Τάξη Γ. Κεφάλαιο. Εμβαδόν Επιπέδου Χωρίου Θεωρία-Μεθοδολογία-Ασκήσεις. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Τάξη Γ. Κεφάλαιο. Εμβαδόν Επιπέδου Χωρίου Θεωρία-Μεθοδολογία-Ασκήσεις. Ολοκληρωτικός Λογισμός"

Λώτ Χριστός Καλλιγάς
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Τάξη Γ Κεφάλιο Ολοκληρωτικός Λογισμός Θεωρί-Μεθοδολογί-Ασκήσεις

2 Κεφάλιο 3 Ολοκληρωτικός Λογισμός Σε κάθε μί πό τις πρκάτω περιπτώσεις ορίζετι πό τη γρφική πράστση μις τουλάχιστον συνάρτησης κι πό κάποιες ευθείες, έν επίπεδο χωρίο Ω,γι το οποίο θέλουμε ν υπολογίσουμε το εμβδόν του Ε(Ω) Βσική προϋπόθεση σε όλες τις περιπτώσεις είνι η συνέχει των συνρτήσεων.. Χωρίο που ορίζετι πό την C f τον άξον κι τις ευθείες = κι =β Γενικός τύπος υπολογισμού του εμβδού E ( ) f () d Βρίσκουμε τις ρίζες κι το πρόσημο της f στο διάστημ [, β] κι έχουμε:. Αν f () 0 γι κάθε [, ] τότε E ( ) f () d = Ω Cf =β Ο β β. Αν f () 0 γι κάθε [, ] τότε E ( ) f () d = Ο Ω Cf β =β γ. Αν η f δεν διτηρεί στθερό πρόσημο στο [, β] τότε το εμβδόν είνι το άθροισμ των εμβδών των χωρίων στ διστήμτ που η f είνι θετική ή ρνητική. Ε(Ω)=Ε(Ω )+Ε(Ω )+Ε(Ω 3 )= f ()d f ()d f () d όπου γ,δ οι ρίζες της f στο [,β] = Ω γ Ω Cf δ Ω3 =β β

3 . Χωρίο που ορίζετι πό τις γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων f κι g κι τις ευθείες = κι =β 3. Χωρίο που ορίζετι πό την τομή των γρφικών πρστάσεων f κι g Γενικός τύπος υπολογισμού του εμβδού E ( ) f () Βρίσκουμε τις ρίζες κι το πρόσημο της διφοράς f()-g() στο διάστημ [,β]. Τότε: Ε(Ω) = Ε(Ω )+Ε(Ω )+Ε(Ω 3 ) = f () g() d g() f () f () g()d d όπου γ,δ οι ρίζες της διφοράς f()-g() στο διάστημ [,β] g() d Λύνουμε την εξίσωση f() = g() κι βρίσκουμε τις τετμημένες των σημείων τομής. Αν = η μικρότερη κι =β η μεγλύτερη πό τις τετμημένες το εμβδό είνι E ( ) f () g() d Cf Cg γ δ β = =β 4. Ανοικτά χωρί 4. Το εμβδό του νοικτού χωρίου Ω που ορίζετι πό την C f τον άξον, κι την ευθεί = υπολογίζετι ως εξής: Πίρνουμε λ> Βρίσκουμε το εμβδό Ε(λ) που ορίζει η C f, o κι οι ευθείες =, =λ Ο = Ω λ =λ Τότε Ε (Ω )= lim E( ) 3

4 Ανοικτά χωρί 4β. Το εμβδό του νοικτού χωρίου Ω που ορίζετι πό την C f τoυς άξονες y y, κι την = υπολογίζετι ως εξής: Πίρνουμε 0<λ< Βρίσκουμε το εμβδό Ε(λ) που ορίζει η f, o κι οι ευθείες =λ, = Τότε Ε(Ω )= lim E( ) 0 Ο λ =λ Ω = 4γ. Το εμβδό του νοικτού χωρίου Ω που ορίζετι πό την C f κι τoυς άξονες y y, υπολογίζετι ως εξής Ε(Ω) = Ε(Ω ) +Ε(Ω ) όπου Ω, Ω τ χωρί των περιπτώσεων 4β,4 Ο Ω = Ω Ω 5 Χωρίο που ορίζετι πό τις γρφικές πρστάσεις περισσότερων των δύο συνρτήσεων Οι οριζόντιες ευθείες, ο άξονς οι εφπτόμενες κ.τ.λ. θεωρούντι γρφικές πρστάσεις συνρτήσεων Από κάθε κορυφή φέρουμε κτκόρυφες ευθείες κι χωρίζουμε το χωρίο σε μικρότερ χωρί της περίπτωσης. Το εμβδό του χωρίου είνι: E( ) f () h() d () h() d (σχήμ) f () g() d Cf Ο Cg Ω Ω3 Ω γ δ β Ch Cφ 6. Χωρίο που ορίζετι πό τη γρφική πράστση της ντίστροφης συνάρτησης f - Το εμβδό του χωρίου Ω μετξύ C f, κι = είνι ίσο με το εμβδό μετξύ των C f, y y κι y= (λόγω συμμετρίς των C f, C f ως προς την ευθεί y=) Επομένως θ είνι: Ε(Ω)= ()d f () d 0 (όπου f(β)=) 0 f = f(β) = f - () Cf y= C f - Ω 0 β 4

Αποδείξεις. Έστω δυο συνρτήσεις f, g συνεχείς στο διάστημ [, β] με f() g() 0 γι κάθε [, ] κι Ω το χωρίο που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις των f,g κι τις ευθείες = κι =β.

5 Αποδείξεις. Έστω δυο συνρτήσεις f, g συνεχείς στο διάστημ [, β] με f() g() 0 γι κάθε [, ] κι Ω το χωρίο που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις των f,g κι τις ευθείες = κι =β. Ν ποδείξετε ότι Απόδειξη: Ε(Ω)= ( f () g()) d Έχουμε: Ε(Ω)=Ε(Ω )-Ε(Ω )= f ()d g()d f () g() Άρ: Ε(Ω)=( f () g()) d. Έστω δυο συνρτήσεις f, g συνεχείς στο διάστημ [, β] με f() g() γι κάθε [, ] κι Ω το χωρίο που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις των f,g κι τις ευθείες = κι =β. Ν ποδείξετε ότι Απόδειξη: Επειδή οι συνρτήσεις f, g είνι συνεχείς στο [, β], θ υπάρχει ριθμός c R τέτοιος ώστε f () c g() c 0, γι κάθε [, ]. Τότε το χωρίο Ω (σχ. ) έχει το ίδιο εμβδόν με το χωρίο Ω' (σχ. β) Επομένως: E ( ) ( ) Ε(Ω)= ( f () g()) d f () c g() cd f () g() Άρ: Ε(Ω)=( f () g()) d d d 5

περικλείετι πό τον άξον τη γρφική πράστση

τις ευθείες = κι =β δίνετι πό τον τύπο Ε(Ω)=

γρφική πράστση της συνάρτησης f()=0 έχουμε:

συνάρτηση g ισχύει g() 0 γι κάθε [, ], τότε:

του χωρίου που περικλείετι πό τις γρφικές

είνι ίσο με Ε(Ω)= f () Απόδειξη: Έχουμε:

6 Αποδείξεις 3. Ν ποδείξετε ότι το εμβδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τον άξον τη γρφική πράστση της συνάρτησης g με g() 0 γι κάθε [, ] κι τις ευθείες = κι =β δίνετι πό τον τύπο Ε(Ω)= g () d Απόδειξη: Επειδή ο άξονς είνι η γρφική πράστση της συνάρτησης f()=0 έχουμε: E( ) f () g() d g() g()d d Επομένως, ν γι μι συνάρτηση g ισχύει g() 0 γι κάθε [, ], τότε: Ε(Ω)= g () d 4. Ότν η διφορά f()-g() δεν διτηρεί στθερό πρόσημο στο [,β] ν ποδείξετε ότι το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις των f,g κι τις ευθείες = κι =β είνι ίσο με Ε(Ω)= f () Απόδειξη: Έχουμε: Ε(Ω) = Ε(Ω )+Ε(Ω )+Ε(Ω 3 ) = f () g() d g() f () f () g() d f () g() d f () g() d Άρ Ε(Ω)= f () f () g() d f () g() d g() d g() 6

7 Προτεινόμενες Ασκήσεις Εκφώνηση. Ν υπολογιστεί το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της συνάρτησης f()= 3 τις ευθείες =0,= κι τον άξον Σχήμ. Ν υπολογιστεί το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της συνάρτησης f()=-συν τις ευθείες, κι τον άξον 3. Ν υπολογιστεί το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της συνάρτησης f()= - τις ευθείες =0, = κι τον άξον 4. Ν υπολογιστεί το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων f()= κι g()= - 5. Ν υπολογιστεί το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων f()=e κι g()=e - κι την ευθεί με εξίσωση = 6. Ν υπολογιστεί το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της συνάρτησης f()= 3 κι την ευθεί με εξίσωση y= 7. Ν υπολογιστεί το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της συνάρτησης f()=e κι τις ευθείες με εξισώσεις =-, =. 8. Ν υπολογιστεί το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της συνάρτησης f()= 5 κι την ευθεί με εξίσωση y=6-7

8 9. Δίνετι η συνάρτηση f()=e. Ν ποδείξετε ότι η εφπτομένη ε της C f στο σημείο A(,e) έχει εξίσωση y=e. β. Ν βρείτε το εμβδόν E(λ) του χωρίου που περικλείετι πό τη C f, την ευθεί ε, τον άξον κι την ευθεί =λ με λ<0. γ. Ν βρείτε το lim E( ). e 0. Δίνετι η συνάρτηση f (), 0. Ν μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονί κι τ κρόττ.. β. Αν Ε το εμβδό του χωρίου που περικλείετι πό τη C f, τον άξον κι τις 3 e e ευθείες = κι =3, τότε ν δείξετε ότι: E Δίνετι η συνάρτηση f ()... Ν βρείτε την πλάγι σύμπτωτη της C f, στο. β. Ν βρείτε το εμβδό του χωρίου που περικλείετι πό τη C f,, την σύμπτωτη κι τις κτκόρυφες ευθείες =0 κι =.. Δίνοντι οι συνρτήσεις f()=- + κι g()=- +. Ν βρεθεί η τιμή του (0,), γι την οποί η C g, χωρίζει το χωρίο που περικλείετι πό τη C f, κι τον άξον σε δυο ισεμβδικά χωρί. 3. Δίνετι η συνάρτηση f (), 0 κι η ευθεί : y, [, ]. Ν βρεθεί το εμβδό E() του χωρίου που περικλείετι πό τη C f, την ευθεί ε κι τις κτκόρυφες ευθείες = κι =. β. Ν βρεθεί γι ποι τιμή του, το Ε() γίνετι ελάχιστο. 4. Δίνοντι οι πργωγίσιμες συνρτήσεις f,g με f () g () 3 γι κάθε R κι f()=,g()=0. Ν υπολογίσετε το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τις C f, C g κι ευθείες =- κι =. 5. Δίνοντι οι συνρτήσεις f,g οι οποίες είνι δυο φορές πργωγίσιμες στο R με f () g () γι κάθε R. Αν στ σημεί (0,f(0)) κι (0,g(0)) οι εφπτόμενες των C f κι C g ντίστοιχ, είνι πράλληλες κι επιπλέον f(0)=g(0)=0, τότε ν υπολογίσετε το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τις C f, C g κι τις ευθείες κι =π 8

9 6. Δίνετι η συνάρτηση f()= -4.. Ν βρείτε τις εξισώσεις των εφπτόμενων της C f, στ σημεί που τέμνει τον άξον. β. Ν υπολογίσετε το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τις δυο εφπτόμενες κι τη C f 7. Δίνετι η συνάρτηση f () με (0,) (, ) ln. Ν δείξετε ότι η C f έχει πλάγι σύμπτωτη στο την ευθεί y=+. β. Ν βρείτε το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη C f, την σύμπτωτη κι τις κτκόρυφες ευθείες =e κι =e Θεωρούμε τη συνάρτηση f ().. Ν δείξετε ότι η f ντιστρέφετι. β. Αν f η ντίστροφη της f, ν βρείτε το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της f, τον άξον κι τις ευθείες =4 κι =3 9. Δίνετι η συνάρτηση f (),. Ν δείξετε ότι η f ντιστρέφετι στο [, ) f β. Αν η ντίστροφη της f, ν βρείτε το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι νάμεσ στις C f κι C f 0. Δίνετι η συνάρτηση f η οποί είνι πργωγίσιμη στο R κι γι την οποί ισχύει f(0)=0 κι f () γι κάθε R. Αν E το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη C f, τον άξον κι τις ευθείες =0 κι =, τότε ν δείξετε ότι E 6 ln. Δίνετι η συνάρτηση f (), 0.. Ν μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονί, τ κρόττ κι ν βρείτε το σύνολο τιμών της. β. Ν βρείτε το εμβδό E() του χωρίου που περικλείετι πό τη C f κι τις κτκόρυφες ευθείες e κι = με (0, e). γ. Ν βρείτε το όριο lim E( ). 0 e. Δίνοντι οι συνρτήσεις f () κι g()=ln.. Ν ποδείξετε ότι οι C f κι C g έχουν μονδικό κοινό σημείο. β. Ν υπολογίσετε το εμβδόν Ε(λ) του χωρίου που περικλείετι πό τις C f, C g κι την ευθεί =λ, λ>0. γ. Ν υπολογίσετε το όριο: A lim E( ) 9

10 3. Δίνοντι οι συνρτήσεις f()=e κι g()=e -.. Ν υπολογίσετε το εμβδόν E(t) του χωρίου Ω που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις των f,g κι την ευθεί =t,t>0. E(t) β. Ν υπολογίσετε το όριο: A lim t t t e γ. Ν βρείτε την τιμή του t >0 ώστε E(t)+=e +e - δ. Η ευθεί y= χωρίζει το εμβδόν Ε(t) σε δύο χωρί Ω κι Ω i. Ν βρείτε τ Ε(Ω ),Ε(Ω ) ii. Ν ποδείξετε ότι το έν μόνο πό υτά τ εμβδά τείνει ν γίνει ίσο με το εμβδόν του Ω κθώς t 4. Δίνετι η συνάρτηση f()=e +, R. Ν μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονί κι τ κοίλ. β. Ν εξετάσετε ν η f ντιστρέφετι κι ν νι ν βρείτε το πεδίο ορισμού της. γ. Ν υπολογίσετε το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι νάμεσ στην C f τον άξον κι την ευθεί =e+ 5. Δίνετι η συνάρτηση f () e. Ν ποδείξετε ότι η f ντιστρέφετι. β. Ν υπολογίσετε το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό την f κι τις ευθείες με εξισώσεις =0 κι =e. C τον άξον, 6. Δίνετι η συνάρτηση f () e ln,. Ν μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονί. β. Ν βρείτε το σύνολο τιμών της f. γ. Ν υπολογίσετε το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της f, τον άξον κι τις ευθείες με εξισώσεις =0 κι =e. 7. Δίνετι η συνάρτηση f () dt, R 0 t. Ν ποδείξετε ότι η f ντιστρέφετι. ln() β. Ν ποδείξετε ότι: dt dt, 0 0 t t γ. Ν ποδείξετε ότι:f(εφ)=,, δ. Ν υπολογίσετε το εμβδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της g(), R, τον άξον κι τις ευθείες =0 κι = 0

11 ln, 0 8. Δίνετι η συνάρτηση f () 0, 0. Ν ποδείξετε ότι η f είνι συνεχής. β. Ν βρείτε το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη C f κι τον άξον 9. Δίνετι η συνάρτηση F() 0 dt με F().Ν βρείτε το εμβδόν του t 4 χωρίου που περικλείετι πό τη C F τους άξονες, y y κι την ευθεί = 30. Έστω μι συνεχής συνάρτηση f : R R γι την οποί ισχύουν γι κάθε R f () 0 t f 0 (u)du dt e Ν βρείτε το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη C f τους άξονες κι την ευθεί =, y y

12 Βιβλιογρφί. Εμβδά Επιπέδων Χωρίων ( 3.7) Μύρος Ιωάννης Στοιχεί Ολοκληρωτικού Λογισμού 3. Ολοκληρώμτ. Επιμέλει: Μάριος Ελευθεριάδης 4. Ψηφικά Εκπιδευτικά Βοηθήμτ 5. Μθημτικά Γ Λυκείου-Θετικής & Τεχνολογικής Κτεύθυνσης Αν. Μπάρλς 6. Μθημτικά : Γ Λυκείου Πράγωγος-Ολοκλήρωμ Γ Χ. Στεργίου-Χ. Νάκης-Ι. Στεργίου

Σχετικά έγγραφα

Ο Λ Ο Κ Λ Η Ρ Ω Μ Α Τ Α

Ο Λ Ο Κ Λ Η Ρ Ω Μ Α Τ Α ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ 4 Ν υπολογίσετε το ολοκλήρωµ: 5 + d (988) 4 Αν I v π 4 v = εϕ d, ν Ν*, τότε: ) Ν ποδείξετε ότι γι κάθε ν>, ισχύει: Iv = Iv v β) Ν υπολογίσετε το Ι 5 (99) 4 Ν βρεθεί