Έλεγχος «Ελάχιστης Ενέργειας»

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Έλεγχος «Ελάχιστης Ενέργειας»"

Transcript

1 Έλεγχος «Ελάχιστης Ενέργειας» Σε πολλές εφαρµογές, τόσο της αεροδιαστηµικής όσο και άλλων µορφών της τεχνολογίας µεταφορών κλπ, η βελτιστοποίηση επικεντρώνεται στο ζήτηµα της ενέργειας κατά την επίτευξη δράσεων ενός συστήµατος. Θα θεωρήσουµε αυτό το πρόβληµα για την ειδική περίπτωση ΓΧΑΣ: διάταξη που περιγράφεται από ένα ΓΧΑΣ: λειτουργικές προδιαγραφές που απαιτούν δεδοµένες αρχική & τελική κατάσταση: Δείκτη Λειτουργικής Απόδωσης που αφορά ενέργεια: ΛΥΣΗ: Η Χαµιλτονιανή είναι Εξίσ. Βελτίστου Ελέγχου Εξισ. Συγκατάστασης: Εξισ. Κατάστασης: H u, p, x H u = H u = + xt! Axt But xt = x xt = x 0 0 f f t f 2 1 J = u( t) dt 2 t 0 = 1 2 u 2 + p T ( Ax + Bu) = 1 2 ut u + p T A x + p T B u ( x,u, p ) = 0 = u + B T p u ( t) = B T p ( t)!p = H x = AT p p ( t) = e AT ( t t 0 ) p ( 0) = e AT ( t 0 t) p ( 0) t f!x = Ax + Bu x ( t f ) = e A ( t f t 0 ) x0 + e A ( t f τ ) Bu ( τ ) dτ = t t 0 f t = e A ( t f t 0 ) x0 e A ( t f τ ) BB T e AT ( t 0 t) p ( 0) dτ = e A ( t f t 0 ) f x0 e A ( t f τ ) BB T e AT ( t 0 t) dτ p 0 t 0 t 0 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 u ( t) = B T e AT ( t 0 t) p 0

2 Έλεγχος «Ελάχιστης Ενέργειας» x( t f ) = e A t f t 0 t f x0 e A ( t f τ ) BB T e AT ( t 0 t) dτ t 0 p ( 0) = e A ( t f t 0 ) x 0 t f t 0 e A t 0 τ BB T e AT ( t 0 t) dτ p 0 Αν «θυµηθούµε» την Controlability Grammian x( t f ) = e A ( t f t 0 ) { x 0 W ( t 0,t f ) p 0 } η οποία, επειδή το σύστηµα είναι πλήρως ελέγξιµο, είναι αντιστρέψιµη γιά t f > t 0 τότε p* 0 που, µαζι µε την Παρατηρούµε ότι u ( t) = B T e AT t 0 t = p0 1 2 t f u T t u t dt = t 0 = Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 2

3 Έλεγχος «Ελάχιστης Ενέργειας»: Παράδειγμα Αναζητώντας την λύση ελάχιστης ενέργειας, αρχικά θεωρούµε τον πίνακα µεταβατικής απόκρίσης: Η Controllability Grammian είναι Ο έλεγχος ελάχιστης ενέργειας είναι Δηλαδή = ( ) At ( τ ) ( τ) At t0 x t = e x + e Bu d 0 t t 0 τ Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 3

4 Έλεγχος «Ελάχιστης Ενέργειας»: Παράδειγμα = 4 6 u t t 2 x2 t = 3t + 4t 3 2 = + x t t t 1 2 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 4

5 Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής Μεχρι στιγμής έχουμε σταδιακά δει τα εξής προβλήματα βελτιστοποίησης... Πεπερασμένες Μη- Περιορισμένο Διαστάσεις Ισοτικοί Περιορισμοί ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Σε πολλές εφαρµογές επιθυµούµε η βελτιστοποίηση να περιλαµβάνει : Στο Δείκτη Λειτουργικής Απόδωσης (ΔΛΑ) την ενέργεια (όπως και προηγουµένως) και Μη- Περιορισμένο Άπειρες Διαστάσεις µία µορφή «επιβάρυνσης» µεγάλων καταστάσεων, επιζητώντας την «σταθεροποίηση» του συστήµατος. Ισοτικοί Περιορισμοί Μια µορφή επιβάρυνσης της τελική κατάστασης, που δεν απαιτείται να είναι δεδοµένη αλλά απλά επιβαρύνεται το «µέγεθός» της. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 5

6 Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής Έτσι οδηγούµαστε στο γνωστό πρόβληµα του Γραµµικού Τετραγωνικού Ρυθµιστή (Linear Quadratic Regulator LQR) θεωρόντας τη περίπτωση : Γραμμικού (αλλα Χρονικά Μεταβαλόμενου) Συστήματος Με κριτήριο απόδωσης όπου H = H T, Q = Q T, R = R T, H 0, Q 0, R > 0 = A t Και x(t 0 ), t 0, t f : καθορισμένα. Μιά φυσική εξήγηση είναι ότι θέλουμε μέσα σε χρόνο t f -t 0 να οδηγήσουμε το σύστημα αρκετά κοντά στο 0, χωρίς σημαντική σπατάλη προσπάθειας ελέγχου.!x t x t + B t u t Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 6

7 Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής Σχηματίζουμε την Χαμιλτονιανή Οι αναγκαίες συνθήκες είναι: Εξισώσεις κατάστασης Εξισώσεις «Συγκατάστασης» (Co- state Equa]ons) Εξισώσεις Ελέγχου Οριακές Εξισώσεις x(t 0 )=x 0, (Πρόβλημα τύπου- 2: t f fixed x(t f ) free) ( ) = 1 2 xt t f h x t f = A t!x t H x t f x t + B t u t p ( t f ) = H x t f Two Point Boundary Value Problem (TPBVP) : Μητρωϊκή ΔΕ όπου: η x(t) εχει οριακή συνθήκη στο t 0, δηλ. x(t 0 )=x 0, ενώ η p(t) εχει οριακή συνθήκη στο t f, δηλ. p ( t f ) = H x t f

8 Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής Πως να λύσουµε αυτή την ΔΕ? Με δεδοµένο το x 0 επιλέγουµε (τυχαιο) λ 0 : όταν ολοκληρώσουµε προς τα εµπρός την µητρωϊκή ΔΕ, θα ικανοποιούν τα x, p σε χρόνο t f την p? = H x ( t f ) ( t f ) = H x t f Επιλέγουµε (τυχαιο) x f και δεδοµένου του p t f : όταν ολοκληρώσουµε προς τα πίσω την µητρωϊκή ΔΕ, σε χρόνο t 0 θα ισχύει x(t 0 ) = x 0? Λύση μέσω Πίνακα Μεταβατικής Κατάστασης (από αρχικό χρόνο t σε τελικό t f ) p ( t f ) = H x ( t f ) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 8

9 Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής p(tf)= Από προηγουμένως Πως υπολογίζουμε το Κ(t)?! K (t ) p! ( t ) = Q ( t ) x ( t ) + AT ( t ) p ( t ) p! ( t ) = K! ( t ) x ( t ) + K ( t ) x! ( t ) Q ( t ) x ( t ) + AT ( t ) K ( t ) x ( t ) = p! ( t ) = K! ( t ) x ( t ) + K ( t ) A ( t ) x ( t ) K ( t ) B ( t ) R 1 ( t ) B ( t ) K ( t ) x ( t ) Μητρωϊκή Ricca9 Δ.Ε. K! ( t ) = K ( t ) A ( t ) AT ( t ) K ( t ) Q ( t ) + K ( t ) B ( t ) R 1 ( t ) BT ( t ) K ( t ) K tf = H Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ Κ=KT ℜn n. Επομένως υπάρχουν n(n+1)/2 άγνωστοι 9

10 Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής ΔΛΑ: = 1 2 x T Ricatti J = 1 2 xt ( t f ) H x t f = 1 2 x T t f!k t ( t f ) H x( t f ) t f t f t 0 Q( t) x t x T + x T t ( t) Q( t) x( t) + u T t R u t u dt ( t) = R 1 t B( t) K ( t) x t K ( t) B T ( t) R 1 ( t) R( t) R 1 ( t) B( t) K ( t) x t x T t dt = t 0 H x t f = K ( t) A( t) A T t Q( t) =!K ( t) K t t f x T t t 0 K t A t Q( t) + K ( t) B T ( t) R 1 ( t) B K ( t) x t Q( t) + K ( t) B t A T ( t) K ( t) + K t dt R 1 ( t) B T ( t) K ( t) B( t) R 1 ( t) B T ( t) K t J = 1 2 x T J = 1 2 x T J = 1 2 x T ( t f ) H x t f t f 1 2 x T t ( t f ) H x ( t f ) 1 2 ( t f ) H x ( t f ) 1 2 t 0 t f t 0 t f x T + K ( t) A( t) B ( t ) R 1( t) B T ( t) K ( t ) + A( t) B ( t ) R 1( t) B T ( t) K ( t Τ { ) K ( t) } ( x t)!k t = A( t) B t!x t ( t)!k ( t) x ( t) + x Τ ( t) K ( t)!x ( t) +!x Τ ( t) K ( t) x ( t) d x T ( t) K ( t) x ( t) dt dt = 1 ( 2 x T t f ) H x t f t x T t f =0 R 1 ( t) B Τ ( t) K ( t) x t dt K ( t f ) x t f x T t 0 K ( t f ) x t 0 J = 1 ( 2 xt t 0 ) K ( t 0 ) x t 0 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 10 dt K ( t f ) = H

11 Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής: Επανάληψη Γραµµικός Τετραγωνικός Ρυθµιστής (Linear Quadratic Regulator LQR): Διάταξη που περιγράφεται από ένα ΓΧΑΣ: Δείκτης Λειτουργικής Απόδωσης: x! ( t ) = A ( t ) x ( t ) + B ( t ) u ( t ) H = H T, Q = Q T, R = RT, H 0, Q 0, R > 0 Λειτουργικές προδιαγραφές που απαιτούν x(t0), t0, tf : καθορισμένα. Λύση: Επίλυση Riccati: K! (t ) = K (t ) A (t ) AT (t ) K (t ) Q (t ) + K (t ) B (t ) R 1 (t ) BT (t ) K (t ) Εύρεση Συνάρτησης Κέρδους: F ( t ) = R 1 BT K ( t ) Εύρεση Βέλτιστης Συνάρτησης Εισόδου: Εύρεση ΔΕ & Βέλτιστης Συνάρτησης Κατάστασης: A ( t ) K tf = H x! ( t ) = A ( t ) x ( t ) + B ( t ) u ( t ) = = A ( t ) x ( t ) + B ( t ) F ( t ) x ( t ) = A ( t ) + B ( t ) F ( t ) x ( t ) = A ( t ) B ( t ) R 1 BT ( t ) K ( t ) x ( t ) 1 T J = x (t- 0 Σ).Α.Ε. P K(t (tι0ι 0)) x (t0 ) Εύρεση Βέλτιστης Τιµής ΔΛΑ: Kostas J. Kyriakopoulos 2 t A (τ ) d τ x ( t ) = et0 11

12 Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής H > 0, Q = 0, R = 1 2 Τ = 15 = 2aK ( t) + 2K 2 ( t) K ( T ) = H!K t Αναλυτική ή Αριθμητική Επίλυση (από t f =15 προς t 0 =0)!K t K t f ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΑ με χρήση Μητρωϊκής Ricca9 Δ.Ε. = K ( t) A( t) A T ( t) K ( t) Q( t) + K ( t) B( t) R 1 ( t) B T ( t) K ( t) = H 12

13 Η α = u ( t) = 2 K ( t) x t Τ = 15 u ( t) = 2 K ( t) x t!x ( t) = a x ( t) + u ( t) α = 0.2!x ( t) = a x ( t) + u ( t) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 13

14 Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής Η x! ( t ) = A ( t ) x ( t ) + B ( t ) u ( t ) H=0, R = 1/2 if Τ = tf = 15. Κ=KT ℜ2 2. Επομένως υπάρχουν 2(2+1)/2=3 άγνωστοι Mε χρήση Μητρωϊκής Ricca9 Δ.Ε. Αριθμητική Επίλυση u ( t ) = R 1 ( t ) BT ( t ) K ( t ) x ( t ) u ( t ) = 2 k12 ( t ) k22 ( t ) x ( t ) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 14

15 Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής Η u ( t) = 2 k 12 t k 22 ( t) ( x t)!x ( t) = A( t) x ( t) + B( t) u ( t) Αριθμητική Επίλυση (από t f =15 προς t 0 =0) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 15

16 Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής: Επίλυση της Ricca] H µητρωική ΔΕ Riccati εισάγει δυσκολία στην ολοκλήρωσή της λόγω του µη-γραµµικού όρου Θεώρηµα: Αν οι πίνακες Χ(t), Λ(t) R n n είναι η λύση της γραµµικής ΔΕ X ( t f ) I = Λ( t f ) H Πίνακας Hamilton τότε ο πίνακας K ( t) = Λ( t) X 1 ( t) είναι η επίλυση της µητρωική ΔΕ Riccati Κάθε χρονική στιγµή t, o υπολογισµός της συνάρτησης εισόδου προαπαιτεί τον υπολογισµό του πίνακα κέρδους FK t t χρονική στιγµή t). ( () ) = = RR 1 B T PK ( tt ) (κάθε Αυτός µε την σειρά του προαπαιτεί µεν τον υπολογισµό των Χ(t) & Λ(t) οι οποίοι, όπως είδαµε, υπολογίζονται σε κλειστή µορφή µέσω της αλλά ο υπολογισµός του K ( t) = Λ( t) X 1 ( t) απαιτεί τη αντιστροφή του Χ(t), κάθε στιγµή t... Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 16

17 Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής: Επίλυση της Ricca] Παράδειγμα- 1 Έχουµε το ΓΧΑΣ και Θέλουµε να βρούµε την είσοδο ελέγχου που ελαχιστοποιεί τον ΔΛΑ Πρόφανώς, πρόκειται για πρόβληµα LQR µε H Για τον πίνακα Hamilton Αυτό οδηγεί στην H 0 e H 0t = Απ όπου λαµβάνουµε K(t) Η ίδια λύση θα ληφθεί αν θεωρήσουµε και επιλύσουµε την Riccati!K ( t) +1 K 2 ( t) = 0 K ( 1) = σ Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 17

18 Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής: Επίλυση της Ricca] - Παράδειγμα- 1 Εποµένως!x = u u = F x F = K!x = K x Και το σύστηµα προσοµοιώνεται γιά σ = 0,1,10. Η απόκριση φαίνεται στο σχήµα Θα επανέλθουµε σε αυτό το παράδειγµα... Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 18

19 Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής: Επίλυση της Ricca] Επειδή για τον ισχύει,τότε για τον Hamilton ισχύει Εποµένως: Επειδή οι Η και Η Τ έχουν τις ίδιες ιδιοτιµές, και Οι Η και Η έχουν Επειδη η αναστροφή δεν επηρεάζει τις ιδιοτιµές. τις ίδιες ιδιοτιµές Αν Η R (2n) (2n), λ σ(η) λ σ(η) Αν λ C, λ σ(η) -λ σ(η) Αν Η R (2n) (2n), λ σ(η) λ,-λ,-λ σ(η) Αν δεν υπάρχουν ιδιοτιµές του Η που είναι αµιγώς φανταστικές τότε οι 2n ιδιοτιµές του µπορούν να «χωρισθούν» σε n ιδιοτιµές που έχουν αυστήρά αρνητικό πραγµατικό µέρος, και n ιδιοτιµές που έχουν αυστήρά θετικό πραγµατικό µέρος Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 19

20 Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής: Επίλυση της Ricca] Έτσι, µε κατάλληλο µετασχηµατισµό οµοιότητας Τ λαµβάνουµε την κανονική µορφή Jordan Αντιστοιχεί σε ιδιοτιµές µε αρνητικό πραγµατικό µέρος Αντιστοιχεί σε ιδιοτιµές µε θετικό πραγµατικό µέρος Αν ο Τ γραφεί στα 4 block n n που τον συνιστούν τότε µέσω του µετασχηµατισµού στην µητρωική ΔΕ λαμβάνουμε και στην οριακή συνηθήκη Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 20

21 Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής: Επίλυση της Ricca] Παράδειγμα- 2 Συνεχίζουµε στο προηγούµενο παράδειγµα. Θεωρόντας το µετασχηµατισµό οµοιότητας... λαµβάνουµε την κανονική µορφή Jordan = Που είναι ακριβώς ότι βρήκαµε και προηγουµένως και θα χρησιµοποιηθεί και παρακάτω. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 21

22 LQR Μόνιμης Κατάστασης Αν στο ΔΛΑ του LQR Θέσουµε H τότε Δεδοµένου ότι t0 = 0, S = 0, tf 0 t f 0 t f xt = x 0 0 H = H T, Q = Q T, R = R T, H 0, Q 0, R > 0 Μπορεί να δειχθεί η επιζητούµενη λύση Κ LQR ικανοποιεί την αλγεβρική εξίσωση Ricatti: που προκύπτει από τη µητρωική ΔΕ Riccati στη µόνιµη κατάσταση. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 22

23 LQR Μόνιμης Κατάστασης Από το Κ LQR προκύπτει το αντίστοιχο κέρδος F LQR = R 1 B K LQR και η εξίσωση βελτίστου ελέγχου u ( t) = F LQR x ( t), τα οποία είναι χρονικά αµετάβλητης φύσης. x t!x ( t) = A R 1 B K LQR Το σύστηµα κλειστού βρόχου είναι Κατά συνέπεια, το συνολικό δοµικό διάγραµµα είναι : x( 0) = x 0 R 1 B K LQR Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 23

24 LQR Μόνιμης Κατάστασης Καταλήγουµε µε ένα βασικό θεώρηµα. Πριν το παρουσιάσουµε χρειάζεται να ορίσουµε και ξεκαθαρίσουµε κάποιες έννοιες: Σύστηµα! = + xt xt Axt But = x 0 0 ΔΛΑ: Το Q µπορεί να αναλυθεί ως Q = C T C όπου ο C R q n, όπου ο C είναι full-row rank. T T Q= Q 0, R= R > 0 q= rank Q n Θεώρηµα: Αν το σύστηµα και ο ΔΛΑ είναι τέτοια όπου το ζεύγος (Α,Β) είναι ελέγξιµο και το ζεύγος (Α,C) είναι παρατηρήσιµο, τότε η αλγεβρική Riccati έχει µοναδική θετικά ορισµένη λύση Κ LQR και το σύστηµα κλειστού βρόχου!x t = A R 1 B K LQR είναι ασυµπτωτικά ευσταθές. x t x( 0) = x 0 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 24

25 LQR Μόνιμης Κατάστασης : Παράδειγμα- 1 Συνεχίζουµε µε το προηγουµένως χρησιµοποιηθέν ΓΧΑΣ αλλά τώρα ορίζοντας ΔΛΑ : Από προηγουµένως έχουµε βρει: Προφανώς 2 ( t t ) f tf t + σ e = e KP( t ) KP LQR = = 1 tf tf 1+ σ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΑ µε χρήση του προηγούµενου θεωρήµατος: Α=0, Β=1 (Α,Β) : ελέγξιµο C = Q = 1 (Α,C) : παρατηρήσιµο Αλγεβρική Riccati: 1 K 2 LQR Επιλέγεται η θετική («ορισµένη») λύση K LQR = 1 F LQR ut = R= 1 Bxt K LQR = 1 u ( t) = F LQR x ( t) = x ( t) Καταλήγουµε στο ασυµπτωτικά ευσταθές σύστηµα κλειστού βρόχου: K ( t) = 0 K LQR = ±1 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 25

26 LQR Μόνιμης Κατάστασης : Παράδειγμα- 2 Θέλουμε να λύσουμε και διερευνήσουμε το πρόβλημα βελτίστου ελέγχου!x ( t) = a x( t) + b u( t) x( 0) = x 0 J ( u) = 1 2 q x 2 ( τ ) + r u 2 ( τ ) dτ 0 ΛΥΣΗ: Σύμφωνα με το συμβολισμό A = a, B = b, Q = q, R = r Οπότε u ( t) = ( R 1 B K LQR ) x ( t) = b με k LQR την θετικά r k LQR x ( t) ορισμένη λύση της αλγεβρικής Riccaq = k LQR a a k LQR q k LQR b2 r k LQR Και ο βέλτιστος έλεγχος γίνεται b2 a + a 2 + q r u ( t) = b Ενώ η πορεία (trajectory) του βέλτιστου συστήματος!x t = a x ( t) + b u ( t) = a x ( t) + b x ( t) a + ( a 2 + q ) r b2 b k LQR = a + a 2 + q r b 2 r x ( t)!x ( t) = a 2 + q r b2 b2 x t Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 26

27 LQR Μόνιμης Κατάστασης : Παράδειγμα- 2 Από την εξίσωση x! ( t ) = a + r b x ( t ) του (βελτίστου) συστήματος κλειστού βρόχου γίνεται φανερό ότι αυτό είναι παντοτε ευσταθές. Επίσης παρατηρούμε ότι οι ιδιοτιμές του εξαρτώνται από το λόγο q/r. 2 q r r 2 Είναι φανερό λοιπόν ότι λόγος q/r καθορίζει τη «ταχύτητα απόκρισης» του συστήματος με τρόπο που φαίνεται παρακάτω r r) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 27

28 Το Πρόβλημα Παρακολούθησης Τροχιάς Από το πρόβληµα του Γραµµικού Τετραγωνικού Ρυθµιστή (Linear Quadratic Regulator LQR) οδηγούµαστε το πρόβληµα Παρακολούθησης Τροχιάς (Trajectory Tracking) θεωρόντας τη περίπτωση : Γραμμικού (αλλα Χρονικά Μεταβαλόμενου) Συστήματος Με κριτήριο απόδωσης!x ( t) = A( t) x( t) + B( t) u( t) + όπου H = H T, Q = Q T, R = R T, H 0, Q 0, R > 0 Και x(t 0 ), t 0, t f : καθορισμένα. Μιά φυσική εξήγηση είναι ότι θέλουμε μέσα σε χρόνο t f - t 0 να οδηγήσουμε το σύστημα αρκετά κοντά στο r(t), χωρίς σημαντική σπατάλη προσπάθειας ελέγχου Σχηματίζουμε την Χαμιλτονιανή Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 28

29 Το Πρόβλημα Παρακολούθησης Τροχιάς Βρήκαμε την Χαμιλτονιανή Οι αναγκαίες συνθήκες είναι: Εξισώσεις κατάστασης Εξ. «Συγκατάστασης» (Co- state Eq.) Εξισώσεις Ελέγχου Οριακές Εξισώσεις x(t 0 )=x 0, Two Point Boundary Value Problem (TPBVP) : Μητρωϊκή ΔΕ όπου: Μη-οµογενης η x(t) εχει οριακή συνθήκη στο t 0 ενώ Η p(t) εχει οριακή συνθήκη στο t f

30 Το Πρόβλημα Παρακολούθησης Τροχιάς Λύση μέσω Πίνακα Μεταβατικής Κατάστασης Αν = ϕ t f,t ϕ 12 ( t f,t) ϕ 22 ( t f,t) ϕ 11 t f,t ϕ 21 t f,t t f 0 ϕ ( t f,t) dτ = Q( τ ) r( τ ) t f 1 f 2 ( t) ( t) +! K ( t)! s( t) 30

31 Το Πρόβλημα Παρακολούθησης Τροχιάς F( t) v( t) Πως υπολογίζουμε τα Κ(t), s(t)?!p ( t) = Q( t) x ( t) + A T ( t) p ( t) + Q( t) r( t)!p ( t) =!K ( t) x ( t) + K ( t)!x ( t) +!s ( t) Μητρωϊκή Ricca9 Δ.Ε. - Κ(t) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ Μητρωϊκή Ricca9 Δ.Ε. - s(t) 31

32 Το Πρόβλημα Παρακολούθησης Τροχιάς: Επανάληψη Παρακολούθησης Τροχιάς (Trajectory Tracking) : Διάταξη που περιγράφεται από ένα ΓΧΑΣ: Δείκτης Λειτουργικής Απόδωσης: x! (t ) = Ax (t ) + Bu (t ) J H = H T, Q = Q T, R = RT, H 0, Q 0, R > 0 Λειτουργικές προδιαγραφές που απαιτούν x(t0), t0, tf : καθορισμένα. Λύση: Riccati: Εύρεση Βέλτιστης Συνάρτησης Εισόδου: F (t ) v(t ) Εύρεση ΔΕ & Βέλτιστης Συνάρτησης Κατάστασης: x! ( t ) = A ( t ) x ( t ) + B ( t ) u ( t ) = A ( t ) x ( t ) + B ( t ) F ( t ) x ( t ) + v ( t ) = A (τ ) d τ = A + B F ( t ) x ( t ) + B ( t ) v ( t ) = A ( t ) B ( t ) R 1 BT ( t ) K ( t ) x ( t ) + B ( t ) v ( t ) Φ ( t, τ )! e t τ t x ( t ) = Φ ( t, τ ) x ( t 0 ) + Φ ( t, τ ) B (τ ) u (τ ) dτ t0 A ( t ) 32

33 Το Πρόβλημα Παρακολούθησης Τροχιάς: Παράδειγμα - 1 Σύστημα: Κριτήριο απόδωσης: Οριακές Συνθήκες: x(t 0 )=0, t 0 =0, t f =15 : καθορισμένα, x(t f ): ελεύθερο «Φυσική» Σημασία: να οδηγηθεί η κατάσταση κοντά στο 0 χωρίς σημαντικο κόστος ενέργειας Λύση: Εφαρμόζουμε τις σχετικές σχέσεις γιά... Riccati: (15) (15) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 33

34 Το Πρόβλημα Παρακολούθησης Τροχιάς: Παράδειγμα - 1!x ( t) = A( t) x ( t) + B( t) u ( t) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 34

35 Το Πρόβλημα Παρακολούθησης Τροχιάς: Παράδειγμα - 2 Σύστημα: Κριτήριο απόδωσης: Οριακές Συνθήκες: x(t 0 )=[-4 0] T, t 0 =0, t f =15 : καθορισμένα, x(t f ): ελεύθερο «Φυσική» Σημασία: να οδηγηθεί η κατάσταση κοντά στη συνάρτηση- ράμπα 0.2 t χωρίς σημαντικο κόστος ενέργειας Λύση: Εφαρμόζουμε τις σχετικές σχέσεις γιά... Riccati: Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 35

36 Το Πρόβλημα Παρακολούθησης Τροχιάς: Παράδειγμα - 2!x ( t) = A( t) x ( t) + B( t) u ( t) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 36

Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής: Ευρεση Νόμου Ελέγχου

Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής: Ευρεση Νόμου Ελέγχου Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής: Ευρεση Νόμου Ελέγχου Για την ανεύρεση της µορφής των λύσεων στρεφόµαστε προς τις αναγκαίες συνθήκες, αρχικά στις Εξισώσεις Euler-Lagrange: Τ Τ Τ! f d! f = 0 t t0, t

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος «Ελάχιστης Ενέργειας»

Έλεγχος «Ελάχιστης Ενέργειας» Έλεγχος «Ελάχιστης Ενέργειας» Σε πολλές εφαρµογές, τόσο της αεροδιαστηµικής όσο και άλλων µορφών της τεχνολογίας µεταφορών κλπ, η βελτιστοποίηση επικεντρώνεται στο ζήτηµα της ενέργειας κατά την επίτευξη

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (http://)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (http://) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (http://) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (http://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 10: Γραμμικό Τετραγωνικό Πρόβλημα. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών

Ενότητα 10: Γραμμικό Τετραγωνικό Πρόβλημα. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 10: Γραμμικό Τετραγωνικό Πρόβλημα Νίκος Καραμπετάκης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://courseware.mech.ntua.gr/ml23147/)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://courseware.mech.ntua.gr/ml23147/) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://courseware.mech.ntua.gr/ml23147/) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (h>p://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (h>p://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

2. Ανάλυση Γραμμικών Χρονικά Αμετάβλητων Συστημάτων (ΓΧΑΣ) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1

2. Ανάλυση Γραμμικών Χρονικά Αμετάβλητων Συστημάτων (ΓΧΑΣ) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 2. Ανάλυση Γραμμικών Χρονικά Αμετάβλητων Συστημάτων (ΓΧΑΣ) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Επίλυση Εξισώσεων Κατάστασης Δεδοµένου του ΓΧΑΣ nn nm pn pm όπου A R B R C R D R Τίθεται το ζήτηµα της επίλυσης

Διαβάστε περισσότερα

Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές

Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές Κων/νος Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ @ kkyria@central.ntua.gr! http://users.ntua.gr/kkyria ΑΕΡΟΔΙΑΣΤΗΜΙΚΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΣ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΣ Δομή

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (hhp://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγή στο Χώρο

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα Ελευθέρων Αρχικών & Τελικών: Χρόνου & Οριακών Συνθηκών

Το Πρόβλημα Ελευθέρων Αρχικών & Τελικών: Χρόνου & Οριακών Συνθηκών ο Πρόβλημα Ελευθέρων Αρχικών & ελικών: Χρόνου & Οριακών Συνθηκών Θεωρούμε το πρόβλημα της εύρεσης ακροτάτων του t συναρτησιακού f F = F(z) = f ( z( t), z ( t),t) dt Θεωρούμε την «γενική» περίπτωση όπου

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (h>p://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΙ Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Υπολογιστών & Αριθμητικής Ανάλυσης Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 2016

ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΙ Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Υπολογιστών & Αριθμητικής Ανάλυσης Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 2016 ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΙ Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Υπολογιστών & Αριθμητικής Ανάλυσης Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 016 Θέμα 1. α) (Μον.1.5) Αποδείξτε ότι αν το σύστημα στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ. Άσκηση. γραμμάτων του επιθέτου σας (π.χ. για το επίθετο Κοσματόπουλος, οι αριθμοί α ι θα είναι a

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ. Άσκηση. γραμμάτων του επιθέτου σας (π.χ. για το επίθετο Κοσματόπουλος, οι αριθμοί α ι θα είναι a Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Άσκηση Θεωρείστε το σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς: Y ( s) a s 4 3 a3s a U ( s) s a όπου οι αριθμοί α ι αντιστοιχούν στους αντίστοιχους αριθμούς των 4 πρώτων γραμμάτων του

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Ελέγχου με Μικροϋπολογιστές (h9p://courseware.mech.ntua.gr/ml23259/)

Συστήματα Ελέγχου με Μικροϋπολογιστές (h9p://courseware.mech.ntua.gr/ml23259/) Συστήματα Ελέγχου με Μικροϋπολογιστές (h9p://courseware.mech.ntua.gr/ml23259/) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (h9p://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή της Ύλης του

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Ελέγχου με Μικροϋπολογιστές (h9p://courseware.mech.ntua.gr/ml23259/)

Συστήματα Ελέγχου με Μικροϋπολογιστές (h9p://courseware.mech.ntua.gr/ml23259/) Συστήματα Ελέγχου με Μικροϋπολογιστές (h9p://courseware.mech.ntua.gr/ml23259/) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (h9p://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή της Ύλης του

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (h>p://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 6: Το γραμμικό τετραγωνικό πρόβλημα βέλτιστης Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα Αδειοδότησης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Λογισμό των Μεταβολών : Βελτιστοποίηση σε Πεπερασμένες Διαστάσεις & Ισοτικοί Περιορισμοί

Εισαγωγή στο Λογισμό των Μεταβολών : Βελτιστοποίηση σε Πεπερασμένες Διαστάσεις & Ισοτικοί Περιορισμοί Βελτιστοποίηση σε Πεπερασμένες Διαστάσεις & Ισοτικοί Περιορισμοί Τι θα γίνει όμως αν μας ζητηθεί να ελαχιστοποιήσουμε ως προς το R την f ( ) = Q + S Q = Q = S = με ταυτόχρονη ικανοποίηση της g( ) = c b

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (h>p://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 5: Το γραμμικό τετραγωνικό πρόβλημα ρύθμισης (LQ Regulators) Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρικη Θεωρια Ελεγχου

Γεωµετρικη Θεωρια Ελεγχου Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Σχολη Θετικων Επιστηµων Τµηµα Μαθηµατικων Χειµερινό Εξάµηνο 2016-2017 Γεωµετρικη Θεωρια Ελεγχου εύτερη Εργασία 1. Βρείτε δύο διαφορετικά παραδείγµατα συστηµάτων στο

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 2: Εισαγωγή στη Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών

Ενότητα 2: Εισαγωγή στη Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Εισαγωγή στη Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου Νίκος Καραμπετάκης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγµα Θεωρείστε το σύστηµα: αυτοκίνητο επάνω σε επίπεδη επιφάνεια κάτω από την επίδραση δύναµης x( t ) : v(t)

Παράδειγµα Θεωρείστε το σύστηµα: αυτοκίνητο επάνω σε επίπεδη επιφάνεια κάτω από την επίδραση δύναµης x( t ) : v(t) Παράδειγµα Θεωρείστε το σύστηµα: αυτοκίνητο επάνω σε επίπεδη επιφάνεια κάτω από την επίδραση δύναµης x( t ) : p(t) v(t) v(t) Πίεση στό γκάζι Σήµα εισόδου t ΣΥΣΤΗΜΑ Ταχύτης του αυτοκινήτου Σήµα εξόδου t

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://courseware.mech.ntua.gr/ml23147/)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://courseware.mech.ntua.gr/ml23147/) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://courseware.mech.ntua.gr/ml23147/) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (h>p://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Εφαρµογές της Κανονικής Μορφής Jordan Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 46 8 Εφαρµογές της Κανονικής

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση: Ένα σύστηµα µε είσοδο u(t), έξοδο y(t) και διάνυσµα κατάστασης x(t) = (x 1 (t) x 2 (t)) T περιγράφεται από το ακόλουθο διάγραµµα:

Άσκηση: Ένα σύστηµα µε είσοδο u(t), έξοδο y(t) και διάνυσµα κατάστασης x(t) = (x 1 (t) x 2 (t)) T περιγράφεται από το ακόλουθο διάγραµµα: 1 Άσκηση: Ένα σύστηµα µε είσοδο u(t), έξοδο y(t) και διάνυσµα κατάστασης x(t) = (x 1 (t) x 2 (t)) T περιγράφεται από το ακόλουθο διάγραµµα: Όπου Κ R α) Να βρεθεί η περιγραφή στο χώρο κατάστασης και η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Ευστάθεια Ελεγξιµότητα - Παρατηρησιµότητα

Κεφάλαιο 5 Ευστάθεια Ελεγξιµότητα - Παρατηρησιµότητα Κεφάλαιο 5 Ευστάθεια Ελεγξιµότητα - Παρατηρησιµότητα u u u u Ευστάθεια Ευστάθεια κατά Lyapunov Ασυµπτωτική Ευστάθεια Κριτήρια Ευστάθειας Ελεγξιµότητα Παρατηρησιµότητα Επίδραση της Δειγµατοληψίας στην Ελεγξιµότητα

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (http://)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (http://) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (http://) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (http://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (h>p://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Τριγωνοποίηση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 7 2 Τριγωνοποίηση 21 Ανω Τριγωνικοί Πίνακες και

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (http://)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (http://) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (http://) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (http://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

Ακαδηµαϊκό Έτος , Εαρινό Εξάµηνο ιδάσκων Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης

Ακαδηµαϊκό Έτος , Εαρινό Εξάµηνο ιδάσκων Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ, ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΚΕΣ 1: ΑΥΤΟΜΑΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Ακαδηµαϊκό Έτος 5 6, Εαρινό Εξάµηνο Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Το τρέχον έγγραφο αποτελεί υπόδειγµα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://courseware.mech.ntua.gr/ml23147/)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://courseware.mech.ntua.gr/ml23147/) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://courseware.mech.ntua.gr/ml23147/) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (h>p://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Περιγραφή και Ανάλυση Συστημάτων Ελέγχου στο Χώρο Κατάστασης Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Λογισμό των Μεταβολών : Βελτιστοποίηση σε Πεπερασμένες Διαστάσεις

Εισαγωγή στο Λογισμό των Μεταβολών : Βελτιστοποίηση σε Πεπερασμένες Διαστάσεις Εισαγωγή στο Λογισμό των Μεταβολών : Βελτιστοποίηση σε Πεπερασμένες Διαστάσεις Όπως είδαµε στα προηγούµενα παραδείγµατα, η εξαγωγή συµπεράσµατος για το είδος του κρίσιµου σηµείου έγινε µέσω της 2 ης παραγώγου

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακός Έλεγχος. 6 η διάλεξη Σχεδίαση στο χώρο κατάστασης. Ψηφιακός Έλεγχος 1

Ψηφιακός Έλεγχος. 6 η διάλεξη Σχεδίαση στο χώρο κατάστασης. Ψηφιακός Έλεγχος 1 Ψηφιακός Έλεγχος 6 η διάλεξη Σχεδίαση στο χώρο κατάστασης Ψηφιακός Έλεγχος Μέθοδος μετατόπισης ιδιοτιμών Έστω γραμμικό χρονικά αμετάβλητο σύστημα διακριτού χρόνου: ( + ) = + x k Ax k Bu k Εφαρμόζουμε γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρικη Θεωρια Ελεγχου

Γεωµετρικη Θεωρια Ελεγχου Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Σχολη Θετικων Επιστηµων, Τµηµα Μαθηµατικων Τοµεας Γεωµετριας Γεωµετρικη Θεωρια Ελεγχου Πρώτη Εργασία, 2017-2018 1. ίνεται ϱοή φ(p, t). (αʹ) είξτε ότι το ω οριακό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 206 Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης εξισώσεων διαφορών. Oι εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

x(t) 2 = e 2 t = e 2t, t > 0

x(t) 2 = e 2 t = e 2t, t > 0 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-215: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 216-17 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λυµένες Ασκήσεις σε Σήµατα και Συστήµατα Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ.Ε. ΜΕ ΚΡΟΥΣΤΙΚΕΣ ΙΕΓΕΡΣΕΙΣ

ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ.Ε. ΜΕ ΚΡΟΥΣΤΙΚΕΣ ΙΕΓΕΡΣΕΙΣ ΣΧΟΛΗ. Ν. ΟΚΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΙΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ Σ.Α.Ε. ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ.Ε. ΜΕ ΚΡΟΥΣΤΙΚΕΣ ΙΕΓΕΡΣΕΙΣ ρ. Α. Μαγουλάς Οκτώβριος 4 Η συνάρτηση δ ( και η παράγωγός της Ορίζεται ως εξής: δ ( ανωµαλο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Ευστάθεια Ελεγξιµότητα - Παρατηρησιµότητα

Κεφάλαιο 5 Ευστάθεια Ελεγξιµότητα - Παρατηρησιµότητα Κεφάλαιο 5 Ευστάθεια Ελεγξιµότητα - Παρατηρησιµότητα u Συστήµατα από Δειγµατοληπτικά Δεδοµένα (Επανάληψη Ασκήσεις) u Στο πεδίο Συχνότητας (Συναρτήσεις Μεταφορά) u Στο πεδίο Χρόνου (Εξισώσεις Κατάστασης)

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές Δυναμική Μηχανών I Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις 5 3 Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

Οι ιδιότητες και οι µέθοδοι επίλυσης διαφορικών εξισώσεων παρουσιάζονται σε µία σειρά εγχειριδίων µαθηµατικών

Οι ιδιότητες και οι µέθοδοι επίλυσης διαφορικών εξισώσεων παρουσιάζονται σε µία σειρά εγχειριδίων µαθηµατικών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Μαθηµατικό Παράρτηµα 1 Διαφορικές Εξισώσεις Στο µαθηµατικό αυτό παράρτηµα ορίζουµε και αναλύουµε την επίλυση απλών συστηµάτων γραµµικών διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου Ασκήσεις

Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου Ασκήσεις Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου Νικόλαος Καραμπετάκης Τμήμα Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, Οκτώβριος 3 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Cretive

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις

Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις ẋ 1 f 1 (x 1 x 2 ) ẋ 2 f 2 (x 1 x 2 ) (501) Το σύστημα αυτό γράφεται σε διανυσματική

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 11. Ελεγξιμότητα (μέρος 2ο) Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας)

Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας) Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Παν/µίου Κρήτης Εξεταστική περίοδος εαρινού εξαµήνου Πέµπτη, 2 Ιούνη 28 Γραµµική Αλγεβρα II ιδάσκων: Α. Τόγκας Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας) Θέµα

Διαβάστε περισσότερα

x(t) ax 1 (t) y(t) = 1 ax 1 (t) = (1/a)y 1(t) x(t t 0 ) y(t t 0 ) =

x(t) ax 1 (t) y(t) = 1 ax 1 (t) = (1/a)y 1(t) x(t t 0 ) y(t t 0 ) = ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-25: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 26-7 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων.

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων. 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://courseware.mech.ntua.gr/ml23147/)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://courseware.mech.ntua.gr/ml23147/) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://courseware.mech.ntua.gr/ml23147/) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (h>p://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Ψηφιακά Σ.Α.Ε: Περιγραφή στο Χώρο Κατάστασης Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών. Διάλεξη 13

Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών. Διάλεξη 13 Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τομέας Συστημάτων και Αυτομάτου Ελέγχου ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Διάλεξη 13 Πάτρα 28 Προσαρμοστικός έλεγχος με μοντέλο αναφοράς

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Το πρόβλημα του φιλτραρίσματος είναι να υπολογιστεί η βέλτιστη εκτίμηση. μέχρι και τη χρονική στιγμή k. Η εκτίμηση είναι:

Το πρόβλημα του φιλτραρίσματος είναι να υπολογιστεί η βέλτιστη εκτίμηση. μέχρι και τη χρονική στιγμή k. Η εκτίμηση είναι: 1 2. ΦΙΛΤΡΟ KALMAN 2.1.ΧΡΟΝΙΚΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΟ ΦΙΛΤΡΟ KALMAN Το πρόβλημα του φιλτραρίσματος είναι να υπολογιστεί η βέλτιστη εκτίμηση (φιλτράρισμα) x( k / k ) της κατάστασης τη χρονική στιγμή δεδομένου του

Διαβάστε περισσότερα

Σύγχρονος Αυτόματος Έλεγχος. (Π3) Η «ιδιότητα του τριγώνου»: για οποιαδήποτε διανύσματα ισχύει x, y ότι

Σύγχρονος Αυτόματος Έλεγχος. (Π3) Η «ιδιότητα του τριγώνου»: για οποιαδήποτε διανύσματα ισχύει x, y ότι Σύγχρονος Αυτόματος Έλεγχος 1.Ορισμοί και Χρήσιμες Ιδιότητες (Π1) λ(a) είναι το διάνυσμα ιδιοτιμών του πίνακα Α (Π) x = x 1 + x +... + xn (Π3) Η «ιδιότητα του τριγώνου»: για οποιαδήποτε διανύσματα ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΑΖΑΣ-ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ-ΑΠΟΣΒΕΣΤΗΡΑ

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΑΖΑΣ-ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ-ΑΠΟΣΒΕΣΤΗΡΑ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΙΙ ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΑΖΑΣ-ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ-ΑΠΟΣΒΕΣΤΗΡΑ Μ. Σφακιωτάκης mfak@taff.teicrete.gr Χειµερινό Οκτώβριος εξάµηνο 2010-11 2017 Σύστηµα Μάζας-Ελατηρίου-Αποσβεστήρα

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1)

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1) Κεφάλαιο 4 Ευθέα γινόµενα οµάδων Στο Παράδειγµα 1.1.2.11 ορίσαµε το ευθύ εξωτερικό γινόµενο G 1 G 2 G n των οµάδων G i, 1 i n. Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ασχοληθούµε λεπτοµερέστερα µε τα ευθέα γινόµενα οµάδων

Διαβάστε περισσότερα

Βασική Εφικτή Λύση. Βασική Εφικτή Λύση

Βασική Εφικτή Λύση. Βασική Εφικτή Λύση Αλγεβρική Μορφή Γενική Μορφή Γραµµικού Προγραµµατισµού n µεταβλητών και m περιορισµών Εστω πραγµατικοί αριθµοί a ij, b j, c i R µε 1 i m, 1 j n Αλγεβρική Μορφή Γενική Μορφή Γραµµικού Προγραµµατισµού n

Διαβάστε περισσότερα

Οι ιδιότητες και οι µέθοδοι επίλυσης διαφορικών εξισώσεων παρουσιάζονται σε µία σειρά εγχειριδίων µαθηµατικών

Οι ιδιότητες και οι µέθοδοι επίλυσης διαφορικών εξισώσεων παρουσιάζονται σε µία σειρά εγχειριδίων µαθηµατικών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2016 Μαθηµατικό Παράρτηµα 1 Διαφορικές Εξισώσεις Στο µαθηµατικό αυτό παράρτηµα ορίζουµε και αναλύουµε την επίλυση απλών συστηµάτων γραµµικών διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 3. Έλεγχος ανατροφοδότησης κατάστασης dc κινητήρα. Έλεγχος ανατροφοδότησης κατάστασης

Άσκηση 3. Έλεγχος ανατροφοδότησης κατάστασης dc κινητήρα. Έλεγχος ανατροφοδότησης κατάστασης Άσκηση 3 Έλεγχος ανατροφοδότησης κατάστασης dc κινητήρα Έλεγχος ανατροφοδότησης κατάστασης Ένα γραμμικό χρονικά αμετάβλητο (LTI) σύστημα όπως γνωρίζουμε, μπορεί να περιγραφεί στο πεδίο του χρόνου μέσω

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα αντίστροφης απεικόνισης. ) και ακόµη ότι η g f 1 1. g y

Το θεώρηµα αντίστροφης απεικόνισης. ) και ακόµη ότι η g f 1 1. g y 5 Έστω Το θεώρηµα αντίστροφης απεικόνισης Ι R ανοικτό διάστηµα, : Ι R διαφορίσιµη της κλάσης a Ι : '( a) 0 Τότε από την συνέχεια της ' υπάρχει 0 ' 0 για κάθε ( a δ, a+ δ) δ > :( a δ, a δ) C και + Ι και

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II Ενότητα #8: Χώρος Κατάστασης: Μεταβλητές, Εξισώσεις, Κανονικές Μορφές Δημήτριος Δημογιαννόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Σύγχρονος Αυτόματος Έλεγχος. είναι το διάνυσμα ιδιοτιμών του πίνακα Α (Π2)

Σύγχρονος Αυτόματος Έλεγχος. είναι το διάνυσμα ιδιοτιμών του πίνακα Α (Π2) Σύγχρονος Αυτόματος Έλεγχος.Ορισμοί και Χρήσιμες Ιδιότητες (Π) (A) είναι το διάνυσμα ιδιοτιμών του πίνακα Α (Π) x x x... xn (Π3) Η «ιδιότητα του τριγώνου»: για οποιαδήποτε διανύσματα ισχύει x, y ότι x

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

x=l ηλαδή η ενέργεια είναι µία συνάρτηση της συνάρτησης . Στα µαθηµατικά, η συνάρτηση µίας συνάρτησης ονοµάζεται συναρτησιακό (functional).

x=l ηλαδή η ενέργεια είναι µία συνάρτηση της συνάρτησης . Στα µαθηµατικά, η συνάρτηση µίας συνάρτησης ονοµάζεται συναρτησιακό (functional). 3. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ Η Μέθοδος των Πεπερασµένων Στοιχείων Σηµειώσεις 3. Ενεργειακή θεώρηση σε συνεχή συστήµατα Έστω η δοκός του σχήµατος, µε τις αντίστοιχες φορτίσεις. + = p() EA = Q Σχήµα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3. Κανονικές μορφές Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ενότητα: Θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας της λύσης του Π.Α.Τ.: y = f ( x, y), y( x ) (Θεώρημα Picard) ' Όνομα Καθηγητή: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων εξέτασης προόδου στο μάθημα «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων εξέτασης προόδου στο μάθημα «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων εξέτασης προόδου στο μάθημα «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Θέμα. (μονάδες.0) Οι ορίζουσες των πινάκων ABC,, βρεθούν οι ορίζουσες των πινάκων:

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Φυσική Σημασία του Μετασχηματισμού Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμοί (Σημείο ισορροπίας - Ευστάθεια κατά Lyapunov)

Ορισμοί (Σημείο ισορροπίας - Ευστάθεια κατά Lyapunov) Ορισμοί (ημείο ισορροπίας - Ευστάθεια κατά Lyapuo) Έστω ότι στη γενική περίπτωση το σύστημα περιγράφεται στο χώρο κατάστασης με το μαθηματικό πρότυπο: = f(, t), (t 0 ) = 0 () όπου είναι ένα διάστατο διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

[A I 3 ] [I 3 A 1 ].

[A I 3 ] [I 3 A 1 ]. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 9 (α) Να ϐρεθεί ο αντίστροφος του πίνακα A = 6 4 (ϐ) Εστω b, b, b στο R Να λύθεί το σύστηµα x = b 6x + x + x = b x

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 15

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 15 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 13 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 17 1. Εισαγωγή 17 2. Πραγματικές συναρτήσεις διανυσματικής μεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 11. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 11. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 11 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Περιεχόμενα Γραμμικοποίηση Ευστάθεια Απόκριση Συστημάτων 1 Β.Ε. που περιγράφονται από ΣΔΕ 1 ης τάξης 2 Πρόβλημα/Ερώτημα

Διαβάστε περισσότερα

Υπόδειξη. (α) Άµεσο αφού κάθε υποσύνολο µηδενικού συνόλου είναι µετρήσιµο.

Υπόδειξη. (α) Άµεσο αφού κάθε υποσύνολο µηδενικού συνόλου είναι µετρήσιµο. Κεφάλαιο 2 Ολοκλήρωµα Lebesgue 2.1 Οµάδα Α 1. Αν η f : (a, b) R είναι παραγωγίσιµη, τότε η f είναι µετρήσιµη. Υπόδειξη. Θεωρούµε την ακολουθία f : (a, b) R µε f (x) = [f(x + 1/) f(x)]. Εφόσον, η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Fourier Στο κεφάλαιο αυτό θα εισάγουμε και θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Ανάλυση και Προσοµοίωση Δυναµικών Συστηµάτων

Εισαγωγή στην Ανάλυση και Προσοµοίωση Δυναµικών Συστηµάτων Εισαγωγή στην Ανάλυση και Προσοµοίωση Δυναµικών Συστηµάτων Control Systems Laboratory Περιγραφή Δυναµικών Συστηµάτων Εξίσωση µεταβολής όγκου Η µεταβολή όγκου ισούται µε τη παροχή υγρού Q που σχετίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 5 Προσέγγιση Συναρτήσεων. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών,

Αριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 5 Προσέγγιση Συναρτήσεων. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Αριθµητική Ανάλυση Ενότητα 5 Προσέγγιση Συναρτήσεων Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 1 / 55 Παρεµβολή Ας υποθέσουµε ότι δίνονται

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI. Μετασχηµατισµοί Legendre. της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα). Εάν

Μηχανική ΙI. Μετασχηµατισµοί Legendre. της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα). Εάν Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 7/5/2000 Μηχανική ΙI Μετασχηµατισµοί Legendre Έστω µια πραγµατική συνάρτηση. Ορίζουµε την παράγωγο συνάρτηση της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα).

Διαβάστε περισσότερα

3.3 ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ

3.3 ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ . ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Μέθοδοι επίλυσης : Οι βασικές µέθοδοι αλγεβρικής επίλυσης ενός γραµµικού συστήµατος δύο εξισώσεων µε δύο αγνώστους είναι δύο η µέθοδος της αντικατάστασης

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43

Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 1 / 43 Κεφ.5. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ίνεται ένας πίνακας A C n n και Ϲητούνται να προσδιορισθούν οι

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - I Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 35 7 Η Κανονική Μορφή Jordan - I Στην

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Ανάλυση και Προσοµοίωση Δυναµικών Συστηµάτων

Εισαγωγή στην Ανάλυση και Προσοµοίωση Δυναµικών Συστηµάτων Εισαγωγή στην Ανάλυση και Προσοµοίωση Δυναµικών Συστηµάτων Control Systems Laboratory Περιγραφή Δυναµικών Συστηµάτων Εξίσωση µεταβολής όγκου Η µεταβολή όγκου ισούται µε τη παροχή υγρού Q που σχετίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών : Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών : Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών : Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (http://users.tua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Βασικές Έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Ορισµός

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Ορισµός ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ f() τοπικά ολοκληρώσιµη στο (, b) αν για κάθε κλειστό [c, d] (, b) η f() είναι ολοκληρώσιµη. πχ f() =e είναι τοπικά ολοκληρώσιµη στο [, ) f() = είναι τοπικά ολοκληρώσιµη στο (, )

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

(1) L{a 1 x 1 + a 2 x 2 } = a 1 L{x 1 } + a 2 L{x 2 } (2) x(t) = δ(t t ) x(t ) dt x[i] = δ[i i ] x[i ] (3) h[i, i ] x[i ] (4)

(1) L{a 1 x 1 + a 2 x 2 } = a 1 L{x 1 } + a 2 L{x 2 } (2) x(t) = δ(t t ) x(t ) dt x[i] = δ[i i ] x[i ] (3) h[i, i ] x[i ] (4) Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΗΥ240: Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων Γραμμικά χρονικά μεταβαλλόμενα συστήματα Συνάρτηση συστήματος Ένα σύστημα L απεικονίζει κάθε σήμα εισόδου x σε ένα σήμα εξόδου y, δηλ., συνεχής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ Τα κάτωθι προβλήµατα προέρχονται από τα κεφάλαια, και του συγγράµµατος «Γραµµική Άλγεβρα». Η ηµεροµηνία παράδοσης

Διαβάστε περισσότερα

Ροµποτική. είτε µε το ανυσµατικό άθροισµα. όπου x = αποτελούν τα µοναδιαία ανύσµατα του

Ροµποτική. είτε µε το ανυσµατικό άθροισµα. όπου x = αποτελούν τα µοναδιαία ανύσµατα του Ροµποτική Ο χειρισµός αντικειµένων και εργαλείων από ένα ροµποτικό βραχίονα σηµαίνει ότι το ροµπότ πρέπει να είναι ικανό να τοποθετεί και να προσανατολίζει κατάλληλα το άκρο του στο χώρο εργασίας π.χ.

Διαβάστε περισσότερα