Svjetlost. Priroda svjetlosti Zakoni geometrijske optike Fermatov princip Refleksija svjetlosti. Ravno zrcalo Sferno zrcalo.
|
|
- Ναθαναήλ Φόβος Αγγελόπουλος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Poglavlje Svjetlost Priroda svjetlosti Zakoni geometrijske optike Fermatov princip Refleksija svjetlosti Ravno zrcalo Sferno zrcalo Lom svjetlosti Planparalelna ploča Totalna refleksija Optička prizma Leće Tanke leće Jednadžba tanke leće Oko i optički sustavi Mjerenje brzine svjetlosti Fotometrija
2 Uvod Područje fizike koje opisuje ponašanje i svojstva svjetlosti te međudjelovanje svjetlosti s tvari nazivamo optikom. Svjetlost je tek mali dio spektra elektromagnetskih valova na koje je oko osjetljivo. U geometrijskoj optici svjetlost opisujemo zrakama koje se šire pravocrtno te se mogu odbijati (reflektirati) i lomiti (refraktirati). Iako je geometrijska optika tek približan opis svjetlosti, ona je vrlo korisna i učinkovita. Zahvaljujući geometrijskoj optici moguće je precizno konstruirati optičke sustave, od jednostavnih leća i zrcala do složenih mikroskopa i teleskopa. Optički instrumenti poput mikroskopa i teleskopa otvorili su prozore u nove svjetove te omogućili čudesan razvoj znanosti. Da bismo vidjeli krijesnicu, zvijezdu Sirius ili plamen svijeće, dio svjetlosti iz tog izvora mora upasti u mrežnicu našeg oka. No da bismo vidjeli objekt koji nije izvor svjetlosti, primjerice psa, Mjesec ili udžbenik iz fizike, mora postojati neki izvor svjetlosti koji obasjava objekt. Dio reflektirane svjetlosti s objekta zatim mora doći do mrežnice oka. U svakom slučaju, svjetlost od objekta putuje do oka, gdje se u leći lomi i projicira na mrežnicu. Živčane stanice mrežnice šalju živčane impulse do mozga koji u svijest dovodi sliku. Slika je tek kopija predmeta koja ovisi o svojstvima svjetlosti i o međudjelovanju svjetlosti s okom. Optika objašnjava optičke pojave koje su rezultat međudjelovanja svjetlosti i tvari. Neke od zanimljivih optičkih pojava su duga, spektar boja na nebu i fatamorgana, optička varka. Postoje optičke pojave koje nije moguće opisati samo geometrijskom optikom. U fizikalnoj optici u obzir se uzima i valna priroda svjetlosti. Tipično valne pojave, primjerice interferencija i ogib (difrakcija), prepoznatljive su po karakterističnim svjetlosnim uzorcima. Spektar boja koji opažamo kad bijela svjetlost pada na CD ili DVD rezultat su difrakcije. Moderni optički sustavi, optička vlakna u kombinaciji s laserima, u zadnjih su deset godina donijeli revoluciju u komunikacijskoj tehnologiji. Optički kablovi omogućili su nastanak svjetskog telekomunikacijskog sustava i eksponencijalni rast interneta. 8 Svjetlost
3 Ključni pojmovi.. Priroda svjetlosti optika dvojna priroda svjetlosti zraka svjetlosti snop svjetlosti zakon pravocrtnog širenja zakon neovisnosti snopova zakon refleksije Snellov zakon loma indeks loma Fermatov princip sferno zrcalo planparalelna ploča totalna refleksija optička prizma disperzija svjetlosti duga leća sferna aberacija kromatska aberacija Optika kvantitativno proučava fizikalne pojave povezane sa svjetlošću, s njenim širenjem i međudjelovanjem s različitim sredstvima. Svjetlost se širi prozirnim sredstvima. Optika se bavi vidljivom svjetlošću, odnosno uskim dijelom vrlo širokog spektra elektromagnetskih valova koji se proteže sve od dugih radiovalova do visokoenergijskih gama zraka, valnih duljina raspona preko 8 redova veličina (slika.-)..- Dio spektra elektromagnetskih valova. Spektar nema oštre granice, nego se proteže dalje na obje strane. S jedne strane svjetlost možemo opisati zrakama, dakle zamišljenim pravcima koji se po određenim zakonitostima šire od izvora svjetlosti te se lome i reflektiraju. Međutim, pojam zrake svjetlosti ne otkriva pravu prirodu svjetlosti, ne objašnjava što je svjetlost. Odgovor na to pitanje vodi nas u prošlost, gdje se predodžba prirode svjetlosti često mijenjala. Isaac Newton smatrao je svjetlost rojem čestica korpuskula. Zahvaljujući velikom Newtonovom utjecaju, u njegovo je doba prevladavalo to je mišljenje. Međutim, nije bilo jedino. Newtonov suvremenik Christiaan Huygens pokazao je valnu (undulatornu) prirodu svjetlosti. Mnogi su fizičari od 7. do 9. stoljeća isticali valnu prirodu svjetlosti, primjerice Young i Fresnel. Najvažnije razdoblje valne teorije svjetlosti je doba Maxwella i Hertza. Maxwell je oko 873. godine izučavao elektromagnetske valove i naslutio da bi svjetlost mogla biti elektromagnetski val. Hertz je pokazao kako je moguće stvoriti i detektirati radiovalove te je indirektno pokazao da svjetlost ima istu prirodu kao i radiovalovi. Optika je grana fizike koja proučava fizikalne pojave povezane sa svjetlošću. Međutim, fizika 0. stoljeća pokazala je da valna teorija svjetlosti ne objašnjava na zadovoljavajući način sve pojave koje uključuju međudjelovanje svjetlosti s materijom. Pokazano je da klasična Maxwellova teorija ne može objasniti rezultate nekih pokusa, primjerice fotoelektrični 9
4 .- Ravni elektromagnetski val u vakuumu: električno polje okomito je na magnetsko, a oba su polja okomita na smjer širenja vala Napomena Optički homogeno sredstvo je sredstvo kod kojeg je indeks loma svuda isti. Optički izotropno sredstvo je sredstvo kod kojeg su svi smjerovi ravnopravni. Napomena Valna fronta je površina koja povezuje sve točke iste faze. Faza vala je kut, kx ωt, koji ostaje stalan za harmonijski val. π Valni broj je k =, a kružna frekvencija ω = π λ. T učinak, o kojem će biti riječi u četvrtom poglavlju. Na temelju Planckove teorije zračenja apsolutno crnog tijela, Einstein je iz prašine povijesti izvukao korpuskularnu teoriju i oplemenio je Planckovom kvantnom teorijom. Nadopunio je predodžbu svjetlosti kao vala u dualnu teoriju svjetlosti, po kojoj je svjetlost i val i čestica. Dakle, postoji dvojna priroda svjetlosti. Pitanje o pravoj prirodi svjetlosti ima smisla tek u kontekstu procesa u kojem svjetlost sudjeluje. Ako se radi o difrakciji ili interferenciji svjetlosti, predodžba vala omogućuje objašnjenje eksperimentalnih rezultata, a odgovor o tome kako svjetlost izbacuje elektrone iz metala ili kako se raspršuje na elektronima valja tražiti s pomoću čestične prirode svjetlosti. Dvojna priroda svjetlosti: svjetlost ima svojstva vala i čestice... Zakoni geometrijske optike U prvom dijelu izučavanja širenja svjetlosti promatrat ćemo optičke elemente i optičke instrumente čije su dimenzije mnogo redova veličina veće od valne duljine svjetlosti. Za opis širenja svjetlosti kroz prozirno sredstvo dovoljan je opis širenja svjetlosti prikazan s pomoću zrake svjetlosti, koja je okomita na valne fronte, a čije se širenje opisuje preko četiri zakona geometrijske optike. Skup zraka svjetlosti nazivamo snopom svjetlosti. Zrake svjetlosti prikazane su na slici.-, zajedno s valnim frontama koje pokazuju način na koji izvor širi svjetlost u prostor. Po obliku valne fronte, valove svjetlosti možemo podijeliti na ravne i kuglaste valove. Zraka svjetlosti je zamišljeni usmjereni pravac okomit na valnu frontu, s pomoću kojeg konstruiramo slike u geometrijskoj optici. Snop svjetlosti je skup svjetlosnih zraka. Kada dimenzije dijelova instrumenata kroz koje svjetlost prolazi postaju otprilike usporedive s valnom duljinom svjetlosti, svjetlost moramo opisati valnom predodžbom pa primjenjujemo sve ono što smo naučili o valovima. Pritom ćemo uzeti u obzir razlike između mehaničkih i elektromagnetskih valova. Geometrijska optika proučava kako se svjetlosne zrake odbijaju (reflektiraju) i lome (refraktiraju) ili savijaju prelazeći iz jednog sredstva u drugo. U geometrijskoj optici konstruiramo zrake koje se šire, odbijaju i lome prema četiri zakona geometrijske optike. 0 Svjetlost.- Na velikoj udaljenosti od točkastog izvora svjetlosti sferne valne fronte postaju ravne valne fronte. Zrake svjetlosti uvijek su okomite na valne fronte.
5 .- Sjena nastala točkastim izvorom svjetlosti.-3 Sjena i polusjena nastale izvorom svjetlosti koji nije točkast Najčešće rabimo točkaste izvore svjetlosti, a primjer takvog izvora prikazan je na slici.-. Točkasti izvor daje oštru sjenu na zastoru, dok plošni izvor sa slike.-3 daje oštru sjenu, ali i polusjenu. Formulirat ćemo i opisati četiri zakona geometrijske optike, a zatim ćemo ih redom primijeniti na konkretne i zanimljive situacije koje se vrlo često javljaju u svakodnevnom životu i na taj način čine optiku bliskom i zanimljivom. Zakoni geometrijske optike:. zakon pravocrtnog širenja svjetlosti. zakon neovisnosti snopova svjetlosti 3. zakon odbijanja ili refleksije svjetlosti 4. Snellov zakon loma ili refrakcije svjetlosti. Zakon pravocrtnog širenja govori da se svjetlost u homogenom, izotropnom, prozirnom sredstvu širi pravocrtno. Stvaranje sjene neprozirnog predmeta koji se nalazi na putu svjetlosnih zraka može poslužiti za jednostavan prikaz tog zakona (slika.-). Zakon pravocrtnog širenja svjetlosti: svjetlost se u homogenom, izotropnom, prozirnom sredstvu širi pravocrtno.. Zakon neovisnosti snopova govori da se dva snopa svjetlosti u prostoru prostiru potpuno neovisno, bez međudjelovanja (ako ne dolaze iz jednakih izvora), poput reflektorskih snopova koji jedan kroz drugog prolaze bez utjecaja. Snop svjetlosti je skup svjetlosnih zraka..-4 Zakon odbijanja ili refleksije: kut upada jednak je kutu odbijanja Zakon nezavisnosti svjetlosnih snopova: snopovi svjetlosti iz različitih izvora ne međudjeluju. 3. Zakon refleksije: kada svjetlost, zraka svjetlosti, svjetlosni val, dolazi do granice dvaju prozirnih sredstava, ona se djelomično reflektira, a djelomično prolazi u drugo sredstvo. Za dio svjetlosti koji se reflektira vrijedi zakon refleksije svjetlosti: kada se svjetlost reflektira na granici.-5 Raspršeno odbijanje svjetlosti na neravnoj površini dvaju sredstava, upadna zraka, reflektirana zraka i okomica na granicu dvaju sredstava leže u istoj ravnini, a upadni kut zrake, kut između upadne zrake i okomice na granicu sredstava, jednak je kutu reflektirane zrake. Zakon je prikazan na slikama.-4 i.-5. Zakon refleksije svjetlosti: kut upada jednak je kutu refleksije.
6 Zanimljivosti Čestica svjetlosti, foton, ipak se može sudariti s drugim fotonom. Međutim, takvi su događaji iznimno rijetki i potpuno su nevažni u kontekstu geometrijske optike. S druge strane, u astrofizičkom kontekstu mogu biti vrlo važni za razumijevanje opažanja dalekih galaksija. tvar indeks loma dijamant,49 cirkonij,93 staklo kremeno,660 staklo krunsko,50 benzen,50 glicerin,473 fluorit,434 etanol,36 voda,333 led,309 zrak, Tablica Indeksi loma nekih tvari Napomena Onima koji žele saznati više o svjetlosti preporučujemo knjige: Anđelka Ricov: Geometrija optike Ivan Supek: Povijest fizike 4. Snellov zakon loma: kada svjetlost, zraka svjetlosti, svjetlosni val, prelazi iz jednog sredstva u drugo, ona se lomi, odnosno skreće s prvobitnog smjera. Do loma svjetlosti na granici dvaju sredstava dolazi zbog toga što je brzina svjetlosti u tim sredstvima različita. Općenito je brzina svjetlosti u nekom sredstvu manja od brzine svjetlosti u vakuumu. Za opis različitih brzina svjetlosti uvodimo veličinu koju nazivamo indeksom loma n, a definirana je ovako: brzina svjetlosti uvakuumu n = brzina svjetlosti usredstvu c n =. v To je broj bez dimenzije koji je veći od jedan. Ako imamo dva sredstva različitih indeksa loma, za sredstvo čiji je indeks loma veći kažemo da je optički gušće. Indeksi loma nekih tvari prikazani su u tablici. Slika.- 6 prikazuje zraku na granici dvaju prozirnih sredstava koja se djelomično odbija, a djelomično prolazi u drugo sredstvo i pritom se lomi..-6 Svjetlost upada na granicu dvaju sredstava Kada svjetlost prelazi iz sredstva u sredstvo, frekvencija se ne mijenja, odnosno vrijedi za dva sredstva. v = λ f i v = λ f Dijeljenjem tih dviju relacija dobit ćemo: v v = λ λ, odnosno λ λ = n n. Na temelju gornjih definicija i izraza možemo formulirati zakon loma svjetlosti. Kada zraka svjetlosti prelazi iz optički rjeđeg u optički gušće sredstvo, ona se lomi prema okomici. Pritom se upadna zraka, lomljena zraka i okomica na dva sredstva nalaze u istoj ravnini, a omjer sinusa upadnog kuta α i kuta loma α jednak je omjeru indeksa loma sredstva kroz koje prolazi lomna zraka n i sredstva kroz koje prolazi upadna zraka n. sinα sinα = n n Svjetlost
7 Willebrord Snellius ( ), nizozemski matematičar i fizičar, 6. godine razvio je zakon loma svjet losti na granici dvaju sredstava, koji danas nosi njegovo ime. To je Snellov zakon loma svjetlosti. Omjer indeksa loma zove se relativni indeks loma n,. Ako je sredstvo iz kojeg svjetlost ide vakuum, onda je n = pa je n = n tzv. apsolutni indeks loma. Snellov zakon loma: omjer sinusa upadnog kuta α i kuta loma α jednak je omjeru indeksa loma sredstva kroz koje prolazi lomna zraka n i sredstva kroz koje prolazi upadna zraka n. Indeks loma nekog sredstva je broj koji pokazuje koliko se sporije svjetlost širi u tom sredstvu u odnosu na brzinu svjetlosti u vakuumu..3. Fermatov princip Nakon što smo formulirali četiri zakona geometrijske optike, postavlja se pitanje zašto zraka svjetlosti doista slijedi stazu propisanu tim zakonima. Postoji li neki fundamentalni princip koji zahtijeva takvo ponašanje zrake svjetlosti? Odgovor na to pitanje je potvrdan. Fermatov princip kaže da je vrijeme potrebno zraci svjetlosti da u sredstvu u kojem se giba c brzinom v = prijeđe neku udaljenost minimalno. Iz tog principa možemo izvesti zakone geometrijske n optike. Iz Fermatovog principa odmah slijedi da se u homogenom sredstvu, gdje je indeks loma n svuda konstantan, svjetlost širi po pravcima, jer je najmanja udaljenost između dvije točke pravac položen tim točkama. Time iz Fermatovog principa proizlazi prvi zakon geometrijske optike. Pogledajmo sada kako možemo primijeniti Fermatov princip najmanjeg vremena na refleksiju svjetlosti. Iznad uglačane površine, poput ravnog zrcala, nalazi se izvor svjetlosti A na udaljenosti a (slika.3-). Iz izvora želimo poslati zraku svjetlosti u točku B koja se nalazi na udaljenosti b od zrcala, tako da se ona prvo reflektira na zrcalu u točki C. Projekcije A i B na zrcalu razmaknute su d. Ne znamo položaj točke C, odnosno želimo ga odrediti ne znajući zakon loma svjetlosti iz drugog odjeljka. Odredit ćemo ga na temelju Fermatovog principa najmanjeg vremena. Brzina svjetlosti u sredstvu je c v = Prema slici.3-, vrijeme potrebno zraci da dođe od točke A, preko točke C do točke B dobit ćemo: n c AC + CB = vt n t AB = AB n t = c AC CB AB ( + ) n = x + a + b + ( d x) c ( ). Pierre de Fermat ( ), francuski odvjetnik i matematičar amater, u optici je postavio temeljni princip iz kojeg je moguće izvesti zakon odbijanja i zakon loma. U matematici je raz radio ideje koje su prethodile diferencijalnom i integralnom računu. Najpoznatiji je po posljed njem Fermatovom teoremu, koji su matematičari pokušavali riješiti 300 godina. Na kraju ga je 993. godine dokazao britanski matematičar Andrew Wiles. Pročitajte knjigu Fermatov pos ljednji teorem Amira D. Aczela..3- Ilustracija Fermatovog principa 3
8 .3- Lom svjetlosti na granici dvaju sredstava različitih indeksa loma Iz Fermatovog principa slijedi da vrijeme t AB mora biti minimalno. Različiti položaji točke C pokazuju da će vrijeme t AB biti najmanje kada je točka C smještena tako da je α = β, odnosno kada je ispunjen treći zakon geometrijske optike. Fermatov princip: svjetlost se između dviju zadanih točaka širi onim putem za koji joj treba najmanje vremena. Fermatov princip i lom svjetlosti Ako svjetlost prelazi iz sredstva indeksa loma n u sredstvo indeksa loma n, odnosno ide iz točke A u točku B (slika.3-), onda ona prema Fermatovom principu izabire takvu točku C na granici dva sredstva, da joj za put A C B treba najmanje vremena. Potrebno je iz ranijih slika loma svjetlosti uočiti da put nije najkraći. Ovdje vidimo da vrijeme mora biti najkraće. S obzirom na to da su brzine u sredstvu odnosno jednake v i v, vrijeme t AB jednako je zbroju vremena t AC uz brzinu v i t CB uz brzinu v. AC CB tab = tac + tcb = + v v = a + x + b + d x v v Iz uvjeta minimalnosti vremena t AB dobije se: ( ) xv b + d x d x v a x ( ) = Prema slici.3-, sinusi kutova α i β su sinα = x a + x Možemo ustanoviti da vrijedi sinα sin β = v v i sin β =, što zbog v ( ) +., sinα sin β = n. n d x ( ) b + d x. c = daje: n Dobili smo Snellov zakon loma iz zahtjeva da je vrijeme između dvije točke A i B minimalno., 4 Svjetlost
9 .4- Slika predmeta u ravnom zrcalu.4-3 Konstrukcija slike predmeta u ravnom zrcalu r r.4. Refleksija svjetlosti.4.. Ravno zrcalo a) b) c).4- Konstrukcija slike u ravnom zrcalu Primijenit ćemo zakon refleksije svjetlosti na nekoliko situacija koje se javljaju i u svakodnevnom životu. Osnovni problem u geometrijskoj optici je pronaći položaj slike ako su poznati parametri uglačane površine i položaj predmeta. Prema slikama.4- i.4-, vidimo da reflektirane zrake, koje slijede zakon refleksije svjetlosti, stvaraju prividnu ili virtualnu sliku u zrcalu. Zrake koje crtamo unutar zrcala zovemo prividne ili virtualne zrake. Pogledajmo pažljivije sliku.4-3. Zrake svjetlosti izlazeći iz izvora padaju na uglačanu ravnu površinu, ravno zrcalo i reflektiraju se po zakonu refleksije svjetlosti te dolaze do oka. Pritom zrcalo od točkastog izvora svjetlosti stvara virtualnu točkastu sliku. Svojstvo optičkog sustava da daje vjernu, oštru sliku zove se stigmatičnost. Iz geometrije slike.4-3 vidimo da je udaljenost x predmeta od zrcala Z jednaka udaljenosti x' prividne slike od zrcala. Formalno je jednakost x = x' jednadžba ravnog zrcala. Međutim, kasnije ćemo uvesti dogovor o predznacima gdje će predznak položaja virtualne slike biti negativan, što ustvari znači da je ispravna jednadžba ravnog zrcala x = x' ili napisano malo drukčije: + = 0. x x To je jednadžba ravnog zrcala, gdje je x udaljenost predmeta od ravnog zrcala, a x' udaljenost slike. Ako je x' < 0, dogovorno je uzeto da je slika virtualna ili prividna. Tako možemo iskazati princip stvaranja slike ravnog zrcala. Ravno zrcalo stvara prividnu ili virtualnu sliku predmeta. Virtualna slika je jednako udaljena od zrcala kao i sam predmet. Pri tome je virtualna ili prividna slika dobivena s pomoću virtualnih zraka, na njihovim sjecištima. Nakon što izvedemo jednadžbu sfernog zrcala, postat će jasno zašto je taj neobičan zapis dobar. Sferno zrcalo prelazi u ravno ako uzmemo da je polumjer zakrivljenosti ravnog zrcala beskonačan. Tada prirodno dobivamo gornju neobičnu jednadžbu. 5
10 .4-4 Sferna zrcala: konkavno ili udubljeno i konveksno ili izbočeno a).4-5 Refleksija na konkavnom zrcalu.4-6 Točkasti izvor u žarištu konkavnog zrcala 6 Svjetlost CF = AF = FT.4.. Sferno zrcalo Razmotrimo dio uglačane površine ljuske kugle. Ako je uglačana površina udubljena, govorimo o udubljenom ili konkavnom sfernom zrcalu, a ako je uglačana površina ispupčena govorimo o ispupčenom ili konveksnom sfernom zrcalu, prema slici.4-4. Sferno zrcalo je dio plohe kugle koji reflektira svjetlost. Ovdje želimo istražiti stvaranje slike na sfernom zrcalu. Nalazimo se pred istim problemom kao i kod ravnog zrcala. Znamo gdje se nalazi predmet A u odnosu na zrcalo, znamo parametre sfernog zrcala, njegov polumjer zakrivljenosti R. Moramo odrediti položaj slike B koju sferno zrcalo stvara od predmeta. Problem ćemo najprije riješiti za udubljeno, konkavno sferno zrcalo (slika.4-5). b) Nalazi li se predmet u beskonačnosti, slika nastaje u žarištu Prvi korak je istražiti gdje i kako se reflektiraju zrake svjetlosti koje na različite načine padaju na udubljeno, konkavno sferno zrcalo. Pogledajmo sliku.4-5. Na njoj je nacrtano udubljeno, konkavno sferno zrcalo polumjera zakrivljenosti R. Točka C je središte zakrivljenosti zrcala. Točka T je tjeme zrcala, a pravac na kojem leže točke C i T zove se optička os. Zrake koje dolaze na zrcalo odbijaju se po zakonima geometrijske optike, odnosno po zakonu refleksije svjetlosti. Prema slikama.4-5 a i b, vidimo da se zrake koje dolaze paralelno s optičkom osi sijeku u jednoj točki F, koja raspolavlja udaljenost CT. Točku F zovemo žarište ili fokus, a udaljenost od tjemena T do fokusa F zovemo žarišnom udaljenošću. Žarište ili fokus je točka koja se kod sfernog zrcala nalazi na polovištu udaljenosti između centra zakrivljenosti C i tjemena T. Žarišna udaljenost jednaka je udaljenosti od žarišta F do tjemena T i jednaka je polovini R polumjera zakrivljenosti R: f =. Često se za zrake koje dolaze paralelno s optičkom osi kaže da dolaze iz beskonačnosti. Za žarište vrijedi i obrnuto. Ako je točkast izvor u žarištu, tada će zrake nakon refleksije na zrcalu biti paralelne optičkoj osi.
11 Napomena Svaku zakrivljenu površinu možemo zamisliti kao malu lokalno ravnu površinu, jednako kao što nam Zemlja izgleda lokalno ravna. Tu malu ravno plohu na sfernom zrcalu nalazimo tako da u točki u kojoj zraka svjetlosti pogodi zrcalo povučemo polumjer od središta zakrivljenosti C do te točke i zatim u toj točki povučemo okomicu na polumjer. Dobili smo lokalno ravnu plohu od koje se svjetlost odbija po zakonima refleksije..4-7 Refleksija paralelnih zraka svjetlosti na konveksnom zrcalu Zrake koje prolaze kroz centar zakrivljenosti C i padaju na zrcalo, reflektiraju se same u sebe, jer imaju smjer polumjera R koji je uvijek okomit na površinu zrcala. Slično ponašanje zraka svjetlosti možemo dobiti i na ispupčenom ili konveksnom zrcalu, koje je prikazano na slici.4-7. S obzirom na to da znamo kako se reflektiraju karakteristične zrake, možemo ih opisati. Zraka : zraka koja na zrcalo upada usporedno s njegovom osi te pri refleksiji prolazi kroz žarište konkavnog zrcala Zraka : zraka koja na zrcalo dolazi kroz žarište i reflektira se usporedno s osi konkavnog zrcala Zraka 3: zraka koja na zrcalo dolazi kroz središte zakrivljenosti i reflektira se po istome putu. Kod konveksnih zrcala zrake konstruiramo na sličan način, kao što prikazuje slika.4-9. Zraka : zraka koja dolazi na zrcalo usporedno s njegovom osi i odbija se tako da njezin zamišljeni produžetak prolazi kroz žarište konveksnog zrcala Zraka : zraka koja na konveksno zrcalo dolazi tako da njezin zamišljeni produžetak ide kroz žarište i reflektira se usporedno s osi zrcala Zraka 3: zraka koja na zrcalo upada okomito i reflektira se natrag po istome putu, a ima zamišljen produžetak koji prolazi kroz središte zrcala. Na slici.4-8 nacrtan je svijetli predmet P koji se nalazi na nekoj udaljenosti od zrcala. Iz njega izlaze zrake svjetlosti i reflektiraju se na zrcalu. Mi smo, povlačeći karakteristične zrake, prema danim uputama, konstruirali sliku predmeta. Bilo je dovoljno uzeti dvije karakteristične zrake i dobiti položaj vrha strelice. Treća zraka nam je služila samo kao kontrola. Na isti je način prema odgovarajućim uputama konstruirana i slika predmeta kod konveksnog zrcala (slika.4-9). Te se dvije slike razlikuju. Prva je realna, nalazi se ispred zrcala i nju možemo gledati tako da je projiciramo na neku ravnu plohu, primjerice zastor. Slika dobivena konveksnim, ispupčenim zrcalom je virtualna, prividna i nju ne možemo dobiti na zastoru. Okom ne možemo izravno vidjeti realnu sliku, nego je vidimo kada je uhvatimo na zastor. Vidimo virtualnu sliku sa slike.4-9, jednako kao što smo vidjeli i virtualnu sliku dobivenu ravnim zrcalom. prividna slika.4-8 Konstrukcija slike dobivene konkavnim zrcalom.4-9 Konstrukcija slike dobivene konveksnim zrcalom 7
12 stvarna slika.4-0 Predmet u središtu zakrivljenosti konkavnog zrcala stvarna slika.4- Predmet između središta i žarišta konkavnog zrcala.4-3 Predmet između žarišta i tjemena konkavnog zrcala Pomicanjem predmeta po optičkoj osi, dolazimo do nekoliko karakterističnih položaja predmeta. Primjerice, kad je premet u središtu zakrivljenosti C, prema slici.4-0, tada konkavno sferno zrcalo stvara njegovu realnu sliku na istoj udaljenosti, a slika je obrnuta i iste veličine kao predmet. Tu sliku je moguće uhvatiti na zastor. To je definicija realne slike. Realnu sliku dobivenu optičkim sustavom možemo projicirati na zastor. Virtualnu sliku ne možemo uhvatiti, projicirati na zastor. Približavanjem predmeta prema zrcalu, od središta C prema žarištu F, dobivat ćemo, prema slici.4-, i dalje realnu sliku, koja je sada uvećana. Kada se predmet nalazi u žarištu F, reflektirane zrake su međusobno paralelne. Kada bismo uspjeli nekako doći u beskonačnost, tamo bismo vidjeli sliku tog premeta (slika.4-). Dalje približavanje predmeta udubljenom zrcalu (slika.4-3) rezultira prividnom slikom, koja je uspravna i povećana. To je i situacija opisana u pokusu na sljedećoj stranici. prividna slika stvarna slika je u beskonačnosti.4- Predmet u žarištu konkavnog zrcala Znamo konstruktivno riješiti problem nalaženja slike kod sfernog zrcala za različite situacije. Sada nas zanima kako možemo, uz poznavanje karakteristike zrcala, izračunati polumjer zakrivljenosti R, položaj, karakter i veličinu slike, ako znamo gdje se nalazi predmet i kako je velik. 8 Svjetlost.4-4 Spojnicu središta zakrivljenosti zrcala (C) i točke upada zrake svjetlosti (D) nazivamo normalom. U odnosu na normalu, kut upada jednak je kutu refleksije.
13 Zanimljivosti Zakrivljena zrcala ne rade se isključivo od sferne, kuglaste površine. Česta su parabolična zrcala, koja imaju niz odlika zbog kojih se rabe u astronomskim uređajima. Također postoje eliptična, toroidalna, hiperbolična i druga zrcala, odnosno zrcala općenite površine čiji je matematički oblik dobiven računalnim izračunom prema specifičnim potrebama uređaja u koje se zrcalo ugrađuje. Pokus Prema slici.4-4, svijetli predmet iz kojeg izlaze zrake svjetlosti nalazi se na optičkoj osi, dakle na pravcu na kojem se nalazi i centar zakrivljenosti zrcala C. Predmet je za x udaljen od zrcala ( AT = x), a ono nakon refleksije zrake u točki D na optičkoj osi stvara sliku B udaljenu x' od zrcala ( BT = x'). Da bismo odredili udaljenost x', poznavajući x i R, prema slici.4-4, prvo ćemo produljiti spojnicu CD i na nju pod pravim kutom projiciramo točke A i B pa ćemo dobiti točke A' i B'. Uočimo da imamo dva para sličnih trokuta, odnosno: ( AA C) BBC ( ) ( AA D) ( BBD ). Prva dva trokuta su slična zato što imaju po jedan pravi kut, a jednaki su im i kutovi kod vrha C. Druga dva trokuta su također pravokutna jer su im jednaki kutovi kod D, prema zakonu refleksije svjetlosti. Iz sličnosti trokuta slijedi jednakost omjera odgovarajućih stranica: AA BB AA BB = i =. AC BC AD BD Dijeljenjem lijevih i desnih strana dobit ćemo omjer: Kozmetička zrcala obično su dvostrana. Jedno zrcalo je ravno, a drugo udubljeno. Kada udubljenom zrcalu dođemo sasvim blizu, ugledamo svoj golemi nos, oči, obrve i trepavice. Zrcalo je stvorilo virtualnu, uspravnu, povećanu sliku koju možemo vidjeti. Ako se udaljimo od zrcala, slika nestaje. Kada se još udaljimo, u zrcalu ćemo ugledati svoju obrnutu sliku, iako sve skupa izgleda prilično loše. Takva su zrcala optički neupotrebljiva, no ipak dovoljno dobra za kratki pokus, vađenje trepavice iz oka ili AD BD =. AC BC Ako točka D nije daleko od tjemena T, tada je zraka koja ide od A do D, koja je blizu optičkoj osi, tzv. paraksijalna zraka. Gotovo ćemo uvijek raditi s paraksijalnim zrakama. U tom je slučaju: i kako je egzaktno: AD AT = x i BD BT = x AC = x R i BC = R x, uvrstivši te izraze u početnu jednakost dobit ćemo x x R x = R x. Time je postignut cilj: Dobili smo odredbenu jednadžbu za x', uz poznat R i x. Međutim, uobičajeno je gornju jednadžbu izraziti u malo drukčijoj formi. Naime, nakon množenja s nazivnicima x R i R x' i dijeljenjem s xx'r, dobit ćemo: provjeru šminke. + =. x x R 9
14 .4-5 Sferno zrcalo: sferna aberacija. Usporedne zrake koje su daleko od optičke osi ne prolaze točno kroz žarište..4-6 Parabolično zrcalo. Sve usporedne zrake nakon refleksije prolaze kroz žarište. Zanimljivosti To je jednadžba sfernog zrcala, gdje je x udaljenost predmeta od zrcala, tjemena T, x' je udaljenost slike od zrcala, a R je polumjer zakrivljenosti zrcala. Potrebno se podsjetiti da smo tu jednadžbu izveli uz aproksimaciju da zrake svjetlosti idu blizu optičke osi. Dakle, ta jednadžba vrijedi za paraksijalne zrake. Ponekad umjesto desne strane oblika R pišemo i, gdje je f žarišna udaljenost sfernog zrcala, odnosno: f f f + = ili + =. x x f x x Ako se ne ograničimo na zrake bliske optičkoj osi, nastaje situacija prikazana na slici.3-5. Dolazi do sferne aberacije, koja kvari kvalitetu slike, stigmatičnost. Sve se zrake ne reflektiraju u istu točku i umjesto točkaste slike točkastog izvora dobivamo razmazanu sliku. Tome se može doskočiti ako se umjesto sfernog zrcala rabi parabolično zrcalo sa slike.4-6. Parabolična zrcala je, istina, puno teže proizvesti, ali kod njih se paralelne zrake doista sijeku u jednoj točki. Većina reflektirajućih teleskopa ima parabolična zrcala, jer je kod njih vrlo važno od točkastog izvora dobiti točkastu sliku. Jednadžbi sfernog zrcala potrebno je dodati pravilo za određivanje predznaka odgovarajućih veličina (x, x' i R) pa će ona postati univerzalna jednadžba koja će vrijediti za bilo koje, udubljeno ili ispupčeno, sferno zrcalo i za svaku situaciju, odnosno za svaki položaj predmeta i slike. Prema oznakama na slici.4-4 vrijedi: kad su točke A, B ili C s lijeve strane tjemena T, njihove su pripadajuće udaljenosti pozitivne: x > 0, x' > 0, i R > 0 kad su točke A, B ili C s desne strane od tjemena T, njihove su pripadajuće udaljenosti negativne: x < 0, x' < 0 ili R < 0. Općenitije: udubljeno (konkvano) zrcalo ima R > 0 i f > 0, a izbočeno (konveksno) R < 0 i f < 0 ako je predmet ispred zrcala, tada je x > 0, a ako je iza zrcala, tada je x < 0 ako je slika ispred zrcala, tada je x' > 0, a ako je iza zrcala, tada je x' < 0. Ako je polumjer zakrivljenosti negativan, odnosno ako je centar zakrivljenosti C zdesna od T, govorimo o konveksnom sfernom zrcalu. Veličina slike ovisi o veličini predmeta, ali i o položaju predmeta, odnosno udaljenosti x prema zrcalu. Za opis odnosa veličine predmeta i veličine slike uvodimo veličinu m koju zovemo transverzalno povećanje, koja se ponekad zove i lateralno povećanje, a definirana je ovako: Zrcala u automobilima (retrovizori) su ispupčena. Ona vozačima proširuju vidno polje. Također, divergentna zrcala omogućuju sigurnije odvijanje prometa na nepreglednim raskrižjima. m y x, a za sferno zrcalo to je m =. y x Ako je m < 0, slika je obrnuta, a za m > je uvećana. U tablici popisan je niz mogućih slučajeva položaja predmeta i slike kod udubljenog i ispupčenog zrcala. 0 Svjetlost
15 Zanimljivosti Iz jednadžbe sfernog zrcala lako je dobiti jednadžbu ravnog zrcala x = x, vodeći računa o dogovoru o predznacima, tako da jednostavno stavimo da je polumjer zakrivljenosti ravnog zrcala beskonačan: R =. Primjer zrcalo udubljeno udubljeno udubljeno udubljeno udubljeno ispupčeno R > 0 R > 0 R > 0 R > 0 R > 0 R < 0 predmet x > R x = R f < x < R x = f x < f bilo gdje slika x > 0 x = a x > 0 x = + x < 0 x < 0 povećanje m < 0 m < 0 m < 0 m > 0 m > 0 karakter slike realna, obrnuta, smanjena realna, obrnuta Tablica Stvaranje slike kod sfernog zrcala realna obrnuta povećana virtualna, uspravna, povećana virtualna, uspravna, smanjena Koliki mora biti polumjer zakrivljenosti zrcala ako želimo dobiti tri puta povećanu realnu sliku predmeta koji je postavljen na 0 cm od sfernog zrcala? Rješenje: Povećanu sliku moguće je dobiti samo udubljenim sfernim zrcalom (tablica ) ako je predmet smješten unutar žarišne udaljenosti. Transverzalno povećanje je m = 3 pa je x' = 3x i x = 0 cm. Dakle, iz jednadžbe sfernog zrcala je R = 30 cm. Primjer Udubljena ili konkavna zrcala često se koriste pri šminkanju ili brijanju. Koliko je puta lice veće u takvom zrcalu polumjera zakrivljenosti 4 cm ako je osoba od njega udaljena 6 cm? Rješenje: Jednadžba zrcala je: + =, x x ' R gdje je x udaljenost predmeta od tjemena zrcala, u ovom slučaju od lica osobe, a x udaljenost slike od tjemena zrcala. Uvrštavanjem u gornji izraz slijedi: + = 6 cm x ' 4 cm = x ' cm 6 cm = x ' cm x ' = cm. Povećanje m je: x' m = x m = cm =. 6 cm
16 Primjer 3 Svijetao predmet visok y = 3 cm nalazi se na optičkoj osi udaljen R od udubljenog sfernog zrcala polumjera zakrivljenosti R. S druge strane predmeta, na udaljenosti R nalazi se ravno zrcalo. Odredite razmak između dvije slike dobivene sfernim zrcalom, a nastale od predmeta i njegove slike u ravnom zrcalu. Koliki je omjer veličina dviju slika? Rješenje: S obzirom na to da je x = R, iz jednadžbe sfernog zrcala dobit ćemo: ar x = = R. a R 3 To je slika nastala od stvarnog predmeta. Zbog ravnog se zrcala na optičkoj osi stvara imaginarni predmet, odnosno imaginarna slika stvorena u ravnom zrcalu postaje imaginarni predmet za sferno zrcalo. Njegova udaljenost od sfernog zrcala je x = 4R pa je položaj druge slike jednak 4 x = R. 7 Razmak između dviju slika je d, odnosno: d = x x = R. Povećanje prve slike je x m = =, x 3 odnosno prva slika je obrnuta (predznak minus) i smanjena ( m < ). Za drugu sliku je x m = =. x 7 m 7 I ta je slika obrnuta i umanjena. Omjer povećanja je µ= = m 3. Svjetlost
c - brzina svjetlosti u vakuumu, v - brzina svjetlosti u sredstvu. Apsolutni indeks loma nema mjernu jedinicu i n 1.
Geometrijska optika_intro Zakoni geometrijske optike, zrcala, totalna refleksija, disperzija svjetlosti, leće, oko i načini korekcije vida Zakoni geometrijske optike 1. zakon pravocrtnog širenja svjetlosti
Διαβάστε περισσότεραŠto je svjetlost? Svjetlost je elektromagnetski val
Optika Što je svjetlost? Svjetlost je elektromagnetski val Transvezalan Boja ovisi o valnoj duljini idljiva svjetlost (od 400 nm do 700 nm) Ljubičasta ( 400 nm) ima kradu valnu duljinu od crvene (700 nm)
Διαβάστε περισσότεραF2_ zadaća_ L 2 (-) b 2
F2_ zadaća_5 24.04.09. Sistemi leća: L 2 (-) Realna slika (S 1 ) postaje imaginarni predmet (P 2 ) L 1 (+) P 1 F 1 S 1 P 2 S 2 F 2 F a 1 b 1 d -a 2 slika je: realna uvećana obrnuta p uk = p 1 p 2 b 2 1.
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραPriprema za državnu maturu
Priprema za državnu maturu G E O M E T R I J S K A O P T I K A 1. Valna duljina elektromagnetskoga vala približno je jednaka promjeru jabuke. Kojemu dijelu elektromagnetskoga spektra pripada taj val? A.
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραGeometrijska optika. Fizika 2 Predavanje 9. Dr. sc. Damir Lelas
Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Razlikovni studiji (90/90/930/940/950) Fizika Predavanje 9 Geometrijska optika Dr. sc. Damir Lelas (Damir.Lelas@fesb.hr, damir.lelas@cern.ch ) Danas
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραFizika 2. Optika. Geometrijska optika 2009/10
Fizika Optika Geometrijska optika 009/10 1 Geometrijska optika -empirijska, aproksimativna (vrijedi uz određene uvjete) -svjetlost se proučava kao pravocrtna pojava koja se širi brzinom c 0 =310 8 ms -1
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραFizika 2. Optika. Geometrijska optika 2009/10
Fizika 2 Optika Geometrijska optika 2009/10 1 2 Optika..definicija Optika, u širem smislu, je dio fizike koji proučava elektromagnetske valove; njihova svojstva i pojave. Elektromagnetski valovi ili (elektromagnetsko
Διαβάστε περισσότεραF2_kolokvij_K2_zadaci izbor_rješenja lipanj, 2008
F_kolokvij_K_zadai izbor_rješenja lipanj, 008 Fermatov prinip:. Fermatov prinip o širenju svjetlosnih zraka; izvedite zakon refleksije pomoću prinipa minimalnog vremena širenja svjetlosti između dviju
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραF2_K1_geometrijska optika test 1
F2_K1_geometrijska optika test 1 1. Granični lom i totalna refleksija. Izračunajte granični kut upada za sistem staklozrak, ako je indeks loma stakla 1,47. Primjena totalne refleksije na prizmi; jednakokračna
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραZdaci iz trigonometrije trokuta Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih:
Zdaci iz trigonometrije trokuta... 1. Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih: a) a = 1 cm, α = 66, β = 5 ; b) a = 7.3 cm, β =86, γ = 51 ; c) b = 13. cm, α =1 48`, β =13 4`; d) b = 44.5 cm, α
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραPITANJA IZ FOTOMETRIJE I GEOMETRIJSKE OPTIKE
PITANJA IZ FOTOMETRIJE I GEOMETRIJSKE OPTIKE 1. Opišite svjetlosne izvore. Po čemu se oni razlikuju? 2. Opiši osjetljivost oka na različite valne duljine. 3. Definiraj (i pojasni) pojmove: točkasti svjetlosni
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραGeometrijska optika Lom svjetlosti na ravnim sistemima
Zadaci - Geometrijska optika - Fizikalna optika - 2007/08 Geometrijska optika Lom svjetlosti na ravnim sistemima ravni dioptar planparalelna ploča prizma Koja svojstva svjetlosti poznajete? Što je svjetlost
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραλ ν = metoda + = + = = =
Zadata (Mira, gimnazija) Polumjer zarivljenosti udubljenog zrala je 4 m, a predmet je od zrala udaljen a = f. Nañi položaj slie. Rješenje r = 4 m, a = f, b =? Sferno zralo je dio ugline površine, tj. ono
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραOptika Što je svjetlost?! Vrlo težak odgovor! Valna teorija
Optika Optika - Dio fizike. Znanost koja proučava svjetlosne pojave. Izvori svjetlosti: Sunce, zvijezde, užareni predmeti, plamen, električni izboj u plinovima i dr. Oko = detektor svjetlosti. Pomoću oka
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότερα4. Leće i optički instrumenti
4. Leće i optički instrumenti. Ključni pojmovi Leće, Besselova metoda, dijaprojektor, mikroskop, Keplerov i Galilejev teleskop. Teorijski uvod Jednadžba leće: Žarišna daljina tanke leće, udaljenost predmeta
Διαβάστε περισσότεραGeometrijska optika 3. dio. -sferni dioptar -leće -sferne i kromatične aberacije
Geometrijska optika 3. dio -sferni dioptar -leće -sferne i kromatične aberacije Sferni dioptar Sferni dioptar - skup dvaju homogenih izotropnih optičkih sredstava različitih indeksa loma n 1 i n 2, rastavljenih
Διαβάστε περισσότερα1. Transverzalni valni impuls koji se širi užetom u trenutku t = 0 opisan je jednadžbom
Valovi 1. Transverzalni valni impuls koji se širi užetom u trenutku t = 0 opisan je jednadžbom y = a3 a 2 x 2, gdje je a = 1 m (x i y takoder su izraženi u metrima). Maksimum impulsa je u toči x = 0 m.
Διαβάστε περισσότερα6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραFizika 2. Fizikalna optika 2009/10
Fizika 2 Fizikalna optika 2009/10 1 Optika..definicija Optika, u širem smislu, je dio fizike koji proučava elektromagnetske valove; njihova svojstva i pojave. Elektromagnetski valovi ili (elektromagnetsko
Διαβάστε περισσότεραMatematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO
Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule)
FORMULE Implicitni oblik jednadžbe pravca A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) Eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili Pravci paralelni s koordinatnim osima - Kada je u općoj jednadžbi
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραFizika 2. Optika: Geometrijska Fizikalna 2007/08
Fizika 2 Optika: Geometrijska Fizikalna 2007/08 1 Svjetlost je... Svjetlost je ono što čini objekte oko nas vidljivima Svjetlost je jedini izvor boje Svjetlost je energija Svjetlost je i val i čestica
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραAlgebra Vektora. pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske
Algebra Vektora 1 Algebra vektora 1.1 Definicija vektora pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske veličine za opis skalarne veličine trebamo zadati samo njezin iznos (npr.
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραIzbor zadataka Fizika 2
Izbor zadataka Fizika 2 (optika i fotometrija) Katedra fizike Grafičkog fakulteta, Zagreb, 2007/08 FIZIKA 2/1 1. Na optičku mrežicu pada okomito snop vidljive svjetlosti. Kolika je valna duljina crvene
Διαβάστε περισσότεραZa teorijsko objašnjenje Youngova pokusa koristi se slika 2. Slika 2. uz teorijsko objašnjenje Youngovog pokusa
Valna optika_intro Interferencija svjetlosti, Youngov pokus, interferencija na tankim listićima, difrakcija svjetlosti na pukotini, optička rešetka, polarizacija svjetlosti, Brewsterov zakon Interferencija
Διαβάστε περισσότεραBIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe
BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.
M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Διαβάστε περισσότεραUdaljenosti karakterističnih točaka trokuta
Udaljenosti karakterističnih točaka trokuta Kristijan Kilassa Kvaternik 1 U trokutu postoje četiri karakteristične točke: težište G, ortocentar H, središte upisane kružnice I i središte opisane kružnice
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Διαβάστε περισσότεραUdaljenosti karakterističnih točaka trokuta
Udaljenosti karakterističnih točaka trokuta Kristijan Kilassa Kvaternik U trokutu postoje četiri karakteristične točke: težište G, ortocentar H, središte upisane kružnice I i središte opisane kružnice
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραViše dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότερα2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.
Διαβάστε περισσότεραPROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI
PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y
Διαβάστε περισσότεραČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA
ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA STATIČKI MOMENTI I MOMENTI INERCIJE RAVNIH PLOHA Kao što pri aksijalnom opterećenju štapa apsolutna vrijednost naprezanja zavisi, između ostalog,
Διαβάστε περισσότεραPolarizacija. Procesi nastajanja polarizirane svjetlosti: a) refleksija b) raspršenje c) dvolom d) dikroizam
Polarzacja Proces asajaja polarzrae svjelos: a refleksja b raspršeje c dvolom d dkrozam Freselove jedadžbe Svjelos prelaz z opčkog sredsva deksa loma 1 u sredsvo deksa loma, dolaz do: refleksje (prema
Διαβάστε περισσότεραDinamika tijela. a g A mg 1 3cos L 1 3cos 1
Zadatak, Štap B duljine i mase m pridržan užetom u točki B, miruje u vertikalnoj ravnini kako je prikazano na skii. reba odrediti reakiju u ležaju u trenutku kad se presječe uže u točki B. B Rješenje:
Διαβάστε περισσότεραkonst. Električni otpor
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost
Διαβάστε περισσότεραOpćenito, iznos normalne deformacije u smjeru normale n dan je izrazom:
Otporost mterijl. Zdtk ZDTK: U točki čeliče kostrukije postvlje su tri osjetil z mjereje deformij prem slii. ri opterećeju kostrukije izmjeree su reltive ormle (dužiske deformije: b ( - b 3 - -6 - ( b
Διαβάστε περισσότεραMasa, Centar mase & Moment tromosti
FAKULTET ELEKTRTEHNIKE, STRARSTVA I BRDGRADNE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba Masa, Centar mase & Moment tromosti Ime i rezime rosinac 008. Zadatak:
Διαβάστε περισσότερα0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4.
Zadatak 00 (Denis, ekonomska škola) U kojoj točki pravac s jednadžbom = 8 siječe os? Rješenje 00 Svaka točka koja pripada osi ima koordinate T(0, ). Budući da točka pripada i pravcu = 8, uvrstit ćemo njezine
Διαβάστε περισσότερα