Λύσεις Ασκήσεων για το μάθημα Στατιστική ΙΙ Έλεγχος Υποθέσεων ( )

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Λύσεις Ασκήσεων για το μάθημα Στατιστική ΙΙ Έλεγχος Υποθέσεων ( )"

Transcript

1 Λύεις Ακήεω για το άηα Στατιτική ΙΙ Έεγος Υποέεω - Πειραιάς, Ιαουάριος, Μ Κούτρας ΜΜπούτικας Λύεις Ακήεω Κεφααίου Παρ 6 Άκηη Έτω έα τυαίο δείγα εγέους από ια καταοή ε υάρτηη πυκότητας f ;, < < Για το έεγο της υπόεης Η : έατι της Η : ρηιοποιούε τη κρίιη περιοή K :, όπου κατάηη ταερά α Να υποογιού οι πιαότητες φάατος τύπου Ι και τύπου II τη περίπτωη που επιέγουε Να ρεεί η τιή της ταεράς έτι ώτε η πιαότητα εφάιης φάατος τύπου Ι α είαι ίη ε 9 Στη υέεια α υποογιεί η πιαότητα φάατος τύπου ΙΙ γ Α 8 α κάετε το έεγο ε 9 έω του -lu Λύη α Ιύει ότι, και εποέως, d, [,], [ I] 3 4, 3 3 [ II] 8 Θα είαι [ I] και [ II] γ Η απορρίπτεται ότα Κ: 9 Επειδή εδώ δε ιύει η αιότητα διότι εδώ η τιή της Χ από τα δεδοέα είαι 8 δε πορούε α απορρίψουε τη Η ε ε Ιοδύαα πορούε α πάρουε απόφαη έω του -lu Θα είαι -lu 8 36, το οποίο δε είαι ικρότερο του 9 και εποέως, δε απορρίπτεται η Η ε ε 9 Άκηη Έτω,,, έα τυαίο δείγα από τη καοική καταοή N, Για το έεγο της υπόεης Η : έατι της Η : 4 ρηιοποιούε τη κρίιη περιοή Κ : α Αφού ρεεί η ταερά ώτε ο έεγος α έει πιαότητα φάατος τύπου Ι ίη ε 5%, α υποογιεί η πιαότητα φάατος τύπου ΙΙ Α 3, 4, 3 8, α κάετε το έεγο ε ε 5% Λύη α Α ~ N,, η τ T, ακοουεί καταοή ε ε ως άροια τετραγώω αεξάρτητω τυπικώ καοικώ τ Εποέως, για, Ακήεις αήατος «Στατιτική ΙΙ», - ΜΚούτρας, ΜΜπούτικας

2 Ακήεις αήατος «Στατιτική ΙΙ», - ΜΚούτρας, ΜΜπούτικας ~ ] [ T T I Για α είαι [I], α πρέπει, όπου είαι το άω α-ηείο της καταοής ε ε Συεπώς 4, : ] [ II Έουε δείγα εγέους 3 ε , και Εποέως 3, και απορρίπτουε τη Η :, ε ε Ιοδύαα, ρηιοποιώτας το -lu α έουε lu Μπορούε α πούε ότι, όις το 3 % τω περιπτώεω που ιύει η Η : αάουε έα τέτοιο δείγα και ακόη πιο ακραίο από αυτό Με άα όγια, το υγκεκριέο δείγα εωρείται απίαο α προέρεται υπό τη Η και υεπώς απορρίπτουε τη υγκεκριέη Η τυπικά, εξετάζουε α -lu < Άκηη 5 Έτω,,, έα τυαίο δείγα από τη καταοή Ν, Για το έεγο της υπόεης Η : έατι της Η : ρηιοποιείται η επόεη κρίιη περιοή Κ:, όπου κατάηη ταερά Να δειεί ότι το εάιτο έγεος του δείγατος που απαιτείται ώτε οι πιαότητες φαάτω τύπου Ι και II του εέγου α είαι το πού ίες ε α και ατίτοια, δίεται από το τύπο ] [ z α z όπου το ύοο [] παριτάει το ακέραιο έρος του Λύη Θα είαι, I Φ ] [, Φ ] [ II Εποέως, z z z z

3 Παρατηρούε ότι για α υπάρει το παραπάω α πρέπει, z z z z [ z z ] όπου ύφωα ε τη εκφώηη Λύεις Ακήεω Κεφααίου Παρ 3 Άκηη Έτω τυαίο δείγα Χ, Χ,, Χ ~ Ν,, όπου 6, 6 και είαι άγωτη παράετρος α Να ρεεί η περιοή απόρριψης Κ για το έεγο της υπόεης Η : έατι της Η : για 5, 55 ε ε 5 Να ρείτε τη πιαότητα φάατος τύπου ΙΙ και τη ιύ π του παραπάω εέγου Α,,,, α ρεεί το έγεος του δείγατος ώτε η ιύς α είαι τουάιτο 95 γ Να διαπιτώετε ότι ο έεγος που προκύπτει από το ερώτηα α είαι οοιόορφα ιυρότατος ΟΙΕ για τη υπόεη Η : έατι της Η : καώς και για τη υπόεη Η : έατι της Η : Λύη α Γωρίζουε ότι, ύφωα ε το Λήα N-, ο καύτερος έεγος ε επίπεδο ηατικότητας α για τη υπόεη Η : έατι της Η :,, α έει περιοή απόρριψης: Κ: 5 T z Θα είαι και Επίης II z z Φ z π II Φ z Φ z π Φ z z z z z z z γ Παρατηρούε ότι η κρίιη περιοή δε εξαρτάται από τη τιή και εποέως η ίδια κρίιη περιοή πορεί α ρηιοποιηεί και για το έεγο της υπόεης : έατι της Η : απή έατι οόπευρης οδηγώτας και πάι ε έτιτο έεγο Η τιή της ωτόο επηρεάζει τη [ΙΙ] καώς και τη ιύ του εέγου Ότα η αυξάεται τότε η [II] ειώεται και η ιύς π του εέγου αυξάεται Επίης οποιοδήποτε και α είαι το παραπάω, προκύπτει η ίδια κρίιη περιοή Κ: Εποέως, η ίδια Κ πορεί α ρηιοποιηεί και για το έεγο της υπόεης : έατι της Η : οόπευρη έατι οόπευρης οδηγώτας και πάι ε έτιτο έεγο Το καορίζεται : Ακήεις αήατος «Στατιτική ΙΙ», - 3 ΜΚούτρας, ΜΜπούτικας

4 su Φ Φ su I su z Όοια κατακ Έεγο : έατι της Η : <, και : έατι της Η : < Άκηη Επιυούε α εξετάουε α ο έος εός καοικού πηυού N, είαι Η ή Η Λαάουε τδ εγέους, το οποίο ρίκουε έο α Α 5 α κάετε το υγκεκριέο έεγο ε ε α 5% υπόδ ρηιοποιήτε το αποτέεα της Άκ Να υποογίετε το -lu του παραπάω δείγατος και έω αυτού α επαεέγξετε τη Η έατι της Η γ Α ο ίδιος δειγατικός έος προέκυπτε από δείγα 5, τι απόφαη α παίραε; Να ρείτε το ατίτοιο -lu δ Πόο πρέπει α είαι το ώτε π 95; Λύη α Σύφωα ε το Λήα N-, ο καύτερος έεγος ε ε έει περιοή απόρριψης: Κ: T z Ιύει ότι t 649 < z Εποέως δε απορρίπτουε τη Η Το -lu είαι lu T t Φ 649 3% γ Τώρα α είαι t 88 z 645 : απορρίπτεται η Η, ε ατίτοιο -lu: lu Φ88 34% Επίης, η υάρτηη ιύος π Φ z, για και 5 α έει τη ορφή: Παρατηρούε ότι αυξάεται όο αποακρύεται το από το δ Θα πρέπει, II] Φ z z z [ z z 7 Ακήεις αήατος «Στατιτική ΙΙ», - 4 ΜΚούτρας, ΜΜπούτικας

5 Άκηη 3 Η έη γεωργική παραγωγή αά τρέα εός υγκεκριέου προϊότος ε ια α- γροτική περιοή είαι 35 τόοι ε τυπική απόκιη 3 τόους Μετά τη ρηιοποίηη εός έου ιπάατος, η έη παραγωγή ε τυαία επιεγέα τρέατα αήε τους 356 τόους Να εέγξετε ε ε 5% α η υγκεκριέη αύξηη είαι τατιτικά ηατική, δηαδή α το υγκεκριέο ίπαα ευοεί τη αύξηη της έης παραγωγής εωρείτε ότι η διαπορά της παραγωγής έει παραείει η ίδια Να ρείτε το ατίτοιο -lu του δείγατος Λύη Για εγάο δείγα, η Y ακοουεί προεγγιτικά καοική καταοή Ν, Θέουε α εέγξουε τη Η : 35, έατι της Η : 35 Η κρίιη περιοή του εέγου περιοή απόρριψης τα Η α έει τη ορφή Y από ήα N- και εποέως τεικά Κ: t z από όπου απορρίπτεται η Η ε ε Επίης, lu T t Φ 75% Άκηη 4 Με άη έα τδ Χ, Χ,, Χ ~ Ν,8 έουε α εέγξουε ε ε α 5% τη Η : 8 έατι της Η : 76 Να δειεί ότι η κρίιη περιοή του IE είαι της ορφής K: < Να ρεεί το εάιτο και το έτι ώτε [I] 5, [II] Λύη Όοια ε τη Άκ ρίκουε ότι η περιοή απόρριψης είαι < [ I] < < και επειδή, κάτω από τη Η, ~ N,, υπεραίουε τεικά ότι z z Η πιαότητα φάατος τύπου ΙΙ α είαι ίη ε [II] z Θα είαι Και άρα, z z Τεικά, z z z z και Α έουε εάιτο [I] αάουε το ικρότερο δυατό Ακήεις αήατος «Στατιτική ΙΙ», - 5 ΜΚούτρας, ΜΜπούτικας

6 Ακήεις αήατος «Στατιτική ΙΙ», - ΜΚούτρας, ΜΜπούτικας 6 Άκηη 5 Έτω έα τδ Χ, Χ,, Χ ~ Ν, α Α, α δοεί η κρίιη περιοή του εέγου ε ε 5% της υπόεης Η : έατι της Η : Στη υέεια α ρεεί η πιαότητα φάατος τύπου ΙΙ και η ιύς του παραπάω εέγου Να ρεεί το εάιτο έγεος του δείγατος ώτε η ιύς α εέγου ε ε 5% της υπόεης Η : έατι της Η : α είαι τουάιτο 95 Λύη α Είαι γωτό ότι η περιοή απόρριψης της Η έει γεικά τη ορφή Κ: και εδώ, Κ: 83 5 Επίης, ] [ II και άρα π Θα είαι 95 5 π και κατακευάζοτας το πίακα έπουε ότι α πρέπει 46, και τότε, π και 683 : K Άκηη 6 Επιυούε α εέγξουε α η τιή πώηης εός αγαού έει διαπορά ίη ε 9 ή εγαύτερη από 9 Λαάοτας τδ εγέους 3 ρίκουε ε αυτό δειγατική διαπορά και δειγατικό έο Να εέγξετε τη παραπάω υπόεη ε ε % έω κατάηης κρίιης περιοής K και έω του ατίτοιου -lu εωρώτας ότι η τιή του αγαού ακοουεί καοική καταοή ε έο

7 Ακήεις αήατος «Στατιτική ΙΙ», - ΜΚούτρας, ΜΜπούτικας 7 Λύη Θα είαι : 3, Η : 3 Η περιοή απόρριψης της Η έει τη ορφή Κ: 89 5 T Έουε ότι s Άρα από όπου δε πορούε α απορρίψουε τη Η ε ε % 4 < 589 Εξάου, 75% T lu Άκηη 7 Έτω τδ Χ, Χ,, Χ όπου οι τ Χ ακοουού τη καταοή osson ε παράετρο α Να δείξετε ότι η περιοή απόρριψης του ιυρότατου εέγου της Η : έατι της Η : ε είαι της ορφής Να ρείτε ΟΙΕ για τη Η : έατι της Η : έω της ΕΟΚ γ Α 3, 4, α 5,, α ρεεί ο ικρότερος ακέραιος που οδηγεί ε [I] υτηρητικός έεγος ε [I] όο το δυατό πιο κοτά το Να ρείτε τη ατίτοιη ιύ δ Α 3, 4, α 5,, α κατακευάετε έα τυαιοποιηέο έεγο,γ ώτε [I] α, και α ρείτε τη ιύ του ε Σε έα ηείο της εικής οδού ο έος αριός ατυηάτω που υαίου τη περίοδο Μάιο - Σεπτέριο είαι 3 αά εδοάδα Μετά από κάποια έργα που έγια το ηείο αυτό τα οποία οοκηρώηκα αρές Μαΐου καταγράφηκα τα ακόουα ατυήατα τις επόεες εδοάδες:,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Αυξήηκε η επικιδυότητα του υγκεκριέου ηείου; Να δώετε το -lu του παραπάω δείγατος Λύη α Από το ήα Ν- η περιοή απόρριψης της α είαι f f K <!! ; ; : ln ln ln < Η καταοή osson αήκει τη EOK Πράγατι,! ; ln h f T η όπου η υάρτηη η ln είαι αύξουα και εποέως από το Θεώρηα ΟΙΕ τη ΕΟΚ η κρίιη περιοή

8 ορίζει OIE γ Ιύει ότι ~ o Κ: T και από όπου κατακευάζουε το πίακα [ I] o Επιέγουε ε [Ι] 46 και δ Θα έουε [I] π [ II] o 84, φ γ,, < ε γ 787 διότι [I] E φ γ 46 γ 43 5 και π E φ γ 84 γ ε Από το δείγα ρέηκε ότι 3 και άρα lu 3 o Άκηη 8 Έτω τδ εγέους από τη καταοή ε ππ f ;, [,], 887 Να ρεεί ΟΙΕ ε ε για τη υπόεη Η : έατι της Η : και α δοεί η ατίτοιη υάρτηη ιύος π Λύη Θα είαι f ; K : < f ; Ακήεις αήατος «Στατιτική ΙΙ», - 8 ΜΚούτρας, ΜΜπούτικας

9 Ακήεις αήατος «Στατιτική ΙΙ», - ΜΚούτρας, ΜΜπούτικας 9 < ln ln ln Α Υ ln, τότε ιύει ότι ln Y Y και άρα, ~ ln Gmm Y Εποέως ~ Y, από όπου προκύπτει ότι Y I < < ln ] [ Επίης, ln Y < < π Άκηη 9 Έτω Χ, Χ,, Χ τδ από τη εκετική καταοή ε ππ,, ; f α Να ρεεί οοιόορφα ιυρότατος έεγος ε ε της Η : έατι της Η : Να ρεεί η υάρτηη ιύος π γ Ο έος ρόος διάρκειας ιας τηεφωικής κήης ε έα δίκτυο είαι επτά Μετά από ια είωη της ροορέωης τω κήεω το δίκτυο αυτό, καταγράφηκε η διάρκεια 3 κήεω η οποία ήτα υοικά 66 επτά δη δειγατική έη διάρκεια κήης επτά Υποέτοτας ότι η διάρκεια ιας κήης ακοουεί εκετική καταοή, α εέγξετε ε ε α α η αύξηη αυτή είαι τατιτικά ηατική δηαδή α επήε πραγατική αύξηη της έης διάρκειας ιας κήης ετά τη είωη της ρέωης Να ρεεί το ατίτοιο -lu του δείγατος δ Να ρείτε προεγγιτικά τα, [II], -lu για εγάο, ρηιοποιώτας το Κετρικό Οριακό Θεώρηα Λύη α Η υγκεκριέη καταοή αήκει τη EOK Πράγατι, ; h f T η όπου η υάρτηη η είαι αύξουα και εποέως από το Θεώρηα ΟΙΕ τη ΕΟΚ η κρίιη περιοή

10 Ακήεις αήατος «Στατιτική ΙΙ», - ΜΚούτρας, ΜΜπούτικας Κ: T ορίζει OIE Ιύει ότι ~ ~, Gmm διότι α Y ~ Gmm, τότε η τ Υ~ ε ε και άρα ] [ I Η ιύς α είαι ίη ε π [II] όπου ] [ II γ Από τα δεδοέα α είαι Κ: : δε ιύει και άρα δε απορ Η ε , lu G δ Από ΚΟΘ, για εγάο π 3 ή ιύει προεγγιτικά,, ~ N και εποέως, z I ] [ δηαδή, z Επειδή, παρεπιπτότως ρίκουε ότι, για εγάο, z z Τέος, ] [ Φ II και Φ Φ lu Άκηη Έτω Χ, Χ,, Χ, τδ από τη καταοή Wbull ε ππ,, ; f, και γωτό

11 Ακήεις αήατος «Στατιτική ΙΙ», - ΜΚούτρας, ΜΜπούτικας α Να ρεεί οοιόορφα ιυρότατος έεγος ε ε της Η : έατι της Η : Να ρεεί η υάρτηη ιύος π Λύη Παρατηρούε ότι η υγκεκριέη καταοή αήκει τη EOK Πράγατι, ; h f T η όπου η υάρτηη η είαι αύξουα και εποέως από το Θεώρηα ΟΙΕ τη ΕΟΚ η κρίιη περιοή Κ: T ορίζει OIE Α Χ ~ Wbull,, τότε η τ Υ Χ ~ εκετική Πράγατι, η ππ της τ Y α είαι d d f d d d d d d d d f Y Y, f Εποέως, ~, Gmm Y W και πορεί α δειεί ότι ~ W Άρα τεικά, ] [ I και π Άκηη Το τυαίο δείγα:,,,,,,,,,, προέρεται από τη γεωετρική καταοή ε π,,,, ; f Να εέγξετε ε ε 5% α ιύει η Η : 3 έατι της Η : 3 έω του - lu του δείγατος Λύη Η περιοή απόρριψης της Η είαι της ορφής f f K < ; ; : < η οποία προκύπτει και έω της ΕΟΚ Θεώρηα Ιύει ότι

12 lu το οποίο είαι ικρότερο του και εποέως απορρίπτουε τη Η Λύεις Ακήεω Κεφααίου 3 Παρ 36 Άκηη 3 Έτω Χ,Χ,, Χ τυαίο δείγα από τη καοική καταοή Ν, ε γωτό α Χρηιοποιώτας τη κρίιη περιοή του εέγου της Η : έατι της : α προδιορίετε το ύοο τω τιώ του για τις οποίες η υπόεη Η : δε απορρίπτεται ε ε, έατι της Να υγκρίετε το ύοο αυτό ε το γωτό διάτηα επιτούης για το, υτεετού Πως πορούε α ρηιοποιήουε το δε για α εέγξουε τις παραπάω υποέεις; Να εκφράετε το -lu εός δείγατος,,, για το έεγο της Η : έατι της : γ Να ρείτε τη υάρτηη ιύος του εέγου του εέγου της Η : έατι της : α,,, α 5% Α ιύει, ε τι πιαότητα α πάρουε ωτή απόφαη; Λύη α Το ύοο τω τιώ του για τις οποίες η υπόεη Η : δε απορρίπτεται είαι : z ή ιοδύαα, [ z, z ] Το παραπάω ταυτίζεται ε το γωτό δε για το υτεετού Εποέως, απορρίπτουε τη έω της παραπάω κρίιης περιοής το δε αήκει το παραπάω δε Το -lu δείγατος το οποίο είε δειγατικό έο είαι lu T t T t T < t Φ t Φ γ Θα είαι II z z z και άρα z z Φ z Φ z π Φ z Φ z Φ 96 Φ z Φ 96 Φ Άκηη 3 Ο δειγατικός έος από δείγα εγέους από τη καοική καταοή Ν, ρέηκε ίος ε, εώ γωρίζουε ότι 4 Να εέγξετε α ιύει η Η : έατι της Η : ε ε 5%: α έω της κρίιης περιοής Κ, έω κατάηου δε για το, και γ έω του -lu z 5 96 Λύη α Η περιοή απόρριψης της Η είαι Ακήεις αήατος «Στατιτική ΙΙ», - ΜΚούτρας, ΜΜπούτικας

13 K : T z K : T 5 96 : ιύει, απορρίπτεται η Η 4 Ιύει ότι [ z, z ] 4 4 [ 96, 96] [6, 784] : δε αήκει, απορρίπτεται η Η γ Θα είαι lu T t Φ t Φ 5 49 < 5%, από όπου απορρίπτεται η Η Άκηη 33 Από τυαίο δείγα 5 επορικώ κατατηάτω της πόεως Α προέκυψε ότι το έο ετήιο εοίκιο τους είαι 363 ευρώ, εώ από απογραφή που έγιε τη πόη Β προέκυψε ότι το έο ετήιο εοίκιο όω τω επορικώ κατατηάτω της είαι 345 ευρώ ε τυπική απόκιη 864 ευρώ α Να εξετατεί α πορούε α δεούε, ε επίπεδο ηατικότητας ότι τα εοίκια τω επορικώ κατατηάτω της πόεως Α δε διαφέρου από εκεία της πόεως Β, ότα είαι γωτό ότι οι δύο καταοές έου τη ίδια διακύαη Υπό τις ίδιες παραδοές και δεδοέα, α εξετατεί α τα εοίκια τω επορικώ κατατηάτω της Α είαι υ- ψηότερα από εκεία της Β, ε ε z 5 645, z 5 8 Λύη α Η περιοή απόρριψης της Η είαι K : T z K : T : δε ιύει, δε απορρίπτεται η Η έατι αφίπευρης Η Η περιοή απόρριψης της Η τώρα είαι K : T z K : T : δε ιύει, δε απορρίπτεται η Η έατι οόπευρης Η Τα παραπάω γίοται και έω τω -lus α lu T t Φ t Φ lu T t Φ t Φ87 84 Άκηη 34 Να κάετε και πάι τα ερωτήατα α, της Άκηης, αυτή τη φορά εωρώτας ότι το δε είαι γωτό Λύη α Το ύοο τω τιώ του για τις οποίες η υπόεη Η : δε απορρίπτεται είαι : t S ή ιοδύαα, Ακήεις αήατος «Στατιτική ΙΙ», - 3 ΜΚούτρας, ΜΜπούτικας

14 S S [ t, t ] Ταυτίζεται ε το γωτό δε για το υτεετού Εποέως, απορρίπτουε τη έω της παραπάω κρίιης περιοής το δε αήκει το παραπάω δε Το -lu δείγατος το οποίο είε Τ t είαι lu T t t t Άκηη 35 Ο δειγατικός έος και η δειγατική διαπορά από δείγα εγέους που προέρεται από τη καοική καταοή ρέηκα ία ε και 8 ατίτοια Να εέγξετε α ιύει η Η : έατι της Η : ε ε 5%: α έω της κρίιης περιοής K, έω κατάηου δε για το, και γ έω του -lu t Λύη α Η περιοή απόρριψης της Η είαι και επειδή, γ K : T t, T, S S K : 873 t 93, δε ιύει, δε απορρίπτεται η Η 8 S S [ t, t ] [9765, 434] : αήκει, δε απορρίπτεται η Η lu T t t t t9 από όπου δε απορρίπτεται η Η Άκηη 36 Έτω ότι ο αριός ηιαίω πωήεω εός προϊότος από τους ατιπροώπους ιας εταιρείας αυτοκιήτω ακοουεί τη Ν4, Το προωπικό τω ατιπροώπω της ε- ταιρείας παρακοουεί κάποια ειάρια και έτω Χ, Χ,, Χ οι πωήεις τω ατιπροώπω το επόεο ήα Πως α εέγατε ε ε α εταήηκα οι έες πωήεις ή όι Ποια α ήτα η απάτηή ας το παραπάω ερώτηα α για 5 ατιπροώπους είαε 35, 45, 38, 4, 43 5% Να δώετε το ατίτοιο -lu Λύη Επιυούε α εέγξουε α Η : 4, Η : ε άγωτο Απορρίπτουε τη Η ότα Υποογίζουε από τα δεδοέα: και εποέως, K S : T t, T 4 4 t 867, s 57, s 3963 s 57 5 Ακήεις αήατος «Στατιτική ΙΙ», - 4 ΜΚούτρας, ΜΜπούτικας

15 t 867 < t - t από όπου δε πορούε α απορρίψουε τη Η Το -lu α είαι lu T t t t 867 t Άκηη 37 Κατά το έτος 8 η έη ηιαία κατααωτική δαπάη τω οικογεειώ ιας πόης ήτα 44 εκατοτάδες ευρώ Κατά το επόεο έτος υγκετρώηκα τοιεία έης ηιαίας κατααωτικής δαπάης Χ, ε εκατοτάδες ευρώ από τυαίο δείγα οικογεειώ της πόεως αυτής, τα οποία έδωα τα ακόουα αροίατα: 53 και Θεωρώτας ότι ηιαία κατααωτική δαπάη τω οικογεειώ ια πόης ακοουεί N,, πορούε α δεούε, ε επίπεδο ηατικότητας 5, ότι κατά το έτος 9 η έη ηιαία κατααωτική δαπάη όω τω οικογεειώ της πόεως έειε, τη πραγατικότητα, αετάητη ε έη ε το προηγούεο έτος; Να εωρήετε ως εαακτική υπόεη α τη, τη <, και γ τη Λύη Ιύει ότι 53 53, s και t s α Εέγουε α Η : 44, Η : ε άγωτο K : t t Θα είαι t 866 t t 5 66 : δε ιύει - 9 από όπου δε πορούε α απορρίψουε τη Η έατι της Η Το -lu α είαι lu T t t t t 9 Εέγουε α Η : 44, Η : < ε άγωτο K : t < t Θα είαι t 866 < t t 5 833: δε ιύει - 9 από όπου δε πορούε α απορρίψουε τη Η έατι της Η Το -lu α είαι lu T < t t t t 9 γ Εέγουε α Η : 44, Η : ε άγωτο K : t t Θα είαι t 866 t t 5 833: δε ιύει - 9 από όπου δε πορούε α απορρίψουε τη Η έατι της Η Το -lu α είαι Ακήεις αήατος «Στατιτική ΙΙ», - 5 ΜΚούτρας, ΜΜπούτικας

16 lu T t t t t 9 Άκηη 38 Έτω τδ Χ, Χ,, Χ από τη Ν, ε άγωτο και έτω ότι έουε α ε- έγξουε τη Η : Α υοίουε ε lu, lu <, και lu, τα -lus που ατιτοιού το έεγο της Η : ε εαακτικές τις Η :, Η : <, : ατίτοια, α δείξετε ότι lu, t lu και lu, t < lu < lu, lu t < t, όπου t s Λύη Σηατικά: : και t : και t < -lu -lu -lu -lu t t Αυτηρά: lu T t t, lu < T < t t lu T t t και εποέως, α t, εώ α t <, lu t lu, lu t lu< lu t t lu lu t lu, < Άκηη 39 Θεωρώτας ότι η τιή πώηης εός προϊότος ε ια περιοή ακοουεί N,, και προκειέου α εεγεί η Η : ευρώ έατι της Η : ευρώ, καταγράφηκε η τιή πώηης του προϊότος αυτού ε έα τδ κατατηάτω Από αυτό το τδ ρέηκε έη τιή πώηης 3 ευρώ ε -lu 8% Α ατί της εαακτικής Η : έαε α εέγξουε τη Η : ποιο α ήτα το ατίτοιο -lu; Ποιο α ήτα το ατίτοιο - lu ότα Η : < ; Λύη Εδώ t s 3 s, και lu lu 4% και lu < lu 96% Ακήεις αήατος «Στατιτική ΙΙ», - 6 ΜΚούτρας, ΜΜπούτικας

17 Άκηη 3 Σε καπιτές που αποφάια α διακόψου το κάπια ετρήηκε το ωατικό τους άρος ίγο πρι και τρείς ήες ετά τη διακοπή του καπίατος Βρέηκε ότι 8 και s 8 όπου είαι η διαφορά του ωατικού άρους ε κιά του ατόου ετά πρί τη διακοπή του καπίατος Να εέγξετε α, ε άη το δείγα αυτό, πορούε α πούε ότι η διακοπή του καπίατος υδέεται ε τη εταοή του ωατικού άρους Να κάετε το αφίπευρο και τους δύο οόπευρους εέγους έω τω -lus Λύη Ιύει ότι 8, s 8 και t 8 s 8 63 Εέγουε α Η :, Η : ε άγωτο K : t t Θα είαι t 63 t t 5 9 : ιύει - 9 απορρίπτουε τη Η έατι της Η Το -lu α είαι lu T t t t 63 t9 lu lu και lu < lu % Άκηη 3 Έτω τυαίο δείγα Χ, Χ,, Χ ~ N, ε γωτό α Χρηιοποιώτας το αποτέεα που ρέηκε για το έεγο της υπόεης Η : έατι της Η : ε ε α ε το κριτήριο του γεικευέου όγου πιαοφαειώ, α προδιορίετε το ύοο τω τιώ του για τις οποίες δε απορρίπτεται η Η και α το υγκρίετε ε το γωτό διάτηα επιτούης για το, υτεετού ότα γωτό Λύη Το ύοο τω τιώ του για τις οποίες δε απορρίπτεται η Η είαι T, το οποίο είαι το γωτό δε υτ για το ότα το είαι γωτό Εποέως δε απορρίπτουε τη Η έατι της αφίπευρης Η ε ε ότα το αήκει το δε για το υτ Άκηη 3 Να επααάετε τη Άκηη, αυτή τη φορά εωρώτας ότι το είαι άγωτο Λύη Το ύοο τω τιώ του για τις οποίες δε απορρίπτεται η Η είαι T το οποίο υπίπτει ε το γωτό δε υτ για το ότα το είαι γωτό Εποέως δε απορρίπτουε τη Η έατι της αφίπευρης Η ε ε ότα το αήκει το δε για το υτ Ακήεις αήατος «Στατιτική ΙΙ», - 7 ΜΚούτρας, ΜΜπούτικας

18 Άκηη 33 Έτω ότι ο ρόος ζωής εός τύπου παταριώ ακοουεί καοική καταοή N, Ο κατακευατής ιυρίζεται ότι Μπορούε α απορρίψουε το ιυριό αυτό έατι της Η : ε επίπεδο ηατικότητας 5% α έουε τη πηροφορία ότι η δειγατική διαπορά S τω ρόω ζωής εός τυαίου δείγατος παταριώ ρέηκε ίη ε 3 Να ρεεί το -lu του εέγου Λύη Πρόκειται για το έεγο της υπόεης Η : έατι της Η : Όπως και τη προηγούεη άκηη α ρηιοποιήουε τη T S ~ εώ ότα ιύει η Η η Τ α αάει εγάες τιές Συεπώς η περιοή απόρριψης αυτού του εέγου α είαι της ορφής T Για α έουε [I] α πρέπει S Κ: Ατικαιτώτας ρίκουε ότι s ε επίπεδο ηατι- και εποέως δε πορούε α απορρίψουε τη υπόεη Η : κότητας 5 Tο -lu του εέγου α είαι η πιαότητα 5 lu T Παρατηρούε ότι το -lu είαι αρκετά εγάο, εγαύτερο του α 5 και άρα ωτά δετήκαε τη Η Λύεις Ακήεω Κεφααίου 4 Παρ 44 Άκηη 4 Oι ρόοι υαροόγηης εός προϊότος από δύο υγκεκριέους εργάτες, ακοουού καοική καταοή ε έη τιή και ατίτοια Α 34, 99, 34, 74, 88, 7, 73, 7 και 5, 94, 77, 33, 59, 5, 67, 7, 69, 66 είαι δειγατοηπτικά κάποιοι ρόοι ε mn υαροόγηης τω δύο αυτώ εργατώ ατίτοια, πορούε ε επίπεδο ηατικότητας α5 α πούε ότι α οι δύο εργάτες έου διαφορετική απόδοη; ο πρώτος εργάτης έει ειρότερη απόδοη από το δεύτερο; γ ο πρώτος εργάτης υαροογεί το προϊό επτά αργότερα από το δεύτερο; Θεωρείτε ότι οι τυπικές αποκίεις, τω ρόω υαροόγηης του προϊότος από τους εργάτες είαι γωτές και ίες ε 5, 5 Λύη Υποογίζουε από τα δύο δείγατα ότι 7 65 και 34 7 α Ζητείται ο έεγος της ορφής Η :, : ότα, είαι γωτά ε ε α 5 Η κρίιη περιοή του εέγου α είαι Y Κ: Τ z α όπου Τ Ακήεις αήατος «Στατιτική ΙΙ», - 8 ΜΚούτρας, ΜΜπούτικας

19 Ατικαιτώτας α έουε ότι t Εώ z z και άρα δε απορρίπτουε τη Η Επίης, lu T t Φ t Φ6 Ζητείται ο έεγος της ορφής Η :, : ότα, είαι γωτά ε ε α5 Η κρίιη περιοή του εέγου α είαι Y Ατικαιτώτας α έουε ότι Τ z α όπου Τ t 6 Εώ z z και άρα δε απορρίπτουε και πάι τη Η Επίης, lu T t Φ t Φ6 55 γ Ζητείται ο έεγος της ορφής Η :, : ότα, είαι γωτά ε ε α 5 Η κρίιη περιοή του εέγου α είαι Y Κ: Τ z α όπου Τ Ατικαιτώτας α έουε ότι T 77 <z z οπότε δε απορρίπτουε τη Η Άκηη 4 Από τυαίο δείγα 5 οικογεειώ της πόεως Α προέκυψε ότι το έο ετήιο ειόδηά τους ήτα 556 ευρώ Επίης από τυαίο δείγα οικογεειώ της πόεως Β προέκυψε ότι το έο ετήιο ειόδηά τους ήτα 56 ευρώ Μπορούε α δεούε, ε επίπεδο ηατικότητας, ότι οι οικογέειες τω δύο πόεω από τις οποίες προέροται τα δείγατα έου το ίδιο έο ειόδηα, α είαι γωτό ότι τους δύο αυτούς πηυούς η τυπική απόκιη είαι ίη ε 83; Λύη Εέγουε τις υποέεις Η :, Η Έουε 556, 56, 5, και εωρείται ότι η διακύαη είαι γωτή και ίη ε 6889 και για τους δύο πηυούς Εποέως και T Ακήεις αήατος «Στατιτική ΙΙ», - 9 ΜΚούτρας, ΜΜπούτικας

20 Αφού T 339 z z 5 58, απορρίπτουε τη Η Τέος, lu T 339 T 339 T ~ N, Φ33 4 Άκηη 43 Μια εταιρεία κατακευής κεετώ καφώ ρίκει ότι τα δέδρα τύπου Α που προηεύεται από έα δάος αποδίδου κατά έο όρο 64 kgr ξύα περιότερο από τα δέδρα τύπου Β Η διακύαη της απόδοης ξύου ρέηκε ίη ε 5 kgr Έα άο δάος περιέει και τους δύο τύπους ξύω Παίροτας δείγα δέδρω για κάε τύπο από το δεύτερο δάος οι αποδόεις ε ξύο ρέηκα 39 kgr και 33 kgr ατίτοια εώ οι διακυάεις έεα αετάητες Μπορούε α δεούε ε ε % ότι η διαφορά τω έω αποδόεω ξύου παραέει το ίδιο επίπεδο δη 64 kgr; Λύη Θέτουε : απόδοη ξύου αά δέτρο τύπου Α το δεύτερο δάος Υ : απόδοη ξύου αά δέτρο τύπου Β το δεύτερο δάος Υποέτουε ότι Χ ~ N,, Υ ~ N, ε 5 και ζητάε α γίει ο έεγος Η : 64 έατι της Η : 64 ε ε %, ε άη δύο δείγατα Χ, Χ, και Υ, Υ, Y από τα οποία προέκυψε ότι 39, 33 Έουε t 4 5 Αφού T 4 z 58, απορρίπτουε τη Η Επίης, lu T 4 T 4 T ~ N, Φ4 6 Άκηη 44 Έτω η έη τιή πώηης εός προϊότος ε ία περιοή Α και η έη τιή πώηης του ίδιου προϊότος ε ία περιοή Β Επιέγουε τυαία 4 τιές από τη περιοή Α και 4 τιές από τη περιοή Β Α οι τιές αυτές είαι, 6,, περιοή Α και 7, 93, 97, 99 περιοή Β, πορούε, ε επίπεδο ηατικότητας 5%, α πούε ότι η έη τιή πώηης τη περιοή Α είαι υψηότερη από τη ατίτοιη τη περιοή Β; Η :, : υποέτουε ότι οι τιές καταέοται καοικά και ε ίη διαπορά τις δύο περιοές Λύη Υποογίζουε ότι 5, 99, s 45, s 3466 και η κρίιη περιοή του εέγου α είαι Κ: Τ t και t s s εώ t t < 368, και άρα απορρίπτουε τη Η ε ε 5% Επίης, lu T t t Άκηη 45 Από τυαίο δείγα επορικώ κατατηάτω ειδώ εδυαίας προέκυψε ότι η έη ηερήια δαπάη τους για διαφήιη είαι 5 ευρώ ε δειγατική τυπική απόκιη 36 ευρώ Επίης από τυαίο δείγα επορικώ κατατηάτω ειδώ υποδήεως προέκυψε ότι η έ- Ακήεις αήατος «Στατιτική ΙΙ», - ΜΚούτρας, ΜΜπούτικας

21 η ηερήια δαπάη τους για διαφήιη είαι 48 ευρώ ε δειγατική τυπική απόκιη 4 ευρώ Μπορούε α δεούε, ε ε %, ότι οι δύο κατηγορίες κατατηάτω δαπαού, κατά έο όρο το ίδιο ποό για διαφήιη; Υποέτουε ότι οι δαπάες για κάε κατάτηα καταέοται καοικά και ε ίη διαπορά Λύη Zητείται α γίει ο έεγος της Η : έατι της Η : Έουε και t 5, 48, s 36, s 4,, s s και αφού t 93 < t 89 δε πορούε α απορρίψουε τη Η Επίης, lu T t t Άκηη 46 α Έτω η έη τιή πώηης εός προϊότος ε ία περιοή Α και η έη τιή πώηης του ίδιου προϊότος ε ία περιοή Β Η έη τιή και η διαπορά εός τδ τιώ πώηης από τη περιοή Α ρέηκε 9 και ατίτοια Επίης, η έη τιή και η διαπορά εός τδ τιώ πώηης από τη περιοή Β ρέηκε 445 και 9974 ατίτοια Α υποέουε ότι οι τιές καταέοται καοικά και ε ίη αά άγωτη διαπορά και τις δύο περιοές, α εέγξετε ε επίπεδο ηατικότητας 5% Α η έη τιή πώηης τη Α είαι διαφορετική από τη ατίτοιη τη Β Α η έη τιή πώηης τη Α είαι αηότερη από τη ατίτοιη τη Β Στο α υποέαε ότι οι διαπορές και τω τιώ τις περιοές αυτές είαι ίες Να εέγξετε ε επίπεδο ηατικότητας 5% α ότως οι δύο αυτές διαπορές πορού α εωρηού ίες Λύη α Ζητείται ο έεγος της ορφής Η :, : ότα, είαι άγωτά αά ία, ε ε α 5 Η κρίιη περιοή του εέγου α είαι Ατικαιτώτας α έουε ότι Κ: Τ t όπου Τ Y S S t Εώ t t < 68 και άρα απορρίπτουε τη Η Επίης, lu T t 68 9 t 8 Ζητείται ο έεγος της ορφής Η :, : < ότα, είαι άγωτά αά ία ε ε α 5 Η κρίιη περιοή του εέγου α είαι Κ: Τ < tn n όπου Τ 68 Επειδή tn n t απορρίπτουε τη Η Επίης, T < t lu< t lu Ακήεις αήατος «Στατιτική ΙΙ», - ΜΚούτρας, ΜΜπούτικας

22 Ζητείται ο έεγος της ορφής Η :, : ότα τα, είαι άγωτα ε ε α5 Η κρίιη περιοή του εέγου α είαι S Κ: Τ <, ή Τ, όπου Τ S Y Y 8766 Ατικαιτώτας α έουε ότι t 6748 εώ 99, 9, ,, 9, j, και επειδή 73 < 6748 < 84 πορούε α δετούε τη Η δη οι πηυοί είαι οοκεδατικοί ε ε 5 Επίης, lu mn{ T < t, T t } mn{ 6748, ,9 9, 9 mn{78, 7} 556 Άκηη 47 Έτω ότι οι ρόοι ζωής δύο τύπω εξαρτηάτω A, B ακοουού καοική καταοή N, και N, ατίτοια Α ε έα τδ από εξαρτήατα τύπου Α ρέηκε ότι S 5 και ε έα τδ από εξαρτήατα τύπου Β ρέηκε ότι S 5, πορούε ε ε 5% α ιυριτούε ότι οι ρόοι ζωής τω εξαρτηάτω Α παρουιάζου ικρότερη εταητότητα από τους ρόους του Β; Δίεται ότι 49, Λύη Είαι Κ: Τ < 95 6, 49, 49 s όπου t 6944 και εποέως δε πορούε α απορρίψουε τη Η Επίης s lu T < t , 49 j Άκηη 48 Από δύο δείγατα άγαω και έγγαω εργατριώ υγκετρώηκα τα ακόουα τοιεία που αφορού ώρες απουίας από τη εργαίας τους όγω αέειας ε έα έτος: Άγαοι: 88, 68, 77, 8, 63, 8, 78, 7, 68, Έγγαοι : 73, 77, 67, 7, 74, 64, 7, 7, 7 Να εεγεί ε ε 5% η υπόεη ότι η διακύαη τω ωρώ απουίας τω άγαω α είαι ίη ε τη διακύαη τω ωρώ απουίας τω έγγαω εργατριώ, έατι της εαακτικής υποέεως ότι η διαπορά τω ωρώ απουίας τω άγαω είαι εγαύτερος από εκείο τω έγγαω είαι τετραπάια της διακύαης τω ωρώ απουίας τω έγγαω εργατριώ Δίεται ότι 8, , 8, Λύη α Θέουε α εέγξουε τις υποέεις Η :, Η : Έουε οπότε , 7, s 645, s 45, 9, s t s Αφού, t 443, 3 44 δε απορρίπτουε τη Η Επίης Ακήεις αήατος «Στατιτική ΙΙ», - ΜΚούτρας, ΜΜπούτικας

23 lu T t , 8 Τώρα έουε t s δ s 75 και επειδή 5568,, t δε πορούε α απορρίψουε τη Η γεικά, Επίης, n, m m, n lu mn{ T < t, T t } mn{ 75, 75 8,8 8, 8 mn{555, 444} 888 Άκηη 49 Από δύο αεξάρτητους πηυούς παίρουε τα τυαία δείγατα 7, 6, 4, 8, 5, 3, 5 και 6, 5, 3, 7, 8, 3, 6, 3, 4 ατίτοια Να εεγεί ε ε 5% η υπόεη ότι οι πηυοί έου ίες διακυάεις έατι της εαακτικής ότι η διακύαη του πρώτου πηυού είαι εγαύτερη της διακύαης του δεύτερου Δίεται ότι 8,695 8 Λύη Θέουε α εέγξουε τις υποέεις Η :, Η : Έουε οπότε 6, 5, s 467, s 35, 7, s t 33 s Αφού, t 33 < 3 58 δε απορρίπτουε τη Η Επίης 6, 8 9 6,8 8, 6 lu T , 8 Άκηη 4 Για το έεγο της αποτεεατικότητας εός κευάατος που καταποεά τη παυαρκία, ορηγήηκε υγκεκριέη ποότητά του ε κατάηα πειραατόζωα Σε καέα από αυτά καταγράφηκε το άρος του αέως πρι και ια εδοάδα ετά τη ορήγηη του κευάατος Καταγράφηκα τα παρακάτω ωατικά άρη ε kgr: Πρι Μετά Υπάρει ετική έη επίδραη του υγκεκριέου κευάατος ε ε 5% το άρος τω πειραατόζωω; Λύη: Πρόκειται για ζευγαρωτές παρατηρήεις Χ,Υ, Χ,Υ,, Χ,Y αεξάρτητα τυαία διαύατα Θεωρούε ότι το Χ,Υ ακοουεί διδιάτατη καοική ε ΕΧ, ΕY δ, V, VΥ, Corr,Y ρ,,,, Επιυούε α εέγξουε α η διαφορά δ EY E εταξύ τω έω τω και τω Υ είαι ηδεική εωρώτας άγωτες τις παραέτρους,, ρ Κάτω από τις παραπάω υποέεις, οι διαφορές Ζ Υ είαι αεξάρτητες και ακοουού τη καοική καταοή ε έη τιή δ και άγωτη διαπορά ρ Εποέως, ιοδύαα πορούε α εέγξουε α η έη τιή δ τω Z είαι ίη ε Η : δ, Η : δ Χρηιοποιούε τη τατιτική υάρτηη T Z 53, Z Z 785, SZ S Z Απορρίπτουε τη Η ε ε 5% διότι Z Z 355 Ακήεις αήατος «Στατιτική ΙΙ», - 3 ΜΚούτρας, ΜΜπούτικας

24 53 t 93 T εώ το -lu τω τιώ του δείγατος είαι lu T t t 53 Εά είαε ως εαακτική υπόεη τη Η : δ ΕΧ ΕΥ α έπρεπε α πάρουε lu lu διότι t Άκηη 4 παράδειγα του Studnt Η επίδραη δύο φαράκω Α και Β το ρόο ύπου δοκιάτηκε ε αεείς που έπαα από αϋπία Και έτω, η παράταη του ύπου του αεούς ε ώρες που οφείεται τη επίδραη του φαράκου Α, Β ατίτοια z Είαι ογικό α δετούε ότι α η επίδραη του φαράκου Α είαι διαφορετική από τη επίδραη του φαράκου Β ε ε %, η παράταη του ύπου που προκαεί το φάρακο Α είαι κατά ώρα εγαύτερη της παράταης που προκαεί το φάρακο Β; Λύη: α Όοια τη προηγούεη άκηη, πρόκειται για ζευγαρωτές παρατηρήεις Χ,Υ, Χ,Υ,, Χ,Y όπου Χ,Υ ~ διδιάτατη καοική ε ΕΧ, ΕY δ, V, VΥ, Corr,Y ρ,,,, Επιυούε α εέγξουε α η διαφορά δ EY E Οι τ Ζ Υ είαι αεξάρτητες και ακοουού Νδ, Εποέως, για το α πρέπει α εέγξουε τις υποέεις Η : δ, Η : δ ε άη το δείγα τω διαφορώ Z, Z,,Z Χρηιοποιούε τη τατιτική υάρτηη z t s Z 58 46, 5 Επειδή, t 9 35, απορρίπτουε τη Η ε ε % Για το πρέπει α εέγξουε τις υποέεις Η : δ, Η : δ Τώρα έουε z t s και άρα δε απορρίπτουε τη Η ε ε % Z 58 48, 5 Λύεις Ακήεω Κεφααίου 5 Παρ 53 Άκηη 5 Έας υποψήφιος δήαρος ιας εγάης πόης ιυρίζεται ότι τις εκογές που έ- για ήερα α άει ποοτό εγαύτερο του 5% Έουε αρκετά τοιεία για α απορρίψουε το παραπάω ιυριό, α ε έα τδ 3 ψηφοφόρω που εήφη ε t oll, δηαδή οι ψηφοφόροι ρωτήηκα αέως ετά τη έξοδό τους από τυαία επιεγέα εκογικά τήατα όο το 44% δήωα ότι ψήφια το υγκεκριέο υποψήφιο, Η : < Α ρεεί ότι δε έουε αρκετά τοιεία, πόο α έπρεπε α είαι το εάιτο έγεος του δείγατος ώτε, ε το ίδιο δειγατικό ποοτό, α απορρίπταε το παραπάω ιυριό; Λύη Στη υγκεκριέη περίπτωη ζητείται ο έεγος της υπόεης : έατι της Η : < όπου 5% Γωρίζουε ότι η κρίιη περιοή α είαι Κ: < z Ακήεις αήατος «Στατιτική ΙΙ», - 4 ΜΚούτρας, ΜΜπούτικας

25 Ατικαιτώτας ρίκουε ότι z Εποέως δε έουε αρκετά τοιεία για α απορρίψουε το παραπάω ιυριό ε ε % Εξάου, lu T < t Φ 7 9 Παρατηρούε ότι για α απορρίπταε τη Η : 5 αάοτας έα εγαύτερο δείγα α έπρεπε α ιύει ότι < z δηαδή z όπου είαι το ατίτοιο δειγατικό ποοτό που α ρίκαε Βρίκοτας, ύφωα ε τη εκφώηη, και πάι 44 α έπρεπε 5 5 z Άκηη 5 Σε τδ 4 τηεεατώ οι δήωα ότι παρακοουού ια οριέη τηεοπτική ειρά Μπορούε α δεούε ε ε 5% ότι εκείοι που παρακοουού τη ειρά από το ύοο τω τηεεατώ είαι ιγότεροι του 3% Η ; < ; Λύη Ζητείται ο έεγος της υπόεης : έατι της Η : < όπου 3% Η κρίιη περιοή α είαι Κ: T < z Ατικαιτώτας ρίκουε ότι 83< z5 645 Εποέως απορρίπτουε το παραπάω ιυριό ε ε 5% Εξάου, lu T < t Φ 83 45< Άκηη 53 Έτω τδ Χ,,, ε, Ποιο α πρέπει α είαι το έγεος του δείγατος ώτε για το έεγο της υπόεης Η :, Η :, οι πιαότητες φάατος τύπου Ι και ΙΙ α είαι ατίτοια α και ρηιοποιήτε προέγγιη έω καοικής καταοής Λύη Για το έεγο της υγκεκριέης υπόεης α έουε από τα παραπάω τη κρίιη περιοή Κ: z για τη οποία ως γωτό ιύει ότι [I] Θα πρέπει και [II] Δηαδή Ακήεις αήατος «Στατιτική ΙΙ», - 5 ΜΚούτρας, ΜΜπούτικας

26 και εποέως, II z z z ή ιοδύαα z z z z Άκηη 54 Επιέγοτας τυαία 4 προϊότα από ία ηαή που τα κατακευάζει, τα 6 ρέηκα εαττωατικά, εώ επιέγοτας τυαία 3 προϊότα από ία άη ηαή, τα 4 ρέηκα εαττωατικά Να εέγξετε ε επίπεδο ηατικότητας % α α υπάρει διαφορά τη παραγωγή εαττωατικώ εταξύ τω δύο ηαώ και α η δεύτερη ηαή είαι «ειρότερη» από τη πρώτη Λύη α Ζητείται ο έεγος τω υποέεω της ορφής Η :, : ε ε α Η κρίιη περιοή του εέγου α είαι, 3 Κ: Τ z όπου Ατικαιτώτας α έουε ότι και Y T, t Y Εώ z α z 5 58 και επειδή 57 < 58 δεόατε ή καύτερα, έε ότι δε έουε αρκετά τοιεία ώτε α απορρίψουε τη Η Εξάου, lu T t Φ57 4 Ζητείται ο έεγος τω υποέεω της ορφής Η :, : < ε ε α Η κρίιη περιοή του εέγου ύφωα ε τα παραπάω α είαι, 3 Κ: Τ < z όπου από τα δεδοέα, t 57 εώ z α z 33 και επειδή t δεόατε ή καύτερα, έε ότι δε έουε αρκετά τοιεία ώτε α απορρίψουε τη Η Εξάου, ιό από το -lu του αφίπευρου εέγου lu T < t Φ 57 Άκηη 55 Έας δηοιογράφος ε ία τηεοπτική υζήτηη ιυρίζεται ότι υαίει κάτι ύποπτο τη εταιρία έτρηης τηεέαης GBA Η εταιρία έει διαέει 5 ηαάκια ε ιάριους τηεεατές, 5 από τα οποία έου δοεί ε έους υεργάτες τηεεατές που έου ξεκιήει τη υεργαία τους ε τη GBA το τεευταίο εξάηο Ο δηοιογράφος διαπιτώει ότι, ύφωα ε τη GBA, το καάι VEGA παρουιάζει τηεέαη 3% το ύοο τους 5 τηεεατές εώ έει όο % τους έους τους 5 τηεεατές Ο δηοιογράφος το εωρεί αυτό πού ύποπτο και άιτα κάποιος ποιτικός που ρίκεται τη υζήτηη δηώει ότι «οι δύο αυτές τιές δε υφωού καόου» πρόκειται για πραγατικό περιτατικό Ακήεις αήατος «Στατιτική ΙΙ», - 6 ΜΚούτρας, ΜΜπούτικας

27 Είαι πράγατι αυτό «πού ύποπτο»; Θα πορούε δηαδή η διαφορά αυτή α είαι τυαία; Συγκεκριέα, α, είαι τα ποοτά της τηεέαης του VEGA τους πηυούς από τους οποίους προέροται οι δύο οάδες τηεεατώ «έοι» και «πααιοί» υεργάτες, εέγξτε ε ε α τη υπόεη : έατι της : α απορρίψουε τη Η πορούε πράγατι α ιήουε για κάτι «ύποπτο», διότι ααέουε α ιύει αφού και οι δύο οάδες υεργατώ προέροται από το ίδιο πηυό Λύη Πρόκειται για δύο αεξάρτητα δείγατα Χ,Χ,, ~ Β, και Υ,Υ,, Y ~ Β, ε, 5 Θέουε α πραγατοποιήουε το έεγο :, : έοτας δειγατικά ποοτά 3, διότι 3 3 Η κρίιη περιοή του εέγου α είαι, 3 Κ: Τ z όπου Ατικαιτώτας α έουε ότι Y T, και t 3 7 Y εώ z α z 33 και επειδή t 9 < 33 δεόατε ή καύτερα, έε ότι δε έουε αρκετά τοιεία ώτε α απορρίψουε τη Η ε ε % Εξάου, lu T t Φ9 Άκηη 56 Το ήα Ιαουάριο επιέηκα τυαία 4 ψηφοφόροι από ία περιοή και αάεά τους ρέηκα οι οποίοι προτίεται α ψηφίου το κόα Α Το ήα Φερουάριο, επιέηκα τυαία 5 ψηφοφόροι από τη ίδια περιοή και αάεά τους ρέηκα τώρα 5 οι οποίοι προτίεται α ψηφίου το κόα Α Να εέγξετε ε ε 5% α το ποοτό τω ψηφοφόρω του κόατος Α τη περιοή αυτή αυξήηκε κατά το ήα Φερουάριο Η : έατι της Η : < Λύη Τα δειγατικά ποοτά τω ψηφοφόρω του κόατος τους δύο ήες είαι, Η κρίιη περιοή α είαι Όπου Κ: 5 και t 664 < z α και εποέως απορρίπτουε τη Η Υπήρξε τατιτικά ηατική αύξηη ε 5% Εξάου, lu T < t Φ Ακήεις αήατος «Στατιτική ΙΙ», - 7 ΜΚούτρας, ΜΜπούτικας

Λύσεις Ασκήσεων για το μάθημα Στατιστική ΙΙ Έλεγχος Υποθέσεων ( , )

Λύσεις Ασκήσεων για το μάθημα Στατιστική ΙΙ Έλεγχος Υποθέσεων ( , ) Λύεις Ακήεω για το άηα Στατιτική ΙΙ Έλεγος Υποέεω -, - Μ Κούτρας ΜΜπούτικας Λύεις Ακήεω Κεφαλαίου Παρ 6 Άκηη Έτω έα τυαίο δείγα εγέους από ια καταοή ε υάρτηη πυκότητας f ;, < < Για το έλεγο της υπόεης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ & ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ» Μ. Κούτρας Μ.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ & ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ» Μ. Κούτρας Μ. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ & ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ» Μ Κούτρας Μ Μπούτικας Σηειώεις παραδόεω «Στατιτική ΙΙ» Μ Κούτρας Μ Μπούτικας Σηειώεις

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιητική Στατιτική Συπεραατολογία εκτιήεις τω αγώτω παραέτρω ιας γωτής από άποψη είδους καταοής έλεγχο τω υποθέεω που γίοται ε χέη ε τις παραέτρους ιας καταοής και ε χέη ε το είδος της καταοή. ΒΙΟ309-Εκτιητική

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα Το γνωστό παράδειγμα με τα βάρη 30 ατόμων ταξινομημένα σε 5 ομάδες. Η μέση τιμή για το δείγμα έχει βρεθεί x = 77. = =

Παράδειγμα Το γνωστό παράδειγμα με τα βάρη 30 ατόμων ταξινομημένα σε 5 ομάδες. Η μέση τιμή για το δείγμα έχει βρεθεί x = 77. = = Παράδειγα Το γωστό παράδειγα ε τα βάρη 0 ατόω ταξιοηέα σε 5 οάδες. Η έση τιή για το δείγα έχει βρεθεί 77. Τάξη Απόλυτες συχότητες Κετρική τιή τάξης Απόκλιση από το έσο 65-69 67,5 9,5 70-7 6 7,5,5 75-79

Διαβάστε περισσότερα

Θηκόγραμμα (box-plot) Γραφική παρουσίαση των μέτρων θέσης μιας μεταβλητής

Θηκόγραμμα (box-plot) Γραφική παρουσίαση των μέτρων θέσης μιας μεταβλητής Έχουε δει ότι ένα βαικό ειονέκτηα του αριθητικού έου είναι ότι είναι ευαίθητος ε ακραίες παρατηρήεις. Θηκόγραα (bo-plot) Γραφική παρουίαη των έτρων θέης ιας εταβλητής Ένας ιοταθιένος (p %) αριθητικός έος

Διαβάστε περισσότερα

6. Ανάλυση χαρακτηριστικών

6. Ανάλυση χαρακτηριστικών ρ Χ Στρουθόπουος e-mail: strch@teisergr ΑΤΕΙ Σερρώ 6 Αάυη χαρακτηριτικώ Μια ηατική εργαία ε έα ύτηα ααγώριης είαι η αάυη τω ετρούεω χαρακτηριτικώ τω προτύπω Με τη αάυη τω χαρακτηριτικώ πετυχαίουε τη αξιοόγηη

Διαβάστε περισσότερα

ειγματοληπτικές κατανομές

ειγματοληπτικές κατανομές ειγματοληπτικές καταομές Σκοπός της τατιτικής υμπεραματολογίας: η εξαγωγή ατικειμεικώ υμπεραμάτω για έα πληθυμό από περιοριμέο αριθμό δεδομέω (δείγμα). Με τη περιγραφική τατιτική υχά μπορούμε α βγάλουμε

Διαβάστε περισσότερα

10. Στατιστικές συναρτήσεις και δειγματοληπτικές κατανομές

10. Στατιστικές συναρτήσεις και δειγματοληπτικές κατανομές Στατιτικές Συαρτήεις και Δειγματοληπτικές Καταομές 0 Στατιτικές υαρτήεις και δειγματοληπτικές καταομές Στο ειαγωγικό κεφάλαιο του Β Μέρους (8 ο Κεφάλαιο εξηγήαμε ότι τη Στατιτική «όλα αρχίζου από τα δεδομέα»

Διαβάστε περισσότερα

05_02_t-κατανομή. Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ.

05_02_t-κατανομή. Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. Ν161_(262)_Στατιτική τη Φυική Αγωγή 05_02_t-κατανοή Γούργουλης Βαίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. 1 Αν δεν είναι γνωτή η τυπική απόκλιη του πληθυού (), τότε θα πρέπει να χρηιοποιηθεί ένας

Διαβάστε περισσότερα

Β.2.6. Γεωµετρικός µέσος.

Β.2.6. Γεωµετρικός µέσος. 6 Β..6. Γεωετρικός έος. α) Τα δεδοέα δίοται ααλυτικά Οριός Β.. Έτω ότι τα δεδοέα είαι δοέα ααλυτικά ( τιές που ατιτοιχού τα άτοα του πληθυού): i, i,,,..., Οοάζουε Γεωετρικό έο τω δεδοέω i, τη -οτή ρίζα

Διαβάστε περισσότερα

FAX : 210.34.42.241 spudonpe@ypepth.gr) Φ. 12 / 600 / 55875 /Γ1

FAX : 210.34.42.241 spudonpe@ypepth.gr) Φ. 12 / 600 / 55875 /Γ1 Ε Λ Λ Η Ν Ι Κ Η Η Μ Ο Κ Ρ Α Τ Ι Α Υ ΠΟΥ ΡΓΕΙΟ ΕΘΝ. ΠΑ Ι ΕΙΑ Σ & ΘΡΗΣ Κ/Τ Ω ΕΝΙΑ ΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤ ΙΚΟΣ Τ ΟΜ ΕΑ Σ Σ ΠΟΥ Ω Ν ΕΠΙΜ ΟΡΦΩ Σ ΗΣ ΚΑ Ι ΚΑ ΙΝΟΤ ΟΜ ΙΩ Ν /ΝΣ Η Σ ΠΟΥ Ω Τ µ ή µ α Α Α. Πα π α δ ρ έ ο υ 37

Διαβάστε περισσότερα

4.6. Μη γραµµικοί ταξινοµητές Ν Back error propagation

4.6. Μη γραµµικοί ταξινοµητές Ν Back error propagation ΑΤΕΙ Σερρώ 4.6. Μη γραιοί ταξιοητές Back error propagaon Μία ιαφορετιή τεχιή χειαού εός πολυεπίπεου percepron για τη ταξιόηη η γραιά ιαχωριοέω λάεω βαίεται τη ατιατάταη της υάρτηης dx από ία υεχή αι ιαφορίιη

Διαβάστε περισσότερα

Εικονογραφημένο Λεξικό Το Πρώτο μου Λεξικό

Εικονογραφημένο Λεξικό Το Πρώτο μου Λεξικό ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ Ι.Τ.Υ.Ε. «ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ» Αή Εί Ηίας Δής Μαία Μά Ιία Αύα Εαέ Λό Τ Πώ Λό Α, Β, Γ Δύ Τός 5ς (Ε, (ά) Ι,) Εαέ Λό Α, Β, Γ Δύ Τ Πώ Λό Τός 5ς (Ε, (ά)

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου. Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης

Διαβάστε περισσότερα

«Χρηματοδοτική Ανάλυση και Διοικητική», Τόμος A

«Χρηματοδοτική Ανάλυση και Διοικητική», Τόμος A ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδώ : Διοίκηση Επιχειρήσεω και Οργαισμώ Θεματική Εότητα : Δ.Ε.Ο. 3 Χρηματοοικοομική Διοίκηση Ακαδημαϊκό Έτος : 202-203 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Χρηματοδοτική Αάλυση

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου. Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης

Διαβάστε περισσότερα

... λέγονται στοιχεία του πίνακα Α και οι δείκτες i και j δηλώνουν τη γραμμή και τη στήλη, αντίστοιχα, που ανήκει το στοιχείο α

... λέγονται στοιχεία του πίνακα Α και οι δείκτες i και j δηλώνουν τη γραμμή και τη στήλη, αντίστοιχα, που ανήκει το στοιχείο α ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΙΝΑΚΕΣ Στο Κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούε ε το ορισό και τις στοιχειώδεις ιδιότητες τω πιάκω, που είαι ορθογώιες παρατάξεις αριθώ ή άλλω στοιχείω Οι πίακες εφαίζοται στη θεωρία τω γραικώ συστηάτω,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΑΝΥΣΤΩΝ. 1. Εισαγωγικά. Υποθέτουµε ότι ο αναγνώστης γνωρίζει τα περιεχόµενα στην ενότητα Γραµµικές Μορφές.

ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΑΝΥΣΤΩΝ. 1. Εισαγωγικά. Υποθέτουµε ότι ο αναγνώστης γνωρίζει τα περιεχόµενα στην ενότητα Γραµµικές Μορφές. ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΑΝΥΣΤΩΝ Εισαγωγιά Υποθέτουε ότι ο ααγώστης γωρίζει τα περιεχόεα στη εότητα Γραιές Μορφές Γειές υποθέσεις Συβοισοί Ο χώρος, στοιχεία του οποίου χρησιοποιούε, είαι έας γραιός (αυσατιός) χώρος V

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Φυσική Στερεάς Κατάστασης Μάθηµα ασκήσεων 11/12/2006

Εισαγωγή στη Φυσική Στερεάς Κατάστασης Μάθηµα ασκήσεων 11/12/2006 Τήα Επιστήης και Τεχολογίας Υλικώ Εισαγωγή στη Φυσική Στερεάς Κατάστασης Μάθηα ασκήσεω //006 Μελέτη οοδιάστατου στοιχειακού στερεού ε δύο τροχιακά αά άτοο ε χρήση υβριδικώ ατοικώ τροχιακώ Θεωρούε δύο τροχιακά

Διαβάστε περισσότερα

Εικονογραφημένο Λεξικό Το Πρώτο μου Λεξικό

Εικονογραφημένο Λεξικό Το Πρώτο μου Λεξικό ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ Ι.Τ.Υ.Ε. «ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ» Αή Εί Ηίας Δής Μαία Μά Ιία Αύα Εαέ Λό Τ Πώ Λό Τός 3ς (Β, - Γ, ) Εαέ Λό Α, Β, Γ Δύ Τ Πώ Λό Τός 3ς (Β, - Γ, ) ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Εικονογραφημένο Λεξικό Το Πρώτο μου Λεξικό

Εικονογραφημένο Λεξικό Το Πρώτο μου Λεξικό ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ Ι.Τ.Υ.Ε. «ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ» Αή Εί Ηίας Δής Μαία Μά Ιία Αύα Εαέ Λό Τ Πώ Λό Τός 4ς (Δ, Ε, (-αί)) Εαέ Λό Α, Β, Γ Δύ Τ Πώ Λό Τός 4ς (Δ, Ε, (-αί)) ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

1. Η κανονική κατανοµή

1. Η κανονική κατανοµή . Η κανονική κατανοµή Η κανονική κατανοµή είναι η ηµαντικότερη κατανοµή πιθανοτήτων µε τις περιότερες εφαρµογές. Μελετήθηκε αρχικά από τον De Moire (667-754) και από τον Lple (749-87) οι οποίοι απέδειξαν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦ. 2 Στατιστική ανάλυση ακραίων παρατηρήσεων

ΚΕΦ. 2 Στατιστική ανάλυση ακραίων παρατηρήσεων ΚΕΦ. Στατιτική ανάλυη ακραίων παρατηρήεων οντέλα ερηνείας εκτιήεων - προβλέψεων ακραίων υβάντων ε βάη πραγατικά δεδοένα Θα προπαθήουε ε βάη ιτορικά δεδοένα και όνο να δώουε απαντήεις ε ερωτήεις της ορφής:

Διαβάστε περισσότερα

Εικονογραφημένο Λεξικό Το Πρώτο μου Λεξικό

Εικονογραφημένο Λεξικό Το Πρώτο μου Λεξικό ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ Ι.Τ.Υ.Ε. «ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ» Αή Εί Ηίς Δής Μί Μά Ιί Αύ Εέ Λό Τ Πώ Λό Τός 9ς (Μ, (έ) Ν,) Εέ Λό Α, Β, Γ Δύ Τ Πώ Λό Τός 9ς (Μ, (έ) Ν,) ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Αή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ. 5 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΠΑΚΕΤΑ Ι

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ. 5 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΠΑΚΕΤΑ Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ 5 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΠΑΚΕΤΑ Ι Ι ΑΣΚΩΝ ΣΤΕΛΙΟΣ ΖΗΜΕΡΑΣ Σάος 3 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΓΕΝΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ...3. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΣ ΑΝΑΛΥΤΗΣ...3.

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων Στατιτικός έλεγχος υποθέεω. Βαικές έοιες. Στατιτικός έλεγχος υποθέεω για τη μέη τιμή εός πληθυμού.. Ο πληθυμός είαι καοικός.. Το μέγεθος του δείγματος είαι μεγάλο.3 Πιθαότητα φάλματος τύπου ΙΙ και ιχύς

Διαβάστε περισσότερα

Εικονογραφημένο Λεξικό Το Πρώτο μου Λεξικό

Εικονογραφημένο Λεξικό Το Πρώτο μου Λεξικό ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ Ι.Τ.Υ.Ε. «ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ» Αή Εί Ηίας Δής Μαία Μά Ιία Αύα Εαέ Λό Τ Πώ Λό Τός 10ς (Ξ, Ο,) Εαέ Λό Α, Β, Γ Δύ Τ Πώ Λό Τός 10ς

Διαβάστε περισσότερα

Εικονογραφημένο Λεξικό Το Πρώτο μου Λεξικό

Εικονογραφημένο Λεξικό Το Πρώτο μου Λεξικό ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ Ι.Τ.Υ.Ε. «ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ» Αή Εί Ηίας Δής Μαία Μά Ιία Αύα Εαέ Λό Τ Πώ Λό Α, Β, Γ Δύ Τός 6ς (Κ,, (- ία)) Εαέ Λό Α, Β, Γ Δύ Τ Πώ Λό Τός 6ς (Κ,, (-ία))

Διαβάστε περισσότερα

5. ιαστήµατα Εµπιστοσύνης

5. ιαστήµατα Εµπιστοσύνης 5 ιατήµατα Εµπιτούνης Στο προηγούµενο κεφάλαιο αχοληθήκαµε εκτενώς µε την εκτίµηη των παραµέτρων διαφόρων κατανοµών Για παράδειγµα είδαµε ότι η καλύτερη εκτιµήτρια για την εκτίµηη της µέης τιµής ενός κανονικού

Διαβάστε περισσότερα

Εικονογραφημένο Λεξικό Το Πρώτο μου Λεξικό

Εικονογραφημένο Λεξικό Το Πρώτο μου Λεξικό ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ Ι.Τ.Υ.Ε. «ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ» Αή Εί Ηίας Δής Μαία Μά Ιία Αύα Εαέ Λό Τ Πώ Λό Τός 1ς (Α,α (-αάα)) Εαέ Λό Α, Β, Γ Δύ Τ Πώ Λό Τός 1ς (Α,α (-αάα)) ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ρωτήσαμε 50 μαθητές μιας τάξης για το αριθμό τω αδελφώ τους Οι απατήσεις που πήραμε είαι: 0,,,,4,5 Α v, v, v, v4, v5, v 6 είαι οι ατίστοιχες συχότητες τους

Διαβάστε περισσότερα

12. Στατιστικός Έλεγχος Υποθέσεων

12. Στατιστικός Έλεγχος Υποθέσεων Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεω Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεω Έας έος τύπος τιγάρω βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου Α το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καποβιομηχαίας παραγωγής, εδιαφέρεται α γωρίζει τη μέη ποότητα

Διαβάστε περισσότερα

ά ς ά ς ώ ς ί ς ά ς ί ς ής ύ ή ς ί ί

ά ς ά ς ώ ς ί ς ά ς ί ς ής ύ ή ς ί ί ίςέςέςές άςάςώς ίς άςίς ήςύής ί ί άήύέςίί ύίίςόά ίά ίό έ ί ύίςίήό ύ ώήύ ήάί ί ήί ός ώςάώί όώύύςώςή άςύς ί όόόάί έό έώςίςάς έςάςέςίςές όςάί ςάςίςίςώ ός ς ής ίς ά ί όςάά Άς ίς ήάέ άςύήί ί ί ύ ή ίάς όήός

Διαβάστε περισσότερα

4. Ειδικές Διακριτές, Συνεχείς Κατανομές

4. Ειδικές Διακριτές, Συνεχείς Κατανομές 4. Ειδικές Διακριτές, Συνεχείς Κατανομές 4.. Η ομοιόμορφη διακριτή κατανομή. Εμφανίζεται τις περιπτώεις όπου η υπό εξέταη τ.μ. Χ παίρνει πεπεραμένο πήθος τιμών π.χ. Χ {,,...,} και όες οι πιθανότητες P

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: «ΜΕΤΡΟΛΟΓΙΑ»

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: «ΜΕΤΡΟΛΟΓΙΑ» ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: «ΜΕΤΡΟΛΟΓΙΑ» ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΤΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ.-.

Διαβάστε περισσότερα

Εικονογραφημένο Λεξικό Το Πρώτο μου Λεξικό

Εικονογραφημένο Λεξικό Το Πρώτο μου Λεξικό ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ Ι.Τ.Υ.Ε. «ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ» Αή Εί Ηίας Δής Μαία Μά Ιία Αύα Εαέ Λό Τ Πώ Λό Α, Β, Γ Δύ Τός 8ς (Λ, - Μ, (-ήα)) Εαέ Λό Α, Β, Γ Δύ Τ Πώ Λό Τός 8ς (Λ,

Διαβάστε περισσότερα

Εικονογραφημένο Λεξικό Το Πρώτο μου Λεξικό

Εικονογραφημένο Λεξικό Το Πρώτο μου Λεξικό ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ Ι.Τ.Υ.Ε. «ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ» Αή Εί Ηίς Δής Μί Μά Ιί Αύ Εέ Λό Τ Πώ Λό Α, Β, Γ Δύ Τός 16ς (Φ, Χ, (ό)) Εέ Λό Α, Β, Γ Δύ Τ Πώ Λό Τός 16ς (Φ, Χ, (ό))

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ .Να συμπληρώσετε το παρακάτω πίακα. f N F f 0 0 F 0 0 8 0,4 0 5 4 0,9 5 0 Σύολο. Οι μαθητές του Γ για το μήα Νοέμβρη απουσίασα από το σχολείο τους έως τέσσερις μέρες σύμφωα με το παρακάτω πίακα. ) Να συμπληρωθεί

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Υποθέσεων II. Στατιστική IΙ, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ. Χ. Εμμανουηλίδης, 1

Έλεγχος Υποθέσεων II. Στατιστική IΙ, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ. Χ. Εμμανουηλίδης, 1 Έλεγχος Υποθέεων II Στατιτική IΙ, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Στατιτική ΙΙ Συμπεραματολογία Βαιμένη ε Ένα Δείγμα: Έλεγχοι υποθέεων Μέρος ο Εϖιλογή Μεγέθους είγατος για Έλεγχο του Μέου - 1 - Παράδειγα Δειγματοληψία

Διαβάστε περισσότερα

Στον πίνακα που ακολουθεί φαίνονται οι παρατηρήσεις που πήραμε για το ύψος και το βάρος 16 εργατών μιας βιομηχανίας.

Στον πίνακα που ακολουθεί φαίνονται οι παρατηρήσεις που πήραμε για το ύψος και το βάρος 16 εργατών μιας βιομηχανίας. Συσέτιση δύο μεταβλητώ Συσέτιση δύο μεταβλητώ Θεωρούμε δύο τυαίες μεταβλητές X, Y και ζεύγη παρατηρήσεω,,,,...,, από τυαίο δείγμα μεγέθους. Ααφερόμαστε, δηλαδή, σε μη πειραματικά δεδομέα ο ερευητής δε

Διαβάστε περισσότερα

Εικονογραφημένο Λεξικό Το Πρώτο μου Λεξικό

Εικονογραφημένο Λεξικό Το Πρώτο μου Λεξικό ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ Ι.Τ.Υ.Ε. «ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ» Αή Εί Ηίας Δής Μαία Μά Ιία Αύα Εαέ Λό Τ Πώ Λό Α, Β, Γ Δύ Τός 7ς (Κ, (έα-)) Εαέ Λό Α, Β, Γ Δύ Τ Πώ Λό Τός 7ς (Κ, (έα-))

Διαβάστε περισσότερα

Εικονογραφημένο Λεξικό Το Πρώτο μου Λεξικό

Εικονογραφημένο Λεξικό Το Πρώτο μου Λεξικό ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ Ι.Τ.Υ.Ε. «ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ» Αή Εί Ηίς Δής Μί Μά Ιί Αύ Εέ Λό Τ Πώ Λό Τός 11ς (Π, (-ά) ) Εέ Λό Α, Β, Γ Δύ Τ Πώ Λό Τός 11ς (Π, (-ά) ) ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Αή

Διαβάστε περισσότερα

3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι Κατανομών

3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι Κατανομών . αρακτηριστικές Παράετροι Κατανοών - Αναενόενη ή έση τιή ιας διακριτής τυχαίας εταβητής. Στο προηγούενο κεφάαιο είδαε ότι σε κάθε τ.. αντιστοιχεί ία κατανοή. Αν και η συνάρτηση κατανοής F ή ισοδύναα η

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στη Στατιστική

Ασκήσεις στη Στατιστική Σχολείο: ο ΓΕΛ Κοµοτηής Να συµπληρώσετε το παρακάτω πίακα: Ασκήσεις στη Στατιστική 5 0, 3 0 0 Σύολο F % F % Να συµπληρώσετε το παρακάτω πίακα: F % F % 0 0 0 0,5 30 0,0 0 6 50 Σύολο 3 Να συµπληρώσετε το

Διαβάστε περισσότερα

οι ενήλικες στην περιοχή Β, ο φοιτητής γνωρίζει ότι X ~ N(

οι ενήλικες στην περιοχή Β, ο φοιτητής γνωρίζει ότι X ~ N( Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Αρκετά τρόφιμα περιέχουν το ιχνοτοιχείο ελήνιο το οποίο, όταν προλαμβάνεται ε μικρές ποότητες ημερηίως,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Ακαδ. Έτος ιδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ. Λέκτορας. Τηλ:

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Ακαδ. Έτος ιδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ. Λέκτορας. Τηλ: ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 05-06 ιδάκω: Βαίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Τυχαίο είγµα Ο ηµατικότερος

Διαβάστε περισσότερα

11. Σημειακή Εκτίμηση & Εκτίμηση με Διάστημα

11. Σημειακή Εκτίμηση & Εκτίμηση με Διάστημα Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούης Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Αρκετά τρόφιμα περιέχου το ιχοτοιχείο ελήιο το οποίο, ότα προλαμβάεται ε μικρές ποότητες ημερηίως, έχει ευεργετική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Στο άρθρο αυτό θα παρουσιάσουμε μια μικρή συλλογή ασκήσεω οι οποίες καλύπτου τις έοιες που μάθαμε στο κεφάλαιο της Στατιστικής. Σε

Διαβάστε περισσότερα

ές ές ώ ς ς ίς ά ής ί ς ό ς ί ς ς ό ς ό ς ί ς

ές ές ώ ς ς ίς ά ής ί ς ό ς ί ς ς ό ς ό ς ί ς ές ές ώ ς ς ίς ά ής ί ς ό ςί ςς όςό ς ίς ό ίό ς Έ ί ύ έςώς ς ές ί ς ς ίς ές έςές ς ίς έςώς ς ύς ίς ή ή ί ής ί ς ά ό ίό ς Έ ί ύ ές ί ς ς ίς ές έςές ς ίς έςώς ς ύς ίς ή ή ί ής ί ς ά ές ές ώ ς ίέ ςύ όίώώ

Διαβάστε περισσότερα

Εικονογραφημένο Λεξικό Το Πρώτο μου Λεξικό

Εικονογραφημένο Λεξικό Το Πρώτο μου Λεξικό ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ Ι.Τ.Υ.Ε. «ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ» Αή Εί Ηίας Δής Μαία Μά Ιία Αύα Εαέ Λό Τ Πώ Λό Τός 2ς (Α,α (αααώ-)) Εαέ Λό Α, Β, Γ Δύ Τ Πώ Λό Τός 2ς (Α,α (αααώ-)) ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΧΗΜΕΙΑ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19/03/2017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Μαρίνος Ιωάννου, Στέφανος Γεροντόπουλος, Σταυρούλα Γκιτάκου

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΧΗΜΕΙΑ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19/03/2017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Μαρίνος Ιωάννου, Στέφανος Γεροντόπουλος, Σταυρούλα Γκιτάκου ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΧΗΜΕΙΑ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19/03/017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Μαρίος Ιωάου, Στέφαος Γεροτόπουλος, Σταυρούλα Γκιτάκου ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Για τις ερωτήσεις Α1 έως και Α5 α γράψετε στο

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης που

Διαβάστε περισσότερα

, της Χ που έχουμε διαθέσιμες μετά από μια πραγματοποίηση του τυχαίου δείγματος X, X, 2

, της Χ που έχουμε διαθέσιμες μετά από μια πραγματοποίηση του τυχαίου δείγματος X, X, 2 Στατιτικές Συναρτήεις και Δειγματοληπτικές Κατανομές Στατιτικές Συναρτήεις και Δειγματοληπτικές Κατανομές Στην ενότητα «Από τις Πιθανότητες τη Στατιτική» εξηγήαμε ότι τη Στατιτική «όλα αρχίζουν από τα

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση - 4 o Γεικό Λύκειο Χαίω Γ τάξη Μαθηματικά Γεικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ. Ι. Παπαγρηγοράκης http://users.sch.gr/mpapagr 4 ο Γεικό Λύκειο Χαίω ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ 95 ΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΘΟΥΝ ΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ Η καταοή πιθαότητας η έση τιή και η διασπορά ιας τυχαίας εταβλητής εξετάσθηκα στο Κεφάλαιο Στο κεφάλαιο αυτό ελετώται διεξοδικά οι σηατικότερες διακριτές

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΚΤΕΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΩΝ ΣΤΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗ

ΔΕΙΚΤΕΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΩΝ ΣΤΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Διατηατικό Πρόγραα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Μαθηατικά των Υπολογιτών και των Αποφάεων» ΔΕΙΚΤΕΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΩΝ ΣΤΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗ Μεταβαλλόενες διαπορά έη τιή Μεταβαλλόενη

Διαβάστε περισσότερα

Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα

Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα Σημειακή εκτίμηη και εκτίμηη με διάτημα Εκτιμήτριες υαρτήεις και μέθοδοι εκτίμηης Σημειακή εκτίμηη Ιδιότητες τω εκτιμητριώ 3 Εκτίμηη με διάτημα Διάτημα εμπιτούης για τη μέη τιμή εός πληθυμού Ο πληθυμός

Διαβάστε περισσότερα

Εικονογραφημένο Λεξικό Το Πρώτο μου Λεξικό

Εικονογραφημένο Λεξικό Το Πρώτο μου Λεξικό ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ Ι.Τ.Υ.Ε. «ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ» Αή Εί Ηίς Δής Μί Μά Ιί Αύ Εέ Λό Τ Πώ Λό Τός 12ς (Π, (ίς- )) Εέ Λό Α, Β, Γ Δύ Τ Πώ Λό Τός 12ς (Π, (ίς- )) ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟ ΜΑΘΗΤΗ. Η διαίρεση στους φυσικούς αριθμούς

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟ ΜΑΘΗΤΗ. Η διαίρεση στους φυσικούς αριθμούς ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟ ΜΑΘΗΤΗ Η διαίρεση στους φυσικούς αριθμούς 12 Η διαίρεση στους φυσικούς αριθμούς 12 Διερεύηση 1. 1. Έας χώρος στάθμευσης έχει 21 σειρές, καθεμιά από τις οποίες έχει 8 θέσεις.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Του Κώστα Βακαλόπουλου ΑΣΚΗΣΗ (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ) Το εύρος (R) τω παρατηρούμεω υψώ τω 00 πελατώ εός γυμαστηρίου είαι cm. A) Να ομαδοποιήσετε τα δεδομέα

Διαβάστε περισσότερα

φ = 2ω = = 2 2(ν 2) + 4 = 2 + 4

φ = 2ω = = 2 2(ν 2) + 4 = 2 + 4 Γιατί οι μέλισσες κάου εξαγωικές τις κηρήθρες τους ; Χριστία Δασκαλάκη Α.Μ. 99 Ημερομηία παράδοσης 9-10-014 Θεωρούμε έα καοικό -γωο και σημειώουμε μια γωία του καθώς και τις γωίες του ισοσκελούς τριγώου

Διαβάστε περισσότερα

Κάνουμε πρώτα διαλογή και κατασκευάζουμε τον πίνακα συχνοτήτων: και επίσης κατασκευάζουμε το ραβδόγραμμα: Αυτοκίνητο Τραμ Τρόλεϊ Μετρό Λεωφορείο

Κάνουμε πρώτα διαλογή και κατασκευάζουμε τον πίνακα συχνοτήτων: και επίσης κατασκευάζουμε το ραβδόγραμμα: Αυτοκίνητο Τραμ Τρόλεϊ Μετρό Λεωφορείο .Στη ερώτηση με ποιο μέσο πηγαίετε στη δουλειά σας 0 άτομα απάτησα: αυτοκίητο, τραμ, τρόλεϊ, αυτοκίητο, λεωφορείο, τραμ, τραμ, αυτοκίητο, λεωφορείο, τραμ, τρόλεϊ, αυτοκίητο, τραμ, αυτοκίητο, μετρό, τρόλεϊ,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ. Τυχαίες µεταβητές Ποές φορές ε ένα πείραµα τύχης δεν µας ενδιαφέρει ο δειγµατοχώρος του ο οποίος όπως είδαµε µπορεί να είναι και µη-αριθµητικό ύνοο αά

Διαβάστε περισσότερα

Συµπληρωµατικές Ασκήσεις Στατιστικής ΙΙΙ

Συµπληρωµατικές Ασκήσεις Στατιστικής ΙΙΙ Boutsks MV 3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιτήµης, Πανεπιτήµιο Πειραιώς Συµπηρωµατικές Ακήεις Στατιτικής ΙΙΙ ΚΕΦΑΛΑΙΑ -3 Άκ Η κατανοµή των βαρών των µαθητών ενός χοείου είναι κανονική

Διαβάστε περισσότερα

4 e. υ (Γ) υ (Δ) 1 (Ε) 1+ i

4 e. υ (Γ) υ (Δ) 1 (Ε) 1+ i . Αν τα 4 6 8 δ, i, d, i και d αντιτοιχούν όλα το ίδιο αποτελεματικό επιτόκιο, τότε i 6 i 6 4 4 d 4 8 d 8 6 4 e δ (Α) 3 υ (Β) υ (Γ) υ (Δ) (Ε) + i . Ένα 0ετές αφαλιτικό προϊόν εγγυάται απόδοη 7% τα πρώτα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions)

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (amplig Distibutios) Ένα χαρακτηριτικό των επιτημονικών μελετών τις οποίες απαιτείται η χρήη των διαδικαιών της Στατιτικής Συμπεραματολογίας είναι η ύπαρξη τυχαιότητας

Διαβάστε περισσότερα

1 ΟΡΕ ΤΙΑ Α 1 3 3 ΤΡΙΓ Ο Ι ΑΙΑ 1 1 ΑΓΓΑΙΟ. Page 1 of 28

1 ΟΡΕ ΤΙΑ Α 1 3 3 ΤΡΙΓ Ο Ι ΑΙΑ 1 1 ΑΓΓΑΙΟ. Page 1 of 28 Ι Ο Α ΡΑ Α ΡΑ Α Ο ΑΤΟ. Ε ΡΟ Ο ΙΟ ΑΡΑ Ε ΤΙΟ ΡΟ Ο ΤΑ Η 1 ΡΑ Α 2 5 1 Ο ΑΤΟ 1 2 2 Α AM Α ΙΟ 1 1 1 ΑΤ Ε ΡΟ Ο ΙΟ 1 2 1 ΑΡΑ Ε ΤΙΟ 1 1 2 Ι Η ΟΡΟ 1 1 1 ΡΟ Ο ΤΑ Η 1 2 2 ΙΤΑΓΡ 1 1 9 15 Ε ΡΟ Α Ε Α ΡΟ Ο Η Ο ΙΟ Ι ΟΤΕΙ

Διαβάστε περισσότερα

Δηθνλνγξαθεκέλν Λεμηθό Σν Πξώην κνπ Λεμηθό

Δηθνλνγξαθεκέλν Λεμηθό Σν Πξώην κνπ Λεμηθό ΤΠΟΤΡΓΔΙΟ ΠΑΙΓΔΙΑ ΚΑΙ ΘΡΗΚΔΤΜΑΣΧΝ, ΠΟΛΙΣΙΜΟΤ ΚΑΙ ΑΘΛΗΣΙΜΟΤ Ι.Σ.Τ.Δ. «ΓΙΟΦΑΝΣΟ» Αή Δί Ηίο Γήο Μί Μά Ιί Αύ Δέ Λό Σ Πώ Λό Α, Β, Γ Γύ Σόο 1ο (Α, Β,) Δέ Λό Α, Β, Γ Γύ Σ Πώ Λό Σόο 1ο (Α, Β,) ΤΓΓΡΑΦΔΙ Αή Δί,

Διαβάστε περισσότερα

3. Βασικά µαθηµατικά µεγέθη, συµβολισµοί και σχέσεις

3. Βασικά µαθηµατικά µεγέθη, συµβολισµοί και σχέσεις ρ.χ. Στρουθόπουλος, e-mail: stch@teise.g ΑΤΕΙ Σερρώ 3. Βαικά µαθηµατικά µεγέθη, υµβολιµοί και χέεις 3.. Πίακας τήλης Α το πλήθος τω προτύπω, το πλήθος τω χαρακτηριτικώ που µετράµε ε κάθε πρότυπο και Τ

Διαβάστε περισσότερα

σ.π.π. της 0.05 c 0.1

σ.π.π. της 0.05 c 0.1 6 Έλεγχοι Υποθέεων Σε αρκετές εφαρµογές παρουιάζεται η ανάγκη λήψης αποφάεων χετικών µε την κατανοµή ενός πληθυµού Πιο υγκεκριµένα, ε πολλές περιπτώεις πρέπει, βάει ενός τδ Χ, Χ,, Χ από έναν πληθυµό µε

Διαβάστε περισσότερα

Δηθνλνγξαθεκέλν Λεμηθό Σν Πξώην κνπ Λεμηθό

Δηθνλνγξαθεκέλν Λεμηθό Σν Πξώην κνπ Λεμηθό ΤΠΟΤΡΓΔΗΟ ΠΑΗΓΔΗΑ ΚΑΗ ΘΡΖΚΔΤΜΑΣΩΝ, ΠΟΛΗΣΗΜΟΤ ΚΑΗ ΑΘΛΖΣΗΜΟΤ Η.Σ.Τ.Δ. «ΓΗΟΦΑΝΣΟ» Αή Δί Ζίαο Γήο Μαία Μά Ηία Αύα Δαέ Λό Σ Πώ Λό Α, Β, Γ Γύ Σόο 5ο (Ο, Π,) Δαέ Λό Α, Β, Γ Γύ Σ Πώ Λό Σόο 5ο (Ο, Π,) ΤΓΓΡΑΦΔΙ

Διαβάστε περισσότερα

είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους v,. Συχνότητα (απόλυτη) νi

είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους v,. Συχνότητα (απόλυτη) νi ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός λέγεται έα σύολο που θέλουμε α εξετάσουμε τα στοιχεία του ως προς έα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους Μεταβλητές λέγοται τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Υπόδειγμα αποτίμησης κεφαλαιακών Περιουσιακών Στοιχείων (CAPM)

Υπόδειγμα αποτίμησης κεφαλαιακών Περιουσιακών Στοιχείων (CAPM) άθημα 2 Υπόδειγμα αποτίμηης κεφαλαιακών Περιουιακών Στοιχείων (CAP) Ο υνολικός κίνδυνος μιας μετοχής διαχωρίζεται το υτηματικό κίνδυνο και το μη υτηματικό κίνδυνο Συτηματικός κίνδυνος : o κίνδυνος που

Διαβάστε περισσότερα

Εικονογραφημένο Λεξικό Το Πρώτο μου Λεξικό

Εικονογραφημένο Λεξικό Το Πρώτο μου Λεξικό ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ Ι.Τ.Υ.Ε. «ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ» Αγγή Εί Ηίς Δής Μί Μά Ιί Αύ Εγέ Λό Τ Πώ Λό Α, Β, Γ Δύ Τός 17ς (Χ, (ό) Ω,) Εγέ Λό Α, Β, Γ Δύ Τ Πώ Λό Τός 17ς (Χ, (ό)

Διαβάστε περισσότερα

Δηθνλνγξαθεκέλν Λεμηθό Σν Πξώην κνπ Λεμηθό

Δηθνλνγξαθεκέλν Λεμηθό Σν Πξώην κνπ Λεμηθό ΤΠΟΤΡΓΔΗΟ ΠΑΗΓΔΗΑ ΚΑΗ ΘΡΖΚΔΤΜΑΣΧΝ, ΠΟΛΗΣΗΜΟΤ ΚΑΗ ΑΘΛΖΣΗΜΟΤ Η.Σ.Τ.Δ. «ΓΗΟΦΑΝΣΟ» Αή Δί Ζίο Γήο Μί Μά Ηί Αύ Δέ Λό Σ Πώ Λό Α, Β, Γ Γύ Σόο 7ο (Σ, Τ, Φ, Υ, Φ,Φ Χ, Πά) Δέ Λό Α, Β, Γ Γύ Σ Πώ Λό Σόο 7ο (Σ, Τ,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΥΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΥΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΥΣ 1 01 Θετικοί ριθοί λέοτι οι ριθοί που έχου προστά τους το πρόσηο () 02 Αρητικοί ριθοί λέοτι οι ριθοί που έχου προστά τους το πρόσηο () 03 Το ηδέ είι θετικός ριθός. 04 Οόσηοι

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : 009-010 ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. 4 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευτρατία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M2 Κίνηση σε μία διάσταση

Κεφάλαιο M2 Κίνηση σε μία διάσταση ά ίίά ή άίώςςάςύς άςέύήάί ςήίίά ύί ίόςώςίήςήςές Εισαγωγή ίίς ή άέίίό ή άήςςύόάάς ά άήίόςύς Εισαγωγή έί ήέί ίίέάώήέώέ έάάόές Εισαγωγή έ έόςώςίί ίέά έίάς ύίςήός ήςέ ςέή ίήό ύςί άέςό ίίή ίάέςό ήύίί έήύ ίέ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΚΛΗΣΗ ΕΚΔΗΛΩΣΗΣ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΝΤΟΣ ΓΙΑ ΕΓΓΡΑΦΗ ΣΤΟ ΜΗΤΡΩΟ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ ΤΗΣ ΠΡΑΞΗΣ

ΠΡΟΣΚΛΗΣΗ ΕΚΔΗΛΩΣΗΣ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΝΤΟΣ ΓΙΑ ΕΓΓΡΑΦΗ ΣΤΟ ΜΗΤΡΩΟ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ ΤΗΣ ΠΡΑΞΗΣ ΠΡΟΣΚΛΗΣΗ ΕΚΔΗΛΩΣΗΣ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΝΤΟΣ ΓΙΑ ΕΓΓΡΑΦΗ ΣΤΟ ΜΗΤΡΩΟ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ ΤΗΣ ΠΡΑΞΗΣ Κατάρτιση, πιστοποίηση και συμβουλευτική με στόχο την ενδυνάμωση των δεξιοτήτων άνεργων νέων 18-24 ετών σε ειδικότητες του

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( ) Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ν ισχύει : ! + 2 2! + 3 3! + +ν ν! = (ν + 1)!

ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( ) Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ν ισχύει : ! + 2 2! + 3 3! + +ν ν! = (ν + 1)! ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ισχύει : 1 + 1 1! +! +! + +! = ( + 1)!. Να αποδείξτε ότι 6 10 [ ( 1) ] = ( + 1) ( + ) ( + ) (), για κάθε θετικό ακέραιο.. Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ R ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.2 ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ R ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ R ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ Σύμφωα με το ορισμό του R, η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός δύο μιγαδικώ αριθμώ γίοται όπως ακριβώς και οι ατίστοιχες πράξεις με διώυμα α + βx στο, όπου βέβαια ατί για

Διαβάστε περισσότερα

Α θ ή ν α, 7 Α π ρ ι λ ί ο υ

Α θ ή ν α, 7 Α π ρ ι λ ί ο υ Α θ ή ν α, 7 Α π ρ ι λ ί ο υ 2 0 1 6 Τ ε ύ χ ο ς Δ ι α κ ή ρ υ ξ η ς Α ν ο ι κ τ ο ύ Δ ι ε θ ν ο ύ ς Δ ι α γ ω ν ι σ μ ο ύ 0 1 / 2 0 1 6 μ ε κ ρ ι τ ή ρ ι ο κ α τ α κ ύ ρ ω σ η ς τ η ν π λ έ ο ν σ υ μ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑ ΜΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗΝ ΥΛΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΓΙΑ ΜΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗΝ ΥΛΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Περιοδικό ΕΥΚΕΙΔΗ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 7) ΕΡΩΤΗΕΙ ΚΑΤΑΝΟΗΗ ΓΙΑ ΜΙΑ ΕΠΑΝΑΗΨΗ ΤΗΝ ΥΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Α) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με () α είαι σωστές και με () α είαι λάθος, αιτιολογώτας

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικοί Ελεγχοι. t-έλεγχος για την σύγκριση των µέσων δύο πληθυσµών. Έλεγχος 5: Έλεγχος της οµοιογένειας δύο πληθυσµών µε διακυµάνσεις σ 1

Στατιστικοί Ελεγχοι. t-έλεγχος για την σύγκριση των µέσων δύο πληθυσµών. Έλεγχος 5: Έλεγχος της οµοιογένειας δύο πληθυσµών µε διακυµάνσεις σ 1 Στατιτικοί Ελεγχοι Έλεγχος 1: Ζ-Έλεγχος για τον µέο µ ενός πληθυµού Έλεγχος : t - Έλεγχος για τον µέο µ ενός πληθυµού Έλεγχος 3: I -τετράγωνο Έλεγχος για την διακύµανη Έλεγχος 4: t-έλεγχος για την ύγκριη

Διαβάστε περισσότερα

ή ί έ ά ς ς ί ς ές ές ό ές ά ς ή ύ έ ί ς ς ή ς ές ώ

ή ί έ ά ς ς ί ς ές ές ό ές ά ς ή ύ έ ί ς ς ή ς ές ώ ή ί ς ές ής ές ώ έ ής ά ς ίς έςές όέςάςή ύ έ ίς ς ής ές ώ έάςςίςέςές 1 όίόςέςάς έήίώάςάς ίς ώ ό ς άς ί ύ ό έ ς ά όά όςέςάςύάάς άςήώ ή ώ ή ά όςόίάύύςάάς ήςόςάςς άς ή ώ ή ά ός ί ά έ ή ές ά ά ς ής ό ς άς

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΡΓΑΣΙΩΝ. Κριτήρια διαιρετότητας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΡΓΑΣΙΩΝ. Κριτήρια διαιρετότητας ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΡΓΑΣΙΩΝ Κριτήρια διαιρετότητας 11 Κριτήρια διαιρετότητας 11 1η Άσκηση Να βρεις ποιοι από τους φυσικούς αριθμούς που είαι αάμεσα από το 120 και το 140 διαιρούται με: το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΕ ΑΚΗΕΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΤ-ΟΡΙΑ-ΤΝΕΧΕΙΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΕ ΑΚΗΕΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΤ-ΟΡΙΑ-ΤΝΕΧΕΙΑ (ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΑΚΗΕΙ ΚΑΙ ΑΠΟ ΣΗΝ ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ ΣΗ Ε.Μ.Ε) ΑΚΗΗ 1 Έςτω ςυνεήσ ςυνάρτηςη :RR, με (0)=2 η οποία ικανοποιεί τη ςέςη ( ) 4 = 6 ια κά ε R α) Να βρείτε τισ τιμέσ (2) και (-2) β) Να απο είξετε τι υπάρει

Διαβάστε περισσότερα

τις διαφορετικές μεταξύ τους τιμές της Y ( λ ν )

τις διαφορετικές μεταξύ τους τιμές της Y ( λ ν ) Διδιάστατες Καταομές Διδιάστατες Καταομές Πίαας συοτήτω διδιάστατης αταομής Θεωρούμε δύο τυαίες μεταβητές X, Y αι ζεύγη παρατηρήσεω,,,,,, από δείγμα μεγέθους Τόσο τα,,, όσο αι τα,,, δε είαι απαραιτήτως

Διαβάστε περισσότερα

Δηθνλνγξαθεκέλν Λεμηθό Σν Πξώην κνπ Λεμηθό

Δηθνλνγξαθεκέλν Λεμηθό Σν Πξώην κνπ Λεμηθό ΤΠΟΤΡΓΔΗΟ ΠΑΗΓΔΗΑ ΚΑΗ ΘΡΖΚΔΤΜΑΣΧΝ, ΠΟΛΗΣΗΜΟΤ ΚΑΗ ΑΘΛΖΣΗΜΟΤ Η.Σ.Τ.Δ. «ΓΗΟΦΑΝΣΟ» Αή Δί Ζίο Γήο Μί Μά Ηί Αύ Δέ Λό Σ Πώ Λό Α, Β, Γ Γύ Σόο 3ο (Ζ, Θ, Η, Κ,) Δέ Λό Α, Β, Γ Γύ Σ Πώ Λό Σόο 3ο (Ζ, Θ, Η, Κ,) ΤΓΓΡΑΦΔΙ

Διαβάστε περισσότερα

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1 Στατιτική υµπεραµατολογία για τη διαδικαία της ποιότητας Στο προηγούµενο κεφάλαιο κάναµε την παραδοχή και υποθέαµε ότι οι παράµετροι των κατανοµών των πιθανοτήτων άρα και οι παράµετροι της διαδικαίας ήταν

Διαβάστε περισσότερα

1. Υπάρχουν κανονικά πολύγωνα των οποίων οι εξωτερικές γωνίες είναι αµβλείες ; Απάντηση Ναι. Είναι το ισόπλευρο τρίγωνο

1. Υπάρχουν κανονικά πολύγωνα των οποίων οι εξωτερικές γωνίες είναι αµβλείες ; Απάντηση Ναι. Είναι το ισόπλευρο τρίγωνο .. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδς 37 38 Ερωτήσεις Κτόησης. Υπάρχου κοικά πολύγω τω οποίω οι εξωτερικές γωίες είι βλείες ; Απάτηση Νι. Είι το ισόπλευρο τρίγωο. Ποιο είι το πόστη κοικού πολυγώου περιγεγρέου

Διαβάστε περισσότερα

Εύρεση της πυκνότητας στερεών και υγρών

Εύρεση της πυκνότητας στερεών και υγρών Μ4 Εύεη της πυκότητας τεεώ και υγώ 1. Σκοπός Στη άκηη αυτή θα ποδιοίουµε πειαµατικά τη πυκότητα τεεού ώµατος τις πειπτώεις που είαι βυθιµέο το εό και ότα επιπλέει και τη υέχεια θα ποδιοίουµε τη πυκότητα

Διαβάστε περισσότερα

Κ Α Τ Α Σ Τ Α Τ Ι Κ Ο

Κ Α Τ Α Σ Τ Α Τ Ι Κ Ο Κ Α Τ Α Σ Τ Α Τ Ι Κ Ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Α Α. Σ Υ Σ Τ Α Σ Η - Ε Π Ω Ν Υ Μ Ι Α - Ε Δ Ρ Α - Δ Ι Α Ρ Κ Ε Ι Α Β. Μ Ε Λ Η Τ Ο Υ Σ Υ Ν Δ Ε Σ Μ Ο Υ Γ. Ο Ρ Γ Α Ν Α Δ Ι Ο Ι Κ Η Σ Η Σ Δ. Π Ο Ρ Ο Ι Τ Ο Υ Σ Υ Ν Δ Ε Σ Μ

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 2860) 3. Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων

Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 2860) 3. Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Μάθη: Γεωργικός Πειρτιός-Βιοετρί (Κω. 86) 3. Διτήτ Επιτούης κι Σττιτικοί Έλεγχοι Υποθέεω Σύτοη κόπηη βικώ εοιώ, προτάεω κι τύπω Διάτη επιτούης Ερηεί εός (-)% ιτήτος επιτούης ύφω ε τη ερηεί της πιθότητς

Διαβάστε περισσότερα

(πολλδ β) = πολλδ + ( 1) ν β ΕΥΣΤΡΑΤΙΟΣ ΚΩΣΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΘΟ ΙΚΟ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ

(πολλδ β) = πολλδ + ( 1) ν β ΕΥΣΤΡΑΤΙΟΣ ΚΩΣΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΘΟ ΙΚΟ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ Ορισµός: Λέµε ότι ο ακέραιος β 0διαιρεί το ακέραιο α και γράφουµε β/α, ότα η διαίρεση του α µε το β είαι τέλεια, δηλαδή υπάρχει κ Z τέτοιος ώστε α = κ β. Συµβολίζουµε ότι α = πολβ. Α ο β δε

Διαβάστε περισσότερα

αναφέρετε τις θεµελιώδεις υποθέσεις της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας προσδιορίσετε πώς µετασχηµατίζεται ένας τανυστής 2ης τάξης

αναφέρετε τις θεµελιώδεις υποθέσεις της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας προσδιορίσετε πώς µετασχηµατίζεται ένας τανυστής 2ης τάξης Σηειώσεις Ηλεκτροαγητισός και Σχετικότητα, Λ. Περιβολαρόπουλος Σκοπός ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ Λ. Περιβολαρόπουλος Σκοπός του κεφαλαίου είαι ια σύτοη αασκόπηση της ειδικής θεωρίας

Διαβάστε περισσότερα

ές ά ς ές ά ς ί ύ ό ί ό ς ές ά ς ός ός ύ ή ς ός ό ς ό ς ή ί ό ς ό ς ύ ί ς ώ ώ ΐ ός ό ς ής ά ά ί ά ό ύ ί ά έ ί ς ύς ής ής ί ί ς ή ά ός ά ς ί ς έ ς ό ς

ές ά ς ές ά ς ί ύ ό ί ό ς ές ά ς ός ός ύ ή ς ός ό ς ό ς ή ί ό ς ό ς ύ ί ς ώ ώ ΐ ός ό ς ής ά ά ί ά ό ύ ί ά έ ί ς ύς ής ής ί ί ς ή ά ός ά ς ί ς έ ς ό ς ίςύςής ής ίίςή άός ά ς ί ς ί έςάς έςάς ί ύό ά έςάς ός όή ίί ς ός ά ς ί ςίώώί ός ά ς ί ςίώώί ί ίός έςάςέςάς ύί ςώ ώΐ ό ό ς ί ής ά έςάς άίό ήίός ός ά ς ί ςίώώί ός ός ύή ς ί ς ής έ ί ά ίάό ςί ς ύ όά ύύ ός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο. Τι οοµάζεται συάρτηση ; Είαι µια διαδικασία µε τη οποία κάθε στοιχείο εός συόλου Α ατιστοιχίζεται σε έα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συόλου Β.. Ποιες είαι οι κυριότερες γραφικές παραστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Γωνία και κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου

Γωνία και κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου ΜΕΡΟΣ Β 3.2 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 327 3.2 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ Κατασκευή καοικώ πολυγώω Η διαδικασία κατασκευής εός καοικού πολυγώου µε πλευρές (καοικό -γωο) ακολουθεί τα εξής βήματα: 1ο Βήμα: 3 Υπολογίζουμε

Διαβάστε περισσότερα