NEKAJ TEORETIČNIH OSNOV IN PRAKTIČNIH PRIMEROV ZA UPORABO RAVNOTEŽNIH POGOJEV ZA RAČUN PREVRNITVE TELES, REAKCIJ IN NOTRANJIH SIL.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "NEKAJ TEORETIČNIH OSNOV IN PRAKTIČNIH PRIMEROV ZA UPORABO RAVNOTEŽNIH POGOJEV ZA RAČUN PREVRNITVE TELES, REAKCIJ IN NOTRANJIH SIL."

Transcript

1 Prof. Dr. Vojko Kir kdemij z ikovno umetnost Oddeek z industrijsko oikovnje Univerz v Ljujni NEKJ TEORETIČNIH OSNOV IN PRKTIČNIH PRIMEROV Z UPORO RVNOTEŽNIH POGOJEV Z RČUN PREVRNITVE TELES, REKCIJ IN NOTRNJIH SIL Vojko Kir decemer 005 1

2 Prof. Dr. Vojko Kir Sie Izrz si (=force) se v sttiki uporj z kkršnokoi kcijo n teo, ki rezutir v njegovem premiku, sprememi ginj i sprememi veikosti ozirom oike. Sio oičjno rzumemo kot potisk i poteg tees, kot je n primer poteg z vrv, ki je pritrjen n teo. Osnovni zkoni mehnike so: 1) Vsko teo n ktero deujejo sie, ki so v medseojnem rvnotežju, miruje i se gije z enkomerno hitrostjo. ) Si, ki deuje n teo, je premosorzmern produktu mse in pospešku tees. 3) Medseojni učinek dveh tees drugeg n drugo je vedno enk in nsprotno usmerjen. Oičjn enot z sio je N (Newton) i njegov mnogokrtnik kn (1000 N). Po drugem Newtonovem zkonu mehnike vej: Si = ms pospešek Enot z sio je torej kg m s = N Upoštevjoč, d je pospešek prosteg pd g enk 9.81 m/s, doimo: 1 kn = kg i 100 kg = kn Oičjno upoštevmo, d je pospešek prosteg pd g enk priižno 10 m/s. Iz teg sedi, d je 1 kn 100 kg ozirom 0.1 tone. Si je vektrorsk koičin. Grfično je doočen z nsednjimi podtki: dožin smernic Prijemišče sie točk ; Usmeritev sie smernic in puščic, ki prikzuje smer deovnj; Veikost dožin puščice, oičjno v izrnem meriu; V prvokotnem (Krtezijevem) koordintnem sistemu je si nitično doočen z nsednjimi podtki:

3 Prof. Dr. Vojko Kir Y Y y X α x X Prijemišče sie Koordinti x in y ; Usmeritev sie kot α gede n os X i predznki komponent; Veikost Veikost sie i komponent v N i kn; Pri oteži konstrukcij sie vedno nstopjo kot porzdejene poskovne oteže ( p ). Porzdejene inijsk otež ( ) i koncentrirn otež () predstvjt e ideizirn primer deovnj si! p = p * = p ** / Ideizcij površinske oteže z inijsko otežo je v sttiki zeo pogost, poseej pri rvninski ideizciji konstrukcij. Predstvitev inijske oteže z ekviventno koncentrirno sio (gej siko zgorj) ni točn, sj so npetosti in pomiki pod koncentrirno sio precej večji! Rezutnt Seštevek vseh si, ki deujejo n teo imenujemo tudi rezutnt. Rezutnt R je si, ki ndomešč deovnje vseh ostih si n teo. Teo je v rvnotežju, če je rezutnt vseh si, ki dejujejo n teo, enk nič. R R= Komponente Orten postopek od sestvjnj si v rezutnto je rzstvjnje si n komponente. Komponente imjo enk učinek kot prvotn si. Enoično doočene je e rzstvjnje sie v dve komponenti n pojuno izrnih dveh smernich. ktivne sie in rekcije ktivne sie so sie, ki predstvjjo oremenitve konstrukcije (V, H), rektivne sie p so sie, ki se pojvjjo v podporh tees (R 1, R ) in urvnotežujejo teo. Rezutnt kcijskih si mor iti nsprotno enk rezutnti podpornih si. Oe rezutnti mort ežti n isti smernici. 3

4 Prof. Dr. Vojko Kir V= v * h v H= h *h R kcij h R 1 R R podpor Rvnotežje Teo n ktero deujejo sie je v rvnotežju (i se enkomerno gije), če je rezutnt vseh si, ki deujejo nnj enk nič. Vsko mirujoče teo je v rvnotežju. kcijske sie so v rvnotežju z rekcijskimi simi v podporh. Zrdi prenos kcijskih si po teesu v podpore se pojvjjo v teesu notrnje sie. Posedic deovnj notrnjih si so deformcije tees. Zunnje in notrnje sie Posedic deovnj zunnjih si, ki se preko tees prenšjo v podpore so notrnje sie. Te sie niso vidne, povzročjo npetosti in deformcije v teesu. Doočimo jih hko s prereznim postopkom, pred tem p je potreno poznti rekcijske sie v podporh. Notrnje sie pri rvninskih konstrukcijh so upogini moment (M), prečn si (Q) in osn si (N). Prerezni postopek Prerezni postopek omogoč rčun notrnjih si n pojunem mestu v konstrukciji. Notrnje sie predstvjjo sie, ki održijo prerezni de konstrukcije v rvnotežju. Rezutnt zunnjih si in rekcij ter notrnjih si z prerezni de konstrukcije mor iti enk nič! V= v */ h v M H= h *h Q N h R 1 / Podpore Podpore so mest kjer je konstrukcij podprt. Poznmo rzične vrste podpor: vpete (preprečen je vskršen premik in zsuk), čenkste (preprečen je e vskršen premik, zsuk ni 4

5 Prof. Dr. Vojko Kir preprečen) in pomične (preprečen je e eden od pomikov, zsuk in osti pomiki so prosti). Podpore so ideizcij dejnskeg stnj, vsk podpor im svojo krkteristično oznko. N spodnji siki so prikzne vpet, čenkst in čenkst pomičn podpor. Vpet Vrtijiv dopuščen je zsuk Pomičn vrtijiv, dopuščen st horizontni pomik in zsuk Pritisk/npetost Pritisk je zunnj koncentrirn si normirn n enoto površine (re - ) n ktero si deuje. Enot z pritisk je N/m (Psc P = 0.1 kn/cm ), ozirom druge dimenzijsko ustrezne enote kot so kn/m, kn/cm, kn/mm. Kot primer si hko predstvjmo pritisk vode n jez, pritisk pre v rezervorju ipd. Npetost (σ) im enke enote kot pritisk, vendr p je notrnj sttičn koičin in se pojvj v mteriu kot posedic zunnje oremenitve. Ločimo več vrst npetosti kot so osne, upogine in strižne npetosti. Osne npetosti (hko so tčne i ntezne) so definirne kot sedi: σ = = Ms Koičino mterije v teesu imenujemo ms tees. Merimo jo v kg i tonh. Mso tees hko doočimo tko, d voumen tees pomnožimo s prostorninsko mso tees. Tež Sio, ki jo povzroč ms tees (stn tež) doimo tko, d mso tees pomnožimo s pospeškom prosteg pd. Vej recij 100 kg = kn, ozirom priižno 100 kg = 1 kn. Težo tees hko doočimo tko, d voumen tees pomnožimo s prostorninsko težo tees. 5

6 Prof. Dr. Vojko Kir Gostot Ločimo med prostorninsko mso (kg/m 3 ) in prostorninsko težo (kn/m 3 ). Gostot oičjnih mteriov je podn v grdenih priročnikih in se uporj pri doočitvi oremenitve z stno težo. Okvirne prostorninske teže nekterih oičjnih mteriov so: Vrst mteri Prostorninsk tež (kn/m 3 ) eton (rmirni) 5.0* Jeko 77.0 eton (nermirni) 4.0* Les ** uminij 7.0 Svinec 11.0 etonski zidki Opečni zidki * Odvisno od uporjeneg gregt. ** Odvisno od vrste es in njegove vžnosti; gede n vžnost so hko rzike tudi ±30%. Otež Otež je izrz z zunnje sie, ki deujejo n konstrukcijo. Ločimo med rzičnimi vrstmi otež kot so: Lstn tež (izrčunmo jo hko iz gostote mteri); Stn otež (fiksni eementi, ki so pritrjeni n konstrukcijo, kot n primer tki, predene stene, stroji, ipd.); Koristn otež (to je tež judi, opreme, ipd, koristn otež normno zsedenih prostorov znš 1.5 kn/m ; otež prostorov kjer se hko zere večj koičin judi hko znš tudi do 5 kn/m ); Otež vetr (okvirno vej: v ref =0 m/s v =0.5 kn/m ; v ref =30 m/s v =0.56 kn/m ; v ref =40 m/s v =1.0 kn/m, merjeno n vertikno površino izpostvjeno vetru; v ref je doočen v vetrovnih krth z posmezne držve); Otež sneg (odvisn od cone in ndmorske višine; Ljujn s =1.9 kn/m, doočen je s poseno krto, ki dei držvo n rzične cone); Otež potres (pogosto jo simuirmo s horizontnimi simi n ojekte, ki so odvisne od njegove mse); Temperturne sprememe (dnevn temperturn nihnj hko dosežejo tudi 30 C); Posene oteže (zvorne sie, pritisk vodneg tok ). Moment Moment M je tendenc sie, d povzroč rotcijo okrog osi skozi neko točko (). Moment hko izrčunmo kot produkt sie in ročice r, pri čemer je ročic njkrjš (t.j. prvokotn) rzdj med smernico sie in osjo. V strojništvu je moment sie poznn tudi kot nvor. Enot z moment je knm, kncm, knmm i drug ekviventn enot. M = r 6

7 Prof. Dr. Vojko Kir prostor rvnin M r M r Torzij Torzij je posen oik momentne oteže, ki povzroč rotcijo (zvoj) okrog stne vzdožne osi. Torzijske npetosti se n primer pojvijo v kjuču s kterim odkepmo kjučvnico, v cevstem kjuču z odvijn je mtic koes vtomoi ipd. Torzijo povzroč dvojic dveh nsprotno usmerjenih momentov. Spodnj sik prikzuje primer čiste torzije in mrežo ortogonnih inij n torzijsko oremenjenem nosicu pred in po oremenitvi. Spodnj sik prikzuje primer torzije v stvi, kjer pride do torzijskeg zsuk v sredini grede CD zrdi upogi centrne grede. 7

8 Prof. Dr. Vojko Kir Sie v rvnini Vse sie deujejo v isti rvnini. Ločimo med simi s skupnim prijemiščem (smernice si se sekjo v isti točki) in simi, ki nimjo skupneg prijemišč (spošni sistem si - smernice si se ne sekjo v isti točki). Sie hko med seoj seštevmo (doočmo njihovo rezutnto) i p jih rzstvjmo n komponente. Oičjno ns še poseej znim kdj je posmezni sistem si v rvnotežju, ozirom kkšno sio mormo dodti, d o sistem si v rvnotežju. Ločimo med grfičnim in med nitičnim postopkom sestvjnj in rzstvjnj si ter doočnj rezutnte ozirom rvnotežj si. Poseej pomemno je nitično doočnje rvnotežj spošneg sistem si, ki nm dje 3 rvnotežne pogoje, ki morjo iti izponjeni z vsko mirujoče teo v rvnini. Spošen sistem si v rvnini Vse sie deujejo v isti rvnini. Smernice posmeznih si se ne sekjo v isti točki. Grfičn doočitev rezutnte več si Pri grfičnem seštevnju si si pomgmo s postopkom denih rezutnt, pri kterem seštevku prvih dveh si prištejemo še nsednjo sio. Če je si več, postopek ponvjmo. Pri tem sie premikmo vzdož njihovih smernic nprej in nzj kot je prikzno pri spodnjem primeru ' R 1 ' R 1 R 1 ' R 3 3 ' Den rezutnt R 1 je seštevek si 1 in. Dojen rezutnt R ndomešč deovnje vseh treh si 1, in 3. Grfično hko odmerimo njeno veikost in kot pod kterim deuje.sie rišemo v meriu! Tudi v tem primeru je mnogokotnik si (gej desno) skenjen. Zvedti se je potreno, d si ne moremo pojuno premikti po rvnini, sj sistem si tko ne ostj isti! Ločimo med: ) premiknjem si vzdož njihove smernice nprej i nzj in ) premiknjem sie prvokotno n njeno smernico. 8

9 Prof. Dr. Vojko Kir Pri premiknju sie vzdož njene smernice, se zunnje rvnotežje tees ne spremeni. Notrnje sie v teesu se seved spremenijo, kot kže spodnj sik. Rvnotežjhe oeh si je sicer v oeh primerih izpoonjeno, vendr p je teo enkrt oremenjeno tčno, drugič p ntezno. nteg tk Če sio premikmo v smeri prvokotno n njeno njeno smernico (smernic premknjene sie ostne vzporedn s prvotno), porušimo tudi zunnje rvnotežje sistem. Tk premik nčeom ni možen, rzen v primeru, d premknjeni sii dodmo še moment M =r, ki g tvori dvojic dveh nsprotno deujočih si n medseojni rzdji r. Spodnj sik prikzuje premik sie v točko, ki je od njene smernice oddjen z rzdjo r (njmnjš prvokotn rzdj). D sistem ostne v rvnotežju je potreno dodti še sio. Dvojic si in povzroč moment M =r. V tem primeru zunnje rvnotežje sistem si ostj nespremenjeno. r - r M =r Grfičn doočitev rvnotežj si Sistem si v rvnini je v rvnotežju, če je njegov rezutnt enk nič. Sistem si orvnvn n prejšnji strni hko urvnotežimo, če mu dodmo dodtno sio 4, ki eži n isti smernici kot rezutnt R in je enke veikosti, nsprotno usmerjen kot rezutnt R. V tem primeru je mnogokotnih si skenjen! =-R 1 3 9

10 Prof. Dr. Vojko Kir nitičn doočitev rezutnte spošneg sistem si v rvnini Vpejemo prvokotni koordintni sistem in doočimo koordinte prijmišč in smerne kote si. Vzemimo, d z pojuno sio i vej: x i, y i α i r i koordinti prijemišč sie i kot med smernico sie in osjo X koordintneg sistem ročic z rčun moment okrog izhodišč koordintneg sistem Vsko sio rzstvimo n komponento v smeri X in v smeri Y. X i = i cos α i Y i = i sin α i Istosmerne komponente med seoj seštejemo (enko kot pri sistemu si s skupnim prijemiščem). Doimo oe komponenti rezutnte: X y Y α 1 y 1 α 1 Y 1 X 1 r 1 x 1 x α 3 3 Y 3 X Y X 3 = = = X1 X X 3 = 1 cosα 1 cosα 3 cosα3 i= 1 R X i = = = Y1 Y Y3 = 1 sinα 1 sinα 3 sinα3 i= R Y i 1 Veikost rezutnte hko nto doočimo kot: n 3 n 3 R = X R Y R kot smernice rezutnte p je: Y tg α R = X R R 10

11 Prof. Dr. Vojko Kir Pri sih s skupnim prijemiščem je io prijemišče rezutnte v nprej znno. Pri spošnem sistemu si je potreno doočiti ego rezutnte s pomočjo dodtneg momentneg pogoj n izhodišče koordintneg sistem. Moment sie 1 n izhodišče koordintneg sistem znš: M 1 = - P 1 r 1 = - X 1 y 1 Y 1 x 1 z sio i p: M i = - P i r i = - X i y i Y i x i Pri tem vpejemo dogovor o pozitivnem in negtivnem momentu. Pozitivni momenti so tisti, ki v rvnini vrtijo v smeri nsprotni urinemu kzcu. Moment si hko predstvjmo tudi kot vrtenje desnosučneg vijk z osjo preno osi Z. Če je moment pozitiven, se o vijk premik (odvij) v smeri Z. Po tej definiciji je n primer tudi moment z odvijnje zmšk pozitiven. Momenti, ki vrtijo v drugo smer so negtivni. M -M Momente vseh si med seoj seštejemo, pri čemer upoštevmo dejnske predznke momentov: M = M M M = r r r n 3 = = i= R M i 1 Ročico rezutnte nto doočimo kot: r R = M R R y R α R Y R r X R x Rezutnt eži kjerkoi n smernici, ki jo doočt ročic r in kot α R. V spošnem ostj več možnosti: X R 0; Y R 0 in M R 0 X R 0; Y R 0 in M R = 0 rezutnt ne gre skozi izhodišče rezutnt gre skozi izhodišče 11

12 Prof. Dr. Vojko Kir X R = 0; Y R = 0 in M R 0 rezutnt je nič, ostj rezutirjoči moment (vrteneje) X R = 0; Y R = 0 in M R = 0 RVNOTEŽJE! Rvnotežni pogoji Sistem si v rvnini je v rvnotežju, ko je rezutnt vseh si enk nič in ko je rezutntni moment enk nič. V tem primeru so izponjeni trije rvnotežni pogoji, ki pogojujejo rvnotežje si v rvnini. To pomeni, d mor iti vsot vseh si v smeri X enk nič, vsot vseh si v smeri Y enk nič in vsot vseh momentov enk nič: X = 0 Y = 0 M = 0 Pri tem ni nujno, d vsoto momentov rčunmo rvno n koordintno izhodišče. V istvu i si hko z koordintno izhodišče izri kterokoi točko in z enkim rzmisekom priši do istih treh rvnotežnih pogojev. Z rčun momentov si hko torej izeremo ktero koi točko v rvnini. Oičjno vrtišč z rčun momentov izirmo tko, d immo z doočnjem ročic si čim mnj de. V nekterih primerih je enostvneje uporiti več momentnih pogojev in mnj pogojev o vsoti si. Možn je komincij dveh momentnih pogojev in eneg pogoj o vsoti si: X = 0 M = 0 M = 0 Opom: pri tem smer X ne sme iti prvokotn n djico, ki povezuje točki in! i p komincij e treh momentnih pogojev: M M = 0 = 0 M C = 0 Opom: pri tem točke, in C ne smejo ežti n isti premici! Zgorj izpejne rvnotežne pogoje omo uporji z: ) Doočnje prevrnitve tees; ) Rčun rekcij; c) Rčun notrnjih si 1

13 Prof. Dr. Vojko Kir Upor momentneg rvnotežneg pogoj - doočnje prevrnitve tees Uporo momentneg rvnotežneg pogoj hko njenostvneje prikžemo pri doočnju prevrnitve tees. Če z rčun momentov izeremo točko (vrtišče) okrog ktereg se i teo prevrnio, hko pogoj rvnotežj izrzimo smo z enim momentnim pogojem in iz njeg izrčunmo sio, ki je potren z prevrnitev tees. Primer 1: Teo (stv) s težo G=100 kn, širine d=3 m in višine h=10 m je oremenjeno s horizontno sio H. Horizontn si i jo prevrni tko, d i jo poskuš zvrteti okrog točke kot kže sik: M = 0 - H h G d/ = 0 H = G d / (h) H = 100 kn 3 m / (10) = 15 kn Z prevrnitev tees potreujemo sio 15 kn. Pri tem hko očimo med simi, ki poizkušjo prevrniti teo in povzročjo prevrnitveni moment M prev in simi, ki urvnotežujejo teo in povzročjo urvnotežnostni moment M rv. Teo je v rvnotežju, če je prevrnitveni moment mnjši od rvnotežnostneg moment. Vpejemo hko tudi vrnostni fktor proti prevrnitvi (oičjno od 1,50 do,00). M prev γ M rv Primer : Podn je večj nmizn svetik s težo senčnik 0,15 kg in dožino gijivih ročic 1,00 m. Koiko znš potren tež postvk G z izrn poožj svetike? Lučk i se prevrni tko, d i se zvrte okrog točke (desneg ro podstvk). 13

14 Prof. Dr. Vojko Kir Poožj 1: M = G 0 cm 0,1 kg 0 cm 0,1 kg 30 cm 0,15 kg 80 cm = 0 Doimo G=0,65 kg. Ker je jsno, d t poožj svetike ni njneugodnejši z njeno prevrnitev, izeremo še nekoiko težji podstvek. N primer, d se odočimo z težo podstvk 1,0 kg. Preverimo še rvnotežje v poožju : M prev M rv = 0,1 kg 10 cm 0,1 kg 90 cm 0,15 kg 140 cm = 31,0 kg cm = 1,0 kg 0 cm = 0 kg cm Vidimo hko, d je prevrnitveni moment večji od rvnotežnostneg moment (tudi, če ne upoštevmo vrnostneg fktorj). Svetik se torej kju temu prevrne. Potreno i io še povečti težo podstvk (njneugodnejši poožj je dejnsko pono iztegnjen rok v horizontni rvnini), rzširiti podstvek i p uporiti žji mteri z svetiko oz. težjeg z podstvek. 14

15 Prof. Dr. Vojko Kir VJE UPOR RVNOTEŽNIH POGOJEV Z RČUN PREVRNITVE : NLOG 1 Koiko znš si H, d se ok prevrne? Rešitev: Si H mor iti 15kN i več. NLOG Koiko hko znš si Q, d se miz ne prevrne? Upoštevj, d je tež mize 0,5 kn, težišče mize p je 10 cm evo od osi noge mize. Rešitev: Si Q hko znš njveč 0,75 kn (=75 kg) NLOG 3 Izrčunj potreno dožino x, d se oešnik ne prevrne! Upoštevj vrnostni fktor.0. Rešitev: rez upoštevnj vrnostneg fktorj: x min =,86 cm Z upoštevnjem vrnostneg fktorj: x min = 45,71 cm 15

16 Prof. Dr. Vojko Kir NLOG 4 Koikšno težo hko dvigne žerjv, d se ne prevrne! Upoštevj vrnostni fktor.0. Rešitev: rez upoštevnj vrnostneg fktorj: tež mx = 4,57 t Z upoštevnjem vrnostneg fktorj: tež mx =,9 t NLOG 5 Izrčunj sii 1 in tko, d se čjn mizic dimenzij 70/70 cm ne prevrne. Rešitev: 1 = = 6,67 kg NLOG 6 Izrčunj potreno dožino x, d se t pod pritiskom vetr ne prevrne. Tež te G je 1, kn. Upoštevj vrnostni fktor.0. Rešitev: rez upoštevnj vrnostneg fktorj: x min = 133,33 cm Z upoštevnjem vrnostneg fktorj: x min = 66,66 cm Si vetr se pretvori v koncentrirno sio V, ki deuje v težišču te, prvokotno n njeno rvnino. V = 0,8 kn. O upoštevnju vrnostneg fktorj se sio V pomnoži z,0 (V = 1,6 kn) 16

17 Prof. Dr. Vojko Kir Rekcije rvninskih konstrukcij Mtemtični modei in rvninsk ideizcij konstrukcije Z potree sttičneg rčun si dejnske tro-dimenzionne konstrukcije ponzorimo z enostvnejšimi kjer je to mogoče dvo-dimenzionnimi (rvninskimi modei). Sterov, gred, sten, pošč ipd. ne rišemo z dejnskimi deeinmi, temveč e črtno. Posmezne inije doimo tko, d povežemo težišč vseh prerezov z rvno inijo. Spodnj sik prikzuje most n dveh sterih, ki g je mogoče dokj ntnčno ponzoriti z rvninskim rčunskim modeom. Z močnejši temej n ojših teh hko predpostvimo vpeto podporo, medtem ko drugje predpostvimo, d so podpore nepomične vrtjive. Zrdi temperturnih spremem in krčenj ter širjenj mostu je oičjno vsj en podpor v vzdožni smeri sproščen (v nšem primeru podpor n evi strni). Rvninsk ideizcij je mogoč, ko je: ) konstrukcij simetričn n vzdožno rvnino, ) konstrukcij oremenjen v tej rvnini in c) konstrukcij podprt v tej rvnini. p H d Veik temej dor t Mjhen temej s t Površinsko otežo p (kn/m ) pomnožimo z vpivno širino in doimo inijsko otežo (kn/m). Konstrukcij im štiri podpore v rvnini, otež nnjo deuje tko, d se vsi premiki konstrukcije izvršijo e v tej rvnini. = p d D C V mnogih primerih očnih otež, ki povzročjo premike izven vzdožne rvnine, nesimetričnih vertiknih otež, ki povzročjo torzijo, nesimetričneg podpirnj ipd., rvninsk ideizcij ni mogoč. 17

18 Prof. Dr. Vojko Kir veter Ekscentričn vertikn otež Rčun rekcij nitično Gede n dne možnosti z opirnje konstrukcije v t izeremo vrste podpor: - vpet (3 rekcije), - vrtiv nepomičn (dve rekciji) i - vrtjiv pomičn (en rekcij hko v rzičnih smereh). Nsednji primer prikzuje rvninsko ideizcijo podporne poščdi z ntovrjnje dij. Konstrukcij je nepomično vrtjivo pritrjen n reg, n steer p je e poožen. Tkšno konstrukcijo hko ideizirmo kot sttično doočeno konstrukcijo s tremi neznnimi rekcijmi. Konstrukcije je otežen s koristno otežo k v poju dožine, stno težo in sio, ki predstvj udrec dje o pristnku (pod kotom α). Rekcije hko izrčunmo iz treh rvnotežnih pogojev. Pri rčunu ndomestimo zvezno otežo s koncentrirno sio, ki deuje v njenem težišču (pri enkomerni zvezni oteži je to kr v sredini). k α / H k α V V 18

19 Prof. Dr. Vojko Kir () V V H ()/ α cosα 0 cos = = = H H X 0 sin ) ( = = α V V Y k 0 ) ( sin ) ( = = V M k α Iz zgornjeg pogoj izrčunmo rekcijo V : V k ) ( sin ) ( = α Iz vsote vseh si v vertikni smeri Y hko s pomočjo znne V izrčunmo še rekcijo V : sinα ) ( = V V k Kontro: Izrčunne rekcije hko tudi preverimo z uporo eneg i več rvnotežnih pogojev, ki še niso ii uporjeni. N primer, izerimo si vsoto momentov vseh si n prijemišče sie : 0 ) ( ) ( ) ( = = V V M k Če st rekciji V in V prvino izrčunni, mor iti rezutt zgornje enče enk nič! S to kontroo ne moremo preveriti prvinost izrčunne rekcije H. Števični primer: =10 m, =5 m, k =50 kn/m, = 10 kn/m in =100 kn pod kotom α=30. Doimo: H =86,60 kn, V =5011,5075= 437,50 kn in V =6,50 kn. 19

20 Prof. Dr. Vojko Kir Pozor: Vse rekcije so pozitivneg predznk, kr pomeni, d deujejo v isti smeri v kteri so ie predpostvjene. V rvnini immo e tri rvnotežne pogoje, zto hko izrčunmo e rekcije konstrukcij, ki so podprte sttično doočeno, to je e s tremi neznnimi rekcijmi. V tem primeru je nosiec podprt z njmnjšim možnim števiom rekcij. Nekj tipičnih sttično doočenih nosicev je prikznih v ndjevnju. Prostoežeči nosiec rzpon oremenjen z zvezno otežo i koncentrirno sio. H V V H V / V Konzoni nosiec previs oremenjen z zvezno otežo i koncentrirno sio. M H V H V M Okvirn konstrukcij rzpon in višine h oremenjen z zvezno otežo i koncentrirnim sim. Vozišči in st čenksti podpori, vozišči C in D p prosti, pri čemer je steer v gredo vpet! H C V Vpeti (npr. vrjeni stik) V D C h H V / Vpeti (npr. vrjeni stik) V D 0

21 Prof. Dr. Vojko Kir VJE UPOR RVNOTEŽNIH POGOJEV Z RČUN REKCIJ : NLOG 1 Izrčunj rekcije ( V in V ) z podno konstrukcijo. V = 10 kn V = 0 kn NLOG Izrčunj rekcije ( V in V ) z podno konstrukcijo. V = 80 kn V = 80 kn NLOG 3 Izrčunj rekcije ( V in V ) z podno konstrukcijo. V = - 60 kn V = 180 kn NLOG 4 Izrčunj rekcije ( V in V ) z podno konstrukcijo. V = 350 kn V = 550 kn 1

22 Prof. Dr. Vojko Kir NLOG 5 Izrčunj rekcije z spodnje primere, če je =10 kn/m, =50 kn in =10 m (Opom: pri nekterih primerih je mogoče rekcije doočiti n pmet rez rčunnj). H V V H V / V H V / V V = 50 kn, V = 50 kn, H = 0 kn V = 5 kn, V = 5 kn, H = 0 kn V = 37,5 kn, V = 1,5 kn, H = 0 kn H V /4 V M H V H V M V = 37,5 kn, V = 1,5 kn, H = 0 kn V = 100 kn, H = 0 kn, M = 500 knm V = 50 kn, H = 0 kn, M = 500 knm NLOG 6 Izrčunj rekcije z prostoežeči nosiec n desni strni, če je 1 = = 3 =50 kn in = m, = 6m, c= m in d=4 m. H 1 3 V c d V V = 78,57 kn V = 71,43 kn H = 0 kn

B) VEKTORSKI PRODUKT 1. 1) Pravilo desnega vijaka

B) VEKTORSKI PRODUKT 1. 1) Pravilo desnega vijaka B) VEKTORSKI PRODUKT 1 1) Prvilo desneg vijk Vsi smo že videli vijk, nekteri kkšneg privili, tisti, ki teg še niste storili, p prosite kog, ki se n vijke spozn, d vm pokže privijnje vijk. Večin vijkov

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1

Matematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1 Mtemtik 1 Gregor Dolinr Fkultet z elektrotehniko Univerz v Ljubljni 2. jnur 2014 Gregor Dolinr Mtemtik 1 Izrek (Izrek o povprečni vrednosti) Nj bo m ntnčn spodnj mej in M ntnčn zgornj mej integrbilne funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Diferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci

Diferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci Linearna diferencialna enačba reda Diferencialna enačba v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci d f + p= se imenuje linearna diferencialna enačba V primeru ko je f 0 se zgornja

Διαβάστε περισσότερα

Tretja vaja iz matematike 1

Tretja vaja iz matematike 1 Tretja vaja iz matematike Andrej Perne Ljubljana, 00/07 kompleksna števila Polarni zapis kompleksnega števila z = x + iy): z = rcos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ Opomba: Velja Eulerjeva formula: e iϕ = cos ϕ +

Διαβάστε περισσότερα

SATCITANANDA. F = e E sila na naboj. = ΔW e. Rudolf Kladnik: Fizika za srednješolce 3. Svet elektronov in atomov

SATCITANANDA. F = e E sila na naboj. = ΔW e. Rudolf Kladnik: Fizika za srednješolce 3. Svet elektronov in atomov Ruolf Klnik: Fizik z srenješolce Set elektrono in too Električno olje (11), gibnje elce električne olju Strn 55, nlog 1 Kolikšno netost or releteti elektron, se njego kinetičn energij oeč z 1 kev? Δ W

Διαβάστε περισσότερα

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 5. december 2013 Primer Odvajajmo funkcijo f(x) = x x. Diferencial funkcije Spomnimo se, da je funkcija f odvedljiva v točki

Διαβάστε περισσότερα

DOMAČA NALOGA pri predmetu Statika in Kinematika

DOMAČA NALOGA pri predmetu Statika in Kinematika kultet z strojništvo Univerz v Ljubljni STTIK I KIETIK DOČ LOG ri redmetu Sttik in Kinemtik Domč nlog zjem vje iz odročij: osnove vektorskeg rčun, obremenitve, rekcije in odore konstrukcij Študent: Boštjn

Διαβάστε περισσότερα

Funkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2

Funkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2 Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 2. april 2014 Funkcijske vrste Spomnimo se, kaj je to številska vrsta. Dano imamo neko zaporedje realnih števil a 1, a 2, a

Διαβάστε περισσότερα

Univerza v Ljubljani FS & FKKT. Varnost v strojništvu

Univerza v Ljubljani FS & FKKT. Varnost v strojništvu Univerza v Ljubljani FS & FKKT Varnost v strojništvu doc.dr. Boris Jerman, univ.dipl.inž.str. Govorilne ure: med šolskim letom: objavljeno na vratih in na internetu pisarna: FS - 414 telefon: 01/4771-414

Διαβάστε περισσότερα

ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА

ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА empertur sežeg beton menj se tokom remen i zisi od ećeg broj utijnih prmetr: Početne temperture mešine (n izsku iz mešie), emperture sredine, opote hidrtije ement, Rzmene topote

Διαβάστε περισσότερα

Olga Arnuš Mirjam Bon Klanjšček Bojana Dvoržak Darjo Felda Sonja France Mateja Škrlec MATEMATIKA 2

Olga Arnuš Mirjam Bon Klanjšček Bojana Dvoržak Darjo Felda Sonja France Mateja Škrlec MATEMATIKA 2 Olg rnuš Mirjm on Klnjšček ojn voržk rjo Feld Sonj Frnce Mtej Škrlec MTEMTIK Z i r k n l o g z g i m n z i j e Zirko nlog so npisli Olg rnuš, prof., mg. Mirjm on Klnjšček, ojn voržk, prof., mg. rjo Feld,

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 14. november 2013 Kvadratni koren polinoma Funkcijo oblike f(x) = p(x), kjer je p polinom, imenujemo kvadratni koren polinoma

Διαβάστε περισσότερα

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 22. oktober 2013 Kdaj je zaporedje {a n } konvergentno, smo definirali s pomočjo limite zaporedja. Večkrat pa je dobro vedeti,

Διαβάστε περισσότερα

IZPIT IZ ANALIZE II Maribor,

IZPIT IZ ANALIZE II Maribor, Maribor, 05. 02. 200. (a) Naj bo f : [0, 2] R odvedljiva funkcija z lastnostjo f() = f(2). Dokaži, da obstaja tak c (0, ), da je f (c) = 2f (2c). (b) Naj bo f(x) = 3x 3 4x 2 + 2x +. Poišči tak c (0, ),

Διαβάστε περισσότερα

1 Ponovitev matematike za kemijske inženirje

1 Ponovitev matematike za kemijske inženirje 1 Ponovitev mtemtike z kemijske inženirje 1.1 Vektorji Vektor v 3-rzsežnem prostoru lhko npišemo kot trojico števil: = 1,, 3. Števil 1,, 3 po vrsti oznčujejo komponente vektorj v, y in z smeri krtezičneg

Διαβάστε περισσότερα

Rješenje: F u =221,9 N; A x = F u =221,9 N; A y =226,2 N.

Rješenje: F u =221,9 N; A x = F u =221,9 N; A y =226,2 N. Osnove strojrstv Prvilo izolcije i uvjeti rvnoteže Prijeri z sostlno rješvnje 1. Gred se, duljine uležišten je u točki i obješen je n svoje krju o horizontlno uže. Izrčunjte horizontlnu i vertiklnu koponentu

Διαβάστε περισσότερα

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena

Διαβάστε περισσότερα

Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev

Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev KOM L: - Komnikacijska elektronika Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev. Določite izraz za kolektorski tok in napetost napajalnega vezja z enim virom in napetostnim delilnikom na vhod.

Διαβάστε περισσότερα

matrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):

matrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij): 4 vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 matrike Matrika dimenzije m n je pravokotna tabela m n števil, ki ima m vrstic in n stolpcev: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n

Διαβάστε περισσότερα

SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK

SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK SKUPNE PORAZDELITVE SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK Kovaec vržemo trikrat. Z ozačimo število grbov ri rvem metu ( ali ), z Y a skuo število grbov (,, ali 3). Kako sta sremelivki i Y odvisi

Διαβάστε περισσότερα

II. ŠTEVILSKE IN FUNKCIJSKE VRSTE

II. ŠTEVILSKE IN FUNKCIJSKE VRSTE II. ŠTEVILSKE IN FUNKCIJSKE VRSTE. Številske vrste Poleg zporedij relnih števil lhko o konvergenci govorimo tudi pri t.i. številskih vrsth. Formlno gledno je številsk vrst neskončn vsot relnih števil;

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVE STATIČNE VARNOSTI IN STABILNOSTI KONSTRUKCIJ

OSNOVE STATIČNE VARNOSTI IN STABILNOSTI KONSTRUKCIJ 7. Posvet Sekcije za gradbeništvo in koordinatorje VZD Celje 23.11.2007 OSNOVE STTIČNE VRNOSTI IN STILNOSTI KONSTRUKCIJ Prof. Dr. Vojko KILR Fakulteta za arhitekturo Ljubljana VSEIN VSEIN...2 1. KONSTRUKCIJE

Διαβάστε περισσότερα

KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK

KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK 1 / 24 KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK Štefko Miklavič Univerza na Primorskem MARS, Avgust 2008 Phoenix 2 / 24 Phoenix 3 / 24 Phoenix 4 / 24 Črtna koda 5 / 24 Črtna koda - kontrolni bit 6 / 24

Διαβάστε περισσότερα

GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo

GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zdci II deo U sledećim zdcim ćemo korisii poznu grničnu vrednos: li i mnje vrijcije n i 0 n ( Zdci: ) Odredii sledeće grnične vrednosi: Rešenj: 4 ; 0 g ; 0 cos v) ; g) ; 4 ;

Διαβάστε περισσότερα

TRDNOST (VSŠ) - 1. KOLOKVIJ ( )

TRDNOST (VSŠ) - 1. KOLOKVIJ ( ) TRDNOST (VSŠ) - 1. KOLOKVIJ (17. 12. 03) Pazljivo preberite besedilo vsake naloge! Naloge so točkovane enakovredno (vsaka 25%)! Pišite čitljivo! Uspešno reševanje! 1. Deformiranje telesa je podano s poljem

Διαβάστε περισσότερα

Kotni funkciji sinus in kosinus

Kotni funkciji sinus in kosinus Kotni funkciji sinus in kosinus Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z oznako cos x, DEFINICIJA V PRAVOKOTNEM TRIKOTNIKU: Kotna funkcija sinus je definirana kot razmerje

Διαβάστε περισσότερα

Gimnazija Krˇsko. vektorji - naloge

Gimnazija Krˇsko. vektorji - naloge Vektorji Naloge 1. V koordinatnem sistemu so podane točke A(3, 4), B(0, 2), C( 3, 2). a) Izračunaj dolžino krajevnega vektorja točke A. (2) b) Izračunaj kot med vektorjema r A in r C. (4) c) Izrazi vektor

Διαβάστε περισσότερα

( ) p a. poklopac. Rješenje:

( ) p a. poklopac. Rješenje: 5 VJEŽB - RIJEŠENI ZDI IZ MENIKE LUID 1 1 Treb odrediti silu koj drži u rvnoteži poklopc B jedinične širine, zlobno vezn u točki, u položju prem slici Zdno je : =0,84 m; =0,65 m; =5,5 cm; =999 k/m B p

Διαβάστε περισσότερα

Na pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12

Na pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12 Predizpit, Proseminar A, 15.10.2015 1. Točki A(1, 2) in B(2, b) ležita na paraboli y = ax 2. Točka H leži na y osi in BH je pravokotna na y os. Točka C H leži na nosilki BH tako, da je HB = BC. Parabola

Διαβάστε περισσότερα

*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center

*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center Državni izpitni center *M40* Osnovna in višja raven MATEMATIKA SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Sobota, 4. junij 0 SPLOŠNA MATURA RIC 0 M-40-- IZPITNA POLA OSNOVNA IN VIŠJA RAVEN 0. Skupaj:

Διαβάστε περισσότερα

VEKTORJI. Operacije z vektorji

VEKTORJI. Operacije z vektorji VEKTORJI Vektorji so matematični objekti, s katerimi opisujemo določene fizikalne količine. V tisku jih označujemo s krepko natisnjenimi črkami (npr. a), pri pisanju pa s puščico ( a). Fizikalne količine,

Διαβάστε περισσότερα

Naloge iz vaj: Sistem togih teles C 2 C 1 F A 1 B 1. Slika 1: Sile na levi in desni lok.

Naloge iz vaj: Sistem togih teles C 2 C 1 F A 1 B 1. Slika 1: Sile na levi in desni lok. 1 Rešene naloge Naloge iz vaj: Sistem togih teles 1. Tročleni lok s polmerom R sestavljen iz lokov in je obremenjen tako kot kaže skica. Določi sile podpor. Rešitev: Lok razdelimo na dva loka, glej skico.

Διαβάστε περισσότερα

ARHITEKTURA DETAJL 1, 1:10

ARHITEKTURA DETAJL 1, 1:10 0.15 0.25 3.56 0.02 0.10 0.12 0.10 SESTV S2 polimer-bitumenska,dvoslojna(po),... 1.0 cm po zahtevah SIST DIN 52133 in nadstandardno, (glej opis v tehn.poročilu), npr.: PHOENIX STR/Super 5 M * GEMINI P

Διαβάστε περισσότερα

Kotne in krožne funkcije

Kotne in krožne funkcije Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku Avtor: Rok Kralj, 4.a Gimnazija Vič, 009/10 β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete

Διαβάστε περισσότερα

Dani vektor lahko ponazorimo z usmerjeno daljico, ki se začne v poljubni točki - pravimo tudi, da vektor vzporedno premaknemo v dano začetno točko.

Dani vektor lahko ponazorimo z usmerjeno daljico, ki se začne v poljubni točki - pravimo tudi, da vektor vzporedno premaknemo v dano začetno točko. Vektoji Usejen dlji ozio oientin dlji je dlji ki ji piedio useitev oientijo. To nedio tko d se odločio kteo od kjišč je zčetn točk in kteo končn točk te dljie. Usejeno dljio z zčetno točko A in končno

Διαβάστε περισσότερα

Metode rješavanja izmjeničnih krugova

Metode rješavanja izmjeničnih krugova Strnic: V - u,i u(t) i(t) etode rešvn izmeničnih kruov uf(t) konst if(t)konst etod konturnih stru etod npon čvorov hevenin-ov teorem Norton-ov teorem illmn-ov teorem etod superpozicie t Strnic: V - zdtk

Διαβάστε περισσότερα

POROČILO. št.: P 1100/ Preskus jeklenih profilov za spuščen strop po točki 5.2 standarda SIST EN 13964:2004

POROČILO. št.: P 1100/ Preskus jeklenih profilov za spuščen strop po točki 5.2 standarda SIST EN 13964:2004 Oddelek za konstrkcije Laboratorij za konstrkcije Ljbljana, 12.11.2012 POROČILO št.: P 1100/12 680 01 Presks jeklenih profilov za spščen strop po točki 5.2 standarda SIST EN 13964:2004 Naročnik: STEEL

Διαβάστε περισσότερα

1. Trikotniki hitrosti

1. Trikotniki hitrosti . Trikotniki hitrosti. Z radialno črpalko želimo črpati vodo pri pogojih okolice z nazivnim pretokom 0 m 3 /h. Notranji premer rotorja je 4 cm, zunanji premer 8 cm, širina rotorja pa je,5 cm. Frekvenca

Διαβάστε περισσότερα

Numerično reševanje. diferencialnih enačb II

Numerično reševanje. diferencialnih enačb II Numerčno reševanje dferencaln enačb I Dferencalne enačbe al ssteme dferencaln enačb rešujemo numerčno z več razlogov:. Ne znamo j rešt analtčno.. Posamezn del dferencalne enačbe podan tabelarčno. 3. Podatke

Διαβάστε περισσότερα

4. Trigonometrija pravokutnog trokuta

4. Trigonometrija pravokutnog trokuta 4. Trigonometrij prvokutnog trokut po školskoj ziri od Dkić-Elezović 4. Trigonometrij prvokutnog trokut Formule koje koristimo u rješvnju zdtk: sin os tg tg ktet nsuprot kut hipotenuz ktet uz kut hipotenuz

Διαβάστε περισσότερα

Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5

Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5 Rijeseni neki zdci iz poglvlj 4.5 Prije rijesvnj zdtk prisjetimo se itnih stvri koje ce ns prtiti tijekom njihovog promtrnj. Definicij: (Trigonometrij prvokutnog trokut) ktet nsuprot kut ϕ sin ϕ hipotenuz

Διαβάστε περισσότερα

Uvod v fiziko. z rešenimi problemi za študente tehniških smeri

Uvod v fiziko. z rešenimi problemi za študente tehniških smeri MARKO PINTERIĆ Uvod v fiziko z rešenimi probemi za študente tehniških smeri y x F = m a Mutationem motus proportionaem esse vi motrici impressae, et fieri secundum ineam rectam qua vis ia imprimitur. ii

Διαβάστε περισσότερα

Matematika I. NTF Načrtovanje tekstilij in oblačil Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 2006/07

Matematika I. NTF Načrtovanje tekstilij in oblačil Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 2006/07 Mtemtik I Mtjž Željko NTF Nčrtovnje tekstilij in oblčil Zpiski ob predvnjih v šolskem letu 006/07 Izpis: mrec 009 Kzlo Množice in števil 4 Množice 4 Reln števil 8 3 Podmnožice relnih števil 0 4 Kompleksn

Διαβάστε περισσότερα

c = α a + β b, [sustav rješavamo metodom suprotnih koeficijenata]

c = α a + β b, [sustav rješavamo metodom suprotnih koeficijenata] Zdtk (Tihomir, tehničk škol) c = 8 i. Rješenje Prikži vektor c ko linernu kombinciju vektor i b ko je = i + 3 j, b = 4 i 3 j, Nek su i b vektori i α, β relni brojevi. Vektor c = α + β b nzivmo linernom

Διαβάστε περισσότερα

UVOD : RAZVOJ SKOZI ZGODOVINO :

UVOD : RAZVOJ SKOZI ZGODOVINO : SEMINARSKA NALOGA IZ IZIKE S T A T I K A UVOD : Statika je e de t.im. Newtonove fizike, ki je pa zaradi razširjenosti in spošne uporabe v nekaterih tehničnih strokah obravnavana očeno. Tudi sama statika

Διαβάστε περισσότερα

p 1 ENTROPIJSKI ZAKON

p 1 ENTROPIJSKI ZAKON ENROPIJSKI ZAKON REERZIBILNA srememba: moža je obrjea srememba reko eakih vmesih staj kot rvota srememba. Po obeh sremembah e sme biti obeih trajih srememb v bližji i dalji okolici. IREERZIBILNA srememba:

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza Mte Vijug: Rijesei zdci iz mtemtike z sredju skolu. ARITMETICKI I GEOMETRIJKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. Aritmeticki iz Opci oblik ritmetickog iz: + - d Gdje je: prvi cl ritmetickog iz ti cl ritmetickog

Διαβάστε περισσότερα

VALJAK. Valjak je geometrijsko telo ograničeno sa dva kruga u paralelnim ravnima i delom cilindrične površi čije su

VALJAK. Valjak je geometrijsko telo ograničeno sa dva kruga u paralelnim ravnima i delom cilindrične površi čije su ALJAK ljk je geometijsko telo ogničeno s dv kug u plelnim vnim i delom ilindične povši čije su izvodnie nomlne n vn ti kugov. Os vljk je pv koj polzi koz ente z. Nvno ko i do sd oznke su: - je povšin vljk

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije več spremenljivk

Funkcije več spremenljivk DODATEK C Funkcije več spremenljivk C.1. Osnovni pojmi Funkcija n spremenljivk je predpis: f : D f R, (x 1, x 2,..., x n ) u = f (x 1, x 2,..., x n ) kjer D f R n imenujemo definicijsko območje funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Integralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d)

Integralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d) Integralni račun Nedoločeni integral in integracijske metrode. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: d 3 +3+ 2 d, (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) + 3 4d, 3 +e +3d, 2 +4+4 d, 3 2 2 + 4 d, d, 6 2 +4 d, 2

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu.

Kontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu. Kontrolne karte KONTROLNE KARTE Kontrolne karte uporablamo za sprotno spremlane kakovosti izdelka, ki ga izdeluemo v proizvodnem procesu. Izvaamo stalno vzorčene izdelkov, npr. vsako uro, vsake 4 ure.

Διαβάστε περισσότερα

7. VAJA IZ MEHANIKE TRDNIH TELES. (tenzor deformacij II) (tenzor majhnih deformacij in rotacij, kompatibilitetni pogoji)

7. VAJA IZ MEHANIKE TRDNIH TELES. (tenzor deformacij II) (tenzor majhnih deformacij in rotacij, kompatibilitetni pogoji) 7. VAJA IZ MEHANIKE TRDNIH TELES (tenzor deformacij II) (tenzor majhnih deformacij in rotacij, kompatibilitetni pogoji) NALOGA 1: Pomik deformabilnega telesa je glede na kartezijski koordinatni sistem

Διαβάστε περισσότερα

POROČILO 3.VAJA DOLOČANJE REZULTANTE SIL

POROČILO 3.VAJA DOLOČANJE REZULTANTE SIL POROČILO 3.VAJA DOLOČANJE REZULTANTE SIL Izdba aje: Ljubjana, 11. 1. 007, 10.00 Jan OMAHNE, 1.M Namen: 1.Preeri paraeogramsko praio za doočanje rezutante nezporedni si s skupnim prijemaiščem (grafično)..dooči

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 4 Zapiski s predavanj prof. Petra Legiše

Matematika 4 Zapiski s predavanj prof. Petra Legiše Mtemtik 4 Zpiski s predvnj prof. Petr Legiše Mih Čnčul 9. julij Kzlo Vricijski rčun 3. Osnovni vricijski problem............................. 3. Prmetričn rešitev................................. 6.3 Višji

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta

Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta Mtemtik Gbrijel Tomšič Bojn Orel Než Mrmor Kost. pril 008 50 Poglvje 5 Integrl 5. Nedoločeni in določeni integrl Nedoločeni integrl V poglvju o odvjnju funkcij smo se nučili dni funkciji f poiskti njen

Διαβάστε περισσότερα

SLIČNOST TROUGLOVA. kažemo da su slične ( sa koeficijentom sličnosti k ) ako postoji transformacija sličnosti koja figuru F prevodi u figuru F

SLIČNOST TROUGLOVA. kažemo da su slične ( sa koeficijentom sličnosti k ) ako postoji transformacija sličnosti koja figuru F prevodi u figuru F SLIČNOST TROUGLOV Z dve figure F i F kžemo d su slične ( s koefiijentom sličnosti k ) ko postoji trnsformij sličnosti koj figuru F prevodi u figuru F. Činjeniu d su dve figure slične obeležvmo s F F. Sličnost

Διαβάστε περισσότερα

Državni izpitni center SPOMLADANSKI IZPITNI ROK *M * NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sreda, 3. junij 2015 SPLOŠNA MATURA

Državni izpitni center SPOMLADANSKI IZPITNI ROK *M * NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sreda, 3. junij 2015 SPLOŠNA MATURA Državni izpitni center *M15143113* SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Sreda, 3. junij 2015 SPLOŠNA MATURA RIC 2015 M151-431-1-3 2 IZPITNA POLA 1 Naloga Odgovor Naloga Odgovor Naloga Odgovor

Διαβάστε περισσότερα

LESARSKA ŠOLA MARIBOR M A T E M A T I K A USTNA VPRAŠANJA S PRIMERI ZA POKLICNO MATURO 2009/2010

LESARSKA ŠOLA MARIBOR M A T E M A T I K A USTNA VPRAŠANJA S PRIMERI ZA POKLICNO MATURO 2009/2010 M A T E M A T I K A USTNA VPRAŠANJA S PRIMERI ZA POKLICNO MATURO 009/00 NARAVNA ŠTEVILA. Kter števil imenujemo nrvn števil? Nštejte osnovne rčunske opercije, ki so definirne v množici nrvnih števil in

Διαβάστε περισσότερα

FKKT Matematika 2. shxdx = chx+c. chxdx = shx+c. tanxdx = ln cosx +C. cotxdx = ln sinx +C. sin 2 x = cotx+c. cos 2 x = tanx+c. = 1 2 2a ln a+x a x

FKKT Matematika 2. shxdx = chx+c. chxdx = shx+c. tanxdx = ln cosx +C. cotxdx = ln sinx +C. sin 2 x = cotx+c. cos 2 x = tanx+c. = 1 2 2a ln a+x a x FKKT Mtemtik Integrlni rčun Nedoločeni integrl Definicij. Nj bo dn funkcij f : D R R. Funkcij F, z ktero v vski točki iz x D velj F (x) = f(x) se imenuje nedoločeni integrl funkcije f. f(x). Izrek. Če

Διαβάστε περισσότερα

KUPA I ZARUBLJENA KUPA

KUPA I ZARUBLJENA KUPA KUPA I ZAUBLJENA KUPA KUPA Povšin bze B Povšin omotč M P BM to jet P B to jet S O o kupe Oni peek Obim onog peek O op Povšin onog peek P op Pimen pitgoine teoeme vnotn jednkotn kup je on kod koje je, p

Διαβάστε περισσότερα

FURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II

FURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II FURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II deo Primer. Fukciju f ( = rzviti u Furijeov red segmetu [,] ztim izrčuti sumu red. ( Rešeje: Kko je f ( = = = f ( zkjučujemo d je fukcij pr. Koristimo formue: = f ( = + ( cos

Διαβάστε περισσότερα

Univerza v Ljubljani FS & FKKT. Varnost v strojništvu

Univerza v Ljubljani FS & FKKT. Varnost v strojništvu Univerza v Ljubljani FS & FKKT Varnost v strojništvu doc.dr. Boris Jerman, univ.dipl.inž.str. Govorilne ure: med šolskim letom: srede med 9:00 in 11:30 pisarna: FS - 414 telefon: 01/4771-414 boris.jerman@fs.uni-lj.si,

Διαβάστε περισσότερα

POGLAVJE 7. Nedoločeni integral. 1. Definicija, enoličnost, obstoj

POGLAVJE 7. Nedoločeni integral. 1. Definicija, enoličnost, obstoj Del 3 Integrli POGLAVJE 7 Nedoločeni integrl. Definicij, enoličnost, obstoj Prvimo, d je funkcij F (x) nedoločeni integrl funkcije f(x) (in pišemo F (x) = f(x) dx), če velj F (x) = f(x) z vsk x D(f).

Διαβάστε περισσότερα

ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s

ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s P P P P ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s r t r 3 2 r r r 3 t r ér t r s s r t s r s r s ér t r r t t q s t s sã s s s ér t

Διαβάστε περισσότερα

Definicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1

Definicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1 Funkcije več realnih spremenljivk Osnovne definicije Limita in zveznost funkcije več spremenljivk Parcialni odvodi funkcije več spremenljivk Gradient in odvod funkcije več spremenljivk v dani smeri Parcialni

Διαβάστε περισσότερα

Općenito, iznos normalne deformacije u smjeru normale n dan je izrazom:

Općenito, iznos normalne deformacije u smjeru normale n dan je izrazom: Otporost mterijl. Zdtk ZDTK: U točki čeliče kostrukije postvlje su tri osjetil z mjereje deformij prem slii. ri opterećeju kostrukije izmjeree su reltive ormle (dužiske deformije: b ( - b 3 - -6 - ( b

Διαβάστε περισσότερα

= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi

= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi Zdtk 0 (Anstzij, gimnzij) Provjeri je li funkcij f log( 5) + + injekcij Rješenje 0 Kžemo d funkcij f im svojstvo injektivnosti ili d je on injekcij ko vrijedi f ( ) f ( ) Dkle, funkcij je injekcij ko rzličitim

Διαβάστε περισσότερα

2.6 Nepravi integrali

2.6 Nepravi integrali 66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA III Zapiski za ustni izpit

MATEMATIKA III Zapiski za ustni izpit MATEMATIKA III Zpiski z ustni izpit 2 UNI Šolsko leto 2011/2012 Izvjlec Gregor olinr Avtor dokument Jernej Podlipnik mjn Sirnik UREJANJE OKUMENTA VERZIJA 01.01 ATUM 12.02.2012 OPOMBE Priprv n ustni izpit

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 2. Diferencialne enačbe drugega reda

Matematika 2. Diferencialne enačbe drugega reda Matematika 2 Diferencialne enačbe drugega reda (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) y 6y + 8y = 0, (b) y 2y + y = 0, (c) y + y = 0, (d) y + 2y + 2y = 0. Rešitev:

Διαβάστε περισσότερα

Skrivnosti πtevil in oblik 9 PriroËnik. za 9. razred osnovne πole

Skrivnosti πtevil in oblik 9 PriroËnik. za 9. razred osnovne πole Skrivnosti πtevil in oblik 9 PriroËnik z 9. rzred osnovne πole Jože Berk Jn Drksler Mrjn RobiË Skrivnosti πtevil in oblik 9 PriroËnik z 9. rzred osnovne πole Avtorji: Jože Berk, Jn Drksler in Mrjn RobiË

Διαβάστε περισσότερα

Odredjeni integral je granicna vrijednost sume beskonacnog broja clanova a svaki clan tezi k nuli i oznacava se sa : f x dx f x f x f x f x b a f

Odredjeni integral je granicna vrijednost sume beskonacnog broja clanova a svaki clan tezi k nuli i oznacava se sa : f x dx f x f x f x f x b a f Mte ijug: Rijeseni zdci iz vise mtemtike 8. ODREDJENI INTEGRALI 8. Opcenito o odredjenom integrlu Odredjeni integrl je grnicn vrijednost sume eskoncnog roj clnov svki cln tezi k nuli i ozncv se s : n n

Διαβάστε περισσότερα

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11.

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11. Dijagrami:. Udužnih sia N Greda i konoa. Popre nih sia TZ 3. Momenata savijanja My. dio Prosta greda. Optere ena koncentriranom siom F I. Reaktivne sie:. M A = 0 R B F a = 0. M B = 0 R A F b = 0 3. F =

Διαβάστε περισσότερα

Dolžina (= velikost, = absolutna vrednost, = norma) vektorja je dolžina daljice, ki predstavlja vektor, t.j.:

Dolžina (= velikost, = absolutna vrednost, = norma) vektorja je dolžina daljice, ki predstavlja vektor, t.j.: vektorji ) OSNOVNE DEFINIIJE Krjišči dljie, npr, st enkovredni. Tudi, če i zpisli i vedeli, d govorio o isti dljii. Če p krjišče do rzlični vlogi, eneu reio zčetek, drugeu p kone, doio nov geoetrijski

Διαβάστε περισσότερα

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 15. oktober 2013 Oglejmo si, kako množimo dve kompleksni števili, dani v polarni obliki. Naj bo z 1 = r 1 (cosϕ 1 +isinϕ 1 )

Διαβάστε περισσότερα

3. VAJA IZ TRDNOSTI. Rešitev: Pomik v referenčnem opisu: u = e y 2 e Pomik v prostorskem opisu: u = ey e. e y,e z = e z.

3. VAJA IZ TRDNOSTI. Rešitev: Pomik v referenčnem opisu: u = e y 2 e Pomik v prostorskem opisu: u = ey e. e y,e z = e z. 3. VAJA IZ TRDNOSTI (tenzor deformacij) (pomiki togega telesa, Lagrangev in Eulerjev opis, tenzor velikih deformacij, tenzor majhnih deformacij in rotacij, kompatibilitetni pogoji) NALOGA 1: Gumijasti

Διαβάστε περισσότερα

Analiza I. Josip Globevnik Miha Brojan

Analiza I. Josip Globevnik Miha Brojan Anliz I Josip Globevnik Mih Brojn 27. pril 2012 2 Predgovor Pred vmi je prv verzij skript z predmet Anliz 1, nmenjenih študentom univerzitetneg študij mtemtike n Univerzi v Ljubljni. Upv, d bodo skript

Διαβάστε περισσότερα

Booleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke

Booleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke Izjave in Booleove spremenljivke vsako izjavo obravnavamo kot spremenljivko če je izjava resnična (pravilna), ima ta spremenljivka vrednost 1, če je neresnična (nepravilna), pa vrednost 0 pravimo, da gre

Διαβάστε περισσότερα

4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i

4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine

Διαβάστε περισσότερα

diferencialne enačbe - nadaljevanje

diferencialne enačbe - nadaljevanje 12. vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 diferencialne enačbe - nadaljevanje Ortogonalne trajektorije Dana je 1-parametrična družina krivulj F(x, y, C) = 0. Ortogonalne

Διαβάστε περισσότερα

Slika 5: Sile na svetilko, ki je obešena na žici.

Slika 5: Sile na svetilko, ki je obešena na žici. 4. poglavje: Sile 5. Cestna svetilka visi na sredi 10 m dolge žice, ki je napeta čez cesto. Zaradi teže svetilke (30 N) se žica za toliko povesi, da pride sredina za 30 cm niže kot oba konca. Kako močno

Διαβάστε περισσότερα

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor I. VEKTORI d. sc. Min Rodić Lipnović 009./010. 1 Pojm vekto A B dužin A B usmjeen (oijentin) dužin (n se koj je točk početn, koj kjnj) A B vekto - kls ( skup ) usmjeenih dužin C D E F AB je epeentnt vekto

Διαβάστε περισσότερα

8. Diskretni LTI sistemi

8. Diskretni LTI sistemi 8. Diskreti LI sistemi. Naloga Določite odziv diskretega LI sistema s podaim odzivom a eoti impulz, a podai vhodi sigal. h[] x[] - - 5 6 7 - - 5 6 7 LI sistem se a vsak eoti impulz δ[] a vhodu odzove z

Διαβάστε περισσότερα

Glavni sistem:obremenjen s prvotno obtežbo: P. δ 10. 3 Pomik δ 10 :δ 10 = P (2L ) Reakciji pri levi in desni podpori: ΣV=0

Glavni sistem:obremenjen s prvotno obtežbo: P. δ 10. 3 Pomik δ 10 :δ 10 = P (2L ) Reakciji pri levi in desni podpori: ΣV=0 OGM Metoda sil. METODA SIL. OIS METODE Metoda sil se uporablja za račun statično nedoločenih konstrukcij. V njej kot neznanke nastopajo sile. Namenjena je predvsem ročnemu računanju konstrukcij, ki so

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

III. ODVODI FUNKCIJ ENE REALNE SPREMENLJIVKE

III. ODVODI FUNKCIJ ENE REALNE SPREMENLJIVKE III. ODVODI FUNKCIJ ENE REALNE SPREMENLJIVKE 1. Odvjnje funkcij ene spremenljivke Odvjnje je en njpomembnejši opercij n funkcij. Z uporbo odvod, kdr le-t obstj, lko veliko bolje spoznmo vedenje funkcje

Διαβάστε περισσότερα

F(x) = f(x) dx. Nedoločenega integrala velikokrat ne moremo zapisati kot kombinacijo elementarnih funkcij, kot na primer integrale sin x

F(x) = f(x) dx. Nedoločenega integrala velikokrat ne moremo zapisati kot kombinacijo elementarnih funkcij, kot na primer integrale sin x Poglvje 5 Numeričn integrcij 5.1 Uvod Pojm odvod in določeneg integrl smo že srečli pri mtemtiki. Vemo, d je odvjnje rzmerom enostvn opercij in d lko vski funkciji, ki jo lko zpišemo kot kombincijo elementrni

Διαβάστε περισσότερα

A MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1

A MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1 A MATEMATIKA (.5.., treći kolokvij). Zdn je z 3 + os. () Izrčunjte ngib plohe u pozitivnom smjeru -osi. (b) Izrčunjte ngib pod ) u točki T(, ). () Izrčunjte z u T(, ). (5 bodov). Zdn je z 3 ln. () Izrčunjte

Διαβάστε περισσότερα

ČETVOROUGAO. β 1. β B. Četvorougao je konveksan ako duž koja spaja bilo koje dve tačke unutrašnje oblasti ostaje unutar četvorougla.

ČETVOROUGAO. β 1. β B. Četvorougao je konveksan ako duž koja spaja bilo koje dve tačke unutrašnje oblasti ostaje unutar četvorougla. Mnogougo oji im četii stnice nziv se četvoougo. ČETVOROUGAO D δ δ γ C A α β B β Z svi četvoougo vži im je zi unutšnji i spoljšnji uglov isti i iznosi 0 0 α β γ δ 0 0 α β γ δ 0 0 Njpe žemo četvoouglovi

Διαβάστε περισσότερα

Poglavje 7. Poglavje 7. Poglavje 7. Regulacijski sistemi. Regulacijski sistemi. Slika 7. 1: Normirana blokovna shema regulacije EM

Poglavje 7. Poglavje 7. Poglavje 7. Regulacijski sistemi. Regulacijski sistemi. Slika 7. 1: Normirana blokovna shema regulacije EM Slika 7. 1: Normirana blokovna shema regulacije EM Fakulteta za elektrotehniko 1 Slika 7. 2: Principielna shema regulacije AM v KSP Fakulteta za elektrotehniko 2 Slika 7. 3: Merjenje komponent fluksa s

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST

PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST 1. * 2. *Galvanski člen z napetostjo 1,5 V požene naboj 40 As. Koliko električnega dela opravi? 3. ** Na uporniku je padec napetosti 25 V. Upornik prejme 750 J dela v 5 minutah.

Διαβάστε περισσότερα

vezani ekstremi funkcij

vezani ekstremi funkcij 11. vaja iz Matematike 2 (UNI) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 ekstremi funkcij več spremenljivk nadaljevanje vezani ekstremi funkcij Dana je funkcija f(x, y). Zanimajo nas ekstremi nad

Διαβάστε περισσότερα

I. INTEGRIRANJE FUNKCIJ

I. INTEGRIRANJE FUNKCIJ I. INTEGRIRANJE FUNKCIJ. Nedoločeni integrl Poleg odvjnj funkij je z uporbo pomembno, d jih znmo tudi integrirti. Z integrlom rčunmo dolžine krivulj, površine krivočrtnih likov, prostornine teles omejenih

Διαβάστε περισσότερα

Το άτομο του Υδρογόνου

Το άτομο του Υδρογόνου Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες

Διαβάστε περισσότερα

1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja

1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja ZNAČILNOSTI FUNKCIJ ZNAČILNOSTI FUNKCIJE, KI SO RAZVIDNE IZ GRAFA. Deinicijsko območje, zaloga vrednosti. Naraščanje in padanje, ekstremi 3. Ukrivljenost 4. Trend na robu deinicijskega območja 5. Periodičnost

Διαβάστε περισσότερα

www.absolualarme.com met la disposition du public, via www.docalarme.com, de la documentation technique dont les rιfιrences, marques et logos, sont

www.absolualarme.com met la disposition du public, via www.docalarme.com, de la documentation technique dont les rιfιrences, marques et logos, sont w. ww lua so ab me lar m.co t me la sit po dis ion du c, bli pu via lar ca do w. ww me.co m, de la ion nta t do cu me on t ed hn iqu tec les en ce s, rι fιr ma rq ue se t lo go s, so nt la pr op riι tι

Διαβάστε περισσότερα

Državni izpitni center SPOMLADANSKI IZPITNI ROK *M * NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Petek, 12. junij 2015 SPLOŠNA MATURA

Državni izpitni center SPOMLADANSKI IZPITNI ROK *M * NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Petek, 12. junij 2015 SPLOŠNA MATURA Državni izpitni center *M543* SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Petek,. junij 05 SPLOŠNA MATURA RIC 05 M543 M543 3 IZPITNA POLA Naloga Odgovor Naloga Odgovor Naloga Odgovor Naloga Odgovor

Διαβάστε περισσότερα

Analitička geometrija i linearna algebra. Kartezijev trodimenzionalni pravokutni koordinatni sustav čine 3 međusobno okomite osi: Ox os apscisa,

Analitička geometrija i linearna algebra. Kartezijev trodimenzionalni pravokutni koordinatni sustav čine 3 međusobno okomite osi: Ox os apscisa, Alitičk geoetrij i lier lger Vektori KOORDINATNI SUSTAV Krteijev prvokuti koorditi sustv Krteijev trodieioli prvokuti koorditi sustv čie eđusoo okoite osi: O os pscis O os ordit O os plikt točk O ishodište

Διαβάστε περισσότερα