Υλοποίηση Αναθεωρημένου Αλγορίθμου Simplex

Transcript

1 Υλοποίηση Αναθεωρημένου Αλγορίθμου Simple Για το γενικό γραμμικό πρόβλημα Αμπατζόγλου Απόστολος Πανεπιστήμιο Μακεδονίας Ιούνιος 2005

2 Γενικό γραμμικό πρόβλημα Προβλήματα μεγιστοποίησης ή ελαχιστοποίησης υπό περιορισμούς min z = c T μ.π Α b (Γ.Π.(. 1) 1 0

3 Μέθοδοι Επίλυσης Αλγόριθμοι εσωτερικών σημείων Αλγόριθμοι εξωτερικών σημείων Αλγόριθμοι τύπου Simple

4 Εφαρμογές Διάβασμα αρχείου mps Δημιουργία τυχαίων προβλημάτων (βέλτιστων ή μη) Εφαρμογή προλυτικών διαδικασιών (presolve) και διαδικασιών κλιμάκωσης (scaling) Υλοποίηση αναθεωρημένου αλγορίθμου Simple Δοκιμή εφαρμογών σε προβλήματα Benchmark και τυχαία

5 Τεχνολογίες αραιών μητρών (1/2) Κλασσική αραιή αποθήκευση (δυο διανύσματα δεικτών και ενός διανύσματος τιμών) CSC (δυο διανύσματα δεικτών JA, IA και ενός διανύσματος τιμών Anz) CSR (δυο διανύσματα δεικτών JA, IA και ενός διανύσματος τιμών Anz)

6 Τεχνολογίες αραιών μητρών (2/2) Χρόνος σε sec Πλήρης Μήτρες Αραιές Μήτρες Διάσταση μήτρας

7 Διάβασμα αρχείου mps (1/2) Διάβασμα του αρχείου μία φορά Χρήση βοηθητικών δομών δεδομένων (Var,, Constraint, ConstraintVarValue)

8 Διάβασμα αρχείου mps (2/2) Πολύ καλή υλοποίηση, μικροί χρόνοι χωρίς προβλήματα ανάλογα με το μέγεθος Όνομα Μέγεθος Read Time Write Time Total Time 25fv ship12l stocfor stocfor osa cre_b cre_d

9 Δημιουργία τυχαίων προβλημάτων (1/2) Βέλτιστα ή μη Πυκνά ή αραιά οποιασδήποτε πυκνότητας Οποιασδήποτε διάστασης (μέχρι 3000χ3000) 3000) Γρήγορη υλοποίηση, περιορισμός μεγέθους λόγω χρήσης πίνακα σταθερού μεγέθους

10 Δημιουργία τυχαίων προβλημάτων (2/2) TYPE SIZE EXECUTION TIME Optimal Density Rows Columns Generate Matri Writing File Total Time ΝΑΙ 100% ΝΑΙ 100% ΝΑΙ 100% ΝΑΙ 100% ΝΑΙ 100% ΌΧΙ 100% ΌΧΙ 100% ΌΧΙ 100% ΌΧΙ 100% ΌΧΙ 100% ΝΑΙ 5% ΝΑΙ 10% ΝΑΙ 20% ΝΑΙ 10% ΝΑΙ 20% ΌΧΙ 5% ΌΧΙ 10% ΌΧΙ 20% ΌΧΙ 10% ΌΧΙ 20%

11 Προλυτικές διαδικασίες (1/2) Διαγραφή κενών γραμμών και κενών στηλών Διαγραφή ισοτικών και ανισοτικών γραμμών με ένα μη μηδενικό στοιχείο Διαγραφή ισοτικών και ανισοτικών στηλών με ένα μη μηδενικό στοιχείο Διαγραφή πλεονασματικών ορίων μεταβλητών Διαγραφή πλεονασματικών μταβλητών

12 Προλυτικές διαδικασίες (2/2) Μεγαλύτερη μείωση στη διαγραφή singleton ισοτικών και ανισοτικών γραμμών Μικρότερη μείωση από διαγραφή κενών στηλών Χρονικά δαπανηρή διαδικασία

13 Αλγόριθμος Simple Χρήση τεχνικής lprref για την εύρεση αρχικής βασικής διαμέρισης Χρήση μεθόδου των δύο φάσεων για την εύρεση εφικτής βασικής διαμέρισης Πλήρης αποθήκευση πίνακα Κατανάλωση χρόνου σε ποσοστό 70% με 80% στην αντιστροφή της βάσης

14 Αντιστροφή βάσης (1/2) Rank one Inversion,πολυπλοκότητα O(m 2 ) Eta matri Inversion,πολυπλοκότητα O(m 3 ) Gauss Jordan Inversion

15 Αντιστροφή βάσης (2/2) % 90.00% 80.00% 70.00% 60.00% 50.00% 40.00% Η-μήτρες Πλήρης αντιστροφή 30.00% 20.00% 10.00% 0.00%

16 Υπολογιστική μελέτη (1/5) Size Density Generating time Read to mps Eta matri Rank one matri Solution time Iterations Solution time Iterations % % % % % % % % % % % % % % % % % %

17 Υπολογιστική μελέτη (2/5) NAME speedup scfm1 1,175 scfm2 0,894 optimal adlittle 1,500 afiro 1,000 agg 1,116 agg2 1,133 agg3 1,144 bandm 1,111 beaconfd 1,750 blend 1,000 brandy 1,240 e226 1,123 fffff800 1,104 israel 1,143 lotfi 1,185 scfm3 1,089 scrs8 1,105 sctap1 1,099 sctap2 1,158 share1b 1,327 share2b 1,214 ship04l 1,067 ship04s 1,084 ship08l 1,086 ship08s 1,095 ship12l 1,107 ship12s 1,732 stocfor1 1,625 stocfor2 1,155 sc105 0,929 sc205 1,121 sc50a 2,000 sc50b 1,000 scagr7 1,160

18 Υπολογιστική μελέτη (3/5) Speed Up 1,200 1,180 1,160 1,140 1,120 1,100 Speed Up 1,080 1,060 1,040 1,020 1,000 agg agg2 agg3 bandm fffff800 scfm1 scrs8 ship04l ship04s

19 Υπολογιστική μελέτη (4/5) E-matri Rank one agg agg2 agg3 bandm fffff800 scfm1 scrs8 ship04l ship04s

20 Υπολογιστική Υπολογιστική μελέτη μελέτη (5/5) (5/5) % 1.0% 2.0% 0.5% 1.0% 2.0% 0.5% 1.0% 2.0% 0.5% 1.0% 2.0% 0.5% 1.0% 2.0% 0.5% 1.0% 2.0% Eta-matri Rank one

21 Συμπεράσματα (1/2) Απαραίτητη η ανανέωση της βάσης, απαγορευτική η χρήση υπολογιστικών μεθόδων H μέθοδος Rank One είναι κατά περίπου 16% γρηγορότερη στα Benchmark και κατά 13% στα τυχαία Μέσο speed up 1.176

22 Συμπεράσματα (2/2) Δεν υπάρχει πρόβλημα στο οποίο η μέθοδος E-matri λειτουργεί πιο γρήγορα από την Rank-one Απαραίτητη η χρήση προλυτικών διαδικασιών σε όλα τα Benchmark, χρήση τεχνικών κλιμάκωσης και ανοχών σε κάποια προβλήματα

23 Προτάσεις για περαιτέρω έρευνα Παραλληλοποίηση (Αντιστροφή της βάσης, Επιλογή εισερχόμενης και εξερχόμενης μεταβλητής) Ανανέωση διανυσμάτων Β και s Ν αντί για υπολογισμό τους Χρήση τεχνολογιών αραιών μητρών στον αλγόριθμο και στο lprref Χρήση μεικτής τεχνικής αποθήκευσης (CSC και CSR) στις προλυτικές διαδικασίες