Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian."

Transcript

1 Spaţii vectoriale 1. Spaţii vectoriale. Definiţii şi proprietăţi de bază În continuare prin corp vom înţelege corp comutativ. Dacă nu se precizează altceva, se vor folosi notaţiile standard pentru elementele speciale ale unui corp. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian. Spunem că o operaţie externă : K V V, K V (α, x) αx determină o structură de K-spaţiu vectorial pe V dacă sunt îndeplinite axiomele: (SV1) α(x + y) = αx + αy, α K, x, y V ; (SV2) (α + β)x = αx + βx, α, β K, x V ; (SV3) α(βx) = (αβ)x, α, β K, x V ; (SV4) 1x = x, x V. Notăm cu K V un K-spaţiu vectorial. Observaţia 1.2. În definiţia anterioară s-au folosit notaţiile standard din teoria spaţiilor vectoriale. Atragem atenţia că + şi notează fiecare câte două operaţii. De exemplu în (SV2) primul + este operaţia din corp, iar al doilea este operaţia din grup. Definiţia 1.3. În situaţia descrisă de definiţia 1.1 se foloseşte următoarea terminologie: elementele lui V s.n. vectori. Elementul neutru din V se notează cu 0 sau 0 V şi s.n. vectorul nul. elementele lui K s.n. scalari. operaţia externă s.n. înmulţirea cu scalari. Example ) K n 1

2 2 SPAŢII VECTORIALE 2) V 2 = R 2 3) K A 4) K[X], Z 2 [X] Propoziţia 1.5. Fie V un K-s.v. a) α K, t α : V V, t α (x) = αx este un morfism de grupuri. a) x V, t x : (K, +) (V, +), t x (α) = αx este un morfism de grupuri. Corolarul 1.6. (reguli de calcul)

3 2. SUBSPAŢII ALE SPAŢIILOR VECTORIALE 3 a) α K, α0 V = 0 V ; b) x V, 0 K x = 0 V ; c) α K, x V, α( x) = αx = ( αx). d) α K, x V ; αx = 0 V α = 0 K sau x = 0 V. 2. Subspaţii ale spaţiilor vectoriale Definiţia 2.1. Fie V un K-s.v. şi S V. Spunem că S este K-subspaţiu al lui V (şi notăm S K V ) dacă S este stabilă faţă de adunarea vectorilor (i.e. x, y S, x + y S) şi faţă de înmulţirea cu scalari (i.e. α K x S, αx S) şi împreună cu restricţiile acestor operaţii S este un K-s.v. Observaţia 2.2. Dacă S K V, atunci S este subgrup în (V, +), deci 0 V S. Teorema 2.3. (teorema de caracterizare a subspaţiilor) Fie V un K-s.v. şi S V. Următoarele afirmaţii sunt echivalente: a) S este un subspaţiu al lui V ; b) (i) 0 V S (S ), (ii) x, y S x + y S, (iii) α K, x S, αx S. c) (i) 0 V S (S ), (ii) α, β K, x, y S, αx + βy S.

4 4 SPAŢII VECTORIALE Definiţia 2.4. Fie V un K-s.v., α 1,..., α n K şi x 1,..., x n V. Vectorul n not v = α 1 x α n x n = α i x i = (α 1,..., α n )[x 1,..., x n ] t i=1 s.n. combinaţie liniară a vectorilor x 1,..., x n cu scalarii α 1,..., α n. Corolarul 2.5. Subspaţiile vectoriale sunt închise la combinaţii liniare. Prin inducţie după numărul vectorilor din combinaţia liniară. Example 2.6. Propoziţia 2.7. Dacă (S i ) i I este o familie de subspaţii vectorial ale K-s.v. V, atunci i I S i K V. [Intersecţia unei familii de subspaţii ale unui s.v. este un subspaţiu.] Definiţia 2.8. Fie V un K-s.v. şi X V. Subspaţiul X = S s.n. subspaţiul generat de X. X S K V

5 2. SUBSPAŢII ALE SPAŢIILOR VECTORIALE 5 Observaţia 2.9. X este cel mai mic subspaţiu care conţine pe X. Teorema Dacă V este un K-s.v. şi X V, atunci n X = { α i x i n N, α i K, x i X i I}. i=1 [ X este mulţimea combinaţiilor liniare de elemente din X.] Corolarul a) x = {αx α K}; b) x, y = {αx + βy α, β K}; c) x 1,..., x m = { m i=1 α ix i α i K, i {1,..., n}}. Observaţia În general reuniunea a două subspaţii nu este subspaţiu. Example Propoziţia Fie V un K-s.v. a) Dacă S, T K V, atunci S T = {s + t s S, t T } not = S + T.

6 6 SPAŢII VECTORIALE b) Dacă S 1,..., S n K V, atunci n { n } Si = s i i, s i S i i=1 i=1 not = n S i. i=1 3. Aplicaţii liniare Definiţia 3.1. Fie K un corp, V şi V două spaţii vectoriale. Spunem că o funcţie f : V V este o aplicaţie liniară (sau K- morfism) dacă sunt îndeplinite condiţiile: x, y V, f(x + y) = f(x) + f(y) (f este aditivă), α K, x V, f(αx) = αf(x) (f este omogenă). Dacă, în plus, f este bijectivă, atunci f s.n. izomorfism. În această situaţie spunem că spaţiile vectoriale sunt izomorfe şi notăm V = V. Dacă V = V, atunci f s.n. endomorfism al lui V. Un endomorfism bijectiv s.n. automorfism. Teorema 3.2. Fie V şi V două K-spaţii vectoriale. O funcţie f : V V este aplicaţie liniară dacă şi numai dacă α, β K, x, y V f(αx + βy) = αf(x) + βf(y).

7 3. APLICAŢII LINIARE 7 Corolarul 3.3. Orice aplicaţie liniară păstrează combinaţiile liniare: f((α 1,..., α n )[x 1,..., x n ] t ) = (α 1,..., α n )[f(x 1 ),..., f(x n )] t. Example ) 1 V 2) θ 3) s : R 2 R 2, s(a, b) = (b, a). 4) f : K[X] K, f(p ) = P (0). Observaţia ) Orice aplicaţie liniară este un morfism de grupuri, pentru că este aditivă, prin urmare, dacă f : V V este o aplicaţie liniară, atunci f(0 V ) = 0 V ; f( x) = f(x) x V. Propoziţia 3.6. a) Compusa a două (sau mai multe) aplicaţii liniare este o aplicaţie liniară. b) Inversa unui izomorfism între spaţii vectoiale este un izomorfism de spaţii vectoriale. Notaţia 3.7. Dacă V şi V sunt K-s.v., atunci vom nota Hom K (V, V ) = {f : V V f este o aplicaţie liniară}. Mulţimea Hom K (V, V ) se notează End K (V ). Propoziţia 3.8. Fie V şi V două K-s.v. Pe mulţimea Hom K (V, V ) definim operaţia +, dată de: f, g Hom K (V, V ) f + g : V, (f + g)(x) = f(x) + g(x).

8 8 SPAŢII VECTORIALE Sunt adevărate afirmaţiile: a) Operaţia + este bine definită. b) (Hom K (V, V ), +) este un grup abelian. c) (End K (V ), +, ) este un inel (numit inelul endomorfismelor lui V ). d) Grupul Hom K (V, V ) este un K-s.v. faţă de înmulţirea cu scalari: : K Hom K (V, V ) Hom K (V, V ), αf : V V, (αf)(x) = αf(x) α K, f Hom K (V, V ). TEMĂ Definiţia 3.9. Dacă f : V V este o aplicaţie liniară între K- s.v., atunci Ker(f) = {x V f(x) = 0 V } s.n. nucleul lui f. Teorema Fie f : V V o aplicaţie liniară. Sunt adevărate afirmaţiile: a) Ker(f) K V ; b) f este injectivă Ker(f) = 0(= {0 V }). Teorema (de corespondenţă) Fie f : V V o aplicaţie liniară. Sunt adevărate afirmaţiile: a) S K V f(s) K V ; b) S K V f 1 (S ) K V ; c) Dacă f este surjectivă, atunci funcţia ϕ : {S S K V, Ker(f) S} {S S K V } este bijectivă.

9 4. DEPENDENŢĂ ŞI INDEPENDENŢĂ LINIARĂ. BAZE 9 4. Dependenţă şi independenţă liniară. Baze Definiţia 4.1. Fie V un K-spaţiu vectorial şi a = [v 1,..., v n ] un sistem de vectori din V. Spunem că: a este liniar dependent dacă există un n-uplu α = (α 1,..., α n ) (0,..., 0) de scalari din K astfel încât αa t = n i=1 α iv i = 0; a este liniar independent dacă nu este liniar dependent; a este bază dacă este un sistem de generatori liniar independent. Din definiţiile de mai sus deducem următoarele proprietăţi 1) Un sistem format dintr-un singur vector este liniar dependent dacă şi numai dacă vectorul este nul. 2) Dacă există un indice i astfel încât v i = 0, sistemul a = [v 1,..., v n ] este liniar dependent. 3) Sistemul a = [v 1,..., v n ] este liniar independent dacă şi numai dacă din n i=1 α iv i = 0 rezultă α 1 = = α n = 0. Example 4.2. În R-spaţiul vectorial R3 avem: a) Sistemul a = [u 1, u 2, u 3 ] cu u 1 = (1, 0, 1), u 2 = (2, 1, 0), u 3 = (0, 1, 2) este liniar dependent pentru că 2u 1 + u 2 u 3 = 0. b) Sistemul b = [v 1, v 2 ] cu v 1 = (1, 0, 1), v 2 = (2, 1, 0) este liniar independent. Acest sistem nu formează o bază pentru că (0, 1, 1) u 1, u 2. c) Sistemul c = [w 1, w 2, w 3 ] dat de w 1 = (1, 0, 0), w 2 = (1, 1, 0) şi v 3 = (1, 1, 1) este o bază a R-spaţiului vectorial R 3. Example 4.3. În K-spaţiul vectorial Kn, sistemul e = [e 1,..., e n ] cu e 1 = (1, 0, 0,..., 0), e 2 = (0, 1, 0,..., 0),..., e n = (0, 0,..., 0, 1) este o bază, numită baza canonică.

10 10 SPAŢII VECTORIALE Propoziţia 4.4. Fie V un K-spaţiu vectorial şi a = [v 1,..., v n ] un sistem de vectori din V. Sistemul a este liniar dependent dacă şi numai dacă există un indice i astfel încât v i este o combinaţie liniară de ceilalţi n 1 vectori din a. Notaţia 4.5. Dacă a = [v 1,..., v n ] este un sistem de vectori din K- spatiul vectorial V şi F = {i 1,..., i k } {1,..., n}, prin a \F = a \i 1,...,i k vom nota sistemul obţinut din a prin scoaterea vectorilor de pe toate poziţiile i F. Corolarul 4.6. Dacă a = [v 1,..., v n ] este un sistem de vectori din K-spaţiul vectorial V şi v i este o combinaţie liniară de ceilalţi vectori, atunci a = a \i. Definiţia 4.7. Spunem că un spaţiu vectorial este de tip finit dacă el admite un sistem de generatori finit. Teorema 4.8. Orice spatiu vectorial nenul de tip finit admite o bază. Fie V 0 un spaţiu vectorial de tip finit şi a = [v 1,..., v n ] un sistem de generatori pentru V.

11 4. DEPENDENŢĂ ŞI INDEPENDENŢĂ LINIARĂ. BAZE 11 Propoziţia 4.9. Fie V un K-s.v. Un sistem a = [v 1,..., v n ] de vectori din V este bază în V dacă şi numai dacă pentru orice v V există un singur n-uplu α = a = (α 1,..., α n ) K n astfel încât v = αa t. Definiţia Spunem că sistemul de scalari α reprezintă coordonatele vectorului v în baza a. Example Teorema (Proprietatea de universalitate) Fie V un K-s.v. şi a = [v 1,..., v n ] o bază în V. Oricare ar fi W un K-s.v. şi b = [w 1,..., w n ] un sistem de vectori din W, există o unică aplicaţie liniară f : V W astfel încât f(v i ) = w i pentru orice i {1,..., n}. Mai mult: a) f este injectivă b este liniar independent; b) f este surjectivă b este sistem de generatori; a) f este bijectivă b este bază;

12 12 SPAŢII VECTORIALE Corolarul Dacă V este un K-s.v. care are o bază cu n- elemente, atunci V = K n. 5. Dimensiunea unui spaţiu vectorial Teorema 5.1. (a înlocuirii, Steinitz) Fie V un K-s.v. Dacă a = [a 1,..., a n ] este un sistem de generatori pentru V şi b = [b 1,..., b r ] este un sistem liniar independent de vectori din V, atunci: a) r n; b) sistemul b poate fi completat cu vectori din a până când se obţine un sistem b = [b 1,..., b r, a i1,..., a in r ] care este un sistem de generatori pentru V. FĂRĂ DEMONSTRAŢIE. Teorema 5.2. Orice două baze ale unui spaţiu vectorial de tip finit V 0 au acelaşi număr de elemente.

13 5. DIMENSIUNEA UNUI SPAŢIU VECTORIAL 13 Definiţia 5.3. Numărul elemetelor unei baze ale unui spaţiu vectorial s.n. dimensiunea spaţiului vectorial. Notaţia 5.4. Vom nota cu dim K (V ) dimensiunea K-spaţiului vectorial V. Observaţia 5.5. Teorema 5.2 are loc pentru toate spaţiile vectoriale, nu doar pentru cele de tip finit. Example ) dim R R = 1 2) dim R R n = n, dim K K n = n. Din demonstraţiile toeremelor 4.8 şi 5.2 deducem şi următoarele consecinţe: Corolarul 5.7. Sunt adevărate airmaţiile: 1. Din orice sistem de generatori se poate extrage o bază. 2. Orice sistem liniar independent poate fi completat până la o bază. 3. dim K V =nr. maxim de vectori liniar independenţi=nr minim de vectori dintr-un sistem de generatori. Teorema 5.8. (a alternativei) Fie V un K-s.v. cu dim K V = n şi a = [a 1,..., a n ] un sistem de vectori din V. Următoarele afirmaţii sunt echivalente: a) a este o bază; b) a este liniar independent; c) a este sistem de generatori pentru V.

14 14 SPAŢII VECTORIALE 6. Formule legate de dimensiune Propoziţia 6.1. Fie f : U V o aplicaţie liniară între K-spaţii vectoriale. Atunci dim K U = dim K Ker(f) + dim K Im(f). Propoziţia 6.2. Fie V un K-s.v. şi S, T K V. Atunci dim K (S + T ) + dim K (S T ) = dim K S + dim K T.

15 7. LEMA SUBSTITUŢIEI 15 Propoziţia 6.3. Fie V un K-s.v. (de tip finit) şi S K V. Atunci: a) dim K S dim K (V ); b) dim K S = dim K (V ) S = V. Propoziţia 6.4. Dacă V este un K-s.v. şi m dim V, atunci există S K V cu dim K S = m. Corolarul 6.5. Fie f : U V o aplicaţie liniară între K-spaţiile vectoriale de tip finit U şi V cu dim K U = dim K V. Următoarele afirmaţii sunt echivalente: a) f este bijectivă; b) f este injectivă; c) f este surjectivă; 7. Lema substituţiei Observaţia 7.1. Coordonatele unui vector se modifică dacă schimbăm baza. Example 7.2. Lema 7.3. (lema substituţiei) Fie b = [v 1,..., v n ] o bază a K-spaţiului vectorial V şi u V cu u = (α 1,..., α n )b t. Pentru un indice i {1,..., n} considerăm sistemul de vectori b = [v 1,..., v i 1, u, v i+1,..., v n ]. Sunt adevărate afirmaţiile: a) b este o bază α i 0; b) Dacă b este o bază şi x V este un vector cu coordonatele (λ 1,..., λ n ) în baza b, respectiv (λ 1,..., λ n) în baza b, atunci a) λ i = α 1 i λ i λ j = λ j α 1 i α j λ j, j i.

16 16 SPAŢII VECTORIALE

17 7. LEMA SUBSTITUŢIEI 17 Observaţia 7.4. Lema substituţiei furnizează o metodă de calcul care este folosită des în elaborarea de algoritmi pentru rezolvarea de probleme de algebră liniară. Calcul tipic: Se pleacă de la o bază cunosută (de obicei baza canonică) şi se înlocuieşte câte un vector folosind formulele date în lemasubstituţiei până când se obţin informaţiile dorite despre sistemul de vectori sudiat. Transformările furnizate de lema substituţiei pot fi evidenţiate în tabele astfel: Paşii ce trebuie urmaţi: 1) Declarăm un pivot α i 0. 2) Înlocuim vectorul de pe linia pivotului cu cel de pe coloana pivotului. 3) Înmulţim scalarii de pe linia pivotului cu α 1 i. 4) Elementele de pe coloana pivotului, diferite de pivot se înlocuiesc cu 0. 5) Pentru celelalte elemente se aplică regula dreptunghiului : α i... λ i.. α j... λ j α 1 i λ i α 1 i (α i λ j α j λ i ) Problema 7.5. Fie b = [b 1,..., b n ] un sistem de vectori din K- s.v. K n şi x K n. Verificaţi dacă b este o bază a lui K n. Dacă da, atunci determinaţi coordonatele lui x în baza b. Dacă nu, determinaţi o relaţie de dependenţă liniară între vectorii din b.

18 18 SPAŢII VECTORIALE Soluţie. Considerăm ca bază de plecare baza canonică e = [e 1,..., e n ]. Contruim primul tabel (cu datele iniţiae) Se repetă procedeul până când ajungem la una din situaţiile: I) Înlocuim toţi vectorii din e cu vectorii din b (eventual în altă ordine). Rezultă că b este o bază. Coordonatele lui x se citesc de pe coloana sa. II) Ga sim o coloană (linie) formată numai de 0. Atunci nu e bază. Pentru determinarea unei relaţii de dependenţă liniară, continuaă înlocuirea vectorilor de e cu vectori din b până când procedeul se blochează şi scriem un vector in b pe care nu l-am mutat ca o combinaţie liniară de vectorii din ultima bază obţinută. Example 7.6. a) v 1 = (2, 1, 1), v 2 = (3, 2, 1), v 3 = ( 1, 1, 2), x = (1, 1, 2).

19 7. LEMA SUBSTITUŢIEI 19 b) v 1 = (2, 1, 1), v 2 = (3, 2, 1), v 3 = ( 1, 1, 0). Definiţia 7.7. Fie V un K-s.v. şi a = [a 1,..., a n ] un sistem de vectori din V. Prin rangul sistemului a înţelegem dimensiunea subspaţiului generat de a: rang(a) = dim K a 1,..., a n. Problema 7.8. Să se determine rangul unui sistem de vectori. Soluţie. Se aplică algoritmul furnizat de lema substitţiei până când acesta se blochează. Numărul de vectori mutaţi reprezintă rangul sistemului de vectori. Sistemul format din vectorii mutaţi este o bază a subspaţiului generat. Example 7.9. a) Exemplul 7.6 b) v 1 = (1, 2, 1), v 2 = (2, 4, 2), v 3 = ( 1, 0, 2), v 4 = (2, 6, 1).

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune .3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element

Διαβάστε περισσότερα

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii

Διαβάστε περισσότερα

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,... 1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale

Διαβάστε περισσότερα

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

Algebră liniară CAPITOLUL 3

Algebră liniară CAPITOLUL 3 Algebră liniară CAPITOLUL 3 TRANSFORĂRI LINIARE 3.. Definiţia transformării liniare Definiţia 3... Fie V şi W două spaţii vectoriale peste un corp comutativ K. O funcţie u: V W se numeşte transformare

Διαβάστε περισσότερα

1. Mulţimi. Definiţia mulţimii.

1. Mulţimi. Definiţia mulţimii. Definiţia mulţimii. 1. Mulţimi Definiţia 1.1. (Cantor) Prin mulţime înţelegem o colecţie de obiecte bine determinate şi distincte. Obiectele din care este constituită mulţimea se numesc elementele mulţimii.

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1 1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2

Διαβάστε περισσότερα

2.9 Forme biafine Forme pătratice afine. Aducerea la forma canonică Centre de simetrie Varietăţi pătratice...

2.9 Forme biafine Forme pătratice afine. Aducerea la forma canonică Centre de simetrie Varietăţi pătratice... Geometrie Afină Contents 1 Spaţii vectoriale 3 1.1 Spaţii vectoriale peste un corp K........................ 3 1.2 Exemple de spaţii vectoriale........................... 4 1.3 Dependenţă liniară de vectori..........................

Διαβάστε περισσότερα

Algebră liniară CAPITOLUL 1

Algebră liniară CAPITOLUL 1 Algebră liniară CAPITOLUL SPAŢII VECTORIALE FINIT DIMENSIONALE. Definiţia spaţiilor vectoriale Pentru a introduce noţiunea de spaţiu vectorial avem nevoie de noţiunea de corp comutativ de caracteristică

Διαβάστε περισσότερα

CURS 5 Spaţii liniare. Spaţiul liniar R n

CURS 5 Spaţii liniare. Spaţiul liniar R n CURS 5 Spaţii liniare. Spaţiul liniar R n A. Arusoaie arusoaie.andreea@gmail.com andreea.arusoaie@info.uaic.ro Facultatea de Informatică, Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 30 Octombrie 2017 Structura

Διαβάστε περισσότερα

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Nicolae Cotfas ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Introducere Pe parcursul acestei cărţi ne propunem să prezentăm într-un mod cât mai accesibil noţiuni si rezultate de bază

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial

1.4 Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială. Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial După cum s-a văzut deja, într-un spaţiu vectorial V avem mai multe baze, iar un vector x V va avea câte un sistem

Διαβάστε περισσότερα

Matrici şi sisteme de ecuaţii liniare

Matrici şi sisteme de ecuaţii liniare Matrici şi sisteme de ecuaţii liniare 1. Matrici şi determinanţi Reamintim aici câteva proprietăţi ale matricilor şi determinanţilor. Definiţia 1.1. Fie K un corp (comutativ) şi m, n N. O funcţie A : {1,...,

Διαβάστε περισσότερα

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă. Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a. Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă

Διαβάστε περισσότερα

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste

Διαβάστε περισσότερα

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială

Διαβάστε περισσότερα

Sala: 2103 Octombrie 2014 CURS 1: ALGEBRĂ. Fie K corp comutativ cu elementul neutru la înmulţire notat prin 1 iar 0 la adunare.

Sala: 2103 Octombrie 2014 CURS 1: ALGEBRĂ. Fie K corp comutativ cu elementul neutru la înmulţire notat prin 1 iar 0 la adunare. Sala: 2103 Octombrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 1: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.

Διαβάστε περισσότερα

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)). Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y

Διαβάστε περισσότερα

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gh. Asachi Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE. 5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este

Διαβάστε περισσότερα

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt. liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia

Διαβάστε περισσότερα

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Contract POSDRU/86/1.2/S/ POSDRU ID * Bucureşti 2012

Contract POSDRU/86/1.2/S/ POSDRU ID * Bucureşti 2012 Contract POSDRU/86/1.2/S/62485 Algebră Liniară POSDRU ID 62485 * Bucureşti 212 Prefaţă Algebra liniară şi geometria analitică stau la baza pregătirii matematice universitare, oferind modelări bazate pe

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

Vladimir BALAN. Algebră Liniară, Geometrie Analitică, şi Elemente de Geometrie Diferenţială. Student Web Copy. = Bucureşti 2011 =

Vladimir BALAN. Algebră Liniară, Geometrie Analitică, şi Elemente de Geometrie Diferenţială. Student Web Copy. = Bucureşti 2011 = Vladimir BALAN Algebră Liniară, Geometrie Analitică, şi Elemente de Geometrie Diferenţială = Bucureşti 2011 = Prefaţă Acest material include noţiunile, rezultatele teoretice de bază, precum şi probleme

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE ANALITICĂ. Mihai-Sorin Stupariu

GEOMETRIE ANALITICĂ. Mihai-Sorin Stupariu GEOMETRIE ANALITICĂ Mihai-Sorin Stupariu Sem. al II-lea, 007-008 Cuprins 1 Elemente de algebră liniară 3 1.1 Spaţii vectoriale. Definiţie. Exemple................ 3 1. Combinaţii liniare. Baze şi repere..................

Διαβάστε περισσότερα

ALGEBRĂ LINIARĂ, GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI GEOMETRIE. Teorie şi probleme

ALGEBRĂ LINIARĂ, GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI GEOMETRIE. Teorie şi probleme ALGEBRĂ LINIARĂ, GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI GEOMETRIE DIFERENŢIALĂ. Teorie şi probleme Florian MUNTEANU Departamentul de Matematici Aplicate, Universitatea din Craiova Al. Cuza 3, 585 Craiova, Dolj, România

Διαβάστε περισσότερα

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I. Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea

Διαβάστε περισσότερα

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale. 5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

Geometrie afină. Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea

Geometrie afină. Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea Geometrie afină Conf Univ Dr Cornel Pintea E-mail: cpintea mathubbclujro Cuprins 1 Săptămâna 13 1 2 Endomorfismele unui spaţiu afin 1 21 Translaţia 1 22 Subspaţii invariante 2 23 Omotetii 2 24 Proiecţii

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare

Διαβάστε περισσότερα

Adriana-Ioana Lefter DIFERENŢIALE) Anul I, Facultatea de Chimie Note de curs

Adriana-Ioana Lefter DIFERENŢIALE) Anul I, Facultatea de Chimie Note de curs Adriana-Ioana Lefter MATEMATICĂ (ALGEBRĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE) Anul I, Facultatea de Chimie Note de curs Cuprins Partea 1 ALGEBRĂ 1 Capitolul 1 Matrice şi determinanţi 3 11 Corpuri 3 12 Matrice 4 13

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

1 Preliminarii. M 3, (a b) c = a (b c) (notăm a b c, obţinând astfel şi x 1 x 2... x n

1 Preliminarii. M 3, (a b) c = a (b c) (notăm a b c, obţinând astfel şi x 1 x 2... x n 1 Preliminarii Fie M, A mulţimi nevide şi n N. Se muneşte operaţie n ară (sau lege de compoziţie n-ară) definită pe M orice aplicaţie τ : M n M (M n = } M {{... M } ). In cazul n = 2, obţinem operaţiile

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

Seminar Algebra. det(a λi 3 ) = 0

Seminar Algebra. det(a λi 3 ) = 0 Rezolvari ale unor probleme propuse "Matematica const în a dovedi ceea ce este evident în cel mai puµin evident mod." George Polya P/Seminar Valori si vectori proprii : Solutie: ( ) a) A = Valorile proprii:

Διαβάστε περισσότερα

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15 MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()

Διαβάστε περισσότερα

Sala: Octombrie 2014 SEMINAR 1: ALGEBRĂ. este un Q-spaţiu vectorial, faţă de operaţiile uzuale de adunare şi înmulţire cu un număr raţional.

Sala: Octombrie 2014 SEMINAR 1: ALGEBRĂ. este un Q-spaţiu vectorial, faţă de operaţiile uzuale de adunare şi înmulţire cu un număr raţional. Sala: Octombrie 24 SEMINAR : ALGEBRĂ Conf univ dr: Dragoş-Pătru Covei Programul de studii: CE, IE, SPE Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat distribuit

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba

Διαβάστε περισσότερα

Gheorghe PROCOPIUC PROBLEME DE ALGEBRĂ LINIARĂ GEOMETRIE

Gheorghe PROCOPIUC PROBLEME DE ALGEBRĂ LINIARĂ GEOMETRIE Gheorghe PROCOPIUC PROBLEME DE ALGEBRĂ LINIARĂ ŞI GEOMETRIE IAŞI, 005 CUPRINS 1 MATRICE ŞI SISTEME ALGEBRICE LINIARE 5 1.1 Matrice şi determinanţi.......................... 5 1. Sisteme de ecuaţii algebrice

Διαβάστε περισσότερα

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare

Διαβάστε περισσότερα

Integrala nedefinită (primitive)

Integrala nedefinită (primitive) nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

(Îndrumar pentru examenul licenţă valabil începând cu sesiunea de finalizare a studiilor iulie 2013)

(Îndrumar pentru examenul licenţă valabil începând cu sesiunea de finalizare a studiilor iulie 2013) ALGEBRĂ (Îndrumar pentru examenul licenţă valabil începând cu sesiunea de finalizare a studiilor iulie 2013) CUPRINS Pentru specializările Matematică şi Matematică informatică: 1 Introducere 1 2 Grupuri,

Διαβάστε περισσότερα

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice 1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 Şiruri de numere reale

Curs 2 Şiruri de numere reale Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0 Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,

Διαβάστε περισσότερα

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005. SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l + Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,

Διαβάστε περισσότερα

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b. Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE ANALITICĂ. Gheorghe MUNTEANU, Adelina MANEA

GEOMETRIE ANALITICĂ. Gheorghe MUNTEANU, Adelina MANEA GEOMETRIE ANALITICĂ Gheorghe MUNTEANU, Adelina MANEA 2 Cuprins Prefaţă 7 I Consideraţii teoretice 9 1 Spaţii vectoriale 11 1.1 Definiţie, exemple......................... 12 1.2 Subspaţii..............................

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4. I.4 Grafuri. Grafuri orientate

Curs 4. I.4 Grafuri. Grafuri orientate Curs 4 I.4 Grafuri I.4.1 Grafuri orientate Definiţia I.4.1.1. Un graf orientat este un tuplu G = (N, A, ϕ : A N N), unde N şi A sunt mulţimi, numite mulţimea nodurilor, respectiv mulţimea arcelor, iar

Διαβάστε περισσότερα

Criptosisteme cu cheie publică III

Criptosisteme cu cheie publică III Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.

Διαβάστε περισσότερα

Examen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011

Examen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011 Problema 1. Pentru ce valori ale lui n,m N (n,m 1) graful K n,m este eulerian? Problema 2. Să se construiască o funcţie care să recunoască un graf P 3 -free. La intrare aceasta va primi un graf G = ({1,...,n},E)

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul II. Grupuri. II.1. Grupuri; subgrupuri; divizori normali; grupuri factor

Capitolul II. Grupuri. II.1. Grupuri; subgrupuri; divizori normali; grupuri factor Capitolul II Grupuri II.1. Grupuri; subgrupuri; divizori normali; grupuri factor Definiţia 1. Fie G o mulţime nevidă şi " " operaţie algebrică pe G. Cuplul (G, ) se numeşte grup, dacă sunt satisfăcute

Διαβάστε περισσότερα

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE 5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.

Διαβάστε περισσότερα

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera. pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VII Dreapta si planul

Lectia VII Dreapta si planul Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Lectia VII Dreapta si planul Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VII Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta.

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATICI APLICATE ECONOMIE - NOTE DE CURS - PENTRU - ÎNVǍŢǍMÂNTUL LA DISTANŢǍ-

MATEMATICI APLICATE ECONOMIE - NOTE DE CURS - PENTRU - ÎNVǍŢǍMÂNTUL LA DISTANŢǍ- UNIVERSITATEA "LUCIAN BLAGA" DIN SIBIU Dumitru Acu Petrică Dicu Mugur Acu Ana Maria Acu MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS - PENTRU - ÎNVǍŢǍMÂNTUL LA DISTANŢǍ- Cuprins Introducere 6. Necesitatea

Διαβάστε περισσότερα

Conice - Câteva proprietǎţi elementare

Conice - Câteva proprietǎţi elementare Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii

Διαβάστε περισσότερα

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval

Διαβάστε περισσότερα

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ Dorel Fetcu Acest curs este un fragment din manualul D. Fetcu, Elemente de algebră liniară, geometrie analitică şi geometrie diferenţială, Casa Editorială

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare SUBGRUPURI CLASICE. SUBGRUPURI recapitulare Defiiţia. Fie (G, u rup şi H o parte evidă a sa. H este subrup al lui G dacă:. H este parte stabilă a lui G;. H îzestrată cu operaţia idusă este rup. Teorema.

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.

Διαβάστε περισσότερα

Curs 7. Definiţia II Un grup G este o mulţime, împreună cu o operaţie binară

Curs 7. Definiţia II Un grup G este o mulţime, împreună cu o operaţie binară Curs 7 II.3 Grupuri II.3.1 Definiţie. Exemple Definiţia II.3.1.1. Un grup G este o mulţime, împreună cu o operaţie binară pe G, notată : G G G, (x, y) x y, astfel încât: (G1) (Asociativitate) (x y) z =

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia

Διαβάστε περισσότερα

Ecuatii trigonometrice

Ecuatii trigonometrice Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos

Διαβάστε περισσότερα

Curs 7. Definiţia II Un grup G este o mulţime, împreună cu o operaţie binară

Curs 7. Definiţia II Un grup G este o mulţime, împreună cu o operaţie binară Curs 7 II.3 Grupuri II.3.1 Definiţie. Exemple Definiţia II.3.1.1. Un grup G este o mulţime, împreună cu o operaţie binară pe G, notată : G G G, (x, y) x y, astfel încât: (G1) (Asociativitate) (x y) z =

Διαβάστε περισσότερα

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2 5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării

Διαβάστε περισσότερα

O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013

O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 Marius Tărnăuceanu 1 Aprilie 2013 Abstract În această lucrare vom prezenta un rezultat ce extinde Problema

Διαβάστε περισσότερα

Cursul de recuperare Algebra. v n. daca in schimb exista coecienti λ 1, λ 2,..., λ n nu toti nuli care satisfac relatia (1), de exemplu λ i 0 = A =

Cursul de recuperare Algebra. v n. daca in schimb exista coecienti λ 1, λ 2,..., λ n nu toti nuli care satisfac relatia (1), de exemplu λ i 0 = A = Matrice, determinanti Un punct de vedere liniar independent "A judeca matematic nu înseamn a gândi losoc, a judeca losoc nu înseamn a liber, a gândi liber nu înseamn a losof " Blaise Pascal Liniar independenta:

Διαβάστε περισσότερα

Matematici în Criptografie. Adrian Atanasiu

Matematici în Criptografie. Adrian Atanasiu Matematici în Criptografie Adrian Atanasiu 3 Prefaţă În era digitală cum este şi firesc criptografia este omniprezentă. Tehnicile criptografice sunt folosite pentru a securiza comunicaţiile derulate prin

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 4 FUNCŢIONALE LINIARE, BILINIARE ŞI PĂTRATICE

CAPITOLUL 4 FUNCŢIONALE LINIARE, BILINIARE ŞI PĂTRATICE CAPITOLUL FUNCŢIONALE LINIAE BILINIAE ŞI PĂTATICE FUNCŢIONALE LINIAE BEIA TEOETIC Deiniţia Fie K X un spaţiu vecorial de dimensiune iniă O aplicaţie : X K se numeşe uncţională liniară dacă: ese adiivă

Διαβάστε περισσότερα

Concurs MATE-INFO UBB, 25 martie 2018 Proba scrisă la MATEMATICĂ

Concurs MATE-INFO UBB, 25 martie 2018 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, 5 martie 18 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IMPORTANTĂ: 1 Problemele tip grilă (Partea A pot avea unul

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

Criterii de comutativitate a grupurilor

Criterii de comutativitate a grupurilor Criterii de comutativitate a grupurilor Marius Tărnăuceanu 10.03.2017 Abstract În această lucrare vom prezenta mai multe condiţii suficiente de comutativitate a grupurilor. MSC (2010): 20A05, 20K99. Key

Διαβάστε περισσότερα

Prof. univ. dr. Ion CRĂCIUN Departamentul de Matematică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi CALCUL DIFERENŢIAL

Prof. univ. dr. Ion CRĂCIUN Departamentul de Matematică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi CALCUL DIFERENŢIAL Prof. univ. dr. Ion CRĂCIUN Departamentul de Matematică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi ANALIZĂ MATEMATICĂ CALCUL DIFERENŢIAL IAŞI 2011 Cuprins 1 Noţiuni fundamentale de teoria mulţimilor

Διαβάστε περισσότερα

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,

Διαβάστε περισσότερα

elemente de geometrie euclidiană

elemente de geometrie euclidiană Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Fizică Algebră liniară şi elemente de geometrie euclidiană Adrian NECULAE - Curs pentru uzul studenţilor - Timişoara - 2010 Tipografia Universităţii de

Διαβάστε περισσότερα

Funcţii Ciudate. Beniamin Bogoşel

Funcţii Ciudate. Beniamin Bogoşel Funcţii Ciudate Beniamin Bogoşel Scopul acestui articol este construcţia unor funcţii neobişnuite din punct de vedere intuitiv, care au anumite proprietăţi interesante. Construcţia acestor funcţii se face

Διαβάστε περισσότερα