ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Πιθανότητες. Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Πιθανότητες Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Cretive Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

3 II4. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές Μία τυχαία μεταβλητή Χ είναι συνεχής εάν έχει άπειρα αποτελέσματα και η σ.κ.π. F() είναι παντού συνεχής. Τότε υπάρχει συνάρτηση f() για την οποία ισχύουν τα παρακάτω: f ( ) 0 R X F PX f yy F f 1 f που ονομάζεται συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (σ.π.π.) Ισχύει ότι: P X b Fb F f παρατήρηση: Κάθε μη-αρνητική συνάρτηση g() 0, με πεπερασμένο ολοκλήρωμα g c μπορεί να μετατραπεί σε σ.π.π. ως εξής: 1 f g c b Πιθανότητες Μέρος 5 ο Κ. Μπλέκας (1/6)

4 II5. Γνωστές κατανομές συνεχών τ.μ. (Α) Ομοιόμορφη (Uniform) κατανομή Όλες οι τιμές είναι ισοπίθανες. Συμβολίζουμε: τ.μ. X ~ U(,b) Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (σ.π.π.) f() = 1/(b-) <<b Συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) F PX 1 b dy b 1 b b Πιθανότητες Μέρος 5 ο Κ. Μπλέκας (/6)

5 II5. Γνωστές κατανομές συνεχών τ.μ. (B) Εκθετική (Eponentil) κατανομή για διάρκεια ζωής τ.μ. X ~ E(λ), >0, λ>0 Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (σ.π.π.) Συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) F f PX f ydy 1 e e Επομένως ισχύει ότι P(X>)=1-F()=e -λ (πιθανότητα τουλάχιστον χρόνος αναμονής ) Ιδιότητα της απώλειας μνήμης : P(X>+ X>) = P(X>m) = e -λ Πιθανότητες Μέρος 5 ο Κ. Μπλέκας (3/6)

6 II5. Γνωστές κατανομές συνεχών τ.μ. (Γ) Κανονική (Norml) ή Γκαουσιανή κατανομή τ.μ. X ~ N(μ,σ ), -<<+, μ: παράμετρος θέσης, σ: παράμετρος μεταβλητότητας (πλάτος καμπάνας) Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (σ.π.π.) f 1 e Συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) F PX 1 όπου e η σ.κ.π. της τυπικής κανονικής δηλ. Ν(μ=0, σ =1) για την οποία συνάρτηση υπάρχει πίνακας με τιμές της συνάρτησης για διάφορες τιμές ορισμάτων. Πιθανότητες Μέρος 5 ο Κ. Μπλέκας (4/6)

7 II5. Γνωστές κατανομές συνεχών τ.μ. (Δ) Γάμμα κατανομή τ.μ. X ~ G(α,λ), >0, α,λ > 0 Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (σ.π.π.) Συνάρτηση Γάμμα: o Ισχύει ότι: Γ(α+1) = α Γ(α) (δηλ. αναδρομική) Γ(α+1)=α! εάν το α είναι ακέραιος Αν α=1 τότε f() = λ e -λ δηλ. Εκθετική Αν α=n τότε f Αν α=ν/ και λ=1/ τότε 1 n n1 ( n 1)! f e e / d f (οικογένεια κατανομών) 1 κατανομή Erlng (συνολικός χρόνος ζωής 1 / 1 / / e n εκθετικών συστημάτων) κατανομή X με ν βαθμούς ελευθερίας (για έλεγχο υποθέσεων) e Πιθανότητες Μέρος 5 ο Κ. Μπλέκας (5/6)

8 II5. Γνωστές κατανομές συνεχών τ.μ. (Ε) Άλλες κατανομές Κατανομή Βήτα (για τ.μ. με τιμές μεταξύ ορίων π.χ. ποσοστά) b (1 ) 1 b1 ( ) ( b) f 0 1, b (1 ) d, b ( b) Κατανομή Weibull (για χρόνο ζωής σύνθετων συστημάτων) f Κατανομή Cuchy Κατανομή Lplce Κατανομή Mwell 1 e, 0 h 1 Συνάρτηση διακινδύνευσης (ρυθμός διακοπής) f, R, f e, R, 0 f 4 e, 0, αν β=1 -> h()=β σταθερός (εκθετική) αν β>1 -> h() αυξάνει ο ρυθμός διακοπής αν β<1 -> h() φθίνει ο ρυθμός διακοπής 0 Πιθανότητες Μέρος 5 ο Κ. Μπλέκας (6/6)

9 Τέλος Ενότητας

10 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

11 Σημειώματα

12 Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: Έκδοση 1.0 διαθέσιμη εδώ.

13 Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας. «Πιθανότητες. Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές». Έκδοση: 1.0. Ιωάννινα 014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:

14 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Cretive Commons Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή, Διεθνής Έκδοση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη. [1]