ΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ. Κεφάλαιο 4 Αςαφείσ Συνεπαγωγέσ

Transcript

1 ΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Κεφάλαιο 4 Αςαφείσ Συνεπαγωγέσ Επιμέλεια: Πέτροσ Π. Γρουμπόσ, Κακθγθτισ Βάια Κ. Γκουντρουμάνη, Υπ. Διδάκτωρ Τμιμα Ηλεκτρολόγων Μθχανικϊν & Τεχνολογίασ Υπολογιςτϊν

2 Άδειεσ Χριςθσ Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται ςε άδειεσ χριςθσ Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπωσ εικόνεσ, που υπόκειται ςε άλλου τφπου άδειασ χριςθσ, θ άδεια χριςθσ αναφζρεται ρθτϊσ. 2

3 Χρθματοδότθςθ Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό ζχει αναπτυχκεί ςτα πλαίςια του εκπαιδευτικοφ ζργου των διδαςκόντων κακθγθτϊν. Το ζργο «Ανοικτά Ακαδθμαϊκά Μακιματα ςτο Πανεπιςτιμιο Πατρϊν» ζχει χρθματοδοτιςει μόνο τθ αναδιαμόρφωςθ του εκπαιδευτικοφ υλικοφ. Το ζργο υλοποιείται ςτο πλαίςιο του Επιχειρθςιακοφ Προγράμματοσ «Εκπαίδευςθ και Δια Βίου Μάκθςθ» και ςυγχρθματοδοτείται από τθν Ευρωπαϊκι Ζνωςθ (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εκνικοφσ πόρουσ. 3

4 Σκοπόσ Μελζτθ Η ζννοια τθσ αςαφοφσ ςυνεπαγωγισ Σχζςθ ςυνεπαγωγισ Ζλεγχοσ Διαδικαςιϊν με Αςαφείσ Ελεγκτζσ Οριςμόσ τθσ Συνεπαγωγισ Κανόνεσ ςυνεπαγωγισ Είδθ ςυνεπαγωγϊν Συνκετικόσ ςυμπεραςματικόσ κανόνασ 4

5 Ζννοια τθσ αςαφοφσ ςυνεπαγωγισ (1/3) Kάκε αςαφισ ελεγκτισ αποτελείται από το μθχανιςμό ςυμπεραςμοφ ι ςυμπεραςμάτων (inference engine) με τον οποίο υπολογίηονται οι ζξοδοι του ελεγκτι. Ο μθχανιςμόσ ςυμπεραςμοφ ουςιαςτικά μασ παρζχει τθν ικανότθτα ςυλλογιςμοφ. Αντίκετα με τα ςυμβατικά ζμπειρα ςυςτιματα, ςτο μθχανιςμό ςυμπεραςμοφ ενόσ αςαφοφσ ελεγκτι διεξάγεται εξονυχιςτικι ανίχνευςθ όλων των κανόνων ςτθ βάςθ γνϊςθσ με ςκοπό να υπολογιςτεί ο βακμό ςυμμετοχισ ι εκπλιρωςθσ κάκε κανόνα. 5

6 Ζννοια τθσ αςαφοφσ ςυνεπαγωγισ (2/3) Μια αςαφισ διλωςθ ςυνεπαγωγισ περιγράφει τθ ςχζςθ μεταξφ των λεκτικϊν μεταβλθτϊν του ελεγκτι. Ζςτω δφο αςαφι ςφνολα Α και Β που ανικουν ςτα υπερςφνολα αναφοράσ Χ και Υ αντίςτοιχα, τότε ορίηουμε μια αςαφι εξαρτθμζνθ ςχζςθ (fuzzy conditional relation): R : ΑΝ Α ΤΟΤΕ Β = Α Β Α Β όπου Α Β είναι το καρτεςιανό γινόμενο των δφο υπερςυνόλων αναφοράσ Χ Υ και ορίηεται για τθν περίπτωςθ του τελεςτι τομισ ωσ: Α Β = (μ Α (x) μ B (y)) (x,y) = min(μ Α (x), μ B (y)) (x,y) Χ Υ Χ Υ 6

7 Ζννοια τθσ αςαφοφσ ςυνεπαγωγισ (3/3) Για τθν περίπτωςθ αλγεβρικοφ γινομζνου είναι: Α Β = (μ Α (x). μ B (y)) (x,y) Χ Υ Για παράδειγμα, ζςτω ότι τα διακριτά ςφνολα Α = { } και Β={ } με αντίςτοιχεσ ςυναρτιςεισ ςυμμετοχισ {μ Α (x) x} = ( , ,2 3) και {μ Β (y) y} = (0, , , ,2 4) 7

8 Καρτεςιανό Γινόμενο Τότε το καρτεςιανό γινόμενο (Cartesian product) τομισ είναι: R Λ = Α Β = {min(1, 0,8) (1,1), min(1, 0,6) (1,2), min(1, 0,4) (1,3), min(1, 0,2) (1,4), min(0,7, 0,8) (2,1), min(0,7, 0,6) (2,2), min(0,7, 0,4) (2,3), min(0,7, 0,2) (2,4),... = {0,8 (1,1) + 0,6 (1,2) + 0,4 (1,3) + 0,2 (1,4) + 0,7 (2,1) + 0,6 (2,2) + 0,4 (2,3) + 0,2 (2,4) + 0,2 (3,1) + 0,2 (3,2) + 0,2 (3,3) + 0,2 (3,4) 8

9 Σχεςιακόσ Πίνακασ Ο αντίςτοιχοσ ςχεςιακόσ πίνακασ (relational matrix) είναι: x y ,8 0,6 0,4 0,2 2 0,7 0,6 0,4 0,2 3 0,2 0,2 0,2 0,2 9

10 Καρτεςιανό Αλγεβρικό Γινόμενο Το καρτεςιανό αλγεβρικό γινόμενο, είναι αντίςτοιχα: R * = Α Β = {0,8 (1,1) + 0,6(1,2) + 0,4 (1,3) + 0,2 (1,4) + 0,56 (2,1) + 0,42 (2,2) + 0,28 (2,3) + 0,14 (2,4) + 0,16 (3,1) + 0,12 (3,2) + 0,08 (3,3) + 0,04 (3,4)} x y ,8 0,6 0,4 0,2 2 0,56 0,42 0,28 0,14 3 0,16 0,12 0,08 0,04 10

11 Σχζςθ Συνεπαγωγισ (1/2) Το καρτεςιανό γινόμενο τομισ (min) είναι απλοφςτερο να υλοποιθκεί και ταχφτερο ςτθν εκτζλεςι του ςε υπολογιςτι εφόςον χρθςιμοποιεί τθν πράξθ ςφγκριςθσ αντί του γινομζνου, πράξθ που είναι χρονοβόρα. Στθν πράξθ οι περιςςότεροι αςαφείσ ελεγκτζσ υιοκετοφν τθ μζκοδο αυτι. Η ςυνάρτθςθ ςυμμετοχισ τθσ ςυνεπαγωγισ (implication) ορίηεται από τισ αντίςτοιχεσ ςυναρτιςεισ ςυμμετοχισ μ Α (x) και μ Β (y) των ςυνόλων Α και Β. Ζςτω ότι: και μ R (x,y)= ψ(μ Α (x), μ B (y)) R = {μ R (x,y) (x,y)} για x X και y Y 11

12 Σχζςθ Συνεπαγωγισ (2/2) Γενικότερα εάν Α 1, Α 2,... Α Ν είναι αςαφι υποςφνολα του Χ και Β 1, Β 2,... Β Ν είναι αςαφι υποςφνολα του ςυνόλου Υ (που αντιςτοιχοφν ςτα αίτια και τα ςυμπεράςματα αντίςτοιχα), τότε ο αςαφισ αλγόρικμοσ είναι το ςφνολο των λεκτικϊν κανόνων: R Ν : ΑΝ Α 1 ΤΟΤΕ Β 1 ΕΙΤΕ ΑΝ Α 2 ΤΟΤΕ Β 2 ΕΙΤΕ... ΑΝ Α Ν ΤΟΤΕ Β Ν Το ςυνδετικό ΕΙΤΕ, που κα γραφεί για ςυντομία ωσ φ, εξαρτάται από τθ ςυνάρτθςθ ψ που χρθςιμοποιείται ςτον οριςμό των επιμζρουσ ςυνεπαγωγϊν. Συνεπϊσ θ ςυνάρτθςθ ςυμμετοχισ για Ν κανόνεσ ορίηεται ωσ: μ RΝ (x,y) = φ(μ R1 (x,y), μ R2 (x,y)... ) = φ(ψ(μ Α1 (x) μ B1 (y)), ψ(μ Α2 (x) μ B2 (y))...) 12

13 Ζλεγχοσ Διαδικαςιϊν με Αςαφείσ Ελεγκτζσ Ο ζλεγχοσ διαδικαςιϊν με αςαφείσ ελεγκτζσ προχποκζτει τθν φπαρξθ ενόσ ςυνόλου λεκτικϊν κανόνων που περιγράφει τισ πράξεισ ενόσ εμπειρογνϊμονα χειριςτι. Οι κανόνεσ αυτοί είναι όμοιοι με αυτοφσ με τουσ οποίουσ εκπαιδεφονται οι χειριςτζσ και ςτθ ςυνζχεια εφαρμόηουν ςτθν πράξθ. Το ςφνολο των λεκτικϊν κανόνων αποκθκεφεται ςτθ βάςθ γνϊςθσ (rule base) του ελεγκτι. Φυςικό είναι να μθν είναι γνωςτοί όλοι οι κανόνεσ που είναι απαραίτθτοι να αντιμετωπίςουν όλεσ τισ καταςτάςεισ τθσ ελεγχόμενθσ διαδικαςίασ. Συνεπϊσ ηθτείται κάποιοσ μθχανιςμόσ που κα είναι ικανόσ να ςυμπεράνει αποφάςεισ με ελλιπι ςτοιχεία, όπωσ ακριβϊσ κάνει ζνασ άνκρωποσ-χειριςτισ. Η αςαφισ λογικι είναι θ πιο διαδεδομζνθ τεχνικι για τθν εξεφρεςθ αποφάςεων κάτω από αυτζσ τισ ςυνκικεσ. 13

14 Οριςμόσ τθσ Συνεπαγωγισ Όπωσ ζχουμε ιδθ αναφζρει, θ γνϊςθ για τον ζλεγχο μιασ διαδικαςίασ ςυνικωσ κακορίηεται από ζνα ςφνολο κανόνων τθσ μορφισ ΑΝ (αίτιο) ΤΟΤΕ (ςυμπζραςμα) ι ΑΝ Α ΤΟΤΕ Β. Σθμειϊνουμε ότι ςτον κλαςικό προταςιακό λογιςμό (propositional calculus) θ ςχζςθ: ΑΝ Α ΤΟΤΕ Β που μποροφμε να εκφράςουμε ςυμβολικά ωσ: Α Β είναι ιςοδφναμθ με τθν πράξθ A B όπου Α και Β είναι υποςφνολα των υπερςυνόλων Χ και Υ αντίςτοιχα. 14

15 Κανόνεσ ςυνεπαγωγισ (1/2) Στθν αςαφι λογικι υπάρχουν δφο κφριεσ κατθγορίεσ κανόνων ςυνεπαγωγισ. Η πρϊτθ είναι θ κατθγορία Generalised Modus Ponens (ι GMP) για τθν οποία ιςχφουν τα εξισ: GMP: Υπόκεςθ 1: x είναι Α Υπόκεςθ 2: ΑΝ x είναι Α ΤΟΤΕ y είναι Β Συμπζραςμα: y είναι Β Ο κανόνασ αυτόσ ςυςχετίηεται άμεςα με τουσ μθχανιςμοφσ πρόςκιασ ςυνεπαγωγισ με δεδομζνα (forward data-driven inference), που βρίςκει εφαρμογι ςε όλουσ τουσ αςαφείσ ελεγκτζσ. 15

16 Κανόνεσ ςυνεπαγωγισ (2/2) Η δεφτερθ είναι θ κατθγορία Generalised Modus Tollens (ι GMΤ) για τθν οποία ιςχφουν τα εξισ: GMΤ: Υπόκεςθ 1: y είναι B Υπόκεςθ 2: ΑΝ x είναι Α ΤΟΤΕ y είναι Β Συμπζραςμα: x είναι A Ο κανόνασ GMT ςχετίηεται ςτενά με τουσ μθχανιςμοφσ οπιςκόδρομου ςυμπεραςμοφ με ςτόχο (backwards goal-driven) που ςυνθκίηεται ςτα ζμπειρα ςυςτιματα. Αντίκετα με τον κανόνα GMP, ο ςκοπόσ του μθχανιςμοφ ςυμπεραςμοφ εδϊ είναι θ ανεφρεςθ των αιτιϊν που ζχουν ζνα δεδομζνο αποτζλεςμα. 16

17 Συνεπαγωγζσ (1/5) Boole Η κλαςικι ςυνεπαγωγι του δυαδικοφ κανόνα Boole χρθςιμοποιεί τουσ τελεςτζσ ζνωςθσ και άρνθςθσ και ορίηεται ωσ: R Βoole = ( A Y) (X B) και μ R (x,y) = (1 - μ Α (x)) μ Β (y) Ο ςυνδυαςμόσ Ν εξαρτθμζνων ςχζςεων γίνεται με το ςυνδετικό KAI, δθλαδι R N = k R k όπου k=1,2...ν και μ RN (x,y) = k ((1- μ Αk (x)) μ Βk (y)) 17

18 Συνεπαγωγζσ (2/5) Lukasiewicz Η ςυνεπαγωγι Lukasiewicz είναι βαςιςμζνθ ςτθν πλειότιμθ λογικι και ορίηεται ωσ: μ R (x,y) = 1 (1 - μ Α (x)+ μ Β (y)) όπου το ςφμβολο + παριςτά τθν κοινι αρικμθτικι πρόςκεςθ. O ςυνδυαςμόσ Ν εξαρτθμζνων ςχζςεων γίνεται με το ςυνδετικό KAI, δθλαδι: R N = k R k όπου k=1,2...ν και μ RΝ (x,y) = k (1 (1 - μ Αk (x)+ μ Βk (y))) 18

19 Συνεπαγωγζσ (3/5) Zadeh Η ςυνεπαγωγι Zadeh με τελεςτζσ max και min ορίηεται ωσ: R Zadeh = (A B) ( A X) και μ R (x,y) = (μ Α (x) μ Β (y)) (1 - μ Α (x)) Η ςυνεπαγωγι αυτι είναι δφςχρθςτθ και δεν αποδζχεται απλι υπολογιςτικι λφςθ. 19

20 Συνεπαγωγι Mamdani Συνεπαγωγζσ (4/5) Η ςυνεπαγωγι Mamdani είναι απλοφςτευςθ τθσ ςυνεπαγωγισ του Zadeh, χρθςιμοποιεί μόνο τον τελεςτι min και ορίηεται ωσ: R Μamdani = A B και μ R (x,y) = μ Α (x) μ Β (y)=min(μ Α (x), μ Β (y)) Ο ςυνδυαςμόσ Ν εξαρτθμζνων ςχζςεων γίνεται με το ςυνδετικό Ή, δθλαδι R N = k R k όπου k=1,2...ν και μ RN (x,y) = k (μ Αk (x) μ Βk (y)) 20

21 Συνεπαγωγι Larsen Συνεπαγωγζσ (5/5) Η ςυνεπαγωγι Larsen χρθςιμοποιεί το αρικμθτικό γινόμενο κατά τον υπολογιςμό του καρτεςιανοφ γινομζνου και ορίηεται ωσ: R Larsen = A B και μ R (x,y) = μ Α (x)* μ Β (y) O ςυνδυαςμόσ Ν εξαρτθμζνων ςχζςεων γίνεται και ςτθν περίπτωςθ αυτι με το ςυνδετικό H, δθλαδι R N = k R k όπου k=1,2...ν και μ RΝ (x,y) = k (μ Αk (x). μ Βk (y)) 21

22 Συνκετικόσ Συμπεραςματικόσ Κανόνασ Ζςτω ότι ζχουμε τισ δφο αςαφείσ ςχζςεισ: R 1 : ΑΝ Α ΤΟΤΕ Β R 2 : ΑΝ Β ΤΟΤΕ C Οι παραπάνω ςχζςεισ μποροφν να ςυμπτυχκοφν : R 12 : ΑΝA ΤΟΤΕ C Η ςφνκεςθ ι ςφμπτυξθ των δφο κανόνων εκφράηεται με το ςφμβολο : R 12 = R 1 R 2 που ορίηεται είτε με τον κανόνα του μζγιςτου-ελάχιςτου (max-min) Mamdani μ 12 R (x,z) = y (μ R1 (x,y) μ R2 (y,z)) ι με τον κανόνα μζγιςτου γινομζνου (max-product) Larsen : μ 12 R (x,z) = y (μ R1 (x,y). μ R2 (y,z)) 22

23 Συνκετικόσ Κανόνασ Όταν χρθςιμοποιοφνται διακριτά ςφνολα οι παραπάνω πράξεισ είναι ιςοδφναμεσ με το εςωτερικό γινόμενο δφο πινάκων, εφόςον ο πολλαπλαςιαςμόσ αντικαταςτακεί με τον τελεςτι min και θ πρόςκεςθ με τον τελεςτι max. Συνεπϊσ με οριςμοφσ ςυνεπαγωγισ που περιζχουν μόνο τουσ τελεςτζσ max και min χρθςιμοποιοφμε το ςυνκετικό κανόνα (compositional rule) max-min και με οριςμοφσ ςυνεπαγωγισ που περιζχουν αρικμθτικοφσ τελεςτζσ, χρθςιμοποιοφμε το ςυνκετικό κανόνα max-product. 23

24 Παράδειγμα Ζτςι, όταν Α = {μ Α (x) x} για x X και θ ςχζςθ μεταξφ των είναι: Β = {μ Β (y) y} R = {μ R (x,y) (x,y)} για x Χ και y Y τότε, αν το αίτιο είναι Α, όπου Α = {μ Α (x) x} για x X για y Y το επακόλουκο ςυμπεραίνεται από το ςυνκετικό ςυμπεραςματικό κανόνα : Β = Α R = x (μ A (x) x μ R (x,y) (x,y)) για x X και y Y ςτθν περίπτωςθ που χρθςιμοποιθκεί ο ςυνκετικόσ κανόνασ max-min του Mamdani και Β = Α R = x (μ A (x) x. μ R (x,y) (x,y)) για x X και y Y όταν χρθςιμοποιθκεί ο ςυνκετικόσ κανόνασ max-product του Larsen. 24

25 Για παράδειγμα ο κανόνασ: Παράδειγμα (ςυνζχεια) ΑΝ Α είναι αργόσ ΤΟΤΕ Β είναι ταχφσ όπου τα ςφνολα αργόσ και ταχφσ ορίηονται από τα διακριτά ςφνολα: μ Α (x) = {1+ 0,7+ 0, } και μ Β (y) = { ,3+ 0, } 25

26 Παράδειγμα Το καρτεςιανό γινόμενο με τελεςτι min δίνεται ςτον R Λ = Α Β = {min*μ Α (x i ), μ B (y j )]} = min[1, 0] min[1, 0] min[1, 0,3] min[1, 0,7] min[1, 1] min[1, 1] min[0,7, 0] min[0,7, 0] min[0,7,0,3] min[0,7,0,7] min[0,7, 1] min[0,7, 1] min[0,3, 0] min[0,3, 0] min[0,3,0,3] min[0,3,0,7] min[0,3, 1] min[0,3, 1] min[0, 0] min[0, 0] min[0, 0,3] min[0, 0,7] min[0, 1] min[0, 1] min[0, 0] min[0, 0] min[0, 0,3] min[0, 0,7] min[0, 1] min[0, 1] min[0, 0] min[0, 0] min[0, 0,3] min[0, 0,7] min[0, 1] min[0, 1] 26

27 Παράδειγμα 0 0 0,3 0, ,3 0,7 0,7 0,7 = 0 0 0,3 0,3 0,3 0,

28 Παράδειγμα Αν τϊρα το αίτιο Α τροποποιθκεί με μετατόπιςθ προσ τα αριςτερά, δθλαδι θ διακριτι ςυνάρτθςθ ςυμμετοχισ: μ Α (x) = {1+ 0,7+ 0, } γίνει μ Α = {0,3+ 0, ,7+ 0,3+ 0} άρα λεκτικά λίγο αργόσ, τότε εφαρμόηοντασ τθ ςχζςθ: δθλαδι το ςυνκετικό κανόνα max-min: Β = Α ο R μ Β (y) = max(min(μ A (x), μ RΛ (y)) μποροφμε να υπολογίςουμε τθ ςυνάρτθςθ ςυμμετοχισ του νζου επακόλουκου Β. Ο πίνακασ {min(μ Α (x), μ RΛ (y)}περιζχει ςτοιχεία του πίνακα R Λ και τθσ διακριτισ ςυνάρτθςθσ ςυμμετοχισ μ Α (x). 28

29 Συνεπαγωγι νζου επακόλουκου με τον ςυνκετικό κανόνα max-min min(0,0,3) min(0,0,3) min(0,3,0,3 min(0,7,0,3) min(1, 0,3) min(1,0,3) ) min(0,0,7) min(0,0,7) min(0,3,0,7 min(0,7,0,7) min(0,7,0,7) min(0,7,0,7) min(0, 1) min(0, 1) ) min(0,3,1) min(0,3, 1) min(0,3, 1) min(0,3, 1) min(0,0,7) min(0,0,7) min(0, 0,7) min(0, 0,7) min(0, 0,7) min(0, 0,7) min(0,0,3) min(0,0,3) min(0, 0,3) min(0, 0,3) min(0, 0,3) min(0, 0,3) min(0, 0) min(0, 0) min(0, 0) min(0, 0) min(0, 0) min(0, 0) = 0 0 0,3 0,3 0,3 0, ,3 0,7 0,7 0, ,3 0,3 0,3 0,

30 Συνζχεια H τελικι πράξθ υπολογιςμοφ τθσ νζασ ςυνάρτθςθσ ςυμμετοχισ μ Β (y) είναι θ ανεφρεςθ του μζγιςτου ςτοιχείου κάκε ςτιλθσ δθλαδι θ πράξθ max των ςτοιχείων κάκε ςτιλθσ του Πίνακα που φαίνονται με πλάγιουσ αρικμοφσ. Το τελικό αποτζλεςμα, που φαίνεται γραφικά ςτο Σχιμα, είναι: μ Β (y) = { ,3+ 0,7+ 0,7+ 0,7} 30

31 Νεο παράδειγμα Συνεπαγωγι με το ςυνκετικό κανόνα max-product Για ςφγκριςθ, υπολογίηονται παρακάτω τα ςτοιχεία τθσ ςυνάρτθςθσ ςυμμετοχισ μ Β (y) χρθςιμοποιϊντασ τον κανόνα max-product: μ Β (y) = max(μ Β (x)* μ RΛ (y)) θ διακριτι ςυνάρτθςθ ςυμμετοχισ μ B (y) του επακόλουκου Β για τα νζα αίτια. H ςυνεπαγωγι με τον τελεςτι πολλαπλαςιαςμοφ είναι αντίςτοιχα: R * = Α Β = {μ Α (x i )* μ B (y j )} = [1* 0] [1* 0] [1* 0,3] [1* 0,7] [1* 1] [1* 1] [0,7* 0] [0,7* 0] [0,7*0,3] [0,7*0,7] [0,7* 1] [0,7* 1] [0,3* 0] [0,3* 0] [0,3*0,3] [0,3* 0,7] [0,3* 1] [0,3* 1] [0* 0] [0* 0] [0* 0,3] [0* 0,7] [0* 1] [0* 1] [0* 0] [0* 0] [0* 0,3] [0* 0,7] [0* 1] [0* 1] [0* 0] [0* 0] [0* 0,3] [0* 0,7] [0* 1] [0* 1] 31

32 {μ Α (x i )* μ RΛ (y j )} = Συνεπαγωγι με το ςυνκετικό κανόνα max-product 0 0 0,3 0, ,21 0,49 0,7 0,7 = 0 0 0,09 0,21 0,3 0, (0* 0,3) ( 0* 0,3) (0,3*0,3) (0,7*0,3) (1* 0,3) (1*0,3) (0* 0,7) (0* 0,7) (0,21*0,7) (0,49*0,7) (0,7*0,7) (0,7*0,7) (0* 1) (0* 1) (0,09*1) (0,21* 1) (0,3* 1) (0,3* 1) (0* 0,7) (0* 0,7) (0* 0,7) (0* 0,7) (0* 0,7) (0* 0,7) (0* 0,3) (0* 0,3) (0* 0,3) (0* 0,3) (0* 0,3) (0* 0,3) (0* 0) (0* 0) (0* 0) (0* 0) (0* 0) (0* 0) 32

33 = Συνεπαγωγι με το ςυνκετικό κανόνα maxproduct 0 0 0,09 0,21 0,3 0, ,15 0,35 0,49 0, ,09 0,21 0,3 0, Οι μζγιςτεσ τιμζσ κάκε ςτιλθσ του Πίνακα ορίηουν το τελικό ςυμπζραςμα, δθλαδι: μ Β (y) = { ,15+ 0,35+ 0,49+ 0,49} 33

34 Σημείωμα Αναφοράσ Copyright Πανεπιςτιμιο Πατρϊν, Πζτροσ Γρουμπόσ. «Ευφυισ ζλεγχοσ, Αςαφείσ Συνεπαγωγζσ». Ζκδοςθ: 1.0. Πάτρα Διακζςιμο από τθ δικτυακι διεφκυνςθ: 34