222 Επιλεγμένα Λυμένα Θέματα

Transcript

1 Ειλεγμέν Λυμέν Θέμτ Σώλος Γιάννης

2 . Αν η εξίσωση z i z i z 6 i έχει μι φντστική ρίζ ν ρεθούν οι ρίζες της. Έστω η φντστική ρίζ i με. Τότε i i i i i 6 i i i ii 6 i i i i 6 i i 6 i- i- -6-i 6 -i i 6I -i Γι δύντη η ορρίτετι - i- Γι - ισχύει η δεκτή Άρ η μί ρίζ ο i z i Τότε ε z i z z i z z i i i 5 i Έστω ότι ο yi μι τετργωνική ρίζ του 5 i y 5 Τότε yi 5 i y yi 5 i y 6 6 y δύντη, y 9, y άρ οι τετργωνικές ρίζες είνι ο i ή i i i ± i Τότε z, i i i, i, i άρ οι ρίζες { }. Ν λυθεί z z 5 i z Τότε ε z i z 5 i 5 i Έστω yi με yi 5 i... Οι τετργωνικές ρίζες i ή i i i i i ± i Τότε z, i i i z, w C Ειλεγμέν θέμτ Σώλος Γιάννης Σελίδ

3 .. Αν w, ει τότε ω IR z w Αν z,wεc με z w κι z w δείξτε ότι: R. z w. Θ δείξουμε ότι: λ IR, ω λi ω IR Πράγμτι: λ IR, ω λi ω λi ω λ i ω λ IR.. Σύμφων με το ερώτημ ρκεί ν δείξουμε ότι: z w z w z w z w z w I z w z w z w z w z w z w z w z w z w zz wz zw ww zz wz zw w w z w wz zw w z wz zw ου φνερά ισχύει κι εομένως:. Αν, w C ρίζες ργμτικές. z z z w w w wz zw wz zw IR. z, δείξτε ότι η εξίσωση: z [ w zw zw ] έχει Φνερά ρκεί ν δείξουμε ότι η δικρίνουσ της είνι μη ρνητική. Πράγμτι: 6 z 6[ w zw zw ] 6[ z w zw zw] 6 zz ww zw zw 6 z z w wz w [ ] 6z w z w 6z w z w 6 z w κι εομένως η έχει ργμτικές ρίζες. 5. Αν :C * C με z z κι arg z θ κ, κ Z ν ρεθεί το μέτρο του z Im z μιγδικού z, ότν: Είνι: z z συνθ iηµθ κι εομένως: z z συνθ iηµθ z συνθ iηµθ z συνθ iηµθ z συνθ iηµθ συνθ iηµθ z συνθ z z iηµθ z z Εειδή τώρ Im z, ό την ίρνουμε: θ κ z ηµθ z z z z κ Ζ z z [ συν θ iηµ θ ] Ειλεγμέν θέμτ Σώλος Γιάννης Σελίδ

4 * i 6. Γι οιο ελάχιστο ν N είνι ο IR i Θ γράψω τους μιγδικούς σε τριγωνομετρική μορφή. i,,, ρ συνϕ ηµϕ ρ ρ > > ϕ i συν i ηµ ν. i,, -, ρ συνϕ ηµϕ ρ ρ ϕ i συν i ηµ συν iηµ i Τότε z i συν iηµ 7 7 συν iηµ ν ν 7ν 7ν Ο z συν iηµ ν 7ν 7ν Εειδή z IR ηµ κ κ ν / κ Ζ 7 άρ ν συν iηµ 7. Ποιος ο μιγδικός z γι τον οοίο z i z i κι Arg z 5 i 6 Πρέει z i z i z i z i MA MB όου M, y η εικόν του z yi, Α, η εικόν του i κι Β-,- η εικόν του -i. Άρ το Μ στη μεσοκάθετο του ΑΒ είνι η διχοτόμος ου, ου τετρτημορίου, άρ y κι z i. Ο z i i i i εικονίζετι στο N, εϕ Arg z 5 i εϕ 6 Ειλεγμέν θέμτ Σώλος Γιάννης Σελίδ

5 Τότε z i 8. Ποιος ο γεωμετρικός τόος των σημείων Μz ότν ο μιγδικός z ικνοοιεί την σχέση og/ z i og/ z Έστω z yi Τότε z i z z i z... 8 y Άρ ο γ.τ. του M, y είνι τ εξωτερικά σημεί του κυκλικού δίσκου με κέντρο Κ,- κι κτίν N ρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης z Arg z, ν γι τον μιγδικό z ισχύει z z i z i z. Έστω z yi Πρέει z z i z i z... y y y y y M, y στον κύκλο κέντρου, Άρ η εικόν του z το K, κτίνς. Aν ΟΑ, ΟΒ οι εφτόμενες ρος τον κύκλο, είνι ΟΑ τότε ΟΑ ΟΜ ΟΒ Arg z ΟΒ Έστω ΟΒ : y λ Η ΟΒ εφάτετι του κύκλου, άρ το σύστημ των εξισώσεών τους έχει μονδική y λ λύση άρ y λ λ λ... λ ΟΒ : y 5 5 εϕ OB εϕ OB Arg z 6 5 Άρ το σύνολο τιμών, 6 Ειλεγμέν θέμτ Σώλος Γιάννης Σελίδ

6 5. Αν 5 arg z ν υολογιστεί το Arg z. 6 5 Είνι arg z κ Arg z κ Arg z 6 5 Είνι Arg z < κ < κ > κ > Εειδή κ Z άρ κ Τότε Arg z Άρ Arg z 6 κ, <. Ν ρεθούν τ, κ,, ρ IR ν χ p, p, > χ. είνι συνεχής στο Γι ν είνι η συνεχής στο χ ρέει Αν <, κ 6 κ Aν 6 κ ± ή δεν υάρχει άτοο άρ 6 κ κ 6 6 κι 5 Αν >,, ρ 8 ρ Αν 8 ρ ± ή δεν υάρχει άτοο άρ 8 ρ a p κι a 5, ρ, ρ5-6.. Ν υολογιστεί 6 6 Έχουμε Ειλεγμέν θέμτ Σώλος Γιάννης Σελίδ 5

7 Ειλεγμέν θέμτ Σώλος Γιάννης Σελίδ Ν υολογιστεί ± γι κάθε IR. Έχουμε ± ± - ν < < <, - ν,, < >, - ν 5 8 ± ± - ν - 8 ± ±. Δίνετι 8, ν 6 ν ρεθεί ο γ.τ. του Μ,. Ποιο το σύνολο τιμών της συνάρτησης g με Argz g θ όου z i.

8 Πρέει Άρ το Μ, νήκει σε κύκλο με κέντρο Κ, κι κτίν. Η εικόν Μ του z i ρίσκετι στον ράνω κύκλο. Αν ΟΑ, ΟΒ οι εφτόμενες τότε ÔA ÔM ÔB ÔA Argz ÔB Έστω ΟΑ: y λ εφάτετι του y τότε το σύστημ των εξισώσεων έχει y λ μονδική λύση... λ ± y ΟΑ: y εϕ ÔA εϕ ÔA ΟΒ: y εϕ ÔB εϕ ÔB B A Argz Άρ το σύνολο τιμών της g είνι,. O i 5. Έστω z ν γρφεί στην μορφή i κι στη συνέχει σε i * τριγωνομετρική μορφή. Ν ρείτε τον ελάχιστο ν N γι τον οοίο ο z ν είνι ρνητικός ργμτικός. Τότε z συν iηµ συν iηµ Εχουμε z... i ν i συν iηµ 7 συν iηµ ν 7ν 7ν z συν iηµ 7ν συν < Εειδή ν z R 7ν 7ν κ κ ηµ κ ν Ειλεγμέν θέμτ Σώλος Γιάννης Σελίδ 7

9 8 * Εειδή ν N ο κ ρνητικός κέριος κι ο κ ολλλάσιο του 7. κ- ν ορ. 7 6 κ- ν ορ. 7 6 κ- ν ορ. 7 κ- ν ο ελάχιστος φυσικός. 6. Ποιος ο μιγδικός z γι τον οοίο z i z κι ArgzArgzi i i κι οιος ο w ν w i w κι Argw i Arg w. Ν z z 9 γρφεί ο σε κνονική μορφή κι δείξτε ότι I. w w Εειδή z i z MΚ ΜΛ, όου Μ,y η εικόν του z yi, Κ,- η εικόν του i κι Λ, η εικόν του τότε το Μ στη μεσοκάθετο του ΚΛ ου είνι η y-. Aν Α, Β οι εικόνες των z, zi εειδή ΑrgzArgzi OA, OB ομόρρο άρ λ>: OA λ OB z λ z i λ yi λ yi i i λ i i λ λ λ, χ, y- άρ z-i i i Εειδή w i w κι Argw i Arg w είνι yi i i ηµ w i w συν i yi i yi i... άρ w i y z Τότε... i w κι συν iηµ z 5 5 συν iηµ συν iηµ w συν ηµ i 6 6 Tότε w 5 5 συν iηµ 9 συν6 iηµ 6 i I z Ειλεγμέν θέμτ Σώλος Γιάννης Σελίδ 8

10 9 7. Δίνετι ο μιγδικός w 8 6i ου εικονίζετι στο Α κι οι μιγδικοί u κι v ου εικονίζοντι στο Β κι Γ ντίστοιχ με το Γ στο τέτρτο τετρτημόριο. Αν το ΟΑΒΓ είνι τετράγωνο ν ρεθούν οι μιγδικοί u κι v κι ν z i v z i ν δείξτε ότι ο z είνι ργμτικός. Εειδή A Ô με στροφή κτά 9 ο w 8 6i 8i 6 σε σχέση με την εικόν του v τότε v 6 8i i i άρ Γ6,-8 κι Α8,6. Αν Μ το μέσο του ΑΓ τότε Μ7,- ου είνι το μέσο του ΟΒ B yb Τότε 7 B yb άρ Β,- κι u-i Έχουμε z i vz i z i 6 8i z i o Γ 9 κι ΟΑΟΓ είνι wiv γιτί η εικόν του w το Α ροκύτει z i z i z i z i MK MΛ όου Μ η εικόν του z, K, η εικόν του I, Λ,- η εικόν του i Άρ το Μ στη μεσοκάθετο του ΚΛ ου είνι ο. Άρ ο z ργμτικός. 8. Ν ρεθούν τ, C ώστε η εξίσωση z z ν έχει ρίζ ν ν ν ν * τους z i κι z. Αν z η άλλη ρίζ τότε z z ηµ / ν N Ν ρεθεί ο κ IR ώστε η συνάρτηση 5κ κ ΙΜ ν ρουσιάζει τοικό κρόττο στο το Ο z i ρίζ τότε z τότε S z z i z i P z z i z z i z i Τότε i i i z i συν iηµ z ν ν ν ν i συν iηµ Τότε z z... ηµ I M 5κ κ 8 5κ Στο τοικό κρόττο το τότε ' 8 5κ κ ± 5κ κ 5κ κ Γι κ η ισχύει δεκτή η κ Γι κ- η άτοο ορ. η κ- Ειλεγμέν θέμτ Σώλος Γιάννης Σελίδ 9

11 9. Έστω Α, Β δύο μύγες ου κινούντι άνω στο είεδο κι είνι εικόνες των μιγδικών z, w ντίστοιχ γι τους οοίους ισχύει z i w. Αν η μύγ Α κινείτι σε κύκλο με κέντρο Ο, κι κτίνς δείξτε ότι z w. Ν ρεθεί ου κινείτι η μύγ Β. Ν δείξτε ότι η όστση μετξύ των δύο μυγών είνι συνεχής στθερή. Ότν η μύγ Α ρίσκετι στον ρνητικό ημιάξον Οy οι η θέση της Β; Είνι z 8 κι i συν iηµ τότε z συν iηµ w z [ συν5 iηµ 5] w z [ συν iηµ]w z w z i w z i w 8 w w, άρ η Β σε κύκλο κέντρου Ο,, κτίνς. AB z w i w w w i i στθερή Ότν zi με < z 8 i 8 ± 8, άρ -8, z-8i 8i z i w 8i i w w i 8i i 8 i w i στη θέση B,.. Στο μιγδικό είεδο, έστω OA η δινυσμτική κτίν ενός μιγδικού z κι OB η δινυσμτική κτίν του u z w όου w i. Ν δείξτε ότι w i, u -z, u z uz, το τρίγωνο ΟΑΒ είνι ισόλευρο. Είνι w συν iηµ, w συν iηµ i u zw z w z συν iηµ z u z u z u z u uz z u z άτοο u uz z u z uz ν z ρ συνθ iηµθ, w συν iηµ u zw ρ συνθ iηµθ συν iηµ ρ συνθ iηµ θ κι u zw z w z z τότε ΟΑΟΒ κι AÔB, άρ το τρίγωνο ΟΑΒ είνι ισόλευρο. Ειλεγμέν θέμτ Σώλος Γιάννης Σελίδ

12 z i. Δίνετι η συνάρτηση z z C με i z w 5 i κι ο u [ 5 i ] IR. z i. Ν ρεθεί ο Είνι w 5 i... i συν iηµ [ συν55 iηµ ] 5 5 u συν iηµ 55 συν iηµ. [ ] IR. Δίνετι η εξίσωση z z με, IR ου έχει ρίζ τον w i κι η συνάρτηση ν δείξτε ότι η έχει μονδικό σημείο ου μηδενίζετι. Εειδή η εξίσωση έχει ργμτικούς συντελεστές κι μι ρίζ της είνι ο i, η άλλη ρίζ i. Τότε S i i P i i Τότε ' '' 6 > ' γνησίως ύξουσ, άρ -. Είνι ' Είνι ' Εειδή ' Α>: 'A > κι εειδή ' Β<: 'B < Εειδή 'A 'B < ρ B,A : ρ κι εειδή η - ο ρ μονδικός.. Ν ρεθεί ο γ.τ. των σημείων Μz του ειέδου γι τους οοίους z i z i. Ποιος ό υτούς τους μιγδικούς έχει το ελάχιστο μέτρο κι ν Ν η εικόν του κι Κ η εικόν του μιγδικού ου νήκει στη γρφική ράστση της συνάρτησης με λ λ λ, όου, λ IR συμμετρικό του Ν ως ρος Σ, ν δείξτε ότι υάρχει ρ, : ρ. Ειλεγμέν θέμτ Σώλος Γιάννης Σελίδ

13 z i z i z i z i Αν Μ η εικόν του Ζ, Α, η εικόν του i κι Β,- η εικόν του i ΜΑΜΒ, άρ το Μ στη μεσοκάθετο του ΑΒ. Π μέσο ΑΒ Π, ya yb λ ΑΒ A B ε AB λε ε: y y Έστω Ο N ε λ ON, ΟΝ: y y Οι συντετγμένες του Ν y, y άρ Ν, κι ο μιγδικός ου νήκει στον ράνω γ.τ. κι έχει το ελάχιστο μέτρο ο i εειδή Σ, τότε το Κ,-. Το Κ C λ λ λ Τότε λ λ λ Έστω η g με g λ λ λ στο [,] Είνι g' λ λ λ κι g g Εφρμόζετι στην g το Θ. Roll στο [,] ρ, : g ' ρ ρ.. Ν ρεθεί ο γ.τ. του Μz γι τον οοίο z i. Ποιοι ό υτούς έχει το μέγιστο κι ελάχιστο μέτρο; Ποι η μέγιστη κι ελάχιστη τιμή του Argz; Είνι z i MK όου Μ η εικόν του z κι Κ, η εικόν του i, τότε ο γ.τ. του Μz είνι ο κύκλος κέντρου Κ κτίνς. Οι μιγδικοί ου νήκουν στον ράνω γ.τ. κι έχουν το ελάχιστο κι μέγιστο μέτρο ντίστοιχ είνι ο i κι ο 6i. Αν ΟΑ, ΟΒ οι εφτόμενες ό το Ο στον κύκλο, τότε στο τρίγωνο ΟΚΑ η υοτείνουσ είνι διλάσι της κάθετης, άρ AÔK XÔA κι XÔB. 6 6 Τότε XÔA Argz XÔB Argz, άρ η ελάχιστη κι μέγιστη τιμή της Argz είνι το κι το. Ειλεγμέν θέμτ Σώλος Γιάννης Σελίδ

14 z i 5. Ν ρεθεί ο γ.τ. του Μz ν. Αν Ν, σημείο του z ράνω τόου ν δείξτε ότι υάρχει μονδικό ρ, 8 6 ρ 5 ρ 9. z i Έστω z i z z iz i z z z z z iz z z z ν zyi y 8y 6 y Άρ η εικόν του z το Μ,y σε κύκλο κέντρου Κ, κι κτίνς 8 Έστω η συνάρτηση με ορισμένη στο [,]. Η συνεχής στο [,]. Το Ν, νήκει στον ράνω τόο, άρ -9< [ ] > γιτί Δ< άρ < τότε ρ, : 8 ρ... 6 ρ 5 ρ 9 8 Εειδή ' > γνησίως ύξουσ - η ράνω ρίζ μονδική. 6. Ν ρεθεί ο μιγδικός z γι τον οοίο z z i z. Έστω z, z οι ράνω μιγδικοί κι IM z. Έν κουνούι ξεκινά ό το Αz κι κινείτι ευθύγρμμ κι ομλά στο Βz σε χρόνο sc. Ν ρεθεί η τχύτητ του κουνουιού. Την τυχί χρονική στιγμή όου [,] το κουνούι ρίσκετι στη θέση Μz ν ρεθούν τ Rz, IMz συνρτήσει του. Είνι z z i z z z z z z z z z z, z z 6 z 5 z 5, z i Είνι z- κι z-i κι A-,, B,- AB z z i i Τότε υ i Έστω zyi η εικόν του Μ,y Aν o ρόνος της διδρομής ΑΜ τότε AM υ AM y y Εειδή Α, Β, Μ συνευθεικά λ AM λab y y- Ειλεγμέν θέμτ Σώλος Γιάννης Σελίδ

15 άρ Rz-, IMz- γ * 7. Δείξτε ότι η εξίσωση με,, γ R έχει κριώς δύο ρίζες στο -, κι ν ρ, ρ τότε. ρ ρ γ Αυτή είνι ισοδύνμη με την γ γ γ Έστω η με γ γ στο [-,] Η είνι συνεχής στο [-,] -γ < 8 > - > Είνι -< υάρχει ρ, : ρ < υάρχει ρ, : ρ Εειδή η θμού ράγμτι έχει κριώς δύο ρίζες στο -, Τότε S ρ ρ γ, γ P γ ρ ρ γ Έτσι ρ ρ ρρ γ γ γ. 8. Δύο λοί Α κι Β κινούντι άνω στο μιγδικό είεδο ώστε την τυχί χρονική στιγμή όου ώρες ν ρίσκοντι στις θέσεις ου είνι οι εικόνες των μιγδικών z-i κι w-i ντίστοιχ. N δείξτε ότι η όστση των δύο λοίων είνι συνεχώς ίδι. Ν δείξτε ότι το λοίο Α κινείτι άνω σε ευθεί με στθερή τχύτητ. Ν ρεθεί ου κινείτι το λοίο Β. Ποιες οι συντετγμένες του σημείου νεφοδισμού των δύο λοίων; Μετά ό λετά της ώρς ου κινήθηκε το λοίο Α λλάζει ορεί γράφοντς ρολή κι έχοντς την ευθεί της ρχικής τροχιάς εφτόμενη στο σημείο υτό κι ρουσιάζει υτή ελάχιστο στο 6 οι η τροχιά της ρολής; Είνι ΑΒ z w... i 5 Αν Α,y τότε y y άρ y y άρ ο Αχ,y νήκει σε ευθεί με εξίσωση την. Αν Α-, κι Α-, με < είνι δύο θέσεις του Α στις Ειλεγμέν θέμτ Σώλος Γιάννης Σελίδ

16 χρονικές στιγμές κι ντίστοιχ τότε A A 9 υ στθερή τχύτητ 5 Έστω Βχ,y τότε y y άρ y y άρ το Β κινείτι σε ευθεί με εξίσωση Εειδή οι, ευθείες ράλληλες τ λοί δεν νεφοδιάζοντι στο ίδιο σημείο. Μετά ό λετά άρ τότε το Α-, A, γράφει ρολή με εξίσωση γ με ' κι έχει εφτομένη την -y τότε λ ' το A C γ κι εειδή στο ρουσιάζει ελάχιστο ' άρ η ρολή έχει εξίσωση Αν, ηµ η γνησίως μονότονη με τ Α,7 κι Β, σημεί της γρφικής ράστσης ν λυθεί η νίσωση 5 7 κι 8 6 Εύκολ κι ηµ ηµ ηµ γιτί κι Eίνι Α C 7, B C Έστω γνησίως ύξουσ τότε < < 7 < άτοο, άρ η γνησίως φθίνουσ. Έχουμε <,, Ειλεγμέν θέμτ Σώλος Γιάννης Σελίδ 5

17 . Αν, 6, γ ν ρεθεί το A, Εχουμε... 5 γ... γ Εειδή Τότε έχουμε A... τότε > κι σε εριοχή κοντά στο [ ] [ ] [ ][ 5 ] <. Έστω η με ηµ ηµ... ηµν > ν Αν υάρχει το όριο στο κι ν N ν ρεθούν τ, R ώστε g ν όου g ηµ ηµ ηµ ηµν... ν... ν ν! ν Είνι Ειλεγμέν θέμτ Σώλος Γιάννης Σελίδ 6

18 Εειδή υάρχει ρέει Τότε 7 6 g, 6 - ν g ± Άτοο - άρ g Πρέει 5, άρ,, ν! ν 5. Εστω οι συνρτήσεις,g γι τις οοίες ισύουν: 5 g,,, [ ] g g µ, κ λ µ g 8 5 ρ γ λ Τότε υάρχει έν τουλάχιστον φε-ρ,κ: u φ µφ κ uφ γ λ Θέτω F με F F F Τότε F γιτί 5 5 Άρ g Τότε κι [ ] g άρ Ειλεγμέν θέμτ Σώλος Γιάννης Σελίδ 7

19 g µ Ετσι g κ λ 7 κ λ κ λ κ κ ± Αν λ λ 8 g µ g κ λ µ µ 7 κ λ 7 Άτοο Άρ κ 7 λ 7 λ 8 5 ρ γ 8 5 ρ γ 8 5 γ ρ, 8 5 γ ρ ρ Αν ρ Π ± δεν υάρχει άτοο. Άρ ρ ρ γ γ γ γ γ 8 5 Aρκεί ν δείξουμε ότι υάρχει φε,: u φ 7φ uφ Εστω η συνάρτηση Q u u 7 ορισμένη στο [,] Η Q συνεχής στο [,], QQ u u 5 <, < τότε υάρχει φε,: Qφ:... u φ 7φ uφ 7. Αν οι εικόνες των, z, z είνι στην ίδι ευθεί ν ρεθεί ο γ.τ. της εικόνς του z το Μ, όου ln ln συν κ λ ln κ λ λ η λύση της 5, μ<ν οι ρίζες της 5 κι ν ρεθεί ο z ν µκz z λ z ν. Εστω zi,z i - Έστω Μ, η εικόν του z Έστω Ν, η εικόν του Έστω Κ -, η εικόν του z Μ, Ν, Κ συνευθεικά Ειλεγμέν θέμτ Σώλος Γιάννης Σελίδ 8

20 Ειλεγμέν θέμτ Σώλος Γιάννης Σελίδ 9 9 NK MN // NK MN λ λ Άρ το Μ, σε κύκλο. n n n % % συν ηµ συν λ λ κ κ λ λ κ κ λ κ λ λ κ κ λ κ λ λ κ κ λ κ λ κ n n n n n n n n ] [ λ κ λ κ λ κ λ κ λ κ λ κ λ κ λ κ n n n n n n n n n Τότε λ κ λ κ λ κ λ κ n n n n τοο, Γι την 5 Η 5 ρτηρώ ότι έχει μι λύση Έστω η με 5, < γνησίως φθίνουσ, άρ η ρίζ μονδική, άρ λ. Γι τη 5 5 Έστω η με Στο [,] Θ.Μ.Τ.Δ.Λ., Στο [,5] Θ.Μ.Τ.Δ. 5, Τότε ν µ Είνι n n κ κ κ λ κ Είνι, z z z z z z z

21 . Εστω οι μιγδικοί z κ i με Arg z [, Έστω η συνάρτηση χγ, η γρφική της ράστση ν διέρχετι ό την ρχή των ξόνων, στο σημείο χ ν ρουσιάζει κρόττο κι στο χ ν είνι κάθετη στην ευθεί ε: χ9y. ημ ημ... ημν ημ ημ... ημλχ Αν 8 με νεν,. λ 8 Αν γκz z z λ ν τότε ο z είνι ρνητικός. Ο zχ εικονίζει στο M, κ κ εϕ Arg z εϕ κ [, Έστω η g με g κ g g κ nκ Στο ολικό ελάχιστο άρ Τ.Α. ό Θ. Frma g nκ κ. Είνι χγ χ χγ, χχ Εχουμε γ,, λε- 9, λη είνι ε η λε λη- 9 τότε, -. ημ ημ... ημν ηµχ ηµ χ ηµ χ ηµνχ ν χ χ χ νχ ν ν ν 8, ορ... ν 8 8 ν ν 56 ν 7, δεκτή ημ ημ... ημλχ ηµχ ηµ χ ηµ χ ηµλχ... λ λ χ χ χ λχ λ λ Είνι z z z z z... 8, z z 8 < λ µ y 5. Εστω ότι το σύστημ έχει άειρες λύσεις κι γι τους λ µ y z ηµ μιγδικούς z,w ισχύει z w w κι, z ηµ ηµ γ 9 6, δ ηµ κ τότε υάρχει κ φε,: 5 φ ρφ δ φ γρ φ λµ Το λ µ y είνι έν γρμμικό σύστημ ως ρος, y. λ µ y Ειλεγμέν θέμτ Σώλος Γιάννης Σελίδ

22 Αφού είνι όριστο ρέει DDDy µ D µ µ 6 λ Dy λ λ 6 λ λ 6 λ λ 8 y Τότε Σ y 6 y 6 y ω z z 8 z z 9 z ηµ ηµ γιτί γ 9 ηµ 6 Πράγμτι όριστο. Άρ 6 z ηµ y δ ηµ y ηµ y y y y ηµ ηµ ηµ ηµ κ Αρκεί ν δείξουμε ότι υάρχει φε,: 5φ ρφ φ ρ φ λ, µ 9, 6 Εστω η συνάρτηση G με G 5 p p ορισμένη στο [,] Η G συνεχής στο [,], GG p p 7 <, < τότε υάρχει φε,: Gφ... 5φ ρφ φ ρ φ 6. Εστω ότι συν ηµ κι το Q κ λ 8 έχει X ράγοντ το, ν z iw z w κι ρ η λύση της εξίσωσης z iµ, wi-i k κι ν pk z az a κι µ ν z Αν οι ριθμοί λ, ν, είνι διδοχικοί όροι ριθμητικής ροόδου ν δείξτε ότι υάρχει λ, : ''. Eειδή ρέει συν ηµ συν ηµ ηµ ηµ συν Ειλεγμέν θέμτ Σώλος Γιάννης Σελίδ

23 συν συ συν 8ηµ. Πρέει 6 Q κ λ 8, Q 9 κ λ To Q έχει ράγοντ το τότε Q Π,Q kλ-6 κι Q Π Π Q κλ-6, έτσι κ-, λ. Έστω, η μι τουλάχιστον ρίζ της κι χχ χ τότε, άρ η ρίζ χ μονδική, οότε ρ. - - z iω z ω z iω z ω z iωz iω zz ωω z ω izω iωz z ω i zω ωz z ω i i Imzω zω Im zω zω Τότε zω µ i[ µ ] Αν zω i, Ισχύει Άρ µ µ R g µ g g µ nµ Στο Ο.Μ. Άρ Τ.Α. g µ nµ µ Είνι z z z z z..., z z ν k v Tότε µ z v Οι, 5, 6 διδοχικοί όροι ριθμητικής ροόδου τότε Εφρμόζω στην Θ.Μ.Τ.Δ.Λ. στο [,5] ε,5 : Εφρμόζω στην Θ.Μ.Τ.Δ.Λ. στο [5,6] ε5,6: 6 5 Τότε ' ' ό το Θ.Roll γι την στο [χ,χ] υάρχει έν τουλάχιστον χεχ,χ γι το οοίο χ. 7. Αν η ργωγίσιμη στο χο με χ ln, IR ; 5, ηµ, οι τ, > Εειδή η ργωγίσιμη στο χ είνι κι συνεχή τότε 5 [ n ηµ ] n ηµ Ειλεγμέν θέμτ Σώλος Γιάννης Σελίδ

24 συν Είσης, 5 % 5 5 n ηµ n ηµ % συν % 5, ηµ 5 8. Eστω η συνάρτηση ορισμένη στο, κι γι την οοί ισχύει 7 ln ε, ν ρεθούν τ, 7 Έχουμε ln Γι άρ Θ ρω το 7 - ν < n n Έχουμε 7 7 άρ - ν > όμοι 5. Ειλεγμέν θέμτ Σώλος Γιάννης Σελίδ

25 Άρ 5 5 Έχουμε 5, γιτί 5 9. Δίνετι η συνάρτηση με λ 5. Αν στ σημεί A, y κι Β, y της C οι εφτόμενες είνι ράλληλες στον κι 5 λ 5 ν ρεθεί η τιμή του λ. Έχουμε ' λ Είνι ' ', άρ, ρίζες της κι του τριωνύμου λ. λ Άρ Δ> κι S P λ λ 9 λ Έχουμε 5 λ 5 5 λ λ 5 λ9 λ λ λ λ λ λ Γι λ ' Δ-< ορρίτετι 86 Γι λ ' > δεκτή λ. Έστω η συνάρτηση ν ρεθεί το σύνολο τιμών της κι ν λυθεί η εξίσωση κ γι κάθε κ R. Είνι ' γιτί,, Το σύνολο τιμών το, Γι την εξίσωση κ κ κ - ν κ > κ δύντη, Ειλεγμέν θέμτ Σώλος Γιάννης Σελίδ

26 5 - ν κ κ - ν κ, κ έχει δύο λύσεις - ν κ κ έχει μί μόνο λύση γ < γ. Δίνετι η συνάρτηση με γ,, κι ότι οι,, γ είνι διδοχικοί όροι γεωμετρικής ροόδου. Αν Κ,, Λ, δείξτε ότι, ου στο σημείο Μ, η εφτομένη της γρφικής ράστσης ν είνι ράλληλη στη χορδή ΚΛ. Εειδή K C, Λ C ρκεί ν εφρμόζετι το Θ.Μ.Τ.Δ.Λ. στο [,]. γ γ γ,, γ διδοχικοί γ.. γ γ γ, άρ η συνεχής στο Άρ η συνεχής στο [,] Η ργωγίσιμη στο, κι στο, Εξετάζω ν είνι ργωγίσιμη στο γ γ γ γ γ % γ γ γ γ άρ ' Άρ η ργωγίσιμη στο Τότε η ργωγίσιμη στο, Έτσι εφρμόζετι το Θ.Μ.Τ.Δ.Λ. στο [,], : τότε στο M, η εφτόμενη ράλληλη στη χορδή ΚΛ όου K,, Λ, Ειλεγμέν θέμτ Σώλος Γιάννης Σελίδ 5

27 6. Έστω : IR IR όου IR IR µε κ, κ Ζ ργωγίσιμη στo IR με κι συν ηµ ηµ οδείξτε ότι... Eχουμε ' συν ηµ ηµ ' συν ηµ ηµ [ ] συν [ συν] συν συν c Γι συν συν c c c συν συν Τότε.... Έστω η ργωγίσιμη συνάρτηση γι την οοί ισχύει ορισμένη στο 7, με συν. Ν δείξτε ότι η δεν έχει 7 κρόττ κι ότι η είνι γνησίως ύξουσ στο,. Έστω ότι στο ρ> ρουσιάζει κρόττο η τότε ρ. 7 Έχουμε συν 7 6 ' ' ' ηµ ρ Γι ρ ρ ηµρ με ρ> άτοο γιτί Έστω η g με g ηµ στο [, g' συν g' ' ηµ g συν > g' ' γνησίως ύξουσ g '' > g'' > g'' g' γνησίως ύξουσ g ' > g' > g' g γνησίως ύξουσ g > ρ g > g ηµ > ρ ηµρ > ηµ Είσης ' >, 6 6 γιτί >,Δ<.. Μι συνάρτηση έχει την ιδιότητ [ ]. Ν οδειχθεί ότι είνι εριττή. IR. Ειλεγμέν θέμτ Σώλος Γιάννης Σελίδ 6

28 7. Ν ρεθεί ο τύος της. Γι Θέτω όου το στην τότε [ ] [ ] άρ η εριττή Τότε [ ] [ ] 5. Έστω η γνησίως μονότονη συνάρτηση με : R R η οοί γι κάθε, y IR ικνοοιεί τη σχέση [ y] y. Ποιος ο τύος της ; Ν δείξτε ότι η C εφάτετι της Cg με g n. Γι y τότε Γι y- τότε " " Γι - " " Τότε Έστω Μ, το σημείο εφής τότε - n g n g Άρ στο,- η C εφάτετι της Cg. ου ισχύει, άρ Θεωρούμε τη συνάρτηση : R R τέτοι ώστε ψ ψ γι κάθε, ψ R. Ν δειχτούν:.. η είνι εριττή * γ. ισχύει ν ν γι κάθε ν N δ. είνι λ λ γι κάθε λ Z ε. ισχύει ρ ρ γι κάθε ρ Q στ. ν c τότε c γι κάθε Q ζ. ν η εξίσωση έχει μονδική λύση την τότε είνι - η. ν συνεχής στο IR τότε συνεχής στο R.. Γι ψ έχουμε. Θέτουμε ψ- τότε Ειλεγμέν θέμτ Σώλος Γιάννης Σελίδ 7

29 , άρ η είνι εριττή. γ. Γι ν ισχύει - Έστω ληθής γι νκ δηλδή κ κ - Θ είνι ληθής κι γι νκ, δηλδή ρκεί: [ κ χ] κ Είνι [ κ χ] κ κ κ κ * * * δ. Έστω κ Z τότε κ Z δηλδή κ N άρ γ 8. Άρ ληθής. * κ κ κ. Θέτουμε κ λ Z τότε λ λ άρ ισχύει γι κάθε λ Z φού ισχύει κι γι κάθε λ Z µ * µ µ ε. Έστω ρ, µ Z, ν N ρκεί ράγμτι: ν ν ν µ µ µ µ µ µ ν ν µ ν ν ν ν ν ν στ. Στη σχέση ρ ρ, ρ Q θέτουμε όου ρ, τότε ή c c ου ισχύει κι γι χ άρ c γι κάθε Q. ζ. Έστω, R με θ δείξουμε ότι. Έχουμε [ ] δηλδή το είνι ρίζ της εξίσωσης κι εειδή είνι μονδική η λύση θ είνι οκλειστικά ή. Εομένως η είνι -. Εειδή η συνεχής στο,. Έστω ο τυχίος κ κ y κ R y κ y κ κ. Άρ η συνεχής στο τυχίο y [ κ y] κ κ R, άρ συνεχής στο R Έστω, IR με. Δείξτε ότι ρ, : ρ ρ ρ 8 Έστω η με ορισμένη στο [,] Η συνεχής στο [,] < >, < Εφρμόζετι στην το Θεώρημ Bolzano στο [,]. 8 ρ, : ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ 8 Ειλεγμέν θέμτ Σώλος Γιάννης Σελίδ 8

30 Έστω, IR. Δείξτε ότι ρ, : ρ 99ρ ρ ρ 5 Έστω η με 5 ορισμένη στο [,] Η συνεχής στο [,] 99 Η ργωγίσιμη στο, με , άρ Εφρμόζετι στην το Θεώρημ Roll στο [,] άρ ρ, : ρ ρ ρ ρ 99ρ ρ 99ρ ρ 9 ρ 9 9. Έστω η συνεχής συνάρτηση στο [, ],, κι οι μιγδικοί z, w με z i κι w i με z w z w. Ν δείξτε ότι ρ [, ] : ρ. Έχουμε z w z w z w z w z w z w z w z w z w z w z w z w zz zw wz ww zz zw zw ww zw zw zw zw zw zw zw I R zw zw i i i i [ ] i[ Τότε Αν < ό Θεώρημ Bolzano ρ, : ρ Αν Άρ ρ [, ] : ρ ] 5. Έστω ο z C γι τον οοίο z iz z iz κι, R ώστε ρ iz z 5 z z. Τότε δείξτε ότι ρ, : 8ρ ρ Έχουμε z iz z iz z 5 z iz z iz z i iz z iz z iz z 5 z i z iz i z i z iz z z 5 i z z z [ ] 5 z i 5 z i i i i i 5 z i i i i i z i i i i i z Τότε η δοσμένη γίνετι i i 5 i i. Ειλεγμέν θέμτ Σώλος Γιάννης Σελίδ 9

31 5 Έστω η με ορισμένη στο [,] Η συνεχής στο [,] Η ργωγίσιμη στο, με 8-5 Τότε εφρμόζετι γι την στο [,] το Θεώρημ Roll ρ ρ, : ρ 8ρ ρ 8ρ ρ ρ 5. Δίνετι η συνεχής συνάρτηση :[-,] [,]. Ν δείξτε ότι η διχοτόμος του ου κι ου τετρτημορίου την τέμνει σε έν τουλάχιστον σημείο με τετμημένη στο -, Γι ν τέμνει η διχοτόμος του ου κι ου τετρτημορίου με εξίσωση y- την y γρφική ράστση της ρέει το σύστημ y ν έχει μί τουλάχιστον λύση. Έτσι η εξίσωση ρέει ν έχει μι τουλάχιστον λύση στο -, Έστω η h με h ορισμένη στο [-,] Η h είνι συνεχής στο [-,] h < h > γιτί :[-,] [,] Τότε [, ] < < Έτσι h h < τότε ό Θεώρημ Bolzano ρ, : h ρ ρ ρ ρ ρ Άρ ράγμτι η y- τέμνει την C σε έν τουλάχιστον σημείο με τετμημένη στο -,. 5. Έστω η συνεχής στο [, ]. Δείξτε ότι γ [, ] : γ Αν το γ μέσο του [, ] τότε,, : Εειδή η συνεχής στο [, ] υάρχει γι την μέγιστη τιμή Μ κι ελάχιστη τιμή μ τότε [, ] µ Μ Έχουμε µ Μ 999µ M µ Μ 5µ 5 5M Έτσι µ Μ µ M Τότε ό το θεώρημ της ενδιάμεσης τιμής υάρχει γ [, ] ώστε γ γ Ειλεγμέν θέμτ Σώλος Γιάννης Σελίδ

32 Εειδή γ μέσο γ γ γ γ Τότε 999[ γ ] 5[ γ ] γ γ γ Στο [, γ] εφρμόζουμε Θ.Μ.Τ.Δ.Λ., γ : γ γ Στο [γ, ] εφρμόζουμε Θ.Μ.Τ.Δ.Λ. γ, : γ Τότε h 5. Αν η συνάρτηση είνι συνεχής στο IR κι είνι h h δείξτε ότι η είνι ργωγίσιμη στο. ν Θέτω h h κι ν h Τότε Θέτω g g με g Εειδή η συνεχής στο έχουμε g [ ] Τότε ' 5. Εστω,g ργωγίσιμες στο χ, ν g κι ηµ g, ν δείξτε ότι g. 8 Είσης υάρχει ρε,: ' ρ ρ g' ρ ρ. Έχουμε ηµ g ηµ g g ηµ g g Αν < Εειδή, g ργωγίσιμες στο έχουμε g g ', g' ηµ συν Είσης Τότε ηµ g g Ειλεγμέν θέμτ Σώλος Γιάννης Σελίδ

33 g' ' g Αν > όμοι ' g' Αό κι ' g' 8 Έστω h με h ' g' ορισμένη στο [,] Η h συνεχής στο [,] h > h ' g' < Είνι h h < τότε ό Θ. Bolzano ρ, : h ρ Αν, συνεχής στο κι, h h h τότε ν ρεθεί το ν δείξτε ότι h h Θέτω g g με g Εειδή η συνεχής στο έχουμε g % γιτί Εειδή ' h h h Θέτω όου h το h τότε h h 6 h h h h Θέτω όου h το h τότε h h 9 h h h h Τότε h h h h h h h h h h h h h h h h h Οι τροχιές του ΜΕΤΡΟ δίνοντι ό την σχέση k ln, k >. Ν δείξτε ότι όλες διέρχοντι ό τον κεντρικό στθμό Σ κι ν ρεθεί η τιμή του κ ώστε η κμύλη της ν εφάτετι του χ χ. Έχει εδίο ορισμού η το, Ειλεγμέν θέμτ Σώλος Γιάννης Σελίδ

34 Έστω y y κ n κn y με >, κ> Η ρώτου θμού ως ρος κ κι εειδή ίρνει άειρες τιμές ρέει: n άρ όλες οι τροχιές διέρχοντι ό το σημείο Σ, y y Είνι ' Έστω στο Α, με > η γρφική ράστση της εφάτετι του Τότε A C κ n κι ' κ κ Τότε κ κ n n n κ άτοο 57. Γι μι συνάρτηση : R R ργωγίσιμη στο ισχύει ν δείξτε ότι ' Γι Σ Διιρούμε με Σ Εειδή υάρχει ' ' κι % Τότε [ '] [ '] ' 6 ' 6 '. 58. Ν ρεθεί η ργωγίσιμη συνάρτηση γι την οοί ισχύει ' κι. Κτόιν ν ρεθεί το σημείο της γρφικής ράστσης της ου η εφτόμενη είνι κάθετη στην η:χψ. Είνι ' ' [ ] [ ] c γι χ, c c, τότε με Εστω ότι στο χεr είνι η εφτόμενη κάθετη στην ευθεί η τότε Ειλεγμέν θέμτ Σώλος Γιάννης Σελίδ

35 Εστω η συνάρτηση g με g -, ρτηρώ ότι g, ενώ g χ >, άρ η g είνι γνησίως υξουσ άρ η ρίζ μονδική, οότε μόνο στο χ η εφτόμενη της γρφικής ράστσης είνι κάθετη στην η. ln 59. Εστω η συνάρτηση με με >, χ>, ν ρεθεί η εξίσωση της εφτομένης της C στο σημείο χχ. Ν δείξτε ότι όλες υτές οι εφτόμενες κθώς μετάλλετι το, διέρχοντι ό το ίδιο σημείο. n n n n Εφτομένη στο, y y n y n n n y Εειδή ισχύει > ρέει y y Άρ διέρχετι ό το σημείο, 6. Εστω ότι η 9 6µ έχει τοικά κρόττ στ ρ, ρ κι 5ρ ρ ρ ρ 5ρρ ρρ µ είσης ν φυσικός ίσος με το άθροισμ των 999 συντελεστών του ολυωνύμου g 9. Έστω h: R R συνεχής στο R με h 5 5, κh, δείξτε ότι υάρχει ρ, ν 8 : gρ όου ο στθερός όρος του g. υάρχει έν τουλάχιστον R ε, : v R k R kr µ Είνι 6 8 6µ Εειδή στ ρ, ρ Τ.Α. υτές ρίζες της κι Δ> 8 γ 6µ Τότε ρ ρ S κι Ρ Ρ Ρ µ 6 6 Είνι 5ρ ρ ρ ρ 5ρρ ρρ µ 5ρ ρ ρ ρ ρρ ρ ρ µ ρ ρ [ ρ ρ ρ ρ ] ρ ρ ρ ρ µ 5µ [ µ ] µ µ 5 µ µ µ µ g < > ορ. δεκτή Έστω g ν ν... ν ν ν... 9 v 9 g- 5 5 % 5 κ h h κ Πρέει ν ρω ρ, ν 8,, g-<, g9> Ειλεγμέν θέμτ Σώλος Γιάννης Σελίδ

36 Αό Θ.Βolzano υάρχει έν τουλάχιστον ρ, : gρ Εστω η Φ v k k µ στο [,] τότε Φ, είνι ΦΦ 5 <, < Τότε υάρχει έν τουλάχιστον R ε, : Φ R... v R k R 5 kr µ 6. Αν γι τους μιγδικούς z,w ισχύει z i w i z w ε R με z i κι w χi. Εστω η ου ρουσιάζει τοικό κρόττο στο χ- κι η συνάρτηση g εριττή στο R με g g -g Δείξτε ότι η εφτόμενη στο χ της C g είνι ράλληλη στον χχ, h ενώ ν h ' τότε η h h στθερή Είνι z iw iz w z iw iz w z iw z w i i z w z i w zz zwi iwz ww zz izw wzi ww iwz iwz zwi zwi iwz izw iwz iwz iwz w z ii Imwz Imwz w χi, z i Άρ wz [ i] i wz i i i i i i i i wz i i i wz i Είνι Imwz Θεωρώ συνάρτηση g, g n, g Άρ γι κάθε IR είνι g g Άρ η g ρουσιάζει τοικό ελάχιστο στο. Άρ ό Θ. Frma είνι g n n n Είνι, στο χ- Τ.Α άρ g g 6 g g g g Γι g g g g g g g εριττή g Γι g g g g g g g g H εφτομένη είνι ράλληλη στον γιτί ν g εριττή g άρτι h Είνι h h h, h h Τότε h h h h Τότε [ h h ]' h h [ h ] [ h ] h h h h άρ h h c Ειλεγμέν θέμτ Σώλος Γιάννης Σελίδ 5

37 6 6. Εστω η συνάρτηση με είνι γνησίως φθίνουσ κ στο, κι g ν έχει σύνολο τιμών το [7, -] με κ<- * τότε γι την h: [κ, ] R υάρχει έν χεκ, : Είνι Δ>, S 9, P κ g g g Το σύνολο τιμών το [, g ] h h κ 8h h g ρέει κ g ν είνι το [7, -][-,] άρ κ κ g * * Τότε h :[ κ, ] R h :[, ] R, Έστω η F με F n h στο [-,] Εφρμόζω το Θ.Μ.Τ.Δ.Λ. γι την F, : F F h nh nh 8h F nh nh κ h 8 h 8h h h n h h κ h κ 8 h h - - g - - g O.E g-. O.M g Φ 6. Εστω η Φ συνεχής στο [, κι Φ ln τότε Οι g 5 με N τέμνοντι άνω στον χχ Αν hh με την h ργωγίσιμη στο R τότε, ώστε η εφτομένη στο M, h ν ερνά ό την ρχή ξόνων. Αν η γνησίως ύξουσ IR τότε ' [, ] ln Είνι Φ ln Φ γι κάθε χε[, -{} ln Εειδή η Φ συνεχής τότε Φ... τότε Ειλεγμέν θέμτ Σώλος Γιάννης Σελίδ 6

38 g 5 Έστω R ρέει Σύστημ ως ρος κι άρ: D..., D..., D..., τότε Τότε hh Πρέει η εφτομένη στο h 7, y h h h h ρχή. Άρ M η ε: h h ν ερνά ό h Έστω η G με G στο [,] εφρμόζω το Θ. Roll. Στο [, ] με [, ] εφρμόζω Θ.Μ.Τ.Δ.Λ., : Είνι ' > < 6. Έστω ργωγίσιμη με n 999. Δείξτε ότι η εφτόμενη της γρφικής ράστσης της στο ερνά ό ρχή ξόνων. Πργωγίζω την σχέση [ n ] [ 999] n n n Γι η ρχική n 999 Γι 999 n Τότε η εφτομένη ε: y y y Που ερνά ό ρχή ξόνων 65. Έστω η ργωγίσιμη συνάρτηση στο [-,5] κι 5,5 είνι '. Ν δείξτε ότι: Η συνεχής στο [-,5] γιτί είνι ργωγίσιμη Η ργωγίσιμη στο -,5 Εφρμόζετι γι την στο [-,5] το Θ.Μ.Τ.Δ.Λ. 5,5 : ' ' 5 8 Είνι ' Αν γι την ργωγίσιμη στο R ισχύει -λ-κ, κ-λ, κ-λ ν δείξτε ότι IR : '' Ειλεγμέν θέμτ Σώλος Γιάννης Σελίδ 7

39 8 Εφρμόζετι στην το Θ.Μ.Τ.Δ.Λ. στο [-,] κ λ λ κ κ τότε, : ' κ Εφρμόζετι στην το Θ.Μ.Τ.Δ.Λ. στο [,] κ λ κ λ κ τότε, : ' κ. Άρ ' ' Εφρμόζετι στην στο [,] το Θ. Roll, : '' 67. Δείξτε ότι, ισχύει < < Έστω η συνάρτηση με ορισμένη στο [,], χ> Η συνεχής στο [,] Η ργωγίσιμη στο, με ' Εφρμόζετι στο [,] γι την το Θ.Μ.Τ.Δ.Λ. κ, : ' κ Είνι '' > > Τότε γνησίως ύξουσ Είνι < κ < ' < ' κ < ' < < < < < < 68. Έστω η ργωγίσιμη με κι. Δείξτε ότι,, : ' ' Είνι κι < τότε ό Θ. Bolzano ρ, : ρ Στο [,ρ] εφρμόζετι το Θ.Μ.Τ.Δ.Λ., ρ : ρ ' ρ ρ Στο [ρ,] εφρμόζετι το Θ.Μ.Τ.Δ.Λ. ρ, : ρ ' ρ ρ ρ ρ Τότε ' ' 69. Αν R [ ''] < ν δείξτε ότι > Εειδή [ ''] < '' < '' < άρ γνησίως φθίνουσ Στο [-,] εφρμόζουμε το Θ.Μ.Τ.Δ.Λ. Ειλεγμέν θέμτ Σώλος Γιάννης Σελίδ 8

40 , : ' Στο [,] εφρμόζουμε το Θ.Μ.Τ.Δ.Λ., : ' Είνι < ' > ' > > 9 7. Έστω η ργωγίσιμη στο R με < ' < δείξτε ότι, : Εφρμόζουμε στο [,] Θ.Μ.Τ.Δ.Λ., : Είνι < ' < < Εφρμόζουμε στο [,] Θ.Μ.Τ.Δ.Λ., : Είσης ' < < > Στο [,] εφρμόζω το Θ. Bolzano, : ' ' 7. Έστω η ργωγίσιμη συνάρτηση :[, R με κι. y Αν γι κάθε, y, ισχύει: y y ν ρεθεί ο τύος της. y Αό την έχουμε ισοδύνμ: y y. y Θεωρούμε τη συνάρτηση g με: gy y y, g κι έτσι είνι g y g. Η g είνι ργωγίσιμη στο [, ως οτέλεσμ ράξεων ργωγίσιμων y συνρτήσεων με: g y y y, y [, Εειδή η g ρουσιάζει κρόττο στο εσωτερικό σημείο του εδίου ορισμού y κι είνι ργωγίσιμη σ υτό, είνι σύμφων με το Θ. Frma: g [ ] [] c c γι χ, c c, τότε 7. Εστω η συνάρτηση γι την οοί ισχύει κι χ< γι κάθε χεr. N δείξτε ότι χ> γι κάθε χε,. Σύμφων με το Θ. Roll υάρχει, τέτοιο ώστε:. Γι κάθε ισχύει ότι: < γνησίως φθίνουσ. - Ειλεγμέν θέμτ Σώλος Γιάννης Σελίδ 9

41 Γι > < < Άρ η είνι γνησίως φθίνουσ Γι < > > Άρ η είνι γνησίως ύξουσ Τότε ροκύτει ότι γι κάθε, χ>. 7. Υοθέτουμε ότι η ργμτική συνάρτηση g είνι δύο φορές ργωγίσιμη στο διάστημ [,] κι g χ> γι όλ τ χ [,]. Αν gg, ν οδείξετε ότι: g< γι κάθε χ,. Σύμφων με το Θ. Roll υάρχει, τέτοιο ώστε: g. Γι κάθε [, ] ισχύει ότι: g > g γνησίως ύξουσ. Γι > g > g g < Άρ η g είνι γνησίως φθίνουσ, εομένως ισχύει γι > g < g Γι > g > g Άρ η g είνι γνησίως ύξουσ, οότε γι < g < g Αό τις σχέσεις κι λοιόν ροκύτει ότι: g < γι κάθε,. 7. Έστω η ργωγίσιμη στο νοιχτό διάστημ,, < με κι χ γι χ,. Ν δείξετε ότι υάρχει ρ, με p. p Θεωρούμε g. Η g είνι ργωγίσιμη ως γινόμενο ργωγίσιμων συνρτήσεων κι gg. Σύμφων λοιόν με το Θ. Roll υάρχει p, τέτοιο ώστε g ρ Όμως g κι p Άρ ό την κι ροκύτει ότι: p p. p 75. Έστω συνάρτηση g:r R δύο φορές ργωγίσιμη γι την οοί ισχύει: g g gy y ln y. Ν οδείξετε ότι: g ρ Πργωγίζουμε τη δοθείσ σχέση ως ρος y: g g y y y Γι y έχουμε: g g Θέτουμε στην, κι οότε ίρνουμε: g - κι g -. Η g είνι δυο φορές ργωγίσιμη κι g g, τότε με το Θ. Roll υάρχει p, τέτοιο ώστε: g ρ. Ειλεγμέν θέμτ Σώλος Γιάννης Σελίδ

42 76. Έστω οι ργωγίσιμες συνρτήσεις, g: R R γι τις οοίες ισχύουν: ' g' g γι κάθε R κι 8 g8 Ν δειχθεί ότι g. Είνι ' g' g ' g' g g g [ g ] [ g ] [ g ] [ g ] c g c 8 Γι 8 8 g8 c c άρ g [ ] [ ] 77. Έστω οι συνρτήσεις, g:, R γι τις οοίες ισχύουν: g g ' γι κάθε >. g' γι κάθε >. Ν δειχθεί ότι:. g. Η συνάρτηση h με h είνι στθερή κι κτόιν ν ρεθεί ο τύος της. g. g g g g g ' g' ' ' g' ' οότε: ' g' c g ' κι g' δηλδή g κι έτσι c. ' g' οότε g c Γι δίνει: g c c c Άρ g,,.. h g g g κι έτσι h c, c R δηλδή η h είνι στθερή. Είνι: h c c c c c οότε: h ln ln, >. 78. Έστω η ργωγίσιμη συνάρτηση :, R. Αν γι κάθε > ισχύει ότι: ' ηµ κι ν ρεθεί το. Ειλεγμέν θέμτ Σώλος Γιάννης Σελίδ

43 Είνι [ ηµ ] ηµ ηµ συν ηµ ηµ ηµ [ ηµ ] [ ηµ συν] ηµ ηµ συν c Γι ηµ συν c c c άρ ηµ ηµ συν Γι ηµ Ν ρεθούν τ σημεί ου η εφτόμενη στη γρφική ράστση της n ν είνι ράλληλη στον. Είνι n Τ σημεί ου η εφτόμενη είνι ράλληλη στον είνι ότν n. Πρτηρώ ότι γι είνι λύση. Έστω η g με g l n g Tότε g g ου είνι μονδική. g - g O.M 8. Ο ρυθμός μετολής των ολήτων σ έν εργοστάσιο δίνετι ό τη σχέση n A όου μήνες > A5. Ποι η οσότητ των ολήτων γι κι γι άειρους μήνες; Είνι A n. Αό την ροηγούμενη n n Τότε A n A n c 9 9 A 5 c 5 c, A n Τότε Α 9 Ενώ γι άειρους μήνες A A n n γιτί [ n] n, Ειλεγμέν θέμτ Σώλος Γιάννης Σελίδ

44 8. Αν οι συνρτήσεις, g δεν μηδενίζοντι στο R κι ισχύει ' ' g' ', g κι γι κάθε R, ν οδειχθεί ότι η συνάρτηση h ln είνι στθερή στο R. g g g g Είνι h g g Έστω η με g g ' ' g g g g g' ' g [ g ] c Γι c g g άρ h h c. 8. Οι ειστήμονες μις γλκτοκομικής ετιρίς κτέληξν στο συμέρσμ ότι το μέσο άρος γάλκτος ου ράγει ημερησίως μι γλκτοφόρ γελάδ ηλικίς ετών είνι:, ν B. Αφού υοτεθεί ότι το μετάλλετι σε, ν < 5 διάστημ, ν ρεθεί η ηλικί του ζώου κτά την οοί έχουμε τη μεγλύτερη όδοση κι η όδοση υτή. Η Β συνεχής στο [, κι,5] B B B Άρ η Β συνεχής στο [,5] κι B B B, άρ έχουμε την μέγιστη όδοση ότ ετών. 5 Β - Β O.M 8. Έστω συνάρτηση συνεχής γι, ργωγίσιμη γι > με κι ύξουσ. Ν δείξετε ότι η συνάρτηση g είνι γι κάθε > ύξουσ. Έχουμε g Εστω η συνάρτηση: - στο [, με χχ>, γιτί η είνι γνησίως υξουσ έτσι > > > g > άρ η g γνησίως ύξουσ. Ειλεγμέν θέμτ Σώλος Γιάννης Σελίδ

45 ln 8. Δίνετι η συνάρτηση με, ν δείξτε ότι > γι κάθε χ> κι < ln ln Είνι < < < Aν ln < ln < < > > ln > ln > > Είνι > > Eίνι < < ln ln ln ln < < < ln X - O.E ln < ln 85. Έστω η ργωγίσιμη : R R δύο φορές στο R, ' κι '' R. Ποιο το εμδόν του χωρίου ό C,, χ, χ Είνι '' '' ' ' [ ' ] ' Γι ' c c ' ' Γι άρ Είνι > [,] ' c [ ] [ ] Τότε E d d [ ] 86. Δίνετι μι συνάρτηση συνεχής στο διάστημ [,] κθώς κι το ολυώνυμο g z z z z, z C. Εάν ο ριθμός i είνι ρίζ του ολυωνύμου ν οδείξετε ότι υάρχει έν τουλάχιστον θ, ώστε ν ισχύει θ. Το ολυώνυμο έχει ργμτικούς συντελεστές κι είνι τρίτου θμού. Άρ έχει μι ρίζ ργμτική έστω ρ R κι δύο συζυγείς τις i κι -i. Εομένως τ.μ. Ειλεγμέν θέμτ Σώλος Γιάννης Σελίδ

46 5 g z z ρ z z g z z ρ z ρ z ρ. Άρ z z z z ρ z ρ z ρ γι κάθε z C. Εομένως ροκύτει ρ, ρ κι ρ ρ. Τότε κι. <. Η συνάρτηση στο [,] ικνοοιεί τις ροϋοθέσεις του θεωρήμτος Bolzano. Άρ υάρχει έν τουλάχιστον θ, ώστε θ. 87. Δίνετι ένς μη μηδενικός μιγδικός ριθμός z κι μι συνάρτηση z z συνεχής στο R. Εάν τ όρι, υάρχουν στο R ν οδείξετε ότι υάρχει τουλάχιστον έν θ [,] ώστε θ. Εφόσον υάρχει στο R το z μηδέν θ ρέει z z κι το όριο του ρονομστή είνι Έστω ότι z i,. Τότε η σχέση γίνετι i Δικρίνουμε τις κόλουθες εριτώσεις: - Εάν τότε θ. 6 - Εάν τότε 6. z κι ο ρονομστής έχει όριο z i Εφόσον υάρχει στο R το όριο μηδέν ρέει z. Δικρίνουμε τις κόλουθες εριτώσεις: - Εάν τότε θ. - Εάν τότε. Συνεώς <. Η ικνοοιεί τις ροϋοθέσεις του θεωρήμτος Bolzano στο [,] άρ υάρχει τουλάχιστον έν θ, ώστε θ. Ειλεγμέν θέμτ Σώλος Γιάννης Σελίδ 5

47 Άρ υάρχει τουλάχιστον έν θ [,] ώστε θ Ν ρείτε τις κοινές λύσεις των εξισώσεων z z z z κι z 996 z 998 στο σύνολο των μιγδικών ριθμών. Εχουμε: z z z z z z z z z z z z z z z ή z z z i ή z z z ± i ή z z Γι z i έχουμε i i i i i άρ το z i είνι λύση κι της εξίσωσης. Όμως η έχει ργμτικούς συντελεστές οότε έχει λύση κι τη z i. Οι λύσεις της z z είνι οι μη ργμτικές κυικές ρίζες της μονάδς. Αν z είνι μί ό υτές θ ισχύει z οότε: z z z z z z z Άρ οι κοινές λύσεις είνι οι ± i Έστω συνάρτηση :, R ργωγίσιμη στο, κι το σύνολο των μιγδικών ριθμών A { i, > }. Αν υάρχουν,, με Arg z Arg z όου z z A,. Ν οδείξετε ότι:. Υάρχει θ, ώστε: ' θ θ n..ν δείξτε ότι η εφτόμενη της ερνά ό το σημείο Μ,. g [ ' θ ] θ ln a στο χ. Ο z a i εικονίζετι στο Μ, a i κι εϕ Argz Έχουμε Arg z Arg z τότε εϕ Argz εϕ Argz ή. Έστω η συνάρτηση g, [, ]. Η g ργωγίζετι στο, με ' n ' n g' Η g συνεχής στο [, ] σν ηλίκο συνεχών συνρτήσεων κι g g ό την. Άρ ό το Θεώρημ Roll υάρχει έν τουλάχιστον θ, έτσι ώστε: ' θ n θ g' θ ' θ n θ ' θ n θ θ. Είνι g ' [ ' θ ] κι η εφτόμενη στο χ είνι Ειλεγμέν θέμτ Σώλος Γιάννης Σελίδ 6

48 7 y θ ln a [ ' θ ] γι ν ερνά ό το Μ, ρέει οι συντετγμένες του ν την εληθεύουν, ράγμτι έχουμε: θ ln a [ ' θ ] ' θ θ ln a το οοίο ισχύει ό το ερώτημ. 9. Έστω συνάρτηση : [,] R ργωγίσιμη στο [,] κι. Ν οδείξετε ότι υάρχουν,,...,, τέτοι ώστε '... '. ' Χωρίζουμε το διάστημ [,] σε ισομήκη διστήμτ,,,,,,...,,. Η ργωγίσιμη στο [,], άρ ργωγίσιμη σε κθέν ό τ ράνω διστήμτ, οότε κι συνεχής σ υτά. Άρ ικνοοιούντι οι υοθέσεις του Θεωρήμτος Μέσης τιμής. Οότε υάρχουν:,,,,,,...,, τέτοι ώστε: ', ', ',, ' Οότε: '... ' ' Έστω συνάρτηση : R R με ' > γι κάθε R. Ν οδειχθεί ότι:. Ορίζετι η ντίστροφη της.. Η είνι ολοκληρώσιμη στο R. γ. Αν κι, ν δειχθεί ότι: d d. Ειλεγμέν θέμτ Σώλος Γιάννης Σελίδ 7

49 8 δ. Αν η είνι εριττή, τότε κι η είνι εριττή.. Έχουμε ' > γι κάθε R άρ η είνι γνησίως ύξουσ στο R οότε η θ είνι -, άρ ντιστρέφετι.. Εειδή η ργωγίζετι, είνι γνησίως ύξουσ στο R κι ' γι κάθε R, ό θεώρημ θ ργωγίζετι κι η στο, δηλδή συνεχής σν ργωγίσιμη οότε κι ολοκληρώσιμη. γ. Θέτουμε y y d y ' dy. Είσης γι y κι γι y οότε: d d y y ' dy d y y ' dy d [ y y ] y dy d y dy y dy φού κι. δ. Εειδή η εριττή, έχουμε: R, R κι. Γι ν είνι η : R R εριττή ρκεί: γι y R, y R κι y y. Έστω y R. Τότε υάρχει R με y ή y άρ y εριττ ή R φού R. y y ό. 9. Θεωρούμε τη συνάρτηση h γ η οοί ρουσιάζει κρόττο στο χ. Θεωρούμε τους ργμτικούς ριθμούς, με < <, την συνεχή συνάρτηση :, R γι την οοί ισχύει d κι τη συνάρτηση: g h' d, >. Ν οδείξετε ότι:. γ. Υάρχει έν τουλάχιστο, τέτοιο ώστε η εφτομένη της γρφικής ράστσης της συνάρτησης g στο σημείο, g ν είνι ράλληλη στον άξον '. γ. g. Εειδή h συνεχής συνάρτηση σν ολυωνυμική, το εσωτερικό σημείο κι η h ρουσιάζει κρόττο στο, ό Θεώρημ Frma έχουμε h '. Όμως h' γ γι κάθε R οότε h ' γ. Ειλεγμέν θέμτ Σώλος Γιάννης Σελίδ 8

50 9. Εειδή h ' η συνάρτηση g γίνετι: g d. Όμως η συνεχής στο [, ], εομένως η g ργωγίσιμη στο [, ], άρ κι συνεχής στο [, ]. Είσης g g. Άρ ό θεώρημ Roll υάρχει έν τουλάχιστον, τέτοιο ώστε g '. Δηλδή η εφτομένη της γρφικής ράστσης της g στο σημείο g είνι ράλληλη στον άξον '., γ. Έχουμε: g d, > ή g d ή ργωγίζοντς: g g' Όμως g ' άρ γι έχουμε: g g' ή g 9. Θεωρούμε συνάρτηση ορισμένη κι δύο φορές ργωγίσιμη στο Δ με τιμές,.. Ν οδειχθεί ότι η συνάρτηση g n, στρέφει τ κοίλ άνω ν κι μόνο ν: [ ] [ ] > ' ''. Ν δειχθεί ότι δεν μορεί ν είνι ' ''.. Η g στρέφει τ κοίλ άνω, ν κι μόνο ν g '' > γι κάθε. Όμως: '' ' ' g ' ' κι g'' ή [ ] [ ] '' [ ' ] [ ] [ ] '' [ ' ] > '' > [ ' ] [ ] g'' οότε: g '' >. Αν ήτν ' '' < άτοο. ό θ είχμε: [ ] [ ] > 9. Ν ρεθεί συνάρτηση g ορισμένη στο, ου ικνοοιεί τις σχέσεις: g' σϕ g g σϕ κι g /. ηµ Η δοθείσ σχέση γίνετι: g ' σϕ g σϕ' g σϕ, / g' σϕ g σϕ' g σϕ g g σϕ σϕ σϕ σϕ g Οότε: C,, σϕ Ειλεγμέν θέμτ Σώλος Γιάννης Σελίδ 9

51 Η γι / γίνετι: 5 g C σϕ / / / g / όμως g / άρ: C C / Οότε η γίνετι: g σϕ / / / C 95.. Ν ρείτε τη συνάρτηση :, R με συνεχή δεύτερη ράγωγο γι την οοί ισχύουν, ' κι '' d 5 ' d. Ν οδείξετε ότι η ντιστρέφετι κι ν ρείτε την ντίστροφή της.. Αφού συνεχής στο A,, ργωγίζοντς τη σχέση έχουμε: '' ' ' '' ' ' ' ' ' ' C, C στθερά Γι, η ροηγούμενη σχέση γίνετι: ' C C C C Άρ ' ' ' ' ' C, C στθερά Συνεώς γι, η ροηγούμενη σχέση γίνετι: C C C. Άρ. Έχουμε ' ' >. Άρ η γνησίως ύξουσ οότε κι - δηλδή η ντιστρέφετι κι : A R. Γι ν ροσδιορίσουμε το A θεωρούμε την εξίσωση y κι νζητούμε τις τιμές y γι τις οοίες η y έχει ως ρος χ λύση στο A,. Η y y y Η έχει λύση ότν y > y > Αό έχουμε: n y A y > y > Άρ y n y ή n κι ό, A,. Δηλδή: :, R με n 96. Θεωρούμε τη συνάρτηση γ γι την οοί ισχύουν: Α. Η C διέρχετι ό το σημείο Α,. Β. Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφτομένης της γρφικής ράστσης C της στο είνι. Ειλεγμέν θέμτ Σώλος Γιάννης Σελίδ 5

52 Γ. d 9. Ν υολογιστεί το ολοκλήρωμ 5 d. Ν ρεθεί η εξίσωση του κύκλου ο οοίος διέρχετι ό το σημείο Α,, έχει κτίν ρ κι το κέντρο του είνι σημείο της εφτομένης της γρφικής ράστσης της στο σημείο,. y 8y γ. Αν R, ν οδείξετε ότι τ χ, y νήκουν σε ένν ό τους κύκλους του ερωτήμτος.. Έχουμε A, C άρ: γ. Έχουμε ' λλά ' ' Άρ. Οότε το ολοκλήρωμ γίνετι: 9 9 d Οότε η γίνετι. Άρ. Έχουμε ' > γι κάθε R οότε η είνι γνησίως ύξουσ στο R άρ κι - εομένως ντιστρέφετι. Θέτουμε u u οότε d ' u du Γι η γίνετι: u u u u u u u Γι η γίνετι: u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u φού < Άρ: d u ' u du u ' u du u u u ' du u u du u u 5. Βρήκμε, άρ ', οότε κι '. Άρ η εξίσωση εφτομένης της C στο σημείο, είνι: y ' y ε : y Έστω y ρ η εξίσωση του κύκλου C με κέντρο Κ, κι ρ. Εειδή Κ, ε Ειλεγμέν θέμτ Σώλος Γιάννης Σελίδ 5

53 5 Εειδή A, C Αό κι : 7, 9 ή 7, 5. Άρ έχουμε δύο κύκλους με εξισώσεις: C : 7 y 9 C : 7 y 5 γ. Εειδή κι το όριο του ηλίκου είνι ργμτικός ριθμός θ ισχύει: y [ 8y ] y 8y... 7 y 9 ου είνι ο κύκλος C Θεωρούμε την εξίσωση γ όου,, γ R με <. Ν οδειχθεί ότι η εξίσωση έχει μι λή ργμτική ρίζ κι δύο μιγδικές.. Αν, g είνι συνεχείς συνρτήσεις κι ισχύει: d g d γι κάθε R, ν οδειχθεί ότι: g.. Έστω η συνάρτηση γ. Η ως ολυώνυμο εριττού θμού έχει μί τουλάχιστον ρίζ ρ στο R. Όμως: ' > γι κάθε R. Αφού > κι < φού < < Άρ η είνι γνησίως ύξουσ, οότε η δεν έχει άλλη ργμτική ρίζ. Η ρίζ ρ είνι λή, διότι ν ήτν τουλάχιστον διλή θ είχμε: ρ γι κάθε R κι ' ρ ρ ' γι κάθε R, οότε γι ρ : ' ρ ρ ρ ρ ρ ρ ' ρ άτοο φού ' > γι κάθε R. Εομένως η έχει μί μόνο ργμτική ρίζ λή κι εφ όσον είνι τρίτου θμού έχει στο C τρεις ρίζες, οότε οι άλλες δύο είνι μιγδικές.. Έχουμε: d g d γι κάθε R, οότε d g d γι κάθε R. Έστω η συνάρτηση h d g d, R h h φού d g h d. Άρ η h ρουσιάζει στο ελάχιστο το h. Όμως, g συνεχείς άρ η h είνι ργωγίσιμη με h' g κι εειδή το είνι εσωτερικό σημείο ό θεώρημ Frma έχουμε h '. Όμως h' g γι κάθε R οότε h ' g ή g Ειλεγμέν θέμτ Σώλος Γιάννης Σελίδ 5

54 5 98. Εστω συν ηµ συν γ IR κι η ργωγίσιμη 5 συνάρτηση με '' ' δ, ν κ γδν ν δείξτε ότι γι την g η εξίσωση g ' έχει κριώς μί ρίζ στο -ν, ν ομόσημη του κ. Είνι συν ηµ συν 5 συν ηµ συν γ Εειδή κι Αν τότε Π ± ή δεν υάρχει το όριο άρ. % ηµ συν ηµ Π 5 ηµ συν ηµ κι 5 Αν ή Π ± R 5 δεν υάρχει το όριο. Άρ % συν ηµ 9συν 9 Π γ 5 5 Είνι '' ' '' ' [ ' ]' [ ]' [ ' ]' ' c Γι 999 η c ' τότε δ Εειδή γδν τότε ν. Είνι g- g Αό Θ. Roll υάρχει, g' κ κ g' κ k κ κ, Δκ > άρ έχει δύο ρίζες χ,χ με γ P, < < >, άρ η ρίζ μονδική κι S, εειδή <, ο χ k k k k ομόσημος του κ. 99. Ν ρεθεί η ργωγίσιμη συνάρτηση γι την οοί ισχύει ' συν συν ηµ [ συν ηµ ] κι. Eινι ' συν συν ηµ [ συν ηµ ] ' συν ηµ συν ηµ συν ηµ Ειλεγμέν θέμτ Σώλος Γιάννης Σελίδ 5

55 ' συν ηµ ηµ συν συν συν Tοτε 5 [ ln συν ] συν συν [ ln συν ] c γι χ, [ ln συν ] c συν συν συν ln συν συν c. Δίνετι η συνάρτηση με χχ-χ- γι κάθε χεr ν δείξτε ότι η ντιστρέφετι κι ν ρεθεί η ντίστροφη της. Βρείτε τ σημί τομής τους ν υάρχουν των γρφικών τους ρστάσεων των κι -, κθώς κι το εμδό Ε του χωρίου ου ερικλείετι ό τις γρφικές ρστάσεις των κι -. Αν Ω{,,,,, Ε} ένς δειγμτικός χώρος με ισοίθν στοιχειώδη ενδεχόμεν ν ρεθεί η ιθνότητ του ενδεχομένου η ευθεί ψχ ν τέμνει την ρολή ψ χ με εω. Έστω, R με Tότε κι Ετσι Άρ - Οότε υάρχει - Θέτω y y y y y. Άρ Εειδή η - σν ολυωνυμική είνι συνεχής άρ κι η συνεχής. Τ κοινά σημεί του C, C - ρίσκοντι στην y. εειδή είνι συμμετρικά ως ρος υτή άρ ό τη λύση του συστήμτος y ροκύτει y ± Άρ τ κοινά σημεί,, -, Το ζητούμενο εμδόν είνι διλάσιο του εμδού ου ερικλείετι ό C - κι y κι εειδή δεν γνωρίζουμε οι ρίσκετι υεράνω της άλλης θ άρουμε το εμδό ολύτως [ ] d d E d Τότε Ω{,,,, Ε}{,,,, } Η y ρέει ν τέμνει την y, ρ το σύστημ των εξισώσεων ν έχει y δύο λύσεις y Τότε Ετσι > > 5 > τότε {,,..., 9} 5 5 > 5 > 5 < 5 κι η Ειλεγμέν θέμτ Σώλος Γιάννης Σελίδ 5

56 55 ιθνότητ Ρ 5. Eστω γ,εr με γ< οι τετμημένες των σημείων ου η ρουσιάζει τοικά κρόττ με ψχ κι χ -, ψ -, ενώ κ το ολικό ελάχιστο του γ.τ των τοικών κροτάτων της g με gχλ χ -χ, λ κι χ χ γι κάθε χεr. Αν γz γ z κ γ ισχύει hz 8 hκz, όου h μι ργωγίσιμη συνάρτηση στο R, τότε η γρφική ράστση της h κι η διχοτόμος του ου κι ου τετρτημορίου έχουν έν τουλάχιστον κοινό σημείο στο κ,. Ενώ υάρχει ρεκ,γ : [ΡΑ-ΡΒ]ρ [ΡΒ -ΡΑ ]ρ, με Α,Β ενδεχόμεν του δειγμτικού χώρου Ω. u, Aν η Q είνι συνεχής τότε η ργωγίσιμη συνάρτηση F, > δεν έχει τοικά κρόττ ν ισχύει F u dy 6 6 d - d > d - dy dy d dy 6 6 d d d d d d ν τότε ν τότε H ρουσιάζει τοικό μέγιστο στο, ενώ ρουσιάζει τοικό ελάχιστο στο. Άρ γ κι. Είνι g λ, g' λ, λ > > lnλ Aρ στο -lnλ η g ρουσιάζει ολικό ελάχιστο το ln λ g lnλ λ lnλ g lnλ lnλ, άρ ρουσιάζει κρόττο στο -lnλ, lnλ lnλ κι ο γ.τ υτού του σημείου είνι Μχ,ψ κι εειδή y lnλ y λ lnλ ln y άρ το Μ ρίσκετι σε ημιευθεί ενώ το ολικό ελάχιστο του γ.τ των τοικών κροτάτων της g είνι κ. Θέτω: φ χ -, ϕ n n ϕ Άρ η φ ρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο χ, οότε τοικό κρόττο. ϕ Άρ ό Θεώρημ Frma είνι φ n n n n n n Άρ ο z z z z z... Ειλεγμέν θέμτ Σώλος Γιάννης Σελίδ 55

57 56 Άρ έχουμε hz 8 hκz 67 h z h z h h h h Γι ν έχει η γρφική ράστση της h κι η διχοτόμος του ου κι ου τετρτημορίου έν τουλάχιστον κοινό σημείο στο κ,, ρέει y h' h' y Αρκεί ν δείξουμε ότι υάρχει έν λ, έτσι ώστε h λλ Θεωρώ συνάρτηση I h Η Ι συνεχής στο [,] κι ργωγίσιμη με Ι χh χ-χ I h I I I h h h Άρ ό Θεώρημ Roll υάρχει έν τουλάχιστον λ, έτσι ώστε Ι λ h λλ Θεωρώ συνάρτηση ϕ PA PB P'B P'A Η φ συνεχής στο [,] Η φ ργωγίσιμη στο, με ϕ ' [ PA PB ] [ P'B P'A ] ϕ ϕ ϕ ϕ Άρ ό Θεώρημ Roll υάρχει έν ρ, έτσι ώστε [ PA PB ] ρ [ P'B P'A ] ρ ϕ ' ρ Εειδή η Q είνι συνεχής στο.ο θ είνι κι στο χ τότε Q Q Q Είνι Q u u, Q..., Qu Tότε u άρ u- 999 Έστω ότι στο χ έχει Τ.Α. τότε F χ Σ F F Γι χχ - άτοο. Άρ δεν έχει Τ.Α.. Αν R, > κι g με,g * ργωγίσιμες ν δείξτε ότι δεν υάρχει IR ώστε οι εφτόμενες στ σημεί M, κι N, g ν είνι ράλληλες ρος την ευθεί y 8. Θεωρώ συνάρτηση g g Είνι g g Άρ στο η g ρουσιάζει τοικό ελάχιστο. g Άρ ό Θ. Frma θ ισχύει g, g n g n n n Έστω ότι είνι ράλληλες οι εφτόμενες των C, Cg στο στην ευθεί y8 θ ρέει κι g Ειλεγμέν θέμτ Σώλος Γιάννης Σελίδ 56

58 57 Είνι g gg Γι, άτοο γιτί - Έστω η F με F στο R F * R ισχύει F > F > > * Άρ άτοο δεν υάρχει IR. F F -. Έστω η ργωγίσιμη στο [,] με χ> κι F μι ρχική της κι F δείξτε ότι F Είνι F Έστω h με h F h F Στο, εφρμόζουμε Θ.Μ.Τ.Δ.Λ. στη. κ, : κ κ h κ κ < γιτί > γνησίως ύξουσ Τότε < κ < κ έτσι h γνησίως φθίνουσ h h h h h άρ h F 5. Εστω η συνάρτηση R η οοί 5 8 ρουσιάζει στο χ τοικό κρόττο 7k 7k κι η φ με φ χ 7,κ> ου στο χ ρουσιάζει ολικό μέγιστο κι g, οι η λάγι σύμτωτη της g στο., Αν h ν δείξτε ότι η h είνι συνεχής κι γνησίως φθίνουσ, 8 Ειλεγμέν θέμτ Σώλος Γιάννης Σελίδ 57

59 58 στο R κι -< -. Είνι 8 R' κι εειδή στο χ ρουσιάζει τοικό κρόττο τότε R ' 9 7A 7A Φ 7 7A, Φ Φ > <. Άρ Τότε 9 Φ Φ - g g g Πλάγι σύμτωτη στο λ g λ Άρ y λ y η λάγι σύμτωτη Γι ν είνι συνεχής ρέει h h, h h % h Άρ η h συνεχής στο * Αν R h Έστω η Φ στο R, * Φ R Φ < Φ < h < h γνησίως φθίνουσ στο R. Είνι < < h > h > > 5. Δίνετι η με ορισμένη στο [,. Ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό την C, ',,. '' '' > > < < άτοο [, [, ' ' ' γνησίως φθίνουσ [, ', Ειλεγμέν θέμτ Σώλος Γιάννης Σελίδ 58

60 59 Τότε E d d Αν ορισμένη στο IR κι ' IR ν ρεθεί το εμδό ου ερικλείετι ό την C, ',, ν. Είνι ' ' c c c άρ ' IR Τότε E d d... c Έστω δύο φορές ργωγίσιμη στο [, με 5,,, d 7 κι γνησίως ύξουσ. Έστω η g στο [, με g '. Ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό την C g, ',,. Είνι g' '' [,, ' γνησίως ύξουσ '' > Τότε g' g γνησίως ύξουσ στο [,. Αν g g ' g Τότε E g d [ ' ] d ' d d [ ] ' d 7 [ ] d 7 [ 5] 7 7 τ. µ. 8. Έστω η. Ν ρεθεί η εφτόμενη ε της C ου ερνά ό ρχή ξόνων. Ποιο το εμδόν ό C, ε κι θετικούς ημιάξονες. Έστω M, y C, ε: ' y y, ε M, O y ε: y y g [,] g E [ g ] d d O Μ ε Ειλεγμέν θέμτ Σώλος Γιάννης Σελίδ 59

61 6 9. Έστω η ln. Ν ρεθεί η εφτόμενη ε της C ου ερνά ό ρχή ξόνων. Ποιο το εμδόν ό C, ε κι θετικούς ημιάξονες. Έστω M, y C, ε: y ' y l n O, ε n Μ y M, Ο Α ε: y y g [ ] E g d g d d n d. Έστω η τον. Ν ρεθεί η εφτόμενη ε της ', ου ερνά ό το θετικούς ημιάξονες. C, εκτός ό A,. Ποιο το εμδόν ό C, ε κι, y C, ε: y ' y Έστω M A ε ε: y y g E / ορ. y M, / [ g ] d d [ ] d d / / Ο Α ε Μ. Δίνετι η με κι η ευθεί ε: y λ. Ν ρεθεί ο λ> ώστε η C ν τέμνετι ό την ε σε δύο σημεί ώστε το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ν είνι 8. Οι συντετγμένες των Α, Β ό τη λύση του συστήμτος y λ 5 οι ρίζες της είνι οι τετμημένες, των Α, Β τότε y λ S λ, P 5 λ, λ λ λ 5. Έστω g λ, g [, ] Πρέει E [ g ] d λ d a Ειλεγμέν θέμτ Σώλος Γιάννης Σελίδ 6

62 6 λ 8 6 λ 8 6 λ 5 λ 5 8 λ 5 / λ 5 λ 5 9 λ λ ± άρ λ γιτί λ >. Α Ο Β ε. Αν ' ηµ IR, ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό την C, ',,. Είνι ' ηµ ' ηµ ηµ d ηµ d ηµ d... c συν / ηµ συν d ηµ συν c ηµ συν / ηµ, Τότε E d... c,. Αν ' συν συν, ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό την C g, ',, όου g συν. Είνι [ ] [ ] ηµ ηµ ηµ ηµ ηµ ' συν συν ' συν συν ηµ ηµ ηµ ηµ c c, c, ηµ ηµ Είνι g συν συν συν συν g, / / ηµ ηµ / Τότε E g d συν συν d [ ηµ ].... Ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό την C, g,, με όου g' ηµ συν R g. Είνι [ g ] g' ' ηµ συν ηµ συν ηµ g ηµ c Γι g ηµ c g c c, g ηµ Θέτω ' Ειλεγμέν θέμτ Σώλος Γιάννης Σελίδ 6

63 6 ω nω ηµ n g ω ωηµ nω. Τότε ηµ n E d ηµ n d [ συνn ].... Είνι > [, ]. 5. Έστω η ου σε κάθε σημείο M, y της C η εφτόμενη έχει σ.δ.. Αν ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου ό C, ',,. Στο Μ της C η εφτόμενη ε έχει σ.δ. λε ' ' IR Άρ ' ' d d ' d... c Είνι c άρ, > IR E d d d 6. Δίνετι η με. Δείξτε ότι ρουσιάζει δύο σημεί τοικών κροτάτων κι έν σημείο κμής κι ότι τ τρί σημεί είνι συνευθεικά. Αν ε η ευθεί ου ορίζουν τότε ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου ου σχημτίζετι ό ε κι C. Π.Ο. AR, ' 6, '' 6 6 Άρ η ρουσιάζει Τ.Α. στ Κ,, λ, κι Σ.Κ. στο Μ, yκ yλ yκ yμ λ ΚΛ, λ ΚΜ, ΚΛ ράλληλη ΚΜ Κ Λ Κ Μ Κ, Λ, Μ συνευθεικά ε: y yκ λ ΚΛ Κ y y, g Έστω η h με h g [ g ] d [ g ] d... E 7. Δίνετι η με ώστε η γρφική ράστση C εφάτετι στον ' έχει σημείο κμής στο. Ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου ό C, ',, Π.Ο. AR, ', '' 6 Στο Σ.Κ. άρ '' Έστω M, της C ου εφάτετι στον ' τότε Ειλεγμέν θέμτ Σώλος Γιάννης Σελίδ 6

64 ' 6 Άρ, E d d 8. Έστω η με με IR κι στο ρουσιάζει τοικό κρόττο. Ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου ό C, ',,. Π.Ο. AR, ' Στο Τ.Α. άρ ' Αν στο έχει μέγιστο άρ ',, E d d 9. Αν ' R, ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό την C, ',,. { } Είνι ' ' ' c' c c c Είνι < [,], E d d.... Αν ' R, ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό την C, ',,. { } Είνι ' ' ' ' c [ ] c' c c Είνι > [,] E d d [ n ].... Aν ' R, >, ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό την C, ',,. Ειλεγμέν θέμτ Σώλος Γιάννης Σελίδ 6

65 ' ' 6 Είνι [ n ] n c c c c E d d... > R. Αν ' ηµ συν,,, ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό την C, ',,. Είνι ' ηµ συν ' ηµ συν [ συν] συν συν c c συν c άρ συν. Είνι >, / / άρ E d συν d [ ηµ ].... Ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό την C g,, /, ' ν g' g ηµ συν, g. Είνι g' g' g g' g g ηµ συν ηµ συν ηµ συν g g ' c g συν ηµ συν ηµ συν ηµ g c άρ g συν ηµ Είνι, / E / / [ συν ηµ ] d [ ηµ ] g [ ] / g d.... Αν ' ηµ συν ηµ,, >, ρεθεί το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό όου g. C g, ', c /,, ν, Είνι ηµ συν ηµ ' ηµ συν ηµ ' ηµ Ειλεγμέν θέμτ Σώλος Γιάννης Σελίδ 6

66 ηµ ηµ ηµ ηµ 65 n n ' ηµ ηµ ηµ c c ηµ / / c c άρ / ηµ, τότε g ηµ / άρ E g d ηµ d [ συν] /... / /, g >, 5. Έστω συνεχής στο [, ], > με [, ] κι >. Ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό C, ',,. Είνι E d κι d d d Θέτω ω, dω d d dω, ω ω d ω dω d, d E 6. Έστω συνεχής συνάρτηση : R R με > R, Α>. Ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό C, ',,. Είνι : R R άρ R άρ E d d d Θέτω a d d,, d d d Θέτω d d, d d d E d d [ ] d Ειλεγμέν θέμτ Σώλος Γιάννης Σελίδ 65

67 d E Έστω η με >,. Ν ρεθεί ο τύος της ν ερνά ό το σημείο, κι η εφτομένη στο τυχίο σημείο, υτής τέμνει τον O στο σημείο,,. y Η εφτόμενη στο τυχίο σημείο,, ε: y '. y Το, E ' ' ' ', Άρ, ' n c n [ n ] n c n n c c Το, C c. Τότε n 8. Ν ρεθεί η ν ' κι n n n n Είνι ' n n n c, c. Άρ. n n 9. Έστω η συνεχής στο Δ κι,, γ, δ δείξτε ότι: δ d d d d d d Α μέλος γ γ δ δ d d d d d d d d δ γ δ γ d d d d d d γ γ δ d d d d d d γ γ δ γ δ γ γ δ γ γ δ γ γ d Ειλεγμέν θέμτ Σώλος Γιάννης Σελίδ 66

68 Ειλεγμέν θέμτ Σώλος Γιάννης Σελίδ δ γ δ γ γ δ γ δ γ d d d d d d d d δ δ γ γ γ γ d d d d d d. Ν υολογιστεί το d ν ' n > Είνι n n n ' ' ' : [ ] [ ] c n n n n. Γι c c n n Άρ n n... d d. Ν ρεθεί η ργωγίσιμη συνάρτηση ν IR d Είνι d ' ' [ ] [ ] c Γι Σ c d άρ. Ν ρεθεί η με d, >, >, ργωγίσιμη. Έχουμε ' ' d [ ] c n n n n ' ' c c n Γι Σ c d Άρ

69 68. Αν ', > > κι το d. ν υολογιστεί Είνι ' ' [ n ] [ n ] n n c Γι n n c n c c τότε n n n. Αν IR Είνι Θέτω d d d... d τότε δείξτε ότι η εριττή. IR d d d d d d d g d, g ' Τότε g g g' g' ' άρ η εριττή. 5. Ν ρεθεί το ηµ d Είνι % γιτί ηµ ηµ d d ηµ ηµ d ηµ n ηµ ' συν ηµ n ηµ % [ n ηµ ] n ηµ Ειλεγμέν θέμτ Σώλος Γιάννης Σελίδ 68

70 Ειλεγμέν θέμτ Σώλος Γιάννης Σελίδ Ν ρεθεί το d n d % % n n d n d d n d n 7. Ν ρεθούν τ όρι d ηµ κι d ' % d d d ηµ ηµ ηµ % ηµ ' % d d d... % 8. Ν ρεθούν τ όρι 8 d, d ηµ συν συν, d ' 8 8 ' 8 8 % d d

71 Ειλεγμέν θέμτ Σώλος Γιάννης Σελίδ n n n n n d d % ' ηµ συν συν ηµ συν συν ηµ συν συν ηµ συν συν ' ' ' ' % % συν συν συν ηµ ηµ ηµ συν ηµ ηµ ηµ ηµ συν συν % ' d d n γιτί [ ] ' % n n n 9. Έστω η με n l, >, δείξτε ότι d ' n l Έστω > ], [ d n d d n n n l l l l n d n l l [ ] ' n n l l, όμοι n Τότε ό το κριτήριο ρεμολής λόγω d. Αν 5 ' R όου μι ργωγίσιμη στο R συνάρτηση τότε 5 d d Έστω η g με g 5 ορισμένη στο R, g g 5 ' ' 5 5 ύξουσ g g g 5 5 5