Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian."

Transcript

1 Spaţii vectoriale 1. Spaţii vectoriale. Definiţii şi proprietăţi de bază În continuare prin corp vom înţelege corp comutativ. Dacă nu se precizează altceva, se vor folosi notaţiile standard pentru elementele speciale ale unui corp. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian. Spunem că o operaţie externă : K V V, K V (α, x) αx determină o structură de K-spaţiu vectorial pe V dacă sunt îndeplinite axiomele: (SV1) α(x + y) = αx + αy, α K, x, y V ; (SV2) (α + β)x = αx + βx, α, β K, x V ; (SV3) α(βx) = (αβ)x, α, β K, x V ; (SV4) 1x = x, x V. Notăm cu K V un K-spaţiu vectorial. Observaţia 1.2. În definiţia anterioară s-au folosit notaţiile standard din teoria spaţiilor vectoriale. Atragem atenţia că + şi notează fiecare câte două operaţii. De exemplu în (SV2) primul + este operaţia din corp, iar al doilea este operaţia din grup. Definiţia 1.3. În situaţia descrisă de definiţia 1.1 se foloseşte următoarea terminologie: elementele lui V s.n. vectori. Elementul neutru din V se notează cu 0 sau 0 V şi s.n. vectorul nul. elementele lui K s.n. scalari. operaţia externă s.n. înmulţirea cu scalari. Example ) K n 1

2 2 SPAŢII VECTORIALE 2) V 2 = R 2 3) K A 4) K[X], Z 2 [X] Propoziţia 1.5. Fie V un K-s.v. a) α K, t α : V V, t α (x) = αx este un morfism de grupuri. a) x V, t x : (K, +) (V, +), t x (α) = αx este un morfism de grupuri. Corolarul 1.6. (reguli de calcul)

3 2. SUBSPAŢII ALE SPAŢIILOR VECTORIALE 3 a) α K, α0 V = 0 V ; b) x V, 0 K x = 0 V ; c) α K, x V, α( x) = αx = ( αx). d) α K, x V ; αx = 0 V α = 0 K sau x = 0 V. 2. Subspaţii ale spaţiilor vectoriale Definiţia 2.1. Fie V un K-s.v. şi S V. Spunem că S este K-subspaţiu al lui V (şi notăm S K V ) dacă S este stabilă faţă de adunarea vectorilor (i.e. x, y S, x + y S) şi faţă de înmulţirea cu scalari (i.e. α K x S, αx S) şi împreună cu restricţiile acestor operaţii S este un K-s.v. Observaţia 2.2. Dacă S K V, atunci S este subgrup în (V, +), deci 0 V S. Teorema 2.3. (teorema de caracterizare a subspaţiilor) Fie V un K-s.v. şi S V. Următoarele afirmaţii sunt echivalente: a) S este un subspaţiu al lui V ; b) (i) 0 V S (S ), (ii) x, y S x + y S, (iii) α K, x S, αx S. c) (i) 0 V S (S ), (ii) α, β K, x, y S, αx + βy S.

4 4 SPAŢII VECTORIALE Definiţia 2.4. Fie V un K-s.v., α 1,..., α n K şi x 1,..., x n V. Vectorul n not v = α 1 x α n x n = α i x i = (α 1,..., α n )[x 1,..., x n ] t i=1 s.n. combinaţie liniară a vectorilor x 1,..., x n cu scalarii α 1,..., α n. Corolarul 2.5. Subspaţiile vectoriale sunt închise la combinaţii liniare. Prin inducţie după numărul vectorilor din combinaţia liniară. Example 2.6. Propoziţia 2.7. Dacă (S i ) i I este o familie de subspaţii vectorial ale K-s.v. V, atunci i I S i K V. [Intersecţia unei familii de subspaţii ale unui s.v. este un subspaţiu.] Definiţia 2.8. Fie V un K-s.v. şi X V. Subspaţiul X = S s.n. subspaţiul generat de X. X S K V

5 2. SUBSPAŢII ALE SPAŢIILOR VECTORIALE 5 Observaţia 2.9. X este cel mai mic subspaţiu care conţine pe X. Teorema Dacă V este un K-s.v. şi X V, atunci n X = { α i x i n N, α i K, x i X i I}. i=1 [ X este mulţimea combinaţiilor liniare de elemente din X.] Corolarul a) x = {αx α K}; b) x, y = {αx + βy α, β K}; c) x 1,..., x m = { m i=1 α ix i α i K, i {1,..., n}}. Observaţia În general reuniunea a două subspaţii nu este subspaţiu. Example Propoziţia Fie V un K-s.v. a) Dacă S, T K V, atunci S T = {s + t s S, t T } not = S + T.

6 6 SPAŢII VECTORIALE b) Dacă S 1,..., S n K V, atunci n { n } Si = s i i, s i S i i=1 i=1 not = n S i. i=1 3. Aplicaţii liniare Definiţia 3.1. Fie K un corp, V şi V două spaţii vectoriale. Spunem că o funcţie f : V V este o aplicaţie liniară (sau K- morfism) dacă sunt îndeplinite condiţiile: x, y V, f(x + y) = f(x) + f(y) (f este aditivă), α K, x V, f(αx) = αf(x) (f este omogenă). Dacă, în plus, f este bijectivă, atunci f s.n. izomorfism. În această situaţie spunem că spaţiile vectoriale sunt izomorfe şi notăm V = V. Dacă V = V, atunci f s.n. endomorfism al lui V. Un endomorfism bijectiv s.n. automorfism. Teorema 3.2. Fie V şi V două K-spaţii vectoriale. O funcţie f : V V este aplicaţie liniară dacă şi numai dacă α, β K, x, y V f(αx + βy) = αf(x) + βf(y).

7 3. APLICAŢII LINIARE 7 Corolarul 3.3. Orice aplicaţie liniară păstrează combinaţiile liniare: f((α 1,..., α n )[x 1,..., x n ] t ) = (α 1,..., α n )[f(x 1 ),..., f(x n )] t. Example ) 1 V 2) θ 3) s : R 2 R 2, s(a, b) = (b, a). 4) f : K[X] K, f(p ) = P (0). Observaţia ) Orice aplicaţie liniară este un morfism de grupuri, pentru că este aditivă, prin urmare, dacă f : V V este o aplicaţie liniară, atunci f(0 V ) = 0 V ; f( x) = f(x) x V. Propoziţia 3.6. a) Compusa a două (sau mai multe) aplicaţii liniare este o aplicaţie liniară. b) Inversa unui izomorfism între spaţii vectoiale este un izomorfism de spaţii vectoriale. Notaţia 3.7. Dacă V şi V sunt K-s.v., atunci vom nota Hom K (V, V ) = {f : V V f este o aplicaţie liniară}. Mulţimea Hom K (V, V ) se notează End K (V ). Propoziţia 3.8. Fie V şi V două K-s.v. Pe mulţimea Hom K (V, V ) definim operaţia +, dată de: f, g Hom K (V, V ) f + g : V, (f + g)(x) = f(x) + g(x).

8 8 SPAŢII VECTORIALE Sunt adevărate afirmaţiile: a) Operaţia + este bine definită. b) (Hom K (V, V ), +) este un grup abelian. c) (End K (V ), +, ) este un inel (numit inelul endomorfismelor lui V ). d) Grupul Hom K (V, V ) este un K-s.v. faţă de înmulţirea cu scalari: : K Hom K (V, V ) Hom K (V, V ), αf : V V, (αf)(x) = αf(x) α K, f Hom K (V, V ). TEMĂ Definiţia 3.9. Dacă f : V V este o aplicaţie liniară între K- s.v., atunci Ker(f) = {x V f(x) = 0 V } s.n. nucleul lui f. Teorema Fie f : V V o aplicaţie liniară. Sunt adevărate afirmaţiile: a) Ker(f) K V ; b) f este injectivă Ker(f) = 0(= {0 V }). Teorema (de corespondenţă) Fie f : V V o aplicaţie liniară. Sunt adevărate afirmaţiile: a) S K V f(s) K V ; b) S K V f 1 (S ) K V ; c) Dacă f este surjectivă, atunci funcţia ϕ : {S S K V, Ker(f) S} {S S K V } este bijectivă.

9 4. DEPENDENŢĂ ŞI INDEPENDENŢĂ LINIARĂ. BAZE 9 4. Dependenţă şi independenţă liniară. Baze Definiţia 4.1. Fie V un K-spaţiu vectorial şi a = [v 1,..., v n ] un sistem de vectori din V. Spunem că: a este liniar dependent dacă există un n-uplu α = (α 1,..., α n ) (0,..., 0) de scalari din K astfel încât αa t = n i=1 α iv i = 0; a este liniar independent dacă nu este liniar dependent; a este bază dacă este un sistem de generatori liniar independent. Din definiţiile de mai sus deducem următoarele proprietăţi 1) Un sistem format dintr-un singur vector este liniar dependent dacă şi numai dacă vectorul este nul. 2) Dacă există un indice i astfel încât v i = 0, sistemul a = [v 1,..., v n ] este liniar dependent. 3) Sistemul a = [v 1,..., v n ] este liniar independent dacă şi numai dacă din n i=1 α iv i = 0 rezultă α 1 = = α n = 0. Example 4.2. În R-spaţiul vectorial R3 avem: a) Sistemul a = [u 1, u 2, u 3 ] cu u 1 = (1, 0, 1), u 2 = (2, 1, 0), u 3 = (0, 1, 2) este liniar dependent pentru că 2u 1 + u 2 u 3 = 0. b) Sistemul b = [v 1, v 2 ] cu v 1 = (1, 0, 1), v 2 = (2, 1, 0) este liniar independent. Acest sistem nu formează o bază pentru că (0, 1, 1) u 1, u 2. c) Sistemul c = [w 1, w 2, w 3 ] dat de w 1 = (1, 0, 0), w 2 = (1, 1, 0) şi v 3 = (1, 1, 1) este o bază a R-spaţiului vectorial R 3. Example 4.3. În K-spaţiul vectorial Kn, sistemul e = [e 1,..., e n ] cu e 1 = (1, 0, 0,..., 0), e 2 = (0, 1, 0,..., 0),..., e n = (0, 0,..., 0, 1) este o bază, numită baza canonică.

10 10 SPAŢII VECTORIALE Propoziţia 4.4. Fie V un K-spaţiu vectorial şi a = [v 1,..., v n ] un sistem de vectori din V. Sistemul a este liniar dependent dacă şi numai dacă există un indice i astfel încât v i este o combinaţie liniară de ceilalţi n 1 vectori din a. Notaţia 4.5. Dacă a = [v 1,..., v n ] este un sistem de vectori din K- spatiul vectorial V şi F = {i 1,..., i k } {1,..., n}, prin a \F = a \i 1,...,i k vom nota sistemul obţinut din a prin scoaterea vectorilor de pe toate poziţiile i F. Corolarul 4.6. Dacă a = [v 1,..., v n ] este un sistem de vectori din K-spaţiul vectorial V şi v i este o combinaţie liniară de ceilalţi vectori, atunci a = a \i. Definiţia 4.7. Spunem că un spaţiu vectorial este de tip finit dacă el admite un sistem de generatori finit. Teorema 4.8. Orice spatiu vectorial nenul de tip finit admite o bază. Fie V 0 un spaţiu vectorial de tip finit şi a = [v 1,..., v n ] un sistem de generatori pentru V.

11 4. DEPENDENŢĂ ŞI INDEPENDENŢĂ LINIARĂ. BAZE 11 Propoziţia 4.9. Fie V un K-s.v. Un sistem a = [v 1,..., v n ] de vectori din V este bază în V dacă şi numai dacă pentru orice v V există un singur n-uplu α = a = (α 1,..., α n ) K n astfel încât v = αa t. Definiţia Spunem că sistemul de scalari α reprezintă coordonatele vectorului v în baza a. Example Teorema (Proprietatea de universalitate) Fie V un K-s.v. şi a = [v 1,..., v n ] o bază în V. Oricare ar fi W un K-s.v. şi b = [w 1,..., w n ] un sistem de vectori din W, există o unică aplicaţie liniară f : V W astfel încât f(v i ) = w i pentru orice i {1,..., n}. Mai mult: a) f este injectivă b este liniar independent; b) f este surjectivă b este sistem de generatori; a) f este bijectivă b este bază;

12 12 SPAŢII VECTORIALE Corolarul Dacă V este un K-s.v. care are o bază cu n- elemente, atunci V = K n. 5. Dimensiunea unui spaţiu vectorial Teorema 5.1. (a înlocuirii, Steinitz) Fie V un K-s.v. Dacă a = [a 1,..., a n ] este un sistem de generatori pentru V şi b = [b 1,..., b r ] este un sistem liniar independent de vectori din V, atunci: a) r n; b) sistemul b poate fi completat cu vectori din a până când se obţine un sistem b = [b 1,..., b r, a i1,..., a in r ] care este un sistem de generatori pentru V. FĂRĂ DEMONSTRAŢIE. Teorema 5.2. Orice două baze ale unui spaţiu vectorial de tip finit V 0 au acelaşi număr de elemente.

13 5. DIMENSIUNEA UNUI SPAŢIU VECTORIAL 13 Definiţia 5.3. Numărul elemetelor unei baze ale unui spaţiu vectorial s.n. dimensiunea spaţiului vectorial. Notaţia 5.4. Vom nota cu dim K (V ) dimensiunea K-spaţiului vectorial V. Observaţia 5.5. Teorema 5.2 are loc pentru toate spaţiile vectoriale, nu doar pentru cele de tip finit. Example ) dim R R = 1 2) dim R R n = n, dim K K n = n. Din demonstraţiile toeremelor 4.8 şi 5.2 deducem şi următoarele consecinţe: Corolarul 5.7. Sunt adevărate airmaţiile: 1. Din orice sistem de generatori se poate extrage o bază. 2. Orice sistem liniar independent poate fi completat până la o bază. 3. dim K V =nr. maxim de vectori liniar independenţi=nr minim de vectori dintr-un sistem de generatori. Teorema 5.8. (a alternativei) Fie V un K-s.v. cu dim K V = n şi a = [a 1,..., a n ] un sistem de vectori din V. Următoarele afirmaţii sunt echivalente: a) a este o bază; b) a este liniar independent; c) a este sistem de generatori pentru V.

14 14 SPAŢII VECTORIALE 6. Formule legate de dimensiune Propoziţia 6.1. Fie f : U V o aplicaţie liniară între K-spaţii vectoriale. Atunci dim K U = dim K Ker(f) + dim K Im(f). Propoziţia 6.2. Fie V un K-s.v. şi S, T K V. Atunci dim K (S + T ) + dim K (S T ) = dim K S + dim K T.

15 7. LEMA SUBSTITUŢIEI 15 Propoziţia 6.3. Fie V un K-s.v. (de tip finit) şi S K V. Atunci: a) dim K S dim K (V ); b) dim K S = dim K (V ) S = V. Propoziţia 6.4. Dacă V este un K-s.v. şi m dim V, atunci există S K V cu dim K S = m. Corolarul 6.5. Fie f : U V o aplicaţie liniară între K-spaţiile vectoriale de tip finit U şi V cu dim K U = dim K V. Următoarele afirmaţii sunt echivalente: a) f este bijectivă; b) f este injectivă; c) f este surjectivă; 7. Lema substituţiei Observaţia 7.1. Coordonatele unui vector se modifică dacă schimbăm baza. Example 7.2. Lema 7.3. (lema substituţiei) Fie b = [v 1,..., v n ] o bază a K-spaţiului vectorial V şi u V cu u = (α 1,..., α n )b t. Pentru un indice i {1,..., n} considerăm sistemul de vectori b = [v 1,..., v i 1, u, v i+1,..., v n ]. Sunt adevărate afirmaţiile: a) b este o bază α i 0; b) Dacă b este o bază şi x V este un vector cu coordonatele (λ 1,..., λ n ) în baza b, respectiv (λ 1,..., λ n) în baza b, atunci a) λ i = α 1 i λ i λ j = λ j α 1 i α j λ j, j i.

16 16 SPAŢII VECTORIALE

17 7. LEMA SUBSTITUŢIEI 17 Observaţia 7.4. Lema substituţiei furnizează o metodă de calcul care este folosită des în elaborarea de algoritmi pentru rezolvarea de probleme de algebră liniară. Calcul tipic: Se pleacă de la o bază cunosută (de obicei baza canonică) şi se înlocuieşte câte un vector folosind formulele date în lemasubstituţiei până când se obţin informaţiile dorite despre sistemul de vectori sudiat. Transformările furnizate de lema substituţiei pot fi evidenţiate în tabele astfel: Paşii ce trebuie urmaţi: 1) Declarăm un pivot α i 0. 2) Înlocuim vectorul de pe linia pivotului cu cel de pe coloana pivotului. 3) Înmulţim scalarii de pe linia pivotului cu α 1 i. 4) Elementele de pe coloana pivotului, diferite de pivot se înlocuiesc cu 0. 5) Pentru celelalte elemente se aplică regula dreptunghiului : α i... λ i.. α j... λ j α 1 i λ i α 1 i (α i λ j α j λ i ) Problema 7.5. Fie b = [b 1,..., b n ] un sistem de vectori din K- s.v. K n şi x K n. Verificaţi dacă b este o bază a lui K n. Dacă da, atunci determinaţi coordonatele lui x în baza b. Dacă nu, determinaţi o relaţie de dependenţă liniară între vectorii din b.

18 18 SPAŢII VECTORIALE Soluţie. Considerăm ca bază de plecare baza canonică e = [e 1,..., e n ]. Contruim primul tabel (cu datele iniţiae) Se repetă procedeul până când ajungem la una din situaţiile: I) Înlocuim toţi vectorii din e cu vectorii din b (eventual în altă ordine). Rezultă că b este o bază. Coordonatele lui x se citesc de pe coloana sa. II) Ga sim o coloană (linie) formată numai de 0. Atunci nu e bază. Pentru determinarea unei relaţii de dependenţă liniară, continuaă înlocuirea vectorilor de e cu vectori din b până când procedeul se blochează şi scriem un vector in b pe care nu l-am mutat ca o combinaţie liniară de vectorii din ultima bază obţinută. Example 7.6. a) v 1 = (2, 1, 1), v 2 = (3, 2, 1), v 3 = ( 1, 1, 2), x = (1, 1, 2).

19 7. LEMA SUBSTITUŢIEI 19 b) v 1 = (2, 1, 1), v 2 = (3, 2, 1), v 3 = ( 1, 1, 0). Definiţia 7.7. Fie V un K-s.v. şi a = [a 1,..., a n ] un sistem de vectori din V. Prin rangul sistemului a înţelegem dimensiunea subspaţiului generat de a: rang(a) = dim K a 1,..., a n. Problema 7.8. Să se determine rangul unui sistem de vectori. Soluţie. Se aplică algoritmul furnizat de lema substitţiei până când acesta se blochează. Numărul de vectori mutaţi reprezintă rangul sistemului de vectori. Sistemul format din vectorii mutaţi este o bază a subspaţiului generat. Example 7.9. a) Exemplul 7.6 b) v 1 = (1, 2, 1), v 2 = (2, 4, 2), v 3 = ( 1, 0, 2), v 4 = (2, 6, 1).

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,... 1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

1. Mulţimi. Definiţia mulţimii.

1. Mulţimi. Definiţia mulţimii. Definiţia mulţimii. 1. Mulţimi Definiţia 1.1. (Cantor) Prin mulţime înţelegem o colecţie de obiecte bine determinate şi distincte. Obiectele din care este constituită mulţimea se numesc elementele mulţimii.

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

2.9 Forme biafine Forme pătratice afine. Aducerea la forma canonică Centre de simetrie Varietăţi pătratice...

2.9 Forme biafine Forme pătratice afine. Aducerea la forma canonică Centre de simetrie Varietăţi pătratice... Geometrie Afină Contents 1 Spaţii vectoriale 3 1.1 Spaţii vectoriale peste un corp K........................ 3 1.2 Exemple de spaţii vectoriale........................... 4 1.3 Dependenţă liniară de vectori..........................

Διαβάστε περισσότερα

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Nicolae Cotfas ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Introducere Pe parcursul acestei cărţi ne propunem să prezentăm într-un mod cât mai accesibil noţiuni si rezultate de bază

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

1 Preliminarii. M 3, (a b) c = a (b c) (notăm a b c, obţinând astfel şi x 1 x 2... x n

1 Preliminarii. M 3, (a b) c = a (b c) (notăm a b c, obţinând astfel şi x 1 x 2... x n 1 Preliminarii Fie M, A mulţimi nevide şi n N. Se muneşte operaţie n ară (sau lege de compoziţie n-ară) definită pe M orice aplicaţie τ : M n M (M n = } M {{... M } ). In cazul n = 2, obţinem operaţiile

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l + Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATICI APLICATE ECONOMIE - NOTE DE CURS - PENTRU - ÎNVǍŢǍMÂNTUL LA DISTANŢǍ-

MATEMATICI APLICATE ECONOMIE - NOTE DE CURS - PENTRU - ÎNVǍŢǍMÂNTUL LA DISTANŢǍ- UNIVERSITATEA "LUCIAN BLAGA" DIN SIBIU Dumitru Acu Petrică Dicu Mugur Acu Ana Maria Acu MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS - PENTRU - ÎNVǍŢǍMÂNTUL LA DISTANŢǍ- Cuprins Introducere 6. Necesitatea

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VII Dreapta si planul

Lectia VII Dreapta si planul Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Lectia VII Dreapta si planul Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VII Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta.

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ Dorel Fetcu Acest curs este un fragment din manualul D. Fetcu, Elemente de algebră liniară, geometrie analitică şi geometrie diferenţială, Casa Editorială

Διαβάστε περισσότερα

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare SUBGRUPURI CLASICE. SUBGRUPURI recapitulare Defiiţia. Fie (G, u rup şi H o parte evidă a sa. H este subrup al lui G dacă:. H este parte stabilă a lui G;. H îzestrată cu operaţia idusă este rup. Teorema.

Διαβάστε περισσότερα

Cursul de recuperare Algebra. v n. daca in schimb exista coecienti λ 1, λ 2,..., λ n nu toti nuli care satisfac relatia (1), de exemplu λ i 0 = A =

Cursul de recuperare Algebra. v n. daca in schimb exista coecienti λ 1, λ 2,..., λ n nu toti nuli care satisfac relatia (1), de exemplu λ i 0 = A = Matrice, determinanti Un punct de vedere liniar independent "A judeca matematic nu înseamn a gândi losoc, a judeca losoc nu înseamn a liber, a gândi liber nu înseamn a losof " Blaise Pascal Liniar independenta:

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.

Διαβάστε περισσότερα

Curs 7. Definiţia II Un grup G este o mulţime, împreună cu o operaţie binară

Curs 7. Definiţia II Un grup G este o mulţime, împreună cu o operaţie binară Curs 7 II.3 Grupuri II.3.1 Definiţie. Exemple Definiţia II.3.1.1. Un grup G este o mulţime, împreună cu o operaţie binară pe G, notată : G G G, (x, y) x y, astfel încât: (G1) (Asociativitate) (x y) z =

Διαβάστε περισσότερα

Prof. univ. dr. Ion CRĂCIUN Departamentul de Matematică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi CALCUL DIFERENŢIAL

Prof. univ. dr. Ion CRĂCIUN Departamentul de Matematică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi CALCUL DIFERENŢIAL Prof. univ. dr. Ion CRĂCIUN Departamentul de Matematică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi ANALIZĂ MATEMATICĂ CALCUL DIFERENŢIAL IAŞI 2011 Cuprins 1 Noţiuni fundamentale de teoria mulţimilor

Διαβάστε περισσότερα

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2 5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită. Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică

Διαβάστε περισσότερα

, m ecuańii, n necunoscute;

, m ecuańii, n necunoscute; Sisteme liniare NotaŃii: a ij coeficienńi, i necunoscute, b i termeni liberi, i0{1,,..., n}, j0{1,,..., m}; a11 1 + a1 +... + a1 nn = b1 a11 + a +... + an n = b (S), m ecuańii, n necunoscute;... am11 +

Διαβάστε περισσότερα

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia III Produsul scalar:

Διαβάστε περισσότερα

Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs

Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor Note de curs În prima parte a cursului, vom prezenta câteva clase remarcabile de domenii de integritate şi legăturile dintre acestea A doua parte

Διαβάστε περισσότερα

ALGEBRĂ LINIARĂ, GEOMETRIE. Culegeredeprobleme. Emil STOICA şi Mircea NEAGU

ALGEBRĂ LINIARĂ, GEOMETRIE. Culegeredeprobleme. Emil STOICA şi Mircea NEAGU ALGEBRĂ LINIARĂ, GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ Culegeredeprobleme Emil STOICA şi Mircea NEAGU Cuprins 1 Spaţii vectoriale. Spaţii euclidiene 1 1.1 Elementeteoreticefundamentale................ 1

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 2 VECTORI LIBERI. 2.1 Segment orientat. Vector liber

CAPITOLUL 2 VECTORI LIBERI. 2.1 Segment orientat. Vector liber Algebră liniară CAPITOLUL VECTORI LIBERI. Segment orientat. Vector liber Acest capitol este dedicat în totalitate studierii spaţiului vectorilor liberi, spaţiu cu foarte multe aplicaţii în geometrie, fizică

Διαβάστε περισσότερα

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Subiecte : 1. Proprietăţile mulţimilor. Mulţimi numerice importante. 2. Relaţii binare. Relaţii de ordine. Relaţii de echivalenţă. 3. Imagini directe şi imagini inverse

Διαβάστε περισσότερα

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)

Διαβάστε περισσότερα

Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Departamentul de Informaticǎ. Simina Mariş Simona Epure Ioan Rodilǎ

Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Departamentul de Informaticǎ. Simina Mariş Simona Epure Ioan Rodilǎ Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Departamentul de Informaticǎ Liliana Brǎescu Eva Kaslik Simina Mariş Simona Epure Ioan Rodilǎ CURS DE GEOMETRIE Timişoara 2007

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 998 Clasa a V-a. La gara Timișoara se eliberează trei bilete de tren: unul pentru Arad, altul pentru Deva și al treilea pentru Reșița. Cel pentru Deva

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest

Διαβάστε περισσότερα

Asist. Dr. Oana Captarencu. otto/pn.html.

Asist. Dr. Oana Captarencu.  otto/pn.html. Reţele Petri şi Aplicaţii p. 1/45 Reţele Petri şi Aplicaţii Asist. Dr. Oana Captarencu http://www.infoiasi.ro/ otto/pn.html otto@infoiasi.ro Reţele Petri şi Aplicaţii p. 2/45 Evaluare Nota finala: 40%

Διαβάστε περισσότερα

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:, REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii

Διαβάστε περισσότερα

Probleme pentru clasa a XI-a

Probleme pentru clasa a XI-a Probleme pentru clasa a XI-a 1 ( ) 01. Fie A si B doua matrici de ordin n cu elemente numere reale, care satisfac relatia AB = A + B. a) Sa se arate ca det(a 2 + B 2 ) 0. b) Sa se arate ca rang A + B =

Διαβάστε περισσότερα

Metode de demonstraţie pentru teorema de completitutine - studiu comparativ -

Metode de demonstraţie pentru teorema de completitutine - studiu comparativ - Metode de demonstraţie pentru teorema de completitutine - studiu comparativ - Denisa Diaconescu 1 1 Introducere Teorema de completitudine a lui Gödel pentru logica de ordinul I este unul dintre cele mai

Διαβάστε περισσότερα

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3) BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii

Διαβάστε περισσότερα

Vectori liberi-seminar 1

Vectori liberi-seminar 1 Vectori liberi-seminar ) Determinati α R astfel incat vectorii ā = m+ n si b = m+α n sa fie coliniari, unde m, n sunt necoliniari. ) Demonstrati ca urmatorii trei vectori liberi sunt coplanari: ā = ī j

Διαβάστε περισσότερα

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica. Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a

Διαβάστε περισσότερα

Principiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri

Principiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Principiul incluziunii si excluziunii Recapitulare din cursul trecut Presupunem că A este o mulţime cu n elemente. Recapitulare din cursul trecut

Διαβάστε περισσότερα

Transformata Laplace

Transformata Laplace Tranformata Laplace Tranformata Laplace generalizează ideea tranformatei Fourier in tot planul complex Pt un emnal x(t) pectrul au tranformata Fourier ete t ( ω) X = xte dt Pt acelaşi emnal x(t) e poate

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice

Asupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice Educţi Mtemtică Vol. 1, Nr. (5), 59 68 Asupr unei metode pentru clculul unor integrle definite din functii trigonometrice Ion Alemn Astrct In this pper is presented one method of clcultion for the trigonometricl

Διαβάστε περισσότερα

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4 SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei

Διαβάστε περισσότερα

3.1. Ecuaţii de gradul întâi Inecua tii de gradul întâi Modul unui număr real... 9

3.1. Ecuaţii de gradul întâi Inecua tii de gradul întâi Modul unui număr real... 9 Cuprins 1 Operaţii cu numere reale 1 11 Radicali, puteri 1 111 Puteri 1 112 Radicali 1 12 Identităţi 2 13 Inegalităţi 3 2 Funcţii 4 21 Noţiunea de funcţii 4 22 Funcţii injective, surjective, bijective

Διαβάστε περισσότερα

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător

Διαβάστε περισσότερα

2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu

2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu 2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu Pentru început sădefinim câteva noţiuni de bază în geometria analitică. Definitia 2.3.1 Se numeşte reper în spaţiu o mulţime formată dintr-un punct O (numit originea

Διαβάστε περισσότερα

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma

Διαβάστε περισσότερα

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.

Διαβάστε περισσότερα

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =.

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =. Copyright c ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician Ministerul Educatiei al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 4 iunie Profilul real Timp

Διαβάστε περισσότερα

ALGEBRĂ LINEARĂ, GEOMETRIE. Valeriu Zevedei, Ionela Oancea

ALGEBRĂ LINEARĂ, GEOMETRIE. Valeriu Zevedei, Ionela Oancea ALGEBRĂ LINEARĂ, GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ Valeriu Zevedei, Ionela Oancea April 9, 005 CUPRINS 1 CALCUL VECTORIAL 7 1.1 Vectori legaţi,vectori liberi... 7 1. Operaţiilinearecuvectori... 9 1..1

Διαβάστε περισσότερα

7 Distribuţia normală

7 Distribuţia normală 7 Distribuţia normală Distribuţia normală este cea mai importantă distribuţie continuă, deoarece în practică multe variabile aleatoare sunt variabile aleatoare normale, sunt aproximativ variabile aleatoare

Διαβάστε περισσότερα

a carei ecuatie matriceala este data in raport cu R.

a carei ecuatie matriceala este data in raport cu R. POZITIA RELATIVA A UNEI DREPTE FATA DE O HIPERCUADRICA AFINA REALA. TANGENTE SI ASIMPTOTE. OANA CONSTANTINESCU Pentru studiul pozitiei relative a unei drepte fata de o hipercuadrica, remarcam ca nu mai

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 6 GEOMETRIE LINIARĂ ÎN SPAŢIU Sisteme de coordonate în plan şi în spaţiu. I. Coordonate carteziene

CAPITOLUL 6 GEOMETRIE LINIARĂ ÎN SPAŢIU Sisteme de coordonate în plan şi în spaţiu. I. Coordonate carteziene Geometrie liniară în spaţiu CAPITOLUL 6 GEOMETRIE LINIARĂ ÎN SPAŢIU 6.. Sisteme de coordonate în plan şi în spaţiu I. Coordonate carteziene În cele ce urmează, notăm cu E 3 spaţiul punctual tridimensional

Διαβάστε περισσότερα

CIRCUITE LOGICE CU TB

CIRCUITE LOGICE CU TB CIRCUITE LOGICE CU T I. OIECTIVE a) Determinarea experimentală a unor funcţii logice pentru circuite din familiile RTL, DTL. b) Determinarea dependenţei caracteristicilor statice de transfer în tensiune

Διαβάστε περισσότερα

Aurelian Claudiu VOLF. Coduri. Universitatea Al. I Cuza Iaşi

Aurelian Claudiu VOLF. Coduri. Universitatea Al. I Cuza Iaşi Aurelian Claudiu VOLF Coduri Universitatea Al. I Cuza Iaşi 2011 Cuprins Cuprins... 2 Prefaţă... 3 Unele notaţii... 5 I. Coduri corectoare de erori... 6 II. Coduri liniare... 14 III. Corpuri finite... 26

Διαβάστε περισσότερα

Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE TEST 2.4.1 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. Rezolvare: 1. Alcadienele sunt hidrocarburi

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a V-a

Subiecte Clasa a V-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii

Διαβάστε περισσότερα

I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs

I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs Ştefan Balint, Eva Kaslik, Simina Mariş Cuprins Experienţǎ şi evenimente aleatoare 3 2 Eveniment sigur. Eveniment imposibil 3 3 Evenimente contrare 4 4 Evenimente compatibile.

Διαβάστε περισσότερα

I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs

I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs Ştefan Balint, Eva Kaslik, Simina Mariş Cuprins Experienţǎ şi evenimente aleatoare 3 2 Eveniment sigur. Eveniment imposibil 3 3 Evenimente contrare 4 4 Evenimente compatibile.

Διαβάστε περισσότερα

Grupuri de simetrii. Oana Constantinescu

Grupuri de simetrii. Oana Constantinescu Rolul grupurilor de transformari in denirea unei geometrii Felix Klein (1849-1925) a dorit sa aplice conceptul de grup pentru a caracteriza diferitele geometrii ale timpului. In discursul inaugural de

Διαβάστε περισσότερα

Grupul ortogonal. Mircea Crasmareanu. Facultatea de Matematică Universitatea Al. I. Cuza Iaşi,

Grupul ortogonal. Mircea Crasmareanu. Facultatea de Matematică Universitatea Al. I. Cuza Iaşi, Grupul ortogonal Mircea Crasmareanu Facultatea de Matematică Universitatea Al. I. Cuza Iaşi, 700506 România mcrasm@uaic.ro http://www.math.uaic.ro/ mcrasm Curs de Perfecţionare 2007 9 Figuri Abstract However

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2. Integrala stochastică

Capitolul 2. Integrala stochastică Capitolul 2 Integrala stochastică 5 CAPITOLUL 2. INTEGRALA STOCHASTICĂ 51 2.1 Introducere În acest capitol vom prezenta construcţia integralei stochastice Itô H sdm s, unde M s este o martingală locală

Διαβάστε περισσότερα

EUGEN RADU OVIDIU ŞONTEA MATEMATICĂ. Manual pentru clasa a 12-a

EUGEN RADU OVIDIU ŞONTEA MATEMATICĂ. Manual pentru clasa a 12-a EUGEN RADU OVIDIU ŞONTEA MATEMATICĂ M Manual pentru clasa a 1-a Cuprins ALGEBRÃ 1. Grupuri... 6 1.1. Legi de compoziþie... 6 1.. Proprietãþi ale legilor de compoziþie... 9 1.3. Grupuri... 1.4. Exemple

Διαβάστε περισσότερα

3. Vectori şi valori proprii

3. Vectori şi valori proprii Valori şi vectori proprii 7 Vectori şi valori proprii n Reamintim că dacă A este o matrice pătratică atunci un vector x R se numeşte vector propriu în raport cu A dacă x şi există un număr λ (real sau

Διαβάστε περισσότερα

Geometria diferenţială a curbelor în spaţiu

Geometria diferenţială a curbelor în spaţiu Geometria diferenţială a curbelor în spaţiu A. U. Thor 0.1 Generalităţi Definitia 1.1 Se numeşte curbă înspaţiu dată parametric mulţimea punctelor M (x, y, z) din spaţiuacăror coordonate sunt date de x

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU Curbe în plan

CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU Curbe în plan CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU 81 Curbe în plan I Definiţia analitică a curbelor plane În capitolul 7 am studiat deja câteva eemple de curbe plane, amintim aici conicele nedegenerate: elipsa, hiperbola

Διαβάστε περισσότερα

Demonstraţie: Să considerăm polinomul {f(x)} asociat cuvântului - cod: f(x) = h(1) + h(α)x h(α n 1 )X n 1 = a 0 (1 + X + X

Demonstraţie: Să considerăm polinomul {f(x)} asociat cuvântului - cod: f(x) = h(1) + h(α)x h(α n 1 )X n 1 = a 0 (1 + X + X Prelegerea 13 Coduri Reed - Solomon 13.1 Definirea codurilor RS O clasă foarte interesantă de coduri ciclice a fost definită în 1960 de Reed şi Solomon. Numite în articolul iniţial coduri polinomiale,

Διαβάστε περισσότερα

4 Funcţii continue Derivate parţiale, diferenţială Extremele funcţiilor, formule Taylor Serii numerice Integrale improprii 36

4 Funcţii continue Derivate parţiale, diferenţială Extremele funcţiilor, formule Taylor Serii numerice Integrale improprii 36 Prefaţă Cartea de faţă a fost elaborată în cadrul proiectului Formarea cadrelor didactice universitare şi a studenţilor în domeniul utilizării unor instrumente moderne de predare-învăţare-evaluare pentru

Διαβάστε περισσότερα

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx + Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1

CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 CURS 3 SISTEME DE FORŢE (continuare) CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 3.1. Momentul forţei în raport cu un punct...2 Test de autoevaluare

Διαβάστε περισσότερα

POLINOAME ŞI ECUAŢII ALGEBRICE. Universitatea Babeş-Bolyai Facultatea de Matematică şi Informatică

POLINOAME ŞI ECUAŢII ALGEBRICE. Universitatea Babeş-Bolyai Facultatea de Matematică şi Informatică POLINOAME ŞI ECUAŢII ALGEBRICE Andrei Mărcuş Universitatea Babeş-Bolyai Facultatea de Matematică şi Informatică 6 martie 2015 Cuprins 1 Ecuaţii algebrice 1 1.1 Ecuaţii binome. Grupul rădăcinilor de ordin

Διαβάστε περισσότερα

Calculul valorilor şi vectorilor proprii

Calculul valorilor şi vectorilor proprii Capitolul 4 Calculul valorilor şi vectorilor proprii Valorile şi vectorii proprii joacă un rol fundamental în descrierea matematică a unor categorii foarte largi de procese tehnice, economice, biologice

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE

7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 7. NOŢIUNI GENERALE. TEOREMA DE EXISTENŢĂ ŞI UNICITATE Pri ecuaţia difereţială de ordiul îtâi îţelegem o ecuaţie de forma: F,, = () ude F este o fucţie reală

Διαβάστε περισσότερα

Metode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy

Metode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy Metode Runge-Kutta Radu T. Trîmbiţaş 8 ianuarie 7 Probleme scalare, pas constant Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy y (t) = f(t, y), a t b, y(a) = α. pe o grilă uniformă de (N + )-puncte din [a,

Διαβάστε περισσότερα

1 Serii numerice Definiţii. Exemple... 45

1 Serii numerice Definiţii. Exemple... 45 Analizǎ matematicǎ Chiş Codruţa 2 Cuprins 1 Serii numerice 5 1.1 Definiţii. Exemple....................... 5 1.2 Criterii de convergenţǎ pentru serii cu termeni pozitivi... 8 1.3 Criterii de convergenţǎ

Διαβάστε περισσότερα

II. 5. Probleme. 20 c 100 c = 10,52 % Câte grame sodă caustică se găsesc în 300 g soluţie de concentraţie 10%? Rezolvare m g.

II. 5. Probleme. 20 c 100 c = 10,52 % Câte grame sodă caustică se găsesc în 300 g soluţie de concentraţie 10%? Rezolvare m g. II. 5. Problee. Care ete concentraţia procentuală a unei oluţii obţinute prin izolvarea a: a) 0 g zahăr în 70 g apă; b) 0 g oă cautică în 70 g apă; c) 50 g are e bucătărie în 50 g apă; ) 5 g aci citric

Διαβάστε περισσότερα

Foarte formal, destinatarul ocupă o funcţie care trebuie folosită în locul numelui

Foarte formal, destinatarul ocupă o funcţie care trebuie folosită în locul numelui - Introducere Αξιότιμε κύριε Πρόεδρε, Αξιότιμε κύριε Πρόεδρε, Foarte formal, destinatarul ocupă o funcţie care trebuie folosită în locul numelui Αγαπητέ κύριε, Αγαπητέ κύριε, Formal, destinatar de sex

Διαβάστε περισσότερα

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. < Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie

Διαβάστε περισσότερα

decembrie 2016 Grafuri. Noţiuni fundamentale. Grafuri euleriene şi grafuri hamilto

decembrie 2016 Grafuri. Noţiuni fundamentale. Grafuri euleriene şi grafuri hamilto Grafuri. Noţiuni fundamentale. Grafuri euleriene şi grafuri hamiltoniene decembrie 2016 Grafuri Noţiuni fundamentale D.p.d.v. matematic, un graf este o structură G = (V, E) formată din o mulţime de noduri

Διαβάστε περισσότερα

3 Distribuţii discrete clasice

3 Distribuţii discrete clasice 3 Distribuţii discrete clasice 3.1 Distribuţia Bernoulli Probabil cel mai simplu tip de variabilă aleatoare discretă, variabila aleatoare Bernoulli modelează efectuareaunui experiment în care poate apare

Διαβάστε περισσότερα

a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie)

a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie) Caracteristica mecanică defineşte dependenţa n=f(m) în condiţiile I e =ct., U=ct. Pentru determinarea ei vom defini, mai întâi caracteristicile: 1. de sarcină, numită şi caracteristica externă a motorului

Διαβάστε περισσότερα