Statistik gia PolitikoÔc MhqanikoÔc ELEGQOS UPOJ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Statistik gia PolitikoÔc MhqanikoÔc ELEGQOS UPOJ"

Καίσαρ Σπανός
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Statistik gia PolitikoÔc MhqanikoÔc ELEGQOS UPOJESEWN 18 DekembrÐou 2012

2 'Elegqoc Upojèsewn 1 Statistik upìjesh 2 Statistik elègqou kai perioq apìrriyhc 3 Apìfash elègqou Statistik upìjesh mhdenik upìjesh H 0 : θ = θ 0 enallaktik upìjesh H 1 : 1 H 1 : θ θ 0, dðpleuroc èlegqoc 2 H 1 : θ < θ 0, monìpleuroc èlegqoc SÔnolo dunat n tim n thc θ: θ 0 kai < θ 0 Swstìtera H 0 : θ θ 0 kai H 1 : θ < θ 0 3 H 1 : θ > θ 0, ìpwc (2)

3 Statistik elègqou, perioq apìrriyhc Dunatèc timèc thc θ qwrðzontai: Perioq apodoq c thc H 0 Perioq apìrriyhc R thc H 0 EpÐpedo empistosônhc (1 α) gia thn apìfash elègqou α: epðpedo shmantikìthtac H perioq apodoq c kai apìrriyhc allˆzei me to α Katanom gia thn ektim tria ˆθ thc θ? parametrikìc èlegqoc: upojètoume katanom gia ˆθ m parametrikìc èlegqoc: den upojètoume katanom gia ˆθ

4 Parametrikìc èlegqoc ˆθ q statistik elègqou q èqei gnwst katanom (eðnai z, t χ 2 ) α krðsimh(ec) tim (èc) thc q R

5 Apìfash elègqou UpologÐzoume apì to deðgma ˆθ q q R apìrriyh thc H 0 q / R mh apìrriyh thc H 0 p-tim tou elègqou Gia q (γνωστή κατανομή της q όταν ισχύει η Η 0 ) 1 p = P(q < q q > q ) 2 p = P(q < q) 3 p = P(q > q) H p-tim dhl nei to mikrìtero epðpedo shmantikìthtac gia to opoðo mporoôme na aporrðyoume thn H 0 me bˆsh to deðgma.

6 DiadikasÐa statistikoô elègqou 1 Epilog epipèdou shmantikìthtac α 2 Kajorismìc statistik c elègqou q 3 Upologismìc krðsimhc (-wn) tim c (- n) thc q apì ton antðstoiqo statistikì pðnaka kai kajorismìc thc perioq c apìrriyhc R 4 Upologismìc thc statistik c elègqou q apì to deðgma 5 Apìrriyh thc H 0 an q an kei sthn R. Mh apìrriyh thc H 0 an q den an kei sthn R.

7 DiadikasÐa statistikoô elègqou Genikˆ ìtan θ eðnai µ, p, µ 1 µ 2, p 1 p 2 : H 0 : θ = θ 0 Statistik elègqou: q = ˆθ θ 0 σ ˆθ { Tupik kanonik N(0, 1) Katanom thc q: student me ν bajmoôc eleujerðac t ν Perioq apìrriyhc (epðpedo shmantikìthtac α): 1 H 1 : θ θ 0 : R = {q q < q α/2 q > q 1 α/2 } 2 H 1 : θ < θ 0 : R = {q q < q α } 3 H 1 : θ > θ 0 : R = {q q > q 1 α }

8 DiadikasÐa statistikoô elègqou (sunèqeia) Deigmatik statistik elègqou: q = ˆθ θ 0 σ ˆθ q R apìrriyh thc H 0 q / R mh apìrriyh thc H 0 p-tim : 1 p = P(q < q q > q) 2 p = P(q < q) 3 p = P(q > q)

9 Parˆdeigma: 'Elegqoc mèshc tim c, gnwstì σ 2 Θέλουμε να ελέγξουμε σε επίπεδο σημαντικότητας α = 0.05 αν η μέση αντοχή θραύσης σκυροδέματος µ είναι 6 ksi. Η διασπορά είναι γνωστή, σ 2 = 0.4 ksi 2. H 0 : µ = 6 kai H 1 : µ 6 σ 2 gnwst, X N(µ, σ 2 ) q = z = x µ 0 σ/ n [δίπλευρος έλεγχος] N(0, 1) KrÐsimh tim : z = 1.96 R = {z z > 1.96}

10 Parˆdeigma: 'Elegqoc mèshc tim c, gnwstì σ 2 (sunèqeia) Statistik elègqou apì to deðgma ( x = 5.67, n = 25) z = /25 = 2.61 z R apìrriyh thc H 0 gia α = 0.05 p-tim gia z = 2.61 p = 2(1 P(z < z )) = 2(1 Φ( z )) = 2(1 Φ(2.61)) = 2( ) = 0.009

11 Parˆdeigma: 'Elegqoc mèshc tim c, ˆgnwstì σ 2 Άγνωστη διασπορά αντοχής θραύσης σκυροδέματος. H 0 : µ = 6 kai H 1 : µ 6 [δίπλευρος έλεγχος] σ 2 ˆgnwsto, n = 25 < 30, X N(µ, σ 2 ) KrÐsimh tim : t 24,0.975 = 2.06 q = t = x µ 0 s/ n t n 1 Perioq apìrriyhc thc H 0, R = {t t > 2.06}

12 Parˆdeigma: 'Elegqoc mèshc tim c, ˆgnwstì σ 2 (sunèqeia) Statistik elègqou apì to deðgma ( x = 5.67, n = 25, s 2 = 0.375) t = /25 = 2.69 t R apìrriyh thc H 0 gia α = Diˆsthma empistosônhc [5.42, 5.92] p-tim gia t = 2.69 p = 2(1 P(t t )) = 2(1 P(t 2.69)) = 2( ) = 0.012

13 'Elegqoc upìjeshc H 0 : µ = µ 0 stic diˆforec peript seic diasporˆ katanom thc X n katanom statistik c q gnwst kanonik z = x µ 0 σ/ N(0, 1) n gnwst mh kanonik megˆlo z = x µ 0 σ/ N(0, 1) n gnwst mh kanonik mikrì ˆgnwsth megˆlo z = x µ 0 s/ n N(0, 1) ˆgnwsth kanonik mikrì t = x µ 0 s/ n t n 1 ˆgnwsth mh kanonik mikrì

14 Parˆdeigma: 'Elegqoc diasporˆc Θέλουμε να ελέγξουμε αν θα μπορούσαμε να πούμε με μεγάλη σιγουριά (επίπεδο εμπιστοσύνης 99%) πως η τυπική απόκλιση σ της αντοχής θραύσης σκυροδέματος μπορεί να ξεπεράσει το επίπεδο του 0.5 ksi. 'Elegqoc gia th diasporˆ σ 2 : H 0 : σ , H 1 : σ 2 > 0.25, [monìpleuroc èlegqoc] q = χ 2 (n 1)s2 σ 2 0 X 2 n 1, KrÐsimh tim : χ 2 24,0.99 = Perioq apìrriyhc thc H 0 : R = {χ 2 χ 2 > 42.98}

15 Parˆdeigma: 'Elegqoc diasporˆc (sunèqeia) Statistik elègqou apì to deðgma (n = 25, s 2 = (ksi) 2 ) χ 2 = (n 1)s2 σ 2 0 = = 36.0 χ 2 / R m apìrriyh thc H 0 gia α = 0.01 p-tim gia χ 2 = 36.0 p = 1 P(χ 2 < χ 2 ) = 1 P(χ ) = = 0.055!!!

16 Parˆdeigma: 'Elegqoc analogðac Μια εταιρεία ενδιαφέρεται να ελέγξει σε σημαντικότητα 0.05 αν η αναλογία των σκουριασμένων ραβδών χάλυβα στην αποθήκη της είναι Δείγμα: 12 σκουριασμένες σε σύνολο 100 ραβδών. H 0 : p = 0.19 H 1 : p 0.19 [δίπλευρος έλεγχος] n megˆlo KrÐsimh tim z = 1.96 q = z = ˆp p 0 p 0 (1 p 0 ) n Perioq apìrriyhc R = {z z > 1.96} N(0, 1)

17 Parˆdeigma: 'Elegqoc analogðac (sunèqeia) Statistik elègqou apì to deðgma (ˆp = 0.12) z = = z / R mh apìrriyh thc H 0 gia α = 0.05 Diˆsthma empistosônhc [0.056, 0.184]? ˆp(1 ˆp) UpologÐsthke apì ˆp ± z α/2 n

18 Parˆdeigma: 'Elegqoc analogðac (sunèqeia) Η εταιρεία γνωρίζει ότι είναι απίθανο το ποσοστό να κυμαίνεται σε επίπεδα μεγαλύτερα του 19% H 0 : p 0.19, H 1 : p < 0.19 [μονόπλευρος έλεγχος] KrÐsimh tim z 0.95 = 1.65 Perioq apìrriyhc R = {z z < 1.65} z = (ìpwc prin) z R apìrriyh thc H 0 gia α = 0.05 p-tim p = P(z < z) = P(z < 1.784) = Φ( 1.784) = 1 Φ(1.784) = = An tato epðpedo empistosônhc pou mporoôme na aporrðyoume thn H 0 : p 0.19 eðnai perðpou 96%.

19 Parˆdeigma: 'Elegqoc diaforˆc mèswn tim n, gnwstì σ 2 Θέλουμε να ελέγξουμε αν δύο τύποι Α και Β σκυροδέματος έχουν την ίδια μέση αντοχή θραύσης. Θεωρούμε γνωστή και κοινή διασπορά σ 2 = 0.4 (ksi) 2. H 0 : µ 1 = µ 2, H 1 : µ 1 µ 2 [δίπλευρος έλεγχος] γνωστή και κοινή διασπορά, κανονικές κατανομές KrÐsimh tim : z = 1.96 q = z = x 1 x 2 σ 2 1 n 1 + σ2 2 n 2 N(0, 1) Perioq apìrriyhc thc H 0, R = {z z > 1.96}

20 Parˆdeigma: 'Elegqoc diaforˆc mèswn tim n, gnwstì σ 2 (sunèqeia) Statistik elègqou apì to deðgma ( x 1 = 5.67, x 2 = 5.38, n 1 = 25, n 2 = 20) z = = 1.53 z / R m apìrriyh thc H 0 gia α = 0.05 p-tim gia z = 1.53 p = 2(1 P(z < z )) = 2(1 Φ( z )) = 2(1 Φ(1.53)) = 2( ) = 0.126

21 Parˆdeigma: 'Elegqoc diaforˆc mèswn tim n, ˆgnwsto σ 2 Διασπορά αντοχής θραύσης κοινή αλλά άγνωστη H 0 : µ 1 = µ 2, H 1 : µ 1 µ 2 [δίπλευρος έλεγχος] άγνωστη και κοινή διασπορά, κανονικές κατανομές q = t = x 1 x 2 s n1 n2 KrÐsimh tim : t 43,0.975 = 2.02 t n1 +n 2 2 Perioq apìrriyhc thc H 0, R = {t t > 2.02}

22 Parˆdeigma: 'Elegqoc diaforˆc mèswn tim n, ˆgnwsto σ 2 (sunèqeia) Statistik elègqou apì to deðgma ( x 1 = 5.67, x 2 = 5.38, n 1 = 25, n 2 = 20 s 2 1 = 0.375, s2 2 = s2 = 0.353, s = 0.594) t = = 1.63 t / R m apìrriyh thc H 0 gia α = 0.05 Diˆsthma empistosônhc [ 0.07, 0.65] p-tim gia t = 1.63 p = 2(1 P(t < t )) = 2(1 P(t 1.63)) = 2( ) = 0.11

23 Jèma 13 Kajorismìc megèjouc deðgmatoc gia èlegqo diaforˆc mèswn tim n apì anexˆrthta deðgmata.

24 Parˆdeigma: 'Elegqoc diaforˆc analogi n Θέλουμε να ελέγξουμε αν οι αναλογίες σκουριασμένων ραβδών χάλυβα είναι ίδιες σε δύο αποθήκες. Δεδομένα: πρώτη αποθήκη, 12 στις 100 ράβδους σκουριασμένες, δεύτερη αποθήκη, 26 στις 120 ράβδους σκουριασμένες. H 0 : p 1 = p 2 H 1 : p 1 p 2 [δίπλευρος έλεγχος] n megˆlo ˆp 1 ˆp 2 q = z = p1 (1 p 1 ) n 1 + p 2(1 p 2 ) n 2 N(0, 1) SÔmfwna me th mhdenik upìjesh eðnai p 1 = p 2 = p H statistik elègqou gðnetai ˆp 1 ˆp 2 q = z = ( ) N(0, 1) p(1 p) n1 n2

25 Parˆdeigma: 'Elegqoc diaforˆc analogi n (sunèqeia) KrÐsimh tim z = 1.96 Perioq apìrriyhc R = {z z > 1.96} ˆp 1 = 0.12, ˆp 2 = koin analogða ˆp = n 1ˆp 1 + n 2ˆp = = n 1 + n Statistik elègqou apì to deðgma ˆp 1 ˆp 2 z = ( ) = 1 ˆp(1 ˆp) n n ( ) ( ) = 1.89

26 Parˆdeigma: 'Elegqoc diaforˆc analogi n (sunèqeia) z / R m apìrriyh thc H 0 gia α = 0.05 Diˆsthma empistosônhc [ 0.198, 0.004] p-tim gia z = 1.89 p = 2(1 P(z < z )) = 2(1 Φ( z )) = 2(1 Φ(1.89)) = 2(1 0.97) = 0.06

27 Parˆdeigma: 'Elegqoc diaforˆc analogi n (sunèqeia) Εστω ότι γνωρίζουμε πως η δεύτερη αποθήκη έχει κατά κανόνα πιο παλιές ράβδους από την πρώτη H 0 : p 1 p 2, H 1 : p 1 < p 2 [μονόπλευρος έλεγχος] KrÐsimh tim z 0.95 = 1.65 Perioq apìrriyhc R = {z z < 1.65} z = 1.89 (ìpwc prin) z R apìrriyh thc H 0 gia α = 0.05 p-tim p = P(z < z) = P(z < 1.89) = Φ( 1.89) = 1 Φ(1.89) = = 0.03 An tato epðpedo empistosônhc pou mporoôme na aporrðyoume thn H 0 : p 1 p 2 eðnai perðpou 97%.

28 1 Swst apìfash (swst H 0 ) me pijanìthta P(apodoq thc H 0 H 0 swst ) = 1 α 2 Sfˆlma tôpou I me pijanìthta P(apìrriyh thc H 0 H 0 swst ) = α. 3 Sfˆlma tôpou II me pijanìthta P(apodoq thc H 0 H 0 lanjasmènh) = β. 4 Swst apìfash (swst H 1 ) me pijanìthta P(apìrriyh thc H 0 H 0 lanjasmènh) = 1 β [dônamh elègqou]

29 (sunèqeia)

Σχετικά έγγραφα

Στατιστική για Χημικούς Μηχανικούς

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Στατιστική για Χημικούς Μηχανικούς Ενότητα 3: Έλεγχος Υποθέσεων Κουγιουμτζής Δημήτρης Τμήμα Χημικών Μηχανικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό