MAKROEKONOMIJA. 13. siječnja 2007.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "MAKROEKONOMIJA. 13. siječnja 2007."

Transcript

1 MAKROEKONOMIJA 13. siječnja 2007.

2 1 UVOD I OSNOVNI POJMOVI 1 1 UVOD I OSNOVNI POJMOVI Bruto domaći proizvod (BDP) - Mjera ukupnog proizvoda u računima nacionalnog dohotka tijekom danog razdoblja 1. BDP je vrijednost finalnih proizvoda i usluga proizvedenih u gospodarstvu tijekom danog razdoblja 2. BDP je zbroj dodane vrijednosti u gospodarstvu tijekom danog razdoblja 3. BDP je zbroj dohodaka u gospodarstvu tijekom danog razdoblja Nominalni BDP (oznaka $Y) - Zbroj količina proizvedenih finalnih dobara pomnoženih s njihovim tekućim cijenama Realni BDP (oznaka Y) - Zbroj količina proizvedenih finalnih dobara pomnoženih sa stalnim (umjesto tekućim) cijenama BDP deflator u godini t (oznaka P t ) definira se kao odnos izmedu nominalnog i realnog BDP-a u godini t: P t = $Yt Y t (= $Y t = P t Y t ) Rast BDP-a u godini t je stopa promjene realnog BDP-a u godini t: Yt Y t 1 Y t 1 Brojevi pariteta kupovne moći (PPP) su prilagodene veličine BDP-a koje možemo smatrati mjerom kupovne mo ci tijekom vremena ili izmedu zemalja. Stopa inflacije - Stopa po kojoj prosječna cijena dobara u gospodarstvu raste tijekom vremena Deflacija - Smanjenje razine cijena Dezinflacija - Smanjenje stope inflacije Fizički kapital - odnosi se na strojeve, postrojenja, nekretnine itd. Ljudski kapital - ukupnst znanja i vještina zaposlenika u nekom gospodarstvu Stopa nezaposlenosti - Udio radnika u gospodarstvu koji nisu zaposleni, ali traže posao Ukupna radna snaga: L=N+U N - broj zaposlenih U - broj nezaposlenih Stopa nezaposlenosti dana je formulom:

3 1 UVOD I OSNOVNI POJMOVI 2 u = U L Okunov zakon: Rast BDP-a obrnuto je proporcionalan stopi nezaposlenosti, tj. Visok rast BDP-a Stopa nezaposlenoti pada Nizak rast BDP-a Stopa nezaposlenosti raste

4 2 KRATKI ROK 3 2 KRATKI ROK 2.1 TRŽIŠTE DOBARA Ukupna potražnja za dobrima: Z=C+I+G+X-IM C - osobna potrošnja I - investicije G - državna potrošnja X - izvoz IM - uvoz Ako imamo zatvoreno gospodarstvo (X=IM) = Z=C+I+G Osobna potrošnja najviše ovisi o raspoloživom dohotku: C=C(Y D ) (+) oznaka za koreliranost funkcije Osobna potrošnja je linearna funkcija: C = c 0 + c 1 Y D c 1 - granična sklonost potrošnji c 0 - ono što bi ljudi potrošili ako bi im raspoloživi dohodak u tekućoj godini bio jednak Raspoloživi dohodak: Y D = Y T (= C = c 0 + c 1 (Y T )) Y - dohodak T=(T a T r ) - plaćeni porezi umanjeni za transfere Investicije promatramo kao dane (egzogena varijabla): I=Ī = Z = c 0 + c 1 (Y T ) + Ī + G Prvi uvjet ravnoteže na tržistu dobara zahtijeva da proizvodnja bude jednaka potražnji za dobrima, tj. Y=Z = Y = c 0 + c 1 (Y T ) + Ī + G Y = 1 (c c Ī + G c 1T ) }{{ 1 }{{}} autonomna potrošnja multiplikator Privatna štednja (odnosno štednja potrošača): S = Y D C = Y T C

5 2 KRATKI ROK 4 (Y=C+I+G Y-T-C=I+G-T) = S = I + G T I=S+(T-G) Izraz T-G označava javnu štednju - porezi umanjeni za državnu potrošnju Proračunski deficit - javna štednja je negativna Proračunski suficit - javna štednja je pozitivna Drugi uvjet ravnoteže na tržistu dobara zahtijeva da investicije budu jednake štednji (IS relacija), tj. ono što poduzeća žele investirati mora biti jednako onom što stanovništvo i vlada žele uštedjeti. (S = Y T C = Y T c 0 c 1 (Y T )) = S = c 0 + (1 c 1 )(T Y ) (1 c 1 ) - sklonost štednji Ī = c 0 + (1 c 1 )(Y T ) + (T G) = Y = 1 1 c 1 [c 0 + Ī + G c 1T ] Dobili smo isti rezultat za Y kao i gore, što ne začuduje, jer promatramo isti ravnotežni uvjet samo na drugačiji način!!! 2.2 FINANCIJSKA TRŽIŠTA Bilanca banke (poduzeća ili pojedinca) je popis njene imovine (zbroj onog što banka posjeduje i što se banci duguje) i obveza (ono što banka duguje drugima) u odredenom vremenskom trenutku. Ekspanzivna operacija na otvorenom tržištu - Ako banka kupi obveznice u nekoj vrijednosti, količina obveznica koje drži veća je za taj iznos, a za toliko je i veća količina novca u gospodarstvu. Ukratko banka povećava ponudu novca. Restriktivna operacija na otvorenom tržištu - Suprotan pojam od ekspanzivne politike na otv. tržištu gdje banka prodaje obveznice, te smanjuje ponudu novca. Potražnja za novcem: M d = $Y L(i) (-) $Y - nominalni dohodak L(i) - funkcija kamatne stope Ako je ponuda novca jednaka nominalnoj vrijednosti novca (M s = M) iz

6 2 KRATKI ROK 5 ravnoteže na financijskim tržištima koja zahtijeva da ponuda novca bude jednaka potražnji za novcem (M s = M d ) = M = M d (LM relacija) = M=$YL(i) Potražnja za gotovinom: CU d = cm d c - fiksna proporcija novca kojeg ljudi drže u gotovini Potražnja za depozitima po videnju: D d = (1 c)m d Što je veći iznos depozita po videnju, veći je i iznos rezervi koje banke moraju držati, te vrijedi odnos: R = θd θ - iznos rezervi koje banka drži po po nominalnoj jedinici depozita po videnju Potražnja banaka za rezervama: R d = θ(1 c)m d Potražnja za primarnim novcem: H d = CU d + R d = [c+θ(1-c)]$yl(i) Zbog uvjeta ravnoteže da je ponuda primarnog novca jednaka potražnji za primarnim novcem, tj. H = H d = H = [c + θ(1 c)]$y L(i) 1 H = $Y L(i) ponuda novca = potražnja za novcem [c + θ(1 c)] }{{} monetarni multiplikator 2.3 TRŽIŠTE DOBARA I FINANCIJSKA TRŽIŠTA: IS-LM model Ako investicije nisu konstantne ovise uglavnom o dva faktora, razini prodaje (Y) i kamatnoj stopi (i): I = I(Y,i) (+,-) Uzevši to u obzir, uvjet za ravnotežu na tržištu dobara (IS jednadžba) postaje: Y=C(Y-T)+Ī(Y,i)+G

7 2 KRATKI ROK 6 Ako nominalnu vrijednost novca podijelimo s BDP deflatorom (dobit ćemo pogodniji zapis za LM jednadžbu): = Y L(i) realna ponuda novca = realna potražnja novca M P Sada možemo promatrati obje relacije zajedno: Relacija IS: Y=C(Y-T)+I(Y,i)+G Relacija LM : M = Y L(i) P Točka u kojoj se IS krivulja (opadajućeg nagiba) siječe s LM krivuljom (rastućeg nagiba) je točka opće ravnoteže (tj. točka u kojoj je ostvarena ravnoteža i na tržištu dobara i na financijskim tržištima). Pad (G-T) - restriktivna fiskalna politika (fiskalna kontrakcija ili fiskalna konsolidacija), tj. smanjenje proračunskog deficita Porast (G-T) - fiskalna ekspanzija Pad M - monetarna kontrakcija (monetarno stezanje) Porast M - monetarna ekspanzija

8 3 SREDNJI ROK 7 3 SREDNJI ROK 3.1 TRŽIŠTE RADA Agregatna nominalna nadnica: W = P e F (u,z) (-,+) P e - očekivana razina cijena z - varijabla koja obuhvaća sve varijable koje mogu utjecati na rezultat utvrdivanja nadnice (npr. naknade za nazaposlenost) Cijene ovise o troškovima, a troškovi ovise o prirodi funkcije proizvodnje. Pojednostavljeno: Y=AN Y - proizvodnja N - zaposlenost A - produktivnost rada Pod pretpostavkom da je A=1, tj. da jedan radnik proizvede jednu jedinicu proizvoda = Y=N Cijena jedinice proizvodnje: P=(1+µ)W µ - marža (višak cijene iznad troškova proizvodnje) Pretpostavimo da je očekivana cijena jednaka stvarnoj vrijednosti, tj. P e = P : Relacija odredivanja nadnica (veza izmedu realne nadnice i stope nezaposlenosti): W P = F (u,z) (-,+) Relacija odredivanja cijena: W = 1 P 1+µ Ravnotežna (prirodna) stopa nezaposlenosti: F (u n, z) = 1 1+µ Prirodna stopa zaposlenosti: N n = L(1 u n ) (slijedi iz: u = U L = L N L = 1 N L ) Prirodna stopa domaćeg proizvoda (razina proizvodnje kada je zaposlenost

9 3 SREDNJI ROK 8 jednaka prirodnoj razini zaposlenosti): Y n = N n = L(1 u n ) = F [1 Yn L, z] = 1 1+µ 3.2 SVA TRŽIŠTA PROMATRANA ZAJEDNO: AS-AD model Relacija agregatne ponude (skraćeno AS): P = P e (1 + µ)f [1 Y L, z] (zbog W = P e F (u, z), P = (1 + µ)w, u = 1 N L = 1 Y L ) Krivulja agregatne ponude je rastuća Relacija agregatne potražnje (skraćeno AD) izvodi se iz IS-LM modela: Y=Y[ M P,G,T] (+,+, -) Krivulja agregatne potražnje je padajuća Ravnoteža u kratkom roku dana je sjecištem krivulja AS i AD u kojem se sva tržišta (tržište dobara, financijska tržišta i tržište rada) nalaze u ravnoteži (u tom slučaju je obično Y Y n i P P e ). Ravnoteža u srednjem roku - domaći proizvod se s vremenom vraća na svoju prirodnu razinu (u tom slučaju Y Y n i P P e ). 3.3 PRIRODNA STOPA NEZAPOSLENOSTI I PHILLIPSOVA KRIVULJA Pretpostavimo sljedeće: F (u, z) = 1 αu + z = P = P e (1 + µ)(1 αu + z) Neka π označava stopu inflacije, a π e očekivanu stopu inflacije, tada: π = π e + (µ + z) αu = π t = π e t + (µ + z) αu t (za odredenu godinu t) Pretpostavimo da se očekivanja o inflaciji oblikuju prema: πt e = θπ t 1 = π t = θπ t 1 +(µ + z) αu }{{} πt e Kad je θ > 0 stopa inflacije ovisi i o stopi nezaposlenosti i o prošlogodišnjoj stopi inflacije

10 3 SREDNJI ROK 9 Izvorna Phillipsova krivulja - pokazuje negativan odnos izmedu stope inflacije i stope nezaposlenosti. θ = 0 π e t = 0 = π t = (µ + z) αu t (Izmijenjena) Phillipsova krivulja (Phillipsova krivulja uvećana za očekivanja ili Phillipsova krivulja ubrzanja) - stopa nezaposlenosti utječe na promjenu stope inflacije. θ = 1 π e t = π t 1 = π t π t 1 = (µ + z) αu Ako je π t = πt e 0 = (µ + z) αu t Prirodnu stopu nezaposlenosti možemo izraziti kao: u n = µ+z α = π t π t 1 = α(u t u n ) Promjena stope inflacije ovisi o razlici izmedu stvarne i prirodne stope inflacije Indeksiranje nadnica - pravilo kojim se automatski povećavaju nadnice kako se mijenja inflacija Neka je λ dio ugovora o radu koji su indeksirani (dio (1-λ) nije indeksiran): π t = [λπ t + (1 λ)π e t ] α(u t u n ) Pretpostavimo: πt e = π t 1 = π t π t 1 = α (u 1 λ t u n ) Indeksiranje nadnica povećava učinak nezaposlenosti na inflaciju 3.4 INFLACIJA, GOSPODARSKA AKTIVNOST I NOMINALNI RAST NOVCA Okunov zakon pokazuje kako odstupanje rasta domaćeg proizvoda od normalnog dovodi do promjene stope u nezaposlenosti: u t u t 1 = β(g yt ḡ y ) g yt - stopa rasta domaćeg proizvoda od godine t-1 do godine t ḡ y - normalna stopa rasta gospodarstva β - učinak rasta domaćeg proizvoda iznad normalne stope na promjenu stope nezaposlenosti Phillipsova krivulja pokazuje kako odstupanje stope nezaposlenosti od prirodne

11 3 SREDNJI ROK 10 stope dovodi do promjene stope inflacije: π t π t 1 = α(u t u n ) Relacija agregatne potražnje pokazuje kako razlika izmedu nominalnog rasta novca i inflacije utječe na rast domaćeg proizvoda: g yt = g mt π t (uz pretpostavku: Y t = γ Mt P t, γ > 0) g yt - stopa rasta domaćeg proizvoda g mt - nominalna stopa rasta novca U srednjem roku vrijedi: Domaći proizvod mora rasti po normalnoj stopi: (u t = u t 1 uvrstimo u Okunov zakon) = g yt = ḡ y Inflacija je jednaka prilagodenom nominalnom rastu novca: (iz relacije agregatne potražnje) = π = ḡ m ḡ y Stopa nezaposlenosti mora biti jednaka prirodnoj stopi nezaposlenosti: (π t = π t 1 uvrstimo u Phillipsovu krivulju) = u t = u n Postotni bod prekomjerne nezaposlenosti na godinu je razlika izmedu stvarne i prirodne stope nezaposlenosti od jednog postotnog boda za jednu godinu. Koeficijent žrtve je broj postotnih bodova prekomjerne nezaposlenosti potrebnih da bi ostvarili smanjenje inflacije za 1%.

12 4 DUGI ROK 11 4 DUGI ROK 4.1 ČINJENICE O RASTU Tri su osnovne činjenice o rastu razvijenih zemalja nakon godine: Dolazi do velikog porasta životnog standarda Od sredine 70-ih dolazi do smanjenja rasta Domaći proizvod po glavi stanovnika (BDP podijeljen s brojem stanovnika) medu razvijenim zemljama konvergira Agregatna funkcija proizvodnje: Y=F(K,N) K - kapital (suma svih strojeva, postrojenja i poslovnih zgrada) Konstantni prinosi na opseg: Ako umnožimo veličine kapitala i rada za neki x, tada će se i domaći proizvod umnožiti za x. xy=f(xk,xn) Svojstvo opadajućih prinosa na kapital - Svojstvo prema kojem povećanje kapitala vodi ka sve manjem i manjem povećanju domaćeg proizvoda kako se razina kapitala povećava. Ako stavimo x = 1 N u jednadžbu konstantnih prinosa na opseg = Y N = F ( K N, N N ) = F ( K N, 1) = f(k N ) U dugom roku, gospodarstvo koje održava višu stopu tehnološkog razvoja će u konačnici preteći sva ostala gospodarstva. 4.2 ŠTEDNJA, AKUMULACIJA KAPITALA I DOMAĆI PROIZVOD Pretpostavimo da je zaposlenost konstantna (N t = N) i da nema tehnološkog napretka: Y t = N f(kt ) N Pretpostavimo da imamo zatvorenu ekonomiju (X=IM), te da nema javne štednje (T=G): = I=S

13 4 DUGI ROK 12 Pretpostavimo da je privatna štednja proporcionalna dohotku: S=sY s - stopa štednje = I t = sy t Razvoj kapitala: K t+1 = (1 δ)k t + I t K t - kapital na početku godine t δ - godišnja stopa po kojoj opada vrijednost kapitala Kapital po radniku na početku godine t+1: K t+1 Kt = (1 δ) + s Yt N N N Promjena kapitala po radniku izmedu godine t i t+1: K t+1 N Kt N = s Yt δ Kt N N Kt = N N sf(kt ) δ Kt N N ) - investicije tijekom godine t - amortizacija tijekom godine t = K t+1 sf( Kt N δ Kt N Stabilno stanje gospodarstva - stanje u kojem se domaći proizvod po radniku i kapital po radniku ne mijenjaju. Stabilna razina kapitala po radniku: sf( K ) = δ K N N Ravnotežna vrijednost domaćeg proizvoda po radniku: Y = N f(k ) N Učinci stope štednje na stopu rasta domaćeg proizvoda po radniku: Stopa štednje nema učinka na dugoročnu stopu rasta domaćeg proizvoda po radniku, koja je jednaka nuli. Stopa štednje odreduje razinu domaćeg proizvoda po radniku u dugom roku. Povećanje stope štednje dovest će do višeg rasta domaćeg proizvoda po radniku tijekom nekog vremena, ali ne zauvijek.

14 4 DUGI ROK 13 Razina kapitala prema zlatnom pravilu - razina kapitala povezana s vrijednošću stope štednje koja rezultira najvećom razinom potrošnje u stabilnom stanju gospodarstva. Povećanje kapitala iznad razine zlatnog pravila smanjuje stabilnu razinu potrošnje. Potrošnja po radniku (u stabilnom stanju): C N = Y N δ K N Proširenje funkcije proizvodnje: Y N =f ( K N, H N ) (+, +) K N H N - razina fizičkog kapitala po radniku - razina ljudskog kapitala po radniku Oba oblika kapitala mogu se akumulirati, fizički kapital putem fizičkog investiranja, a ljudski kapital putem obrazovanja i usavršavanja. Povećanje stope štednje i/ili dijela domaćeg proizvoda utrošenog na obrazovanje i usavršavanje može dovesti do puno više razine domaćeg proizvoda u dugom roku. Cobb-Douglasova funkcija proizvodnje: Y = K α N 1 α, gdje je 0 < α < 1 Empirijski dokazi navode: α 1 3 α ukoliko K uzmemo kao fizički kapital - ukoliko K uzmemo kao fizički i ljudski kapital 4.3 TEHNOLOŠKI NAPREDAK I RAST Tehnološki napredak možemo gledati kao sredstvo povećanja domaćeg proizvoda uz dane iznose kapitala i rada. Proširena funkcija proizvodnje koja uvažava tehnološki napredak: Y=F(K,N,A) (+,+,+) A - stanje tehnologije Restriktivan oblik prethodne jednadžbe: Y=F(K,AN)

15 4 DUGI ROK 14 AN - količina efektivnog rada I tu je razumno pretpostaviti konstantne prinose na opseg: xy=f(xk,xan) Uzmimo x = 1 AN Domaći proizvod po efektivnom radniku: Y = F ( K, 1) = f( K ) AN AN AN K AN - kapital po efektivnom radniku Investicije po efektivnom radniku: I = s Y = sf( K ) AN AN AN Razina investicija potrebna da bi se zadržala dana razina kapitala po efektivnom radniku: δk + (g A + g N )K = (δ + g A + g N )K δ - stopa amortizacije kapitala g A - godišnja stopa rasta broja radnika (N) g N - godišnja stopa tehnološkog napretka (A) Razina investicija po efektivnom radniku potrebna da bi se zadržala dana razina kapitala po efektivnom radniku: (δ + g A + g N ) K AN U stabilnom stanju ovog gospodarstva (u dugom roku) vrijedi: Kapital po efektivnom radniku i domaći proizvod po efektivnom radniku su konstantni. Kapital po radniku i domaći proizvod po radniku rastu po stopi tehnološkog rasta g A. Rad raste po stopi rasta stanovništva g N, a kapital i domaći proizvod rastu po stopi (g A + g N ). Učinci povećanja stope štednje: 1. Dolazi do porasta stabilnih razina domaćeg proizvoda po efektivnom radniku i kapitala po efektivnom radniku 2. Dolazi do većeg rasta dok gospodarstvo ne dosegne novu, višu putanju uravnoteženog rasta

16 4 DUGI ROK TEHNOLOŠKI NAPREDAK, NADNICE I NEZA- POSLENOST Zanemarimo ulogu kapitala u funkciji proizvodnje Y=F(K,AN) Uz tu pretpostavku, domaći proizvod se proizvodi isključivo temeljem rada: Y=AN Odredivanje cijena: P = (1 + µ) W A Odredivanje nadnica: W = A e P e F (u, z) A e - očekivana razina produktivnosti Pretpostavimo: P e = P i A e = A Odredivanje realnih nadnica: = AF (u, z) W = A P 1+µ U kratkom roku ne postoji sustavna veza izmedu kretanja rasta produktivnosti i kretanja nezaposlenosti. U srednjem roku, ako postoji odnos izmedu rasta produktivnosti i nezaposlenosti, čini se da je obrnut.

Tržište dobara i usluga u otvorenom gospodarstvu

Tržište dobara i usluga u otvorenom gospodarstvu Tržište dobara i usluga u otvorenom gospodarstvu lanchard: Poglavlje 19. Makro-vježbe (O.Vukoja) #1 Outline predavanja: 1. IS relacija (tržište dobara) u otvorenom gospodarstvu 2. Ravnotežni output i vanjskotrgovinska

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Analiza savršene konkurencije u kratkom roku

Analiza savršene konkurencije u kratkom roku Analiza savršene konkurencije u kratkom roku Jedanaesto predavanje, 11. svibnja 2016. godine Pripremljeno iz: Binger i Hoffman, Microeconomics with Calculus Maksimizacija profita poduzeća koje posluje

Διαβάστε περισσότερα

MJERENJE GNP-a KROZ PRIHODE poslovni troškovi su prihodi koje domaćinstva primaju od poduzeća. Ukupna vrijednost pojavljuje se kao nečiji prihod.

MJERENJE GNP-a KROZ PRIHODE poslovni troškovi su prihodi koje domaćinstva primaju od poduzeća. Ukupna vrijednost pojavljuje se kao nečiji prihod. GNP (društveni bruto proizvod) je trţ vrijednost svih finalnih dobara i usluga proizvedenih u privredi u nekom vremenskom razdoblju. Jednak je sumi novčane vrijednosti cjelokupne potrošnje i investicijskih

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

PITANJA IZ MAKROEKONOMIJE:

PITANJA IZ MAKROEKONOMIJE: PITANJA IZ MAKROEKONOMIJE: 1. GDP a) Na koje sve načine možemo doći do BDP-a (GDP-a). Ukratko iz opišite? Do GDP-a možemo doći na 3 načina: - mjerenje GDP-a preko potrošnje: mjerimo ukupnu potrošnju dobara

Διαβάστε περισσότερα

ZADACI 18. Blanchard. 3. Pretpostavite slijedeće IS-LM jednadžbe: M P. E pri čemu je E

ZADACI 18. Blanchard. 3. Pretpostavite slijedeće IS-LM jednadžbe: M P. E pri čemu je E 1 ZDCI 18 Blanchard 1. Nominalni devizni tečaj, realni devizni tečaj, strana i domaća inflacija Koristeći definiciju realnog deviznog tečaja (i matematički dodatak u knjizi) možete, pokazati da vrijedi

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

MAKROEKONOMIJA Ispiti 1

MAKROEKONOMIJA Ispiti 1 MAKROEKONOMIJA Ispiti 1 Bok, Drago nam je što si odabrao/la upravo Referadu za pronalazak materijala koji će ti pomoći u učenju! Materijali koje si skinuo/la s naše stranice nisu naše autorsko djelo, već

Διαβάστε περισσότερα

POTROŠNJA, ŠTEDNJA I INVESTICIJE

POTROŠNJA, ŠTEDNJA I INVESTICIJE SVEUČILIŠTE U RIJECI FAKULTET ZA MENADŽMENT U TURIZMU I UGOSTITELJSTVU OPATIJA 1 POTROŠNJA, ŠTEDNJA I INVESTICIJE POTROŠNJA I ŠTEDNJA Potrošnja i štednja su ključne za razumijevanje ekonomskog rasta i

Διαβάστε περισσότερα

AKUMULACIJA KAPITALA PROTIV TEHNOLOŠKOG PROCESA

AKUMULACIJA KAPITALA PROTIV TEHNOLOŠKOG PROCESA AD KRIVULJA (agregatne potraţnje) Agregatna potražnja prikazuje utjecaj promjene razine cijena na razinu proizvodnje. AD krivulja se izvodi iz ravnoteže na robnom i novĉanom tržištu, a prikazuje negativan

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

7. Troškovi Proizvodnje

7. Troškovi Proizvodnje MIKROEKONOMIJA./. 7. Troškovi Proizvodnje Autori: Penezić Andrija Miković Ivana Pod vodstvom: Prof.dr. Đurđice Fučkan Prezentacije su napravljene prema : Pindyck, R.S./ Rubinfeld, D.L. () MIKROEKONOMIJA

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 4. Proizvodnja i organizacija poslovanja, analiza troškova

VJEŽBE 4. Proizvodnja i organizacija poslovanja, analiza troškova VJEŽBE 4. Proizvodnja i organizacija poslovanja, analiza troškova I SKUPINA ZADATAKA 1. Proizvodna funkcija predstavlja odnos između a) inputa i outputa b) troškova i radnika c) ukupnog proizvoda i graničnog

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj

( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens

Διαβάστε περισσότερα

INFLACIJA I DEFICIT JAVNE POTROŠNJE

INFLACIJA I DEFICIT JAVNE POTROŠNJE INFLACIJA I DEFICIT JAVNE POTROŠNJE Prof. dr Jovo Jednak Prof. dr Jovo Jednak 1 Šta je inflacija, nivo cena i vrednost novca 1. Šta je inflacija? Neuravnoteženost izmeñu tražnje i ponude dobara može uzrokovati

Διαβάστε περισσότερα

Varijabilni. troškovi. Ukupni. troškovi. Granični troškovi

Varijabilni. troškovi. Ukupni. troškovi. Granični troškovi Ovisnost troškova o promjenama opsega proizvodnje Stalni troškovi Varijabilni troškovi Ukupni troškovi Granični troškovi Prosječni troškovi troškovi proizvodnje su različiti po: svom porijeklu (prirodnim

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x. 4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos

Διαβάστε περισσότερα

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) (Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

KAMATNE STOPE: IZRAŽAVANJE, PRINCIPI, KRETANJE

KAMATNE STOPE: IZRAŽAVANJE, PRINCIPI, KRETANJE POGLAVLJE VI Finansijska tržišta ta i institucije KAMATNE STOPE: IZRAŽAVANJE, PRINCIPI, KRETANJE Ciljevi predavanja Objasniti Teoriju raspoloživih fondova (Loanable Funds Theory) određivanja kamatnih stopa

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A :

PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A : PRAVAC iješeni adaci od 8 Nađie aameaski i kanonski oblik jednadžbe aca koji olai očkama a) A ( ) B ( ) b) A ( ) B ( ) c) A ( ) B ( ) a) n a AB { } i ko A : j b) n a AB { 00 } ili { 00 } i ko A : j 0 0

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

VVR,EF Zagreb. November 24, 2009

VVR,EF Zagreb. November 24, 2009 November 24, 2009 Homogena funkcija Parcijalna elastičnost Eulerov teorem Druge parcijalne derivacije Interpretacija Lagrangeovog množitelja Ako je (x, y) R 2 uredjeni par realnih brojeva, onda je s (x,

Διαβάστε περισσότερα

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Otpornost R u kolu naizmjenične struje Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja

Διαβάστε περισσότερα

MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)

MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

APROKSIMACIJA FUNKCIJA APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

Devizno tržište. Mart 2010 Ekonomski fakultet, Beograd Irena Janković

Devizno tržište. Mart 2010 Ekonomski fakultet, Beograd Irena Janković Devizno tržište Devizni urs i devizno tržište Devizni urs - cena jedne valute izražena u drugoj valuti Promene deviznog ursa utiču na vrednost ative i pasive oje su izražene u stranoj valuti Devizni urs

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

Složeno periodično i neprekidno ukamaćivanje

Složeno periodično i neprekidno ukamaćivanje Matematičke financije 1 Složeno periodično i neprekidno ukamaćivanje Zadatak 1: Guverner kolonije Nova Nizozemska, Peter Minuit, kupio je 1626. godine od Indijanaca otok Manhattan plativši im u robi čija

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

Ekonomski rast. Ekonomski rast kroz povijest

Ekonomski rast. Ekonomski rast kroz povijest Ekonomski rast Ekonomski rast kroz povijest S obzirom da se ekonomska kriza polako približava kraju potrebno je razumjeti kako će svijet izgledati nakon krize. Posebno kako će se ostvariti ekonomski rast

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg

Διαβάστε περισσότερα

TROŠAK KAPITALA Predmet: Upravljanje finansijskim odlukama i rizicima Profesor: Dr sci Sead Mušinbegovid Fakultet za menadžment i poslovnu ekonomiju

TROŠAK KAPITALA Predmet: Upravljanje finansijskim odlukama i rizicima Profesor: Dr sci Sead Mušinbegovid Fakultet za menadžment i poslovnu ekonomiju TROŠAK KAPITALA Predmet: Upravljanje finansijskim odlukama i rizicima Profesor: Dr sci Sead Mušinbegovid Fakultet za menadžment i poslovnu ekonomiju Sadržaj predavnaja: Trošak kapitala I. Trošak duga II.

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

Opća konkurencijska ravnoteža. Uvod u analizu monopola

Opća konkurencijska ravnoteža. Uvod u analizu monopola Opća konkurencijska ravnoteža. Uvod u analizu monopola Trinaesto predavanje 5. svibnja 06. godine Pripremljeno iz: Binger i Hoffman Microeconomics with Calculus Prisjetimo se...rivulja proizvodnih mogućnosti

Διαβάστε περισσότερα

Mundell-Flemingov model sa krivuljom vanjske ravnoteže

Mundell-Flemingov model sa krivuljom vanjske ravnoteže Mundell-Flemingov model sa krivuljom vanjske ravnoteže 1. Uvod Na nastavi smo istaknuli da IS-LM model prilagođen otvorenoj ekonomiji nazivamo Mundell- Flemingov model. Za razumijevanje tog modela definitivno

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα