Μάθημα Επιλογής 8 ου εξαμήνου

Transcript

1 EΘNIKO ΜEΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΧΗΜΙΚΩΝΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΙΙ: Ανάλυσης, Σχεδιασμού & Ανάπτυξης Διεργασιών & Συστημάτων Διάλεξη 2: Υπολογιστικές προκλήσεις διαχείρισης συστημάτων Μάθημα Επιλογής 8 ου εξαμήνου Διδάσκων: Α. Κοκόσης Συνεργάτες: Α. Νικολακόπουλος, Θ.Χ. Ξενίδου

2 Επισκόπηση Κατηγορίες και μέγεθος συστημάτων Επισκόπηση Επαναληψιμότητα υπολογισμών και παθογένεια Αναγνώριση παθογένειας Αραιά συστήματα Τεχνικές διαχείρισης μνήμης Δομημένα συστήματα

3 1. Επαναληψιμότητα & παθογένεια

4 Επαναληψιμότητα & παθογένεια Υπολογιστικό παράδειγμα Ας υποθέσουμε ένα γραμμικό σύστημα, π.χ. στην k επανάληψη A x = b k 1 x = A b k με b = και A = k x1 100 x = k A k και η γραμμικοποίηση στην επανάληψη k+1, με A k = οπότε προκύπτει η καινούρια λύση Αν και η μεταβολή από A A k k + 1 είναι πολύ μικρή, η καινούρια λύση είναι εντελώς διαφορετική. Γιατί;

5 Αραιά συστήματα & διαχείριση μνήμης Ιδιάζοντες πίνακες και παθογένεια τι έκανε στο προηγούμενο πρόβλημα τη λύση να αλλάζει τόσο πολύ; μπορούμε να επηρεάσουμε σε κάτι τους υπολογισμούς; Ιδιοτιμές, αριθμητική κατάσταση, ιδιάζουσα τιμή Ax 1 = b x = A b ( ) ( ) adj A 1 A = (1) det A T ( ) ( ) ji adj A = C = C πίνακας συμπαραγόντων ( ) i det A = n ij = λ i= 1 ( Ax λ x ) = 0 ή det ( A I ) 0 μ λ = με Ax n = λ u x i= 1 i i i

6 Επαναληψιμότητα & παθογένεια Παθογένεια συστημάτων (ill-conditioning) ( ) ( ) A = (1) 1 adj A det A ( ) ( 0 i ) Αν dt det A 0 ή λ 0, τότε 1 A Αν λ : λ = 0 i i (ιδιάζων πίνακας) λi : λi 0 (σχεδόν ιδιάζων πίνακας) ) Η μικρότερη τιμή προετοιμάζει για το πόσο δύσκολο είναι να αντιστραφεί ο πίνακας Αριθμός κατάστασης: προετοιμάζει για το πόσο ισοσταθμισμένο είναι το σύστημα Αν λ max, λ min οι μεγαλύτερες/μικρότερες τιμές (απόλυτες) των ιδιοτιμών του πίνακα ( ) Α (ή των Re λ i αν είναι μιγαδικές), τότε μια ένδειξη είναι η: λ max K( A ) = λmin

7 Επαναληψιμότητα & παθογένεια Ιδιάζουσα τιμή ( ) Τα λ A ισχύουν μόνο για τετράγωνους πίνακες. Στην ουσία μας ενδιαφέρει το μέγεθος του σήματος που δίνει το A. Δηλαδή, για το y = Ax Μας ενδιαφέρει ισοδύναμα T T T y y= xaax ( ) y i i ax i Δηλαδή, ο πίνακας T ( ) 1 2 AA ο οποίος είναι τετράγωνος και θετικός. Η μικρότερη τιμή λέγεται ιδιάζουσα τιμή. { 1 T 2 ( ) } min σ = λ min AA

8 Επαναληψιμότητα & παθογένεια Παράδειγμα 1 Στην προηγούμενη περίπτωση είχαμε A k = λ λ = K( A) 1635 σ 0.4 σ Τι μπορούμε να κάνουμε για να βελτιώσουμε εγγενείς παθογένειες;

9 Επαναληψιμότητα & παθογένεια Παράδειγμα 2 5 λ λ ( ) K A 3 10 ' Αν εναλλακτικά, ορίσουμε = ( ) y y x τότε A k = λ1 1, 49 K( A) 6 λ2 0.25

10 2. Αραιά συστήματα & διαχείριση μνήμης

11 Αραιά συστήματα & διαχείριση μνήμης Παράδειγμα Σύστημα με 1000 εξισώσεις δεξί μέλος 1000 άγνωστοι (1000) x (1000) + (1000) = 1,001, Μη μηδενικά στοιχεία (sparse elements) Αν υποθέσουμε πως έχουμε: 5 μη μηδενικά στοιχεία / εξίσωση 50 μη μηδενικά μηδενικά στοιχεία στο δεξί μέλος τότε προκύπτουν, 5 x = Συνολικά, 0.5% ή 1, 001,000 o 5 oo Ένα τεράστιο ποσοστό μνήμης δεσμεύεται χωρίς σκοπό και αιτία. Το ποσοστό κενών στοιχείων (sparsity) αποτελεί σημαντικό μέλημα διαχείρισης των υπολογισμών

12 Αραιά συστήματα & διαχείριση μνήμης Αποθήκευση και αναπαράσταση δεδομένων Αναπαράσταση συντεταγμένων F σειριακή (coordinate & serial format) Αποθήκευση μεταβλητών στο Aspen Δομημένα μητρώα για ειδικές διεργασίες Βασικά Δεν υπάρχει σαφής διάκριση αραιών / μη αραιών συστημάτων N Συνήθως s < 5 με 10% (Ns: sparse elements) N

13 Αραιά συστήματα & διαχείριση μνήμης Αναπαράσταση συντεταγμένων σε αραιούς πίνακες x coordinate (JC) y coordinate (JR) τιμές (AA) π.χ. A = AA = JR = JC = b) Σειριακή αναπαράσταση (serial format) AA = [ ] SF = [ ]

14 Αραιά συστήματα & διαχείριση μνήμης Εξοικονόμηση NF πλήρης πίνακας Ν 2 ΝCF CF 3NS NSF SF 2NS Για Ν = 1,000 και NS α= = 3 N o oo N N 2 F CF = = 10N = 10,000 N 3NS CF N N 2 F SF = = 16N = 16, 000 SF N 2NS ή 10 4 της μνήμης για CF της μνήμης για SF Ακόμη μεγαλύτερη εξοικονόμηση με NSF όταν υπολογίζει κανείς Ιακωβιανές συντεταγμένες.

15 Διαχείριση δεδομένων στο Aspen Plus

16 Αραιά συστήματα & διαχείριση μνήμης Αποθήκευση μεταβλητών στο Aspen Plus b) Δεδομένα διεργασίας Block input Παράδειγμα flash TEMP MAXIT PRES TOL VFRAC DUTY ENTRY F Block results QCALC V L F1 FLOWSHEET BLOCK F1 IN=FEED OUT=VRLIQ ρεύματα διεργασίας BLOCK F1 FLASH2 PARAME TEMP=120 PRES=13.23 δδ δεδομένα διεργασίας

17 Αραιά συστήματα & διαχείριση μνήμης Αποθήκευση μεταβλητών στο Aspen Plus Δεδομένα καταχωρούνται ξεχωριστά για Ρεύματα του ροοδιαγράμματος Κάθε μία διεργασία ξεχωριστά a) Ρεύματα S: F 1 F 2,, F c F TOT T P h V F L F s ρ MW Παράδειγμα flash NC δεδομένα F V L F V L COMMON / B / B (NPLEX) B-Block 3 ανύσματα με γνωστές διαστάσεις αφού ΝC γνωστά

18 Αραιά συστήματα & διαχείριση μνήμης Δομημενα συστήματα Συχνά προκύπτουν σε Αποστακτικές στήλες Συστοιχίες διεργασιών A = Εδώ μπορεί να χρησιμοποιηθεί και σε εξειδικευμένους αλγορίθμους για Λιγότερη μνήμη Συνεκτική / συμπαγή αναπαράσταση (π.χ Inside out algorithm)