Projiciranje projekcija.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Projiciranje projekcija."

Transcript

1 Projiciranje Projicirati znači prikazati točku, dužinu, lik ili tijelo u jednoj ravnini. Slika projicirane točke, dužine, lika ili predmeta zove se projekcija. Svako tijelo ima tri dimenzije dužinu,visinu, i širinu, pomoću projekcija prikazujemo međusobne prostorne odnose geometrijskih likova nekog tijela u jednoj ravnini. Projekcije tih likova na papiru imaju samo dvije dimenzije:širinu i visinu.

2 U tehničkom crtanju primjenjujemo usporedno projiciranje kod kojega su zrake projiciranja međusobno usporedne i okomito padaju na ravninu projiciranja, takvo se projiciranje jošnaziva pravokutno( ortogonalno, normalno ).

3

4 Vrsta aksonometrije Karakteristične izmjere a b c A Kosa aksonometrija A. 1 Kosa projekcija /2... 2/3 A. 2 Frontalna (kavalir) aksonometrija B Ortogonalna aksonometrija B. 1 Izometrijska projekcija B. 2 Dimetrijska projekcija /2 B. 3 Trimetrijska projekcija <30 proizvoljne

5

6 Kocka s ucrtanim kružnicama u kosoj (a) i dimetrijskoj projekciji (b)

7 Kocka s ucrtanim kružnicama u trimetrijskoj (a) i izometrijskoj projekciji (b)

8 Prostoručna skica predmeta u kosoj (a), dimetrijskoj (b) i izometrijskoj (c) projekciji

9 Neomeđene zamišljene ravnine projekcija dijele prostor na osam dijelova koji se zovu oktanti. Ravnine projekcija sijeku se u osima x, y, z koje idu ishodištem O i međusobno su okomite.

10 - na horizontalnoj ravnini π 1 (osnova 1 ili tlocrtna ravnina) crta se tlocrt (pogled odozgo), - na okomitoj ravnini π 2 (osnova 2 ili nacrtna ravnina) crta se nacrt (pogled sprijeda), - na ravnini π 3 (osnova 3 ili bokocrtna ravnina) crta se bokocrt (pogled slijeva).

11 Na slici je istaknut 5. prostorni oktant s pravilnim rasporedom ravnina π 1, π 2 i π 3 za prikazivanje, tj. crtanje objekata koje zamišljamo da se nalaze u 5. prostornom oktantu: Osnovna pravila ortogonalnog projiciranja: predmet se nalazi između ravnine projiciranja i crtača zrake projiciranja su okomite na ravninu projekcije (crtanja) projekcija predstavlja crtežonog dijela predmeta koji se vidi u smjeru gledanja

12 Projiciranje točke na dvije ravnine Točka M l naziva se tlocrt ili prva projekcija točke M. Točka M ll naziva se nacrt ili druga projekcija točke M. Ravnina π 1 je ravnina prve projekcije ili ravnina tlocrta. Ravnina π 2 je ravnina druge projekcije ili ravnina nacrta.

13 Rotiranje ravnine 1 oko osi x prikazano pomoću knjige

14

15 Pridružene ravnine projekcija i njihovo prelaganje Ravnine π 1 i π 2 su međusobno okomite i nazivaju se pridružene ravnine projekcija. Da bi se te ravnine mogle prikazati na papiru kojemu postoji samo jedna ravnina preložit ćemo ravninu π 1 za 90 0 pa će ravnine π 1 i π 2 biti u jednoj, zajedničkoj ravnini

16 Projiciranje dužine na dvije ravnine a)dužina je usporedna s ravninom π 1 i π 2 Dužina AB je usporedna sa ravninom π 1 i π 2. Obje projekcije A l B l i A ll B ll jednake su dužine kao AB.

17 b) Dužina je usporedna s ravninom π 1 a okomita na ravninu π 2 Dužina AB se u ravnini π 1 projicira kao dužina jednake veličina jer je s njom usporedna,a u ravnini π 2 kao točka jer je na nju okomita.

18 c) Dužina je usporedna s ravninom π2 a okomita na ravninu π1 Duž ina AB se u ravnini π2 projicira kao dužina jednake velič ina jer je s njom usporedna,a u ravnini π1 kao toč ka jer je na nju okomita.

19 d) Duž ina je usporedna s ravninom π1, a kosa prema π2 Duž ina AB se u ravnini π1 projicira kao duž ina jednake velič ina jer je s njom usporedna,a ravnini π2 njena je projekcija krać a od AB.

20 d) Duž ina je usporedna s ravninom π2, a kosa prema π1 Duž ina AB u ravnini π2 se projicira kao duž ina jednake velič ina jer je s njom usporedna, a u ravnini π1 njena je projekcija krać a od AB.

21 Projiciranje na tri ravnine Pri projiciranju nekih tijela č esto nisu dovoljne samo dvije ravnine projiciranja, većje potrebne i treć a. To u prvom redu vrijedi za slož ena i nesimetrič na tijela.

22 Projiciranje duž ine okomite na ravninu 1Projiciranje duž ine okomite na ravninu 1

23 Projiciranje duž ine okomite na ravninu 2

24 Projiciranje duž ine okomite na ravninu 3

25 Projiciranje dužine na tri ravnine Na slici a) su prikazane tri projekcije dužine AB ( nacrt, tlocrt, bokocrt ), dužina je usporedna sa π1, a kosa prema π2 i π3. Bokocrt i nacrt su usporedni s osi x, tlocrt je u pravoj veličini. Na slici b) su prikazane tri projekcije dužine AB ( nacrt, tlocrt, bokocrt ), dužina je usporedna sa π2, a kosa prema π1 i π3. Bokocrt je okomit na os x, tlocrt je usporedan s osi x, a nacrt je u pravoj veličini a) b)

26 Na slici c) su prikazane tri projekcije dužine AB ( nacrt, tlocrt, bokocrt ), dužina je usporedna sa π3, a kosa prema π2 i π1. Bokocrt je jednak pravoj veličini dužine, a nacrt i tlocrt su okomiti na os x. c)

27 Projiciranje duž ine paralelne s ravninom 1, a kose u odnosu na ravnine 2 i 3

28 Projiciranje duž ine paralelne s ravninom 2, a kose u odnosu na ravnine 1 i 3

29 Projiciranje duž ine paralelne s ravninom 3, a kose u odnosu na ravnine 1 i 2

30 Projiciranje lika ravnine paralelne s ravninom 1

31 Projiciranje lika ravnine paralelne s ravninom 2

32 Projiciranje lika ravnine paralelne s ravninom 3

33 Projiciranje lika ravnine okomite na ravninom 1, a kose u odnosu na ravnine 2 i 3

34 Projiciranje lika ravnine okomite na ravninom 2, a kose u odnosu na ravnine 1 i 3

35 Projiciranje lika ravnine okomite na ravninom 3, a kose u odnosu na ravnine 1 i 2

36 Smjerovi pogleda, nazivi i analiza projekcija Za tehnič ke crtež e u pravilu se primjenjuje pravokutna projekcija ( nacrt, tlocrt i bokocrt), te izometrič na projekcija za prikaz predmeta u cjelini. Pravokutna ( ortogonalna) projekcija zadovoljava najbolje zahtjeve prakse buduć i da bridovi i plohe u projekciji imaju jednake odnose kao i predmet u prirodi a i kutovi u projekciji i prirodi su jednaki. Pri pravokutnom projiciranju predmet zamiš ljamo u prostornom kutu i gledamo uvijek okomito na ravninu projiciranja (papir). Osnovna pravila proiciranja 1. zrake projiciranja su okomite na ravninu crtanja, 2. predmet se nalazi izmedu ravnine crtanja (projiciranja) i crtaca, 3. u projekciji se crta onaj dio predmeta koji se vidi u smjeru gledanja.

37 N - nacrt (pogled sprijeda), T - tlocrt (pogled odozgo), B - desni bokocrt (pogled s lijeve strane), B1 - lijevi bokocrt (pogled s desne strane), T1 - gornji tlocrt (pogled odozdo), N1 - stražnji nacrt (pogled straga). Predmet se može gledati s ukupno šest strana, okomito na ravnine koje ga tvore. Na taj se način dobivaju nove pravokutne projekcije.

38 Metoda projiciranja 1. kvadranta predmeta koji se nalazi u 1. kvadrantu (a) i raspored projekcija kod ove metode projiciranja (europski nač in projiciranja, metoda E)

39 Metoda projiciranja 3. kvadranta predmeta koji se nalazi unutar 3. kvadranta (a) i raspored projekcija kod ove metode projiciranja (američ ki nač in projiciranja, metoda A)

40

41 Raspored š est ortogonalnih projekcija (pogleda) na odgovarajuć em formatu papira

42 Pri izboru smjera pogleda koji ć e definirati nacrt predmeta treba se rukovoditi sljedeć im preporukama: a) Pri crtanju strojnih dijelova nacrt odabrati tako da on daje najviš e podataka o obliku, izmjerama i ostalim znač ajkama dijela. Također treba voditi računa i o tome da je š to manji broj bridova zaklonjen pogledima, odnosno da je š to manje nevidljivih bridova. b) Pri crtanju strojnih sklopova nacrt odabrati tako da on uz primjenu presjeka omoguć i prikazivanje š to već eg broja dijelova koji ulaze u sklop, kao i da pruž i podatke o međusobnom polož aju dijelova i njihovim vezama. c) Dio se crta ili u polož aju koji on zauzima tijekom uporabe ili u polož aju koji zauzima u stroju prilikom njegove izrade. d) Sklop se najč eš ć e crta u polož aju koji on zauzima tijekom uporabe.

43 Na jednom crtež u koristi se onoliki broj pogleda koji je dovoljan za prijenos svih važ nih informacija o dimenzijama i obliku objekta.najčešće su dovoljna dva (nacrt i tlocrt) ili tri pogleda (nacrt, tlocrt i bokocrt), a ponekad i samo jedan. Treba odabrati one poglede koji na najzorniji nač in prikazuju predmet. U sluč aju potrebe moguć e je predmet prikazati i u nekom pogledu koji odstupa od osnovnih.u tom slučaju smjer pogleda označ ava se strelicom i velikim slovom. Za prikazivanje pojedinih detalja mogu se primijeniti i djelomič ni pogledi. U tom sluč aju ne crta se cijeli predmet u tom pogledu nego samo detalj za koji je važ an taj pogled.

44 Primjer pogreš nog smješ taja bokocrta uz tlocrt (a) i pogreš nog smješ taja projekcije koja ne odgovara ispravnom smjeru pogleda (b)

45 Znač ajke metode projiciranja 1. (Europski) i 3. kvadranta (Američ ki) (ISO ) Znač ajka Simbol na crež ima Raspored projekcija Metoda projiciranja 1. kvadranta Metoda projiciranja 3. kvadranta

46 Osnovna pravila za predočavanje oblika Položaj u kojemu se predmet crta

47 Polož aj u kojemu se predmet crta (1) Predmet treba postaviti u takav polož aj da su njegove plohe i središ njice paralelne i okomite na glavne ravnine crtanja. Predmet treba postaviti u onaj polož aj u kojemu stoji u naravi, ali uz zadovoljenje uvjeta pod a). Predmeti koji u naravi od sluč aja do sluč aja zauzimaju različ ite polož aje (npr. svornjaci, vijci, podloš ke, ruč ice, poluge, matice i slič no) postavljaju se obič no u polož aj u kojemu se izrađuju ili u uspravan polož aj

48 Polož aj u kojemu se predmet crta (2) Od svih moguć ih pravilnih polož aja odabrati onaj u kojemu ć e se vidjeti najviš e ploha i bridova predmeta u smjeru pogleda, a s ciljem da se izbjegne crtanje nevidljivih bridova. Ako predmet (osim paralelnih i okomitih ploha na ravnine crtanja) ima i kose plohe, tada ih treba projicirati na pomoć ne ravnine koje se postavljaju paralelno s njima.

49 Izbor i broj projekcija

50 Puni presjek (a) dobije se ako se zamisli sječ enje cijelog strojnog dijela na dvije polovine. Polovič ni presjek (b) dobije se ako se zamisli isječ ena jedna č etvrtina strojnog dijela (polovina odgovarajuć e ortogonalne projekcije crta se kao pogled, a druga polovina kao presjek). Djelomič ni presjek (c) dobije se ako se zamisli sječ enje manjeg dijela strojnog dijela.

51 Puni (a), polovič ni (b) i djelomič ni (c) presjek

52 Slika Postupak nastajanja zamiš ljenog presjeka Dio se predmeta (koji se nalazi izmeđ u promatrač a i presječ ne ravnine) u mislima uklanja, a na ravnini projekcija (crtanja) prikazuje se ono š to se nalazi na presječ noj ravnini po svim pravilima ortogonalnog projiciranja

53 Okomitim presjekom naziva se presjek nastao presijecanjem presječ nom ravninom, koja je okomita na vodoravnu ravninu projiciranja Slika Primjer vodoravnog presjeka (tlocrt u presjeku)

54 Slika Primjer popreč nog okomitog presjeka (bokocrt u presjeku)

55 Slika Primjer uzduž nog okomitog presjeka (nacrt u presjeku)

56 Slika Primjer popreč nog okomitog presjeka (bokocrt u presjeku)

57 c) Primjer istodobnog uzduž nog i popreč nog okomitog presjeka (nacrt i bokocrt u presjeku)

58 Kosim presjekom naziva se presjek nastao presijecanjem presječ nom ravninom koja s vodoravnom ravninom projiciranja zatvara kut koji je različ it od pravog kuta. Polož aj presječ ne ravnine označ ava se linijom presjeka sa strelicama koje pokazuju smjer gledanja

59 Stupnjevani presjeci su presjeci koji nastaju ako se strojni dio presijeca s dvije ili viš e paralelnih presječ nih ravnina. Slika Postupak nastajanja stepenastog presjeka (presjek prikazan u nacrtu)

60 Slika Primjeri stepenastog presjeka prikazanog u nacrtu (a) i tlocrtu (b)

61 Izlomljeni presjeci su presjeci koji nastaju ako se strojni dio presijeca s dvije ili viš e presječ nih ravnina koje nisu paralelne, ali se sijeku. Pravilo je da se dijelovi presjeka, nastali lomljenjem presječ nih ravnina, zakreć u u ravninu crtanja, tj. u polož aj paralelan s jednom od ravnina projiciranja Slika Primjer izlomljenog presjeka smješ tenog u tlocrt

62 Djelomič ni presjek se koristi ako se ž eli razjasniti dio strojnoga dijela Slika Primjeri uporabe djelomič nog presjeka

63 Slika Primjeri nekih posebnih dogovora kod djelomič nih presjeka Brid nikada ne mož e biti granica izmeđ u djelomič nog presjeka i pogleda na predmet, (a), crta loma ne smije se povlač iti paralelno s bridom predmeta (b).u sluč aju da je predmet simetrič an, ne obič ava se crtanje popreč nog presjeka jer se oblik mož e bolje prikazati polovič nim presjekom (c), kod nesimetrič nih predmeta, kod kojih nije moguć e primijeniti polovič an presjek, dopuš ta se prikaz djelomič nim presjekom (d)

64 Zakrenuti ili zaokrenuti presjek je popreč ni presjek strojnog dijela, zakrenut (zaokrenut) za kut 90 oko središ njice Nač elo nastajanja zakrenutog presjeka

65 Zakrenuti presjek nosač a

66 Strojni dio s različ itim popreč nim presjecima koji su prikazani kao zakrenuti presjeci u nacrtu Ako se zakrenuti presjek crta unutar promatrane projekcije rabi se neprekidna uska crta

67 Ako se zakrenuti presjek crta izvan promatrane projekcije rabi se neprekidna š iroka crta

68 Pravila za crtanje presjeka Veliki broj karakteristič nih dijelova nikada se ne siječ e uzduž no jer takav presjek ne bi dao zornu ili pravilnu sliku strojnog dijela, većse sijeku samo popreč no (npr. rebra, profili, limovi, svi ulož eni dijelovi, te dugač ki i vitki dijelovi). Slika Rebra (a) i ramena (paoci) (b) se ne sijeku iako se zamiš ljena presječ na ravnina vodi preko njih

69 Slika Profili i limovi (ploč e) ne sijeku se uzduž no Slika Osovine i vratila ne sijeku se uzduž no Slika Ojnice (a) i poluge (b) ne sijeku se uzduž no

70 Slika Spoj s vijkom i maticom (vijak ne siječ e se uzduž no, većsamo popreč no) Slika Matica, podlož na ploč ica i vijak ne sijeku se (a), a ako se ž eli prikazati maticu u presjeku, tada se presječ na ravnina vodi preko už eg dijela matice (b)

71 Slika Osovine i vratila, te klinovi i pera u spoju s glavinama se ne sijeku (na slici a i d nisu nacrtani nasloni za glavinu)

72 Slika Zakovice se crtaju u presjeku samo u popreč nom presjeku

73 Slika Predoč avanje detalja u presjeku Detalji su takođ er jedna vrst djelomič ne projekcije kojima se u mjerilu za uveć anje pojaš njavaju nejasni dijelovi projekcije. Dio predmeta koji se ž eli pojasniti označ ava se kruž nicom (neprekidna uska crta) i velikim slovom s kraja abecede, a iznad poveć ane slike dijela predmeta stavlja se slovo kojim je isti označ en (npr. X) i mjerilo u kojemu je slika nacrtana

74 Zakrenuta projekcija dio je normalne projekcije strojnog dijela, ali nacrtana uz postojeć u projekciju i zbog toga zakrenuta za 90 na suprotnu stranu od normalne. Zakrenute projekcije najč eš ć e se primjenjuju za predoč avanje oblika prirubnica i rasporeda provrta u njima. Mož e se nacrtati samo jedan provrt, a ostali se označ e samo središ njicama uz navođ enje njihovog ukupnog broja (ponekad i dimenzije, npr. 8 provrta 10). Obič no se crta polovica projekcije, a druga polovica mora biti jednaka, š to znač i da zakrenuta projekcija ima primjenu samo kod simetrič nih strojnih dijelova Slika Provrti u prirubnicama i slič no prikazuju se obič no primjenom tzv. djelomič nog presjeka u istoj ravnini crtanja u kojoj je nacrtana osnovna projekcija (zakrenuta projekcija nadoknađ uje propisanu)

75 Slika Zakretanje provrta u ravninu crtanja

76 Kada se ž eli uš tedjeti na prostoru, dugi predmeti jednolič nog i jednolič no promjenjivog presjeka mogu se crtati prekinuti. Prekidi se mogu primijeniti i u sluč ajevima predmeta s jednolič no promjenljivim presjecima, npr. kod suž enja (d), konusa (e) i nagiba (f). Dijelovi unutar kojih ima promjena ne smiju se prekidati. Slika Primjeri uporabe prekida (crta loma)

77 Ravne plohe označ avaju se samo na predmetima č iji je osnovni oblik rotacijski te ako takvi predmeti nisu č esti, npr. š esterokute i osmerokute matice. Označ avaju se dijagonalnim neprekidnom uskom crtom. Ovim se oznakama ravna ploha bolje istič e, a č esto i nije potrebno crtanje druge projekcije jer crtanje dijagonala takođ er predstavlja jedan od nač ina uš tede u broju projekcija Slika Primjeri uporabe prekida (crta loma) i završ etaka

78 Slika Označ avanje ravnih ploha kod č etverokuta Slika Označ avanje ravnih ploha kod š esterokuta

79 Slika Osovine i vratila (a) te glavine (b) s utorima za pera ili klinove crtaju se kao da prodori ne postoje

80 KOTIRANJE Dimenzija ili izmjera brojč ana je vrijednost izraž ena u naravnoj jedinici mjerenja (u strojarstvu je to milimetar, mm) i označ ena grafič ki na tehnič kom crtež u s crtom, simbolima i znakovljem. Dimenzije ili izmjere klasificirane su prema sljedeć im vrstima: Funkcijska dimenzija ili izmjera je ona koja je bitna za funkcioniranje strojnog dijela ili prostora (označ ena s F na). Nefunkcijska dimenzija ili izmjera je ona koja nije bitna za funkcioniranje strojnog dijela ili prostora (označ ena s NF ). Pomoć na dimenzija ili izmjera je ona koja je samo informacijska i ne upotrebljava se u procesu proizvodnje i kontrole. Uputno ju je stavljati u zagrade. Na pomoć nu dimenziju ne primjenjuju se tolerancije (označ ena je s POM )

81 Slika 9.1. Funkcijske, nefunkcijske i pomoć ne dimenzije (izmjere)

82 Pravila za primjenu Svaka znač ajka kotirana je samo jedanput na crtež u. Kote se smješ taju na projekciji (pogledu) ili presjeku koji najjasnije prikazuje odgovarajuć e znač ajke. Svaki crtežkoristi se istom jedinicom mjere (npr. milimetar, mm) za sve izmjere, ali bez oznake jedinice (dakle bez mm). Ako se druge jedinice pojavljuju kao dio specifikacije crtež a ili u primjedbi (npr. Nm za moment ili kpa za tlak), izdvojena oznaka jedinice prikazuje se s pripadnom vrijednosti. Na crtež u se ne prikazuje viš e izmjera no š to je potrebno za definiranje strojnog dijela ili konač nog proizvoda. Međutim, iznimka se mož e napraviti: gdje je potrebno dati dopunsku izmjeru u međustupnjevima proizvodnje (npr. duljina konture prije cementiranja i završ ne obrade); gdje je korisna dopuna pomoć nom izmjerom. Proizvodne procese (tehnologiju izrade) ili nač ine kontrole ne treba naznač iti, osim ako su bitni za osiguranje zadovoljavajuć eg funkcioniranja ili zamjenjivosti. Funkcijske dimenzije prikazuju se izravno na crtež u gdje god je to moguć e. Nefunkcijske dimenzije smješ taju se na nač in koji najviš e odgovara proizvodnji i kontroli.

83 Slika 9.4. Elementi kotiranja (1 glavna ili pokazna crta, 2 oznaka poč etka, 3 mjernica, 4 pomoć na mjerna crta, 5 vrijednost dimenzije i 6 završ etak mjernice) Slika 9.5. Elementi kotiranja (1 mjernica, 2 vrijednost dimenzije, 3 pomoć na mjerna crta i 4 završ etak mjernice) Pomoć ne mjerne crte produljuju se malo izvan svoje mjernice (od 1 do 3 mm) (slike 9.4. i 9.5.).

84 Slika 9.6. Slika 9.7. Slika 9.8. Pomoć ne mjerne crte crtaju se okomito na znač ajku (crtu) koja se kotira. Međ utim, gdje je to potrebno, one mogu biti nacrtane koso, ali paralelne jedna drugoj (slika 9.6.). Konture i pomoć na mjerna crta produljuju se malo izvan sjeciš ta (slika 9.7.) Opć enito, pomoć ne mjerne crte i mjernice ne smiju sjeć i druge crte, osim ako je to neizbjež no (slika 9.8.)

85 Slika 9.9. Slika Mjernica se prikazuje neprekinuta tamo gdje je znač ajka (crta) na koju se ona odnosi prikazana prekinuta (slika 9.9.) Presijecanje pomoć nih mjernih crta i mjernica treba izbjegavati. Međutim, gdje je to neizbjež no, nijedna crta se ne prekida (slika 9.10.)

86 Prikazivanje vrijednosti dimenzija na crtež ima Vrijednosti dimenzija ili izmjera smješ taju se tako da one mogu biti č itljive slijeva nadesno. Mjernice koje nisu horizontalne prekidaju se u srednjem dijelu, tako da se vrijednost mož e upisati (slike i 9.20.). Vrijednosti dimenzija kutova moraju biti orijentirane kao š to je prikazano na slikama ili Smješ tanje vrijednosti dimenzija ili izmjera č esto treba prilagoditi različ itim sluč ajevima. U svezi s tim vrijednosti mogu biti: upotrijebljene na dijelu mjernice s kojom je moguć e jasnije definirati dimenziju ili izmjeru (slika 9.22.), upotrijebljene izvan prostora za upisivanje u sluč aju kada je prostor ogranič en (nedovoljan)(slika 9.23.), upotrijebljene na kraju glavne crte (pokazne crte) koja se odnosi na mjernicu koja je prekratka za upisivanje vrijednosti dimenzije na uobič ajeni nač in (slika 9.23.), upotrijebljene iznad vodoravnog produljenja mjernice u sluč aju da prostor ne dopuš ta smješ taj u prekidu mjernice koja nije horizontalna (slika 9.24.).

87 Slika Slika Slika Slika Slika Slika 9.24.

88 a) b) Slika Vrijednosti dimenzija koje nisu nacrtane u mjerilu (izuzev sluč ajeva gdje se koriste prekinute crte) moraju se podvuć i neprekidnom uskom crtom (slika 9.25.). Ako se zahtijeva toč na izmjera ili izmjera na koju treba obratiti posebnu pozornost, tada se oko dimenzija crta poseban okvir nacrtan neprekidnom uskom crtom (slika 9.25.b)

89 U kombinaciji s dimenzijama koriste se radi poboljš anja interpretacije crtež ai stanovite oznake kao identifikacija oblika. Najč eš ć i su simboli: promjer, R polumjer, kvadrat, SR polumjer kugle (sferič ni polumjer) i S promjer kugle (sferič ni promjer). U sluč aju kada je oblik jasno prikazan, simboli za promjer i kvadrat mogu se izostaviti Slika Slika Slika Slika Slika 9.30.

90 Nač ini kotiranja Lanč ano kotiranje Lanci pojedinač nih dimenzija (slika 9.31.) primjenjuju se isključ ivo tamo gdje zbroj odstupanja pojedinač nih izmjera neć e utjecati na zahtjeve funkcije strojnog dijela Kotiranje od zajednič ke osnove mož e biti izvedeno kao paralelno kotiranje (slika 9.32) ili kao nadređeno slijedno kotiranje Slika Lanč ano kotiranje Slika Paralelno kotiranje

91 Slika Slika Slika Slika 9.39.

92 Kombinirano kotiranje Pojedinač no kotiranje, lanč ano kotiranje i kotiranje od zajednič ke referentne crte (znač ajke) mož e biti kombinirano na crtež u. Kombinirano kotiranje

93 Slika Slika Gdje velič ina polumjera mož e biti izvedena od drugih dimenzija, ona mož e biti označ ena polumjerom, strelicom i simbolom R bez oznake vrijednosti kao na slici 9.39 Tetive, lukovi, kutovi i polumjeri

94 Linearno raspoređ eni razmaci izmeđ u provrta mogu biti dimenzionirani kao š to je prikazano na slici Slika Kutno raspoređ eni razmaci izmeđ u provrta mogu biti kotirani kao š to je to prikazano na slici 9.46 Slika Kutovi razmaka mogu biti izostavljeni ako je njihov broj vidljiv, bez moguć nosti zabune (slika 9.47.) Kruž no raspoređ eni razmaci mogu biti kotirani neizravno navođ enjem broja elemenata kao š to je dano na slici 9.48 Slika Slika 9.48.

95 Skoš eni rubovi i upuš teni rubovi provrta i rupa Slika Skoš eni rubovi kotiraju se kao š to je to prikazano na slici Slika Gdje je kut skoš enja 45, kotiranje se mož e izvesti kao š to je prikazano na slikama i Slika Upuš teni rubovi rupa i provrta kotiraju se kao š to je prikazano na slici 9.54 Slika 9.54.

96 Slika Slika Upotrebom referentnih slova mož e se kotiranje provrta znatno pojednostavniti (slika 9.51.)

97 Utori koji služ e za ove spojeve kotiraju se na nač in prikazan na slici Slika 9.60.a prikazuje nač in crtanja i kotiranja kada je utor za pero ili klin na kraju vratila, slika 9.60.b prikazuje nač in crtanja i kotiranja kada je utor za pero ili klin na sredini vratila i slika 9.60.c prikazuje nač in crtanja i kotiranja kada je utor za pero u glavini Kotiranje rupa se izvodi tako da polož aj se rupe kotira s polož ajem središ njice. Dubina rupe definira se dubinom cilindrič nog dijela, uz crtanje konič nog završ etka s kutom od 120, koji je rezultat buš enja svrdlom. Ovaj se završ etak ne kotira. Dubina i promjer rupe kotiraju se na istoj projekciji (npr. u nacrtu)(slika 9.61.). Ako se kotiraju provrti i rupe s promjerom manjim od 5 mm (slika 9.62.a), moguć e je prema DIN 30 pojednostavnjeno crtanje i kotiranje (slika 9.62.b).

98 Slika Kotiranje utora za pero ili klin (a i b na vratilu, c u glavini) Slika Kotiranje rupa Slika Pojednostavnjeno kotiranje rupa

99 Kotiranje konusa, suž enja i nagiba Primjer kotiranja vanjskog konusa s navedenim omjerom i oznakom za konus, promjerom i duljinom konič nog suž enja te postavnim kutom kao pomoć nom kotom u zagradama dan je na slici Slika prikazuje primjer označ avanja dvostrukog konusa (vanjski je 1 : 5, a unutarnji je 1 : 10). Slika Slika Slika 9.67.

100 U crtež ima se suž enje i nagib predoč avaju izvodnicama, a osim brojč ane vrijednosti (omjera) stavlja se i oznaka suž enja, odnosno nagiba (slika 9.73.). Kut nagiba stavlja se u zagrade. Slika Slika Profil U 350 prema DIN 1026

101 U nekim se sluč ajevima nagib daje u postotku s obzirom na referentnu ravnu plohu (slike 9.75). Na slici dan je primjer označ avanja nagiba kod klina, a na slici kod utora za klin. Slika I - podlož na ploč ica prema DIN Slika Klin Slika Utor za klin

102 Opć enito o tolerancijama, osnovni pojmovi/1 Izmjera je izmjerena vrijednost fizikalne velič ine duljine. Nazivna izmjera je izmjera od koje se dobivaju granič ne izmjere ako joj se dodaju gornje ili donje odstupanje izmjere.. Stvarna izmjera je izmjera koja se dobiva mjerenjem na izrađ enom strojnom. Najveć a izmjera je najveć a dopuš tena izmjera nekog oblikovanog elementa. Najmanja izmjera je najmanja dopuš tena izmjera nekog oblikovanog elementa. Sustav granič nih izmjera je sustav normiranih tolerancija i odstupanja izmjera. Nul-crta je pri grafič kom prikazu granič nih izmjera i dosjeda crta koja odgovara nazivnoj izmjeri na koju se nanose odstupanja izmjera i tolerancija. Odstupanje izmjere je razlika izmeđ u stvarne i nazivne izmjere. Gornje odstupanje izmjere (ES za provrt, es za rukavac) je razlika izmeđ u najveć e izmjere i pripadne joj nazivne izmjere. I ovo odstupanje mož e biti ili pozitivno ili negativno (prije se označ avalo s Ag ili ag). Donje odstupanje izmjere (EI za provrt, ei za rukavac) je razlika izmeđ u najmanje izmjere i pripadne joj nazivne izmjere. I ovo odstupanje mož e biti ili pozitivno ili negativno (prije se označ avalo s Ad ili ad).

103 Opć enitoo tolerancijama,osnovni pojmovi/2 Tolerancijska izmjera (T). krać e tolerancija) je razlika izmeđ u najveć ei najmanje izmjere. Tolerancija je apsolutna vrijednost i zato je bez predznaka. Tolerancijsko polje određ eno je velič inom tolerancije i njezinom udaljenoš ć u od nul-crte. Tolerancijska izmjera sastoji se od nazivne izmjere i oznake odgovarajuć eg tolerancijskog razreda (npr. 32 H7, 80 js15, 100 g6) ili od nazivne izmjere i odstupanja Provrt je unutarnja izmjera vanjskog dijela u dosjedu. Rukavac je vanjska izmjera unutarnjeg dijela u dosjedu. Dosjed dobivena na temelju razlike izmjera dvaju spojno oblikovanih elemenata (provrta i rukavca)(slika 4.4.). Zrač nost (zazor) (z) je pozitivna razlika izmeđ u izmjere provrta i izmjere rukavca prije spajanja, (slika 4.4.a bez tolerancija i slika 4.4.b s tolerancijama). Prisnost (p) je negativna razlika izmeđ u izmjere provrta i izmjere rukavca prije spajanja, (slika 4.4.a bez tolerancija i 4.4.b s tolerancijama).

104

105

106 Slika 4.3. Pojam donjih i gornjih odstupanja izmjere kod provrta i rukavca

107 a) b) Slika 4.6. Pojam dosjeda (a bez tolerancija, b s tolerancijama)

108 Osnove ISO-sustava tolerancija duljinskih izmjera Za praktič ku primjenu i za pravilno funkcioniranje strojnih dijelova važ ne su tolerancije dijelova u dosjedu. Za istu kvalitetu nekog dosjeda tolerancija mora biti razmjerna velič ini izmjere, tj. izraž ena u postocima od izmjere ona mora biti za isti karakter dosjeda praktič ki jednaka. Iz tog se razloga kod ISO-sustava tolerancija svake kvalitete mijenja u zavisnosti od nazivne izmjere. Ova zavisnost izraž ava se standardnim tolerancijskim koeficijentom i za nazivne izmjere od 1 do zaključ no 500 mm, odnosno I za nazivne izmjere iznad 500 do zaključ no 3150 mm. Izrač unavaju se po sljedeć im formulama 3 i 0, 45 D 0,001 D gdje je D geometrijska sredina granič nog područja nazivnih izmjera u mm. Vrijednosti temeljnih tolerancija i temeljnih odstupanja izmjere za svako područ je nazivnih izmjera izrač unavaju se iz geometrijske srednje vrijednosti D granič nih područ ja D1 i D2 D D1 D2 D1 3) 6) 10) 18) 30) D gdje je: D1 - poč etak područ ja, D2 - kraj područ ja 50) 80 80) ) ) ) ) ) 500

109 Za izbor stupnja temeljneto lerancijemogu posluž iti sljedeć e iskustvene preporuke: A. B. C. D. E. F. IT4 - za precizni mjernipr ibor, IT01 IT5 IT7 - za mjernipr ibor radionič ke kontrolei najfinijedosjede, IT6 IT9 - za fini dosjed, IT7 IT10 - za prosječ no dosjedanje, IT9 IT11 - za grubo dosjedanjei IT18 IT12 - za izmjere i površ ine koji nisu u dosjedu (npr. kovani ili valjani dijelovi).

110 Polož aj i označ avanje tolerancijskih polja Polož aj tolerancijskih polja određ uje temeljno odstupanje koje se označ ava s obzirom na nul-crtu slovima abecede (međ unarodne), i to: za vanjske izmjere (rukavca) malim slovima abecede, za unutarnje izmjere (provrte) velikim slovima abecede. Oznaku tolerancije duljinske izmjere č ini tolerancijski razred, tj. kombinacija simbola za temeljno odstupanje i temeljnu toleranciju, tj. polož aj i velič inu tolerancijskog polja. Tako npr. oznaku 80F8 ili 40h7 č ine nazivne izmjere 80 odnosno 40, polož aj tolerancijskog polja F za provrt odnosno h za rukavac i stupanj temeljne tolerancije IT8 odnosno IT7

111 Slika 4.7. Polož aj tolerancijskih polja za vanjske izmjere (rukavce)

112 Slika 4.8. Polož aj tolerancijskih polja za unutarnje izmjere (provrte)

113 Tolerancije slobodnih izmjera opć e tolerancije Izmjere kod kojih odstupanja od nazivnih vrijednosti praktič no ne utječ u na upotrebljivost dijelova nazivaju se slobodnim izmjerama. Dopuš tena odstupanja slobodnih izmjera je utvrđena prema ISO 2768 i svrstana u č etiri razreda toč nosti: f - fino, m - srednje, c grubo i v - vrlo grubo.

114 Slika 4.9. Zatvoren lanac izmjera (a - pogreš no i b ispravno)

115 Dosjedni sustavi Dosjedni sustav je sustav dosjeda koji sadrž i rukavce i provrte, U praksi se upotrebljavaju dva dosjedna sustava: Dosjedni sustav provrta dosjedni je sustav u kojemu se potrebna zrač nost i prisnost postiž u tako da se rukavci različ itih tolerancijskih razreda sparuju s provrtom samo jednog tolerancijskog razreda. Dosjedni sustav rukavca dosjedni je sustav u kojemu se potrebna zrač nost i prisnost postiž u tako da se provrti različ itih tolerancijskih razreda sparuju s rukavcem samo jednog tolerancijskog razreda. Slika Dosjedni sustav provrta (a) i dosjedni sustav rukavca (b)

116 Slika Dosjedi kod dosjednog sustava rukavca (DSR) Slika Dosjedi kod dosjednog sustava provrta (DSP)

117 Označ avanje tolerancija duljinskih izmjera na tehnič kim crtež ima Slika prikazuje nač in označ avanja tolerancija duljinskih izmjera na tehnič kim crtež ima za dosjed, rukavac i provrt Slika Nač in označ avanja tolerancija duljinskih izmjera na tehnič kim crtež ima

118 Slika Označ avanje tolerancija i dosjeda na crtež ima

119 Slika Nač ini unoš enja tolerancija duljinskih izmjera u tehnič ke crtež e

120 Nazivna izmjera kuta uvijek se unosi na tehnič ke crtež e u stupnjevima, a odstupanja mogu biti izraž ena bilo u stupnjevima, minutama i sekundama (slike 4.23.a i 4.23.b), bilo kao decimalni dio stupnja (slike 4.23.c i 4.23.d). Slika Nač ini unoš enja tolerancija kutnih izmjera u tehnič ke crtež e

121 Tolerancije oblika, orijentacije, smješ taja i vrtnje Radi osiguranja kvalitete proizvoda nije dovoljno definirati samo tolerancije duljinskih izmjera. Potrebno je unutar granica tolerancija spriječ iti i druge promjene koje se odraž avaju na toč nost geometrije strojnog dijela. Opć enito (prema ISO 1101), ove se tolerancije zovu tolerancije oblika, orijentacije, smješ taja i vrtnje odnosno geometrijske tolerancije. Prema karakteristikama koje se toleriraju tolerirana područ ja mogu biti: površ ina unutar kruga, površ ina izmeđ u dva koncentrič na kruga, površ ina izmeđ u dvije ekvidistantne crte ili dva paralelna pravca, prostor unutar valjka, prostor izmedu dva koaksijalna valjka, prostor izmedu dvije ekvidistantne ravnine ili dvije paralelne ravnine i prostor unutar paralelepipeda.

122 Tablica Osnovne oznake tolerancija oblika, orijentacije, smješ taja i vrtnje Vrste znač ajki i tolerancija Svojstvo Pravocrtnost Pojedinač ne znač ajke Ravnost Tolerancije oblika Kruž nost Cilindrič nost Oblik crte Pojedinač ne i povezane znač ajke Oblik plohe Paralelnost Tolerancije orijentacije Okomitost Kut (nagib) Povezane znač ajke Polož aj (pozicija) Tolerancije smješ taja Koncentrič nost i koaksijalnost Simetrič nost Tolerancije vrtnje Kruž nost vrtnje Ravnost i kruž nost vrtnje Simbol

123 Tablica Dopunske oznake za kombiniranje s osnovnim oznakama tolerancija oblika, orijentacije, smješ taja i vrtnje Opis Simbol izravno Oznaka toleriranog elementa slovom Oznaka referentnog elementa (osnovice) Mjesto referentnog elementa Teorijski toč na izmjera Projicirano područ je tolerancije Uvjet maksimum - materijala Okvir tolerancije izravno slovom

124 Tablica Neka pravila kombiniranja osnovnih i dopunskih oznaka tolerancija oblika, orijentacije, smješ taja i vrtnje Pravilo 1) Kod tolerancija oblika crtaju se samo dva pravokutnika. 2) Kod tolerancija polož aja stavljaju se i slovne oznake izabranog referentnog elementa prema kojemu se svojstvo uspoređ uje (D E: nač in za oznaku odvojenih osnovica). 3) Dopunske oznake riječ ima, npr. 6 provrta ili 6x piš u se iznad okvira tolerancije. 4) Oznake ostalih svojstava elemenata vezanih za područ je tolerancije piš u se uz okvir tolerancije ili se pokaznom crtom povezuju s njime. 5) Ako je potrebno označ iti viš e toleriranih svojstava jednog elementa, oznake se upisuju u posebne okvire postavljene jedan ispod drugog. 6) Vrijedi li tolerancija na ogranič enoj duž ini, duljina se odvaja kosom crtom od tolerancije (lijevo). Kada se neka už a tolerancija na ogranič enoj duž ini doda toleranciji cijelog elementa, tada se to upisuje u donjem dijelu okvira (desno). 7) Ako za navedenu toleranciju vrijedi uvjet maksimuma materijala (DIN ISO 2692), upisuje se odgovarajuć i simbol iz tablice na jedan od moguć ih nač ina. Simbol

125 Tolerancija pravocrtnosti definirana je kao odstupanje koje je ogranič eno s dva paralelna pravca na udaljenosti t, paralelepipedom osnovice t1 x t2 ili valjkom promjera t. Definicija područ ja tolerancije Primjeri (prikaz i pojaš njenja) Svaka crta gornje plohe mora lež ati izmeđ u dva paralelna pravca na udaljenosti 0,1. Izvodnica plaš ta na svakih 200 mm duljine mora lež ati izmeđ u dva paralelna pravca na udaljenosti 0,1. Os grede mora lež ati unutar paralelepipeda osnovice 0,1 x 0,2. Os osovinice mora lež ati unutar valjka promjera 0,08.

126 Tablica Tolerancija ravnosti Tolerancija ravnosti definirana je kao odstupanje koje je ogranič eno dvjema paralelnim ravninama na udaljenosti t. Definicija područ ja tolerancije Primjeri (prikaz i pojaš njenja) Ploha mora biti izmeđ u dvije paralelne ravnine na udaljenosti 0,08.

127 Tablica Tolerancija kruž nosti Tolerancija kruž nosti definirana je kao odstupanje koje je ogranič eno dvjema koncentrič nim kruž nicama na udaljenosti t. Definicija područ ja tolerancije Primjeri (prikaz i pojaš njenja) Opseg bilo kojeg popreč nog presjeka na vanjskom promjeru mora biti izmeđ u dvije koncentrič ne kruž nice na udaljenosti 0,03. Opseg bilo kojeg popreč nog presjeka mora biti izmeđ u dvije koncentrič ne kruž nice na udaljenosti 0,1.

128 Tablica Tolerancija cilindrič nosti Tolerancija cilindrič nosti definirana je kao odstupanje koje je ogranič eno dvama koncentrič nim (koaksijalnim) valjcima na udaljenosti t. Definicija područ ja tolerancije Primjeri (prikaz i pojaš njenja) Tolerirana ploha mora biti izmeđ u dva koncentrič na (koaksijalna) valjka na udaljenosti 0,1.

129 Tablica Tolerancija oblika crte Tolerancija oblika crte definirana je kao odstupanje koje je ogranič eno dvjema crtama koje obuhvać aju kruž nicu promjera t, č ije je središ te na idealnoj geometrijskoj crti. Definicija područ ja tolerancije Primjeri (prikaz i pojaš njenja) U bilo kojem presjeku oblik crte mora biti izmeđ u dviju crta koje omataju kruž nice promjera 0,04, č ija su središ ta na geometrijski idealnoj crti.

130 Tablica Tolerancija oblika plohe Tolerancija oblika plohe definirana je kao odstupanje koje je ogranič eno dvjema plohama koje obuhvać aju kugle promjera t, č ija su središ ta na plohi koja ima pravilan geometrijski oblik. Definicija područ ja tolerancije Primjeri (prikaz i pojaš njenja) Tolerirana ploha mora biti izmeđ u dviju ploha koje obuhvać aju kugle promjera 0,02 č ija su središ ta na plohi koja ima pravilan geometrijski oblik.

131 Tablica Tolerancija paralelnosti Tolerancija paralelnosti definirana je kao odstupanje koje je ogranič eno dvama paralelnim pravcima na udaljenosti t, paralelepipedom osnovice t 1 x t2, valjkom promjera t ili dvjema plohama, koji su uz to paralelni referentnim pravcima ili plohama. Definicija područ ja tolerancije Primjeri (prikaz i pojaš njenja) Tolerirana os mora biti izmeđ u dva pravca na udaljenosti 0,1, koji su paralelni s referentnom osi A i polož eni u okomitom pravcu.

132 Tolerancija okomitosti definirana je kao odstupanje koje je ogranič eno dvama paralelnim pravcima na udaljenosti t, paralelepipedom osnovice t1 x t2, valjkom promjera t ili dvjema plohama, koji su uz to okomiti na referentni pravac ili plohu. Definicija područ ja Primjeri (prikaz i pojaš njenja) tolerancije Os kosog provrta mora biti izmeđ u dva paralelna pravca na udaljenosti 0,06, koji su uz to okomiti na os vodoravnog provrta A (referentni pravac).

133 Tolerancija kuta definirana je kao odstupanje koje je ogranič eno dvama paralelnim pravcima na udaljenosti t ili dvjema paralelnim plohama na udaljenosti t, koji su uz to nagnuti za kut s obzirom na referentni pravac ili referentnu plohu. Definicija područ ja Primjeri (prikaz i pojaš njenja) tolerancije Os kosog provrta mora biti izmeđ u dva paralelna pravca na udaljenosti 0,08, koji su uz to nagnuti za kut 60 s obzirom na referentnu os A-B.

134 Tolerancija simetrič nosti definirana je kao odstupanje koje je ogranič eno dvjema paralelnim plohama na udaljenosti t, dvama paralelnim pravcima na udaljenosti t ili paralelepipedom osnovice t 1 x t2. Definicija područ ja Primjeri (prikaz i pojaš njenja) tolerancije Ravnina simetrije utora mora biti izmeđ u dvije paralelne ravnine, koje su razmaknute za 0,08 i simetrič no smješ tene prema ravnini simetrije referentne znač ajke A.

135 Tekstura (hrapavost) tehnič kih površ ina Tehnič ke su površ ine sve one površ ine strojnih dijelova koje su dobivene nekom od obrada odvajanjem č estica ili nekom od obrada bez odvajanja č estica.. Tehnič ke površ ine nisu idealno glatke geometrijske plohe koje razdvajaju dva medija, nego su to, mikroskopski gledano, hrapave plohe karakterizirane nizom neravnina raznih velič ina, oblika i rasporeda. Velič ina hrapavosti tehnič kih površ ina mož e utjecati: na smanjenje dinamič ke izdrž ljivosti (odnosno, smanjenje č vrstoć e oblika); na pojač ano trenje i habanje tarno (tribološ ki) optereć enih površ ina; na smanjenje prijeklopa kod steznih spojeva, a time i smanjenje nosivosti steznog spoja; na ubrzavanje korozije

136 Osnovni pojmovi Površ inska hrapavost je sveukupnost mikrogeometrijskih nepravilnosti na površ ini predmeta (koje su mnogo puta manje od površ ine cijelog predmeta), a prouzrokovane su postupkom obrade ili nekim drugim utjecajima. Profil površ ine predstavlja presjek realne površ ine s određ enom ravninom Profil hrapavosti (R) osnova je za mjerenje parametara hrapavosti profila. Profil valovitosti (W) je profil koji proizlazi iz primarnog profila (P) primjenom profilnih filtera.

137

138 Referentna duljina (duljina uzorka) je duljina u pravcu osi X koja se koristi za ustanovljavanje nepravilnosti koje karakteriziraju profile koji se mjere. Maksimalna visina profila Pz, Rz ili Wz zbroj je visine najveć e visine izboč ine profila Zp i najveć e dubine udubine profila Zv na duljini vrednovanja. Srednja visina elemenata profila Pc, Rc ili Wc srednja je vrijednost elementa profila Zt na referentnoj duljini.. 1 m Pc, Rc,Wc Zt i m i 1 Srednje aritmetič ko odstupanje mjerenog profila Pa, Ra ili Wa aritmetič ki je prosjek apsolutne ordinatne vrijednosti Z(x) na referentnoj duljini l 1 Pa, Ra,Wa Z ( x ) dx l0

139

140 Označ avanje hrapavosti tehnič kih površ ina na tehnič kim crtež ima a) osnovni grafič ki simbol za teksturu površ ine proš ireni grafič ki simboli b) obrada odvajanjem č estica c) obrada bez odvajanja č estica potpuni grafič ki simboli d) svi postupci dopuš teni e) obrada odvajanjem č estica f) obrada bez odvajanja č estica Slika Grafič ki simboli za označ avanje hrapavosti površ ine

141 Oznake smješ taja različ itih zahtjeva na hrapavost površ ine u potpunom grafič kom simbolu Polož aj a - zahtjev za hrapavoš ć u površ ine. Pokazuje stupanj i vrstu (R, W ili P) hrapavosti površ ine, granič nu brojč anu vrijednost i duljinu vrednovanja ili duljinu uzorkovanja Polož aj a i b - dva ili viš e zahtjeva na hrapavost površ ine Polož aj c - postupak obrade. Polož aj d - smjer obrade

142 Primjena oznaka hrapavosti na crtež ima i drugoj tehnič koj Kao opć e pravilo, grafič ki simbol ili pokaznu crtu koja završ ava strelicom (ili nekim drugim odgovarajuć im završ etkom) treba pokazivati na površ inu materijala izratka s vanjske strane, bilo da je to kontura (koja predstavlja površ inu) ili njezin produž etak (vidi slike 4.45.,4.46. i 4.47.) Slika Smjer č itanja (grafič kih simbola) stanja površ ine Slika Zahtjevi za stanjem površ ine na konturi koja predstavlja površ inu

143 Slika Alternativna uporaba pokazne crte Slika Zahtjev za stanjem površ ine uz kotni broj Ako ne postoji moguć nost zabune, zahtjev za stanjem površ ine mož e se postaviti zajedno s istaknutim mjerama, kao na slici 4.48

144 Zahtjev za stanjem površ ine mož e se postaviti i na vrh tolerancijskog okvira za geometrijske tolerancije (prema ISO 1101), kao š to je prikazano na slici 4.49.a, ili iznad same oznake, kao š to je prikazano na slici 4.49.b a) b) Slika Zahtjev za stanjem površ ine vezan uz tolerancije polož aja i oblika

145 Slika Uporaba pomoć nih mjernih crta za isticanje zahtjeva hrapavosti cilindrič nih tijela Slika Zahtjev za stanjem površ ine za cilindrič ne i prizmatič ne površ ine

146 Ako je zahtijevano stanje površ ine isto na već ini površ ina izratka, tada se to zahtijevano stanje površ ine pojednostavnjeno definira skupnim znakom koji se smješ ta obič no u gornji desni kut radionič kog crtež a.

147 Ako je u pitanju viš e proizvodnih postupaka, potrebno je definirati stanje površ ine prije i poslije pojedinog postupka obrade, š to treba objasniti u napomeni, kao š to prikazuje slika 4.56 Slika Postavljanje zahtjeva za stanjem površ ine, prije i poslije obrade (ovdje presvlaka)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

4. Tolerancije i dosjedi

4. Tolerancije i dosjedi 4. Tolerancije i dosjedi 4.1. Općenito o tolerancijama Dok se u pojedinačnoj proizvodnji ili nekom remontu stroja može u montaži dopustiti tzv. podešavanje i prilagodba dijelova koji trebaju raditi skupa,

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA

ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA STATIČKI MOMENTI I MOMENTI INERCIJE RAVNIH PLOHA Kao što pri aksijalnom opterećenju štapa apsolutna vrijednost naprezanja zavisi, između ostalog,

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Analitička geometrija i linearna algebra

Analitička geometrija i linearna algebra 1. VEKTORI POJAM VEKTORA Svakodnevno se susrećemo s veličinama za čije je određivanje potrean samo jedan roj. Na primjer udaljenost, površina, volumen,. Njih zovemo skalarnim veličinama. Međutim, postoje

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11.

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11. Dijagrami:. Udužnih sia N Greda i konoa. Popre nih sia TZ 3. Momenata savijanja My. dio Prosta greda. Optere ena koncentriranom siom F I. Reaktivne sie:. M A = 0 R B F a = 0. M B = 0 R A F b = 0 3. F =

Διαβάστε περισσότερα

VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA

VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA Veličina prostora kojeg tijelo zauzima Izvedena fizikalna veličina Oznaka: V Osnovna mjerna jedinica: kubni metar m 3 Obujam kocke s bridom duljine 1 m jest V = a a a = a 3, V

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa 9. dio 1 Sile presjeka (unutarnje sile): Udužna sila N Poprena sila T Moment uvijanja M t Moment savijanja M Napreanja 1. Normalno napreanje σ. Posmino

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

, 81, 5?J,. 1o~",mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pt"en:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M.

, 81, 5?J,. 1o~,mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pten:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M. J r_jl v. el7l1 povr.sl?lj pt"en:nt7 cf \ L.sj,,;, ocredz' 3 Q),sof'stvene f1?(j'me")7e?j1erc!je b) po{o!.aj 'i1m/' ce/y11ra.[,p! (j'j,a 1lerc!/e

Διαβάστε περισσότερα

Primjer prizme je u π 1. Osnovka uspravne kvadratne piramide EFGHV je u π 2. Tlocrt i nacrt tijela dan je na slici. Odredimo prodor tih tijela.

Primjer prizme je u π 1. Osnovka uspravne kvadratne piramide EFGHV je u π 2. Tlocrt i nacrt tijela dan je na slici. Odredimo prodor tih tijela. S. Varošanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 90 Primjer 4.56. Osnovka ABCD uspravne četverostrane prizme je u π 1. Osnovka uspravne kvadratne piramide EFGHV je u π 2. Tlocrt i nacrt tijela

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Vanjska simetrija kristâla

Vanjska simetrija kristâla Vanjska simetrija kristâla Franka Miriam Brückler PMF-MO, Zagreb Listopad 2008. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad 2008. 1 / 16 Vizualna simetrija Što je simetrija?

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

Program za tablično računanje Microsoft Excel

Program za tablično računanje Microsoft Excel Program za tablično računanje Microsoft Excel Teme Formule i funkcije Zbrajanje Oduzimanje Množenje Dijeljenje Izračun najveće vrijednosti Izračun najmanje vrijednosti 2 Formule i funkcije Naravno da je

Διαβάστε περισσότερα

5. PARCIJALNE DERIVACIJE

5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x

Διαβάστε περισσότερα

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,

Διαβάστε περισσότερα

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste 7. VJEŽBE PLAN ARMATURE PREDNAPETOG Dominik Skokandić, mag.ing.aedif. PLAN ARMATURE PREDNAPETOG 1. Rekapitulacija odabrane armature 2. Određivanje duljina

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:

Διαβάστε περισσότερα

0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4.

0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4. Zadatak 00 (Denis, ekonomska škola) U kojoj točki pravac s jednadžbom = 8 siječe os? Rješenje 00 Svaka točka koja pripada osi ima koordinate T(0, ). Budući da točka pripada i pravcu = 8, uvrstit ćemo njezine

Διαβάστε περισσότερα

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor I. VEKTORI d. sc. Min Rodić Lipnović 009./010. 1 Pojm vekto A B dužin A B usmjeen (oijentin) dužin (n se koj je točk početn, koj kjnj) A B vekto - kls ( skup ) usmjeenih dužin C D E F AB je epeentnt vekto

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

SKRIPTA IZ OSNOVA STROJARSTVA

SKRIPTA IZ OSNOVA STROJARSTVA Kemijsko tehnološki fakultet Sveučilište u Splitu SKRIPTA IZ OSNOVA STROJARSTVA Željko Domazet Lovre Krstulović-Opara SPLIT, srpanj 2006. 2 Predgovor Skripta OSNOVE STROJARSVA namijenjen je studentima

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

4 Sukladnost i sličnost trokuta

4 Sukladnost i sličnost trokuta 4 Sukladnost i sličnost trokuta 4.1 Sukladnost trokuta Neka su ABC i A B C trokuti sa stranicama duljina a b c odnosno a b c. Kažemo da su ti trokuti sukladni ako postoji bijekcija f : {A B C} {A B C }

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 16. UVOD U STATISTIKU Statistika je nauka o sakupljanju i analizi sakupljenih podatka u cilju donosenja zakljucaka o mogucem toku ili obliku neizvjesnosti koja se obradjuje. Frekventna distribucija - je

Διαβάστε περισσότερα

1. Trigonometrijske funkcije realnog broja

1. Trigonometrijske funkcije realnog broja 1. Trigonometrijske funkcije realnog broja 1. Brojevna kružnica... 1 7.Adicijskeformule.... Definicija trigonometrijskih funkcija....... 8. Još neki identiteti.......... 9. Trigonometrijske funkcije kutova........

Διαβάστε περισσότερα

20 mm. 70 mm i 1 C=C 1. i mm

20 mm. 70 mm i 1 C=C 1. i mm MMENT NERJE ZDTK. Za površinu prema datoj slici odrediti: a centralne težišne momente inercije, b položaj glavnih, centralnih osa inercije, c glavne, centralne momente inercije, d glavne, centralne poluprečnike

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

Masa, Centar mase & Moment tromosti

Masa, Centar mase & Moment tromosti FAKULTET ELEKTRTEHNIKE, STRARSTVA I BRDGRADNE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba Masa, Centar mase & Moment tromosti Ime i rezime rosinac 008. Zadatak:

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

MJERILO. Dr. sc. Aleksandar Toskić, izv. prof. Geografski odsjek PMF-a

MJERILO. Dr. sc. Aleksandar Toskić, izv. prof. Geografski odsjek PMF-a MJERILO Dr. sc. Aleksandar Toskić, izv. prof. Geografski odsjek PMF-a Zašto je potrebno poznavati mjerilo? Udaljenost jedna od osnovnih prostornih varijabli koja određuje smjer i intenzitet mnogih prostornih

Διαβάστε περισσότερα

1.1.** Dokaži da tvrdnja vrijedi ako su točke E i D na produžecima dužina AC i BC kroz C.

1.1.** Dokaži da tvrdnja vrijedi ako su točke E i D na produžecima dužina AC i BC kroz C. 1.1. U trokutu ABC na dužinama AC i BC odabrane su točke E i D. Simetrale kutova CAD i CBE sijeku se u točki F. Dokaži da vrijedi: AEB + ADB = 2 AF B. 1.1.* Dokaži da tvrdnja 1.1. vrijedi ako je E=C. 1.1.**

Διαβάστε περισσότερα

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva 1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA . Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa.

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa. Akvizicija tereta. Korisna nosivost broda je 6 t, a na brodu ia 8 cu. ft. prostora raspoloživog za sještaj tereta pod palubu. Navedeni brod treba krcati drvo i ceent, a na palubu ože aksialno ukrcati 34

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

PROSTA GREDA (PROSTO OSLONJENA GREDA)

PROSTA GREDA (PROSTO OSLONJENA GREDA) ROS GRED (ROSO OSONJEN GRED) oprečna sila i moment savijanja u gredi y a b c d e a) Zadana greda s opterećenjem l b) Sile opterećenja na gredu c) Određivanje sila presjeka grede u presjeku a) Unutrašnje

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

zastori sunset curtain Kućište od željeza zaštićeno epoksidnim prahom, opruge od željeza. Lako i brzo se montiraju.

zastori sunset curtain Kućište od željeza zaštićeno epoksidnim prahom, opruge od željeza. Lako i brzo se montiraju. zastori zastori sunset curtain Kućište od željeza zaštićeno epoksidnim prahom, opruge od željeza. Lako i brzo se montiraju. (mm) (mm) za PROZOR im (mm) tv25 40360 360 400 330x330 tv25 50450 450 500 410x410

Διαβάστε περισσότερα

3. KRIVULJE DRUGOG REDA

3. KRIVULJE DRUGOG REDA 3. KRIVULJE DRUGOG REDA U realnoj projektivnoj ravnini konike ili krivulje drugog reda definiraju se ovako: Definicija 3.1. Skup svih točaka projektivne ravnine čije koordinate zadovoljavaju algebarsku

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

S V E U Č I L I Š T E U S P L I T U FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJE. Prof. dr. sc. Damir Jelaska ELEMENTI STROJEVA

S V E U Č I L I Š T E U S P L I T U FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJE. Prof. dr. sc. Damir Jelaska ELEMENTI STROJEVA S V E U Č I L I Š T E U S P L I T U FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJE Prof. dr. sc. Damir Jelaska ELEMENTI STROJEVA (skripta za studente Industrijskog inženjerstva) U Splitu, 10. lipnja

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 1. Trigonometrijska kružnica. Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Trigonometrija 1. Trigonometrijska kružnica. Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije Trigonometrija Trigonometrijska kružnica Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije Projektna nastava Osnovne trigonometrijske relacije:. +. tgx. ctgx tgx.

Διαβάστε περισσότερα

Zbirka zadataka iz nastave. CNC glodanja

Zbirka zadataka iz nastave. CNC glodanja Zbirka zadataka iz nastave CNC glodanja u I. tehničkoj školi TESLA Ivo Slade, dipl. ing. stroj. Zagreb, šk.god. 2004 / 2005. 1. ZADATAK Potrebno je napisati NC-program prema priloženom nacrtu za upravljačku

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 14 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, točke infleksije i ekstremi funkcija Poglavlje 1 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, to ke ineksije

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

2.6 Nepravi integrali

2.6 Nepravi integrali 66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,

Διαβάστε περισσότερα

Elementarna matematika 2 - Analiti ka geometrija

Elementarna matematika 2 - Analiti ka geometrija Elementarna matematika - Analiti ka geometrija Pravci i ravnine u prostoru. Odredite jednadºbu pravca koji prolazi ishodi²tem i sije e pravce s jednadºbama x 7 0 = y 3 = z 5, x + 3 = y = z + 9.. Odredite

Διαβάστε περισσότερα

6. Plan armature prednapetog nosača

6. Plan armature prednapetog nosača 6. Plan armature prednapetog nosača 6.1. Rekapitulacija odabrane armature Prednapeta armatura odabrano:3 natege 6812 Uzdužna nenapeta armatura. u polju donji rub nosača (mjerodavna je provjera nosivosti

Διαβάστε περισσότερα

Vrijedi relacija: Suma kvadrata cosinusa priklonih kutova sile prema koordinatnim osima jednaka je jedinici.

Vrijedi relacija: Suma kvadrata cosinusa priklonih kutova sile prema koordinatnim osima jednaka je jedinici. Za adani sustav prostornih sila i j k () oktant i j k () oktant koje djeluju na materijalnu toku odredite: a) reultantu silu? b) ravnotežnu silu? a) eultanta sila? i j k 8 Vektor reultante: () i 8 j k

Διαβάστε περισσότερα

1 Pojam funkcije. f(x)

1 Pojam funkcije. f(x) Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Radni materijal 17 PRIZME

Radni materijal 17 PRIZME Radni materijal 17 PRIZME Odreži i zalijepi slike u bilježnicu, izvedi formule za oplošje i obujam, označi i izvedi formule za plošne i prostorne dijagonale. Oplošje OBP = + Volumen ili obujam V = Bv slika

Διαβάστε περισσότερα

Rotacija krutog tijela

Rotacija krutog tijela Rotacija krutog tijela 6. Rotacija krutog tijela Djelovanje sile na tijelo promjena oblika tijela (deformacija) promjena stanja gibanja tijela Kruto tijelo pod djelovanjem vanjskih sila ne mijenja svoj

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

Temeljni pojmovi o trokutu

Temeljni pojmovi o trokutu 1. Temeljni pojmovi o trokutu U ovom poglavlju upoznat ćemo osnovne elemente trokuta i odnose medu - njima. Zatim ćemo definirati težišnice, visine, srednjice, simetrale stranica i simetrale kutova trokuta.

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi veštačke inteligencije primer 1

Sistemi veštačke inteligencije primer 1 Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati

Διαβάστε περισσότερα

Unipolarni tranzistori - MOSFET

Unipolarni tranzistori - MOSFET nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]

Διαβάστε περισσότερα

35(7+2'1,3525$&8195$7,/$GLPHQ]LRQLVDQMHYUDWLOD

35(7+2'1,3525$&8195$7,/$GLPHQ]LRQLVDQMHYUDWLOD Predmet: Mašinski elementi Proraþun vratila strana 1 Dimenzionisati vratilo elektromotora sledecih karakteristika: ominalna snaga P 3kW Broj obrtaja n 14 min 1 Shema opterecenja: Faktor neravnomernosti

Διαβάστε περισσότερα

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA MODEL VOZILA U UZDUŽNOJ DINAMICI Zanemaruju se sva pomeranja u pravcima normalnim na pravac kretanja (ΣZ i = 0, ΣY i = 0) Zanemaruju se svi vidovi pobuda na oscilovanje i vibracije,

Διαβάστε περισσότερα

A MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1

A MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1 A MATEMATIKA (.5.., treći kolokvij). Zdn je z 3 + os. () Izrčunjte ngib plohe u pozitivnom smjeru -osi. (b) Izrčunjte ngib pod ) u točki T(, ). () Izrčunjte z u T(, ). (5 bodov). Zdn je z 3 ln. () Izrčunjte

Διαβάστε περισσότερα

UREĐAJU NA SKUPU REALNIH BROJEVA

UREĐAJU NA SKUPU REALNIH BROJEVA **** MLADEN SRAGA **** 00. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE UREĐAJU NA SKUPU REALNIH BROJEVA JEDNADŽBE NEJEDNADŽBE APSOLUTNE JEDNADŽBE APSOLUTNE NEJEDNADŽBE

Διαβάστε περισσότερα

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79 TEORIJA BETOSKIH KOSTRUKCIJA 79 Primer 1. Odrediti potrebn površin armatre za stb poznatih dimenzija, pravogaonog poprečnog preseka, opterećen momentima savijanja sled stalnog ( g ) i povremenog ( w )

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne

Funkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne Funkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne funkcije Iracionalne funkcije Potencije Eksponencijalne

Διαβάστε περισσότερα

LANCI & ELEMENTI ZA KAČENJE

LANCI & ELEMENTI ZA KAČENJE LANCI & ELEMENTI ZA KAČENJE 0 4 0 1 Lanci za vešanje tereta prema standardu MSZ EN 818-2 Lanci su izuzetno pogodni za obavljanje zahtevnih operacija prenošenja tereta. Opseg radne temperature se kreće

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Planimetrija. Sličnost trouglova. GF 000 Dužine stranica trougla su 5cm, cm i 8cm. Dužina najduže stranice njemu sličnog

Διαβάστε περισσότερα