3.6 Valori şi vectori proprii. Fie V un K-spaţiu vectorial n-dimensional şi A L K (V) un operator liniar.

Transcript

1 Algebră lnră, geometre nltcă ş dferenţlă 6 Vlor ş vector propr Fe V un K-spţu vectorl n-dmensonl ş A L K (V) un opertor lnr Defnţ 6 Un vector x V, x se numeşte vector propru l opertorulu A dcă exstă K stfel încât (6) A(x) = x Sclrul K se numeşte vlore propre lu A corespunzătore vectorulu propru x Mulţme vlorlor propr le opertorulu lnr A se numeşte spectrul opertorulu A ş se noteză cu σ (A) Propozţ 6 Mulţme tuturor vectorlor propr, corespunzător vlor propr, l cre se dugă vectorul nul V este un subspţu vectorl l lu V, nott V Acest subspţu se numeşte subspţul propru corespunzător vlor propr Demonstrţe Observăm că A( V ) = V Dec V = {x V, A(x) = x } Fe x, y V ş α K Vom răt că x + y, αx V Într-devăr, folosnd propretăţle opertorulu lnr A, vem A(x + y) = A(x) + A(y) = x + y = (x + y) ş x + y V Anlog, A(αx) = α(x) = (α)x = (α)x = (αx) Dec αx V 5

2 Vlor ş vector propr Propozţ 6 Vector propr ce corespund l vlor propr dstncte sunt lnr ndependenţ Demonstrţe Demonstrăm prn nducţe după n, n N * că vector propr x, x,, x n, corespunzător vlorlor propr dstncte,,, n sunt lnr ndependenţ Dcă n = ş x, tunc mulţme {x } este în mod evdent lnr ndependentă Presupunând proprette devărtă pentru n- vector propr, vom răt că cest este devărtă ş pentru n Dcă (6) α x + α x + + α n x n = este o combnţe lnră nulă formtă cu vector propr x, x,, x n, tunc, folosnd propretăţle opertorulu lnr A, obţnem succesv A(α x + α x + + α n x n ) = V, α A(x ) + α A(x ) + + α n A(x n ) = ş α x + α x + + α n n x n = Înmulţnd relţ (6) cu - n ş dunând-o cu relţ de m sus, obţnem α ( - n )x + + α n- ( n- - n )x n- = Deorece j pentru toţ j,, j {,,n} ş x, x,, x n- sunt lnr ndependenţ, conform poteze de nducţe, rezultă că α = α = = α n - = Folosnd dn nou relţ (6), deducem că ş α n = Dec x, x,, x n sunt lnr ndependenţ Observţ 6 Dn propozţ de m sus rezultă medt că subspţle propr V, V corespunzătore vlorlor propr dstncte u în comun num vectorul nul(exercţu) Propozţ 6 Dcă,,, k sunt vlor propr dstncte le opertorulu A L K (V) tunc sum V + V + + V k este drectă 6

3 Algebră lnră, geometre nltcă ş dferenţlă Demonstrţe Fe x V + V + + V k Pentru c sum să fe drectă, trebue să rătăm că x se scre în mod unc c o sumă de vector dn V, =,, k Presupunem prn bsurd că x dmte două stfel de screr dferte Dec exstă x, y V, =,, k ş o submulţme nevdă I {,, k} stfel k încât x = x = yş x y pentru I, x = y pentru {,, k} \ I De = k = c deducem că ( x ) = V k = y ei (6) ( x ) = V y Observăm că pentru fecre I, x - y este vlore propre lu V Aplcând Propozţ 6, deducem că { x y, I } este sstem lnr ndependent, cee ce contrzce relţ (6) Dec screre lu x c o sumă de vector dn este drectă V, =,, k este uncă ş, în consecnţă, sum subspţlor Defnţ 6 Fe A M n (K), K = R su C Mtrce X M nx (K), X se numeşte vector propru l mtrce A dcă K stfel încât AX = X Sclrul K se numeşte vlore propre mtrce A Dcă A = ( j ),j=,n, X = (x ) =,n ş I este mtrce untte de ordnul n cu elemente dn K, tunc ecuţ mtrcelă AX = X pote f scrsă sub form (A - I )X = su, echvlent, 7

4 (6) Vlor ş vector propr ( ) x + x + + nxn = x + ( ) x + + nxn = nx + n x + + ( nn ) xn = Este bne cunoscut fptul că sstemul de ecuţ lnre ş omogene de m sus dmte soluţ dferte de soluţ bnlă dcă ş num dcă n (64) P A () = det(a - I ) = = n n - nn n Polnomul P() defnt de relţ de m sus se numeşte polnomul crcterstc l mtrce A r ecuţ P() = se numeşte ecuţ crcterstcă mtrce A Propozţ 64 Dcă mtrcele A, B M n (K) sunt semene, tunc P A () = P A () Demonstrţe Fe A, B M n (K) două mtrce semene Conform Observţe 5, exstă o mtrce C M n (K) nversblă î B = C - AC Atunc P B () = det(b - I ) = det(c - AC - I ) = det[c - (A - I)C] = det(c - ) det(a - I) detc= det(a - I) = P A () Dn propozţ de m sus rezultă că polnomul crcterstc l mtrce socte unu opertor lnr A L K (V) nu depnde de legere bze spţulu vectorl V, dm K V = n În consecnţă putem ntroduce următore defnţe Defnţ 6 Fe A L K (V), dm K V = n Dcă B este o bză în V ş M este mtrce soctă opertorulu A în bz B, tunc numm 8

5 Algebră lnră, geometre nltcă ş dferenţlă polnom crcterstc l opertorulu A, polnomul crcterstc l mtrce M (nott cum P A ()) Având în vedere cele de m sus, putem concluzon că este vlore propre opertorulu lnr A L K (V) dcă ş num dcă este o rădăcnă polnomulu crcterstc P A () su, ltfel spus, dcă este rădăcnă ecuţe crcterstce mtrce M Defnţ 64 Fe V un K-spţu vector î dm K V = n ş A L K (V) Fe o vlore propre opertorulu lnr A Dcă P A ()=( - ) m Q(), m N * ş Q( ), tunc m se numeşte multplctte lgebrcă vlor propr ş se noteză m ( ) Dmensune subspţulu propru V corespunzător vlor propr se numeşte multplctte geometrcă vlor propr ş se noteză m g ( ) Propozţ 65 În potezele dn defnţ de m sus, vem m g ( ) m ( ) Demonstrţe Fe V subspţulu propru corespunzător vlor propr opertorulu lnr A Fe m = m g ( ) ş B ={e, e,, e m } o bză lu V pe cre o completm l o bză B={e, e,, e m, e m+,, e n } lu V Observăm că A(e ) = e, A(e ) = e,, A(e m ) = e m Mtrce soctă 9

6 Vlor ş vector propr opertorulu A în bz B este de form m m,m+ n,m+ Acum este clr că polnomul crcterstc soct lu A este P A () = ( - ) m Q() ş m m ( ) Teorem 6 (Hmlton Cyley) Dcă A M n (K), K = R su C ş P A () este polnomul crcterstc l mtrce A, tunc P A (A) = Demonstrţe Fe P A () = det(a - I) = n + n- + + n, polnomul crcterstc l mtrce A Dn defnţ mtrce recproce, rezultă uşor că recproc *) mtrce A - I este n mn nn (A - I)* = B n- n- + B n- n- + + B + B, B M n (K) ş stsfce relţ (A - I) (A - I)* = det (A - I) I su, echvlent, (A - I) (A - I)* = P A () I De c obţnem *) Remntm c că pentru orce mtrce A M n (K), mtrce s recprocă (nottă A*) se obţne prn înlocure elementelor mtrce trnspuse t A cu complemenţ lgebrc corespunzător (Complementul lgebrc l elementulu j l mtrce A este numărul (- ) +j γ j, unde γ j este mnorul (determnntul) de ordnul n- l mtrce A obţnut prn tăere lne ş colone j mtrce A) Este bne cunoscută relţ AA * = (deta) I

7 Algebră lnră, geometre nltcă ş dferenţlă (A - I) (B n- n- + B n- n- + + B + B ) = ( n + n- + + n )I Identfcând coefcenţ polnomelor în, obţnem I = - B n- A n I = A B n- B n- A n- I = A B n- B n- A n- n- I = A B B A n I = A B A Înmulţm pe rând relţle de m sus cu A n, A n-, A n-,a ş respectv A = I ş dunându-le obţnem A n + A n- + + I =, cee ce trebu demonstrt 7 Opertor lnr dgonlzbl Consderăm spţul vectorl n-dmensonl V defnt peste corpul comuttv K Fe A L K (V) Defnţ 7 Opertorul lnr A se numeşte dgonlzbl dcă exstă o bză B = {e, e,, e n } în spţul vectorl V stfel încât mtrce corespunzătore lu A în cestă bză să bă form dgonlă Propozţ 7 Opertorul lnr A este dgonlzbl dcă ş num dcă exstă o bză spţulu vectorl V n formtă num dn vector propr opertorulu A Demonstrţe Dcă A este dgonlzbl, tunc exstă o bză

8 Vlor ş vector propr B = {e, e,, e n } în rport cu cre mtrce soctă A = ( j ),j =,n re form dgonlă, dcă j =, pentru toţ j,,j =,, n Deorece A (e ) = e, =,, n, deducem că e, =,, n sunt vector propr pentru A Recproc Dcă {v, v,, v n } este o bză lu V, formtă num dn vector propr, tunc A(v ) = v, pentru toţ =,, n ş mtrce soctă lu A în cestă bză ested = n (Ac sclr K nu sunt nepărt dstncţ) În condţle teoreme precedente, mtrcele socte opertorulu lnr A în dferte bze le spţulu vectorl V se numesc dgonlzble Teorem 7 Opertorul lnr A L K (V) este dgonlzbl dcă ş num dcă polnomul său crcterstc re tote rădăcnle în corpul K ş dmensune fecăru subspţu propru este eglă cu multplctte lgebrcă vlor propr corespunzătore Demonstrţe Dcă A este dgonlzbl, tunc exstă o bză B = {e, e,, e n } V, formtă num dn vector propr, în rport cu cre mtrce soctă re form dgonlă D = dg(d, d,, d n ) Polnomul crcterstc l lu A este P A () = (-) n ( - d )( - d )( - d n ) ş este clr că ecuţ crcterstcă P A () = re tote rădăcnle în corpul K Dec tote vlorle propr le lu A sunt în K Trebue să demonstrăm că multplctăţle lor lgebrce concd cu cele geometrce Descompus în fctor prm, polnomul crcterstc P A () se scre sub form P A () = (-) n

9 Algebră lnră, geometre nltcă ş dferenţlă m ( ) m ( ) mp ( ), unde m p N *, =,,p ş p = m = n Evdent =,,p sunt tote vlorle propr dstncte le lu A, r, pentru fecre =,,p, m este multplctte lgebrcă vlor propr Fără restrânge generltte, dmtem că prm m vector dn bz B = {e, e,, e n } sunt vector propr corespunzător vlor propr, următor m lu etc Rezultă că {e, e,, e m } V ş m = m ( ) dm V = m g ( ) Aplcând Propozţ 65, deducem că m ( ) = m g ( ) În mod semănător se demonstreză fptul că multplctăţle lgebrce ş geometrce sunt egle ş pentru celellte vlor propr Recproc, presupunem că tote vlorle propr le opertorulu A sunt în K ş că dmensune fecăru subspţu propru este eglă cu multplctte lgebrcă vlor propr corespunzătore Fe K, =,, p, tote vlorle propr (dstncte) le opertorulu A, cu multplctăţle lgebrce m p egle cu cele geometrce ( m = n, dm V = m ) Consderăm mulţme B = {e, e,, e m, e, e,, e m,, e p, e pm }, convennd c B p = {e, e,, e m } să formeze o bză în V, =,, p Arătăm că B este sstem lnr ndependent în V Într-devăr, fe α e + α e + + m α p e p + + α pmp e + α m e pm = p V Relţ de m sus se m scre v = v + (-) v m + + (-) v p, unde v = α e j j V, =,, p În mod evdent v S = V + V + + V p j= Pe de ltă prte, v = v + V + + V Deorece S este sumă drectă, conform Propozţe 6 rezultă că screre lu v c o sumă

10 de vector dn m j= j e j Vlor ş vector propr V, =,, p este uncă, dcă v = v = = v p = V Dec α =, =,, p ş m obţnut combnţ lnre nule formte cu vector bzelor B, =,, p Rezultă că α j =, pentru toţ j =,,m, =,, p Dec B este sstem lnr ndependent în V Fml B este bză în V căc numărul de vector dn B este egl cu dmensune lu V Mtrce soctă opertorulu lnr A în bz B este D = dcă este o mtrce dgonlă Dec opertorul lnr A este dgonlzbl p p p, 8 Exercţ Să se cerceteze cre dntre plcţle A : V W ) V = W = R, A(x) = (x + x, -x ), unde x = (x, x ) R b) V = W = R, A(x) = (x + x, -x ), unde x = (x, x ) R c) V = R, W = R, A(x) = (x + x, -x +, x ), unde x = (x, x ) ş R d) V = W = { f : [, b] R : f contnuă }, A(f)(x) = ( t) orce x [, b] 4 x f dt pentru

11 Algebră lnră, geometre nltcă ş dferenţlă e) V = M n,n (K), W = K, unde K este un corp comuttv, A(C) = trce n C = = c pentru orce mtrce C = ( ) c j, j n sunt opertor lnr R: Se verfcă xomele dn defnţ opertorulu lnr (Defnţ ) su condţ (*) dn Observţ Răspunsurle sunt: ) d, b) nu ( pentru x = (, ), A(x) = (9, -) (,-) = A(x)), c) A este opertor lnr dcă ş num dcă = (dcă A este opertor lnr, tunc A(, ) = (,, ), dec =; recproc, dcă = se verfcă cu defnţ că A este opertor lnr) d) d, e) d Fe K un corp comuttv ş A M n,n (K) o mtrce l căre determnt este nul Să se rte că exstă o mtrce B M n,n (K) nenulă stfel încât AB = O (mtrce nulă) R: Consderăm opertorul lnr u: M n,n (K) M n,n (K), u(x) =AX pentru orce mtrce X M n,n (K) Presupunem prn bsurd că orcre r f mtrce nenulă B M n,n (K), AB O Presupunere este echvlentă cu Ker u = {O}, dcă cu u njectv Deorece M n,n (K) este un spţu vectorl de dmensune fntă ş u este njectv, rezultă că u este bjectv (conform Propozţe 4) Opertorul lnr u fnd în prtculr surjectv, rezultă că exstă o mtrce X stfel încât u(x) = I n <=> AX = I n Obţnem = det(a)det(x) = det(ax) = det(i n ) =, cee ce contrzce potez Să se determne nucleul ş mgne, precum ş defectul ş rngul pentru următor opertor lnr: ) u : R R, u(x) = (x +x, x -x ), unde x = (x, x, x ) b) u : R R, u(x) = (x +x, x -x, x ), unde x = (x, x, x ) c) u : R R, u(x) = (x +x, x -x, x +x ), unde x = (x, x, x ) d) u : R R, u(x) = (x +x, x -x, x - x ), unde x = (x, x ) 5

12 Vlor ş vector propr e) u : R R, u(x) = (x +x, - x -x, x +x ), unde x = (x, x ) R: ) Ker u ={x: u(x) = (, )} ={(x, x, x ) : (x + x, x - x ) = (, )} Dec x = (x, x, x ) Ker u x - x este soluţe sstemulu x x + x x = Sstemul este comptbl = smplu nedetermnt: luăm necunoscută secundră x = α, ş obţnem x = -α, x = α Dec Ker u = {(-α, α, α): α R} O bză în Ker u este dtă de B = {(-,,)}, dec defectul lu u, dcă dm R (Ker u), este egl cu Pentru determnre mgn lu u, Im u ={u(x): x R } = {y R : exstă x R cu y =u(x)}, observăm că sstemul x x + x x = y = y este comptbl orcre r f y ş y Dec Im u = R, ş rngul lu u este b) Ker u = {(,,)} Deorece u este endomorfsm pe un spţu de dmensune fntă ş Ker u = { }, dn Propozţ 4 deducem că u este bjectv ş dec, Im u = R R Defectul lu u este, r rngul este c) Ker u = {(-α, α, α): α R} Pentru determnre mgn lu u observăm că Im u = { (y, y, y ) R, exstă (x, x, x ) R î (x + x, x - x, x + x ) =(y, y, y ) } Sstemul x + x = y, x - x = y, x + x = y re soluţe dcă ş num dcă y = y y Dec Im u = {(y, y, y y ) : y, y R} O bză în Im u este B = {(,,), (,,-)} Rngul lu u este ş defectul este d) Ker u ={(,)}, Im u = {(α, β, -β}: α, β R} Rngul este ş defectul e) Ker u ={(α,-α), α R}, Im u = {(α, -α, α}: α R} Defectul este ş rngul este Fe u : R n R n un endomorfsm cre verfcă relţ: n u n + n- u n- + + u + I =O, unde n, n-,, R, I este opertorul lnr dentc ş O este opertorul lnr nul Să se rte că u este utomorfsm 6

13 Algebră lnră, geometre nltcă ş dferenţlă R: Este sufcent să rătăm că u este njectv (vez Propozţ 4) su, echvlent, că Ker u ={} Dcă x Ker u, tunc u(x) =, ş c urmre u k (x) = pentru orce k Ţnând cont de relţ dn poteză, se obţne I(x) =, dcă x = 5 Se consderă opertorul lnr u : R R cre re proprette că u(e ) = (, 8), u(e ) = (,), u(e ) = (,-), unde B = {E, E, E } este bz cnoncă dn R (E = (,,), E = (,,), E = (,,)) Se cere să determne mtrce lu u în pereche de bze B = {(-,,), (, -,), (-,, -)} B = {(,), (,)} R: Conform Observţe 5 exstă un unc opertorul lnr u cre îndeplneşte condţle Mtrce lu u în pereche de bze cnonce dn R ş R este A = 8 Mtrcele L, de trecere de l bz cnoncă dn R l bz B, ş respectv M, de trecere de l bz cnoncă dn R l bz B, sunt L =, M = Mtrce lu u în pereche de bze B, B este LAM - = Să se determne opertor lnr u : R R cre stsfc condţle u(v ) = (9, -9, ), u(v ) = (-7, 5, ), u(v ) = (8, -, 4), unde v = (,,), v = (,-,), v = (,,) Să se clculeze u(v), unde v = (,, ) 7

14 R: Deorece Vlor ş vector propr = -, {v, v, v } este o bză în R Atunc, conform Observţe 5, exstă un unc opertor lnr u cre îndeplneşte condţle dn enunţ Determnăm mtrce lu u în bz cnoncă dn R : B = {E, E, E }, unde E = (,, ), E = (,, ), E = (,, ) Ţnând cont că dcă x = (x, x, x ) R, tunc x = x E + x E + x E ş u(x) = x u(e ) + x u(e ) + x u(e ), obţnem sstemul u(e ) + u(e ) = 9E - 9E + E u(e ) = E - E + E u(e ) - u(e ) = -7E + 5E + E u(e ) = 8E - 7E u(e ) + u(e ) +u(e ) = -8E - E + 4E u(e ) = -E - E + E După cum este uşor de văzut, mtrce lu u în bz cnoncă este A = 8 7 Dcă x = (x, x, x ) R, tunc u(x) = (A T x T ) T = (x + 8x - x, -x - 7x -x, x + x ) C urmre, u(v) = (4, -, 6) pentru v = (,,) 7 Se consderă bzele B = {(-,, ), (-,, ), (,, )} ş B ={(,, ), (,, ), (,, )} în R, ş trnsformărle lnre u, u : R R Dcă mtrce lu u în bz B este A = r mtrce lu u în bz B este A = să se determne u, u, u + u, u u, u - R: Mtrce de trecere de l bz cnoncă dn R l bz B (respectv l bz B ) este C = (respetv C = ) 8

15 Algebră lnră, geometre nltcă ş dferenţlă Dcă L, respectv L sunt mtrcele lu u, respectv u în bz cnoncă, tunc A = C L C -, respectv A = C L C - În consecnţă, L = C - A C = 5 4, r mtrce lu u în bz cnoncă este L = C - A C = 4 9 u (x) = (x +x -x, x +5x +x, x +4x -x ), Dec u (x) = (x -4x -9x, -x +x, x -x -x ), pentru x = (x, x, x ) Defnţ sume opertorlor lnr ş Observţ 5 rtă că (u + u )(x) = u (x) + u (x) = (L T x T ) T + (L T x T ) T = xl + xl = x(l + L ) = (L + L ) T x T Dec mtrce soctă opertorulu u + u în bz cnoncă este L + L = Atunc (u + u )(x) = u (x) + u (x) = ( x -x -x, 8x +x, 4x -7x -x ), x = (x, x, x ) Rţonând c m sus ş folosnd defnţ produsulu opertorlor ş Observţ 5 rezultă că u u (x) = u (u (x)) = u (x) L = xl L Astfel, mtrce soctă lu u u în bz cnoncă este L L = , r pentru x = (x, x, x ), 55 (u u )(x) = u (u (x)) = ( -x - 76x - 65x, x + x + 55x, - 7x - 4x - 55x ) Dcă X este mtrce soctă lu u - în bz cnoncă, tunc X = L -, căc mtrce soctă lu u - u, în ceeş bză, este pe de o prte I r pe de lt XL ( X = 6 / 5 L - ) Cum L - = 7 / 9 / / 5 / / / 5 4 /5, rezultă că pentru x = (x, x, x ), 8/5 (u )(x) = ( x - x - x, x + x - x, x - x - x )

16 Vlor ş vector propr 8 Să se fle vlorle propr ş subspţle propr corespunzătore pentru opertor lnr ) u: R R, u(x) = (x + x + x, x + x + x, x + x + x ); b) u: R R, u(x) = ( x + x, x + x, x + x ); c) u: R R, u(x) = (x + x + x, x, x + x + x ); d) u: R R, u(x) = (- x + x + x, -7x + 4x + x, -5x + x + x ), unde x = (x, x, x ) R: ) Mtrce soctă opertorulu u în bz cnoncă este A= Ecuţ crcterstcă este (-) (-5) = r vlorle propr sunt = =, = 5 Rezolvând sstemul u(x) = x, obţnem V = {α(-,, ) + β(-,, ), α, β R} În mod semănător se obţne V = {α(,, ), α R} b) Mtrce soctă: A= Ecuţ crcterstcă: (-)(+) = ; vlorle propr: = = -, = ; subspţle propr V ş respectv V sunt celeş c l punctul ) c) Mtrce soctă: A= ; ecuţ crcterstcă: (-)(+)(-4) = ; vlorle propr: =, = -, = 4; subspţle propr: V = {α(,, ), α R}, V = {α(-,, ), α R}, V = {α(, 4/, ), α R} 7 5 d) Mtrce soctă: A= 4 ; ecuţ crcterstcă: (-) = ; vlorle propr: = = = ; subspţul propru: V = {α(-,, ), α R} 9 Să se verfce dcă opertor lnr defnţ l Exercţul 8 sunt dgonlzbl ş în cz frmtv să se scre form lor dgonlă

17 Algebră lnră, geometre nltcă ş dferenţlă R: ) Opertorul lnr u re tote vlorle propr rele ş, în plus, multplctăţle lgebrce le cestor concd cu cele geometrce Aplcând Teorem 7, deducem că u este dgonlzbl Mtrce soct opertorulu lnr u în bz B = {e = (-,, ), e = (-,, ), e = (,, )} este D = 5 b) opertorul este dgonlzbl Mtrce soctă lu u în bz B = {e = (-,, ), e = (-,, ), e = (,, )} este D = c) este dgonlzbl Mtrce soctă lu u în bz B = {e = (,, ), e = (-,, ), e = (, 4/, )} {α(,, ), α R} este D = 4 d) opertorul nu este dgonlzbl Să se cerceteze dcă endomorfsmele de m jos sunt dgonlzble în czul în cre mtrce soctă într-o bză spţulu de defnţe este: ) A= 6 6, b) A= 4 5, c) A= 5 R: Se plcă Teorem 7 ) D Mtrce dgonl: 9 b) D Mtrce dgonl: + 5 c) D Mtrce dgonl: 6