Συστήματα Στήριξης Αποφάσεων

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Συστήματα Στήριξης Αποφάσεων"

Transcript

1 Συστήματα Στήριξης Αποφάσεων Τμήμα: Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Διδάσκων: A.Π. Βαβάτσικος, Dip.Eg., PhD

2 Αναλυτική Ιεραρχική Διαδικασία-Aalytic Hierarchy Process (AHP) Η Αναλυτική Ιεραρχική Διαδικασία ανήκει στην κατηγορία των μεθόδων συγκρίσεων σε ζεύγη και αναπτύχθηκε στα τέλη της δεκαετίας του 70 ως μέθοδος διαμόρφωσης αναλογικών κλιμάκων μέτρησης για την αξιολόγηση των παραμέτρων ημιδομημένων προβλημάτων απόφασης [Saaty 977, Saaty 978]. Παρά το γεγονός ότι η αξιωματική θεμελίωσή της παρουσιάστηκε μετά από σχεδόν μια δεκαετία [Saaty 986], η μέθοδος είχε ήδη αρχίσει να γίνεται εξαιρετικά δημοφιλής μεταξύ ερευνητών και μελετητών [Vargas 990, Saaty & Forma 996]. Ενδεικτικό των παραπάνω είναι το γεγονός ότι ήδη μέχρι το 987 η μέθοδος αποτέλεσε αντικείμενο διδακτορικών διατριβών μόνο στις ΗΠΑ [Shim 989].

3 AHP-Αρχές της μεθόδου Η χρήση ιεραρχικών δομών για την μοντελοποίηση του προβλήματος απόφασης. Η αξιολόγηση των παραμέτρων του προβλήματος απόφασης σε ζεύγη για κάθε επίπεδο της ιεραρχίας Η χρήση της θεμελιώδους κλίμακας των προτιμήσεων για την απόδοση της έντασης των σχέσεων επικράτησης Η χρήση του ιδιοδιανύσματος του πίνακα των ανά ζεύγος συγκρίσεων για τον υπολογισμό των τοπικών προτεραιοτήτων Ο έλεγχος της συνέπειας των κρίσεων

4 AHP-Μοντελοποίηση του προβλήματος σε ιεραρχίες Η διαμόρφωση ιεραρχικών δομών για τη διατύπωση του προβλήματος απόφασης αποτελεί την πρώτη βασική αρχή της AHP και η οποία επιβάλλει την αποσύνθεση του προβλήματος απόφασης στα συστατικά του μέρη Θεμελιώδες όργανο της ανθρώπινης σκέψης, οι ιεραρχίες αφορούν την αναγνώριση και ομαδοποίηση των στοιχείων του προβλήματος απόφασης σε επίπεδα αναλόγως με τη σπουδαιότητά τους στο σύστημα αξιών του λήπτη απόφασης Ο αριθμός των επιπέδων της ιεραρχίας καθορίζει το βάθος της ανάλυσης, ενώ ο αριθμός των κριτηρίων το πλάτος της. Δεδομένου ότι τα στοιχεία της ιεραρχίας διαμορφώνουν επίπεδα, όταν ομαδοποιούνται ως προς κάποια παράμετρο υψηλότερου επιπέδου, θα πρέπει να αποδίδουν τον ίδιο βαθμό λεπτομέρειας στην ανάλυση. Η διαμόρφωση των ιεραρχιών δεν υπακούει σε συγκεκριμένους κανόνες και ως εκ τούτου ένα συγκεκριμένο πρόβλημα είναι δυνατό να μοντελοποιηθεί με διαφορετικές ιεραρχικές δομές. Είναι αποδεκτό ότι το μοντέλο απόφασης διαμορφώνεται αποκλειστικά από τους λήπτες απόφασης, έτσι ώστε να απηχεί την εμπειρία και τη διαίσθηση τους πάνω στο πρόβλημα

5 AHP-Μοντελοποίηση του προβλήματος σε ιεραρχίες

6 AHP-Αξιολόγηση με τη χρήση πινάκων ανά ζεύγος συγκρίσεων Η δεύτερη θεμελιώδης αρχή της μεθόδου αφορά τον προσδιορισμό των τοπικών προτεραιοτήτων τ.έ. οι σχετικές επικρατήσεις των παραμέτρων της ιεραρχίας που ανήκουν στο ίδιο επίπεδο (στοιχεία τέκνου), ως προς τα στοιχεία της ιεραρχίας στα οποία αναφέρονται (στοιχεία γονέα). Η διαδικασία υλοποιείται σε πίνακες ανά ζεύγος συγκρίσεων A [ ] a ij Η τιμή που αποκτά το στοιχείο a ij, υπολογίζεται με τη χρήση των δομών σαφούς προτίμησης (Α i PΑ j ) και αδιαφορίας (Α i IΑ j ) σύμφωνα με τις παρακάτω σχέσεις A i IA j a ij A PA a Ως συνέπεια των παραπάνω διαμορφώνονται συμμετρικά θετικοί πίνακες ως προς τα στοιχεία της διαγωνίου δηλώνοντας έτσι την αντίστροφη σχέση προτίμησης a ij a ji Όταν ικανοποιείται η μεταβατική ιδιότητα ο πίνακας λέγεται συνεπής a ij a i ik a j kj ij

7 AHP Θεμελιώδης κλίμακα των προτιμήσεων Προκειμένου να διαμορφωθεί ένα κοινό πλαίσιο για τον καθορισμό του μέτρου των σχετικών επικρατήσεων στους πίνακες αξιολόγησης των παραμέτρων της ιεραρχίας παρέχεται από τη μέθοδο η θεμελιώδης κλίμακα των προτιμήσεων (fudametal scale of prefereces) Πίνακας 4.: Η θεμελιώδης και η εκθετική κλίμακα των προτιμήσεων της ΑΗΡ Κλίμακες Προτιμήσεων Θεμελιώδης Εκθετική Μεταβλητή Έκφρασης 0 = Ισοδύναμη Επικράτηση (IE) 3 Μέτρια Επικράτηση (ΜΕ) 5 Ισχυρή Επικράτηση (ΙΧΕ) 7 3 Πολύ Ισχυρή Επικράτηση (ΠΙΕ) 9 4 Εξαιρετική Επικράτηση (ΕΕ), 4, 6, 8 0,5,,5,,5, 3,5 Για συμβιβασμό ανάμεσα στις παραπάνω τιμές Αντίστροφοι των παραπάνω Αν σε ένα στοιχείο i επισυνάπτεται ένας από τους παραπάνω αριθμούς κατά τη σύγκριση της με το στοιχείο j, τότε η j ως προς τη i έχει την αντίστροφη τιμή,-,9 Για συνδεδεμένες δραστηριότητες Ερμηνεία Τα δύο στοιχεία συνεισφέρουν εξίσου στον αντικειμενικό στόχο Η εμπειρία και η κρίση ευνοεί λίγο το στοιχείο γραμμής Η εμπειρία και η κρίση ευνοούν ισχυρά το στοιχείο γραμμής Το στοιχείο γραμμής είναι πολύ πιο ισχυρό σε σχέση με το στοιχείο στήλης Υπάρχουν ισχυρότατες ενδείξεις ότι το στοιχείο γραμμής είναι σημαντικότερο Για την απόδοση συμβιβαστικών θέσεων μεταξύ των παραπάνω Η σύγκριση γίνεται επιλέγοντας το μικρότερο στοιχείο ως μονάδα υπολογισμού (εκτίμησης) και το μεγαλύτερο ως πολλαπλάσιο αυτής της μονάδας Όταν τα στοιχεία είναι παραπλήσια και σχεδόν διακριτά τότε μέτρια τιμή είναι η,3 και πολύ ισχυρή η,9

8 AHP Πίνακες ανά ζεύγος συγκρίσεων Έχοντας το μέτρο της επικράτησης κάθε στοιχείου έναντι των υπολοίπων στο ίδιο επίπεδο της ανάλυσης διαμορφώνονται οι πίνακες ανά ζεύγος συγκρίσεων Η συνεκτικότητα του τελικού αποτελέσματος εξαρτάται επιπροσθέτως από τις αρχές α/ της ομοιογένειας των παραμέτρων που αξιολογούνται σε έναν πίνακα ανά ζεύγος συγκρίσεων, δηλαδή τη διαμόρφωση ιεραρχικών επίπεδων, έτσι ώστε οι λεκτικές μεταβλητές της κλίμακας να επαρκούν για την διατύπωση των ανά ζεύγος συγκρίσεων. β/ της ανεξαρτησίας των στοιχείων μεταξύ των επιπέδων, δηλαδή οι αξιολογήσεις πρέπει να πραγματοποιούνται ανεξάρτητα από τη φύση και τις ιδιότητες των παραμέτρων που απαρτίζουν τα επόμενα επίπεδα της ιεραρχίας

9 AHP Υπολογισμός τοπικών προτεραιοτήτων Ο προσδιορισμός των τοπικών προτεραιοτήτων ως διαδικασία επιδιώκει να υπολογιστούν οι βαρύτητες των παραμέτρων του προβλήματος απόφασης, προσδιορίζοντας έτσι τον βαθμό ικανοποίησης του στοιχείου γονέα (π.χ. τα υποκριτήρια ως προς το κριτήριο στο οποίο ανήκουν, τα κριτήρια ως προς τον στόχο της ανάλυσης κ.ο.κ.) Σύμφωνα με την ΑΗΡ οι τοπικές προτεραιότητες ισούται με το χαρακτηριστικό ιδιοδιάνυσμα του πίνακα των προτιμήσεων Δύο είναι οι κυρίαρχες προσεγγίσεις που υποστηρίζουν τον υπολογισμό του χαρακτηριστικού ιδιοδιανύσματος στους πίνακες ανά ζεύγος συγκρίσεων Η προσεγγιστική διαδικασία Η ακριβής μέθοδος Μέθοδος των δυνάμεων

10 AHP Υπολογισμός τοπικών προτεραιοτήτων Η προσεγγιστική μέθοδος Στην προσεγγιστική μέθοδο, γνωστή και ως μέθοδο της αθροιστικής ομαλοποίησης, το κύριο ιδιοδιάνυσμα υπολογίζεται από τον μέσο όρο των γραμμών ομαλοποιημένου με το άθροισμα των στηλών πίνακα των ανά ζεύγος συγκρίσεων [Saaty 995]. Η μαθηματική διατύπωση της μεθόδου δίνεται από τις παρακάτω σχέσεις, όπου η βαρύτητα του κριτηρίου της γραμμής i, α ij το στοιχείο του πίνακα των ανά ζεύγος συγκρίσεων που ορίζεται από τη γραμμή i και τη στήλη j, και η διάσταση του. Μολονότι η προσεγγιστική διαδικασία δεν στηρίζεται σε ικανοποιητικό μαθηματικό υπόβαθρο, πρόσφατες προσομοιώσεις δείχνουν ότι παρέχει ισοδύναμα αποτελέσματα με τη μέθοδο του ιδιοδιανύσματος [Srdjevic 005]. a ij a ij i a ij i a ij i

11 AHP Υπολογισμός τοπικών προτεραιοτήτων Η προσεγγιστική μέθοδος Η διαδικασία σε βήματα Υπολογισμός των επιμέρους αθροισμάτων των στηλών του πίνακα Ομαλοποίηση των στοιχείων στήλης του πίνακα με το αντίστοιχο άθροισμα Το διάνυσμα της βαρύτητας των παραμέτρων προκύπτει από τον μέσο όρο των γραμμών του πίνακα του Βήματος. Παράδειγμα Υπολογισμού Τοπικών Προτεραιοτήτων

12 AHP Υπολογισμός τοπικών προτεραιοτήτων Η προσεγγιστική μέθοδος Παράδειγμα επιλογής αυτοκινήτου Βήμα ο : Διαμόρφωση μοντέλου απόφασης

13 AHP Υπολογισμός τοπικών προτεραιοτήτων Η προσεγγιστική μέθοδος Παράδειγμα επιλογής αυτοκινήτου Βήμα ο : Πίνακας Απόφασης ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΤΟΠΙΚΑ ΒΑΡΗ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΑΡΧΙΚΟ ΚΟΣΤΟΣ ΚΑΤΑΝΑΛΩΣΗ ΦΟΡΟΛΟΓΙΑ (ΤΕΛΟΣ) ΙΠΠΟΔΥΝΑΜΗ ΧΩΡΗΤΙΚΟΤ. ΤΟΠΙΚΑ ΒΑΡΗ ALFA ROMEO ο ΒMW ο AUDI ο

14 AHP Υπολογισμός τοπικών προτεραιοτήτων Η προσεγγιστική μέθοδος Παράδειγμα επιλογής αυτοκινήτου Βήμα 3 ο : Αξιολόγηση Κριτηρίων ου επιπέδου ΟΚ ΤΧ ΕΜΦ ΟΚ ΤΧ ΕΜΦ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ (ΟΚ) 3 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ (ΤΧ) 4 ΕΜΦΑΝΙΣΗ (ΕΜΦ) ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ (ΟΚ) 3 3 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ (ΤΧ) / 4 / 4 ΕΜΦΑΝΙΣΗ (ΕΜΦ) /3 /4 /3 /4 ΑΘΡΟΙΣΜΑ,833 3,50 8,000 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ (ΟΚ) 0,545 0,65 0,375 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ (ΤΧ) 0,73 0,308 0,500 ΕΜΦΑΝΙΣΗ (ΕΜΦ) 0,8 0,077 0,5 ΑΘΡΟΙΣΜΑ 0,5 0,360 0,8,000

15 AHP Υπολογισμός τοπικών προτεραιοτήτων Η προσεγγιστική μέθοδος Παράδειγμα επιλογής αυτοκινήτου Βήμα 4 ο : Αξιολόγηση Οικονομικών Υποκριτηρίων ΑΚ ΚΑΤ ΦΟΡ ΑΚ ΚΑΤ ΦΟΡ ΑΡΧΙΚΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΑΚ) 3 5 ΚΑΤΑΝΑΛΩΣΗ (ΚΑΤ) / ΦΟΡΟΛΟΓΙΑ (ΦΟΡ) ΑΡΧΙΚΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΑΚ) ΚΑΤΑΝΑΛΩΣΗ (ΚΑΤ) /3 / /3 / ΦΟΡΟΛΟΓΙΑ (ΦΟΡ) /5 /5 ΑΘΡΟΙΣΜΑ,533 6,000 6,500 ΑΡΧΙΚΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΑΚ) 0,65 0,500 0,769 0,640 ΚΑΤΑΝΑΛΩΣΗ (ΚΑΤ) 0,7 0,67 0,077 0,54 ΦΟΡΟΛΟΓΙΑ (ΦΟΡ) 0,30 0,333 0,54 0,06 ΑΘΡΟΙΣΜΑ,000

16 AHP Υπολογισμός τοπικών προτεραιοτήτων Η προσεγγιστική μέθοδος Παράδειγμα επιλογής αυτοκινήτου Βήμα 5 ο : Αξιολόγηση Τεχνικών Χαρακτηριστικών ΙΠΠ ΧΩΡ ΙΠΠ ΧΩΡ ΙΠΠΟΔΥΝΑΜΗ (ΙΠΠ) 7 ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ (ΧΩΡ) ΙΠΠΟΔΥΝΑΜΗ (ΙΠΠ) 7 7 ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ (ΧΩΡ) /7 /7 ΑΘΡΟΙΣΜΑ,43 8,000 ΙΠΠΟΔΥΝΑΜΗ (ΙΠΠ) 0,875 0,875 ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ (ΧΩΡ) 0,5 0,5 ΑΘΡΟΙΣΜΑ 0,875 0,5,000

17 AHP Υπολογισμός τοπικών προτεραιοτήτων Η προσεγγιστική μέθοδος Παράδειγμα επιλογής αυτοκινήτου Βήμα 6 ο : Υπολογισμός Συνολικής Βαρύτητας ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΤΟΠΙΚΑ ΒΑΡΗ 0.5 0,360 0,8 ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΑΡΧΙΚΟ ΚΟΣΤΟΣ ΚΑΤΑΝΑΛΩΣΗ ΦΟΡΟΛΟΓΙΑ (ΤΕΛΟΣ) ΙΠΠΟΔΥΝΑΜΗ ΧΩΡΗΤΙΚΟΤ. ΤΟΠΙΚΑ ΒΑΡΗ 0,640 0,54 0,06 0,875 0,5 0,8 ΣΥΝΟΛΙΚΑ ΒΑΡΗ 0,38 0,079 0,05 0,35 0,045 0,8 ALFA ROMEO ο ΒMW ο AUDI ο

18 AHP Υπολογισμός τοπικών προτεραιοτήτων Η προσεγγιστική μέθοδος Παράδειγμα επιλογής αυτοκινήτου Βήμα 7 ο : Αξιολόγηση Εναλλακτικών Σεναρίων στα Κριτήρια της Ανάλυσης ΑΡΧΙΚΟ ΚΟΣΤΟΣ AR BMW AUDI AR BMW AUDI ALFA ROMEO (AR) ,84 0,835,0,97 BMW ,964,038 AUDI 3800,0,97 0,374 0,379 0,370 0,374 0,835,038 0,33 0,36 0,3 0,37 0,835 0,964 0,33 0,305 0,309 0,309 ΑΘΡΟΙΣΜΑ,670 3,6 3,35 ΚΑΤΑΝΑΛΩΣΗ ALFA ROMEO (AR) 0,3,34,338 0,75 0,748 BMW 7,7 0,770,99 AUDI 0 0,75 0,748 0,7 0,97 0,45 0,7,338,99 0,364 0,397 0,46 0,396,338 0,770 0,364 0,306 0,38 0,333 ΑΘΡΟΙΣΜΑ 3,675,58 3,046

19 AHP Υπολογισμός τοπικών προτεραιοτήτων Η προσεγγιστική μέθοδος Παράδειγμα επιλογής αυτοκινήτου Βήμα 7 ο : Αξιολόγηση Εναλλακτικών Σεναρίων στα Κριτήρια της Ανάλυσης ΦΟΡΟΛΟΓΙΑ ALFA ROMEO (AR) 358,63,635 0,6 0,6 BMW 9 0,65,66 AUDI 356 0,6 0,6 0,34 0,75 0,89 0,33,635,66 0,383 0,449 0,50 0,445,635 0,65 0,383 0,76 0,309 0,33 ΑΘΡΟΙΣΜΑ 4,69,7 3,37 ΙΠΠΟΔΥΝΑΜΗ ALFA ROMEO (AR) 40,5 0,875,5 0,875 BMW 0,763 0,763 AUDI 60,5 0,875 0,33 0,33 0,33 0,33 0,87 0,763 0,89 0,89 0,89 0,89,43,3 0,379 0,379 0,379 0,379 ΑΘΡΟΙΣΜΑ 3,04 3,459,638

20 AHP Υπολογισμός τοπικών προτεραιοτήτων Η προσεγγιστική μέθοδος Παράδειγμα επιλογής αυτοκινήτου Βήμα 7 ο : Αξιολόγηση Εναλλακτικών Σεναρίων στα Κριτήρια της Ανάλυσης ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ ALFA ROMEO (AR) 405 0,88,57 0,88,57 BMW 460,34,34 AUDI 350 0,88,57 0,333 0,333 0,333 0,333,36,34 0,379 0,379 0,379 0,379 0,864 0,76 0,88 0,88 0,88 0,88 ΑΘΡΟΙΣΜΑ 3,000,64 3,47

21 AHP Υπολογισμός τοπικών προτεραιοτήτων Η προσεγγιστική μέθοδος Παράδειγμα επιλογής αυτοκινήτου Βήμα 7 ο : Αξιολόγηση Εναλλακτικών Σεναρίων στα Κριτήρια της Ανάλυσης ΕΜΦΑΝΙΣΗ AR BMW AUDI AR BMW AUDI ALFA ROMEO (AR) 3 /3 3 /3 BMW /5 /5 AUDI ALFA ROMEO (AR) 3 /3 3 /3 BMW /3 /5 /3 /5 AUDI ΑΘΡΟΙΣΜΑ 4,333 9,000,533 ALFA ROMEO (AR) 0,3 0,333 0,7 0,60 BMW 0,077 0, 0,30 0,06 AUDI 0,69 0,556 0,65 ΑΘΡΟΙΣΜΑ 0,633,000

22 AHP Υπολογισμός τοπικών προτεραιοτήτων Η προσεγγιστική μέθοδος Παράδειγμα επιλογής αυτοκινήτου Βήμα 8 ο : Στάθμιση εναλλακτικών σεναρίων στα κριτήρια της ανάλυσης ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΥΠΟΚΡΙΤΗΡΙΑ ΤΟΠΙΚΗ ΤΟΠΙΚΗ ΣΥΝΟΛΙΚΗ ALFA ROMEO BMW AUDI ΚΟΣΤΟΣ 0,640 0,38 0,374 0,37 0,309 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΑΤΑΝΑΛΩΣΗ 0,5 0,54 0,079 0,7 0,396 0,333 ΦΟΡΟΛΟΓΙΑ 0,06 0,05 0,33 0,445 0,33 ΤΕΧΝΙΚΑ ΙΠΠΟΔΥΝΑΜΗ 0,875 0,35 0,33 0,89 0,379 0,360 ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ 0,5 0,045 0,333 0,379 0,88 ΕΜΦΑΝΙΣΗ 0,8 0,8 0,60 0,06 0,633 ALFA ROMEO BMW AUDI 0,3 0,04 0,0 0,0 0,03 0,06 0,05 0,047 0,034 0,05 0,09 0,9 0,05 0,07 0,03 0,033 0,04 0,08 ΣΥΝΟΛΟ 0,3 0,304 0,375

23 Η μέθοδος των δυνάμεων Στηρίζεται στη διαπίστωση ότι το γινόμενο του απολύτως συνεπή πίνακα με το διάνυσμα των τοπικών προτεραιοτήτων παρέχει διάνυσμα τα στοιχεία του οποίου είναι σταθερό πολλαπλάσιο του τελευταίου [Saaty 977, Saaty 003]. Σύμφωνα με τα παραπάνω, αν ήταν γνωστές οι βαρύτητες των παραμέτρων, οι σχετικές επικρατήσεις θα μπορούσαν να αποδοθούν με τη μορφή πίνακα συγκρίσεων σε ζεύγη, με τις τοπικές προτεραιότητες να προκύπτουν από την επίλυση του συστήματος των εξισώσεων: Το σύστημα αυτό έχει μη μηδενική λύση, όταν και μόνο όταν το (η διάσταση του πίνακα) είναι και ιδιοτιμή (λ max ) του Α (δηλ. ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης του Α) [Saaty 977, 995] Επομένως, για τον συνεπή λήπτη απόφασης θα ισχύει λ max =, ειδάλλως λ max >. AHP Υπολογισμός τοπικών προτεραιοτήτων 0 I A A i i j i j i i i j j

24 AHP Υπολογισμός τοπικών προτεραιοτήτων Η μέθοδος των δυνάμεων- Ο αλγόριθμος Ο προσδιορισμός του κύριου ιδιοδιανύσματος προσεγγίζεται, στην ακριβή διαδικασία, επαναληπτικά με τη μέθοδο των δυνάμεων η οποία υλοποιείται στα παρακάτω βήματα:. Ύψωση του πίνακα των συγκρίσεων σε ζεύγη στο τετράγωνο.. Υπολογισμός του αθροίσματος των στοιχείων γραμμής. 3. Ομαλοποιώντας τα αποτελέσματα του Βήματος με το άθροισμά τους προκύπτει η πρώτη προσέγγιση του ιδιοδιανύσματος. 4. Για το τετράγωνο του τα παραπάνω βήματα επαναλαμβάνονται έως ότου το επίπεδο σύγκλισης των προσεγγίσεων του ιδιοδιανύσματος ικανοποιήσει καθορισμένο από τον χρήστη κριτήριο.

25 AHP Υπολογισμός τοπικών προτεραιοτήτων Η μέθοδος των δυνάμεων-παράδειγμα ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ (ΟΚ) 3 3 6,00 0,459 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ (ΤΧ) / 4 / 4 5,50 0,40 ΕΜΦΑΝΙΣΗ (ΕΜΦ) /3 /4 /3 /4,58 0, 3,08 A^ A^4 A^4 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ (ΟΚ) 3,00 4,75 4,00,75 0,54 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ (ΤΧ),33 3,00 9,50 4,83 0,357 ΕΜΦΑΝΙΣΗ (ΕΜΦ) 0,79,7 3,00 4,96 0,9 ΑΘΡΟΙΣΜΑ 4,54 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ (ΟΚ) 3,7 44,83 9,3 05,3 0,57 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ (ΤΧ),5 3,7 89,67 4,35 0,359 ΕΜΦΑΝΙΣΗ (ΕΜΦ) 7,47 0,76 3,7 49,40 0,4 ΑΘΡΟΙΣΜΑ 396,88 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ (ΟΚ) 90,06 484,05 068,85 953,96 0,57 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ (ΤΧ) 0,47 90, ,0 380,64 0,359 ΕΜΦΑΝΙΣΗ (ΕΜΦ) 697,34 005,74 90, ,4 0,4 ΑΘΡΟΙΣΜΑ 37038,74

26 AHP Υπολογισμός τοπικών προτεραιοτήτων Η μέθοδος των δυνάμεων-παράδειγμα ΑΡΧΙΚΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΑΚ) ΚΑΤΑΝΑΛΩΣΗ (ΚΑΤ) /3 / /3 / ΦΟΡΟΛΟΓΙΑ (ΦΟΡ) /5 /5 ΑΘΡΟΙΣΜΑ,533 6,000 6,500 A^ A^4 A^4 A^4 ΑΡΧΙΚΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΑΚ) 3,00 6,00,50 30,50 0,669 ΚΑΤΑΝΑΛΩΣΗ (ΚΑΤ) 0,77 3,00,67 6,43 0,4 ΦΟΡΟΛΟΓΙΑ (ΦΟΡ),07 4,60 3,00 8,67 0,90 ΑΘΡΟΙΣΜΑ 45,60 ΑΡΧΙΚΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΑΚ) 33,53 48,90,67 94,0 0,656 ΚΑΤΑΝΑΛΩΣΗ (ΚΑΤ) 7,44 33,53 4,8 65,79 0,47 ΦΟΡΟΛΟΓΙΑ (ΦΟΡ) 9,93 44,67 33,53 88,3 0,97 ΑΘΡΟΙΣΜΑ 448,0 ΑΡΧΙΚΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΑΚ) 334, ,00 84,3 9499,76 0,657 ΚΑΤΑΝΑΛΩΣΗ (ΚΑΤ) 745,6 334,44 495,67 658,73 0,47 ΦΟΡΟΛΟΓΙΑ (ΦΟΡ) 998,7 4473,73 334,44 883,43 0,96 ΑΘΡΟΙΣΜΑ 44895,9 ΑΡΧΙΚΟ ΚΟΣΤΟΣ (ΑΚ) , , , ,95 0,657 ΚΑΤΑΝΑΛΩΣΗ (ΚΑΤ) , , , ,80 0,47 ΦΟΡΟΛΟΓΙΑ (ΦΟΡ) , , , ,3 0,96 ΑΘΡΟΙΣΜΑ ,98

27 AHP Υπολογισμός του μέτρου της ασυνέπειας των κρίσεων Όταν οι λήπτες απόφασης πραγματοποιούν συνεπείς κρίσεις, τότε κάθε στοιχείο του πίνακα ικανοποιεί τη μεταβατική ιδιότητα. Ωστόσο, είναι ανθρωπίνως αδύνατο να διαμορφωθούν απολύτως συνεπείς πίνακες στις διαδικασίες των σε ζεύγη αξιολογήσεων των παραμέτρων του προβλήματος απόφασης. Οι κυριότεροι λόγοι για την εμφάνιση της ασυνέπειας είναι η έλλειψη γνώσης και συγκέντρωσης του αποφασίζοντος, η διαμόρφωση ιεραρχιών που δεν ανταποκρίνονται στις απαιτήσεις της ανάλυσης και τέλος η διαπίστωση ότι είναι ίδιον των ανθρώπων να μην ακολουθούν στην πράξη απολύτως συνεπείς κανόνες. Η διαφορά μεταξύ της κύριας ιδιοτιμής και της διάστασης του πίνακα των ανά ζεύγος συγκρίσεων αποδίδει το μέτρο της ασυνέπειας του.

28 AHP Υπολογισμός του μέτρου της ασυνέπειας των κρίσεων Ο δείκτης συνέπειας (CI: Cosistecy Idex) προσδιορίζεται από την ομαλοποίηση της παρακάνω διαφοράς max CI Σε κάθε περίπτωση η τιμή του θα πρέπει να είναι μικρότερη εκείνης του τυχαίου δείκτη συνέπειας (RI: Radom cosistecy Idex). Ο λόγος συνέπειας CR (Cosistecy Ratio) υπολογίζεται από την απόκλιση μεταξύ CI και RI (CI/RI) Οι τιμές του RI δίνονται για το σύνολο των διαστάσεων των πινάκων αξιολόγησης σε ζεύγη στον Πίνακα: Τιμές του τυχαίου βαθμού συνέπειας RI RI 0,00 0,00 0,5 0,89,,5,35,40,45

29 AHP Υπολογισμός του μέτρου της ασυνέπειας των κρίσεων Παράδειγμα στην προσεγγιστική διαδικασία ΟΚ ΤΧ ΕΜΦ ΟΚ ΤΧ ΕΜΦ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ (ΟΚ) 3 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ (ΤΧ) 4 ΕΜΦΑΝΙΣΗ (ΕΜΦ) ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ (ΟΚ) 3 3 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ (ΤΧ) / 4 / 4 ΕΜΦΑΝΙΣΗ (ΕΜΦ) /3 /4 /3 /4 ΑΘΡΟΙΣΜΑ,833 3,50 8,000 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ (ΟΚ) 0,545 0,65 0,375 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ (ΤΧ) 0,73 0,308 0,500 ΕΜΦΑΝΙΣΗ (ΕΜΦ) 0,8 0,077 0,5 ΑΘΡΟΙΣΜΑ 0,5 0,360 0,8,000

30 AHP Υπολογισμός του μέτρου της ασυνέπειας των κρίσεων Παράδειγμα στην προσεγγιστική διαδικασία α/ Πολλαπλασιάζουμε τις στήλες κάθε πίνακα με το βάρος του αντίστοιχου κριτηρίου και υπολογίζουμε το άθροισμα των γραμμών ΟΚ ΤΧ ΕΜΦ W 0,5 0,360 0,8 3 A / 4 /3 /4 0,5 0,7 0,38,6 0,6 0,36 0,5,3 0,7 0,09 0,3 0,39

31 AHP Υπολογισμός του μέτρου της ασυνέπειας των κρίσεων Παράδειγμα στην προσεγγιστική διαδικασία α/ Πολλαπλασιάζουμε τις στήλες κάθε πίνακα με το βάρος του αντίστοιχου κριτηρίου και υπολογίζουμε το άθροισμα των γραμμών β/ Διαιρούμε το άθροισμα των γραμμών με το διάνυσμα της βαρύτητας γ/ Ο μέσος όρος του πίνακα είναι η κύρια ιδιοτιμή του λ max ΟΚ ΤΧ ΕΜΦ W 0,5 0,360 0,8 3 A / 4 /3 /4 0,5 0,7 0,38,6 0,6 0,36 0,5,3 0,7 0,09 0,3 0,39 CI RI CR 3,6 0,05 0,5 0,0 3,3 3,04 average 3,

32 AHP Υπολογισμός του μέτρου της ασυνέπειας των κρίσεων Παράδειγμα στη μέθοδο των δυνάμεων 0 I A A i i j i j i i i j j ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ (ΟΚ) 3 3 6,00 0,459 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ (ΤΧ) / 4 / 4 5,50 0,40 ΕΜΦΑΝΙΣΗ (ΕΜΦ) /3 /4 /3 /4,58 0, 3,08 W AxW λmax ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ (ΟΚ) 3,00 4,75 4,00,75 0,54,60 3,05 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ (ΤΧ),33 3,00 9,50 4,83 0,357,0 3,07 ΕΜΦΑΝΙΣΗ (ΕΜΦ) 0,79,7 3,00 4,96 0,9 0,38 3, 4,54 W AxW λmax ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ (ΟΚ) 3,7 44,83 9,3 05,3 0,57,6 3, ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ (ΤΧ),5 3,7 89,67 4,35 0,359, 3, ΕΜΦΑΝΙΣΗ (ΕΜΦ) 7,47 0,76 3,7 49,40 0,4 0,39 3,0 396,88 W AxW λmax CI RI CR ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ (ΟΚ) 90,06 484,05 068,85 953,96 0,57,6 3, 0,054 0,5 0,04 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ (ΤΧ) 0,47 90, ,0 380,64 0,359, 3, ΕΜΦΑΝΙΣΗ (ΕΜΦ) 697,34 005,74 90, ,4 0,4 0,39 3, 37038,74 cout 3,00 A^ A^4 ΑΘΡΟΙΣΜΑ A^4 ΑΘΡΟΙΣΜΑ A ΑΘΡΟΙΣΜΑ

33 AHP Υπολογισμός του μέτρου της ασυνέπειας των κρίσεων Παράδειγμα A^ A^4 A^4 A ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ (ΟΚ) 3 3 6,00 0,459 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ (ΤΧ) / 4 / 4 5,50 0,40 ΕΜΦΑΝΙΣΗ (ΕΜΦ) /3 /4 /3 /4,58 0, 3,08 W AxW λmax ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ (ΟΚ) 3,00 4,75 4,00,75 0,54,60 3,05 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ (ΤΧ),33 3,00 9,50 4,83 0,357,0 3,07 ΕΜΦΑΝΙΣΗ (ΕΜΦ) 0,79,7 3,00 4,96 0,9 0,38 3, ΑΘΡΟΙΣΜΑ 4,54 W AxW λmax ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ (ΟΚ) 3,7 44,83 9,3 05,3 0,57,6 3, ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ (ΤΧ),5 3,7 89,67 4,35 0,359, 3, ΕΜΦΑΝΙΣΗ (ΕΜΦ) 7,47 0,76 3,7 49,40 0,4 0,39 3,0 ΑΘΡΟΙΣΜΑ 396,88 W AxW λmax CI RI CR ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ (ΟΚ) 90,06 484,05 068,85 953,96 0,57,6 3, 0,054 0,5 0,04 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ (ΤΧ) 0,47 90, ,0 380,64 0,359, 3, ΕΜΦΑΝΙΣΗ (ΕΜΦ) 697,34 005,74 90, ,4 0,4 0,39 3, ΑΘΡΟΙΣΜΑ 37038,74 cout 3,00 Για πίνακες 3x3 πρέπει CR<5% Για πίνακες 4x4 πρέπει CR<9% Για μεγαλύτερες διαστάσεις CR<0% CR>0% Η ασυνέπεια θεωρείται μεγάλη. Επομένως πρέπει να διορθωθούν οι ασυνεπείς κρίσεις

34 AHP Υπολογισμός του μέτρου της ασυνέπειας των κρίσεων Παράδειγμα A^ A^4 A^4 A ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ (ΟΚ) 3 3 6,00 0,459 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ (ΤΧ) / 4 / 4 5,50 0,40 ΕΜΦΑΝΙΣΗ (ΕΜΦ) /3 /4 /3 /4,58 0, 3,08 W AxW λmax ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ (ΟΚ) 3,00 4,75 4,00,75 0,54,60 3,05 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ (ΤΧ),33 3,00 9,50 4,83 0,357,0 3,07 ΕΜΦΑΝΙΣΗ (ΕΜΦ) 0,79,7 3,00 4,96 0,9 0,38 3, ΑΘΡΟΙΣΜΑ 4,54 W AxW λmax ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ (ΟΚ) 3,7 44,83 9,3 05,3 0,57,6 3, ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ (ΤΧ),5 3,7 89,67 4,35 0,359, 3, ΕΜΦΑΝΙΣΗ (ΕΜΦ) 7,47 0,76 3,7 49,40 0,4 0,39 3,0 ΑΘΡΟΙΣΜΑ 396,88 W AxW λmax CI RI CR ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ (ΟΚ) 90,06 484,05 068,85 953,96 0,57,6 3, 0,054 0,5 0,04 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ (ΤΧ) 0,47 90, ,0 380,64 0,359, 3, ΕΜΦΑΝΙΣΗ (ΕΜΦ) 697,34 005,74 90, ,4 0,4 0,39 3, ΑΘΡΟΙΣΜΑ 37038,74 cout 3,00 Εντοπισμός κρίσεων που χαρακτηρίζονται από ασυνέπεια Στον απολύτως συνεπή πίνακα ισχύει η μεταβατική ιδιότητα δηλ. a ij =a ik xa kj Επομένως θα έπρεπε a 3 =a x a 3 = x4 = 8 H τιμή 3 πρέπει να διορθωθεί προς τα επάνω

35 AHP Υπολογισμός του μέτρου της ασυνέπειας των κρίσεων Παράδειγμα A^ A^4 A^4 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ (ΟΚ) 8 8,00 0,65 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ (ΤΧ) / 4 / 4 5,50 0,308 ΕΜΦΑΝΙΣΗ (ΕΜΦ) /8 /4 /8 /4,38 0,077 7,88 W AxW λmax ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ (ΟΚ) 3,00 6,00 4,00 33,00 0,65,85 3,00 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ (ΤΧ),50 3,00,00 6,50 0,308 0,9 3,00 ΕΜΦΑΝΙΣΗ (ΕΜΦ) 0,38 0,75 3,00 4,3 0,077 0,3 3,00 ΑΘΡΟΙΣΜΑ 53,63 W AxW λmax ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ (ΟΚ) 7,00 54,00 6,00 97,00 0,65,85 3,00 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ (ΤΧ) 3,50 7,00 08,00 48,50 0,308 0,9 3,00 ΕΜΦΑΝΙΣΗ (ΕΜΦ) 3,38 6,75 7,00 37,3 0,077 0,3 3,00 ΑΘΡΟΙΣΜΑ 48,63 W AxW λmax CI RI CR ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ (ΟΚ) 87, , , ,00 0,65,85 3,00 0,000 0,5 0,000 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ (ΤΧ) 093,50 87, ,00 08,50 0,308 0,9 3,00 ΕΜΦΑΝΙΣΗ (ΕΜΦ) 73,38 546,75 87, ,3 0,077 0,3 3,00 ΑΘΡΟΙΣΜΑ 3909,63 cout 3,00 Πράγματι για a 3 = 8 τότε CR=0

36 AHP Υπολογισμός του μέτρου της ασυνέπειας των κρίσεων Παράδειγμα A^ A^4 A^4 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ (ΟΚ) 4 4 7,00 0,500 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ (ΤΧ) / 4 / 4 5,50 0,393 ΕΜΦΑΝΙΣΗ (ΕΜΦ) /4 /4 /4 /4,50 0,07 4,00 W AxW λmax ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ (ΟΚ) 3,00 5,00 6,00 4,00 0,550,66 3,0 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ (ΤΧ),00 3,00 0,00 5,00 0,344,04 3,03 ΕΜΦΑΝΙΣΗ (ΕΜΦ) 0,63,00 3,00 4,63 0,06 0,33 3, ΑΘΡΟΙΣΜΑ 43,63 W AxW λmax ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ (ΟΚ) 9,00 46,00 46,00,00 0,547,67 3,05 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ (ΤΧ) 8,5 9,00 9,00 39,5 0,345,05 3,05 ΕΜΦΑΝΙΣΗ (ΕΜΦ) 5,75 9,3 9,00 43,88 0,09 0,33 3,05 ΑΘΡΟΙΣΜΑ 404,3 W AxW λmax CI RI CR ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ (ΟΚ) 50, ,5 700,00 90,5 0,547,67 3,05 0,07 0,5 0,05 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ (ΤΧ) 587,50 50, ,50 08,00 0,345,05 3,05 ΕΜΦΑΝΙΣΗ (ΕΜΦ) 500,03 793,75 50,00 383,78 0,09 0,33 3,05 ΑΘΡΟΙΣΜΑ 354,03 cout 3,00 Για a 3 = 4 τότε CR=0,05

37 AHP Υπολογισμός του μέτρου της ασυνέπειας των κρίσεων Παράδειγμα A^ A^4 A^4 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ (ΟΚ) 4,5 4,5 7,50 0,58 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ (ΤΧ) / 4 / 4 5,50 0,380 ΕΜΦΑΝΙΣΗ (ΕΜΦ) /9 /4 /9 /4,47 0,0 4,47 W AxW λmax ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ (ΟΚ) 3,00 5,3 7,00 5,3 0,56,69 3,0 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ (ΤΧ),89 3,00 0,5 5,4 0,338,0 3,0 ΕΜΦΑΝΙΣΗ (ΕΜΦ) 0,57 0,94 3,00 4,5 0,0 0,3 3,08 ΑΘΡΟΙΣΜΑ 44,78 W AxW λmax ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ (ΟΚ) 8,36 46,8 54,53 9,70 0,559,70 3,04 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ (ΤΧ) 7,7 8,36 93,6 39,4 0,339,03 3,04 ΕΜΦΑΝΙΣΗ (ΕΜΦ) 5,0 8,59 8,36 4,5 0,03 0,3 3,04 ΑΘΡΟΙΣΜΑ 40,99 W AxW λmax CI RI CR ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ (ΟΚ) 4,67 398,58 346, , 0,559,70 3,04 0,08 0,5 0,035 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ (ΤΧ) 460,76 4, ,5 835,59 0,339,03 3,04 ΕΜΦΑΝΙΣΗ (ΕΜΦ) 44,40 730,38 4, ,45 0,03 0,3 3,04 ΑΘΡΟΙΣΜΑ 34960,5 cout 3,00 Για a 3 = 4,5 τότε CR=0,035

38 Καλό διάβασμα

Μοντέλα Βαθμονόμησης-Analytic Hierarchy Process

Μοντέλα Βαθμονόμησης-Analytic Hierarchy Process Μοντέλα Βαθμονόμησης-Analytic Hierarchy Process Αναλυτική Ιεραρχική ιαδικασία Η Αναλυτική Ιεραρχική ιαδικασία ανήκει στην κατηγορία των μεθόδων συγκρίσεων σε ζεύγη και αναπτύχθηκε στα τέλη της δεκαετίας

Διαβάστε περισσότερα

Ιεραρχική αναλυση αποφασεων Analytic hierarchy process (AHP)

Ιεραρχική αναλυση αποφασεων Analytic hierarchy process (AHP) Ιεραρχική αναλυση αποφασεων Analytic hierarchy process (AHP) Εισαγωγή Παρουσιάστηκε από τον Thomas L. Saaty τη δεκαετία του 70 Μεθοδολογία που εφαρμόζεται στην περιοχή των Multicriteria Problems Δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Διαδικασία Ιεραρχικής Ανάλυσης. Ρόκου Έλενα Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια ΕΜΠ Κηρυττόπουλος Κωνσταντίνος Επ.

Εισαγωγή στη Διαδικασία Ιεραρχικής Ανάλυσης. Ρόκου Έλενα Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια ΕΜΠ Κηρυττόπουλος Κωνσταντίνος Επ. Εισαγωγή στη Διαδικασία Ιεραρχικής Ανάλυσης Ρόκου Έλενα Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια ΕΜΠ Κηρυττόπουλος Κωνσταντίνος Επ. Καθηγητής ΕΜΠ Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι Βελτιστοποίησης

Μέθοδοι Βελτιστοποίησης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Ενότητα # 6: Αναλυτική Ιεραρχική Διαδικασία Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Στήριξης Αποφάσεων

Συστήματα Στήριξης Αποφάσεων Συστήματα Στήριξης Αποφάσεων Τμήμα: Μηχανικών Παραγωγής & ιοίκησης ιδάσκων: A.Π. Βαβάτσικος, Di.Eng., PhD Μέθοδοι ιδεατού σημείου Είναι μέθοδος συμβιβαστικού προγραμματισμού Υλοποιείται με την μέτρηση

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Περιβάλλοντος - Νομοθεσία

Διαχείριση Περιβάλλοντος - Νομοθεσία Διαχείριση Περιβάλλοντος - Νομοθεσία Ενότητα 3: Πολυκριτηριακή Ανάλυση και Λήψη Αποφάσεων Δ. Καλιαμπάκος - Δ. Δαμίγος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

του Ανθρώπινου υναµικού µε το Πρότυπο ANALYTIC HIERARCHY PROCESS (AHP) School of Economics) ΤΕΙ ΑΘΗΝΑΣ E-MAIL : CFRAGOS@TEIATH.GR Τηλ..

του Ανθρώπινου υναµικού µε το Πρότυπο ANALYTIC HIERARCHY PROCESS (AHP) School of Economics) ΤΕΙ ΑΘΗΝΑΣ E-MAIL : CFRAGOS@TEIATH.GR Τηλ.. H Εφαρµογή εικτών Απόδοσης ( K.P.I.) στην αξιολόγηση του Ανθρώπινου υναµικού µε το Πρότυπο της Αναλυτικής Ιεραρχικής ιαδικασίας (A.H.P.) Ο ΗΓΟΣ ΣΤΗ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΙΕΡΑΡΧΙΚΗ ΙΑ ΙΚΑΣΙΑ ANALYTIC HIERARCHY PROCESS

Διαβάστε περισσότερα

1/12/2016. Πλεονεκτήματα. Μειονεκτήματα. (Roy, 1994)

1/12/2016. Πλεονεκτήματα. Μειονεκτήματα. (Roy, 1994) Πολυκριτηριακή Ανάλυση και Λήψη Αποφάσεων Δ. Καλιαμπάκος -Δ. Δαμίγος μγ Πολυκριτηριακή ανάλυση «Ο κύριος στόχος δεν είναι να ανακαλύψουμε μια λύση αλλά να δημιουργήσουμε ή να κατασκευάσουμε κάτι το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

«Συστήματα Υποστήριξης Αποφάσεων» «Εφαρμογή Υποστήριξης Απόφασης με την Μέθοδο Ιεραρχικής Ανάλυσης Αποφάσεων AHP»

«Συστήματα Υποστήριξης Αποφάσεων» «Εφαρμογή Υποστήριξης Απόφασης με την Μέθοδο Ιεραρχικής Ανάλυσης Αποφάσεων AHP» «Συστήματα Υποστήριξης Αποφάσεων» «Εφαρμογή Υποστήριξης Απόφασης με την Μέθοδο Ιεραρχικής Ανάλυσης Αποφάσεων AHP» Περιεχόμενα Εισαγωγή...3 Η μέθοδος της ιεραρχικής ανάλυσης αποφάσεων...3 Εφαρμογή Υποστήριξης

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Στήριξης Αποφάσεων

Συστήματα Στήριξης Αποφάσεων Συστήματα Στήριξης Αποφάσεων Τμήμα: Μηχανικών Παραγωγής & ιοίκησης ιδάσκων: A.Π. Βαβάτσικος, Dip.Eng., PhD H Μέθοδος PROMETHEE Η μέθοδος PROMETHEE (Preference Ranking Organization METHod for Enrichment

Διαβάστε περισσότερα

Στο στάδιο ανάλυσης των αποτελεσµάτων: ανάλυση ευαισθησίας της λύσης, προσδιορισµός της σύγκρουσης των κριτηρίων.

Στο στάδιο ανάλυσης των αποτελεσµάτων: ανάλυση ευαισθησίας της λύσης, προσδιορισµός της σύγκρουσης των κριτηρίων. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η τεχνική αυτή έκθεση περιλαµβάνει αναλυτική περιγραφή των εναλλακτικών µεθόδων πολυκριτηριακής ανάλυσης που εξετάσθηκαν µε στόχο να επιλεγεί η µέθοδος εκείνη η οποία είναι η πιο κατάλληλη για

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Μέθοδος Αναλυτικής Ιεράρχησης

1.4 Μέθοδος Αναλυτικής Ιεράρχησης 1.4 Μέθοδος Αναλυτικής Ιεράρχησης Η μέθοδος Αναλυτικής Ιεράρχησης (Analytical Hierarchical Process, AHP) προτάθηκε από τον Thomas Saaty το 1977 και γνώρισε μεγάλη εξάπλωση και αποδοχή για την επίλυση πολυκριτηριακών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ Χ. Τσιρώνης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΩΤΟ - Διατύπωση προβλημάτων - Κατηγορίες εφαρμογών - Πράξεις με πίνακες ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ (in short) Που

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση 4.5 Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα πινάκων. Γ. Παπαευαγγέλου, ΕΔΙΠ, ΤΑΤΜ/ΑΠΘ

Αριθμητική Ανάλυση 4.5 Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα πινάκων. Γ. Παπαευαγγέλου, ΕΔΙΠ, ΤΑΤΜ/ΑΠΘ Αριθμητική Ανάλυση 4.5 Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα πινάκων Γ. Παπαευαγγέλου, ΕΔΙΠ, ΤΑΤΜ/ΑΠΘ 1. Υπενθύμιση έννοιας νόρμας και βασικών ιδιοτήτων της 2. Σπουδαιότητα των ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων πινάκων

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικά Συστήματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικό Σύστημα a11x1 + a12x2 + + a1 nxn = b1 a x + a x + +

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ ΑΚΑΔ. ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ Χ. Τσιρώνης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟ - Διανύσματα - Πράξεις με πίνακες - Διαφορικός λογισμός (1D) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος 6/6/06 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 0 Δίνεται ο πίνακας A =. Nα υπολογίσετε την βαθμίδα του και να βρείτε τη διάσταση και από μία βάση α) του μηδενοχώρου

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Εισαγωγή Σύστημα γραμμικών εξισώσεων a x a x a x b 11

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές έννοιες. Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Προβλήματα εύρεσης μεγίστου. Συμβολισμοί

Εισαγωγικές έννοιες. Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Προβλήματα εύρεσης μεγίστου. Συμβολισμοί Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Εισαγωγικές έννοιες Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc164.materials.uoi.gr/dpapageo Το πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-9) ΜΕΡΟΣ 7: ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ & ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Q 12. c 3 Q 23. h 12 + h 23 + h 31 = 0 (6)

Q 12. c 3 Q 23. h 12 + h 23 + h 31 = 0 (6) Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας Υδατικών Πόρων Μάθηµα: Τυπικά Υδραυλικά Έργα Μέρος 2: ίκτυα διανοµής Άσκηση E0: Μαθηµατική διατύπωση µοντέλου επίλυσης απλού δικτύου διανοµής

Διαβάστε περισσότερα

Σημείωμα Αδειοδότησης

Σημείωμα Αδειοδότησης Μελέτη Περιπτώσεων στη Λήψη Αποφάσεων Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας

Διαβάστε περισσότερα

Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ»

Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» 2 ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Προβλήματα ελάχιστης συνεκτικότητας δικτύου Το πρόβλημα της ελάχιστης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα 1. με επαυξημένο 0 1 1/ 2. πίνακα. και κλιμακωτή μορφή αυτού

Θέμα 1. με επαυξημένο 0 1 1/ 2. πίνακα. και κλιμακωτή μορφή αυτού ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ Ιουλίου 0 Θέμα α) (Μον.6) Να βρεθεί η τιμή του πραγματικού

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας II

Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας II Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας II 13 η Διάλεξη: Προχωρημένες μέθοδοι διαχείρισης προμηθειών 2019 Εργαστήριο Συστημάτων Σχεδιασμού, Παραγωγής και Λειτουργιών Αναφορές Οι σημειώσεις έχουν βασιστεί σε 1.

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πίνακες Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Πίνακες Μητρώα Πίνακας: Ορθογώνια διάταξη αριθμών σε γραμμές και στήλες

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 8/6/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 8/6/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Άσκηση (Μονάδες.5) Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 8/6/07 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Προσδιορίστε το c R ώστε το διάνυσμα (,, 6 ) να ανήκει στο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑ ΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ, ΤΕΥΧΟΣ 15 (σσ ) DATA ANALYSIS BULLETIN, ISSUE 15 (pp ) Ιεραρχική Ανάλυση

ΤΕΤΡΑ ΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ, ΤΕΥΧΟΣ 15 (σσ ) DATA ANALYSIS BULLETIN, ISSUE 15 (pp ) Ιεραρχική Ανάλυση ΤΕΤΡΑ ΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ, ΤΕΥΧΟΣ 15 (σσ. 81-89) DATA ANALYSIS BULLETIN, ISSUE 15 (pp. 81-89) Ιεραρχική Ανάλυση ηµήτριος Καραπιστόλης Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυµα Θεσσαλονίκης Περίληψη

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση δικτύων διανομής

Ανάλυση δικτύων διανομής Υδραυλική & Υδραυλικά Έργα 5 ο εξάμηνο Σχολής Πολιτικών Μηχανικών Ανάλυση δικτύων διανομής Χρήστος Μακρόπουλος, Ανδρέας Ευστρατιάδης & Παναγιώτης Κοσσιέρης Τομέας Υδατικών Πόρων & Περιβάλλοντος, Εθνικό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦ.6:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ

ΚΕΦ.6:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΕΦ:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Τετραγωνικές μορφές: Συναρτήσεις με τύπο Q ν α ι j j, j [ ] ν α α ν αν α νν ν Τ Χ ΑΧ Για παράδειγμα εάν v Q α + α + α + α α + α + α + α δηλ a a a a α + α + α

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Διακριτά Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης

Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης με παραγώγους Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc64.materials.uoi.gr/dpapageo

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές Δυναμική Μηχανών I Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις 5 3 Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

Βρόχοι. Εντολή επανάληψης. Το άθροισμα των αριθμών 1 5 υπολογίζεται με την εντολή. Πρόβλημα. Πώς θα υπολογίσουμε το άθροισμα των ακέραιων ;

Βρόχοι. Εντολή επανάληψης. Το άθροισμα των αριθμών 1 5 υπολογίζεται με την εντολή. Πρόβλημα. Πώς θα υπολογίσουμε το άθροισμα των ακέραιων ; Εντολή επανάληψης Το άθροισμα των αριθμών 1 5 υπολογίζεται με την εντολή Πρόβλημα Πώς θα υπολογίσουμε το άθροισμα των ακέραιων 1 5000; Ισοδύναμοι υπολογισμοί του Ισοδύναμοι υπολογισμοί του Ισοδύναμοι υπολογισμοί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Διαγωνοποίηση μητρών. Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας

Διαγωνοποίηση μητρών. Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας Διαγωνοποίηση μητρών Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας Όμοιες μήτρες Ορισμός: Οι τετραγωνικές μήτρες Α=[α ij ] nxn & B=[b ij ] nxn όμοιες (Α~Β): αν υπάρχει ομαλή μήτρα Ρ τ.ώ. Β = Ρ -1 Α Ρ A~B Β~ Α Ρ ομαλή μήτρα

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Ι. Λυχναρόπουλος 9/8/6 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες.5) Να υπολογισθούν τα ακρότατα της συνάρτησης: y y y y 3 (, ) 3 3 3 Πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το Υπολογίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Αστικά υδραυλικά έργα

Αστικά υδραυλικά έργα Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Αστικά υδραυλικά έργα Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής Δημήτρης Κουτσογιάννης, Καθηγητής ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Άδεια Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πίνακες Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Πίνακες Μητρώα Πίνακας: Ορθογώνια διάταξη αριθμών σε γραμμές και στήλες

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόµενα µαθήµατος

Περιεχόµενα µαθήµατος Περιεχόµενα µαθήµατος Λήψη αποφάσεων Ειδικά θέµατα (προγραµµατισµός κι έλεγχος παραγωγής, ανάλυση χρονοσειρών, διαχείριση κι έλεγχος αποθεµάτων, κ.ά.) Ορισµός, στόχοι και µορφές επιχειρήσεων και Χρηµατοοικονοµικά

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΦΙΛΤΡΟ KALMAN ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ

ΦΙΛΤΡΟ KALMAN ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ 1 ΦΙΛΤΡΟ KALMAN ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Σε αυτό το μέρος της πτυχιακής θα ασχοληθούμε λεπτομερώς με το φίλτρο kalman και θα δούμε μια καινούρια έκδοση του φίλτρου πάνω στην εφαρμογή της γραμμικής εκτίμησης διακριτού

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Δείξτε ότι ο V R εφοδιασμένος με τις ακόλουθες πράξεις (, a b) + (, d) ( a+, b+ d) και k ( ab, ) ( kakb,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 12 - Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα

ΠΛΗ 12 - Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα 5 Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Χαρακτηριστικό πολυώνυμο Έστω ο πίνακας Α: Αν από τα στοιχεία της κυρίας διαγωνίου α,α αφαιρέσουμε τον αριθμό λ, τότε προκύπτει ο πίνακας: του οποίου η ορίζουσα είναι η εξής:

Διαβάστε περισσότερα

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Matrix Algorithms Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Περιεχόμενα παρουσίασης Πολλαπλασιασμός πίνακα με διάνυσμα Πολλαπλασιασμός πινάκων Επίλυση τριγωνικού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΜΕΡΟΣ ΙΙ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ 36 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Πολλές από τις αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 12: Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής

Κεφάλαιο 12: Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής Κεφάλαιο 12: Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής Εννοιολογική αναπαράσταση δίκτυων διανομής Σχηματοποίηση: δικτυακή απεικόνιση των συνιστωσών του φυσικού συστήματος ως συνιστώσες ενός εννοιολογικού μοντέλου

Διαβάστε περισσότερα

Μοντελοποίηση Προσομοίωση

Μοντελοποίηση Προσομοίωση Μοντελοποίηση Προσομοίωση Σχεδιασμός είναι η διαδικασία μετατροπής των φυσικών νόμων σε μαθηματικές εξισώσεις είναι το κατάλληλο λογισμικό το οποίο χρησιμοποιώντας το μαθηματικό μοντέλο προβλέπει τη συμπεριφορά

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή:

Δειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή: Δειγματοληψία Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ συμβολίζουμε την μέση τιμή: Επομένως στην δειγματοληψία πινάκων συνάφειας αναφερόμαστε στον

Διαβάστε περισσότερα

Χαρακτηριστική Εξίσωση Πίνακα

Χαρακτηριστική Εξίσωση Πίνακα Έστω ο n nτετραγωνικός πίνακας A της μορφής a L a M O M an L a όπου aij, i n, j n πραγματικές σταθερές Ονομάζουμε χαρακτηριστική εξίσωση του πίνακα A την εξίσωση A λi, όπου I ο n n μοναδιαίος πίνακας και

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ: Η ιαδικασία Αναλυτικής Ιεράρχησης (AHP) και η εφαρµογή της στην αγορά κεφαλαίου µε τη χρήση νευρωνικού δικτύου.

Διαβάστε περισσότερα

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι)

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι) 77 78 7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Άλγεβρα των μητρών οι πινάκων είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για την επίλυση συστημάτων καθώς επίσης στις επιστήμες της οικονομετρίας και της στατιστικής. ΟΡΙΣΜΟΣ: Μήτρα

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

P(n, r) = n! P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1 r n!

P(n, r) = n! P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1 r n! Διακριτά Μαθηματικά Σύνοψη Θεωρίας Τυπολόγιο Αναστασία Κόλλια 20/11/2016 1 / 55 Κανόνες γινομένου και αθροίσματος Κανόνας αθροίσματος: Αν ένα γεγονός μπορεί να συμβεί κατά m τρόπους και ένα άλλο γεγονός

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Εισαγωγή στα Σήματα 1. Σκοποί της Θεωρίας Σημάτων 2. Κατηγορίες Σημάτων 3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 1: Εισαγωγή- Χαρακτηριστικά Παραδείγματα Αλγορίθμων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A 4. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές πολλαπλότητες των ιδιοτιμών.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ονοματεπώνυμο:......... Α.Μ....... Ετος... ΑΙΘΟΥΣΑ:....... I. (περί τις 55μ. = ++5++. Σωστό ή Λάθος: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - //8 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (αʹ Αν AB = BA όπου A, B τετραγωνικά και

Διαβάστε περισσότερα

1 ιαδικασία διαγωνιοποίησης

1 ιαδικασία διαγωνιοποίησης ιαδικασία διαγωνιοποίησης Εστω V ένας R-διανυσματικός χώρος (ή έναςc-διανυσματικός χώρος) διάστασης n. Είναι γνωστό ότι κάθε διάνυσμα (,,..., n ) του χώρου V μπορεί να παρασταθεί και σαν πίνακας στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΑΣ ΔΙΚΡΙΤΗΡΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX

ΕΝΑΣ ΔΙΚΡΙΤΗΡΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΝΑΣ ΔΙΚΡΙΤΗΡΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX 3.1 Εισαγωγή Ο αλγόριθμος Simplex θεωρείται πλέον ως ένας κλασικός αλγόριθμος για την επίλυση γραμμικών προβλημάτων. Η πρακτική αποτελεσματικότητά του έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΤΑΣΗΣ

ΜΕΤΡΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΤΑΣΗΣ Μέτρα Περιγραφικής Στατιστικής Πληθυσμιακοί παράμετροι: τα αριθμητικά μεγέθη που εκφράζουν τις στατιστικές ιδιότητες ενός πληθυσμού (που προσδιορίζουν / περιγράφουν τη φυσιογνωμία και τη δομή του) Στατιστικά

Διαβάστε περισσότερα

E[ (x- ) ]= trace[(x-x)(x- ) ]

E[ (x- ) ]= trace[(x-x)(x- ) ] 1 ΦΙΛΤΡΟ KALMAN ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Σε αυτό το μέρος της πτυχιακής θα ασχοληθούμε λεπτομερώς με το φίλτρο kalman και θα δούμε μια καινούρια έκδοση του φίλτρου πάνω στην εφαρμογή της γραμμικής εκτίμησης διακριτού

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

1 ο ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ

1 ο ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Δ.Π.Θ. - Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Ακαδ. έτος 2017-2018 Τομέας Συστημάτων Παραγωγής Εξάμηνο A Αναπληρωτής Καθηγητής Στέφανος Δ. Κατσαβούνης 03 ΟΚΤ 2017 ΜΑΘΗΜΑ : ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ

Διαβάστε περισσότερα

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Ανάλυση Πινάκων Κεφάλαιο 3: Παραγοντοποίηση QR Παναγιώτης Ψαρράκος Αν Καθηγητής ΔΠΜΣ Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Εθνικό Μετσόβιο

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Μεθοδολογία Αναλυτικής Ιεράρχησης

Κεφάλαιο 4: Μεθοδολογία Αναλυτικής Ιεράρχησης Κεφάλαιο 4: Μεθοδολογία Αναλυτικής Ιεράρχησης Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η μεθοδολογία της αναλυτικής ιεράρχησης (AHP: Analytic Hierarchy Process) και αναλύονται τεχνικές αξιοποίησης αυτής

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 05 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση.. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κ4.1 Μέθοδος ανάλυσης νεκρού σημείου για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής ή σημείου παραγωγής Επιλογή διαδικασίας παραγωγής Η μέθοδος ανάλυσης νεκρού για την επιλογή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΠΕΡΣΕΦΟΝΗ ΠΟΛΥΧΡΟΝΙΔΟΥ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΤΕ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΠΕΡΣΕΦΟΝΗ ΠΟΛΥΧΡΟΝΙΔΟΥ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΤΕ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΠΕΡΣΕΦΟΝΗ ΠΟΛΥΧΡΟΝΙΔΟΥ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1,

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1, I ΠΙΝΑΚΕΣ 11 Σώμα 111 Ορισμός: Ενα σύνολο k εφοδιασμένο με δύο πράξεις + και ονομάζεται σώμα αν ικανοποιούνται οι παρακάτω ιδιότητες: (Α (α (Προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης (a + b + c = a + (b +

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss-Jordan Παραγοντοποίηση LU, LDU

Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss-Jordan Παραγοντοποίηση LU, LDU Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss-Jordan Παραγοντοποίηση LU, LDU Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα x y Να επιλυθεί το ακόλουθο σύστημα: x+ y 6 Σε μορφή πινάκων το σύστημα γράφεται ως: x y

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις3 Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα.

Ασκήσεις3 Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα. Ασκήσεις 0 Ασκήσεις Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα o H -στήλη του P P είναι E αν και μόνο αν η -στήλη του P είναι ιδιοδιάνυσμα του που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή

Διαβάστε περισσότερα

3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε.

3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. 3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. Στην εισαγωγή δείξαμε ότι η διαφορική εξίσωση του γραμμικού, χρονικά αναλλοίωτου συστήματος μιας εισόδου μιας εξόδου με διαφορική εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σκ της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα Χ=(Χ, Χ,, Χ ) από πληθυσμό το

Διαβάστε περισσότερα

Πολυκριτηριακός Γραμμικός Προγραμματισμός. Συστήματα Αποφάσεων Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων και Διοίκησης

Πολυκριτηριακός Γραμμικός Προγραμματισμός. Συστήματα Αποφάσεων Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων και Διοίκησης Πολυκριτηριακός Γραμμικός Προγραμματισμός Πολλαπλά κριτήρια στη λήψη απόφασης Λήψη Αποφάσεων με Πολλαπλά Κριτήρια Διακριτό σύνολο επιλογών Συνεχές σύνολο επιλογών Πολυκριτηριακή Ανάλυση (ELECTRE, Promethee,

Διαβάστε περισσότερα

3) το παράθυρο Πίνακας τιμών όπου εμφανίζονται οι τιμές που παίρνουν οι παράμετροι

3) το παράθυρο Πίνακας τιμών όπου εμφανίζονται οι τιμές που παίρνουν οι παράμετροι Ο Δ Η Γ Ι Ε Σ Γ Ι Α Τ Ο M O D E L L U S 0.0 4. 0 5 Για να κατεβάσουμε το πρόγραμμα Επιλέγουμε Download στη διεύθυνση: http://modellus.co/index.php/en/download. Στη συνέχεια εκτελούμε το ModellusX_windows_0_4_05.exe

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΙI-Μάθημα 4 Γραμμικά Συστήματα

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΙI-Μάθημα 4 Γραμμικά Συστήματα ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2009-2010 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΙI-Μάθημα 4 Γραμμικά Συστήματα ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Ένα σύνολο m εξισώσεων n αγνώστων που έχει την ακόλουθη

Διαβάστε περισσότερα

Παιδαγωγικές δραστηριότητες μοντελοποίησης με χρήση ανοικτών υπολογιστικών περιβαλλόντων

Παιδαγωγικές δραστηριότητες μοντελοποίησης με χρήση ανοικτών υπολογιστικών περιβαλλόντων Παιδαγωγικές δραστηριότητες μοντελοποίησης με χρήση ανοικτών υπολογιστικών περιβαλλόντων Βασίλης Κόμης, Επίκουρος Καθηγητής Ερευνητική Ομάδα «ΤΠΕ στην Εκπαίδευση» Τμήμα Επιστημών της Εκπαίδευσης και της

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κ4.1 Μέθοδος ανάλυσης νεκρού σημείου για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής ή σημείου παραγωγής Επιλογή διαδικασίας παραγωγής Η μέθοδος ανάλυσης νεκρού για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής αναγνωρίζει

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

1 + ρ ρ ρ3. iπ i = Q = λ λ i=0. n=0 tn. n! Qn, t 0

1 + ρ ρ ρ3. iπ i = Q = λ λ i=0. n=0 tn. n! Qn, t 0 Στοχαστικές Διαδικασίες ΙΙ Ιανουάριος 07 Διαδικασίες Markov σε Συνεχή Χρόνο - Παραδείγματα Μ. Ζαζάνης Πρόβλημα. Εστω ένα σύστημα M/M//3 στο οποίο οι αφίξεις είναι Poisson με ρυθμό λ και οι δύο υπηρέτες

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ενότητα 3: Συστήματα Διακριτού Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Συστήματα Διακριτού Χρόνου Εισαγωγή στα Συστήματα Διακριτού Χρόνου Ταξινόμηση Συστημάτων ΔΧ

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Η ΣΥΝΟΡΘΩΣΗ ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΝΤΙΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ (Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΦΟΡΑΣ ΚΑΙ Η ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ ΔΙΚΤΥΟΥ)

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Η ΣΥΝΟΡΘΩΣΗ ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΝΤΙΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ (Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΦΟΡΑΣ ΚΑΙ Η ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ ΔΙΚΤΥΟΥ) ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Η ΣΥΝΟΡΘΩΣΗ ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΝΤΙΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ (Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΦΟΡΑΣ ΚΑΙ Η ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ ΔΙΚΤΥΟΥ) Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΣ121: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ I Εαρινό εξάμηνο , Διδάσκων: Γιώργος Γεωργίου ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ, Διάρκεια: 2 ώρες 18 Νοεμβρίου, 2017

ΜΑΣ121: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ I Εαρινό εξάμηνο , Διδάσκων: Γιώργος Γεωργίου ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ, Διάρκεια: 2 ώρες 18 Νοεμβρίου, 2017 ΜΑΣ: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ I Εαρινό εξάμηνο 07-08, Διδάσκων: Γιώργος Γεωργίου ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ, Διάρκεια: ώρες 8 Νοεμβρίου, 07 Δίνονται 4 προβλήματα που αντιστοιχούν σε 0 μονάδες με άριστα το 00! ΟΝΟΜΑ: Αρ.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 8 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 8 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό

Διαβάστε περισσότερα

Σχήμα 8.46: Δίκτυο αεραγωγών παραδείγματος.

Σχήμα 8.46: Δίκτυο αεραγωγών παραδείγματος. Παράδειγμα 8.8 Διαστασιολόγηση και υπολογισμός δικτύου αεραγωγών με τη μέθοδο της σταθερής ταχύτητας Να υπολογιστούν οι διατομές των αεραγωγών και η συνολική πτώση πίεσης στους κλάδους του δικτύου αεραγωγών

Διαβάστε περισσότερα

(p 1) (p m) (m 1) (p 1)

(p 1) (p m) (m 1) (p 1) ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Σκοπός της παραγοντικής ανάλυσης είναι να περιγράψει την συνδιασπορά μεταξύ των μεταβλητών με την βοήθεια τυχαίων άγνωστων ποσοτήτων που ονομάζονται παράγοντες. Το μοντέλο είναι το

Διαβάστε περισσότερα

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι. Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι. Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Matrix Algorithms Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Περιεχόμενα παρουσίασης Πολλαπλασιασμός πίνακα με διάνυσμα Πολλαπλασιασμός πινάκων Επίλυση τριγωνικού

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον

Διαβάστε περισσότερα