Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 4ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διπλά Ολοκληρώματα Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 4ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διπλά Ολοκληρώματα Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος"

Ωκεανός Φωτόπουλος
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διπλά Ολοκληρώματα Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Προσεγγίστε τo ολοκλήρωμα ( + ) I d d με αθροίσματα iemann χωρίζοντας το πεδίο ολοκλήρωσης σε ίσα ορθογώνια. (,) k7 k8 k9 (,) k k5 k6 k k k Στο σχήμα φαίνεται το πεδίο ολοκλήρωσης χωρισμένο σε ίσα ορθογώνια Η προσέγγιση του διπλού ολοκληρώματος με άθροισμα iemann γίνεται 9 f(, ) da f(, ) Α k (,) / / k k k Θα χρησιμοποιήσουμε το κέντρο του κάθε ορθογωνίου ως δειγματικό σημείο ( k, k). Επίσης Α k 9 Υπολογίζουμε όλα τα δειγματικά σημεία και την τιμή της f(, ) σε αυτά: (,)

2 ,,, f, ( ),,, f, ( ) 5 5 5,,, f, ( ),,, f, ( ) 5, 5,, f, +.75 ( ) , 6,, f, ( ) , 7,, f, ( ) , 8,, f, ( ) ( 9, 9),, f, I ( + ) d d f ( k, k) Α k k Εδώ μπορούμε να σημειώσουμε ότι η πραγματική τιμή του ολοκληρώματος, που παίρνουμε αν το υπολογίσουμε κανονικά, είναι 5 I ( + ) d d.8 6 Παρατηρούμε ότι έχουμε αρκετά καλή προσέγγιση. 55. Προσεγγίστε τo ολοκλήρωμα ( + ) I d d με αθροίσματα iemann χωρίζοντας το πεδίο ολοκλήρωσης σε 55 ίσα ορθογώνια. Θα δουλέψουμε όπως στην προηγούμενη άσκηση, μόνο που τώρα το πεδίο ολοκλήρωσης δεν είναι ορθογώνιο, αλλά τριγωνικό. Έτσι για την προσέγγιση θα χρησιμοποιήσουμε μόνο τα ορθογώνια που περικλείονται ολόκληρα μέσα στο πεδίο ολοκλήρωσης, όπως φαίνεται στο επόμενο σχήμα:

k k8 k9 k5 k6 k7 k k k k Η προσέγγιση του διπλού ολοκληρώματος με άθροισμα iemann γίνεται f(, ) da f(, ) Α k k k k Α k ()() Υπολογίζουμε όλα τα δειγματικά σημεία και την τιμή της f(, ) σε αυτά: (,

3 k k8 k9 k5 k6 k7 k k k k Η προσέγγιση του διπλού ολοκληρώματος με άθροισμα iemann γίνεται f(, ) da f(, ) Α k k k k Α k ()() Υπολογίζουμε όλα τα δειγματικά σημεία και την τιμή της f(, ) σε αυτά: (, ),, f, +.5 (, ),, f, (, ),, f, (, ),, f, ( 5, 5),, f, +.75 ( 6, 6),, f, ( 7, 7),, f, ( 8, 8),, f, ( 9, 9),, f, (, ),, f, ( ) I + d d f (, ) Α 67.5() 67.5 k k k k

4 Εδώ μπορούμε να σημειώσουμε ότι η πραγματική τιμή του ολοκληρώματος, που παίρνουμε αν το υπολογίσουμε κανονικά, είναι I ( + ) d d Παρατηρούμε ότι έχουμε αρκετά μεγάλη απόκλιση. Θα μπορούσαμε να πάρουμε καλύτερη προσέγγιση αν χωρίζαμε το πεδίο ολοκλήρωσης σε περισσότερα ορθογώνια.. Υπολογίστε τα επόμενα ολοκληρώματα: a) ( + ) d d ( Απ.: ) ( + ) d d ( + ) dd + d (8) + (5) d d 6 6 (6 ) ( ) b) ( ) + d d ( Απ.: ) ( ) ( ) + d d + d d + d ( ) ( ) d + d π c) ( r ) π sin θ dr dθ ( Απ.: )

5 π π π ( ) ( ) ( π π ) r r r sinθ dr dθ r sinθ drdθ sinθ dθ π π π r π θ π sinθ sinθ dθ sinθ dθ [ cosθ] θ π π π cos( ) cos( ) π π/ cosθ d) ( r ) sin θ dr dθ ( Απ.: ) π/ cos θ π/ cos θ π/ ( ) ( ) r π/ π/ π/ cos θ θ r cosθ r r sinθ dr dθ r sinθ drdθ sinθ dθ sinθ dθ sinθcos θdθ cos θ d(cos θ) θ π/ cos θ cos ( π / ) cos () e) ( ) 5 d d ( Απ.: ) ( ) d d ( ) d d ( ) d ( ) d / / ( ) ( ) d( ) d d / / / ( ) ( ) 5 d d f) e d d ( Απ.: ( e )) Επειδή η αντιπαράγωγος του e δεν μπορεί να εκφραστεί με στοιχειώδεις συναρτήσεις, επιλέγουμε να αλλάξουμε τη σειρά ολοκλήρωσης και να ολοκληρώσουμε πρώτα ως προς (,) 5

6 ( ) ( ) e d d e d d e d e e d ( e ) d e d( ) e ( e e ) ( e ). Να υπολογιστεί το καμπύλες και da, όπου η περιοχή που περικλείεται από τις (Απ.: ) To χωρίο είναι και κάθετα και οριζόντια απλό. Επιλέγουμε να ολοκληρώσουμε πρώτα ως προς. [ ] da d d d ( ) d ( ) d 5. Να υπολογιστεί το ( ) περικλείεται από τις καμπύλες και. da, όπου η περιοχή πάνω από τον άξονα O, που (Απ.: ) Το χωρίο είναι οριζόντια απλό (κόκκινη γραμμή), επομένως θα ολοκληρώσουμε πρώτα ως προς 6

7 ( ) / / da dd d ( ) ( ) d + + 8d ( ) 5 ( ) ( ) ( ) ( ) Υπολογίστε τον όγκο κάτω από το επίπεδο z + και πάνω από το ορθογώνιο :, (Απ.: 6.. κµ ) V ( + ) da + dd + d () () + () + () d d κµ Υπολογίστε τον όγκο που περικλείεται από τον κυκλικό κύλινδρο +, από το επίπεδο και το επίπεδο + z (Απ.: πκµ.. ) Η συνάρτηση που πρέπει να ολοκληρώσουμε είναι η + z z και το χωρίο είναι ο κυκλικός δίσκος: +. Θα δουλέψουμε σε πολικές συντεταγμένες: 7

8 π π V ( ) da ( r cosθ) r drdθ ( r r cosθ) drdθ π r π r r cosθ dθ cosθ cosθ dθ r π π cosθ dθ θ sinθ π sin( π) sin πκµ.. 8. Εκφράστε το ολοκλήρωμα I π / cos d d αλλάζοντας τα όρια ολοκλήρωσής του. Στη συνέχεια υπολογίστε την τιμή του χρησιμοποιώντας, όποια μορφή του είναι πιο απλή. (Απ.: π ) cos cos.5 π / cos cos cos I d d d d d (cos ) (cos ) d d Αυτό το ολοκλήρωμα είναι δύσκολο να υπολογιστεί, επομένως θα δοκιμάσουμε να υπολογίσουμε το I με την αρχική σειρά ολοκλήρωσης. Έτσι έχουμε π/ cos π/ cos π/ cos I d d dd d π/ π/ ( cos ) ( ) ( cos ) d d π / Για τον υπολογισμό του ( cos ) παράγοντες: d εφαρμόζουμε ολοκλήρωση κατά 8

9 Παραγώγιση (u) Ολοκλήρωση (dv) + cos - sin + cos sin cos d sin cos sin d c sin cos sin c Έτσι π / ( ) π / cos d sin cos sin + π π π π π ( ) sin( ) + ( ) cos( ) sin( ) ( sin + () cos sin ) π 9. Υπολογίστε το I sinθ da, όπου είναι η περιοχή εντός της καρδιοειδούς r + cosθ και εκτός του κύκλου r (Απ.: ) - + r + cosθ r Το χωρίο είναι ακτινικά απλό και θα ολοκληρώσουμε σε πολικές συντεταγμένες π/ π/ π/ π/ r + cosθ π/ + cos θ π/ r I sinθ da sinθ r dr dθ sinθ dθ π/ π/ r π/ π/ (+ cos θ ) sinθ dθ sin θ( cos θ) sinθ dθ + π/ π/ ( cos θ) ( ) d( cos θ) sinθ dθ + + π / (+ cos θ ) π / [ cos θ ] π / + π / ( π π ) ( cos( π / )) ( cos( π / )) cos( / ) cos( / ) 9

10 . Χρησιμοποιείστε πολικές συντεταγμένες για να υπολογίσετε το 5/ ( ) (Απ.: I + d d π ) r r π/ π/ π/ 7 5/ 6 r I ( r ) r drdθ r drdθ dθ 7 r π / θ π/ π dθ [ θ] θ 7 7. Χρησιμοποιείστε πολικές συντεταγμένες για να υπολογίσετε το εμβαδό εντός του 9 κύκλου + 9 και δεξιά της ευθείας (Απ.: π ) π θ r r cosθ Μπορούμε να βρούμε το εμβαδό πάνω από τον άξονα και να το διπλασιάσουμε Για να υπολογίσουμε τα όρια της γωνίας θ βρίσκουμε αρχικά το σημείο τομής των 9 7 καμπυλών: + 9 9

11 rsinθ π sinθ sinθ θ Επίσης για τα αριστερό όριο του r έχουμε rcosθ r cosθ Έτσι π/ π/ r r E r dr dθ dθ cosθ θ r cosθ π/ / π cosθ 9 dθ 9 dθ cos θ θ π/ 9 9 9θ tanθ π. Υπολογίστε το / 9 I d d χρησιμοποιώντας α) Καρτεσιανές συντεταγμένες και β) Πολικές συντεταγμένες (Απ.: 8 6 ) a) / 9 / 9 / I dd d ( 9 ) ( ) d b) / / ( 9 ) d + 9 d + 9 ( / ) 8 ( / ) π θ / r + 9

12 Για να σχηματίσουμε το χωρίο ολοκλήρωσης βρίσκουμε αρχικά την τομή των 9 και, η οποία δίνει: Για να βρούμε τα όρια του r θα μετατρέψουμε την εξίσωση του κύκλου σε πολικές συντεταγμένες: 9 rsinθ 9 r cos θ r sin θ 9 r cos θ r sin θ + r cos θ 9 ( θ θ) r sin + cos 9 r 9 r και επομένως θα είναι r Για να βρούμε τα όρια του θ μετατρέπουμε την ευθεία σε πολικές συντεταγμένες και έχουμε r sinθ r cosθ sinθ cosθ sinθ π tanθ θ cosθ π π Έτσι θ Επομένως π/ π/ cos sin cos sin I r θr θ rdr dθ r θ θ dr dθ π/ π/ π/ π/ cosθsinθdθ r dr sin θd(sin θ) r dr π/ π/ θ π/ r sin θ r sin ( π / ) sin ( π / ) 8 6 θ π/ r. Υπολογίστε το I + π ) d d. (Απ.: ln / + r r cosθ

13 Σε πολικές συντεταγμένες θα έχουμε: π//cos θ π/ /cos θ π/ r /cosθ I d d r dr d dr d [ r] d θ θ θ r r + π / / dθ cosθ Όμως: cosθ cosθ dθ dθ dθ cosθ cos θ sin θ Κάνουμε την αντικατάσταση: u sinθ du cosθ dθ dθ du du cosθ u + u u ( )( ) Σπάζουμε την ρητή παράσταση σε απλούστερα κλάσματα: A B A( u) + B( + u) + + u u + u u ( + u)( u) ( )( ) A( u) + B( + u) A+ B+ ( B Au ) A+ B A B B A Έχουμε λοιπόν: dθ du du du cosθ u u + u u ( ) ( ) ( ) d + u + d u + u u ln + u ln u + c ( ln + u ln u ) + c + u + sinθ ln + c ln + c u sinθ Επομένως θ π/ + sinθ I ln θ sinθ θ + sin( π / ) + sin ln ( π / ) ln sin( π / ) sin + + sin( π / ) π ln ( π / ) ln sin( π / ) + π ln

14 . Υπολογίστε σε πολικές συντεταγμένες το ( + ) κύκλων με ακτίνα και για θετικά μόνον (Απ.: 5 8 π ) π / ( ) ( cos ) I + da r θ + r sinθr drdθ π / π / π / r cos θ + r sinθ drdθ r π / r r cos θ + sinθ dθ π / r π / cos θ + sinθ cos θ + sinθ dθ π / π / 5 7 cos θ + sinθ dθ π / π/ π/ 5 7 cos θ dθ + sinθ dθ π/ π/ π/ π/ 5 + cos( θ ) 7 dθ sinθ dθ + π/ π/ π/ π/ π/ 5 5 cos( θ ) 7 ( ) sin dθ + d θ θ dθ + π/ π/ π/ I da στο χωρίο μεταξύ των 5 π/ 5 π/ 7 π / 5 [ θ] + [ sin( θ) ] [cos θ] π/ π/ π / π Βρείτε τη μάζα ενός κυκλικού δίσκου ακτίνας α με κέντρο την αρχή των αξόνων, του οποίου η πυκνότητα είναι αριθμητικά ίση με την απόσταση από το κέντρο. (Απ.: πα ) Θα είναι: ρ (, ) + και m ρ(, ) da Σε πολικές συντεταγμένες έχουμε: π a π a a π r a r θ π θ θ θ [ θ ] πα θ r m rrdrd r drd r dr d 6. Βρείτε το κέντρο μάζας του τμήματος του πρώτου τεταρτημορίου ενός δίσκου ακτίνας α με κέντρο την αρχή των αξόνων, αν η πυκνότητά του δίνεται από τη συνάρτηση ρ (, ) (Απ.: α πa, 8 6 )

15 M M Το κέντρο μάζας έχει συντεταγμένες, M M όπου M ρ(, ) da M ρ(, ) da M ρ(, ) da Υπολογίζουμε τα ολοκληρώματα σε πολικές συντεταγμένες π/ α π/α (, ) sin sin M ρ da r θ r dr dθ r θ dr dθ π/ α r a θ π/ r sinθ dθ r dr [ cosθ] a θ r θ π [ θ] [ θ ] π/ α π/α M ρ(, ) da r sin θ r dr dθ r sin θ dr dθ π/ α π/ cos( θ ) r sin θ dθ r dr dθ r π/ π/ α dθ cos( θ) d( θ) sin( ) / θ π/ θ θ α π α 6 r a π/ α π/α M ρ(, ) da r sinθcosθ r dr dθ r sinθcosθ dr dθ π/ α π/ r sinθcosθ dθ r dr sin θ d(sin θ) r θ π/ sin θ α α 8 θ r a Έτσι π M α α 8 α M 6 πα, M 8 M a a 6 7. Βρείτε τις ροπές αδρανείας I, I, I του τριγώνου που περικλείεται από τις ευθείες +, και και έχει πυκνότητα ίση με. (Απ.: I, I 56, I ) 6 8 5

16 6 6 8 Εξ ορισμού έχουμε I ρ(, ) da I ρ(, ) da I I + I Θα υπολογίσουμε τα ολοκληρώματα. Για το I επιλέγουμε ολοκλήρωση πρώτα ως προς, επειδή η συνάρτηση προς ολοκλήρωση δεν περιέχει, ενώ αντίστοιχα για το I επιλέγουμε ολοκλήρωση πρώτα ως προς, επειδή η συνάρτηση προς ολοκλήρωση δεν περιέχει. 8 6 I ρ(, ) da d d [ ] d 8 d d I ρ(, ) da d d [ ] d 6 d d 6 56 I I + I Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα ( ) I da, όπου είναι το ορθογώνιο με κορυφές τα σημεία (,), (,),(,) και (, ) α) χρησιμοποιώντας τον 6

17 . μετασχηματισμό: u, v + και β) χωρίς να χρησιμοποιήσετε τον μετασχηματισμό (Απ.: 8 ).5 c c c c. Χρησιμοποιώντας την εξίσωση ευθείας που περνά από σημείο και έχει κλίση ίση με m: m ( ) καθώς επίσης και τη σχέση m υπολογίζουμε τις εξισώσεις των ων ευθειών που δημιουργούν το σύνορο του χωρίου. Για παράδειγμα για την c με (, ) (,), (, ) (,) θα έχουμε m c : ( )( ) Ομοίως παίρνουμε c : c : c : + a) u+ v u v + v u (, ) u v Juv (, ) u v u v ( )( ) ( )( ) ( uv, ) u v ( ) I f (, ) dd f g( u, v), h( u, v) J ( u, v) du dv u+ v v u du dv G G G u du dv 7

18 Για την εύρεση των ορίων ολοκλήρωσης εισάγουμε τις νέες συντεταγμένες στις εξισώσεις των ευθειών c έως c : v u u+ v c v : v u u+ v c u : v u u+ v c v : v u u+ v c + + u Έτσι το χωρίο G είναι ορθογώνιο με u και v u u v 8 I [ ] v u du dv u du dv v u b) Το χωρίο δεν είναι ούτε οριζόντια, ούτε κάθετα απλό. Επιλέγουμε να ολοκληρώσουμε πρώτα ως προς. Θα σπάσουμε το αρχικό χωρίο σε δύο υποχωρία, τα οποία είναι κάθετα απλά. To θα είναι για ενώ το θα είναι για I da da + da ( ) ( ) ( ) ( ) da ( ) dd ( ) ( ) d( ) d ( ) ( ) ( ( ) ) d d 8 8 d 8

19 ( ) ( ) da d d + ( ) ( ) d( ) d + ( ) ( ( ) ) ( ( + ) ) d d + ( ) ( ) 8 8 d d d + 8 ( ) ( ) d + d ( ) 8 [ ] + 6 ( () ) ( () ) 8 + [ ] 6 8 I ( ) da + ( ) da + 9. Να υπολογιστεί ο όγκος κάτω από το παραβολοειδές z και πάνω π από το επίπεδο (Απ.: κµ.. ) Το παραβολοειδές τέμνει το επίπεδο στην καμπύλη z +, η οποία είναι ένας κύκλος με ακτίνα Είναι V ( ) da όπου το εσωτερικού του κύκλου. Σε πολικές συντεταγμένες θα έχουμε π π V ( r ) r drdθ ( r ) r dr d θ r r r θ π π [ θ] ( π ) κµ.. θ r 9

Σχετικά έγγραφα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διπλά Ολοκληρώματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Ορθογώνια Χωρία Ορισμός n f( x, y) da lim f( x, y ) = Α Α 0 k