ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Δρ Μιχάλης ΛΑΜΠΡΟΥ, Καθηγητής Μαθηματικών

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Δρ Μιχάλης ΛΑΜΠΡΟΥ, Καθηγητής Μαθηματικών"

Ξάνθος Καψής
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΗΤΙΚΕΣ ΠΟΕΙΞΕΙΣ ΤΡΙΩΝΩΝ ρ ιχάλης ΠΡΟΥ, Καθηγητής αθηματικών H επίκεντρη γωνία είναι το της περιφέρειας, άρα είναι ισοσκελές με είναι. ια τον ίδιο λόγο οι επίκεντρες γωνίες στα τόξα είναι από και λόγω συμμετρίας. Συνεπώς η εγγεγραμμένη γωνία. Το τρίγωνο άρα κάθε μία από τις γωνίες της βάσης του. Έτσι το τρίγωνο έχει. ε άλλα λόγια το τρίγωνο αυτό είναι της μορφής (σχήμα ). Παρατηρούμε ότι οι Κ, θα είναι κάθετες στις πλευρές διότι στο τρίγωνο Κ είναι. Όμοια η. Υπόψη ότι τότε και η Η είναι κάθετη στην. Ένας τρόπος είναι μονολεκτικός : τα ύψη συγκλίνουν και τα Κ, είναι ύψη, οπότε το Η είναι το τρίτο ύψος. Πιο απλά η Η είναι διχοτόμος της γωνίας λόγω συμμετρίας.ρα Συνεπώς το τρίγωνο έχει Εύρεση του λόγου. Άρα είναι ορθογώνιο (Σχήμα ). Χρησιμοποιώντας τα τρίγωνα ΕΗ και Ε έχουμε Η είναι πό το τρίγωνο Η έχουμε Η.εφ Άρα ο λόγος.. Σημειώνω ότι είναι γνωστή η ακριβής τιμή των συν. ηλαδή συν

2 AH Άρα. HZ AH 0,897 (Σχήμα 3) HZ 0,897 Άρα ο λόγος το μέσο της Η. ν φέρω Κ κάθετη στην, τότε Κ είναι παράλληλη της Η. Άρα η Κ διέρχεται από το μέσο των Ε και. ηλ διέρχεται από το (Σχήμα 3). MBA ΤΩΝ ΤΡΙΩΝΩΝ ρ εωργία ΚΩΣΤΚΗ, Καθηγήτρια αθηματικών HZ. t an. Η t an.670. t an t an H A - HZ A cs > Η cs.098. Η H sin > H Ηsin Η Η Η t an > tan εμβαδόν (Η) : Η εμβαδόν (Η) : Η εμβαδόν (Η) : Η εμβαδόν () : Πρέπει.... () (Η) + (Η) + (Η). (Σχήμα )

3 ΙΙΡΕΣΗ ΚΙ Ε ΤΡΙΩΝΩΝ Z B Κ Η Σχήμα Σχήμα Η K Σχήμα 3 Σχήμα Η,6 Κ Ξ O Η Π Σ Τ Ι, Ν 08,7,96,,53 Ρ Σχήμα 5

4 ΚΤΣΚΕΥΗ ΠΕΝΤΩΝΟΥ ΤΟΥ ΩΕΚΕΡΟΥ Σχ. Ευκλείδης στοιχεία ΧΙΙΙ, Σχ. Herz - Fischler, R. (εξώφυλλο) Σχ. 3 Fritz, Κ. (95) Σχ. Cantr (9, II, 77) Σχ. 5 Σχ. 6 Heath, Th. Iστορία των Ελληνικών μαθηματικών, Ι, 03

5 Τ ΠΕΝΤΕ KANONIKA ΠΟΥΕΡ ΚΙ Τ ΣΤΟΙΧΕΙΩΗ Ή ΠΡΩΤ ΤΟΥΣ ΤΡΙΩΝ Σχήμα. Tετράεδρο (πυραμίς) x6 ημιτρίγωνο ισοπλεύρου τριγώνου Σχήμα. Εξάεδρο (κύβος) 6x ημιτετράγωνο Σχήμα 3. Οκτάεδρο 8x68 ημιτρίγωνο ισοπλεύρου τριγώνου Σχήμα. Εικοσάεδρο 0x60 ημιτρίγωνο ισοπλεύρου τριγώνου Σχήμα 5. ωδεκάεδρο x5x63 α) ζωογονικό τρίγωνο με πλευρές 3,,5. β) ημιτρίγωνο χρυσού τριγώνου ο, ο και ο.

6 ΕΝΕΣΗ ΤΩΝ ΠΕΝΤΕ ΚΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΥΕΡΩΝ ΚΙ ΤΩΝ ΝΤΙΣΤΟΙΧΩΝ ΕΝΩΝ Ή ΣΩΤΩΝ ΠΟ Τ ΤΡΙΩΝΙΚ ΣΤΟΙΧΕΙ A B Η 5 5 Σχήμα Πλευρές τριγώνου:, 3, Σχήμα Πλευρές τριγώνου:,, Το τρίγωνο στο σχήμα είναι στοιχείο των σχημάτων: τετραέδρου, δηλαδή πυραμίδας (πυρός), οκταέδρου (αέρος) και εικοσαέδρου (ύδατος). Το τρίγωνο στο σχήμα είναι στοιχείο του εξαέδρου, δηλαδή του κύβου (γης).,7,96,,6 Η Κ,,53 Z H B Ι Σχήμα 3 Πλευρές τριγώνου: 3,,5 κατά προσέγγιση Το τρίγωνο Η (και τα όμοιά του) είναι το βασικό στοιχείο του παντός, δηλαδή του κόσμου. Σχήμα ωδεκάεδρον Παρμένο από: Th. Heath, A Histry f Greek Mathematics, I, 96 Το δωδεκάεδρο στο σχήμα συμβολίζει το σύμπαν, δηλαδή το παν.

7 ΣΥΝΕΣΙΣ ΙΣΟΠΕΥΡΟΥ ΤΡΙΩΝΟΥ ΚΤ ΙΕΤΡΟΝ Η Η 6 Η 3 3 Σχήμα Πλάγιο παραλληλόγραμμο Σχήμα Εφεξής ή κατά πλευράν (μείζονα) Σχήμα 3 Εφεξής ή κατά πλευράν (ελάσσονα) 5 6 Η 5 Η 6 3 Η 3 Σχήμα Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο Σχήμα 5 Kατα διάμετρον (αντιφατικαί) Σχήμα 6 Κατα διάμετρον (εναντίαι) θερινός θερινός δύσις Η Ξ πα Π ράλ Ε ορίζων α νατολή υπέρ γη ν Η ζωδιακός παράλλη- υπέρ γη ν ζω διακός υπό γη ν Ε ι σημερινός υπέρ γη ς τό μετά τόν αιγόκερω Η τό μετά τόν καρκίνον υπό γη ς Κ λη Ν Ρ λοι Ο υπό γη ν δύσις λοι Ν Ε ορίζων Κ χειμερινός τροπικός Σχήμα 7 Ευκλείδης. Φαινόμενα (enge, σ.37) Σχήμα 8 Ευκλείδης. Φαινόμενα (enge, σ.33) Σχήμα 9 Ευκλείδης. Φαινόμενα (enge, σ.6)

8 TO ΤΡΙΩΝΟ Ε ΠΕΥΡΕΣ 3,,5 ΩΣ ΣΤΟΙΧΕΙΟΝ ΤΟΥ ΩΕΚΕΡΟΥ Καθηγητής Κωνσταντίνος Κωστάκης ) Στο σχήμα 3 το τρίγωνο Η είναι ορθογώνιο και η μία γωνία είναι 0 ν λοιπόν, τότε tan 0, cs 0.9 Η tan 0.6 πορούμε να δούμε ότι το τρίγωνο Η έχει πλευρές ( ακριβώς ), Η.6 ( περίπου 3), Η.9 (περίπου 5) Συμπέρασμα : Το τρίγωνο προσεγγίζει το Πυθαγόρειο τρίγωνο 3,,5 ( ζωογονικό ). ) ύο τρίγωνα όταν έχουν όλες τις γωνίες ίσες είναι όμοια Τα τρίγωνα Η και Η έχουν την γωνία Η 0 διότι είναι το ήμισυ της γωνίας ( που είναι 0 ) και Η 0 ( διότι από το ορθογώνιο τρίγωνο Ε βλέπουμε ότι γωνία Ε ). Άρα τα τρίγωνα Η και Η έχουν δύο γωνίες ίσες άρα είναι όμοια. Ομοίως όλα τα ορθογώνια τρίγωνα του σχήματος που έχουν μια γωνία 0,είναι όμοια, άρα έχουμε 8 όμοια τρίγωνα. Άρα τα τρίγωνα Η, Η, ΕΗ, Η,,, Ε, είναι όμοια Ομοίως όλα τα ορθογώνια του σχήματος ( Ε,, Η, ΕΗ) με μια γωνία 0 είναι όμοια Συμπέρασμα : πό τα τρίγωνα του σχήματος τα 8 είναι όμοια μεταξύ τους ( δηλαδή τα /3 από αυτά) και συγκροτούν μια ομάδα ομοίων τριγώνων. Τα υπόλοιπα ( δηλαδή το /3 από το σύνολο) είναι επίσης όμοια μεταξύ τους και συγκροτούν άλλη ομάδα ομοίων τριγώνων. ) α υπολογίσουμε όλα τα υπόλοιπα μήκη του τριγώνου, με δεδομένο ότι sin 0 άρα 6.805, sin 0 άρα Εsin sin cs 0, άρα Ε cs , ΗΕΗΕ-Η ) α βρούμε μια σχέση μεταξύ των εμβαδών των δύο ομάδων των ομοίων τριγώνων Εμβαδόν τριγώνου Η(Η)()/ (.579)(.703)/3,59 Εμβαδόν τριγώνου Η()(Η)/. (.6)/5.8 Άρα η σχέση εμβαδών μεταξύ των τριγώνων είναι 5.8/ Εμβαδόν τριγώνου Η Χ Η / Χ (tan 0 ) / () tan 0 /.6 Ο λόγος των εμβαδών των τριγώνων Η και (Η + Η), δηλαδή του Η είναι: 5.8/( ) 5.8/5.98 9/8, εννέα όγδοα. Συμπέρασμα : Η σχέση μεταξύ των εμβαδών των δύο τελευταίων τριγώνων είναι ο λόγος της χρυσής τομής, αφού ισούται με το ( + 5) / Ε) α βρούμε μια γενική σχέση μηκών των πλευρών για το τρίγωνο του σχήματος αν το μήκος είναι αυθαίρετο. Έστω α, Τότε:, HZ tan 0 α ια το τρίγωνο Η, όπως και για όλα τα 8 όμοια τρίγωνα η σχέση μηκών των πλευρών είναι: ( 0.6,,. ) ντίστοιχα το ζωογονικό τρίγωνο έχει σχέση μηκών των πλευρών : ( 0.75,,.5 ) Συμπέρασμα : Οι δύο παραπάνω σχέσεις μηκών των πλευρών είναι προσεγγιστικά ίσες

Σχετικά έγγραφα

Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α - Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1

Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α - Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1 Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α - Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1 Εμβαδά Επίπεδων Σχημάτων & Πυθαγόρειο Θεώρημα Η συλλογή των ασκήσεων προέρχεται από μια ποικιλία πηγών, σημαντικότερες από τις οποίες είναι το Mathematica.gr, παλιότερα