ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems
|
|
- Δημήτριος Παπαστεφάνου
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Ανάλυση Ουράς Αναμονής M/G/1 Αρχές Ανάλυσης Ουράς M/G/1 Ενσωματωμένη Αλυσίδα Markov (Embedded Markov Chain) Τύποι Pollaczeck - Khinchin (P-K) για Ουρές M/G/1 Μέσες Τιμές Επίδοσης M/G/1 Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr 14/6/2017
2 ΝΟΜΟΙ ΣΥΝΟΛΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ (1/2) (επανάληψη) ΕΡΓΟΔΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ M/G/N/K: ΙΔΙΟΤΗΤΑ PASTA Συνολική Πιθανότητα Γεγονότος Α σαν άθροισμα υπό Συνθήκη Πιθανοτήτων του συνόλου Διακριτής Μεταβλητής n =k : P(A) = P A n = k P(n = k) k= Συνολική Πιθανότητα Τυχαίας Μεταβλητής Y σαν Ολοκλήρωμα υπό Συνθήκη Πιθανοτήτων του συνόλουυ Συνεχούς Τυχαίας Μεταβλητής X = x: P Y = P Y X = x f X dx, E Y = E Y X = x f X dx = E X [E Y X ] x= x= Θεωρείστε διάστημα T διαιρεμένο σε μη επικαλυπτόμενα υποδιαστήματα T 1, τ, T 2 και αφίξεις Poisson με μέσο ρυθμό λ αφίξεις/sec Η πιθανότητα k αφίξεων σε διάστημα t είναι P k t = e λt λt k, k = 0,1,2,3,, E t k = σ 2 t k = λt k! Αν υποθέσουμε πως έχουμε μια άφιξη Poisson R στο T με πιθανότητα P 1 T υποδιάστημα τ με πιθανότητα: = e λt (λt). Η άφιξη αυτή θα συμβεί στο P 1 άφιξη Poisson στο τ 1 άφιξη Poisson στο T} = [P 0 (T 1 ) P 1 (τ) P 0 (T 2 )]/P 1 (T) = λτe λ T 1+τ+T 2 λte λt = τ T
3 ΝΟΜΟΙ ΣΥΝΟΛΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ (2/2) (επανάληψη) ΕΡΓΟΔΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ M/G/N/K: ΙΔΙΟΤΗΤΑ PASTA Συνολική Πιθανότητα Γεγονότος Α σαν άθροισμα υπό Συνθήκη Πιθανοτήτων του συνόλου Διακριτής Μεταβλητής n =k : P(A) = P A n = k P(n = k) k= Συνολική Πιθανότητα Τυχαίας Μεταβλητής Y σαν Ολοκλήρωμα υπό Συνθήκη Πιθανοτήτων του συνόλουυ Συνεχούς Τυχαίας Μεταβλητής X = x: P Y = P Y X = x f X dx, E Y = E Y X = x f X dx = E X [E Y X ] x= x= Θεωρείστε διάστημα T διαιρεμένο σε μη επικαλυπτόμενα υποδιαστήματα T 1, τ, T 2 και αφίξεις Poisson με μέσο ρυθμό λ αφίξεις/sec Η πιθανότητα k αφίξεων σε διάστημα t είναι P k t = e λt λt k, k = 0,1,2,3,, E t k = σ 2 t k = λt k! Αν υποθέσουμε πως έχουμε μια άφιξη Poisson R στο T με πιθανότητα P 1 T υποδιάστημα τ με πιθανότητα: = e λt (λt). Η άφιξη αυτή θα συμβεί στο P 1 άφιξη Poisson στο τ 1 άφιξη Poisson στο T} = [P 0 (T 1 ) P 1 (τ) P 0 (T 2 )]/P 1 (T) = λτe λ T 1+τ+T 2 Οι αφίξεις Poisson έχουν τη συμπεριφορά τυχαίων αφίξεων (Poisson Arrivals ~ Random Arrivals) λte λt Ιδιότητα PASTA (Poisson Arrivals See Time Averages): Η εργοδική κατανομή (και ο μέσος όρος) της κατάστασης S ουράς M/G/N/K (εφόσον υπάρχει) εκτιμάται σαν ο μακροχρόνιος λόγος του συνολικού χρόνου τ S που η κατάσταση έχει την συγκεκριμένη τιμή S προς το συνολικό διάστημα παρατήρησης T. Οι εκτιμήσεις αυτές μπορεί να προκύψουν από καταγραφή της κατάστασης σε χρονικά σημεία αφίξεων Poisson με ενιαίο ρυθμό λ: τ S P n t = S = lim T T = lim A A S A Αρ. Αφίξεων Poisson όταν n t = S, στο συνολικό διάστημα τ S Αρ. Αφίξεων Poisson στο συνολικό διάστημα T = τ T
4 ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΝΑΝΕΩΣΗΣ (επανάληψη) Renewal Theory: Basic Definitions Στατιστικά Μοντέλα Χρόνου Ζωής (Life-Time), Αποτυχίας (Failure-Times), Αποκατάστασης (Repair-Times) Βασική παραδοχή: Τα διαστήματα μεταξύ διαδοχικών Σημείων Ανανέωσης (renewals που ορίζουν το Χρόνο Ζωής) είναι συνεχείς τυχαίες μεταβλητές S με τιμές x 0, ανεξάρτητες μεταξύ τους, με την ίδια κατανομή F S x (i.i.d. - independent & identically distributed random variables), συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f S x, μέση τιμή E S και διασπορά σ 2 S = E S 2 E S 2 : P S x dx, x = f S x dx, F S x = P S x = f S t dt, x E S = tf S t dt, E S 2 = t 2 f S t dt Ένας άσχετος παρατηρητής του συστήματος σε τυχαίο χρονικό σημείο R (Random Point που σύμφωνα με την ιδιότητα PASTA ισοδυναμεί με τυχαία άφιξη Poisson) έχει πιθανότητα να βρεθεί σε διάστημα Χ με προτίμηση ανάλογη με το μέγεθος του διαστήματος x. Η απόσταση Y από το σημείο αυτό μέχρι το επόμενο renewal αποτελεί τον Υπολειπόμενο Χρόνο Ζωής (Residual Life) Renewal Paradox: Η τυχαία μεταβλητή Χ (το μέγεθος του διαστήματος τυχαίας επιλογής) έχει πυκνότητα πιθανότητας f Χ x διαφορετική από την f S x P R x S =x = K x (τυχαία επιλογή ανάλογη με το μέγεθος του διαστήματος x) x F X x = P X x = P R t S = t f S t dt = K t f S t dt f X x = df X x dx = K x f S x, f X x dx x=0 x = 1 = K xf S x dx x=0 f X x = xf S x /E S, E X = E(S 2 ) E(S) K = 1/E S και τελικά
5 ΥΠΟΛEΙΠΟΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ ΖΩΗΣ (επανάληψη) Residual Life & Renewal Paradox Επιλογή διαστήματος X = x από παρατηρητή που εμφανίζεται σε σημείο Poisson R: f X x = xf S x E S Ο Υπολειπόμενος Χρόνος Ζωής είναι τυχαία μεταβλητή Y με πυκνότητα πιθανότητας f Y y P Y y dy, y X =x = P{R dy} = K dy = dy/x P{R x} K x και από τον τύπο της συνολικής πιθανότητας P Y y dy, y = f Y y dy = y=0 y=0 x=y dy x f X x dx = x=y f Y y = 1 F S y E(S) Μέσος Υπολειπόμενος Χρόνος Ζωής (Mean Residual Life): E Y = y f Y y dy = y 1 F S y dy = 1 E(S) E S = 1 E S x=0 x f S x y dy E Y y=0 = E S2 2E S dx = 1 E S f S x E(S) dy y=0 f S x=0 dx = dy E(S) x=y y f S x dx x=y x x2 2 = σ 2 S + E S 2 E S 2E S 2 f S dx = E S2 2E S dy x dx = 1 F S y E(S) = σ 2 S + E S 2 2E S dy Renewal Paradox: Τυχαία ενδιάμεση παρατήρηση R «προτιμά» κατά μέσο όρο μεγάλα διαστήματα S Για σταθερά διαστήματα S: E S = S = 1/μ, σ S2 = 0, E Y = S 2 = 1/(2μ) και η μέση τιμή του «προτιμώμενου» διαστήματος είναι E X = E S (αναμενόμενο, χωρίς προκαταλήψεις λόγω απολύτως προβλέψιμου S) Για εκθετικά διαστήματα S: E S = 1/μ, σ S2 = 1/μ 2, E Y = E S = 1/μ (ιδιότητα έλλειψης μνήμης εκθετικής κατανομής) και E X = 2E S = 2/μ (διπλάσιο της μέσης τιμής E S με προκατάληψη λόγω απρόβλεπτου S)
6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ & ΡΟΠΟΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Moment Generating Functions - MGF (επανάληψη) Διακριτές ακέραιες τυχαίες μεταβλητές n με τιμές k = 0, 1, 2, και πιθανότητες p k = P(n = k) Ορίζουμε την Ροπογεννήτρια Συνάρτηση (MGF) σαν τον μετασχηματισμό z G n z = k=0 p k z k, z 1, Για z =1, G n 1 = 1 και οι παράγωγοί της MGF ως προς z δίνουν τις ροπές της n: G n 1 =E n, G n 1 (m) = E n m Παράδειγμα: Αφίξεις Poisson k με ρυθμό λ σε διάστημα t με πιθανότητες P k t = e λt λt k, k = 0,1,2,3, G n z = k=0 P k t z k = k=0 e λt λt k /k! = e λt(1 z) G n 1 = 1, G n 1 = E(n) = λt, G n 1 = E n 2 = λt + λt 2, σ 2 n = E n 2 E n 2 = λt Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές X με τιμές t 0 και συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f X P X t Δt, t = f X t Δt, F X t = P X t = f X τ dτ Ορίζουμε τον μετασχηματισμό Laplace F X p της f X F X p = e pt f X t dt Για p = 0 έχουμε αντίστοιχα F X (0) = 1 και οι παράγωγοι ως προς p για p = 0 δίνουν τις ροπές της X: F X (0) = E X, F X (0) (m) = 1 m E X m Παράδειγμα: Εκθετική μεταβλητή X με μέσο όρο 1 μ, f X t = μe μt, t 0 F X p = μ (μ + p) t F X (0) = 1, F X p = μ μ + p 2, E X = F X (0) = 1 μ, F X (p) = 2μ μ + p 3, E X 2 = F X (0) = 2 μ 2 Παράδειγμα: X με σταθερή τιμή 1 μ, f X t = δ(t 1 μ) F X p = e p μ, F X (0) = 1, F X p = (1 μ)e p μ, E X = F X 0 = 1 μ F X p = 1 μ 2 e p μ, E X 2 = F X (0) = 1 μ 2 2, σ X = E X 2 E X 2 = 0 Άθροισμα ανεξαρτήτων τυχαίων μεταβλητών F X+Y p = F X p F Y p t τ=0 k! t
7 ΑΡΧΕΣ ΑΝΑΛYΣΗΣ ΟΥΡΑΣ M/G/1 ΣΕ ΕΡΓΟΔΙΚΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ Αφίξεις Poisson: λ πελάτες/sec Ένας Εξυπηρετητής με χρόνους εξυπηρέτησης: S i.i.d με πυκνότητα πιθανότητας f S t, t 0 t P S t Δt, t = f S t Δt, F S t = P S t = f S τ dτ E S = t f S t dt, Άπειρο μήκος ουράς τ=0 E S m = t m f S t dt, σ 2 S = E(S 2 ) E S 2 Για ισορροπία πρέπει το σύστημα να αδειάζει άπειρες φορές, ή σε χρονικό ορίζοντα T να υπάρχουν αφίξεις Poisson σε χρονικά διαστήματα συνολικής διάρκειας T 0 > 0 που να το βρίσκουν άδειο: Αν ορίσουμε T την εργοδική πιθανότητα P 0 lim 0, πρέπει P Τ T 0 = 1 λ E S > 0 (PASTA) ή ρ λ E S < 1 Erlangs Η κατάσταση της ουράς σε τυχαία χρονική στιγμή παρατήρησης ή αφίξεως Poisson (από ιδιότητα PASTA) δίνεται πλήρως από το ζεύγος (i, r) όπου: i : Αριθμός πελατών στο σύστημα r : Υπολειπόμενος χρόνος εξυπηρέτησης πελάτη στον εξυπηρετητή κατά τη τυχαία παρατήρηση, αν υπάρχει πελάτης στον εξυπηρετητή με πιθανότητα 1 P 0 = ρ = λ E S < 1 Για τον υπολογισμό εργοδικών πιθανοτήτων του αριθμού πελατών P i lim T i T T απαιτείται υπολογισμός των χρονοσταθερών στάσιμων (stationary) πιθανοτήτων των κατάστάσεων P(i, r) σε τυχαία σημεία παρατήρησης (ή αφίξεων Poisson) και ολοκλήρωσή τους ως προς την συνθήκη r Απλούστερος τρόπος: Υπολογισμός των στάσιμων (stationary) πιθανοτήτων π(i) σαν όριο της σχετικής συχνότητας παρουσίας i πελατών σε Ενσωματωμένα Σημεία (Embedded Points) στο χρόνο που ορίζεται αμέσως μετά από κάθε αναχώρηση πελάτη, οπότε με βεβαιότητα r = 0 Η σχετική συχνότητα πελατών P i μετά από κάθε αναχώρηση πελάτη ισούται με την σχετική συχνότητα πελατών που βλέπουν νέες αφίξεις Poisson στο σύστημα M/G/1 και λόγω PASTA δίνει τις εργοδικές πιθανότητες T P i lim i = π i και P T T 0 = π 0 = 1 ρ = 1 λ E S λ E S
8 ΕΝΣΩΜΑΤΩΜΕΝΗ ΑΛΥΣΙΔΑ MARKOV ΓΙΑ ΟΥΡΑ M/G/1 (1/2) Embedded Markov Chain M/G/1 Αλυσίδα Markov: Στοχαστική Ανέλιξη Διακριτής Κατάστασης i με μεταβάσεις σε Διακριτό Χρόνο t = t k ανεξάρτητες από το παρελθόν Διακριτές Καταστάσεις i = 0,1,2, με πιθανότητα εμφάνισης π k (i) ύστερα από k βήματα δυνατών εξελίξεων (διαδοχικές μεταβάσεις) k = 0,1,2, Θεωρούμε πως όλες οι καταστάσεις είναι ανά δύο προσβάσιμες μετά από διαδοχικές μεταβάσεις Εξέλιξη Κατάστασης: Διαδοχικές μεταβάσεις σε διακριτά χρονικά σημεία (βήματα k = 0,1,2, ) οδηγούν τη κατάσταση από j i με πιθανότητες P(i j) ανεξάρτητες από την προϊστορία του συστήματος (οι μεταβάσεις στο κάθε βήμα δεν επηρεάζονται από το παρελθόν) π k+1 i = P i j j=0 π k j, π k i i = 1 Στάσιμες (stationary) πιθανότητες, αν υπάρχει σύγκλιση σε σταθερή κατάσταση (steady-state), προκύπτουν από τις εξισώσεις ισορροπίας για τις απείρως επισκέψιμες (recurrent) καταστάσεις: π i lim π k i και π i = P(i j) k j=0 π j, i
9 ΕΝΣΩΜΑΤΩΜΕΝΗ ΑΛΥΣΙΔΑ MARKOV ΓΙΑ ΟΥΡΑ M/G/1 (2/2) Embedded Markov Chain M/G/1 Αλυσίδα Markov: Στοχαστική Ανέλιξη Διακριτής Κατάστασης i με μεταβάσεις σε Διακριτό Χρόνο t = t k ανεξάρτητες από το παρελθόν Διακριτές Καταστάσεις i = 0,1,2, με πιθανότητα εμφάνισης π k (i) ύστερα από k βήματα δυνατών εξελίξεων (διαδοχικές μεταβάσεις) k = 0,1,2, Θεωρούμε πως όλες οι καταστάσεις είναι ανά δύο προσβάσιμες μετά από διαδοχικές μεταβάσεις Εξέλιξη Κατάστασης: Διαδοχικές μεταβάσεις σε διακριτά χρονικά σημεία (βήματα k = 0,1,2, ) οδηγούν τη κατάσταση από j i με πιθανότητες P(i j) ανεξάρτητες από την προϊστορία του συστήματος (οι μεταβάσεις στο κάθε βήμα δεν επηρεάζονται από το παρελθόν) π k+1 i = P i j j=0 π k j, π k i i = 1 Στάσιμες (stationary) πιθανότητες, αν υπάρχει σύγκλιση σε σταθερή κατάσταση (steady-state), προκύπτουν από τις εξισώσεις ισορροπίας για τις απείρως επισκέψιμες (recurrent) καταστάσεις: π i lim π k i και π i = P(i j) k j=0 π j, i Ενσωματωμένη Αλυσίδα Markov για Ανάλυση Εργοδικών Πιθανοτήτων Συστήματος M/G/1: Κατάσταση: Αριθμός πελατών (πληθυσμός) στο σύστημα i αμέσως μετά από αναχώρηση πελάτη Μεταβάσεις: Σε ενσωματωμένα χρονικά σημεία ορισμένα αμέσως μετά από αναχώρηση πελάτη Στάσιμες πιθανότητες π i της ενσωματωμένης αλυσίδας Markov: Ίσες λόγω ισορροπίας με τη σχετική συχνότητα πληθυσμού i αμέσως πριν από άφιξη Poisson και λόγω PASTA ίσες με τις εργοδικές πιθανότητες: π i T = P i lim i T T
10 ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΝΣΩΜΑΤΩΜΕΝΗΣ ΑΛΥΣΙΔΑΣ MARKOV (1/3) Υπολογισμός Διανύσματος Στάσιμων Πιθανοτήτων π = [π 0, π 1, π 2, ] Τ P i j : Πιθανότητες Μετάβασης j i σε ενσωματωμένα χρονικά σημεία ορισμένα αμέσως μετά από αναχώρηση Εξισώσεις Ισορροπίας Μεταβάσεων στη Σταθερή Κατάσταση : π i = j=0 P(i j) π j, i π i = 1 i Ορίζουμε α k P k αφίξεις Poisson στο διάστημα εξυπηρέτησης πελάτη S = t = [e λt (λt) k / k!]f S t dt (ιδιότητα συνολικής πιθανότητας) α 0 = P(0 0) = P(0 1) = P(1 2) = P(2 3) = P((i 1) i), i 3 α 1 = P(1 0) = P(1 1) = P(2 2) = P(3 3) = P(i i),i 3 α 2 = P(2 0) = P(2 1) = P(3 2) = P(4 3) = P((i+1) i),i 3 α k = P(k 0) = P(k 1) = P((k+1) 2) = P((k+2) 3) = P((k+i 1) i), i 3 P(i 0) = P(i 1) = α i για κάθε i P i j = a i j+1 για j > 1, i j 1 P i j = 0 για i < j 1 Παράδειγμα Μ/Μ/1: Αν η S έχει εκθετική κατανομή f S t = μe μt, t 0 α 0 = α 1 = e λt μe μt dt e λt (λt)μe μt dt = μ λ + μ = λμ λ + μ α 2 = e λt λt 2 /2 μe μt dt = λ2 μ λ + μ Ενδεικτικές Πιθανότητες Μετάβασης Ενσωματωμένης Αλυσίδας Markov
11 ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΝΣΩΜΑΤΩΜΕΝΗΣ ΑΛΥΣΙΔΑΣ MARKOV (2/3) Υπολογισμός Διανύσματος Στάσιμων Πιθανοτήτων π = [π 0, π 1, π 2, ] Τ Εξισώσεις Ισορροπίας για τις στάσιμες πιθανότητες π της Ενσωματωμένης Αλυσίδας Markov π = π(0) π(1) π(2) π(3) = α 0 α α 1 α 1 α 0 0 α 2 α 2 α 1 α 0 α 3 α 3 α 2 α 1 π(0) π(1) π(2) π(3) = A π π i = α i π 0 + α i π 1 + α i 1 π α 2 π i 1 + α 1 π i + α 0 π i + 1 i = α i π 0 + a j π i + 1 j, i j=0 π 0 + π 1 + π 3 + = π i i = 1 Ενδεικτικές Πιθανότητες Μετάβασης Ενσωματωμένης Αλυσίδας Markov
12 ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΝΣΩΜΑΤΩΜΕΝΗΣ ΑΛΥΣΙΔΑΣ MARKOV (3/3) Υπολογισμός Μετασχηματισμού z (Moment Generating Function - MGF) του Πληθυσμού i Συστήματος M/G/1 Π z = i=0 π(i) z i, z 1 σαν συνάρτηση του Μετασχηματισμού z των α i : A z = k=0 α k z k, z 1 π i = α i π 0 + a j π i + 1 j i j=0 i j=0 Π z = i=0 π(i) z i = 1 { a z i=0 j z j π i + 1 j z i+1 j } + i=0 α i π(0) z i = 1 { a z j=0 i=j j z j = 1 a z j=0 j z j { i=j π i + 1 j z i+1 j } + π 0 A z = 1 A z [Π z π(0)]+π(0)a z z π i + 1 j z i+1 j } + π 0 A(z) Από την ιδιότητα PASTA π 0 = P 0 = 1 ρ = 1 λ E S Π z = π 0 A z (1 z 1 ) (1 ρ)a z (1 z) 1 z 1 = A(z) A z z Υπολογισμός A z μέσω συνολικής πιθανότητα αριθμού αφίξεων Poisson σε χρόνο εξυπηρέτησης S : A z = α k z k = k=0 k=0 P(k S=t)f S (t)dt z k = [e λt (λzt) k / k!]f S (t)dt = e λ λz t f S (t)dt = F S (λ λz) k=0 t=o Τύπος Pollaczeck Khinchin (P-K) για την MGF Πληθυσμού i Εργοδικής Ουράς M/G/1 Π z = π(i) i=0 z i = (1 ρ)f S(λ λz)(1 z), z 1 F S λ λz z Παράδειγμα Μ/Μ/1: Αν η S έχει εκθετική κατανομή f S t = μe μt, t 0 A z = F S λ λz = μ μ + λ λz, Π z = (1 ρ) (1 ρz) και π i = 1 ρ ρ i, i = 0,1,2,, z 1 και ρ 1
13 ΧΡΟΝΟΙ ΠΑΡΑΜΟΝΗΣ & ΚΑΘΥΣΤΕΡΗΣΗΣ M/G/1 Sojourn & Waiting Times M/G/1 Υπολογισμός του μετασχηματισμού Laplace F Τ p Χρόνου Παραμονής T Συστήματος M/G/1 Ο Χρόνος Παραμονής πελάτη που εισέρχεται στη ουρά την χρονική στιγμή t ορίζεται σαν η συνολική παραμονή T μέχρι να εξυπηρετηθούν οι n t = i πελάτες που βρίσκει μπροστά του (υποθέτουμε εξυπηρέτηση FCFS/FIFO). Οι εργοδικές πιθανότητες της n t είναι ίσες με τις πιθανότητες π i της ενσωματωμένης αλυσίδας Markov {Πληθυσμός στο σύστημα μετά την αναχώρηση Πελάτη} = {Αριθμός αφίξεων Poisson στη διάρκεια του T = τ} Π z = π(i) z i = i=0 T, W, S: Χρόνοι Παραμονής (Sojourn Time), Αναμονής (Waiting Time) και Εξυπηρέτησης (Service Time), T = W + S i=0 τ=0 P(i Τ=τ)f T (τ)dτ τ=0 z i = [e λτ (λzτ) i / i!]f T (τ)dτ = e λ λz τ f T (τ)dτ = F T (λ λz) i=0 τ=0 τ=o π i = [e λτ (λτ) k / k!]f T τ dτ Με p = λ λz προκύπτει ο επίσης ονομαζόμενος τύπος Pollaczeck Khinchin (P-K) για τον Χρόνο Παραμονής T: Τύπος Pollaczeck Khinchin (P-K) για τον Μετασχηματισμό Laplace Χρόνου Παραμονής T Εργοδικής Ουράς M/G/1 F T p = e pτ f T τ dτ = 1 ρ F S p p λf S p + p λ τ=0 λ E S Παράδειγμα Μ/Μ/1: Εκθετική εξυπηρέτηση E S = 1 μ, F S p = μ μ+p F Τ p = μ(1 ρ) μ 1 ρ +p και f T τ = μ(1 ρ)e μ(1 ρ)τ, τ ο Παράδειγμα Μ/D/1: Σταθερή εξυπηρέτηση E S = S = 1 μ, F S p = e p/μ F Τ p = 1 ρ e p μ p λe p/μ +p λ T = W + S όπου W, S ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές άρα F Τ p = F W p F S p 1 ρ p F W (p) = λf S p + p λ
14 ΜΕΣΕΣ ΤΙΜΕΣ ΕΠΙΔΟΣΗΣ M/G/1 Από τύπους P-K: E[n t ] = Π(1) παραγώγιση της Π (z ) με διπλή εφαρμογή του κανόνα L Hospital και αναγωγή στη τιμή z =1 E T = F Τ 0 παραγώγιση της F Τ p με κανόνα L Hospital και αναγωγή στη τιμή p =0 Με άμεση εφαρμογή Μέσων Τιμών, Θεωρίας Ανανέωσης και του τύπου του Little: E T = E[n t ] λ, E W = E[n Q t ] λ E W = E T E S n Q t : Αριθμός πελατών στην αναμονή, E[n Q t ] = λ E(W) E[n Q t ] E S : Μέσος χρόνος εξυπηρέτησης πελατών που προηγούνται στην αναμονή ρ = λ E(S): Πιθανότητα να υπάρχει πελάτης στην εξυπηρέτηση κατά την άφιξη Poisson (ιδιότητα PASTA) E Y = E S2 2E S λ E T = E W + E S = E W + 1/μ μ : Μέσος υπολειπόμενος χρόνος εξυπηρέτησης πελάτη κατά τυχαία άφιξη (Renewal Paradox) E(W) =E[n Q t ] E S + ρ E Y = E(W) λ E S + ρ E Y E W Τύπος Pollaczeck Khinchin (P-K) για Μέσο Εργοδικό Χρόνο Αναμονής & Παραμονής σε Ουρά M/G/1 E(W) = λe S2 2(1 ρ), E T = E W + 1/μ Παράδειγμα M/M/1 : E S = 1/μ, E S 2 = 2/μ 2 E W = ρ μ(1 ρ) Παράδειγμα M/D/1 : E S = S = 1/μ, E S 2 = 1/μ 2 E W = = ρe Y 1 ρ :, E T = E W + 1/μ = 1/μ ρ 2μ(1 ρ), E T = E W + 1/μ (1 ρ)
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Επισκόπηση Αναλυτικών Τεχνικών Θεωρίας Πιθανοτήτων για Εφαρμογή σε Ουρές Αναμονής M/G/1
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Επισκόπηση Αναλυτικών Τεχνικών Θεωρίας Πιθανοτήτων για Εφαρμογή σε Ουρές Αναμονής M/G/1 Απόδειξη Τύπου Little Ιδιότητα PASTA (Poisson Arrivals See Time Averages) Βασικοί
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Επισκόπηση Γνώσεων Πιθανοτήτων (2/2) Διαδικασία Γεννήσεων Θανάτων Η Ουρά Μ/Μ/1
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Επισκόπηση Γνώσεων Πιθανοτήτων (2/2) Διαδικασία Γεννήσεων Θανάτων Η Ουρά Μ/Μ/1 Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr 15/3/2017 Η ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗΣ ΓΕΓΟΝΟΤΩΝ
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Επισκόπηση Γνώσεων Πιθανοτήτων Κατανομή Poisson & Εκθετική Κατανομή Διαδικασία Markov Γεννήσεων Θανάτων (Birth Death Markov Processes) Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Εισαγωγή (2/2) Επισκόπηση Γνώσεων Πιθανοτήτων (1/2)
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Εισαγωγή (2/2) Επισκόπηση Γνώσεων Πιθανοτήτων (1/2) Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr 8/3/2017 ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ (1/4) (Επανάληψη) Ένταση φορτίου (traffic intensity)
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Συστήματα Γεννήσεων Θανάτων (I) 1. Σφαιρικές & Τοπικές Εξισώσεις Ισορροπίας 2. Ουρές Markov M/M/1, M/M/1/N Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr 21/3/2018 ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Παράμετροι Ουρών Αναμονής Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr 13/3/2019 ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ (1/3) Ένταση φορτίου (traffic intensity) Σε περίπτωση 1 ουράς, 1 εξυπηρετητή:
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Συστήματα Γεννήσεων Θανάτων: 1. Σφαιρικές & Λεπτομερείς Εξισώσεις Ισορροπίας 2. Ουρές Markov M/M/1, M/M/1/N Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr 27/3/2019 ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Η Ουρά Μ/Μ/1/N Σφαιρικές & Τοπικές Εξισώσεις Ισορροπίας Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr 22/3/2017 ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΓΕΝΝΗΣΕΩΝ ΘΑΝΑΤΩΝ (1/4) Birth Death Processes
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Διαδικασίες Γεννήσεων - Θανάτων Εξισώσεις Ισορροπίας - Ουρές Μ/Μ/1, M/M/1/N Προσομοίωση Ουράς Μ/Μ/1/Ν
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Διαδικασίες Γεννήσεων - Θανάτων Εξισώσεις Ισορροπίας - Ουρές Μ/Μ/1, M/M/1/N Προσομοίωση Ουράς Μ/Μ/1/Ν Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr 23/3/2016 Άδεια Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Διαδικασίες Birth-Death, Ουρές Markov: 1. Διαγράμματα Μεταβάσεων Εργοδικών Καταστάσεων 2. Εξισώσεις Ισορροπίας 3. Προσομοιώσεις Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Διαδικασίες Birth-Death, Ουρές Markov:
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Διαδικασίες Birth-Death, Ουρές Markov: 1. Διαγράμματα Μεταβάσεων Εργοδικών Καταστάσεων, Εξισώσεις Ισορροπίας 2. Προσομοιώσεις, Άσκηση Προσομοίωσης Ουράς M/M/1/10 Βασίλης
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Μοντέλα Ουρών Markov και Εφαρμογές:
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Μοντέλα Ουρών Markov και Εφαρμογές: Ουρά Μ/Μ/2 Σύστημα Μ/Μ/Ν/Κ, Erlang-C Σύστημα Μ/Μ/c/c, Erlang-B Ανάλυση & Σχεδιασμός Τηλεφωνικών Κέντρων Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuig Systems Επισκόπηση Γνώσεων Πιθανοτήτων Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@etmode.tua.gr 7/3/2018 1 Η ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗΣ ΓΕΓΟΝΟΤΩΝ POISSON Η τυχαία εμφάνιση παλμών περιγράφεται σαν
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Εκθετική Κατανομή, Στοχαστικές Ανελίξεις Διαδικασίες Απαρίθμησης, Κατανομή Poisson
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Εκθετική Κατανομή, Στοχαστικές Ανελίξεις Διαδικασίες Απαρίθμησης, Κατανομή Poisson Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr 9/3/2016 Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ & ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ
ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ & ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Αίθουσα 005 - Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Ε.Μ.Π. Μοντέλα Στατιστικής Μηχανικής, Κινητικότητα & Ισορροπία Αλυσίδες Markov: Καταστάσεις, Εξισώσεις Μεταβάσεων καθ. Βασίλης Μάγκλαρης
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Εισαγωγή (1/2) Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr 1/3/2017 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ (1/3) http://www.netmode.ntua.gr/main/index.php?option=com_content&task=view& id=130&itemid=48
Διαβάστε περισσότεραP (M = n T = t)µe µt dt. λ+µ
Ουρές Αναμονής Σειρά Ασκήσεων 1 ΑΣΚΗΣΗ 1. Εστω {N(t), t 0} διαδικασία αφίξεων Poisson με ρυθμό λ, και ένα χρονικό διάστημα η διάρκεια του οποίου είναι τυχαία μεταβλητή T, ανεξάρτητη της διαδικασίας αφίξεων,
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Μοντέλα Ουρών Markov και Εφαρμογές:
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Μοντέλα Ουρών Markov και Εφαρμογές: Ουρά Μ/Μ/2 Σύστημα Μ/Μ/Ν/Κ, Erlang-C Σύστημα Μ/Μ/c/c, Erlang-B Ανάλυση & Σχεδιασμός Τηλεφωνικών Κέντρων Βελτιστοποίηση Μέσου Μήκους
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Άσκηση Προσομοίωσης Στατιστικές Εξόδου Ουράς Μ/Μ/1 - Θεώρημα Burke Ανοικτά Δίκτυα Ουρών Μ/Μ/1 - Θεώρημα Jackson
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Άσκηση Προσομοίωσης Στατιστικές Εξόδου Ουράς Μ/Μ/1 - Θεώρημα Burke Ανοικτά Δίκτυα Ουρών Μ/Μ/1 - Θεώρημα Jackson Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr 26/4/2017 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Απόδοσης Πληροφοριακών Συστημάτων
Ανάλυση Απόδοσης Πληροφοριακών Συστημάτων Διάλεξη 6: Εισαγωγή στην Ουρά M/G/1 Δρ Αθανάσιος Ν Νικολακόπουλος ΜΔΕ Επιστήμης και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής 18 Νοεμβρίου 2016
Διαβάστε περισσότεραΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Τομέας Επικοινωνιών, Ηλεκτρονικής & Συστημάτων Πληροφορικής Εργαστήριο Διαχείρισης και Βέλτιστου Σχεδιασμού Δικτύων - NETMODE
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Ουρές //1 εν σειρά, Θεώρημα Burke Ανοικτά Δίκτυα Ουρών arkov, Θεώρημα Jackson Εφαρμογή σε Δίκτυα Μεταγωγής Πακέτου Κλειστά Δίκτυα Ουρών arkov, Θεώρημα Gordon- Newell
Διαβάστε περισσότεραΜοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων Ακαδ. Έτος 2017-2018 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Δίκτυα Ουρών Β. Μάγκλαρης, Σ. Παπαβασιλείου 10-7-2014 Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Ουρές //1 εν Σειρά - Θεώρημα Burke Ανοικτά Δίκτυα Ουρών arkov - Θεώρημα Jackson Εφαρμογή σε Δίκτυα Μεταγωγής Πακέτου Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr 25/4/2018
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Ανοικτά Δίκτυα Ουρών arkov - Θεώρημα Jackson (1) Παράδειγμα Επίδοσης Δικτύου Μεταγωγής Πακέτου (2) Παράδειγμα Ανάλυσης Υπολογιστικού Συστήματος Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Κλειστά Δίκτυα Ουρών Markov - Αλγόριθμος Buzen Μοντέλο Παράλληλης Επεξεργασίας Έλεγχος Ροής Άκρου σε Άκρο (e2e) στο Internet Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr
Διαβάστε περισσότεραΘέμα 1 (20%) (α) Πότε είναι εργοδικό το παραπάνω σύστημα; Για πεπερασμένο c, το σύστημα είναι πάντα εργοδικό.
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Τομέας Επικοινωνιών, Ηλεκτρονικής & Συστημάτων Πληροφορικής Εργαστήριο Διαχείρισης & Βέλτιστου Σχεδιασμού Δικτύων - NETMODE
Διαβάστε περισσότεραΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Τοµέας Επικοινωνιών, Ηεκτρονικής & Συστηµάτων Πηροφορικής Εργαστήριο ιαχείρισης & Βετίστου Σχεδιασµού ικτύων - NETMODE Πουτεχνειούποη
Διαβάστε περισσότεραΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 3, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 5
ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 3, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 5 5.10: Θόρυβος (Πηγές Θορύβου, Κατανομή Poisson, Λευκός Θόρυβος, Ισοδύναμο
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης
Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης Ενότητα: Ασκήσεις για τις ενότητες 1 2 (Εισαγωγή Θεμελιώδεις σχέσεις) Ιωάννης Μοσχολιός Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σελίδα 2 Περιεχόμενα 1.
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Παράμετροι Συστημάτων Αναμονής Τύπος Little. Β. Μάγκλαρης, Σ. Παπαβασιλείου
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Παράμετροι Συστημάτων Αναμονής Τύπος Little Β. Μάγκλαρης, Σ. Παπαβασιλείου 8-5-2014 Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Ανάλυση Μεταγωγής Πακέτου - Μοντέλο M/M/1 Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr 25/4/2018 ΟΥΡΑ Μ/Μ/2 (επανάληψη) Αφίξεις Poisson με ομοιόμορφο μέσο ρυθμό λ k = λ
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Εφαρμογές Θεωρήματος Jackson: (i) Δίκτυα Μεταγωγής Πακέτου (ii) Υπολογιστικά Μοντέλα Πολυεπεξεργασίας Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr 3/5/2017 ΑΝΟΙΚΤΑ ΔΙΚΤΥΑ
Διαβάστε περισσότεραΔιαδικασίες Markov Υπενθύμιση
Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Επίδοση Υπολογιστικών Συστημάτων Α.-Γ. Σταφυλοπάτης Διαδικασίες Markov Υπενθύμιση Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Κλειστά Δίκτυα Ουρών Markov Θεώρημα Gordon Newell Αλγόριθμος Buzen Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr 9/5/2018 ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΚΤΥΟ ΔΥΟ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ ΟΥΡΩΝ Μ = 2 Ουρές,
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Δίκτυα Ουρών - Παραδείγματα Β. Μάγκλαρης, Σ. Παπαβασιλείου 17-7-2014 Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΚαθ. Γιάννης Γαροφαλάκης. ΜΔΕ Επιστήμης και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Α Α Π Σ Δ 11: Ε Σ Α M/G/1 Καθ Γιάννης Γαροφαλάκης ΜΔΕ Επιστήμης και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Το σύστημα αναμονής M/G/1 I Θεωρούμε ένα σύστημα στο οποίο οι πελάτες φθάνουν
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Κλειστά Δίκτυα Ουρών Markov Θεώρημα Gordon Newell Αλγόριθμος Buzen Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr 10/5/2017 ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΚΤΥΟ ΔΥΟ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ ΟΥΡΩΝ Μ = 2 Ουρές,
Διαβάστε περισσότεραΟρισµός. (neighboring) καταστάσεων. ηλαδή στην περίπτωση αλυσίδας Markov. 1.2 ιαµόρφωση µοντέλου
200-04-25. ιαδικασίες γεννήσεων-θανάτων. Ορισµός Οι διαδικασίες γεννήσεων-θανάτων (birth-death rocesses) αποτελούν µια σπουδαία κλάση αλυσίδων Markov (διακριτού ή συνεχούς χρόνου). Η ιδιαίτερη συνθήκη
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης Ενότητα 2: Θεμελιώδεις σχέσεις
Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης Ενότητα 2: Θεμελιώδεις σχέσεις Μιχαήλ Λογοθέτης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Περιγραφή βασικών μοντέλων τηλεπικοινωνιακής
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Εφαρμογές Κλειστών Δικτύων Ουρών Markov: 1. Ανάλυση Window Flow Control σε Δίκτυα Υπολογιστών 2. Αξιολόγηση Συστημάτων Πολύ-προγραμματισμού (Multitasking) Γενίκευση Μοντέλων
Διαβάστε περισσότεραΜοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων Ακαδ. Έτος 2017-2018 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Παράμετροι Συστημάτων Αναμονής Τύπος Little
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Παράμετροι Συστημάτων Αναμονής Τύπος Little Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr 2/3/2016 Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΗρώων Πολυτεχνείου 9, Ζωγράφου, Αθήνα, Τηλ: , Fax: URL
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Τομέας Επικοινωνιών, Ηλεκτρονικής & Συστημάτων Πληροφορικής Εργαστήριο Διαχείρισης και Βέλτιστου Σχεδιασμού Δικτύων - NETMODE
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Ροή Δ - 6 ο εξάμηνο, κωδικός
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Τομέας Επικοινωνιών, Ηλεκτρονικής & Συστημάτων Πληροφορικής Εργαστήριο Διαχείρισης και Βέλτιστου Σχεδιασμού Δικτύων - NETMODE
Διαβάστε περισσότεραΗρώων Πολυτεχνείου 9, Ζωγράφου, Αθήνα, Τηλ: , Fax: URL
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Τομέας Επικοινωνιών, Ηλεκτρονικής & Συστημάτων Πληροφορικής Εργαστήριο Διαχείρισης και Βέλτιστου Σχεδιασμού Δικτύων - NETMODE
Διαβάστε περισσότεραΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 3, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 3
ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 3, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 3 5.6: Μέση Τιμή, Συναρτήσεις Συσχέτισης & Συνδιασποράς 5.7: Μετάδοση Στοχαστικής
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Παραδείγματα χρήσης ουρών Μ/Μ/c/K και αξιολόγησης συστημάτων αναμονής Β. Μάγκλαρης, Σ. Παπαβασιλείου 5-6-2014 Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραp k = (1- ρ) ρ k. E[N(t)] = ρ /(1- ρ).
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: CAM 2.1 Συστήµατα Μ/Μ/1 2.1.1 Ανασκόπηση θεωρίας Η ουρά Μ/Μ/1 είναι η πιο σηµαντική διαδικασία ουράς Άφιξη: ιαδικασία Poisson Εξυπηρέτηση: Ακολουθεί εκθετική κατανοµή Εξυπηρετητής: Ένας Χώρος
Διαβάστε περισσότεραΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 4, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 3
ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 4, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 3 5.6: Μέση Τιμή, Συναρτήσεις Συσχέτισης (Correlation) & Συνδιασποράς (Covariance)
Διαβάστε περισσότεραΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 4, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 4
ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 4, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 4 5.9 Η Στοχαστική Ανέλιξη Gauss (οι διαφάνειες ακολουθούν διαφορετική
Διαβάστε περισσότεραΓραπτή Εξέταση στο Μάθημα "ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ" 6ο Εξάμηνο Ηλεκτρολόγων Μηχ. & Μηχ. Υπολογιστών Θέματα και Λύσεις. μ 1.
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Τομέας Επικοινωνιών, Ηεκτρονικής & Συστημάτων Πηροφορικής Εργαστήριο Διαχείρισης και Βέτιστου Σχεδιασμού Δικτύων - NETMODE
Διαβάστε περισσότεραMarkov. Γ. Κορίλη, Αλυσίδες. Αλυσίδες Markov
Γ. Κορίλη, Αλυσίδες Markov 3- http://www.seas.upe.edu/~tcom5/lectures/lecture3.pdf Αλυσίδες Markov Αλυσίδες Markov ιακριτού Χρόνου Υπολογισµός Στάσιµης Κατανοµής Εξισώσεις Ολικού Ισοζυγίου Εξισώσεις Λεπτοµερούς
Διαβάστε περισσότεραΜοντέλα Αναμονής σε Δίκτυα Επικοινωνιών. Ανάλυση Ουρών. Λάζαρος Μεράκος Τμήμα Πληροφορικής &Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών
Μοντέλα Αναμονής σε Δίκτυα Επικοινωνιών Ανάλυση Ουρών Λάζαρος Μεράκος Τμήμα Πληροφορικής &Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Μενού 1. Εισαγωγή 2. Θεώρημα του Little 3. Σύστημα M/M/1 System 4. Συστήματα
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Εφαρμογές Κλειστών Δικτύων Ουρών Markov: 1. Ανάλυση Window Flow Control σε Δίκτυα Υπολογιστών 2. Αξιολόγηση Συστημάτων Πολύ-προγραμματισμού (Multitasking) 3. Ανάλυση
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Εισαγωγή
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Εισαγωγή Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr Χρύσα Παπαγιάννη chrisap@noc.ntua.gr 24/2/2016 Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ & ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Αίθουσα Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Ε.Μ.Π.
ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ & ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Αίθουσα 005 - Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Ε.Μ.Π. Προσομοίωση Monte Carlo Αλυσίδων Markov: Αλγόριθμοι Metropolis & Metropolis-Hastings Προσομοιωμένη Ανόπτηση Simulated Annealing
Διαβάστε περισσότεραΕργαστηριακή Άσκηση Το σύστημα αναμονής M/G/1
Εργαστηριακή Άσκηση 2011-2012 Το σύστημα αναμονής M/G/1 Γιάννης Γαροφαλάκης, Καθηγητής Αθανάσιος Ν.Νικολακόπουλος, Υποψ. Διδάκτορας Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η εξερεύνηση των βασικών ιδιοτήτων
Διαβάστε περισσότεραΤυχαία μεταβλητή (τ.μ.)
Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) είναι μια συνάρτηση X ( ) με πεδίο ορισμού το δειγματικό χώρο Ω του πειράματος και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο πραγματικών αριθμών που συμβολίζουμε συνήθως
Διαβάστε περισσότεραΤεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων Ενότητα 3: Μοντέλα Θεωρίας Αναμονής
Τεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων Ενότητα 3: Μοντέλα Θεωρίας Αναμονής Γαροφαλάκης Ιωάννης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχ/κών Η/Υ & Πληροφορικής Σκοποί ενότητας Κατά τη διάρκεια των καθημερινών μας
Διαβάστε περισσότεραΓ. Κορίλη, Μοντέλα Εξυπηρέτησης
Γ. Κορίλη, Μοντέλα Εξυπηρέτησης 2-1 hp://www.seas.upenn.edu/~com501/lecures/lecure3.pdf Καθυστερήσεις στα ίκτυα Πακέτων Εισαγωγή στη Θεωρία Ουρών Ανασκόπηση Θεωρίας Πιθανοτήτων ιαδικασία Poisson Θεώρηµα
Διαβάστε περισσότεραΔίκτυα Κινητών και Προσωπικών Επικοινωνιών
Δίκτυα Κινητών και Προσωπικών Επικοινωνιών Διαστασιοποίηση Ασύρματου Δικτύου Άγγελος Ρούσκας Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Πανεπιστήμιο Πειραιώς Τηλεπικοινωνιακή κίνηση στα κυψελωτά συστήματα Βασικός στόχος
Διαβάστε περισσότεραΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 4, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις
ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 4, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις Άσκηση σε Στοχαστική Ανέλιξη Poisso Ασκήσεις 5.9, 5.1, 5.19 Άσκηση σε Στοχαστική
Διαβάστε περισσότεραΟνοματεπώνυμο: Ερώτημα: Σύνολο Μονάδες: Βαθμός:
ΕΤΥ: Ανάλυση Απόδοσης Πληροφοριακών Συστημάτων Χειμερινό Εξάμηνο 2014-15 Τελική Εξέταση 28/02/15 Διάρκεια Εξέτασης: 3 Ώρες Ονοματεπώνυμο: Αριθμός Μητρώου: Υπογραφή: Ερώτημα: 1 2 3 4 5 6 Σύνολο Μονάδες:
Διαβάστε περισσότεραΜοντέλα Συστημάτων Αναμονής σε Δίκτυα Επικοινωνιών
Δίκτυα Επικοινωνιών ΙΙ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Εθνικό & Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Μοντέλα Συστημάτων Αναμονής σε Δίκτυα Επικοινωνιών Διδάσκων: Λάζαρος Μεράκος Δίκτυα Επικοινωνιών
Διαβάστε περισσότεραΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 4, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 2
ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 4, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 5.4: Στατιστικοί Μέσοι Όροι 5.5 Στοχαστικές Ανελίξεις (Stochastic Processes)
Διαβάστε περισσότεραΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 3, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 1
ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 3, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 1 5.1: Εισαγωγή 5.2: Πιθανότητες 5.3: Τυχαίες Μεταβλητές καθ. Βασίλης Μάγκλαρης
Διαβάστε περισσότεραE[X n+1 ] = c 6 z z 2. P X (z) =
Στοχαστικές Μέθοδοι στην Επιχειρησιακή Ερευνα Ι Ασκήσεις 2017-2018, έκδοση 1/3/2018 Αντώνης Οικονόμου 1 Υπενθυμίσεις από τις Πιθανότητες 1. Ενας φοιτητής έχει n βιβλία, αριθμημένα ως 1, 2,..., n. Το βιβλίο
Διαβάστε περισσότεραΑπλα Συστήματα Αναμονής Υπενθύμιση
Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Επίδοση Υπολογιστικών Συστημάτων Α.-Γ. Σταφυλοπάτης Απλα Συστήματα Αναμονής Υπενθύμιση Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 4, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 5
ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 4, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 5 5.10 Θόρυβος (Noise) καθ. Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@etmode.tua.gr www.etmode.tua.gr
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΥΡΩΝ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΥΡΩΝ Ακαδ. Έτος 2011-2012 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Διδάσκων επί Συμβάσει Π.Δ 407/80 v.koutras@fme.aegean.gr
Διαβάστε περισσότεραΧρησιμοποιείται για να δηλώσουμε τους διάφορους τύπους ουρών. A/B/C. Κατανομή εξυπηρετήσεων
Συμβολισμός Kedel Χρησιμοποιείται για να δηλώσουμε τους διάφορους τύπους ουρών. A/B/C Κατανομή αφίξεων Κατανομή εξυπηρετήσεων Αριθμός των εξυπηρετητών Όπου Α,Β μπορεί να είναι: M κατανομή Posso G κατανομή
Διαβάστε περισσότεραΤυχαία Διανύσματα και Ανεξαρτησία
Τυχαία Διανύσματα και Ανεξαρτησία Θα γενικεύσουμε την έννοια της τυχαίας μεταβλητής από συνάρτηση στο R σε συνάρτηση στο R n. Ακολούθως, θα επεκτείνουμε τις έννοιες με τις οποίες ασχοληθήκαμε μέχρι τώρα
Διαβάστε περισσότεραH επίδραση των ουρών στην κίνηση ενός δικτύου
H επίδραση των ουρών στην κίνηση ενός δικτύου Ηεπίδραση των ριπών δεδοµένων Όταν οι αφίξεις γίνονται κανονικά ή γίνονται σε απόσταση η µία από την άλλη, τότε δεν υπάρχει καθυστέρηση Arrival s 1 2 3 4 1
Διαβάστε περισσότεραΔίκτυα Επικοινωνιών ΙΙ. Ενότητα 2: Μοντέλα Συστηµάτων Αναµονής σε Δίκτυα Επικοινωνιών
Δίκτυα Επικοινωνιών ΙΙ Ενότητα 2: Μοντέλα Συστηµάτων Αναµονής σε Δίκτυα Επικοινωνιών Διδάσκων: Λάζαρος Μεράκος Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Εθνικό & Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών Δίκτυα Επικοινωνιών
Διαβάστε περισσότεραΣτοχαστικά Μοντέλα Επιχειρησιακών Ερευνών Συστήματα αναμονής Ι Ιωάννης Δημητρίου Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Πατρών, idimit@math.upatras.gr Δ.Π.Μ.Σ. «Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων» Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΟ Π Ε Υ Ελάχιστα γραμμών Ο *maximin (A) Π Ε Υ * minimax (B)
ΑΣΚΗΣΗ Β Μέγιστο στήλης Ο Π Ε Υ Ελάχιστα γραμμών Ο 60 5 55 65 5*maximin (A) Π 50 75 70 45 45 Ε 56 30 30 50 30 Υ 40 30 35 55 30 *60 75 70 65 minimax (B) Επειδή maximin (A) minimax (B) δεν υπάρχει ισορροπία
Διαβάστε περισσότεραΠιθανότητες & Τυχαία Σήματα. Διγαλάκης Βασίλης
Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα Διγαλάκης Βασίλης Τυχαία Σήματα Γενίκευση τυχαίων διανυσμάτων Άπειρο σύνολο πιθανά αριθμήσιμο από τυχαίες μεταβλητές Παραδείγματα τυχαίων σημάτων: Τηλεπικοινωνίες: Σήμα πληροφορίας
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αναμονής. Ενότητα 7: Ουρά Μ/Μ/1. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ
Συστήματα Αναμονής Ενότητα 7: Ουρά Μ/Μ/1 Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως
Διαβάστε περισσότεραΜαρκοβιανές Αλυσίδες
Μαρκοβιανές Αλυσίδες { θ * } Στοχαστική Ανέλιξη είναι μια συλλογή τ.μ. Ο χώρος Τ (συνήθως είναι χρόνος) μπορεί να είναι είτε διακριτός είτε συνεχής και καλείται παραμετρικός χώρος. Το σύνολο των δυνατών
Διαβάστε περισσότεραΔίκτυα Τηλεπικοινωνιών. και Μετάδοσης
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Δίκτυα Τηλεπικοινωνιών και Μετάδοσης Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής & Δρ. Στυλιανός Π. Τσίτσος Επίκουρος Καθηγητής
Διαβάστε περισσότεραΣτοχαστικές Ανελίξεις- Φεβρουάριος 2015
Στοχαστικές Ανελίξεις- Φεβρουάριος 2015 ΟΔΗΓΙΕΣ (1) Απαντήστε σε όλα τα θέματα. Τα θέματα είναι ισοδύναμα. (2) Οι απαντήσεις να είναι αιτιολογημένες. Απαντήσεις χωρίς να φαίνεται η απαιτούμενη εργασία
Διαβάστε περισσότεραHMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών. Χρόνου (Ι)
HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 5: Στοχαστικά/Τυχαία Σήματα Διακριτού Διάλεξη 5: Στοχαστικά/Τυχαία Σήματα Διακριτού Χρόνου (Ι) Στοχαστικά σήματα Στα προηγούμενα: Ντετερμινιστικά
Διαβάστε περισσότεραDEPARTMENT OF STATISTICS
SCHOOL OF INFORMATION SCIENCES & TECHNOLOGY DEPARTMENT OF STATISTICS POSTGRADUATE PROGRAM Elements of Markovian Processes and Queueing Processes with Numerical Applications By Erold Ajdini A THESIS Submitted
Διαβάστε περισσότερα3. Προσομοίωση ενός Συστήματος Αναμονής.
3. Προσομοίωση ενός Συστήματος Αναμονής. 3.1. Διατύπωση του Προβλήματος. Τα συστήματα αναμονής (queueing systems), βρίσκονται πίσω από τα περισσότερα μοντέλα μελέτης της απόδοσης υπολογιστικών συστημάτων,
Διαβάστε περισσότεραίκτυα Επικοινωνίας Υπολογιστών
ίκτυα Επικοινωνίας Υπολογιστών Ενότητα: Ασκήσεις για την ενότητα 5 (Στοιχεία Θεωρίας Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης) Ιωάννης Μοσχολιός Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σελίδα 2 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΤΗΛΕΦΩΝΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΤΗΛΕΦΩΝΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ Τέλεια δέσµη: όλες οι γραµµές της είναι προσπελάσιµες από οποιαδήποτε είσοδο. Ατελής δέσµη: όλες οι γραµµές της δεν είναι προσπελάσιµες από οποιαδήποτε είσοδο
Διαβάστε περισσότεραΔΕΟ13 - Επαναληπτικές Εξετάσεις 2010 Λύσεις
ΔΕΟ - Επαναληπτικές Εξετάσεις Λύσεις ΘΕΜΑ () Το Διάγραμμα Διασποράς εμφανίζεται στο επόμενο σχήμα. Από αυτό προκύπτει καταρχήν μία θετική σχέση μεταξύ των δύο μεταβλητών. Επίσης, από το διάγραμμα φαίνεται
Διαβάστε περισσότεραιαστασιοποίηση του Ασύρµατου Μέρους του ικτύου
ιαστασιοποίηση του Ασύρµατου Μέρους του ικτύου Συγκέντρωση/Οµαδοποίηση Πόρων Τα συστήµατα απευθύνονται σε µεγάλο πλήθος χρηστών Η συγκέντρωση (trunking) ή αλλιώς οµαδοποίηση των διαθέσιµων καναλιών επιτρέπει
Διαβάστε περισσότεραX = συνεχης. Είναι εμφανές ότι αναγκαία προϋπόθεση για την ύπαρξη της ροπογεννήτριας
Ροπογεννήτριες (mome geerig fucios), πιθανογεννήτριες (robbiliy geerig fucios) και χαρακτηριστικές συναρτήσεις (chrcerisic fucios) Η ροπογεννήτρια συνάρτηση της τμ είναι η πραγματική συνάρτηση πραγματικής
Διαβάστε περισσότερα1 + ρ ρ ρ3. iπ i = Q = λ λ i=0. n=0 tn. n! Qn, t 0
Στοχαστικές Διαδικασίες ΙΙ Ιανουάριος 07 Διαδικασίες Markov σε Συνεχή Χρόνο - Παραδείγματα Μ. Ζαζάνης Πρόβλημα. Εστω ένα σύστημα M/M//3 στο οποίο οι αφίξεις είναι Poisson με ρυθμό λ και οι δύο υπηρέτες
Διαβάστε περισσότεραπου αντιστοιχεί στον τυχαίο αριθμό 0.6 δίνει ισχύ P Y Να βρεθεί η μεταβλητή k 2.
(μονάδα παραγωγής ενέργειας) Έχουμε μια απομακρυσμένη μονάδα παραγωγής ενέργειας. Η ζήτηση σε ενέργεια καλύπτεται από διάφορες πηγές. Η ισχύς εξόδου της ανεμογεννήτριας εξαρτάται από την ταχύτητα ανέμου
Διαβάστε περισσότερακαθ. Βασίλης Μάγκλαρης
ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ & ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Αίθουσα 005 - Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Ε.Μ.Π. Ενισχυτική Μάθηση - Δυναμικός Προγραμματισμός: 1. Markov Decision Processes 2. Bellman s Optimality Criterion 3. Αλγόριθμος
Διαβάστε περισσότεραΤηλεπικοινωνιακά Ψηφιακά Δίκτυα Ενότητα 2: Θεωρία Κίνησης. Βαρουτάς Δημήτρης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών
Τηλεπικοινωνιακά Ψηφιακά Δίκτυα Ενότητα 2: Θεωρία Κίνησης Βαρουτάς Δημήτρης Σχολή Θετικών Επιστημών Κλήσεις σε εξέλιξη 22/6/2013 ΘΕΩΡΙΑ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΑ ΔΙΚΤΥΑ Θ. ΣΦΗΚΟΠΟΥΛΟΣ 1 ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΚΙΝΗΣΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΔίκτυα Τηλεπικοινωνιών. και Μετάδοσης
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Δίκτυα Τηλεπικοινωνιών και Μετάδοσης Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής & Δρ. Στυλιανός Π. Τσίτσος Επίκουρος Καθηγητής
Διαβάστε περισσότεραΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή Η τυποποιηµένη διαδικασία µοντελοποίησης της αξιοπιστίας συστηµάτων είναι η αποσύνθεση του σε υποσυστήµατα και εκτίµηση των δεικτών του συστήµατος σε συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΤμημα Μαθηματικων Διατμηματικο Προγραμμα Μεταπτυχιακων Σπουδων Μαθηματικα Των Υπολογιστων Και Των Αποφασεων Ουρές αναμονής με ανυπόμονους πελάτες σε ετερογενές περιβάλλον: Ανασκόπηση και μια εφαρμογή.
Διαβάστε περισσότεραpdf: X U(a, b) 0, x < a 1 b a, a x b 0, x > b
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (8η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2018-2019 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 41 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότερα