MAKROEKONOMIJA. 13. siječnja 2007.
|
|
- Λεββαῖος Ιωάννου
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 MAKROEKONOMIJA 13. siječnja 2007.
2 1 UVOD I OSNOVNI POJMOVI 1 1 UVOD I OSNOVNI POJMOVI Bruto domaći proizvod (BDP) - Mjera ukupnog proizvoda u računima nacionalnog dohotka tijekom danog razdoblja 1. BDP je vrijednost finalnih proizvoda i usluga proizvedenih u gospodarstvu tijekom danog razdoblja 2. BDP je zbroj dodane vrijednosti u gospodarstvu tijekom danog razdoblja 3. BDP je zbroj dohodaka u gospodarstvu tijekom danog razdoblja Nominalni BDP (oznaka $Y) - Zbroj količina proizvedenih finalnih dobara pomnoženih s njihovim tekućim cijenama Realni BDP (oznaka Y) - Zbroj količina proizvedenih finalnih dobara pomnoženih sa stalnim (umjesto tekućim) cijenama BDP deflator u godini t (oznaka P t ) definira se kao odnos izmedu nominalnog i realnog BDP-a u godini t: P t = $Yt Y t (= $Y t = P t Y t ) Rast BDP-a u godini t je stopa promjene realnog BDP-a u godini t: Yt Y t 1 Y t 1 Brojevi pariteta kupovne moći (PPP) su prilagodene veličine BDP-a koje možemo smatrati mjerom kupovne mo ci tijekom vremena ili izmedu zemalja. Stopa inflacije - Stopa po kojoj prosječna cijena dobara u gospodarstvu raste tijekom vremena Deflacija - Smanjenje razine cijena Dezinflacija - Smanjenje stope inflacije Fizički kapital - odnosi se na strojeve, postrojenja, nekretnine itd. Ljudski kapital - ukupnst znanja i vještina zaposlenika u nekom gospodarstvu Stopa nezaposlenosti - Udio radnika u gospodarstvu koji nisu zaposleni, ali traže posao Ukupna radna snaga: L=N+U N - broj zaposlenih U - broj nezaposlenih Stopa nezaposlenosti dana je formulom:
3 1 UVOD I OSNOVNI POJMOVI 2 u = U L Okunov zakon: Rast BDP-a obrnuto je proporcionalan stopi nezaposlenosti, tj. Visok rast BDP-a Stopa nezaposlenoti pada Nizak rast BDP-a Stopa nezaposlenosti raste
4 2 KRATKI ROK 3 2 KRATKI ROK 2.1 TRŽIŠTE DOBARA Ukupna potražnja za dobrima: Z=C+I+G+X-IM C - osobna potrošnja I - investicije G - državna potrošnja X - izvoz IM - uvoz Ako imamo zatvoreno gospodarstvo (X=IM) = Z=C+I+G Osobna potrošnja najviše ovisi o raspoloživom dohotku: C=C(Y D ) (+) oznaka za koreliranost funkcije Osobna potrošnja je linearna funkcija: C = c 0 + c 1 Y D c 1 - granična sklonost potrošnji c 0 - ono što bi ljudi potrošili ako bi im raspoloživi dohodak u tekućoj godini bio jednak Raspoloživi dohodak: Y D = Y T (= C = c 0 + c 1 (Y T )) Y - dohodak T=(T a T r ) - plaćeni porezi umanjeni za transfere Investicije promatramo kao dane (egzogena varijabla): I=Ī = Z = c 0 + c 1 (Y T ) + Ī + G Prvi uvjet ravnoteže na tržistu dobara zahtijeva da proizvodnja bude jednaka potražnji za dobrima, tj. Y=Z = Y = c 0 + c 1 (Y T ) + Ī + G Y = 1 (c c Ī + G c 1T ) }{{ 1 }{{}} autonomna potrošnja multiplikator Privatna štednja (odnosno štednja potrošača): S = Y D C = Y T C
5 2 KRATKI ROK 4 (Y=C+I+G Y-T-C=I+G-T) = S = I + G T I=S+(T-G) Izraz T-G označava javnu štednju - porezi umanjeni za državnu potrošnju Proračunski deficit - javna štednja je negativna Proračunski suficit - javna štednja je pozitivna Drugi uvjet ravnoteže na tržistu dobara zahtijeva da investicije budu jednake štednji (IS relacija), tj. ono što poduzeća žele investirati mora biti jednako onom što stanovništvo i vlada žele uštedjeti. (S = Y T C = Y T c 0 c 1 (Y T )) = S = c 0 + (1 c 1 )(T Y ) (1 c 1 ) - sklonost štednji Ī = c 0 + (1 c 1 )(Y T ) + (T G) = Y = 1 1 c 1 [c 0 + Ī + G c 1T ] Dobili smo isti rezultat za Y kao i gore, što ne začuduje, jer promatramo isti ravnotežni uvjet samo na drugačiji način!!! 2.2 FINANCIJSKA TRŽIŠTA Bilanca banke (poduzeća ili pojedinca) je popis njene imovine (zbroj onog što banka posjeduje i što se banci duguje) i obveza (ono što banka duguje drugima) u odredenom vremenskom trenutku. Ekspanzivna operacija na otvorenom tržištu - Ako banka kupi obveznice u nekoj vrijednosti, količina obveznica koje drži veća je za taj iznos, a za toliko je i veća količina novca u gospodarstvu. Ukratko banka povećava ponudu novca. Restriktivna operacija na otvorenom tržištu - Suprotan pojam od ekspanzivne politike na otv. tržištu gdje banka prodaje obveznice, te smanjuje ponudu novca. Potražnja za novcem: M d = $Y L(i) (-) $Y - nominalni dohodak L(i) - funkcija kamatne stope Ako je ponuda novca jednaka nominalnoj vrijednosti novca (M s = M) iz
6 2 KRATKI ROK 5 ravnoteže na financijskim tržištima koja zahtijeva da ponuda novca bude jednaka potražnji za novcem (M s = M d ) = M = M d (LM relacija) = M=$YL(i) Potražnja za gotovinom: CU d = cm d c - fiksna proporcija novca kojeg ljudi drže u gotovini Potražnja za depozitima po videnju: D d = (1 c)m d Što je veći iznos depozita po videnju, veći je i iznos rezervi koje banke moraju držati, te vrijedi odnos: R = θd θ - iznos rezervi koje banka drži po po nominalnoj jedinici depozita po videnju Potražnja banaka za rezervama: R d = θ(1 c)m d Potražnja za primarnim novcem: H d = CU d + R d = [c+θ(1-c)]$yl(i) Zbog uvjeta ravnoteže da je ponuda primarnog novca jednaka potražnji za primarnim novcem, tj. H = H d = H = [c + θ(1 c)]$y L(i) 1 H = $Y L(i) ponuda novca = potražnja za novcem [c + θ(1 c)] }{{} monetarni multiplikator 2.3 TRŽIŠTE DOBARA I FINANCIJSKA TRŽIŠTA: IS-LM model Ako investicije nisu konstantne ovise uglavnom o dva faktora, razini prodaje (Y) i kamatnoj stopi (i): I = I(Y,i) (+,-) Uzevši to u obzir, uvjet za ravnotežu na tržištu dobara (IS jednadžba) postaje: Y=C(Y-T)+Ī(Y,i)+G
7 2 KRATKI ROK 6 Ako nominalnu vrijednost novca podijelimo s BDP deflatorom (dobit ćemo pogodniji zapis za LM jednadžbu): = Y L(i) realna ponuda novca = realna potražnja novca M P Sada možemo promatrati obje relacije zajedno: Relacija IS: Y=C(Y-T)+I(Y,i)+G Relacija LM : M = Y L(i) P Točka u kojoj se IS krivulja (opadajućeg nagiba) siječe s LM krivuljom (rastućeg nagiba) je točka opće ravnoteže (tj. točka u kojoj je ostvarena ravnoteža i na tržištu dobara i na financijskim tržištima). Pad (G-T) - restriktivna fiskalna politika (fiskalna kontrakcija ili fiskalna konsolidacija), tj. smanjenje proračunskog deficita Porast (G-T) - fiskalna ekspanzija Pad M - monetarna kontrakcija (monetarno stezanje) Porast M - monetarna ekspanzija
8 3 SREDNJI ROK 7 3 SREDNJI ROK 3.1 TRŽIŠTE RADA Agregatna nominalna nadnica: W = P e F (u,z) (-,+) P e - očekivana razina cijena z - varijabla koja obuhvaća sve varijable koje mogu utjecati na rezultat utvrdivanja nadnice (npr. naknade za nazaposlenost) Cijene ovise o troškovima, a troškovi ovise o prirodi funkcije proizvodnje. Pojednostavljeno: Y=AN Y - proizvodnja N - zaposlenost A - produktivnost rada Pod pretpostavkom da je A=1, tj. da jedan radnik proizvede jednu jedinicu proizvoda = Y=N Cijena jedinice proizvodnje: P=(1+µ)W µ - marža (višak cijene iznad troškova proizvodnje) Pretpostavimo da je očekivana cijena jednaka stvarnoj vrijednosti, tj. P e = P : Relacija odredivanja nadnica (veza izmedu realne nadnice i stope nezaposlenosti): W P = F (u,z) (-,+) Relacija odredivanja cijena: W = 1 P 1+µ Ravnotežna (prirodna) stopa nezaposlenosti: F (u n, z) = 1 1+µ Prirodna stopa zaposlenosti: N n = L(1 u n ) (slijedi iz: u = U L = L N L = 1 N L ) Prirodna stopa domaćeg proizvoda (razina proizvodnje kada je zaposlenost
9 3 SREDNJI ROK 8 jednaka prirodnoj razini zaposlenosti): Y n = N n = L(1 u n ) = F [1 Yn L, z] = 1 1+µ 3.2 SVA TRŽIŠTA PROMATRANA ZAJEDNO: AS-AD model Relacija agregatne ponude (skraćeno AS): P = P e (1 + µ)f [1 Y L, z] (zbog W = P e F (u, z), P = (1 + µ)w, u = 1 N L = 1 Y L ) Krivulja agregatne ponude je rastuća Relacija agregatne potražnje (skraćeno AD) izvodi se iz IS-LM modela: Y=Y[ M P,G,T] (+,+, -) Krivulja agregatne potražnje je padajuća Ravnoteža u kratkom roku dana je sjecištem krivulja AS i AD u kojem se sva tržišta (tržište dobara, financijska tržišta i tržište rada) nalaze u ravnoteži (u tom slučaju je obično Y Y n i P P e ). Ravnoteža u srednjem roku - domaći proizvod se s vremenom vraća na svoju prirodnu razinu (u tom slučaju Y Y n i P P e ). 3.3 PRIRODNA STOPA NEZAPOSLENOSTI I PHILLIPSOVA KRIVULJA Pretpostavimo sljedeće: F (u, z) = 1 αu + z = P = P e (1 + µ)(1 αu + z) Neka π označava stopu inflacije, a π e očekivanu stopu inflacije, tada: π = π e + (µ + z) αu = π t = π e t + (µ + z) αu t (za odredenu godinu t) Pretpostavimo da se očekivanja o inflaciji oblikuju prema: πt e = θπ t 1 = π t = θπ t 1 +(µ + z) αu }{{} πt e Kad je θ > 0 stopa inflacije ovisi i o stopi nezaposlenosti i o prošlogodišnjoj stopi inflacije
10 3 SREDNJI ROK 9 Izvorna Phillipsova krivulja - pokazuje negativan odnos izmedu stope inflacije i stope nezaposlenosti. θ = 0 π e t = 0 = π t = (µ + z) αu t (Izmijenjena) Phillipsova krivulja (Phillipsova krivulja uvećana za očekivanja ili Phillipsova krivulja ubrzanja) - stopa nezaposlenosti utječe na promjenu stope inflacije. θ = 1 π e t = π t 1 = π t π t 1 = (µ + z) αu Ako je π t = πt e 0 = (µ + z) αu t Prirodnu stopu nezaposlenosti možemo izraziti kao: u n = µ+z α = π t π t 1 = α(u t u n ) Promjena stope inflacije ovisi o razlici izmedu stvarne i prirodne stope inflacije Indeksiranje nadnica - pravilo kojim se automatski povećavaju nadnice kako se mijenja inflacija Neka je λ dio ugovora o radu koji su indeksirani (dio (1-λ) nije indeksiran): π t = [λπ t + (1 λ)π e t ] α(u t u n ) Pretpostavimo: πt e = π t 1 = π t π t 1 = α (u 1 λ t u n ) Indeksiranje nadnica povećava učinak nezaposlenosti na inflaciju 3.4 INFLACIJA, GOSPODARSKA AKTIVNOST I NOMINALNI RAST NOVCA Okunov zakon pokazuje kako odstupanje rasta domaćeg proizvoda od normalnog dovodi do promjene stope u nezaposlenosti: u t u t 1 = β(g yt ḡ y ) g yt - stopa rasta domaćeg proizvoda od godine t-1 do godine t ḡ y - normalna stopa rasta gospodarstva β - učinak rasta domaćeg proizvoda iznad normalne stope na promjenu stope nezaposlenosti Phillipsova krivulja pokazuje kako odstupanje stope nezaposlenosti od prirodne
11 3 SREDNJI ROK 10 stope dovodi do promjene stope inflacije: π t π t 1 = α(u t u n ) Relacija agregatne potražnje pokazuje kako razlika izmedu nominalnog rasta novca i inflacije utječe na rast domaćeg proizvoda: g yt = g mt π t (uz pretpostavku: Y t = γ Mt P t, γ > 0) g yt - stopa rasta domaćeg proizvoda g mt - nominalna stopa rasta novca U srednjem roku vrijedi: Domaći proizvod mora rasti po normalnoj stopi: (u t = u t 1 uvrstimo u Okunov zakon) = g yt = ḡ y Inflacija je jednaka prilagodenom nominalnom rastu novca: (iz relacije agregatne potražnje) = π = ḡ m ḡ y Stopa nezaposlenosti mora biti jednaka prirodnoj stopi nezaposlenosti: (π t = π t 1 uvrstimo u Phillipsovu krivulju) = u t = u n Postotni bod prekomjerne nezaposlenosti na godinu je razlika izmedu stvarne i prirodne stope nezaposlenosti od jednog postotnog boda za jednu godinu. Koeficijent žrtve je broj postotnih bodova prekomjerne nezaposlenosti potrebnih da bi ostvarili smanjenje inflacije za 1%.
12 4 DUGI ROK 11 4 DUGI ROK 4.1 ČINJENICE O RASTU Tri su osnovne činjenice o rastu razvijenih zemalja nakon godine: Dolazi do velikog porasta životnog standarda Od sredine 70-ih dolazi do smanjenja rasta Domaći proizvod po glavi stanovnika (BDP podijeljen s brojem stanovnika) medu razvijenim zemljama konvergira Agregatna funkcija proizvodnje: Y=F(K,N) K - kapital (suma svih strojeva, postrojenja i poslovnih zgrada) Konstantni prinosi na opseg: Ako umnožimo veličine kapitala i rada za neki x, tada će se i domaći proizvod umnožiti za x. xy=f(xk,xn) Svojstvo opadajućih prinosa na kapital - Svojstvo prema kojem povećanje kapitala vodi ka sve manjem i manjem povećanju domaćeg proizvoda kako se razina kapitala povećava. Ako stavimo x = 1 N u jednadžbu konstantnih prinosa na opseg = Y N = F ( K N, N N ) = F ( K N, 1) = f(k N ) U dugom roku, gospodarstvo koje održava višu stopu tehnološkog razvoja će u konačnici preteći sva ostala gospodarstva. 4.2 ŠTEDNJA, AKUMULACIJA KAPITALA I DOMAĆI PROIZVOD Pretpostavimo da je zaposlenost konstantna (N t = N) i da nema tehnološkog napretka: Y t = N f(kt ) N Pretpostavimo da imamo zatvorenu ekonomiju (X=IM), te da nema javne štednje (T=G): = I=S
13 4 DUGI ROK 12 Pretpostavimo da je privatna štednja proporcionalna dohotku: S=sY s - stopa štednje = I t = sy t Razvoj kapitala: K t+1 = (1 δ)k t + I t K t - kapital na početku godine t δ - godišnja stopa po kojoj opada vrijednost kapitala Kapital po radniku na početku godine t+1: K t+1 Kt = (1 δ) + s Yt N N N Promjena kapitala po radniku izmedu godine t i t+1: K t+1 N Kt N = s Yt δ Kt N N Kt = N N sf(kt ) δ Kt N N ) - investicije tijekom godine t - amortizacija tijekom godine t = K t+1 sf( Kt N δ Kt N Stabilno stanje gospodarstva - stanje u kojem se domaći proizvod po radniku i kapital po radniku ne mijenjaju. Stabilna razina kapitala po radniku: sf( K ) = δ K N N Ravnotežna vrijednost domaćeg proizvoda po radniku: Y = N f(k ) N Učinci stope štednje na stopu rasta domaćeg proizvoda po radniku: Stopa štednje nema učinka na dugoročnu stopu rasta domaćeg proizvoda po radniku, koja je jednaka nuli. Stopa štednje odreduje razinu domaćeg proizvoda po radniku u dugom roku. Povećanje stope štednje dovest će do višeg rasta domaćeg proizvoda po radniku tijekom nekog vremena, ali ne zauvijek.
14 4 DUGI ROK 13 Razina kapitala prema zlatnom pravilu - razina kapitala povezana s vrijednošću stope štednje koja rezultira najvećom razinom potrošnje u stabilnom stanju gospodarstva. Povećanje kapitala iznad razine zlatnog pravila smanjuje stabilnu razinu potrošnje. Potrošnja po radniku (u stabilnom stanju): C N = Y N δ K N Proširenje funkcije proizvodnje: Y N =f ( K N, H N ) (+, +) K N H N - razina fizičkog kapitala po radniku - razina ljudskog kapitala po radniku Oba oblika kapitala mogu se akumulirati, fizički kapital putem fizičkog investiranja, a ljudski kapital putem obrazovanja i usavršavanja. Povećanje stope štednje i/ili dijela domaćeg proizvoda utrošenog na obrazovanje i usavršavanje može dovesti do puno više razine domaćeg proizvoda u dugom roku. Cobb-Douglasova funkcija proizvodnje: Y = K α N 1 α, gdje je 0 < α < 1 Empirijski dokazi navode: α 1 3 α ukoliko K uzmemo kao fizički kapital - ukoliko K uzmemo kao fizički i ljudski kapital 4.3 TEHNOLOŠKI NAPREDAK I RAST Tehnološki napredak možemo gledati kao sredstvo povećanja domaćeg proizvoda uz dane iznose kapitala i rada. Proširena funkcija proizvodnje koja uvažava tehnološki napredak: Y=F(K,N,A) (+,+,+) A - stanje tehnologije Restriktivan oblik prethodne jednadžbe: Y=F(K,AN)
15 4 DUGI ROK 14 AN - količina efektivnog rada I tu je razumno pretpostaviti konstantne prinose na opseg: xy=f(xk,xan) Uzmimo x = 1 AN Domaći proizvod po efektivnom radniku: Y = F ( K, 1) = f( K ) AN AN AN K AN - kapital po efektivnom radniku Investicije po efektivnom radniku: I = s Y = sf( K ) AN AN AN Razina investicija potrebna da bi se zadržala dana razina kapitala po efektivnom radniku: δk + (g A + g N )K = (δ + g A + g N )K δ - stopa amortizacije kapitala g A - godišnja stopa rasta broja radnika (N) g N - godišnja stopa tehnološkog napretka (A) Razina investicija po efektivnom radniku potrebna da bi se zadržala dana razina kapitala po efektivnom radniku: (δ + g A + g N ) K AN U stabilnom stanju ovog gospodarstva (u dugom roku) vrijedi: Kapital po efektivnom radniku i domaći proizvod po efektivnom radniku su konstantni. Kapital po radniku i domaći proizvod po radniku rastu po stopi tehnološkog rasta g A. Rad raste po stopi rasta stanovništva g N, a kapital i domaći proizvod rastu po stopi (g A + g N ). Učinci povećanja stope štednje: 1. Dolazi do porasta stabilnih razina domaćeg proizvoda po efektivnom radniku i kapitala po efektivnom radniku 2. Dolazi do većeg rasta dok gospodarstvo ne dosegne novu, višu putanju uravnoteženog rasta
16 4 DUGI ROK TEHNOLOŠKI NAPREDAK, NADNICE I NEZA- POSLENOST Zanemarimo ulogu kapitala u funkciji proizvodnje Y=F(K,AN) Uz tu pretpostavku, domaći proizvod se proizvodi isključivo temeljem rada: Y=AN Odredivanje cijena: P = (1 + µ) W A Odredivanje nadnica: W = A e P e F (u, z) A e - očekivana razina produktivnosti Pretpostavimo: P e = P i A e = A Odredivanje realnih nadnica: = AF (u, z) W = A P 1+µ U kratkom roku ne postoji sustavna veza izmedu kretanja rasta produktivnosti i kretanja nezaposlenosti. U srednjem roku, ako postoji odnos izmedu rasta produktivnosti i nezaposlenosti, čini se da je obrnut.
Tržište dobara i usluga u otvorenom gospodarstvu
Tržište dobara i usluga u otvorenom gospodarstvu lanchard: Poglavlje 19. Makro-vježbe (O.Vukoja) #1 Outline predavanja: 1. IS relacija (tržište dobara) u otvorenom gospodarstvu 2. Ravnotežni output i vanjskotrgovinska
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραAnaliza savršene konkurencije u kratkom roku
Analiza savršene konkurencije u kratkom roku Jedanaesto predavanje, 11. svibnja 2016. godine Pripremljeno iz: Binger i Hoffman, Microeconomics with Calculus Maksimizacija profita poduzeća koje posluje
Διαβάστε περισσότεραMJERENJE GNP-a KROZ PRIHODE poslovni troškovi su prihodi koje domaćinstva primaju od poduzeća. Ukupna vrijednost pojavljuje se kao nečiji prihod.
GNP (društveni bruto proizvod) je trţ vrijednost svih finalnih dobara i usluga proizvedenih u privredi u nekom vremenskom razdoblju. Jednak je sumi novčane vrijednosti cjelokupne potrošnje i investicijskih
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραPITANJA IZ MAKROEKONOMIJE:
PITANJA IZ MAKROEKONOMIJE: 1. GDP a) Na koje sve načine možemo doći do BDP-a (GDP-a). Ukratko iz opišite? Do GDP-a možemo doći na 3 načina: - mjerenje GDP-a preko potrošnje: mjerimo ukupnu potrošnju dobara
Διαβάστε περισσότεραZADACI 18. Blanchard. 3. Pretpostavite slijedeće IS-LM jednadžbe: M P. E pri čemu je E
1 ZDCI 18 Blanchard 1. Nominalni devizni tečaj, realni devizni tečaj, strana i domaća inflacija Koristeći definiciju realnog deviznog tečaja (i matematički dodatak u knjizi) možete, pokazati da vrijedi
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραMAKROEKONOMIJA Ispiti 1
MAKROEKONOMIJA Ispiti 1 Bok, Drago nam je što si odabrao/la upravo Referadu za pronalazak materijala koji će ti pomoći u učenju! Materijali koje si skinuo/la s naše stranice nisu naše autorsko djelo, već
Διαβάστε περισσότεραPOTROŠNJA, ŠTEDNJA I INVESTICIJE
SVEUČILIŠTE U RIJECI FAKULTET ZA MENADŽMENT U TURIZMU I UGOSTITELJSTVU OPATIJA 1 POTROŠNJA, ŠTEDNJA I INVESTICIJE POTROŠNJA I ŠTEDNJA Potrošnja i štednja su ključne za razumijevanje ekonomskog rasta i
Διαβάστε περισσότεραAKUMULACIJA KAPITALA PROTIV TEHNOLOŠKOG PROCESA
AD KRIVULJA (agregatne potraţnje) Agregatna potražnja prikazuje utjecaj promjene razine cijena na razinu proizvodnje. AD krivulja se izvodi iz ravnoteže na robnom i novĉanom tržištu, a prikazuje negativan
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραIZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότερα7. Troškovi Proizvodnje
MIKROEKONOMIJA./. 7. Troškovi Proizvodnje Autori: Penezić Andrija Miković Ivana Pod vodstvom: Prof.dr. Đurđice Fučkan Prezentacije su napravljene prema : Pindyck, R.S./ Rubinfeld, D.L. () MIKROEKONOMIJA
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 4. Proizvodnja i organizacija poslovanja, analiza troškova
VJEŽBE 4. Proizvodnja i organizacija poslovanja, analiza troškova I SKUPINA ZADATAKA 1. Proizvodna funkcija predstavlja odnos između a) inputa i outputa b) troškova i radnika c) ukupnog proizvoda i graničnog
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Διαβάστε περισσότεραINFLACIJA I DEFICIT JAVNE POTROŠNJE
INFLACIJA I DEFICIT JAVNE POTROŠNJE Prof. dr Jovo Jednak Prof. dr Jovo Jednak 1 Šta je inflacija, nivo cena i vrednost novca 1. Šta je inflacija? Neuravnoteženost izmeñu tražnje i ponude dobara može uzrokovati
Διαβάστε περισσότεραVarijabilni. troškovi. Ukupni. troškovi. Granični troškovi
Ovisnost troškova o promjenama opsega proizvodnje Stalni troškovi Varijabilni troškovi Ukupni troškovi Granični troškovi Prosječni troškovi troškovi proizvodnje su različiti po: svom porijeklu (prirodnim
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότεραPARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)
(Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραKAMATNE STOPE: IZRAŽAVANJE, PRINCIPI, KRETANJE
POGLAVLJE VI Finansijska tržišta ta i institucije KAMATNE STOPE: IZRAŽAVANJE, PRINCIPI, KRETANJE Ciljevi predavanja Objasniti Teoriju raspoloživih fondova (Loanable Funds Theory) određivanja kamatnih stopa
Διαβάστε περισσότεραFunkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Διαβάστε περισσότεραPRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A :
PRAVAC iješeni adaci od 8 Nađie aameaski i kanonski oblik jednadžbe aca koji olai očkama a) A ( ) B ( ) b) A ( ) B ( ) c) A ( ) B ( ) a) n a AB { } i ko A : j b) n a AB { 00 } ili { 00 } i ko A : j 0 0
Διαβάστε περισσότεραPošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
Διαβάστε περισσότεραPRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραVVR,EF Zagreb. November 24, 2009
November 24, 2009 Homogena funkcija Parcijalna elastičnost Eulerov teorem Druge parcijalne derivacije Interpretacija Lagrangeovog množitelja Ako je (x, y) R 2 uredjeni par realnih brojeva, onda je s (x,
Διαβάστε περισσότεραOtpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
Διαβάστε περισσότεραMJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότερα21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότερα2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)
2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραDevizno tržište. Mart 2010 Ekonomski fakultet, Beograd Irena Janković
Devizno tržište Devizni urs i devizno tržište Devizni urs - cena jedne valute izražena u drugoj valuti Promene deviznog ursa utiču na vrednost ative i pasive oje su izražene u stranoj valuti Devizni urs
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότερα9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Διαβάστε περισσότεραSloženo periodično i neprekidno ukamaćivanje
Matematičke financije 1 Složeno periodično i neprekidno ukamaćivanje Zadatak 1: Guverner kolonije Nova Nizozemska, Peter Minuit, kupio je 1626. godine od Indijanaca otok Manhattan plativši im u robi čija
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότεραEkonomski rast. Ekonomski rast kroz povijest
Ekonomski rast Ekonomski rast kroz povijest S obzirom da se ekonomska kriza polako približava kraju potrebno je razumjeti kako će svijet izgledati nakon krize. Posebno kako će se ostvariti ekonomski rast
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg
Διαβάστε περισσότεραTROŠAK KAPITALA Predmet: Upravljanje finansijskim odlukama i rizicima Profesor: Dr sci Sead Mušinbegovid Fakultet za menadžment i poslovnu ekonomiju
TROŠAK KAPITALA Predmet: Upravljanje finansijskim odlukama i rizicima Profesor: Dr sci Sead Mušinbegovid Fakultet za menadžment i poslovnu ekonomiju Sadržaj predavnaja: Trošak kapitala I. Trošak duga II.
Διαβάστε περισσότεραElektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra
Διαβάστε περισσότεραOpća konkurencijska ravnoteža. Uvod u analizu monopola
Opća konkurencijska ravnoteža. Uvod u analizu monopola Trinaesto predavanje 5. svibnja 06. godine Pripremljeno iz: Binger i Hoffman Microeconomics with Calculus Prisjetimo se...rivulja proizvodnih mogućnosti
Διαβάστε περισσότεραMundell-Flemingov model sa krivuljom vanjske ravnoteže
Mundell-Flemingov model sa krivuljom vanjske ravnoteže 1. Uvod Na nastavi smo istaknuli da IS-LM model prilagođen otvorenoj ekonomiji nazivamo Mundell- Flemingov model. Za razumijevanje tog modela definitivno
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότερα