που περιγράφεται από την σχέση:! R = -mk! v

Transcript

1 Mικρό σώµα µάζας m βάλλεται από σηµείο Ο του οριζόντιου εδάφους κατακόρυφα προς τα άνω, µε ταχύτητα µέτρου v. Στην διάρκεια της κίνησής του το σώµα δέχεται από τον ατµοσφαιρι κό αέρα αντίσταση R, που περιγράφεται από την σχέση: R = -mk v όπου v η στιγµιαία ταχύτητα του σώµατος και k σταθερή θετική ποσό τητα. i) Eάν Τ α, Τ κ είναι ο χρόνος ανόδου και ο χρόνος καθόδου αντιστοί χως του σώµατος µέσα στον αέρα, να δείξετε τις σχέσεις: gt = v - kz max gt " = v' +kz max όπου v ' η ταχύτητα επανόδου του σώµατος στο σηµείο εκτόξευσής του Ο, z max η µέγιστη απόστασή του από αυτό και g η επιτάχυνση της βαρύτητας. ii) Eάν Τ ολ είναι ο ολικός χρόνος κίνησης του σώµατος µέχρις ότου επανέλθει στο έδαφος, να δείξετε την σχέση: 1 - e - kt " T " = gk g + kv ΛΥΣΗ: i) Το σώµα στην διάρκεια της κίνησής του δέχεται το βάρος του m g και την αντίσταση R του αέρα. Εφαρµόζοντας για το σώµα τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρνουµε την σχέση: m dv dv = -mg - R m dv = -g - kv dv = -g - k dz = -mg - mkv dv = -g - kdz (1) όπου v η ταχύτητα του σώµατος την στιγµή t που το εξετάζουµε και z το διάνυαµα θέσεώς του ως προς το σηµείο εκτόξευσής του Ο. Ολοκληρώνοντας την (1) για τον χρόνο ανόδου Τ α του σώµατος παίρνουµε:

2 (dv) = -g () - k (dz) -v = -gt - kz max v T " z max gt = v - kz max () Εξάλλου ολοκληρώνοντας την (1) για τον συνολικό χρόνο Τ ολ κίνησης του σώµατος παίρνουµε: -v' Σχήµα 1 (dv) = -g () - k (dz) -v' -v = -gt " - k v T " () v' + v = g( T + T " ) v' + v = v - kz max + gt gt = v' +kz max (3) Οι () και (3) αποτελούν τις αποδεικτέες σχέσεις. ii) H διαφορική εξίσωση κίνησης του σώµατος µπορεί να πάρει την µορφή: dv = - ( g + kv ) dv g + kv Ολοκληρώνοντας την (4) παίρνουµε: d( g + kv) = - g + kv = -k (4) ln( g + kv) = -kt + C (5) Η σταθερά ολοκληρώσεως C θα βρεθεί από την αρχική συνθήκη v()=v κίνησης του σώµατος, οπότε η (5) δίνει ln(g+kv )=C µε αποτέλεσµα να γράφεται: ln( g + kv) = -kt + ln( g + kv ) ln g + kv = -kt " g + kv

3 g + kv g + kv = e -kt g + kv = ( g + kv )e -kt (6) Για t=t ολ ισχύει v=-v και η (6) δίνει: g - kv' = ( g + kv )e -kt " Όµως πιο πάνω αποδείχθηκε ότι: v' + v = gt " οπότε η προηγούµενη σχέση γράφεται: g - k( gt " - v ) = ( g + kv )e -kt " g - kgt " + kv = ( g + kv )e - kt " g + kv - ( g + kv )e - kt " = kgt " ( g + kv ) 1 - e - kt " ( ) = kgt " 1 - e- kt " = T " gk g + kv (7) H (7) είναι µια υπερβατική εξίσωση ως προς Τ ολ και δεν µπορεί να λυθεί µε ανα λυτικό τρόπο, αλλά µόνο µε αριθµητική µέθοδο µέσω κατάλληλου µαθηµατι κού προγράµµατος που τρέχει σε ηλεκτρονικό υπολογιστή. P.M. fysikos Ένα µικρό σώµα µάζας m, εκτοξεύεται κατακόρυ φα προς τα πάνω από το οριζόντιο έδαφος, µε ταχύτητα µέτρου v. Kατά την κίνησή του το σώµα δέχεται από τον ατµοσφαιρικό αέρα δύναµη R, αντίρροπη της ταχύτητάς του v, της οποίας το µέτρο έχει την µορφή R=kmv, όπου k θετική και σταθερή ποσότητα. i) Nα δείξετε, ότι η µέγιστη απόσταση h max του σώµατος από το έδα φος δίνεται από την σχέση: z max = 1 k ln 1 + kv " g όπου g η επιτάχυνση της βαρύτητας. ii) Εάν ισχύει v <<g/k να δείξετε την σχέση:

4 h h max 1 + kh όπου h η µέγιστη απόσταση του σώµατος από το έδαφος, απουσία ατµοσφαιρικού αέρα. Υπόδειξη: Nα χρησιµοποιήσετε την προσεγγιστική σχέση: ln(1 + x) x - x /, όταν x<<1 ΛΥΣΗ: i) Eφαρµόζοντας για το σώµα κατά την άνοδό του, τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα, έχουµε: m dv = -mg - kmv dv = -g - kv dv dz dz d( g + kv ) dz = -g - kv v dv dz = - ( g + ) kv ( ) d ( g + ) kv = -k g + kv g + kv = -kdz (1) Σχήµα όπου v η ταχύτητα του σώµατος την στιγµή t που το εξετάζουµε και z το αντίστοιχο διάνυσµα θέσεώς του ως προς το σηµείο εκτόξευσης Ο. Ολοκληρώ νοντας την (1) παίρνουµε: ln( g + kv ) = -kz + C () Η σταθερά ολοκληρώσεως C θα υπολογισθεί µε βάση τις αρχικές συνθήκες κίνησης v()=v και z()= του σώµατος, οπότε θα έχουµε: ln( g + kv ) = - + C

5 Έτσι η σχέση () γράφεται: ln( g + kv ) = -kz + ln( g + kv ) ln g + kv = -kz (3) " g + kv Όµως την χρονική στιγµή που το σώµα φθάνει στην ανώτατη θέση του Α (z=z max ), η ταχύτητά του µηδενίζεται και η (3) την στιγµή αυτή δίνει: g ln " g + kv = -kz ln g + kv max " g = kz max z max = 1 k ln g + kv " g z max = 1 k ln 1 + kv " g (4) ii) Στην περίπτωση που ισχύει v <<g/k, µε βάση την υπόδειξη θα έχουµε: ln 1 + kv " g ' kv g - 1 " kv g ' kv g 1 - kv " g και η (4) παίρνει την µορφή: z max kv kg 1 - kv " g ' v g 1 - k v " g ' (5) Όµως η ποσότητα v /g αποτελεί την µέγιστη απόσταση h του σώµατος από το έδαφος απουσία ατµοσφαιρικού αέρα, οπότε η (5) γράφεται: z max h 1 - kh ( ) z max h 1 - kh ( )( 1 + kh ) z max h 1 - k ( h ) z 1 + kh max h 1 + kh 1 + kh διότι: v <<g/k ή v <<g/k ή v /g<<1/k ή h <<1/k ή h k<<1 P.M. fysikos Στο ένα άκρο οµογενούς αλυσίδας µήκους L, έχει δεθεί µικρό σφαιρίδιο της ίδιας µάζας m µε την αλυσίδα (σχ. 3). H αλυσίδα είναι σωριασµένη στο οριζόντιο έδαφος και κάποια στιγµή το σφαιρίδιο εκτοξεύεται κατακόρυφα προς τα πάνω µε αρχική ταχύτη τα v.

6 i) Nα βρεθεί το µέτρο της v, ώστε την στιγµή που η αλυσίδα εγκατα λείπει το οριζόντιο έδαφος να µηδενίζεται η ταχύτητά της. ii) Ποια είναι η ταχύτητα του σφαιριδίου την στιγµή που αυτό απέχει από το οριζόντιο έδαφος απόσταση L/; Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: i) Το αιωρούµενο τµήµα της αλυσίδας και το σφαιρίδιο αποτελεί σύστηµα στο οποίο εισρέει µάζα, οπότε η διαφορική εξίσωση που καθορίζει την κίνησή του έχει την µορφή: (m + m x ) d v = (m + m ) x g + v dm " (1) όπου m x η µάζα του αιωρούµενου τµήµατος της αλυσίδας την στιγµή t που εξετάζουµε το σύστηµα, v η αντίστοιχη ταχύτητα του σφαιριδίου και της αλυσίδας στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους, dm/ ο ρυθµός µε τον οποίο εισρέει µάζα στο σύστηµα και v " η σχετική ταχύτητα της µάζας αυτής ως προς Σχήµα 3 την αλυσίδα. Όµως κάθε κρίκος προστίθεται στην αλυσίδα εκ της ηρεµίας, οπότε ισχύει v " = - v η δε µάζα m x είναι ίση µε µx, όπου x το µήκος του αιω ρούµενου τµήµατος την χρονική στιγµή t και µ η γραµµική πυκνότητα της αλυσίδας.. Έτσι η (1) γράφεται: (m + µx) d v = (m + µx) g - µ dx v () Θεωρώντας ως θετική φορά στην κατακόρυφη διεύθυνση κίνησης του συστήµα τος την προς τα πάνω, η () µετατρέπεται σε σχέση αλγεβρικών τιµών που έχει την µορφή: (m + µx) dv = -(m + µx)g - µ dx v (m + µx) dv = -(m + µx)g - µv (3) Εξάλλου ισχύει =dx/v, οπότε η (3) γράφεται:

7 (m + µx)vdv = -(m + µx)gdx - µv dx (m + µx) vdv + µ (m + µx)v dx = -(m + µx) gdx (m + µx)v [(m + µx)dv + µvdx] = -(m + µx) gdx (m + µx)vd [(m + µx)v ] = -(m + µx) gdx (4) Ολοκληρώνοντας την (4) παίρνουµε: (m + µx) v = -g(m + µx)3 + C (5) H σταθερά ολοκληρώσεως C θα προκύψει από τις αρχικές συνθήκες x()= και v()=v, οπότε η (5) δίνει: m v = -gm3 + C C = m v + gm3 και η (5) γράφεται: (m + µx) v = -g(m + µx)3 + m v + gm3 (6) Όµως θέλουµε την στιγµή που η αλυσίδα εγκαταλείπει το έδαφος η ταχύτητα της να µηδενίζεται, οπότε η (6) την στιγµή αυτή παίρνει την µορφή: = -g(m + µl)3 + m v + gm3 m v = g(m + m)3 + gm3 v = 8gm + gm = 9gm v = 3gL v = 6gL (7) ii) H σχέση (6) εφαρµοζόµενη την χρονική στιγµή που ισχύει x=l/, δίνει: (m + µl/) v = -g(m + µl/)3 + m v + gm3

8 (3m) v 8 = -g(3m)3 4µ + m v + gm3 (7) 9v 8 = -7mg 4µ + 6gL + gm 9v 8 = -9gL 8 + 6gL + gl 3 7v = -7gL + 7gL + 8gL v= 53gL/ 7 P.M. fysikos Μια πλαστική σφαίρα αµελητέας µάζας περιέχει πεπιεσµένο αέρα µάζας Μ και κινείται επί λείου οριζόντιου δαπέδου κατά µήκος ενός άξονα x µε ταχύτητα v. Η σφαίρα φέρει κατάλληλο µηχανισµό, ο οποίος όταν ενεργοποιηθεί προκαλεί το άνοιγµα στην επιφάνεια της σφαίρας µιας µικρής οπής, από την οποία εκτοξεύεται αέρας µε σταθερό ρυθµό dμ/=λ. Την χρονική στιγµή t= που ανοί γει η οπή ο αέρας εκτοξεύεται µε ταχύτητα v, της οποίας ο φορέας είναι οριζόντιος αλλά και κάθετος προς τον άξονα x, στην συνέχεια δε διατηρείται σταθερή. Nα βρεθούν οι εξισώσεις της x-συνιστώσας και της κάθετης προς αυτήν συνιστώσας της ταχύτητας της σφαίρας, σε συνάρτηση µε τον χρόνο. ΛΥΣΗ: Από τo σύστηµα πλαστική σφαίρα-πεπιεσµένος αέρας εκκρέει µάζα, οπότε η διαφορική εξίσωση που καθορίζει την κίνησή του έχει την µορφή: M d v = F " + v dm M d v = v dm " όπου Μ η µάζα του συστήµατος την στιγµή t που το εξετάζουµε, v η αντίστοι χη ταχύτητα του κέντρου µάζας του στο σύστηµα αναφοράς του οριζόντιου δα πέδου και v " η σχετική ταχύτητα του εκτοξευόµενου αέρα ως προς την πλα στική σφαίρα, ενώ η συνισταµένη F " των εξωτερικών δυνάµεων που δέχεται το σύστηµα από το περιβάλλον του είναι µηδέν (το βάρος του συστήµατος εξου δετερώνεται από την αντίδραση του λείου οριζόντιου δαπέδου). Όµως για την v " ισχύει v " = v - v, οπότε η (1) γράφεται: (1) M d v + v dm = v M d v i + v x j y dm ( ) + ( v x i + v y j ) dm = v dm j M dv x + dm v x i + M dv y " + dm v - dm y v = ' j = "

9 και M dv x + dm v x = () M dv y + dm v y = dm v (3) όπου v x, v y οι συνιστώσες της v κατά τις διευθύνσεις των ορθογώνιων αξόνων Οx, Οy αντιστοίχως και i, j τα αντίστοιχα µοναδιαία διανύσµατά των αξόνων αυτών. Η διαφορική εξίσωση () µετασχηµατίζεται ως εξής: Mdv x + v x dm = d( Mv x ) = Mv x = C x (4) H σταθερά ολοκληρώσεως C x θα προκύψει από τις αρχικές συνθήκες Μ()=Μ και v x ()=v, οπότε η (4) δίνει: M v = C x µε αποτέλεσµα να γράφεται: Mv x = M v v x = M v / M v x = v M M - t µε t M /" (5) Εξάλλου η διαφορική εξίσωση (3) γράφεται: Mdv y + v y dm = v dm d( Mv y ) = d( Mv ) Mv y = Mv + C y (6) H σταθερά ολοκληρώσεως C y θα προκύψει από τις αρχικές συνθήκες Μ()=Μ και v y ()=, οπότε η (4) δίνει: = M v + C y C y = -M v και η (6) παίρνει την µορφή: Mv y = Mv - M v = ( M - M )v v y = M - M v " M ' = M - (t - M v " M - (t ' v y = -tv " M - t µε t M /" (7) P.M. fysikos

10 Ένα σχοινί αµελητέας µάζας περιβάλλει το αυλάκι σταθερής τροχαλίας, η οποία µπορεί να στρέφεται περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της. Eάν φ είναι η γωνία υπό την οποία φαίνεται εκ του κέντρου της τροχαλίας το τµήµα του σχοινιού που είναι σ επαφή µε την τροχαλία και µ ο συντελεστής οριακής τριβής ανάµεσα στο σχοινί και την τροχαλία, να δείξετε ότι για να ισορροπεί η τροχαλία πρέπει τα µέτρα των τάσεων F 1 και F του σχοι νιού να ικανοποιούν την σχέση: e - µ F /F 1 e µ ΛYΣH: Θεωρούµε ένα στοιχειώδες τµήµα του σχοινιού που περιβάλλει τον λαιµό της τροχαλίας, το οποίο φαίνεται εκ του κέντρου της υπό την στοιχειώ δη γωνία dφ (σχ. 4). Tο τµήµα αυτό δέχεται τις δυνάµεις F και F + d F στις άκρες του από τα εκατέρωθεν αυτού µέρη του σχοινιού, οι οποίες είναι εφαπτο Σχήµα 4 µενικές της τροχαλίας και την δύναµη επαφής από την τροχαλία, η οποία ανα λύεται στην εφαπτοµενική τριβή d T και στην κάθετη αντίδραση d N, της οποίας ο φορέας διέρχεται από το κέντρο της τροχαλίας. Λόγω της ισορροπίας του στοιχειώδους τµήµατος, κατά την διεύθυνση της εφαπτοµένης στο µέσον του θα ισχύει: (F + df)"(d/) - F "(d/) +dt = F + df - F +dt = df = dt (1) Η (1) πρέπει να ισχύει και στην περίπτωση οριακής ισορροπίας του σχοινιού, δηλαδή όταν επίκειται η ολίσθησή του στο αυλάκι της τροχαλίας και τότε η (1) παίρνει την µορφή: df = µ dn () Eξάλλου η ισορροπία του στοιχειώδους τµήµατος που εξετάζουµε, κατά την κά θετη επί την εφαπτοµένη διεύθυνση, µας επιτρέπει να γράψουµε την σχέση: (F + df)µ(d"/) + F µ(d"/) - dn =

11 Fd/ + df d/ + F d/ = dn Όµως το γινόµενο df.dφ/ είναι διαφορικό δεύτερης τάξεως και µπορεί να παραλειφθεί, οπότε θα έχουµε: Fdφ = dν (3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (3) παίρνουµε: df = µfdφ df/f = µdφ (4) Oλοκληρώνοντας την (4) έχουµε: F (df/f) = (µd) ln(f /F 1 ) = µ F 1 F /F 1 = e µ F = F 1 e µ (5) H σχέση (5) ισχύει όταν η τροχαλία ισορροπεί οριακά µε τάση να στραφεί δεξιό στροφα, οπότε F >F 1. Aν η τροχαλία ισορροπεί οριακά µε τάση να στραφεί αρι στερόστροφα, τότε F <F 1 και η αντίστοιχη σχέση είναι: F 1 = F e n F = F 1 e -n Άρα για να ισορροπεί η τροχαλία πρέπει να ισχύει: e -n F /F 1 " e n (6) Παρατήρηση: Eάν το σχοινί που περιβάλλει το αυλάκι της τροχαλίας έχει αµελητέα µάζα και η τροχαλία περιστρέφεται µε µεταβαλλόµενη εν γένει γωνιακή ταχύτητα, τότε κάθε στοιχειώδες τµήµα του σχοινιού θα έχει επιτρόχια και κεντροµόλο επιτά χυνση. Όµως ο δευτερος νόµος κίνησης του Νευτωνα εφαρµοζόµενος για το στοιχειώδες τµήµα κατά την διευθύνση της εφαπτοµένης και κατά την διεύ θυνση της ακτίνας της τροχαλίας θα δίνει, λόγω της σχεδόν µηδενικής µάζας του, τις ίδιες διαφορικές εξισώσεις, όπως και στην περίπτωση της ισορροπίας της τροχαλίας αρκεί το σχοινί να µην ολισθαίνει. Αυτό σηµαίνει ότι η σχέση (5) ισχύει και στην περίπτωση που η τροχαλία περιστρέφεται, αρκεί το σχοινί που περιβάλλει το αυλάκι της να µη ολισθαίνει κατά µήκος αυτού και να έχει αµε λητέα µάζα. P.M. fysikos H ράβδος AΓ του σχήµατος (5) είναι οµογενής µε βάρος w 1 και µπορεί να στρέφεται περί το αρθρωµένο άκρο της Γ. Tο οριζόντιο αβαρές σχοινί που συγκρατεί την ράβδο υπό κλίση φ=π/4 ως προς την οριζόντια διεύθυνση περιβάλλει το αυλάκι µιάς σταθερής τροχαλίας, η οποία µπορεί να στρέφεται περί οριζόντιο άξονα που

12 διέρχεται από το κέντρο της. Eάν το τµήµα του σχοινιού που είναι σε επαφή µε το αυλάκι της τροχαλίας φαίνεται από το κέντρο της υπο γωνία π/ και ο συνστελεστής οριακής τριβής ανάµεσα στο σχοινί και την τροχαλία είναι µ, µε µπ<<1, να δείξετε ότι το σύστηµα ισορροπεί εφ όσον ισχύει η σχέση: w 1 " 1 - n ' ( w ( w 1 " 1 + n ' 4 4 ΛYΣH: Στην ράβδο ΑΓ ενεργεί το βάρος της w 1, η τάση T του οριζόντιου σχοι νιού που την συγκρατεί και η αντίδραση της αρθρώσεως, της οποίας ο φορέας διέρχεται από το άκρο Γ της ράβδου (σχ. 5). Λόγω της ισορροπίας της ράβδου το άθροισµα των ροπών των τριών αυτών δυνάµεων περί το άκρο της Γ είναι ίσο µε µηδέν, δηλαδή έχουµε την σχέση: " ( ) = TLµ" - w 1 (L/ )" = Tµ (" / 4) = (w 1 / )(" / 4) T = w 1 / (1) Σχήµα 5 Όµως ισχύει Τ=Τ 1, όπου T 1 η τάση του οριζόντιου σχοινιού στο σηµείο επαφής του µε την τροχαλία, οπότε η (1) γράφεται: T 1 = w 1 / () Εξάλλου η ισορροπία του σώµατος Σ και το γεγονός ότι το σχοινί είναι αβαρές εξασφαλίζουν ότι η τάση T του κατακόρυφου κλάδου του σχοινιού που συγκ ρατεί το σώµα είναι ίση µε το βάρος w του σώµατος, δηλαδή ισχύει Τ =w. Όµως στην προηγούµενη άσκηση αποδείχθηκε η σχέση: e -µ / " T1 T () " e µ / e -µ / " w1 w " e µ / e -µ / " w1 w " e µ / w1 e-µ / " w " w1 eµ / (3) Τα αναπτύγµατα κατά Taylor των εκθετικών όρων e µ / και e -µ / επιτρέπουν τις σχέσεις:

13 και e µ / = " 1 e -µ / = 1-1 " 1 µ µ ' + 1 " ' + 1 " µ µ ' ' οι οποίες λόγω της δεδοµένης συνθήκης µπ<<1, προσεγγιστικά γράφωνται: e µ / " 1 + µ / και e -µ / " 1 - µ / Έτσι η (1) παίρνει την µορφή: w 1 4 " 1 - µ ' ( w ( w 1 " 1 + µ ' 4 που αποτελεί και την αποδεικτέα σχέση. P.M. fysikos Στην διάταξη του σχήµατος (6) οι άκρες του σχοινιού που περιβάλλει το αυλάκι της σταθερής τροχαλίας συν δέονται µε τα σώµατα Σ 1 και Σ, που έχουν αντίστοιχες µάζες m 1 και m. Το σώµα Σ µπορεί να ολισθαίνει πάνω σε οριζόντιο δάπεδο µε το οποίο πα ρουσιάζει συντελεστή οριακής τριβής µ, το δέ σχοινί θεωρείται αµελητέας µάζας. i) Εάν επίκειται η εκκίνηση του συστήµατος όταν m 1 /m =, να βρεθεί ο συντελεστής οριακής τριβής µεταξύ του σχοινιού και της τροχαλίας. ii) Eάν m 1 /m =4 ποια θα είναι η οριακή επιτάχυνση των δύο σωµάτων που επιτρέπει στο σχοινί να µη ολισθαίνει στο αυλάκι της τροχαλίας; Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛYΣH: i) Όταν επίκειται η εκκίνηση του συστήµατος, τότε η τάση Q ' 1 του κατακόρυφου σκέλους του σχοινιού είναι ίση µε το βάρος m 1 g του σώµατος Σ 1 η δε τάση Q ' του οριζόντιου σκέλους ίση µε την οριακή τριβή T που δέχεται το σώµα Σ απο το δάπεδο. Επειδή στην περίπτωση αυτή η τροχαλία ισορροπεί οριακά, θα ισχύει σύµφωνα µε την 5η άσκηση η σχεση: Q' 1 = Q' e µ / m 1 g = µm ge µ / m = µm e µ / µ e µ / = µ = ln " µ ' µ = ln " µ ' (1)

14 όπου µ ο ζητούµενος συντελεστής οριακής τριβής µεταξύ σχοινιού-τροχαλίας. Σχήµα 6 ii) Έαν m 1 /m =4, τότε το σύστηµα θα βρίσκεται σε κίνηση και µάλιστα οι επι ταχύνσεις των δύο σωµάτων θα έχουν το ίδιο µέτρο. Με την προυπόθεση ότι το σχοινί δεν ολισθαίνει στο αυλάκι της τροχαλίας θα ισχύει και πάλι η σχέση: (1) Q' 1 = Q' e µ / Q' 1 = Q' e ln( / µ ) Q' 1 = Q' / µ () Eφαρµόζοντας για τα σώµατα Σ 1, Σ τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα θα έχουµε τις σχέσεις: m 1 g - Q' 1 = m 1 a" Q' -T = m a () 4m g - Q' /µ = 4m a " Q' - µm g = m a (3) όπου a το κοινό µέτρο των επιταχύνσεων των δύο σωµάτων. Aπαλοίφοντας το Q µεταξύ των () παίρνουµε: 4m g - (m a +µm g)/µ = 4m a 4m g - µm g / µ = 4m a +µm a / µ g - g = a +a a = g / 3 P.M. fysikos