Αλγόριθµοι για την παραγοντοποίηση ακεραίων αριθµών

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Αλγόριθµοι για την παραγοντοποίηση ακεραίων αριθµών"

Transcript

1 Αλγόριθµοι για την παραγοντοποίηση ακεραίων αριθµών Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης 3 Απριλίου 2006 Μέθοδος Συνεχών Κλασµάτων. Θεωρητικό Υπόβαθρο Συνεχών Κλασµάτων Περίληψη Στο κοµµάτι αυτό ϑα περιγράψουµε µία µέθοδο, η οποία οφείλεται στον Legendre για την εύρεση αρκετών b, τέτοιων ώστε να ισχύει b 2 mod n < 2 n. Η µέθοδος αυτή χρησιµοποιεί τη ϑεωρία των συνεχών κλασµάτων της οποίας ϑα κάνουµε µία σύντοµη εισαγωγή µε τα εντελώς απαραίτητα αποτελέσµατα, τα οποία και ϑα αποδείξουµε, χωρίς να τα ϑεωρήσουµε τετριµµένα. Θεωρούµε x R και κατασκευάζουµε το συνεχές κλάσµα αυτού, που ορίζεται αναδροµικά ως εξής : Εστω a 0 = [x], όπου [x] συµβολίζει το ακέραιο µέρος του αριθµού x, δηλαδή τον µεγαλύτερο ακέραιο που δεν υπερβαίνει το x (Για παράδειγµα [ 3.2] = 4, [2.6] = 2, [3] = 3 κ.τ.λ.). Θέτουµε x 0 = x a 0 και παίρνουµε a = [ ] > 0 και x = a. Για i > έστω a i = [ ] > 0 και x 0 x 0 x i x i = a i ή x i =. Οταν/Εαν ϐρούµε οτι ο είναι ακέραιος x i a i + x i x i τότε έχουµε x i = 0 και η διαδικασία σταµατά. εν είναι δύσκολο να δούµε οτι η διαδικασία σταµατά αν-ν ο x είναι ϱητός (διότι σε αυτή την περίπτωση, τα x i είναι ϱητοί αριθµοί µε αύξοντες παρανοµαστές). Ετσι λοιπόν, x = a 0 + x 0 = a 0 + a + x = a 0 + a + a 2 + x 2 Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Κρήτης

2 = = a 0 + a + a 2 + a 3 + a i + x i το οποίο συνήθως γράφεται στην πιο συνεπτυγµένη µορφή, x =< a 0, a,..., a i, x i >. Παράδειγµα. Θα αναπτύξουµε σε συνεχές κλάσµα τον αριθµό 2. Σύµφωνα µε τα παραπάνω a 0 = [ 2] = και x 0 = 2. Τότε a = [ 2 ] = [ 2 + ] = 2 και x = x 0 a = 2 2 = 2 και συνεχίζοντας παίρνουµε a i = 2 και x i = 2, i = 2, 3,... συνεπώς το ανάπτυγµα του αριθµού 2 σε συνεχές κλάσµα είναι το 2 =<, 2, 2, 2,... >. Ας υποθέσουµε οτι ο x είναι άρρητος. Εαν εφαρµόσουµε την παραπάνω µορφή µέχρι να πάρουµε τον i-οστό όρο και µετά σβήσουµε το x i, τότε παίρνουµε τον i-οστό συγκλίνων ϱητό στο x, έστω b i :=< a 0, a,..., a i >, µε (b i, ) = και > 0. Πρόταση Ισχύουν οι εξής αναγωγικοί τύποι : b 0 = a 0, c 0 =, b = a 0 a +, c = a και i 2 : b i = a i b i + b i 2, = a i + 2 Απόδειξη : Εύκολα επαληθεύουµε οτι οι παραπάνω τύποι ισχύουν για i = 0,, 2. Υποθέτουµε οτι ισχύουν για i = k 2. Είναι τότε x = a 0 + x i και x =< a, a 2,... >. Εστω r j, s j ακέραιοι µε (r j, s j ) = ώστε r j s j =< a, a 2,..., a j+ > (j = 0,,...), δηλαδή ο ϱητός στον οποίο αντιστοιχεί το συνεχές κλάσµα < a, a 2,..., a j+ >. Εφαρµόζουµε την υπόθεση της επαγωγής στους ακεραίους r j, s j και παίρνουµε : r k = a k r k 2 + r k 3 και s j = a k s k 2 + s k 3 Καθώς b j c j =< a 0, a,..., a j >= a 0 + (r j, s j ) =, παίρνουµε < a, a 2,..., a j > = a 0 + r j s j και b j = a 0 r j + s j, c j = r j (.) εν µπορούµε να προχωρήσουµε αµέσως στο επαγωγικό ϐήµα για i = k, καθώς ϑα εµφανιστεί το < a, a 2,..., a k > το οποίο δεν είναι ϕανερό µε τί ισούται σε σχέση µε τα b i, που εµείς γνωρίζουµε λόγω της υπόθεσης της επαγωγής. Για το λόγο αυτό ϐάζουµε στο παιχνίδι και το < a, a 2,..., a j+ >. 2

3 Θέτοντας j = k, έχουµε : b k = a 0 r k + s k = a 0 (a k r k 2 + r k 3 ) + (a k s k 2 + s k 3 ) = a k (a 0 r k 2 + s k 2 ) + (a 0 r k 3 + s k ) (.2) και c k = r k = a k r k 2 + r k 3. (.3) Για j = k, k 2, κάνοντας χρήση των σχέσεων., παίρνουµε b k = a 0 r k 2 + s k 2, c k = r k 2 b k 2 = a 0 r k 3 + s k 3, c k 2 = r k 3 (.4) και συνδιάζοντας τις.2,.3,.4 παίρνουµε οτι b k = a k b k + b k 2, c k = a k c k + c k 2 και έτσι ολοκληρώνεται η επαγωγή στο k. Πόρισµα. Προφανώς η ακολουθία των είναι γνησίως αύξουσα. Πρόταση 2 Ισχύει b i b i = ( ) i, i Απόδειξη : Για i = ισχύει καθώς b c 0 b 0 c = (a 0 a + ) a 0 a = = ( ) 0. Υποθέτουµε οτι ισχύει για i = k 2 δηλαδή b k c k b k c k = ( ) k. Τότε b k+ c k b k c k+ = (a k+ b k + b k )c k b k (a k+ c k + c k ) = b k c k b k c k = ( )(b k c k b k c k ) (υπόθ. επαγωγής) = ( )( ) k = ( ) k Πόρισµα.2 Ισχύει, b i b i = ( )i σχέση µε ). (Αρκεί να διαιρέσουµε την παραπάνω Πόρισµα.3 Απ το Πόρισµα.2, για τις υπακολουθίες b 2i c 2i, b 2i+ c 2i+ της b i, έχουµε : b 2i c 2i < b 2i+2 c 2i+2 και b 2i+ c 2i+ > b 2i+3 c 2i+3 (.5) (Λαµβάνοντας υπόψιν οτι η ακολουθία ϑετικών ακεραίων είναι γνησίως αύξουσα). 3

4 Πρόταση 3 Για κάθε ϕυσικό i 2 ισχύει : Απόδειξη : Για i = 2 έχουµε : x = x ib i + b i x i + (.6) x =< a 0, a, a 2 > = a 0 + a + a 2 = a 0 + a + x = a 0a + x a 0 + a + x = (a 0a + ) + x a 0 a + x και καθώς b = a 0 a +, b 0 = a 0, x = a, c 0 =, η παραπάνω γίνεται x = b + x b 0 c + x c 0 που είναι η.6 για i = 2. Εστω τώρα i 2 και έστω οτι η.6 ισχύει για i = k, δηλαδή x = x kb k + b k x k c k + c k. Στον ορισµό όµως του συνεχούς κλάσµατος, είχαµε πάρει x k = απ οπου, x = και η απόδειξη ολοκληρώθηκε. a k+ + x k+ b k + b k a k+ + x k+ c k + c k = b k + b k a k+ + b k x k+ c k + b k a k+ + b k x k+ = b k+ + b k x k+ c k+ + c k x k+ a k+ + x k+ Παρατήρηση : Είδαµε ότι η ακολουθία a i σταµατά εαν ο x είναι ϱητός. Μ- πορεί να δειχθεί επίσης ότι η a i γίνεται περιοδική αν-ν x Q( n), n δηλαδή ο x είναι της µορφής x + x 2 n, όπου x, x 2 Q και n. Συγκεκριµένα είδαµε το Παράδειγµα., για το 2. Παράδειγµα.2 Εαν αναπτύξουµε τον αριθµό 3 σε συνεχές κλάσµα ϑα πάρουµε 3 =<,, 2,, 2,, 2,, >. Σ αυτό το σηµείο ισχυριζόµαστε οτι τα ai, εναλλάσσονται µεταξύ του και του 2. Για να το αποδείξουµε αυτό, ας είναι x το άπειρο 4

5 συνεχές κλασµα στο δεξί µέλος, του οποίου οι όροι εναλλασσονται µεταξύ του και του 2, δηλαδή x =<,, 2,, 2, >. Τότε x = = }{{} x = x απ οπου λύνοντας ως προς x την δευτεροβάθµια εξίσωση που προκύπτει, παίρνουµε x = 3, όπως ακριβώς ϑέλαµε. Πρόταση 4 Ισχύει και b 0 < b 2 < < b 2k < < x < < b 2k+ < < b 3 < b c 0 c 2 c 2k c 2k+ c 3 c x b i < c 2 (.7) i Απόδειξη : Χρησιµοποιώντας τις Προτάσεις 2 και 3 έχουµε x b i = x i+b i + b i+ x i+ + + b i = b i+ b i + (x i+ + + ) ( ) i = (x i+ + + ) συνεπώς επειδή οι αριθµοί x i, είναι ϑετικοί για i, από την παραπάνω ισότητα και το Πόρισµα.3, έχουµε πράγµατι την ισχύ της πρώτης προς απόδειξη σχέσης και καθώς x b i = (x i+ + + ) < c 2 i b i Πόρισµα.4 Ισχύει lim = x i + (Η απόδειξη αυτού είναι άµεση εαν λάβουµε υπ όψιν την ανισότητα.7 και οτι η ακολουθία των είναι γνησίως αύξουσα.) Πρόταση 5 Εστω x > πραγµατικός, του οποίου η ανάπτυξη σε συνεχές κλάσµα έχει i-οστό συγκλίνων ϱητό στο x, το b i. Τότε i ισχύει b 2 i c x2 c 2 i < 2x. i Απόδειξη : b 2 i x2 c 2 i = c 2 i x b i x + b i 5

6 Εαν i άρτιος, τότε b i < x < b i+ και η παραπάνω σχέση γίνεται c 2 i x + b i x + b i < c 2 i x c 2 + b i = x + b i = x + b i < 2x (καθώς x > ). i Εαν i περιττός, τότε b i+ < x < b i οπότε x b i < b i b i+ = και τότε η παραπάνω σχέση γίνεται c 2 b i i x x+ b i < c 2 (x+ b i ) = i + (x + b i ) + Οµως b i b i+ + = + άρα b i + = b i+ + x + + άρα, συνεχίζοντας την προηγούµενη σχέση έχουµε + (x + b i ) < (2x + ) οπότε, + + < x απ όπου b i < (2x + ) 2x = 2x( + ) x + + (Ισχύει 2xc 2 i+ > + ) < 2x( + + ) + + 2x( ) = 0 Πρόταση 6 Εστω n ϑετικός ακέραιος ο οποίος δεν είναι τετράγωνο ακεραίου και b i, ο i-οστός συγκλίνων ϱητός της ανάπτυξης σε συνεχές κλάσµα του n. Τότε το υπόλοιπο της διαίρεσης του b 2 i modulo n (Το οποίο εµείς ϑεωρούµε οτι είναι µεταξύ του n/2 έως το n/2. ηλαδή επιτρέπουµε στο υπόλοιπο, να είναι και αρνητικός), είναι µικρότερο του 2 n. Απόδειξη : Εφαρµόζουµε την προηγούµενη πρόταση για x = n και παίρνουµε οτι b 2 i nc2 i < 2 n. Οµως b 2 i b2 i nc2 i (mod n) και συνεπώς αφού b 2 i nc2 i < 2 n άρα b 2 i (mod n) < 2 n. Παρατήρηση : Η τελευταία Πρόταση είναι και το κλειδί για τον αλγόριθµο παραγοντοποίησης µε συνεχή κλάσµατα που ϑα αναφέρουµε αµέσως µετά, διότι µας ϐεβαιώνει οτι µπορούµε να ϐρούµε µία ακολουθία απο b i, των οποίων τα τετράγωνα έχουν µικρά υπόλοιπα modulo n, παίρνοντας τους αριθµητές των συγκλίνοντων ϱητών στην ανάπτυξη του n σε συνεχές κλάσµα. Ας σηµειωθεί 6

7 οτι δεν χρειάζεται να ϐρούµε τον ακριβή συγκλίνοντα ϱητό, αλλά µας αρκεί µόνο ο αριθµητής b i modulo n. Συνεπώς το γεγονός οτι ο αριθµητής και ο παρανοµαστής του συγκλίνοντα ϱητού ϑα γίνουν γρήγορα πολύ µεγάλοι, δε µας ανησυχεί. εν χρειάζεται ποτέ να δουλέψουµε µε ακέραιους µεγαλύτερους από n 2 ( Οταν πολλαπλασιάσουµε ακεραίους modulo n)..2 Αλγόριθµος Παραγοντοποίησης ακεραίων µε χρήση Συνεχών Κλασµάτων Ορισµός. Βάση παραγόντων είναι ενα σύνολο B = {p, p 2,..., p h } διακεκριµένων πρώτων και µε το p να µπορεί να είναι το. Λέµε οτι το τετράγωνο ακεραίου b είναι Β-αριθµός (για δοσµένο n), εαν το ελάχιστο κατ απόλυτη τιµή πηλίκο του b 2 (mod n) µπορεί να γραφτεί ως γινόµενο αριθµών από το B. Παράδειγµα.3 Για n = 4633 και B = {, 2, 3}. Τα τετράγωνα των τριών ακεραίων 67, 68, 69 είναι B-αριθµοί διότι (mod 4633), (mod 4633), (mod 4633) και αντίστοιχα έχουµε 44 = , 9 = 3 2, 28 = 2 7. Ας συµβολίσουµε µε F h 2, τον διανυσµατικό χώρο πάνω από το σώµα µε δύο στοιχεία, το οποίο περιέχει h-άδες από το σύνολο {0, }. οσµένου του n και της ϐάσης παραγόντων Β η οποία περιέχει h αριθµούς, ϑα δείξουµε πώς ϑα αντιστοιχίσουµε ένα διάνυσµα ɛ F h 2 σε κάθε Β-αριθµό. Γράφουµε καταρχήν το b 2 (mod n) στη µορφή h j= p a j j και ϑέτουµε την j συντεταγµένη ɛ j, ίση µε a j (mod 2). Με άλλα λόγια ɛ j = 0 εαν ο a j είναι άρτιος, και ɛ j =, εαν ο a j είναι περιττός. Παράδειγµα.4 Στο παραπάνω παράδειγµα το διάνυσµα που αντιστοιχεί στο 67, είναι το {, 0, 0}, στο 68 είναι το {, 0, 0} και στο 69 είναι το {0,, 0}. Εστω τώρα ότι έχουµε κάποιους από τους Β-αριθµούς b 2 i (mod n), τέτοιους ώστε τα αντίστοιχα διανύσµατα ɛ i = {ɛ i, ɛ i2,..., ɛ ih } όταν προστεθούν δίνουν το µηδενικό διάνυσµα του F h 2. Τότε προφανώς το γινόµενο των ελαχίστων (κατ απόλυτη τιµή) υπολοίπων b 2 i (mod 2), είναι ίσο µε ένα γινόµενο αρτίων δυνάµεων όλων των p j B, το οποίο σηµαίνει οτι εαν i, συµβολίσουµε µε a i το ελάχιστο κατ απόλυτη τιµή υπόλοιπο b 2 i (mod n) και γράψουµε a i = h j= p a ij j, τότε παίρνουµε ai = h j= P i p a ij j µε τον εκθέτη του κάθε πρώτου p j στο δεξί µέλος της παραπάνω, να είναι άρτιος. Τότε το δεξί µέλος, είναι τετράγωνο του j pγ j j µε γ j = 2 i a ij. Εαν ϑέσουµε λοιπόν b = i b i (mod n) (παίρνουµε το ελάχιστο κατ απόλυτη τιµή υπόλοιπο) και c = i pγ j j (mod n) (παίρνουµε το ελάχιστο κατ απόλυτη τιµή υπόλοιπο και 7

8 πάλι), παίρνουµε δύο αριθµούς b, c που ενώ κατασκευάστηκαν µε διαφορετικό τρόπο (ο ένας ως γινόµενο των b i και ο άλλος ως γινόµενο των p j ), έχουν b 2 c 2 (mod n). Εαν λοιπόν b ±c (mod n) τότε έχουµε ϐρει ένα µη τετριµµένο διαιρέτη του n παίρνοντας το (b + c, n) ή το (b c, n). Εαν όµως b ±c (mod n), τότε χρειάζεται να επαναλάβουµε τη διαδικασία µεγαλώνοντας την ϐάση παραγόντων Β που αρχικά απιλέξαµε. Αλγόριθµος Παραγοντοποίησης Ας ϑεωρήσουµε n ένα ακέραιο τον οποίο ϑέλουµε να παραγοντοποιήσουµε. Ολες οι πράξεις παρακάτω ϑα γίνουν modulo n παίρνοντας το ελάχιστο µη αρνητικό υπόλοιπο (ή το ελάχιστο κατ απόλυτη τιµή υπόλοιπο, στο Βήµα 3 του Αλγορίθµου). Θέτουµε αρχικά b =, b 0 = a 0 = [ n] και τέλος x 0 = n a 0. Λογαριάζουµε το b 2 0 (mod n) (το οποίο ϑα είναι το b2 0 n). Αµέσως µετά για i =, 2,... ακολουθούµε τα παρακάτω ϐήµατα διαδοχικά :. Θέτουµε a i = [ x i ] και µετά xi = x i a i. 2. Υπολογίζουµε το b i = a i b i + b i 2 (mod n). 3. Υπολογίζουµε το b 2 i (mod n). Κάνοντας τον υπολογισµό αυτό για µερικά i, διάλεξε εκείνους τους αριθµούς στο ϐήµα 3, οι οποίοι παραγοντοποιούνται ± ως γινόµενο µικρών πρώτων και πάρε µία ϐάση παραγόντων B που να περιέχει το, καθώς επίσης και τους πρώτους που εµφανίζονται περισσότερες από µία ϕορές στο b 2 i (mod n) (ή που εµφανίζονται σε άρτια δύναµη σε ένα και µόνο b 2 i (mod n)). Κάνε µετά µία λίστα που να περιέχει τους αριθµούς b 2 i (mod n) απ τους οποίους προέκυψε η ϐάση B, και τα αντίστοιχα διανύσµατα ɛ, που να περιέχουν µηδενικά και άσσους, τα οποία είναι τα διανύσµατα ανάλυσης του αριθµού στην ϐάση B που έχουµε επιλέξει. Εαν είναι δυνατόν, να ϐρεθεί ένα υποσύνολο αυτών των αριθµών, των οποίων το άθροισµα των αντίστοιχων διανύσµάτων να κάνει µηδέν modulo κάποιο οποιοδήποτε αριθµό που διαλέγω. Θέτουµε b = b i (δουλεύοντας modulo n και παίρνοντας το γινόµενο πάνω από το υποσύνολο για το οποίο γ ɛ = 0). Θέτουµε c = p j j, όπου τα p j είναι στοιχεία του B (εκτός του ), και γ j = 2 aij. Εαν b ±c (mod n), τότε ψάχνουµε για κάποιο άλλο υποσύνολο δεικτών i τέτοιων ώστε ɛi = 0. Εαν κάτι τέτοιο δεν είναι εφικτό, τότε πρέπει να υπολογίσουµε κι άλλα a i, b i και b 2 i (mod n), ώστε να µεγαλώσουµε την ϐάση παραγόντων Β. Παρατήρηση : Για να µπορούµε εύκολα να υπολογίζουµε το c = p γ j j, είναι αρκετό εαν για κάθε Β-αριθµό b 2 i (mod n) πάρουµε το διάνυσµα αi = {..., a ij,...} j αντί του ɛ i, το οποίο είναι ίδιο µε το α i υπολογισµένο (mod 2). 8

9 Παράδειγµα.5 Θα χρησιµοποιήσουµε τον παραπάνω αλγόριθµο για να παραγοντοποιήσουµε τον αριθµό Κάνουµε καταρχήν µία λίστα µε τα a i, b i (όπου b i, είναι το ελάχιστο µη αρνητικό υπόλοιπο modulo n του a i b i + b i 2 ) καθώς επίσης και το ελάχιστο κατ απόλυτη τιµή υπόλοιπο modulo n του b 2 i : i a i b i b 2 i (mod n) (48 = 2 4 3, 87 = 3 29, 27 = 3 3 ) Παρατηρώντας λοιπόν την τελευταία γραµµή του παραπάνω πίνακα ϐλέπουµε οτι είναι λογικό να πάρουµε ως ϐάση παραγόντων Β={, 2, 3, 7}. Τότε το b 2 i (mod n) είναι Β-αριθµός για i = 0, 2, 4. Τα αντίστοιχα διανύσµατα α i, είναι {, 4,, 0}, {, 0, 0, } και {, 0, 3, 0}. Το άθροισµα του πρώτου και τρίτου διανύσµατος είναι µηδέν modulo 2. ιαλέγουµε λοιπόν b = (mod 9073), και c = = 36. Συνεπώς µε αυτό τον τρόπο έχουµε (mod 9073) και καθώς 3834 ±36 (mod 9073), παίρνουµε τον µη τετριµµένο παράγοντα ( , 9073) = 43. Τελικά λοιπόν 9073 = Παράδειγµα.6 Θα παραγοντοποιήσουµε τον αριθµό Οπως και στο προηγούµενο παράδειγµα ϕτιάχνουµε τον ίδιο πίνακα : i a i b i b 2 i (mod n) (84 = , 56 = 2 3 7, 64 = 2 6, 6 = 7 23) Εαν ϑέσουµε Β={, 2, 7, 23}, τότε έχουµε Β-αριθµούς όταν i = 0, 2, 4, 5. Τα αντίστοιχα διανύσµατα α i, είναι {, 3, 0, }, {, 3,, 0}, {, 6, 0, 0}, {0, 0,, }. Το άθροισµα του πρώτου, δεύτερου και τέταρτου από αυτά τα διανύσµατα είναι µηδέν modulo 2. Εντούτοις υπολογίζουµε οτι b = (mod 7873) και οτι c = = 288 και έτσι ϐρίσκουµε οτι b c (mod 7873). Συνεπώς πρέπει να ϐρούµε κι άλλους Β-αριθµούς των οποίων τα αντίστοιχα διανύσµατα ϑα έχουν άθροισµα 0 modulo 2. Συνεχίζοντας τον παραπάνω πίνακα για µερικά ακόµη i παίρνουµε : i a i 2 b i b 2 i (mod n) (77 = 7, 88 = 2 3 ) 9

10 Εαν προσθέσουµε στην ϐάση παραγόντων Β, τον αριθµό, δηλαδή Β= {, 2, 7,, 23}, τότε για i = 0, 2, 4, 5, 6, 8 παίρνουµε Β-αριθµούς, µε αντίστοιχα διανύσµατα α i τα {, 3, 0, 0, }, {, 3,, 0, 0}, {, 6, 0, 0, 0}, {0, 0,, 0, }, {, 0,,, 0}, {, 3, 0,, 0}. Το άθροισµα του δεύτερου, τρίτου, πέµπτου και έκτου είναι 0 modulo 2. Τέλος b = 7272, c = 4928, και έτσι ϐρήκαµε ένα µη τετριµµένο διαιρέτη του 7873, τον ( , 7873) = 6 και έτσι 7873 = rho Μέθοδος του Pollard Περίληψη Ας υποθέσουµε οτι ένας αρκετά µεγάλος ακέραιος n είναι σύνθετος. Για παράδειγµα έχουµε ϐρει οτι κάποιο από τα primality tests που έχουµε αναφέρει εως τώρα αποτυγχάνει. Αυτό ϐέβαια δεν συνεπάγεται οτι γνωρί- Ϲουµε για το τί ιδιότητες έχει ο παράγοντας του n. Μόνο ο πολύ αργός αλγόριθµος που εξετάζει όλους τους διαδοχικούς πρώτους µέχρι το n µας δίνει αποτέλεσµα για το αν ο n είναι πρώτος ή σύνθετος και εαν n σύνθετος τότε µας λέει και τους παράγοντές του. Στην πραγµατικότητα ο αλγόριθµος αυτός µας δίνει ένα πρώτο παράγοντα στον ίδιο χρόνο που µας λέει εαν είναι σύνθετος ή όχι. Ολοι οι υπόλοιποι αλγόριθµοι οι οποίοι είναι γρηγορότεροι µας λένε µεν οτι ο n έχει κάποιο γνήσιο παράγοντα αλλά δε µας δίνουν περισσότερες πληροφορίες για το ποιός είναι. Η µέθοδος που εξετάζει όλους τους διαδοχικούς πρώτους µέχρι το n παίρνει περισσότερο χρόνο απο O( n) 2-αδικές πράξεις. Ο απλούστερος αλγόριθµος παραγοντοποίησης, ο οποίος είναι πολύ ταχύτερος από τον προηγούµενο, είναι του J.M. Pollard "H rho µέθοδος. Το πρώτο ϐήµα στη rho µέθοδο είναι να διαλέξουµε µία εύκολα υπολογίσιµη απεικόνιση από το Z n στον εαυτό του και συγκεκριµένα ένα απλό πολυώνυµο µε ακέραιους συντελεστές (π.χ. f(x) = x 2 + ). Στο επόµενο ϐήµα διαλέγουµε ένα συγκεκριµένο x = x 0 [συνήθως παίρνουµε το ή το 2 είτε διαλέγουµε το x 0 µε κάποιο τρόπο τυχαίο (randomly generated integer)], και υπολογίζουµε διαδοχικά τις συνθέσεις της f στο x: x = f(x 0 ), x 2 = f(f(x 0 )), x 3 = f(f(f(x 0 ))), κ.ο.κ. το οποίο σηµαίνει οτι ορίζουµε : x j+ = f(x j ), j = 0,, 2,... Μετά κάνουµε σύγκριση µεταξύ των διαφορετικών x j, ελπίζοντας οτι ϑα ϐρούµε δύο οι οποίοι ανήκουν σε διαφορετική κλάση υπολοίπων modulon, αλλά στην ίδια κλάση modulo κάποιο διαιρέτη του n. Μόλις ϐρούµε τέτοια x j, x k, έχουµε τελειώσει καθώς (x j x k, n) = m, όπου m ένας γνήσιος διαιρέτης του n. Παράδειγµα 2. Ας παραγοντοποιήσουµε το 9 µε την παραπάνω µέθοδο διαλέγοντας f(x) = x 2 +, x 0 =. Τότε x = 2, x 2 = 5, x 3 = 26, κ.τ.λ. Βρίσκουµε οτι (x 3 x 2, n) = (2, 9) = 7 άρα το 7 είναι διαιρέτης του 9. Οπωσδήποτε αυτό είναι τετριµµένο παράδειγµα, το οποίο ϑα µπορούσαµε να το λύσουµε εξίσου γρήγορα δοκιµάζοντας τους πρώτους τους µικρότερους του 9. 0

11 Στη rho µέθοδο είναι σηµαντικό να διαλέξουµε ένα πολυώνυµο f(x) το οποίο απεικονίζει το Z n στον εαυτό του µε τρόπο ανεξάρτητο, τυχαίο. Για παράδειγµα ϑα δείξουµε αργότερα οτι το f(x) δεν πρέπει να είναι ένα γραµµικό πολυώνυµο, καθώς επίσης να µη δίνει µία απεικόνιση. Ας υποθέσουµε λοιπόν οτι η f(x) είναι µία τυχαία απεικόνιση του Z n στο Z n, και υπολογίζουµε πόσο χρόνο πρέπει να περιµένουµε πριν ϐρούµε δύο συνθέσεις x j, x k τέτοιες ώστε η διαφορά x j x k να είναι µη τετριµµένος διαιρέτης του n. Το κάνουµε αυτό παίρνοντας ένα συγκεκριµένο διαιρέτη r του n (ο οποίος στην πράξη, δεν είναι γνωστός ακόµη) και υπολογίζουµε µία προσέγγιση του πρώτου δείκτη k για τον οποίο υπάρχει j < k µε x j < x k (mod r). Με άλλα λόγια ϑεωρούµε την απεικόνιση f(x) από το Z n στο Z n και Ϲητούµε να ϐρούµε πόσες συνθέσεις χρειάστηκαν πριν ξαναβρούµε την πρώτη επανάληψη των τιµών x k = x j στο Z n. Πρόταση 7 Εστω S ένα σύνολο µε r στοιχεία και µία απεικόνιση f : S S και x o S. Εστω x j+ = f(x j ) για j = 0,, 2,.... Θεωρούµε λ ένα ϑετικό ακέραιο αριθµό και l = + [ 2λr]. Τότε η αναλογία Ϲευγών (f, x o ) για τα οποία τα x 0, x,..., x l είναι διακεκριµένα και η f διατρέχει όλες τις δυνατές απεικονίσεις από το S στο S και το x 0 διατρέχει όλα τα στοιχεία του S, είναι µικρότερη από e λ. Απόδειξη : Ο συνολικός αριθµός Ϲευγών είναι r r+ καθώς υπάρχουν r επιλογές για το x 0 και για κάθε ένα από τα r διαφορετικά x S, υπάρχουν r επιλογές για το f(x) (Γνωρίζουµε οτι εαν f : S S είναι µία απεικόνιση και S = r τότε οι δυνατές συναρτήσεις που µπορώ να κατασκευάσω είναι r r ). Πόσα Ϲεύγη (f, x 0 ) υπάρχουν για τα οποία τα x 0, x,..., x l είναι διακεκριµένα; Υπάρχουν r επιλογές για το x 0, r επιλογές για το f(x 0 ) = x (αφού αυτό δεν µπορεί να είναι ίσο µε το x 0 ),r 2 επιλογές για το f(x ) = x 2, και συνεχίζοντας έτσι µέχρι να οριστεί η f για x = x 0, x,..., x l. Τότε η τιµή για κάθε ένα x από τα υπόλοιπα r l που µένουν, είναι αυθαίρετη, δηλάδή υπάρχουν r r l επιλογές για τις τιµές αυτές. Συνεπώς ο συνολικός αριθµός των επιλογών του x 0 και των τιµών f(x) έτσι ώστε τα x 0, x,..., x l να είναι διακεκριµένα είναι r r l l (r j) j=0 και η αναλογία Ϲευγών που έχουν την παραπάνω ιδιότητα (δηλαδή ο παραπάνω αριθµός όταν διαιρεθεί µε το r r+ ), είναι r l l (r j) = j=0 l ( j r ) Μένει λοιπόν να δείξουµε οτι ο λογάριθµος του παραπάνω είναι µικρότερος από λ (όπου l = + [ 2λr]). Για να το αποδείξουµε αυτό παίρνουµε το λογάριθµο j=

12 του δεξιού µέλους και χρησιµοποιούµε και το γεγονός ότι log( x) < x για 0 < x <. Ετσι έχουµε log όπως ακριβώς ϑέλαµε. l ( j l r ) < ( j l(l + ) ) = r 2r j= < l2 2r < ( 2λr) 2 = λ 2r j= Η σηµασία της Πρότασης αυτής είναι οτι δίνει µία εκτίµηση για τον πι- ϑανό χρόνο που χρειάζεται η rho µέθοδος, εφόσον ϑεωρήσουµε δεδοµένο οτι το πολυώνυµό µας συµπεριφέρεται περίπου σαν µία απεικόνιση από το Z n στο Z n. Θα κάνουµε µία µικρή ϐελτίωση της rho µεθόδου ώστε να είναι αποτελεσ- µατικότερη. Ας ϑυµηθούµε καταρχήν οτι η rho µέθοδος δουλεύει υπολογίζοντας τις διαδοχικές συνθέσεις x k = f(x k ) και συγκρίνει το x k µε τα προηγούµενα x j µέχρι να ϐρει ένα Ϲεύγος που ικανοποιεί την (x k x j, n) = r >. Οταν όµως το k µεγαλώσει αρκετά τότε είναι αρκετά χρονοβόρο να υπολογίζουµε το (x k x j, n) για κάθε j < k. Θα περιγράψουµε τώρα ένα τρόπο ώστε να χρειάζεται για κάθε k, να υπολογίζουµε κάθε ϕορά µόνο ένα Μ.Κ... Καταρχήν παρατηρούµε οτι εαν υπάρχει Ϲεύγος (k 0, j 0 ), τέτοιο ώστε x k0 x j0 (mod r) για κάποιο διαιρέτη r n τότε έχουµε την ίδια σχέση x k x j (mod r) για κάθε Ϲεύγος δεικτών j, k που έχουν την ίδια διαφορά k j = k 0 j 0. Για να το δούµε αυτό, απλά ϑέτουµε k = k 0 + m, j = j 0 + m και εφαρµόζουµε επανειληµµένως την συνάρτηση f και στα δύο µέλη της x k0 x j0 (mod r), m ϕορές. Θα περιγράψουµε τώρα πώς δουλεύει ο αλγόριθµος για την rho µέθοδο. Υπολογίζουµε διαδοχικά τα x k και για κάθε k προχωράµε ως εξής : Ας υποθέσουµε οτι ο k είναι ένας (h + )-ψήφιος αριθµός στο 2-αδικό σύστηµα (δηλαδή έχει όπως λέµε (h + )-bits) οπότε 2 h k < 2 h+ και έστω j ο µεγαλύτερος αριθµός µε h-bits δηλαδή j = 2 h. Συγκρίνουµε το x k µε αυτό το συγκεκριµένο x j, δηλαδή υπολογίζουµε το (x k x j, n). Εαν ο Μ.Κ.. δώσει ένα µη τετριµµένο παράγοντα του n σταµατούµε. ιαφορετικά προχωράµε στο k +. Αυτή η λίγο παραλαγµένη µορφή της µεθόδου έχει το πλεονέκτηµα οτι υπολογί- Ϲουµε µόνο ένα Μ.Κ.. για κάθε ακέραιο k. Εχει όµως το µειονέκτηµα οτι πιθανόν να µη ϐρει πότε για πρώτη ϕορά έχουµε κάποιο k 0, µε (x k0 x j0, n) = r > για κάποιο j 0 < k 0. Παρόλ αυτά κάποια στιγµή (όχι µετά από πολύ χρόνο), ϑα ϐρούµε ένα τέτοιο Ϲεύγος x k, x j του οποίου η διαφορά ϑα έχει κάποιο κοινό διαιρέτη µε το n. ηλαδή, ας υποθέσουµε οτι ο k 0 έχει (h + )-bits. Θέτουµε τότε j = 2 h+ και k = j + (k 0 j 0 ) στην οποία περίπτωση το j είναι ο µεγαλύτερος ακέραιος µε (h + )-bits και ο k είναι ένας ακέραιος µε (h + 2) bits ώστε να ισχύει (x k x j, n) >. Ας σηµειωθεί οτι k < 2 h+2 = 4 2 h 4k 0. 2

13 Παράδειγµα 2.2 Ας επιστρέψουµε και πάλι στο παράδειγµα 2. αλλά ας συγκρίνουµε κάθε x k µόνο µε το αντίστοιχο x j, το οποίο j είναι ο µεγαλύτερος ακέραιος < k της µορφής 2 h. Για n = 9, f(x) = x 2 +, x 0 = έχουµε x = 2, x 2 = 5, x 3 = 26 όπως πριν, και x 4 = 40 (αφού (mod 9)). Ακολουθώντας τον αλγόριθµο που περιγράψαµε παραπάνω, ϐρίσκουµε για πρώτη ϕορά ένα παράγοντα του n όταν υπολογίσουµε το (x 4 x 3, n) = (4, 9) = 7. Παράδειγµα 2.3 Θα παραγοντοποιήσουµε τον αριθµό 4087 χρησιµοποιώντας το f(x) = x 2 + x + και x 0 = 2. Οι υπολογισµοί µας σύµφωνα µε τον παραπάνω αλγόριθµο ϕαίνονται παρακάτω x = f(2) = 7; (x x 0, n) = (7 2, 4087) = x 2 = f(7) = 57; (x 2 x, n) = (57 7, 4087) = x 3 = f(57) = 3307; (x 3 x, n) = (3307 7, 4087) = x 4 = f(3307) 2745 (mod 4087); (x 4 x 3, n) = ( , 4087) = x 5 = f(2745) 343 (mod 4087); (x 5 x 3, n) = ( , 4087) = x 6 = f(343) 2626 (mod 4087); (x 6 x 3, n) = ( , 4087) = x 7 = f(2626) 3734 (mod 4087); (x 7 x 3, n) = ( , 4087) = 6 Αρα λοιπόν το 6 είναι διαιρέτης του 4087 και έτσι παίρνουµε 4087 = Παρατήρηση : Ενας άλλος τρόπος προσέγγισης του ίδιου αλγορίθµου είναι να λογαριάσουµε για k 2, τις διαφορές x 2k 2 x k. Επειτα αρκεί να λογα- ϱιάσουµε τον Μ.Κ.. των παραπάνω διαφορών µε το n καθώς όπως αναφέραµε προηγουµένως, εαν υπάρχει κάποιο Ϲεύγος δεικτών k 0, j 0, για τους οποίους να έχουµε x k0 x j0 (mod n), τότε ισχύει x k x j (mod n), για k, j µε k j = k 0 j 0. Συνεπώς εαν ϐρούµε < (x 2k 2 x k, n) < n για κάποιο k = 2, 3,... τότε έχουµε ϐρεί ένα γνήσιο διαιρέτη του n, ενώ εαν (x 2k 2 x k, n) = n για κάποιο k, τότε επιλέγουµε κάποιο διαφορετικό x 0 ή κάποιο διαφορετικό πολυώνυµο f(x) για τους υπολογισµούς µας. 3

14 Αναφορές [] N. Koblitz, A Course in Number Theory and Cryptography, Second Edition (994) p [2] A. Menezes, P. van Oorschot and S. Vanstone, Handbook of Applied Cryptography. Fifth Printing (200) p [3] S. Archava, Pollard s rho method using Maple, archava/math490.html [4] Ι. Αντωνιάδης, ιαλέξεις µαθηµάτων στα Συνεχή Κλάσµατα [5] Κ. Λάκκης, Θεωρία Αριθµών (980) [6] Κ. Λάκκη-Γ.Τζιντζή, Ασκήσεις Θεωρίας Αριθµών (99) [7]. Πουλάκης, Θεωρία αριθµών : Μια σύγχρονη ϑεώρηση της κλασσικής Θεω- ϱίας Αριθµών (997) [8] Θ. Ν. Καζαντζή, Θεωρία Αριθµών, Β Εκδοση (997) 4

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΛΟΓΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ #6 ΘΕΟ ΟΥΛΟΣ ΓΑΡΕΦΑΛΑΚΗΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΛΟΓΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ #6 ΘΕΟ ΟΥΛΟΣ ΓΑΡΕΦΑΛΑΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΛΟΓΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ #6 ΘΕΟ ΟΥΛΟΣ ΓΑΡΕΦΑΛΑΚΗΣ 1. Το προβληµα του διακριτου λογαριθµου Στο µάθηµα αυτό ϑα δούµε κάποιους αλγόριθµους για υπολογισµό διακριτών λογάριθµων. Θυµίζουµε ότι στο

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές»

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α)

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt01b/nt01b.html Πέµπτη 1 Οκτωβρίου 01 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 13 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: L p Σύγκλιση Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creaive Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµοί Liouville. Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης

Αριθµοί Liouville. Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης Αριθµοί Liouville Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης Εισαγωγή Η ϑεωρία των υπερβατικών αριθµών έχει ως αφετηρία µια ϕηµισµένη εργασία του Liouville, το 844, ο οποίος περιέγραψε µια κλάση πραγµατικών αριθµών οι οποίοι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρα. Ενότητα: Πολυώνυµα πολλών µεταβλητών - ο αλγόριθµος της διαίρεσης. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Αλγεβρα. Ενότητα: Πολυώνυµα πολλών µεταβλητών - ο αλγόριθµος της διαίρεσης. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Πολυώνυµα πολλών µεταβλητών - ο αλγόριθµος της διαίρεσης Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης 6 Απριλίου 2006 Περίληψη Θέµα της εργασίας αυτής, είναι η απόδειξη οτι η εξίσωση x 3 + y 3 = z 3 όπου xyz 0,

Διαβάστε περισσότερα

a 1d L(A) = {m 1 a m d a d : m i Z} a 11 a A = M B, B = N A, k=1

a 1d L(A) = {m 1 a m d a d : m i Z} a 11 a A = M B, B = N A, k=1 Α44 ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ #12 ΘΕΟ ΟΥΛΟΣ ΓΑΡΕΦΑΛΑΚΗΣ 1 Πλεγµατα Εστω ο διανυσµατικός χώρος R d διάστασης d Ο χώρος R d έρχεται µε ένα εσωτερικό γινόµενο x, y = d i=1 x iy i και τη σχετική νόρµα x = x,

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 17 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50

Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50 Αριθµητική Γραµµική Αλγεβρα Κεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ΕΚΠΑ 2 Απριλίου 205 Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και205

Διαβάστε περισσότερα

3 o Καλοκαιρινό Μαθηµατικό σχολείο Ε.Μ.Ε. Λεπτοκαρυά Πιερίας 2009

3 o Καλοκαιρινό Μαθηµατικό σχολείο Ε.Μ.Ε. Λεπτοκαρυά Πιερίας 2009 3 o Καλοκαιρινό Μαθηµατικό σχολείο Ε.Μ.Ε. Λεπτοκαρυά Πιερίας 2009 ιαιρετότητα και Ισοτιµίες Β και Γ Λυκείου Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Ιούλιος 2009 1 ιαιρετοτητα και Ισοτιµιες ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το

Διαβάστε περισσότερα

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0 Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 5: Παράγωγος Α Οµάδα. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας). (α) Αν η f είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ο κεφάλαιο: Πραγματικοί αριθμοί ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 014 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια Αριθµων. Θεωρητικα Θεµατα. Ακαδηµαϊκο Ετος ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης & Σ. Παπαδάκης

Θεωρια Αριθµων. Θεωρητικα Θεµατα. Ακαδηµαϊκο Ετος ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης & Σ. Παπαδάκης Θεωρια Αριθµων Θεωρητικα Θεµατα Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης & Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html 2 Απριλίου 2013 Το παρόν κείµενο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - ΡΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ P x = x+ 2 4 x x 3x x x x 3x

ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - ΡΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ P x = x+ 2 4 x x 3x x x x 3x o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - Α ΠΡΟΣΗΜΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ Μέχρι τώρα ξέρουµε να βρίσκουµε το πρόσηµο ενός πολυωνύµου βαθµού ή δεύτερου βαθµού Για να βρούµε το πρόσηµο ενός πολυωνύµου f πρώτου f βαθµού µεγαλύτερου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j Το θεώρηµα Tor στις πολλές µεταβλητές Ο σκοπός αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεωρήµατος τύπου Tor για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Το θεώρηµα για µια µεταβλητή θα είναι ειδική περίπτωση του

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 12 Ιανουαρίου 2017 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις, Απαντήσεις-Παρατηρήσεις στην Εξέταση Περιόδου Σεπτεµβρίου.

Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις, Απαντήσεις-Παρατηρήσεις στην Εξέταση Περιόδου Σεπτεµβρίου. Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις, Απαντήσεις-Παρατηρήσεις στην Εξέταση Περιόδου Σεπτεµβρίου. Ανδρέας Ζούπας 22 Ιανουαρίου 203 Οι λύσεις απλώς προτείνονται και σαφώς οποιαδήποτε σωστή λύση είναι αποδεκτή! Θέµα-

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια Αριθµων Προβληµατα

Θεωρια Αριθµων Προβληµατα Θεωρια Αριθµων Προβληµατα Μιχάλης Κολουντζάκης Τµήµα Μαθηµατικών και Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κρήτης Βούτες 700 3 Ηράκλειο 6 Απριλίου 205 Πολλές από τις παρακάτω ασκήσεις είναι από το ϐιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai2017/lai2017html Παρασκευή 20 Οκτωβρίου 2017

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

P (A) = 1/2, P (B) = 1/2, P (C) = 1/9

P (A) = 1/2, P (B) = 1/2, P (C) = 1/9 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-1: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 011 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις εύτερης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : /11/011 Ηµεροµηνία Παράδοσης : 1/11/011

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 10 Νοεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Να ϐρεθούν

Διαβάστε περισσότερα

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει.

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 3: Σειρές πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα. Εστω ( ) µια ακολουθία πραγµατικών αριθµών. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Μέτρο Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Μέτρο Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Μέτρο Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 16 & Τετάρτη 21 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 1 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 1 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 1 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Πέµπτη 27 εκεµβρίου 2012 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291

Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291 ΠΡΩΤΗ ΆΣΚΗΣΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 9 Ηµεροµηνία: 3/5/003 Άσκηση ώστε όλες τις υποοµάδες των Z και Ζ 5 * Προκειµένου να δώσουµε τις υποοµάδες θα πρέπει αρχικά να ορίσουµε τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2015/nt2015.html Παρασκευή 29 Μαίου 2015 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Θεωρία Αριθµών για το Λύκειο. Ασκήσεις

Εισαγωγή στη Θεωρία Αριθµών για το Λύκειο. Ασκήσεις Εισαγωγή στη Θεωρία Αριθµών για το Λύκειο Σηµειώσεις Προετοιµασίας για Μαθηµατικούς ιαγωνισµούς Ασκήσεις Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Νοέµβριος 2012 1 Ασκησεις στη Θεωρια Αριθµων 1 Μαθηµατική

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Γ'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της Γ Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν ίσως το αποκορύφωµα των

Διαβάστε περισσότερα

Υπόδειξη. (α) Άµεσο αφού κάθε υποσύνολο µηδενικού συνόλου είναι µετρήσιµο.

Υπόδειξη. (α) Άµεσο αφού κάθε υποσύνολο µηδενικού συνόλου είναι µετρήσιµο. Κεφάλαιο 2 Ολοκλήρωµα Lebesgue 2.1 Οµάδα Α 1. Αν η f : (a, b) R είναι παραγωγίσιµη, τότε η f είναι µετρήσιµη. Υπόδειξη. Θεωρούµε την ακολουθία f : (a, b) R µε f (x) = [f(x + 1/) f(x)]. Εφόσον, η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 ιαιρετότητα και Ισοτιµίες Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης Στη µνήµη του δασκάλου µου, Χάρη Βαφειάδη... www.math.uoc.gr/

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 31 Μαρτίου 2016 Υπενθυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher Το ϑεώρηµα του Rademacher Νικόλαος Μουρδουκούτας Περίληψη Σε αυτήν την εργασία ϑα αποδείξουµε το ϑεώρηµα του Rademacher, σύµφωνα µε το οποίο κάθε Lipschiz συνάρτηση f : R m είναι διαφορίσιµη σχεδόν παντού.

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Επανάληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Επανάληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις - Επανάληψης ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt015b/nt015b.html Πέµπτη 1 Ιανουαρίου 016 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2.

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2. Κεφάλαιο 6 Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ταξινοµήσουµε τις πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Αυτές οι οµάδες είναι από τις λίγες περιπτώσεις οµάδων µε µία συγκεκριµένη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4. Ορισµοί KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Ορισµός 4.. Μία συνάρτηση : µε πεδίο ορισµού το σύνολο των φυσικών αριθµών και τιµές στην πραγµατική ευθεία καλείται ακολουθία πραγµατικών αριθµών.

Διαβάστε περισσότερα

Ανω Φράγµα στην Τάξη των Συναρτήσεων. Ρυθµός Αύξησης (Τάξη) των Συναρτήσεων. Παράδειγµα (1/2) O( g(n) ) είναι σύνολο συναρτήσεων:

Ανω Φράγµα στην Τάξη των Συναρτήσεων. Ρυθµός Αύξησης (Τάξη) των Συναρτήσεων. Παράδειγµα (1/2) O( g(n) ) είναι σύνολο συναρτήσεων: Ανω Φράγµα στην Τάξη των Συναρτήσεων Ορισµός. Εστω συναρτήσεις: f : N R και g : N R Ρυθµός Αύξησης (Τάξη) των Συναρτήσεων Ορέστης Τελέλης η (τάξη της) f(n) είναι O( g(n) ) αν υπάρχουν σταθερές C και n

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 9. Ορισµοί... 9. Ιδιότητες...7 9. Θεώρηµα Cayley-Hamilto...4 9.. Εφαρµογές του Θεωρήµατος Cayley-Hamilto...6 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυµο...5 Ασκήσεις του

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi07/asi07.html Παρασκευή 9 Μαίου 07 Για κάθε µετάθεση

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας)

Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας) Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Κρήτης Εξεταστική περίοδος Σεπτεµβρίου ακαδηµαϊκού έτους 29-2 Τρίτη, 3 Αυγούστου 2 Εφαρµοσµένη Άλγεβρα ιδάσκων: Α. Τόγκας Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 4. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 4. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2015/nt2015.html ευτέρα 30 Μαρτίου 2015 Ασκηση 1. Να ϐρεθούν όλοι

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 3 ιανυσµατικοι Υποχωροι και Κατασκευες Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 25 Φεβρουαβρίου 2016

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση

Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα από 9 Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση n Στο Κεφάλαιο 5 είδαµε την έννοια της βάσης στο και στο Κεφάλαιο 6 µελετήσαµε διανυσµατικούς χώρους. Στο παρόν κεφάλαιο θα ασχοληθούµε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Εννοιες Σ αυτό το κεφάλαιο ϑα αναφερθούµε συνοπτικά σε ϐασικές έννοιες για σύνολα και απεικονίσεις. Επιπλέον, ϑα αναφερθούµε στη µέθοδο της επαγωγής, η οποία αποτελεί µία από τις

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43

Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 1 / 43 Κεφ.5. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ίνεται ένας πίνακας A C n n και Ϲητούνται να προσδιορισθούν οι

Διαβάστε περισσότερα

3 Αναδροµή και Επαγωγή

3 Αναδροµή και Επαγωγή 3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoocom Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις Επαναληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις Επαναληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις Επαναληψης ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt015/nt015.html Τρίτη Ιουνίου 015 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί η γραµµική

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Παρουσίαση 1 ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Παρουσίαση ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Παρουσίαση α Στους µιγαδικούς δεν υφίστανται ανισοτικές σχέσεις Το σύνολο C διατηρεί ισοτικά όλες τις ιδιότητες του R εν υφίστανται ανισοτικές σχέσεις, υφίστανται µόνο στο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρο Lebesgue. Κεφάλαιο Εξωτερικό µέτρο Lebesgue

Μέτρο Lebesgue. Κεφάλαιο Εξωτερικό µέτρο Lebesgue Κεφάλαιο 1 Μέτρο Lebesgue 1.1 Εξωτερικό µέτρο Lebesgue Θα ϑέλαµε να ορίσουµε το «µήκος» κάθε υποσυνόλου A του R, δηλαδή να αντιστοιχίσουµε σε κάθε A R έναν µη αρνητικό αριθµό λ(a) (ή το + ). Είναι λογικό

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα και απαντήσεις 1 στα «Σύνολα και Αριθµοί» Εξεταστική Ιανουαρίου 2012 ιδάξας Χ. Κορνάρος.

Θέµατα και απαντήσεις 1 στα «Σύνολα και Αριθµοί» Εξεταστική Ιανουαρίου 2012 ιδάξας Χ. Κορνάρος. Πανεπιστηµιο Αιγαιου Τµηµα Μαθηµατικων 8 200 Καρλοβασι Σαµος Καρλόβασι 09/02/2012 Θέµατα και απαντήσεις 1 στα «Σύνολα και Αριθµοί» Εξεταστική Ιανουαρίου 2012 ιδάξας Χ. Κορνάρος. 1. Απαντήστε µε α(αλήθεια)

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνες παραγώγισης ( )

Κανόνες παραγώγισης ( ) 66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 0 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml

Διαβάστε περισσότερα

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x.

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x. 3 Ορια συναρτήσεων 3. Εισαγωγικές έννοιες. Ας ϑεωρήσουµε την συνάρτηση f () = όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 0: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () = /. ϕυσικό να αναζητήσουµε την

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai017/lai017html Παρασκευή 17 Νοεµβρίου 017

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Κορίλη Αλγόριθµοι ροµολόγησης

Γ. Κορίλη Αλγόριθµοι ροµολόγησης - Γ. Κορίλη Αλγόριθµοι ροµολόγησης http://www.seas.upenn.edu/~tcom50/lectures/lecture.pdf ροµολόγηση σε ίκτυα εδοµένων Αναπαράσταση ικτύου µε Γράφο Μη Κατευθυνόµενοι Γράφοι Εκτεταµένα έντρα Κατευθυνόµενοι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 Ασκήσεις Μαθηµατικών Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚH Ι (ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 - ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση. (6 µον.) Ελέγξτε ποια από τα επόµενα σύνολα είναι διανυσµατικοί χώροι

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Ιαν. 9 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Είδαµε στο κεφάλαιο της παρεµβολής συναρτήσεων πώς να προσεγγίζουµε µια (συνεχή) συνάρτηση f από ένα πολυώνυµο, όταν γνωρίζουµε + σηµεία του γραφήµατος της συνάρτησης:

Διαβάστε περισσότερα