Basic definitions. c c c molar density of solution (Kg-moles/m 3 ) / M όπου M. Additional relations

Transcript

1 ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΕΤΟΣ: Α.Μ: as deftos ddtoal relatos mass desty of soluto (Kg/m 3 ) mass oetrato of (Kg of /m 3 of soluto) mass frato of molar desty of soluto (Kg-moles/m 3 ) molar oetrato of (Kg-moles of /m 3 of soluto) mole frato of umber-mea moleular weght of mture d d d d ( ) Μαζική συγκέντρωση : Πυκνότητα του μίγματος ρ : μάζα του είδους όγκος μίγματος αριθμός γραμμομορίων είδους Γραμμομοριακή συγκέντρωση :, όγκος μίγματος / όπου μοριακό βάρος Ολική συγκέντρωση του μίγματος : Κλάσμα μάζας ω : Γραμμομοριακό κλάσμα : Μέση μαζική ταχύτητα v : μαζική συγκέντρωση του πυκνότητα του μίγματος v v v μορίων του Μέση γραμμομοριακή (ή μοριακή) ταχύτητα v :, όπου v η μέση ταχύτητα των v v v v v v = ταχύτητα διάχυσης του ως προς την μέση μαζική ταχύτητα v = ταχύτητα διάχυσης του ως προς την μέση μοριακή ταχύτητα

2 as deftos ddtoal relatos v veloty of spees relatve to statoary oordates v v dffuso veloty of spees relatve to v v v dffuso veloty of spees relatve to v v = mass average veloty = (/ )( v v) v v v = molar average veloty = (/ )(v v) v v v v ( v v ) ( v v ) v v ( v v) ( v v ) Μαζική παροχή (ως προς ακίνητο σύστημα συντεταγμένων) : v Γραμμομοριακή παροχή (ως προς ακίνητο σύστημα συντεταγμένων) : v Μαζική παροχή (ως προς την μέση μαζική ταχύτητα v) : j (v v) Γραμμομοριακή παροχή (ως προς την μέση μαζική ταχύτητα v) : J ( v v ) Μαζική παροχή (ως προς τη μέση γραμμομοριακή ταχύτητα v) : j ( v v ) Γραμ/μοριακή παροχή (ως προς τη μέση γραμμομοριακή ταχύτητα v) : J ( v v ) as deftos elatos amog the flues, for referee oly veloty of spees Quatty ass flu of spees olar flu of spees Sum of mass flues Sum of molar flues (ms ) ( gm s ) ( gm s ) Flues terms of ad Flues terms of ad Flues terms of j ad v Flues terms of J ad v ( g moles m s ) v Wth espet to Statoary es () v () v (G) v (J) v () (P) (S) j v (V) J v (Y) Wth espet to v Wth espet to v v v () j ( v v ) (E) J ( v v ) (H) ( ) j j (K) J J v v () j ( ) (Q) J J J j J (T) (W) (Z) v v (C) j v v (F) ( ) ( ) J v v (I) j j v v (L) ( ) J J (O) j () J ( ) j j (X) j J () J j j J j j j j J j ος όμος Fk για δυαδικό σύστημα : J ( )

3 Flu Gradet Form of Fk s Frst Law j J j ( ) ( ) j J J ( ) v v j J ( v v ) ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΔΙΑΧΥΣΗΣ για Αέρια Μίγματα p / /3 5/ T T (p p ) (T T ) [ ] m s, Μ Α και Μ Β μοριακό βάρος συστατικού Α και Β, p[ ]atm Για μη πολικά ζευγάρια αερίων:.745 4, b.83 Για HO με ένα μη πολικό αέριο: , b.334 Γραμμ/κος όγκος ένωσης C H k : ανηγμένη πίεση:, ανηγμένη θερμοκρασία:, όπου κρίσιμη πίεση & θερμοκρασία T b () J. C. Slattery,.. rd (958), T[ ] K 5, T / /.646 () Chapma-Eskog Για ιδανικά αέρια (, [ ] m s [ ]gstrom k k k p / T ) : p, T / / [ ] g molesm 3, T[ ] K, p[ ]atm, Gddgs) (3) FSG (Fuller-Shettler- [ ] m s, T[ ] K, p[ ]atm, Μ Α και Μ Β μοριακό βάρος συστατικού Α και Β V και V ο γραμμομοριακός όγκος του Α και Β [=] m 3 /Kg-mole

4 ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΔΙΑΧΥΣΗΣ (Αραιά Yγρά Μίγματα) Μ Β : μοριακό βάρος συστατικού Β μ : ιξώδες του διαλύματος [=] p Τ: απόλυτη θερμοκρασία [=] Κ V : γραμμομοριακός όγκος του Α [=] m 3 /Kg-mole ψ Β : παράμετρος συσχέτισης Νερό: ψ Β =.6 Μεθανόλη: ψ Β =.9 Αιθανόλη: ψ Β =.5 Βενζόλιο, Επτάνιο, Αιθέρας: ψ Β =. ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ για τα συστατικά Α,Β r t Μίγμα v t r t ( r r ) t Μίγμα v t t Για ρευστό με σταθερή πυκνότητα : v Σταθερή γραμμ/κή συγκέντρωση μίγματος : v Εξισώσεις δυαδικής διάχυσης μίγματος Α, Β : r ρ = σταθερό v v v t t r = σταθερό v t = σταθερό v () v v t = σταθερό t v t όπου () : v (/) Εξίσωση συνέχειας σε διάφορα συστήματα συντεταγμένων: y z Καρτεσιανό σύστημα: t y z z Κυλινδρικό σύστημα: (r r ) t r r r z Σφαιρικό σύστημα: (r r ) ( s ) t r r rs rs Ν. Fk : ρ, = σταθερά, v, όχι χημική αντίδραση: t Εξίσωση της συνέχειας για σταθερό ρ και : Καρτεσιανό σύστημα: v vy vz t y z y z v r v v z r t r r z r r r r z Κυλινδρικό σύστημα: Σφαιρικό σύστημα: vr v v t r r s Wlke-Chag r s r r r r s r s

5 Συνήθεις Συνοριακές Συνθήκες: Γνωστή συγκέντρωση στην επιφάνεια : () ό () Μαζική παροχή σε μια επιφάνεια γνωστή : (), όή Στερεό σε επαφή με διάλυμα : () k ό, k συντελεστής μεταφοράς μάζας Ετερογενής αντίδραση στην επιφάνεια :, k,όπου k συντελεστής αντίδρασης, αντίδραση ης τάξης/μονάδα επιφάνειας Διάχυση μέσω ακίνητου αερίου υμένα (ή ΚΕΛΙ ΤΟΥ OL ) Β στάσιμο: z z Ν. Fk: z z z SΔz Ισοζύγιο Μάζας: Sz z Sz zz Δz S: διατομή της στήλης z zz d z ΣΣ: για z z ΣΣ: για z z Ολοκληρώνοντας την () καταλλήγουμε: zz zz Μέση τιμή συγκέντρωσης Β: z ή / zz zz z / / d,avg z z Άρα :,avg l Ρυθμός μεταφοράς μάζας στην διεπιφάνεια υγρού-αερίου: d d l zz z z ή z z zz p / T p p / T l p p z z z p z z p l d d : σταθ. d d () Θεωρία Υμένα : πάχος του υμένα : z z C C z s s l l συντελεστής μεταφορά μάζας: k l d l ή () z z z z z l k p p l

6 Μοντέλο της ισομοριακής αντιδιαχύσεως: z z, (), Ν. Fk: z (), για, σταθερά : () z ΣΣ: z z, ΣΣ: z z Γραμμ/κή παροχή Α: z d Ολοκληρώνω την (3): T (3) ή p p z Διάχυση με στιγμιαία ετερογενή χημική αντίδραση (στιγμιαία): Αντίδραση διμερισμού :, z z d d Ν.Fk : z (), z () d ΣΣ: για z, ΣΣ: για z (z / ) z z, Συντελεστής μεταφοράς μάζας: Ολοκληρώνω την (): Γραμμ/κή παροχή: z l Διάχυση με αργή ετερογενή χημική αντίδραση(όχι στιγμιαία): Αντίδραση διμερισμού :, στιγμιαία στην καταλυτική επιφάνεια (για z ), z k k Ισχύουν οι ίδεις σχέσεις με όταν έχω στιγμιαία χημική αντίδραση. Αλλάζει μόνο η ΣΣ. k z/ z/ z k z ΣΣ: για z, ΣΣ: για z k z / k Γραμμ/κή παροχή στο z= : z l () / Μ ε ανάπτυξη της γραμμ/κης παροχής () σε σειρά Taylor έχουμε: z l / k Διάχυση με ομογενή χημική αντίδραση: Αναντίστρεπτη αντίδραση πρώτης τάξης : (Το αέριο Α διαλύεται και διαχέεται στην υγρή φάση και ταυτόχρονα αντιδρά με το Β) Ισοζύγιο μάζας: S S k S z SΔz z z z zz k () Δz k :σταθερά ρυθμού αντίδρασης ως προς Α και S: εγκάρσια επιφάνεια του υγρού όπου γίνεται η αντίδραση d () d Ν. Fk: z (), () k (3) d ΣΣ: για z, ΣΣ: z ή για z L d ()

7 Ολοκληρώνοντας την (3): osh b (z / L), όπου b k L / osh b Μέσης συγκέντρωσης του Α στην υγρή φάση: Γραμμ/κη παροχή του Α στο επίπεδο z= : Μοντέλο διεισδύσεως: ΣΣ: Για k (όχι χημική αντίδραση) : d L / osh b / osh b d,avg L z z k sh b tah b όπου (z / L) b osh b b () L Ολοκληρώνοντας την () έχουμε: z z Για k (πολύ γρήγορη αντίδραση): z z k d z b tah b για z, ΣΣ: για z sh osh k / z tah Η γραμμομοριακή παροχή του Α για z είναι : Αδιάστατος αριθμός Hatta : Ha k/ tah k / Απορρόφηση αερίου με χημική αντίδραση σε αναδευόμενο δοχείο, Για k :, όπου k z k sh b (z / L) b osh b L b kl / z z Ha, k z z z z z k / k tah άρα k k d k ΣΣ: για z, ΣΣ: για z sh b sh b ( ) Λύση της διαφορικής:, sh b όπου z/, / και b k / Απουσία χημικής αντίδρασης (δηλ. b ) η λύση της διαφορικής είναι: Γραμμομοριακές παροχές για την απορρόφηση με ή χωρίς χημική αντίδραση για z είναι : o reato ( ) d b osh b b d z z z oreato ( ) z sh b z oreato Από την προηγούμενη εξίσωση μπορούμε να υπολογίσουμε το φαινομενικό πάχος του υμένα παρουσία χημικής αντίδρασης,

8 θέτοντας επιπλέον Γ=. Αυτό είναι ισοδύναμο με το να υποθέσουμε μια τιμή για το κλάσμα ρυθμός απορρόφησης με πρώτης τάξεως αντίδραση b χωρίς αντίδραση και με = (osh b ) ρυθμός απορρόφησης sh b δ Διάχυση σε πίπτοντα υγρό υμένα: μεταφορά μάζας με εξαναγκασμένη συναγωγή Πεδίου ταχυτήτων v z() μέσα στον υμένα: v z() v ma Ισοζύγιο μάζας για το Α: W W W z W z z z z zz όπου W: το πλάτος του υμένα Γραμμομοριακή παροχή στην z-κατεύθυνση με σταθερό : z z z v z() z Γραμμομοριακή παροχή στην -κατεύθυνση : Άρα : vma z ΣΣ: για z, ΣΣ: για, ΣΣ3: για Αν θεωρήσουμε ότι το βάθος διείσδυσης του Α είναι σχετικά μικρό τότε το Α δεν αισθάνεται την παρουσία του στερεού τοίχο για και νομίζει ότι όλος ο υγρός υμένας κινείται με σταθερή ταχύτητα v. Με αυτή την υπόθεση η διαφορική εξίσωση και οι συνοριακές συνθήκες γίνονται: ΣΣ: για z, ΣΣ: Άρα : για 4 z / v ( ) e d erf ma 4 z / v ma ma, ΟΣ: καθώς ή v z ma erf 4 z / v ma όπου erf :η συνάρτηση λάθους ενώ y erf : η συμπληρωματική συνάρτηση λάθους Ολοκλήρωση της γραμμομοριακής παροχής σε όλο το μήκος του υμένα Τοπική γραμμομοριακή παροχή στο επίπεδο = και στην θέση z : (z) Τα ολικά γραμμομόρια του Α που μεταφέρονται ανά μονάδα χρόνου από τον αέριο στον υγρό υμένα : 4v 4 ma vma 4v ma W WL WL e d WL L L L Διάχυση και χημική αντίδραση μέσα σε πορώδη καταλύτη: Συντελεστής αποτελεσματικότητας Ισοζύγιο μάζας για το Α σε ένα στοιχειώδες κύτταρο πάχους Δr μέσα σ ένα καταλυτικό σωματίδιο: 4r 4 r r 4r r r r r rr 4πΔr r r d r, όπου d r r ο συντ. αποτελεσματικής διαχυτότητας u v z ma

9 d r r r d r d r r d : ό Σε περίπτωση όπου το Α αντιδρά με αντίδραση πρώτης τάξης στην καταλυτική επιφάνεια ( k ): d d r k r ΣΣ: s για r, ΣΣ: : πεπερασμένο για r Για την επίλυση της διαφορικής κάνουμε αλλαγή μεταβλητής : / f (r) / r Άρα : df k f Με εφαρμογή των συνοριακών συνθηκών: Γραμμομοριακή ροή : C k C k, Γενική λύση : osh r sh r r r W 4 4 s s sh( k / r) r sh( k / ) s d s s r k k Λύνοντας την παράγωγο του C θα έχουμε: Ws 4 s oth Αν η ενεργή καταλυτική επιφάνεια ήταν όλη εκτεθειμένη σε αέριο ρεύμα συγκέντρωση s τότε το είδος Α δεν θα έπρεπε να διαχυθεί μέσα στους πόρους για να αντιδράσει στο εσωτερικό του καταλύτη. Σε αυτή την περίπτωση η γραμμομοριακή ροή είνα 4 3 W k s 3 τις διαιρώ κατά μέλη 3 k k K oth K Ws 4 s oth K όπου K k / αδιάσταση ποσότητα : συντελεστής αποτελεσματικότητας Για σφαιρικό σωματίδιο ακτίνας ο λόγος του όγκου προς την εξωτερική επιφάνεια είναι : / 3b V p Για μη σφαιρικά σωματίδια ορίζουμε το ως εξής: osph 3 S p Διάχυση κατά Κudse K λ / d p, όπου λ: η μέση ελεύθερη διαδρομή των μορίων του διαχεόμενου αερίου, d p : η διάμετρος ενός τυπικού πόρου Αν Κ<~. κανονική μοριακή διάχυση Αν K>~ υπερισχύει η διάχυση κατά Kudse Για ~.<Κ<~ ενδιάμεση περιοχή (και οι δύο μηχανισμοί συμμετέχουν σημαντικά) Για υγρά : K<<. δεν έχουμε διάχυση Kudse Συντελεστής αυτοδιαχύσεως για τα αέρια: 8kT λu λ 3 3 π 3 όπου: u = μέση ταχύτητα των μορίων του Α, k = σταθερά του oltzma =.3866 J / K = αριθμός του vogao = moleules/kg-mole, T = απόλυτη θερμοκρασία (Κ) Μ Α = μοριακό βάρος του Α (kg/kg-mole) Για διάχυση κατά Kudse: 8kT d u d, όπου d p :διάμετρος του πόρου 3 3 π K, p p

10 ή K, 485d p T (m / se), d p [=]m, [=]g/g-mole και Τ[=] Κ Ενδιάμεση Περιοχή, ~.<Κ<~ α, όπου e = αποτελεσματικός (ή ισοδύναμος) συντελεστής διαχύσεως του Α, e K, Στην περίπτωση ισομοριακής αντιδιαχύσεως : α ( ) : Διάχυση σε πορώδες σώμα: e e e K, α ε,όπου ε είναι το πορώδες και τ είναι ο συντελεστής του δαιδαλώδους τ L e Συντελεστής του Δαιδαλώδους τ: L, Wag και Smth:,eff,p(r)f (r) V p(r)f (r), όπου V t V : ο ολικός όγκος του πορώδους μέσου, p t V (r) :ο όγκος του πόρου με χαρακτηριστική ακτίνα r r urgaos και Sotrhos: Κάθε πόρος χαρακτηρίζεται από μια αγωγιμότητα: g, r:ακτίνα του πόρου, :μήκος του πόρου 8T,p, d p, 3 g ge Θεωρία Ισοδύναμου Μέσου: f (g)dg z g ge Αποτελεσματικός συντελεστή διαχύσεως:,eff g e p όπου: : αριθμός πόρων ανά μονάδα όγκου, p : μήκος πόρων ισοδύναμου δικτύου : συντελεστής του δαιδαλώδους του δικτύου (τ= για - δίκτυα και τ=3 για 3- δίκτυα),p Εκτίμηση του συντελεστή δαιδαλώδους: e L e L e e Για καλά πακτωμένους κόκκους : e dg d g 4.5

11 y'' ay' ay f () d( ) df () d l a d f () Χαρακτηριστικό πολυώνυμο: a a, 4 a d l a Δ> πραγματικές λύσεις, άνισες, ( )( ) y e e ειδική περίπτωση: y kosh ksh osh (e e ), Δ= διπλή ρίζα, y e e Δ< μιγαδικές λύσεις sh (e e ), ί 4, ί ( ), ί, ί y e os b e s b