηλοπερατού φίλτρου φιλτράρεται έπειτα άλλη μια φορά για την περαιτέρω αποσύνθεση. Αυτή η διαδικασία συνεχίζεται έως ότου μείνουν δύο δείγματα. Για αυτό το συγκεκριμένο παράδειγμα υπάρχουν 8 επίπεδα αποσύνθεσης, από τα οποία το καθένα θα έχει το μισό αριθμό δειγμάτων του προηγούμενου επιπέδου. Ο DWT του αρχικού σήματος λαμβάνεται έπειτα με τη σύνδεση όλων των συντελεστών αρχίζοντας από το τελευταίο επίπεδο αποσύνθεσης (το οποίο έχει δύο δείγματα, σε αυτήν την περίπτωση). Ο DWT θα έχει τότε τον ίδιο αριθμό συντελεστών με το αρχικό σήμα. Οι κυρίαρχες συχνότητες του αρχικού σήματος θα εμφανιστούν με υψηλά πλάτη σε εκείνο το επίπεδο του DWT σήματος που περιλαμβάνει αυτές τις συγκεκριμένες συχνότητες. Η διαφορά αυτού του μετασχηματισμού από το μετασχηματισμό Fourier είναι ότι ο χρονικός εντοπισμός αυτών των συχνοτήτων δεν θα χαθεί. Εντούτοις, ο χρονικός εντοπισμός θα έχει μία ανάλυση που εξαρτάται από ποιο επίπεδο εμφανίζονται. Εάν οι κύριες πληροφορίες του σήματος βρίσκονται στις υψηλές συχνότητες, όπως συμβαίνει ο συχνότερα, ο χρονικός εντοπισμός αυτών των συχνοτήτων θα είναι ακριβέστερος, δεδομένου ότι χαρακτηρίζονται από μεγαλύτερο αριθμό δειγμάτων. Εάν οι κύριες πληροφορίες βρίσκονται μόνο στις πολύ χαμηλές συχνότητες, ο χρονικός εντοπισμός δεν θα είναι πολύ ακριβής, δεδομένου ότι λίγα δείγματα χρησιμοποιούνται για να εκφράσουν το σήμα σε αυτές τις συχνότητες. Αυτή η διαδικασία προσφέρει ουσιαστικά μία καλή ανάλυση στο πεδίο του χρόνου στις υψηλές συχνότητες και καλή ανάλυση στο πεδίο της συχνότητας στις χαμηλές 52

53 συχνότητες. Τα περισσότερα πρακτικά σήματα που αντιμετωπίζονται είναι αυτού του τύπου. Οι φασματικές συνιστώσες που δεν είναι προεξέχουσες στο αρχικό σήμα θα έχουν πολύ χαμηλά πλάτη, και αυτό το μέρος του σήματος DWT μπορεί να απορριφθεί χωρίς οποιαδήποτε σημαντική απώλεια πληροφοριών, επιτρέποντας τη μείωση των πλεοναζόντων δεδομένων. Το σχήμα 4.2 επεξηγεί ένα παράδειγμα για το πώς μοιάζουν τα DWT σήματα και το πώς παρέχεται η μείωση αυτή. Το σχήμα 4.2α παρουσιάζει ένα χαρακτηριστικό σήμα 256 δειγμάτων με το πλάτος κανονικοποιημένο. Ο οριζόντιος άξονας είναι ο αριθμός δειγμάτων, ενώ ο κάθετος άξονας είναι το κανονικοποιημένο πλάτος. Το σχήμα 4.2b παρουσιάζει το όγδοο επίπεδο του DWT του σήματος του σχήματος 4.2a. Τα τελευταία 256 δείγματα σε αυτό το σήμα αντιστοιχούν στις υψηλότερες συχνότητας στο σήμα, τα προηγούμενα 128 δείγματα αντιστοιχούν στις αμέσως χαμηλότερες και ου το καθεξής. Πρέπει να σημειωθεί ότι μόνο τα πρώτα 64 δείγματα, τα οποία αντιστοιχούν στις χαμηλότερες συχνότητες της ανάλυσης, φέρουν τις σχετικές πληροφορίες και το υπόλοιπο αυτού του σήματος δεν έχει ουσιαστικά καμία πληροφορία. Επομένως, όλα εκτός από τα πρώτα 64 δείγματα μπορούν να απορριφθούν χωρίς οποιαδήποτε απώλεια πληροφοριών. Σχήμα 4.2: Παράδειγμα DWT 53

54 Θα επιστρέψουμε σε αυτό το παράδειγμα καθώς είναι σημαντικό για το πώς πρέπει να ερμηνευθεί ο DWT. Η ανακατασκευή είναι σε αυτό το σημείο πολύ εύκολη καθώς τα μισής ζώνης φίλτρα διαμορφώνουν ορθοκανονική βάση. Για την ανακατασκευή ακολουθείται η αντίστροφη διαδικασία από αυτή που αναφέραμε παραπάνω. Τα σήματα σε κάθε επίπεδο υπερδειγματοληπτούνται κατά δύο, περνούν μέσω των φίλτρων σύνθεσης g[n]και h[n] ( υψιπερατά και χαμηλοπερατά, αντίστοιχα), και έπειτα προστίθενται. Το ενδιαφέρον σημείο εδώ είναι ότι τα φίλτρα ανάλυσης και σύνθεσης είναι πανομοιότυπα, εκτός από μια χρονική αντιστροφή. Επομένως, ο τύπος ανακατασκευής γίνεται (για κάθε επίπεδο) high low Σχέση (4.4) x[ n] y [ k] g[ n 2 k] y [ k] h[ n 2 k] k Εντούτοις, εάν τα φίλτρα δεν είναι ιδανικά μισής ζώνης, δεν μπορεί να επιτευχθεί η τέλεια ανακατασκευή. Αν και δεν είναι δυνατό να πραγματοποιηθούν τα ιδανικά φίλτρα, υπό ορισμένες προϋποθέσεις είναι δυνατό να βρεθούν τα φίλτρα που παρέχουν την τέλεια ανακατασκευή. Τα διασημότερα είναι αυτοί που αναπτύχθηκαν από την Ingrid Daubechies, και είναι γνωστά ως κυματίδια Daubechies. Σχήμα 4.3: Προσομοίωση του αλγορίθμου σύνθεσης του DWT με συστοιχία Σημειώστε ότι λόγω της διαδοχικής υπερδειγματοληψίας κατά δύο, το μήκος του σήματος πρέπει να είναι μια δύναμη του 2, ή τουλάχιστον ένα πολλαπλάσιο μιας δύναμης του 2, ώστε να είναι αυτό το σχέδιο αποδοτικό. Το μήκος του σήματος καθορίζει τον αριθμό επιπέδων στον οποίο το σήμα μπορεί να αποσυντεθεί. 54

55 Παραδείγματος χάριν, εάν το μήκος του σήματος είναι 1024, δέκα επίπεδα αποσύνθεσης είναι δυνατά. Σε αυτό το σημείο πρέπει να ολοκληρώσουμε τη μαθηματική ανάλυση των φίλτρων και του DWT. 4.3 ΣΥΣΤΟΙΧΙΕΣ ΦΙΛΤΡΩΝ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Έχουμε θεωρήσει το μετασχηματισμό ενός σήματος ως τη διάβασή του μέσω μίας συστοιχίας φίλτρων. Οι έξοδοι των φίλτρων των διαφορετικών επιπέδων είναι οι συντελεστές του μετασχηματισμού. Η συστοιχία φίλτρων που απαιτείται στην κωδικοποίηση υποζωνών μπορεί να σχηματιστεί με διάφορους τρόπους. Ένας τρόπος είναι να χτιστούν πολλά ζωνοπερατά φίλτρα που θα χωρίζει το φάσμα σε ζώνες συχνότητας. Το πλεονέκτημα είναι ότι το εύρος κάθε ζώνης μπορεί να επιλεχτεί ελεύθερα, κατά τέτοιο τρόπο ώστε το φάσμα του σήματος που αναλύεται να καλύπτεται εκεί όπου υπάρχει ενδιαφέρον. Το μειονέκτημα είναι ότι θα πρέπει να έχουμε σχεδιάσει κάθε φίλτρο χωριστά και αυτό μπορεί να είναι μια χρονοβόρα διαδικασία. Ένας άλλος τρόπος είναι να χωριστεί το φάσμα του σήματος σε δύο (ίσα) μέρη, ένα χαμηλοπερατό και ένα υψιπερατό μέρος. Το υψιπερατό μέρος περιέχει τις λεπτομέρειες για τις οποίες ενδιαφερόμαστε και θα μπορούσαμε να σταματήσουμε εδώ. Έχουμε τώρα δύο ζώνες. Εντούτοις, το χαμηλοπερατό μέρος περιέχει ακόμα μερικές λεπτομέρειες και επομένως μπορούμε να το χωρίσουμε και πάλι. Αυτό θα γίνεται, έως ότου είμαστε ικανοποιημένοι με τον αριθμό ζωνών που έχουμε δημιουργήσει. Κατ' αυτό τον τρόπο έχουμε δημιουργήσει μια επαναλαμβανόμενη συστοιχία φίλτρων ( iterated filter bank), Συνήθως ο αριθμός των ζωνών περιορίζεται από το μέγεθος των δεδομένων ή της διαθέσιμης υπολογιστικής δύναμης για παράδειγμα. Η διαδικασία διαχωρισμού του φάσματος επιδεικνύεται γραφικά στο σχήμα 4.4. Το πλεονέκτημα αυτού του σχεδίου είναι ότι πρέπει να σχεδιάσουμε μόνο δύο φίλτρα, το μειονέκτημα είναι ότι η κάλυψη του φάσματος του σήματος είναι προκαθορισμένη. 55

56 Σχήμα 4.4: Διασπώντας το φάσμα του σήματος με μία επαναλαμβανόμενη συστοιχία φίλτρων. Αν και θεωρητικά η πρώτη διάσπαση μας έδωσε μια υψιπερατή ζώνη και χαμηλοπερατή ζώνη, στην πραγματικότητα η υψιπερατή ζώνη είναι ζωνοπερατή λόγω του περιορισμένου εύρους ζώνης του σήματος. Με άλλα λόγια, μπορούμε να εκτελέσουμε την ίδια ανάλυση υποζωνών με την τροφοδότηση του σήματος σε μια συστοιχία ζωνοπερατών φίλτρων, από τα οποία κάθε φίλτρο έχει ένα εύρος ζώνης δύο φορές μεγαλύτερο από τον αριστερό γείτονά του ( ο άξονας της συχνότητας πηγαίνει προς τα δεξιά), και ενός χαμηλοπερατού φίλτρου. Στην αρχή αυτού του κεφαλαίου δηλώσαμε ότι αυτό είναι το ίδιο με την εφαρμογή του μετασχηματισμού κυματιδίων στο σήμα. Τα κυματίδια μας δίνουν τις υψιπερατές ζώνες με το διπλασιασμένο εύρος ζώνης και η συνάρτηση κλιμάκωσης μας παρέχει την χαμηλοπερατή ζώνη. Από αυτό μπορούμε να συμπεράνουμε ότι ο μετασχηματισμός κυματιδίων είναι το ίδιο πράγμα με την κωδικοποίηση υποζωνών που χρησιμοποιεί την συστοιχία constant-q filter bank9 [Mal89a]. Γενικά αναφερόμαστε σε αυτό το είδος ανάλυσης ως πολυεπίπεδη ανάλυση. Συνοψίζοντας, εάν εφαρμόζουμε το μετασχηματισμό κυματιδίων ως επαναλαμβανόμενη συστοιχία φίλτρων, ίσως και να μην είναι απαραίτητο να 56

57 διευκρινίζουμε ρητά τα κυματίδια. Αυτό είναι σίγουρα ένα αξιοπρόσεκτο αποτέλεσμα. Σε πολλές πρακτικές εφαρμογές και ειδικά στην εφαρμογή που περιγράφεται στην εργασία αυτή το σήμα που μας ενδιαφέρει είναι δειγματοληπτημένο. Προκειμένου να χρησιμοποιηθούν τα συμπεράσματα που έχουμε επιτύχει μέχρι τώρα σε ένα διακριτό σήμα πρέπει να καταστήσουμε και το μετασχηματισμό κυματιδίων διακριτό. Θυμηθείτε ότι τα διακριτά κυματίδια δεν είναι διακριτά στο χρόνο, μόνο το βήμα μετατόπισης ( translation step) και το βήμα κλιμάκωσης ( scale step) είναι διακριτά. Εφαρμόζοντας απλά την συστοιχία φίλτρων των κυματιδίων ως ψηφιακή συστοιχία φίλτρων φαίνεται διαισθητικά να έχει αποτέλεσμα Μαθηματική ανάλυση Η συνάρτηση κλιμάκωσης θα μπορούσε να εκφραστεί στα κυματίδια από το μείον άπειρο μέχρι μια ορισμένη κλίμακα j. j ()( t,)() j k t Σχέση (4.5) j, k Εάν προσθέσουμε το φάσμα ενός κυματιδίου στο φάσμα της συνάρτησης κλιμάκωσης θα πάρουμε μια νέα συνάρτηση κλιμάκωσης, με ένα φάσμα διπλάσιου εύρους από το πρώτο. Η επίδραση αυτής της προσθήκης είναι ότι μπορούμε να εκφράσουμε την πρώτη συνάρτηση κλιμάκωσης από την άποψη της δεύτερης, επειδή όλες οι πληροφορίες που χρειάζονται για να το κάνουμε αυτό περιλαμβάνονται στη δεύτερη. Μπορούμε να το εκφράσουμε αυτό τυπικά και μαθηματικά με την αποκαλούμενη πολυεπίπεδη διατύπωση (multiresolution formulation) [Bur98] ή απόκλίμακα-σε-κλίμακα σχέση (two-scale relation) [She96]: j 1 1 Σχέση (4.6) j (2)()(2) t h k t k j k Η από-κλίμακα-σε-κλίμακα σχέση δηλώνει ότι η συνάρτηση κλιμάκωσης σε μια ορισμένη κλίμακα μπορεί να εκφραστεί από την άποψη μετατοπισμένων 57

58 συναρτήσεων κλιμάκωσης στην επόμενη μικρότερη κλίμακα. Ας θυμηθούμε εδώ ότι μικρότερη κλίμακα σημαίνει περισσότερη λεπτομέρεια. Η πρώτη συνάρτηση κλιμάκωσης αντικατέστησε ένα σύνολο κυματιδίων και επομένως μπορούμε να εκφράσουμε αυτά τα κυματίδια από την άποψη των μετατοπισμένων συναρτήσεων κλιμάκωσης. Πιο συγκεκριμένα μπορούμε να γράψουμε για το κυματίδιο στο επίπεδο j: j 1 Σχέση (4.7) j 1 j (2)()(2) t g k t k k που είναι η από-κλίμακα-σε-κλίμακα σχέση μεταξύ της συνάρτησης κλίμακας και του κυματιδίου. Καθώς το σήμα μας ƒ ( t) θα μπορούσε να εκφραστεί από την άποψη των διασταλμένων και μετατοπισμένων κυματιδίων μέχρι μια κλίμακα j-1, αυτό οδηγεί στο συμπέρασμα ότι το ƒ ( t) μπορεί επίσης να εκφραστεί από την άποψη των διασταλμένων και μετατοπισμένων συναρτήσεων κλιμάκωσης σε μια κλίμακα j: j f ()()(2) t j k t k Σχέση (4.8) k Για να είμαστε συνεπείς στη σημείωσή μας πρέπει σε αυτήν την περίπτωση να μιλήσουμε για διακριτές συναρτήσεις κλιμάκωσης δεδομένου ότι μόνο διακριτές διαστολές - συστολές και μετατοπίσεις επιτρέπονται. Εάν σε αυτήν την εξίσωση προχωρήσουμε σε μια κλίμακα j-1, πρέπει να προσθέσουμε κυματίδια προκειμένου να διατηρηθεί το ίδιο επίπεδο λεπτομέρειας. Μπορούμε έτσι να εκφράσουμε το σήμα ƒ (t) ως: Σχέση (4.9) f ()()(2)()(2) t j 1 k t k 1 k t k k j 1 j 1 j k Αν η συνάρτησης κλιμάκωσης j,k(t) και τα κυματίδια j,k(t) είναι ορθοκανονικά, τότε οι συντελεστές j-1(k) and j-1(k) βρίσκονται με τη λήψη των εσωτερικών προϊόντων 58

59 ()(),() k f t t j 1 j, k Σχέση (4.10α) j 1 ()(),() k f t j, k t Σχέση (4.10β) Εάν αντικαταστήσουμε τώρα τα j,k(t) και j,k(t) στα εσωτερικά προϊόντα με τις κατάλληλα κλιμακούμενες (μεγεθυμένες ή συμπιεσμένες) και μετατοπισμένες εκδοχές των ( 4.6) και ( 4.7) και το χειριστούμε λίγο, λαμβάνοντας υπόψη ότι το εσωτερικό προϊόν μπορεί επίσης να γραφτεί ως ολοκλήρωμα, φθάνουμε στο σημαντικό αποτέλεσμα [Bur98]: j 1 ()( k 2)() h m k j m Σχέση (4.11) m j 1 ()( k 2)() g m k j m Σχέση (4.12) m Αυτές οι δύο εξισώσεις δηλώνουν ότι οι συντελεστές των συναρτήσεων κυματιδίου και κλιμάκωσης σε μια ορισμένη κλίμακα μπορούν να βρεθούν με τον υπολογισμό ενός σταθμισμένου αθροίσματος των συντελεστών της συνάρτησης κλιμάκωσης από την προηγούμενη κλίμακα. Τώρα ας θυμηθούμε από το τμήμα της συνάρτησης κλιμάκωσης ότι οι συντελεστές της προήλθαν από ένα χαμηλοπερατό φίλτρο και ας θυμηθούμε από το τμήμα της κωδικοποίησης υποζωνών πώς δημιουργήσαμε μια συστοιχία φίλτρων χωρίζοντας επανειλημμένα το χαμηλοπερατό μέρος σε ένα χαμηλοπερατό και ένα υψιπερατό μέρος. Η επανάληψη της συστοιχίας άρχισε με το φάσμα του σήματος, έτσι εάν φανταστούμε ότι το φάσμα του σήματος είναι η έξοδος ενός χαμηλοπερατού φίλτρου στην προηγούμενη (φανταστική) κλίμακα, τότε μπορούμε να θεωρήσουμε πως το δειγματοληπτημένο σήμα μας είναι οι συντελεστές της συνάρτησης κλίμακας από την προηγούμενη ( φανταστική) κλίμακα. Με άλλα λόγια, το δειγματοληπτημένο σήμα μας ƒ (k) είναι απλά ίσο με το λ (k) στην αμέσως μεγαλύτερη κλίμακα. Αλλά υπάρχει και συνέχεια. Όπως ξέρουμε από τη θεωρία επεξεργασίας σημάτων ένα διακριτό σταθμισμένο άθροισμα όπως αυτά των (4.11) και (4.12) είναι το ίδιο με ένα ψηφιακό φίλτρο και δεδομένου ότι ξέρουμε πως οι συντελεστές λ j (k) προέρχονται από το χαμηλοπερατό μέρος του χωρισμένου φάσματος του σήματος, οι παράγοντες στάθμισης (weighting factors) h(k) στην (4.11) πρέπει να διαμορφώνουν 59

60 έναν χαμηλοπερατό φίλτρο. Και δεδομένου ότι ξέρουμε πως οι συντελεστές γ j (k) προέρχονται από το υψιπερατό μέρος του χωρισμένου φάσματος του σήματος, οι παράγοντες στάθμισης g(k) στην (4.12) πρέπει να διαμορφώνουν έναν υψιπερατό φίλτρο. Αυτό σημαίνει ότι οι ( 4.11) και ( 4.12) μαζί διαμορφώνουν ένα στάδιο μιας επαναλαμβανόμενης ψηφιακής συστοιχίας φίλτρων και από τώρα και στο εξής θα αναφερόμαστε στους συντελεστές h ( k) ως φίλτρο κλιμάκωσης (scaling filter) και στους συντελεστές g (k) ως φίλτρο κυματιδίου (wavelet filter). Ήδη έχουμε επιβεβαιώσει ότι η εφαρμογή του μετασχηματισμού κυματιδίων ως επαναλαμβανόμενη ψηφιακή συστοιχία φίλτρων είναι δυνατή και από τώρα και στο εξής μπορούμε να μιλάμε για τον διακριτό μετασχηματισμού κυματιδίων ή DWT. Η διαίσθησή μας αποδείχθηκε σωστή. Λόγω αυτού ανταμειβόμαστε με μια χρήσιμη ιδιότητα των (4.11) και ( 4.12), την ιδιότητα υποδειγματοληψίας. Αν ρίξουμε μια τελευταία ματιά σε αυτές τις δύο εξισώσεις θα δούμε πως τα φίλτρα κλιμάκωσης και κυματιδίου έχουν μέγεθος βήματος 2 στη μεταβλητή k. Σχήμα 4.5: Εφαρμογή των εξισώσεων (4.11) και (4.12) ως ένα στάδιο μιας συστοιχίας φίλτρων Η ιδιότητα υποδειγματοληψίας λύνει το πρόβλημά μας, το οποίο είχε εμφανιστεί στο κεφάλαιο της συνάρτησης κλιμάκωσης, το πώς να επιλέξουμε το εύρος του φάσματος της συνάρτησης. Και αυτό διότι κάθε φορά που επαναλαμβάνουμε την συστοιχία φίλτρων ο αριθμός δειγμάτων για το επόμενο στάδιο διχοτομείται έτσι ώστε στο τέλος μένει μόνο ένα δείγμα (στην ακραία περίπτωση).θα είναι σαφές ποιο είναι το σημείο όπου η επανάληψη πρέπει σίγουρα να σταματήσει και αυτό καθορίζει το εύρος του φάσματος της συνάρτησης κλιμάκωσης. Κανονικά η επανάληψη θα σταματήσει στο σημείο όπου ο αριθμός δειγμάτων έχει γίνει μικρότερος από το μήκος του φίλτρου κλιμάκωσης ή του 60

61 φίλτρου κυματιδίου, όποιο είναι το μακρύτερο. Έτσι το μήκος του μακρύτερου φίλτρου καθορίζει το εύρος του φάσματος της συνάρτησης κλίμακας Σχέση των φίλτρων Μια σημαντική ιδιότητα του διακριτού μετασχηματισμού κυματιδίων είναι η σχέση μεταξύ των κρουστικών αποκρίσεων των υψιπερατών και χαμηλοπερατών φίλτρων. Τα υψιπερατά και χαμηλοπερατά φίλτρα δεν είναι ανεξάρτητα το ένα από το άλλο, και συσχετίζονται σύμφωνα με τη σχέση: n g[ L 1 n]( 1) [ h] n Σχέση (4.13) όπου g[n] είναι το υψιπερατό, h[n] είναι το χαμηλοπερατό φίλτρο και L είναι το μήκος των φίλτρων. H αναγωγή του χαμηλοπερατού σε υψιπερατό φίλτρο παρέχεται με τον όρο (-1)ⁿ. Τα φίλτρα που ικανοποιούν αυτόν τον όρο χρησιμοποιούνται συχνά στην επεξεργασία σήματος, και είναι γνωστά ως Quadrature Mirror Filters (QMF). Οι δύο διαδικασίες, του φιλτραρίσματος και της υποδειγματοληψίας, μπορούν να εκφραστούν ως Σχέση (4.14α) y [ ] [ ] [ 2 ] high k x n g n k n Σχέση (4.14β) y [ ] [ ] [ 2 ] low k x n h n k n 4.4 ΕΡΜΗΝΕΙΑ Η ερμηνεία των συντελεστών DWT μπορεί μερικές φορές να είναι δύσκολη επειδή ο τρόπος που παρουσιάζονται οι συντελεστές DWT είναι μάλλον ιδιαίτερος. Οι συντελεστές DWT κάθε επιπέδου συνδέονται, αρχίζοντας από το τελευταίο επίπεδο. Ένα παράδειγμα δίνεται προκειμένου να κατασταθεί αυτή η έννοια σαφής: 61

62 Ας υποθέσουμε ότι επιλέγουμε ένα σήμα 256 δειγμάτων που υπέστη δειγματοληψία στα 10 MHz και θέλουμε να πάρουμε τους συντελεστές DWT. Δεδομένου ότι το σήμα υπέστη δειγματοληψία στα 10 MHz, το υψηλότερο συχνοτικό περιεχόμενο που υπάρχει στο σήμα είναι 5 MHz. Στο πρώτο επίπεδο, το σήμα περνά μέσω του χαμηλοπερατού φίλτρου h[n], και του υψιπερατού φίλτρου g[n], των οποίων οι έξοδοι υποδειγματοληπτούνται κατά δύο. Η έξοδος του υψιπερατού φίλτρου είναι οι συντελεστές DWT του πρώτου επιπέδου. Υπάρχουν 128 από αυτούς και αντιπροσωπεύουν το σήμα στη ζώνη των [2,5 5] MHz. Αυτά τα 128 δείγματα είναι τα τελευταία 128 δείγματα. Η έξοδος του χαμηλοπερατού φίλτρου, η οποία έχει επίσης 128 δείγματα, αλλά εκτείνεται στη ζώνη συχνότητας των [0 2,5] MHz, αποσυντίθεται περαιτέρω με τη διάβαση τους μέσω των ίδιων h[n] και g[n] φίλτρων. Η έξοδος του δεύτερου υψιπερατού φίλτρου είναι οι συντελεστές DWT του δεύτερου επιπέδου και αυτά τα 64 δείγματα προηγούνται των 128 συντελεστών του πρώτου επιπέδου στο διάγραμμα. Η έξοδος του δεύτερου χαμηλοπερατού φίλτρου αποσυντίθεται περαιτέρω, άλλη μια φορά με τη διάβαση του μέσω των φίλτρων h[n] και g[n]. Η έξοδος του τρίτου υψιπερατού φίλτρου είναι οι συντελεστές DWT του τρίτου επιπέδου. Αυτά τα 32 δείγματα προηγούνται των συντελεστών DWT του δεύτερου επιπέδου στο διάγραμμα. Η διαδικασία συνεχίζεται έως ότου μόνο ένας συντελεστής DWT να μπορεί να υπολογιστεί στο επίπεδο 9. Αυτός ο συντελεστής είναι ο πρώτος που σχεδιάζεται στο διάγραμμα DWT. Αυτό ακολουθείται από τους 2 συντελεστές του 8 επιπέδου, τους 4 συντελεστές του 7 επιπέδου, τους 8 συντελεστές του 6 επιπέδου, τους 16 συντελεστές του 5 επιπέδου, τους 32 συντελεστές του 4 επιπέδου, τους 64 συντελεστές του 3 επιπέδου, τους 128 συντελεστές του 2 επιπέδου και τελικά τους 256 συντελεστές του 1 επιπέδου. Σημειώστε ότι όλο και μικρότερος αριθμός δειγμάτων χρησιμοποιείται στις χαμηλότερες συχνότητες, επομένως, η χρονική ανάλυση μειώνεται καθώς μειώνεται η συχνότητα. Προφανώς, οι πρώτοι λίγοι συντελεστές δεν θα έφερναν μεγάλο μέρος των πληροφοριών, πράγμα που απλά οφείλεται στην πολύ μειωμένη χρονική ανάλυση. Για να επεξηγήσουμε αυτήν την παρουσίαση του DWT ας ρίξουμε μια ματιά σε ένα πραγματικό σήμα. Το αρχικό σήμα μας είναι ένα υπερηχητικό σήμα 256 δειγμάτων, που υπέστη δειγματοληψία στα 25 MHz. Αυτό το σήμα παρήχθη αρχικά με τη χρησιμοποίηση ενός μετατροπέα 2,25 MHz, επομένως το κύριο φασματικό περιεχόμενο του σήματος είναι στα 2,25 MHz. Τα τελευταία 128 δείγματα 62

63 αντιστοιχούν στο τμήμα [6,25 12,5] MHz. Όπως φαίνεται από το διάγραμμα, καμία πληροφορία δεν είναι διαθέσιμη εδώ, ως εκ τούτου αυτά τα δείγματα μπορούν να απορριφθούν χωρίς οποιαδήποτε απώλεια πληροφοριών. Τα προηγούμενα 64 δείγματα αντιπροσωπεύουν το σήμα στο τμήμα [3,12 6,25] MHz,στο οποίο επίσης δεν φέρνει οποιεσδήποτε σημαντικές πληροφορίες. Οι μικρές δυσλειτουργίες οφείλονται πιθανώς στα παράσιτα υψηλής συχνότητας στο σήμα. Τα προηγούμενα 32 δείγματα αντιπροσωπεύουν το σήμα στο τμήμα των [ ] MHz. Όπως μπορείτε να δείτε, η πλειοψηφία της ενέργειας του σήματος βρίσκεται σε αυτά τα 32 δείγματα, όπως αναμενόταν να δούμε. Τα προηγούμενα 16 δείγματα αντιστοιχούν στα [0,78 1,56] MHz και οι κορυφές που φαίνονται σε αυτό το επίπεδο πιθανώς αντιπροσωπεύουν το φάκελο της χαμηλότερης συχνότητας του σήματος. Τα προηγούμενα δείγματα πιθανώς δεν φέρνουν οποιεσδήποτε σημαντικές πληροφορίες. Είναι ασφαλές να πούμε ότι μπορούμε να πάρουμε τους συντελεστές του 3 ου και του 4 ου επιπέδου, που σημαίνει ότι μπορούμε να αντιπροσωπεύσουμε αυτό το σήμα μήκους 256 δειγμάτων με 16+32=48 δείγματα, μια σημαντική μείωση των δεδομένων που θα έκανε τον υπολογιστή μας αρκετά ευτυχισμένο. Μια περιοχή που έχει ωφεληθεί περισσότερο από αυτήν την ιδιαίτερη ιδιότητα του μετασχηματισμού κυματιδίων είναι η επεξεργασία εικόνας. Όπως ίσως γνωρίζεται, οι εικόνες, ιδιαίτερα οι υψηλής ευκρίνειας εικόνες, απαιτούν πολύ χώρο στο δίσκο. Ο DWT μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να μειώσει το μέγεθος μιας εικόνας χωρίς να χαθεί μεγάλο μέρος της ανάλυσης. 63

64 ΚΕΦΑΛΑΙΟ5 ο ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ TEC ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ 64

65 5.1 ΔΕΔΟΜΕΝΑ Οι προς επεξεργασία TEC τιμές μας έχουν δοθεί σε αρχεία κειμένου. Συνολικά έχουμε δεδομένα για 12 μήνες, Ιούνιος-Ιούλιος 1998, Ιούνιος-Σεπτέμβριος 1999 και Νοέμβριος 2000-Απρίλιος Σε κάθε αρχείο μας δίνεται η ημερομηνία και η ακριβής ώρα της μέτρησης και ο αύξων αριθμός της ημέρας μέσα στο συγκεκριμένο έτος. Οι τιμές απέχουν χρονικά 5 λεπτά μεταξύ τους και προέρχονται από σταθμό στη Φλωρεντία, Ιταλία, που δέχεται δεδομένα από το δορυφόρο DIGISONDA DPS4. Ένας μήνας 30 ημερών περιλαμβάνει 8640 τιμές (30 ημέρες x 24 ώρες x 12 5λεπτα/ώρα). Εισάγουμε το αρχείο κάθε μήνα στο Matlab με την επιλογή Import Data και παίρνουμε τον αντίστοιχο πίνακα για την περαιτέρω επεξεργασία. 5.2 ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ-REGRESSION Η έλλειψη τιμής μέτρησης σε κάποια σημεία του άξονα του χρόνου δεν είναι επιθυμητή. Αυτό όμως συμβαίνει αρκετές φορές με τα δεδομένα μας, όπου στη θέση έλλειψης πληροφορίας έχει αποθηκευτεί από το Matlab η τιμή μηδέν. Μία από τις βασικές ιδιότητες του DWT είναι η ανίχνευση ασυνεχειών και απότομων μεταβολών στο σήμα. Στα σημεία όπου εκδηλώνονται αυτές οι ασυνέχειες οι συντελεστές του μετασχηματισμού τείνουν να έχουν ιδιαίτερα υψηλή τιμή. Η ανίχνευση αυτή είναι πολύ σημαντική όταν αντιπροσωπεύει κάποιο φυσικό φαινόμενο που εκδηλώνεται κατά τη διάρκεια του σήματος και το επηρεάζει. Αποτελεί όμως ανυπέρβλητο εμπόδιο και αλλοιώνει την ίδια τη φύση του DWT όταν το σήμα αναλύεται χωρίς να έχει υποστεί προεπεξεργασία για την αντικατάσταση της χαμένης πληροφορίας. Τα πολυώνυμα είναι συναρτήσεις που χρησιμοποιούνται όταν μία ομαλή συνάρτηση f πρέπει να προσεγγισθεί τοπικά. Παράδειγμα τέτοιων πολυωνύμων είναι οι σειρές Taylor. Αν όμως το διάστημα είναι μεγαλύτερο, ο βαθμός n του πολυωνύμου προσέγγισης μπορεί να είναι αρκετά μεγάλος, πράγμα που προκαλεί δυσκολίες στο χειρισμό και την επεξεργασία του. Εναλλακτικά μπορούμε να χωρίσουμε το αρχικό διάστημα [a b] σε μικρά υποδιαστήματα [ξ j ξ j+1 ], όπου a= ξ 1 < < ξ k+1 =b, τέτοια ώστε σε κάθε υποδιάστημα, ένα πολυώνυμο P j σχετικά 65

66 χαμηλής τάξης να παρέχει καλή προσέγγιση της f. Η διαδικασία αυτή μπορεί να γίνει έτσι ώστε οι πολυωνυμικές αυτές καμπύλες να συνδυάζονται ομαλά. Κάθε ομαλό πολυώνυμο που αποτελείται από τέτοια τμήματα μικρότερων πολυωνύμων ονομάζεται spline. Από τις δύο κυριότερες μορφές spline (B-form και pp-form) η B- form έχει επιθυμητές ιδιότητες και ενδείκνυται στην κατασκευή ενός spline. Ο όρος regression αναφέρεται στη διαδικασία εύρεσης ενός μοντέλου συσχέτισης μιας μεταβλητής Υ με μία ή περισσότερες μεταβλητές Χ. Το μοντέλο αυτό μας δίνει τη μεταβολή της Υ σε σχέση με τη μεταβολή της Χ. Η συνάρτηση f βρίσκεται στην καρδιά του μοντέλου, ενώ υπάρχει και το υπόλοιπο, που είναι παρόμοιο με θόρυβο, δηλαδή Y = f(x)+e. Για την αντικατάσταση της έλλειψης πληροφορίας καταλήγουμε, λοιπόν, στη μέθοδο B-spline m-τάξης. Το σήμα προσεγγίζεται κατά διαστήματα από πολυωνυμικές καμπύλες που διέρχονται από όσο το δυνατόν περισσότερα στίγματα του σήματος, εκπληρώνοντας ένα κριτήριο ελάχιστης απόστασης για τα υπόλοιπα. Στη συνέχεια οι μηδενικές τιμές αντικαθίστανται από τις τιμές της spline καμπύλης στα σημεία όπου εντοπίζονται. Στην περίπτωση όπου m=2 έχουμε τη γραμμική παρεμβολή, όπου ασχέτως του μεγέθους του διαστήματος έλλειψης πληροφορίας, η παρεμβολή γίνεται ώστε τα νέα στίγματα να ανήκουν στην ευθεία που ορίζουν η τελευταία και η επόμενη υπάρχουσα τιμή μέτρησης. Επιλέγουμε τη μέθοδο της γραμμικής παρεμβολής για δύο λόγους. Πρώτον, γιατί όποιο μοντέλο παρεμβολής ή πρόβλεψης και αν επιλεγεί δεν μπορεί να εξομοιώσει το πλήθος των υψίσυχνων στοχαστικών διαδικασιών στο σήμα, με αποτέλεσμα μηδενικούς συντελεστές στα δύο πρώτα επίπεδα ανάλυσης του DWT. Δεύτερον, γιατί μετά τη φάση της κατωφλίωσης συντελεστών που θα περιγραφεί στη συνέχεια, η προσέγγιση του σήματος από τον κατωφλιωμένο αντίστροφο DWT του εξομαλύνει τοπικά τις διακυμάνσεις των τιμών του, ειδικά όταν η συνάρτηση κλιμάκωσης ανακατασκευής επιλέγεται να είναι ένα B-spline m βαθμού. 66

67 Σχήμα 5.1: DWT Απρίλιος 2001 Στο σχήμα (5.1) φαίνεται ο DWT των TEC δεδομένων τον Απρίλιο του 2001, αφού πρώτα έχει γίνει γραμμική παρεμβολή. Πάνω αριστερά, με μπλε, η αναπαράσταση των δεδομένων σε μορφή χρονοσειράς. Υπάρχουν οι λεπτομέρειες του Μ/Σ σε δώδεκα επίπεδα με πράσινο χρώμα, ξεκινώντας από κάτω αριστερά και ανεβαίνοντας ζιγκ-ζαγκ. Τέλος, πάνω δεξιά, με κόκκινο η τελική προσέγγιση του σήματος στο επίπεδο 12 και με μπλε η αποθορυβοποιημένη ανακατασκευή του σήματος. Σε όλα τα σχήματα ο κάθετος άξονας απεικονίζει μονάδες μέτρησης TEC. Αυτά γίνονται πιο εμφανή στις επόμενες παραγράφους. Στο επόμενο σχήμα (5.2) φαίνεται ο ίδιος μήνας, χωρίς να έχει αντικατασταθεί η έλλειψη πληροφορίας. 67

68 Σχήμα 5.2: DWT χωρίς αντικατάσταση της έλλειψης πληροφορίας Είναι εμφανής η αλλοίωση του σήματος, όπως και η αύξηση των λεπτομερειών ειδικά στο πρώτο επίπεδο, που προκαλείται από τις υψηλές συχνότητες που εισάγονται λόγω των ανεπιθύμητων μηδενισμών. 68

69 5.3 ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΚΥΜΑΤΙΔΙΩΝ 1) Πρωταρχικά κυματίδια: gaussian (gausn), όπου Ν (θετικός ακέραιος) η τάξη του κυματιδίου, morlet, mexican hat (mexihat). Δεν έχουν συνάρτηση κλίμακας, είναι μοναδικά. 2) Κανονικά κυματίδια άπειρου πεδίου υποστήριξης: meyer ( meyr). Υπάρχει συνάρτηση κλιμάκωσης και η ανάλυση είναι ορθογώνια. Σχήμα ) Ορθογώνια κυματίδια με πεπερασμένο πεδίο υποστήριξης: Daubechies (dbν), symlets (symν, Ν=2 ), coiflets (coif1...5). Το db1 είναι το ίδιο με το Haar, το πρώτο και απλούστερο κυματίδιο και παριστάνεται με μια συνάρτηση βήματος. Σχήμα 5.4 4) Διορθογώνια κυματίδια με πεπερασμένο πεδίο υποστήριξης: Biorthogonal (biornr.nd), όπου Nr,Nd={1.1, 1.3, 1.5, 2.2, 2.4, 2.6, 2.8, 3.1, 3.3, 3.5, 3.7, 3.9, 4.4, 5.5, 6.8}. To Nr αντιστοιχεί στην ανακατασκευή, ενώ το Nd στην ανάλυση. 69

70 Σχήμα 5.5 5) Μιγαδικά κυματίδια: Μιγαδικά Gaussian ( cgausn), Morlet ( cmorfb-fc), Shannon (shanfb-fc). Βοηθούν στη μιγαδική συνεχή ανάλυση. 5.4 ΕΠΙΛΟΓΗ ΚΥΜΑΤΙΔΙΟΥ Από την ανάλυση του κεφαλαίου 4 προκύπτει πως στη συστοιχία φίλτρων που χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του DWT χρησιμοποιούνται FIR φίλτρα, προϋπόθεση χρήσιμη κατά την υλοποίηση της συστοιχίας. Αν τα ίδια φίλτρα χρησιμοποιηθούν τόσο για την ανάλυση όσο και για τη σύνθεση, όπως στην περίπτωση της ορθοκανονικής αποσύνθεσης, τότε η συμμετρία των φίλτρων είναι ασύμβατη με την πλήρη ανακατασκευή του σήματος. Αναστέλλοντας την αρχή της ορθογωνιότητας και εισάγοντας αυτή της διπλής ορθογωνιότητας μπορούμε να υλοποιήσουμε τη συστοιχία με συμμετρικά φίλτρα πεπερασμένης κρουστικής απόκρισης και ταυτόχρονα να πετύχουμε ανακατασκευή του σήματος χωρίς απώλειες. Με την ανάθεση της ανάλυσης και της σύνθεσης σε δύο διαφορετικές συναρτήσεις κυματιδίου, ~ και αντίστοιχα, μπορούμε να εκμεταλλευτούμε διαφορετικές ιδιότητες της κάθε μίας. Στην ανάλυση ιδιαίτερα χρήσιμες είναι οι ταλαντώσεις και οι μηδενισμοί ροπών. Οι πρώτες γιατί «συλλαμβάνουν» τα συστατικά του σήματος σε διαφορετικές συχνότητες και εντοπίζουν τις ασυνέχειες ή τις απότομες μεταβολές του σήματος. Οι 70 μηδενισμοί ροπών εντοπίζουν τα αντίστοιχα φαινόμενα σε κάποια παράγωγο του αρχικού σήματος. Πιο συγκεκριμένα

71 αν ένα κυματίδιο έχει μηδενισμό ροπών m τάξης, τότε μπορεί να ανιχνεύσει μεταβολές μέχρι και στην m-1 παράγωγο του σήματος. Έτσι η χρήση ενός κυματιδίου με πολλές ταλαντώσεις και μηδενισμό ροπών υψηλής τάξης αποδεικνύεται ιδιαίτερα χρήσιμη κατά την ανάλυση. Στη σύνθεση, αντίθετα, μας ενδιαφέρει ιδιαίτερα η «κανονικότητα» του κυματιδίου, η ομαλότητα του δηλαδή. Έχουμε δείξει, σε προηγούμενη ενότητα πώς οι συναρτήσεις κλιμάκωσης ~ και κυματιδίων ~ και, αντίστοιχα, μπορούν να προκύψουν με βάση τις από κλίμακα-σε-κλίμακα σχέσεις και τις συνθήκες της διπλής ορθογωνιότητας από τη συνάρτηση. Επιλέγοντας τη συνάρτηση να είναι ένα B-spline τάξης m η «κανονικότητα» της σύνθεσης εκπληρώνεται στο ακέραιο. Με τον τρόπο αυτό κατασκευάζεται ολόκληρη η σειρά των διπλά ορθογώνιων κυματιδίων, γνωστή και ως Β-spline biorthogonal wavelets. Εξάλλου, η βασική λειτουργία του DWT είναι η εύρεση της ομοιότητας ανάμεσα στο σήμα και τις συναρτήσεις κλιμάκωσης και κυματιδίου. Κατά τη σύνθεση του σήματος από τους συντελεστές κυματιδίου, που δεν είναι τίποτα άλλο παρά ένα μέτρο της ετεροσυσχέτισης ανάμεσα στο σήμα και τις συναρτήσεις κλιμάκωσης, η αναλογία του TEC σήματος με B-spline μας βοηθάει στη σωστή αναπαράστασή του σε οποιοδήποτε επίπεδο «προσέγγισης». Καταλήγοντας, επιλέγουμε την υλοποίηση του DWT με χρήση των Β-spline biorthogonal κυματιδίων για τους εξής λόγους: συμμετρικά FIR φίλτρα γραμμικής φάσης πολλές ταλαντώσεις και μηδενισμός ροπών υψηλής τάξης κατά την ανάλυση ομαλότητα κατά τη σύνθεση δυνατότητα πλήρους ανακατασκευής του σήματος ομοιότητα της μορφής της TEC χρονοσειράς με B-spline Επαναλαμβάνουμε εδώ για λόγους πληρότητας κάποιες βασικές συνθήκες: 71

72 2 () d Αρχή της αποδοχής ( 0) ( t) dt 0 Ζωνοπερατή φύση του κυματιδίου ( 0) ( t) dt 0 κλιμ/σης Χαμηλοπερατή φύση της συν/σης p t () t dt 0, p 0,..., m 1 Μηδενισμός ροπών Σχήμα 5.6: δικάναλη συστοιχία φίλτρων του DWT ~ h [ k], g 0 ~ h [ k], g [ k 2n] 1 ~ h [ k], g 1 [ k 2n] [ k 2n] ~ h [ k], g [ k 2n] n,0 n,0 Συνθήκες της διπλής ορθογωνιότητας Αφού καταλήξαμε στη χρήση των biorthogonal κυματιδίων, μένει να επιλέξουμε ποιο κυματίδιο της οικογένειας αποδίδει τα καλύτερα αποτελέσματα. Μετά από διεξοδικό πειραματισμό με το μενού wavemenu του Matlab, και λαμβάνοντας υπ όψη την ανακατασκευή του σήματος με κάθε κυματίδιο, καταλήγουμε ότι το bior3.5 υπερέχει ελαφρώς έναντι των άλλων. 72

73 Σχήμα 5.7: Το κυματίδιο bior3.5 Πάνω αριστερά: Η συνάρτηση κλιμάκωσης για την ανάλυση ~ και το αντίστοιχο φίλτρο h ~ [ ]. Πάνω δεξιά: Η συνάρτηση κυματιδίου για την ανάλυση ~ 0 n και το αντίστοιχο φίλτρο h ~ [ ]. Κάτω αριστερά: Η συνάρτηση κλιμάκωσης για τη 1 n σύνθεση και το αντίστοιχο φίλτρο g [ ]. Κάτω δεξιά: Η συνάρτηση κυματιδίου 0 n για τη σύνθεση και το αντίστοιχο φίλτρο g [ ]. 1 n Ο μετασχηματισμός z των παραπάνω φίλτρων είναι: ~ H ( z) z z z z z z z z z z z 11 ~ H1( z) z z z z G ( z) z z z z 7 73

74 G ( z) z z z z z z z z z z z 11 Αμέσως μετά φαίνεται ο συνεχή μετασχηματισμός κυματιδίων για τον Απρίλιο του Σχήμα 5.8: CWT Απρίλιος

75 5.5 ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ DWT ΣΤΑ TEC ΔΕΔΟΜΕΝΑ Έχοντας 1) ανακτήσει τα δεδομένα 2) αντικαταστήσει την έλλειψη πληροφορίας με γραμμική παρεμβολή και 3) επιλέξει το κυματίδιο που θα χρησιμοποιήσουμε στο μετασχηματισμό, επομένως, ανακτήσει τα απαραίτητα φίλτρα, είμαστε σε θέση να γράψουμε τον αλγόριθμο που θα εκτελέσει τον DWT, μόλις προσδιορίσουμε σε ποιο επίπεδο θέλουμε να προχωρήσουμε την ανάλυση. Στο κεφάλαιο 4, θεωρήσαμε το μήκος της ακολουθίας ως δύναμη του 2 ή, γενικότερα, πολλαπλάσιο δύναμης του. Τα TEC δεδομένα όμως προκύπτουν για κάθε 5λεπτό των ημερών ενός μήνα, δίνοντας ένα μήκος ακολουθίας 8640 τιμών (για μήνα με 30 ημέρες). Το γεγονός αυτό δε αποτελεί εμπόδιο καθώς η συνθήκη το μήκος της ακολουθίας να είναι ακέραιο πολλαπλάσιο δύναμης του 2 συμβάλλει στην ταχύτερη εκτέλεση του αλγορίθμου, δεν αποτελεί όμως απαγορευτικό περιορισμό. Ειδικά, στην περίπτωση υλοποίησης του με συστοιχία φίλτρων πουθενά το μήκος της ακολουθίας εισόδου δεν αναφέρεται. Επανερχόμαστε για λίγο στον τρόπο με τον οποίο η συστοιχία υπολογίζει τον DWT. To σήμα στην είσοδο της συστοιχίας οδηγείται σε δύο συμπληρωματικά φίλτρα, ένα υψιπερατό και ένα χαμηλοπερατό. Κάθε μία από τις δύο παραγόμενες ακολουθίες περιέχουν το μισό συχνοτικό περιεχόμενο από αυτή της εισόδου, οπότε με βάση τον κανόνα του Nyquist μπορεί να μειωθεί ο αριθμός των δειγμάτων της με υποδειγματοληψία δια 2. Η ακολουθία εξόδου του χαμηλοπερατού φίλτρου οδηγείται εκ νέου στην είσοδο της συστοιχίας και η διαδικασία επαναλαμβάνεται εωσότου φτάσει ένα επιθυμητό επίπεδο ανάλυσης στη συχνότητα. Η ακολουθία TEC έχει περίοδο δειγματοληψίας τα 5 λεπτά και άρα τα πιο υψίσυχνα συστατικά που μπορεί να περιέχει έχουν περίοδο 10 min. Μετά το πρώτο πέρασμα από τη συστοιχία, διαχωρίζεται η ακολουθία εξόδου του υψιπερατού φίλτρου, «λεπτομέρειες στην κλίμακα 2 1», που καταλαμβάνει το διακριτό φάσμα από 10 έως 20 min, ενώ η ακολουθία εξόδου του χαμηλοπερατού φίλτρου, «προσέγγιση στην κλίμακα 2 1» καταλαμβάνει το φάσμα από 20 min έως. Ο παρακάτω πίνακας εντοπίζει το διάστημα του διακριτού φάσματος σε κάθε επίπεδο ανάλυσης (η άπειρη περίοδος ισοδυναμεί με μηδενική συχνότητα, dc). 75

76 Επίπεδο j Κλίμακα 2 j Λεπτομέρειες Διάστημα διακ/σης της Περιόδου Τ (σε min) Προσεγγίσεις Διάστημα διακ/σης της Περιόδου Τ (σε min) ( ημέρες) ( ημέρες) συχνότητας Έστω ότι ένα κυματίδιο διαμόρφωνε κατά πλάτος ένα ημιτονοειδές σήμα f. Καθώς το ημιτονοειδές σήμα ταλαντώνεται θα έχει μη μηδενικό πλάτος μόνο μέσα στο διάστημα όπου και το κυματίδιο έχει μη μηδενικές τιμές. Το συνιστάμενο σήμα θα έχει μία κυματομορφή που θα μοιάζει με αυτή του ΑΜ ραδιοφωνικού σήματος με τη διαφορά πως η εκδήλωση του θα είναι πεπερασμένη στο χρόνο. Ονομάζουμε κεντρική συχνότητα f c κυματιδίου τη συχνότητα εκείνου του ημιτονοειδούς σήματος που αν διαμορφωθεί κατά πλάτος από το κυματίδιο, η παραγόμενη κυματομορφή είναι ακριβώς ίδια στο χρόνο και το πλάτος με το κυματίδιο διαμόρφωσης. 76

77 Σχήμα 5.9: Η κεντρική συχνότητα του bior3.5 Δεχόμενοι να συσχετίσουμε τη συχνότητα fc με το κυματίδιο, είναι φυσικό όταν το κυματίδιο κλιμακωθεί κατά ένα παράγοντα a να το συσχετίσουμε με τη συχνότητα f c. Η συχνότητα f a c δίνεται σε Hz. Στην περίπτωση που η δειγματοληψία γίνεται κάθε Δ δευτερόλεπτα (Δ=300 στην περίπτωσή μας) ορίζουμε την ψευδοσυχνότητα στη κλίμακα a ως: f a f Στην περίπτωση του DWT των TEC δεδομένων με χρήση του bior3.5 σε 12 επίπεδα, έχουμε: c a α Τ=1/f α (min) Όπως είπαμε και πριν, ο DWT μπορεί να εφαρμοστεί στα TEC δεδομένα αν και το μήκος της ακολουθίας δεν είναι πολλαπλάσιο δύναμης του 2. Για να μπορέσει 77

78 να υπολογίσει τις τιμές των συντελεστών του μία υπολογιστική μηχανή επεκτείνει ουσιαστικά το σήμα με διάφορους τρόπους ( ο πιο συνηθισμένος με μηδενικά) εωσότου αποκτήσει μήκος ίσο με το κοντινότερο στο αρχικό που είναι πολλαπλάσιο δύναμης του 2. επεξεργασία Σχήμα 5.10: Προσεγγίσεις και λεπτομέρειες του σήματος μετά την Η υλοποίηση του αλγορίθμου με συστοιχία φίλτρων στηρίζεται στις πράξεις της συνέλιξης και υποδειγματοληψίας. Η συνέλιξη όμως FIR φίλτρων με σήματα πεπερασμένης ενέργειας δημιουργεί προβλήματα αρχικών συνθηκών στην αρχή και το τέλος του σήματος. Το αποτέλεσμα είναι τα άκρα του σήματος να αντιμετωπίζονται ως σημεία ασυνέχειας και οι συντελεστές κοντά σε αυτά να έχουν 78

79 υψηλές τιμές, γεγονός που δεν μπορούμε να αποφύγουμε απολύτως με κανενός είδους επέκταση του σήματος, όπως κάναμε με την έλλειψη πληροφορίας στην αρχή του κεφαλαίου. Το πρόβλημα των άκρων, ενώ παραμένει υπαρκτό όταν θελήσει κανείς να προβάλλει τις λεπτομέρειες και τις προσεγγίσεις του σήματος ξεχωριστά, εντούτοις αντιμετωπίζεται κατά τη διαδικασία ολικής ανακατασκευής του σήματος Σχήμα 5.11 Σχήμα 5.11: Το διακριτό φάσμα στα διάφορα επίπεδα του παραπάνω μετασχηματισμού. Αριστερά με μπλε το φάσμα του αρχικού σήματος και με κόκκινο αυτό των προσεγγίσεών του στα διάφορα επίπεδα. Δεξιά με πράσινο το φάσμα των ακολουθιών λεπτομερειών στα διάφορα επίπεδα. Από το σχήμα γίνεται εμφανής η χαμηλοπερατή και υψιπερατή ιδιότητα των φίλτρων της διπλά ορθογώνιας αποσύνθεσης που χρησιμοποιήθηκε. 79

80 Σχήμα 5.12: Οι συντελεστές του μετασχηματισμού. Μετά από κάθε υποδειγματοληψία το μήκος της ακολουθίας υποδιπλασιάζεται. 5.6 ΣΥΜΠΙΕΣΗ-ΑΠΟΘΟΡΥΒΟΠΟΙΗΣΗ Τα χαρακτηριστικά συμπίεσης μιας δεδομένης βάσης κυματιδίων σχετίζονται με το πόσο πυκνή είναι η αναπαράσταση του σήματος μας στο Μ/Σ. Υπάρχουν δύο τρόποι συμπίεσης. Η ιδέα πίσω από τον πρώτο τρόπο βασίζεται στο γεγονός ότι ένα κανονικό σήμα μπορεί να ανακατασκευαστεί με ικανοποιητικό τρόπο, λαμβάνοντας υπ όψη ένα μικρό αριθμό συντελεστών προσέγγισης και κάποιους από τους συντελεστές λεπτομερειών, μηδενίζοντας όλους τους άλλους. Στον παρακάτω πίνακα φαίνεται η RMS τιμή της διαφοράς του αρχικού και του ανακατασκευασμένου 80

81 σήματος, σε σχέση με το πόσα επίπεδα λεπτομερειών χρησιμοποιούμε στην ανακατασκευή. Επίπεδα λεπτομερειών RMS e Χρησιμοποιώντας όλα τα επίπεδα, η ανακατασκευή είναι τέλεια, η RMS είναι απειροελάχιστη. Παραλείποντας ένα επίπεδο λεπτομερειών, η διαφορά των δύο σημάτων είναι 2.46 (σε μονάδες TEC). Με άλλα λόγια, διατηρείται το 95,8% της ενέργειας του αρχικού σήματος. Το ιδιαίτερα θετικό γεγονός είναι ότι χρησιμοποιήσαμε μόνο τους μισούς συντελεστές, δηλαδή πετύχαμε συμπίεση 2:1. Στο επόμενο σχήμα φαίνεται αυτή η ανακατασκευή. 81

82 Σχήμα 5.13: Ανακατασκευή με συμπίεση 50% Είναι γεγονός ότι το σήμα μας περιλαμβάνει σημαντικό ποσοστό υψηλών συχνοτήτων και έτσι εξηγείται η απώλεια ενέργειας. Ο δεύτερος τρόπος συμπίεσης είναι η κατωφλίωση συντελεστών. Θέτοντας μια τιμή κατωφλίου στους συντελεστές, μηδενίζονται αυτοί που είναι μικρότεροι από αυτή την τιμή, σε όλα τα επίπεδα. Φυσικά το κατώφλι μπορεί να είναι διαφορετικό σε κάθε επίπεδο. Από το μενού wavemenu του Matlab με κατώφλι σε όλα τα επίπεδα και κάπως μεγαλύτερο στα τρία πρώτα επίπεδα μπορούμε να πετύχουμε διατήρηση του 99% της ενέργειας, μηδενίζοντας το των συντελεστών, συμπίεση καλύτερη από 4:1 (σχήμα 5.14), επίδοση που είναι εμφανώς καλύτερη της προηγούμενης. 82

83 Σχήμα 5.14: Συμπίεση με διαφορετικές τιμές κατωφλίου για κάθε επίπεδο 83