Κανόνες παραγώγισης ( )

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κανόνες παραγώγισης ( )"

Transcript

1 66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Παραθέτουµε πρώτα τους κανόνες παραγώγισης αθροισµάτων, γινοµένων και πηλίκων m 55 Θεώρηµα Έστω U R ανοικτό U και f, g : U R συναρτήσεις διαφορίσιµες στο, τότε ισχύουν τα ακόλουθα: (ι) Αν λ R η συνάρτηση λ f είναι διαφορίσιµη στο και ισχύει, D( λ f) λ Df (ιι) Η συνάρτηση f + g είναι διαφορίσιµη στο και D( f + g) Df + Dg (ιιι) Έστω m, τότε η συνάρτηση f g είναι διαφορίσιµη στο και D( f g) g Df + f Dg (ιν) Αν m και g, τότε η συνάρτηση ( η οποία ορίζεται σε µια σφαίρα Β (, δ) U ) f g Ιδιαίτερα η g είναι διαφορίσιµη στο και f D g f Dg ( g ) g Df είναι διαφορίσιµη στο και D Dg g ( g ) Απόδειξη: Οι αποδείξεις των παραπάνω κανόνων είναι παρόµοιες µε τις αντίστοιχες για διαφορίσιµες συναρτήσεις µιας µεταβλητής Αποδεικνύουµε ενδεικτικά τον ισχυρισµό (ιιι) Έστω U, τότε έχουµε Α f g f g g Df + f Dg ( ) f ( ) g( ) f g g Df ( ) f Dg( ) + + f ( ) Dg( ) f ( ) Dg( ) + f ( ) g f ( ) g f ( ) g( ) g Dg( ) + g f ( ) f Df ( ) + + ( f ( ) f ) Dg( ) Αν συµβολίσουµε την τελευταία παράσταση µε Β ( ) τότε θα έχουµε: Α( ) Β( ), U, Η παράσταση Β ( ) έχει τρεις προσθετέους εκ των οποίων οι δύο πρώτοι τείνουν στο καθώς, από τον ορισµό του διαφορικού συνάρτησης και το γεγονός ότι η f είναι συνεχής στο Για τον τρίτο προσθετέο παρατηρούµε ότι

2 67 ( f ( ) f ) Dg( ) f f κ κ f ( ) f, καθώς η γραµµική συνάρτηση Dg( ) είναι Lipscitz και συνεπώς υπάρχει κ > : Dg( y) κ y,, y R Σηµείωση Καθώς το διαφορικό µιας συνάρτησης πολλών µεταβλητών ταυτίζεται µε τον αντίστοιχο πίνακα Jcobi, οι παραπάνω ισότητες µπορούν να ερµηνευθούν και ως ισότητες πινάκων αντικαθιστώντας τα διαφορικά µε τους αντίστοιχους πίνακες Jcobi Για παράδειγµα η (ι) µπορεί ισοδύναµα να γραφεί και ως J( λ f) λj( f), λ R, ( γινόµενο πίνακα µε αριθµό) και η (ιι) J( f + g) J( f) + J( g) ( άθροισµα πινάκων) Παραδείγµατα: ) Κάθε πολυώνυµο :(,, ) (,, ) P R P R είναι διαφορίσιµη συνάρτηση στον R, µάλιστα οι µερικές παράγωγοί του είναι πάλι πολυώνυµα και συνεπώς συνεχείς συναρτήσεις στον R Επειδή ένα πολυώνυµο είναι εξορισµού γραµµικός συνδυασµός µονώνυµων ( δηλαδή k συναρτήσεων της µορφής k, όπου k,, k N { } ) είναι αρκετό από τους κανόνες (ι) και (ιι) να αποδείξουµε τον ισχυρισµό για µονώνυµα Έστω λοιπόν k k f,,, k, i, παρατηρούµε ότι i ( ) ( ) k k k (,, ) π π π όπου ( ) f,, και π,, π οι προβολές του R στον R Επειδή οι προβολές είναι γραµµικές συναρτήσεις και άρα διαφορίσιµες, από τον κανόνα (ιιι) ( και µε επαγωγή στον βαθµό του µονώνυµου ) k k έπεται το συµπέρασµα Το διαφορικό ενός µονώνυµου f (,, ) στη θέση,, R υπολογίζεται εύκολα αφού οι µερικές παράγωγοι του µονώνυµου µπορούν να υπολογιστούν και αυτές εύκολα: f k k k k, ( συνεχείς συναρτήσεις στον R ) Έπεται Df + + ( k ) k k k k k k + + k k όπου,, R Ιδιαίτερα για ένα µονώνυµο δύο µεταβλητών, (, ) Df,, κ + λ κ λ κ λ έχουµε: ότι, f y κ y Είναι βέβαια τώρα σαφές ότι οι µερικές παράγωγοι ενός πολυωνύµου είναι και αυτές πολυώνυµα και άρα συνεχείς συναρτήσεις λ

3 68 )Οι ρητές συναρτήσεις, δηλαδή τα πηλίκα πολυωνύµων f (,, ) (,, ) (,, ) P Q, όπου Q είναι διαφορίσιµες στο πεδίο ορισµού τους Σηµειώνουµε κατ αρχήν ότι το πεδίο ορισµού U µιας ρητής συνάρτησης όπως παραπάνω είναι ανοικτό υποσύνολο του U R Q και Q συνεχής στο R R, αφού { } P Έπεται αµέσως από τον κανόνα διαφόρισης (ιν) ότι η f είναι διαφορίσηµη στο Q U ως πηλίκο διαφορισίµων συναρτήσεων Ο ίδιος κανόνας µας επιτρέπει να υπολογίσουµε το διαφορικό της f στο U Σηµειώνουµε ακόµη ότι αντίστοιχος κανόνας για συναρτήσεις µιας µεταβλητής συµπεραίνει ότι οι µερικές παράγωγοι της f στο U είναι συνεχείς συναρτήσεις (αφού είναι ρητές συναρτήσεις) y Ας υπολογίσουµε το διαφορικό της ρητής συνάρτησης φ (, y) στο πεδίο + y { } ορισµού της που είναι βέβαια το U R (,) Έστω (, ) R (,) Θέτοµε f (, y) y µε και g(, y) + y Από τον κανόνα (ιν) έχουµε: g Df f Dg (), ( ) ( g ), Dφ Από το προηγούµενο παράδειγµα υπολογίζουµε, Df +, Dg +, g f + και Αντικαθιστώντας στην () βρίσκουµε: ( + )( + ) ( + ) D ( )( ) φ + + )Έστω ( ) ( ) f, y, z + y+ z Να υπολογιστεί η κατευθυνόµενη παράγωγος της f στο (,,) στην κατεύθυνση,, Λύση Η f είναι διαφορίσηµη συνάρτηση στον R ως πολυωνυµική Οι µερικές f παράγωγοι της f στον R είναι οι, και Συνεπώς z f (, y, z) (,,) και f ( ) f D f Df f,,,, Έπεται ότι,,,,, + + Παρατηρούµε ότι ο έλεγχος της διαφορισιµότητας µιας συνάρτησης µε χρήση του ορισµού ( του διαφορικού ) παρουσιάζει στην πράξη αρκετές δυσκολίες Υπάρχει όµως ένα κριτήριο που διευκολύνει αυτή την διαδικασία που έχει να κάνει µε την ύπαρξη και την συνέχεια των µερικών παραγώγων Η διατύπωση αυτού του πολύ χρήσιµου κριτηρίου αλλά και άλλων αποτελεσµάτων που θα ακολουθήσουν διευκολύνεται από τον ακόλουθο ορισµό

4 69 56 Ορισµός Έστω U R ανοικτό και f : U R συνάρτηση Θα λέµε ότι η f είναι συνεχώς διαφορίσιµη ή της κλάσης C, αν όλες οι µερικές παράγωγοι,, της f στο U υπάρχουν και είναι συνεχείς συναρτήσεις Αν R, µε τον όρο περιοχή του, θα εννοούµε ένα σύνολο V ώστε να υπάρχει δ > µε Β(, δ) V Ισοδύναµα, το V είναι περιοχή του, αν it( V) 57 Θεώρηµα Έστω U R ανοικτό, U και f : U R συνάρτηση Αν οι µερικές παράγωγοι της f υπάρχουν σε µια περιοχή του και είναι συνεχείς στο, τότε η f είναι διαφορίσιµη στο Ιδιαίτερα έπεται ότι αν η f είναι συνεχώς διαφορίσιµη στο U τότε είναι διαφορίσιµη σε κάθε σηµείο του U Απόδειξη Η απόδειξη χρησιµοποιεί το θεώρηµα µέσης τιµής του ιαφορικού δ > : Β, δ U και ώστε όλες οι µερικές παράγωγοι Λογισµού Έστω,, να ορίζονται στην σφαίρα (, δ) Β και να είναι συνεχείς στο Πρέπει f ( + ) f k k k lim Έστω,, ώστε < δ, συνεπώς + Β (, δ), (,, ) Συνδέουµε τα σηµεία z + και z µε µία πολυγωνική γραµµή Ρ z, z z, z Β, δ της οποίας οι πλευρές είναι παράλληλες µε τους R µε [ ] [ ] άξονες που ορίζουν τα διανύσµατα,, e e της κανονικής βάσης του R Κατ αυτόν τον τρόπο η f περιορισµένη στο καθένα από τα ευθύγραµµα τµήµατα [ zk, zk], k,, µας, αφού το [ zk, zk] είναι παράλληλο µε την ευθεία { tek : t R} z + ( +,, + ), z (, +,, + ), z ( + + ) είναι διαφορίσιµη συνάρτηση µιας µεταβλητής, από την υπόθεσή,,,, z,,, + ( ) z,, Κατόπιν f f f z f z ( f z f z ) ( f ( z) f ( z) ) ( ) ( + ) + f ( z ) f ( z ) + f ( z ) f ( z ) ( ) + + Έτσι θέτοµε γράφουµε γιατί κάθε όρος απαλείφεται µε τον προηγούµενο ή τον επόµενό του, εκτός από τον πρώτο και τον τελευταίο) ( Αυτό λέγεται τηλεσκοπικό άθροισµα,

5 7 Από το θεώρηµα µέσης τιµής του ιαφορικού Λογισµού αυτή η παράσταση µπορεί να γραφεί ως f ( + ) f ( y) + ( y) + + ( y), όπου y c, +,, + και το c είναι ανάµεσα στα και + (,,, ) y c +, + και το c είναι ανάµεσα στα και +,, (,,,, ) y c και το c είναι ανάµεσα στα και + Μπορούµε λοιπόν να γράψουµε, f ( + ) f k k k ( y) + + ( y) Από την τριγωνική ανισότητα, αυτή η παράσταση είναι µικρότερη ή ίση από την ( y) + + ( y) ( y) + + ( y) Έπεται f ( ) f + k k k αφού k για κάθε k,,, ( y ) + + ( y ) Αλλά οι µερικές παράγωγοι είναι συνεχείς, από την υπόθεσή µας, στο σηµείο Έπεται ότι το δεξιό µέλος της τελευταίας ανισότητας τείνει στο όταν το, εποµένως και το αριστερό µέλος επίσης τείνει στο Παρατήρηση Η ιδέα της απόδειξης φαίνεται καλύτερα όταν ότι α+ c α z y zα y c z (, ) (, ) (, ) z z + z Η πολυγωνική γραµµή είναι η Ρ z, z z, z [ ] [ ] Γράφουµε f f τότε f z f z ( + ) + f ( z ) f ( z ) ( f z f z ) ( ) O α α+ Παραδείγµατα και εφαρµογές )Να εξεταστούν ως προς την διαφορισιµότητα οι συναρτήσεις (α) f ( ) και

6 7, g f R (β) Λύση Έστω,, R f,, + + είναι (α) Οι µερικές παράγωγοι της f,,,, + + στο σύνολο U R { } και βέβαια είναι συνεχείς στο U Εποµένως η f είναι συνεχώς διαφορίσιµη στο U και άρα διαφορίσιµη εκεί Αν (,, ) U τότε Df f, όπου,, R Η δε κλίση της f στο είναι f,,,,, f είναι: Η εξίσωση του εφαπτόµενου επίπεδου του γραφήµατος της f στο z f + ( ) + + ( ) + ( ) ( ) + +, (,, ) R Η f δεν είναι διαφορίσιµη στο Πράγµατι, αν {,,, } (,,,,,,) τότε f και η συνάρτηση αυτή (ως συνάρτηση της µεταβλητής ) δεν είναι διαφορίσιµη στο Εποµένως οι µερικές παράγωγοι της f στο (,,, ) δεν υπάρχουν Παρατηρήση α) Το γράφηµα της f όταν, οπότε γράφουµε (, ),(, ) f y y y R + είναι ένας ανεστραµµένος ορθός κώνος µε την κορυφή στο (,, ) Ο κώνος αυτός σχηµατίζεται µε την περιστροφή µιας ηµιευθείας που διέρχεται από το (,, ) γύρω από τον άξονα z z σε γωνία π ( 45 ) 4 (β)οι µερικές παράγωγοι της οποίες είναι συνεχείς συναρτήσεις στον διαφορίσιµη στον,, Df f + + g g + + είναι,,,, οι R και άρα διαφορίσιµη συνάρτηση στον R Έπεται ότι η gείναι συνεχώς R,,,, Αν ( ) τότε, f ( ) και

7 7 Η εξίσωση του εφαπτοµένου επιπέδου στο είναι: z f + ( ) + + ( ) k k )Η συνάρτηση εσωτερικό γινόµενο : : (, ) k g R R R g y y είναι συνεχώς διαφορίσιµη στον R R R Λύση Ο χώρος R R ταυτίζεται φυσιολογικά µε τον Ευκλείδειο χώρο R µέσω της κανονικής απεικόνισης,,, y,, y R R,,, y,, y R (( ) ( ) ) ( ) Έτσι έχουµε Συνεπώς g συνεχείς στον R και στον R g g,,, y,, y g,,, y,, y y + + y y g και,,,, Οι συναρτήσεις αυτές είναι βέβαια R αφού είναι γραµµικές ( η µε την + προβολή του g Αν (, ) (,,,,, ) g(, ) (, ) (,,,,, ) Dg(, )(, ) +,(, ) R R R R ταυτίζεται µε την προβολή του R Έτσι η gείναι συνεχώς διαφορίσιµη τότε και Παρατήρηση Για η gσυµπίπτει µε το συνηθισµένο γινόµενο g g g, y y,, y R Συνεπώς, y, και πραγµατικών αριθµών: (, )(, ) + όπου (, ) R και (, ) R Dg Σηµειώνουµε ακόµη ότι το διαφορικό του εσωτερικού γινοµένου g, y y,, y R R µπορεί να βρεθεί και µε ένα απευθείας υπολογισµό ( αφού γνωρίζουµε τις µερικές παραγώγους ) µε χρήση της ανισότητας Cucy- Scwrz ) Έστω f : U R R,, U Αν το διαφορικό Df : R R της f στο είναι συνάρτηση ( δηλαδή ο πίνακας διαφορίσιµη συνάρτηση στο Jcobi Jf ( ) της f στο είναι αντιστρέψιµος), τότε η ρίζα της εξίσωσης, f ( ) f, U είναι µεµονωµένη ηλαδή, υπάρχει δ > : Β(, δ) U και αν Β (, δ) τότε, f ( ) f επί του R Λύση Θέτοµε : Τ Df R R Η Τ είναι και γραµµική άρα είναι και R και η αντίστροφή της είναι συνεχής αφού είναι γραµµική Θέτοµε για { } + U, ε f + f Τ µε

8 7 ε ε Η διαφορισιµότητα της f στο ισοδυναµεί µε lim lim () Έπεται ότι, Έστω ε ( ε ) Τ Τ ( ε ), αφού η Τ είναι συνεχής στο Τ δ > : < < δ < Υποθέτουµε ότι το δ είναι αρκετά µικρό ώστε < δ + U Παρατηρούµε ότι δ ( ε ) < Τ, () Έστω ότι για κάποιο R : < < δ, ισχύει ότι f ( + ) f ( f ( ) f για κάποιο (, δ) Β ) Τότε, ε f + f Τ Τ Άρα από την () θα έχουµε, Τ ( ε ) Τ ( Τ ) < άτοπο, δ f f Συνεπώς Β και 4) Έστω p R µε + Να αποδειχθεί ότι η p p p p> και (, ),(, ) f y y y R { } f έχει συνεχείς µερικές παραγώγους στο (,) (, ) Λύση Παρατηρούµε ότι η συνάρτηση, διαφορίσιµη στο R, εφόσον R και δεν είναι διαφορίσιµη στο p p >, g, p p < p g R είναι συνεχώς, ( µάλιστα η g είναι γνήσια αύξουσα στο R και άρα η g γνήσια κυρτή) { } Έπεται ότι οι µερικές παράγωγοι της f στο (,) Ανάλογα, R είναι p p p p + y, >, y R f p p p p ( + y ), <, y R,, y R { } p p p p ( + y ) y, y>, R f p p p p ( + y ) y, y <, R, y, R { }

9 74 Οι µερικές παράγωγοι στο (, ) έχουν ως εξής: Αν R και τότε (,) (,) f f Ανάλογα, η (,) p p, >, < δεν υπάρχει Έτσι η f δεν είναι διαφορίσιµη στο (, ) Επειδή όπως εύκολα εξακριβώνεται η, {(,) } R η f είναι { } C στο (,) Άρα η (,) δεν υπάρχει είναι συνεχείς συναρτήσεις στο R και άρα διαφορίσιµη εκεί Επίσης η f είναι συνεχής συνάρτηση στο R αφού είναι σύνθεση συνεχών Παρατήρηση Ανάλογα αντιµετωπίζεται και η συνάρτηση f ( ) p p p p συνεχώς διαφορίσιµη + +, όπου C στον { },, R και p> Η f είναι R και δεν έχει µερικές παραγώγους στο,, Σηµειώνουµε ότι η : R R είναι µια ισοδύναµη νόρµα στον p 5)Έστω f,, : f R Rδιαφορίσιµες στα σηµεία R,, του R αντίστοιχα Ορίζουµε, f : R R : f (,, ) f( ) f( ) f( ) διαφορίσιµη στο ( ) R και Τότε η f είναι,, Ιδιαίτερα έπεται ότι,,, R Df f + + f, όπου fk k, k,, Λύση Θέτοµε Τ (,, ) f + + f, (,, ) f ( + ) f Τ Τότε έχουµε ότι: αν :,, k R ( ( + ) ) + + ( + ) f f f f f f ( + ) f f f ( + ) f f f Συνεπώς Df ( ) Τ ( + ) f f f ( + ) f f f Παρατήρηση Από την άσκηση αυτή προκύπτει εύκολα ότι )Αν οι,, f f είναι διαφορίσιµες στο R τότε και η f : R R είναι διαφορίσιµη στον R ) Αν οι f,, f είναι διαφορίσιµες στο R και κάποια από αυτές δεν έχει συνεχή παράγωγο στο Rπχ η f τότε η f είναι µεν διαφορίσιµη στον όλες τις µερικές παραγώγους της συνεχείς στο R R αλλά δεν έχει

10 75 Πράγµατι από την προηγούµενη (5) έπεται ότι: (,, i,, ) fi ( i), i (,, ) R, i,,, Άρα η δεν είναι συνεχής στο R εφόσον η f δεν είναι συνεχής στο R ( Ακριβέστερα έχουµε ότι, fi π i, i,,,, απ i όπου έπεται ότι η είναι συνεχής στο R ακριβώς όταν η f i είναι συνεχής στο i R ) Με βάση την παρατήρηση () µπορούµε εύκολα να κατασκευάσουµε παραδείγµατα συναρτήσεων f : R R οι οποίες είναι διαφορίσιµες αλλά όχι µε συνεχείς µερικές παραγώγους Για παράδειγµα έστω si, f, f R Η και είναι βέβαια συνεχώς διαφορίσιµη στο f, ( ) R, f, όµως si cos, f ( ) η οποία δεν είναι συνεχής στο Έπεται ότι, η, si + y,, y R συνάρτηση, f (, y) f( ) + f( y) είναι µεν y,, y R διαφορίσιµη στο R, αλλά δεν έχει συνεχείς µερικές παραγώγους ( η δεν είναι συνεχής στο (, ) ) f, y f + f y,, y R Ένα άλλο τέτοιο παράδειγµα είναι η συνάρτηση m 6)Έστω f : U R R διαφορίσιµη στο U ( U ανοικτό στο Τότε υπάρχουν δ > ώστε (, δ) κ > : < < δ f + f < κ R ) Β U και Λύση Έστω ε Από τον ορισµό του διαφορικού υπάρχει δ > τέτοιο ώστε αν δ f + f Df < ε < < τότε Έπεται ότι αν < δ τότε, f ( + ) f f ( + ) f Df + Df f ( + ) f Df + Df < ( ) +Μ +Μ Θέτοµε κ+μ και έχουµε το συµπέρασµα Σηµειώνουµε ότι χρησιµοποιήσαµε την m ιδιότητα Lipscitz της γραµµικής συνάρτησης Df : R R Το γεγονός ότι οι γραµµικές απεικονίσεις είναι Lipscitz έχει αποδειχθεί προηγουµένως Παρατήρηση Πρέπει να είναι σαφές ότι η ανισότητα αυτή συµπεραίνει και την συνέχεια της f στο

11 76 7) Έστω Τ : R m R γραµµική συνάρτηση Υποθέτοµε ότι: Τ ( δηλαδή Τ ( ) για κάθε τότε: R ) Λύση Έστω (,, m) Τ Τ Τi Τ lim τότε Τ Τ Τ, τότε κάθε Τi, i m είναι γραµµική και αν { } m : i m i m ( Πρβλ την απόδειξη της µοναδικότητας του διαφορικού καθώς και την απόδειξη της Πρότασης 5) Έπεται ότι αν αποδείξουµε το αποτέλεσµα για πραγµατικές γραµµικές συναρτήσεις m m, τότε θα ισχύει και για κάθε γραµµική Τ : R R Υποθέτοµε λοιπόν ότι m Τότε θα έχουµε ότι υπάρχει (,, ) R : Τ + + για κάθε (,, ) R Έστω Τ + + λοιπόν (,, ) τότε () Αν και τότε από την () έπεται ότι Τ lim, αν > άρα κατ ανάγκη εφόσον, αν < Ανάλογα θέτοντας και λαµβάνουµε, και τελικά (µε τον ίδιο τρόπο ) Συνεπώς Τ Παρατηρήσεις (α) Έπεται ιδιαίτερα από την άσκηση αυτή ότι: αν, β R + β y τότε: lim β Ανάλογη παρατήρηση ισχύει και για (, y) (,) + y οποιονδήποτε αριθµό µεταβλητών,, (β) Το επιχείρηµα που αποδεικνύει την παραπάνω άσκηση µπορεί να χρησιµοποιηθεί για την απόδειξη της µοναδικότητας του διαφορικού συνάρτησης 8) Έστω f : U R R συνάρτηση και U ώστε οι, υπάρχουν Υποθέτουµε ότι το όριο ( (, ) lim f ( + ) f + ) l υπάρχει στο R Αποδείξτε ότι η f είναι διαφορίσιµη στο ( δηλαδή ότι l ) Λύση Έπεται από την υπόθεσή µας ότι τα όρια f ( + ( )) ( (, ) ), f f + f y lim l lim υπάρχουν και είναι ίσα µε l, όµως από την πρώτη υπόθεσή µας τα όρια αυτά είναι ίσα µε l ( εφόσον οι µερικές παράγωγοι στο υπάρχουν)

12 77 9) Να εξετασθεί ως προς την διαφορισιµότητα ( ύπαρξη και συνέχεια µερικών παραγώγων, διαφορικού κλπ) η συνάρτηση f (, y) + y,(, y) R Λύση Είναι εύκολο να δούµε ότι η f έχει συνεχείς µερικές παραγώγους στο ανοικτό υποσύνολο U, y R : και y R, y R : είτε ή y Πράγµατι, { } { } διακρίνουµε τις ακόλουθες περιπτώσεις: (α) > και f, y + y, άρα η f είναι γραµµική στο y>, τότε > > και Df (, b) f για κάθε (, b) U { } U, y : και y U Οι µερικές παράγωγοι της f στο U είναι Df, b, +, > και b> ) ( (β) < και y>, τότε (, ) άρα συνεχείς εκεί f y y και η f είναι γραµµική στο { < > } Df (, b) f για κάθε (, b) U U, y : και y στο και, U Εποµένως Df (, b)(, ) + y<, τότε f (, y) y < < και Df (, b) f για κάθε (, b) U (γ) < και { } U, y : και y Df (, b)(, ) και στο U (δ) > και, η f είναι γραµµική στο y<, τότε f (, y) y > < και Df (, b) f για κάθε (, b) U 4 { } δηλαδή, η f είναι γραµµική στο U4, y : και y δηλαδή Df (, b)(, ),(, ) R, στο U 4 Έστω τώρα (, b) R, µε ή b θα εξετάσουµε την ύπαρξη των, στο f (, b) f (, b) + b b (, b ) Υποθέτουµε ότι τότε αν, f (, b) f (, b) Έτσι το όριο lim και άρα η (, b) δεν υπάρχει f (, y) f (,) + y y Έστω τώρα b Τότε αν y, y y y f (, y) f (,) Έτσι το όριο lim αυτό και άρα η (,) δεν υπάρχει y y

13 78 (,b) δεν υπάρχει (,b) δεν υπάρχει y (α,y) O O (α,) Έπεται ότι στα σηµεία (, ) b των αξόνων δεν υπάρχουν είτε η (, b) η (, b) ( αν b ) Έτσι η f δεν έχει διαφορικό στα σηµεία των αξόνων (Ας σηµειωθεί ότι αν b και η (, b) (,) υπάρχει Αν b (,) ) ( αν ) ή υπάρχει και αν και b η τότε δεν υπάρχουν ούτε η (,) { y R y } Παρατήρηση Αν > τότε το σύνολο (, ) : τετράγωνο µε κορυφές τα σηµεία (, ),(, ),(, ),(,) ούτε η + είναι το (,α) (-α,) (,-α) (α,) Έπεται ότι το γράφηµα της f + y είναι µια ανεστραµµένη τετραγωνική πυραµίδα µε κορυφή στο (,, )

14 79 z (,α) (α,) y ) Να εξεταστεί ως προς την διαφορισιµότητα ( ύπαρξη και συνέχεια µερικών παραγώγων, διαφορικού κτλ ) η συνάρτηση f : R R : f (, y) y y Λύση Η f έχει συνεχείς µερικές παραγώγους στο ανοικτό σύνολο {(, ) : και } {(, ) : είτε ή } U y R y R y y Πράγµατι, εύκολα υπολογίζουµε ότι στα σηµεία του U έχουµε, f f y και y Επειδή η f (,), R έπεται ότι (,) για κάθε R και επειδή f (, y), y R έπεται ότι (, b) για κάθε b R Στα σηµεία (,) µε η δεν υπάρχει, πράγµατι αν y, τότε (, ) (,) f y f y y y < ) Αναλόγως αν b τότε η y Οι µερικές παράγωγοι στο,, ± ( + αν > και αν y y δεν υπάρχει στο σηµείο,b, υπάρχουν όπως διαπιστώσαµε και Όµως η f δεν διαφορίζεται στο (, ) Πράγµατι το διαφορικό της f στο (, ) αν υπήρχε θα ήταν η σταθερά γραµµική συνάρτηση

15 8 Df,, +,, R ) Συνεπώς το όριο µηδέν, ( αφού ( ) ( ) f ((, ) + (, ) ) f (,) lim + ((, ) + (, )) (,) θα έπρεπε να ισούται µε µηδέν Όµως f f,,, + + ( ) Αν θέσουµε >, τότε θα έχουµε ότι το παραπάνω πηλίκο γίνεται, + Έπεται ότι η f δεν είναι διαφορίσιµη στο (, ) Ασκήσεις )Να εξετασθούν ως προς την διαφορισιµότητα οι συναρτήσεις (, ) m (, ) και g(, y) y, όπου (, y) R f y y )Να αποδειχθεί ότι οι συναρτήσεις f (, y) log + y,(, y) (,) και g(, y) e ( cos y,si y),(, y) R είναι συνεχώς διαφορίσιµες στο πεδίο ορισµού τους Να βρεθούν η κλίση της f στο (, b) (,) και ο πίνακας Jcobi της g στο (, b) R, και )Αποδείξτε ότι οι συναρτήσεις: f ( ) R { } g( ), R { } είναι συνεχώς διαφορίσιµες στο πεδίο ορισµού τους και υπολογίστε την κλίση στο σηµείο ( ) R { } Jcobi της g στο ιδιο σηµειο,, της f και τον πίνακα 4)Να εξεταστούν ως προς την διαφορισιµότητα η συνάρτηση f : R Β (, ) { y R : y < } : f ( ) καθώς και η αντίστροφή της + y g : Β(, ) R : g( y) y (Υπόδειξη: Εξετάστε πρώτα τις f και g f, στην περίπτωση που ή ) 5)Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση εξωτερικό γινόµενο i k ϕ : R R R : ϕ (, b) b i + k είναι b b b b b b b b b

16 8 διαφορίσιµη στον (, b) R R 6 R R R και να υπολογισθεί ο πίνακας Jcobi της f στο ( (,, ), b ( b, b, b) i (,, ), (,,) και (,,) και i,, k η ορθοκανονική βάση του k ) R, δηλαδή 6)Έστω f, f,, f : R R διαφορίσιµες συναρτήσεις Εξετάστε ως προς την ύπαρξη µερικών παραγώγων και διαφορικού την συνάρτηση F : R R ώστε F,, f f,,, R 7) είξτε ότι για τις ακόλουθες συναρτήσεις υπάρχουν όλες οι κατευθυνόµενες παράγωγοι στο () αλλά δεν είναι συνεχείς εκεί:, αν < y < χ α) f (, y ) {, διαφορετικά, β) f (, y ) { y, y + y αν +, διαφορετικά

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0) Όρια συναρτήσεων 5 Ορισµός Έστω, : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο Λέµε ότι η έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li ή b b αν και µόνο αν, για κάθε ε > υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j Το θεώρηµα Tor στις πολλές µεταβλητές Ο σκοπός αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεωρήµατος τύπου Tor για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Το θεώρηµα για µια µεταβλητή θα είναι ειδική περίπτωση του

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 8// Γ ΕΡΓΑΣΙΑ Μαθηµατικά για την Πληροφορική Ι (ΘΕ ΠΛΗ Η ύλη της εργασίας είναι παράγραφοι 6 και 6 από τη Γραµµική Άλγεβρα και Ενότητες,,, από τον Λογισµό

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι διάστηµα και f : Ι συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f ( Ι )

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ. Το εσωτερικό γινόµενο

Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ. Το εσωτερικό γινόµενο Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ Το εσωτερικό γινόµενο Σε πολλές πρακτικές καταστάσεις, η τιµή µιας ποσότητας εξαρτάται από τις τιµές δύο ή περισσότερων άλλων ποσοτήτων. Για παράδειγµα η συνάρτηση V = π r h υπολογίζει

Διαβάστε περισσότερα

4 Συνέχεια συνάρτησης

4 Συνέχεια συνάρτησης 4 Συνέχεια συνάρτησης Σε αυτή την ενότητα ϑα µελετήσουµε την έννοια της συνέχειας συνάρτησης. Πιο συγκεκριµένα πότε ϑα λέγεται µια συνάρτηση συνεχής σε ένα σηµείο το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισµού της

Διαβάστε περισσότερα

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι 94 8 Πολλαπλές μερικές παράγωγοι Οι μερικές παράγωγοι,,, αν υπάρχουν, μιας συνάρτησης : U R R ( U ανοικτό είναι αυτές συναρτήσεις από το U στο R, επομένως μπορεί να ορισθεί για αυτές η έννοια της μερικής

Διαβάστε περισσότερα

( y) ( x) ( 0) ( ) ( 0) ( y) ( ) ( ) ( ) Παραδείγµατα και εφαρµογές. 1)Έστω D απλά συνεκτικός τόπος στο R που φράσσεται από την ( κατά τµήµατα 1

( y) ( x) ( 0) ( ) ( 0) ( y) ( ) ( ) ( ) Παραδείγµατα και εφαρµογές. 1)Έστω D απλά συνεκτικός τόπος στο R που φράσσεται από την ( κατά τµήµατα 1 76 Παραδείγµατα και εφαρµογές )Έστω D απλά συνεκτικός τόπος στο R που φράσσεται από την ( κατά τµήµατα C ) καµπύλη Αποδείξτε ότι το εµβαδόν Α ( D) του D δίνεται από τους τύπους Α D = d = d Απόδειξη (Ι)

Διαβάστε περισσότερα

Καµπύλες στον R. σ τελικό σηµείο της σ. Το σ. σ =. Η σ λέγεται διαφορίσιµη ( αντιστοίχως

Καµπύλες στον R. σ τελικό σηµείο της σ. Το σ. σ =. Η σ λέγεται διαφορίσιµη ( αντιστοίχως Καµπύλες στον R 9. Ορισµός Μια καµπύλη στον R είναι µια συνεχής συνάρτηση σ : Ι R R όπου Ι διάστηµα ( συνήθως κλειστό και φραγµένο ) στον R. Συνήθως φανταζόµαστε την µεταβλητή t Ι ως τον χρόνο και την

Διαβάστε περισσότερα

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a 7 Έστω Το θεώρηµα του Tylor στη µια µεταβλητή Ι ανοικτό διάστηµα Ι και : Ι φορές διαφορίσιµη συνάρτηση στο Ι, (. Γράφουµε, ( = + +... + +,, Ι, όπου!, είναι το υπόλοιπο Tylor ( κέντρου και τάξης και ( Ρ

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα αντίστροφης απεικόνισης. ) και ακόµη ότι η g f 1 1. g y

Το θεώρηµα αντίστροφης απεικόνισης. ) και ακόµη ότι η g f 1 1. g y 5 Έστω Το θεώρηµα αντίστροφης απεικόνισης Ι R ανοικτό διάστηµα, : Ι R διαφορίσιµη της κλάσης a Ι : '( a) 0 Τότε από την συνέχεια της ' υπάρχει 0 ' 0 για κάθε ( a δ, a+ δ) δ > :( a δ, a δ) C και + Ι και

Διαβάστε περισσότερα

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]}

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]} 7 ΙΙΙ Ολοκληρωτικός Λογισµός πολλών µεταβλητών Βασικές έννοιες στη µια µεταβλητή Έστω f :[ ] φραγµένη συνάρτηση ( Ρ = { t = < < t = } είναι διαµέριση του [ ] 0 ( Ρ ) = Μ ( ) όπου sup f ( t) : t [ t t]

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι 94 8 Πολλαπλές μερικές παράγωγοι Οι μερικές παράγωγοι,,, αν υπάρχουν, μιας συνάρτησης : U R R ( U ανοικτό ) είναι αυτές συναρτήσεις από το U στο R, επομένως μπορεί να ορισθεί για αυτές η έννοια της μερικής

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ορισμός Έστω U R, U και f : U R R συνάρτηση τότε: )Το λέγεται τοπικό ελάχιστο της f αν υπάρχει περιοχή V του ώστε f f για κάθε V U Το λέγεται τοπικό μέγιστο της f αν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι R διάστηµα και f : Ι R συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f (

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία ΜΑΘΗΜΑ 5.. ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Εφαπτοµένη ευθεία Παράγωγος βασικών συναρτήσεων ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ Αθροίσµατος γινοµένου - πηλίκου Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

5 Παράγωγος συνάρτησης

5 Παράγωγος συνάρτησης 5 Παράγωγος συνάρτησης Ας ϑεωρήσουµε µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το [a, b]. Για κάθε 0 [a, b] ορίζουµε µια νέα συνάρτηση µε τύπο µε πεδίο ορισµού D(Π 0 ) = D(f ) { 0 }. Την συνάρτηση Π 0 Π 0 () =

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτές Συναρτήσεις και Ανισώσεις Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο e-mail: zenon7@otenetgr Ιούλιος-Αύγουστος 2004 Περίληψη Το σχολικό ϐιβλίο της Γ Λυκείου ορίζει σαν κυρτή (αντ κοίλη)

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνας της αλυσίδας. J ανοικτά διαστήματα) ώστε ( ), ( ) ( ) ( ) fog ' x = f ' g x g ' x, x I (2)

Κανόνας της αλυσίδας. J ανοικτά διαστήματα) ώστε ( ), ( ) ( ) ( ) fog ' x = f ' g x g ' x, x I (2) 8 Κανόνας της αλυσίδας Από τον Απειροστικό Λογισμό για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι: Αν g : I R R και f : J R R είναι συναρτήσεις ( όπου I, J ανοικτά διαστήματα ώστε, g( τότε η : I g I J

Διαβάστε περισσότερα

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x.

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x. 3 Ορια συναρτήσεων 3. Εισαγωγικές έννοιες. Ας ϑεωρήσουµε την συνάρτηση f () = όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 0: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () = /. ϕυσικό να αναζητήσουµε την

Διαβάστε περισσότερα

αx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x

αx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x A3. ΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ. εύτερη παράγωγος.παραβολική προσέγγιση ή επέκταση 3.Κυρτή 4.Κοίλη 5.Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Σηµεία καµπής ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7. εύτερη πλεγµένη παραγώγιση 8.Χαρακτηρισµός

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις. και. για κάποιο k n. ( ) BdΚ και επί πλέον το BdΚ είναι ακραίο. [Υπόδειξη Πρβλ. την άσκηση 11 της παραγράφου 3.1 για το (α)].

Ασκήσεις. και. για κάποιο k n. ( ) BdΚ και επί πλέον το BdΚ είναι ακραίο. [Υπόδειξη Πρβλ. την άσκηση 11 της παραγράφου 3.1 για το (α)]. 3 Ασκήσεις ) Έστω διανυσματικός χώρος, C κυρτό και C. (α) Αποδείξτε ότι τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (ι) e( C) = +,(ιι), = = και (ιιι) Το σύνολο C \{ } είναι κυρτό. (β) Επίσης αποδείξτε ότι αν e( C) και

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

ιανυσµατικά πεδία Όπως έχουµε ήδη αναφέρει ένα διανυσµατικό πεδίο είναι µια συνάρτηση

ιανυσµατικά πεδία Όπως έχουµε ήδη αναφέρει ένα διανυσµατικό πεδίο είναι µια συνάρτηση 44 ιανυσµατικά πεδία Όπως έχουµε ήδη αναφέρει ένα διανυσµατικό πεδίο είναι µια συνάρτηση F : U R R. Για εµάς φυσικά µια τέτοια συνάρτηση θα θεωρείται ότι είναι τουλάχιστον συνεχής και συνήθως C και βέβαια

Διαβάστε περισσότερα

Τρία συνηθισµένα λάθη που κάνουν µαθητές της Γ Λυκείου σε ασκήσεις του ιαφορικού Λογισµού ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ3 e-mail@p-thedrpuls.gr Πρόλογος Στην εργασία αυτή επισηµαίνονται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 31 Ορισµοί Ορισµός 311 Εστω f : A f( A), A, f( A) και έστω 0 Α είναι σηµείο συσσώρευσης του συνόλου Α Θα λέµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 εάν υπάρχει λ : Ισοδύναµα:

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 3. Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Taylor-Aκρότατα

KΕΦΑΛΑΙΟ 3. Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Taylor-Aκρότατα KΕΦΑΛΑΙΟ 3 Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Talor-Aκρότατα 3 Πλεγµένες συναρτήσεις Σε πολλές περιπτώσεις συναντούµε µία (ή και περισσότερες) εξισώσεις µεταξύ διαφόρων µεταβλητών πχ της µορφής e + συν (

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚH Ι (ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 - ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση. (6 µον.) Ελέγξτε ποια από τα επόµενα σύνολα είναι διανυσµατικοί χώροι

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Thanasis Xenos ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΗΜΑΘΙΑΣ

Thanasis Xenos ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΗΜΑΘΙΑΣ thanasisenos@yahoo.gr Thanasis Xenos )Αν µια συνάρτηση f είναι, τότε είναι γνησίως µονότονη; Η πρόταση δεν αληθεύει, διότι για παράδειγµα η συνάρτηση, f ( ) = είναι - και δεν είναι γνησίως µονότονη., >

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1) 1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 2.1 Συνάρτηση Η έννοια της συνάρτησης είναι ϐασική σ όλους τους κλάδους των µαθη- µατικών, αλλά και πολλών άλλων επιστηµών. Ο λόγος είναι, ότι µορφοποιεί τη σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει.

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 3: Σειρές πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα. Εστω ( ) µια ακολουθία πραγµατικών αριθµών. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε

Διαβάστε περισσότερα

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0 Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 5: Παράγωγος Α Οµάδα. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας). (α) Αν η f είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 Ασκήσεις Μαθηµατικών Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ A. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταβολές 3.(Οριακός) ρυθµός µεταβολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Λύνοντας ασκήσεις µε αντίστροφες συναρτήσεις ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η αντίστροφη συνάρτηση µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Παράγωγος συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. είναι µία κατεύθυνση στον (δηλαδή ένα. E. Αν υπάρχει το όριο ( + ) ( ) ( )

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Παράγωγος συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. είναι µία κατεύθυνση στον (δηλαδή ένα. E. Αν υπάρχει το όριο ( + ) ( ) ( ) ΚΕΦΑΛΑΙΟ Παράγωγος συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Κατευθυνόµενη Παράγωγος Ορισµός Έστω a είναι µία κατεύθυνση στον (δηλαδή ένα µοναδιαίο διάνυσµα του χώρου ), E είναι ένα ανοικτό υποσύνολο του, : E και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0.

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0. Ασκήσεις4 46 Ασκήσεις 4 Τριγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις, Θεώρημα των Cayley-Hamilton Βασικά σημεία Ορισμός τριγωνίσιμου πίνακα, ορισμός τριγωνίσιμης γραμμικής απεικόνισης Κριτήριο τριγωνισιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14.1 Υπολογισµός εµβαδών µε την µέθοδο των παράλληλων διατοµών Θεωρούµε µια ϕραγµένη επίπεδη επιφάνεια A µε οµαλό σύνορο, δηλαδή που περιγράφεται από µια συνεχή συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι 36 6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι Έστω R διάστημα και f : R συνεχής συνάρτηση τότε, όπως γνωρίζουμε από τον Απειροστικό Λογισμό, η f έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσου τιμής. Η ιδιότητα αυτή δεν εξαρτάται

Διαβάστε περισσότερα

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÊÏÑÕÖÇ ÓÅÑÑÅÓ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 19 ΜΑΪΟΥ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÊÏÑÕÖÇ ÓÅÑÑÅÓ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 19 ΜΑΪΟΥ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 9 ΜΑΪΟΥ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα. Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

3.5 Το θεώρημα Hahn-Banach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους.

3.5 Το θεώρημα Hahn-Banach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους. 7 3.5 Το θεώρημα Hah-Baach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους. Εξετάζουμε καταρχήν τη σχέση μεταξύ ενός μιγαδικού διανυσματικού χώρου E και του υποκείμενου πραγματικού χώρου E R. Έστω E μιγαδικός διανυσματικός

Διαβάστε περισσότερα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. β α

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. β α ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Έστω µια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > 0 σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 00- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ. (5 µον.) ίνεται ο πίνακας 0 0 A. 0 (α) (α) Να βρεθούν όλες οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα Α. (β) Είναι δυνατή η διαγωνιοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/2012

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/2012 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: : : : ma 3 για κάθε Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: 3 3 Τι συμπεραίνετε για τις παραπάνω νόρμες του Αν θεωρήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και

Διαβάστε περισσότερα

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1.1 Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {1, 2, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Λύνοντας ασκήσεις µε αντίστροφες συναρτήσεις ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η αντίστροφη συνάρτηση f µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier Κεφάλαιο 7 L -σύγκλιση σειρών Fourier 7.1 Χώροι Hilbert 7.1.1 Χώροι µε εσωτερικό γινόµενο και χώροι Hilbert Ορισµός 7.1.1. Εστω X γραµµικός χώρος πάνω από το K. Μια συνάρτηση, : X X K λέγεται εσωτερικό

Διαβάστε περισσότερα

Γ Ε Ν Ι Κ Ο Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ - Θ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Τ Α Ξ Η Β. Ρ.

Γ Ε Ν Ι Κ Ο Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ - Θ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Τ Α Ξ Η Β. Ρ. Γ Ε Ν Ι Κ Ο Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ - Θ Ε Τ Ι Κ Η Σ 6 Γ Τ Α Ξ Η Β. Ρ. Θ Ε Μ Α ο Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη στο Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f (χ)= για κάθε εσωτερικό σημείο του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ Η ύλη της εργασίας είναι οι ενότητες 5, 6 και 7 από τον Λογισµό µιας Μεταβλητής Η άσκηση αφορά στην έννοια

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/ Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: 0 2 xx, που ισχύει.

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/ Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: 0 2 xx, που ισχύει. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: Ν : = + + + Ν : = + + + Ν : = ma 3 για κάθε = ( ) Να αποδείξετε ότι για κάθε = ( ) ισχύει: Ν ( ) Ν ( ) Ν ( ) Ν (

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Mαίου 8 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα

Όταν δεν υπάρχει κίνδυνος σύγχυσης γράφουμε συνήθως ο τοπολογικός χώρος X και χρησιμοποιούμε την σύντμηση τ.χ. (= τοπολογικός χώρος).

Όταν δεν υπάρχει κίνδυνος σύγχυσης γράφουμε συνήθως ο τοπολογικός χώρος X και χρησιμοποιούμε την σύντμηση τ.χ. (= τοπολογικός χώρος). 4 Τοπολογικοί χώροι. Στοιχειώδεις έννοιες της τοπολογίας Στην παράγραφο αυτή εισάγουμε τις βασικές έννοιες της τοπολογίας, δηλαδή αυτές του ανοικτού και κλειστού συνόλου, της κλειστότητας και του εσωτερικού

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη 94 Ένας χώρος με νόρμα (, ( ( ( ϕ : : ϕ =, ( 4. Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια λέγεται αυτοπαθής ( refleive, αν η κανονική εμφύτευση,, είναι επί του, δηλαδή ϕ =. Παρατηρούμε ότι ένας αυτοπαθής χώρος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 0. Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη

Κεφάλαιο 0. Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη Κεφάλαιο 0 Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη Το κεφάλαιο αυτό έχει προπαρασκευαστικό χαρακτήρα Θα καθιερώσουµε συµβολισµούς και θα υπενθυµίσουµε ορισµούς και στοιχειώδεις προτάσεις για δακτύλιους και ιδεώδη

Διαβάστε περισσότερα

Ακολουθίες στον R n. ακολουθία διανυσµάτων στον. 1 1 ακολουθία στον 2 k. εφόσον 1+ e. k + R δεν είναι συγκλίνουσα. Πράγµατι αν

Ακολουθίες στον R n. ακολουθία διανυσµάτων στον. 1 1 ακολουθία στον 2 k. εφόσον 1+ e. k + R δεν είναι συγκλίνουσα. Πράγµατι αν Ακοουθίες στον.4. Ορισµός Έστω ( ) ακοουθία διανυσµάτων στον 9, θα έµε ότι η ακοουθία ( ) συγκίνει στο θα γράφουµε, li = ή αν η ακοουθία πραγµατικών 0 Ισοδύναµα: li ( ε) + 0 0 : 0 = για κάθε ε > 0 υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός τριπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός τριπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 00 Υπολογισµός τριπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Στην παράγραφο αυτή θα δούµε πως µπορεί να χρησιµοποιηθεί το θεώρηµα Fubini για τον υπολογισµό τριπλών ολοκληρωµάτων. Ξεκινούµε µε την διατύπωση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ) ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() + c, c

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Σταθµητοί Χώροι και Ευκλείδειοι Χώροι Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 59 Μέρος 2. Ευκλείδειοι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ. Μαθηματικών Β Γυμνασίου. Μαριλένα Νικολαΐδου-Μουσουλίδου

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ. Μαθηματικών Β Γυμνασίου. Μαριλένα Νικολαΐδου-Μουσουλίδου ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Μαθηματικών Β Γυμνασίου ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των Φυσικών Αριθμών είναι 1,2,3,4, Το σύνολο των Φυσικών Αριθμών συμπεριλαμβανομένου και του μηδενός είναι: 0, 1, 2, 3, 4, Άρτιος αριθμός είναι κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές.

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές. 6 ι3.4 Παραδείγματα Στην παράγραφο αυτή θα μελετήσουμε κάποια σημαντικά παραδείγματα, για τις εφαρμογές, χώρων συναρτήσεων οι οποίοι είναι τοπικά κυρτοί και μετρικοποιήσιμοι αλλά η τοπολογία τους δεν επάγεται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση ΙI

Μαθηματική Ανάλυση ΙI Π Δ Μ Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση ΙI Δρ. Θεόδωρος Ζυγκιρίδης 25 Μαΐου 211 2 Περιεχόμενα 1 Ο χώρος R n 1 1.1 Ο Ευκλείδιος n-χώρος..................................

Διαβάστε περισσότερα