ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΠΙΝΑΚΑ ΣΥΝΔΙΑΣΠΟΡΑΣ (Covariance Matrix)ΕΙΚΟΝΑΣ. Έστω ότι κάθε pixel της εικόνας έχει φωτεινότητα a i, i=1,2,...,ν

Transcript

1 ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡ/ΚΗΣ &ΤΗΛ/ΝΙΩΝ 206 ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΠΙΝΑΚΑ ΣΥΝΔΙΑΣΠΟΡΑΣ (ovince Mtix)ΕΙΚΟΝΑΣ ε Έστω η εικόναετου σχήματος με τα φωτεινά pixels να έχουν το κάθε ένα διάνυσμα θέσης i =(x i,y i ),i=,2,...,ν Έστω ότι κάθε pixel της εικόνας έχει φωτεινότητα i, i=,2,...,ν Το κεντροειδές, της εικόνας έχει διάνυσμα θέση =(x,y ) ε Το κεντροειδές, της εικόνας έχει διάνυσμα θέση =(x,y ) όπου x = x, y = y i i i i i= i= Ο Πίνακας Συνδιασποράς της ε ορίζεται ως εξής: i( i )( i ) i = = sgi@di.uo.g

2 ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡ/ΚΗΣ &ΤΗΛ/ΝΙΩΝ 206 Ο Πίνακας Συνδιασποράς της ε ορίζεται ως εξής: = i( i )( i ) i = = και από τον ορισμό αυτό προκύπτει: 2 ( xi x) i ( xi x)( yi y) i i= i= 2 x x y y y y ( )( ) ( ) i i i i i i= i= Θυμηθείτε τους ορισμούς των κεντρικών ροπών και επιβεβαιώστε ότι ισχύει: 20 = 02 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα του Πίνακα Συνδιασποράς Θυμηθείτε ότι για ένα τετραγωνικό Πίνακα, αν υπάρχει μοναδιαίο διάνυσμα v για το οποίο ισχύει Βv=λv με λ πραγματικό ή μιγαδικό αριθμό, τότε το v καλείται ιδιοδιάνυσμα και το λ ιδιοτιμή τουβ Στη βιβλιογραφία αποδεικνύεται ότι οι ιδιοτιμές, λ και λ b του πίνακα συνδιασποράς είναι πραγματικές και μη αρνητικές με ( ( ) ) λ = + ± Από τη σχέση αυτή προκύπτει: λ, λb 0 sgi@di.uo.g 2

3 ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡ/ΚΗΣ &ΤΗΛ/ΝΙΩΝ 206 Αποδεικνύεται ότι όταν οι λ > λ b τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα v α και v b του πίνακα είναι κάθετα μεταξύ τους. Ας αλλάξουμε το σύστημα συντεταγμένων της εικόνας ε μεταφέροντάς την αρχή του στο κεντροειδές και στρέφοντας τους άξονες ώστε να γίνει ο Οx παράλληλος προς το v α και ο Οy παράλληλος προς το v b. Για το σκοπό αυτό: ορίζεται ο πίνακας v b ε v v v v2 A= = v b b v v b2 και στη συνέχεια ο μετασχηματισμός i =(x i, y i ) Τ =Α( i - ), i=,2,...,ν Στο νέο σύστημα συντεταγμένων προφανώς το κεντροειδές έχει συντεταγμένες (0,0) και ο πίνακας συνδιασποράς των νέων διανυσμάτων θέσεως, i, είναι: = = A( ) A( ) = i i i i i i i= i= i ( i )( i ) i = = A A = i( i )( i ) i = = A A = A A sgi@di.uo.g 3

4 ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡ/ΚΗΣ &ΤΗΛ/ΝΙΩΝ 206 Έτσι τώρα προκύπτει: v v v v = = b = b vb vb vb vb [, ] [, ] v v v v ή v λ 0 α [ λ, α λb b] = v v = 0 λ v b b Δηλαδή: λ α 0 = 0 λ b Τέλος αν συμβολίσουμε με μ 20, μ 02 και μ τις κεντρικές ροπές στο νέο σύστημα συντεταγμένων και θυμηθούμε ότι ο πίνακας συδιασποράς και οι κεντρικές ροπές συνδέονται: 20 = 02 Οπότε λ α 0 20 = 0 λ = b 02 Η τελευταία σχέση οδηγεί στις πιο κάτω διαπιστώσεις για την περίπτωση που χρησιμοποιηθεί σύστημα συντεταγμένων με αρχή το κεντροειδές και άξονες τα ιδιοδιανύσματα της εικόνας.. Για τις ροπές δεύτερης τάξης ισχύει μ 20 =λ Ν, μ 02 =λ b Ν και μ =0 2. Επειδή για οποιοδήποτε σύστημα συντεταγμένων, όπως έχουμε διαπιστώσει, ισχύει λ Ν μ 20 και μ 02 λ b Ν σημαίνει ότι στο σύστημα των ιδιοδιανυσμάτων η μ 20 γίνεται μέγιστη και η μ 02 γίνεται ελάχιστη. sgi@di.uo.g 4

5 ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡ/ΚΗΣ &ΤΗΛ/ΝΙΩΝ Αφού ισχύει '2 '2 20 xi i mx & 02 yi i i= i= = = = = min συμπεραίνουμε ότι η διεύθυνση του v είναι ο κύριος άξονας και η διεύθυνση του v2 είναι ο δευτερεύων και ισχύει: I = = λ & I = = λ 20 α Π 02 όπου Ι Δ, Ι Π οι ροπές αδράνειας ως προς το δευτερεύοντα και τον πρωτεύοντα άξονα αντίστοιχα. b Όταν ισχύει λ =λ b, τότε η χαρακτηριστική εξίσωση των ιδιοτιμών του πίνακα συνδιασποράς είναι δευτεροβάθμια εξίσωση με διακρίνουσα μηδέν, δηλαδή η δευτεροβάθμια εξίσωση ως προς λ 20 λ = 0 02 λ με διακρίνουσα 2 2 ( 20 02) ( ) = + 4 = 0 ( ) 2 2 ή = + 4 = 0 = = & = sgi@di.uo.g 5

6 ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡ/ΚΗΣ &ΤΗΛ/ΝΙΩΝ 206 Οπότε όταν ισχύει λ =λ b, τότε 0 = 0 Τότε λοιπόν οι ιδιοτιμές του πίνακα είναι λ =λ b =μ/ν και οποιοδήποτε διάνυσμα είναι ιδιοδάνυσμα του. Παραδείγματα περιοχών εικόνας με ίσες ιδιοτιμές είναι οι εικόνες δύο τόνων με συμμετρίες όπως ο κύκλος, το τετράγωνο, τα κανονικά πολύγωνα, κ.α. Ορίζεται περιγράφον χαρακτηριστικό, το συντελεστή εκκεντρότητας της μορφής: I IΠ λα λb e= = I + I λ + λ Π α b Για κάθε μορφή ισχύει: 0 e e=0 ισχύει για μορφές με ίσες ιδιοτιμές. Για παράδειγμα κύκλος, ισόπλευρο τρίγωνο, τετράγωνο e>0 ισχύει για μορφές με άνισες ιδιοτιμές. Για παράδειγμα ισοσκελές τρίγωνο, έλλειψη. sgi@di.uo.g 6