Modeli analogni sistemi

Transcript

1 Modeli analogni sistemi

2 Sistemsko modeliranje Sistemsko modeliranje je prilično težak zadatak jer zahteva iskustvo, praksu i intuiciju da bi neko bio dobar modeler. Osnova za gradnju matematičkih modela su osnovni fizički zakoni poput zakona o održanju mase, energije i količine kretanja. U gotovo svim oblastima inženjerstva značajni napori su usmereni ka prikupljanju informacija o različitim aspektima performansi sistema i taj postupak se naziva sistemska analiza. Tradicionalno. sistemska analiza se izvodi na fizičkom sistemu koji je izložen testnim ulaznim signalima i posmatra se njegov odziv/reakcija. Međutim, ovo nije uvek izvodljivo, bilo da u nekom smislu parametri fizičkog sistema ne mogu da se variraju u odgovarajućem opsegu ili postoje ograničenja za primenu ulaznih testova (npr. u ljudskoj fiziologiji).

3 Model sistema U cilju prevazilaženja tih problema, razvija se uprošćena predstava sistema koji se analizira i naziva model sistema. Model sistema može biti ili mentalni, kada se izražava preko apstraktnih opisa odnosa između sistemskih promenljivih, ili formalni, kada se sistem (odnosno njegovo ponašanje) opisuje korišćenjem grafova, dijagrama i matematičkih jednačina izvedenih iz mentalnog modela. Formalni model je eksplicitniji od mentalnog i njegova implementacija na računaru proizvodi računarski model. Proces pravljenja modela počinje posmatranjem ponašanja realnog fizičkog modela i koristeći informacije kroz stručno promišljanje i literaturu izvodi se formalni model identifikovanjem elemenata modela i njihovih internih veza.

4 Po uspostavljanju formalnog dijagrama koji se odnosi na formalni model, definišu se diferencijalne jednačine modela i njihova implementacija se radi na računaru korišćenjem odgovarajućeg softvera. Računarski model se koristi za predviđanje ponašanja realnog sistema tako da se može nastaviti sa proverom modela poređenjem opaženog i predviđenog ponašanja i u slučaju neslaganja izvršiti podešavanja na formalnom modelu.

5 Oscilacije Veoma specifična vrsta kretanja se dešava kada na telo deluje sila proporcionalna otklonu tela od ravnotežnog položaja. Ukoliko je ta sila uvek usmerena ka ravnotežnom položaju, uspostavlja se "napred-nazad" kretanje oko tog položaja. Takvo kretanje se naziva periodično kretanje, harmonijsko kretanje, oscilovanje ili vibriranje. Primeri takve vrste kretanja su: ljuljanje na ljuljaški, kretanje klatna sata, vibriranje žica žičanih muzičkih instrumenata,...

6 ... Na primer, molekuli u telu koje je u čvrstom agregatnom stanju osciluju oko čvora kristalne rešetke (svog ravnotežnog stanja), elektromagnetni talasi (svetlost, radio talasi,... u svima postoje oscilacije električnog i magnetnog polja), kolo naizmenične struje (jačina struje i napon variraju sa vremenom na periodičan način),... Prosto harmonijsko kretanje je kretanje u kome je položaj tela sinusna funkcija vremena, što je slučaj kada se telo kreće bez gubitka mehaničke energije. U realnim mehaničkim sistemima međutim uvek postoji gubitak energije koji se manifestuje kao prigušenje oscilatornog kretanja.

7 Prosto harmonijsko kretanje Razmotrimo fizički sistem koji se sastoji od tela mase m okačenog na kraj opruge koja može da se kreće bez trenja po horizontali

8 ... Kada opruga nije ni istegnuta ni sabijena, telo je u tački određenoj sa x = 0, koja se naziva položajem ravnoteže sistema. Iz iskustva je poznato da kada se telo izvede iz ovog položaja, počinje da osciluje oko njega. Ukoliko otklon tela iz ravnotežnog položaja, koji se inače naziva elongacija označimo sa x, sila koja deluje na telo, težeći da ga vrati u taj položaj je

9 ... Ova sila se zove restituciona jer je uvek usmerena ka ravnotežnom položaju, odnosno uvek je suprotnog smera od pomeraja. Odgovarajuća jednačina kretanja, projektovana na x osu uz uvođenje (sopstvena kružna frekvencija harmonijskog ocilatora), postaje

10 ... a za opšte rešenje ima funkciju gde su A i ϕ konstante. Ilustracija ovakve zavisnosti elongacije tela od vremena se može dobiti pomoću uređaja prikazanog na sledećoj slici

11 ... Telo određene mase je zakačeno za oprugu i osciluje u vertikalnoj ravni. Dok se telo kreće oscilujući, papir se kreće pod pravim uglom u odnosu na pravac oscilovanja i za to vreme olovka koja je prikačena za telo opisuje talasastu liniju po papiru.

12 ... Da bi videli koji je fizički smisao konstanti A, w 0 i ϕ predstavimo grafički vremensku zavisnost elongacije x od vremena t

13 ... Amplituda kretanja je maksimalni otklon (elongacija) čestice. Konstanta w 0 se naziva ugaona frekvencija kretanja i ima jedinicu rad/s. Konstantni ugao ϕ, se naziva početna faza kretanja i određen je početnom vrednošću elongacije i brzinom čestice. U tom smislu argument trigonometrijske funkcije w 0 t + ϕ, se naziva faza oscilovanja.

14 ... Primetimo da je elongacija x, izražena preko trigonometrijske funicije - periodična funkcija vremena sa periodom 2p, odnosno da joj se vrednosti ponavljaju nakon određenog vremena. Period oscilovanja T je vreme potrebno telu da prođe jedan pun ciklus kretanja. U tom slučaju kažemo da je telo napravilo jednu punu oscilaciju. Ovakva definicija perioda zapravo kazuje da su vrednosti elongacije x u trenutku t i t + T jednake.

15 ... Obzirom da je elongacija zadata kosinusnom funkcijom, to znači da se faze u t i t + T razlikuju za 2π, odnosno da važi Odavde se dobija da je -> Recipročna vrednost perioda je frekvencija kretanja.

16 ... Frekvencija kretanja predstavlja broj oscilacija koje telo napravi u jedinici vremena: Jedinica za frekvenciju je s -1, ili herc (Hz).

17 ... Prvi izvod elongacije po vremenu daje brzinu oscilatora: Drugi izvod elongacije po vremenu daje ubrzanje oscilatora. Promena ovih funkcija prikazana je na sledećem slajdu.

18 ...

19 Matematičko klatno Matematičko klatno se sastoji od tela mase m (koje smatramo materijalnom tačkom) okačenog o tanku i neistegljivu nit, dužine l, u polju Zemljine teže (slika). Kretanje ovog tela, koje se odvija u vertikalnoj ravni, nakon izvođenja iz ravnotežnog položaja, se na dalje odvija pod dejstvom sile gravitacije. U slučaju da su uglovi otklona mali, ovakav sistem se kreće kao prost oscilator.

20 ...

21 ... Sile koje deluju na telo u ovom slučaju su sila zatezanja, F z, i gravitaciona sila mg. Tangencijalna komponenta sile zemljine teže mg sin θ, je uvek usmerena ka ravnotežnom položaju, θ = 0, odnosno uvek je suprotno usmerena od vektora pomeraja. Iz tog razloga je tangencijalna komponenta gravitacione sile, ustvari restituciona sila, tako da drugi Njutnov zakon, za kretanje po tangenti glasi

22 ... gde je s deo luka koji je prešlo telo mase m a znak - pokazuje da je tangencijalna sila usmerena ka ravnotežnom položaju. Kako za male uglove važi, s = Lθ, ta jednačina postaje Na prvi pogled ova jednačina ne opisuje linearno harmonijsko oscilovanje jer na desnoj strani ne stoji veličina od koje se traži izvod na levoj strani jednačine, već njen sinus.

23 ... Međutim, kako smo pretpostavili da je ugao otklona mali, sin θ se može aproksimirati sa θ, tako da jednačina kretanja matematičkog klatna postaje Kako ova jednačina ima formu jednačine koja opisuje kretanje linearnog harmonijskog oscilatora, zaključujemo da se, za male uglove otklona (amplitude), kretanje matematičkog klatna, svodi na linearno harmonijsko oscilovanje.

24 ... U skladu sa tim, rešenje poslednje diferencijalne jednačine je gde je θ max, maksimalna ugaona elongacija, a ugaona frekvencija je Na osnovu ovoga je period oscilovanja klatna

25 ... Razni aspekti harmonijskog oscilovanja se mogu bolje razumeti i objasniti ako se proanalizira analogija između njega i uniformnog kretanja po kružnici. Sledeća slika predstavlja šemu uređaja koji može da demonstrira ovu vezu. Lopta je zakačena za jedan kružni providni ram poluprečnika A, unutar koga može da vrši uniformno kretanje, pri čemu je odozgo osvetljena tako da prilikom kretanja baca senku na ekran. Očigledno je da će ovom prilikom, ukoliko se lopta kreće uniformno po kružnici-ramu, njena senka da vrši harmonijsko oscilovanje na ekranu.

26 ... Uniformno kretanje tačke P po kružnici i oscilatorno kretanje tačke Q

27 Električno oscilatorno kolo Jedan od najvažnijih primera oscilujućeg sistema imamo kod elektriciteta. Pojam naizmenične struje nije ništa drugo nego oscilujuća električna struja. Ukoliko formiramo strujno kolo koje se satoji od solenoida induktivnosti L i kondenzatora kapaciteta (slika) možemo napisati analognu diferencijalnu jednačinu kao kod mehaničkog harmonijskog oscilatora.

28

29 ... Napon na kondenzatoru kapaciteta C je V C = Q/C gde je Q naelektrisanje kondenzatora. Struja kroz kolo koje sadrži taj kondenzator je I = dq/dt ili Q = I dt gde znak minus označava da struja teče u takvom smeru da smanjuje naelektrisanje kondenzatora.

30 ... Indukovani napon na zavojnici (solenoidu) iznosi: Pošto je zbir padova napona u zatvorenom strujnom krugu jednak nuli dobijamo relaciju: To je upravo i diferencijalna jednačina oscilatornog kretanja spiralne opruge tako da rešenje dobijamo u istom obliku:

31 ... Promena naelektrisanja Q može se povezati sa promenom struje i dobiti izraz za promenu jačine naizmenične struje. Naravno ovaj primer je samo za idealno LC kolo. U svim realnim strujnim kolima postoji i termogeni otpor R na kojem je pad napona R*I = R* (dq/dt) i koji u diferencijalnoj jednačini dodaje linearni član i menja rešenje slično kao i u jednačinama kretanja mehaničkih oscilatora ukoliko se uzme u obzir sila trenja.

32 Analogni sistemi Da bi B služio kao model za A, dovoljno je da, u krajnjoj meri, jedna od izlaznih veličina sistema B u nekoj razmeri bude saglasna sa nekom od izlaznih veličina sistema A, ako se opaža određena saglasnost između uslova na ulazima tih sistema. Ovi zahtevi u pogledu modela mogu se napisati u vidu uslova B~A, ako se pri Y 1A (t) = k 1 Y 1B (k 0 t), Y 2A (t) = k 2 Y 2B (k 0 t),

33 među izlaznim koordinatama nalazi, u krajnjoj meri, jedan par X ia i X JB takvih da, ako se u nekom momentu t = t 0 ustanovi saglasnost stanja tih sistema, za bilo koji moment važi X ia {t} = kx jb {k 0 t) (3.2) gde su k, k 0, ki, k 2,... koeficijenti razmera. Sistemi, koji zadovoljavaju uslov (3.2), nazivaju se analogni sistemi.

34 Analogni su, na primer, takvi sistemi, kao klatno i električno oscilatorno kolo, čije izlazne veličine {X A Ugao odstupanja klatna od vertikalne ose i XB napon kondenzatora), pošto su izvedeni iz ravnotežnog stanja, a zatim prepušteni sami sebi, ostvaruju prigušene sinusne oscilacije, kao što je prikazano na sl. 3.5 (X Ap, X BP početne vrednosti promenljivih X A i XB).

35 Analogni sistemi A mehanički (klatno) B električni (oscilatorno kolo)

36 Postojanje analognih sistema je rezultat prisustva formalne sličnosti među nekim karakteristikama ponašanja homomorfnih modela sistema, različitih po svojoj prirodi i uređenju. Ta sličnost se javlja samo posle uprošćenja, koja idu dovoljno daleko, u procesu postavljanja homomorfnih modela polaznih sistema. Ako se pokuša da se odustane od nekih uprošćavanja, može se izgubiti analogija. Tako, na primer, ako se uzme u obzir suvo trenje u tački vešanja klatna ili emitovanje elektromagnetnih talasa u oscilatornom kolu, forme kretanja koordinata X A i XB neće biti analogne.

37 Analogne koordinate originala A i njegovog modela B (ili tačnije, koordinate homomorfnih modela A i B ) nazivaju se reprezentativne veličine. Veza između odgovarajućih reprezentativnih veličina daje se koeficijentima razmera k l, k 2,... Svaki od tih koeficijenata pokazuje koliko jedinica reprezentativne veličine modela dolazi na jedinicu mere odgovarajuće veličine originala.

38 U razmatranom primeru koeficijent razmere, koji povezuje napon kondenzatora s uglom otklona klatna, pokazuje koliko volti napona U c dolazi na jedan stepen otklona f> klatna. Ovaj koeficijent je izražen jedinicama (volt/stepen).

39 Razlika u razmerama vremena za procese koji se odvijaju u originalu i modelu, određuje se bezdimenzionalnim koeficijentom k 0, koji pokazuje koliko se puta procesi u modelu odvijaju brže nego u originalu. U tabeli 3.1 pokazani su neki analogni sistemi koji se koriste za modeliranje procesa u upravljanim sistemima.

40 Tabela 3.1 Analogni sistemi

41 Matematički model Opis sistema nekim formalnim jezikom naziva se njegovim matematičkim modelom, a omogućava da se izvedu zaključci o nekim karakteristikama ponašanja tog sistema, primenjujući formalnu proceduru nad njegovim opisom. Pošto matematički opis ne može biti sveobuhvatan i idealno tačan, matematički modeli ne opisuju realne sisteme već njihove uprošćene (homomorfne) modele.

42 Vidovi matematičkih modela su veoma raznovrsni: oni mogu predstavljati karakteristike sistema, zadate funkcionalnim zavisnostima ili graficima; jednačine, koje opisuju kretanja sistema; sl. tablice ili grafici prelaza sistema iz jednih stanja u druga i sl. Skup karakteristika indukcionog električnog motora

43 Primer matematičkog modela indukcionog električnog motora, zadatog u obliku skupa karakteristika koje povezuju obrtni moment motora M i njegovu ugaonu brzinu w za razne vrednosti napona napajanja U 1, U 2, Koristeći taj model može se predvideti, na primer, kako će se menjati ugaona brzina motora pri raznim opterećenjima i raznim vrednostima napona u napojnoj mreži.

44 Izraz Njutnovog zakona F = m m r 1 2, 2 gde su m 1 i m 2 mase materijalnih tačaka, koje se nalaze na rastojanju r jedna od druge, a F sila međusobnog dejstva među njima, može se smatrati matematičkim modelom sistema sastavljenog od dve materijalne tačke, pošto ta formula dozvoljava da se izvedu zaključci o njihovom uzajamnom dejstvu u različitim uslovima.

45 Ponašanje sistema, koji naizmenično prelaze u razna stanja, može biti zadato dijagramom ili tablicom prelaza. Tako se matematički model životnog ciklusa biljaka (u vrlo uprošćenom vidu) može predstaviti grafom, prikazanim na slici. Prikaz životnog ciklusa jednogodišnje biljke u vidu grafa

46 Ovde temena prikazuju stanje sistema, a strelice prelaze iz jednih stanja u druga. Sa a je označeno stanje»klica«, b»biljka«, c»rascvetana biljka«. Iz stanja c sistem može preći ili u stanje e»neoprašena biljka«, ili u stanje d»oprašena biljka«, što će kao rezultat dati ponovo početno stanje a»klica«. Niz pretvaranja, prikazan grafom, može biti zadat u obliku tabele, koja takođe može da služi kao matematički model razmatranog sistema.

47 Primetimo da iz stanja c sistem može da pređe ne samo u jedno, već u jedno od dva stanja: d i e, što pokazuje zavisnost prelaza od nekog faktora, u datom slučaju od toga da li je cvet oprašen.

48 Po svoj prilici, teško je uzeti u obzir sve uslove koji dovode do oprašivanja, i predvideti oprašivanje za svaku pojedinu biljku. Ali, za veliki broj biljaka može se na osnovu statističkih podataka oceniti srednja frekvenca oprašivanja. Tada odnos broja oprašenih biljaka prema njihovom ukupnom, dovoljno velikom, broju daje veličinu p, koja karakteriše verovatnoću da svaka biljka bude oprašena. Veličina 1- p je, očigledno, verovatnoća da svaka biljka ne bude oprašena.

49 Za sisteme čije ponašanje zavisi od slučajnih faktora, nije dovoljno samo pokazati u koje stanje sistem prelazi, već treba dati i verovatnoću, tog ili drugog, prelaza. Za razmatrani primer statistički model sistema će imati vid prikazan u tabeli

50 Primer Koji se skupovi niže nabrojanih objekata mogu smatrati skupovima originala i modela, i u kom smislu: a)knjiga, b)sunčev sistem, c)oscilatorno kolo, d)atom, e)klatno sata, f)gramofonska ploča, g)memorija računara.

51 Primer Odgovor: 1) Knjiga, gramofonska ploča, memorija računara. 2) Sunčev sistem, oscilatorno kolo, atom, klatno sata.

52 ?? * Materijal pripremljen za korišćenje u nekomercijalne obrazovne svrhe u skladu sa Članom 44. Zakona o autorskim i srodnim pravima - ("Sl. glasnik RS", br. 104/2009 i 99/2011)