1.PUNCTUL.DREAPTA.PLANUL

Transcript

1 1.PUNCTUL.DREPT.PLNUL 1.Punctul E=F P Q P Q 2.Drept d su drept B (d) B Semidrept O, nott [O O su (O, dic fr O 3.Segmentul B, nott [B] M B (B),[B),(B] M este mijlocul lui [B] dc M=MB=B/2 su [M] [MB](=B/2) 4.Definitie : Orice multime nevid de puncte este o figur geometric Punctul, drept si plnul sunt multimi de puncte, deci sunt figuri geometrice. - M N puncte distincte su diferite M N E=F - E=F puncte identice su confundte 5.xiomele geometriei in sptiu: 1.Prin dou puncte distincte trece o drept si numi un. 2.Printr-un punct exterior unei drepte trece o prlel l drept dt si numi un. 3.Trei puncte necolinire determin un pln. 4.Dc dou puncte sunt intr-un pln tunci si drept determint de ele este in cel pln. 5.Dc dou plne u un punct comun tunci ele mi u cel putin inc un punct comun. 6.Exist ptru puncte necoplnre. Consecint: Dou plne cre u un punct comun u o drept; cu lte cuvinte, intersecti dou plne cre u un punct comun este o drept(si nu ltcev`). 6.Determinre 6.Determinre plnului: plnului: -Trei -Trei puncte puncte determin determin un un pln pln -Dou -Dou drepte drepte concurente concurente determin determin un pln un pln -O -O drept drept si un si un punct punct nesitut nesitut pe e pe determin e determin un pln un pln -Dou - Dou drepte drepte prlele prlele determin determin un pln un pln Nottii : plnul se notez cu litere grecesti mici, su cu 3 litere ltine intre prnteze. =(BC) Dou drepte cre u un singur punct comun se numesc drepte concurente. O I = {O} ; O este punctul de intersectie Dou drepte si din celsi pln cre nu u nici un punct comun se numesc drepte prlele I = Ǿ Dou drepte nesitute in celsi pln se numesc drepte necoplnre. I = Ǿ

2 2.DREPTE PRLELE Definitie. Dou drepte coplnre cre nu u nici un punct comun sunt prlele. scriem xiom prlelelor: Printr-un punct exterior unei drepte putem construi dor o prlel l ce drept. 2 1 Tr.1.Dou drepte prlele formez cu o secnt : Unghiuri lterne interne congruente (3 5)(4 6). 2. Unghiuri lterne externe congruente (2 8)(1 7) Unghiuri corespondente congruente (2 6)(1 5)(3 7)(4 8) Unghiuri interne si de ceesi prte secntei suplementre.(3+6=180 0 )(4+5=180 0 ) 5. Unghiuri externe si de ceesi prte secntei suplementre.(2+7=180 0 )(1+8=180 0 ) Tr.2.Mi multe drepte prlele echidistnte determin pe orice secnt segmente congruente. c d e si [B] [BC] [CD] [DE], rezult [P] [PQ] [QR] [RS] c P B Dc in locul dreptelor lum plne tr.rmine d Q C vlil. e R D S E Tr.3.Dc M este mijlocul lturii [B], ir MN BC, tunci N este mijlocul lui [C]. Tr.4.Thles O prlel l un din lturile unui triunghi formez pe celellte dou segmente proportionle. MN BC rezult M/MB=N/NC M N B C Tr.5.Mi multe drepte prlele neechidistnte determin pe dou secnte segmente proportionle. c rezult B/BC PQ/QR P P B Q Tr.6.(Thles in sptiu) B Q Mi multe plne determin pe 2 secnte cre le tie, segmente c C R C R proportionle. Tr.Cum imprtim un segment in dou prti congruente. -lum in comps o lungime orecre -construim drept orecre P E B -cu compsul lum [C] [CD] pe dr. P -unim D cu B C -ducem CE DB D P -conform tr.thles 1=C/CD=E/EB, deci si E=EB Tr.Cum imprtim un segment dt in n prti congruente : -c mi sus, dr in loc s lum pe P, 2 segmente, lum n segmente Tr.Lini mijlocie triunghiului este prlel cu ltur trei si egl cu jumtte din e. -dc MN este linie mijlocie in BC(M si N sunt mijlocele lturilor BC) tunci MN BC si MN=BC/2(vezi desenul de l tr.thles).

3 Tr.6.Dou drepte prlele cu o trei drept sunt prlele intre ele. si c, tunci si c c Tr.7.Dc drept intersectez drept intr-un punct, tunci e intersectez orice prlel l drept tot intr-un punct. Tr.8. Dou unghiuri cu lturile prlele sunt congruente su suplementre. Tr.9. Dc drept, tunci e este perpendiculr pe orice prlel l drept. Tr.10.Distnt dintre dou drepte prlele este constnt(mereu ceesi). B C E, E, BF, BF, CG, CG Concluzi : E=BF=CG =... E F G Tr.11. Dc drept si c, tunci este prlel cu drept c. c c Tr.12.Dou drepte prlele determin pe lte dou drepte prlele pe cre le intersectez segmente congruente. M c Q d si c d, rezult MN=PQ MNPQ=prlelogrm N P Pozitiile reltive dou drepte in sptiu: 1.Dou drepte din sptiu pot fi coplnre: 1.Dou drepte distincte pot ve in comun un singur punct, in cest cz sunt si coplnre si se numesc drepte concurente. 2.Dou drepte coplnre cre nu u nici un punct comun sunt prlele. 2.Dou drepte din sptiu pot fi necoplnre, dic nu sunt nici prlele si nici concurente, dr nici nu u puncte comune. β si β, =Ø muchii opuse in tetredru

4 3. Pozitiile reltive le unei drepte ft de un pln: 1.O drept pote ve dou puncte comune cu un pln ; in cest cz drept este inclus/continut in pln. si B β, B B 2.O drept pote ve un singur punct comun cu un pln ; in cest cz drept intep plnul intr-un punct.,, ={} 3.O drept pote ve nici un punct comun cu un pln ; in cest cz drept este prlel cu plnul., =Ø Tr.13.O drept prlel cu o drept din pln este prlel cu plnul., =Ø, deci Ex.1. Ex.1. Un Un cu cu BCD B C D BCD B C D re re prin prin definitie definitie tote tote fetele fetele ptrte. Se ptrte. cere s Se desenti cere s cuul desenti si s cuul identificti, si s identificti, folosind nottiile folosind indicte, drepte nottiile prlele indicte, cu plne. drepte prlele cu plne. Ex.2. Ex.2. Fie Fie BCD, BCD, un un tetredru tetredru orecre orecre si si M,N M,N mijlocele mijlocele lturilor B lturilor si BC. B Spuneti si BC. dc Spuneti MN este dc prlel MN este cu prlel plnul (BCD). cu plnul (BCD), dr cu plnul (CD)? Ex.3. Fie pirmid VBCD, cu z dreptunghiul BCD si drept BC. Ex.3. Fie Spuneti pirmid dc VBCD, este prlel cu z cu dreptunghiul D. BCD si drept BC. Drept este prlel cu D, dr cu (VD)?

5 4. Pozitiile reltive dou plne: 1.Dou plne distincte pot ve in comun o drept. β=,, β (β) 2.Dou plne distincte pot fi prlele(nu u nici un punct comun). β, β= Ø β Tr.14.Dc o drept (d) este prlel cu un pln tunci orice pln cre contine drept (d) si intersectez plnul, o fce dup o drept prlel cu drept dt (d). Dc, β, β= tunci (β) Tr.15. Dc, β si prin punctul β ducem prlel tunci drept este continut in plnul β. () (β) () Tr.16.Printr-un punct exterior unui pln putem duce un singur pln prlel cu plnul dt. Fie si β si β, β= Ø Oricre lt pln γ coincide cu β dc γ β

6 Tr.17.Dou plne distincte prlele cu un l treile pln diferit de ele, sunt prlele intre ele. Fie β si γ β tunci γ β γ Tr.18.Dou plne prlele sunt tite de un l treile pln dup drepte prlele. Dc β si γ β=, γ = tunci β γ Tr.19.Dc trei plne distincte se intersectez dou cite dou dup cite o drept, tunci cele trei drepte sunt prlele. (Tr.coperisului) Dc β=, γ = γ β= c tunci c γ β γ β γ c β c

7 Tr.20.Dou plne prlele determin pe dou su mi multe drepte prlele segmnete congruente. Dc β si c, tunci BB CC Distnt dintre 2 plne prlele este constnt. C B c C β B Tr.21.Mi multe plne prlele determin pe dou secnte segmente proportionle.(tr.thles) Dc β γ tunci B/ B =BC/B C C B β B γ C x.4. Fie cuul BCD B C D. Demonstrti c C C, B D C Ex.4. Fie cuul si B DC. BCD B C D. Demonstrti c C C, B D C Ex.5. si B DC. Fie BCD si CDEF dou dreptunghiuri flte in plne diferite. Ex.5. Fie BCD si CDEF dou dreptunghiuri flte in plne diferite. Demonstrti c B este prlel cu EF. B este prlel cu DE? Demonstrti c B este prlel cu EF. B este prlel cu DE? Ex.6. Ex.6. Fie Fie VBCD VBCD o o pirmid pirmid cu cu z z trpez(b CD) trpez(b CD) si si d=(vb) (VCD). Ce Ce pozitie pozitie re re drept drept d ft d ft de B de B si CD si CD?? Ex.7. Fie BCD tetredru orecre si si MN MN linie linie mijlocie in BC, in BC, ir ir EF linie mijlocie in BCD, M B, N C, E BD, E BD, F CD. F CD. Demonstrti c MN EF. Ex.8. Fie cuul BCD B C D si M,N,P,Q si M,N,P,Q puncte puncte pe lturile pe lturile,bb,cc,dd l 1/3 de z, ir O=C BD, O = C B D, ir,bb,cc,dd l 1/3 de z, ir O=C BD, O = C B D, ir S=(MNP) OO. flti O S/O O, C S/S. S=(MNP) Ex.9. In plnul OO. vem flti dreptunghiul O S/O O, BCD, C S/S ir. in plnul β Ex.9. ptrulterul In plnul B C D. vem Stiind dreptunghiul c β si BB CC DD BCD, ir in plnul β ptrulterul demonstrti c B C D. este Stiind tot un dreptunghi. c β si BB CC DD demonstrti c B C D este tot un dreptunghi.

8 4. Perpendiculritte in sptiu: 1.Unghiul dou drepte orecre din sptiu este egl cu unghiul formt de dou drepte prlele cu dreptele dte si concurente. Spunem c prlelismul pstrez unghiurile. si sunt dou drepte necoplnre, ducem printr-un punct P dou drepte c si d. Unghiul dintre ele este egl cu unghiul dintre si. c d P 2.Dou drepte orecre din sptiu sunt perpendiculre dc dou drepte prlele cu dreptele dte si concurente formez intre ele un unghi de 90 0 (perpendiculre). Deci dc unghiul dintre ele re Tr.22.O drept perpendiculr pe dou drepte concurente este perpendiculr pe pln. P ={},, P, P, rezult P Tr.23.O drept perpendiculr pe un pln este perpendiculr pe orice drept din pln. Dc P (dic P este pe dou drepte concurente si,,, P, P ) Rezult c oricre r fi dreptele P c, d, etc... rezult P c, P d,... c d

9 Tr.24.Dintr-un punct exterior unui pln putem construi o singur peprpendiculr pe cel pln. P Dc P,, P si Q rezult c PQ nu este si PQ>P oricre r fi Q. este proiecti lui P pe pln, ir Q este proiecti lui PQ pe pln Q=PQcos(<PQ) Tr.25.Intr-un punct l unui pln putem construi o singur peprpendiculr pe cel pln. P Dc P,, P tunci oricre r fi drept d cre trece prin rezult c drept d nu este Q d Tr.26Teorem celor trei perpendiculre si reciprocele ei: (Tr.3 (Tr.3 )Dc )Dc B B si si BC BC d, d, tunci tunci C C d d, unde, unde d d,, C d C d B,. Dc B si d tunci B d deci d BC(ip) si d B rezult c d (BC) si cum C (BC), rezult d C. B C d Ex.10. Fie B si BC d, unde d, C d B,. Dc B=4, BC=3 clculti distnt de l l drept d. Ex.11. Fie B si BC d, unde d, C d B,. Dc B=8, C=10 clculti BC si distnt de l l drept d. Ex.12. Fie B si BC d, unde d, C d B,. Dc distnt de l l d este 13 si distnt de l l plnul este 12 clculti distnt de l B l d.

10 Tr.27. (R1Tr.3 )Dc B si C d, tunci BC d, unde (R1Tr.3 d, C d )Dc B B,. si C d, d, C d tunci BC d. Dc B si d tunci B d deci d C(ip) si d B rezult c d (BC) si cum BC (BC), rezult d BC. B C d Ex.13. Fie B si C d, unde d, C d B,. Dc B=11, C=3 clculti distnt de l B l drept d. Ex.14. Fie B si C d, unde d, C d B,. Dc C=28, B=10 clculti distnt de l B l drept d. Ex.15. Fie B si C d, unde d, C d B,. Dc distnt de l l d este 30 si distnt de l l plnul este 24 clculti distnt de l B l d. Tr.28. (R2Tr.3 )Dc B BC si BC d, C d, tunci B unde d, C d B,. (R2Tr.3 )Dc B BC, BC d,c d, d, B,C d, tunci B. Dc d BC si d si C d deci d (BC) rezult d B rezult c B B si B d si =(d;bc), rezult B. B C d Ex.16. Fie BC dreptunghic in B si BC d si C d, unde d, C d B,. Dc B=4, BC=3 clculti distnt de l l si distnt de l l d. Ex.17. Fie B BC, C=4, CE=3, E=5 si BC d, unde d, C d B, E d.dc B=2 clculti distnt de l B l drept d si distnt de l l.

11 Tr.29.Dc o drept este perpendiculr pe un pln tunci orice pln cre contine drept dt este perpendiculr pe plnul dt. Dc d β si d tunci β d β Tr.30.Dou plne perpendiculre pe ceesi drept sunt prlele. Dc d si d β tunci β d β Tr.31. Dou drepte perpendiculre pe celsi pln sunt prlele. Dc si tunci Tr.32.Distnt dintre dou plne prlele este constnt. Dc β, deci si β B BB deci si BB β C CC deci si CC β DD deci si DD β tunci =BB =CC =DD D β B C D

12 Ex.18. Fie si P, P si P=12, d si B d, B=5. Clculti distnt de l P l drept d. Ex.19. Fie BC dreptunghic in B si ctetele B=3, BC=4 stfel incit BC, d si d (BC), se cere distnt de l l drept d si distnt de l l plnul. Ex.20. Fie BC dreptunghic in, BD dreptunghic in D, ir DC dreptunghic in si B=10, BD=6 si CD=12. Clculti distnt de l C l plnul (BD) si distnt de l C l BD. Ex.21. Fie,B,C,D ptru puncte necoplnre si CB dreptunghic in C, CD dreptunghic in C, ir CM medin in BCD. Stiind c D=B=12, BC=4 5, CM=6, se cere distnt de l C l plnul (BD) si distnt de l l BD. Ex.22. Fie BC dreptunghic in B, BD dreptunghic in B, ir DC dreptunghic in si D=8, C=6 si msur unghiului dintre plnele (BCD) si ( CD) este de Clculti distnt de l l plnul (BCD) si distnt de l B l (CD). Ex.23. Fie BCD un tetredru regult, B=8, ir O este intersecti medinelor DCB. Clculti ri totl si volumul tetredrului si distnt de l O l plnul (BC). Ex.24. Fie VBCD o pirmid ptrulter regult, V=12 si B=8 2. Clculti ri totl si volumul pirmidei si distnt de l O=C BD, l plnul (VMN), unde M este mijlocul lui D, ir N este mijlocul lui CD. Ex.25. Fie VBCDEF o pirmid hexgonl regult cu ltur zei, B=10 si V=20. Clculti ri totl si volumul pirmidei si distnt de l C l plnul (VF). Ex.26. Se d cuul BCD B C D cu ltur zei, B=8. Clculti ri totl si volumul pirmidei B BC si distnt de l B l plnul (B C). Ex.27. Fie VBCD o pirmid ptrulter regult, B=8 2, ir unghiul dintre V si plnul (CD) cu msur de Sectionm pirmid cu un pln prlel cu plnul (BC) l 1/3 de virf. Clculti ri totl si volumul corpului cre rmine dup ce indeprtm pirmid mic formt prin sectionre.

13 Ex.28. Fie BCD un tetredru regult, B=10, ir O este intersecti medinelor DCB si O=12. Clculti distnt de l l BC si distnt de l mijlocul lui [O] l BC. Ex.29. Fie VBC o pirmid triunghiulr cu z BC, triunghi echilterl, vind ri zei egl cu 15 3/2 si V (BC), ir V=12. Clculti distnt de l V l BC. Ex.30. Se d cuul BCD B C D cu ltur zei, B=24. Clculti ri totl si volumul pirmidei O BC, unde O = C D B si distnt de l l BD si distnt de l O=BC CB l D. Ex.31. Fie BCD un rom cu ltur de 12 si unghiul scutit de 60 0, ir P (BC) stfel incit P=6 si PO=12. Se cere distnt de l P l PLNUL (BCD) si distnt de l P l CD. flti unghiul dintre plnele (PBD) si (BCD). Ex.32. Fie VBC o pirmid triunghiulr regult cu ltur zei de 15 si unghiul dintre V si plnul zei (BC) de Sectionm pirmid cu un pln prlel cu z, plnul (BC), si l jumtte distntei dintre V si plnul (BC). Clculti ri totl si volumul trunchiului de pirmid formt. Ex.33. Fie BCD un ptrt cu ltur de 8. Clculti perimetrul, ri si digonl ptrtului. Dc ridicm, din unul din virfurile ptrtului, o perpendiculr V pe plnul ptrtului cu lungime de 12, se cere s clculti distntele din virful perpendiculrei V, l lturile si digonlele ptrtului. Ex.34. Se d cuul BCD B C D cu muchi de 10. Clculti msur unghiului dintre plnele ( B C ) si (D C). Ex.35. Se d triunghiul echilterl BC cu ltur de 4. Se cere rz cercului circumscris triunghiului, rz cercului inscris in triunghi si ri triunghiului. Fie V (BC), V=20. Clculti distnt de l V l BC. Ex.36. Se d triunghiul orecre BC. rtti c oricre dou virfuri le triunghiului sunt egl deprtte de medin cre porneste din cel de-l treile virf l triunghiului. Fie M, medin si V (BC), rtti c volumul pirmidei VBM este egl cu volumul pirmidei VCM oricre r fi punctul V in sptiu si in fr plnului (BC).

14 4. Unghiul dou drepte in sptiu. Unghiul dou plne 1.Unghiul dou drepte orecre din sptiu(nu u nici un punct comun) este egl cu unghiul dou prlele cu dreptele dte si cre sunt si concurente. c d =Ø, c si d, c d={p} P <(;)=<(c;d) 2.Unghiul unei drepte cu un pln este unghiul formt de drept cu proiecti ei pe pln. si BB, B ={P} <(B, )=<P B P B 3.Unghiul dintre dou plne cre u o drept (d) in comun este unghiul formt de dou perpendiculre pe (d) prtinind plnelor, duse in celsi punct de pe drept d. Fie P d si BP d <PB este unghiul dintre plne B d P 4.Unghiul diedru este unghiul formt de dou semiplne determinte de drept comun plnelor. Drept comun o vom numi muchi diedrului(drept d de mi sus). Unghiul pln l diedrului su unghiul pln corespunztor diedrului este unghiul formt de dou semidrepte vind origine comun pe muchi diedrului, fiecre fiind dus in unul din cele dou semiplne si fiind perpendiculre pe muchie(<pb de mi sus).

15 5. Poliedre. Corpuri rotunde. rii si volume. 1.Tetredrul Ptru puncte necoplnre formez un corp pe cre-l numim tetredru. B Inltime tetredrului este perpendiculr E O D dintr-unul din virfuri pe ft opus. C ri totl tetredrului este sum riilor fetelor tetredrului. Volumul tetredrului este egl cu ri unei fete inmultit cu o treime din inltime corespunztore fetei. Fie O (BCD) OE BC, rezult cu T3 c E BC, deci inltime tertedrului este O. t = ( BC)+ ( CD)+ ( BD )+ ( BCD), Volumul tertedrului este V= ( BCD) O/3 =... 1.Tetredrul regult Un tetredru cu tote muchiile congruente se numeste tetredru regult. Deci BC, CD, DB, BCD sunt tote, triunghiuri echilterle congruente, deci B=C=D=BC=CD=DB. Tote fetele sunt triunghiuri echilterle. Inltime tetredrului regult cde in centrul fetei opuse, cre este l intersecti inltimilor fetei ; sunt 4 inltimi congruente. Fie O (BCD) OE BC, rezult cu T3 c E BC, deci inltime tertedrului este O. Dr BC, este triunghi echilterl deci E este si medin, dic E este mijlocul lui BC, ins si BCD este triunghi echilterl, deci OE este meditore si deci este si inltime rezult c OE trece prin D, deci O este pe inltime din D BCD, si nlog este si pe celellte dou inltimi le BCD. Stim, de semene c O este l 2/3 de virf si l 1/3 de z BCD, dic OD=2DE/3, ir OE=DE/3, etc... ri totl tetredrului este de ptru ori ri unei fete tetredrului. Volumul tetredrului este egl cu ri unei fete inmultit cu o treime din inltime corespunztore fetei. Notm cu l 3 =ltur echilterl, 3 =potem echilterl, R=rz cercului circumscris echilterl, 3 = l 3 3/6, O= l 3 6/3, E= l 3 3/2, zei = l 2 3 3/4, lt =3 l 2 3 3/4, t =4 ( BC) =l 2 3 3, Volumul tetredrului este V= ( BCD) O/3 = l 3 3 2/12

16 1.Prism D C Dc zele sunt dou poligone prlele, B ir muchiile lterle sunt prlele si trec prin virfurile poligonelor de l z tunci ele formez un corp pe cre-l numim prism. D C Inltime prismei este perpendiculr E dintr-unul din virfurile unei ze pe z opus. B BB CC DD, fie D O (BC), OE D rezult (T3 ) D E D, h=d O=inltime prismei(distnt dintre ze). ri lterl prismei este sum riilor fetelor lterle le prismei. De exemplu ri fetei DD este egl cu D D E, ir l = DD + BB + BB CC + CC DD =(B+BC+CD+...)h ri totl prismei este sum dintre ri lterl prismei si riile zelor. t = l + BCD + B C D =P zei h+ BCD + B C D Volumul prismei este egl cu ri unei ze inmultit cu inltime prismei. V= h= BCD D O= BCD h O prism drept este o prism in cre orice muchie lterl este perpendiculr pe ze. BB CC DD, si (BC), ( B C )... Prlelipipedul este o prism cu zele prlelogrme. BCD si B C D =prlelogrme Prlelipiped drept este un prlelipiped cu fetele lterle drptunghiuri(zele sunt totusi prlelogrme). BCD si B C D =prlelogrme Ir DD, BB,BB CC,CC DD sunt dreptunghiuri Prlelipiped dreptunghic este un prlelipiped h cu tote fetele dreptunghiuri(fetele lterle si zele d sunt dreptunghiuri). BCD si B C D =dreptunghiuri l Ir DD, BB,BB CC,CC DD sunt dreptunghiuri (L) ri totl prlelipipedului dreptunghic =t=2(ll+lh+lh), digonl prlelipipedului dreptunghic=d si d 2 =L 2 +l 2 +h 2 volumul=v= zei h=llh=produsul dimensiunilor Cuul re tote fetele ptrte: volumul V=l 3, t =6l 2, digonl d=l 3 O prism triunghiulr este o prism in cre zele sunt triunghiuri. O prism hexgonl este o prism in cre zele sunt hexgone.

17 1.Pirmid Ptru puncte necoplnre formez un corp pe cre-l numim pirmid. V Virful=V Bz=poligonul opus lui V, BC Fetele lterle= VB, VC, VBC,... Muchiile lterle=v, VB, VC,... C Muchiile de l z=b, BC, CD,... Muchiile pirmidei=lterle si le zei E O potem pirmidei=inltimile fetelor lterle,ve ri lterl=sum riilor fetelor lterle B riile zelor=ri poligonului de l z Inltime pirmidei este perpendiculr dintr-unul din virfuri pe ft opus. VO (BC) ri totl pirmidei este sum riilor fetelor pirmidei. Volumul pirmidei este egl cu ri unei fete inmultit cu o treime din inltime corespunztore fetei. V= BC VO/3 1.Pirmid regult O pirmid cu muchiile lterle congruente si vind z un poligon regult se numeste pirmid poligonl regult. Tote fetele sunt triunghiuri isoscele(vb, VBC,...). Inltime pirmidei regulte cde in centrul zei, cre este l intersecti inltimilor(=medine, meditore, isectore). ri totl pirmidei este sum riilor fetelor lterle, cre sunt de ltfel egle intre ele, si ri zei(un poligon regult). Volumul pirmidei este egl cu ri zei inmultit cu o treime din inltime. V= VO/3, =ri zei V Deci VB, VBC, VCD,... sunt triunghiuri isoscele congruente. Bz este poligon regult: C triunghi echilterl, ptrt, E O hexgon regult, etc... B

18 De exemplu dc z este triunghi echilterl, BC si VO (BC) OE B, rezult cu T3 c VE B, deci inltime este VO. Dr VB, este triunghi isoscel deci VE este si medin, dic E este mijlocul lui B, ins BC este triunghi echilterl, deci OE este meditore si deci este si inltime rezult c OE trece prin C, deci O este pe inltime din C BC, si nlog este si pe celellte dou inltimi le BC. Stim, de semene c O este l 2/3 de virf si l 1/3 de z BC, dic R=CO=2CE/3, ir OE=CE/3, etc... Volumul pirmidei este V= ( BC) VO/3, ri lterl lt =sum riilor fetelor lterle cre sunt triunghiuri isoscele congruente, deci este semi-perimetrul zei inmultit cu potem pirmidei(inltime fetei)=p zei. p /2. ri totl = t = lt + ( BC). Ex.37. Clculti ri lterl unei pirmide triunghiulre regulte cu inltime de 4, ir potem de 12. Ex.38. Clculti volumul unei pirmide ptrultere regulte cre re ri lterl 144, ir ri totl 169. Ex.39. Clculti volumul si ri lterl unei pirmide triunghiulre regulte cu ltur zei de 24, ir unghiul dintre muchi lterl si ltur zei de Ex.40. Fie VBCD o pirmid ptrulter regult cu potem de 6 si msur unghiului dintre muchii si digonlele lturte de Clculti tngent unghiului dintre fetele VB si VBC, VB si VCD, precum si unghiul dintre V si drept d=(vd) (VBC). Ex.41. Fie VBC o pirmid triunghiulr regult. vind ri lterl egl cu 256. Prin mijlocul inltimii ducem un pln prlel cu (VB). Clculti ri sectiunii formte. Ex.42. Fie VBCD o pirmid regult cu z ptrt cu ltur de 20, ir unghiul dintre o mucie lterl si ltur zei lturt ei de flti ri si volumul pirmidei si distnt de l punctul de intersectie digonlelor ptrtului BCD, l (VB).

19 1.Trunchiul de pirmid Virful pirmidei din cre provine trunchiul=v Bzele= BC, B C su... O C Fetele lterle = trpeze B B, B C BC... B Muchiile lterle:,bb,cc,... Muchiile de l z: B, BC, C, B,... Muchiile trunchiului :,BB,B, B,... O C potem trunchiului: B E B,... E ri lterl=ri trpezelor BB,... riile zelor = ri poligonelor de l z... B Inltime trunchiului este perpendiculr dintr-unul din virfuri pe z(oo ), VO este inltime pirmidei mri din cre provine trunchiul, ir VO inltime pirmidei mici. ri totl trunchiului este sum riilor fetelor trunchiului, fetele lterle(trpeze) si riile zelor. l =(P Bzei mri +P zei mici ) potem tr. /2 t = l +B+, P Bzei mri =perimetul zei mri, P zei mici =perimetrul zei mici, potem tr. =potem trunchiului Volumul trunchiului este egl cu o treime din inltime inmultit cu sum dintre riile zelor si rdcin ptrt din produsul lor. V=(B++ B)h/3, unde B=ri zei mri, =ri zei mici, h=oo Rportul volumelor celor dou pirmide formte prin sectionre (tiere) pirmidei mri(vbc) cu plnul ( B C ) prlel cu z (BC) este egl cu cuul rportului de semnre. V = B C VO /3, ir V= BC VO/3 deci rportul celor dou volume este : V /V= B C VO / BC VO, dr B C = B i /2 BC =B i/2, deci rportul lor este B C / BC = B i / B i, dr din semnre triunghiurilor V B ~ VB, VO B ~ VOB VO M ~ VOM, etc... otinem : B /B=VO /VO=i /i, deci rportul riilor este ptrtul rportului de semnre : B C / BC = B i / B i=(i /i) 2, ir rportul volumelor : V /V=(h /h) 3. Se vede c volumul trunchiului este egl cu diferent volumelor celor dou pirmide : V t =V-V, cee ce pote usur clculele. Ex.1. Fie VBCD o pirmid ptrulter regult cu ltur de 12, ir unghiul dintre o ft lterl si z de Sectionm pirmid cu un pln ( B C D ) prlel cu z l 1/3 de virf. Se cere ri si volumul trunchiului formt si distnt de l O l plnul (VB) si V

20 ditnt de l M=mijlocul lui [B], l intersecti d plnelor (VB) si (VCD). B=12, h=vo V VO (QBC), OM B, deci VM B D VB=isos, deci M=mij.B si OM=B/2 m(<vmo)=60 0, cos60 0 =OM/VM M B C VM=2OM=12 (su VMN=echi) D VO M VOM, deci 1/3=VO /VO= O M /OM=VM /VM, rezult: M N O M =2, VM=B=12, VM =4, MM =8, VO=3 3/2, VO = 3/2, OO = 3 B C BCD =B 2 =144, B C D =(1/3) BCD =48, B =(1/3)B=4 V VBCD = BCD h/3=72 3, V V B C D = V VBCD /3=24 3 V BCD B C D = V VBCD - V V B C D =24 3(3-1)= 48 3 BCD B C D = BCD + B C D +4 B B = (B+ B )MM /2, deci BCD B C D = =448 Pirmid VOB re inltime VO, cunoscut si z OB cre re ri egl cu ¼ din ri zei BCD, deci V VOB = OB h/3=36 3/2, dr V VOB = VM OE/3, deci OE=3 V VOB / VM, unde OE este distnt de l O l plnul (VB), deorece dc OE VM, tunci, cum si OM B, ir VM B, R2T3 spune c OE (VB). Plnele (VB) si (VCD) se tie dup o drept d prlel cu B, deorece B CD si deci B (VCD), dr VM B, deci VM d, ir distnt este chir VM=12. Ex.43.Fie BC B C un trunchi de pirmid triunghiulr regult cu ltur zei mri de 36, ltur zei mici 12 si volumul de 144. Clculti potem, muchi, inltime si ri trunchiului. Ex.44. Un trunchi de pirmid triunghiulr regult cu ltur zei mri de 64, ltur zei mici 32 si potem de 256. Clculti ri trunchiului si volumul. Ex.45. Un trunchi de pirmid triunghiulr regult cu ltur zei mri de 16, ltur zei mici 15 si unghiul formt de muchi lterl cu muchi zei mri, cre pornesc din celsi virf, egl cu Clculti ri trunchiului si volumul.

21 1.Corpuri rotunde Corpurile rotunde sunt corpuri de rottie, intuitiv ele sunt generte de puncte su segmente/drepte cre se misc. De exemplu o sfer o putem imgin c find genert de un punct cre se misc in sptiu l o distnt fix de un punct fix dt. Cilindrul i nstere prin miscre unui segment in jurul unui punct fix l distnt constnt de cest punct fix, segmentul fiind mereu prlel cu o directie dt si fix. Conul i nstere prin miscre cptului unui segment in jurul unui punct fix, l distnt dt, constnt, segmentul vind celllt cpt fix. 1.Cilindrul circulr drept Cilindrul circulr drept i nstere prin miscre unui segment in jurul unui punct fix l distnt constnt de cest punct fix si intre dou plne prlele pe cre segmentul este perpendiculr. stfel zele sunt dou cercuri cu ceesi rz, prlele, ir segmentul cre generez cilindrul este mereu prlel cu o directie fix, dt. Se du, segmentul [B] si punctul fix O si drept O R d si o lungime fix R si dou plne prlele, β, ir,b β. Dc [B] se roteste in jurul lui O, O R l distnt R de O stfel incit mereu B d si B, B B B β tunci [B] generez un cilindru circulr drept. De cee [B] se numeste genertore cilindrului, R este rz celor dou cercuri cre sunt numite zele cilindrului. Se vede c inltime cilindrului este egl cu genertore cilindrului, dic OO =G=h=B= B =..., unde O si O sunt centrele cercurilor de l z cilindrului, OB=OB =O=O =R. Volumul cilindrului V= πr 2 G =πr 2 h, ir ri lterl(=ri dreptunghiului cu L=2πR si l=g cre este desfsurre cilindrului) l = 2πRG, ri totl t = 2πRG +2πR 2 =2πR(G +R) Ex.46. Clculti volumul cilindrului circulr drept cre re generetore si rz direct proportionle cu numerele 5 si 12, ir digonl sectiunii xile fce cu plnul zei un unghi de 60 0.

22 1.Conul circulr drept Conul i nstere prin miscre cptului unui segment in jurul unui punct fix, l distnt dt, constnt de punctul fix, segmentul vind celllt cpt fix. fix, dt. Se du, segmentul [B] si punctul fix O si o lungime fix R si plnul, ir =fix si O,B. Dc B se roteste in jurul lui O, l distnt R de O stfel incit B descrie un cerc B B si O tunci [B] generez un con circulr drept. De cee [B] se numeste genertore conului, R este rz cercului cre este z conului. Se vede c inltime conului, O este ctet triunghiului dreptunghic OB, in cre genertore B este ipotenuz, deci B 2 =O 2 +OB 2, dic G 2 =h 2 +R 2, unde genertore G=B=B =..., inltime h=o si rz R=O=OB, O este centrul cercului de l z conului. Triunghiul BB este un triunghi isoscel, dr pote fi si echilterl su dreptunghic si isoscel. Volumul conului V= πr 2 h/3, ir ri lterl l =πrg, ri totl t =πrg +πr 2 =πr(g+r). ri lterl =ri sectorului de cerc cre se otine prin desfsurre conului: lungime rcului mic C este egl cu lungime cercului de l z conului=2πr, ir rz cercului mre C cu centrul in V este G. Sectionind un con cu un pln prlel cu cercul O B de l z se otine un trunchi de con circulr drept. Volumul trunchiului de con circulr drept V= (πh/3)( R 2 + r 2 +Rr), ir ri lterl l =πg(r+r), ri totl t =πg(r+r) +π(r 2 +r 2) B Unde G= =BB, h=oo, r= O =O B R=O=OB, C si l pirmid rportul dintr volumul conului mic(v ) cre fost indeprtt prin sectionre pentru otine trunchiul de con si volumul conului mre din cre provie conul este egl cu cuul rportului de semnre, dic : V /V=VO /VO=V /V=VB /VB=...=r/R, pentru c vem triunghiurile semene VO ~ VO. G V G O O R L lungime crec=2πg m(<vc)...2πr Rezult: m(<vc)= R/G

23 1.Sfer Sfer o putem imgin c find genert de un punct cre se misc in sptiu l o distnt constnt de un punct fix dt. O=centrul sferei, este fix O=R, rz sferei R Volumul sferei V= 4πR 3 /3, ir ri(totl) =4πR 2 Notm cu ltur unui cu si cu r sf.insrc = rz sferei inscris in cu, r sf.insrc = /2 si R sf.circ = rz sferei circumscris cuului : R sf.circ = 3/2. Notm cu L, l, h lturile unui prlelipiped dreptunghic si cu R sf.circ = rz sferei circumscris prlelipipedului : R sf.circ = 3/2. Notm cu ltur tertedrului regult si cu r sf.insrc = rz sferei inscris in cest tetredru si R sf.circ = rz sferei circumscris tetredrului : R sf.circ = ( L 2 +l 2 +h 2 )/2 Ex.47. Rz unei sfere este de 12. Clculti ri si volumul sferei. Ex.48. Rzele trei sfere sunt 12; 18 si 24. flti ri sferei cre re ri egl cu medi ritmetic celorllte dou. Ex.49. flti rz unei sfere dc ri si volumul ei sunt egle. Ex.50. Rz unei sfere este 12. flti volumul unui con circumscris sferei. Ex.51. Rz unei sfere este 24. flti volumul unui cu in cre este inscris sfer, cre este stfel tngent l tote fetele cuului inclusiv zele. Ex.52. Rz unei sfere este 36 si in e inscriem un cu, stfel c virfurile cestui sunt pe sfer. flti volumul cuului. Ex.53. Rzele trei sfere sunt direct proportionle cu 15; 28 si 48. Stim c rz unei sfere este medi ritmetic celorllte dou. flti volumul celor trei sfere. Ex.54. Digonl unui cu este 12. flti volumul celor trei sfere circumscris cuului. Ex.55. Fie prlelipipedul dreptunghic BCD B C D si M,N,P,Q puncte pe lturile,bb,cc,dd l 1/3 de z, ir O=C BD, O = C B D, ir S=(MNP) OO. flti O S/O O, C S/S si volumul sferei circumscris prlelipipedului, stiind c dimensiunile prlelipipedului sunt L=h 3, l=h, ir h=inltime prlelipipedului.