2.2. Vibraţii libere. Folosind metoda clasică de rezolvare, soluţia ecuaţiei diferenţiale omogene (2.16) folosind condiţiile iniţiale (2.
|
|
- Τισιφόνη Ευταξίας
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 . iamica siemelor cu u sigur grad de libertate diamică.. Vibraţii libere Vibraţiile libere ale uei ructuri au loc atuci câd ructura ee scoasă di poziţia de echilibru atic şi lăsată să vibreze liber fără vreo forţă diamică perturbatoare. Vibraţiile libere au loc după ce cauza care a scos ructura di area de repaus a îcetat...1. Vibraţii libere eamortizate Mişcarea uui siem cu u sigur grad de libertate diamică (de exemplu cadrul portal discutat aterior) sub acţiuea uei forţe diamice p(t) ee descrisă de ecuaţia (.6): mu + cu + ku = p( t). Î cazul vibraţiilor libere eamortizate forţa perturbatoare lipseşte p(t) =, la fel şi amortizarea (c = ). Afel, ecuaţia de mişcare devie: mu + ku = (.16) Vibraţiile libere apar ca urmare a scoaterii siemului di echilibru, pri aplicarea masei uei deplasări iiţiale u () sau a uei viteze iiţiale u () la timpul zero, defiit ca şi timpul î care ee iiţiată mişcarea: u = u() u = u () (.17) Folosid metoda clasică de rezolvare, soluţia ecuaţiei difereţiale omogee (.16) folosid codiţiile iiţiale (.17) ee: ude s-a folosit otaţia u() u( t) = u()cosωt + siωt ω (.18) ω = k m (.19) Ecuaţia (.18) ee reprezetată î Figura.11, di care se poate observa că siemul efectuează o mişcare oscilatorie faţă de poziţia de echilibru atic şi că valoarea deplasării ee aceeaşi la fiecare π ω secude. Ace tip de mişcare poartă deumirea de mişcare armoică simplă. Porţiuea a-b-c-d-e a curbei deplasaretimp descrie u ciclu complet de mişcare armoică a siemului. i poziţia de echilibru atic la puctul a, masa se deplasează î ses pozitiv, atigâd deplasarea pozitivă maximă u o î puctul b, momet î care viteza ee egală cu zero şi deplasarea îcepe să scadă, atigâd poziţia de echilibru atic î puctul c, câd viteza devie maximă, afel îcât masa cotiuă să se deplaseze î ses egativ, atigâd deplasarea miimă u o î puctul d, momet î care viteza ee di ou egală cu zero iar deplasarea îcepe să scadă di ou, pâă câd masa ajuge î poziţia de echilibru atic e. Timpul î care u siem cu u sigur grad de libertate diamică efectuează u ciclu complet de oscilaţii libere eamortizate se umeşte perioadă proprie de vibraţie, se otează cu T şi se măsoară î secude. Relaţia ditre aceaa şi frecveţa circulară proprie (sau pulsaţia proprie de vibraţie), care se măsoară î radiai pe secudă ee: π T = (.) ω Frecveţa proprie de vibraţie f reprezită umărul de oscilaţii complete pe care îl efectuează siemul îtr-o secudă, se măsoară î Hz şi ee dată de următoarele relaţii: f f 1 = (.1) T ω = (.) π Proprietăţile de vibraţie proprie ω, T şi f depid doar de masa şi rigiditatea ructurii, coform ecuaţiilor (.19) la (.1). Odată cu creşterea rigidităţii uei ructuri perioada proprie de vibraţie va scădea, iar frecveţa proprie de vibraţie va creşte. Î mod similar, creşterea masei uei ructuri coduce la creşterea perioadei proprii de vibraţie şi scăderea frecveţei proprii de vibraţie. Termeul "propriu" folosit î 11
2 iamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.14] defiiţiile ω, T şi f se referă la faptul că aceea sut proprietăţi ale siemului, depizâd doar de caracteriicile aceuia. Figura.11. Vibraţii libere eamortizate ale uui siem liiar elaic SGL (Chopra, 1). Frecveţa circulară proprie ω, frecveţa proprie de vibraţie exprimate îtr-o formă alterativă pri: f şi perioada proprie de vibraţie T pot fi g 1 g δ ω = f = T = π (.3) δ π δ g ude δ = mg k, iar g ee acceleraţia gravitaţioală. Valoarea δ reprezită deformarea elaică a uui siem SGL atuci câd asupra aceuia acţioează o forţă atică egală cu mg. eplasarea siemului SGL variază ître valoarea maximă u şi cea miimă u. Valoarea u se umeşte amplitudiea mişcării oscilatorii şi ee dată de: u ( ) u = u( ) + ω Amplitudiea oscilaţiilor depide de deplasarea iiţială u ( ) şi viteza iiţială ( ) proprietăţile ructurii ( ω ).... Vibraţii libere amortizate (.4) u, precum şi de Mişcarea uui siem cu u sigur grad de libertate diamică (de exemplu cadrul portal discutat aterior) sub acţiuea uei forţe diamice p(t) ee descrisă de ecuaţia (.6): mu + cu + ku = p( t). Î cazul vibraţiilor libere amortizate forţa perturbatoare lipseşte p(t)=, afel îcât ecuaţia de mişcare (.6) mu + cu + ku = p( t) devie: Împărţid ecuaţia (.5) cu m obţiem: mu + cu + ku = (.5) u + u + u = (.6) ξω ω ude ω = k m, coform defiiţiei aterioare şi c c ξ = = (.7) mω ccr 1
3 . iamica siemelor cu u sigur grad de libertate diamică Ne vom referi la valoarea k ccr = mω = km = (.8) ω pri coeficietul de amortizare critică, iar ξ ee fracţiuea di amortizare critică. Coeficietul de amortizare c ee o măsură a eergiei disipate de siem îtr-u ciclu de oscilaţii libere. Pe de altă parte, fracţiuea di amortizarea critică ξ ee o măsură adimesioală a amortizării, proprie uui siem şi care depide iclusiv de masa şi rigiditatea aceuia. Tipuri de mişcare Î Figura.1 sut prezetate deformaţiile u(t) ale uor sieme SGL supuse uei deplasări iiţiale u() petru trei valori ale ξ. acă c = c cr sau ξ = 1, siemul revie la poziţia de echilibru atic fără a efectua vreo oscilaţie. acă c > c cr sau ξ > 1, siemul revie la poziţia de echilibru atic fără a efectua vreo oscilaţie, la fel ca î cazul ξ = 1, dar mai let. acă c < c cr sau ξ < 1, siemul oscilează faţă de poziţia de echilibru atic cu amplitudii care scad î timp. Figura.1. Oscilaţii libere ale uor sieme cu amortizare subcritică, critică şi supracritică (Chopra, 1) Coeficietul c cr se umeşte coeficiet de amortizare critică deoarece aceaa ee valoarea cea mai mică a coeficietului de amortizare care preîtâmpiă complet oscilaţiile. Acea delimitează zoa ditre mişcarea oscilatorie şi cea eoscilatorie. Majoritatea ructurilor igiereşti (clădiri, poduri, baraje, ructuri marie, etc.) sut caracterizate de o amortizare subcritică (c < c cr ), cu fracţiui di amortizarea critică sub.1. e aceea, î cotiuare e vom referi doar la ace tip de sieme, î cotextul igieriei civile exiâd puţie raţiui petru udiul diamicii ructurilor cu amortizare critică (c = c cr ) sau a celor cu amortizare supracritică (c > c cr ). Sieme cu amortizare subcritică Soluţia ecuaţiei (.5) ţiâd cot de codiţiile iiţiale (.17) petru sieme cu c<c cr sau ξ < 1 ee: ude s-a folosit otaţia: u() () t u u( t) e ξω + ξω = u()cosωt + siωt ω (.9) = 1 (.3) ω ω ξ Se poate observa că îlocuid ξ = î ecuaţia (.9), aceaa se reduce la ecuaţia (.18), ce caracterizează sieme eamortizate. Ecuaţia (.9) reprezetâd oscilaţiile libere ale uui siem SGL cu o amortizare.5 ξ = sau 5% ee prezetată î Figura.13. Petru comparaţie ee iclusă şi reprezetarea oscilaţiilor uui siem SGL care 13
4 iamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.14] efectuează oscilaţii libere eamortizate. Oscilaţiile libere sut iiţiate de aceeaşi deplasare iiţială u () şi viteză iiţială u (). i ecuaţia (.9) şi Figura.13 se poate observa că frecveţa circulară a oscilaţiilor amortizate ee ω şi că aceaa depide de frecveţa circulară proprie a oscilaţiilor libere eamortizate ω pri itermediul relaţiei (.3). Î mod similar, perioada vibraţiilor amortizate T = π ω depide de perioada proprie a oscilaţiilor eamortizate T pri relaţia: T = T 1 ξ (.31) Figura.13. Comparaţie ître oscilaţii libere amortizate şi eamortizate (Chopra, 1). Î timp ce amplitudiea oscilaţiilor eamortizate ee aceeaşi î toate ciclurile, amplitudiea mişcării amortizate scade cu fiecare ciclu de oscilaţie. Ecuaţia (.9) idică faptul că amplitudiea mişcării amortizate scade expoeţial cu timpul. Îfăşurătoarea mişcării de oscilaţii amortizate ee ± ρe ξω t, ude: ( ) u + ξωu() ρ = u( ) + ω (.3) Amortizarea are ca efect reducerea frecveţei circulare de la ω la ω şi lugirea perioadei de vibraţie de la T la T. Ace efect ee eglijabil petru fracţiui di amortizarea critică sub % (vezi Figura.14), domeiu care iclude majoritatea ructurilor igiereşti. Efectul mai importat al amortizării ee cel asupra ratei de ateuare a oscilaţiilor libere, efect exemplificat î Figura.15. Figura.14. Efectul amortizării asupra perioadei proprii de vibraţie (Chopra, 1). 14
5 . iamica siemelor cu u sigur grad de libertate diamică Figura.15. Oscilaţii libere petru patru ivele ale amortizării: ξ = %, 5%,1% şi % Ateuarea mişcării Î cele ce urmează ee aalizată relaţia ître raportul ditre două vârfuri succesive ale mişcării de oscilaţie amortizată şi fracţiuea di amortizarea critică. Raportul ditre valoarea deplasării la timpul t şi cea care ee îregirată după o perioadă T ee idepedetă de t. Ace raport poate fi determiat di ecuaţia (.9): Folosid ecuaţiile (.31) şi (.) obţiem: u( t) = exp u( t + T ) ( ξω T ) u( t) πξ = exp u( t + T ) 1 ξ (.33) (.34) Ecuaţiile (.33) şi (.34) reprezită î acelaşi timp şi raportul ditre vârfurile succesive ale mişcării oscilatorii (vezi Figura.16) ui u i + 1, deoarece acee vârfuri au loc la itervale de timp egale cu T : ui u i+ 1 = exp πξ 1 ξ Logaritmul atural al aceui raport se umeşte decremet logaritmic şi ee otat pri δ : ui δ = l = u i+ 1 πξ 1 ξ (.35) (.36) Petru valori mici ale fracţiuii di amortizarea critică, 1 ξ 1, ceea ce coduce la relaţia aproximativă: δ πζ (.37) Figura.16. Vârfurile uei mişcări oscilatorii amortizate (Chopra, 1). 15
6 iamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.14] Î Figura.17 sut idicate relaţiile exacte şi aproximative ître decremetul logaritmic δ şi fracţiuea de amortizare critică ξ. Se poate cocluzioa că relaţia (.37) ee valabilă petru ξ <., caz care acoperă majoritatea situaţiilor practice. Î cazurile î care ateuarea mişcării se produce let, datorită uei amortizări mici a ructurii, ee utilă determiarea decremetului logaritmic pe baza uor vârfuri aflate la câteva perioade. Pe durata a j oscilaţii amplitudiea mişcării se dimiuează de la u 1 la u 1+j. Ace raport ee dat de: u u u u u u u u u u j = = 1+ j j e jδ e ude: ( j) ( u1 u1 + j ) δ = 1 l πξ (.38) Figura.17. Relaţia exactă şi cea aproximativă ître decremetul logaritmic şi fracţiuea de amortizare critică, (Chopra, 1). Îcercări de vibraţii libere amortizate Petru ructuri igiereşti practice, determiarea aalitică a fracţiuii di amortizarea critică ξ u ee posibilă, de aceea aceaă proprietate se determiă experimetal. Îcercările experimetale de oscilaţii libere amortizate pe ructuri reale reprezită ua ditre modalităţile de determiare practică a amortizării. Petru sieme cu o amortizare mică, fracţiuea di amortizarea critică poate fi determiată di relaţiile: 1 ui 1 u i ξ = l sau ξ = l π j u π j u i+ j i+ j (.39) Prima ditre acee relaţii ee echivaletă cu ecuaţia (.38), iar cea de-a doua ee o relaţie similară, fiid exprimată î termei de acceleraţie (mai uşor de îregirat experimetal decât deplasările), şi care poate fi demorată a fi adevărată petru ructuri slab amortizate..3. Vibraţii forţate Forţele diamice care pot fi aplicate ructurilor igiereşti au diverse forme. Î ace capitol vor fi aalizate două clase de acţiui diamice. Prima ditre aceea reprezită forţele care variază arbitrar î timp, spre exemplu cele de tip treaptă şi şoc. Cea de-a doua categorie de acţiui diamice sut forţele armoice şi periodice, care pot să apară, spre exemplu, ca urmare a fucţioării uor dispozitive rotative amplasate. 16
7 . iamica siemelor cu u sigur grad de libertate diamică.3.1. Răspusul diamic sub acţiuea uei forţe de tip treaptă şi rampă Spre deosebire de forţele perturbatoare armoice, răspusul diamic sub acţiuea uor forţe de tip treaptă, rampă sau impuls ee iflueţat îtr-o măsură foarte mică de amortizarea siemului. e aceea, răspusul diamic î acee di urmă cazuri va fi demorat î pricipal pe baza vibraţiilor eamortizate. Răspusul diamic sub acţiuea uei forţe de tip treaptă O forţă de tip treaptă ee exemplificată î Figura.18a şi ee defiită de următoarea relaţie: p( t ) = p t (.4) Folosid itegrala uhamel petru rezolvarea ecuaţiei de mişcare a uui siem SGL eamortizat se obţie: ude ( ) p π t u( t) = ( u ) ( 1 cosω ) 1 cos t = k T u = p k ee deformaţia atică sub acţiuea forţei p. (.41) Figura.18. U siem SGL (a), forţa de tip treaptă (b), răspusul diamic (c), Chopra, 1. eplasarea ormalizată u( t) ( u ) î raport cu timpul ormalizat t T ee reprezetată î Figura.18c. Se poate observa că siemul oscilează faţă de o ouă poziţie de echilibru, deplasată cu ( u ) faţă de poziţia iiţială u =. eplasarea maximă poate fi obţiută egalâd cu zero derivata ecuaţiei (.41) î raport cu timpul, ceea ce coduce la ω siω =. Aceaă ecuaţie are soluţia: t ω t = jπ sau j t = T (.4) eplasarea maximă corespude uor valori impare ale lui j, î timp ce valorile pare coduc la deplasări miime. Amplitudiea deplasării se obţie di ecuaţia (.41), îlocuid î aceaa valorile t di relaţia (.4): u ( u ) 17 = (.43) Rezultat care idică faptul că o forţă de tip treaptă aplicată diamic produce o deplasare care ee de două ori mai mare decât deplasarea datorată aceleiaşi forţe aplicată atic. Răspusul uui siem amortizat sub acţiuea forţei de tip treaptă poate fi obţiut evaluâd itegrala uhamel petru vibraţii amortizate, ceea ce coduce la: ξω ξ u( t) = ( u ) 1 t e cosωt + siωt 1 ξ (.44) Răspusul diamic al siemului amortizat ee reprezetat î Figura.18 cu liii îtrerupte petru două valori ale fracţiuii di amortizarea critică. Efectul amortizării ee o depăşire mai mică a mişcării faţă de
8 iamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.14] poziţia atică şi o descreştere î timp a vibraţiilor. Valoarea amortizării cotrolează mărimea depăşirii şi rata cu care scad amplitudiile vibraţiilor. upă u timp suficiet de mare, vibraţiile îcetează, fapt care reprezită adiul aţioar. Răspusul diamic sub acţiuea uei forţe de tip rampă O forţă de tip rampă ee exemplificată î Figura.19a şi ee defiită de următoarea relaţie: t p( t ) = p t (.45) t Folosid itegrala uhamel petru rezolvarea ecuaţiei de mişcare a uui siem SGL eamortizat se obţie: ude ( ) t siωt t T si π t T u( t) = ( u ) ( ) = u tr ωtr T tr π tr T u = p k ee deformaţia atică sub acţiuea forţei p. r (.46) Ecuaţia (.46) ee reprezetată grafic î Figura.19c petru t r /T =.5, împreuă cu deformaţia atică î mometul t: ( ) p t t u ( t) = ( u ) k = t (.47) Se poate observa că siemul diamic oscilează cu perioada T faţă de poziţia de echilibru atic. r (a) (b) (c) Figura.19. U siem SGL (a), forţa de tip rampă (b), răspusul diamic şi cel atic (c), Chopra, 1. Răspusul diamic sub acţiuea uei forţe de tip treaptă cu creştere fiită eoarece î realitate o forţă u poate fi aplicată iataeu, prezită iteres aaliza răspusului diamic al uei forţe care are o creştere fiită t r, dar rămâe coată după atigerea aceei valori. O afel de forţă ee exemplificată î Figura.a: ( ) p t ( ) p t tr t t = p t tr r (.48) Aceaă acţiue diamică are două faze: faza de rampă şi faza coată. Expresia deplasării î faza de rampă ee cea idetică relaţiei (.46): t siωt u( t) = ( u ) t t tr ωtr iar răspusul î faza coată poate fi determiat îlocuid relaţia (.48) î ecuaţia (.15): r (.49) 18
9 . iamica siemelor cu u sigur grad de libertate diamică 1 u( t) = ( u ) 1 siω t siω ( t t ) t t r r ωtr (.5) (a) (b) Figura.. U siem SGL (a), forţa de tip treaptă cu creştere fiită (b), Chopra, 1. Figura.1. Răspusul diamic şi cel atic al uui siem SGL sub acţiuea uei forţe tip treaptă cu creştere fiită (Chopra, 1). eplasarea ormalizată u( t) ( u ) ee o fucţie de timpul ormalizat t T, deoarece ωt π ( t T ) Aceaă fucţie depide doar raportul t r /T, deoarece ω t π ( t T ) r r =. = şi u separat de t r şi T. Aceaă ecuaţie ee reprezetată î Figura.1 petru câteva valori ale raportului t r /T ditre timpul de creştere a 19
10 iamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.14] forţei şi perioada proprie a siemului, împreuă cu răspusul atic ( ) ( ) u t = p t k. Acee rezultate permit următoarele observaţii: Î timpul creşterii forţei (faza de rampă) siemul oscilează faţă de poziţia de echilibru atic cu perioada proprie de vibraţie T Petru zoa de forţă coată (faza coată) siemul se comportă similar, oscilâd faţă de poziţia de echilibru atic cu perioada proprie de vibraţie T u t =, siemul u oscilează î timpul fazei de acă viteza ee egală cu zero la fialul fazei de rampă ( ) forţă coată Petru valori mici ale raportului t r /T (timpi mici de creştere a forţei) răspusul ee similar cu cel datorat uei forţe de tip treaptă (vezi Figura.c) Petru valori mari ale raportului t r /T răspusul diamic ee apropiat de poziţia de echilibru atic, ceea ce semifică u efect diamic scăzut. r
Dinamica structurilor şi inginerie seismică. Note de curs. Aurel Stratan
Diamica structurilor şi igierie seismică Note de curs Aurel Strata Timişoara 204 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] http://www.ct.upt.ro/users/aurelstrata/ Cupris. INTRODUCERE... 2. DINAMICA
Διαβάστε περισσότερα5. Sisteme cu mai multe grade de libertate dinamică
Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.04] http://www.ct.upt.ro/users/aurelstrata/ 5. Sisteme cu mai multe grade de libertate diamică 5.. Ecuaţii de mişcare, formularea problemei, metode de rezolvare
Διαβάστε περισσότεραTEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi
Διαβάστε περισσότερα4. Ecuaţii diferenţiale de ordin superior
4.. Ecuaţii liiare 4. Ecuaţii difereţiale de ordi superior O problemã iportatã este rezolvarea ecuaţiilor difereţiale de ordi mai mare ca. Sut puţie ecuaţiile petru care se poate preciza forma aaliticã
Διαβάστε περισσότερα6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă
Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi
Διαβάστε περισσότεραSEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Διαβάστε περισσότεραCapitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica
Capitole fudametale de algebra si aaliza matematica 01 Aaliza matematica MULTIPLE CHOICE 1. Se cosidera fuctia. Atuci derivata mixta de ordi data de este egala cu. Derivata partiala de ordi a lui i raport
Διαβάστε περισσότεραLaborator 4 Interpolare numerica. Polinoame ortogonale
Laborator 4 Iterpolare umerica. Polioame ortogoale Resposabil: Aa Io ( aa.io4@gmail.com) Obiective: I urma parcurgerii acestui laborator studetul va fi capabil sa iteleaga si sa utilizeze diferite metode
Διαβάστε περισσότεραCALCULUL BARELOR CURBE PLANE
CPITOLUL 0 CLCULUL BRELOR CURBE PLE 0.. Tesiui î bare curbe plae. Formula lui Wikler Barele curbe plae sut bare care au axa geometrică o curbă plaă. Vom stuia bare curbe plae cu raza e curbură costată,
Διαβάστε περισσότεραStatisticǎ - curs 2. 1 Parametrii şi statistici ai tendinţei centrale 2. 2 Parametrii şi statistici ai dispersiei 5
Statisticǎ - curs Cupris Parametrii şi statistici ai tediţei cetrale Parametrii şi statistici ai dispersiei 5 3 Parametrii şi statistici factoriali ai variaţei 8 4 Parametrii şi statistici ale poziţiei
Διαβάστε περισσότερα7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE
7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 7. NOŢIUNI GENERALE. TEOREMA DE EXISTENŢĂ ŞI UNICITATE Pri ecuaţia difereţială de ordiul îtâi îţelegem o ecuaţie de forma: F,, = () ude F este o fucţie reală
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότεραMinisterul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Miisterul Educaţiei Națioale Cetrul Naţioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat aţioal 08 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Clasa a XI-a Toate subiectele sut obligatorii Se acordă 0 pucte di oficiu
Διαβάστε περισσότεραa) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.
Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)
Διαβάστε περισσότεραCOMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi
OMBINATORIĂ Mulţimile ordoate care se formează cu elemete di elemete date se umesc permutări. P =! Proprietăţi 0! = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! =!! =!! =! +... Submulţimile ordoate care se formează cu elemete
Διαβάστε περισσότεραOlimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1
Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0)1 317 36 50 Fax: +40 (0)1 317 36 54 Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală -00016 Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se
Διαβάστε περισσότεραAnaliza matematica Specializarea Matematica vara 2010/ iarna 2011
Aaliza matematica Specializarea Matematica vara 010/ iara 011 MULTIPLE HOIE 1 Se cosidera fuctia Atuci derivata mita de ordi data de este egala cu 1 y Derivata partiala de ordi a lui i raport cu variabila
Διαβάστε περισσότεραFormula lui Taylor. 25 februarie 2017
Formula lui Taylor Radu Trîmbiţaş 25 februarie 217 1 Formula lui Taylor I iterval, f : I R o fucţie derivabilă de ori î puctul a I Poliomul lui Taylor de gradul, ataşat fucţiei f î puctul a: (T f)(x) =
Διαβάστε περισσότερα4.1. Mişcarea seismică
4. Răspsl seismic al sistemelor c sigr grad de libertate diamică 4. Răspsl seismic al sistemelor c sigr grad de libertate diamică 4.1. Mişcarea seismică Reprezetarea cea mai zală a mişcării seismice î
Διαβάστε περισσότεραAnaliza bivariata a datelor
Aaliza bivariata a datelor Aaliza bivariata a datelor! Presupue masurarea gradului de asoiere a doua variabile sub aspetul: Diretiei (aturii) Itesitatii Semifiatiei statistie Variabilele omiale Tabele
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραSunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn.
86 ECUAŢII 55 Vriile letore discrete Sut vriile letore cre iu o ifiitte umărilă de vlori Digrm uei vriile letore discrete re form f, p p p ude p = = Distriuţi Poisso Are digrm 0 e e e e!!! Se costtă că
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5..8 Ecuaţia difereţială Riccati Ecuaţia difereţială de ordiul îtâi de forma: d q( ) p( ) r( ) d + + (4) r sut fucţii cotiue pe u iterval, cuoscute, iar fucţia ude q( ), p ( ) şi ( ) este ecuoscuta se
Διαβάστε περισσότεραInegalitati. I. Monotonia functiilor
Iegalitati I acest compartimet vor fi prezetate diverse metode de demostrare a iegalitatilor, utilizad metodele propuse vor fi demostrate atat iegalitati clasice precum si iegalitati propuse la diferite
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραFIZICĂ. Oscilatii mecanice. ş.l. dr. Marius COSTACHE
FIZICĂ Oscilatii mecanice ş.l. dr. Marius COSTACHE 3.1. OSCILAŢII. Noţiuni generale Oscilaţii mecanice Oscilaţia fenomenul fizic în decursul căruia o anumită mărime fizică prezintă o variaţie periodică
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραCURS III, IV. Capitolul II: Serii de numere reale. a n sau cu a n. Deci lungimea segmentului este suma lungimilor sub-segmentelor obţinute, adică
Capitolul II: Serii de umere reale Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC CURS III, IV Capitolul
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραREZOLVAREA NUMERICĂ A ECUAŢIILOR ŞI SISTEMELOR DE ECUAŢII ALGEBRICE NELINIARE
REZOLVAREA NUMERICĂ A ECUAŢIILOR ŞI SISTEMELOR DE ECUAŢII ALGEBRICE NELINIARE Forma geerală a ecuaţiei: cu : I R R Î particular poliom / adus la o ormă poliomială dar şi ecuaţiile trascedete Rezolvarea
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραSTUDIUL MISCARII OSCILATORII CU AJUTORUL PENDULULUI DE TORSIUNE
STUDIUL MISCRII OSCILTORII CU JUTORUL PENDULULUI DE TORSIUNE 1. Scopul lucrării: I. naliza oscilatiilor libere: 1. determinarea momentului de torsiune prin metoda statică şi prin metoda dinamică;. determinarea
Διαβάστε περισσότεραMODELAREA MATEMATICĂ A SISTEMELOR CONTINUE
MODELAREA MATEMATICĂ A SISTEMELOR CONTINUE OBIECTIVE Aaliza sistemelor de ordiul doi folosid modele matematice Calculul polilor şi zerourilor fucţiei de trasfer Reducerea schemelor bloc 41 Itroducere Aaliza
Διαβάστε περισσότεραa. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie)
Caracteristica mecanică defineşte dependenţa n=f(m) în condiţiile I e =ct., U=ct. Pentru determinarea ei vom defini, mai întâi caracteristicile: 1. de sarcină, numită şi caracteristica externă a motorului
Διαβάστε περισσότεραSTUDIUL MISCARII OSCILATORII FORTATE
STUDIUL MISCARII OSCILATORII FORTATE Scopul lucrării: În acestă lucrare se studiază mişcarea oscilatorie forţată a unei coloane de lichid, aflată sub acţiunea unei forţe exterioare periodice. Se determină
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραSeminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n.
Semir 3 Serii Probleme rezolvte Problem 3 Să se studieze tur seriei Soluţie 3 Avem ieglitte = ) u = ) ) = v, Seri = v este covergetă fiid o serie geometrică cu rţi q = < Pe bz criteriului de comprţie cu
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότεραSala: 2103 Decembrie 2014 CURS 10: ALGEBRĂ
Sala: 203 Decembrie 204 Cof. uiv. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 0: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs u a fost supus uui proces riguros de recezare petru a fi oficial publicat. distribuit
Διαβάστε περισσότεραîn care suma termenilor din fiecare grup este 0, poate conduce la ideea că valoarea acestei sume este 0. De asemenea, gruparea în modul
Capitolul 3 SERII NUMERICE Date fiid umerele reale x 0, x,..., x, î umăr fiit, suma lor x 0 + x +... + x se poate calcula fără dificultate, după regulile uzuale. Extiderea oţiuii de sumă petru mulţimi
Διαβάστε περισσότερα5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Διαβάστε περισσότεραPROBLEME CU PARTEA ÎNTREAGĂ ŞI
PROBLEME CU PARTEA ÎNTREAGĂ ŞI PARTEA FRACŢIONARĂ. Să se rezolve ecuaţia {x} {008 x} =.. Fie r R astfel ca r 9 ] 00 Determiaţi 00r]. r 0 ] r ]... r 9 ] = 546. 00 00 00 Cocurs AIME (SUA), 99. Câte ditre
Διαβάστε περισσότερα4.7. Stabilitatea sistemelor liniare cu o intrare şi o ieşire
4.7. Sbilie sisemelor liire cu o irre şi o ieşire Se spue că u sisem fizic relizbil ese sbil fţă de o siuţie de echilibru sţior, dcă sub cţiue uei perurbţii eeriore (impuls Dirc) îşi părăseşe sre de echilibru
Διαβάστε περισσότεραMiscarea oscilatorie armonica ( Fisa nr. 2 )
Miscarea oscilatorie armonica ( Fisa nr. 2 ) In prima fisa publicata pe site-ul didactic.ro ( Miscarea armonica) am explicat parametrii ce definesc miscarea oscilatorie ( perioda, frecventa ) dar nu am
Διαβάστε περισσότεραCLASA a V-a CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ EDIŢIA A IV-A MAI I. Să se determine abcd cu proprietatea
EDIŢIA A IV-A 4 6 MAI 004 CLASA a V-a I. Să se determie abcd cu proprietatea abcd - abc - ab -a = 004 Gheorghe Loboţ II Comparaţi umerele A B ude A = 00 00 004 004 şi B = 00 004 004 00. Vasile Şerdea III.
Διαβάστε περισσότεραSTUDIUL OSCILAŢIILOR LIBERE ŞI A OSCILAŢIILOR FORŢATE FOLOSIND PENDULUL POHL
STUDIUL OSCILAŢIILOR LIBERE ŞI A OSCILAŢIILOR FORŢATE FOLOSIND PENDULUL POHL 1. Introducere În acestă lucrare veţi studia caracteristicile mişcării oscilatorii libere şi ale mişcării oscilatorii forţate
Διαβάστε περισσότεραa. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %
1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul
Διαβάστε περισσότερα(k= constanta elastică a resortului, = coeficientul de frecare vâscoasă al mediului). Fig.3.1 Oscilaţii amortizate. m 2
CURS 3 OSCILAŢII 3.1 Oscilaţii amortizate Un sistem real aflat în mişcarea oscilatorie întâmpină o anumită rezistenţă din partea mediului în care oscilează efectuează oscilaţii amortizate = amplitudinea
Διαβάστε περισσότερα1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE
. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE. Eerciţii rezolvte Eerciţiul Stbiliţi dcă următorele şiruri sut fudmetle: ), N 5 b) + + + +, N * c) + + +, N * cos(!) d), N ( ) e), N Soluţii p p ) +p - < şi mjortul este
Διαβάστε περισσότεραFENOMENE TRANZITORII Circuite RC şi RLC în regim nestaţionar
Pagina 1 FNOMN TANZITOII ircuite şi L în regim nestaţionar 1. Baze teoretice A) ircuit : Descărcarea condensatorului ând comutatorul este pe poziţia 1 (FIG. 1b), energia potenţială a câmpului electric
Διαβάστε περισσότεραSUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare
SUBGRUPURI CLASICE. SUBGRUPURI recapitulare Defiiţia. Fie (G, u rup şi H o parte evidă a sa. H este subrup al lui G dacă:. H este parte stabilă a lui G;. H îzestrată cu operaţia idusă este rup. Teorema.
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραTEMA 10 TESTE DE CONCORDANŢĂ
TEMA 0 TESTE DE CONCORDANŢĂ Obiective Cuoaşterea coceptelor reritoare la testele de cocordaţă Aaliza pricipalelor teste de cocordaţă Aplicaţii rezolvate Aplicaţii propuse Cupris 0. Cocepte reritoare la
Διαβάστε περισσότεραCANALE DISCRETE DE TRANSMISIUNI
CAPITOLUL 2 CANALE DISCRETE DE TRANSMISIUNI 2.. Model ateatic de caal discret de trasisiui Î acest odel trebuie precizate ulţiile sibolurilor aplicate la itrarea caalului, ale sibolurilor recepţioate la
Διαβάστε περισσότεραClasa a IX-a. 1. Rezolvaţi în R ecuaţiile: (3p) b) x x x Se consideră mulţimile A = { }, (2p) a) Determinaţi elementele mulţimii A
1 Rezolvaţi î R ecuaţiile: (4p) a) x 1 5 = 8 (3p) b) Clasa a IX-a x 1 x x 1 + + + =, N x x x Se cosideră mulţimile A = { }, A = { 3,5}, A { 7, 9,11}, 1 1 3 = (p) a) Determiaţi elemetele mulţimii A 6 (3p)
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραMARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL IV CALCULUL DIFERENŢIAL PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILA REALĂ
CAPITOLUL IV CALCULUL DIFEENŢIAL PENTU FUNCŢII EALE DE O VAIABILA EALĂ Fucţii derivabile Fucţii difereţiabile Derivata şi difereţiala sut duă ccepte fudametale ale matematicii, care reprezită siteză pe
Διαβάστε περισσότεραlim = dacă se aplică teorema lui 3. Derivate de ordin superior. Aplicaţii.
5 Petru limita determiată: 2 + lim = dacă se aplică terema lui LHspital: 2 + 2 lim = lim = rezultatul este icrect. 3. Derivate de rdi superir. Aplicaţii. Fie A R mulţime care îşi cţie puctele de acumulare
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Διαβάστε περισσότεραTEMA 1: FUNCȚII LINIARE. Obiective:
TEMA : FUNCȚII LINIARE TEMA : FUNCȚII LINIARE Obiective: Defiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale fucţiei, ecuaţiei şi iecuaţiei de gradul Cuoaşterea uor elemete de geometrie aalitică a dreptei
Διαβάστε περισσότεραRĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,
REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii
Διαβάστε περισσότεραCurs 12. Intervale de încredere Intervale de încredere pentru medie în cazul σ cunoscut
Curs Itervale de îcredere Am văzut cum poate fi estimat u parametru folosid datele furizate de u eşatio Parametrul di populaţie u este, î geeral, egal cu statistica calculată cu ajutorul eşatioului Ne
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 DIODE. CIRCUITE DR
Curs 2 OE. CRCUTE R E CUPRN tructură. imbol Relația curent-tensiune Regimuri de funcționare Punct static de funcționare Parametrii diodei Modelul cu cădere de tensiune constantă Analiza circuitelor cu
Διαβάστε περισσότεραTema: şiruri de funcţii
Tem: şiruri de fucţii. Clculţi limit (simplă) şirului de fucţii f : [ 0,], f ( ) R Avem lim f ( 0) = ir petru 0, vem lim f ( ) Î cocluzie, dcă otăm f: [ 0, ], f ( ) =, = 0 =, 0 + + = +, tuci lim f f =..
Διαβάστε περισσότερα10. STABILIZATOAE DE TENSIUNE 10.1 STABILIZATOAE DE TENSIUNE CU TANZISTOAE BIPOLAE Stabilizatorul de tensiune cu tranzistor compară în permanenţă valoare tensiunii de ieşire (stabilizate) cu tensiunea
Διαβάστε περισσότεραLaborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
Διαβάστε περισσότερα5.1. ŞIRURI DE FUNCŢII
Modulul 5 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII Subiecte :. Şiruri de fucţii.. Serii de fucţii. 3. Serii de puteri. Evaluare :. Covergeţa puctuală şi covergeţa uiformă la şiruri şi serii de fucţii.. Teorema lui Abel.
Διαβάστε περισσότεραCursul 7. Spaţii euclidiene. Produs scalar. Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt. Baze ortonormate
Lector uv dr Crsta Nartea Cursul 7 Spaţ eucldee Produs scalar Procedeul de ortogoalzare Gram-Schmdt Baze ortoormate Produs scalar Spaţ eucldee Defţ Exemple Defţa Fe E u spaţu vectoral real Se umeşte produs
Διαβάστε περισσότεραPartea întreagă, partea fracţionară a unui număr real
Cocursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpiciro Ediția a IV-a 0-0 Partea îtreagă, partea fracţioară a uui umăr real ABSTRACT: Materialul coţie câteva proprietăţi şi rezultate legate de partea îtreagă şi
Διαβάστε περισσότερα6.1. DERIVATE ŞI DIFERENŢIALE PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILĂ REALĂ. APLICAŢII
7 7 Modulul 6 APLICAŢII DIFERENŢIABILE Subiecte : Derivate şi difereţiale petru fucţii reale de o variabilă reală Formula lui Taylor şi Mac-Lauri petru fucţii de o variabilă reală Serii Taylor 3 Derivate
Διαβάστε περισσότερα4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica
Διαβάστε περισσότεραREZOLVAREA NUMERICĂ A ECUAŢIILOR ŞI SISTEMELOR DE ECUAŢII DIFERENŢIALE ORDINARE
REZOLVAREA NUMERICĂ A ECUAŢIILOR ŞI SISTEMELOR DE ECUAŢII DIFERENŢIALE ORDINARE. Aspecte itroductive Studiul comportametului diamic al sistemelor fizice modele matematice sub forma ecuaţiilor sau sistemelor
Διαβάστε περισσότεραsistemelor de algebrice liniarel
Uivesitatea Tehică a Moldovei Facultatea de Eergetică Catedra Electroeergetica Soluţioarea sistemelor de ecuaţii algebrice liiarel lect.uiv. Victor Gropa «Programarea si Utilizarea Calculatoarelor I» Cupris
Διαβάστε περισσότεραLucrul mecanic şi energia mecanică.
ucrul mecanic şi energia mecanică. Valerica Baban UMC //05 Valerica Baban UMC ucrul mecanic Presupunem că avem o forţă care pune în mişcare un cărucior şi îl deplasează pe o distanţă d. ucrul mecanic al
Διαβάστε περισσότεραPolinoame Fibonacci, polinoame ciclotomice
Polioame Fiboacci, polioame ciclotomice Loredaa STRUGARIU, Cipria STRUGARIU 1 Deoarece şirul lui Fiboacci este cuoscut elevilor îcă dicl.aix-a,iarrădăciile de ordiul ale uităţii şi polioamele ciclotomice
Διαβάστε περισσότερα3. Serii de puteri. Serii Taylor. Aplicaţii.
Fucţiile f ( ) cos t = sut de clasă C pe R cu α si derivatelor satisface codiţiile: α f ' ( ) si = şi seria ' ( ), α α f R cu = b α ' coverge petru α > f este (ormal covergetă) absolut şi uiform covergetă
Διαβάστε περισσότεραProblema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice
Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 2 ŞIRURI DE NUMERE REALE. 2.1 Proprietăţi generale Moduri de definire a unui şir. (x n ) n 0 : x n =
Capitolul 2 ŞIRURI DE NUMERE REALE 2. Proprietăţi geerale Fie A = o mulţime dată. Se umeşte şir de elemete di A o fucţie f : N A. Dacă A = R, şirul respectiv se va umi şir de umere reale, şir umeric sau,
Διαβάστε περισσότεραValori limită privind SO2, NOx şi emisiile de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili
Anexa 2.6.2-1 SO2, NOx şi de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili de bioxid de sulf combustibil solid (mg/nm 3 ), conţinut de O 2 de 6% în gazele de ardere, pentru
Διαβάστε περισσότερα2. STATICA FLUIDELOR. 2.A. Presa hidraulică. Legea lui Arhimede
2. STATICA FLUIDELOR 2.A. Presa hidraulică. Legea lui Arhimede Aplicația 2.1 Să se determine ce masă M poate fi ridicată cu o presă hidraulică având raportul razelor pistoanelor r 1 /r 2 = 1/20, ştiind
Διαβάστε περισσότεραIV. CUADRIPOLI SI FILTRE ELECTRICE CAP. 13. CUADRIPOLI ELECTRICI
V. POL S FLTE ELETE P. 3. POL ELET reviar a) Forma fundamentala a ecuatiilor cuadripolilor si parametrii fundamentali: Prima forma fundamentala: doua forma fundamentala: b) Parametrii fundamentali au urmatoarele
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότεραDETERMINAREA PUTERILOR MATRICELOR
DETERMINAREA PUTERILOR MATRICELOR IOANA MONICA MAŞCA Prezetăm mai multe procedee de calcul al puterilor matricelor ilustrate pri probleme cu soluţii cometate. Putem realiza selecţii de metode şi/sau exemple
Διαβάστε περισσότερα1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB
1.7. AMLFCATOARE DE UTERE ÎN CLASA A Ş AB 1.7.1 Amplificatoare în clasa A La amplificatoarele din clasa A, forma de undă a tensiunii de ieşire este aceeaşi ca a tensiunii de intrare, deci întreg semnalul
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII
Capitolul 8 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII 8. Şiruri de fucţii Fie D R, D = şi fie f 0, f, f 2,... fucţii reale defiite pe mulţimea D. Şirul f 0, f, f 2,... se umeşte şir de fucţii şi se otează cu ( f ) 0.
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότερα1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE
ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE Noţiui teoretice şi rezultate fudametale Şiruri de umere reale Presupuem cuoscute oţiuile de bază despre mulţimea N a umerelor aturale, mulţimea Z a umerelor îtregi, mulţimea
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραLucrul si energia mecanica
Lucrul si energia mecanica 1 Lucrul si energia mecanica I. Lucrul mecanic este produsul dintre forta si deplasare: Daca forta este constanta, atunci dl = F dr. L 1 = F r 1 cos α, unde r 1 este modulul
Διαβάστε περισσότεραExamenul de bacalaureat nańional 2013 Proba E. c) Matematică M_mate-info. log 2 = log x. 6 j. DeterminaŃi lungimea segmentului [ AC ].
Miisterul EducaŃiei, Cercetării, Tieretului şi Sportului Cetrul NaŃioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat ańioal 0 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Filiera teoretică, profilul real, specializarea
Διαβάστε περισσότεραCapitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25
Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25 LAGĂRELE CU ALUNECARE!" 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.!" 25.2.Funcţionarea lagărelor cu alunecare.! 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.
Διαβάστε περισσότεραPENTRU CERCURILE DE ELEVI
122 Petru cercurile de elevi PENTRU CERCURILE DE ELEVI Petru N, otăm: POLINOAME CICLOTOMICE Marcel Ţea 1) U = x C x = 1} = cos 2kπ + i si 2kπ } k = 0, 1. Mulţimea U se umeşte mulţimea rădăciilor de ordi
Διαβάστε περισσότερα3.1. DEFINIŢII. PROPRIETĂŢI
Modulul 3 SERII NUMERICE Subiecte :. Criterii de covergeţă petşru serii cu termei oarecare. Serii alterate 3. Criterii de covergeţă petru serii cu termei poziţivi Evaluare. Criterii de covergeţă petru
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 4 SPAŢII VECTORIALE EUCLIDIENE/UNITARE Produs scalar. Spaţii euclidiene şi spaţii unitare-definiţie
Spaţii vectoriale euclidiee/uitare CAPITOLUL 4 SPAŢII VECTORIALE EUCLIDIENE/UNITARE 4.. Produs scalar. Spaţii euclidiee şi spaţii uitare-defiiţie Defiiţia 4... Fie V u spaţiu vectorial peste corpul K (K=R
Διαβάστε περισσότεραErori si incertitudini de măsurare. Modele matematice Instrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măsurand instrument:
Erori i incertitudini de măurare Sure: Modele matematice Intrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măurandintrument: (tranfer informaţie tranfer energie) Influente externe: temperatura, preiune,
Διαβάστε περισσότερα