Καθ. Γιάννης Γαροφαλάκης. ΜΔΕ Επιστήμης και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Transcript

1 Α Α Π Σ Δ 10: Δ Γ -Θ Καθ Γιάννης Γαροφαάκης ΜΔΕ Επιστήης και Τεχνοογίας Υποογιστών Τήα Μηχανικών Η/Υ & Πηροφορικής

2 Διαδικασίες Γεννήσεων-Θανάτων Defini on (Birth-Death-Process (BDP)) Μία στοχαστική διαδικασία συνεχούς χρόνου, N(t), καείται διαδικασία γεννήσεων-θανάτων αν οι πιθανότητες ετάβασής της, είναι ανεξάρτητες του t και ικανοποιούν: Pr{N(t+h) = n+m N(t) = n} = Διάγραα Καταστάσεων Γενικής BDP: n h + o(h) αν m = 1, n h + o(h) αν m = 1, 1 ( n + n )h + o(h) αν m = 0, o(h) αν m > 1 (1) 0 1 2

3 Γενική ύση της BDP I Επιθυούε να υποογίσουε την πιθανότητα p n (t) = Pr{N(t) = n}, Θεωρούε την πιθανότητα p n (t + h) Για να υποογίσουε την πιθανότητα αυτή παρατηρούε πως τη στιγή t + h ο πηθυσός στο σύστηά ας είναι n όνο αν συβεί ένα από τα παρακάτω γεγονότα: 1 N(t) = n, και στο διάστηα (t, t + h] δεν συβαίνει ούτε γέννηση ούτε θάνατος 2 N(t) = n 1, και στο διάστηα (t, t + h] συβαίνει ία γέννηση 3 N(t) = n + 1, και στο διάστηα (t, t + h] συβαίνει ένας θάνατος 4 To N(t) είναι διάφορο του n 1, n, n + 1 αά δύο ή περισσότερες γεννήσεις/θάνατοι συνέβησαν στο (t, t + h], ε αποτέεσα να έχουε N(t + h) = n

4 Γενική ύση της BDP II Από τον ορισό 1 το τέταρτο γεγονός έχει πιθανότητα o(h) Επίσης τα τρία πρώτα γεγονότα είναι αοιβαία αποκειόενα και κατά συνέπεια οι πιθανότητές τους αθροίζουν Άρα έχουε: p n (t + h) = p n (t)( n h n h + o(h)) + p n (t)( n h + o(h)) +p n+ (t)( n+ h + o(h)) + o(h) (2) Αφαιρούε p n (t) και από τα δύο έη της παραπάνω εξίσωσης και διαιρούε ε h Έπειτα παίρνοντας όρια καθώς το h 0, προκύπτει το ακόουθο σύστηα διαφορικών εξισώσεων-εξισώσεων διαφορών: d dt (p n(t)) = ( n + n )p n (t) + n p n (t) + n+ p n+ (t), d dt (p (t)) = p (t) + p (t) n =,, (3) Το οποίο κοψότερα σε ητρική ορφή γράφεται: dp(t) = p(t)q, ε γεννήτορα Q = dt (4)

5 Γενική ύση της BDP III Λύση Κατάστασης Ισορροπίας Θέουε να βρούε τη ύση του συστήατος σε κατάσταση ισορροπίας Δηαδή, θέουε να βρούε τις πιθανότητες lim t p n(t) = π n Προφανώς, όταν το σύστηα θα βρίσκεται σε ισορροπία θα ισχύει lim dp n(t)/dt = 0 Συνεπώς, αντικαθιστώντας στην 3, προκύπτουν οι t παρακάτω γραικές εξισώσεις διαφορών: n+ π n+ n π n = n π n n π n π π = n π n = n π n, (5)

6 Γενική ύση της BDP IV Αντίστοιχα σε ητρική ορφή η ύση ικανοποιεί την εξίσωση Λύνοντας την παραπάνω παίρνει κανείς π n = n π, ε π = n πq = 0 (6) n= n n Σηειώνεται τέος πως η ύση υπάρχει αν και όνο αν το τεευταίο άθροισα συγκίνει

7 Συστήατα Αναονής ΓΕΝΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Περιγραφή: Χρήσια Μεγέθη: Σηειογραφία Kendall: A/B/C/D/E A B C D E Κατανοή χρόνου εταξύ διαδοχικών Αφίξεων: = Εκθετική, D = Ντετερινιστική, E k = Erlangian, G = Γενική κπ Κατανοή χρόνου εξυπηρέτησης: = Εκθετική, D = Ντετερινιστική, E k = Erlangian, G = Γενική κπ Αριθός Εξυπηρετητών Μέγιστος αριθός πεατών στο σύστηα (ουρά και εξυπηρέτηση) Default: Ποιτική Εξυπηρέτησης: FCFS, LCFS, SIRO κπ Default: FCFS 1 Χρησιοποίηση: ρ = X 2 Χρόνος Εξυπηρέτησης: ε E[ ] = / 3 Αριθός Πεατών: N ε PMF p N (n) = π n 4 Αριθός Πεατών στην Ουρά: N Q ε 5 Χρόνος Απόκρισης: ε CDF F T (t) 6 Χρόνος Αναονής στην ουρά: W ε CDF F W (t) 7 Βασικό Εργαείο Mean Value Ανάυσης: Νόος του Li le E[N Q ] = E[W] E[N] = E[T] ρ = E[X] κοκ

8 Διαδικασία Αφίξεων Poisson I Μαθηατική Περιγραφή: BDP ε n = n = n Κατανοή αριθού αφίξεων, N(t), σε διάστηα t: Poisson ε παράετρο t, δηαδή: Pr{N(t) = j} = (t)j e t, j = 0, 1, 2, j! Κατανοή χρόνου εταξύ διαδοχικών αφίξεων: Εκθετική ε παράετρο Pr{Χ i τ} = 1 e τ, i = 1, 2,

9 Διαδικασία Αφίξεων Poisson II Η Διαδικασία Poisson κηρονοεί ΟΛΕΣ τις κοψές ιδιότητες της Bernoulli! Συγκεκριένα: Ιδιότητα Ανησίας Διαχωρισός Συνένωση PP() 1 q q PP((1 q)) PP(q) PP() PP( + ) PP()

10 To M/M/1 Σύστηα Αναονής Μαθηατική Περιγραφή: BDP ε n = n = n Χρησιοποίηση: ρ = / Κατανοή Αριθού Πεατών: p N (n) = π n = ( ρ)ρ n, Από p N (n) και Νόο του Li le: E[N] = ρ ρ E[N Q ] = E[N] + ρ = ρ ρ E[T] = E[N] E[W] = E[N Q] = = ρ n Κατανοή Χρόνου Απόκρισης: F T (t) = e ( ρ)t Κατανοή Χρόνου Αναονής: F W (t) = ρe ( ρ)t

11 To M/M/k Σύστηα Μαθηατική Περιγραφή: BDP ε n = n = min{n, k} k-1 k k (k 1) k k k Χρησιοποίηση: ρ = k Κατανοή Αριθού Πεατών: p N (n) = π n = k (kρ) i + (kρ)k i= i! k!( ρ), n = (kρ) π n, n k n!, n > k π k k ρ n k! Πιθανότητα ένας πεάτης που φθάνει να χρειαστεί να περιένει: Χρήσιοι Μέσοι Όροι: E[W] = ρp Q ( ρ) E[N Q ] = ρp Q ρ E[T] = + E[W] E[N] = kρ + E[NQ ] Κατανοή Χρόνου Αναονής: F W (t) = P Q e k( ρ)t Κατανοή Χρόνου Απόκρισης: P Q = π (kρ) k k! ( ρ) (Erlang C Formula) F (t) = P Q P Q k( ρ) e k( ρ)t + e t k( ρ)

12 To M/M/k/k Σύστηα Αναονής Μαθηατική Περιγραφή: BDP ε n = n = n, n = 0, 1,, k k-1 k 2 3 (k 1) k Κατανοή Αριθού Πεατών: p N (n) = π n = k i= i i!, n = π i i!, Πιθανότητα ένας πεάτης που φθάνει να χαθεί: n =,,, k π k = (/)k /k! k i= (/)i /i! (Erlang B Formula)

13 To M/M/ σύστηα Μαθηατική Περιγραφή: BDP ε n = n = n n 2 3 n (n + 1) Κατανοή Αριθού Πεατών: Poisson ε παράετρο / π n = (/)n e / n!

14 Άσκηση - Εκφώνηση Πεάτης A m ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Μ / Μ / m Τη στιγή t = 0 ο πεάτης A καταθέτει ία αίτηση εξυπηρέτησης και βρίσκει όους τους m εξυπηρετητές απασχοηένους και άους n πεάτες να περιένουν σε ένα M/M/m σύστηα αναονής Όοι οι πεάτες περιένουν όσο χρόνο χρειάζεται για να εξυπηρετηθούν και η ποιτική εξυπηρέτησης είναι FCFS, ενώ το σύστηα παύει να δέχεται άες αιτήσεις Οι χρόνοι εξυπηρέτησης στους servers θεωρούε πως είναι εκθετικά κατανεηένοι ε ρυθό

15 Άσκηση - Ζητούενα 1 Να βρεθεί ο έσος χρόνος αναονής του πεάτη Α, E[W A ] 2 Να βρεθεί το έσο χρονικό διάστηα που πρέπει να περάσει από τη στιγή άφιξης του Α (t = 0) έχρι να αδειάσει τεείως το σύστηα 3 Έστω X η τυχαία εταβητή που ετρά τη σειρά οοκήρωσης της εξυπηρέτησης του Α (αν για παράδειγα Χ = k αν ο k είναι ο k-οστός πεάτης που φεύγει από το σύστηα) Να βρεθεί η κατανοή της X 4 Να βρεθεί η πιθανότητα ο Α να οοκηρώσει την εξυπηρέτησή του πριν τον πεάτη που βρίσκεται ακριβώς προστά του 5 Να βρεθεί η κατανοή της τυχαίας εταβητής W A

16 Χρηατοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υικό έχει αναπτυχθεί στo παίσιo του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα Το έργο «Ανοικτά Ακαδηαϊκά Μαθήατα στο Πανεπιστήιο Πατρών» έχει χρηατοδοτήσει όνο την αναδιαόρφωση του εκπαιδευτικού υικού Το έργο υοποιείται στο παίσιο του Επιχειρησιακού Προγράατος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηατοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταείο) και από εθνικούς πόρους

17 Σηείωα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτεεί την έκδοση 100

18 Σηείωα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήιο Πατρών, Γιάννης Γαροφαάκης «Ανάυση Απόδοσης Πηροφοριακών Συστηάτων Διαδικασίες Γεννήσεων - Θανάτων» Έκδοση: 10 Πάτρα 2015 Διαθέσιο από τη δικτυακή διεύθυνση:

19 Σηείωα Αδειοδότησης Το παρόν υικό διατίθεται ε τους όρους της άδειας χρήσης Crea ve Commons Αναφορά, Μη Επορική Χρήση Παρόοια Διανοή 40 [1] ή εταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση Εξαιρούνται τα αυτοτεή έργα τρίτων πχ φωτογραφίες, διαγράατα κπ, τα οποία επεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται αζί ε τους όρους χρήσης τους στο «Σηείωα Χρήσης Έργων Τρίτων» Ως Μη Επορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιαβάνει άεσο ή έεσο οικονοικό όφεος από την χρήση του έργου, για το διανοέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιαβάνει οικονοική συνααγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανοέα του έργου και αδειοδόχο έεσο οικονοικό όφεος (πχ διαφηίσεις) από την προβοή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος πορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιοποιεί το έργο για επορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί