CURS 4 METODE NUMERICE PENTRU PROBLEMA DE VALORI PROPRII. Partea I

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "CURS 4 METODE NUMERICE PENTRU PROBLEMA DE VALORI PROPRII. Partea I"

Transcript

1 CURS 4 MEODE NUMERICE PENRU PROBLEM DE VLORI PROPRII Prte I. Defț, propretăț.. Metod puter ş vrte le ceste. Metod terțlor smulte. 3. Metod Jcob. Vlor ş vector propr. Vlor ş vector propr. Polom crcterstc. Subspţu propru. Fe dtă mtrce Defţe, relă su complexă. Dcă vectorul x 0 ş sclrul λ stsfc relţ x λx, () tuc: λ se umeşte vlore propre, r x vectorul propru soct lu λ Dcă x ş y sut socţ cu λ, tuc ş α x + βy, α, β sclr, este soct lu λ. Dcă P este o mtrce P P esgulră, mtrce se zce smlră cu. P se zce mtrce de trsformre. Propozţe - Mtrcle smlre u celeş vlor propr. - Dcă x sut vector propr lu, vector propr x lu se găsesc d relţ x Px (Îtr-devăr: dcă x P x, rezultă x λ x.) x λx, rezultă P x P λ x, su P P( P x) λ ( P x) ; cu.ch. Noembre 008

2 M multe metode umerce trsformă mtrce îtr-o mtrce smlră, de o formă m smplă, determâd vlorle propr ş vector propr mtrc ; po, se determă vector propr lu, cu relţ de m sus. Polomul crcterstc Relţ () este ecuţ d cre se găsesc λ ş x. cest se m scre ( λ I) x 0 () ude I este mtrce utte. Explct, λ M λ K M K M K x 0 x 0 M M M λ x 0 Codţ c () să bă soluţ etrvle x, este det( λ I) 0. Explct, (') p( λ) λ M λ M K K M K M λ 0 (3) p(λ) se zce polomul crcterstc l mtrc, ş p(λ) 0 ecuţ crcterstcă. Fe determtul desvoltt: p ( K λ + c (3') λ) ( ) λ + cλ + + c D (3, 3') ş relţle ître coefceţ ş rădăc, rezultă următorele propretăţ le coefceţlor ş vlorlor propr: ) vem p ( 0) c, ş d determt p det(); urmeză c det() Pe de ltă prte, λ λ Kλ c, ş stfel λλk λ det( ). ) Coefcetul lu λ se găseşte d termeul ( ) λ ) K ( λ) ( λ) + ( )( λ +K. stfel, rezultă:.ch. Noembre 008

3 3 ( ; + λ + + λ c ) 3) Î geerl: λ K. ( r( ) se zce urm mtrc.) c ( ) Sum morlor prcpl de ordul mtrc. Observţ ) Ordore vlorlor propr: Vlorle propr se ordoeză î şrul λ, λ, K, λ. Î cest şr, o rădăcă multplă de ordul r, se repetă de r or. Uzul, vlorle propr se dexeză î orde descrescătore modululu, dcă λ λ K λ. Vlore propre λ se zce domtă. Mulţme vlorlor propr { λ,, } se zce spectrul mtrc. ) Vector propr socţ ue vlor propr: După determre vlorlor propr, vector propr socţ cu λ se găsesc puâd λ λ î ('), ş rezolvâd sstemul lr ş omoge ('). - Dcă este relă: Î geerl, λ pote f complex, ş tuc vectorul propru x soct cu λ este complex. Dcă ş λ sut rel, tuc vectorul propru x este rel. - Dcă este complexă: Î geerl, vlorle propr ş vector propr sut mărm complexe. Î prtculr, uele dtre ceste pot f ş rele Subspţu propru ş dmesue cestu Sstemul (') este omoge, stfel că dcă x, y sut soluţ, tuc α x + βy sut soluţ. dcă, lu λ î este soct u subspţu lr S de soluţ x. Se rtă că: Dmesue subspţulu S este m mcă decât su eglă cu ordul de multplctte rădăc λ.ch. Noembre 008

4 4 Dcă r este ordul de multplctte rădăc λ ş p r. dcă, î S exstă cel mult r vector lr depedeţ. Dcă p < r defectvă..ch. Noembre 008 p dmesue lu S, vem, vlore λ se zce defectvă; î cest cz, ş mtrce se zce ( r se m zce multplctte lgebrcă, r 3) Determre efectvă sstemulu propru: Petru clculţ prctcă ( > 3), u se recomdă: p multplctte geometrcă.) - Clculul drect l vlorlor propr, pr rezolvre ecuţe crcterstce (3'). cest, dtortă fptulu că problem clcululu rădăclor uu polom este forte sesblă l mc perturbţ î coefceţ (ceste perturbţ pr d erorle de rotujre). - Clculul drect l vectorlor propr, d sstemul ('). Metode umerce petru găsre vlorlor propr λ, ş vectorlor propr socţ () x, sut prezette î coture. Exemplu- Fe mtrce: Polomul crcterstc este: Su cf. (3 ) , ude:

5 5 det De ude: ; ± Ordoâd (descrescător, după module): Vector propr , î cre se îlocuește ; ,,,3 se determă d sstemul omoge De exemplu, vectorul propru r. se găsește d sstemul: U dtre coordote rămâe rbtrră: să legem de ex.,, rezultă Rezultă (rezolvîd î smplă precze):.ch. Noembre 008

6 Orce vector ude α rel, fce fucțe de vector propru r.. log, se determă vector propr r. ș 3.. Mtrc hermtee ş utre Operţ plctă uu vector su ue mtrc oteză trspus-cojugt. stfel: - Dcă x este u vector, - Dcă, este o mtrce, x x. Explct: ], [ j ], vem: j j. [ j Î expresle terore, br oteză cojugt: x x ] ; ]. Petru u vector rel, su o mtrce relă, operţ reve l trspuere:. [ [ j x x ;. Î prtculr, petru u sclr, operţ reve l cojugre: s s. Mtrc hermtee: Mtrce se zce hermtă, dcă Exemplu de mtrce hermtă: Remrcţ că elemetele dgole sut rele, r elemetele smetrce sut cojugte O mtrce relă este hermtă, dcă este smetrcă ( ). O mtrce hermtă se zce poztv deftă, dcă x 0 x x > 0 ( x x este rel) Î prtculr, o mtrce relă ş smetrcă este poztv deftă, dcă: x 0 x x > 0..ch. Noembre 008

7 7 Mtrc utre: Mtrce U se zce utră, dcă echvlet, U U O mtrce relă este utră dcă U U U U I, ude I este mtrce utte; I, su U U Vlorle propr le ue mtrc utre u modulul egl cu.. Exemplu de mtrce utră (relă): Mtrce de rotțe xelor î pl este utră: Îtr-devăr, vem, ș se verfcă medt că 0 0. Propretăţ le mtrclor hermtee (î prtculr, rele ş smetrce): P. Dcă este hermtă, ş re vlorle propr { λ } dstcte su u, tuc: () Exstă o mtrce utră U, stfel că U U este dgolă: U U dg λ, K, λ ). ( (se zce că U dgolzeză pe.) (b) Exstă vector propr lr depedeţ cre formeză o bză ortoormtă î C (ceşt sut coloele lu U); (c) Vlorle propr sut rele Î prtculr, petru relă ş smetrcă: (-) Exstă U utră ş relă, stfel că U U dg λ, K, λ ). ( (b-) Exstă vector propr lr depedeţ; ceşt formeză o bză ortoormtă î R (coloele lu U);.ch. Noembre 008

8 8 (c-) Vlorle propr sut rele, ş vector propr sut rel vem ş proprette: P'. Dcă este hermtă (relă ş smetrcă) ş poztv deftă, tuc vlorle propr le lu sut rele ş poztve.3 Produs sclr ş propretăţ de ortogoltte.3. Spţu vectorl rel V Fe x u vector d V, ş x mtrce coloă coordotelor sle îtr-o bză lu V ( x R,, ). Dcă mtrce relă, este smetrcă ş poztv deftă, se defeşte produsul sclr î rport cu mtrce, pr: < x, y > x y y Î prtculr, petru < x, y > x y y vem: x I, cest deve produsul sclr stdrd: x < y, x > < x, y > ; < y, x > < x, y >. Vector x ş y se zc ortogol (reltv l produsul sclr), dcă x, y > 0, su < x, y > 0 stfel: - Vector x ş y sut ortogol reltv l mtrce, dcă x y 0, su y x 0. - Vector sut ortogol, dcă x y 0, su y x 0. <.ch. Noembre 008

9 9.3. Spţu vectorl complex V Fe x u vector d V, ş x mtrce coloă coordotelor îtr-o bză lu V ( x C,, ). Dcă este o mtrce hermtă ş poztv deftă, se defeşte produsul sclr î rport cu mtrce, pr: < x, y > x y y x. (Ultm egltte rezultă d cee că sclrul său). Produsul sclr deft de I este: s < x, y > este egl cu trspusul < x, y > x y y x vem: < y, x > < x, y >, ş < y, x > < x, y >. Ortogoltte do vector se defeşte c îte, pr codţ x, y > 0, su < x, y > 0 Observţe: Dcă vem x, y > 0, vem ş y, x > 0 < < stfel: - Vector x, y sut ortogol î rport cu, dcă: x y 0, su y x 0. - Vector x, y sut ortogol,dcă: x y 0, su y x 0. < P. Dcă este hermtă, tuc: - Vector propr socţ l două vlor propr dstcte sut ortogol: dcă λ λ, tuc x x 0 ş x x 0. - vem ş: x x 0, x x 0..ch. Noembre 008

10 0 (Dcă hermtă este ş poztv deftă, vector x, x sut ortogol reltv l mtrce.) Dcă este relă ş smetrcă: - Vector propr socţ l două vlor propr dstcte sut ortogol: x x 0, x x 0. - vem ş: x x 0, x x 0. (Dcă relă ş smetrcă, este ş poztv deftă, vector x, x sut ortogol reltv l mtrce ).4 Câtul Rylegh Fe o mtrce complexă (su relă). Fe v C u vector rbtrr, ş defm ρ ( v) v v v v ρ (v) se umeşte câtul Rylegh. Proprette-: Dcă x este vector propru soct cu λ, tuc ρ (x) λ stfel, câtul Rylegh pote f utlzt petru găs o proxmre vlor propr λ, dcă se cuoşte o proxmre v vectorulu propru x: v x λ ρ(v). Proprette-: Dcă mtrce este hermtă, câtul Rylegh este mărgt de vlorle propr extreme Vlorle propr sut rele; fe ceste λ λ K λ, tuc, vem: λ ρ( v) λ, petru orce v C..ch. Noembre 008

11 Metod puter. Metod puter Metod puter determă vlore propre domtă ş vectorul propru soct, le ue mtrc, rele su complexe. plctă l vers metod determă vlore propre ce m mcă (î modul), ş vectorul propru soct cu cest. cest, coform propretăţ: Mtrce vector propr. Îtr-devăr: d re c vlor propr versele vlorlor propr le lu ş ceş x λx, îmulţd l stâg cu, rezultă x x x x. Explct: :{ λ, K, λ} ; :{ µ, K, µ }. vem: λ λ, K, λ. µ µ Ipotezele metode puter: - Exstă u set de vector propr lr depedeţ. - Exstă o sgură vlore propre domtă λ : Metod: Fe λ > λ K λ. (Remrcț că prm egltte este strctă!) λ, su w u vector ţl, les rbtrr cu sgur codţe c să bă o compoetă î drecţ lu letor. (Î fpt, () x. Petru împl cestă cerţă, uele codur geereză u vector w este o proxmţe vectorulu propru () x ; dcă o stfel de proxmţe este cuoscută, tuc cest ccelereză terţ de m jos). Desvoltăm w î bz vectorlor propr: w x + x + K + x () ( 0) () () ( ) Presupuem că 0 (codţ de m sus), ş formăm şrul de vector w ( + ) w + w, 0.ch. Noembre 008

12 vem: w () w λx () Î geerl, w w λ x λ + λ () x + λ () x () + K + λ x λ + K + x λ ( ) ( ) () λ () λ ( ) ( λ ) x + x + K + x (b) λ λ Cum λ > λ petru, urmeză că rportele. stfel, petru crescător, vector drecţ vectorulu propru w ( ) x () λ. ( / λ ) λ td l 0 petru ( ) w se lză d ce î ce m mult l () x. Î cosecţă, petru u sufcet de mre, vem Să cosderăm de semee relţ w ( + ) + () ( λ ) x. Luâd orce coordotă o-zero lu w +, w, să zcem ce de- m- coordotă, obţem λ w + m wm Dezvtjul formule precedete este că, coordotele eule le lu ( ) w dev fe forte mc ( λ < ), fe forte mr ( λ > ), odtă cu creştere lu. cest se evtă pr ormlzre (su sclre) lu orm- ş orm-. stfel, lgortmul metode este: w Vector ţl w z, petru 0 Normlzre w w z ( + ), petru 0 Iterţe ( ) w, l fecre ps. Normele utlzte sut este de oprre terţe. est de colrtte do vector succesv..ch. Noembre 008

13 3 Vector ( ) z ş ( +) ( + ) z sut colr, dcă rportele z / z, z 0 ρ sut ( + ) egle (coordotele eule sut proporţole), su z z 0. Î clculţ prctcă, puem codţ 0 ( ρ ( ) ρ( ) OL, dcă z ) OL ; su, să vem > smult, ( z ) OL ş ( z + ) OL. OL este o tolerţă specfctă; 0 este dcele ue coordote fxte: este covebl să luăm 0 mx dcele coordote de modul mxm d ( +) z. Se troduc tuc, fctor de colrtte pr vectorul col ( : ), deft stfel: z col( ) z ( + ) ( + ) ( mx) / z ( ) / z ( )) ( mx)) K dcă K ltfel z ( + ) ( ) OL ş z ( ) OL, estul este: col col( mx) OL ( + ) ( + ) z z mx cest îsemă să vem 0 z z Observţe est petru orm- (eucldă): mx (petru z 0 ). Dcă, petru ormlzre lu ( ) w, se utlzeză orm-, vector orm- eglă cu, ş testul de colrtte pote lu form ( + ) z z OL. ( ) z u O problemă speclă pre petru relă, dcă vlore propre domtă este () relă ş egtvă, λ < 0, ş ume: d w z ( λ ) [ x + r ] ş z w / w, rezultă că vectorul ( psul +. (Vlore propre, dtă de λ ( ) z schmbă de sem de l psul l + ) w + m / z m, u este fecttă.). ( +) z dz ( ) z z ( + ) λ < 0.ch. Noembre 008

14 4 estul de colrtte trebue să ţă cot de cest. stfel, defm, ( + ) s sg(., λ ), dz z s z ( + ) estul corect este dz OL.. est supr lu λ: Iterţ se opreşte pr codţ λ ( + ) λ OL ude OL este o tolerţă. 3. est de stsfcere relţe de defţe: z λ z Prctc, OL ( ) z z, z w ( + ), ş λ ( +) λ. Defd df ( + ) ( + ) w λ z, se pue testul df OL Observţ: - Î cod, dcă vlorle terore () sut stocte î z0 ş lmbd0, r vlorle curete (+) î z ş lmbd, defţ lu df deve df z lmbd z0, luâd z îte de ormlzre. - Vectorul r z λz se zce vectorul rezdul. stfel, testul se m scre r OL..ch. Noembre 008

15 5 Note - estul propru petru metodă este estul, îtrucât, î eseţă, metod determă vectorul propru r., ş po determă λ d cest. Cu estul, se obţ vector propr m precş decât cu estul (l ceeş tolerţă). - estul 3 u este specfc metode puter, c pote f plct orcăre metode tertve petru vlor ş vector propr. Codurle d Lpc (B et l.(000)), utlzeză estul 3, cu OL ε M λ, ude ε M este ε-mşă. (Î metodele d N: estul 3 v f utlzt um l verfcre sstemulu propru. Fce excepţe metod puter, ude petru studu, se pote lege uul d estele -3; legere se fce prtr-u cod.) Covergeţ: ( ) Covergeţ λ λ este lră, r rt covergeţe este proxmtv λ /. λ (cest rezultt re loc î potez metode λ >, cu potez suplmetră: petru λ, cttăţle λ, 3, sut egljble î rport cu ( / λ ) ( / λ ) λ.). Metod puter verse cu trslţe (shft) Fe mtrce, cu vlorle propr λ, j j,. Metod găseşte vlore propre λ lu, ce m proptă de u umăr dt s; dcă, λ s mm. Se cosderă mtrce B si ş presupuem că B este esgulră. Se verfcă medt că vlorle propr le lu B sut µ λ s. Cttte s zce deplsre su trslţe (shft). j j Fe µ λ s, vlore propre de modul mm lu B, dcă: 0 µ j < µ < ε <, petru j..ch. Noembre 008

16 6 tuc, metod puter plctă lu cest ν / µ ( ν este vlore domtă petru λ ν + s. B produce vlore propre de modul mxm, fe B ). vem µ / ν, ş Prcpl plcţe metode este de găs vectorul propru, dcă este cuoscută o proxmţe buă vlor propr, să zcem λˆ. (cest pote f furztă de o metodă î cre se determă um vlorle propr u ş vector propr.) Se plcă metod puter verse, cu deplsre de λ, mtrce vectorulu propru s. Chr dcă λˆ λˆ este proptă B λˆ I este îcă esgulră, ş se obţe o buă proxmţe () x. Metod terţe verse cu deplsre, este u dtre cele m precse metode petru clculul vectorlor propr. lgortmul prctc, este următorul: Iterţ d metod puter, plctă l mtrce w B z. ( + ) Î loc de vers B, clculăm Bw z ( + ), B, este ( +) w d sstemul lr pr descompuere LU. Fctorzre se fce o sgură dtă, ş sstemul se rezolvă succesv cu membr drepţ ( ) z, 0..3 Metod terţlor smulte mtrce hermtă. cest este o extdere metode puter petru o mtrce hermtă (î prtculr, relă ş smetrcă). O stfel de mtrce, re vlor propr rele..ch. Noembre 008

17 7 Presupuem, m mult, că vlorle propr sut de module dstcte: λ > λ > K > λ. Î loc de u vector de strt w, se utlzeză o mtrce de strt, le căre coloe ( 0) (0,) (0,) (0, m) sut vector de strt: W [ w w K w ]. Dcă mtrce este, W este m, ude m. Vector de strt w trebue să fe lr depedeţ. Metod de bză rămâe îmulţre l stâg lu ( + ) W cu mtrce, dcă, W W, 0 ( 0, j). Îte de fecre etpă terţe, mtrce curetă W este ortogolztă pr procedeul Grm-Schmdt, stfel îcât coloele e utră). stfel, vector dmesol l lu ( j) w dev vector ortoormţ (ortogol, ş vâd orm eucldă ( j) w formeză o bză ortoormtă sub-spţulu m- R, sub-îts de vector ţl w ( 0, j). Î cursul terţe, cestă bză se lză d ce î ce m mult l bz vectorlor propr lu, drecţ ( j) w drecţ ( j) x, j. Vlorle propr se evlueză pr câtul Rylegh. Iterţ se îchee câd se tge o tolerţă coveblă, prvtor l drecţle două ( j) bze succesve { w }. Dcă mtrce de strt m vector propr. Petru m, dcă W re m < coloe, se obţ prm W este, se găsesc toţ vector propr. lgortmul: Se cere u umăr e de vector propr.. Se defeşte mtrce W ş W sut mtrc e. W : dcă o proxmre ţlă vectorlor propr u este ( 0) () () ( e) cuoscută, se W [ e e K e ], dcă, prmele e coloe le mtrc utte I. Petru e,. Se plcă Grm-Schmdt l ortoormtă). Se trbue 3. Iţlzre cotor: ter 0 4. Iterţ: ter ter +; W este formtă d W I. W (cu excepţ czulu î cre cest este dej W W. trbure: W W (W mtrce curetă; W mtrce teroră.).ch. Noembre 008

18 8 5. Se clculeză W W. 6. Se clculeză λ, j e, pr câtul Rylegh: Fe ( j) w ş j, ( 0, j) w j- coloă lu W ş W, respectv; vem λ < w j (0, j), w ( j) > ( ) (0, j) ( j (0, j) (0, j) w w Psul 5; ş < w, w > Pş ş 4.) 7. Se plcă Grm-Schmdt l W, stfel că W deve ortoormtă. 8. Se verfcă tgere tolerţe OL: Pr testul de colrtte.3, : se defeşte col() petru fecre vector z W(:, je), ş test _ vl mx col col( mx). je, e (Îtrucât z sut ormlzţ, testul se pote pue ş sub form d, Observţe.) - Dcă test _ vl OL, eşre d terţe. - ltfel, GOO 4. Observţ - Se pote prescre u umăr lmtă de terţ lt: tuc, se dugă l Psul 8 u test ter lt. - Psul 6 se pote relz um o sgură dtă, după ce s- eşt d terţe. Observţ. Vlor propr de celş modul Îtrucât metod terţlor smulte este î eseţă metod puter, u se obţe covergeţă petru vector propr, dcă exstă vlor propr de modul egl.. Mtrc o-hermtee Dcă plcăm lgortmul de m sus ue mtrc o-hermtee, u vom obţe covergeţă petru vector propr, cu excepţ vectorulu propru corespuzâd.ch. Noembre 008

19 9 vlor domte λ (petru cre, metod reve l metod puter). cest se îtâmplă deorece potez eseţlă metode este că vector propr formeză o bză ortogolă ş procedeul Grm-Schmdt forţeză c, l fecre ps, vector să fe ortogol. w (, j) otuş, dcă vlorle propr sut de module dstcte, tuc vector propr sut lr depedeţ, ş se obţ proxmţ forte bue petru vlorle propr. ( j) Explcţ este că, procedeul Grm-Schmdt furzeză u set de vector { w } lr depedeţ (ortoormţ), r vlorle propr sut clculte cu câtul Rylegh cre dă proxmţ bue le vlorlor propr chr cu proxmţ grosere petru vector propr. Vlorle propr găste pot f utlzte ulteror, î metod puter verse cu trslţe, petru obţe vector propr petru vlorle λ,. 3 Metod Jcob mtrce relă smetrcă Metod: Metod Jcob este o metodă coveblă petru găs tote vlorle propr ş vector propr ue mtrc rele ş smetrce, de ord modert. Determre vectorlor propr este opţolă. Fe o mtrce relă ş smetrcă. Dcă N este o mtrce esgulră, tuc mtrce N N este smlră cu, ş re celeş vlor propr (br u oteză cum cojugt). Vector propr x lu, sut legţ de vector propr x lu, pr: x Nx. (Propozţ d.). Să presupuem cum, că N este utră, dcă N N Notţ că este de semee smetrcă. N N. Mtrce deve Dgolzre lu :.ch. Noembre 008

20 0 Să presupuem că N este lesă stfel îcât să devă dgolă: N N dg ( Petru mtrce, vem propretăţle: ) - Vlorle propr le lu sut elemetele dgole: λ - Vector propr lu sut coloele mtrc utte I: ( ) ( ) ( ) x e (ude j j Î cosecţă, rezultă petru : e δ ). - Vlorle propr le lu se găsesc pe dgol mtrc. - Vector propr lu sut coloele mtrc N. Exemplu: x () Ne () M K K K 0 M 0 M Dgolzre Jcob: Metod Jcob costă î trsformăr utre (su, ortogole) plcte succesv lu, pâă l obţere ue forme prope dgole. ume, dcă utre, mtrce se trsformă cum urmeză: N N N N N ( N N ) ( N ) N sut mtrc N N ( N N KN ) ( NNKN ) Dcă mtrce proxmtv zero, luăm ude N N N N K este prope dgolă, dcă, elemetele o-dgole sut N N.ch. Noembre 008

21 Fecre trsformre N se lege stfel c să elme o pereche de elemete odgole (să zcem pq ş qp l psul ). O stfel de mtrce re structur: N O O cosα sα ( p) O O sα cosα ( q) O...( p)...( q) Elemetele escrse sut zero (cu excepţ dgole prcple ude ceste sut uu). rsformărle N se plcă succesv, fecre dtre ele elmâd elemetul odgol pq, de modul mxm. Prcpl proprette ue stfel de trsformăr este că produsul q. Ughul α se lege stfel îcât pq 0 N N modfcă um elemetele lu d lle ş coloele p ş Nole elemete dgole, sut dte de formulele: r 4 pq + ( pp qq ) ; pp qq ( ( pp pp + + qq qq + r) r) pp qq sα + ; r pq cosα ; r sα.ch. Noembre 008

22 Observţ - rsformărle N se plcă succesv, fecre dtre ele elmâd elemetul o-dgol de mărme mxmă. - Elemetele reduse l zero îtr-o trsformre u rămâ zero l trsformre următore. Dr, se pote răt că fecre trsformre reduce sum de pătrte elemetelor o-dgole cu pq, dcă, j j j j pq. tfel, după u umt umăr de trsformăr, cestă sumă pote f făcută m mcă decât o tolerţă ε lesă dte. Petru lte detl, v. Cp. 5-II, Cosderţ de progrmre Stocjul mtrc: Se lucreză cu trughul superor l lu, stfel îcât, după dgolzre lu, elemetul (,) coţe λ, etc. rughul superor este stoct î vectorul ( (+)/), î orde coloelor, dcă: [ K dres elemetulu (, j) este dtă de următore fucţe: Loc (, j) ( j ) * j / + Î prtculr, elemetul dgol (, ) re dres Loc (, ) ( + ) * /. După ce s- efectut o trsformre, mtrce curetă este stoctă î celş vector. Strteg de elmre cest este căutre completă, dcă: se cută î totă mtrce (cocret, î vectorul ), elemetul o-dgol de modul mxm. (Petru lte strteg, v. Numercl lyss, Cp. 5-II,.) Elemetele o-dgole se cosderă zero, dcă sut m mc (î modul) decât o tolerţă OL K ].ch. Noembre 008

ELEMENTE DE CALCUL NUMERIC MATRICEAL

ELEMENTE DE CALCUL NUMERIC MATRICEAL ELEMENTE DE CLCUL NUMERIC MTRICEL. Metode de clcul l verse Metod reducer l mtrce utte / metod elmăr î versue Guss-Jord dgolzăr / metod elmăr. vtj: Obţere vlor determtulu fără clcule suplmetre. Se bzeză

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTE DE CALCUL NUMERIC MATRICEAL

ELEMENTE DE CALCUL NUMERIC MATRICEAL ELEMENTE DE CLCUL NUMERIC MTRICEL Metode de clcul l verse Metod reducer l mtrce utte / metod elmăr î versue Guss-Jord dgolzăr / metod elmăr vtj: Obţere vlor determtulu fără clcule suplmetre Se bzeză pe

Διαβάστε περισσότερα

PROBLEME (toate problemele se pot rezolva cu ajutorul teoriei din sinteze)

PROBLEME (toate problemele se pot rezolva cu ajutorul teoriei din sinteze) Uverstte Spru Hret Fcultte de Stte Jurdce Ecoome s Admstrtve Crov Progrmul de lcet Cotbltte ş Iormtcă de Gestue Dscpl Mtemtc Aplcte î Ecoome tulr dscplă Co uv dr Lur Ugureu SUBIECE ote subectele se regsesc

Διαβάστε περισσότερα

Cursul 7. Spaţii euclidiene. Produs scalar. Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt. Baze ortonormate

Cursul 7. Spaţii euclidiene. Produs scalar. Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt. Baze ortonormate Lector uv dr Crsta Nartea Cursul 7 Spaţ eucldee Produs scalar Procedeul de ortogoalzare Gram-Schmdt Baze ortoormate Produs scalar Spaţ eucldee Defţ Exemple Defţa Fe E u spaţu vectoral real Se umeşte produs

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 2. Definiţia Se numeşte diviziune a intervalului [a, b] orice submulţime x [a, b] astfel încât

CAPITOLUL 2. Definiţia Se numeşte diviziune a intervalului [a, b] orice submulţime x [a, b] astfel încât Cp 2 INTEGRALA RIEMANN 9 CAPITOLUL 2 INTEGRALA RIEMANN 2 SUME DARBOUX CRITERIUL DE INTEGRABILITATE DARBOUX Defţ 2 Se umeşte dvzue tervlulu [, ] orce sumulţme,, K,, K, [, ] stfel îcât = { } = < < K< <

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 2 SERII FOURIER. discontinuitate de prima speţă al funcţiei f dacă limitele laterale f ( x 0 există şi sunt finite.

CAPITOLUL 2 SERII FOURIER. discontinuitate de prima speţă al funcţiei f dacă limitele laterale f ( x 0 există şi sunt finite. CAPITOLUL SERII FOURIER Ser trgoometrce Ser Fourer Fe fucţ f :[, Remtm că puctu [, ] se umeşte puct de b dscotutte de prm speţă fucţe f dcă mtee tere f ( ş f ( + estă ş sut fte y Defţ Fucţ f :[, se umeşte

Διαβάστε περισσότερα

METODE NUMERICE APLICAŢII

METODE NUMERICE APLICAŢII MARILENA POPA ROMULUS MILITARU METODE NUMERICE APLICAŢII 7 . Metod Guss cu pvotre prţlă l ecre etpă petru rezolvre sstemelor de ecuţ lre Prezetre proleme Se cosderă sstemul lr: () A t ude: A R mtrce sstemulu

Διαβάστε περισσότερα

3.6 Valori şi vectori proprii. Fie V un K-spaţiu vectorial n-dimensional şi A L K (V) un operator liniar.

3.6 Valori şi vectori proprii. Fie V un K-spaţiu vectorial n-dimensional şi A L K (V) un operator liniar. Algebră lnră, geometre nltcă ş dferenţlă 6 Vlor ş vector propr Fe V un K-spţu vectorl n-dmensonl ş A L K (V) un opertor lnr Defnţ 6 Un vector x V, x se numeşte vector propru l opertorulu A dcă exstă K

Διαβάστε περισσότερα

6. VARIABILE ALEATOARE

6. VARIABILE ALEATOARE 6. VARIABILE ALEATOARE 6.. Vrble letore. Reprtţ de probbltte. Fucţ de reprtţe O vrblă letore este o cttte măsurtă î legătură cu u expermet letor, de exemplu, umărul de produse cu defecţu î producţ zlcă

Διαβάστε περισσότερα

Sunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn.

Sunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn. 86 ECUAŢII 55 Vriile letore discrete Sut vriile letore cre iu o ifiitte umărilă de vlori Digrm uei vriile letore discrete re form f, p p p ude p = = Distriuţi Poisso Are digrm 0 e e e e!!! Se costtă că

Διαβάστε περισσότερα

4. Interpolarea funcţiilor

4. Interpolarea funcţiilor Iterpolre ucţlor 7 Iterpolre ucţlor Fe : [] R ş e pucte dstcte d tervlul [] umte odur Prolem terpolăr ucţe î odurle costă î determre ue ucţ g : [] R dtro clsă de ucţ cuoscută cu proprette g Pusă su cestă

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4. Metode Numerice de Rezolvare a Sistemelor de Ecuaţii Liniare

Curs 4. Metode Numerice de Rezolvare a Sistemelor de Ecuaţii Liniare Curs 4 Metode Numerce de Rezolvre Sstemelor de Ecuţ Lre As. Dr. g. Levete CZUMBIL Lortorul de Cercetre î Metode Numerce Deprtmetul de Electrotehcă, Igere Electrcă E-ml: Levete.Czuml@ethm.utcluj.ro Notţ

Διαβάστε περισσότερα

METODE ȘI PROGRAME DE CALCUL NUMERIC

METODE ȘI PROGRAME DE CALCUL NUMERIC METODE ȘI PROGRAME DE CALCUL NUMERIC -NOTE DE CURS- GRECU LUMINIȚA I CONCEPTE DE BAZĂ ȘI TIPURI DE ERORI I INTRODUCERE Metodele umerce sut cele tehc cre permt trsformre modelelor mtemtce î modele umerce

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N. Numere complexe în formă algebrică z a. Fie z, z a bi, Se numeşte partea reală a numărului complex z :

T R A I A N. Numere complexe în formă algebrică z a. Fie z, z a bi, Se numeşte partea reală a numărului complex z : Numere complexe î formă algebrcă a b Fe, a b, ab,,, Se umeşte partea reală a umărulu complex : Re a Se umeşte coefcetul părţ magare a umărulu complex : Se umeşte modulul umărulu complex : Im b, ş evdet

Διαβάστε περισσότερα

Curs 3. Spaţii vectoriale

Curs 3. Spaţii vectoriale Lector uv dr Crsta Nartea Curs Spaţ vectorale Defţa Dacă este u îtreg, ş x, x,, x sut umere reale, x, x,, x este u vector -dmesoal Mulţmea acestor vector se otează cu U spaţu vectoral mplcă patru elemete:

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n.

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n. Semir 3 Serii Probleme rezolvte Problem 3 Să se studieze tur seriei Soluţie 3 Avem ieglitte = ) u = ) ) = v, Seri = v este covergetă fiid o serie geometrică cu rţi q = < Pe bz criteriului de comprţie cu

Διαβάστε περισσότερα

Tema: şiruri de funcţii

Tema: şiruri de funcţii Tem: şiruri de fucţii. Clculţi limit (simplă) şirului de fucţii f : [ 0,], f ( ) R Avem lim f ( 0) = ir petru 0, vem lim f ( ) Î cocluzie, dcă otăm f: [ 0, ], f ( ) =, = 0 =, 0 + + = +, tuci lim f f =..

Διαβάστε περισσότερα

2. Functii de mai multe variabile reale

2. Functii de mai multe variabile reale . Fuct de m multe vrble rele.. Elemete de topologe R Fe u sptu lr (XK. Det. Se umeste produs sclr plct < > < < λ > λ < v < > < > ; XX K cu omele: > ( X < > ( X ( λ K >< > < > ( X ( Xs < > ; dc s um dc

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRAREA ȘI DERIVAREA NUMERCĂ A FUNCȚIILOR REALE

INTEGRAREA ȘI DERIVAREA NUMERCĂ A FUNCȚIILOR REALE Metode Numerce Lucrre r. 7 NTEGRAREA Ș DERVAREA NUMERCĂ A FUNCȚLOR REALE Modelul mtemtc ș metodele umerce utlzte Cudrtur este o procedură umercă pr cre vlore ue tegrle dete ( este promtă olosd ormț despre

Διαβάστε περισσότερα

Cu ajutorul noţiunii de corp se defineşte noţiunea de spaţiu vectorial (spaţiu liniar): Fie V o mulţime nevidă ( Ø) şi K,,

Cu ajutorul noţiunii de corp se defineşte noţiunea de spaţiu vectorial (spaţiu liniar): Fie V o mulţime nevidă ( Ø) şi K,, Cursul 1 Î cele ce urmează vom prezeta o ouă structură algebrcă, structura de spaţu vectoral (spaţu lar) utlzâd structurle algebrce cuoscute: mood, grup, el, corp. Petru îceput să reamtm oţuea de corp:

Διαβάστε περισσότερα

2. Metoda celor mai mici pătrate

2. Metoda celor mai mici pătrate Metode Nuerce Curs. Metoda celor a c pătrate Fe f : [a, b] R o fucţe. Fe x, x,, x + pucte dstcte d tervalul [a, b] petru care se cuosc valorle fucţe y = f(x ) petru orce =,,. Aproxarea fucţe f prtr-u polo

Διαβάστε περισσότερα

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE . ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE. Eerciţii rezolvte Eerciţiul Stbiliţi dcă următorele şiruri sut fudmetle: ), N 5 b) + + + +, N * c) + + +, N * cos(!) d), N ( ) e), N Soluţii p p ) +p - < şi mjortul este

Διαβάστε περισσότερα

IV.1.6. Sisteme de ecuaţii liniare

IV.1.6. Sisteme de ecuaţii liniare IV6 Sseme de ecuţ lre IV6 Defţ Noţ Ssemele de ecuţ lre erv prope î oe domele memc plce Î uele czur, ele pr î mod url, d îsăş formulre proleme Î le czur, ssemele de ecuţ lre rezulă d plcre uor meode umerce

Διαβάστε περισσότερα

def def punctul ( x, y )0R 2 de coordonate x = b a

def def punctul ( x, y )0R 2 de coordonate x = b a Cetrul de reutte rl-mhl Zhr CENTE E GEUTTE Î prtă este evoe să se luleze r plălor ple de ee vom det plăle ple u mulńm Ştm ă ms este o măsură ttăń de mtere dtr-u orp e ms repreztă o uńe m re soză eăre plă

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS. CAPITOLUL 1: Module şi spaţii vectoriale

CUPRINS. CAPITOLUL 1: Module şi spaţii vectoriale PREFAŢĂ, După ce î lucrre [5] m prezett elemetele de bză le ş zse lgebre bstrcte (mulţm ordote, grupur, ele, corpur, ele de polome, elemete de teor ctegorlor) c o coture frescă cestor, î lucrre de fţă

Διαβάστε περισσότερα

CURS 3 METODE NUMERICE PENTRU SISTEME DE ECUAŢII LINIARE

CURS 3 METODE NUMERICE PENTRU SISTEME DE ECUAŢII LINIARE CURS EODE NUERICE PENRU SISEE DE ECUAŢII LINIARE ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ I etode drecte: Gss; LU; Choesy; Choesy mtrc

Διαβάστε περισσότερα

Cuprins. Prefaţă Metoda eliminării complete (Gauss Jordan) Spaţii vectoriale Noţiunea de spaţiu vectorial...

Cuprins. Prefaţă Metoda eliminării complete (Gauss Jordan) Spaţii vectoriale Noţiunea de spaţiu vectorial... Cuprs Preţă Meod elmăr complee Guss Jord Spţ vecorle Noţue de spţu vecorl Depedeţ ş depedeţ lră ssemelor de vecor 8 Ssem de geeror Bă uu spţu vecorl Coordoele uu vecor îr-o bă dă Subspţul vecorl geer de

Διαβάστε περισσότερα

METODE DE APROXIMARE NUMERICĂ A FUNCŢIILOR

METODE DE APROXIMARE NUMERICĂ A FUNCŢIILOR METODE DE APROXIMARE NUMERICĂ A FUNCŢIILOR. Puere probleme Apre î multe tuţ d ştţă ş tehcă î geerl ş d domele utomtcă formtcă ş clcultore î prtculr. Î cete dome pr plcţ î cre u e cuoşte epre ltcă fucţe

Διαβάστε περισσότερα

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3) BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul

Διαβάστε περισσότερα

STUDIUL DEZINTEGRĂRILOR RADIOACTIVE. VERIFICAREA DISTRIBUȚIEI POISSON

STUDIUL DEZINTEGRĂRILOR RADIOACTIVE. VERIFICAREA DISTRIBUȚIEI POISSON UNIVERSITATEA "POLITEHNICA" BUCUREȘTI CATEDRA DE FIZICĂ LABORATORUL DE FIZICĂ ATOMICĂ Ș FIZICĂ NUCLEARĂ BN - 030 STUDIUL DEZINTEGRĂRILOR RADIOACTIVE VERIFICAREA DISTRIBUȚIEI POISSON 997 STUDIUL DEZINTEGRĂRILOR

Διαβάστε περισσότερα

ANEXA., unde a ij K, i = 1, m, j = 1, n,

ANEXA., unde a ij K, i = 1, m, j = 1, n, ANEXA ANEXĂ MATRICE ŞI DETERMINANŢI Fie K u corp şi m N* = N \ {} Tbloul dreptughiulr A = ude ij K i = m j = m m m se umeşte mtrice de tip (m ) cu elemete di corpul K Mulţime mtricelor cu m liii şi coloe

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 5 E E} 5.1. ARIA UNEI MULŢIMI PLANE. D I D = pentru i j. Se ştie că aria unui dreptunghi este egală cu produsul

CAPITOLUL 5 E E} 5.1. ARIA UNEI MULŢIMI PLANE. D I D = pentru i j. Se ştie că aria unui dreptunghi este egală cu produsul Cp 5 INTEGRALE MULTIPLE 87 CAPITOLUL 5 INTEGRALE MULTIPLE 5 ARIA UNEI MULŢIMI PLANE Î cele ce urmeză, pr mulţme plă polgolă, vom îţelege orce mulţme d pl mărgtă de u polgo Î prtculr, pr mulţme plă dreptughulră

Διαβάστε περισσότερα

2. Sisteme de ecuaţii neliniare

2. Sisteme de ecuaţii neliniare Ssteme de ecuaţ elare 9 Ssteme de ecuaţ elare Î acest catol abordăm roblema reolvăr umerce a sstemelor de ecuaţ alebrce elare Cosderăm următorul sstem de ecuaţ î care cel uţ ua d ucţle u este lară Sub

Διαβάστε περισσότερα

I. REGRESIA Clasificări. Metode corelationale Regresia si Corelatia. Stud. Master - AMP

I. REGRESIA Clasificări. Metode corelationale Regresia si Corelatia. Stud. Master - AMP 9.1.13 Metode coreltole Regres s Corelt Stud. Mster - AMP ISAIC- MANIU ALEXANDRU we www.mu.se.ro e-ml AL.ISAIC-MANIU@CSIE.ASE.RO 9.XII.13 1 Cotet Itre metodele ctttve de cerctre utle sut s cele de studere

Διαβάστε περισσότερα

9. CIRCUITE ELECTRICE IN REGIM NESINUSOIDAL

9. CIRCUITE ELECTRICE IN REGIM NESINUSOIDAL 9. CRCE ELECRCE N REGM NESNSODAL 9.. DESCOMPNEREA ARMONCA Ateror am studat regmul perodc susodal al retelelor electrce, adca regmul permaet stablt retele lare sub actuea uor t.e.m. susodale s de aceeas

Διαβάστε περισσότερα

Integrale cu parametru

Integrale cu parametru 1 Integrle proprii cu prmetru 2 3 Integrle proprii cu prmetru Definiţi 1.1 Dcă f : [, b ] E R, E R este o funcţie cu propriette că pentru orice y E, funcţi de vribilă x x f (x, y) este integrbilă pe intervlul

Διαβάστε περισσότερα

4. Integrale improprii cu parametru real

4. Integrale improprii cu parametru real 4. Itegrle improprii cu prmetru rel Fie f: [ b, ) [ cd, ] y [, itegrl improprie R cu < b +, stfel îcât petru fiecre b cd ] f (, ) ydeste covergetă. Atuci eistă o fucţie defiită pritr-o itegrlă improprie

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR

ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR CAPITOLUL ELEMENTE DE TEORIA PROAILITĂŢILOR Câmp de evemete U feome îtâmplător se poate observa, de regulă, de ma multe or Faptul că este îtâmplător se mafestă pr aceea că u ştm date care este rezultatul

Διαβάστε περισσότερα

mărimea de stare (prin conditiile iniţiale x(τ) numita stabilitate internă sistem liniar este stabi mărime de intrare u(t),

mărimea de stare (prin conditiile iniţiale x(τ) numita stabilitate internă sistem liniar este stabi mărime de intrare u(t), /3/5 Stbltte este un dn propretăţle nterne le sstemelor dnmce reflecttă de dependenţ funcţe de trnzţe stărlor x(t) = φ(t,τ,x τ,ω), de fz nţlă (τ,x(τ)). Se spune că un sstem lnr este stbl dcă, lăst să evolueze

Διαβάστε περισσότερα

ECUATII NELINIARE PE R n. (2) sistemul (1) poate fi scris si sub forma ecuatiei vectoriale: ) D

ECUATII NELINIARE PE R n. (2) sistemul (1) poate fi scris si sub forma ecuatiei vectoriale: ) D ANALIZA NUMERICA ECUATII NELINIARE PE R (http://bavara.utclu.ro/~ccosm) ECUATII NELINIARE PE R. INTRODUCERE e D R D R : s sstemul: ( x x x ) ( x x x ) D () Daca se cosdera aplcata : D R astel ca: ( x x

Διαβάστε περισσότερα

Cursul 10 T. rezultă V(x) < 0.

Cursul 10 T. rezultă V(x) < 0. ursul uţol ătrtă V: X R V s lsă stl: ) V st oztv tă ă X u X rzultă V(). ) V st tv tă ă X u X rzultă V()

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile 1 2 Capitolul I. Integrale improprii

Seminariile 1 2 Capitolul I. Integrale improprii Cpitolul I: Integrle improprii Lect. dr. Lucin Mticiuc Fcultte de Mtemtică Clcul integrl şi Aplicţii, Semestrul I Lector dr. Lucin MATICIUC Seminriile Cpitolul I. Integrle improprii. Să se studieze ntur

Διαβάστε περισσότερα

REZOLVAREA NUMERICĂ A ECUAŢIILOR DIFERENŢIALE

REZOLVAREA NUMERICĂ A ECUAŢIILOR DIFERENŢIALE REZOLVAREA NUMERICĂ A ECUAŢIILOR DIFERENŢIALE Itroducere Acest tp de prolee prove d cdrul vst l le ucţole. Ecuţle dereţle su cu dervte prţle costtue odelele tetce petru ortte proleelor gereşt: studul eorturlor

Διαβάστε περισσότερα

Analiza matematică, clasa a XI-a probleme rezolvate Rolul derivatei întâi

Analiza matematică, clasa a XI-a probleme rezolvate Rolul derivatei întâi Anliz mtemtică, cls XI- proleme rezolvte Rolul derivtei întâi Virgil-Mihil Zhri DefiniŃie: Punctele critice le unei funcńii derivile sunt rădăcinile (zerourile) derivtei întâi DefiniŃie: Fie f:i R, cu

Διαβάστε περισσότερα

cele mai ok referate

cele mai ok referate Permur www.refereo.ro cele m o refere.noue de permure. Fe A o mulme f de elemee, dc A{,, 3,, }. O fuce becv σ:aàa e umee permure ubue de grdul. P:Numrul uuror permurlor de ord ee egl cu!..produul compuere

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme cu partajare - continut. M / M /1 PS ( numar de utilizatori, 1 server, numar de pozitii pentru utilizatori)

Sisteme cu partajare - continut. M / M /1 PS ( numar de utilizatori, 1 server, numar de pozitii pentru utilizatori) Ssteme cu partajare - cotut Recaptulare: modelul smplu de trafc M / M / PS ( umar de utlzator, server, umar de pozt petru utlzator) M / M / PS ( umar de utlzator, servere, umar de pozt petru utlzator)

Διαβάστε περισσότερα

4. Serii de numere reale

4. Serii de numere reale I. (,) lim x lim + II. x şi lim x III. > x ( + ) ( + ) şi cum lim ( >) ; lim x lim lim lim x + ; (,) (, ). 4. Serii de umere rele Coceptul de serie umerică este o geerlizre turlă oţiuii de sum fiită de

Διαβάστε περισσότερα

EcuaŃii de gradul al doilea ax 2 + bx + c = 0, a,b,c R, a 0 1. Formule de rezolvare: > 0 b x =, x =, = b 2 4ac; sau

EcuaŃii de gradul al doilea ax 2 + bx + c = 0, a,b,c R, a 0 1. Formule de rezolvare: > 0 b x =, x =, = b 2 4ac; sau EcuŃii de grdul l doile x + x + c = 0,,,c R, 0 Formule de rezolvre: > 0 + x =, x =, = c; su ' + ' ' ' x =, x =, =, = c Formule utile în studiul ecuńiei de grdul l II-le: x + x = (x + x ) x x = S P 3 x

Διαβάστε περισσότερα

MULTIMEA NUMERELOR REALE

MULTIMEA NUMERELOR REALE www.webmteinfo.com cu noi totul pre mi usor MULTIMEA NUMERELOR REALE office@ webmteinfo.com 1.1 Rdcin ptrt unui numr nturl ptrt perfect Ptrtul unui numr rtionl este totdeun pozitiv su zero (dic nenegtiv).

Διαβάστε περισσότερα

4.7. Stabilitatea sistemelor liniare cu o intrare şi o ieşire

4.7. Stabilitatea sistemelor liniare cu o intrare şi o ieşire 4.7. Sbilie sisemelor liire cu o irre şi o ieşire Se spue că u sisem fizic relizbil ese sbil fţă de o siuţie de echilibru sţior, dcă sub cţiue uei perurbţii eeriore (impuls Dirc) îşi părăseşe sre de echilibru

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN ECONOMIE. SpaŃii vectoriale. Organizarea spańiilor economice ca spańii vectoriale

ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN ECONOMIE. SpaŃii vectoriale. Organizarea spańiilor economice ca spańii vectoriale EEMENTE DE AGERĂ SUPERIOARĂ CU APICAłII ÎN ECONOMIE SpŃ vetorle. Orgzre spńlor eoome spń vetorle DeŃe Fe V o mulńme evdă de elemete ş K u orp de slr ş e: - o lege de ompozńe teră ottă dtv + : V V V + -

Διαβάστε περισσότερα

DRUMURI, ARCE ŞI LUNGIMILE LOR

DRUMURI, ARCE ŞI LUNGIMILE LOR Drumuri, rce, lugimi Virgil-Mihil Zhri DRUMURI, ARCE ŞI LUNGIMILE LOR FucŃiile cu vrińie mărgiită u fost itroduse de Jord Cmille (88-9) şi utilizte de el cu oczi studiului prolemei rectificilităńii curelor,

Διαβάστε περισσότερα

Cap. IV Serii Fourier. 4.1 Serii trigonometrice. (1) Numărul T se numeşte perioadă pentru funcţia f ( x )., x D, x ± T D

Cap. IV Serii Fourier. 4.1 Serii trigonometrice. (1) Numărul T se numeşte perioadă pentru funcţia f ( x )., x D, x ± T D Cp. IV Serii Fourier 4. Serii trigoometrice Defiiţie: O fucţie f ( ) defiită pe o muţime ifiită D se umeşte periodică dcă eistă u umăr T stfe îcât: f ( ± T) = f ( ), D, ± T D () Număru T se umeşte periodă

Διαβάστε περισσότερα

IV.3. Factorul de condiţionare al unei matrice

IV.3. Factorul de condiţionare al unei matrice IV.3. Fctorul de codiţiore l uei mtrice defieşte pri Defiiţie. Fctorul de codiţiore l uei mtrice pătrte A M, (R) se cod(a) = A A - ude este o orm opertorilă mtricei A (de exemplu, su ). Pri coveţie cod(a)

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 1. În acest paragraf vom reaminti noţiunea de primitivă, proprietăţile primitivelor şi metodele generale de calcul ale acestora.

CAPITOLUL 1. În acest paragraf vom reaminti noţiunea de primitivă, proprietăţile primitivelor şi metodele generale de calcul ale acestora. Cp PRIMITIVE 5 CAPITOLUL PRIMITIVE METOE GENERALE E CALCUL ALE PRIMITIVELOR Î cest prgrf vom remiti oţiue de primitivă, proprietăţile primitivelor şi metodele geerle de clcul le cestor efiiţi Fie f : I,

Διαβάστε περισσότερα

6. INTEGRALA SIMPLĂ. INTEGRALA SIMPLĂ CU PARAMETRU

6. INTEGRALA SIMPLĂ. INTEGRALA SIMPLĂ CU PARAMETRU 6. INTEGRALA SIMPLĂ. INTEGRALA SIMPLĂ CU PARAMETRU 6.1. Noţiui teoretice şi rezultte fudmetle 6.1.1. Metod lui Droux de defii itegrl simplă Fie [, ] u itervl. Descompuem itervlul [, ] îtr-u umăr orecre

Διαβάστε περισσότερα

INTRODUCERE. Capitolele îndrumătorului corespund materiei predate şi abordate la seminar pentru Statică, prima diviziune a disciplinei Mecanică.

INTRODUCERE. Capitolele îndrumătorului corespund materiei predate şi abordate la seminar pentru Statică, prima diviziune a disciplinei Mecanică. INTDUEE utor u conceput lucrre de fţă, nttultă Îndrumător ş plcţ pentru studul ndvdul l mecncă prte I: sttc, c un mterl necesr studenţlor pentru consoldre cunoştnţelor teoretce ş formre deprnder rezolvăr

Διαβάστε περισσότερα

CURS 2 METODE NUMERICE PENTRU SISTEME DE ECUAŢII NELINIARE

CURS 2 METODE NUMERICE PENTRU SISTEME DE ECUAŢII NELINIARE CURS METODE NUMERICE PENTRU SISTEME DE ECUAŢII NELINIARE ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 0 Prelmar: Norma uu vector s orma ue

Διαβάστε περισσότερα

CURS 2 METODE NUMERICE PENTRU SISTEME DE ECUAȚII NELINIARE. 0 Norma unui vector şi norma unei matrici. n n cu elemente scalare (reale, complexe).

CURS 2 METODE NUMERICE PENTRU SISTEME DE ECUAȚII NELINIARE. 0 Norma unui vector şi norma unei matrici. n n cu elemente scalare (reale, complexe). CURS METODE NUMERICE PENTRU SISTEME DE ECUAȚII NEINIARE ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 0 Prelmar: Norma uu vector s orma ue

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL I. PRELIMINARII Elemente de teoria mulţimilor

CAPITOLUL I. PRELIMINARII Elemente de teoria mulţimilor CAPITOLUL I. PRELIMINARII.. Elemete de teora mulţmlor. Mulţm Pr mulţme vom îţelege o colecţe (set, asamblu) de obecte (elemetele mulţm), be determate ş cosderate ca o ettate. Se subâţelege fatul că elemetele

Διαβάστε περισσότερα

λ C valoare proprie a matricei A dacă x, x 0

λ C valoare proprie a matricei A dacă x, x 0 ALULUL NUMERI AL VALORILOR PROPRII ŞI AL VETORILOR PROPRII A mtrice pătrtică de ordiul cu elemete rele vlore proprie mtricei A dcă, R : A ; () vector propriu l mtricei A socit vlorii () (A I), I mtrice

Διαβάστε περισσότερα

COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi

COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi OMBINATORIĂ Mulţimile ordoate care se formează cu elemete di elemete date se umesc permutări. P =! Proprietăţi 0! = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! =!! =!! =! +... Submulţimile ordoate care se formează cu elemete

Διαβάστε περισσότερα

Numere complexe. a numerelor complexe z b b arg z.

Numere complexe. a numerelor complexe z b b arg z. Numere complexe Numere complexe Forma algebrcă a numărulu complex este a b unde a ş b sunt numere reale Numărul a se numeşte partea reală a numărulu complex ş se scre a Re ar numărul b se numeşte partea

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii

Διαβάστε περισσότερα

REZUMAT CURS 3. i=1. Teorema 2.2. Daca f este (R)-integrabila pe [a, b] atunci f este marginita

REZUMAT CURS 3. i=1. Teorema 2.2. Daca f este (R)-integrabila pe [a, b] atunci f este marginita REZUMAT CURS 3. Clse de uctii itegrbile Teorem.. Dc :, b] R este cotiu tuci este itegrbil pe, b]. Teorem.2. Dc :, b] R este mooto tuci este itegrbil pe, b]. 2. Sume Riem. Criteriul de itegrbilitte Riem

Διαβάστε περισσότερα

Evaluare : 1. Continuitatea funcţiilor definite pe diferite spaţii metrice. 2. Răspunsuri la problemele finale.

Evaluare : 1. Continuitatea funcţiilor definite pe diferite spaţii metrice. 2. Răspunsuri la problemele finale. Modulul 4 APLICAŢII CONTINUE Subecte :. Cotutatea fucţlor defte pe spaţ metrce.. Uform cotutatate. 3. Lmte. Dscotutăţ lmte parţale lmte terate petru fucţ de ma multe varable reale. Evaluare :. Cotutatea

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme cu asteptare - continut. Modelul simplu de trafic

Sisteme cu asteptare - continut. Modelul simplu de trafic Ssteme cu asteptare - cotut Recaptulare: modelul smplu de trafc Dscpla cadrul cozlor de asteptate M / M / Modelul ( server, pozt de asteptare ) Aplcat modelarea trafculu de date la vel de pachete M / M

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice

Asupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice Educţi Mtemtică Vol. 1, Nr. (5), 59 68 Asupr unei metode pentru clculul unor integrle definite din functii trigonometrice Ion Alemn Astrct In this pper is presented one method of clcultion for the trigonometricl

Διαβάστε περισσότερα

Lucrarea Nr. 6 Reacţia negativă paralel-paralel

Lucrarea Nr. 6 Reacţia negativă paralel-paralel Lucrre Nr. 6 ecţ netă prlel-prlel Crcutul electrc pentru studul AN pp: Schem de semnl mc AN pp: Fur. Schem electrcă pentru studul AN pp Fur 2. Schem de semnl mc crcutulu pentru studul AN pp Intern cudrpl:

Διαβάστε περισσότερα

METODE NUMERICE IN INGINERIA ELECTRICA

METODE NUMERICE IN INGINERIA ELECTRICA METODE NUMERICE IN INGINERIA ELECTRICA Notte de urs: 4 5, semestrul S.l. Dr. Ig. Mh Iul REBICAN mh.reb@upb.ro Curs: jo, 8: - :, EA4 Cosultt: mrt 6: - 7:; jo -; EC5 IE, hol EB, etj Uverstte Polteh Buurest

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZA GRAFICA A REZULTATELOR DETERMINAREA FUNCTIEI DE REGRESIE OPTIME

ANALIZA GRAFICA A REZULTATELOR DETERMINAREA FUNCTIEI DE REGRESIE OPTIME ANALIZA GRAFICA A REZULTATELOR DETERMINAREA FUNCTIEI DE REGREIE OPTIME A. copul lucrr: e urmreste relzre urmtorelor oectve: - prezetre otulor geerle legte de formele de prezetre rezulttelor - prezetre

Διαβάστε περισσότερα

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi

Διαβάστε περισσότερα

INTRODUCERE. 1. Erori în procesul de masura

INTRODUCERE. 1. Erori în procesul de masura INTRODUCERE. Eror î procesul de msur. Geerltt Dup cum este e cuoscut, fzc, u d sttele tur, operez cu otu s mrm exprmle ctttv s, c urmre (m mult su m put) precs determle. O operte fudmetl î fzc este cee

Διαβάστε περισσότερα

Procese stocastice (2) Fie un proces stocastic de parametru continuu si avand spatiul starilor discret. =

Procese stocastice (2) Fie un proces stocastic de parametru continuu si avand spatiul starilor discret. = Xt () Procese stocastce (2) Fe u proces stocastc de parametru cotuu s avad spatul starlor dscret. Cu spatul starlor S = {,,, N} sau S = {,, } Defta : Procesul X() t este u proces Markov daca: PXt { ( )

Διαβάστε περισσότερα

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare SUBGRUPURI CLASICE. SUBGRUPURI recapitulare Defiiţia. Fie (G, u rup şi H o parte evidă a sa. H este subrup al lui G dacă:. H este parte stabilă a lui G;. H îzestrată cu operaţia idusă este rup. Teorema.

Διαβάστε περισσότερα

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Miisterul Educaţiei Națioale Cetrul Naţioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat aţioal 08 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Clasa a XI-a Toate subiectele sut obligatorii Se acordă 0 pucte di oficiu

Διαβάστε περισσότερα

OperaŃii cu numere naturale

OperaŃii cu numere naturale MulŃime umereleor turle www.webmteifo.com Petru scrie u umr orecre trebuie s combim itre ele uele ditre cele 0 simboluri: 0,,,, 4,, 6, 7, 8, 9.Aceste simboluri se umesc cifre. Ele sut de origie rb. Ν =

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

9. Polinoamele Taylor asociate unor funcţii (I. Boroica) 9.1. Formulele lui Taylor şi polinoamele Taylor asociate funcţiilor elementare

9. Polinoamele Taylor asociate unor funcţii (I. Boroica) 9.1. Formulele lui Taylor şi polinoamele Taylor asociate funcţiilor elementare lgeră Cupris Mtrice de ordi doi şi plicţii (IDicou VPop Mtrice de ordi doi Proleme rezolvte Teorem lui Cle- Hmilto 4 Proleme rezolvte 5 Determire puterilor turle le uei mtrice de ordi doi 6 Proleme rezolvte

Διαβάστε περισσότερα

TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:

TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective: TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi

Διαβάστε περισσότερα

sin d = 8 2π 2 = 32 π

sin d = 8 2π 2 = 32 π .. Eerciţii reolvte. INTEGRALA E UPRAFAŢĂ E AL OILEA TIP. ÂMPURI OLENOIALE. Eerciţiul... ă se clculee dd dd dd, () fiind fţ eterioră sferei + + 4. oluţie. Avem: sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ, θ[, π],

Διαβάστε περισσότερα

Pentru această problemă se consideră funcţia Lagrange asociată:

Pentru această problemă se consideră funcţia Lagrange asociată: etoda ultplcatorlor lu arae ceastă etodă de optzare elară elă restrcţle de tp ealtate cluzâdu-le îtr-o ouă fucţe oectv ş ărd sulta uărul de varale al prolee de optzare. e urătoarea proleă: < (7. Petru

Διαβάστε περισσότερα

a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.

a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A. Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)

Διαβάστε περισσότερα

Integrale generalizate (improprii)

Integrale generalizate (improprii) Integrle generlizte (improprii) Fie f : [, ] R, definită prin =, α > 0. Pentru u, funţi α f este integrilă pe intervlul [, u] şi u ln α+ α+ u u = ( α)u α α, α = ln u, α =. Dă treem l limită pentru u oţinem

Διαβάστε περισσότερα

Olimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1

Olimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1 Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0)1 317 36 50 Fax: +40 (0)1 317 36 54 Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală -00016 Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 1. Optimalitate Metode analitice

CUPRINS 1. Optimalitate Metode analitice CUPRINS. Optltte.......................... Optzre.. Forulre ş clscre probleelor de optzre.. Etpele rezolvăr probleelor de optzre.4. Codţ de optltte.5. Cocvtte covette.5.. Fucţ covee ş cocve.5.. Mulţ covee.

Διαβάστε περισσότερα

Polinoame.. Prescurtat putem scrie. sunt coeficienţii polinomului cu a. este mulţimea polinoamelor cu coeficienţi complecşi.

Polinoame.. Prescurtat putem scrie. sunt coeficienţii polinomului cu a. este mulţimea polinoamelor cu coeficienţi complecşi. Poliome ) Form lgebrică uui poliom Pri form lgebrică su form coică îţelegem f X X X Prescurtt putem scrie f X,,, sut coeficieţii poliomului cu, se umeşte coeficiet domit şi X terme domit tuci poliomul

Διαβάστε περισσότερα

CURS III, IV. Capitolul II: Serii de numere reale. a n sau cu a n. Deci lungimea segmentului este suma lungimilor sub-segmentelor obţinute, adică

CURS III, IV. Capitolul II: Serii de numere reale. a n sau cu a n. Deci lungimea segmentului este suma lungimilor sub-segmentelor obţinute, adică Capitolul II: Serii de umere reale Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC CURS III, IV Capitolul

Διαβάστε περισσότερα

4. Metoda Keller Box Preliminarii

4. Metoda Keller Box Preliminarii Cptolul I. Metode umee î teo tseulu de ălduă ovetv 4. Metod Kelle o 4.. Pelm Metod Kelle o este o metod e utlzeză deeţe te polemele de ezolvt eduâdu-se l ezolve uo ssteme de euţ lgee. Metod ost todusă

Διαβάστε περισσότερα

Sondajul statistic- II

Sondajul statistic- II 08.04.011 odajul statstc- II EŞATIOAREA s EXTIDEREA REZULTATELOR www.amau.ase.ro al.sac-mau@cse.ase.ro Data : 13 aprle 011 Bblografe : ursa I,cap.VI,pag.6-70 11.Aprle.011 1 odajul aleator smplu- cu revere

Διαβάστε περισσότερα

Analiza bivariata a datelor

Analiza bivariata a datelor Aaliza bivariata a datelor Aaliza bivariata a datelor! Presupue masurarea gradului de asoiere a doua variabile sub aspetul: Diretiei (aturii) Itesitatii Semifiatiei statistie Variabilele omiale Tabele

Διαβάστε περισσότερα

CULEGERE DE PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU ADMITEREA LA UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMISOARA

CULEGERE DE PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU ADMITEREA LA UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMISOARA CULEGERE DE PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU ADMITEREA LA UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMISOARA î ul uiversitr 9 PREFAŢĂ Prezet culegere se dreseză deopotrivă elevilor de liceu, î scopul istruirii lor

Διαβάστε περισσότερα

Sub formă matriceală sistemul de restricţii poate fi scris ca:

Sub formă matriceală sistemul de restricţii poate fi scris ca: Metoda gradetulu proectat (metoda Rose) Î cazul problemelor de optmzare covee ale căror restrcţ sut lare se poate folos metoda gradetulu proectat. Î prcpu, această metodă poate f folostă ş petru cazul

Διαβάστε περισσότερα

COLEGIUL NAȚIONAL MIHAI VITEAZUL SF. GHEORGHE, COVASNA SĂ ȘTII MAI MULTE, SĂ FII MAI BUN LA MATEMATICĂ

COLEGIUL NAȚIONAL MIHAI VITEAZUL SF. GHEORGHE, COVASNA SĂ ȘTII MAI MULTE, SĂ FII MAI BUN LA MATEMATICĂ COLEGIUL NAȚIONAL MIHAI VITEAZUL SF. GHEORGHE, COVASNA SĂ ȘTII MAI MULTE, SĂ FII MAI BUN LA MATEMATICĂ LUCRARE CONCEPUTĂ ȘI REALIZATĂ DE COLECTIVUL CLASEI XII- A, PROFIL REAL, SPECIALIZAREA MATEMATICĂ-INFORMATICĂ.

Διαβάστε περισσότερα

Liceul de Informatică Spiru-Haret Suceava. Elev : Alexevici Cătălin. Profesor coordonator: Oanea Călin. referat.clopotel.ro 1

Liceul de Informatică Spiru-Haret Suceava. Elev : Alexevici Cătălin. Profesor coordonator: Oanea Călin. referat.clopotel.ro 1 Lel de Ifortă Spr-Hret Se Ele : lee Cătăl Profesor oordotor: Oe Căl refertlopotelro CUPRINS MTRICI pg Despre tr Operţ tr Egltte doă tr dre trlor Îlţre slr trlor Îlţre trlor DETERMINNŢI pg Defţ detertl

Διαβάστε περισσότερα

TESTE GRILĂ DE MATEMATICĂ. pentru examenul de bacalaureat şi admiterea în învăţământul superior UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMISOARA

TESTE GRILĂ DE MATEMATICĂ. pentru examenul de bacalaureat şi admiterea în învăţământul superior UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMISOARA TESTE GRILĂ DE MATEMATICĂ petru emeul de bcluret şi dmitere î îvăţămâtul superior l UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMISOARA PREFAŢĂ Prezet culegere se dreseză deopotrivă elevilor de liceu, î scopul istruirii

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERSITATEA AL.I.CUZA IAŞI FACULTATEA de INFORMATICĂ CALCUL NUMERIC. Anca Ignat

UNIVERSITATEA AL.I.CUZA IAŞI FACULTATEA de INFORMATICĂ CALCUL NUMERIC. Anca Ignat UNIVERSIAEA AL.I.CUZA IAŞI FACULAEA de INFORMAICĂ CALCUL NUMERIC Aca Igat CUPRINS Prelmar 3 Calcul matrcal 5 pur de matrc 8 Norme 9 Norme matrcale 0 Valor ş vector propr 4 Surse de eror î calculule umerce

Διαβάστε περισσότερα

lim lim lim lim (criteriul cu şiruri); lim lim = lim ; Limite de funcńii NotaŃii: f :D R, D R, α - punct de acumulare a lui D;

lim lim lim lim (criteriul cu şiruri); lim lim = lim ; Limite de funcńii NotaŃii: f :D R, D R, α - punct de acumulare a lui D; Limit d fucńii Aliz mtmtică, cls XI- Limit d fucńii NotŃii: f :D R, D R, α - puct d cumulr lui D DfiiŃii l iti DfiiŃi f ( = l, l R, dcă ptru oric vciătt V lui l istă o vciătt α U lui α stfl îcât D U, α,

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL II. 1. Corpul numerelor complexe. Construcţia şi reprezentarea numerelor complexe.

CAPITOLUL II. 1. Corpul numerelor complexe. Construcţia şi reprezentarea numerelor complexe. APITOLUL II FUNŢII OMPLEXE orpl merelor complee ostrcţ ş repreetre merelor complee Imposbltte reolvăr or ecţ lgebrce î corpl merelor rele R cos pe lgebrşt tle î secoll XVI să trocă o epres e orm b b R

Διαβάστε περισσότερα

PENTRU CERCURILE DE ELEVI

PENTRU CERCURILE DE ELEVI 122 Petru cercurile de elevi PENTRU CERCURILE DE ELEVI Petru N, otăm: POLINOAME CICLOTOMICE Marcel Ţea 1) U = x C x = 1} = cos 2kπ + i si 2kπ } k = 0, 1. Mulţimea U se umeşte mulţimea rădăciilor de ordi

Διαβάστε περισσότερα