Slide 1 of 18 Tensors in Mathematica 9: Built-In Capabilities. George E. Hrabovsky MAST

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Slide 1 of 18 Tensors in Mathematica 9: Built-In Capabilities. George E. Hrabovsky MAST"

Transcript

1 Slide of 8 Tensos in Mathematica 9: Built-In Capabilities eoge E. Habovsky MAST

2 This Talk I intend to cove fou main topics: How to make tensos in the newest vesion of Mathematica. The metic tenso and how to tansfom vectos into covectos. Catesian tenso opeations. R Opeations

3 How to Build a Tenso in Mathematica 9 Rank One Fo ank one tensos, we can wite them as tangent vectos, TableA9xi=, 8i, 8"", "", ""<<E MatixFom x x x o as covectos 8i, 8"", "", ""<<D 8x, x, x<

4 4 Rank Two and Highe We can use simila methods to develop ank two tensos, though Mathematica is not able to cope with abstact indices without help fom thid-paty softwae I like xact. TableAΣi j, 8i, 8x, y, z<<, 8j, 8x, y, z<<e MatixFom Σx Σx y Σx y Σx z Σy Σy z Σx z Σy z Σz 8i, 8x, y, z<<, 8j, 8x, y, z<<e MatixFom Σx x Σx y Σx z Σy x Σy y Σy z Σz x Σz y Σz z You can poduce the individual tenso components, j_, n_d := TableB Η xj viaxje + xi - IfBi j, 8k,, n, <F MatixFom xk F + j, Ξ xk D,

5 D, D, D< TaditionalFom Η v HxL + Ξ v HxL 4 : Η J v HxL Η J v HxL - v HxLN + Ξ v HxL, v HxLN + Ξ v HxL Η Hv HxL + v HxLL Η Hv HxL + v HxLL, Η Hv HxL + v HxLL Η Hv HxL + v HxLL Η Hv HxL + v HxLL > Η Hv HxL + v HxLL You can also wite a table to poduce the entie tenso := j, nd, 8i,, n, <, 8j,, n, <D MatixFom TaditionalFom 4 Η v HxL + Ξ v HxL Η J v HxL Η J v HxL - v HxLN + Ξ v HxL v HxLN + Ξ v HxL Η Hv HxL + v HxLL Η Hv HxL + v HxLL Η Hv HxL + v HxLL Η Hv HxL + v HxLL Η Hv HxL + v HxLL Η Hv HxL + v HxLL Η Hv HxL + v HxLL Η Hv HxL + v HxLL Η Hv HxL + v HxLL Η J v HxL - Η J v HxL - 4 v HxLN + Ξ v HxL Η v HxL + Ξ v HxL v HxLN + Ξ v HxL Η Hv HxL + v HxLL Η Hv HxL + v HxLL Η Hv HxL + v HxLL Η Hv HxL + v HxLL Η Hv HxL + v HxLL Η Hv HxL + v HxLL Η Hv HxL + v HxLL Η Hv HxL + v HxLL Η Hv HxL + v HxLL Η J v HxL Η J v HxL 4 v HxLN + Ξ v HxL v HxLN + Ξ v HxL Η v HxL + Ξ v HxL 5

6 6 The Metic Tenso A specific example of a calculation is one whee we tansfom fom a tangent vecto to a covecto using the metic tenso, vi = gij v j () So, given the tangent vecto v j = H, cos Θ, - ΦL, and assuming we ae in spheical coodinates, we can find the metic. tv = 8, - Φ<; met = "Metic", 8, Θ, Φ<D TaditionalFom sinhθl We can even find the invese metic, im = "InveseMetic", 8, Θ, Φ<D TaditionalFom cschθl

7 We take the poduct of the invese metic with the tangent vecto, tv. "InveseMetic", 8, Θ, Φ<D TaditionalFom giving us the covecto :, coshθl, Φ csc HΘL > 7

8 8 The Catesian Tenso We ceate a new tenso, newtenso = 8i,, <, 8j,, <, 8k,, <E; newtenso MatixFom TaditionalFom x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z We can see if its a tenso, Tue We can find its ank

9 9 We can pefom a contaction contens = TableBâ a, add, 8i,, <F MatixFom TaditionalFom a= x y z + x y z + x y z x y z + x y z + x y z x y z + x y z + x y z We have the inne poduct in = newtenso, newtenso, PlusD FullSimplify MatixFom x y z Ix z + x z + x z M x y z Ix z + x z + x z M x y z Ix z + x z + x z M x y+ z Ix z + x z + x z M x y+ z Ix z + x z + x z M x y+ z Ix z + x z + x z M x y + z Ix z + x z + x z M x y x y z Ix z + x z + x z M + z Ix z + x z + x z M x y + x z Ix z + x z + x z M x z Ix z + x z + x z M x x y z Ix z + x z + x z M x x y+ z Ix z + x z + x z M x y+ z Ix z + x z + x z M x y+ z Ix z + x z + x z M x x y+ z Ix z + x z + x z M x y+ z Ix z + x z + x z M x y+ z Ix z + x z + x z M x x y + x y z Ix z + x z + x z M x z Ix z + x z + x z M x y x y z Ix z + x z + x z M + z Ix z + x z + x z M x y x y z Ix z + x z + x z M + x y z Ix z + x z + x z M x x y+ z Ix z + x z + x z M x y+ z Ix z + x z + x z M x y+ z Ix z + x z + x z M x x y z Ix z + x z + x z M x y z Ix z + x z + x z M x x y+ z Ix z + x z + x z M x y+ z Ix z + x z + x z M x y+ z Ix z + x z + x z M x x y+ z Ix z + x z + x z M x y+ z Ix z + x z + x z M x y+ z Ix z + x z + x z M x newtenso. newtenso FullSimplify MatixFom x y z Ix z + x z + x z M x y+ z Ix z + x z + x z M x y+ z Ix z + x z + x z M x y+ z Ix z + x z + x z M x y z Ix z + x z + x z M x y + x y z Ix z + x z + x z M z Ix z + x z + x z M x y x y z Ix z + x z + x z M + x y z Ix z + x z + x z M z Ix z + x z + x z M x y + x z Ix z + x z + x z M x z Ix z + x z + x z M x x y z Ix z + x z + x z M x x y+ z Ix z + x z + x z M x y+ z Ix z + x z + x z M x y+ z Ix z + x z + x z M x x y + x y z Ix z + x z + x z M x z Ix z + x z + x z M x y + z Ix z + x z + x z M x y +

10 We can take the diect poduct, in = newtenso, newtensod FullSimplify MatixFom A vey lage output was geneated. Hee is a sample of it: x y z x y z+ x y z+ H L H L x y+ z x y+ z+ x y z H L H L H L H L H L H L H L H L H L H L H L H L H L H L H L H L Show Less Show Moe Show Full Output Set Size Limit... H L H L H L H L H L H L H L H L H L H L H L

11 We can take the tace of the tenso, x y z + x y z + x y z We can tanspose, MatixFom TaditionalFom x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z We can take a patial deivative x newtenso MatixFom TaditionalFom x - y z x - y z x - y z x - y z x - y z x - y z x - y z x - y z x - y z x - y z y z x - y z x - y z x - y z x - y z x - y z x - y z x - y z x - y z y z x x - y z x x - x - y z x - y z - x - y z x - - y z y z x - y z

12 we can detemine the diffeentials MatixFom TaditionalFom â x x - y z + â y x y - z + â z x y z - â x x - y z + â y x y - z + â z x y z - â x x - y z + â y x y - z + â z x y z - â x x - â x x - y z + â y x y - z + â z x y z - â x x - y z + â y x y - z + â z x y z - â x x - y z +ây x y - z + âz x y z â x x - â x x - y z + â y x y - z + â z x y z - â x x - y z + â y x y - z + â z x y z - â x x - âx x y z +ây x y - - z + âz x y z âx x - z + âz x y z â x x - y z + â y x y - z + â z x y z - âx x â x x - y z + â y x y - z + â z x y z - z + âz x y z - y z +ây x y - â x x - - â x x - y z + â y x y - z + â z x y z - â x x - y z + â y x y - z + â z x y z - y z +ây x y - âx x - â x x âx x - â x x â x x - - â x x - y z + â y x y - z + â z x y z - - âx x - y z +ây x y y z +ây x y - z + âz x y z - - z + âz x y z â x x -

13 We can look fo symmeties, 8< symten = <DD 8,, <, -Stuctued Data-D MatixFom Ix y z - x y z M Ix y z - x y z M Ix y z - x y z M Ix y z - x y z M <D I- x y z + x y z M I- x y z + x y z M Ix y z - x y z M Ix y z - x y z M I- x y z + x y z M Ix y z - x y z M Ix y z - x y z M Ix y z - x y z M I- x y z + x y z M I- x y z + x y z M I- x y z + x y z M I- x y z + x y z M I- x y z + x y z M I- x y z + x y z M

14 4 R Opeations The Metic Hee we input the metic In[4]:= := 8n = g, ing<, g = ³ Ν, ΝDD, ΜDDD, 8Μ, n<, 8Ν, n<d; ing = 8n, g, ing<d we assign labels to the coodinates In[4]:= 8Μ, 4<DD = 8t,, Θ, j<; Hee is the Schwazschild metic: In[4]:= MeticA98 - <, 8, - H - L<, 9,, - =, 9,,, - TaditionalFom - - Out[4]//TaditionalFom= :4, - - -, sinhθl - csc HΘL >

15 5 Hee we have the Chistoffel Symbols: In[5]:= g_, ing_<, := ModuleA 8, in<, = in = 8Λ, n<, 8Μ, n<, 8Ν, n<d; Μ, ΝDD = ΝDD, + ΜDD, - ΝDD, D; ¹ Ν, Ν, ΜDD = Μ, ΝDDD, 8Λ, n<, 8Μ, n<, 8Ν, Μ<D; Μ, ΝDD = ΡDD Μ, ΝDD, 8Ρ, n<dd; ¹ Ν, Ν, ΜDD = Μ, ΝDDD, 8Λ, n<, 8Μ, n<, 8Ν, Μ<D; Μ, ΝDD =!=, " ", Μ, ΝDDDD, 8Λ, n<, 8Μ, n<, 8Ν, Μ<D; Μ, ΝDD =!=, " ", Μ, ΝDDEE, 8Λ, n<, 8Μ, n<, 8Ν, Μ< EE; In[49]:= 8, in<e g_, ing_<, := 8, in<, = in = 8Λ, n<, 8Μ, n<, 8Ν, n<d; Μ, ΝDD = ΝDD, + ΜDD, - ΝDD, D; ¹ Ν, Ν, ΜDD = Μ, ΝDDD, 8Λ, n<, 8Μ, n<, 8Ν, Μ<D; Μ, ΝDD = ΡDD * Μ, ΝDD, 8Ρ, n<dd; ¹ Ν, Ν, ΜDD = Μ, ΝDDD, 8Λ, n<, 8Μ, n<, 8Ν, Μ<D; Μ, ΝDD =!=, Λ -, Μ -, Ν -, " ", Μ, ΝDDDD, 8Λ, n<, 8Μ, n<, 8Ν, Μ<D; Μ, ΝDD =!=, Λ -, Μ -, Ν -, " ", Μ, ΝDDDD, 8Λ, n<, 8Μ, n<, 8Ν, Μ< D; 8, in<d Hee we calculate the Chistoffel symbols fo the Schwazschild Metic In[5]:= ChistoffelA MeticA98 - <, 8, - H - L<, 9,, - =, 9,,, -

16 H- + L - + H- + L - - -H- + L

17 Hee we calculate the components of the Riemann tenso: In[54]:= g_, ing_<, := 8, in, R = 8Α, n<, 8Β, n<, 8Μ, n<, 8Ν, n<d, R = 8Μ, n<, 8Ν, n<d, R<, 8, in< = g, ing<d; Β, Μ, ΝDD = Α, Ν, ΜDD = ΛDD Β, ΝDD, - Β, ΜDD, + Λ, ΜDD Β, ΝDD - Λ, ΝDD Β, ΜDD, 8Λ, n<dd; Α, Μ, ΝDD = Β, Ν, ΜDD = - Β, Μ, ΝDD; ¹ Α, Ν, Α, ΒDD = Μ, Β, ΑDD = Β, Μ, ΝDD; Μ, Α, ΒDD = Ν, Β, ΑDD = - Β, Μ, ΝDDD, 8Α,, n<, 8Β, Α - <, 8Μ,, Α<, 8Ν, === Α, Β, Μ - D<D; ΝDD = ΒDD * Μ, Β, ΝDD, 8Α, n<, 8Β, n<dd; ¹ Ν, ΜDD = ΝDDD, 8Μ, n<, 8Ν, Μ<D; R = ΝDD ΝDD ¹ Ν,, D, 8Μ, n<, 8Ν, Μ<DD; Β, Μ, ΝDD =!=, " ", Β, Μ, ΝDDDD, 8Α,, n<, 8Β, Α - <, 8Μ,, Α<, 8Ν, === Α, Β, Μ - D<D; ΝDD =!=, " ", ΝDDDD, 8Μ, n<, 8Ν, Μ<D; =!=, ", RDD; 8R, R, R<D 7

18 8 Hee is the output fo the Schwazschild metic, assuming S = : In[55]:= - <, 8, - H - L<, 8,, - ^ <, 8,,, - ^ ^ <<DD; H- + L - + H- + L - - -H- + L R - + R R H- + L R - H- + L R - + R -

19 Thank You! eoge E. Habovsky MAST 9

Curvilinear Systems of Coordinates

Curvilinear Systems of Coordinates A Cuvilinea Systems of Coodinates A.1 Geneal Fomulas Given a nonlinea tansfomation between Catesian coodinates x i, i 1,..., 3 and geneal cuvilinea coodinates u j, j 1,..., 3, x i x i (u j ), we intoduce

Διαβάστε περισσότερα

e t e r Cylindrical and Spherical Coordinate Representation of grad, div, curl and 2

e t e r Cylindrical and Spherical Coordinate Representation of grad, div, curl and 2 Cylindical and Spheical Coodinate Repesentation of gad, div, cul and 2 Thus fa, we have descibed an abitay vecto in F as a linea combination of i, j and k, which ae unit vectos in the diection of inceasin,

Διαβάστε περισσότερα

Laplace s Equation in Spherical Polar Coördinates

Laplace s Equation in Spherical Polar Coördinates Laplace s Equation in Spheical Pola Coödinates C. W. David Dated: Januay 3, 001 We stat with the pimitive definitions I. x = sin θ cos φ y = sin θ sin φ z = cos θ thei inveses = x y z θ = cos 1 z = z cos1

Διαβάστε περισσότερα

r = x 2 + y 2 and h = z y = r sin sin ϕ

r = x 2 + y 2 and h = z y = r sin sin ϕ Homewok 4. Solutions Calculate the Chistoffel symbols of the canonical flat connection in E 3 in a cylindical coodinates x cos ϕ, y sin ϕ, z h, b spheical coodinates. Fo the case of sphee ty to make calculations

Διαβάστε περισσότερα

Space Physics (I) [AP-3044] Lecture 1 by Ling-Hsiao Lyu Oct Lecture 1. Dipole Magnetic Field and Equations of Magnetic Field Lines

Space Physics (I) [AP-3044] Lecture 1 by Ling-Hsiao Lyu Oct Lecture 1. Dipole Magnetic Field and Equations of Magnetic Field Lines Space Physics (I) [AP-344] Lectue by Ling-Hsiao Lyu Oct. 2 Lectue. Dipole Magnetic Field and Equations of Magnetic Field Lines.. Dipole Magnetic Field Since = we can define = A (.) whee A is called the

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Differential Equations in Polar Coordinates

4.2 Differential Equations in Polar Coordinates Section 4. 4. Diffeential qations in Pola Coodinates Hee the two-dimensional Catesian elations of Chapte ae e-cast in pola coodinates. 4.. qilibim eqations in Pola Coodinates One wa of epesg the eqations

Διαβάστε περισσότερα

Fundamental Equations of Fluid Mechanics

Fundamental Equations of Fluid Mechanics Fundamental Equations of Fluid Mechanics 1 Calculus 1.1 Gadient of a scala s The gadient of a scala is a vecto quantit. The foms of the diffeential gadient opeato depend on the paticula geomet of inteest.

Διαβάστε περισσότερα

Lecture VI: Tensor calculus

Lecture VI: Tensor calculus Lectue VI: Tenso calculus Chistophe M. Hiata Caltech M/C 350-7, Pasadena CA 925, USA (Dated: Octobe 4, 20) I. OVERVIEW In this lectue, we will begin with some examples fom vecto calculus, and then continue

Διαβάστε περισσότερα

Instruction Execution Times

Instruction Execution Times 1 C Execution Times InThisAppendix... Introduction DL330 Execution Times DL330P Execution Times DL340 Execution Times C-2 Execution Times Introduction Data Registers This appendix contains several tables

Διαβάστε περισσότερα

Q1a. HeavisideTheta x. Plot f, x, Pi, Pi. Simplify, n Integers

Q1a. HeavisideTheta x. Plot f, x, Pi, Pi. Simplify, n Integers 2 M2 Fourier Series answers in Mathematica Note the function HeavisideTheta is for x>0 and 0 for x

Διαβάστε περισσότερα

Section 8.3 Trigonometric Equations

Section 8.3 Trigonometric Equations 99 Section 8. Trigonometric Equations Objective 1: Solve Equations Involving One Trigonometric Function. In this section and the next, we will exple how to solving equations involving trigonometric functions.

Διαβάστε περισσότερα

2 Composition. Invertible Mappings

2 Composition. Invertible Mappings Arkansas Tech University MATH 4033: Elementary Modern Algebra Dr. Marcel B. Finan Composition. Invertible Mappings In this section we discuss two procedures for creating new mappings from old ones, namely,

Διαβάστε περισσότερα

Areas and Lengths in Polar Coordinates

Areas and Lengths in Polar Coordinates Kiryl Tsishchanka Areas and Lengths in Polar Coordinates In this section we develop the formula for the area of a region whose boundary is given by a polar equation. We need to use the formula for the

Διαβάστε περισσότερα

Oscillating dipole system Suppose we have two small spheres separated by a distance s. The charge on one sphere changes with time and is described by

Oscillating dipole system Suppose we have two small spheres separated by a distance s. The charge on one sphere changes with time and is described by 5 Radiation (Chapte 11) 5.1 Electic dipole adiation Oscillating dipole system Suppose we have two small sphees sepaated by a distance s. The chage on one sphee changes with time and is descibed by q(t)

Διαβάστε περισσότερα

The Laplacian in Spherical Polar Coordinates

The Laplacian in Spherical Polar Coordinates Univesity of Connecticut DigitalCommons@UConn Chemisty Education Mateials Depatment of Chemisty -6-007 The Laplacian in Spheical Pola Coodinates Cal W. David Univesity of Connecticut, Cal.David@uconn.edu

Διαβάστε περισσότερα

Partial Trace and Partial Transpose

Partial Trace and Partial Transpose Partial Trace and Partial Transpose by José Luis Gómez-Muñoz http://homepage.cem.itesm.mx/lgomez/quantum/ jose.luis.gomez@itesm.mx This document is based on suggestions by Anirban Das Introduction This

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 19/5/2007

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 19/5/2007 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις να αναφερθούν στη σχετική ερώτηση. Όλα τα αρχεία που αναφέρονται στα προβλήματα βρίσκονται στον ίδιο φάκελο με το εκτελέσιμο

Διαβάστε περισσότερα

Homework 3 Solutions

Homework 3 Solutions Homework 3 Solutions Igor Yanovsky (Math 151A TA) Problem 1: Compute the absolute error and relative error in approximations of p by p. (Use calculator!) a) p π, p 22/7; b) p π, p 3.141. Solution: For

Διαβάστε περισσότερα

1 Full derivation of the Schwarzschild solution

1 Full derivation of the Schwarzschild solution EPGY Summe Institute SRGR Gay Oas 1 Full deivation of the Schwazschild solution The goal of this document is to povide a full, thooughly detailed deivation of the Schwazschild solution. Much of the diffeential

Διαβάστε περισσότερα

TMA4115 Matematikk 3

TMA4115 Matematikk 3 TMA4115 Matematikk 3 Andrew Stacey Norges Teknisk-Naturvitenskapelige Universitet Trondheim Spring 2010 Lecture 12: Mathematics Marvellous Matrices Andrew Stacey Norges Teknisk-Naturvitenskapelige Universitet

Διαβάστε περισσότερα

Exercises 10. Find a fundamental matrix of the given system of equations. Also find the fundamental matrix Φ(t) satisfying Φ(0) = I. 1.

Exercises 10. Find a fundamental matrix of the given system of equations. Also find the fundamental matrix Φ(t) satisfying Φ(0) = I. 1. Exercises 0 More exercises are available in Elementary Differential Equations. If you have a problem to solve any of them, feel free to come to office hour. Problem Find a fundamental matrix of the given

Διαβάστε περισσότερα

Exercises to Statistics of Material Fatigue No. 5

Exercises to Statistics of Material Fatigue No. 5 Prof. Dr. Christine Müller Dipl.-Math. Christoph Kustosz Eercises to Statistics of Material Fatigue No. 5 E. 9 (5 a Show, that a Fisher information matri for a two dimensional parameter θ (θ,θ 2 R 2, can

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 6/5/2006

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 6/5/2006 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Ολοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα είναι μικρότεροι το 1000 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση του προβλήματος. Διάρκεια: 3,5 ώρες Καλή

Διαβάστε περισσότερα

CRASH COURSE IN PRECALCULUS

CRASH COURSE IN PRECALCULUS CRASH COURSE IN PRECALCULUS Shiah-Sen Wang The graphs are prepared by Chien-Lun Lai Based on : Precalculus: Mathematics for Calculus by J. Stuwart, L. Redin & S. Watson, 6th edition, 01, Brooks/Cole Chapter

Διαβάστε περισσότερα

EE512: Error Control Coding

EE512: Error Control Coding EE512: Error Control Coding Solution for Assignment on Finite Fields February 16, 2007 1. (a) Addition and Multiplication tables for GF (5) and GF (7) are shown in Tables 1 and 2. + 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3

Διαβάστε περισσότερα

EU-Profiler: User Profiles in the 2009 European Elections

EU-Profiler: User Profiles in the 2009 European Elections ZA5806 EU-Profiler: User Profiles in the 2009 European Elections Country Specific Codebook Cyprus COUNTRY SPECIFIC CODEBOOK: CYPRUS Variable answer_29 answer_30 saliency_29 saliency_30 party_val_49 party_val_50

Διαβάστε περισσότερα

Section 9.2 Polar Equations and Graphs

Section 9.2 Polar Equations and Graphs 180 Section 9. Polar Equations and Graphs In this section, we will be graphing polar equations on a polar grid. In the first few examples, we will write the polar equation in rectangular form to help identify

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Α. Διαβάστε τις ειδήσεις και εν συνεχεία σημειώστε. Οπτική γωνία είδησης 1:.

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Α.  Διαβάστε τις ειδήσεις και εν συνεχεία σημειώστε. Οπτική γωνία είδησης 1:. ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Α 2 ειδήσεις από ελληνικές εφημερίδες: 1. Τα Νέα, 13-4-2010, Σε ανθρώπινο λάθος αποδίδουν τη συντριβή του αεροσκάφους, http://www.tanea.gr/default.asp?pid=2&artid=4569526&ct=2 2. Τα Νέα,

Διαβάστε περισσότερα

Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α

Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Α Ρ Χ Α Ι Α Ι Σ Τ Ο Ρ Ι Α Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Σ η µ ε ί ω σ η : σ υ ν ά δ ε λ φ ο ι, ν α µ ο υ σ υ γ χ ω ρ ή σ ε τ ε τ ο γ ρ ή γ ο ρ ο κ α ι α τ η µ έ λ η τ ο ύ

Διαβάστε περισσότερα

Model NAST (Separable Type)

Model NAST (Separable Type) Model NAST (Sepaable Type) Mateial abon steel Rolle With cage ylindical oute ing Oute ing shape Spheical oute ing R D di 1 1 d Model NAST ating Model NAST-R Tack load capacity ylindical Spheical limit

Διαβάστε περισσότερα

dx x ψ, we should find a similar expression for rθφ L ψ. From L = R P and our knowledge of momentum operators, it follows that + e y z d

dx x ψ, we should find a similar expression for rθφ L ψ. From L = R P and our knowledge of momentum operators, it follows that + e y z d PHYS851 Quantum Mechanics I, Fall 2009 HOMEWORK ASSIGNMENT 11 Topics Coveed: Obital angula momentum, cente-of-mass coodinates Some Key Concepts: angula degees of feedom, spheical hamonics 1. [20 pts] In

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΕΝΑ ΦΛΟΚΑ Επίκουρος Καθηγήτρια Τµήµα Φυσικής, Τοµέας Φυσικής Περιβάλλοντος- Μετεωρολογίας ΓΕΝΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ Πληθυσµός Σύνολο ατόµων ή αντικειµένων στα οποία αναφέρονται

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική Μάθηση Hypothesis Testing

Μηχανική Μάθηση Hypothesis Testing ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Μηχανική Μάθηση Hypothesis Testing Γιώργος Μπορμπουδάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Procedure 1. Form the null (H 0 ) and alternative (H 1 ) hypothesis 2. Consider

Διαβάστε περισσότερα

Approximation of distance between locations on earth given by latitude and longitude

Approximation of distance between locations on earth given by latitude and longitude Approximation of distance between locations on earth given by latitude and longitude Jan Behrens 2012-12-31 In this paper we shall provide a method to approximate distances between two points on earth

Διαβάστε περισσότερα

2. Μηχανικό Μαύρο Κουτί: κύλινδρος με μια μπάλα μέσα σε αυτόν.

2. Μηχανικό Μαύρο Κουτί: κύλινδρος με μια μπάλα μέσα σε αυτόν. Experiental Copetition: 14 July 011 Proble Page 1 of. Μηχανικό Μαύρο Κουτί: κύλινδρος με μια μπάλα μέσα σε αυτόν. Ένα μικρό σωματίδιο μάζας (μπάλα) βρίσκεται σε σταθερή απόσταση z από το πάνω μέρος ενός

Διαβάστε περισσότερα

Econ 2110: Fall 2008 Suggested Solutions to Problem Set 8 questions or comments to Dan Fetter 1

Econ 2110: Fall 2008 Suggested Solutions to Problem Set 8  questions or comments to Dan Fetter 1 Eon : Fall 8 Suggested Solutions to Problem Set 8 Email questions or omments to Dan Fetter Problem. Let X be a salar with density f(x, θ) (θx + θ) [ x ] with θ. (a) Find the most powerful level α test

Διαβάστε περισσότερα

Example of the Baum-Welch Algorithm

Example of the Baum-Welch Algorithm Example of the Baum-Welch Algorithm Larry Moss Q520, Spring 2008 1 Our corpus c We start with a very simple corpus. We take the set Y of unanalyzed words to be {ABBA, BAB}, and c to be given by c(abba)

Διαβάστε περισσότερα

Finite Field Problems: Solutions

Finite Field Problems: Solutions Finite Field Problems: Solutions 1. Let f = x 2 +1 Z 11 [x] and let F = Z 11 [x]/(f), a field. Let Solution: F =11 2 = 121, so F = 121 1 = 120. The possible orders are the divisors of 120. Solution: The

Διαβάστε περισσότερα

Ordinal Arithmetic: Addition, Multiplication, Exponentiation and Limit

Ordinal Arithmetic: Addition, Multiplication, Exponentiation and Limit Ordinal Arithmetic: Addition, Multiplication, Exponentiation and Limit Ting Zhang Stanford May 11, 2001 Stanford, 5/11/2001 1 Outline Ordinal Classification Ordinal Addition Ordinal Multiplication Ordinal

Διαβάστε περισσότερα

Στο εστιατόριο «ToDokimasesPrinToBgaleisStonKosmo?» έξω από τους δακτυλίους του Κρόνου, οι παραγγελίες γίνονται ηλεκτρονικά.

Στο εστιατόριο «ToDokimasesPrinToBgaleisStonKosmo?» έξω από τους δακτυλίους του Κρόνου, οι παραγγελίες γίνονται ηλεκτρονικά. Διαστημικό εστιατόριο του (Μ)ΑστροΈκτορα Στο εστιατόριο «ToDokimasesPrinToBgaleisStonKosmo?» έξω από τους δακτυλίους του Κρόνου, οι παραγγελίες γίνονται ηλεκτρονικά. Μόλις μια παρέα πελατών κάτσει σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

14 Lesson 2: The Omega Verb - Present Tense

14 Lesson 2: The Omega Verb - Present Tense Lesson 2: The Omega Verb - Present Tense Day one I. Word Study and Grammar 1. Most Greek verbs end in in the first person singular. 2. The present tense is formed by adding endings to the present stem.

Διαβάστε περισσότερα

Durbin-Levinson recursive method

Durbin-Levinson recursive method Durbin-Levinson recursive method A recursive method for computing ϕ n is useful because it avoids inverting large matrices; when new data are acquired, one can update predictions, instead of starting again

Διαβάστε περισσότερα

department listing department name αχχουντσ ϕανε βαλικτ δδσϕηασδδη σδηφγ ασκϕηλκ τεχηνιχαλ αλαν ϕουν διξ τεχηνιχαλ ϕοην µαριανι

department listing department name αχχουντσ ϕανε βαλικτ δδσϕηασδδη σδηφγ ασκϕηλκ τεχηνιχαλ αλαν ϕουν διξ τεχηνιχαλ ϕοην µαριανι She selects the option. Jenny starts with the al listing. This has employees listed within She drills down through the employee. The inferred ER sttricture relates this to the redcords in the databasee

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. ιπλωµατική Εργασία. της ΘΕΟ ΟΣΟΠΟΥΛΟΥ ΕΛΕΝΗΣ ΜΣ:5411

ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. ιπλωµατική Εργασία. της ΘΕΟ ΟΣΟΠΟΥΛΟΥ ΕΛΕΝΗΣ ΜΣ:5411 Παρακίνηση εργαζοµένων: Ο ρόλος του ηγέτη στην παρακίνηση των εργαζοµένων. ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ιπλωµατική Εργασία της ΘΕΟ ΟΣΟΠΟΥΛΟΥ ΕΛΕΝΗΣ ΜΣ:5411 ΠΑΡΑΚΙΝΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

If we restrict the domain of y = sin x to [ π, π ], the restrict function. y = sin x, π 2 x π 2

If we restrict the domain of y = sin x to [ π, π ], the restrict function. y = sin x, π 2 x π 2 Chapter 3. Analytic Trigonometry 3.1 The inverse sine, cosine, and tangent functions 1. Review: Inverse function (1) f 1 (f(x)) = x for every x in the domain of f and f(f 1 (x)) = x for every x in the

Διαβάστε περισσότερα

Homework for 1/27 Due 2/5

Homework for 1/27 Due 2/5 Name: ID: Homework for /7 Due /5. [ 8-3] I Example D of Sectio 8.4, the pdf of the populatio distributio is + αx x f(x α) =, α, otherwise ad the method of momets estimate was foud to be ˆα = 3X (where

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Κατ/νση Τοπικής Αυτοδιοίκησης ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Μοντέλα στρατηγικής διοίκησης και

Διαβάστε περισσότερα

If we restrict the domain of y = sin x to [ π 2, π 2

If we restrict the domain of y = sin x to [ π 2, π 2 Chapter 3. Analytic Trigonometry 3.1 The inverse sine, cosine, and tangent functions 1. Review: Inverse function (1) f 1 (f(x)) = x for every x in the domain of f and f(f 1 (x)) = x for every x in the

Διαβάστε περισσότερα

Potential Dividers. 46 minutes. 46 marks. Page 1 of 11

Potential Dividers. 46 minutes. 46 marks. Page 1 of 11 Potential Dividers 46 minutes 46 marks Page 1 of 11 Q1. In the circuit shown in the figure below, the battery, of negligible internal resistance, has an emf of 30 V. The pd across the lamp is 6.0 V and

Διαβάστε περισσότερα

Theoretical Competition: 12 July 2011 Question 1 Page 1 of 2

Theoretical Competition: 12 July 2011 Question 1 Page 1 of 2 Theoetical Competition: July Question Page of. Ένα πρόβλημα τριών σωμάτων και το LISA μ M O m EIKONA Ομοεπίπεδες τροχιές των τριών σωμάτων. Δύο μάζες Μ και m κινούνται σε κυκλικές τροχιές με ακτίνες και,

Διαβάστε περισσότερα

Εγκατάσταση λογισμικού και αναβάθμιση συσκευής Device software installation and software upgrade

Εγκατάσταση λογισμικού και αναβάθμιση συσκευής Device software installation and software upgrade Για να ελέγξετε το λογισμικό που έχει τώρα η συσκευή κάντε κλικ Menu > Options > Device > About Device Versions. Στο πιο κάτω παράδειγμα η συσκευή έχει έκδοση λογισμικού 6.0.0.546 με πλατφόρμα 6.6.0.207.

Διαβάστε περισσότερα

CHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS

CHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS CHAPTER 5 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS EXERCISE 104 Page 8 1. Find the positive root of the equation x + 3x 5 = 0, correct to 3 significant figures, using the method of bisection. Let f(x) =

Διαβάστε περισσότερα

Volume of a Cuboid. Volume = length x breadth x height. V = l x b x h. The formula for the volume of a cuboid is

Volume of a Cuboid. Volume = length x breadth x height. V = l x b x h. The formula for the volume of a cuboid is Volume of a Cuboid The formula for the volume of a cuboid is Volume = length x breadth x height V = l x b x h Example Work out the volume of this cuboid 10 cm 15 cm V = l x b x h V = 15 x 6 x 10 V = 900cm³

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 24/3/2007

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 24/3/2007 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Όλοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα μικρότεροι του 10000 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση του προβλήματος. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

Code Breaker. TEACHER s NOTES

Code Breaker. TEACHER s NOTES TEACHER s NOTES Time: 50 minutes Learning Outcomes: To relate the genetic code to the assembly of proteins To summarize factors that lead to different types of mutations To distinguish among positive,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΑΛΛΗΛΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ ΣΤΗΝ ΑΓΓΛΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΑΛΛΗΛΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ ΣΤΗΝ ΑΓΓΛΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΑΛΛΗΛΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ ΣΤΗΝ ΑΓΓΛΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ Ενότητα 3: Phrases to use in business letters and e-mails Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

EE101: Resonance in RLC circuits

EE101: Resonance in RLC circuits EE11: Resonance in RLC circuits M. B. Patil mbatil@ee.iitb.ac.in www.ee.iitb.ac.in/~sequel Deartment of Electrical Engineering Indian Institute of Technology Bombay I V R V L V C I = I m = R + jωl + 1/jωC

Διαβάστε περισσότερα

1) Formulation of the Problem as a Linear Programming Model

1) Formulation of the Problem as a Linear Programming Model 1) Formulation of the Problem as a Linear Programming Model Let xi = the amount of money invested in each of the potential investments in, where (i=1,2, ) x1 = the amount of money invested in Savings Account

Διαβάστε περισσότερα

26. [Surface Area] sq. units. sq. units. Area of 1 face = Area: base & top = 2 20 3 = 120. Area: front & back = 2 30 3 = 180 S.A.

26. [Surface Area] sq. units. sq. units. Area of 1 face = Area: base & top = 2 20 3 = 120. Area: front & back = 2 30 3 = 180 S.A. 6. [Suface Aea] Skill 6.1 Calculating the suface aea of ectangula pisms and cubes by using nets (1). Find any unknown side lengths. Calculate the aea of each face as shown on the net. Hint: Rectangula

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΧΑΟΤΙΚΕΣ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΜΑΥΡΕΣ ΤΡΥΠΕΣ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΧΑΟΤΙΚΕΣ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΜΑΥΡΕΣ ΤΡΥΠΕΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΧΑΟΤΙΚΕΣ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΜΑΥΡΕΣ ΤΡΥΠΕΣ Γιουνανλής Παναγιώτης Επιβλέπων: Γ.Βουγιατζής Επίκουρος Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

(C) 2010 Pearson Education, Inc. All rights reserved.

(C) 2010 Pearson Education, Inc. All rights reserved. Connectionless transmission with datagrams. Connection-oriented transmission is like the telephone system You dial and are given a connection to the telephone of fthe person with whom you wish to communicate.

Διαβάστε περισσότερα

LESSON 12 (ΜΑΘΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑ) REF : 202/055/32-ADV. 4 February 2014

LESSON 12 (ΜΑΘΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑ) REF : 202/055/32-ADV. 4 February 2014 LESSON 12 (ΜΑΘΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑ) REF : 202/055/32-ADV 4 February 2014 Somewhere κάπου (kapoo) Nowhere πουθενά (poothena) Elsewhere αλλού (aloo) Drawer το συρτάρι (sirtari) Page η σελίδα (selida) News τα νέα (nea)

Διαβάστε περισσότερα

ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. ΘΕΜΑ: «ιερεύνηση της σχέσης µεταξύ φωνηµικής επίγνωσης και ορθογραφικής δεξιότητας σε παιδιά προσχολικής ηλικίας»

ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. ΘΕΜΑ: «ιερεύνηση της σχέσης µεταξύ φωνηµικής επίγνωσης και ορθογραφικής δεξιότητας σε παιδιά προσχολικής ηλικίας» ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΤΟΥ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ «ΠΑΙ ΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ ΚΑΙ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΥΛΙΚΟ» ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ που εκπονήθηκε για τη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY 21 ος ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Δεύτερος Γύρος - 30 Μαρτίου 2011

ΚΥΠΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY 21 ος ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Δεύτερος Γύρος - 30 Μαρτίου 2011 Διάρκεια Διαγωνισμού: 3 ώρες Απαντήστε όλες τις ερωτήσεις Μέγιστο Βάρος (20 Μονάδες) Δίνεται ένα σύνολο από N σφαιρίδια τα οποία δεν έχουν όλα το ίδιο βάρος μεταξύ τους και ένα κουτί που αντέχει μέχρι

Διαβάστε περισσότερα

ίκτυο προστασίας για τα Ελληνικά αγροτικά και οικόσιτα ζώα on.net e-foundatio //www.save itute: http:/ toring Insti SAVE-Monit

ίκτυο προστασίας για τα Ελληνικά αγροτικά και οικόσιτα ζώα on.net e-foundatio //www.save itute: http:/ toring Insti SAVE-Monit How to run a Herdbook: Basics and Basics According to the pedigree scheme, you need to write down the ancestors of your animals. Breeders should be able easily to write down the necessary data It is better

Διαβάστε περισσότερα

physicsandmathstutor.com

physicsandmathstutor.com physicsadmathstuto.com physicsadmathstuto.com Jauay 009 blak 3. The ectagula hypebola, H, has paametic equatios x = 5t, y = 5 t, t 0. (a) Wite the catesia equatio of H i the fom xy = c. Poits A ad B o

Διαβάστε περισσότερα

Second Order Partial Differential Equations

Second Order Partial Differential Equations Chapter 7 Second Order Partial Differential Equations 7.1 Introduction A second order linear PDE in two independent variables (x, y Ω can be written as A(x, y u x + B(x, y u xy + C(x, y u u u + D(x, y

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. του Γεράσιμου Τουλιάτου ΑΜ: 697

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. του Γεράσιμου Τουλιάτου ΑΜ: 697 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΤΟΥ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΥ ΔΙΠΛΩΜΑΤΟΣ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ του Γεράσιμου Τουλιάτου

Διαβάστε περισσότερα

Απόκριση σε Μοναδιαία Ωστική Δύναμη (Unit Impulse) Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο. Απόστολος Σ.

Απόκριση σε Μοναδιαία Ωστική Δύναμη (Unit Impulse) Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο. Απόστολος Σ. Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο The time integral of a force is referred to as impulse, is determined by and is obtained from: Newton s 2 nd Law of motion states that the action

Διαβάστε περισσότερα

Homework 8 Model Solution Section

Homework 8 Model Solution Section MATH 004 Homework Solution Homework 8 Model Solution Section 14.5 14.6. 14.5. Use the Chain Rule to find dz where z cosx + 4y), x 5t 4, y 1 t. dz dx + dy y sinx + 4y)0t + 4) sinx + 4y) 1t ) 0t + 4t ) sinx

Διαβάστε περισσότερα

Problem Set 3: Solutions

Problem Set 3: Solutions CMPSCI 69GG Applied Information Theory Fall 006 Problem Set 3: Solutions. [Cover and Thomas 7.] a Define the following notation, C I p xx; Y max X; Y C I p xx; Ỹ max I X; Ỹ We would like to show that C

Διαβάστε περισσότερα

Strain gauge and rosettes

Strain gauge and rosettes Strain gauge and rosettes Introduction A strain gauge is a device which is used to measure strain (deformation) on an object subjected to forces. Strain can be measured using various types of devices classified

Διαβάστε περισσότερα

Right Rear Door. Let's now finish the door hinge saga with the right rear door

Right Rear Door. Let's now finish the door hinge saga with the right rear door Right Rear Door Let's now finish the door hinge saga with the right rear door You may have been already guessed my steps, so there is not much to describe in detail. Old upper one file:///c /Documents

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «ΘΕΜΑ»

ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «ΘΕΜΑ» ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΤΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ Π.Μ.Σ. «ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ» ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «ΘΕΜΑ» «Εφαρμογή

Διαβάστε περισσότερα

Variational Wavefunction for the Helium Atom

Variational Wavefunction for the Helium Atom Technische Universität Graz Institut für Festkörperphysik Student project Variational Wavefunction for the Helium Atom Molecular and Solid State Physics 53. submitted on: 3. November 9 by: Markus Krammer

Διαβάστε περισσότερα

Δημιουργία Λογαριασμού Διαχείρισης Business Telephony Create a Management Account for Business Telephony

Δημιουργία Λογαριασμού Διαχείρισης Business Telephony Create a Management Account for Business Telephony Δημιουργία Λογαριασμού Διαχείρισης Business Telephony Create a Management Account for Business Telephony Ελληνικά Ι English 1/7 Δημιουργία Λογαριασμού Διαχείρισης Επιχειρηματικής Τηλεφωνίας μέσω της ιστοσελίδας

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ Πτυχιακή εργασία ΓΝΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΤΑΣΕΙΣ ΝΟΣΗΛΕΥΤΩΝ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΔΡΟΜΟ ΕΠΙΚΤΗΤΗΣ ΑΝΟΣΟΑΝΕΠΑΡΚΕΙΑΣ (AIDS) Αλέξης Δημήτρη Α.Φ.Τ: 20085675385 Λεμεσός

Διαβάστε περισσότερα

Ειδικό πρόγραμμα ελέγχου για τον ιό του Δυτικού Νείλου και την ελονοσία, ενίσχυση της επιτήρησης στην ελληνική επικράτεια (MIS 365280)

Ειδικό πρόγραμμα ελέγχου για τον ιό του Δυτικού Νείλου και την ελονοσία, ενίσχυση της επιτήρησης στην ελληνική επικράτεια (MIS 365280) «Ειδικό πρόγραμμα ελέγχου για τον ιό του Δυτικού Νείλου και την ελονοσία, ενίσχυση της επιτήρησης στην ελληνική επικράτεια» Παραδοτέο Π1.36 Έκδοση ενημερωτικών φυλλαδίων Υπεύθυνος φορέας: Κέντρο Ελέγχου

Διαβάστε περισσότερα

CHAPTER-III HYPERBOLIC HSU-STRUCTURE METRIC MANIFOLD. Estelar

CHAPTER-III HYPERBOLIC HSU-STRUCTURE METRIC MANIFOLD. Estelar CHAPE-III HPEBOLIC HSU-SUCUE MEIC MANIOLD I this chpte I hve obtied itebility coditios fo hypebolic Hsustuctue metic mifold. Pseudo Pojective d Pseudo H-Pojective cuvtue tesos hve bee defied i this mifold.

Διαβάστε περισσότερα

EPL 603 TOPICS IN SOFTWARE ENGINEERING. Lab 5: Component Adaptation Environment (COPE)

EPL 603 TOPICS IN SOFTWARE ENGINEERING. Lab 5: Component Adaptation Environment (COPE) EPL 603 TOPICS IN SOFTWARE ENGINEERING Lab 5: Component Adaptation Environment (COPE) Performing Static Analysis 1 Class Name: The fully qualified name of the specific class Type: The type of the class

Διαβάστε περισσότερα

SOLVING CUBICS AND QUARTICS BY RADICALS

SOLVING CUBICS AND QUARTICS BY RADICALS SOLVING CUBICS AND QUARTICS BY RADICALS The purpose of this handout is to record the classical formulas expressing the roots of degree three and degree four polynomials in terms of radicals. We begin with

Διαβάστε περισσότερα

Test Data Management in Practice

Test Data Management in Practice Problems, Concepts, and the Swisscom Test Data Organizer Do you have issues with your legal and compliance department because test environments contain sensitive data outsourcing partners must not see?

Διαβάστε περισσότερα

6.3 Forecasting ARMA processes

6.3 Forecasting ARMA processes 122 CHAPTER 6. ARMA MODELS 6.3 Forecasting ARMA processes The purpose of forecasting is to predict future values of a TS based on the data collected to the present. In this section we will discuss a linear

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΜΕ ΣΤΟΧΟ ΤΗΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΕΥΑΙΣΘΗΤΟΠΟΙΗΣΗ ΑΤΟΜΩΝ ΜΕ ΕΙΔΙΚΕΣ ΑΝΑΓΚΕΣ ΚΑΙ ΤΗΝ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΤΟΥΣ ΕΝΣΩΜΑΤΩΣΗ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΜΕ ΣΤΟΧΟ ΤΗΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΕΥΑΙΣΘΗΤΟΠΟΙΗΣΗ ΑΤΟΜΩΝ ΜΕ ΕΙΔΙΚΕΣ ΑΝΑΓΚΕΣ ΚΑΙ ΤΗΝ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΤΟΥΣ ΕΝΣΩΜΑΤΩΣΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΕΙΔΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΧΡΙΣΤΙΝΑ Σ. ΛΑΠΠΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΜΕ ΣΤΟΧΟ ΤΗΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΕΥΑΙΣΘΗΤΟΠΟΙΗΣΗ ΑΤΟΜΩΝ ΜΕ ΕΙΔΙΚΕΣ ΑΝΑΓΚΕΣ ΚΑΙ ΤΗΝ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΤΟΥΣ

Διαβάστε περισσότερα

Catalogue of Spacetimes

Catalogue of Spacetimes Catalogue of Spacetimes e e x = x = x = q 0 x 0 x 00 0 x = x = 0 x = 0 M Authos: Thomas Mülle Visualisieungsinstitut de Univesität Stuttgat VISUS) Allmanding 9, 70569 Stuttgat, Gemany Thomas.Muelle@vis.uni-stuttgat.de

Διαβάστε περισσότερα

w o = R 1 p. (1) R = p =. = 1

w o = R 1 p. (1) R = p =. = 1 Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-570: Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος 205 ιδάσκων : Α. Μουχτάρης Τριτη Σειρά Ασκήσεων Λύσεις Ασκηση 3. 5.2 (a) From the Wiener-Hopf equation we have:

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο 9. Styling with Javascript

Εργαστήριο 9. Styling with Javascript Εργαστήριο 9 Styling with Javascript Pimp my Text with Javascript Today you'll write a page where the user can type text into a box, and by clicking on UI controls, the user can "pimp out" the text by

Διαβάστε περισσότερα

Üzleti élet Rendelés. Rendelés - Megrendelés. Rendelés - Visszaigazolás. Hivatalos, kísérleti

Üzleti élet Rendelés. Rendelés - Megrendelés. Rendelés - Visszaigazolás. Hivatalos, kísérleti - Megrendelés Εξετάζουμε την αγορά... Hivatalos, kísérleti Είμαστε στην ευχάριστη θέση να δώσουμε την παραγγελία μας στην εταιρεία σας για... Θα θέλαμε να κάνουμε μια παραγγελία. Επισυνάπτεται η παραγγελία

Διαβάστε περισσότερα

Catalogue of Spacetimes

Catalogue of Spacetimes Catalogue of Spacetimes axiv:0904.484v3 [g-qc] 4 Nov 00 x = x = q 0 x 0 x 00 0 x = 0 x = 0 x = Authos: Thomas Mülle Visualisieungsinstitut de Univesität Stuttgat VISUS) Allmanding 9, 70569 Stuttgat, Gemany

Διαβάστε περισσότερα

ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ "ΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΛΗΨΗΣ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ. Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΤΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΣΦΑΛΙΣΤΗΡΙΟΥ ΣΥΜΒΟΛΑΙΟΥ ΥΓΕΙΑΣ "

ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΛΗΨΗΣ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ. Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΤΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΣΦΑΛΙΣΤΗΡΙΟΥ ΣΥΜΒΟΛΑΙΟΥ ΥΓΕΙΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΟΝΑΔΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ "ΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΛΗΨΗΣ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ. Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΤΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΣΦΑΛΙΣΤΗΡΙΟΥ ΣΥΜΒΟΛΑΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Physical DB Design. B-Trees Index files can become quite large for large main files Indices on index files are possible.

Physical DB Design. B-Trees Index files can become quite large for large main files Indices on index files are possible. B-Trees Index files can become quite large for large main files Indices on index files are possible 3 rd -level index 2 nd -level index 1 st -level index Main file 1 The 1 st -level index consists of pairs

Διαβάστε περισσότερα

Repeated measures Επαναληπτικές μετρήσεις

Repeated measures Επαναληπτικές μετρήσεις ΠΡΟΒΛΗΜΑ Στο αρχείο δεδομένων diavitis.sav καταγράφεται η ποσότητα γλυκόζης στο αίμα 10 ασθενών στην αρχή της χορήγησης μιας θεραπείας, μετά από ένα μήνα και μετά από δύο μήνες. Μελετήστε την επίδραση

Διαβάστε περισσότερα

Jordan Form of a Square Matrix

Jordan Form of a Square Matrix Jordan Form of a Square Matrix Josh Engwer Texas Tech University josh.engwer@ttu.edu June 3 KEY CONCEPTS & DEFINITIONS: R Set of all real numbers C Set of all complex numbers = {a + bi : a b R and i =

Διαβάστε περισσότερα

1. Πόσοι αριθμοί μικρότεροι του διαιρούνται με όλους τους μονοψήφιους αριθμούς;

1. Πόσοι αριθμοί μικρότεροι του διαιρούνται με όλους τους μονοψήφιους αριθμούς; ΚΥΠΡΙΚΗ ΜΘΗΜΤΙΚΗ ΤΙΡΙ ΠΡΧΙΚΟΣ ΙΩΝΙΣΜΟΣ 7//2009 ΩΡ 0:00-2:00 ΟΗΙΣ. Να λύσετε όλα τα θέματα. Κάθε θέμα βαθμολογείται με 0 μονάδες. 2. Να γράφετε με μπλε ή μαύρο μελάνι (επιτρέπεται η χρήση μολυβιού για τα

Διαβάστε περισσότερα

) 2. δ δ. β β. β β β β. r k k. tll. m n Λ + +

) 2. δ δ. β β. β β β β. r k k. tll. m n Λ + + Techical Appedix o Hamig eposis ad Helpig Bowes: The ispaae Impac of Ba Cosolidaio (o o be published bu o be made available upo eques. eails of Poofs of Poposiios 1 ad To deive Poposiio 1 s exac ad sufficie

Διαβάστε περισσότερα

LESSON 14 (ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΚΑΤΕΣΣΕΡΑ) REF : 202/057/34-ADV. 18 February 2014

LESSON 14 (ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΚΑΤΕΣΣΕΡΑ) REF : 202/057/34-ADV. 18 February 2014 LESSON 14 (ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΚΑΤΕΣΣΕΡΑ) REF : 202/057/34-ADV 18 February 2014 Slowly/quietly Clear/clearly Clean Quickly/quick/fast Hurry (in a hurry) Driver Attention/caution/notice/care Dance Σιγά Καθαρά Καθαρός/η/ο

Διαβάστε περισσότερα

Objectives-Στόχοι: -Helping your Child become a fantastic language learner «Βοηθώντας το παιδί σας να γίνει εξαιρετικό στην εκμάθηση γλωσσών» 6/2/2014

Objectives-Στόχοι: -Helping your Child become a fantastic language learner «Βοηθώντας το παιδί σας να γίνει εξαιρετικό στην εκμάθηση γλωσσών» 6/2/2014 -Helping your Child become a fantastic language learner «Βοηθώντας το παιδί σας να γίνει εξαιρετικό στην εκμάθηση γλωσσών» Dr Caroline Linse Queens University, Belfast, Northern Ireland Objectives-Στόχοι:

Διαβάστε περισσότερα

«Χρήσεις γης, αξίες γης και κυκλοφοριακές ρυθμίσεις στο Δήμο Χαλκιδέων. Η μεταξύ τους σχέση και εξέλιξη.»

«Χρήσεις γης, αξίες γης και κυκλοφοριακές ρυθμίσεις στο Δήμο Χαλκιδέων. Η μεταξύ τους σχέση και εξέλιξη.» ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: «Χρήσεις γης, αξίες γης και κυκλοφοριακές ρυθμίσεις στο Δήμο Χαλκιδέων.

Διαβάστε περισσότερα

Integrals in cylindrical, spherical coordinates (Sect. 15.7)

Integrals in cylindrical, spherical coordinates (Sect. 15.7) Integrals in clindrical, spherical coordinates (Sect. 5.7 Integration in spherical coordinates. Review: Clindrical coordinates. Spherical coordinates in space. Triple integral in spherical coordinates.

Διαβάστε περισσότερα