ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
|
|
- Ἀβραάμ Δαμασκηνός
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Λογισμός ΙΙ Ενότητα 1: Λογισμός ΙΙ Κ. Δασκαλογιάννης Τμήμα Μαθηματικών Α.Π.Θ. (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 1 / 210
2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Cretive Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,όπως εικόνες,που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 2 / 210
3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο Άνοικτά Ακαδημαικά Μαθήματα στο Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση και συγχρηματοδοτείται απο την Ευρωπαική Ενωση (Ευρωπαικό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 3 / 210
4 Περιεχόμενα Ενότητας Αόριστο Ολοκλήρωμα. Αναδρομικές σχέσεις. Διαμερίσεις. Ολοκλήρωμα Drboux. Ολοκλήρωμα Riemnn. Θεωρήματα Μέσης Τιμής. Γενικευμένο Ολοκλήρωμα. Ομοιόμορφη Σύγκλιση. Υπολογισμός Εμβαδού. Μήκος Καμπύλης. Υπολογισμός Ογκου. (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 4 / 210
5 Σκοποί Ενότητας Εισαγωγή των προπτυχιακών φοιτητών στην μελέτη και στις τεχνικές των ολοκληρωμάτων. (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 5 / 210
6 Ορισμός Αόριστου Ολοκληρώματος Ορισμός f (x) είναι μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα I αόριστο ολοκλήρωμα F (x) = I = [, b] ή (, b] ή [, ) F (x) αντιπαράγωγος ή παράγουσα συνάρτηση f (x) dx df dx = F (x) = f (x) Η παράγουσα συνάρτηση είναι κάποια συνεχής συνάρτηση Παραδείγματα 1 dx = rctn x + c 1 + x 2 { x 2 x dx = 1 dx = ln x + c x 2 + c αν x 0 x2 2 + c αν x < 0 (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 6 / 210
7 Συμβολικός Λογισμός με διαφορικά ( ) df df = f (x) df = dx = f (x) dx dx dx ( ) df F = df = dx = F (x) dx dx Το ολοκλήρωμα αναιρεί την παραγώγιση ( ) x x 2 3 dx = d = x ( ) df dx = df = F dx (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 7 / 210
8 Θεώρημα Θεώρημα Η παράγουσα συνάρτηση F (x) είναι ορισμένη με προσέγγιση μιας σταθερας: F (x) παράγουσα συνάρτηση της f (x) F (x) + c παράγουσα συνάρτηση της f (x) d (F (x)) = d dx dx (F (x) + c) = f (x) (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 8 / 210
9 Παρατήρηση 1 Η απεικόνιση: f (x) F (x) ΔΕΝ είναι μονοσήμαντη πχ x 4 dx = ( ) x 5 d 5 = x c όπου c οποιαδήποτε σταθερά cos x dx = d (sin x) = sin x + c dx 1 + x 2 = d (rctn x) = rctn x + c (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 9 / 210
10 Παραδείγματα 1 (Αόριστο Ολοκλήρωμα) 2x 2 3x + 1 x + 1 dx = ( 2x ) dx = x 2 5x +6 ln x + 1 +C x (x + )(x + b) = 1 b (x + ) (x + b) (x + )(x + b) dx (x + )(x + b) = 1 dx x 2 + 3x + 2 = ( 1 x + b 1 ) x + = 1 b b ln x + b x + + C dx (x + 1)(x + 2) = ln x + 2 x C (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 10 / 210
11 Πίνακας Παραγουσών παράγουσα f (x) = df dx F (x) = f (x) dx x p, p 1 x p+1 p+1 + c 1 x e x ln x + c e x + c cos x sin x 1 cos 2 x 1 sin 2 x sin x + c cos x + c tn x + c cot x + c (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 11 / 210
12 Πίνακας Ολοκληρωμάτων x p dx = x p+1 p c p 1 1 dx = ln x + c x e x dx = e x + c cos x dx = sin x + c sin x dx = cos x + c dx cos 2 x = tn x + c dx sin 2 x = cot x + c cosh x dx = sinh x + c sinh x dx = cosh x + c dx cosh 2 x = tnh x + c dx sinh 2 x = coth x + c dx = rcsin x + c dx = rccos x + c 1 x 2 1 x dx = rctn x + c dx = rccot x + c 1 + x x 2 dx x = rcsinh x + c dx x 2 1 = rccosh x + c 1 1 dx = rctnh x + c 1 x 2 x 2 dx = rccoth x + c 1 για x < 1 για x > 1 (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 12 / 210
13 Βασικές ιδιότητες ολοκληρωμάτων αf (x) dx = α f (x) dx {f (x) + g(x)} dx = f (x) dx + g(x) dx Ολοκλήρωση με αντικατάσταση μεταβλητής g(u) du }{{} = g(u) du dx dx= u=u(x) g (u(x)) u (x) dx Ολοκλήρωση κατά παράγοντες f (x) g (x) dx = f (x) g(x) f (x) dg(x) = f (x) g(x) g(x) f (x) dx g(x) df (x) (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 13 / 210
14 Παραδείγματα 2 (Αόριστο Ολοκλήρωμα) x + b cx + d dx = = c = x c bc d dx + c bc d + c 2 P(x)e x dx = P(x)e x dx = bc d (cx + d) + c c cx + d dx cx + d = x c ln cx + d + c P(x)e x dx = P(x)e x dx = bc d d (cx + d) + c 2 cx + d P(x)e x dx ( ) P(x) P (x) + P (x) P (3) (x) + e x + c x 3 e x dx = ( x 3 3x 2 + 6x + 6 ) e x + c ( ) P(x) P (x) P (x) P (3) (x) + e x + c (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 14 / 210
15 Βασικές ιδιότητες ολοκληρωμάτων-αποδείξεις (1) αf (x) dx = α f (x) dx Απόδειξη. d( αf (x) dx) dx = αf (x) d(α f (x) dx) dx = α d( f (x) dx) dx = αf (x) {f (x) + g(x)} dx = f (x) dx + g(x) dx Απόδειξη. d{ (f (x)+g(x)) dx} dx = f (x) + g(x) d{ f (x) dx + g(x) dx} dx = = d( f (x) dx) dx + d( g(x) dx) dx = f (x) + g(x) (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 15 / 210
16 Βασικές ιδιότητες ολοκληρωμάτων-αποδείξεις (2) Ολοκλήρωση με αντικατάσταση μεταβλητής g(u) du }{{} = g (u(x)) u (x) dx = u=u(x) = g (u(x)) du(x) dx = dx = g (u(x)) du(x) πχ tn x dx = sin x dx cos x }{{} = u=cos x d (cos x) = = cos x du = ln u + c = u x x dx = = ln cos x + c d ( x 2 + 2) x = 1 du }{{} = = u + c = 2 u u=x = x c (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 16 / 210
17 Βασικές ιδιότητες ολοκληρωμάτων-αποδείξεις (3) Ολοκλήρωση κατά παράγοντες d(fg) = fdg + f (x) g (x) dx = f (x) g(x) gdf g(x) f (x) dx πχ x e x dx ln x dx = x d ( e x) = = x e x + e x dx = x e x e x = x ln x = x ln x x d (ln x) = x dx = x ln x x x (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 17 / 210
18 Ολοκληρώματα με αντικατάσταση μεταβλητής Ολοκληρώματα με αντικατάσταση μεταβλητής f (u(x)) u (x) dx = f (u) du 1 f (αx + β) dx }{{} = α u=αx+β f (e x ) dx = }{{} f (ln x) x u=e x dx = }{{} u=ln x f (u) u f (u) du du f (u) du (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 18 / 210
19 Αναδρομικές σχέσεις με εκθετικές εξισώσεις I n = x n e αx dx I n = 1 α I 0 = 1 α eαx x n d (e αx ) dx = 1 α x n e αx n α x n 1 e αx dx I n = 1 α x n e αx n α I n 1 κατασκευάζουμε διαδοχικά το I 1, I 2,... I n (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 19 / 210
20 Μέθοδος προσδιοριστέων συντελεστών I = P(x) e αx dx P(x) πολυώνυμο βαθμού n P(x) e αx dx = R(x)e αx + c d (R(x)e αx ) dx = P(x)e αx R (x) + αr(x) = P(x) πχ x 2 e 3x dx = ( Ax 2 + Bx + C ) e 3x + c d {( Ax 2 + Bx + C ) e 3x} = x 2 e 3x dx (2Ax + B) + 3 ( Ax 2 + Bx + C ) = x 2 3A = 1 2A + 3B = 0 A = 1 3, B = 2 9, C = 2 27 B + 3C = 0 (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 20 / 210
21 Μέθοδος προσδιοριστέων συντελεστών- Απόδειξη Μέθοδος προσδιοριστέων συντελεστών- Απόδειξη I = P(x) e αx dx P(x) πολυώνυμο βαθμού n Κάνοντας μια ολοκλήρωση κατά μέρη: I = P(x) e αx dx = 1 α P(x) de αx = = 1 α P(x)eαx 1 α P (x) e αx dx Το P (x) είναι πολυώνυμο βαθμού n 1. Επαναλαμβάνοντας την ολοκλήρωση κατά μέρη: I = 1 α P(x) }{{} e αx 1 α P (x) e αx dx = = ( πολ. βαθμού n 1 α P(x) 1 ) α 2 P (x) e αx + 1 α }{{} P (x) e αx dx πολ. βαθμού n 1 =... κλπ κλπ = = R(x)e αx + c R(x) πολυώνυμο βαθμού n d (R(x)e αx ) dx = P(x)e αx R (x) + αr(x) = P(x) (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 21 / 210
22 Αναδρομικές σχέσεις τριγωνομετρικών συναρτήσεων S n = C n = x n cos (αx + β) sin (αx + β) dx S 0 = α x n cos (αx + β) dx C 0 = sin (αx + β) α S n = 1 α x n d cos (αx + β) = = 1 α x n cos (αx + β) + n α x n 1 cos (αx + β) dx C n = 1 α x n d sin (αx + β) = = 1 α x n sin (αx + β) n α x n 1 sin (αx + β) dx S n = 1 α x n cos (αx + β) + n α C n 1 C n = 1 α x n sin (αx + β) n α S n 1 κατασκευάζουμε διαδοχικά τα S 0, C 0, S 1, C 1, S 2, C 2,... S n, C n, (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 22 / 210
23 Προσδιοριστέοι συντελεστές (1) S n = x n sin (αx + β) dx S n = P n (x) sin (αx + β) + Q n (x) cos (αx + β) P n (x), Q n (x) πολυώνυμα βαθμού n x n sin (αx + β) = = d dx {P n(x) sin (αx + β) + Q n (x) cos (αx + β)} C n = x n cos (αx + β) dx C n = P n (x) sin (αx + β) + Q n (x) cos (αx + β) P n (x), Qn (x) πολυώνυμα βαθμού n x n cos { (αx + β) = Pn (x) sin (αx + β) + Q n (x) cos (αx + β)} = d dx (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 23 / 210
24 ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (1) ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ exp (x) = e x x n = exp (x + y) = (exp x) (exp y) n! n=0 cosh x ex + e x 2 sinh x ex e x 2 = = n=0 n=0 x 2n (2n)! x 2n+1 (2n + 1)! (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 24 / 210
25 ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (2) cosh x ex + e x 2 = x 2n sinh x ex e x n=0 (2n)! 2 cosh 2 x sinh 2 x = 1 = n=0 x 2n+1 (2n + 1)! (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 25 / 210
26 ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (3) tnh x sinh x cosh x (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 26 / 210
27 ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (4) d cosh x dx d cosh 1 x dx d sinh 1 x dx dtnh 1 x dx dcoth 1 x dx = sinh x, d sinh x dx = d rccosh x dx = d rcsinh x dx d tnh x dx = d rctnh x dx d coth x dx = d rccoth x dx = = 1 = cosh 2 x = cosh x 1 x x = 1 1 x 2, x < 1 = 1 sinh 2 x = 1 1 x 2, x > (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 27 / 210
28 Αναδρομικές σχέσεις υπερβολικών συναρτήσεων S n = C n = x n sinh (αx + β) dx S 0 = x n cosh (αx + β) dx C 0 = cosh (αx + β) α sinh (αx + β) α S n = 1 α x n d cosh (αx + β) = = 1 α x n cosh (αx + β) n α x n 1 cosh (αx + β) dx C n = 1 α x n d sinh (αx + β) = = 1 α x n sinh (αx + β) n α x n 1 sinh (αx + β) dx S n = 1 α x n cosh (αx + β) n α C n 1 C n = 1 α x n sinh (αx + β) n α S n 1 κατασκευάζουμε διαδοχικά τα S 0, C 0, S 1, C 1, S 2, C 2,... S n, C n, (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 28 / 210
29 Προσδιοριστέοι συντελεστές (2) S n = x n sinh (αx + β) dx S n = P n (x) sinh (αx + β) + Q n (x) cosh (αx + β) P n (x), Q n (x) πολυώνυμα βαθμού n x n sinh (αx + β) = = d dx {P n(x) sinh (αx + β) + Q n (x) cosh (αx + β)} C n = x n cosh (αx + β) dx C n = P n (x) sinh (αx + β) + Q n (x) cosh (αx + β) P n (x), Qn (x) πολυώνυμα βαθμού n x n cosh { (αx + β) = Pn (x) sinh (αx + β) + Q n (x) cosh (αx + β)} = d dx (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 29 / 210
30 Προσδιοριστέοι συντελεστές για πολυώνυμα, εκθετικές και τριγωνομετρικές συναρτήσεις Π n (x) e bx sin x dx = P n (x)e bx sin x + Q n (x)e bx cos x Π n (x) e bx sin x = d dx ( ) P n (x)e bx sin x + Q n (x)e bx cos x Σ n (x) e bx cos x dx = R n (x)e bx sin x + S n (x)e bx cos x Σ n (x) e bx cos x = d dx ( ) R n (x)e bx sin x + S n (x)e bx cos x Ολες οι συναρτήσεις είναι πολυώνυμα n-τάξης ως προς x. (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 30 / 210
31 ΣΕΙΡΕΣ MACLAURIN exp (x) = e x = n=0 x n n! cosh x ex + e x exp (x + y) = (exp x) (exp y) 2 sinh x ex e x 2 = = n=0 n=0 x 2n (2n)! x 2n+1 (2n + 1)! exp (i x) = e i x = n=0 i n x n n! exp i (x + y) = (exp i x) (exp i y) cos x = sin x = ( 1) n x 2n (2n)! = eix + e ix 2 n=0 n=0 ( 1) n x 2n+1 (2n + 1)! = eix e ix 2i (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 31 / 210
32 Ιδιότητες τριγωνομετρικών- υπερβολικών συναρτήσεων cosh x ex + e x 2 sinh x ex e x cos x = eix + e ix sin x = eix e ix 2 2i ( e cos 3 ix + e ix ) 3 x = = 2 = e3ix + e 3ix + 3 ( e ix + e ix) = 8 8 cos 3x = + 3 cos x 4 4 sinh 5x sinh x = (ex ) 5 (e x ) 5 e x e x = = (e x ) 4 + (e x ) 3 (e x ) + (e x ) 2 (e x ) 2 + (e x ) (e x ) 3 + (e x ) 4 = = 2 cosh 4x + 2 cosh 2x (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 32 / 210
33 Προσδιοριστέοι συντελεστές (3) Προσδιοριστέοι συντελεστές x n e bx sin x dx = = P n (x)e bx sin x + Q n (x)e bx cos x x n e bx cos x dx = = R n (x)e bx sin x + S n (x)e bx cos x Υπολογισμός του x 2 e 5x sin 3 (2x) cos 3 x dx 1 0 βήμα: Αναλύω το sin 3 (2x) cos 3 x σε άθροισμα ημιτόνων και συνημιτόνων 2 0 βήμα: Υπολογίζω ολοκληρώματα της μορφής P(x)e bx sin x dx και Q(x)e bx cos x dx με προσδιοριστέους συντελεστές (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 33 / 210
34 Προσδιοριστέοι συντελεστές (4) sin ( + b) = sin cos b + cos sin b cos ( + b) = cos cos b sin sin b = 1 2 = 1 2 = 1 2 sin(x) cos(bx) dx = (sin( + b)x + sin( b)x) dx cos(x) cos(bx) dx = (cos( b)x + cos( + b)x) dx sin(x) sin(bx) dx = (cos( b)x cos( + b)x) dx (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 34 / 210
35 ΑΝΑΔΡΟΜΙΚΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΜΕ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (1) Αναδρομικές σχέσεις cos 2m x dx = cos2m 1 x sin x 2m + 2m 1 2m cos 2m 2 x dx C m (x) = cos 2m x dx, C 0 (x) = x, C m (x) = cos2m 1 x sin x 2m + 2m 1 2m C m 1 (x) cos 2m x dx = 1 2 2m ( e cos n i x + e i x x = 2 ( (2m ) m 1 x + m cos 2n+1 x dx = k=0 ) n ( 2m k n ( ) n sin ( 1) k 2k+1 x k 2k + 1 k=0 ) ) sin(2(m k)x) m k (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 35 / 210
36 ΑΝΑΔΡΟΜΙΚΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΜΕ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (2) C m (x) = cos 2m x dx, C 0 (x) = x, C m (x) = cos2m 1 x sin x 2m + 2m 1 2m C m 1 (x) ΕΦΑΡΜΟΓΗ: Ολοκληρώματα απλών κλασμάτων dx D n = (x 2 + b 2 ) n D n = 1 (x=b tn t) b 2n 1 cos 2(n 1) t dt ( C n 1 rctn x ) D n = b ( cos rctn x ) = b b 2n 1 b ( x 2 + b, sin rctn x 2 b ) = x x 2 + b 2 (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 36 / 210
37 ΑΝΑΔΡΟΜΙΚΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΜΕ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (3) F m (x) = cosh 2m x dx, F 0 (x) = x, F m (x) = cosh2m 1 x sinh x 2m + 2m 1 2m C m 1 (x) ΕΦΑΡΜΟΓΗ: Ολοκληρώματα απλών κλασμάτων, b > x dx G n = (b 2 x 2 ) n G n = 1 (x=b tnh t) b 2n 1 cosh 2(n 1) t dt ( F n 1 rctnh x ) G n = b ( cosh rctnh x ) = b b 2n 1 b ( b 2 x, sin rchtnh x 2 b ) = x b 2 x 2 (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 37 / 210
38 ΑΝΑΔΡΟΜΙΚΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΜΕ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (4) L m (x) = sinh 2m x dx, L 0 (x) = x, L m (x) = sinh2m 1 x cosh x 2m 2m 1 2m L m 1 (x) ΕΦΑΡΜΟΓΗ: Ολοκληρώματα απλών κλασμάτων, b < x dx M n = (x 2 b 2 ) n M n = 1 (x=b coth t) b 2n 1 sinh 2(n 1) t dt ( L n 1 rccoth x ) M n = b ( sinh rccoth x ) = b b 2n 1 b ( x 2 b, sin rccoth x 2 b ) = x x 2 b 2 (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 38 / 210
39 ΑΝΑΔΡΟΜΙΚΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΜΕ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (5) sin 2m x dx = sin2m 1 x cos x 2m + 2m 1 2m sin 2(m 1) x dx S m (x) = sin 2m x dx, S 0 (x) = x, S m (x) = sin2m 1 x cos x 2m + 2m 1 2m S m 1 (x) sin n x = sin 2n+1 x dx = ( e i x e i x k=0 2i ) n n ( ) n cos ( 1) k 2k+1 x k 2k + 1 (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 39 / 210
40 ΑΝΑΔΡΟΜΙΚΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΜΕ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (6) 1 cos 2 x = tn2 x sin 2 x = 1 + cot2 x tn n x dx = tnn 1 x n 1 tn n 2 x dx cot n x dx = cotn 1 x n 1 cot n 2 x dx (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 40 / 210
41 ΑΝΑΔΡΟΜΙΚΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΜΕ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (7) sin 2n+1 x dx = n ( ) n cos ( 1) k 2k+1 x k 2k + 1 k=0 dx cos 2(n+1) x dx = dx sin 2(n+1) x dx = n k=0 n k=0 ( ) n tn 2k+1 x k 2k + 1 ( ) n cot 2k+1 x k 2k + 1 (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 41 / 210
42 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΆΠΛΩΝ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ (1) ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΆΠΛΩΝ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ dx x dx (x ) n+1 = 1 2n 2 = 1 rctn x + c + 2n 1 2n 2 x (x ) n + Εναλλακτικός τρόπος υπολογισμού x = tn t dx (x ) n xdx (x 2 ± 2 ) n = ln x 2 ± 2 + c για n = 1 1 2(n 1) 1 (x 2 ± 2 ) n 1 για n > 1 (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 42 / 210
43 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΆΠΛΩΝ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ (2) dx x 2 2 = 1 2 ln dx (x 2 2 ) n+1 = 1 2n 2 2n 1 2n 2 x x + + c x (x 2 2 ) n + dx (x 2 2 ) n Εναλλακτικός τρόπος υπολογισμού x = tnh t dx (x 2 + 2αx + β) n = dx ((x + α) 2 + β α 2 ) n = xdx (x 2 + 2αx + β) n = ((x + α) α) dx ((x + α) 2 + β α 2 ) n (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 43 / 210
44 Ανάλυση πολυωνύμου Κάθε πολυώνυμο αναλύεται σε απλά πολυώνυμα: p Q(x) = A (x ρ k ) m k k=1 q ( x 2 ) nl + 2α l x + β l l=1 ρ k ρίζες, αl 2 < β l p βαθμός (Q(x)) = n = m k + 2 q k=1 l=1 n l (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 44 / 210
45 Ανάλυση ρητής συνάρτησης R(x) = P(x) Q(x) = p 0 + p 1 x + p 2 x p m x m q 0 + q 1 x + q 2 x q n x n Αν βαθμός P(x) < βαθμός Q(x) δηλ. m < n, το R(x) αναλύεται σε απλά κλάσματα R(x) = A 11 x ρ 1 + A 12 (x ρ 1 ) A 1m 1 (x ρ 1 ) m για όλες τις ρίζες + + B 11x+Γ 11 x 2 +2α 1 x+β 1 + B 12x+Γ 12 (x 2 +2α 1 x+β 1 ) B 1n 1 x+γ 1n1 (x 2 +2α 1 x+β 1 ) n για όλα τα τριώνυμα Από την ταυτότητα Q(x)R(x) = P(x) βρίσκουμε τους άγνωστους συντελεστές A ik, B jl, Γ jl. (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 45 / 210
46 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ I = R(cosh x, sinh x) dx cosh x = ex + e x, sinh x = ex e x 2 2 ( e x + e x I = R, ex e x ) e x d (e x ) 2 2 t = e x ( t + 1 t ) 1 t R 2, t 1 t 2 }{{} συνάρτηση του t dt (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 46 / 210
47 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ R(cos 2 x, sin 2 x) dx t = tn x dt = 1 cos 2 x dx, cos2 x = 1 dt, dx = 1 + t2 1 + t 2 ( 1 R R(cos 2 x, sin t x) dx = 2, 1 ) t2 1 + t t 2 dt (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 47 / 210
48 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ R(cos x, sin x) dx t = tn x 2 cos x = 2 cos 2 x cos 2 x 2 1 t2 cos x = 1 + t 2 = 1 + tn 2 x 2 = 1 + t2 sin x = 2 cos x 2 sin x 2 = 2 cos 2 x 2 tn x 2 sin x = 2t 1 + t 2 I = dt = dx 2 cos 2 x 2 dx = 2dt 1 + t 2 ( ) R 1 t 2 2t, 1+t R(cos x, sin x) dx = t t 2 dt (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 48 / 210
49 Ολοκληρώματα (1) Ολοκλήρωμα R (x, n αx + β γx + δ ) dx t n = αx + β γx + δ Ολοκλήρωμα ) αx + β R (x, n γx + δ, m αx + β dx γx + δ t p = αx + β, p = Ε. Κ. Π. (n, m) γx + δ (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 49 / 210
50 Ολοκληρώματα (2) Ολοκλήρωμα R (x, ) 2 x 2 dx x = sin θ R ( sin θ, cos θ) cos θ dθ Ολοκλήρωμα R (x, ) x 2 2 dx x = cosh u R ( cosh u, sinh u) sinh u du Ολοκλήρωμα R (x, ) 2 + x 2 dx x = sinh u ή x = tn θ R ( sinh u, cosh u) cosh u du (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 50 / 210
51 c ln x ρ, n = 1 dx (x ρ) n = 1 (n 1)(x ρ) n 1, n > 1 xdx ln x 2 ± 2 + c n = 1 (x 2 ± 2 ) n = 1 1 2(n 1) n > 1 (x 2 ± 2 ) n 1 R(x) = A11 x ρ 1 + A12 (x ρ 1) A1m 1 (x ρ 1) m για όλες τις ρίζες + + B11x+Γ11 x 2 +2α 1x+β 1 + B12x+Γ (x 2 +2α 1x+β 1) B1n 1 x+γ1n 1 (x 2 +2α 1x+β 1) n για όλα τα τριώνυμα dx 1 (x ) n+1 = cos 2n x=tnt 2n+1 t dt cos 2m x dx, = cos2m 1 x sin x 2m + 2m 1 cos 2(m 1) x dx 2m (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 51 / 210
52 Διαμερίσεις (1) Ορισμός: Διαμέριση Διαμέριση (Prtition) ορισμένη στο διάστημα I = [, b] P = {x 0, x 1, x 2,..., x n }, = x 0 < x 1 <... < x n = b Ορισμός: λεπτότητα διαμέρισης norm (λεπτότητα) διαμέρισης (Prtition norm (mesh)) P = mx { x 1, x 2,..., x n }, x k x k x k 1 Ορισμός: μήκος διαμέρισης διάσταση (μήκος) διαμέρισης (Prt. dimension (length)) d(p) = n d(p) P b (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 52 / 210
53 Διαμερίσεις (2) {P λεπτότερη P} {P P} { P P, d(p ) > d(p)} P* P (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 53 / 210
54 Διαμερίσεις (3) P 1 P2 min ( P 1, P 2 ) d (P 1 P2 ) d(p 1 ) + d(p 2 ) P1 P2 P1 P2 P 1 P2 mx ( P 1, P 2 ) d (P 1 P2 ) min (d(p 1 ), d(p 2 )) (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 54 / 210
55 Φραγμένη Συνάρτηση f (x) φραγμένη συνάρτηση f : [, b] R m f (x) M ή f (x) < B m = inf f (x), M = sup f (x) x b x b (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 55 / 210
56 Κάτω άθροισμα Ορισμός κάτω αθροίσματος κάτω άθροισμα (low sum) της φραγμένης συνάρτησης πάνω σε μια διαμέριση P n L(P, f ) = m k x k k=1 m k = inf {f (x), x k 1 x x k } (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 56 / 210
57 Άνω άθροισμα Ορισμός άνω αθροίσματος άνω άθροισμα (upper sum) της φραγμένης συνάρτησης πάνω σε μια διαμέριση P n U(P, f ) = M k x k k=1 M k = sup {f (x), x k 1 x x k } (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 57 / 210
58 Προτάσεις (Φραγμένη συνάρτηση) f (x) φραγμένη συνάρτηση f : [, b] R m f (x) M ή f (x) < B Πρ. 1 L (P, f ) U (P, f ) Πρ. 2 Λεπτότερη διαμέριση μεγαλύτερο κάτω άθροισμα P P L (P, f ) L (P, f ) L (P, f ) L (P, f ) 2 (d(p ) d(p)) B P Πρ. 3 Λεπτότερη διαμέριση μικρότερο άνω άθροισμα P P U (P, f ) U (P, f ) U (P, f ) U (P, f ) 2 (d(p ) d(p)) B P Πρ. 4 L (P 1, f ) U (P 2, f ) (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 58 / 210
59 Πρόταση 1 (Φραγμένη συνάρτηση) f (x) φραγμένη συνάρτηση f : [, b] R m f (x) M ή f (x) < B Πρ. 1 L (P, f ) U (P, f ) Απόδειξη. Από τον ορισμό n L(P, f ) = m k x k k=1 m k = inf {f (x), x k 1 x x k } και n U(P, f ) = M k x k k=1 M k = sup {f (x), x k 1 x x k } έχουμε ότι: m k M k επομένως L (P, f ) U (P, f ) (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 59 / 210
60 Πρ. 2 Λεπτότερη διαμέριση μεγαλύτερο κάτω άθροισμα P P L (P, f ) L (P, f ) L (P, f ) L (P, f ) 2 (d(p ) d(p)) B P Απόδειξη. Εστω P1 μια διαμέριση που προκύπτει από την P αν προσθέσουμε ένα νέο σημείο y, δηλ. P1 = P {y} P = {x0, x1, x2,..., xi 1, xi,..., xn} d(p) = n = x0 < x1 <... < xi 1 < y < xi }{{} <... < xn = b L(P, f ) = L(P1, f ) = P1 = {x0, x1, x2,..., xi 1, i 1 k=1 Επειδή inf xi 1 x xi επομένως mk xk + i 1 mk xk+ k=1 ( ( + inf f (x) xi 1 x y + n mk xk k=i+1 f (x) inf xi 1 x xi ) inf xi 1 x y L(P1, ( f ) L(P, f ) = = + inf ( f (x) xi 1 x y inf y x xi Επειδή f (x) < B τότε inf f (x) xi 1 x y όμοια οπότε inf xi 1 x xi inf y x xi f (x) f (x) f (x) y νέο στοιχ. f (x) ) (y xi 1) + f (x) και inf inf xi 1 x xi inf xi 1 x xi f (x), xi,..., xn} (xi xi 1) + ( xi 1 x xi f (x) ) ) inf y x xi inf f (x) + xi 1 x y inf xi 1 x xi f (x) f (x) n k=i+1 ) (y xi 1) + (xi y) 0 f (x) < 2B inf xi 1 x xi L(P1, f ) L(P, f ) < 2B (xi xi 1) = 2B P mk xk (xi y) + inf y x xi f (x) f (x) < 2B οπότε επαναλαμβάνοντας το αποτέλεσμα για διαφορές στοιχείων περισσότερο από 1, έτσι αν P2 προκύπτει από την διαμέριση P1 με την προσθήκη ενός νέου στοιχείου, η P3 προκύπτει από την διαμέριση P2 με την προσθήκη ενός νέου στοιχείου κ.ο.κ. θα έχουμε: L(P1, f ) L(P, f ) < 2B P L(P2, f ) L(P1, f ) < 2B P1 2B P L(P3, f ) L(P3, f ) < 2B P2 2B P... L(Pm, f ) L(Pm 1, f ) < 2B Pm 1 2B P αλλά m = d(pm) d(p). Οπότε L(P, f ) L(P, f ) < 2B m P L(Pm, f ) L(P1, f ) < 2mB P m = d(p ) d(p) (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 60 / 210
61 Πρόταση 3 και Πρόταση 4 (Φραγμένη συνάρτηση) Πρ. 3 Λεπτότερη διαμέριση μικρότερο άνω άθροισμα P P U (P, f ) U (P, f ) U (P, f ) U (P, f ) 2 (d(p ) d(p)) B P Η απόδειξη είναι ίδια όπως στην πρόταση 2. Πρ. 4 L (P 1, f ) U (P 2, f ) Απόδειξη. L (P 1, f ) L (P 1 P2, f ) U (P 1 P2, f ) U (P 2, f ) (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 61 / 210
62 Drboux ολοκλήρωμα (1) Κάτω ολοκλήρωμα L(f ) sup P L(P, f ) (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 62 / 210
63 Drboux ολοκλήρωμα (2) Ανω ολοκλήρωμα U(f ) inf P U(P, f ) (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 63 / 210
64 Ολοκλήρωμα Drboux L(f ) u(f ) Ολοκλήρωμα Drboux f (x) Drboux ολοκληρώσιμη L(f ) = U(f ) b L(f ) = U(f ) I D (f ) f (x) dx Κάτω ολοκλήρωμα Ανω ολοκλήρωμα (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 64 / 210
65 Προτάση 5-Λήμμα-Πρόταση 6 Πρ. 5 Αν υπάρχει P n είναι κάποια ακολουθία διαμερίσεων τέτοια ώστε lim L(P n, f ) = n τότε η συνάρτηση f (x) είναι ολοκληρώσιμη Λήμμα lim U(P n, f ) n ɛ > 0 P : U(P, f ) L(P, f ) < U(f ) L(f ) + ɛ Πρ.6 f (x) είναι ολοκληρώσιμη L(f ) = U(f ) ɛ > 0 P : U(P, f ) L(P, f ) < ɛ (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 65 / 210
66 Πρόταση 7 Θεώρημα Drboux Πρ.7 Θεώρημα Drboux f (x) είναι ολοκληρώσιμη L(f ) = U(f ) ɛ > 0 δ > 0 : P < δ U(P, f ) L(P, f ) < ɛ (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 66 / 210
67 Απόδειξη Πρότασης 5 Πρ. 5 Αν υπάρχει P n είναι κάποια ακολουθία διαμερίσεων τέτοια ώστε lim L(P n, f ) = n τότε η συνάρτηση f (x) είναι ολοκληρώσιμη lim U(P n, f ) n Απόδειξη. Εχουμε ότι L(P n, f ) L(f ) U(f ) U(P n, f ) lim L(P n, f ) L(f ) U(f ) lim U(P n, f ) n n (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 67 / 210
68 Απόδειξη Λήμματος Λήμμα ɛ > 0 P : U(P, f ) L(P, f ) < U(f ) L(f ) + ɛ Απόδειξη. Επειδή L(f ) = sup P L(P, f ) ɛ > 0 P 1 : L(P 1, f ) > L(f ) ɛ/2 U(f ) = inf P U(P, f ) ɛ > 0 P 2 : U(P 2, f ) < U(f ) + ɛ/2 και για P = P 1 P2 L(P, f ) L(P 1, f ) > L(f ) ɛ/2 U(P, f ) U(P 2, f ) > U(f )+ɛ/2 άρα U(P, f ) L(P, f ) < U(f ) L(f ) + ɛ (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 68 / 210
69 Απόδειξη Πρότασης 6 Πρ.6 f (x) είναι ολοκληρώσιμη L(f ) = U(f ) ɛ > 0 P : U(P, f ) L(P, f ) < ɛ Απόδειξη. Αν L(f ) = U(f ) τότε από το παραπάνω λήμμα έχουμε ότι: ɛ > 0 P : U(P, f ) L(P, f ) < ɛ Εστω τώρα ότι η παραπάνω σχέση αληθεύει τότε έχουμε επίσης ότι: L(P, f ) L(f ) U(f ) U(P, f ) U(f ) L(F ) U(P, f ) L(P, f ) < ɛ Αρα ɛ > 0 U(f ) L(F ) < ɛ οπότε L(f ) = U(f ). (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 69 / 210
70 Απόδειξη Θεωρήματος Drboux Πρ.7 Θεώρημα Drboux f (x) είναι ολοκληρώσιμη L(f ) = U(f ) ɛ > 0 δ > 0 : P < δ U(P, f ) L(P, f ) < ɛ Απόδειξη. Αν ɛ > 0 δ > 0 : P < δ U(P, f ) L(P, f ) < ɛ τότε ικανοποιούνται οι συνθήκες της πρότασης 6, επειδή ɛ > 0 P : U(P, f ) L(P, f ) < ɛ L(f ) = U(f ) Εστω τώρα L(f ) = U(f ) τότε σύμφωνα με την πρόταση 6 ɛ > 0 P0 : U(P0, f ) L(P0, f ) < ɛ/2 Από την διαμέριση P0 ορίζουμε ɛ δ = 8d(P0)B f (x) < B Εστω μια διαμέριση P, P < δ. Ορίζουμε Q = P P0 d(q) d(p) d(p0) Από την πρόταση 2 L(Q, f ) L(P, f ) 2 (d(q) d(p)) B P 2d(P0)B P < 2d(P0)Bδ = ɛ 4 από την πρόταση 2 έχουμε L(P0, f ) L(P, f ) L(Q, f ) L(P, f ) < ɛ 4 όμοια αποδεικνύουμε ότι: U(P, f ) U(P0, f ) < ɛ 4 επομένως U(P, f ) L(P, f ) = = U(P, f ) U(P0, f ) + U(P0, f ) L(P0, f ) + L(P0, f ) L(P, f ) < ɛ }{{}}{{}}{{} <ɛ/4 <ɛ/2 <ɛ/4 (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 70 / 210
71 Πρόταση 8 Πρ. 8 f (x) μονότονη και φραγμένη στο [, b] f (x) (Drboux)-ολοκληρώσιμη Απόδειξη. Εστω f (x) αύξουσα και P = {x 0, x 1,..., x n } μιά διαμέριση και x k P Αν x k 1 x x k τότε m k = inf {f (x), x [x k 1, x k ]} = f (x k 1 ) και M k = sup {f (x), x [x k 1, x k ]} = f (x k ) οπότε U(P, f ) L(P, f ) = P n (M k m k ) x k k=1 n (M k m k ) = P (f (b) f ()) k=1 ɛ Για κάθε ɛ > 0 υπάρχει μια διαμέριση με P < f (b) f () οπότε U(P, f ) L(P, f ) < ɛ. Από την Πρ. 6 συνεπάγεται ότι υπάρχει το ολοκλήρωμα Drboux. (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 71 / 210
72 Πρόταση 9 Πρ. 9 f (x) συνεχής στο [, b] f (x) ομοιόμορφα συνεχής στο [, b] f (x) (Drboux)-ολοκληρώσιμη Απόδειξη. f (x) ομοιόμορφα συνεχής ɛ > 0, δ(ɛ) : x y < δ(ɛ) f (x) f (y) < ɛ b Διαλέγουμε μια διαμέριση με P < δ(ɛ). Επειδή η συνάρτηση είναι (ομοιόμορφα) συνεχής στο διάστημα [x k 1, x k ] θα έχουμε M k = sup {f (x), x [x k 1, x k ]} = f (ξ k ) m k = inf {f (x), x [x k 1, x k ]} = f (η k ) με ξ k, η k [x k 1, x k ] οπότε M k m k = f (ξ k ) f (η k ) < ɛ b και U(P, f ) L(P, f ) = n (M k m k ) x k < k=1 ɛ n x k = ɛ b k=1 Από την Πρ. 6 συνεπάγεται ότι υπάρχει το ολοκλήρωμα Drboux. (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 72 / 210
73 Πρόταση 8 και Πρόταση 9 Πρ. 8 f (x) μονότονη και φραγμένη στο [, b] f (x) (Drboux)-ολοκληρώσιμη Πρ. 9 f (x) συνεχής στο [, b] f (x) ομοιόμορφα συνεχής στο [, b] f (x) (Drboux)-ολοκληρώσιμη (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 73 / 210
74 Ολοκλήρωμα Riemnn διαμέριση P = {x 0, x 1, x 2,..., x n, } επιλογή σημείων T = {ξ 1, ξ 2,..., ξ n, } όπου x k 1 ξ k x k άθροισμα Riemnn n S (P, T, f ) = f (ξ k ) x k k=1 c1 c2 c3 cn x0= x1 x2 x3... xn 1 xn=b Figure 7.1: (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 74 / 210
75 Ορισμός Ολοκληρώματος Riemnn Ορισμός: Ολοκλήρωμα Riemnn ολοκλήρωμα Riemnn lim S (P, T, f ) = I R(f ) P 0 ɛ > 0 δ(ɛ) > O : P < δ και T επιλογή σημείων S (P, T, f ) I R (f ) < ɛ Αν υπάρχει το ολοκλήρωμα Riemnn τότε είναι μοναδικό (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 75 / 210
76 Πρόταση 10 και Πρόταση 11 Πρ. 10 ολοκλήρωμα Riemnn I R (f ) = I D (f ) ολοκλήρωμα Drboux Πρ. 11 (Θεώρημα Drboux) ξ k,n [ + k 1 n (b ), + k ] (b ) n b f (x) dx = lim n b n n f (ξ k,n ) k=1 (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 76 / 210
77 Παράδειγμα Παράδειγμα lim n n k=1 1 n + k = lim n 1 n n k= k n = dx = ln x (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 77 / 210
78 Πρόταση 12 Ιδιότητες ολοκληρωμάτων (1) Γραμμικότητα b (c 1 f (x) + c 2 g(x)) dx = c 1 b f (x) dx + c 2 b g(x) dx Θετικότητα f 1 (x) f 2 (x) b f 1 (x) dx b f 2 (x) dx Τριγωνική ιδιότητα b f (x) dx b f (x) dx (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 78 / 210
79 Πρόταση 12 Ιδιότητες ολοκληρωμάτων (2) Χωρισμός διαστήματος c [, b] b f (x) dx = c f (x) dx + b f (x) dx c Επεκτάσεις ολοκληρώματος b f (x) dx ορ b f (x) dx f (x) dx ορ 0 (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 79 / 210
80 Ανισότητες Βασική Ανισότητα b m f (x) M m (b ) Ανισότητα Cuchy-Schwrtz b f (x)g(x) dx Ανισότητα Minkowski b (f (x) + g(x)) 2 dx b b f 2 (x) dx f 2 (x) dx + f (x) dx M (b ) b b g 2 (x) dx g 2 (x) dx (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 80 / 210
81 Λήμμα Λήμμα Αν η συνάρτηση f (x) είναι φραγμένη σε ένα διάστημα I = [c, d] m = inf {f (x), x I } M = sup {f (x), x I } u I v I f (u) f (v) M m και sup { f (u) f (v), u I, v I } = M m (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 81 / 210
82 Προτάσεις 13,14,15,16 Πρ. 13 Πρ. 14 Πρ. 15 Πρ. 16 Αν f (x) ολοκληρώσιμη στο [, b] Η f (x) ολοκληρώσιμη στο [, b] Αν f (x) και g(x) ολοκληρώσιμες στο [, b] Η f (x) g(x) ολοκληρώσιμη στο [, b] Αν f (x) ολοκληρώσιμη στο [, b] και inf { f (x), x [, b]} > 0 Η 1 ολοκληρώσιμη στο [, b] f (x) Αν f (x) ολοκληρώσιμη στο [, b] g(x) συνεχής στο f ([, b]) Η h(x) = g (f (x)) ολοκληρώσιμη στο [, b] (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 82 / 210
83 Απόδειξη Βασικής Ανισότητας Βασική Ανισότητα m f (x) M m (b ) b f (x) dx M (b ) Απόδειξη. Από την Πρ. 12 ( Θετικότηττα ) αποδεικνύεται η βασική ανισότητα ολοκληρώνοντας στο διάστημα [, b] (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 83 / 210
84 Απόδειξη Ανισότητας Cuchy-Schwrtz Ανισότητα Cuchy-Schwrtz b f (x)g(x) dx Απόδειξη. Γιά κάθε λ R b f 2 (x) dx b g 2 (x) dx 0 (λf (x) + g(x)) 2 = λ 2 f 2 (x) + 2λf (x)g(x) + g 2 (x) 0 λ 2 b b b f 2 (x) dx + 2λ f (x)g(x) dx + g 2 (x) dx ( ) ( ) ( ) b b b λ f (x)g(x) dx f 2 (x) dx g 2 (x) dx 0 (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 84 / 210
85 Απόδειξη Ανισότητας Minkowski Ανισότητα Minkowski b (f (x) + g(x)) 2 dx Απόδειξη. b f 2 (x) dx b + g 2 (x) dx b (f (x) + g(x)) 2 dx = b b b = f 2 (x) dx + 2 f (x)g(x) dx + g 2 (x) dx b f 2 b (x) dx + 2 b f (x)g(x) dx + g 2 (x) dx }{{} Ανισότητα Cuchy-Schwrtz ( ) ( ) b b b b f 2 (x) dx + 2 f 2 (x) dx g 2 (x) dx + g 2 (x) dx = ( ) b ( dx) 2 b = f 2 (x) dx + g 2 (x) (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 85 / 210
86 Απόδειξη Λήμματος Λήμμα Αν η συνάρτηση f (x) είναι φραγμένη σε ένα διάστημα I = [c, d] m = inf {f (x), x I } M = sup {f (x), x I } u I v I f (u) f (v) M m και sup { f (u) f (v), u I, v I } = M m Απόδειξη. u f (u) M v f (v) m f (u) f (v) M m και f (v) f (u) M m f (u) f (v) M m M = sup {f (x), x I } ɛ > 0 u : M ɛ 2 < f (u) M m = inf {f (x), x I } ɛ > 0 v : m f (v) < m+ ɛ 2 m ɛ < f (v) m 2 ɛ > 0 u, v M m ɛ < f (u) f (v) f (u) f (v) Οπότε sup { f (u) f (v), u I, v I } = M m (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 86 / 210
87 Απόδειξη Πρότασης 13 Πρ. 13 Αν f (x) ολοκληρώσιμη στο [, b] Η f (x) ολοκληρώσιμη στο [, b] Απόδειξη. Εστω P = { = x 0, x 1, x 2,..., x n = b}, Mk = sup { f (x), x I k} και = inf { f (x), x I k}, I k = [x k 1, x k ] τότε m k ( f (u) f (v) ) f (u) f (v) k=1 }{{} Mk m k M k m k Λήμμα n n U (P, f ) L (P, f ) = (M k m k ) x k και U (P, f ) L (P, f ) = (Mk m k ) x k Από την Πρ.6 έχουμε U (P, f ) L (P, f ) U (P, f ) L (P, f ) f ολοκληρώσιμη ɛ > 0 P : U (P, f ) L (P, f ) < ɛ ɛ > 0 P : U (P, f ) L (P, f ) U (P, f ) L (P, f ) < ɛ f ολοκληρώσιμη k=1 (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 87 / 210
88 Απόδειξη Πρότασης 14 Πρ. 14 Αν f (x) και g(x) ολοκληρώσιμες στο [, b] Η f (x) g(x) ολοκληρώσιμη στο [, b] Απόδειξη. Αν f (x) < Bf και g(x) < Bg τότε αν x [xk 1, xk] και y [xk 1, xk]. Εστω P = { = x0, x1, x2,..., xn = b}, (f (x)g(x) f (y)g(y)) f (x) (g(x) g(y)) + (f (x) f (y)) g(y) Bf g(x) g(y) +Bg f (x) f (y) ( }{{} (f (x)g(x) f (y)g(y)) Bf M g k ) ( ) mg k + Bg Mk f mf k Λήμμα όπου άρα Mk f = sup{f (x), xk 1 x xk}, Mg mk f = inf{f (x), xk 1 x xk}, mg k = sup{g(x), xk 1 x xk} k = inf{g(x), xk 1 x xk} M fg k mfg k = sup { (f (x)g(x) f (y)g(y)), x, y [xk 1, xk]} f ολοκληρώσιμη ɛ > 0 P1 : U (P1, f ) L (P1, f ) < ɛ Bg g ολοκληρώσιμη ɛ > 0 P2 : U (P2, f ) L (P2, f ) < ɛ ɛ > 0 P = P1 P2 : U (P, f ) L (P, f ) U (P1, f ) L (P1, f ) < ɛ }{{} Bg Πρ.2 και 3 U (P, g) L (P, g) U (P2, g) L (P2, g) < ɛ }{{} Bf Πρ.2 και 3 ɛ > 0 P : U (P, fg) L (P, fg) < ɛ fg ολοκληρώσιμη Bf (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 88 / 210
89 Απόδειξη Πρότασης 15 Πρ. 15 Αν f (x) ολοκληρώσιμη στο [, b] και inf { f (x), x [, b]} > 0 Η 1 ολοκληρώσιμη στο [, b] f (x) Απόδειξη. 0 < γ = inf { f (u), u [, b]} 0 < 1 f (x) 1 γ 1 f (x) 1 f (y) = 1 f (x)f (y) f (x) f (y) 1 f (x) f (y) γ2 M 1/f k m 1/f k 1 ) (M f γ 2 k mf k κλπ κλπ όπως στις προηγούμενες προτάσεις (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 89 / 210
90 Απόδειξη Πρότασης 16 και Ασκήσεις Πρ. 16 Αν f (x) ολοκληρώσιμη και g(x) συνεχής στο [, b] Η h(x) = g (f (x)) ολοκληρώσιμη στο [, b] (Απόδειξη δυσκολώτερη αλλά στο πνεύμα των προηγουμένων, δεν έγινε στην τάξη) ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1) Αποδείξτε f ολοκληρώσιμη f 2 ολοκληρώσιμη (2) Αποδείξτε f > γ > 0 ολοκληρώσιμη f ολοκληρώσιμη (3) Αποδείξτε f > γ > 0 ολοκληρώσιμη 3 f ολοκληρώσιμη (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 90 / 210
91 Πρόταση 17 (-b) Πρ. 17 Αν f (x) ολοκληρώσιμη στο [, b] και F (x) συνεχής και F (x) = f (x) στο (, b) b f (x) dx = F (b) F () Πρ. 17b Θεώρημα Cuchy Αν f (x) ολοκληρώσιμη στο [, b] και F (x) = x f (t) dt x [, b] F (x) συνεχής στο [, b] (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 91 / 210
92 Πρόταση 17 (c-d) Πρ. 17c Αν f (x) ολοκληρώσιμη στο [, b] και f (x) συνεχής από αριστερά ή από δεξιά στο x 0 [, b] και F (x) = x f (t) dt x [, b] F (x 0 ) = lim f (x 0 + ɛ) ɛ > 0 ɛ 0 ή F +(x 0 ) = lim f (x 0 ɛ) στο [, b] ɛ 0 Πρ. 17d Θεμελιώδες Θεώρημα Απειροστικού Λογισμού Αν f (x) συνεχής στο [, b] τότε G(x) G() = x f (t) dt G (x) = f (x) x [, b] (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 92 / 210
93 Πρόταση 18-Πρόταση 19-Πόρισμα Πρ. 18 Αν f (x) και g (x) ολοκληρώσιμες στο [, b] b f (x) g (x) dx + b f (x) g(x) dx = f (x) g(x)] b Πρ. 19 Αν f (x) συνεχής και g(x) διαφορίσιμη στο [, b] g(x) d f (t) dt = f (g(x)) g (x) dx Πόρισμα d dx g(x) h(x) f (t) dt = f (g(x)) g (x) f (h(x)) h (x) (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 93 / 210
94 ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ (1) Πρ. 20 Αν f (x) φραγμένη στο [, b] m f (x) M και g(x) ολοκληρώσιμη με σταθερό πρόσημο και f (x)g(x) ολοκληρώσιμη µ [m, M] b b f (x)g(x) dx = µ g(x) dx Πρ. 20b: Πρώτο Θεωρημα Μέσης Τιμής Αν f (x) συνεχής στο [, b] και g(x) ολοκληρώσιμη με σταθερό πρόσημο f (x)g(x) ολοκληρώσιμη b b ξ [, b] f (x)g(x) dx = f (ξ) g(x) dx Πόρισμα Αν f (x) συνεχής στο [, b] ξ [, b] b f (x) dx = f (ξ) (b ) (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 94 / 210
95 ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ (2) Πρ. 20c Αν f (x) μονότονη και g(x) ολοκληρώσιμη με σταθερό πρόσημο b ξ [, b] f (x)g(x) dx = f () g(x) dx + f (b) g(x) dx ξ ξ b Πρ. 20c : Δεύτερο Θεωρημα Μέσης Τιμής ξ [, b] Αν f (x) μονότονη συνεχήςκαι f (x) και g(x) συνεχής b f (x)g(x) dx = f () ξ g(x) dx + f (b) b ξ g(x) dx (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 95 / 210
96 ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ (3) Πρ. 20 Αν f (x) φραγμένη στο [, b] m f (x) M και g(x) ολοκληρώσιμη με σταθερό πρόσημο και f (x)g(x) ολοκληρώσιμη Απόδειξη. b b µ [m, M] f (x)g(x) dx = µ g(x) dx Εστω g(x) 0 m f (x) M mg(x) f (x)g(x) Mg(x) b b (Σημ: αν g(x) dx = 0 f (x)g(x) dx = 0) b Εστω g(x) dx 0 τότε b f (x)g(x) dx m = µ M b g(x) dx (Αν g(x) 0 g(x) 0 και εργαζόμαστε όπως προηγούμενα) (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 96 / 210
97 ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ (4) Πρ. 20b: Πρώτο Θεωρημα Μέσης Τιμής Αν f (x) συνεχής στο [, b] και g(x) ολοκληρώσιμη με σταθερό πρόσημο Απόδειξη. ξ [, b] b Αφού η f (x) είναι συνεχής, αν f (x)g(x) dx = f (ξ) f (x)g(x) ολοκληρώσιμη b g(x) dx m = inf f (x), M = sup f (x), γιαx [, b] τότε ξ : f (ξ) = µ όπου µ ορίστηκε στην προηγούμενη πρόταση. (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 97 / 210
98 ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ (5) Πόρισμα Αν f (x) συνεχής στο [, b] ξ [, b] b f (x) dx = f (ξ) (b ) Απόδειξη. θέτουμε g(x) = 1 στην προηγούμενη πρόταση. (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 98 / 210
99 ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ (6) Πρ. 20c Αν f (x) μονότονη και g(x) ολοκληρώσιμη με σταθερό πρόσημο b ξ b ξ [, b] f (x)g(x) dx = f () g(x) dx + f (b) g(x) dx Απόδειξη. Υποθέτουμε f (x) αύξουσα και g(x) ολοκληρώσιμη με σταθερό θετικό πρόσημο b F () = b F (z) = b F (b) = z f (x)g(x) dx f () b f (x)g(x) dx f (b) b f (x)g(x) dx f () g(x) dx = g(x) dx = b g(x) dx f (b) επειδή F (z) συνεχής F ()F (b) 0 ξ : F (ξ) = 0. b b z ξ g(x) dx (f (x) f (b))g(x) dx 0 (f (x) f ())g(x) dx 0 (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 99 / 210
100 ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ (7) Πρ. 20c : Δεύτερο Θεωρημα Μέσης Τιμής Αν f (x) μονότονη συνεχήςκαι f (x) και g(x) συνεχής b ξ b ξ [, b] f (x)g(x) dx = f () g(x) dx + f (b) g(x) dx Απόδειξη. Θεωρούμε f (x) 0. ( b b x ) f (x)g(x) dx = f (x) d g(t)dt = ( ) b ( b x ) = f (b) g(t)dt f (x) g(t)dt dx ( x ) g(t)dt συνεχής f (x) ολοκληρώσιμη ) και διατηρεί πρόσιμο ( ( ) ( b b ξ b f (x)g(x) dx = f (b) g(t)dt g(t)dt ( ) ( ) b ξ = f (b) g(t)dt g(t)dt (f (b) f ()) = ( ) b ξ ξ = f (b) g(t)dt g(t)dt + f () g(t)dt = ξ b = f () g(t)dt + f (b) g(t)dt ξ ξ f (x)dx ) = (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 100 / 210
101 ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Ορισμός f (x) τοπικά ολοκληρώσιμη στο (, b) αν για κάθε κλειστό [c, d] (, b) η f (x) είναι ολοκληρώσιμη. πχ f (x) = e x είναι τοπικά ολοκληρώσιμη στο R f (x) = 1 x(1 x) είναι τοπικά ολοκληρώσιμη στο (0, 1) Ορισμός Το γενικευμένο ολοκλήρωμα για μια τοπικά ολκληρώσιμη συνάρτηση f (x) υπάρχει αν μπορούμε να βρούμε τα όρια για κάθε u (,, b) b f (x) dx ορ u lim c c d f (x) dx + lim d b u f (x) dx (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 101 / 210
102 ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Α και Β ΕΙΔΟΥΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Α ΕΙΔΟΥΣ = ή (και) b = f (x) = e x είναι τοπικά ολοκληρώσιμη στο [0, ) d 0 e x dx = lim d 0 ( e x dx = lim 1 e d) = 1 d ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Β ΕΙΔΟΥΣ στο ένα ή και στα δύο όρια της ολοκλήρωσης η συνάρτηση δεν ορίζεται. 1 f (x) = είναι τοπικά ολοκληρώσιμη στο (0, 1) x(1 x) 1 0 dx 1 = x(1 x) 0 dx 1 4 ( x 1 2 ) 2 x 1 2 = 1 2 sin t {}}{ = = π/2 π/2 1 2 cos t dt = π cos t 1 2 (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 102 / 210
103 ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΥΠΑΡΞΗΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ Α ΕΙΔΟΥΣ Θεωρούμε ολοκληρώματα του είδους: f (x) τοπικά ολοκληρώριμη, F (u) = u ΚΡΙΤΗΡΙΟ Cuchy f (x) dx και lim u F (u) f (x) dx Υπάρχει το γενικευμένο ολοκλήρωμα η συνάρτηση F (u) ικανοποιεί μια συνθήκη Cuchy για u x 2 ɛ R > 0 : x 2 > x 1 > R F (x 2 ) F (x 1 ) = f (x) dx < ɛ Παράδειγμα: Το ολοκλήρωμα 0 sin x x dx υπάρχει. x 1 (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 103 / 210
104 Παράδειγμα 1 ( Υπαρξη Ολοκληρώματος) Παράδειγμα Το ολοκλήρωμα Απόδειξη. x 2 x 1 x 2 x 1 sin x x sin x x 0 sin x x dx = x 2 x 1 dx x 1 x 2 dx υπάρχει. d cos x x x 2 x 1 ɛ R = 2 ɛ : x 2 > x 1 > R = cos x 1 x 1 cos x 2 x 2 + x 2 x 1 cos x x 2 dx cos x x 2 dx x x 1 x 2 x 2 dx 2 x 1 x 2 x 1 sin x x x 1 dx 2 < ɛ x 1 (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 104 / 210
105 Απόλυτη και Απλή σύγκλιση Απόλυτη σύγκλιση Απλή σύγκλιση f (x) dx f (x) dx ΠΡΟΣΟΧΗ Μπορεί να υπάρχει σύγκλιση αλλά όχι απόλυτη σύγκλιση πχ. το 0 sin x x sin 2 x x dx υπάρχει αλλά δεν υπάρχει το dx = cos 2x x dx = 1 2 sin x x 0 dx x }{{} dx 1 2 sin x x dx sin 2 x x dx cos 2x dx x } {{ } (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 105 / 210
106 Συνάρτηση Ολοκληρώσιμη στο Άπειρο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΝΟΝΤΑΙ ΣΤΟ Θα λέμε ότι η συνάρτηση f (x) είναι ολοκληρώσιμη στο αν f (x) dx για κάποιο > 0 f (x) < Cx p e x για μεγάλα x Η f (x) είναι ολοκληρώσιμη πχ η x 2 sin xe x είναι ολοκληρώσιμη στο f (x) < C x q, q > 1 για μεγάλα x Η f (x) είναι ολοκληρώσιμη πχ η sin x5 x 3/2 είναι ολοκληρώσιμη στο (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 106 / 210
107 Απόδειξη σύγκλισης (1) Απόλυτη σύγκλιση Απλή σύγκλιση f (x) dx f (x) dx Απόδειξη. f (x) dx x2 ɛ R > 0 : x 2 > x 1 > R f (x) dx < ɛ x1 x2 f (x) dx x2 f (x) dx x1 x1 x2 ɛ R > 0 : x 2 > x 1 > R f (x) dx < ɛ x1 f (x) dx (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 107 / 210
108 Απόδειξη σύγκλισης (2) ΠΡΟΣΟΧΗ Μπορεί να υπάρχει σύγκλιση αλλά όχι απόλυτη σύγκλιση πχ. το 0 sin x x dx υπάρχει αλλά δεν υπάρχει το 0 sin x x dx sin x x dx sin 2 x x dx = cos 2x x dx = 1 dx 1 2 x 2 }{{}} cos 2x x {{ dx (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 108 / 210
109 Απόδειξη Κριτήριο Σύγκρισης Κριτήριο σύγκρισης 0 f (x) g(x) για x > g(x) dx f (x) dx f (x) dx g(x) dx Απόδειξη. Η απόδειξη στηρίζεται στην σύγκλιση Cuchy και στο γεγονός ότι x 2 0 x 2 f (x) dx g(x) dx x 1 x 1 πχ το ολοκλήρωμα το 0 1 x+1dx δεν υπάρχει dx δεν υπάρχει γιατί (1+x 3 ) 1/3 x+1 1 και (1+x 3 ) 1/3 (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 109 / 210
110 Απόδειξη ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΝΟΝΤΑΙ ΣΤΟ Θα λέμε ότι η συνάρτηση f (x) είναι ολοκληρώσιμη στο αν f (x) dx για κάποιο > 0 f (x) < Cx p e x για μεγάλα x Απόδειξη. Αν p 0 τότε για x > > 1 x p e x < p e x }{{} ολοκληρώσιμη στο [, ) οπότε f (x) dx C p e x dx Αν p > 0 τότε η συνάρτηση g(x) = x p e x/2 έχει μέγιστο για x = 2p οπότε f (x) < (2p) p e p e x/2 }{{} ολοκληρώσιμη στο [, ) (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 110 / 210
111 Παραδείγματα συναρτήσεων ολοκληρώσιμων στο άπειρο πχ η x 2 sin xe x είναι ολοκληρώσιμη στο f (x) < C x q, q > 1 για μεγάλα x Απόδειξη. Η συνάρτηση C x q είναι ολοκληρώσιμη στο [1, ) 1 dx x q = 1 q 1 πχ η sin x5 x 3/2 είναι ολοκληρώσιμη στο (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 111 / 210
112 Οριακό κριτήριο σύγκλισης Οριακό κριτήριο σύγκλισης 1 0 < l < 2 l = 0 3 l = 0 f (x) και 0 < g(x) για x > f (x) lim x g(x) = l 0 g(x) dx g(x) dx g(x) dx = f (x) dx f (x) dx f (x) dx = (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 112 / 210
113 Απόδειξη Οριακού κριτηρίου σύγκλισης x α πχ Αν 0 < α < 2β 1 τότε 1 (1 + x 2 ) β dx Απόδειξη. 1 Για μεγάλα x > R έχουμε l 2 < f (x) g(x) < 3l 2 επομένως l g(x) < f (x) 2 f (x) < 3l g(x) 2 f (x) dx g(x) dx R g(x) dx f (x) dx 2 Για μεγάλα x > R έχουμε f (x) g(x) < 1 2 επομένως R f (x) < 1 2 g(x) R g(x) dx f (x) dx 3 Για μεγάλα x > R έχουμε 1 < f (x) g(x) επομένως g(x) < f (x) g(x) dx = ; f (x) dx = R R R R R (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 113 / 210
114 Ολοκληρωτικό κριτήριο Cuchy Ολοκληρωτικό κριτήριο Cuchy Αν f (x) > 0 συνεχής και φθίνουσα στο [m, ) τότε πχ. Η k=1 1 k s m f (x) dx k m f (k) < συγκλίνει για s > 1 γιατί το ολοκλήρωμα 1 1 x s dx υπάρχει. (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 114 / 210
115 Απόδειξη Ολοκληρωτικού κριτηρίου Cuchy Ολοκληρωτικό κριτήριο Cuchy Αν f (x) > 0 συνεχής και φθίνουσα στο [m, ) τότε f (x) dx m f (k) < k m Απόδειξη. f (x) > 0 συνεχής και φθίνουσα k < x < k + 1 f (k }{{ + 1 } ) f (x) f (k) =l l=p+1 l=q+1 f (l) p q k=p f (x) dx f (k) k=q Οπότε αν S n = k=n αντίστροφα. k=m x f (k) Cuchy τότε F (x) = m f (t) dt Cuchy και (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 115 / 210
116 ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Β ΕΙΔΟΥΣ Ορισμός f (x) τοπικά ολοκληρώσιμη στο (, b) αν για κάθε κλειστό [c, d] (, b) η f (x) είναι ολοκληρώσιμη. 1 πχ f (x) = είναι τοπικά ολοκληρώσιμη στο (0, 1) x(1 x) Ορισμός Το γενικευμένο ολοκλήρωμα για μια τοπικά ολκληρώσιμη συνάρτηση f (x) υπάρχει αν μπορούμε να βρούμε τα όρια για κάθε u (, b) b f (x) dx ορ lim u c c f (x) dx + lim d d b u f (x) dx ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Β ΕΙΔΟΥΣ στο ένα όριο της ολοκλήρωσης Εστω ότι η συνάρτηση f (x) συνάρτηση δεν ορίζεται στο b αλλά είναι τοπικά ολοκληρώσιμη στο [, b) u F (u) = f (x)dx και u f (x)dx = lim u b F (u) (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 116 / 210
117 ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΥΠΑΡΞΗΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ Β ΕΙΔΟΥΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Β ΕΙΔΟΥΣ στο ένα όριο της ολοκλήρωσης Εστω ότι η συνάρτηση f (x) συνάρτηση δεν ορίζεται στο b αλλά είναι τοπικά ολοκληρώσιμη στο [, b) F (u) = ΚΡΙΤΗΡΙΟ Cuchy u f (x)dx και u f (x)dx = lim u b F (u) Υπάρχει το γενικευμένο ολοκλήρωμα η συνάρτηση F (u) ικανοποιεί μια συνθήκη Cuchy για u [ b] ɛ δ(ɛ) > 0 : x 2 x 1 < δ(ɛ) F (x 2 ) F (x 1 ) = x 2 x 1 f (x) dx < ɛ Απόλυτη σύγκλιση σύγκλιση b b f (x) dx f (x) dx ΠΡΟΣΟΧΗ Μπορεί να υπάρχει σύγκλιση αλλά όχι απόλυτη σύγκλιση. (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 117 / 210
118 Κριτήριο σύγκρισης Κριτήριο σύγκρισης 0 f (x) g(x) για x > b b g(x) dx f (x) dx b b f (x) dx g(x) dx f (x) < C (x ) και 0 p < 1 για b x f (x) ολοκληρώσιμη p Οριακό κριτήριο σύγκλισης 1 0 < l < 2 l = 0 0 f (x) και 0 < g(x) για x > b b f (x) lim x g(x) = l 0 g(x) dx g(x) dx b b f (x) dx f (x) dx (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 118 / 210
119 Απόδειξη Απόλυτη σύγκλιση-σύγκλιση Απόλυτη σύγκλιση σύγκλιση Αποδ.: b b f (x) dx b f (x) dx f (x) dx ɛ δ > 0 : x 2 b < δ και x 1 b < δ; x2 x1 f (x) dx x2 x1 f (x) dx ɛ δ > 0 : x 2 b < δ και x 1 b < δ; b f (x) dx x2 x1 x2 x1 f (x) dx < ɛ f (x) dx < ɛ (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 119 / 210
120 Απόδειξη Κριτήριο σύγκρισης Κριτήριο σύγκρισης 0 f (x) g(x) για x > b b g(x) dx b b f (x) dx f (x) dx g(x) dx Αποδ.: Η απόδειξη στηρίζεται στην σύγκλιση Cuchy και στο γεγονός ότι x 2 x 2 0 f (x) dx g(x) dx x 1 x 1 (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 120 / 210
121 Παράδειγμα (Κριτήριο Σύγκρισης) πχ το ολοκλήρωμα 1 x < 1 sin x και το dx x dx sin x δεν υπάρχει γιατί sin x < x για 0 < x < 1 και δεν υπάρχει. (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 121 / 210
122 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΝΟΝΤΑΙ ΣΤΟ α (1) ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΝΟΝΤΑΙ ΣΤΟ Θα λέμε ότι η συνάρτηση f (x) είναι ολοκληρώσιμη για x > > 0 αν b f (x) dx για κάποιο b > f (x) < C (x ) p και 0 p < 1 για b x f (x) ολοκληρώσιμη Αποδ.: Αν 1 > p 0 τότε για u > F (u) = b u dx (x )1 p = (x ) p 1 p b u = (b )1 p (u ) 1 p 1 p (b ) u 1 p (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 122 / 210
123 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΝΟΝΤΑΙ ΣΤΟ α (2) C (x ) p γιατί 1 p > 0 οπότε η είναι ολοκληρώσιμη στο οπότε b f (x) dx C (b )1 p 1 1 p πχ η sin x είναι ολοκληρώσιμη στο 0. (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 123 / 210
124 Οριακό κριτήριο σύγκλισης (2) Οριακό κριτήριο σύγκλισης 1 0 < l < 2 l = 0 0 f (x) και 0 < g(x) για x > b b f (x) lim x g(x) = l 0 g(x) dx g(x) dx b b f (x) dx f (x) dx (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 124 / 210
125 ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΣΥΓΚΛΙΣΗ Εστω {f n (x), n N} μια ακολουθία συναρτήσεων ορισμένων στο διάστημα I = [, b] (ή (, b] ή [, b) ή (, b) ) ΟΡΙΣΜΟΣ Η ακολουθία συναστήσεων συγκλίνει σημειακά (point-wise convergence) στην συνάρτηση f (x) αν lim f n(x) = f (x) n ɛ N (ɛ, x) : n > N (ɛ, x) f n (x) f (x) < ɛ Παράδειγμα 1 f n (x) = x n, x < 1 τότε lim n f n(x) = 0 = f (x) (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 125 / 210
126 Παράδειγμα 1 (Σύγκλισης) (1) Παράδειγμα 1 f n (x) = x n, x < 1 τότε lim n f n(x) = 0 = f (x) Παρατηρούμε ότι: x n < ɛ 1 ɛ < 1 x n ln ( ) ( ) 1 1 < n ln ɛ x N (ɛ, x) = ln ( ) 1 ( ɛ ) < n ln 1 x (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 126 / 210
127 Παράδειγμα 1 (Σύγκλισης) (2) Παράδειγμα 1 f n (x) = x n, x < 1 τότε lim n f n(x) = 0 = f (x) Οπότε ɛ N (ɛ, x) = ln ( ) 1 ( ɛ ) : n > N (ɛ, x) f n (x) f (x) < ɛ ln 1 x Σημείωση: sup N (ɛ, x) = x I (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 127 / 210
128 Ορισμός Ομοιόμορφης Σύγκλισης ΟΡΙΣΜΟΣ Η ακολουθία συναστήσεων συγκλίνει ομοιόμορφα (uniform congergence) στην συνάρτηση f (x) αν lim f n(x) = f (x), ομοιόμορφα n ɛ x I N (ɛ) : n > N (ɛ) f n (x) f (x) < ɛ Παράδειγμα 2 x f n (x) = 1 + n 2, 0 x τότε lim x 2 f n(x) = 0 = f (x) n (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 128 / 210
129 Παράδειγμα 2 (Σύγκλισης) Παράδειγμα 2 x f n (x) = 1 + n 2, 0 x 0 τότε lim x 2 f n(x) = 0 = f (x) n Παρατηρούμε ότι: f n(x) = 1 n2 x 2 ( ) ( ) 1 1 (1 + n 2 x 2 ) 2 f n = 0 mx f n (x) = f n = 1 n x I n 2n N (ɛ, x) = N (ɛ) = 1 2ɛ ɛ N (ɛ) = 1 2ɛ : n > N (ɛ, x) f n(x) f (x) < ɛ (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 129 / 210
130 Κριτήριο μή ομοιόμορφης σύγκλισης (i) Η ακολουθία συναρτήσεων f n (x) ομοιόμορφα στην συνάρτηση f (x), (ii) η f (x) είναι ομοιόμορφα συνεχής και (iii) x n x. n Τότε f n (x n ) n f (x). Κριτήριο μή ομοιόμορφης σύγκλισης (αʹ) Αν η συνάρτηση f (x) είναι ομοιόμορφα συνεχής (βʹ) x n x 0 n (γʹ) αν f n (x n ) δεν συγκλίνει η ακολουθία {f n (x)} n N δεν συγκλίνει ομοιόμορφα (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 130 / 210
131 Παράδειγμα 3 (Σύγκλισης) Παράδειγμα 3: Οι συναρτήσεις f n (x) = nx(1 x) n ενώ συγκλίνουν σημειακά στο μηδέν για x [0, 1]. Για κάθε x (0, 1) έχουμε f n+1 (x) = n + 1 ( (1 x) = ) (1 x) f n (x) n n Για μεγάλα n θα έχουμε: ( ) ( (1 x) < 1 x ) n 2 οπότε f n+1 (x) f n (x) < ( 1 x ) < 1 2 άρα lim n 0 f n (x) = 0 = f (x) σε κάθε σημείο x. Αλλά η ακολουθία f n (x) δεν συγκλίνει ομοιόμορφα επειδή για x n = 1/n και για μεγάλα n ( ) 1 f n = n ( 1 1 n ) n n e 1 f n ( ) 1 > 1 n 2e f n ( ) 1 f n ( ) 1 > 1 n 2e (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 131 / 210
132 Πρόταση 1 (Ομοιόμορφη Σύγκλιση) Πρόταση 1 lim f n(x) = f (x), ομοιόμορφα n M n = sup f n (x) f (x) 0 x I n (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 132 / 210
133 Παράδειγμα 4 (Σύγκλισης) Παράδειγμα 4: Για κάθε x f n (x) = sin (n x + x) f n (x) 1 n n = M n lim f n(x) = 0, ομοιόμορφα n (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 133 / 210
134 Πρόταση 2 (Κριτήριο Cuchy) Πρόταση 2 (Κριτήριο Cuchy) lim f n(x) = f (x), ομοιόμορφα n ɛ x I N (ɛ) : n > m > N (ɛ) f n (x) f m (x) < ɛ (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 134 / 210
135 Πρόταση 3 (Ομοιόμορφη Σύγκλιση) Πρόταση 3 lim f n(x) = f (x), ομοιόμορφα n f n (x) είναι (ομοιόμορφα) συνεχείς στο ανοικτό διάστημα (, b) f (x) είναι (ομοιόμορφα) συνεχής στο ανοικτό διάστημα (, b) Αυτή η πρόταση σημαίνει ότι τα σύμβολα lim και lim εναλλάσσονται x x0 n για συνεχείς συναρτήσεις, που συγκλινουν ομοιόμορφα: ( ) ( ) lim lim f n(x) = lim f (x) = f (x 0 ) = lim f x x 0 n x x0 n(x 0 ) = lim lim f n (x) n n x x 0 (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 135 / 210
136 Πρόταση 4 (Ομοιόμορφη Σύγκλιση) Πρόταση 4: lim f n(x) = f (x), ομοιόμορφα n και f n (x) συνεχείς συναρτήσεις για x [, b] F n (x) = x x f n (t) dt F (x) = n f (t) dt ομοιόμορφα Η Πρόταση 4 σημαίνει ότι τα σύμβολα lim και εναλλάσσονται για συνεχείς συναρτήσεις, που συγκλινουν ομοιόμορφα: lim n b f n (t) dt = b ( ) lim f n(t) dt n (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 136 / 210
137 Πρόταση 5 (Ομοιόμορφη Σύγκλιση) Πρόταση 5 f n (x) παραγωγίσιμες συναρτήσεις με συνεχείς παραγώγους στο διάστημα (, b) f n (x) συγκλίνουν ομοιόμορφα στην συνάρτηση f (x) f n(x) συγκλίνουν ομοιόμορφα ( ) lim n df n (x) dx d = f (x) = lim f n(x) n dx d Το παραπάνω συμπέρασμα σημαίνει ότι τα σύμβολα lim και dx εναλλάσσονται για συνεχείς συναρτήσεις, που συγκλινουν ομοιόμορφα. (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 137 / 210
138 Απόδειξη Πρότασης 1 (Ομοιόμορφη σύγκλιση) Πρόταση 1 Απόδειξη. lim f n(x) = f (x), ομοιόμορφα n M n = sup f n (x) f (x) 0 x I n lim f n(x) = f (x), ομοιόμορφα n ( ɛ ( ɛ ɛ x I N : n > N f n (x) f (x) < 2) 2) ɛ 2 M n = sup f n (x) f (x) ɛ < ɛ lim x I 2 M n = 0 n Το αντίστροφο αποδεικνύεται ως εξής: M n = sup f n (x) f (x) 0 x I n ɛ N (ɛ) : n > N (ɛ) M n < ɛ f n (x) f (x) < ɛ lim f n(x) = f (x), ομοιόμορφα n (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 138 / 210
139 Απόδειξη Πρότασης 2 (Κριτήριο Cuchy) Πρόταση 2 (Κριτήριο Cuchy) Απόδειξη. lim fn(x) = f (x), ομοιόμορφα n ɛ x I N (ɛ) : n > m > N (ɛ) fn(x) fm(x) < ɛ lim fn(x) = f (x), ομοιόμορφα fn(x) ικανοποιεί το Κριτήριο Cuchy n Εστω lim fn(x) = f (x), ομοιόμορφα, αυτό σημαίνει ότι n οπότε ɛ x I N ( ( ɛ ɛ ) 2) : n > N fn(x) f (x) < ɛ ( 2 ɛ 2 και m > N fm(x) f (x) < 2) ɛ 2 fn(x) fm(x) = (fn(x) f (x)) + (f (x) fm(x)) επομένως fn(x) f (x) + f (x) fm(x) < ɛ ɛ x I N (ɛ) : n > m > N (ɛ) fn(x) fm(x) < ɛ Επομένως αποδείξαμε ομοιόμορφη σύγκλιση Κριτήριο Cuchy. Για το αντίστροφο έστω ότι ισχύει το παραπάνω, αυτό σημαίνει ότι για κάθε x σταθερό η ακολουθία fn(x) είναι μια ακολουθία Cuchy άρα συγκλίνει σε κάθε σημείο σε μια συνάρτηση f (x), δηλαδή lim fm+k(x) = f (x) k ( ɛ ( ɛ ɛ x I N : m > N και k 0 fm(x) fm+k(x) < 2) 2) ɛ 2 άρα lim k fm(x) fm+k(x) = fm(x) f (x) ɛ 2 < ɛ και η ακολουθία fn(x) συγκλίνει ομοιόμορφα. (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 139 / 210
140 Απόδειξη Πρότασης 3 (Ομοιόμορφη σύγκλιση)(1) Πρόταση 3 lim f n(x) = f (x), ομοιόμορφα n f n (x) είναι (ομοιόμορφα) συνεχείς στο ανοικτό διάστημα (, b) f (x) είναι (ομοιόμορφα) συνεχής στο ανοικτό διάστημα (, b) Απόδειξη. lim n f n(x) = f (x), ομοιόμορφα ɛ > 0 h n 0 : f n0 (x) f (x) < ɛ 3 και f n 0 (x + h) f (x + h) < ɛ 3 f n0 (x) είναι (ομοιόμορφα) συνεχής στο ανοικτό διάστημα (, b) δ(ɛ) > 0 : h < δ(ɛ) f n0 (x + h) f n0 (x) < ɛ 3 Οπότε ɛ > 0 δ(ɛ) > 0 : h < δ(ɛ) f (x + h) f (x) f (x+h) f n0 (x+h) + f n0 (x + h) f n0 (x) + f n0 (x) f (x) < ɛ Αρα η συνάρτηση f (x) είναι συνεχής στο (, b) (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 140 / 210
141 Απόδειξη Πρότασης 3 (Ομοιόμορφη σύγκλιση)(2) Αυτή η πρόταση σημαίνει ότι τα σύμβολα lim και lim εναλλάσσονται x x0 n για συνεχείς συναρτήσεις, που συγκλινουν ομοιόμορφα: ( ) lim lim f n(x) x x 0 n ( ) = lim f (x) = f (x 0 ) = lim f x x0 n(x 0 ) = lim lim f n (x) n n x x 0 (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 141 / 210
142 Απόδειξη Πρότασης 4 (Ομοιόμορφη σύγκλιση)(1) Πρόταση 4: lim fn(x) = f (x), ομοιόμορφα n και f n(x) συνεχείς συναρτήσεις για x [, b] Απόδειξη. x F n(x) = x f n(t) dt F (x) = n lim fn(x) = f (x), ομοιόμορφα n f (t) dt ομοιόμορφα ( ) ɛ ɛ > 0 t I N : ( ) 2(b ) ɛ ɛ n > N f n(t) f (t) < 2(b ) 2(b ) x F n(x) F (x) = (f n(t) f (t))dt x f n(t) f (t) dt ɛ(x ) 2(b ) < ɛ Αρα η ακολουθία F n(x) συγκλίνει ομοιόμορφα σε κάποια συνάρτηση F (x) (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 142 / 210
143 Απόδειξη Πρότασης 4 (Ομοιόμορφη σύγκλιση)(2) Η Πρόταση 4 σημαίνει ότι τα σύμβολα lim και εναλλάσσονται για συνεχείς συναρτήσεις, που συγκλινουν ομοιόμορφα: lim n b f n (t) dt = b ( ) lim f n(t) dt n (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 143 / 210
144 Παράδειγμα 5 (Σύγκλισης) Παράδειγμα 5 : Για κάθε x [0, 1] η ακολουθία f n (x) = nxe nx2 συγκλίνει σημειακά στο 0 αλλά δεν συγκλίνει ομοιόμορφα. Για μεγάλα n και x (0, 1) f n+1 (x) f n (x) Αλλά = ( ) e x2 n n e x2 < 1 ( ) 1 n f n = 2n 2e n lim f n(x) = 0, σημειακά n η ακολουθία δεν συγκλίνει ομοιόμορφα. Παρατηρούμε ότι: 1 0 f n (x) dx = 1 0 nxe nx2 dx = 1 e n 2 1 n 2 Αλλά 1 0 ( ) lim f n(x) dx = 0 lim n n 1 0 f n (x) dx = 1 2 (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 144 / 210
145 Παράδειγμα 6 (Σύγκλισης) Παράδειγμα 6: Αν f n (x) = n + sin x 3n + cos 2, να αποδειχθεί ότι x 1 lim f n (x) dx = 1 n 0 Αποδ. Η ακολουθία f n (x) συγκλίνει ομοιόμορφα στο 1 3 διότι (Πρόταση 1): n + sin x 3n + cos 2 x 1 3 = 3 sin x cos 2 x 9n + 3 cos 2 x 4 9n 0 επομένως από την πρόταση 4 έχουμε: 1 lim f n (x) dx = 1 n 0 (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 145 / 210
ιαµέριση (Partition) ορισµένη στο διάστηµα I = [a, b]
ιαµέριση (Prtition) ορισµένη στο διάστηµα I = [, b] P = {x 0,x 1,x 2,...,x n } = x 0
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματική Ανάλυση Ι
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 8: Ολοκληρώματα Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mil: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών
Διαβάστε περισσότεραlim f n(x) = f(x) 1 ǫ < n ln ǫ N (ǫ, x) = ln ( )
ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΣΥΓΚΛΙΣΗ Εστω {f n x), n N} µια ακολουθία συναρτήσεων ορισµένων στο διάστηµα I = [, b] ή, b] ή [, b) ή, b) ) ΟΡΙΣΜΟΣ Η ακολουθία συναστήσεων συγκλίνει σηµειακά point wise convergence) στην συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραf(x) = lim f n (t) = d(t, x n ) d(t, x) = f(t)
Κεφάλαιο 7 Ακολουθίες και σειρές συναρτήσεων 7.1 Ακολουθίες συναρτήσεων: κατά σημείο σύγκλιση Ορισμός 7.1.1. Εστω X σύνολο, (Y, ρ) μετρικός χώρος και f n, f : X Y (n = 1, 2,...). Λέμε ότι η ακολουθία συναρτήσεων
Διαβάστε περισσότερα= df. f (n) (x) = dn f dx n
Παράγωγος Συνάρτησης Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) Ορισμός Cauchy: f (ξ) = lim x ξ g(x, ξ), g(x, ξ) = f(x) f(ξ) x ξ ɛ > 0 δ(ɛ, ξ) > 0
Διαβάστε περισσότερα4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-
Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει
Διαβάστε περισσότεραΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Λογισμός Ι Ενότητα 4: Παράγωγοι Κ. Δασκαλογιάννης Τμήμα Μαθηματικών Α.Π.Θ. (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 1 / 68 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραf (x) dx = f (x) + c a f (x) f (x) cos 2 (f (x)) f (x) dx = tan(f (x)) + c 1 sin 2 (f (x)) f (x) dx = cot(f (x)) + c e f (x) f (x) dx = e f (x) + c
Ασκήσεις στα Μαθηματικά Ι Τμήμα Χημ. Μηχανικών ΑΠΘ Μουτάφη Ευαγγελία Θεσσαλονίκη 208-209 Ορισμοί ΤΟ ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Αντιπαράγωγος συνάρτησης Εστω συνάρτηση f : R, R διάστημα. Αν για τη συνάρτηση F :
Διαβάστε περισσότεραlim y < inf B + ε = x = +. f(x) =
ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μαθηματική Ανάλυση Ι ΟΜΑΔΑ: Α 8 Μαρτίου, 0 Θέμα. (αʹ) Εστω A, B μη κενά σύνολα πραγματικών αριθμών τέτοια ώστε x y, για
Διαβάστε περισσότεραΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Ορισµός
ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ f() τοπικά ολοκληρώσιµη στο (, b) αν για κάθε κλειστό [c, d] (, b) η f() είναι ολοκληρώσιµη. πχ f() =e είναι τοπικά ολοκληρώσιµη στο [, ) f() = είναι τοπικά ολοκληρώσιµη στο (, )
Διαβάστε περισσότεραΑπειροσ τικός Λογισμός ΙΙ Πρόχειρες Σημειώσεις Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών
Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Πρόχειρες Σημειώσεις Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών - Περιεχόμενα Υπακολουθίες και βασικές ακολουθίες. Υπακολουθίες. Θεώρημα Bolzno Weierstrss.αʹ Απόδειξη με χρήση της
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις Απειροστικού Λογισμού ΙΙ Πρόχειρες Σημειώσεις Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Περιεχόμενα Υπακολουθίες και ακολουθίες Cuchy Σειρές πραγματικών αριθμών 3 3 Ομοιόμορφη συνέχεια 3 4 Ολοκλήρωμα
Διαβάστε περισσότεραΒιομαθηματικά BIO-156. Ολοκλήρωση. Ντίνα Λύκα. Εαρινό Εξάμηνο, 2017
Βιομαθηματικά BIO-56 Ολοκλήρωση Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 07 lik@biology.uo.gr Ορισμός αντιπαραγώγου ή παράγουσας ή αρχικής συνάρτησης Μια συνάρτηση F ονομάζεται αντιπαράγωγος της σε ένα διάστημα Ι, αν
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14
Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες
Διαβάστε περισσότεραΕκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ
Ολοκληρώµατα ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 85 3 05 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των ολοκληρωµάτων πραγµατικών συναρτήσεων
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 16: Ολοκλήρωση Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων, Γενικευμένα Ολοκληρώματα Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 16: Ολοκλήρωση Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων, Γενικευμένα Ολοκληρώματα Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΠαράγωγος Συνάρτησης. Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) = lim.
Παράγωγος Συνάρτησης Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) x ξ g(x, ξ), g(x, ξ) f(x) f(ξ) x ξ Ορισμός Cauchy: ɛ > 0 δ(ɛ, ξ) > 0 x x ξ
Διαβάστε περισσότεραΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Λογισμός Ι Ενότητα 2: Ακολουθίες - Σειρές Κ. Δασκαλογιάννης Τμήμα Μαθηματικών Α.Π.Θ. (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 1 / 83 Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραΟλοκλήρωμα πραγματικής συνάρτησης
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ολοκλήρωμα πραγματικής συνάρτησης Σύνοψη Το κεφάλαιο αυτό αποτελεί το «πέρασμα» από το Διαφορικό στον Ολοκληρωτικό Λογισμό Η θεμελιώδης έννοια, για το σκοπό αυτό, είναι η αντιπαράγωγος ή αόριστο
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemann και ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemnn και ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Cretive Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 2: Ορισμός του ολοκληρώματος. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Ορισμός του ολοκληρώματος. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΒιομαθηματικά BIO-156
Βιομαθηματικά BIO-56 Ολοκλήρωση Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 03 lik@biology.uo.gr Ορισμός αντιπαραγώγου ή πρωτεύουσας ή αρχικής συνάρτησης Μια συνάρτηση F ονομάζεται αντιπαράγωγος της σε ένα διάστημα Ι,
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. Απειροστικός Λογισµός Ι. ιδάσκων : Α. Μουχτάρης. Απειροστικός Λογισµός Ι - 3η Σειρά Ασκήσεων
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών Απειροστικός Λογισµός Ι ιδάσκων : Α. Μουχτάρης Απειροστικός Λογισµός Ι - η Σειρά Ασκήσεων Ασκηση.. Ανάπτυξη σε µερικά κλάσµατα Αφου ο ϐαθµός του αριθµητή
Διαβάστε περισσότεραG n. n=1. n=1. n=1 G n) = m (E). n=1 G n = k=1
ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Επαναληπτικές Εξετάσεις στη Θεωρία Μέτρου και Ολοκλήρωση Θέμα. Εστω R Lebesgue μετρήσιμο σύνολο. (αʹ) Να αποδειχθεί ότι για κάθε ε
Διαβάστε περισσότεραΤύπος TAYLOR. f : [a, b] R f (n 1) (x) συνεχής x [a, b] f (n) (x) x (a, b) ξ μεταξύ x και x 0. (x x 0 ) k k! f(x) = f (k) (x 0 ) + R n (x)
Τύπος TAYLOR f : [a, b] R f (n 1) (x) συνεχής x [a, b] f (n) (x) x (a, b) f(x) = ξ μεταξύ x και x 0 n 1 (x x 0 ) k f (k) (x 0 ) + R n (x) R n (x) = (x ξ)n p (x x 0 ) p p(n 1)! f (n) (ξ) υπόλοιπο Sclömlich-Roche
Διαβάστε περισσότεραΠρόταση. f(x) ομοιόμορφα συνεχής στο I. δ (ɛ) > 0 : x, ξ I, x ξ < δ (ɛ, ξ) f(x) f(ξ) < ɛ. ɛ > 0, δ > 0 : ΜΗ ομοιόμορφα συνεχής.
f(x) ομοιόμορφα συνεχής στο I ɛ > 0, δ (ɛ) > 0 : x, ξ I, x ξ < δ (ɛ, ξ) f(x) f(ξ) < ɛ f(x) ΜΗ ομοιόμορφα συνεχής ɛ > 0, δ > 0 : x, ξ I, x ξ < δ f(x) f(ξ) ɛ f(x) συνεχής στο [a, b] f(x) ομοιόμορφα συνεχής
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ Μ. Παπαδημητράκης. 1 ΔΕΚΑΤΟ ΤΡΙΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Χρησιμοποιούμε τα σύμβολα f και f() d για να συμβολίσουμε όλα μαζί τα αόριστα ολοκληρώματα της f σε ένα διάστημα I. Δηλαδή, γράφουμε f = f + c ή f() d =
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός
Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.02: Βασικά Θεωρήματα Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Γ.02: Βασικά
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 13: Ακτίνα Σύγκλισης, Αριθμητική Ολοκλήρωση, Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3: Ακτίνα Σύγκλισης, Αριθμητική Ολοκλήρωση, Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραΟλοκλήρωμα πραγματικής συνάρτησης
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ολοκλήρωμα πραγματικής συνάρτησης Ο λογισμός είναι λογικά εσφαλμένος, ωστόσο δίνει σωστά αποτελέσματα, γιατί τα λάθη αλληλοεξουδετερώνονται Αφού κατανοήσουμε το πνεύμα της απειροελάχιστης μεθόδου,
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)
Μαθηματικά Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότερα> ln 1 + ln ln n = ln(1 2 3 n) = ln(n!).
η Διάλεξη: Άρρητοι αριθμοί Το σύνολο Q των ρητών αριθμών είναι το Q = { m n : m Z, n N}. αριθμός που δεν είναι ρητός λέγεται άρρητος. Ενας πραγματικός Ασκηση: Αποδείξτε ότι το άθροισμα και το γινόμενο
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Μ. Παπαδημητράκης. 1 ΔΩΔΕΚΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Έστω συνάρτηση f ορισμένη σε διάστημα I. Λέμε ότι η F είναι αντιπαράγωγος της f στο I αν ισχύει F = f στο I. ΠΡΟΤΑΣΗ. Αν η F είναι αντιπαράγωγος της f στο
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 14: Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες, Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 1: Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες, Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα
Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Ολοκληρωτικός Λογισμός (μέρος ) Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Σελίδα Σκοποί
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 15: Ολοκληρώματα Με Ρητές Και Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Ολοκληρώματα Με Ρητές Και Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )
Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι
Διαβάστε περισσότερα6. Ορισμένο Ολοκλήρωμα
6. Ορισμένο Ολοκλήρωμα 6. Γενικά Ορισμοί Έστω ότι η f() είναι συνεχής συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα [,]. Χωρίζουμε το διάστημα [,] σε n υποδιαστήματα επιλέγοντας n+ σημεία τέτοια ώστε = < < < n-
Διαβάστε περισσότερα1 Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών
Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών Μερικές χρήσιμες ταυτότητες + r + r 2 + + r n = rn r r + 2 + 3 + + n = 2 n(n + ) 2 + 2 2 + 3 2 + n 2 = n(n + )(2n + ) 6 Ανισότητα Cauchy Schwarz ( n ) 2 ( n x i y i i=
Διαβάστε περισσότεραΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ
ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα σύνολο Α. Ένα από τα βασικότερα προβλήματα της Μαθηματικής Ανάλυσης είναι ο προσδιορισμός μιας συνάρτησης F/ A με F = f για κάθε
Διαβάστε περισσότεραf (x + h) f (x) h f (x) = lim h 0 f (z) f (x) z x df (x) dx, df dy dx,
Διάλεξη 7: Παράγωγοι συναρτήσεων 1 Γενικά Πρόοδος μαθήματος Σάββατο 24/11 στις 14:00 2 Παράγωγος ως συνάρτηση Η παράγωγος της f (x) ως προς x, είναι η συνάρτηση f (x) και η οποία ισούται με f (x) = lim
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ...23 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ...15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΥΘΕΙΕΣ...32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΥΚΛΟΙ...43
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ. ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ...5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ... ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΘΕΙΕΣ... ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΥΚΛΟΙ...4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ
Διαβάστε περισσότερα4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 4.2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ
4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 4. ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ Ή ΑΝΤΙΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ: Παράγουσα ή αντιπαράγωγος μιας συνάρτησης f() ορισμένη στο D(f) λέγεται η συνάρτηση F() για την οποία ισχύει F ()=f(). ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: F()=
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα η : Τυχαίες Μεταβλητές, Συναρτήσεις Κατανομής Πιθανότητας. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΜιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος
Διαβάστε περισσότεραΑόριστο ολοκλήρωμα. επαληθεύει την παραπάνω ισότητα.
Αόριστο ολοκλήρωμα Αντιπαράγωγος μίας συνάρτησης f() ορισμένης σε ένα διάστημα [α,β] λέγεται κάθε συνάρτηση F() που επαληθεύει την ισότητα F( ) f ( ) F( ) c επαληθεύει την παραπάνω ισότητα. Αόριστο ολοκλήρωμα
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ
ΤΕΙ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Περιληπτικές Σημειώσεις-Ασκήσεις Β ΜΕΡΟΣ ΦΩΤΟΥΛΑ ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ KAΘ. ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΔΕΟ Msc. Θεωρητικά Μαθηματικά ΚΑΛΑΜΑΤΑ 2016 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
Διαβάστε περισσότεραAsk seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh
Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh Ginnhc K. Sarant pouloc jnik Mets bio Poluteqne o Sqol farmosmłnwn Majhmatik n & Fusik n pisthm n TomŁac Majhmatik n 22 Febrouar ou 28 Perieqìmena Συμβολισμός
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά. Ενότητα 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)
Μαθηματικά Ενότητα 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ Μ. Παπαδημητράκης. 1 ΔΕΚΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Συνεχίζουμε την λύση της άσκησης 6.3.. Μέχρι τώρα έχουμε αποδείξει ότι για κάθε διαμέριση του [, b] υπάρχει μια αντίστοιχη διαμέριση του [, B] ώστε να ισχύουν
Διαβάστε περισσότεραΑόριστο Ολοκλήρωµα ρ. Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου
Αόριστο Ολοκλήρωµα ρ. Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Ακ. Ετος 2018-2019 Θεωρούµε µια συνάρτηση f : I R, όπου το I είναι διάστηµα του R. Ορισµός Μια συνάρτηση F : I R λέγεται αντιπαράγωγος ή αρχική συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΒιοµαθηµατικά BIO-156
Βιοµαθηµατικά BIO-56 Ολοκλήρωση Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάµηνο, 08 lik@uo.gr Ορισµός αντιπαραγώγου ή παράγουσας ή αρχικής συνάρτησης Μια συνάρτηση F ονοµάζεται αντιπαράγωγος της σε ένα διάστηµα Ι, αν F' για
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 2 ΣΕ 37 ΜΑΘΗΜΑΤΑ
ΑΝΑΛΥΣΗ 2 ΣΕ 37 ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μ. Παπαδημητράκης. ΠΡΩΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Έστω [, b] ένα κλειστό διάστημα με < b. Διαμέριση του [, b] είναι ένα οποιοδήποτε πεπερασμένο υποσύνολο του [, b] το οποίο περιέχει τουλάχιστον
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΜΙΧΑΛΗΣ ΜΑΓΚΟΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΜΙΧΑΛΗΣ ΜΑΓΚΟΣ . ΔΙΑΒΑΖΩ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ Σελ.303: Ορισμός (Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα) Σελ.304: Απόδειξη του
Διαβάστε περισσότεραf(x) dx. f(x)dx = 0 Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 7: Ολοκλήρωµα Riemann Α Οµάδα
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 7: Ολοκλήρωµα Riemnn Α Οµάδα. Εστω f : [, ] R. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας).
Διαβάστε περισσότεραΗΜΕΡΙΔΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Θέμα: Τεχνικές Ολοκλήρωσης. Εισηγητής: Κων/νος Λ. Κωνσταντόπουλος. Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών
ΗΜΕΡΙΔΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Θέμα: Τεχνικές Ολοκλήρωσης Εισηγητής: Κων/νος Λ. Κωνσταντόπουλος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Ρέθυμνο 0 Φεβρουαρίου 05 Πρότυπο Πειραματικό Λύκειο Ρεθύμνου A. Ολοκλήρωση ρητής συνάρτησης
Διαβάστε περισσότεραf(x) dx. f(x)dx = 0. f(x) dx = 1 < 1 = f(x) dx. Θα είχαµε f(c) = 0, ενώ η f δεν µηδενίζεται πουθενά στο [0, 2].
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 7: Ολοκλήρωµα Riem Α Οµάδα. Εστω f : [, ] R. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας).
Διαβάστε περισσότερα4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 4.2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ
4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 4. ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ Ή ΑΝΤΙΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ: Παράγουσα ή αντιπαράγωγος μιας συνάρτησης f( ορισμένη στο D(f) λέγεται η συνάρτηση F( για την οποία ισχύει F (=f(. ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: F(= = df
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός
1/8 Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.05: Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις
Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις
Διαβάστε περισσότεραΑριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης. Λογισμός 3 Ασκήσεις. Μιχάλης Μαριάς Τμήμα Α.Π.Θ.
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Λογισμός 3 Μιχάλης Μαριάς Τμήμα Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, 2015 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,
Διαβάστε περισσότεραΆδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ
Διακριτά Μαθηματικά Ι Ενότητα 2: Γεννήτριες Συναρτήσεις Μέρος 3 Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 5: Το Θεώρημα του Fubini. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Το Θεώρημα του Fubini. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότερα1 1 + nx. f n (x) = nx 1 + n 2 x 2. x2n 1 + x 2n
Οι ασκήσεις αυτές έχουν σκοπό να βοηθήσουν τους φοιτητές στην μελέτη τους για το μάθημα «Ανάλυση ΙΙ» του Τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Αιγαίου. Συνιστούμε στους φοιτητές να επεξεργαστούν αυτές
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά. Ενότητα 13: Κυρτότητα Συνάρτησης Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής
Μαθηματικά Ενότητα 13: Κυρτότητα Συνάρτησης Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότερα6. Αριθμητική Ολοκλήρωση
6. Αριθμητική Ολοκλήρωση Ασκήσεις 6.1 Έστω f : [; b]! R μια συνάρτηση, της οποίας το ολοκλήρωμα του Riemnn στο διάστημα [; b] υπάρχει. Αν Qn T είναι ο σύνθετος τύπος ολοκλήρωσης του τραπεζίου με n ομοιόμορφα
Διαβάστε περισσότεραΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ. v. Σε αυτή την περίπτωση το lim v
ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Η ακολουθία { α ν } λέγεται αθροίσιμη αν η ακολουθία {S ν } συγκλίνει, όπου S 2 3.... Σε αυτή την περίπτωση το lim S συμβολίζεται με και λέγεται το άθροισμα της ακολουθίας {
Διαβάστε περισσότεραΜιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραEisagwg sthn Anˆlush II
Eisgwg sthn Anˆlush II Μ. Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Φθινόπωρο 006 Prìlogoc Οι σημειώσεις αυτές διαφέρουν από τις παλιότερες κατά πολύ.. Εχει προστεθεί ύλη και έχουν γίνει πολλές
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 4 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Α.Π.Θ.
Διαβάστε περισσότερα12 Το αόριστο ολοκλήρωµα
Το αόριστο ολοκλήρωµα. Αντιπαράγωγοι Εστω ότι η y = f ( ορίζεται στο διάστηµα I, οποιουδήποτε τύπου. Αν µια δεύτερη συνάρτηση y = F(, που ορίζεται στο ίδιο διάστηµα I, έχει την ιδιότητα F ( = f (, για
Διαβάστε περισσότερα). Πράγματι, στο διάστημα [ x, x 1 2 ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Επομένως, υπάρχει ξ x 1,
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 MAΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Αποδεικνύουμε το θεώρημα στην περίπτωση που
Διαβάστε περισσότεραM. J. Lighthill. g(y) = f(x) e 2πixy dx, (1) d N. g (p) (y) =
Εισαγωγή στην ανάλυση Fourier και τις γενικευμένες συναρτήσεις * M. J. Lighthill μετάφραση: Γ. Ευθυβουλίδης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΟΥΣ FOURIER 2.1. Καλές
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά. Ενότητα 9: Όριο Συνάρτησης στο Διηνεκές. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής
Μαθηματικά Ενότητα 9: Όριο Συνάρτησης στο Διηνεκές Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για
Διαβάστε περισσότεραΔΙΗΜΕΡΙΔΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ
ΔΙΗΜΕΡΙΔΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Θέμα: Τεχνικές Ολοκλήρωσης Εισηγητής: Κων/νος Λ. Κωνσταντόπουλος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Ηράκλειο 7-8 Μαρτίου 014 ΠΕΚ A. Ολοκλήρωση ρητής συνάρτησης Έστω μία ρητή συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Μ. Παπαδημητράκης. ΕΙΚΟΣΤΟ ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Έστω μια δυναμοσειρά a (x ξ) = a 0 + a (x ξ) + a 2 (x ξ) 2 + με ακτίνα σύγκλισης R και με ρ = lim a. Αν x = ξ, η δυναμοσειρά συγκλίνει και έχει άθροισμα
Διαβάστε περισσότερα. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί.
O μετασχηματισμός Laplace αποτελεί περίπτωση ολοκληρωτικού μετασχηματισμού, κατά τον οποίο κατάλληλη συνάρτηση (χρονικό σήμα) μετατρέπεται σε συνάρτηση της «συχνότητας» μέσω της σχέσης. (1) Γενικότερα
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός
Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.: Το Ολοκλήρωμα Βασικές ιδιότητες Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο
Διαβάστε περισσότεραΌριο και συνέχεια πραγματικής συνάρτησης
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Όριο και συνέχεια πραγματικής συνάρτησης Αγνοώ το πώς με βλέπει ο κόσμος αλλά στον εαυτό μου, φαίνομαι σαν να μην ήμουν τίποτα άλλο από ένα αγοράκι που παίζει στην ακρογιαλιά και κατά καιρούς
Διαβάστε περισσότεραΠαντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr
VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ
Διαβάστε περισσότεραΠ Κ Τ Μ Ε Μ Λύσεις των ασκήσεων
Π Κ Τ Μ Ε Μ Λύσεις των ασκήσεων Πρ. Η f : [0, ] R είναι συνεχής στο [0, ]. Χρησιμοποιώντας το Θεώρημα Bolzao- Weierstraß δείξτε ότι η f είναι φραγμένη στο [0, ]. Μην επικαλεστείτε κάποιο άλλο θεώρημα.
Διαβάστε περισσότεραΔηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής
D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις Εξετάσεων Φεβρουαρίου Ακ. Έτους
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, 6-7 ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΕΠΙΚ. ΚΑΘ. ΣΤΑΥΡΟΣ ΤΟΥΜΠΗΣ Λύσεις Εξετάσεων Φεβρουαρίου Ακ. Έτους 6-7. Περιοδικές Συναρτήσεις) Έστω συνεχής συνάρτηση f : R R περιοδική
Διαβάστε περισσότεραf(x) f(c) x 1 c x 2 c
Μαθηματικός Λογισμός Ι Φθινόπωρο 2014 Σημειώσεις 1-12-14 Μ. Ζαζάνης 1 Πραγματικές Συναρτήσεις και Ορια Εστω S R ένα υποσύνολο του R και f : S R μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το S και τιμές στους πραγματικούς
Διαβάστε περισσότερα40 Ασκήσεις στον ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ ( Επεξεργασία του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ)
Άσκηση η 4 Ασκήσεις στον ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ ( Επεξεργασία του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ) Έστω f, g είναι συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα, να δείξετε: Α. (Ανισότητα των Cauchy-Schwarz) Β.( Ανισότητα του Minkowski)
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών
Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 9: Ολοκληρώματα (Θεωρία) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 17: Αριθμητική Ολοκλήρωση, Υπολογισμός Μήκους Καμπύλης Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 7: Αριθμητική Ολοκλήρωση, Υπολογισμός Μήκους Καμπύλης Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 4 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Α.Π.Θ.
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΗ 1. εξισώσεις x= π 3, x= π 2. ΑΣΚΗΣΗ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις : f (x)= 1. 1 u 2 x. du και g(x)= 1 f (t )dt
ΑΣΚΗΣΗ Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f (x)= ημ x, x (0,π). α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα κοίλα. β) Να βρείτε της ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f. γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Βέλτιστου Ελέγχου Ασκήσεις
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου Νικόλαος Καραμπετάκης Τμήμα Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, Οκτώβριος 3 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Cretive
Διαβάστε περισσότεραΗ Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου
Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΣΥΓΚΛΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: Ορισμός Cauchy
ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: Ορισμός Cauchy Augustin- Louis Cauchy 1789-1857 ΠΛΕΥΡΙΚΑ ΟΡΙΑ Ορισμός σύγκλισης Cauchy συγκλίνει για x ξ Η συνάρτηση f(x) ɛ > 0 δ (ɛ, ξ) : x ξ < δ f(x) l < ɛ f(x) = l + f(x) = l +
Διαβάστε περισσότερα1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό
1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1.1 Όρια ακολουθιών Λέμε ότι η ακολουθία { n } συγκλίνει με όριο R αν για κάθε ϵ > 0 υπάρχει ακέραιος N = N(ϵ) τέτοιος ώστε (1.1) n < ϵ για κάθε n > N, και
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 5: Αναδρομικές σχέσεις - Υπολογισμός Αθροισμάτων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης Ενότητα 5: Οι χώροι L p Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Ενότητα 11: Θεώρημα Μέσης Τιμής Μονοτονία Συνάρτησης
Μαθηματικά Ενότητα 11: Θεώρημα Μέσης Τιμής Μονοτονία Συνάρτησης Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΓΙΩΡΓΟΣ ΚΟΡΩΝΑΚΗΣ. ΑΛΛΑΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΣΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Διδακτική προσέγγιση
ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΟΡΩΝΑΚΗΣ ΑΛΛΑΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΣΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Διδακτική προσέγγιση Αφορμή γι αυτή τη σύντομη εργασία έδωσε μια ημερίδα διδασκαλίας των Μαθηματικών, η οποία οργανώθηκε από το Σχολικό Σύμβουλο
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Μέτρου και ολοκλήρωσης Ασκήσεις
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Θεωρία Μέτρου και ολοκλήρωσης Ασκήσεις Μιχάλης Μαριάς Τμήμα Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, Οκτώβριος 23 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραf(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ).
Κεφάλαιο 4 Συναρτήσεις μεταξύ μετρικών χώρων 4.1 Συνεχείς συναρτήσεις Εστω (X, ρ) και (Y, σ) δύο μετρικοί χώροι. Στην 2.2 δώσαμε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης f : X Y σε κάποιο σημείο x 0 X:
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά. Ενότητα 12: Ακρότατα Συνάρτησης Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής
Μαθηματικά Ενότητα 12: Ακρότατα Συνάρτησης Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότερα