Νικόλαος. Ατρέας Aρµονική Ανάλυση Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη 2015/2016

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Νικόλαος. Ατρέας Aρµονική Ανάλυση Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη 2015/2016"

Transcript

1 Νικόλαος Ατρέας Aρµονική Ανάλυση ΑΠΘ Θεσσαλονίκη 2015/

2 Περιεχόµενα Περίληψη 4 Βιβλιογραφία 6 Κεφάλαιο 0: Χώροι L 01 Σύνοψη χώρων L Ορισµοί και ιδιότητες αυτών Ασκήσεις 17 Κεφάλαιο 1: Σειρές Fourier 11 Eισαγωγή Συντελεστές Fourier ολοκληρώσιµων συναρτήσεων 19 L T Σειρές Fourier στον ( ) 2 14 Θεώρηµα Ηausdorff-Youg Παρεµβολή Riesz-Thori Προσεγγιστικές µονάδες και σύγκλιση Ο µετασχηµατισµός Hilbert Σύγκλιση κατά νόρµα σειρών Fourier στον ( ) L T O τελεστής Hilbert ως ιδιάζον ολοκληρωτικός τελεστής Συζυγείς αρµονικές συναρτήσεις και µετασχ Hilbert Ασκήσεις 52 Κεφάλαιο 2: Mεγιστικές συναρτήσεις/τελεστές 21 Εισαγωγή Το Θεώρηµα Marcikiewicz Μεγιστική συνάρτηση των Hardy-Littlewood Προσεγγιστικές µονάδες και µεγιστικοί τελεστές Ασκήσεις 72 Κεφάλαιο 3: Ολοκλήρωµα Fourier 31 Εισαγωγή Ο µετασχηµατισµός Fourier ολοκληρ συναρτήσεων 78 L Ο µετασχηµατισµός Fourier στον 2 ( ) 34 Ο Μετασχηµατισµός Fourier στον L ( ) Γενικευµένες συναρτήσεις

3 35 Θεώρηµα αντιστροφής µέσω προσεγγιστικών µονάδων Ο µετασχηµατισµός Hilbert Ανάλυση Caldero-Zygmud Σύγκλιση ολοκληρωµάτων Fourier στον L ( ) ( 1< < ) Συζυγείς αρµονικές συναρτήσεις και µετασχ Hilbert Xώροι Paley-Wieer Τελεστές Caldero-Zygmud Ασκήσεις 119 Κεφάλαιο 4: Aνάλυση χρόνου/συχνότητας 41 Εισαγωγή Ο συνεχής µετασχηµατισµός Gabor Ο µετασχηµατισµός Fourier βραχέος χρόνου Aρχή αβεβαιότητας ιακριτοποίηση Ο συνεχής µετασχηµατισµός κυµατιδίων ιακριτοποίηση 146 L Ασκήσεις Πολυδιακριτή Ανάλυση του ( ) 2 Παράρτηµα Α Στοιχεία Θεωρίας Μέτρου και Ολοκλήρωσης 162 Παράρτηµα Β Στοιχεία Συναρτησιακής Ανάλυσης 176 Παράρτηµα Γ

4 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια εισαγωγή στην Αρµονική Ανάλυση στην πραγµατική ευθεία Αφορµή για τη συγγραφή αυτών ήταν η ανάθεση διδασκαλίας του µαθήµατος «Αρµονική Ανάλυση» του προγράµµατος µεταπτυχιακών σπουδών του Τµήµατος Μαθηµατικών ΑΠΘ γαι το Ακαδηµαϊκό έτος 2015/16 Στόχος των σηµειώσεων είναι να καταλάβει ο φοιτητής πώς δοµείται η βασική θεωρία της Αρµονικής Ανάλυσης όσον αφορά τόσο το θεωρητικό όσο και το εφαρµοσµένο κοµµάτι αυτής και να διαπιστώσει τον τρόπο µε τον οποίο η Αρµονική Ανάλυση φτάνει να αλληλεπιδρά µε άλλους κλάδους της Ανάλυσης και όχι µόνον Προφανώς υπάρχουν τµήµατα θεωρίας που δεν καλύπτουν οι σηµειώσεις, όπως πχ η θεωρία των πολλαπλασιαστών και η θεωρία Littlewood-Paley Επίσης η θεωρία ιδιαζόντων τελεστών στον και γενικότερα η θεωρία για τον Η ενασχόληση µε την πραγµατική ευθεία έγινε για δυο λόγους: για να διευκολυνθεί ο φοιτητής και για να µπορέσει πιο ώριµα να γενικεύσει στον κατανοώντας και αναγνωρίζοντας καλύτερα τις διαφορές µε τον Για παράδειγµα, στον κατ ουσίαν υπάρχει ένας µόνον ιδιάζον τελεστής, ο τελεστής Hilbert, αλλά η θεωρία των ιδιαζόντων τελεστών στον είναι πολύ πιο εκτεταµένη, πχ βλέπε δυναµικά Riesz κλπ Η δοµή του συγγράµµατος είναι η εξής: Στο Κεφάλαιο 0 παραθέτουµε µια σύντοµη σύνοψη των χώρων L Στο Κεφάλαιο 1 παραθέτουµε τη θεωρία των σειρών Fourier σε χώρους L Μέσω αυτής βλέπουµε τη χρήση της παρεµβολής Riesz-Thori και το φυσικό τρόπο µε τον οποίο προκύπτει ο τελεστής Hilbert ως συνδετικός κρίκος µε τους χώρους H ( T ) της µιγαδικής ανάλυσης Στο Κεφάλαιο 2 ορίζουµε και µελετούµε µεγιστικές συναρτήσεις και τελεστές Παραθέτουµε το Θεώρηµα παρεµβολής Marcikiewicz ως βασικό εργαλείο µελέτης (και) τέτοιων τελεστών Αναφέρουµε κλάσεις µεγιστικών τελεστών και αναδεικνύουµε το ρόλο τους όσον αφορά τη σύγκλιση σχεδόν παντού σε χώρους L -4 -

5 Στο Κεφάλαιο 3 µελετούµε το µετασχηµατισµό Fourier σε χώρους L ( ) ως γενίκευση των σειρών Fourier Βλέπουµε πώς προκύπτει µε φυσικό τρόπο η θεωρία των γενικευµένων συναρτήσεων, ο ιδιάζον τελεστής Hilbert, οι χώροι H και οι χώροι Paley-Wieer µε το Θεώρηµα δειγµατοληψίας του Shao Eπίσης παίρνουµε µια πρώτη γεύση της θεωρίας ιδιαζόντων τελεστών ως φυσική γενίκευση του τελεστή Hilbert Στο Κεφάλαιο 4 βλέπουµε πώς οι αδυναµίες του µετασχηµατισµού Fourier µας ωθούν να ορίσουµε νέους µετασχηµατισµούς οδηγώντας µας στην ανάλυση χρόνου/συχνότητας Μελετούµε κυρίως τον ολοκληρωτικό µετασχηµατικό Fourier βραχέος χρόνου και το µετασχηµατισµό κυµατιδίων και κάνουµε µια πολύ σύντοµη εισαγωγή σε διακριτούς µετασχηµατισµούς µέσω της πολυδιακριτής ανάλυσης κυµατιδίων που χρησιµοποιείται ευρύτατα σε πλήθος εφαρµογών της σύγχρονης τεχνολογίας επικοινωνιών -5 -

6 Βιβλιογραφία 1 Joh Beedetto, Harmoic Aalysis ad Alicatios, CRC Press, Igrid Daubechies, Te Lectures o Wavelets, CBMS Regioal Coferece series i Alied Mathematics Philadelhia, Javier Duoadikoetxea, Fourier Aalysis, Graduate Studies i Mathematics, Vol 29, AMS, H Dym ad H P McKea, Fourier series ad Itegrals, Academic Press, Loukas Grafakos, Classical Fourier Aalysis, Third editio, Sriger 6 Karlheiz Grocheig, Foudatios of Time-Freuecy Aalysis, Birkhauser, Bosto Christoher Heil, Itroductio to Harmoic aalysis, Sriger, Yitzhak Katzelso, A Itroductio to Harmoic aalysis, Dover Publicatios, Ic New York, Secod Editio 9 Steve Kratz, Exloratios i Harmoic Aalysis with alicatios to Comlex Fuctio Theory ad the Heiseberg Grou, W Rudi, Real ad Comlex aalysis, McGraw-Hill, 3 rd Editio, E Stei ad R Shakarchi Fourier Aalysis: A Itroductio, Priceto Uiversity Press, E Stei Harmoic Aalysis: Real variable methods, Orthogoality ad Oscillatory Itegrals 13 E C Titchmarch, Itroductio to the theory of Fourier Series ad Itegrals, Oxford uiversity Press, Secod Editio -6 -

7 Kεφάλαιο 0 Xώρoι L 01 Σύνοψη χώρων L Ορισµοί και ιδιότητες αυτών Εστω ( X,, µ ) είναι χώρος µέτρου Συµβολίζουµε µε (, ) L X µ, 1 < το χώρο Baach όλων των µετρήσιµων ολοκληρώσι- µων συναρτήσεων f : X µε νόρµα Με L ( X, µ ) L ( ) 1/ f = f dµ X συµβολίζουµε το χώρο όλων των µετρήσιµων και ουσιωδώς φραγµένων συναρτήσεων f : X, δηλαδή { : : 0: ( ) µ-σχεδον παντου στο } L = f X C > f x C X, µε νόρµα f = if C > 0 : f x C µ-σχεδον παντου στο X L { ( ) } Σηµείωση (α) Στο εξής όταν ο χώρος µέτρου είναι σαφής γράφουµε απλά L ή L ( X ) αντί L ( X, µ ) Επίσης πολλές φορές θα χρησιµοποιούµε για απλότητα και το συµβολισµό : = όταν L αυτός δε δηµιουργεί παρανοήσεις (β) Αν X είναι το πολύ αριθµήσιµο σύνολο µε το σύνηθες µέτρο αθροισιµότητας (βλ Παράρτηµα 1, ενότητα Α1) χρησιµοποιούµε X L X ) µε συνήθως το συµβολισµό ( ) (αντί ( ) f ( ( ) ) ( ) 1/ f 1 < X = su { f : X} = Για λόγους οµοιογένειας, πολλές φορές θα συνεχίσουµε να γράφου- L X, µ έστω κι αν το σύνολο X είναι το πολύ αριθµήσιµο, µε ( ) -7 -

8 έχοντας όµως κάθε φορά στο µυαλό µας τη σωστή ερµηνεία της νόρµας (γ) Αν X είναι µη αριθµήσιµο σύνολο, κάθε στοιχείο f L είναι στην πραγµατικότητα ένας αντιπρόσωπος µιας κλάσης ισοδυναµίας που περιλαµβάνει όλες τις συναρτήσεις που είναι µ σχεδόν παντού ίσες µε την f στο X Για απλότητα θεωρούµε τον L ( X, µ ) ως χώρο συναρτήσεων αντί χώρου κλάσεων ισοδυναµίας Ετσι λοιπόν γράφουµε f L έχοντας όµως στο µυαλό µας ότι η γραφή αυτή υπονοεί όλες τις συναρτήσεις που είναι µ σχεδόν παντού ίσες µε την f (δ) Με βάση τα όσα είπαµε παραπάνω εύκολα διαπιστώνει κανείς ότι ο ( X ) είναι ο χώρος όλων των φραγµένων ακολουθιών στο X Επίσης κάθε φραγµένη συνάρτηση f είναι αντιπρόσωπος µιας κλάσης ισοδυναµίας στο χώρο L Με άλλα λόγια, αν η f είναι φραγµένη στο X τότε { ( ) } f = su f x : x X L (ε) Για κάθε 0< < 1, οι χώροι L δεν είναι χώροι Baach ως προς την, αλλά είναι οιονεί χώροι Baach (uasi Baach saces) d f g = f g είναι πλήρεις µετρικοί χώροι εν θ ασχοληθούµε µε τέτοιους χώρους Στα παρακάτω θεωρούµε πάντα 1 Θεωρώντας ως µετρική την (, ) Oρισµός 01 Εστω 1, Οι, καλούνται συζυγείς ή δυϊκοί εκθέτες αν = 1 Ας θυµηθούµε ορισµένες χρήσιµες ανισότητες στους χώρους L Πρόταση 01 (Aνισότητα Ηolder) Εστω 1, και είναι συζυγείς εκθέτες Αν f L ( X, µ ) ( Χ, ) τότε fg L ( X µ ) και g L µ 1, -8 -

9 fg f g 1 Απόδειξη Θα δείξουµε την Πρόταση για 1 <, < Η περίπτωση = 1, = (ή =, = 1) αφήνεται ως άσκηση Η απόδειξη βασίζεται σε µια γενίκευση της ανισότητας αριθµητικού/γεωµετρικού µέσου: Αν ab, 0 και 0 θ 1 τότε θ 1 θ ab a b ( 1 θ ) θ + (1) (για θ = 1/2 παίρνουµε τη συνήθη ανισότητα αριθµητικού/γεω- µετρικού µέσου) Χωρίς περιορισµό της γενικότητας θεωρούµε f 0 και g 0, οπότε αρκεί να δείξουµε ότι οι συναρτήσεις f F = και f g G = ικανοποιούν την ανισότητα FG 1 Θέτουµε g 1 a= F, b= G και θ = 1/ 1 θ = 1/ στην (1), οπότε 1 1 FG F G + Με ολοκλήρωση προκύπτει το ζητούµενο Σηµείωση Στο χώρο µέτρου (,,dx) έχουµε: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) 1/ 1/ f x g x dx f x dx f x dx Στο χώρο µέτρου (,,µ ) έχουµε: ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) 1/ 1/ f g f f Πρόταση 02 (Aνισότητα Μikowski) Αν 1 και f, g L ( X, µ ), τότε: f + g f + g -9 -

10 Απόδειξη Θα δείξουµε την Πρόταση για 1 < Η περίπτωση f + g L X, µ Εστω = αφήνεται ως άσκηση Προφανώς ( ) είναι ο συζυγής εκθέτης του όπως στον ορισµό 01 Τότε 1 1 = και ( f + g) L ( X, µ ) Απ την άλλη µεριά: f + g = f + g f + g f f + g + g f + g (2) Εφόσον ( ) 1 f + g L, ολοκληρώνοντας και τα δυο µέλη της (2) και εφαρµόζοντας την ανισότητα Holder και στους δυο όρους του δεξιού µέλους της (2) για τους συζυγείς εκθέτες,, παίρνουµε Αλλά ( ) ποσότητα ( ) ( ) 1 1 f + g f f + g + g f + g 1 / f + g = f + g ιαιρώντας και τα δυο µέλη µε την f / + g παίρνουµε το ζητούµενο Σηµείωση (α) Η ανισότητα Mikowski δεν ισχύει για 0< < 1 (β) Στο χώρο µέτρου (,,dx) έχουµε: ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ( ) ) 1/ 1/ 1/ f x + g x dx f x dx + f x dx ενώ στο χώρο µέτρου (,,µ ) έχουµε: ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ( ) ) 1/ 1/ 1/ f + g f + f Η ανισότητα Mikowski έχει και την ακόλουθη «εκδοχή» που f L X, µ, καλούµε ολοκληρωτική ανισότητα Mikowski: Aν ( ) g L ( Y, ν ), τότε: ( ) ( ) 1/ 1/ f ( xyd, ) ν ( y) dµ ( x ) f( xy, ) dµ ( x) dν y X Y Y X,

11 Aς εστιάσουµε τώρα στους χώρους L( X) : L( X, m) Μιλώντας µη αυστηρά, ο χώρος 1( ) = όπου X L των ολοκληρώσιµων συναρτήσεων περιλαµβάνει (µεταξύ άλλων) και συναρτήσεις µε «τοπικά απότοµες µεταβολές» (φραγµένες ή µη) που µπορεί να φθίνουν ή και να µη φθίνουν στο µηδέν όταν x Απ την άλλη µεριά ο χώρος L ( ) περιλαµβάνει πιο «οµαλές» συναρτήσεις µε την έννοια ότι παραµένουν πάντα (ουσιωδώς) φραγµένες Ετσι για 1 <, υπό µια έννοια µετακινούµαστε σταδιακά από τις τοπικά απότοµες προς τις πιο οµαλές περιπτώσεις Αν µ ( X ) <, τότε L ( X) L1 ( X), οπότε διαισθητικά αναµένουµε ότι ο L1 ( X ) θα πρέπει να περιέχει όλους τους «ενδιάµεσους» L ( ) Πράγµατι ισχύει η ακόλουθη: Πρόταση 03 Eστω X µε µ ( X ) < Για κάθε 1 < έχουµε X χώρους και ( ) ( ) ( ) ( ) L X L X L X L X ( ) 1/ 1/ f µ X f 1 Aπόδειξη Εστω f L ( X, µ ) Θεωρούµε F = f, G = χ X και εφαρµόζουµε την ανισότητα Holder για συζυγείς εκθέτες 0, 0 µε 0 = > 1 Τότε: ( ) 1 / χ X µ FG = f F = f X Αν X = ή X = µε το µέτρο αθροισιµότητας µ, τότε για κάθε < η ποσότητα x ( x ) 1/ 1 υπονοεί ότι x 0 = <, άρα η x = ( x ) είναι φραγµένη κι έτσι διαισθητικά νιώθουµε ότι όλοι οι χώροι θα πρέπει να είναι µέσα στον Πράγµατι έχουµε:

12 Πρόταση 04 Aν X = ή X = και 1 <, τότε: ( X) ( X) ( X) ( X) 1 Aπόδειξη Εστω x ( X ) Τότε su x x Απ την άλλη µεριά x = x x su x x x x = x x x Aν µ ( X ) = τότε η Πρόταση 03 δεν ισχύει Με παραδείγµατα µπορούµε να δούµε ότι κανένας χώρος L ( ) δεν περιέχεται αυστηρώς εντός κάποιου χώρου L ( ) και το αντίστροφο Ισχύει όµως η ακόλουθη: Πρόταση 05 Εστω 1 < r < Τότε: και ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) L L L L L r θ 1 θ ( ) f f f, θ 0,1 r Απόδειξη Εστω f L ( ) L ( ) µοναδικό ( 0,1) Εφόσον > >, υπάρχει r θ έτσι ώστε 1 θ 1 θ = + Μάλιστα r θ = 1 1 r 1 1 και 1 θ = 1 1 r 1 1 Παρατηρούµε ότι ( 1 ) rθ r θ 1 = +, άρα οι, rθ r εκθέτες Τότε από την ανισότητα Holder έχουµε ( 1 θ ) είναι συζυγείς

13 ( ) 1/ r θ 1 θ rθ r 1 θ rθ θ / r(1 θ) (1 θ)/ = = r r 1 /( rθ ) /( r(1 θ )) f f f f f f f Aπ την άλλη µεριά έστω f L r ( ) και A x f ( x) θ 1 θ = f f { : 1} = Τότε Και A ( ) ( ) f = fχ x + f x = g + h χ A ( ) χ ( ) ( ) χ ( ) = < r r r g f χa x f A x f g f g L r r r r h = f χ A x f A x f h f < h L r Τέλος, υπενθυµίζουµε ορισµένα χρήσιµα θεωρήµατα προσέγγισης στους χώρους L που θα χρησιµοποιήσουµε στη συνέχεια Πρόταση 06, όπου 1 < Τότε υπάρχει ακολουθία απλών συναρτήσεων πάνω σε φραγµένο φορέα έτσι ώστε Εστω f L ( X, µ ) φ f 0, Με άλλα λόγια ο χώρος των φραγµένων απλών συναρτήσεων πάνω L X, µ σε φραγµένο φορέα είναι πυκνός στον ( ) Απόδειξη Η f είναι εξ ορισµού µετρήσιµη Οπως ήδη έχουµε δείξει στο Πόρισµα Α1 του Παραρτήµατος 1, υπάρχει ακολουθία φ απλών συναρτήσεων πάνω σε φραγµένο φορέα τέτοια ώστε { } φ φ + 1 f και limφ = f σηµειακά Απ την άλλη µεριά: 1( ) φ f 2 f L X, µ Aπ το Θεώρηµα Κυριαρχούµενης σύγκλισης προκύπτει ότι φ f 0,

14 Σηµείωση Αν X = µε το µέτρο Lebesgue, η παραπάνω πρόταση ισχύει αν αντί απλών συναρτήσεων χρησιµοποιήσουµε φραγµένες κλιµακωτές συναρτήσεις πάνω σε φραγµένο φορέα Eπειδή η χαρακτηριστική συνάρτηση σε φραγµένο σύνολο προσεγγίζεται από µια ακολουθία συνεχών συναρτήσεων ισχύει η ακόλουθη Πρόταση 07 Εστω f L ( ), όπου 1 < Τότε υπάρχει ακολουθία συνεχών συναρτήσεων { g } πάνω σε φραγµένο φορέα τέτοια ώστε g f 0, Τέλος υπενθυµίζουµε την ακόλουθη σηµαντική πρόταση που σχετίζεται µε τη δυϊκότητα των χώρων L : Θεώρηµα 01 Εστω 1 < και, είναι συζυγείς εκθέτες όπως στον ορισµό 01 Τότε ο δυϊκός του χώρου L ( X, µ ) είναι ο χώρος L ( X, µ ) Με άλλα λόγια * L = L µε την ακόλουθη έννοια: για κάθε φραγµένο συναρτησιακό υπάρχει µοναδικό στοιχείο g L τέτοιο ώστε * Λ L Επιπλέον: µ X Λ f = fg d f L g = = Λ { fgdµ } su1 X f = Παρατήρηση 2 Ο δυϊκός χώρος του L δεν είναι ο L

15 02 Ασκήσεις 1 είξτε τη γενικευµένη ανισότητα Holder: Aν r,, [ 0, + ] µε =, τότε: r fg f g (, µ ) (, µ ) (, µ ) L X L X L X r Υπόδειξη: Σχηµατίστε συζυγούς εκθέτες και εφαρµόστε την ανισότητα Holder 2 Για 1, < δείξτε την ολοκληρωτική ανισότητα Mikowski: Aν f L ( X, µ ), g L ( Y, ν ), τότε: ( ) ( ) 1/ 1/ f ( xyd, ) ν ( y) dµ ( x ) f( xy, ) dµ ( x) dν y X Y Y X Yπόδειξη: Xρησιµοποιήστε την έννοια της δυϊκότητας (βλέπε Θεώρηµα 01 παραπάνω) 3 ώστε παράδειγµα συνεχούς συνάρτησης f L 1 ( ) µε lim f ( x) 0 x + 4 Εστω f : 5 Εστω ab, µε a L ab, L ab, είναι οµοιόµορφα συνεχής είξτε ότι f L 1 ( ) f ( x) lim = 0 x + [ ] [ ] Mε άλλα λόγια ο L [, ] του L [ ab, ] < b και 1 < είξτε µε παράδειγµα ότι ab είναι γνήσιο υποσύνολο 6 Βρείτε συνάρτηση f L ( ) έτσι ώστε f L ( ) 1 < 7 Εστω 1, f, f L ( X, µ ) < και lim f f = 0 lim f = f f για κάθε f σηµειακά είξτε ότι

16 8 Αν f f στον L ( X, µ ) και g g στον L ( X, µ ), όπου, συζυγείς εκθέτες, δείξτε ότι fg fg στον L ( X µ ) 1, 9 Εστω = 1, k είξτε ότι 1 k όπου i f f f f, (, µ ) L ( X µ ) k (, µ ) 1 k L X 1, L X 1 1 f είναι µετρήσιµες συναρτήσεις στον L (, ) k i X µ αντιστοίχως 10 Αν είναι µια νόρµα σε γραµµικό χώρο V, δείξτε ότι για κάθε f, g V ισχύει f g f g

Νικόλαος. Ατρέας Aρµονική Ανάλυση Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη 2015

Νικόλαος. Ατρέας Aρµονική Ανάλυση Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη 2015 Νικόλαος Ατρέας Aρµονική Ανάλυση ΑΠΘ Θεσσαλονίκη 5 - - Περιεχόµενα Περίληψη 4 Βιβλιογραφία 6 Κεφάλαιο : Χώροι L Σύνοψη χώρων L Ορισµοί και ιδιότητες αυτών 5 Ασκήσεις 7 Κεφάλαιο : Σειρές Fourier Eισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( ) Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Mεγιστικές συναρτήσεις/τελεστές

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Mεγιστικές συναρτήσεις/τελεστές ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Mεγιστικές συναρτήσεις/τεεστές 2 Eισαγωγή Στο κεφάαιο αυτό ορίζουµε την έννοια του µεγιστικού τεεστή και δείχνουµε τη σπουδαιότητά του όσον αφορά την απόδειξη θεωρηµάτων που σχετίζονται µε τη

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Χώροι µε νόρµα - Χώροι Hilbert. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Χώροι µε νόρµα - Χώροι Hilbert. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Χώροι µε νόρµα - Χώροι Hilbert Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις. Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Ι. Nικόλαος Aτρέας

Σηµειώσεις. Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Ι. Nικόλαος Aτρέας Σηµειώσεις Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Ι ικόλαος Aτρέας ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 207 Περιεχόµενα Κεφάλαιο. Επισκόπηση γνωστών εννοιών. -8. Σειρές πραγµατικών αριθµών..2 Σειρές συναρτήσεων..3 Γενικευµένα ολοκληρώµατα. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: L -σύγκλιση σειρών Fourier Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher Το ϑεώρηµα του Rademacher Νικόλαος Μουρδουκούτας Περίληψη Σε αυτήν την εργασία ϑα αποδείξουµε το ϑεώρηµα του Rademacher, σύµφωνα µε το οποίο κάθε Lipschiz συνάρτηση f : R m είναι διαφορίσιµη σχεδόν παντού.

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Ολοκλήρωµα Fourier. ιαισθητικά το ολοκλήρωµα Fourier είναι οριακή περίπτωση των σειρών Fourier µε την ακόλουθη έννοια:

Κεφάλαιο 3. Ολοκλήρωµα Fourier. ιαισθητικά το ολοκλήρωµα Fourier είναι οριακή περίπτωση των σειρών Fourier µε την ακόλουθη έννοια: Κεφάλαιο 3 Ολοκλήρωµα Fourier 3 Εισαγωγή ιαισθητικά το ολοκλήρωµα Fourier είναι οριακή περίπτωση των σειρών Fourier µε την ακόλουθη έννοια: g Τότε η g δε µπορεί ν αναπτυχθεί σε σειρά Fourier γιατί δεν

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace.

Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace. 5 Εισαγωγή Kεφάλαιο 5 Ο µετασχηµατισµός Lplce Τόσο οι συνήθεις όσο και οι µερικές διαφορικές εξισώσεις περιγράφουν νόµους µε τους οποίους κάποιες ποσότητες µεταβάλλονται σε σχέση µε το χρόνο, όπως το ρεύµα

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα

Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα Κεφάλαιο 6 Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα 6. Οικογένειες καλών πυρήνων και προσεγγίσεων της µονάδας Σε αυτήν την παράγραφο ϑα ασχοληθούµε µε µέσες τιµές µιας ολοκληρώσιµης συνάρτησης f οι οποίες

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση ( ) Φυλλάδιο Ασκήσεων 3

Αρµονική Ανάλυση ( ) Φυλλάδιο Ασκήσεων 3 Αρµονική Ανάλυση (2017 2018) Φυλλάδιο Ασκήσεων 3 0. (α) Εστω f L (T). είξτε ότι σ n ( f ) f n N. (ϐ) Εστω f L (T). είξτε ότι (γ) είξτε ότι S n ( f ) f + n k=1 sin(kt) k n k= n [Υπόδειξη: Για το (γ) ϑεωρήστε

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Χώροι L p - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Χώροι L p - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Χώροι L p - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Χώροι L p. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Χώροι L p. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Χώροι L p Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier Κεφάλαιο 7 L -σύγκλιση σειρών Fourier 7.1 Χώροι Hilbert 7.1.1 Χώροι µε εσωτερικό γινόµενο και χώροι Hilbert Ορισµός 7.1.1. Εστω X γραµµικός χώρος πάνω από το K. Μια συνάρτηση, : X X K λέγεται εσωτερικό

Διαβάστε περισσότερα

Υπόδειξη. (α) Άµεσο αφού κάθε υποσύνολο µηδενικού συνόλου είναι µετρήσιµο.

Υπόδειξη. (α) Άµεσο αφού κάθε υποσύνολο µηδενικού συνόλου είναι µετρήσιµο. Κεφάλαιο 2 Ολοκλήρωµα Lebesgue 2.1 Οµάδα Α 1. Αν η f : (a, b) R είναι παραγωγίσιµη, τότε η f είναι µετρήσιµη. Υπόδειξη. Θεωρούµε την ακολουθία f : (a, b) R µε f (x) = [f(x + 1/) f(x)]. Εφόσον, η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: L p Σύγκλιση Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creaive Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace.

Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace. 5 Εισαγωγή Kεφάλαιο 5 Ο µετασχηµατισµός Lplce Τόσο οι συνήθεις όσο και οι µερικές διαφορικές εξισώσεις περιγράφουν νόµους µε τους οποίους κάποιες ποσότητες µεταβάλλονται σε σχέση µε το χρόνο, όπως το ρεύµα

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4. Ορισµοί KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Ορισµός 4.. Μία συνάρτηση : µε πεδίο ορισµού το σύνολο των φυσικών αριθµών και τιµές στην πραγµατική ευθεία καλείται ακολουθία πραγµατικών αριθµών.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Σειρές Fourier. είναι αναλυτική συνάρτηση, δηλαδή απειροδιαφορίσιµη στο και για κάθε x0. . Τότε η (1) µπορεί να ερµηνευθεί ως εξής:

Κεφάλαιο 1. Σειρές Fourier. είναι αναλυτική συνάρτηση, δηλαδή απειροδιαφορίσιµη στο και για κάθε x0. . Τότε η (1) µπορεί να ερµηνευθεί ως εξής: Κεφάλαιο Σειρές Fourier Εισαγωγή Εστω f : είναι αναλυτική συνάρτηση, δηλαδή απειροδιαφορίσιµη στο και για κάθε x ( x ) f f x = x x () =! σηµειακά για όλα τα x σε κάποιο διάστηµα κέντρου x Τότε η () µπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις. ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Laplace- Σειρές Fourier. Nικόλαος Aτρέας

Σηµειώσεις. ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Laplace- Σειρές Fourier. Nικόλαος Aτρέας Σηµειώσεις ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Lplce- Σειρές Fourier Nικόλαος Aτρέας ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 4 Περιεχόµενα Κεφάλαιο Επισκόπηση γνωστών εννοιών Σειρές πραγµατικών αριθµών Σειρές συναρτήσεων 3 Γενικευµένα

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Το Λήμμα του Fejér και Εφαρμογές

Το Λήμμα του Fejér και Εφαρμογές Το Λήμμα του Fejér και Εφαρμογές Ανδρέας Καβατζικλής Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών & Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Πολυτεχνειούπολη Ζωγράφου 57 8 Αθήνα e-mail: kaviros@ceral.ua.gr

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Μετασχηµατισµός Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Μετασχηµατισµός Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Μετασχηµατισµός Fourier Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που

Διαβάστε περισσότερα

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]}

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]} 7 ΙΙΙ Ολοκληρωτικός Λογισµός πολλών µεταβλητών Βασικές έννοιες στη µια µεταβλητή Έστω f :[ ] φραγµένη συνάρτηση ( Ρ = { t = < < t = } είναι διαµέριση του [ ] 0 ( Ρ ) = Μ ( ) όπου sup f ( t) : t [ t t]

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Αρμονικής Ανάλυσης

Θέματα Αρμονικής Ανάλυσης ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θέματα Αρμονικής Ανάλυσης Ενότητα 2: Πραγματική Ανάλυση Μιχ. Μ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης

Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης Ενότητα 5: Οι χώροι L p Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης

Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης Ενότητα 7: Χρήσιμες ανισότητες Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει.

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 3: Σειρές πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα. Εστω ( ) µια ακολουθία πραγµατικών αριθµών. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκλήρωµα Lebesgue. Κεφάλαιο Μετρήσιµες συναρτήσεις Ορισµός και ϐασικές ιδιότητες

Ολοκλήρωµα Lebesgue. Κεφάλαιο Μετρήσιµες συναρτήσεις Ορισµός και ϐασικές ιδιότητες Κεφάλαιο 2 Ολοκλήρωµα Lebesgue 2.1 Μετρήσιµες συναρτήσεις Οι συναρτήσεις για τις οποίες ϑα επιχειρήσουµε να ορίσουµε το ολοκλήρωµα Lebesgue είναι συναρτήσεις µε πεδίο ορισµού κάποιο µετρήσιµο υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Σύγκλιση και Συνέχεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 5 Ορισµοί Εστω α δοθείσα πραγµατική ακολουθία Ορίζουµε µία νέα ακολουθία ως εξής: 3 3 = + + + = = + = + + Ορισµός 5 Εάν υπάρχει το lim + = τότε η ακολουθία καλείται

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης

Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης Ενότητα 6: Μιγαδικά Μέτρα Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης

Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης Ενότητα 4: Ολοκλήρωση επί Καρτεσιανών γινομένων Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemann και ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemann και ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemnn και ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Cretive Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

6. Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Dirichlet).

6. Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Dirichlet). 6 Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Diichlet) Aρµονικές συναρτήσεις Ορισµός 61 Εστω E είναι ανοικτό σύνολο και f : E είναι µια πραγµατική συνάρτηση δύο πραγµατικών µεταβλητών και y Θα λέµε

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j Το θεώρηµα Tor στις πολλές µεταβλητές Ο σκοπός αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεωρήµατος τύπου Tor για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Το θεώρηµα για µια µεταβλητή θα είναι ειδική περίπτωση του

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα. Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j Το θεώρηµα Tor στις πολλές µεταβλητές Ο σκοπός αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεωρήµατος τύπου Tor για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Το θεώρηµα για µια µεταβλητή θα είναι ειδική περίπτωση του

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Γ Eνότητα Γ.1 Απόδειξη θεωρήµατος 1.5 Kεφαλαίου 1.

Παράρτηµα Γ Eνότητα Γ.1 Απόδειξη θεωρήµατος 1.5 Kεφαλαίου 1. Παράρτηµα Γ νότητα Γ. Απόδιξη θωρήµατος.5 Kφαλαίου. στω f ίναι συνχής και πραγµατική συνάρτηση στο κανονικοποιηµένη (αφαιρώντας µια σταθρά) ώστ f ( x) dx= u = Pr f αρµονική µ (,) v (,) =. Τότ η. στω u

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

f(x) dx. f(x)dx = 0. f(x) dx = 1 < 1 = f(x) dx. Θα είχαµε f(c) = 0, ενώ η f δεν µηδενίζεται πουθενά στο [0, 2].

f(x) dx. f(x)dx = 0. f(x) dx = 1 < 1 = f(x) dx. Θα είχαµε f(c) = 0, ενώ η f δεν µηδενίζεται πουθενά στο [0, 2]. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 7: Ολοκλήρωµα Riem Α Οµάδα. Εστω f : [, ] R. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας).

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

Σύγκλιση σειρών Fourier σε χώρους L p

Σύγκλιση σειρών Fourier σε χώρους L p Σύγκλιση σειρών Fourier σε χώρους L p Μιχάλης Σαράντης και Κωνσταντίνος Τσίνας Βασικά αποτελέσµατα από την ανάλυση Fourier Ορισµός.. Ο n-οστός πυρήνας του Dirichlet ορίζεται ως (.) D n (y) Πρόταση.. Για

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 2 Μεγιστικός τελέστης στην μπάλα 2 2.1 Βασικό θεώρημα........................ 2 2.2 Γενική περίπτωση μπάλας.................. 6 2.2.1 Στο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικά Θέµατα. Ι. Θεωρία Οµάδων. x R y ή x R y ή x y(r) [x] R = { y X y R x } X. Μέρος Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις

Θεωρητικά Θέµατα. Ι. Θεωρία Οµάδων. x R y ή x R y ή x y(r) [x] R = { y X y R x } X. Μέρος Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις 202 Μέρος 4. Θεωρητικά Θέµατα Ι. Θεωρία Οµάδων 1. Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις 1.1. Σχέσεις ισοδυναµίας. Εστω X ένα µη-κενό σύνολο. Ορισµός 1.1. Μια σχέση ισοδυναµίας επί του X είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΘΕΜΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ α) Η f ( ) έχει πραγµατικό µέρος φανταστικό µέρος u( x, y) x y = και v( x, y) = ( x + y xy), όπου = x+

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές»

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α)

Διαβάστε περισσότερα

5. Σειρές Taylor και Laurent. Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρµογές.

5. Σειρές Taylor και Laurent. Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρµογές. 5 Σειρές Taylor και Lauret Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρµογές Σειρές Taylor και Lauret Θεωρούµε µια δυναµοσειρά ( ) a a µε κέντρο δοθέν σηµείο Υπενθυµίζουµε ότι για µια τέτοια δυναµοσειρά υπάρχει πάντα

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 2. H εξίσωση θερµότητας.

KΕΦΑΛΑΙΟ 2. H εξίσωση θερµότητας. Εισαγωγή KΕΦΑΛΑΙΟ H εξίσωση θερµότητας Εστω Ω είναι ανοικτό σύνολο του µε γνωστή θερµοκρασία στο σύνορό του Ω κάθε χρονική στιγµή και γνωστή αρχική θερµοκρασία σε κάθε σηµείο του Ω Τότε οι φυσικοί νόµοι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 31 Ορισµοί Ορισµός 311 Εστω f : A f( A), A, f( A) και έστω 0 Α είναι σηµείο συσσώρευσης του συνόλου Α Θα λέµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 εάν υπάρχει λ : Ισοδύναµα:

Διαβάστε περισσότερα

3.5 Το θεώρημα Hahn-Banach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους.

3.5 Το θεώρημα Hahn-Banach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους. 7 3.5 Το θεώρημα Hah-Baach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους. Εξετάζουμε καταρχήν τη σχέση μεταξύ ενός μιγαδικού διανυσματικού χώρου E και του υποκείμενου πραγματικού χώρου E R. Έστω E μιγαδικός διανυσματικός

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 202 Μέρος 4. Θεωρητικά

Διαβάστε περισσότερα

Καµπύλες στον R. σ τελικό σηµείο της σ. Το σ. σ =. Η σ λέγεται διαφορίσιµη ( αντιστοίχως

Καµπύλες στον R. σ τελικό σηµείο της σ. Το σ. σ =. Η σ λέγεται διαφορίσιµη ( αντιστοίχως Καµπύλες στον R 9. Ορισµός Μια καµπύλη στον R είναι µια συνεχής συνάρτηση σ : Ι R R όπου Ι διάστηµα ( συνήθως κλειστό και φραγµένο ) στον R. Συνήθως φανταζόµαστε την µεταβλητή t Ι ως τον χρόνο και την

Διαβάστε περισσότερα

«Έννοια της διάταξης ΟΡΙΣΜΟΣ α > β α β > 0.»

«Έννοια της διάταξης ΟΡΙΣΜΟΣ α > β α β > 0.» 1 Η σχέση της διάταξης στο IR ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Πρόλογος Η εργασία αυτή γράφτηκε µε αφορµή την κυκλικότητα που παρατηρείται στο σχολικό

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Μέτρο Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Μέτρο Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Μέτρο Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 0. Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη

Κεφάλαιο 0. Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη Κεφάλαιο 0 Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη Το κεφάλαιο αυτό έχει προπαρασκευαστικό χαρακτήρα Θα καθιερώσουµε συµβολισµούς και θα υπενθυµίσουµε ορισµούς και στοιχειώδεις προτάσεις για δακτύλιους και ιδεώδη

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creatve Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το Φασµατικό Θεώρηµα - Εισαγωγή. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το Φασµατικό Θεώρηµα - Εισαγωγή. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Το Φασµατικό Θεώρηµα - Εισαγωγή Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αθηνών Αθήνα 2015 Περιεχόµενα 1 Μέτρο Lebesgue 3 1.1 Εξωτερικό µέτρο Lebesgue........................... 3

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση

Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα από 9 Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση n Στο Κεφάλαιο 5 είδαµε την έννοια της βάσης στο και στο Κεφάλαιο 6 µελετήσαµε διανυσµατικούς χώρους. Στο παρόν κεφάλαιο θα ασχοληθούµε

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Παράγωγος συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. είναι µία κατεύθυνση στον (δηλαδή ένα. E. Αν υπάρχει το όριο ( + ) ( ) ( )

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Παράγωγος συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. είναι µία κατεύθυνση στον (δηλαδή ένα. E. Αν υπάρχει το όριο ( + ) ( ) ( ) ΚΕΦΑΛΑΙΟ Παράγωγος συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Κατευθυνόµενη Παράγωγος Ορισµός Έστω a είναι µία κατεύθυνση στον (δηλαδή ένα µοναδιαίο διάνυσµα του χώρου ), E είναι ένα ανοικτό υποσύνολο του, : E και

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές.

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές. 6 ι3.4 Παραδείγματα Στην παράγραφο αυτή θα μελετήσουμε κάποια σημαντικά παραδείγματα, για τις εφαρμογές, χώρων συναρτήσεων οι οποίοι είναι τοπικά κυρτοί και μετρικοποιήσιμοι αλλά η τοπολογία τους δεν επάγεται

Διαβάστε περισσότερα

Η ϐέλτιστη σταθερά στην ανισότητα Hausdorff-Young

Η ϐέλτιστη σταθερά στην ανισότητα Hausdorff-Young Η ϐέλτιστη σταθερά στην ανισότητα Hausdorff-Youg Ασπασία Κωτσογιάννη Περίληψη Ο µετασχηµατισµός Fourier Εστω f L. Ορίζουµε. fξ = π fxe ix ξ dx, ξ. Το ολοκλήρωµα Lebesgue στη σχέση. συγκλίνει για κάθε ξ

Διαβάστε περισσότερα

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0 Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 5: Παράγωγος Α Οµάδα. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας). (α) Αν η f είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 3. Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Taylor-Aκρότατα

KΕΦΑΛΑΙΟ 3. Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Taylor-Aκρότατα KΕΦΑΛΑΙΟ 3 Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Talor-Aκρότατα 3 Πλεγµένες συναρτήσεις Σε πολλές περιπτώσεις συναντούµε µία (ή και περισσότερες) εξισώσεις µεταξύ διαφόρων µεταβλητών πχ της µορφής e + συν (

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων.

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων. 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Ειδικές Συναρτήσεις

Τίτλος Μαθήματος: Ειδικές Συναρτήσεις Τίτλος Μαθήματος: Ειδικές Συναρτήσεις Ενότητα: Στοιχειώδεις ειδικές συναρτήσεις Όνομα Καθηγήτριας: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

2x 2 + x + 1 (x + 3)(x 1) 2 dx, 2x (x + 1) dx. b x 1 + x dx x x 2 1, 6u 5 u 3 + u 2 du = 6u 3 u + 1 du. = u du.

2x 2 + x + 1 (x + 3)(x 1) 2 dx, 2x (x + 1) dx. b x 1 + x dx x x 2 1, 6u 5 u 3 + u 2 du = 6u 3 u + 1 du. = u du. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 8: Τεχνικές ολοκλήρωσης Α Οµάδα. Υπολογίστε τα ακόλουθα ολοκληρώµατα : + + d, + + ( + 3)( ) d, 3 + 3 + 3 + + + d. Υπόδειξη. (α) Γράφουµε + + d

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β.

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β. ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Φεβρουαρίου, 3 Θ. (α ) Εστω A, B µη κενά ϕραγµένα σύνολα πραγµατικών αριθµών. είξτε ότι αν inf A

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Mαίου 8 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης

Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης Ενότητα 2: Το Θεώρημα Καραθεοδωρή και τα μέτρα Borel Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Ιαν. 9 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Είδαµε στο κεφάλαιο της παρεµβολής συναρτήσεων πώς να προσεγγίζουµε µια (συνεχή) συνάρτηση f από ένα πολυώνυµο, όταν γνωρίζουµε + σηµεία του γραφήµατος της συνάρτησης:

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Σταθµητοί Χώροι και Ευκλείδειοι Χώροι Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 59 Μέρος 2. Ευκλείδειοι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 3 Μαρτίου 2016 Αν (G, ) είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 7 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. Βρείτε όλους

Διαβάστε περισσότερα