Ανάκληση Πληροφορίας. Διδάσκων Δημήτριος Κατσαρός

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ανάκληση Πληροφορίας. Διδάσκων Δημήτριος Κατσαρός"

Transcript

1 Ανάκληση Πληροφορίας Διδάσκων Δημήτριος Κατσαρός Διάλεξη 16η: 14/05/2014 1

2 Ζητήματα Μεγάλης-Κλίμακας Υλοποίησης του PageRank 2

3 Αρχιτεκτονική Μηχανής Αναζήτησης 3

4 Ευρετήρια (Indexes) Ευρετήρια Περιεχομένου (αντιστραμμένο ευρετήριο) Βοηθητικά Ευρετήρια Θέσης (γεωγραφικής) Εικόνων Ευρετήρια Συνδεσμολογίας (Link indexes) Ποιες ποσότητες μας ενδιαφέρουν? Οντότητα H a v T π (k)t Περιγραφή Αραιός πίνακας υπερσυνδέσμων Αραιό δυαδικό διάνυσμα dangling κόμβων Πυκνό διάνυσμα προσωποποίησης, εκτός εάν v T =e T /n Πυκνό διάνυσμα PageRank τρέχουσας επανάληψης της power μεθόδου Αποθήκευση nnz(h) D ακέραιοι n doubles n doubles 4

5 Αποθήκευση H (1/2) Εάν χωράει στην κύρια μνήμη, τότε OK Εάν όχι, τότε Συμπίεση, ώστε να χωρέσει στην κύρια μνήμη και επινόηση μιας νέας μορφής του PageRank για να εκτελείται πάνω στη συμπιεσμένη μορφή Αποτελεσματική υλοποίηση του I/O στα μη συμπιεσμένα δεδομένα Ακόμα και για μικρά γραφήματα, γιαταοποίαοh χωράει στην κύρια μνήμη, απαιτούνται έξυπνες τεχνικές για να ελαττωθεί ο φόρτος εργασίας Για τον random surfer, ο H μπορεί να γραφεί ως H = D -1 L D: κρατά τους outdegrees των κόμβων [D -1 ] ii = 1/d ii, εάν δεν είναι dangling κόμβος [D -1 ] ii = 0, εάν είναι dangling κόμβος L: πίνακας γειτνίασης (adjacency matrix) 5

6 Αποθήκευση H (2/2) Με τον τρόπο αυτό εξοικονομείται χώρος: αντί για nnz(h) Με τον τρόπο αυτό επιταχύνεται η εκτέλεση της power μεθόδου: π (k+1)t = απ (k)t H + (απ (k)t a+1-α)v T Το π (k)t H απαιτεί nnz(h) πολλαπλασιασμούς και nnz(h) προσθέσεις Με χρήση του diag(d -1 ), το π (k)t H μπορεί να επιτευχθεί ως π (k)t D -1 L = π (k)τ.* (diag(d -1 ))L Το πρώτο κομμάτι απαιτεί n πολλαπλασιασμούς, και ο πολλαπλασιασμός με το L απαιτεί nnz(h) προσθέσεις. Άρα, κερδίσαμε nnz(h)-n πολλαπλασιασμούς Δυστυχώς, αυτήηαποσύνθεσηισχύειμόνογιατονrandom surfer Για τον intelligent surfer πρέπει να καταφύγουμε στις τεχνικές compressed row (column) storage Κερδίζουμε χώρο, αλλάχάνουμεσεεπεξεργασία 6

7 Compressed Row Storage (CRS) (1/2) Απαιτούνται οι εξής πίνακες val: αποθηκεύει τις μη-μηδενικές τιμές col_ind: αποθηκεύει τους αντίστοιχους δείκτες της στήλης όπου εμφανίζονται μη-μηδενικές τιμές row_ptr: αποθηκεύει τις θέσεις του πίνακα val όπου αρχίζουν νέες γραμμές Παραδοσιακά: row_ptr(n+1) = nnz(val) + 1 Ισχύει ότι: row_ptr(i+1) row_ptr(i) = αριθμός των μημηδενικών τιμών που υπάρχουν στην i-οστή γραμμή Για έναν πίνακα Α mxn : η CRS απαιτεί 2nnz(Α)+mμ+1, αντί για το mxn που απαιτεί η παραδοσιακή αποθήκευση Ανάλογα ισχύουν και για τη CCS 7

8 Compressed Row Storage (CRS) (2/2) val col_ind row_ptr : nnz(val)

9 Λίστες γειτνίασης (Adjacency Lists) Adjacency list των στηλών του πίνακα H (ή τουl): θυμηθείτε ότι κάθε στήλη κρατά την inlink πληροφορία για την ιστοσελίδα i Ο παρακάτω πίνακας είναι η adjacency list αναπαράσταση για το διπλανό γράφημα Κόμβος Εισερχόμενοι σύνδεσμοι από 3 1, 3 1 5, 6 3, 4 4, 5 9

10 Η τεχνική του κενού (The gap technique) Γιατησυμπίεσητωνadjacency lists, δυο σημαντικές τεχνικές Gap technique Reference encoding technique Η gap τεχνική εκμεταλλεύεται την τοπικότητα (locality) των διασυνδεδεμένων ιστοσελίδων Ησελίδα πηγή και η σελίδα προορισμός είναι κοντά λεξικογραφικά, δηλ., η σελίδα 100 είναι πιθανότερο να έχει εισερχόμενους υπερσυνδέσμους από τις σελίδες 112, 113, 116, 117, κ.τ.λ., και είναι λιγότερο πιθανό να έχει συνδέσμους από τις π.χ., 924, Κόμβος Εισερχόμενοι σύνδεσμοι από Αποθηκεύεται η ετικέτα της πρώτης σελίδας που έχει σύνδεσμο προς την 100, δηλ., η 112, και κατόπιν μόνο τα κενά μεταξύ διαδοχικών σελίδων 10

11 Ητεχνικήτουreference encoding (1/2) Εκμεταλλεύεται την ομοιότητα μεταξύ των ιστοσελίδων Εάν οι ιστοσελίδες P i και P j έχουν παρόμοιες adjacency lists μπορούμε να αναπαραστήσουμε τη λίστα της P j με όρους της P i Η P i λέγεται reference page της P j Οι ιστοσελίδες του ίδιου domain συχνά έχουν τους ίδιους εξερχόμενους υπερσυνδέσμους Θεωρήστε το παρακάτω παράδειγμα: reference encode P j σε σχέση με τη P i

12 Ητεχνικήτουreference encoding (2/2) Δημιουργούμε δυο διανύσματα sharing vector (binary): Ίδιο μήκος με την adjacency list της P i Περιέχει 1 στην k-οστή θέση, εάν το k-οστό στοιχείο της λίστας της P i εμφανίζεται στη λίστα της P j dissimilarity vector ΠεριέχειόλαταστοιχείατηςλίσταςτηςP j που δεν εμφανίζονται στη λίστα της P i Το sharing vector είναι πιο οικονομικό από την adjacency λίστα Η αποτελεσματικότητα της κωδικοποίησης εξαρτάται από τον αριθμό των διαφορετικών σελίδων Μεγάλη επικάλυψη σημαίνει μικρό dissimilarity vector Δεν είναι εύκολο να εντοπίσουμε για την κάθε σελίδα μια reference page 12

13 Σύγκλιση ΕίδαμεότιέναςτρόποςεύρεσηςτουPageRank διανύσματος είναι με την power μέθοδο, η οποία εφαρμόζεται μέχρι να ικανοποιηθεί κάποιο κριτήριο σύγκλισης Συνήθως, π (k+1)τ π (k)τ 1 < τ Ο Taher Haveliwala ορθά παρατήρησε ότι δεν μας ενδιαφέρουν οι ακριβείς τιμές του διανύσματος, αλλά η σωστή διάταξη των τιμών στο διάνυσμα αυτό Με ~10 επαναλήψεις μπορούμε να βρούμε τη σωστή διάταξη!!! Ερωτήματα: Πώς μετράμε τη διαφορά μεταξύ δυο rankings; Kendall Tau, rank aggregation, set overlap, Πώς αποφασίζουμε ότι ένα ranking έχει συγκλίνει ικανοποιητικά; Μπορούμε να γράψουμε μια power μέθοδο η οποία να επενεργεί στα rankings και όχι στις τιμές του PageRank σε κάθε επανάληψη; 13

14 Power-law στο Web (1/3) 14

15 Power-law στο Web (2/3) 15

16 Power-law στο Web (3/3) 16

17 Ακρίβεια (1/2) Αφού οι τιμές του διανύσματος PageRank ακολουθούν powerlaw είναι πιθανό ένα μικρό τμήμα του διανύσματος να έχει τη μορφή: π Τ =( , , , ) Συνεπώς απαιτείται ακρίβεια της τάξης του 10-9 για να διακρίνουμε μεταξύ των στοιχείων του διανύσματος Φυσικά, παρόλο που οι τιμές του διανύσματος μπορεί να είναι σφιχτά πακεταρισμένες σε μερικά τμήματά του, τα στοιχεία του διανύσματος που αφορούν ένα ερώτημα (δηλ., οι τιμές PageRank των ιστοσελίδων που είναι σχετικές με το ερώτημα) είναι πολύ λιγότερο πιθανό να είναι το ίδιο σφιχτά πακεταρισμένες, και συνεπώς δεν απαιτείται ακρίβεια της τάξης

18 Ακρίβεια (2/2) Αρχικά, οι Page & Brin πρότειναν περίπου 50 επαναλήψεις για να συγκλίνει η power μέθοδος, άρα Οι εκτιμήσεις τους για το π T δεν είναι πολύ ακριβείς, ή Ηυπο-κυρίαρχη (subdominant) ιδιοτιμή του πίνακα επαναλήψεων απέχει αρκετά από την κυρίαρχη ιδιοτιμή λ 1 =1 Την πρώτη εικασία δεν μπορούμε να την ελέγξουμε, γιατί ποτέ δεν δημοσιοποιήθηκαν αποτελέσματα σχετικά με τη σύγκλιση του Google Η δεύτερη εικασία υπονοεί ότι ο πίνακας τηλεμεταφοράς E=ev T κατέχει σημαντικό βάρος, και άρα ίσως έχει τεθεί α=0.8 Επιταχύνεται η σύγκλιση Απομακρυνόμαστε όμως από την ουσία των υπερσυνδέσμων 18

19 Dangling κόμβοι (1/10) Υπάρχουν διάφορες μορφές dangling κόμβων Σελίδα με δεδομένα Αρχείο pdf, ps, jpeg, Ιστοσελίδα που την κατέβασε ο crawler, αλλά ακόμα δεν εξερευνήθηκαν οι εξερχόμενοι υπερσύνδεσμοί της, δηλ., το Web Frontier Οι Page & Brin πρότειναν να αντικατασταθούν οι γραμμές 0 T με το διάνυσμα e T /n (ή το πιο γενικό διάνυσμα v T ) Αυτό αυξάνει κατά πολύ τις απαιτήσεις σε αποθηκευτικό χώρο, οπότε ήδηέχουμεδειότιείναιπροτιμότερηηλύσητουδυαδικού διανύσματος dangling κόμβων a Γιαναείμαστεόμωςακριβείς, οι Page & Brin πρότειναν να απομακρύνουμε τους dangling κόμβους κατά το υπολογισμό του PageRank και να τους προσθέσουμε ξανά, αφού το διάνυσμα PageRank έχει συγκλίνει 19

20 Dangling κόμβοι (2/10) Αυτό, σε μεγάλο βαθμό, είναι ένα φιλοσοφικό ερώτημα: Εάν αφήσουμε εκτός τους dangling κόμβους, τότε δεν έχουν καμία πιθανότητα να αποκτήσουμε μεγάλη PageRank, οπότε εκ προοιμίου δεν τους θεωρούμε σημαντικούς 1. Όμως, μια ιστοσελίδα με πολλούς εισερχόμενους συνδέσμους από σημαντικές ιστοσελίδες, αλλά χωρίς εξερχόμενους υπερσυνδέσμους, είναι μια σημαντική ιστοσελίδα Όντως, ο Kevin McCurley έδειξε ότι (ACM WWW conf. 2004, Ranking the Web frontier ) σε μικρά γραφήματα, αλλά και σε τεράστια γραφήματα μερικοί dangling κόμβοι μπορεί να έχουν μεγαλύτερη τιμή PageRank από πολλούς non-dangling κόμβους 2. Επιπλέον, η διαδικασία αφαίρεσης των dangling κόμβων μπορεί να δημιουργήσει επαναληπτικά νέους και νέους dangling κόμβους και τελικά να μην μείνει κανένας κόμβος στο γράφημα

21 Dangling κόμβοι (3/10) Μια καλύτερη λύση είναι να θεωρήσουμε όλους τους κόμβους ισότιμα από την αρχή, αλλά να εκμεταλλευτούμε τις μοναδικές τους ιδιότητες. Το έκαναν οι: Lee, Golub & Zenios (Technical Report SCCM ) Eiron, McCurley & Tomlin (ACM WWW 2004) Langville & Meyer (SIAM Journal on Scientific Computing, vol. 27, no. 6, 2006) Στη θεμελίωση του PageRank προβλήματος που έχουμε δώσει έως τώρα, είτε ως πρόβλημα ιδιοδιανύσματος είτε ως γραμμικό σύστημα, θεωρήσαμε ισότιμους όλους τους κόμβους, αλλά δεν εκμεταλλευτήκαμε την ιδιομορφία τους Στην ουσία όλοι οι dangling κόμβοι έχουν την ίδια φύση σχετικά με τις γραμμές τους στον πίνακα H (στον S και G) όταν ο random surfer φτάνει σε έναν dangling κόμβο συμπεριφέρεται το ίδιο: τηλεμεταφέρεται σε έναν άλλο κόμβο (είτε ομοιόμορφα e T /n, είτε με βάση το διάνυσμα προσωποποίησης v T ) 21

22 Dangling κόμβοι (4/10) Συνεπώς, γιατί να μην συμπτύξουμε όλους τους danling κόμβους σε έναν; Αυτό έχει ως συνέπεια την ελάττωση του μεγέθους του προβλήματος, ειδικά εάν το ποσοστό των danling κόμβων είναι μεγάλο Όμως, η επίλυση του μικρότερου ( ND +1) x ( ND +1) προβλήματος δημιουργεί δυο νέα: Έχουμε στη διάθεσή μας μόνο τις τιμές PageRank των non-danling κόμβων καθώς και του κόμβου που προέκυψε από την σύμπτυξη των dangling κόμβων, αλλά όχι τις τιμές PageRank των επιμέρους dangling κόμβων Αυτό το μικρότερο σύνολο των rankings είναι πολωμένο Η απάντηση στα δυο ερωτήματα αυτά δίνεται από τις τεχνικές της aggregation και της stochastic complementation 22

23 Dangling κόμβοι (5/10) Εδώ όμως θα δώσουμε μια απλούστερη εξήγηση χωρίς πολλούς μαθηματικούς όρους Έστω ότι αναδιατάσσουμε τις γραμμές του πίνακα H οι οποίες αντιστοιχούν στους dangling κόμβους, ώστε να εμφανίζονται στο κάτω μέρος του πίνακα ND D ND D όπου ND είναι το σύνολο των non-dangling κόμβων και D είναι το σύνολο των dangling κόμβων Ο πίνακας συντελεστών (π Τ (I-αH)=v T ), στη διατύπωση ως αραιό γραμμικό σύστημα, γίνεται πλέον και ο αντίστροφος αυτού: 23

24 Dangling κόμβοι (6/10) Επομένως, το μη-κανονικοποιημένο διάνυσμα PageRank x Τ = v T (I-αH) -1 μπορεί να γραφεί ως x Τ = (v 1T (I-αH 11 ) -1 αv 1T (I-αH 11 ) -1 H 12 +v 2T ) όπου το διάνυσμα προσωποποίησης v T έχει διαμεριστεί στο τμήμα v 1T για τους non-dangling κόμβους και στο τμήμα v 2T για τους dangling κόμβους Ο αλγόριθμος που υπολογίζει το διάνυσμα PageRank κάνοντας χρήση μόνο το non-dangling τμήμα του Web δίνεται παρακάτω: Αλγόριθμος-1 PageRank με dangling κόμβους Επίλυση ως προς x 1T του: Υπολογισμός του: Κανονικοποίηση: 24

25 Dangling κόμβοι (7/10) Ο αλγόριθμος αυτός είναι ισοδύναμος με τον αντίστοιχο που πρότειναν οι Lee, Golub & Zenios, ο οποίος μπορεί να ελαττώσει τον υπολογισμό κατά 1/5 σε ένα γράφημα με 80% dangling κόμβους Μπορούμε να επιτύχουμε κάτι καλύτερο; Δηλ., μπορούμε να βρούμε μηδενικές γραμμές 0 T σε υποπίνακες του H; Όντως, μπορούμε να εφαρμόζουμε αναδρομικά τη διαδικασία αναδιάταξης γραμμών/στηλών του H, ώστε να οδηγηθούμε σε υποπίνακες που δεν περιέχουν καθόλου μηδενικές γραμμές 25

26 Dangling κόμβοι (8/10) Για παράδειγμα, ένας πίνακας H με 9664 γραμμές, που περιέχει συνολικά μη μηδενικά στοιχεία, μπορεί να αναδιαταχτεί αναδρομικά με την προηγούμενη διαδικασία 26

27 Dangling κόμβοι (9/10) Γενικά, μετά από αυτή τη συμμετρική αναδιάταξη, ο πίνακας συντελεστών του γραμμικού συστήματος του PageRank έχει την εξής δομή: όπου b είναι ο αριθμός των τετραγωνικών διαγωνίων μπλοκ στον αναδιαταγμένο πίνακα Επομένως το αναδιατεταγμένο σύστημα μπορεί να λυθεί με forward substitution Το μόνο σύστημα που πρέπει να λυθεί άμεσα είναι το πρώτο υποσύστημα όπου τα π Τ και v T έχουν διαμεριστεί κατάλληλα Τα υπόλοιπα υποδιανύσματα του x T υπολογίζονται γρήγορα με forward substitution 27

28 Dangling κόμβοι (10/10) Αλγόριθμος-2 PageRank με dangling κόμβους Αναδιατάσσουμε τον H, ώστε να επιτύχουμε τη δομή που δείξαμε Επίλυση ως προς x 1T του: Για i=2 μέχρι b, υπολογισμός του: Κανονικοποίηση: Στο παράδειγμα με τον αραιό πίνακα που δείξαμε, λύνουμε τελικά ένα σύστημα 2622 x 2622 αντί για το αρχικό 9664 x 9664 Το μικρό υποσύστημα x 1T (I-αH 11 )=v 1T μπορεί να λυθεί με μια ευθεία μέθοδο (εάν είναι αρκετά μικρό) ή με μια επαναληπτική μέθοδο (π.χ., Jacobi) 28

29 Μοντελοποίηση του back button (1/6) Το αρχικό μοντέλο του PageRank δεν λάμβανε υπόψη το back button Η εισαγωγή του περιπλέκει την κατάσταση Άλλωστε, η θεμελιώδης ιδιότητα της συγκεκριμένη Markov αλυσίδας είναι ότι δεν έχει μνήμη (memoryless property) Αρκετοί προσπάθησαν να λάβουν υπόψη τους το back button Υπάρχουν διάφοροι τρόποι να μοντελοποιήσουμε το back button Μιαπάραπολύαπλήμεθοδολογίαείναιηεξής: όταν φτάσουμε σε έναν dangling κόμβο χρησιμοποιούμε το backbutton γιαναεπιστρέψουμεστησελίδααπ όπουήρθαμε 29

30 Μοντελοποίηση του back button (2/6) Αυτή η προσέγγιση όμως μοντελοποιεί το back-button μόνο για τους dangling κόμβους Επίσης, δυστυχώς μας οδηγεί στο να προσθέσουμε έναν νέο κόμβο για κάθε εισερχόμενο υπερσύνδεσμο ενός dangling κόμβου Ευτυχώς, ο πίνακας που προκύπτει Ĥ έχει όμορφη δομή

31 Μοντελοποίηση του back button (3/6) Ο Ĥ είναι row-stochastic Πρέπει όμως να εφαρμοστεί μια διόρθωση ώστε να γίνει irreducible Συγκεντρωτικά, τα βήματα για την κατασκευή του Ĥ είναι τα παρακάτω: ΒΗΜΑ 1. Αναδιατάσσουμε τον H, ώστε να έχουμε: ΒΗΜΑ 2. Για κάθε εισερχόμενο σύνδεσμο ενός dangling κόμβου, δημιουργούμε έναν κόμβο παλινδρόμησης (bounce-back node). Συνολικά θα υπάρχουν nnz(h 12 ) τέτοιοι κόμβοι, αντί για τους αρχικούς D dangling κόμβους Εάν κάθε dangling κόμβος έχει περισσότερους από έναν εισερχόμενους κόμβους, τότε θα δημιουργηθούν πολλοί περισσότεροι κόμβοι παλινδρόμησης σε σχέση με το πόσοι είναι οι dangling κόμβοι Ο πίνακας υπερσυνδέσμων με τους κόμβους παλινδρόμησης έχει την εξής μορφή μπλοκ: ND ΒΒ ND ΒΒ ND D ND D 31

32 Μοντελοποίηση του back button (4/6) ΒΗΜΑ 3. Σχηματίζουμε τα τρία μη-μηδενικά μπλοκ του Ĥ Πρώτα, Ĥ 11 =Η 11 Κατόπιν, υπάρχει συμμετρία στη δομή των Ĥ 12 και Ĥ 21 που μπορούμε να εκμεταλλευτούμε: Δηλαδή, εάν το στοιχείο (i,j) του Ĥ 12 είναι μη μηδενικό, τότε το στοιχείο (j,i) του Ĥ 21 = 1 Επιπλέον, ενώ το μέγεθος του Ĥ μπορεί να είναι πολύ μεγαλύτερο από το μέγεθος του Η, ο Ĥ έχει nnz(η 12 ) περισσότερα μη μηδενικά στοιχεία από τον Η, και όλα αυτά είναι ο ακέραιος 1 Για να υπολογίσουμε το παλινδρομικό διάνυσμα PageRank, απλά εκτελούμε οποιονδήποτε αλγόριθμο PageRank Φυσικά, ο αλγόριθμος θα είναι ελαφρά τροποποιημένοι, αφού ο Ĥ είναι επίσης στοχαστικός Συνεπώς, η παλινδρομική power μέθοδος θα είναι: 32

33 Μοντελοποίηση του back button (5/6) Tο παλινδρομικό διάνυσμα PageRank για τον Ĥ είναι φυσικά μεγαλύτεροαπότοτυπικόpagerank διάνυσμα του H Για να συγκρίνουμε τα δυο διανύσματα, απλά συγχωνεύουμε τους πολλαπλούς παλινδρομικούς κόμβους που αντιστοιχούν σε έναν dangling κόμβο, σε έναν κόμβο Για το προηγούμενο παράδειγμα, με α=0.85 και v T =e T /n 33

34 Μοντελοποίηση του back button (6/6) Tο συγχωνευμένο διάνυσμα PageRank για τον Ĥ είναι το: Το ranking των σελίδων με βάση το π Τ είναι (3 1/2/4/6 5) Το ranking των σελίδων με βάση το ñ Τ είναι ( /2 5) Φυσικά το παράδειγμα είναι μικρό και έτσι η διαφορά στο ranking κατέστη προφανής 34

Εύρεση & ιαχείριση Πληροφορίας στον Παγκόσµιο Ιστό

Εύρεση & ιαχείριση Πληροφορίας στον Παγκόσµιο Ιστό Εύρεση & ιαχείριση Πληροφορίας στον Παγκόσµιο Ιστό ιδάσκων ηµήτριος Κατσαρός, Ph.D. @ Τµ. Μηχανικών Η/Υ, Τηλεπικοινωνιών & ικτύων Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας ιάλεξη 11η: 09/05/2007 1 Ζητήµατα Μεγάλης-Κλίµακας

Διαβάστε περισσότερα

Εύρεση & ιαχείριση Πληροφορίας στον Παγκόσµιο Ιστό. Ζητήµατα Μεγάλης-Κλίµακας Υλοποίησης του PageRank. Αρχιτεκτονική Μηχανής Αναζήτησης

Εύρεση & ιαχείριση Πληροφορίας στον Παγκόσµιο Ιστό. Ζητήµατα Μεγάλης-Κλίµακας Υλοποίησης του PageRank. Αρχιτεκτονική Μηχανής Αναζήτησης Εύρεση & ιαχείριση Πληροφορίας στον Παγκόσµιο Ιστό ιδάσκων ηµήτριος Κατσαρός, Ph.D. @ Τµ. Μηχανικών Η/Υ, Τηλεπικοινωνιών & ικτύων Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας ιάλεξη η: 09/0/00 Ζητήµατα Μεγάλης-Κλίµακας Υλοποίησης

Διαβάστε περισσότερα

Εύρεση & ιαχείριση Πληροφορίας στον Παγκόσµιο Ιστό. Ζητήµατα Μεγάλης-Κλίµακας Υλοποίησης του PageRank. Επιταχύνοντας την εκτέλεση του PageRank

Εύρεση & ιαχείριση Πληροφορίας στον Παγκόσµιο Ιστό. Ζητήµατα Μεγάλης-Κλίµακας Υλοποίησης του PageRank. Επιταχύνοντας την εκτέλεση του PageRank Εύρεση & ιαχείριση Πληροφορίας στον Παγκόσµιο Ιστό ιδάσκων ηµήτριος Κατσαρός, Ph.D. @ Τµ. Μηχανικών Η/Υ, Τηλεπικοινωνιών & ικτύων Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας ιάλεξη 12η: 16/05/2007 1 Ζητήµατα Μεγάλης-Κλίµακας

Διαβάστε περισσότερα

Εύρεση & ιαχείριση Πληροφορίας στον Παγκόσµιο Ιστό

Εύρεση & ιαχείριση Πληροφορίας στον Παγκόσµιο Ιστό Εύρεση & ιαχείριση Πληροφορίας στον Παγκόσµιο Ιστό ιδάσκων ηµήτριος Κατσαρός, Ph.D. @ Τµ. Μηχανικών Η/Υ, Τηλεπικοινωνιών & ικτύων Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας ιάλεξη 12η: 16/05/2007 1 Ζητήµατα Μεγάλης-Κλίµακας

Διαβάστε περισσότερα

Ανάκληση Πληροφορίας. Διδάσκων Δημήτριος Κατσαρός

Ανάκληση Πληροφορίας. Διδάσκων Δημήτριος Κατσαρός Ανάκληση Πληροφορίας Διδάσκων Δημήτριος Κατσαρός Διάλεξη 13η: 28/04/2014 1 Παράμετροι του μοντέλου PageRank 2 Ηπαράμετροςα(1/2) Η παράμετρος αυτή ελέγχει στην ουσία την προτεραιότητα που δίνεται στη δομή

Διαβάστε περισσότερα

Εύρεση & ιαχείριση Πληροφορίας στον Παγκόσµιο Ιστό

Εύρεση & ιαχείριση Πληροφορίας στον Παγκόσµιο Ιστό Εύρεση & ιαχείριση Πληροφορίας στον Παγκόσµιο Ιστό ιδάσκων ηµήτριος Κατσαρός, Ph.D. @ Τµ. Μηχανικών Η/Υ, Τηλεπικοινωνιών & ικτύων Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας ιάλεξη 9η: 25/04/2007 1 Τα µαθηµατικά του PageRank

Διαβάστε περισσότερα

Εύρεση & ιαχείριση Πληροφορίας στον Παγκόσµιο Ιστό

Εύρεση & ιαχείριση Πληροφορίας στον Παγκόσµιο Ιστό Εύρεση & ιαχείριση Πληροφορίας στον Παγκόσµιο Ιστό ιδάσκων ηµήτριος Κατσαρός, Ph.D. @ Τµ. Μηχανικών Η/Υ, Τηλεπικοινωνιών & ικτύων Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας ιάλεξη 9η: 25/04/2007 1 Τα µαθηµατικά του PageRank

Διαβάστε περισσότερα

Ανάκληση Πληροφορίας. Διδάσκων Δημήτριος Κατσαρός

Ανάκληση Πληροφορίας. Διδάσκων Δημήτριος Κατσαρός Ανάκληση Πληροφορίας Διδάσκων Δημήτριος Κατσαρός Διάλεξη 14η: 07/05/2014 1 Ευαισθησία του PageRank 2 Ευαισθησία του PageRank: Εισαγωγικά Η ευαισθησία του PageRank μπορεί να αναλυθεί εξετάζοντας ξεχωριστά

Διαβάστε περισσότερα

Ανάκληση Πληροφορίας. Διδάσκων Δημήτριος Κατσαρός

Ανάκληση Πληροφορίας. Διδάσκων Δημήτριος Κατσαρός Ανάκληση Πληροφορίας Διδάσκων Δημήτριος Κατσαρός Διάλεξη 15η: 12/05/2014 1 Το πρόβλημα PageRank ως γραμμικό σύστημα 2 PageRank ως γραμμικό σύστημα Το πρόβλημα του PageRank μπορεί να γραφεί είτε ως Πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

Ανάκληση Πληποφοπίαρ. Διδάζκων Δημήηριος Καηζαρός

Ανάκληση Πληποφοπίαρ. Διδάζκων Δημήηριος Καηζαρός Ανάκληση Πληποφοπίαρ Διδάζκων Δημήηριος Καηζαρός Διάλεξη 18η: 17/05/2017 1 Η μέθοδος BrowseRank 2 Εισαγωγή Η page importance, που αναπαριστά την αξία μιας σελίδας του Web, είναι παράγων-κλειδί για την

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές μέθοδοι για την επίλυση γραμμικών συστημάτων. Μιχάλης Δρακόπουλος

Επαναληπτικές μέθοδοι για την επίλυση γραμμικών συστημάτων. Μιχάλης Δρακόπουλος Επαναληπτικές μέθοδοι για την επίλυση γραμμικών συστημάτων Μιχάλης Δρακόπουλος Σημειώσεις Αριθμητικής Γραμμικής Άλγεβρας 2012 2013 Εισαγωγή Στην αριθμητική επίλυση μαθηματικών εφαρμογών, όπως για παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Σποραδικές Μήτρες (Sparse Matrices) Αθανάσιος Μυγδαλ ας ΑΠΘ AΠΘ. 17 Μαρτίου 2010 c Α.Μ.

Σποραδικές Μήτρες (Sparse Matrices) Αθανάσιος Μυγδαλ ας ΑΠΘ AΠΘ. 17 Μαρτίου 2010 c Α.Μ. 1 Σποραδικές Μήτρες (Sparse Matrices) Αθανάσιος Μυγδαλ ας ΑΠΘ 17 Μαρτίου 2010 c Α.Μ. /1 30 Τρόποι αποθήκευσης σποραδικών µητρών Υπάρχουν πολλοί τρόποι αποθήκευσης σποραδικών µητρών αναλόγως των δοµικών

Διαβάστε περισσότερα

Ανάκληση Πληποφοπίαρ. Γιδάζκων Γημήηπιορ Καηζαπόρ. Γιάλεξη 16η

Ανάκληση Πληποφοπίαρ. Γιδάζκων Γημήηπιορ Καηζαπόρ. Γιάλεξη 16η Ανάκληση Πληποφοπίαρ Γιδάζκων Γημήηπιορ Καηζαπόρ Γιάλεξη 16η 1 Εηηήμαηα Μεγάληρ-Κλίμακαρ Υλοποίηζηρ ηος PageRank 2 Αρχιτεκτονική Μηχανής Αναζήτησης 3 Ευρετήρια (Indexes) Ευρετήρια Περιεχομένου (αντιστραμμένο

Διαβάστε περισσότερα

D = / Επιλέξτε, π.χ, το ακόλουθο απλό παράδειγμα: =[IA 1 ].

D = / Επιλέξτε, π.χ, το ακόλουθο απλό παράδειγμα: =[IA 1 ]. 4. Φυλλάδιο Ασκήσεων IV σύντομες λύσεις, ενδεικτικές απαντήσεις πολλαπλής επιλογής 4.. Άσκηση. Χρησιμοποιήστε τη διαδικασία Gauss-Jordan γιά να βρείτε τους αντιστρόφους των παρακάτω πινάκων, αν υπάρχουν.

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Markov Ένα σύστημα Markov διαγράμματος μετάβασης καταστάσεων

Συστήματα Markov Ένα σύστημα Markov διαγράμματος μετάβασης καταστάσεων Ένα σύστημα Markov (ή διαδικασία Markov ή αλυσίδα Markov) είναι: ένα σύστημα που μπορεί να αποτελείται από πολλές (αριθμημένες) καταστάσεις (states). Στο σύστημα αυτό υπάρχει δυνατότητα μετάβασης από την

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Εισαγωγή Σύστημα γραμμικών εξισώσεων a x a x a x b 11

Διαβάστε περισσότερα

Ανάκληση Πληπουοπίαρ. Διδάζκων Δημήηπιορ Καηζαπόρ

Ανάκληση Πληπουοπίαρ. Διδάζκων Δημήηπιορ Καηζαπόρ Ανάκληση Πληπουοπίαρ Διδάζκων Δημήηπιορ Καηζαπόρ Διάλεξη 11: 05/04/2017 1 Τα μαθημαηικά ηος PageRank 2 Η αρχική εξίσωση αθροίσματος Το PageRank μιας σελίδας είναι το άθροισμα του PageRank των σελίδων που

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 09, 9 Μαρτίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Επαναληπτικές μέθοδοι 2. Θεωρία γενικών επαναληπτικών μεθόδων 3. Σύγκλιση

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A 4. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές πολλαπλότητες των ιδιοτιμών.

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Κωνσταντίνος Κώστα Διαφάνειες: Δημήτρης Ζεϊναλιπούρ

Διδάσκων: Κωνσταντίνος Κώστα Διαφάνειες: Δημήτρης Ζεϊναλιπούρ Διάλεξη 9: Εισαγωγή στους Γράφους Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Γράφοι - ορισμοί και υλοποίηση Διάσχιση Γράφων Διδάσκων: Κωνσταντίνος Κώστα Διαφάνειες: Δημήτρης Ζεϊναλιπούρ

Διαβάστε περισσότερα

Ειδικά θέματα Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων (ΠΛΕ073) Απαντήσεις 1 ου Σετ Ασκήσεων

Ειδικά θέματα Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων (ΠΛΕ073) Απαντήσεις 1 ου Σετ Ασκήσεων Ειδικά θέματα Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων (ΠΛΕ073) Απαντήσεις 1 ου Σετ Ασκήσεων Άσκηση 1 α) Η δομή σταθμισμένης ένωσης με συμπίεση διαδρομής μπορεί να τροποποιηθεί πολύ εύκολα ώστε να υποστηρίζει τις

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήματα Ελάχιστου Κόστους Ροής σε Δίκτυο. Δίκτυα Ροής Ελάχιστου Κόστους (Minimum Cost Flow Networks)

Προβλήματα Ελάχιστου Κόστους Ροής σε Δίκτυο. Δίκτυα Ροής Ελάχιστου Κόστους (Minimum Cost Flow Networks) Προβλήματα Ελάχιστου Κόστους Ροής σε Δίκτυο Ορισμοί Παραδείγματα Δικτυακή Simplex (προβλήματα με και χωρίς φραγμούς). Δίκτυα Ροής Ελάχιστου Κόστους (Minimum ost Flow Networks) Ένα δίκτυο μεταφόρτωσης αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43

Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 1 / 43 Κεφ.5. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ίνεται ένας πίνακας A C n n και Ϲητούνται να προσδιορισθούν οι

Διαβάστε περισσότερα

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι. Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι. Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Matrix Algorithms Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Περιεχόμενα παρουσίασης Πολλαπλασιασμός πίνακα με διάνυσμα Πολλαπλασιασμός πινάκων Επίλυση τριγωνικού

Διαβάστε περισσότερα

Ανάκληση Πληποφοπίαρ. Γιδάζκων Γημήηπιορ Καηζαπόρ

Ανάκληση Πληποφοπίαρ. Γιδάζκων Γημήηπιορ Καηζαπόρ Ανάκληση Πληποφοπίαρ Γιδάζκων Γημήηπιορ Καηζαπόρ Γιάλεξη 15η: 17/05/2016 1 Το ππόβλημα PageRank ωρ γπαμμικό ζύζηημα 2 PageRank ως γραμμικό σύστημα Το πρόβλημα του PageRank μπορεί να γραφεί είτε ως Πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

Κοινωνικά Δίκτυα Αναζήτηση Πληροφοριών σε Δίκτυα

Κοινωνικά Δίκτυα Αναζήτηση Πληροφοριών σε Δίκτυα Κοινωνικά Δίκτυα Αναζήτηση Πληροφοριών σε Δίκτυα Ν. Μ. Σγούρος Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων, Παν. Πειραιώς sgouros@unipi.gr Δομή του WWW Ορισμός Προβλήματος Υποθέτουμε ότι οι πηγές πληροφοριών αναπριστώνται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 06, 26 Φεβρουαρίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Η ανάλυση LU 2. Η ανάλυση LDM T και η ανάλυση LDL T 3. Συμμετρικοί

Διαβάστε περισσότερα

Γράφημα. Συνδυαστικό αντικείμενο που αποτελείται από 2 σύνολα: Σύνολο κορυφών (vertex set) Σύνολο ακμών (edge set) 4 5 πλήθος κορυφών πλήθος ακμών

Γράφημα. Συνδυαστικό αντικείμενο που αποτελείται από 2 σύνολα: Σύνολο κορυφών (vertex set) Σύνολο ακμών (edge set) 4 5 πλήθος κορυφών πλήθος ακμών Γράφημα Συνδυαστικό αντικείμενο που αποτελείται από 2 σύνολα: Σύνολο κορυφών (vertex set) Σύνολο ακμών (edge set) 1 2 3 4 5 πλήθος κορυφών πλήθος ακμών Γράφημα Συνδυαστικό αντικείμενο που αποτελείται από

Διαβάστε περισσότερα

Ανάκληση Πληροφορίας. Διδάσκων Δημήτριος Κατσαρός

Ανάκληση Πληροφορίας. Διδάσκων Δημήτριος Κατσαρός Ανάκληση Πληροφορίας Διδάσκων Δημήτριος Κατσαρός Διάλεξη 18η: 28/05/2014 1 Spamming PageRank 2 Link Spam Farms Spamming: Παραπλάνηση των μηχανών αναζήτησης για να αποκτηθεί υψηλότερη διάταξη (ranking)

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα (1 ο σετ) Διανυσματικοί Χώροι

Παραδείγματα (1 ο σετ) Διανυσματικοί Χώροι Παραδείγματα ( ο σετ) Διανυσματικοί Χώροι Παράδειγμα Έστω το σύνολο V το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών εφοδιασμένο με την ακόλουθη πράξη της πρόσθεσης: y y με y, V και του πολλαπλασιασμού:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 17 Οκτωβρίου 2011

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 17 Οκτωβρίου 2011 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Οκτωβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 5 Νοεμβρίου 0 Οι ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Εύρεση & ιαχείριση Πληροφορίας στον Παγκόσµιο Ιστό

Εύρεση & ιαχείριση Πληροφορίας στον Παγκόσµιο Ιστό Εύρεση & ιαχείριση Πληροφορίας στον Παγκόσµιο Ιστό ιδάσκων ηµήτριος Κατσαρός, Ph.D. @ Τµ. Μηχανικών Η/Υ, Τηλεπικοινωνιών & ικτύων Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας ιάλεξη 14η: 30/05/2007 1 Η µέθοδος HITS Η µέθοδος

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικά Συστήματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικό Σύστημα a11x1 + a12x2 + + a1 nxn = b1 a x + a x + +

Διαβάστε περισσότερα

Λυμένες ασκήσεις στροφορμής

Λυμένες ασκήσεις στροφορμής Λυμένες ασκήσεις στροφορμής Θα υπολογίσουμε τη δράση των τελεστών κλίμακας J ± σε μια τυχαία ιδιοκατάσταση j, m των τελεστών J και Jˆ. Λύση Δείξαμε ότι η κατάσταση Jˆ± j, m είναι επίσης ιδιοκατάσταση των

Διαβάστε περισσότερα

Ανάκληση Πληροφορίας. Διδάσκων Δημήτριος Κατσαρός

Ανάκληση Πληροφορίας. Διδάσκων Δημήτριος Κατσαρός Ανάκληση Πληροφορίας Διδάσκων Δημήτριος Κατσαρός Διάλεξη 12: 07/04/2014 1 Τα μαθηματικά του PageRank 2 Η αρχική εξίσωση αθροίσματος Το PageRank μιας σελίδας είναι το άθροισμα του PageRank των σελίδων που

Διαβάστε περισσότερα

Διαγωνοποίηση μητρών. Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας

Διαγωνοποίηση μητρών. Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας Διαγωνοποίηση μητρών Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας Όμοιες μήτρες Ορισμός: Οι τετραγωνικές μήτρες Α=[α ij ] nxn & B=[b ij ] nxn όμοιες (Α~Β): αν υπάρχει ομαλή μήτρα Ρ τ.ώ. Β = Ρ -1 Α Ρ A~B Β~ Α Ρ ομαλή μήτρα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ.11: Ευρετήρια και Κατακερματισμός

Κεφ.11: Ευρετήρια και Κατακερματισμός Κεφ.11: Ευρετήρια και Κατακερματισμός Database System Concepts, 6 th Ed. See www.db-book.com for conditions on re-use Κεφ. 11: Ευρετήρια-Βασική θεωρία Μηχανισμοί ευρετηρίου χρησιμοποιούνται για την επιτάχυνση

Διαβάστε περισσότερα

Μόρφωση του συστήματος εξισώσεων. Επίλυση και επεξεργασία των αποτελεσμάτων

Μόρφωση του συστήματος εξισώσεων. Επίλυση και επεξεργασία των αποτελεσμάτων Κεφάλαιο 4 Μόρφωση του συστήματος εξισώσεων. Επίλυση και επεξεργασία των αποτελεσμάτων Στο παρόν κεφάλαιο περιγράφεται η διαδικασία με την οποία γίνεται η μεταφορά από το τοπικό στο συνολικό μητρώο δυσκαμψίας,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 3: Περιγραφή αριθμητικών μεθόδων (συνέχεια)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 3: Περιγραφή αριθμητικών μεθόδων (συνέχεια) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Διάλεξη 3: Περιγραφή αριθμητικών μεθόδων (συνέχεια) Χειμερινό εξάμηνο 2008 Προηγούμενη παρουσίαση... Εξετάσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Fast Fourier Transform

Fast Fourier Transform Fast Fourier Transform Παναγιώτης Πατσιλινάκος ΕΜΕ 19 Οκτωβρίου 2017 Παναγιώτης Πατσιλινάκος (ΕΜΕ) Fast Fourier Transform 19 Οκτωβρίου 2017 1 / 20 1 Εισαγωγή Στόχος Προαπαιτούμενα 2 Η ιδέα Αντιστροφή -

Διαβάστε περισσότερα

Μορφές των χωρικών δεδομένων

Μορφές των χωρικών δεδομένων Μορφές των χωρικών δεδομένων Eάν θελήσουμε να αναπαραστήσουμε το περιβάλλον με ακρίβεια, τότε θα χρειαζόταν μιά απείρως μεγάλη και πρακτικά μη πραγματοποιήσιμη βάση δεδομένων. Αυτό οδηγεί στην επιλογή

Διαβάστε περισσότερα

Σημειωματάριο Δευτέρας 4 Δεκ. 2017

Σημειωματάριο Δευτέρας 4 Δεκ. 2017 Σημειωματάριο Δευτέρας 4 Δεκ. 2017 Ο αλγόριθμος Floyd-Warshall για την έυρεση όλων των αποστάσεων σε ένα γράφημα με βάρη στις ακμές Συνεχίσαμε σήμερα το θέμα της προηγούμενης Τετάρτης. Έχουμε ένα γράφημα

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων

5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων 5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων http://ecourseschemengntuagr/courses/computational_methods_for_engineers/ Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων Γενικά:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων

5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων 5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων http://ecourseschemengntuagr/courses/computational_methods_for_engineers/ Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων Γενικά:

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης

Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης με παραγώγους Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc64.materials.uoi.gr/dpapageo

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Γραφήματα. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Γραφήματα. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Δομές Δεδομένων Γραφήματα Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Γραφήματα Κατευθυνόμενο Γράφημα Ένα κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζευγάρι (V, E) όπου V είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

Σπιν 1 2. Γενικά. Ŝ και S ˆz γράφονται. ιδιοκαταστάσεις αποτελούν ορθοκανονική βάση στον χώρο των καταστάσεων του σπιν 1 2.

Σπιν 1 2. Γενικά. Ŝ και S ˆz γράφονται. ιδιοκαταστάσεις αποτελούν ορθοκανονική βάση στον χώρο των καταστάσεων του σπιν 1 2. Σπιν Γενικά Θα χρησιμοποιήσουμε τις γενικές σχέσεις που αποδείξαμε στην ανάρτηση «Εύρεση των ιδιοτιμών της στροφορμής», που, όπως είδαμε, ισχύουν για κάθε γενική στροφορμή ˆ J με συνιστώσες Jˆ, Jˆ, J ˆ,

Διαβάστε περισσότερα

Web Mining. Χριστίνα Αραβαντινού Ιούνιος 2014

Web Mining. Χριστίνα Αραβαντινού Ιούνιος 2014 Web Mining Χριστίνα Αραβαντινού aravantino@ceid.upatras.gr Ιούνιος 2014 1 / 34 Χριστίνα Αραβαντινού Web Mining Περιεχόµενα 1 2 3 4 5 6 2 / 34 Χριστίνα Αραβαντινού Web Mining Το Web Mining στοχεύει στην

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθμών www.di.uoa.gr/~organosi 1 Δεκαδικό και Δυαδικό Δεκαδικό σύστημα 2 3 Δεκαδικό και Δυαδικό Δυαδικό Σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Δείξτε ότι ο V R εφοδιασμένος με τις ακόλουθες πράξεις (, a b) + (, d) ( a+, b+ d) και k ( ab, ) ( kakb,

Διαβάστε περισσότερα

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Matrix Algorithms Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Περιεχόμενα παρουσίασης Πολλαπλασιασμός πίνακα με διάνυσμα Πολλαπλασιασμός πινάκων Επίλυση τριγωνικού

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 29: Γράφοι. Διδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου

Διάλεξη 29: Γράφοι. Διδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου Διάλεξη 9: Γράφοι Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: - Γράφοι - ορισμοί και υλοποίηση - Διάσχιση Γράφων Διδάσκων: Παναγιώτης νδρέου ΕΠΛ035 Δομές Δεδομένων και λγόριθμοι για Ηλ. Μηχ.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 5 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ

Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 5 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 5 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΣΥΣΤΗΜΑ 2Χ2 ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ Έστω το σύστημα εξισώσεων 2Χ2 (2 εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ονοματεπώνυμο:......... Α.Μ....... Ετος... ΑΙΘΟΥΣΑ:....... I. (περί τις 55μ. = ++5++. Σωστό ή Λάθος: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - //8 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (αʹ Αν AB = BA όπου A, B τετραγωνικά και

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 24: Ειδικές Περιπτώσεις του Προβλήματος Ροής Ελαχίστου Κόστους Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής - Κεφάλαιο 2

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής - Κεφάλαιο 2 Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής - Κεφάλαιο 2 1. Ο αλγόριθμος είναι απαραίτητος μόνο για την επίλυση προβλημάτων Πληροφορικής 2. Ο αλγόριθμος αποτελείται από ένα πεπερασμένο σύνολο εντολών 3. Ο αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

Εύρεση & ιαχείριση Πληροφορίας στον Παγκόσµιο Ιστό. Η µέθοδος HITS. Η µέθοδος SALSA. Hypertext Induced Topic Search. ιδάσκων ηµήτριος Κατσαρός, Ph.D.

Εύρεση & ιαχείριση Πληροφορίας στον Παγκόσµιο Ιστό. Η µέθοδος HITS. Η µέθοδος SALSA. Hypertext Induced Topic Search. ιδάσκων ηµήτριος Κατσαρός, Ph.D. Εύρεση & ιαχείριση Πληροφορίας στον Παγκόσµιο Ιστό ιδάσκων ηµήτριος Κατσαρός, Ph.D. @ Τµ. Μηχανικών Η/Υ, Τηλεπικοινωνιών & ικτύων Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας ιάλεξη 14η: 30/05/2007 1 Η µέθοδος HITS Η µέθοδος

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ & ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΕ ΣΥΓΧΩΝΕΥΣΗ

ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ & ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΕ ΣΥΓΧΩΝΕΥΣΗ ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ & ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΕ ΣΥΓΧΩΝΕΥΣΗ (ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ, Sanjoy Dasgupta, Christos Papadimitriou, Umesh Vazirani, σελ. 55-62 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ, Jon Kleinberg, Eva Tardos, Κεφάλαιο 5) Δυαδική αναζήτηση

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 8/6/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 8/6/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Άσκηση (Μονάδες.5) Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 8/6/07 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Προσδιορίστε το c R ώστε το διάνυσμα (,, 6 ) να ανήκει στο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 05 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση.. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Στήριξης Αποφάσεων

Συστήματα Στήριξης Αποφάσεων Συστήματα Στήριξης Αποφάσεων Τμήμα: Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Διδάσκων: A.Π. Βαβάτσικος, Dip.Eg., PhD Αναλυτική Ιεραρχική Διαδικασία-Aalytic Hierarchy Process (AHP) Η Αναλυτική Ιεραρχική Διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Δομές Δεδομένων (Ι) (εισαγωγικές έννοιες)

Αλγόριθμοι και Δομές Δεδομένων (Ι) (εισαγωγικές έννοιες) Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 2015-16 Αλγόριθμοι και Δομές Δεδομένων (Ι) (εισαγωγικές έννοιες) http://di.ionio.gr/~mistral/tp/csintro/ Μ.Στεφανιδάκης Τι είναι

Διαβάστε περισσότερα

Συσχετιστικές Μνήμες Δίκτυο Hopfield. "Τεχνητά Νευρωνικά Δίκτυα" (Διαφάνειες), Α. Λύκας, Παν. Ιωαννίνων

Συσχετιστικές Μνήμες Δίκτυο Hopfield. Τεχνητά Νευρωνικά Δίκτυα (Διαφάνειες), Α. Λύκας, Παν. Ιωαννίνων Συσχετιστικές Μνήμες Δίκτυο Hopfield Συσχετιστική Μνήμη Η ανάκληση ενός γεγονότος σε μία χρονική στιγμή προκαλείται από τη συσχέτιση αυτού του γεγονότος με κάποιο ερέθισμα. Πολλές φορές επίσης καλούμαστε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΥΕ003: Ανάκτηση Πληροφορίας. Διδάσκουσα: Ευαγγελία Πιτουρά Κεφάλαιο 21: Ανάλυση Συνδέσμων.

ΜΥΕ003: Ανάκτηση Πληροφορίας. Διδάσκουσα: Ευαγγελία Πιτουρά Κεφάλαιο 21: Ανάλυση Συνδέσμων. ΜΥΕ3: Ανάκτηση Πληροφορίας Διδάσκουσα: Ευαγγελία Πιτουρά Κεφάλαιο 2: Ανάλυση Συνδέσμων. Κεφ 2 Τι θα δούμε σήμερα Πως μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το δίκτυο στη διάταξη των αποτελεσμάτων Δεν είναι όλες

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό. Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί8 Υπολογισµοί)

Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό. Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί8 Υπολογισµοί) Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί) ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 8 εκεµβρίου 2014 Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί8 Υπολογισµοί)

Διαβάστε περισσότερα

I. ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ II. ΠΡΑΞΕΙΣ - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ III. ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ. 1. Τα πιο συνηθισμένα σενάρια παραβίασης αλγοριθμικών κριτηρίων είναι:

I. ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ II. ΠΡΑΞΕΙΣ - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ III. ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ. 1. Τα πιο συνηθισμένα σενάρια παραβίασης αλγοριθμικών κριτηρίων είναι: ΑΕσΠΠ 1 / 8 I. ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ 1. Τα πιο συνηθισμένα σενάρια παραβίασης αλγοριθμικών κριτηρίων είναι: i. Είσοδος : χρήση μιας μεταβλητής που δεν έχει πάρει προηγουμένως τιμή. ii. Έξοδος : ο αλγόριθμος δεν εμφανίζει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ. Δημιουργία Ευρετηρίων Συλλογής Κειμένων

ΑΣΚΗΣΗ. Δημιουργία Ευρετηρίων Συλλογής Κειμένων Γλωσσική Τεχνολογία Ακαδημαϊκό Έτος 2011-2012 Ημερομηνία Παράδοσης: Στην εξέταση του μαθήματος ΑΣΚΗΣΗ Δημιουργία Ευρετηρίων Συλλογής Κειμένων Σκοπός της άσκησης είναι η υλοποίηση ενός συστήματος επεξεργασίας

Διαβάστε περισσότερα

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex 3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2.4 Matrix Algorithms

Κεφάλαιο 2.4 Matrix Algorithms Κεφάλαιο 2.4 Matrix Algorithms Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Καούρη Γεωργία Μήτσου Βασιλική Κατασκευή ΝxNxN Mesh of trees (1/3) Στον ΝxNxN κύβο προσθέτω τους εξής κόμβους:

Διαβάστε περισσότερα

Ιδιάζουσες τιμές πίνακα. y έχουμε αντίστοιχα τις σχέσεις : Αυτές οι παρατηρήσεις συμβάλλουν στην παραγοντοποίηση ενός πίνακα

Ιδιάζουσες τιμές πίνακα. y έχουμε αντίστοιχα τις σχέσεις : Αυτές οι παρατηρήσεις συμβάλλουν στην παραγοντοποίηση ενός πίνακα Ιδιάζουσες τιμές πίνακα Επειδή οι πίνακες που παρουσιάζονται στις εφαρμογές είναι μη τετραγωνικοί, υπάρχει ανάγκη να βρεθεί μία μέθοδος που να «μελετά» τους μη τετραγωνικούς με «μεθόδους και ποσά» που

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακες Γραμμικά Συστήματα

Πίνακες Γραμμικά Συστήματα Πίνακες Γραμμικά Συστήματα 1. Είδη Πινάκων Οι πίνακες είναι ένα χρήσιμο μαθηματικό εργαλείο, με εφαρμογές και διασυνδέσεις σε πολλές επιστήμες. Η σημαντικότερη εφαρμογή των πινάκων είναι στην επίλυση συστημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Μερικές φορές δεν μπορούμε να αποφανθούμε για την τιμή του άπειρου αθροίσματος.

Μερικές φορές δεν μπορούμε να αποφανθούμε για την τιμή του άπειρου αθροίσματος. Σειρές Σειρές και μερικά αθροίσματα: Το πρόβλημα της άθροισης μιας σειράς άπειρων όρων είναι πολύ παλιό. Μερικές φορές μια τέτοια σειρά καταλήγει σε πεπερασμένο αποτέλεσμα, μερικές φορές απειρίζεται και

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Ανάκτησης Πληροφοριών ΗΥ-463

Συστήματα Ανάκτησης Πληροφοριών ΗΥ-463 ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ COMPUTER SCIENCE DEPARTMENT UNIVERSITY OF CRETE Συστήματα Ανάκτησης Πληροφοριών ΗΥ-463 4 η Σειρά Ασκήσεων Ψαράκη Μαρία-Γεωργία ΜΕΤ 556 psaraki@csd.uoc.gr Εαρινό Εξάμηνο 2008-2009

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015 Λύσεις 2η σειράς ασκήσεων Προθεσμία παράδοσης: 18 Μαίου 2015 Πρόβλημα 1. (14

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2).

ΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2). ΜΑΣ 37: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrage για τα σημεία (, ), (, ) και (4, ) Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrage που προσεγγίζει τη συνάρτηση 3 f ( x) si x στους κόμβους

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ροή Δικτύου Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Μοντελοποίηση Δικτύων Μεταφοράς Τα γραφήματα χρησιμοποιούνται συχνά για την μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος 9/6/5 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 5 Δίνεται ο πίνακας A 5. Αν διαγωνοποιείται να τον διαγωνοποιήσετε και στη συνέχεια να k υπολογίσετε το A όπου k θετικός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ ΑΚΑΔ. ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ Χ. Τσιρώνης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟ - Διανύσματα - Πράξεις με πίνακες - Διαφορικός λογισμός (1D) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ

Διαβάστε περισσότερα

Εξωτερική Αναζήτηση. Ιεραρχία Μνήμης Υπολογιστή. Εξωτερική Μνήμη. Εσωτερική Μνήμη. Κρυφή Μνήμη (Cache) Καταχωρητές (Registers) μεγαλύτερη ταχύτητα

Εξωτερική Αναζήτηση. Ιεραρχία Μνήμης Υπολογιστή. Εξωτερική Μνήμη. Εσωτερική Μνήμη. Κρυφή Μνήμη (Cache) Καταχωρητές (Registers) μεγαλύτερη ταχύτητα Ιεραρχία Μνήμης Υπολογιστή Εξωτερική Μνήμη Εσωτερική Μνήμη Κρυφή Μνήμη (Cache) μεγαλύτερη χωρητικότητα Καταχωρητές (Registers) Κεντρική Μονάδα (CPU) μεγαλύτερη ταχύτητα Πολλές σημαντικές εφαρμογές διαχειρίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι αλγόριθμος; Υποπρογράμματα (υποαλγόριθμοι) Βασικές αλγοριθμικές δομές

Τι είναι αλγόριθμος; Υποπρογράμματα (υποαλγόριθμοι) Βασικές αλγοριθμικές δομές Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 2015-16 Αλγόριθμοι και Δομές Δεδομένων (Ι) (εισαγωγικές έννοιες) http://di.ionio.gr/~mistral/tp/csintro/ Μ.Στεφανιδάκης Τι είναι

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Επανάληψη: Μαθηματικά

Δυναμική Μηχανών I. Επανάληψη: Μαθηματικά Δυναμική Μηχανών I 2 1 Επανάληψη: Μαθηματικά 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Συμβολισμοί Μεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό. Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί8 Υπολογισµοί)

Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό. Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί8 Υπολογισµοί) Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί) ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 8 εκεµβρίου 04 Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί8 Υπολογισµοί) εκεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Τετραγωνικά μοντέλα. Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1

Τετραγωνικά μοντέλα. Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1 Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης Τετραγωνικά μοντέλα Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc164.materials.uoi.gr/dpapageo Για συνάρτηση μιας

Διαβάστε περισσότερα

Μελετάμε την περίπτωση όπου αποθηκεύουμε ένα (δυναμικό) σύνολο στοιχειών. Ένα στοιχείο γράφεται ως, όπου κάθε.

Μελετάμε την περίπτωση όπου αποθηκεύουμε ένα (δυναμικό) σύνολο στοιχειών. Ένα στοιχείο γράφεται ως, όπου κάθε. Ψηφιακά Δένδρα Μελετάμε την περίπτωση όπου αποθηκεύουμε ένα (δυναμικό) σύνολο στοιχειών τα οποία είναι ακολουθίες συμβάλλων από ένα πεπερασμένο αλφάβητο Ένα στοιχείο γράφεται ως, όπου κάθε. Μπορούμε να

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 10ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 10ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Να εξετασθεί αν είναι γραμμικές οι ακόλουθες συναρτήσεις: a) f : R R με f b) f : R R f y, ( +, y

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, , 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ. Βαλουγεώργης Απαντήσεις: ΠΡΟΟΔΟΣ 1, Επιμέλεια λύσεων: Γιώργος Τάτσιος

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, , 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ. Βαλουγεώργης Απαντήσεις: ΠΡΟΟΔΟΣ 1, Επιμέλεια λύσεων: Γιώργος Τάτσιος ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 6-7, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ. Βαλουγεώργης Απαντήσεις: ΠΡΟΟΔΟΣ, --6 Επιμέλεια λύσεων: Γιώργος Τάτσιος Άσκηση [] Επιλύστε με μία απευθείας μέθοδο διατηρώντας τρία σημαντικά ψηφία σε

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 4: Συστηματικές μέθοδοι επίλυσης κυκλωμάτων Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 978-960-93-7110-0 κωδ.

Διαβάστε περισσότερα

2018 Φάση 2 ιαγωνίσµατα Επανάληψης ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' Γενικού Λυκείου. Σάββατο 21 Απριλίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης:3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ

2018 Φάση 2 ιαγωνίσµατα Επανάληψης ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' Γενικού Λυκείου. Σάββατο 21 Απριλίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης:3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A ΑΛΓΕΒΡΑ Α' Γενικού Λυκείου Σάββατο 1 Απριλίου 018 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑΤΑ Πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f (x) από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β ονομάζουμε το σύνολο Α, στο οποίο φαίνονται οι

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙI Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Α. Καρανίκας και Π. Σφήκας Σημειώσεις IX: Πρόσθεση στροφορμών Υπάρχουν πάμπολα φυσικά συστήματα στα οποία η κίνηση των επί μέρους σωματιδίων ή τα spin

Διαβάστε περισσότερα

ΑΔΙΕΞΟΔΑ. Λειτουργικά Συστήματα Ι. Διδάσκων: Καθ. Κ. Λαμπρινουδάκης ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι

ΑΔΙΕΞΟΔΑ. Λειτουργικά Συστήματα Ι. Διδάσκων: Καθ. Κ. Λαμπρινουδάκης ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Μάθημα: Λειτουργικά Συστήματα Ι ΑΔΙΕΞΟΔΑ Διδάσκων: Καθ. Κ. Λαμπρινουδάκης clam@unipi.gr 1 ΑΔΙΕΞΟΔΑ 2 ΠΟΡΟΙ Υπάρχουν δύο τύποι πόρων σε υπολογιστικά συστήματα: Προεκτοπίσιμοι πόροι

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Υπολογισμοί και Σφάλματα Παράσταση Πραγματικών Αριθμών Συστήματα Αριθμών Παράσταση Ακέραιου

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

Βάσεις ιαδικτύου. Θέματα. Εισαγωγή στην XML. Ευρετήρια για την Ανάκτηση Κειμένων. Ο αλγόριθμος HITS. είναι η XML. Παράδειγμα XML

Βάσεις ιαδικτύου. Θέματα. Εισαγωγή στην XML. Ευρετήρια για την Ανάκτηση Κειμένων. Ο αλγόριθμος HITS. είναι η XML. Παράδειγμα XML Θέματα Βάσεις ιαδικτύου Ο αλγόριθμος HITS Βάσεις Δεδομένων ΙΙ 2004-2005 Ευαγγελία Πιτουρά 1 Βάσεις Δεδομένων ΙΙ 2004-2005 Ευαγγελία Πιτουρά 2 Τι είναι η XML XML Mark-up Γλώσσες (Γλώσσες Σημειοθέτησης)

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα (2) Διανυσματικοί Χώροι

Παραδείγματα (2) Διανυσματικοί Χώροι Παραδείγματα () Διανυσματικοί Χώροι Παράδειγμα 7 Ελέγξτε αν τα ακόλουθα σύνολα διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητα ή όχι: α) v=(,4,6), v=(,,), v=(7,,) b) v=(,4), v=(,), v=(4,) ) v=(,,), v=(5,,), v=(5,,)

Διαβάστε περισσότερα

Ιεραρχική αναλυση αποφασεων Analytic hierarchy process (AHP)

Ιεραρχική αναλυση αποφασεων Analytic hierarchy process (AHP) Ιεραρχική αναλυση αποφασεων Analytic hierarchy process (AHP) Εισαγωγή Παρουσιάστηκε από τον Thomas L. Saaty τη δεκαετία του 70 Μεθοδολογία που εφαρμόζεται στην περιοχή των Multicriteria Problems Δίνει

Διαβάστε περισσότερα

5.9 ΘΕΤΙΚΑ ΟΡΙΣΜΕΝΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΙ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ

5.9 ΘΕΤΙΚΑ ΟΡΙΣΜΕΝΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΙ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ Α Β Δ J 1 =A+Γ και J 3 = Β Γ Ε Δ Ε Ζ d + c x + a + b y ac+ bd x y = R A έχουμε: 1 1 1 1 Για την εξίσωση ( ) ( ) ( ) ( ) A, B,, 0, E 0, Z A = c + d = ac+ bd Γ= a + b Δ= =

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ Χ. Τσιρώνης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΩΤΟ - Διατύπωση προβλημάτων - Κατηγορίες εφαρμογών - Πράξεις με πίνακες ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ (in short) Που

Διαβάστε περισσότερα