5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2."

Transcript

1 5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m U sistemu su x 1, x 2,, x n nepoznate veličine, dok su a ij, 1 i m, 1 j n zadati koeficijenti, a b i, 1 i m zadati slobodni članovi Pri tome broj jednačina m i broj nepoznatih n mogu biti u bilo kom od odnosa m < n, m = n ili m > n Pod rešenjem sistema linearnih jednačina podrazumevamo bilo koji skup od n brojeva α 1, α 2,, α n koji za x 1 = α 1, x 2 = α 2,, x n = α n identički zadovoljavaju sistem Sistem linearnih jednačina ne mora uvek imati rešenje Npr sistem x + y = 1 x + y = 2 nema rešenja jer ne postoje brojevi koji mogu da ga zadovolje Takože, ukoliko sistem ima rešenje, to ne znači da mora imati samo jedno rešenje Tako, npr sistem jednačina x + y = 1 2x + 2y = 2 ima beskonačno mnogo rešenja oblika x = α, y = 1 α gde je α proizvoljan broj Za nepoznatu x se u ovom slučaju kaže da je slobodna a za y da je vezana Uopšte, kada sistem linearnih jednačina ima više od jednog rešenja, onda je barem jedna nepoznata slobodna, što praktično znači da sistem ima beskonačno mnogo rešenja Prema tome da li ima ili nema rešenja, i ukoliko ih ima, da li ima jedno jedino ili više rešenja, sistem linearnih jednačina može biti: 1 odrežen, ako ima samo jedno rešenje, 2 neodrežen, ako ima više od jednog (beskonačno mnogo) rešenja,

2 5 Sistemi linearnih jednačina 48 3 nemoguć (protivrečan) ako nema rešenja Odreženi i neodreženi sistemi se nazivaju jednim imenom saglasnim sistemima Saglasan sistem, dakle, ima bar jedno rešenje Ako su svi slobodni članovi sistema jednaki nuli: b 1 = b 2 = = b n = 0 sistem je homogen, u protivnom je nehomogen saglasan, jer ima bar jedno rešenje: Svaki homogen sistem je x 1 = x 2 = x n = 0 Ovo rešenje se naziva trivijalnim rešenjem Ukoliko je homogen sistem odrežen, on ima samo trivijalno rešenje Neodrežen homogen sistem ima i rešenja koja su netrivijalna Primer 33 Sistem x + y = 0 x y = 0 ima samo trivijalno rešenje, dok sistem x + y = 0 2x + 2y = 0 ima beskonačno mnogo rešenja oblika x = α, y = α Dva sistema linearnih jednačina su ekvivalentna ako je svako rešenje jednog sistema istovremeno i rešenje drugog sistema i obrnuto Transformacije koje sistem linearnih jednačina prevode u njemu ekvivalentan sistem su 1 Zamena mesta dveju jednačina, 2 Množenje svih koeficijenata jedne jednačine konstantom c 0, 3 Dodavanje koeficijenata jedne jednačine odgovarajućim koeficijentima neke druge jednačine Primer 34 Dat je sistem 2x + y z = 2

3 51 Gausov postupak eliminacije 49 x + 2y + 3z = 4 x + y + z = 3 Zamenom mesta prve i treće jednačine dobija se ekvivalentan sistem x + y + z = 3 x + 2y + 3z = 4 2x + y z = 2 Ako se koeficijenti prve jednačine najpre dodaju odgovarajućim koeficijentima druge jednačine, a potom se pomnože sa -2 i dodaju koeficijentima treće jednačine dobija se sistem: x + y + z = 3 3y + 4z = 7 y 3z = 4 Zamenom mesta druge i treće jednačine dobija se: x + y + z = 3 y 3z = 4 3y + 4z = 7 Množenjem koeficijenata druge jednačine sa 3 i njihovim dodavanjem na koeficijente treće jednačine dobija se sistem ekvivalentan polaznom: x + y + z = 3 y 3z = 4 5z = 5 51 Gausov postupak eliminacije Gausov postupak (metoda) eliminacije je postupak kojim se može rešavati bilo koji sistem jednačina m < n, m = n, m > n U Gausovom postupku pretpostavlja se da je 0 Naime, ako u konkretnom sistemu u prvoj jednačini koeficijent uz x 1 ne bi bio različit od nule u sistemu mora postojati bar jedna jednačina u kojoj je koeficijent uz x 1 različit od nule, i onda se ta jednačina i prva jednačina zamene, čime se dobija ekvivalentan sistem u kome je 0

4 51 Gausov postupak eliminacije 50 Ako se sada prva jednačina podeli sa dobije se ekvivalentan sistem x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a x 2 + a 23 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 + a m3 x a mn x n = b m Ako se sada prva jednačina ovog sistema pomnoži sa a 21 i doda drugoj jednačini, a zatim pomnoži sa a 31 i doda trećoj jednačini i tako redom, dobija se novi ekvivalentni sistem x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1n x n = b 1 (a a 12 a 21 )x 2 + (a 23 a 13 a 21 )x (a 2n a 1n a 21 )x n = b 2 b 1 a 21 (a m2 a 12 a m1 )x 2 +(a m3 a 13 a m1 )x 3 + +(a mn a 1n a m1 )x n = b m b 1 a m1 odnosno, ako uvedemo nove oznake a 1j = 1j a ij a 1j a i1 = ij j = 2,, n b 1 = b 1 i = 2,, m j = 2,, n dobijamo sistem b i b 1 a i1 = b i i = 2,, m x x x nx n = b 1 x x nx n = b 2 m2x 2 + m3x mnx n = b m u kome je samo u prvoj jednačini koeficijent uz x 1 različit od nule Drugim rečima, nepoznata x 1 eliminisana je iz svih jednačina počev od druge pa nadalje Mi možemo dalje pretpostaviti da je 0 Ako to ne bi bio slučaj, onda se, kao i u prethodnom koraku, traži jednačina u kojoj je koeficijent uz

5 51 Gausov postupak eliminacije 51 x 2 različit od nule Potom se zamenom mesta te jednačine i druge jednačine postiže da bude 0 Može se, mežutim, desiti i da svi koeficijenti uz x 2 budu jednaki 0, odnosno da važi i2 = 0, i = 2,, m U tom slučaju proverava se da li postoji bar jedan koeficijent ij 0, j {3,, n}, i {2,, m}, odnosno da li postoji koeficijent uz neku promenljivu x j, za j > 2, u nekoj, i-toj jednačini (i 2), koji je različit od 0, u kom slučaju sada promenljive x 2 i x j mogu zameniti mesta tako da opet bude 0 Poslednja mogućnost je da su svi koeficijenti ij, i = 2,, m, j = 2,, n jednaki nuli, odnosno da se sistem sveo na: x x x nx n = b 1 0 = b 2 0 = b m U ovom, poslednjem slučaju Gausov postupak se završava Iz ovako dobijenog sistema jasno je da on može biti saglasan ako i samo ako su svi slobodni koeficijetni b i = 0, i = 2,, m U tom slučaju sistem se praktično svodi na jednu jednačinu sa n nepoznatih, što znači da dobijeni sistem, pa samim tim i njemu ekvivalentan polazni sistem, predstavlja sistem sa beskonačno mnogo rešenja Pri tome je n 1 nepoznatih slobodno, a jedna nepoznata je vezana Ako je, pak, bar jedan od slobodnih koeficijenata b i 0, dobijeni sistem, a time i polazni, je nemoguć Vratimo se sada na pretpostavku da je 0 U tom slučaju deljenjem druge jednačine sa dobija se ekvivalentan sistem x x x nx n = b 1 x 2 + a 23 x a 2n x n = b 2 a m2x 2 + m3x mnx n = b m Dalje, ako se druga jednačina množi redom sa i2 i dodaje i-toj jednačini i = 3,, m, dobija se ekvivalentan sistem:

6 51 Gausov postupak eliminacije 52 x x x nx n = b 1 x 2 + a 23 x a 2n x n = b 2 a ( 33 a 23 a 32)x ( 3n a 2n a 32)x n = b 3 b 2 32 ( m3 a 23 a m2)x ( mn a 2n a m2)x n = b 3 b m m2 odnosno ako se uvedu nove oznake 2j = 2j j = 3,, n b 2 = b 2 ij a 2j i2 = ij i = 3,, m j = 3,, n dobija se sistem b i b 2 i2 = b i i = 3,, m x x x nx n = b 1 x x nx n = b 2 33x nx n = b 3 m3x mnx n = b m Ovaj sistem ekvivalentan je sa polaznim sistemom, a u njemu je sada promenljiva x 2 eliminisana iz svih jednačna počev od treće jednačine pa nadalje Daljim sprovoženjem analognog postupka eliminacije nepoznatih x 3, x 4, postupak će se završiti na ekvivalentnom sistemu koji ima oblik x x x kx k + + 1nx n = b 1 x x kx k + + 2nx n = b 2 x kx k + + 3nx n = b 3 x m + + a (m) mn x n = b (m) m

7 52 Rešavanje sistema linearnih jednačina pomoću determinanti 53 koji je uvek saglasan, ili na sistemu čiji je oblik x x x kx k + + 1nx n = b 1 x x kx k + + 2nx n = b 2 x kx k + + 3nx n = b 3 x k + + a (k) kn x n = b (k) k 0 = b (k) k+1 0 = b (k) m pri čemu je k < m, a koji je saglasan ako i samo ako je b (k) i = 0 za sve vrednosti i = k + 1,, m, dok je u protivnom nemoguć U slučaju kada je ovaj sistem saglasan, on ima praktično isti oblik kao i prethodni, pa ćemo nadalje razmatrati samo ovaj prethodni Ako se radi o saglasnom sistemu i ako je pri tome m = n (odnosno k = n), u kom slučaju se poslednja jednačina svodi na x n = b (n) n onda sistem ima jedinstveno rešenje Vrednosti koje čine ovo rešenje se dobijaju tako što se vrednost za x n dobije iz poslednje jednačine a zatim uvrsti u pretposlednju jednačinu, pa se odatle izračuna vrednost za x n 1 Postupak se nastavlja analogno sve do prve jednačine u kojoj se izračunava x 1 na osnovu već izračunatih vrednosti x n, x n 1,, x 2 Ako je sistem saglasan a pri tome je m < n (odnosno k < n), onda sistem ima beskonačno mnogo rešenja Sve nepoznate x m+1, x m+2,, x n su slobodne, odnosno mogu imati proizvoljne vrednosti, dok su nepoznate x 1, x 2,, x m vezane, odnosno izražavaju se u funkciji slobodnih nepoznatih Gausovom metodom se, prema tome: 1 utvržuje da li je sistem saglasan ili nemoguć i 2 u slučaju saglasnog sistema dobijaju se rešenja sistema 52 Rešavanje sistema linearnih jednačina pomoću determinanti Rešavanje sistema linearnih jednačina pomoću determinanti moguće je samo ukoliko je broj jednačina jednak broju nepoznatih, odnosno, ako je m = n

8 52 Rešavanje sistema linearnih jednačina pomoću determinanti 54 Sistem je u tom slučaju x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a x a 2n x n = b 2 a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n Matrica koju formiraju koeficijenti uz nepoznate a ij a 12 a 1n a 21 a a 2n S = a n1 a n2 a nn se naziva matricom sistema a njena determinanta a 12 a 1n a 21 a a 2n D s = a n1 a n2 a nn determinantom sistema Za rešavanje sistema linearnih jednačina pomoću determinanti, pored determinante sistema, koristi se još n determinanti D k, k = 1,, n koje se dobijaju tako što se u determinanti D s, k-ta kolona zameni kolonom slobodnih članova a 12 a 1k 1 b 1 a 1k+1 a 1n a 21 a a 2k 1 b 2 a 2k+1 a 2n D k = a n1 a n2 a nk 1 b n a nk+1 a nn Primena determinanti za rešavanje sistema linearnih jednačina praktično se zasniva na sledećoj teoremi: Teorema 2 Neka sistem n linearnih jednačina sa n nepoznatih ima bar jedno rešenje Tada, za svako rešenje sistema x 1 = α 1 x 2 = α 2 x n = α n važe jednakosti α k D s = D k k = 1, 2,, n

9 52 Rešavanje sistema linearnih jednačina pomoću determinanti 55 Dokaz 5 Pomnožimo determinantu D s sa α k i to tako što pomnožimo upravo njenu k-tu kolonu: a 1k a 1n α k a 1k a 1n a 21 a 2k a 2n a 21 α k a 2k a 2n α k D s = α k = a n1 a nk a nn a n1 α k a nk a nn U dobijenoj determinanti pomnožimo prvu kolonu sa α 1, pa je dodamo k-toj koloni, zatim drugu kolonu sa α 2, pa i nju dodamo k-toj koloni, i tako redom do n-te kolone koju pomnožimo sa α n i dodamo takože k-toj koloni, tako da konačno dobijemo a 12 a 1k 1 α 1 + a 12 α a 1n α n a 1k+1 a 1n a 21 a a 2k 1 a 21 α 1 + a α a 2n α n a 2k+1 a 2n α k D s = a n1 a n2 a nk 1 a n1 α 1 + a n2 α a nn α n a nk+1 a nn Kako je α 1, α 2,, α n rešenje sistema, to je α 1 + a 12 α a 1n α n = b 1 a 21 α 1 + a α a 2n α n = b 2 pa je a n1 α 1 + a n2 α a nn α n = b n a 12 a 1k 1 b 1 a 1k+1 a 1n a 21 a a 2k 1 b 2 a 2k+1 a 2n α k D s = a n1 a n2 a nk 1 b n a nk+1 a nn = D k što je i trebalo dokazati Ako je, dakle, α 1, α 2, α n rešenje sistema i D s 0, odnosno matrica sistema je regularna, onda je α k = D k D s Za sisteme jednačina u kojima je broj jednačina jednak broju nepoznatih važi tzv Kramerovo pravilo: Ako je matrica sistema regularna, odnosno ako

10 53 Matrične jednačine 56 je D s 0, onda je sistem odrežen, odnosno, saglasan je i ima jedinstveno rešenje x k = D k k = 1, 2,, n D s Sa druge strane, ako je matrica sistema singularna, odnosno ako je D s = 0, a bar jedna od determinanti D k 0, k {1, 2,, n}, onda je sistem nemoguć Naime, ako bi sistem imao rešenje pri D s = 0 i D k 0 za neko k, onda bi važilo D k = α k D s = 0 što protivreči uslovu D k 0 Ukoliko je D s = 0 i D k = 0 k = 1, 2,, n onda sistem sigurno nije odrežen, ali preostaju dve druge mogućnosti: da je sistem neodrežen (ima beskonačno mnogo rešenja) ili da je nemoguć (nema rešenja), ali se do rešenja sistema u ovom slučaju ne može doći pomoću determinanti Konačno, ako je u pitanju homogen sistem jednačina, odnosno sistem u kome su slobodni koeficijenti b 1 = b 2 = = b n = 0, onda će uvek biti D 1 = D 2 = = D n = 0 jer svaka od ovih determinanti sadrži jednu kolonu u kojoj se nalaze slobodni koeficijenti, odnosno same nule Kako je, sa druge strane, homogen sistem uvek saglasan, to znači da za D s 0 sistem ima jedinstveno rešenje, a to je trivijalno rešenje, dok je za D s = 0 sistem neodrežen, odnosno ima beskonačno mnogo rešenja 53 Matrične jednačine Sistem linearnih jednačina x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m može se izraziti u obliku matrične jednačine gde je A X = B

11 54 Kroneker-Kapelijeva teorema 57 A = a 12 a 1n a 21 a a 2n a m1 a m2 a mn matrica sistema, dok su X i B vektori kolone X = x 1 x 2 x n B = b 1 b 2 b m Ako je sistem kvadratan (m = n), a matrica sistema A regularna (deta 0), onda za nju postoji inverzna matrica A 1, pa se rešenje matrične jednačine može dobiti na sledeći način A 1 (AX) = A 1 B (A 1 A) X = A 1 B I X = A 1 B X = A 1 B 54 Kroneker-Kapelijeva teorema Za sistem lineranih jednačina čija je matrica sistema x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m a 12 a 1n a 21 a a 2n A = a m1 a m2 a mn

12 55 Sopstvene vrednosti i sopstveni vektori matrice 58 može se formirati i sledeća matrica a 12 a 1n b 1 a 21 a a 2n b 2 A = a m1 a m2 a mn b m koja se naziva proširenom matricom sistema Teorema 3 (Kroneker-Kapeli) Sistem linearnih jednačina je saglasan ako i samo ako je r = ranga = ranga odnosno ako je rang matrice sistema r jednak rangu proširene matrice sistema Za saglasne sisteme važi: 1 Ako je rang matrice A sistema r = n (pri čemu mora biti n m) onda sistem ima jedinstveno rešenje 2 Ako rang matrice A sistema r < n onda sistem ima beskonačno mnogo rešenja pri čemu je n r nepoznatih slobodno, a r ih je vezano (zavisno od slobodnih nepoznatih) Na osnovu Kroneker-Kapelijeve teoreme direktno sledi da je svaki homogeni sistem saglasan jer se matrica sistema proširuje kolonom slobodnih koeficijenata čije su vrednosti same nule pa se ovakvim proširenjem rang matrice ne može povećati, odnosno ranga = ranga 55 Sopstvene vrednosti i sopstveni vektori matrice Za kvadratne matrice mogu se definisati sopstveni vektori i sopstvene vrednosti Naime, svaka matrica kolona (vektor) X = naziva se sopstveni vektor kvadratne matrice A reda n ako postoji skalar λ takav da je x 1 x 2 x n A X = λx

13 55 Sopstvene vrednosti i sopstveni vektori matrice 59 U tom slučaju se skalar λ naziva sopstvena vrednost matrice A koja odgovara sopstvenom vektoru X Jednačina može da se napiše i kao odnosno Kako je matrica (A λi) = to matričnoj jednačini A X = λx A X λx = 0 (A λi) X = 0 λ a 12 a 1n a 21 a λ a 2n a n1 a n2 a nn λ odgovara homogeni sistem jednačina (A λi) X = 0 Determinanta ovog sistema ( λ)x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + (a λ)x a 2n x n = b 2 a n1 x 1 + a n2 x (a nn λ)x n = b n det(a λi) = λ a 12 a 1n a 21 a λ a 2n a n1 a n2 a nn λ predstavlja polinom po λ i naziva se karakterističnim polinomom matrice A Odgovarajuća algebarska jednačina det(a λi) = 0

14 55 Sopstvene vrednosti i sopstveni vektori matrice 60 naziva se karakterističnom jednačinom matrice A Iz načina formiranja karakterističnog polinoma sledi da rešenja karakteristične jednačine predstavljaju sopstvene vrednosti matrice A, a zamenom sopstvenih vrednosti u sistem (A λi) X = 0 dobijaju se odgovarajući sopstveni vektori matrice A Primer 35 Za zadatu matricu A = karakteristični polinom se dobija rešavanjem determinante A = odakle sledi karakteristična jednačina 3 λ λ λ λ 3 9λ λ 16 = 0 Rešenja ove jednačine su λ 1 = 1, λ 2 = λ 3 = 4 i ona predstavljaju sopstvene vrednosti matrice A Za sopstvenu vrednost λ 1 = 1 dobija se homogeni sistem 2x + y z = 0 x + 2y + z = 0 x + y + 2z = 0 čija su rešenja oblika (α, α, α) Odavde sa sopstveni vektor za λ 1 = 1 može dobiti izborom proizvoljne vrednosti α 0, recimo α = 1, u kom slučaju je odgovarajući sopstveni vektor X 1 = Za λ 2 = λ 3 = 4 imamo sistem x + y z = 0 x y + z = 0

15 55 Sopstvene vrednosti i sopstveni vektori matrice 61 z + y z = 0 čija su rešenja (α β, α, β), odakle se za α = 1 i β = 0 dobija sopstveni vektor 1 X 2 = 1 0 a za α = 0 i β = 1 sopstveni vektor 1 X 3 = 0 1

Vektorski prostori. Vektorski prostor

Vektorski prostori. Vektorski prostor Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo.

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo. Kompleksni brojevi Algebarski oblik kompleksnog broja je z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je z = rcos θ + i sin θ,

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Na grafiku bi to značilo :

Na grafiku bi to značilo : . Ispitati tok i skicirati grafik funkcije + Oblast definisanosti (domen) Kako zadata funkcija nema razlomak, to je (, ) to jest R Nule funkcije + to jest Ovo je jednačina trećeg stepena. U ovakvim situacijama

Διαβάστε περισσότερα

Predstavljanje orijentacije i rotacije u 3D

Predstavljanje orijentacije i rotacije u 3D Predstavljanje orijentacije i rotacije u 3D Orijentacija Još jednom: Orijentacija i pravac - isto ili ne? Pravac je određen vektorom, ali rotacija vektora oko samog sebe nema daljeg uticaja. Orijentacija

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI IZ MATEMATIKE

RIJEŠENI ZADACI IZ MATEMATIKE RIJEŠENI ZADACI IZ MATEMATIKE Ovi zadaci namijenjeni su studentima prve godine za pripremu ispitnog gradiva za kolokvije i ispite iz matematike. Pripremljeni su u suradnji i po uputama predmetnog nastavnika

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

Skupovi, relacije, funkcije

Skupovi, relacije, funkcije Chapter 1 Skupovi, relacije, funkcije 1.1 Skup, torka, multiskup 1.1.1 Skup Pojam skupa ne definišemo eksplicitno. Intuitivno skup prihvatamo kao konačnu ili beskonačnu kolekciju objekata (ili elemenata)u

Διαβάστε περισσότερα

O SKUPOVIMA. Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe,

O SKUPOVIMA. Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe, O SKUPOVIM Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe, skupine, mnoštva neke vrste objekata, stvari, živih bića i dr. Tako imamo skup stanovnika nekog grada, skup

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture

Algebarske strukture i operacije Univerzitet u Nišu Prirodno Matematički Fakultet februar 2010 Istraživačka stanica Petnica i operacije Operacije Šta je to algebra i apstraktna algebra? Šta je to algebarska struktura? Cemu

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18 OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA () 6. studenog 2011. 1 / 18 TRI OSNOVNA PRINCIPA PREBROJAVANJA -vrlo često susrećemo se sa problemima prebrojavanja elemenata nekog konačnog skupa S () 6. studenog 2011.

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

Unipolarni tranzistori - MOSFET

Unipolarni tranzistori - MOSFET nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]

Διαβάστε περισσότερα

PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L

PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L UPUTSTVO ZA UPOTREBU. 1 Prskalica je pogodna za rasprsivanje materija kao sto su : insekticidi, fungicidi i sredstva za tretiranje semena. Prskalica je namenjena za kućnu upotrebu,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

NASTAVA MATEMATIKE NA FAKULTETIMA. Dr orđe Dugoxija SIMPLEKS METODA

NASTAVA MATEMATIKE NA FAKULTETIMA. Dr orđe Dugoxija SIMPLEKS METODA NASTAVA MATEMATIKE NA FAKULTETIMA Dr orđe Dugoxija SIMPLEKS METODA U prethodnim radovima [2] i [3] opisana je teorija linearnog programiranja. U ovom radu prikaza emo jednu od osnovnih metoda za rexavanje

Διαβάστε περισσότερα

VJEROVATNOĆA I STATISTIKA ZBIRKA RIJEŠENIH ZADATAKA ==========================

VJEROVATNOĆA I STATISTIKA ZBIRKA RIJEŠENIH ZADATAKA ========================== VJEROVATNOĆA I STATISTIKA ZBIRKA RIJEŠENIH ZADATAKA ========================== M. JOVANOVIĆ M. MERKLE Z. MITROVIĆ Elektrotehnički fakultet Banja Luka ================================== ii Autori: dr Milan

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcije 9 i 10 Elementarne funkcije. Funkcije važne u primjenama Vjeºbe iz Matematike 1. 9. i 10. Elementarne funkcije. Funkcije vaºne u primjenama

Διαβάστε περισσότερα

MALA NOVOGRČKA GRAMATIKA

MALA NOVOGRČKA GRAMATIKA MALA NOVOGRČKA GRAMATIKA I II ARISTOTELOV UNIVERZITET U TESALONIKI INSTITUT ZA NOVOGRČKE STUDIJE Fondacija Manolisa Trijandafilidisa Manolis A. Trijandafilidis MALA NOVOGRČKA GRAMATIKA Preveo i priredio

Διαβάστε περισσότερα

TERMODINAMIKA osnovni pojmovi energija, rad, toplota

TERMODINAMIKA osnovni pojmovi energija, rad, toplota TERMODINAMIKA osnovni pojmovi energija, rad, toplota TERMODINAMIKA TERMO TOPLO nauka o kretanju toplote DINAMO SILA Termodinamika-nauka odnosno naučna disciplina koja ispituje odnose između promena u sistemima

Διαβάστε περισσότερα

SVEUĆILIŠTE U RIJECI UČITELJSKI FAKULTET U RIJECI ODSJEK ZA UČITELJSKI STUDIJ U GOSPIĆU MATEMATIKA I. Skupovi, funkcije, brojevi

SVEUĆILIŠTE U RIJECI UČITELJSKI FAKULTET U RIJECI ODSJEK ZA UČITELJSKI STUDIJ U GOSPIĆU MATEMATIKA I. Skupovi, funkcije, brojevi SVEUĆILIŠTE U RIJECI UČITELJSKI FAKULTET U RIJECI ODSJEK ZA UČITELJSKI STUDIJ U GOSPIĆU MATEMATIKA I Skupovi, funkcije, brojevi mr.sc. TATJANA STANIN 009. Kratak pregled predavanja koja se izvode na učiteljskom

Διαβάστε περισσότερα

JAVA podrška za simpleks metodu

JAVA podrška za simpleks metodu Sveučilište u Zagrebu PMF - Matematički odjel Juraj Ivančić JAVA podrška za simpleks metodu Diplomski rad Zagreb, siječanj 2005. Sveučilište u Zagrebu PMF - Matematički odjel Juraj Ivančić JAVA podrška

Διαβάστε περισσότερα

Nizovi Redovi Redovi funkcija. Nizovi i redovi. Franka Miriam Brückler

Nizovi Redovi Redovi funkcija. Nizovi i redovi. Franka Miriam Brückler Nizovi i redovi Franka Miriam Brückler Nabrajanje brojeva poput ili 1, 2, 3, 4, 5,... 1, 2, 4, 8, 16,... obično se naziva nizom, bez obzira je li to nabrajanje konačno (do nekog zadnjeg broja, recimo 1,

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

PRSKALICA - LELA 12 L / LELA16 L

PRSKALICA - LELA 12 L / LELA16 L PRSKALICA - LELA 12 L / LELA16 L UPUTSTVO ZA UPOTREBU 1 Prskalica je pogodna za raspršivanje materija kao sto su : insekticidi, fungicidi i sredstva za tretiranje semena. Uredjaj je namenjen za kućnu,

Διαβάστε περισσότερα

Vježbe iz matematike 1

Vježbe iz matematike 1 Vježbe iz matematike B. Ivanković N. Kapetanović 8. rujna 005. Uvod Vježbe su tijekom dugog niza održavanja nadopunjavane. Osnovu vježbi napravila je Nataša Kapetanović, ing. matematike, a podebljao ih

Διαβάστε περισσότερα

F (X 0 ) = max X D F (X)

F (X 0 ) = max X D F (X) Glava 2 LINEARNO PROGRAMIRANJE 2.1 Opšti zadatak linearnog programiranja Opšti zadatak linaearnog programiranja glasi: Naći ono nenegativno rešenje X = (x 1, x 2,..., x n )(x i 0, i = 1, 2,..., n) sistema

Διαβάστε περισσότερα

Nositeljica kolegija: izv. prof. Nermina Mujaković 1 Asistentica: Sanda Bujačić 1

Nositeljica kolegija: izv. prof. Nermina Mujaković 1 Asistentica: Sanda Bujačić 1 Uvod u numeričku matematiku Nositeljica kolegija: izv. prof. Nermina Mujaković 1 Asistentica: Sanda Bujačić 1 1 Odjel za matematiku Sveučilište u Rijeci Numerička integracija O problemima integriranja

Διαβάστε περισσότερα

UREĐAJU NA SKUPU REALNIH BROJEVA

UREĐAJU NA SKUPU REALNIH BROJEVA **** MLADEN SRAGA **** 00. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE UREĐAJU NA SKUPU REALNIH BROJEVA JEDNADŽBE NEJEDNADŽBE APSOLUTNE JEDNADŽBE APSOLUTNE NEJEDNADŽBE

Διαβάστε περισσότερα

Baza topologije. Definicija. Familija B podskupova od X je baza neke topologije na X ako: Topološki prostori. Baza topologije. tj.

Baza topologije. Definicija. Familija B podskupova od X je baza neke topologije na X ako: Topološki prostori. Baza topologije. tj. Opća topologija 24 Opća topologija 26 13. Baza topologije Baza topologije 2 TOPOLOŠKI PROSTORI I NEPREKIDNE FUNKCIJE Topološki prostori Baza topologije Uređajna topologija Produktna topologija na X Y Topologija

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI ZAKON TERMODINAMIKE

DRUGI ZAKON TERMODINAMIKE DRUGI ZKON ERMODINMIKE Povratni i nepovratni procesi Ranije smo razmotrili više različitih procesa pomoću kojih se termodinamički sistem (u našem razmatranju, idealan gas) prevodi iz jednog stanja ravnoteže

Διαβάστε περισσότερα

Snimanje karakteristika dioda

Snimanje karakteristika dioda FIZIČKA ELEKTRONIKA Laboratorijske vežbe Snimanje karakteristika dioda VAŽNA NAPOMENA: ZA VREME POSTAVLJANJA VEŽBE (SASTAVLJANJA ELEKTRIČNE ŠEME) I PRIKLJUČIVANJA MERNIH INSTRUMENATA MAKETA MORA BITI ODVOJENA

Διαβάστε περισσότερα

USB Charger. Battery charger/power supply via 12 or 24V cigarette lighter

USB Charger. Battery charger/power supply via 12 or 24V cigarette lighter USB Charger Battery charger/power supply via 12 or 24V cigarette lighter Compact charger for devices chargeable via USB For example ipod, iphone, MP3 player, etc. Output voltage: 5V; up to 1.2A; short-circuit

Διαβάστε περισσότερα

Για την προστασία του περιβάλλοντος

Για την προστασία του περιβάλλοντος SL RO PL HR EL Σας ευχαριστούµε που επιλέξατε ένα πλυντήριο Candy, είµαστε σίγουροι ότι τώρα έχετε ένα πολύτιµο συνεργάτη που θα σας επιτρέπει να πλένετε χωρίς άγχος τη καθηµερινή µπουγάδα ακόµα και τον

Διαβάστε περισσότερα

e-κτιθέμεθα Tαξιδεύουμε στο Μαυροβούνιο και μαθαίνουμε Σέρβικα (γκλουπ, συγνώμη Μαυροβουνιακά). DNEVNE NOVINE! Ανακαλύπτουμε τα καλά

e-κτιθέμεθα Tαξιδεύουμε στο Μαυροβούνιο και μαθαίνουμε Σέρβικα (γκλουπ, συγνώμη Μαυροβουνιακά). DNEVNE NOVINE! Ανακαλύπτουμε τα καλά e-κτιθέμεθα δημιουργικώς ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2011 Tαξιδεύουμε στο Μαυροβούνιο και μαθαίνουμε Σέρβικα (γκλουπ, συγνώμη Μαυροβουνιακά). DNEVNE NOVINE! Ανακαλύπτουμε τα καλά της επικοινωνίας με το adbook. Συμμετέχουμε

Διαβάστε περισσότερα

Nastavni tekstovi iz metodologije

Nastavni tekstovi iz metodologije Katedra za zdravstvenu psihologiju Zdravstveno veleučilište u Zagrebu Nastavni tekstovi iz metodologije Za kolegije: Metode istraživanja u fizioterapiji Osnove istraživačkog rada u sestrinstvu Osnove istraživanja

Διαβάστε περισσότερα

Čudesni svijet kvantne mehanike

Čudesni svijet kvantne mehanike «Svijet je čudan», reče Jeremy. «U usporedbi s čim?» zapita Spider. George MacDonald Najprije: Pozdrav Festivalu! Festivalska fizika! Je li to nova fizikalna disciplina? S obzirom na definiciju da je fizika

Διαβάστε περισσότερα

Str

Str Str. Testiranje statističkih hipoteza Predavač: Dr Mirko Savić savicmirko@ef.uns.ac.rs www.ef.uns.ac.rs Definicija: Hipoteza predstavlja pretpostavku koja je zasnovana na određenim činjenicama (najčešće

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2 š.g. 2010./2011.

MATEMATIKA 2 š.g. 2010./2011. MATEMATIKA 2 š.g. 2010./2011. Matematika 2 1. Funkcije više varijabli 2. Višestruki integral 3. Vektorska Analiza 4. Obi cne diferencijalne jednadbe MATEMATIKA 2 1 Literatura: Petar Javor, Matematicka

Διαβάστε περισσότερα

Vizualizacija prostora Lobačevskog

Vizualizacija prostora Lobačevskog Univerzitet u Beogradu Matematički fakultet Master rad Vizualizacija prostora Lobačevskog Marijana Babić Beograd, 2010. godine MENTOR Dr. Srdan Vukmirović ČLANOVI KOMISIJE Dr. Srdan Vukmirović Dr. Predrag

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 17. VEKORI I KVADRANE MARICE 17.1 Opcenito o vektorim Vektor je usmjeren duzin i zto im: pocetk (hvtiste), krj i smjer. Vektor se ozncv s oznkom n pr.: rpq,, Duzin PQ ili r nziv se duzin vektor, intenzitet

Διαβάστε περισσότερα

15. MIKROFONI Uvod Osnovne karakteristike mikrofona

15. MIKROFONI Uvod Osnovne karakteristike mikrofona AKUSTIKA 15 - Mikrofoni 197 15. MIKROFONI 15.1 Uvod Mikrofon je ulazni elektroakustički pretvarač koji je prilagođen radu u vazduhu kao mediju. Mikrofon pretvara zvučni pritisak, koji mu je ulazna veličina,

Διαβάστε περισσότερα

2.1 UVOD Tomsonov model Radefordov model atoma... 5

2.1 UVOD Tomsonov model Radefordov model atoma... 5 1 S A D R Ž A J. MODELI ATOMA.1 UVOD.... Tomsonov model....3 Radefordov model atoma... 5.3.1 Eksperimenti rasijanja alfa čestica... 5.3. Radefordov planetarni model atoma... 8.4 BOROV MODEL ATOMA.4.1 Linijski

Διαβάστε περισσότερα

Upute za uporabu SUŠILICA RUBLJA. Kazalo IDCA G35

Upute za uporabu SUŠILICA RUBLJA. Kazalo IDCA G35 Upute za uporabu SUŠILICA RUBLJA HR Hrvatski,1 GR Ελληνικά,17 PT Português,33 Kazalo Važne informacije, 2-3 Postavljanje, 4 Gdje postaviti sušilicu rublja Prozračivanje Električni priključak Uvodne informacije

Διαβάστε περισσότερα

PRIJEMNI ANTENSKI TV SISTEMI

PRIJEMNI ANTENSKI TV SISTEMI Dragoslav Dobri~i} PRIJEMNI ANTENSKI TV SISTEMI Beograd januar 2000. god. Dragoslav Dobri~i}: Prijemni antenski TV sistemi 2 Dragoslav Dobri~i}: Prijemni antenski TV sistemi 3 Predgovor Tekstovi pred vama,

Διαβάστε περισσότερα

Hiotakis: Otkriće nafte i gasa donijeće procvat ekonomije Crne Gore

Hiotakis: Otkriće nafte i gasa donijeće procvat ekonomije Crne Gore Εφημερίδα Pobjeda, κρατική - 17/5/2014 Objavljeno: sub, 17. maj, 2014. Osvježeno: danas 8:40 Hiotakis: Otkriće nafte i gasa donijeće procvat ekonomije Crne Gore PODGORICA Crnogorsku ekonomiju očekuje procvat

Διαβάστε περισσότερα

PLATON I KVANTNA FIZIKA

PLATON I KVANTNA FIZIKA Arhe VII, 13/2010 UDK 1:530.145 Pregledni rad Overview article MIRKO AĆIMOVIĆ 1 Filozofski fakultet, Novi Sad PLATON I KVANTNA FIZIKA Sažetak: Filozofija prirode kao teologički sistem znanja o onome što

Διαβάστε περισσότερα

9. Matriqnoe predstavlenie line nyh operatorov. Diagonalizuemostь matricy line nogo operatora.

9. Matriqnoe predstavlenie line nyh operatorov. Diagonalizuemostь matricy line nogo operatora. A Utexev 9 Matriqnoe predstavlenie line nyh operatorov Diagonalizuemostь matricy line nogo operatora 1 Matriqnoe predstavlenie line nyh operatorov Budem oboznaqatь qerez V line noe vektornoe prostranstvo

Διαβάστε περισσότερα

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA) ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ Φύση του σύμπαντος Η γη είναι μία μονάδα μέσα στο ηλιακό μας σύστημα, το οποίο αποτελείται από τον ήλιο, τους πλανήτες μαζί με τους δορυφόρους τους, τους κομήτες, τα αστεροειδή και τους μετεωρίτες.

Διαβάστε περισσότερα

U Zagrebu, rujan 2013.

U Zagrebu, rujan 2013. Sveučilište u Zagrebu Filozofski fakultet Odsjek za klasičnu filologiju Diplomski rad VAŽNIJI NAVODI GRČKIH PISACA O DALMACIJI DO KRAJA AUGUSTOVE VLADAVINE Student: Josip Nalis Mentor: dr. sc. Marina Bricko

Διαβάστε περισσότερα

Skripta iz kvantitativnih metoda za poslovno upravljanje

Skripta iz kvantitativnih metoda za poslovno upravljanje Skripta iz kvantitativnih metoda za poslovno upravljanje Kristina Perdić Strossmayerova 1a, Osijek www.anura.hr e-mail: kvante@anura.hr, anura@anura.hr mob.

Διαβάστε περισσότερα

bab.la Φράσεις: Ταξίδι Τρώγοντας έξω ελληνικά-ελληνικά

bab.la Φράσεις: Ταξίδι Τρώγοντας έξω ελληνικά-ελληνικά Τρώγοντας έξω : Στην είσοδο Θα ήθελα να κρατήσω ένα τραπέζι για _[αριθμός ατόμων]_ στις _[ώρα]_. (Tha íthela na kratíso éna trapézi ya _[arithmós atómon]_ στις _[óra]_.) Θα ήθελα να κρατήσω ένα τραπέζι

Διαβάστε περισσότερα

Pravilnik o merama i normativima zaštite na radu od buke u radnim prostorijama

Pravilnik o merama i normativima zaštite na radu od buke u radnim prostorijama Pravilnik o merama i normativima zaštite na radu od buke u radnim prostorijama Pravilnik je objavljen u "Službenom listu SFRJ", br. 21/92. I. OPŠTE ODREDBE Član 1. Ovim pravilnikom propisuju se mere i

Διαβάστε περισσότερα

a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)

Διαβάστε περισσότερα

Upute za uporabu. Kazalo SUŠILICA RUBLJA IDCL 75 B H

Upute za uporabu. Kazalo SUŠILICA RUBLJA IDCL 75 B H Upute za uporabu SUŠILICA RUBLJA HR Hrvatski,1 DE Deutsch,33 IDCL 75 B H www.indesit.com GR! Ovaj vas simbol podsjeća da morate pročitati ovu knjižicu s uputama.! Ovu knjižicu držite pri ruci kako biste

Διαβάστε περισσότερα

OBRANA SOKRATOVA. Platon. Luka Boršić. Dimitrije Savić. Preveo. Priredio. Demetra Filosofska biblioteka Dimitrija Savića

OBRANA SOKRATOVA. Platon. Luka Boršić. Dimitrije Savić. Preveo. Priredio. Demetra Filosofska biblioteka Dimitrija Savića Demetra Filosofska biblioteka Dimitrija Savića Platon Aster u suradnji s Damirom Barbarićem OBRANA SOKRATOVA Preveo Luka Boršić Priredio Dimitrije Savić Demetra Filosofska biblioteka Dimitrija Savića Zagreb

Διαβάστε περισσότερα

Upute za uporabu. Kazalo SUŠILICA RUBLJA IDCL G5 B H

Upute za uporabu. Kazalo SUŠILICA RUBLJA IDCL G5 B H Upute za uporabu SUŠILICA RUBLJA HR Hrvatski, 1 IT Italino, 33 IDCL G5 B H www.indesit.com GR! Ovaj vas simbol podsjeća da morate pročitati ovu knjižicu s uputama.! Ovu knjižicu držite pri ruci kako biste

Διαβάστε περισσότερα

Far za biciklu sa LED diodama

Far za biciklu sa LED diodama Far za biciklu sa LED diodama Zelene, žute, crvene i infracrvene svetleće diode su sa nama još od ranih sedamdesetih godina XX veka. Početkom XXI veka su se najzad pojavile i dugo očekivane plave, ultraljubičaste

Διαβάστε περισσότερα

A N A L I S I S K U A L I T A S A I R D I K A L I M A N T A N S E L A T A N S E B A G A I B A H A N C A M P U R A N B E T O N

A N A L I S I S K U A L I T A S A I R D I K A L I M A N T A N S E L A T A N S E B A G A I B A H A N C A M P U R A N B E T O N I N F O T E K N I K V o l u m e 1 5 N o. 1 J u l i 2 0 1 4 ( 61-70) A N A L I S I S K U A L I T A S A I R D I K A L I M A N T A N S E L A T A N S E B A G A I B A H A N C A M P U R A N B E T O N N o v i

Διαβάστε περισσότερα

Rizik i nesigurnost I. Rizik i njegovo mjerenje; sklonost ka riziku

Rizik i nesigurnost I. Rizik i njegovo mjerenje; sklonost ka riziku Sveučilište u Zagrebu Fakultet elektrotehnike i računarstva Inženjerska ekonomika (41251) Zagreb, 11. svibnja 2013. Rizik i nesigurnost I. Rizik i njegovo mjerenje; sklonost ka riziku Bilješke s predavanja

Διαβάστε περισσότερα

CM707. GR Οδηγός χρήσης... 2-7. SLO Uporabniški priročnik... 8-13. CR Korisnički priručnik... 14-19. TR Kullanım Kılavuzu... 20-25

CM707. GR Οδηγός χρήσης... 2-7. SLO Uporabniški priročnik... 8-13. CR Korisnički priručnik... 14-19. TR Kullanım Kılavuzu... 20-25 1 2 3 4 5 6 7 OFFMANAUTO CM707 GR Οδηγός χρήσης... 2-7 SLO Uporabniški priročnik... 8-13 CR Korisnički priručnik... 14-19 TR Kullanım Kılavuzu... 20-25 ENG User Guide... 26-31 GR CM707 ΟΔΗΓΟΣ ΧΡΗΣΗΣ Περιγραφή

Διαβάστε περισσότερα

MOTORNI TRIMERI BC-900 (S) / BC-1250 ( S,XC ) / BC-1900 (S, XC)

MOTORNI TRIMERI BC-900 (S) / BC-1250 ( S,XC ) / BC-1900 (S, XC) MOTORNI TRIMERI BC-900 (S) / BC-1250 ( S,XC ) / BC-1900 (S, XC) UPUTSTVO ZA UPOTREBU PROČITAJTE OVO UPUTSTVO PAŽLJIVO 1 Hvala na poverenju pri kupovini našeg Villager motornog trimera. Motorni trimeri

Διαβάστε περισσότερα

(Μη νομοθετικές πράξεις) ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΙ

(Μη νομοθετικές πράξεις) ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΙ 10.6.2013 Επίσημη Εφημερίδα της Ευρωπαϊκής Ένωσης L 158/1 II (Μη νομοθετικές πράξεις) ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΙ ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΣ (ΕΕ) αριθ. 517/2013 ΤΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ της 13ης Μαΐου 2013 για την προσαρμογή ορισμένων κανονισμών

Διαβάστε περισσότερα

Το άτομο του Υδρογόνου

Το άτομο του Υδρογόνου Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες

Διαβάστε περισσότερα

STRUKTURA I VEZE UVOD

STRUKTURA I VEZE UVOD UVOD Šta je organska hemija i zašto je vi treba da proučavate? Odgovori su svuda oko nas. Svaki živi organizam je sačinjen od organskih hemikalija. Proteini koji izgrađuju našu kosu, kožu i mišiće su organske

Διαβάστε περισσότερα

Vjerojatnost - 1. dio. Uvod u vjerojatnost. 1. Kolika je vjerojatnost da se pri bacanju dviju kocki pojavi: a) zbroj 8 b) barem jedna četvorka?

Vjerojatnost - 1. dio. Uvod u vjerojatnost. 1. Kolika je vjerojatnost da se pri bacanju dviju kocki pojavi: a) zbroj 8 b) barem jedna četvorka? Vjerojatnost - 1. dio Uvod u vjerojatnost 1. Kolika je vjerojatnost da se pri bacanju dviju kocki pojavi: a zbroj 8 b barem jedna četvorka? ( 5, 11 36 36. Ako se znade da je od 100 žarulja pet neispravnih,

Διαβάστε περισσότερα

1. Έντυπα αιτήσεων αποζημίωσης... 2 1.1. Αξίωση αποζημίωσης... 2 1.1.1. Έντυπο... 2 1.1.2. Πίνακας μεταφράσεων των όρων του εντύπου...

1. Έντυπα αιτήσεων αποζημίωσης... 2 1.1. Αξίωση αποζημίωσης... 2 1.1.1. Έντυπο... 2 1.1.2. Πίνακας μεταφράσεων των όρων του εντύπου... ΑΠΟΖΗΜΙΩΣΗ ΘΥΜΑΤΩΝ ΕΓΚΛΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ ΣΛΟΒΕΝΙΑ 1. Έντυπα αιτήσεων αποζημίωσης... 2 1.1. Αξίωση αποζημίωσης... 2 1.1.1. Έντυπο... 2 1.1.2. Πίνακας μεταφράσεων των όρων του εντύπου... 3 1 1. Έντυπα αιτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

I S L A M I N O M I C J U R N A L J u r n a l E k o n o m i d a n P e r b a n k a n S y a r i a h

I S L A M I N O M I C J U R N A L J u r n a l E k o n o m i d a n P e r b a n k a n S y a r i a h A n a l i s a M a n a j e m e n B P I H d i B a n k S y a r i a h I S S N : 2 0 8 7-9 2 0 2 I S L A M I N O M I C P e n e r b i t S T E S I S L A M I C V I L L A G E P e n a n g g u n g J a w a b H. M

Διαβάστε περισσότερα

I INFORMATIKE STATISTIKA. Uvod u verovatnoću i statistiku Osnovni pojmovi matematičke statistike Parametri deskriptivne statistike

I INFORMATIKE STATISTIKA. Uvod u verovatnoću i statistiku Osnovni pojmovi matematičke statistike Parametri deskriptivne statistike OSNOVE SPORTSKE STATISTIKE I INFORMATIKE Predavač: Dragan Veličković, dipl.mat. MSc. profesor matematike i računarstva ECDL ovlašćeni ispitivač CS 0826J 1. Uvod STATISTIKA Uvod u verovatnoću i statistiku

Διαβάστε περισσότερα

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET DIPLOMSKI RAD

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET DIPLOMSKI RAD SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET DIPLOMSKI RAD PRIMJENA STATISTIČKIH METODA KOD VREDNOVANJA SUKLADNOSTI OPEČNIH ZIDNIH ELEMENATA Osijek, 07.04.2016. SAŽETAK U radu smo

Διαβάστε περισσότερα

VISOKA ŠKOLA ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA STRUKOVNIH STUDIJA

VISOKA ŠKOLA ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA STRUKOVNIH STUDIJA VISOKA ŠKOLA ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA STRUKOVNIH STUDIJA Predmet: Senzori i aktuatori na vozilima Seminarski rad: Davači temperature Student: Veselinović Petar - Školska godina 2008/2009.- Davači temperature

Διαβάστε περισσότερα

Franka Miriam Brückler. Travanj 2009.

Franka Miriam Brückler. Travanj 2009. Osnove kvantne kemije za matematičare Franka Miriam Brückler PMF-MO, Zagreb Travanj 2009. Nekoliko uvodnih zadataka Zadatak Odredite frekvenciju i valni broj elektromagnetskog zračenja valne duljine λ

Διαβάστε περισσότερα

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584 Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 101-00 Αφιερωμέν σε κάθε μαθητή πυ ασχλείται ή πρόκειται να ασχληθεί με Μαθηματικύς διαγωνισμύς

Διαβάστε περισσότερα

Primjene fibriranih svežnjeva u C -algebrama

Primjene fibriranih svežnjeva u C -algebrama Primjene fibriranih svežnjeva u C -algebrama Ilja Gogić PMF-MO, Sveučilište u Zagrebu & PMF-DMI, Univerzitet u Novom Sadu Seminar za geometriju, obrazovanje i vizualizaciju sa primenama Matematički institut

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΙΤΣΙΝΑΔΟΡΟΣ ΛΑΔΙΟΥ ΑΕΡΟΣ ΓΙΑ ΠΡΙΤΣΙΝΙΑ M4/M12 ΟΔΗΓΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ - ΑΝΤΑΛΛΑΚΤΙΚΑ

ΠΡΙΤΣΙΝΑΔΟΡΟΣ ΛΑΔΙΟΥ ΑΕΡΟΣ ΓΙΑ ΠΡΙΤΣΙΝΙΑ M4/M12 ΟΔΗΓΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ - ΑΝΤΑΛΛΑΚΤΙΚΑ GR ΠΡΙΤΣΙΝΑΔΟΡΟΣ ΛΑΔΙΟΥ ΑΕΡΟΣ ΓΙΑ ΠΡΙΤΣΙΝΙΑ M4/M12 ΟΔΗΓΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ - ΑΝΤΑΛΛΑΚΤΙΚΑ H OLJLAJNYOMÁSÚ SZEGECSELŐ M4/M12 SZEGECSEKHEZ HASZNÁLATI UTASÍTÁS - ALKATRÉSZEK SLO OLJNO-PNEVMATSKI KOVIČAR ZA ZAKOVICE

Διαβάστε περισσότερα

TVRDI DISKOVI I ATA SUČELJA ZA SPAJANJE

TVRDI DISKOVI I ATA SUČELJA ZA SPAJANJE SVEUČILIŠTE U SPLITU ODJEL ZA STRUČNE STUDIJE STUDIJ RAČUNARSTVA DIPLOMSKI RAD TVRDI DISKOVI I ATA SUČELJA ZA SPAJANJE Split, lipanj 2007. Mentor: Valentini Kožica, dipl.ing. Split, lipanj 2007. 1. UVOD

Διαβάστε περισσότερα

Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη

Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη Άσκηση 8 Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη Δ. Φ. Αναγνωστόπουλος Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Ιωάννινα 2013 Άσκηση 8 ii Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη Πίνακας περιεχομένων

Διαβάστε περισσότερα

U N I V E R Z I T E T U N I Š U ELEKTRONSKI FAKULTET U NIŠU TROFAZNI PRETVARAČ NAPONA. (Tehničko rešenje)

U N I V E R Z I T E T U N I Š U ELEKTRONSKI FAKULTET U NIŠU TROFAZNI PRETVARAČ NAPONA. (Tehničko rešenje) U N I V E R Z I T E T U N I Š U ELEKTRONSKI FAKULTET U NIŠU TROFAZNI PRETVARAČ NAPONA (Tehničko rešenje) Niš, 2013 1 UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET U NIŠU Naziv dokumenta:tehničko rešenje TROFAZNI

Διαβάστε περισσότερα

OTPORNICI. Tanak sloj grafita ili metala nanešen na izolatorsko telo. Smeša grafita i izolatorskog praha

OTPORNICI. Tanak sloj grafita ili metala nanešen na izolatorsko telo. Smeša grafita i izolatorskog praha OTPORNICI Osobinu materijala da se suprotstavljaju proticanju električne struje nazivamo električni otpor. Eksperimentima je utvrđeno da otpor zavisi od dužine žice, njenog poprečnog preseka i vrste materijala.

Διαβάστε περισσότερα

Kraljica Aleksandra u četvrtak u Srbiji

Kraljica Aleksandra u četvrtak u Srbiji RTS 7. maj 2013. Kraljica Aleksandra u četvrtak u Srbiji Posmrtni ostaci kraljice Aleksandre, supruge poslednjeg jugoslovenskog kralja Petra II Karađorđevića, biće dopremljeni u četvrtak, 9. maja, iz Atine

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 12. predavanje

Numerička matematika 12. predavanje Numerička matematika 12. predavanje Saša Singer singer@math.hr web.math.hr/~singer PMF Matematički odjel, Zagreb NumMat 2009, 12. predavanje p.1/101 Sadržaj predavanja Numerička integracija (nastavak):

Διαβάστε περισσότερα

PROBLEM TRGOVAČKOG PUTNIKA

PROBLEM TRGOVAČKOG PUTNIKA SVEUČILIŠTE U SPLITU PRIRODOSLOVNO-MATEMATIČKI FAKULTET PROBLEM TRGOVAČKOG PUTNIKA Marija Vištica Mentor: prof.dr.sc. Slavomir Stankov Neposredni voditelj: dr.sc. Ani Grubišić Split, listopad 2012. Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

Studentov t-test. razlike. t = SG X

Studentov t-test. razlike. t = SG X Studentov t-test Najčešće upotrebljavan parametrijski test značajnosti za testiranje nulte hipoteze je Studentov t-test. Koristi se za testiranje značajnosti razlika između dve aritmetičke sredine. Uslovi

Διαβάστε περισσότερα

LATEX 2ε za autore. Aleksandar Samardžić Goran Nenadić Predrag Janičić. Beograd, 2003.

LATEX 2ε za autore. Aleksandar Samardžić Goran Nenadić Predrag Janičić. Beograd, 2003. LATEX 2ε za autore Aleksandar Samardžić Goran Nenadić Predrag Janičić Beograd, 2003. Autori: mr Aleksandar Samardžić, Matematički fakultet Univerziteta u Beogradu mr Goran Nenadić, Matematički fakultet

Διαβάστε περισσότερα

Zamrzivač Mraznička Καταψύκτης Fagyasztó Zamrażarka

Zamrzivač Mraznička Καταψύκτης Fagyasztó Zamrażarka HR Upute za uporabu 2 CS Návod k použití 13 EL Οδηγίες Χρήσης 24 HU Használati útmutató 37 PL Instrukcja obsługi 50 Zamrzivač Mraznička Καταψύκτης Fagyasztó Zamrażarka ZFU23400WA Sadržaj Sigurnosne upute

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIJA KUGLE I SFERE

GEOMETRIJA KUGLE I SFERE Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Ružica Korać GEOMETRIJA KUGLE I SFERE Diplomski rad Voditelj rada: doc.dr.sc. Maja Starčević Zagreb, rujan 2015. Svaki dan je

Διαβάστε περισσότερα

τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n, l)

τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n, l) ΑΤΟΜΙΚΑ ΤΡΟΧΙΑΚΑ Σχέση κβαντικών αριθµών µε στιβάδες υποστιβάδες - τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n,

Διαβάστε περισσότερα

IAN 60489 CORDLESS SCREWDRIVER PAWS 3.6 A1. CORDLESS SCREWDRIVER Translation of original operation manual

IAN 60489 CORDLESS SCREWDRIVER PAWS 3.6 A1. CORDLESS SCREWDRIVER Translation of original operation manual CORDLESS SCREWDRIVER PAWS 3.6 A1 CORDLESS SCREWDRIVER Translation of original operation manual AKU ODVIJAČ S IZMJENOM BITOVA Prijevod originalnih uputa za uporabu ŞURUBELNIȚĂ CU ACUMULATOR CU TAMBUR PENTRU

Διαβάστε περισσότερα

LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1

LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1 LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1 Ivica Gusić Lekcije 9 i 10 Elementarne funkcije. Funkcije važne u primjenama Lekcije iz Matematike 1. 9. i 10. Elementarne funkcije. Funkcije vaºne u primjenama I. Naslov i obja²njenje

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ. 1. Χαρακτηρίστε τα παρακάτω στοιχεία ως διαµαγνητικά ή. Η ηλεκτρονική δοµή του 38 Sr είναι: 1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 6 3d 10 4s 2 4p 6 5s 2

ΛΥΣΕΙΣ. 1. Χαρακτηρίστε τα παρακάτω στοιχεία ως διαµαγνητικά ή. Η ηλεκτρονική δοµή του 38 Sr είναι: 1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 6 3d 10 4s 2 4p 6 5s 2 ΛΥΣΕΙΣ 1. Χαρακτηρίστε τα παρακάτω στοιχεία ως διαµαγνητικά ή παραµαγνητικά: 38 Sr, 13 Al, 32 Ge. Η ηλεκτρονική δοµή του 38 Sr είναι: 1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 6 3d 10 4s 2 4p 6 5s 2 Η ηλεκτρονική δοµή του

Διαβάστε περισσότερα

VODOOTPORNI UREĐAJI ZA DIGITALNU ZABAVU NA PLAŽI LJETNI GADGETI MOBILNI INTERNET. ipod TOUCH MAGAZIN

VODOOTPORNI UREĐAJI ZA DIGITALNU ZABAVU NA PLAŽI LJETNI GADGETI MOBILNI INTERNET. ipod TOUCH MAGAZIN SLR FOTOAPARATI JEFTINA TOP-KLASA GPS ZA SVAKI DŽEP SATELITSKA NAVIGACIJA LJETO 2010 BROJ 2 BESPLATNI PRIMJERAK MAGAZIN LJETNE FOTKE Kako odabrati digitalac i snimiti najbolje prizore s godišnjeg odmora

Διαβάστε περισσότερα

-! " #!$ %& ' %( #! )! ' 2003

-!  #!$ %& ' %( #! )! ' 2003 -! "#!$ %&' %(#!)!' ! 7 #!$# 9 " # 6 $!% 6!!! 6! 6! 6 7 7 &! % 7 ' (&$ 8 9! 9!- "!!- ) % -! " 6 %!( 6 6 / 6 6 7 6!! 7 6! # 8 6!! 66! #! $ - (( 6 6 $ % 7 7 $ 9!" $& & " $! / % " 6!$ 6!!$#/ 6 #!!$! 9 /!

Διαβάστε περισσότερα

ANTENSKI PRIJAMNI SUSTAVI ZA SMANJENJE SMETNJI PRI PRIJAMU TV SIGNALA skraćena verzija

ANTENSKI PRIJAMNI SUSTAVI ZA SMANJENJE SMETNJI PRI PRIJAMU TV SIGNALA skraćena verzija ANTENSKI PRIJAMNI SUSTAVI ZA SMANJENJE SMETNJI PRI PRIJAMU TV SIGNALA skraćena verzija Tehnika HTV a ANTENSKI PRIJAMNI SUSTAVI ZA SMANJENJE SMETNJI PRI PRIJAMU TV SIGNALA skraćena verzija UVOD Princip

Διαβάστε περισσότερα

Ukupni proteini u serumu

Ukupni proteini u serumu Ukupni proteini u serumu Proteini u humanom serumu se nalaze u vidu kompleksne smeše, a mogu se klasifikovati prema hemijskim osobinama, katalitičkoj sposobnosti i imunološkim osobinama. U plazmi je do

Διαβάστε περισσότερα