5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2."

Transcript

1 5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m U sistemu su x 1, x 2,, x n nepoznate veličine, dok su a ij, 1 i m, 1 j n zadati koeficijenti, a b i, 1 i m zadati slobodni članovi Pri tome broj jednačina m i broj nepoznatih n mogu biti u bilo kom od odnosa m < n, m = n ili m > n Pod rešenjem sistema linearnih jednačina podrazumevamo bilo koji skup od n brojeva α 1, α 2,, α n koji za x 1 = α 1, x 2 = α 2,, x n = α n identički zadovoljavaju sistem Sistem linearnih jednačina ne mora uvek imati rešenje Npr sistem x + y = 1 x + y = 2 nema rešenja jer ne postoje brojevi koji mogu da ga zadovolje Takože, ukoliko sistem ima rešenje, to ne znači da mora imati samo jedno rešenje Tako, npr sistem jednačina x + y = 1 2x + 2y = 2 ima beskonačno mnogo rešenja oblika x = α, y = 1 α gde je α proizvoljan broj Za nepoznatu x se u ovom slučaju kaže da je slobodna a za y da je vezana Uopšte, kada sistem linearnih jednačina ima više od jednog rešenja, onda je barem jedna nepoznata slobodna, što praktično znači da sistem ima beskonačno mnogo rešenja Prema tome da li ima ili nema rešenja, i ukoliko ih ima, da li ima jedno jedino ili više rešenja, sistem linearnih jednačina može biti: 1 odrežen, ako ima samo jedno rešenje, 2 neodrežen, ako ima više od jednog (beskonačno mnogo) rešenja,

2 5 Sistemi linearnih jednačina 48 3 nemoguć (protivrečan) ako nema rešenja Odreženi i neodreženi sistemi se nazivaju jednim imenom saglasnim sistemima Saglasan sistem, dakle, ima bar jedno rešenje Ako su svi slobodni članovi sistema jednaki nuli: b 1 = b 2 = = b n = 0 sistem je homogen, u protivnom je nehomogen saglasan, jer ima bar jedno rešenje: Svaki homogen sistem je x 1 = x 2 = x n = 0 Ovo rešenje se naziva trivijalnim rešenjem Ukoliko je homogen sistem odrežen, on ima samo trivijalno rešenje Neodrežen homogen sistem ima i rešenja koja su netrivijalna Primer 33 Sistem x + y = 0 x y = 0 ima samo trivijalno rešenje, dok sistem x + y = 0 2x + 2y = 0 ima beskonačno mnogo rešenja oblika x = α, y = α Dva sistema linearnih jednačina su ekvivalentna ako je svako rešenje jednog sistema istovremeno i rešenje drugog sistema i obrnuto Transformacije koje sistem linearnih jednačina prevode u njemu ekvivalentan sistem su 1 Zamena mesta dveju jednačina, 2 Množenje svih koeficijenata jedne jednačine konstantom c 0, 3 Dodavanje koeficijenata jedne jednačine odgovarajućim koeficijentima neke druge jednačine Primer 34 Dat je sistem 2x + y z = 2

3 51 Gausov postupak eliminacije 49 x + 2y + 3z = 4 x + y + z = 3 Zamenom mesta prve i treće jednačine dobija se ekvivalentan sistem x + y + z = 3 x + 2y + 3z = 4 2x + y z = 2 Ako se koeficijenti prve jednačine najpre dodaju odgovarajućim koeficijentima druge jednačine, a potom se pomnože sa -2 i dodaju koeficijentima treće jednačine dobija se sistem: x + y + z = 3 3y + 4z = 7 y 3z = 4 Zamenom mesta druge i treće jednačine dobija se: x + y + z = 3 y 3z = 4 3y + 4z = 7 Množenjem koeficijenata druge jednačine sa 3 i njihovim dodavanjem na koeficijente treće jednačine dobija se sistem ekvivalentan polaznom: x + y + z = 3 y 3z = 4 5z = 5 51 Gausov postupak eliminacije Gausov postupak (metoda) eliminacije je postupak kojim se može rešavati bilo koji sistem jednačina m < n, m = n, m > n U Gausovom postupku pretpostavlja se da je 0 Naime, ako u konkretnom sistemu u prvoj jednačini koeficijent uz x 1 ne bi bio različit od nule u sistemu mora postojati bar jedna jednačina u kojoj je koeficijent uz x 1 različit od nule, i onda se ta jednačina i prva jednačina zamene, čime se dobija ekvivalentan sistem u kome je 0

4 51 Gausov postupak eliminacije 50 Ako se sada prva jednačina podeli sa dobije se ekvivalentan sistem x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a x 2 + a 23 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 + a m3 x a mn x n = b m Ako se sada prva jednačina ovog sistema pomnoži sa a 21 i doda drugoj jednačini, a zatim pomnoži sa a 31 i doda trećoj jednačini i tako redom, dobija se novi ekvivalentni sistem x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1n x n = b 1 (a a 12 a 21 )x 2 + (a 23 a 13 a 21 )x (a 2n a 1n a 21 )x n = b 2 b 1 a 21 (a m2 a 12 a m1 )x 2 +(a m3 a 13 a m1 )x 3 + +(a mn a 1n a m1 )x n = b m b 1 a m1 odnosno, ako uvedemo nove oznake a 1j = 1j a ij a 1j a i1 = ij j = 2,, n b 1 = b 1 i = 2,, m j = 2,, n dobijamo sistem b i b 1 a i1 = b i i = 2,, m x x x nx n = b 1 x x nx n = b 2 m2x 2 + m3x mnx n = b m u kome je samo u prvoj jednačini koeficijent uz x 1 različit od nule Drugim rečima, nepoznata x 1 eliminisana je iz svih jednačina počev od druge pa nadalje Mi možemo dalje pretpostaviti da je 0 Ako to ne bi bio slučaj, onda se, kao i u prethodnom koraku, traži jednačina u kojoj je koeficijent uz

5 51 Gausov postupak eliminacije 51 x 2 različit od nule Potom se zamenom mesta te jednačine i druge jednačine postiže da bude 0 Može se, mežutim, desiti i da svi koeficijenti uz x 2 budu jednaki 0, odnosno da važi i2 = 0, i = 2,, m U tom slučaju proverava se da li postoji bar jedan koeficijent ij 0, j {3,, n}, i {2,, m}, odnosno da li postoji koeficijent uz neku promenljivu x j, za j > 2, u nekoj, i-toj jednačini (i 2), koji je različit od 0, u kom slučaju sada promenljive x 2 i x j mogu zameniti mesta tako da opet bude 0 Poslednja mogućnost je da su svi koeficijenti ij, i = 2,, m, j = 2,, n jednaki nuli, odnosno da se sistem sveo na: x x x nx n = b 1 0 = b 2 0 = b m U ovom, poslednjem slučaju Gausov postupak se završava Iz ovako dobijenog sistema jasno je da on može biti saglasan ako i samo ako su svi slobodni koeficijetni b i = 0, i = 2,, m U tom slučaju sistem se praktično svodi na jednu jednačinu sa n nepoznatih, što znači da dobijeni sistem, pa samim tim i njemu ekvivalentan polazni sistem, predstavlja sistem sa beskonačno mnogo rešenja Pri tome je n 1 nepoznatih slobodno, a jedna nepoznata je vezana Ako je, pak, bar jedan od slobodnih koeficijenata b i 0, dobijeni sistem, a time i polazni, je nemoguć Vratimo se sada na pretpostavku da je 0 U tom slučaju deljenjem druge jednačine sa dobija se ekvivalentan sistem x x x nx n = b 1 x 2 + a 23 x a 2n x n = b 2 a m2x 2 + m3x mnx n = b m Dalje, ako se druga jednačina množi redom sa i2 i dodaje i-toj jednačini i = 3,, m, dobija se ekvivalentan sistem:

6 51 Gausov postupak eliminacije 52 x x x nx n = b 1 x 2 + a 23 x a 2n x n = b 2 a ( 33 a 23 a 32)x ( 3n a 2n a 32)x n = b 3 b 2 32 ( m3 a 23 a m2)x ( mn a 2n a m2)x n = b 3 b m m2 odnosno ako se uvedu nove oznake 2j = 2j j = 3,, n b 2 = b 2 ij a 2j i2 = ij i = 3,, m j = 3,, n dobija se sistem b i b 2 i2 = b i i = 3,, m x x x nx n = b 1 x x nx n = b 2 33x nx n = b 3 m3x mnx n = b m Ovaj sistem ekvivalentan je sa polaznim sistemom, a u njemu je sada promenljiva x 2 eliminisana iz svih jednačna počev od treće jednačine pa nadalje Daljim sprovoženjem analognog postupka eliminacije nepoznatih x 3, x 4, postupak će se završiti na ekvivalentnom sistemu koji ima oblik x x x kx k + + 1nx n = b 1 x x kx k + + 2nx n = b 2 x kx k + + 3nx n = b 3 x m + + a (m) mn x n = b (m) m

7 52 Rešavanje sistema linearnih jednačina pomoću determinanti 53 koji je uvek saglasan, ili na sistemu čiji je oblik x x x kx k + + 1nx n = b 1 x x kx k + + 2nx n = b 2 x kx k + + 3nx n = b 3 x k + + a (k) kn x n = b (k) k 0 = b (k) k+1 0 = b (k) m pri čemu je k < m, a koji je saglasan ako i samo ako je b (k) i = 0 za sve vrednosti i = k + 1,, m, dok je u protivnom nemoguć U slučaju kada je ovaj sistem saglasan, on ima praktično isti oblik kao i prethodni, pa ćemo nadalje razmatrati samo ovaj prethodni Ako se radi o saglasnom sistemu i ako je pri tome m = n (odnosno k = n), u kom slučaju se poslednja jednačina svodi na x n = b (n) n onda sistem ima jedinstveno rešenje Vrednosti koje čine ovo rešenje se dobijaju tako što se vrednost za x n dobije iz poslednje jednačine a zatim uvrsti u pretposlednju jednačinu, pa se odatle izračuna vrednost za x n 1 Postupak se nastavlja analogno sve do prve jednačine u kojoj se izračunava x 1 na osnovu već izračunatih vrednosti x n, x n 1,, x 2 Ako je sistem saglasan a pri tome je m < n (odnosno k < n), onda sistem ima beskonačno mnogo rešenja Sve nepoznate x m+1, x m+2,, x n su slobodne, odnosno mogu imati proizvoljne vrednosti, dok su nepoznate x 1, x 2,, x m vezane, odnosno izražavaju se u funkciji slobodnih nepoznatih Gausovom metodom se, prema tome: 1 utvržuje da li je sistem saglasan ili nemoguć i 2 u slučaju saglasnog sistema dobijaju se rešenja sistema 52 Rešavanje sistema linearnih jednačina pomoću determinanti Rešavanje sistema linearnih jednačina pomoću determinanti moguće je samo ukoliko je broj jednačina jednak broju nepoznatih, odnosno, ako je m = n

8 52 Rešavanje sistema linearnih jednačina pomoću determinanti 54 Sistem je u tom slučaju x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a x a 2n x n = b 2 a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n Matrica koju formiraju koeficijenti uz nepoznate a ij a 12 a 1n a 21 a a 2n S = a n1 a n2 a nn se naziva matricom sistema a njena determinanta a 12 a 1n a 21 a a 2n D s = a n1 a n2 a nn determinantom sistema Za rešavanje sistema linearnih jednačina pomoću determinanti, pored determinante sistema, koristi se još n determinanti D k, k = 1,, n koje se dobijaju tako što se u determinanti D s, k-ta kolona zameni kolonom slobodnih članova a 12 a 1k 1 b 1 a 1k+1 a 1n a 21 a a 2k 1 b 2 a 2k+1 a 2n D k = a n1 a n2 a nk 1 b n a nk+1 a nn Primena determinanti za rešavanje sistema linearnih jednačina praktično se zasniva na sledećoj teoremi: Teorema 2 Neka sistem n linearnih jednačina sa n nepoznatih ima bar jedno rešenje Tada, za svako rešenje sistema x 1 = α 1 x 2 = α 2 x n = α n važe jednakosti α k D s = D k k = 1, 2,, n

9 52 Rešavanje sistema linearnih jednačina pomoću determinanti 55 Dokaz 5 Pomnožimo determinantu D s sa α k i to tako što pomnožimo upravo njenu k-tu kolonu: a 1k a 1n α k a 1k a 1n a 21 a 2k a 2n a 21 α k a 2k a 2n α k D s = α k = a n1 a nk a nn a n1 α k a nk a nn U dobijenoj determinanti pomnožimo prvu kolonu sa α 1, pa je dodamo k-toj koloni, zatim drugu kolonu sa α 2, pa i nju dodamo k-toj koloni, i tako redom do n-te kolone koju pomnožimo sa α n i dodamo takože k-toj koloni, tako da konačno dobijemo a 12 a 1k 1 α 1 + a 12 α a 1n α n a 1k+1 a 1n a 21 a a 2k 1 a 21 α 1 + a α a 2n α n a 2k+1 a 2n α k D s = a n1 a n2 a nk 1 a n1 α 1 + a n2 α a nn α n a nk+1 a nn Kako je α 1, α 2,, α n rešenje sistema, to je α 1 + a 12 α a 1n α n = b 1 a 21 α 1 + a α a 2n α n = b 2 pa je a n1 α 1 + a n2 α a nn α n = b n a 12 a 1k 1 b 1 a 1k+1 a 1n a 21 a a 2k 1 b 2 a 2k+1 a 2n α k D s = a n1 a n2 a nk 1 b n a nk+1 a nn = D k što je i trebalo dokazati Ako je, dakle, α 1, α 2, α n rešenje sistema i D s 0, odnosno matrica sistema je regularna, onda je α k = D k D s Za sisteme jednačina u kojima je broj jednačina jednak broju nepoznatih važi tzv Kramerovo pravilo: Ako je matrica sistema regularna, odnosno ako

10 53 Matrične jednačine 56 je D s 0, onda je sistem odrežen, odnosno, saglasan je i ima jedinstveno rešenje x k = D k k = 1, 2,, n D s Sa druge strane, ako je matrica sistema singularna, odnosno ako je D s = 0, a bar jedna od determinanti D k 0, k {1, 2,, n}, onda je sistem nemoguć Naime, ako bi sistem imao rešenje pri D s = 0 i D k 0 za neko k, onda bi važilo D k = α k D s = 0 što protivreči uslovu D k 0 Ukoliko je D s = 0 i D k = 0 k = 1, 2,, n onda sistem sigurno nije odrežen, ali preostaju dve druge mogućnosti: da je sistem neodrežen (ima beskonačno mnogo rešenja) ili da je nemoguć (nema rešenja), ali se do rešenja sistema u ovom slučaju ne može doći pomoću determinanti Konačno, ako je u pitanju homogen sistem jednačina, odnosno sistem u kome su slobodni koeficijenti b 1 = b 2 = = b n = 0, onda će uvek biti D 1 = D 2 = = D n = 0 jer svaka od ovih determinanti sadrži jednu kolonu u kojoj se nalaze slobodni koeficijenti, odnosno same nule Kako je, sa druge strane, homogen sistem uvek saglasan, to znači da za D s 0 sistem ima jedinstveno rešenje, a to je trivijalno rešenje, dok je za D s = 0 sistem neodrežen, odnosno ima beskonačno mnogo rešenja 53 Matrične jednačine Sistem linearnih jednačina x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m može se izraziti u obliku matrične jednačine gde je A X = B

11 54 Kroneker-Kapelijeva teorema 57 A = a 12 a 1n a 21 a a 2n a m1 a m2 a mn matrica sistema, dok su X i B vektori kolone X = x 1 x 2 x n B = b 1 b 2 b m Ako je sistem kvadratan (m = n), a matrica sistema A regularna (deta 0), onda za nju postoji inverzna matrica A 1, pa se rešenje matrične jednačine može dobiti na sledeći način A 1 (AX) = A 1 B (A 1 A) X = A 1 B I X = A 1 B X = A 1 B 54 Kroneker-Kapelijeva teorema Za sistem lineranih jednačina čija je matrica sistema x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m a 12 a 1n a 21 a a 2n A = a m1 a m2 a mn

12 55 Sopstvene vrednosti i sopstveni vektori matrice 58 može se formirati i sledeća matrica a 12 a 1n b 1 a 21 a a 2n b 2 A = a m1 a m2 a mn b m koja se naziva proširenom matricom sistema Teorema 3 (Kroneker-Kapeli) Sistem linearnih jednačina je saglasan ako i samo ako je r = ranga = ranga odnosno ako je rang matrice sistema r jednak rangu proširene matrice sistema Za saglasne sisteme važi: 1 Ako je rang matrice A sistema r = n (pri čemu mora biti n m) onda sistem ima jedinstveno rešenje 2 Ako rang matrice A sistema r < n onda sistem ima beskonačno mnogo rešenja pri čemu je n r nepoznatih slobodno, a r ih je vezano (zavisno od slobodnih nepoznatih) Na osnovu Kroneker-Kapelijeve teoreme direktno sledi da je svaki homogeni sistem saglasan jer se matrica sistema proširuje kolonom slobodnih koeficijenata čije su vrednosti same nule pa se ovakvim proširenjem rang matrice ne može povećati, odnosno ranga = ranga 55 Sopstvene vrednosti i sopstveni vektori matrice Za kvadratne matrice mogu se definisati sopstveni vektori i sopstvene vrednosti Naime, svaka matrica kolona (vektor) X = naziva se sopstveni vektor kvadratne matrice A reda n ako postoji skalar λ takav da je x 1 x 2 x n A X = λx

13 55 Sopstvene vrednosti i sopstveni vektori matrice 59 U tom slučaju se skalar λ naziva sopstvena vrednost matrice A koja odgovara sopstvenom vektoru X Jednačina može da se napiše i kao odnosno Kako je matrica (A λi) = to matričnoj jednačini A X = λx A X λx = 0 (A λi) X = 0 λ a 12 a 1n a 21 a λ a 2n a n1 a n2 a nn λ odgovara homogeni sistem jednačina (A λi) X = 0 Determinanta ovog sistema ( λ)x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + (a λ)x a 2n x n = b 2 a n1 x 1 + a n2 x (a nn λ)x n = b n det(a λi) = λ a 12 a 1n a 21 a λ a 2n a n1 a n2 a nn λ predstavlja polinom po λ i naziva se karakterističnim polinomom matrice A Odgovarajuća algebarska jednačina det(a λi) = 0

14 55 Sopstvene vrednosti i sopstveni vektori matrice 60 naziva se karakterističnom jednačinom matrice A Iz načina formiranja karakterističnog polinoma sledi da rešenja karakteristične jednačine predstavljaju sopstvene vrednosti matrice A, a zamenom sopstvenih vrednosti u sistem (A λi) X = 0 dobijaju se odgovarajući sopstveni vektori matrice A Primer 35 Za zadatu matricu A = karakteristični polinom se dobija rešavanjem determinante A = odakle sledi karakteristična jednačina 3 λ λ λ λ 3 9λ λ 16 = 0 Rešenja ove jednačine su λ 1 = 1, λ 2 = λ 3 = 4 i ona predstavljaju sopstvene vrednosti matrice A Za sopstvenu vrednost λ 1 = 1 dobija se homogeni sistem 2x + y z = 0 x + 2y + z = 0 x + y + 2z = 0 čija su rešenja oblika (α, α, α) Odavde sa sopstveni vektor za λ 1 = 1 može dobiti izborom proizvoljne vrednosti α 0, recimo α = 1, u kom slučaju je odgovarajući sopstveni vektor X 1 = Za λ 2 = λ 3 = 4 imamo sistem x + y z = 0 x y + z = 0

15 55 Sopstvene vrednosti i sopstveni vektori matrice 61 z + y z = 0 čija su rešenja (α β, α, β), odakle se za α = 1 i β = 0 dobija sopstveni vektor 1 X 2 = 1 0 a za α = 0 i β = 1 sopstveni vektor 1 X 3 = 0 1

Sistemi linearnih jednačina

Sistemi linearnih jednačina Sistemi linearnih jednačina Sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih (x 1, x 2,..., x n ) je a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2, a n1 x 1 + a n2 x 2 +

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. Inverzna matrica

Determinante. Inverzna matrica Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Vektorski prostori. Vektorski prostor

Vektorski prostori. Vektorski prostor Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj

Διαβάστε περισσότερα

Norme vektora i matrica

Norme vektora i matrica 2 Norme vektora i matrica Pojam norme u vektorskim prostorima se najčešće povezuje sa određenom merom veličine elemenata tog prostora. Tako je u prostoru realnih brojeva R, norma elementa x R najčešće

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

Matrica se definiše kao niz brojeva (ili algebarskih simbola) smještenih u redove i kolone.

Matrica se definiše kao niz brojeva (ili algebarskih simbola) smještenih u redove i kolone. Matrice Uvod u matrice i vektore Pretpostavite da ste odgovorni za iznajmljivanje automobila zaposlenicima svoje firme Sedmični najmovi za različite veličine automobila su: kompaktni 9KM, srednji 60KM,

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra. skripta. Januar 2013.

Linearna algebra. skripta. Januar 2013. Linearna algebra skripta Januar 3 Reč autora Ovaj tekst je nastao od materijala sa kursa Linearna algebra i analitička geometrija za studente Odseka za informatiku, Matematičkog fakulteta Univerziteta

Διαβάστε περισσότερα

Induktivno spregnuta kola

Induktivno spregnuta kola Induktivno spregnuta kola 13. januar 2016 Transformatori se koriste u elektroenergetskim sistemima za povišavanje i snižavanje napona, u elektronskim i komunikacionim kolima za promjenu napona i odvajanje

Διαβάστε περισσότερα

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije:

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: min f(x) (1.1) pri čemu nema dodatnih ograničenja na X = (x 1,..., x n ) R n. Probleme bezuslovne optimizacije

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo.

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo. Kompleksni brojevi Algebarski oblik kompleksnog broja je z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je z = rcos θ + i sin θ,

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

UVOD. Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima

UVOD. Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima UVOD Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima u svrhu lakšeg praćenja i boljeg razumijevanja predavanja iz kolegija matematika. Ovi materijali čine suštinu nastavnog gradiva pa, uz obaveznu literaturu,

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, 004. Vladimir Balti Pojam polinoma. Prsten polinoma.. Dati su polinomi P (x) = x + x +, Q(x) = x 4 x +, R(x) = x x +. Proveriti da li za

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. Istinitosna tablica p q r F odgovara formuli A) q p r p r). B) q p r p r). V) q p r p r). G) q p r p r). D) q p r p r). N) Ne znam. Date

Διαβάστε περισσότερα

KVANTNA MEHANIKA SKRIPTA UZ I DEO KURSA ŠKOLSKA GODINA 2011/2012 VITOMIR MILANOVIĆ JELENA RADOVANOVIĆ

KVANTNA MEHANIKA SKRIPTA UZ I DEO KURSA ŠKOLSKA GODINA 2011/2012 VITOMIR MILANOVIĆ JELENA RADOVANOVIĆ KVANTNA MEHANIKA SKRIPTA UZ I DEO KURSA ŠKOLSKA GODINA / VITOMIR MILANOVIĆ JELENA RADOVANOVIĆ SADRŽAJ. SCHRÖDINGER-OVA JEDNAČINA.. NESTACIONARNA SCHRÖDINGER-OVA JEDNAČINA.. STACIONARNA SCHRÖDINGER-OVA

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi veštačke inteligencije primer 1

Sistemi veštačke inteligencije primer 1 Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati

Διαβάστε περισσότερα

Linearni operatori. Stepenovanje matrica

Linearni operatori. Stepenovanje matrica Linearni operatori Stepenovanje matrica Nea su X i Y vetorsi prostori nad istim poljem salara K Presliavanje A : X Y zovemo operator Za operator A ažemo da je linearan ao je istovremeno 1 aditivan: A(u

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom.

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom. RAVAN Ravan je osnovni pojam u geometiji i kao takav se ne definiše. Ravan je odeđena tačkom i nomalnim vektoom. nabc (,, ) π M ( x,, ) y z Da bi izveli jednačinu avni, poučimo sledeću sliku: n( A, B,

Διαβάστε περισσότερα

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije.

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Svojstva tautologija Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija i formula B. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Pretpostavimo da B nije tautologija. Tada postoji valuacija v

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA. Vežba br. 6: Dinamika sistema u frekventnom domenu u MATLABu

OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA. Vežba br. 6: Dinamika sistema u frekventnom domenu u MATLABu OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA Vežba br. 6: Dinamika sistema u frekventnom domenu u MATLABu I Definisanje frekventnih karakteristika Dinamički modeli sistema se definišu u vremenskom, Laplace-ovom

Διαβάστε περισσότερα

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova. Pojam skupa U matematici se pojam skup ne definiše eksplicitno. On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

1. Skicirati sledeće površi i ispitati njihovu regularnost:

1. Skicirati sledeće površi i ispitati njihovu regularnost: Geometrija 3, drgi kolokvijm Prezime i ime, broj indeksa, grpa Skicirati sledeće površi i ispitati njihov reglarnost: a f, v sh cos v, sh sin v,,, v [ π, π]; b g, v, 3, v,, v R a b Rešenje a Iz oblika

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE

ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE Nada Miličić Miloš Miličić ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE II deo II izdanje Akademska misao Beograd, 2011 Dr Nada Miličić, redovni profesor Dr Miloš Miličić, redovni profesor ELEMENTI VIŠE MATEMATIKE II DEO

Διαβάστε περισσότερα

Otvorene mreže. Zadatak 1

Otvorene mreže. Zadatak 1 Otvorene mreže Zadatak Na slici je data otvorena mreža u kojoj je rocesor centralni server. Prosečan intenzitet ulaznog toka rocesa u sistem iznosi X rocesa/sec. Posle rocesorske obrade, roces u % slučajeva

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

Polinomske jednaqine

Polinomske jednaqine Matematiqka gimnazija u Beogradu Dodatna nastava, xk.g. 2005/06. Polinomske jednaqine 13.6.2006. Naslov se odnosi na određivanje polinoma po jednoj ili vixe promenljivih (sa npr. realnim ili kompleksnim

Διαβάστε περισσότερα

Na grafiku bi to značilo :

Na grafiku bi to značilo : . Ispitati tok i skicirati grafik funkcije + Oblast definisanosti (domen) Kako zadata funkcija nema razlomak, to je (, ) to jest R Nule funkcije + to jest Ovo je jednačina trećeg stepena. U ovakvim situacijama

Διαβάστε περισσότερα

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku.

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku. 1. FUNKCIJE, LIMES, NEPREKINUTOST 1.1 Brojevi - slijed, interval, limes Slijed realnih brojeva je postava brojeva na primjer u obliku 1,,3..., nn, + 1... koji na realnoj osi imaju oznaceno mjesto odgovarajucom

Διαβάστε περισσότερα

3. Matrice Operacije s matricama. Podsjetimo se definicije matrice: Za prirodne brojeve m i n, preslikavanje

3. Matrice Operacije s matricama. Podsjetimo se definicije matrice: Za prirodne brojeve m i n, preslikavanje 3 Matrice 31 Operacije s matricama Podsjetimo se definicije matrice: Za prirodne brojeve m i n, preslikavanje A : {1, 2,, m} {1, 2,, n} F se naziva matrica tipa (m, n) s koeficijentima iz polja F Običaj

Διαβάστε περισσότερα

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ

Διαβάστε περισσότερα

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je VEKTORI Nenad O. Vesi 1 1 Uvod Odnos vektora AB, jednak je α CD ( AB CD ) = α, ako je AB = αcd. Teorema 1 (TEOREME BLIZANCI) Dat je trougao ABC i ta ke P i Q na pravama BC, CA redom i ta ke R i S na pravoj

Διαβάστε περισσότερα

Teorija kodiranja. Hamingov kod i njegova definicija

Teorija kodiranja. Hamingov kod i njegova definicija Teorija kodiranja. Hamingov kod i njegova definicija Erna Oklapi Gimnazija Novi Pazar ernaoklapii@yahoo.com Sanela Numanović Gimnazija Kruševac sanelanumanovic@yahoo.com Rezime U ovom radu predstavljen

Διαβάστε περισσότερα

Matematika I. Elvis Baraković, Edis Mekić. 4. studenog Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora

Matematika I. Elvis Baraković, Edis Mekić. 4. studenog Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora Matematika I Elvis Baraković, Edis Mekić 4. studenog 2011. 1 Analitička geometrija 1.1 Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora Skalarnom veličinom ili skalarom nazivamo onu veličinu koja je potpuno

Διαβάστε περισσότερα

Skupovi, relacije, funkcije

Skupovi, relacije, funkcije Chapter 1 Skupovi, relacije, funkcije 1.1 Skup, torka, multiskup 1.1.1 Skup Pojam skupa ne definišemo eksplicitno. Intuitivno skup prihvatamo kao konačnu ili beskonačnu kolekciju objekata (ili elemenata)u

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu. ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2

Διαβάστε περισσότερα

Predstavljanje orijentacije i rotacije u 3D

Predstavljanje orijentacije i rotacije u 3D Predstavljanje orijentacije i rotacije u 3D Orijentacija Još jednom: Orijentacija i pravac - isto ili ne? Pravac je određen vektorom, ali rotacija vektora oko samog sebe nema daljeg uticaja. Orijentacija

Διαβάστε περισσότερα

METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar

METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar Prof dr email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj Matrična analiza linijskih

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc

Διαβάστε περισσότερα

MERENJE, GREŠKE MERENJA I OBRADA REZULTATA MERENJA

MERENJE, GREŠKE MERENJA I OBRADA REZULTATA MERENJA MERENJE, GREŠKE MERENJA I OBRADA REZULTATA MERENJA 1 Merenje Svaki eksperimentalni rad u fizici praćen je merenjem neke fizičke veličine. Izmeriti neku fizičku veličinu znači uporediti je sa standardnom

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture

Algebarske strukture i operacije Univerzitet u Nišu Prirodno Matematički Fakultet februar 2010 Istraživačka stanica Petnica i operacije Operacije Šta je to algebra i apstraktna algebra? Šta je to algebarska struktura? Cemu

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni račun

Diferencijalni račun ni račun October 28, 2008 ni račun Uvod i motivacija Točka infleksije ni račun Realna funkcija jedne realne varijable Neka je X neprazan podskup realnih brojeva. Ako svakom elementu x X po postupku f pridružimo

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI IZ MATEMATIKE

RIJEŠENI ZADACI IZ MATEMATIKE RIJEŠENI ZADACI IZ MATEMATIKE Ovi zadaci namijenjeni su studentima prve godine za pripremu ispitnog gradiva za kolokvije i ispite iz matematike. Pripremljeni su u suradnji i po uputama predmetnog nastavnika

Διαβάστε περισσότερα

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor I. VEKTORI d. sc. Min Rodić Lipnović 009./010. 1 Pojm vekto A B dužin A B usmjeen (oijentin) dužin (n se koj je točk početn, koj kjnj) A B vekto - kls ( skup ) usmjeenih dužin C D E F AB je epeentnt vekto

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18 OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA () 6. studenog 2011. 1 / 18 TRI OSNOVNA PRINCIPA PREBROJAVANJA -vrlo često susrećemo se sa problemima prebrojavanja elemenata nekog konačnog skupa S () 6. studenog 2011.

Διαβάστε περισσότερα

MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA

MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivan Krijan, Sara Muhvić MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA Zagreb, 2013. Ovaj rad izraden je na Zavodu

Διαβάστε περισσότερα

Unipolarni tranzistori - MOSFET

Unipolarni tranzistori - MOSFET nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]

Διαβάστε περισσότερα

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA Sarajevo, 3.04.016. godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Gradimir V. Milovanović MATEMATIČKA ANALIZA I

Gradimir V. Milovanović MATEMATIČKA ANALIZA I Gradimir V. Milovanović Radosav Ž. D ord ević MATEMATIČKA ANALIZA I Predgovor Ova knjiga predstavlja udžbenik iz predmeta Matematička analiza I koji se, počev od školske 2004/2005. godine, studentima Elektronskog

Διαβάστε περισσότερα

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA Pod elementarnim funkcijama najčešće ćemo podrazumijevati realne funkcije realne varijable Detaljnije ćemo u Matematici II analizirati funkcije koje se najčešće koriste

Διαβάστε περισσότερα

O SKUPOVIMA. Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe,

O SKUPOVIMA. Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe, O SKUPOVIM Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe, skupine, mnoštva neke vrste objekata, stvari, živih bića i dr. Tako imamo skup stanovnika nekog grada, skup

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Vektori. Definicija 1.1. Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet.

Glava 1. Vektori. Definicija 1.1. Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet. Glava 1 Vektori U mnogim naukama proučavaju se vektorske i skalarne veličine. Skalarna veličina je odred ena svojom brojnom vrednošću u izabranom sistemu jedinica. Takve veličine su temperatura, težina

Διαβάστε περισσότερα

Društvo matematičara Srbije. Pripreme za Juniorske olimpijade školske 2007/2008. Matematička indukcija

Društvo matematičara Srbije. Pripreme za Juniorske olimpijade školske 2007/2008. Matematička indukcija Društvo matematičara Srbije Pripreme za Juiorske olimpijade školske 007/008 -Dord e Baralić Tel:063/706-706-6 e-mail:djolebar@ptt.yu Matematička idukcija Primer 1. Dokazati da je > za sve N. Ituitivo zamo

Διαβάστε περισσότερα

Prostori Soboljeva sa negativnim indeksom

Prostori Soboljeva sa negativnim indeksom UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Nevena Mutlak Prostori Soboljeva sa negativnim indeksom -master rad- Mentor: prof.dr Marko Nedeljkov Novi Sad,

Διαβάστε περισσότερα

PREDMET: Upravljanje sistemima. Frekvencijske karakteristike

PREDMET: Upravljanje sistemima. Frekvencijske karakteristike Osnovne akademske studije PREDMET: Upravljanje sistemima TEMA: Frekvencijske karakteristike Predmetni nastavnik: Prof. dr Milorad Stanojević Asistent: mr Marko Đogatović Kompleksna funkcija prenosa Ukoliko

Διαβάστε περισσότερα

KOMPLEKSNA ANALIZA. 1. Funkcije kompleksne promenljive

KOMPLEKSNA ANALIZA. 1. Funkcije kompleksne promenljive KOMPLEKSNA ANALIZA. Funkcije kompleksne promenljive Neka je R skup realnih brojeva, a C skup kompleksnih brojeva. Definicija. Ako je E R, preslikavanje f : E C se naziva kompleksna funkcija realne promenljive.

Διαβάστε περισσότερα

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Katedra za elektroniku Elementi elektronike Laboratorijske vežbe Vežba br. 2 STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Datum: Vreme: Studenti: 1. grupa 2. grupa Dežurni: Ocena: Elementi elektronike -

Διαβάστε περισσότερα

5. Aproksimacija i interpolacija

5. Aproksimacija i interpolacija APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA 56 5. Aproksimacija i interpolacija 5.. Opći problem aproksimacije Što je problem aproksimacije? Ako su poznate neke informacije o funkciji f, definiranoj na nekom skupu X

Διαβάστε περισσότερα

PRIMENA KOMPLEKSNIH BROJEVA U PLANIMETRIJI

PRIMENA KOMPLEKSNIH BROJEVA U PLANIMETRIJI Prirodno-matematički fakultet, Univerzitet u Nišu, Srbija http://wwwpmfniacrs/mii Matematika i informatika (1) (013), 19-74 PRIMENA KOMPLEKSNIH BROJEVA U PLANIMETRIJI Mihailo Krstić, Student Departmana

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 14 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, točke infleksije i ekstremi funkcija Poglavlje 1 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, to ke ineksije

Διαβάστε περισσότερα

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET ODREĐIVANJE MOMENTA LOMA - PRAVOUGAONI PRESEK Moment loma za pravougaoni presek prikazan na skici odrediti za slučajeve:. kada

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika se bavi rečenicama kao celinama, i ne zalazi u njihovu unutrašnju strukturu, ne razlikuje njihove posebne elemente.

Iskazna logika se bavi rečenicama kao celinama, i ne zalazi u njihovu unutrašnju strukturu, ne razlikuje njihove posebne elemente. Zadatak predikatske logike Iskazna logika se bavi rečenicama kao celinama, i ne zalazi u njihovu unutrašnju strukturu, ne razlikuje njihove posebne elemente. Zbog toga se pomoću iskaznih formula ne može

Διαβάστε περισσότερα

GRAFOVI. Ljubo Nedović. 21. februar Osnovni pojmovi 2. 2 Bipartitni grafovi 8. 3 Stabla 9. 4 Binarna stabla Planarni grafovi 12

GRAFOVI. Ljubo Nedović. 21. februar Osnovni pojmovi 2. 2 Bipartitni grafovi 8. 3 Stabla 9. 4 Binarna stabla Planarni grafovi 12 GRAFOVI Ljubo Nedović 21. februar 2013 Sadržaj 1 Osnovni pojmovi 2 2 Bipartitni grafovi 8 3 Stabla 9 4 Binarna stabla 11 5 Planarni grafovi 12 6 Zadaci 13 1 2 1 Osnovni pojmovi Iz Vikipedije, slobodne

Διαβάστε περισσότερα

PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L

PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L UPUTSTVO ZA UPOTREBU. 1 Prskalica je pogodna za rasprsivanje materija kao sto su : insekticidi, fungicidi i sredstva za tretiranje semena. Prskalica je namenjena za kućnu upotrebu,

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. f(x + 1) x f(x) + 1.

Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. f(x + 1) x f(x) + 1. 09.0200 Prvi razred A kategorija Ako je n prirodan broj, dokazati da 3n 2 + 3n + 7 nije kub nijednog prirodnog broja. U trouglu ABC je ABC = 60. Neka su D i E redom preseqne taqke simetrala uglova CAB

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIONALNO GUSTE RELACIONE ALGEBRE

FUNKCIONALNO GUSTE RELACIONE ALGEBRE UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Ivan Prokić FUNKCIONALNO GUSTE RELACIONE ALGEBRE -master teza- Novi Sad, 2014 Sadržaj Predgovor 1 1 Uvod 3 1.1

Διαβάστε περισσότερα

METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar

METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar Prof dr email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj Rešavanje jednačina ravnoteže

Διαβάστε περισσότερα

ISKAZI. U svakodnevnom govoru, a i u pisanom tekstu, obično se sreću rečenice koje su ili tačne

ISKAZI. U svakodnevnom govoru, a i u pisanom tekstu, obično se sreću rečenice koje su ili tačne ISKAZI U svakodnevnom govoru, a i u pisanom tekstu, obično se sreću rečenice koje su ili tačne ili netačne, tj rečenice koje imaju logičkog smisla.ovakve rečenice se u matematici nazivaju iskazi.dakle,

Διαβάστε περισσότερα

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi realnu funkciju f() ako je f ( ) = Rješenje 00 Uvedemo supstituciju (zamjenu varijabli) = t Kvadriramo: t t t = = = = t Uvrstimo novu varijablu u funkciju: f(t) = t

Διαβάστε περισσότερα

Univerzitet u Kragujevcu Prirodno-matemati~ki fakultet. Bojana Borovi}anin SPEKTRALNE OSOBINE NEKIH KLASA GRAFOVA. Doktorska disertacija

Univerzitet u Kragujevcu Prirodno-matemati~ki fakultet. Bojana Borovi}anin SPEKTRALNE OSOBINE NEKIH KLASA GRAFOVA. Doktorska disertacija Univerzitet u Kragujevcu Prirodno-matemati~ki fakultet Bojana Borovi}anin SPEKTRALNE OSOBINE NEKIH KLASA GRAFOVA Doktorska disertacija Kragujevac 2007 Sadr`aj Predgovor 2 1 Harmonijski grafovi 5 1.1 Definicija

Διαβάστε περισσότερα

Rešenje: X C. Efektivne vrednosti struja kroz pojedine prijemnike su: I R R U I. Ekvivalentna struja se određuje kao: I

Rešenje: X C. Efektivne vrednosti struja kroz pojedine prijemnike su: I R R U I. Ekvivalentna struja se određuje kao: I . Otnik tnsti = 00, kalem induktivnsti = mh i kndenzat kaacitivnsti = 00 nf vezani su aaleln, a između njihvih kajeva je usstavljen steidični nan efektivne vednsti = 8 V, kužne učestansti = 0 5 s i četne

Διαβάστε περισσότερα

Analitička geometrija i linearna algebra

Analitička geometrija i linearna algebra 1. VEKTORI POJAM VEKTORA Svakodnevno se susrećemo s veličinama za čije je određivanje potrean samo jedan roj. Na primjer udaljenost, površina, volumen,. Njih zovemo skalarnim veličinama. Međutim, postoje

Διαβάστε περισσότερα

REALNA, KOMPLEKSNA ANALIZA I HILBERTOVI PROSTORI

REALNA, KOMPLEKSNA ANALIZA I HILBERTOVI PROSTORI RALNA, KOMPLKSNA ANALIZA I HILBRTOVI PROSTORI M. MATLJVIĆ Abstract. R R M M Uvod Radna verzija, 26 septembar 2007, 29 maj 2008. Kurs iz Teorije Realnih i Kompleksnih funkcija (TR-KF, popularno TRiK) sastoji

Διαβάστε περισσότερα

Proračunski model - pravougaoni presek

Proračunski model - pravougaoni presek Proračunski model - pravougaoni presek 1 ε b 3.5 σ b f B "" ηx M u y b x D bu G b h N u z d y b1 a1 "1" b ε a1 10 Z au a 1 Složeno savijanje - VEZNO dimenzionisanje Poznato: statički uticaji za (M i, N

Διαβάστε περισσότερα