5. משוואות ושאלות מילוליות 253

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "5. משוואות ושאלות מילוליות 253"

Transcript

1 א. 1. משוואות מגלים מגלים ולומדים א. משוואות וזהויות מיינו את השוויונות שלפניכם לשלוש הקבוצות: שוויונות שמתקיימים לכל ערך של אות, שוויונות שאינם מתקיימים, שוויונות שמתקיימים רק לערכים מסוימים של האות. הסבירו את קביעותיכם. א = ב = _ 1_ 2 : ג a + b = b + a ד a 6 a = 4 a 10 4 ה = : ו a b = b a ז = 1 2 1_ 3 ח b b = 10 b 2 ט = 12 3 a 2 + י = יא x + 1 = x 3 יב z + 4 z = 7 z 3 טז + 3 b b b = 7 2 טו = 5 x : 40 יד = 3 1 t יג = 10 2 : z 4 יח b 0 = b יז = 20 x 40 לומדים משוואה היא שוויון שיש בו משתנה שמתקיים לערכים מסוימים של המשתנה. משתנה במשוואה נקרא נעלם, כי צריך למצוא את ערכו. פתרון משוואה הוא כל ערכי הנעלם, שבהצבתם במשוואה השוויון מתקיים. דוגמאות למשוואות: 3 x + 8 = x + 10,4 z = 12,10 = y + 1 כדי לפתור את המשוואה = y מחפשים את ערכי הנעלם, y כך שיתקיים שוויון מספרי. אם = 6 y, השוויון = מתקיים, לכן 6 הוא פתרון המשוואה. אם = 7 y, השוויון = אינו מתקיים, ולכן 7 אינו פתרון המשוואה. משימות א איזה מבין המספרים 13 14, ו- 15 הוא פתרון המשוואה = x? ב איזה מבין המספרים 16 15, ו- 17 הוא פתרון המשוואה 5 x = 12? ג איזה מספר מבין המספרים 6,20 ו- 18 הוא פתרון המשוואה = x?3 בכל סעיף ה חליפו את הריבוע באות כרצונכם. האם קיבלתם משוואות? א = ב = 116 ג = ד 150 = 300 ה 2 =

2 3 פתרו את המשוואות. א = 3 x + 2 ב = 4 x + 2 ג = 5 x + 2 ד = 6 x פתרו את המשוואות. א = 10 3 x ב = 9 3 x ג = 8 3 x ד = 7 3 x 5 פתרו את המשוואות. א = x ב = 11 x + 4 ג = 29 x + 11 ד = x 6 פתרו את המשוואות. א = x ב = 17 4 x ג = 17 x + 9 ד = 9 2 x ה = 12 x + 11 ו = 8 13 x 7 פתרו את המשוואות. א = x ב = 21 x + 14 ג = 37 x + 19 ד = x בכל סעיף המספרים b, a ו- c שונים מ-. 0 הסבירו לפי אילו תכונות השוויונות (2) ו- (3) מתקבלים מהשוויון (1). 8 (1) c a : b = ג ב (1) c a b = א (1) c a = b + a = c b (2) a = c : b (2) b = a c (2) b = a : c (3) b = c : a (3) c = a b (3) 9 פתרו את המשוואות. א = 4 2 : x ב = 2 8 : x ג = 12 5 : x ד = 5 3 : x x 6 x 7 ח 2 = x 3 ז 2 = x 5 ו 4 = ה 7 = 10 פתרו את המשוואות. א = 9 3 x ב = 8 2 x ג = 10 5 x ד = 21 7 x x ה = 9 3 : x ו 8 = 2 x ז = 10 5 : x ח 21 = 7 11 לפניכם שוויונות שתמיד מתקיימים = _ 2 + 3_ = = = 90 6 b + 0 = b = x + 3 x + 5 x = 10 x 9 12 a 6 a = 6 a 8 4 z + 4 z = 8 z 7 א באילו מהשוויונות יש משתנים? ב הסבירו מדוע שוויונות אלה תמיד מתקיימים. ג כתבו שלושה שוויונות )שיש בהם משתנה אחד או כמה משתנים(, שיתקיימו בהצבת כל מספר במקום המשתנים. 254

3 בסרטוט שלפניכם הנקודות O A, ו- B נמצאות על אותו ישר. מצאו את מידת הזווית α. כתבו שלוש משוואות המתאימות לאיור שלפניכם x α 50º A O B א. 2. זהויות לומדים זהות היא משוואה שבה כל מספר שנציב במקום הנעלם, יהיה פתרון המשוואה. בעזרת זהויות אפשר לבטא חוקים וכללים, ובעזרת חוקים וכללים אפשר לקבל זהויות נוספות. דוגמאות: הזהות a + b = b + a מבטאת את חוק החילוף בחיבור. c, a b הם זהויות. b כללים הקשורים לשברים, כגון d נוסחאות בגאומטריה יכולות להיחשב כזהויות. d = a c למשל, נוסחת היקף המלבן b) p = 2 (a + היא זהות. מקבלים את הזהות a + 4 b = 4 b + 5 a 5 בעזרת חוק החילוף של החיבור. מקבלים את הזהות + 6 x (x + 2) = 3 3 בעזרת חוק הפילוג של הכפל מעל החיבור. מקבלים את הזהות x) = 12 x (4 3 בעזרת חוק הקיבוץ של הכפל. משימות מצאו את הזהויות. נמקו את קביעותיכם. א a = 9 a 9 ב = x ג t + 4 = 4 + t ד = 0 z z 4 4 ה b = 9 + b ו = 63 c ז = 18 y 3 6 ח 0) (x x x 1 = 1 לפניכם משוואות שונות. אילו מהן הופכות לשוויונות נכונים בהצבת כל מספר במקום המשתנים? 4 t t = 13 t ג a + b 2 = a ב b א (x + y) = 7 x + 7 y 7 x + 3 x = 5 x 2 ו ה (a + a) = 4 a 2 ד 2 (a 0, b 0) a 2 a 2 b אילו מבין השוויונות שלפניכם הופכים לשוויונות נכונים בהצבת כל מספר במקום המשתנים? א = 3 a 0 ב = 0 b 0 ג + 2 b b + 1 = 5 5 ד = 0 b 4 ה z = 3 z + 4 z 7 ו a = 3 a a

4 בכל סעיף כתבו לפי אילו חוקים מתקיימת הזהות. א x + 17 x = 17 x + 5 x 5 ב x = 9 5 x 45 ג + 72 x (x + 6) = לפניכם זהות המייצגת את חוק הפילוג של הכפל מעל החיבור..a (b + c) = a b + a c א הציבו = 5 a b = 7, ו-.c = x האם השוויון מתקיים לכל? x ב הציבו = 12 a b = x, ו- = 20.c האם השוויון מתקיים לכל? x ג האם + 21 x (x + 6) = 15?15 הסבירו את תשובתכם. פתרו את התרגילים. )כל המשתנים שונים מ- 0.( צמצמו את התוצאות במידת האפשר. דוגמה: 10 a 9 4 a 9 = 10 a 4 a 9 = 6 a 9 = 2 a 3 c 2 x 3 2 x = c 3 2 x 2 א = x 3 x + 7 ב = x x + 3 a ג = y 9 y 3 ד = x x b a 2 b 2 + c 2 = ח 4 c c 5 ז = 5 4 a 3 2 ו = a 4 4 a + 4 ה = a פיצוחים הכלל שלפניכם מייצג דרך לחישוב חיבור או חיסור של שברים. (b, k 0) a (b, k 0) a k b + c b = a k b c b = a k b + k c k b = a + k c k b k b k c k b = a k c k b א באילו מקרים משתמשים בכלל זה? ב קבעו ערכים למשתנים, ותנו דוגמאות א. 3. פתרון משוואות מגלים המאזניים שבאיור מאוזנים. בכל מעוין רשום מספר יחידות. אבאילו פעולות, לדעתכם, נשמר האיזון? 1 הפחתת 2 יחידות מכל צד. 2 הוספת 6 יחידות לכל צד. 3 הפחתת 2 יחידות מצד ימין והוספתן לצד שמאל. 4 הסרת כדור מכל צד. 5 הסרת כדור מימין והסרת שני כדורים משמאל. ב מהו המשקל של כדור אחד?

5 לומדים שתי משוואות נקראות משוואת שקולות, אם יש להן אותם משתנים ואותם פתרונות. דוגמאות: המשוואות = 11 1 z 4 ו- = 12 z 4 הן משוואות שקולות, כי יש להן אותו משתנה )z( ואותו פתרון (3). המשוואות = 7 5 x ו- = 7 5 y הן משוואות שאינן שקולות, כי מופיעים בהן משתנים שונים. המשוואות = 22 y + 15 ו- = 22 y + 5 הן משוואות שאינן שקולות, כי יש להן פתרונות שונים. באחת מהן הפתרון הוא (17), ובאחרת הפתרון הוא 7. כדי לפתור משוואה כותבים את המשוואה הנתונה כמשוואה פשוטה יותר, השקולה לנתונה, על-ידי שימוש בתכונות השוויון ובחוקי פעולות החשבון. למעשה, כדי לפתור את המשוואות שנדון בהן בפרק זה, "מבודדים" באחד האגפים* את כל האיברים שיש בהם נעלם, ואת האיברים שאין בהם נעלם "מרכזים" באגף האחר. כדי לבדוק אם המספר שהתקבל הוא אכן פתרון המשוואה, יש להציב את המספר במשוואה במקום הנעלם ולבדוק אם השוויון מתקיים. * אין חשיבות לאגף שמרכזים בו את הנעלם. דוגמאות לתכונות השוויון וחוקי פעולות הוספה של אותו מספר בו-זמנית לשני אגפי המשוואה הפחתה של אותו מספר בו-זמנית משני אגפי המשוואה כפל או חילוק של שני האגפים באותו מספר השונה מ- 0 שימוש בתכונות של החיבור )חוק החילוף וחוק הקיבוץ( שימוש בחוק הפילוג של הכפל מעל החיבור והחיסור הערות אפשר גם "לנחש" את הפתרון, אך עדיף לעבוד בשיטתיות. בכל מקרה, חשוב לבצע בדיקה. נוח לכתוב מימין למשוואה את הפעולה שבוצעה, כדי לעקוב אחרי תהליך הפת רון. 257

6 דוגמאות לפתרון משוואות: 3 x 4 = 9 3x : 4 = 9 4 3x : 4 4 = 9 4 3x = 36 : 3 x = 12 4 z 1 = z = z = 12 4 z : 4 = 12 : 4 : 4 z = 3 בדיקה: בדיקה: = = 12 1 = 11 8(y + 1) = 24 : 8 y + 1 = 3 1 y = 2 8(y + 1) = 24 8y + 8 = y = y = 16 : 8 y = 2 בדיקה: בדיקה: 8 (2 + 1) = 8 3 = 24 או 8 (2 + 1) = 8 3 = 24 משימות 21 המאזניים שבאיור מאוזנים. 100 גר' 100 גר' גר' גר' א איזו פעולה נדרשת כדי שיהיו רק אגסים על המגש השמאלי? באילו פעולות נדרשות כדי לדעת את משקלו של כל אגס? א 22 מצאו את משקל הספר בכל איור. ב ג 1 2 2,500 ק"ג ק"ג 3 גר' ק"ג 1 ק"ג 5 ק"ג 258

7 כמה ריבועים יש במעטפה, אם ידוע שמספר הריבועים שמימין שווה למספר הריבועים שמשמאל? מהו האיור המתאים למשוואה = x 3? x א ב x x x x ד x x x ג לכל אחד מהאיורים האחרים כתבו משוואה מתאימה, ופתרו אותה. פתרו את המשוואות. א = x ב = 4 1 x ג = x ד = 10 8 x ה = x ו = 2 4 x לפניכם זוגות של משוואות שקולות. באיזו פעולה השתמשו כדי לכתוב את משוואה (1) כמשוואה (2)? א = 14 x 2 (1) ב = 15 2 x (1) ג = 15 2 : x (1) (2) x = 30 (2) x = 17 (2) x = 7 פתרו את המשוואות. א = x 3 ב = y 5 ג = y 5 ד = 16 5 y 3 ה 7 y 8 = 17 ו + 7 y 6 = לפניכם זוגות של משוואות. האם המשוואות שקולות? אם כן, באיזו פעולה השתמשו כדי לכתוב את משוואה (1) כמשוואה (2)? (1) ד = 5 x 8 5 (1) א = 42 2 x 5 (1) ב = x 5 (1) ג = 5 x (2) 8 x = 40 (2) 5 x = 40 (2) 5 x = 40 (2) 5 x =

8 בכל סעיף הסבירו באיזו מהמשוואות הפתרון גדול יותר, ובדקו את תשובתכם על-ידי חישובים. א 5 40 = x ב 10 9 = 5 x x 25 = 9 10 x + 20 = פתרו את המשוואות, וציינו באיזו דרך פתרתם אותן. x + 1 א = x ב = x ג + 2 x = 2 ד 2 3 = 2 ה = x ו = x ז = 7.1 x ח = x 30 פשטו את הביטויים על-ידי כינוס איברים דומים, ופתרו את המשוואות. א + 30 t = t + t + 69 ב = 11 4 x 3 ג = 11 3 c c ד = 130 b b ה = 140 y y דוגמה: x x + 2 x + 7 = 35 כינוס איברים דומים: 5 x + 15 = 35 5 x = 20 x = פתרו את המשוואות. א = x ב = x ג 4 3 = x ד 7 5 = x פתרו את המשוואות. א = x ב = x ג = x ד = x 33 פתרו את המשוואות. א = 26 x 4 ב = 46 x 8 ג = 37 x 5 ד = 66 x לפניכם זוגות של משוואות שקולות. בכל זוג ציינו באילו חוקי פעולות חשבון או תכונות שוויון השתמשו. דוגמה: תכונות השוויון: חילוק שני אגפי המשוואה באותו מספר השונה מ- 0 תכונות השוויון: הוספת אותו מספר לשני אגפי המשוואה 7 (x 1) = 21 1 x 1 = 3 2 x = = א = 20 5) + (x 2 (1) ב = 20 4) (y 2 (1) ג = 15 2 x (1) (2) x = 17 (2) 2 y 8 = 20 (2) 2 x + 10 = (1) ו = 15 2) (x 3 (1) ד = x 2 (1) ה = 20 y (2) x 2 = 5 (2) 2 y = 60 (2) x = 1 260

9 מצאו את המספר החסר. 5 7 = (6 + ) א 25 = 5 4 ב = 20 ג 12 = 4 3 ד 25 + בכל סעיף כתבו משוואה מתאימה להיגד, ופתרו אותה. אאם מוסיפים 8 למספר, b מקבלים 28. בארבע פעמים המספר a שווה ל- 28. גכאשר מחסרים 5 מהמספר, c מקבלים 28. דאם מחלקים את המספר d בשתיים, מקבלים 28. זכרו! אפשר לקבל שברים שווים על-ידי הרחבה בכל אחד מהסעיפים כתבו אם המשפט נכון או לא-נכון, ונמקו את תשובתכם. א המספר 0 הוא פתרון המשוואה = 0 y 16. ב המספר 2 1 הוא פתרון המשוואה = 20 t 40. ג למשוואה = 20 1 x 3 ולמשוואה 1 x 3 = 20 יש פתרון זהה. ד למשוואה = 51 z z + z + ולמשוואה = 402 x יש פתרון זהה. ה המספר 1 הוא פתרון המשוואה = 4 x פיצוחים לפניכם "ריבועי קסם". בכל "ריבוע קסם" סכום המספרים בטור, בשורה ובאלכסון שווה. מצאו את המספרים. 39 a + 13? a a 16? 2 13? a + 7 a + 8 a + 5? ? a + 3 a + 4 a + 9? ?? a + 11? 4? 14? משימות נוספות בעמודים

10 ב. ממילים לאלגברה ב. 1. משוואות ושאלות מילוליות מגלים ולומדים לומדים אפשר לבטא קשרים ועובדות מתמטיות בעזרת משתנים. קובעים מה מייצגות האותיות, ו"מתרגמים את המצב" על-ידי שימוש באותיות. דוגמאות: אם האות a מייצגת תאריך בחודש, "מתרגמים" את "היום שאחריו" על-ידי הקשר + 1 a. אם האות m מייצגת את מספר התלמידים בכיתה, מספר התלמידים ביום שבו שני תלמידים חסרים, הוא 2 m. אם האות p מייצגת מחיר של קילוגרם אחד של משמש, המחיר של שלושה קילוגרמים וחצי של משמש הוא p 3.5. אם האות a מייצגת את ספרת היחידות של מספר, והאות b מייצגת את ספרת העשרות של המספר, המספר הוא b + a 10. משימות בחדר היו p אנשים. ארבעה אנשים יצאו מהחדר. א מה מייצגת האות? p ב איך הייתם מייצגים בעזרת p את מספר האנשים שנשארו? גמהם הערכים האפשריים של p? באוטובוס היו b אנשים. כאשר הגיע האוטובוס לתחנה, ירדו ממנו 8 אנשים, ועלו 6 אנשים. א האם הערך של b יכול להיות 1,000? 30? 5? נמקו את תשובותיכם. ב יצגו בעזרת b את מספר האנשים באוטובוס )כולל הנהג(, כאשר האוטובוס יצא מהתחנה. בבית המלון "אביב-אביב" מתקיים כנס של משפטנים. באולם "דוד" נוכ חים a משתתפים, באולם "יונתן" נוכ חים b משתתפים. א האם הערך של a יכול להיות מיליון? 200? 40.5? נמקו את תשובותיכם. ב מהו מספר המשתתפים בשני האולמות יחד? ג 8 אנשים עברו מאולם "דוד" לאולם "יונתן". מהו מספר המשתתפים בכל אולם אחרי המעבר שלהם? מחיר חבילת שוקולד הוא. 12 א מהו המחיר של 5 חבילות? של c חבילות? ב האם הערך של c יכול להיות 4? 4.5? 1,000? נמקו את תשובותיכם

11 מחיר חבילת שוקולד הוא m. אמהו המחיר של 5 חבילות? של c חבילות? 44 ב האם הערך של m יכול להיות 4? 4.5? 1,000? נמקו את תשובותיכם. 45 יונה בת a שנים. אחותה רחל קטנה ממנו ב- 3 שנים. בטאו את הגיל של רחל בעזרת. a 46 גבריאל בן b שנים. שמשון מבוגר מגבריאל ב- 5 שנים. בטאו את הגיל של שמשון בעזרת. b 47 היום נעמי בת c שנים. בטאו בעזרת c את הגיל של נעמי בעוד עשר שנים. 48 היום צופיה בת d שנים. בטאו בעזרת d את הגיל של צופיה בשנה שעברה. עזרא, תלמיד תיכון, מחלק עיתונים מוקדם בבוקר. תמורת חלוקה של 30 עיתונים הוא מקבל 40 שקל. א ביום ראשון חילק עזרא 160 עיתונים. מה הייתה משכורתו בשקלים? בחרו את הביטוי הנכון, וסיימו את החישוב : : : : ב ביום שני הוא חילק t עיתונים. בטאו בעזרת t את שכרו של עזרא ביום זה. ג ביום שלישי הוא קיבל n שקלים. בטאו בעזרת n את מספר העיתונים שחילק עזרא ביום זה. א בקופסה 16 חבילות הפתעה. מחיר כל קופסה הוא 80 שקלים. מה מחירה של חבילת הפתעה אחת? ב המשתנה a מייצג את מספר חבילות ההפתעה בקופסה. מחיר כל קופסה הוא 80 שקלים. בטאו בעזרת a את המחיר של חבילות ההפתעה. ג המשתנה a מייצג את מספר חבילות ההפתעה בקופסה, והמשתנה b מייצג את המחיר של כל קופסה. בטאו בעזרת a ו- b את המחיר של חבילות ההפתעה. 50 א אורכו של שדה מלבני גדול מרוחבו ב- 10 מ'. מהו רוחב השדה, אם אורכו הוא 35 מטר? ב אורכו של שדה מלבני גדול מרוחבו ב- b מ'. בטאו את רוחב השדה, אם אורכו הוא 100 מטר. 51 א רוחבו של שדה מלבני קטן מאורכו ב- 25 מ'. מהו היקף השדה, אם נתון שאורכו 80 מטר? ב רוחבו של שדה מלבני קטן מאורכו ב- k מ'. בטאו את היקף השדה, אם אורכו 80 מטר

12 מוטי קבע תור לרופא השיניים באחד מימי חמישי בחודש אוקטובר וסימן את התור בלוח החודשי, אך ספל קפה נשפך והכתים את הלוח. 53 חודש אוקטובר ראשון שני שלישי רביעי חמישי שישי שבת אמהם התאריכים האפשריים לפגישה? איך מצאתם אותם? במהם התאריכים של ימי שישי באותו חודש? גמהו הקשר בין שני ימי שישי רצופים? האם קיים קשר כזה בין שני ימי ראשון רצופים באותו חודש? דנניח כי האות a מייצגת תאריך בחודש )מספר יום בחודש(. האם הערך של a יכול להיות 15? 1? 35? ההתאריך b בחודש חל ביום ראשון. )b הוא מספר טבעי קטן מ- 21.( כ תבו בעזרת b את התאריך של יום ראשון שאחריו. והתאריך c בחודש חל ביום רביעי. )המשתנה c הוא מספר טבעי קטן מ- 21.( כ תבו בעזרת c את התאריך של יום שני שאחריו. זמדוע, לפי דעתכם, המשתנים b ו- c מייצגים מספרים הקטנים מ- 21? ח התאריך m בחודש חל ביום חמישי בשבוע. )המשתנה m הוא מספר טבעי בין 1 ל- 25.( איזה יום בשבוע הוא + 2 m? איזה יום בשבוע הוא 5 m? ב. 2. התאמת ערכי המשתנים מגלים בארנק a מטבעות של, 10 b מטבעות של 5 ו- c מטבעות של ( 1 a b, ו- c מספרים טבעיים(. א כתבו ביטוי אלגברי לייצוג סכום הכסף שבארנק. ב האם במקום a ובמקום b אפשר להציב אותו מספר טבעי? אם כן, תנו דוגמה. אם לא, נמקו את קביעתכם. ג האם במקום המשתנים b, a ו- c אפשר להציב כל מספר? אם כן, תנו דוגמה. אם לא, נמקו את קביעתכם. 264

13 לומדים בעזרת ביטויים אלגבריים אפשר לתאר לא רק שרשרת של חישובים, אלא גם מצבים ותכונות של מספרים. במקרה זה ערכי המשתנים צריכים להתאים לתנאי המשימה. חשוב לציין מהו סוג המספרים שאפשר להציב במקום המשתנים. דוגמאות: אם האות k מייצגת את מספר האנשים שבחדר, האוהבים גלידות, k לא יכול להיות, 81.5 כי מספר אנשים הוא מספר טבעי. אם הביטוי a + b 10 מייצג מספר דו-ספרתי, הערכים האפשריים של a ושל b.9,8,7,6,5,4,3,2,1,0 הם הספרות משימות ספרת היחידות של מספר דו-ספרתי היא 5. כתבו ביטוי אלגברי לייצוג כל המספרים המתאימים, אם המשתנה a מייצג את ספרת העשרות. מהם הערכים האפשריים של המשתנה? במספר תלת-ספרתי ספרת היחידות היא, a ספרת העשרות היא, b וספרת המאות היא. c א אילו ערכים של, a של b ושל c מתאימים לכל אחד מהמספרים שלפניכם? 584, 774, 808, 999, 230 ב כתבו ביטוי אלגברי לייצוג מספר תלת-ספרתי בעזרת המשתנים b, a ו-.c דוגמה: במספר 342 c = 3 b = 4 a = 2 נהוג לבחור באותיות m, n, k כדי לייצג בחרו אות כרצונכם, שתשמש משתנה. כתבו ביטוי אלגברי לייצוג כל הכפולות של 7 בעזרת האות שבחרתם. במקום המשתנה כתבו מספר טבעי, וו דאו שקיבלתם כפולה של 7. מספרים טבעיים. 56 ידוע ששטח מלבן שווה למכפלה של אורכי צלעותיו. א מהו שטח מלבן שאורכי צלעותיו הם 5 ס"מ ו- 2 ס"מ? ב מהו שטח מלבן שאורכי צלעותיו הם 3.5 ס"מ ו- 2 ס"מ? ג מהו שטח מלבן שאורכי צלעותיו הם a ס"מ ו- b ס"מ? 57 ד מהו שטח מלבן שאורכי צלעותיו הם c ס"מ ו- d מ'? ציינו את יחידת השטח. בחרו את האות n כמשתנה. כתבו בעזרת משתנה זה ביטוי אלגברי לייצוג כל המספרים הזוגיים. במקום המשתנה כתבו מספר טבעי, וו דאו שקיבלתם מספר זוגי

14 כתבו ביטוי אלגברי לייצוג כל המספרים האי-זוגיים מגלים ולומדים זכרו! )בעזרת האות (. n במקום המשתנה כתבו מספר טבעי, וו דאו שקיבלתם מספר אי-זוגי. רק מספרים טבעיים הם זוגיים או אי-זוגיים. 59 ח שבו על מספר. כפלו אותו ב- 2, הוסיפו למכפלה 6, חלקו את הסכום ב- 2, וחסרו מהתוצאה את המספר שבחרתם. האם קיבלתם 3 כתוצאה סופית? הסבירו את החישוב. )רמז: השתמשו בביטוי אלגברי.( איך נתאר את כל המספרים הגדולים מ- 3, בעזרת המשתנה? a )המשתנה a מייצג מספר גדול מ- 0.( במשימות, המשתנה x מייצג מספר גדול מ איך נתאר את כל המספרים הגדולים מ- a, בעזרת המשתנה? x 63 איך נתאר את כל המספרים הקטנים מ- a 3, בעזרת המשתנה? x פיצוחים לפניכם ביטויים אלגבריים ותיאורים מילוליים. התאימו כל ביטוי לתיאור שלו. ציינו מהם הערכים האפשריים של המשתנים. 2 a א ריבוע של מספר 1 3 b ב מספר אי-זוגי 2 a 2 ג מספר זוגי 3 2 n + 1 ד עוקב של כפולה של a + 1 ה כפולה של x 1 ו שני מספרים זוגיים סמוכים 6 a ו- a + 1 ז מספר קודם לכפולה של n 2 ו- n 2 ח מספר והעוקב שלו לפניכם סרטוט של קטעים בציון אורכם. A a B 3 C 3 D א מה מייצגת האות? a ב כתבו ביטוי אלגברי המבטא את אורך הקטע AC בעזרת המשתנה. a ג כתבו ביטוי אלגברי המבטא את אורך הקטע AD בעזרת המשתנה. a ד אם 8 ס"מ = a, מהו אורך הקטע? AC מהו אורך הקטע? AD 266

15 66 המשתנים p ו- r הם מספרים טבעיים. הקטעים שלפניכם מייצגים סכום של מספרים טבעיים. א בכל קטע קבעו אם אורכו הוא מספר זוגי או מספר אי-זוגי או אי-אפשר לדעת. A p p r r B C p p p + 1 D G p p + 1 F ב האם סכום של שני מספרים עוקבים הוא מספר זוגי או מספר אי-זוגי? נמקו את תשובתכם. בחדר היו a אנשים, והגיעו עוד שלושה אנשים. כמה אנשים יש בחדר עכשיו? )בחרו באפשרות המתאימה.( 67 א 3 a ב a 3 1 ג a 3 ד + a 3 המשתנה m מייצג את גילי. אחי צעיר ממני בשנתיים. איזה מהביטויים האלגבריים שלפניכם מייצג את גילו של אחי? א : 2 m ב 2 m ג m 2 ד + m 2 68 על כל אחד משלושה מדפים מונחים ספרים. מספר הספרים על המדף הראשון הוא. x מספר הספרים על המדף השני גדול ממספר הספרים על המדף הראשון ב- 7. מספר הספרים על המדף השלישי קטן ממספר הספרים על המדף הראשון ב א כתבו ביטויים אלגבריים המייצגים את מספר הספרים על כל מדף. ב האם על המדף הראשון יכולים להיות שני ספרים? הסבירו את קביעתכם. גמהו הערך הקטן ביותר של? x 70 בני משפחת כהן קנו שולחן ב- m שקלים. 300 שקל שולמו במזומן, והיתר בתשלומים. א כתבו ביטוי אלגברי לייצוג הסכום ששולם בתשלומים. ב על-סמך הנתונים, מה יכול להיות מחיר השולחן? 250 שקל 301 שקל 800 שקל הסבירו מדוע פסלתם אפשרויות אחרות. 267

16 ב. 3. פתרון שאלות מילוליות מגלים תלמידות חטיבת הביניים החליטו לתרום כסף לספריית בית אבות. התלמידות של כיתה ז' תרמו 150 יותר מהתלמידות של כיתה ח'. כמה כסף תרמו תלמידות כיתה ח', אם ידוע שתלמידות כיתה ז' תרמו? 1,275 אמה צריך למצוא בשאלה? בבחרו אות כרצונכם, וסמנו באמצעותה את המבוקש )את מה שצריך למצוא(. גכתבו משוואה מתאימה, פתרו אותה, ובדקו את תשובתכם. דאיך כתבתם את המשוואה? איך בדקתם את התשובה? לומדים השלבים לפתירת שאלה מילולית. שלב א': קוראים את השאלה. שלב ב': מנתחים את הנתונים. בודקים מה נתון, ומה צריך למצוא )המבוקש(. שלב ג': מייצגים את המבוקש באות. האות תהיה הנעלם במשוואה. שלב ד': כותבים משוואה המתאימה לנתונים. שלב ה': פותרים את המשוואה. שלב ו': בודקים אם הפתרון נכון, על-ידי הצבתו במשוואה, ומוודאים כי הפת רון מתאים לתנאי השאלה. שלב ז': כותבים תשובה לשאלה. דוגמה: מספר המכוניות שעברו ברמזור גדול ממספר האופנועים ב- 15. ידוע כי ברמזור עברו 20 מכוניות. כמה אופנועים עברו ברמזור? נתון מספר המכוניות; צריך למצוא את מספר האופנועים. למשל, האות x תייצג את מספר האופנועים שעברו ברמזור. לפיכך מספר המכוניות שעברו ברמזור הוא (x + 15), כי מספר המכוניות גדול ממספר האופנועים ב- 15. ידוע כי מספר המכוניות שעברו ברמזור הוא 20, לכן אפשר לכתוב את המשוואה = 20 x x 15 = x = x = 5 בדיקה: = 20 5,15 + ואכן, 20 גדול מ- 15 ב- 5. תשובה: ברמזור עברו חמישה אופנועים. 268

17 משימות 71 בעל חנות כובעים הזמין 38 כובעים נוספים על המלאי הקודם. יש לו כעת 76 כובעים. האות x מייצגת את מספר הכובעים שהיה במלאי. מהי המשוואה המתאימה לנתונים? x א = x ב = x ג = 76 x 38 ד = לפניכם רשימה של משפטים ורשימה של משוואות. בכל משוואה האות מייצגת מספר לא-ידוע. מצאו לכל משפט את המשוואה שלו כאשר מחסרים שלוש מפעמיים מספר, מקבלים שלוש. א = 24 x 3 2 שלוש פעמים גובהו של החלון שווה לארבעה מטרים. ב 4 n + n = סבתא שילמה 24 תמורת מספר ורדים שמחיר כל אחד מהם הוא. 3 ג = 3 3 n 2 4 הסכום של 3 ושל חצי ממספר שווה להפרש בין אותו מספר לבין 4. ד = 4 x 3 אם מחסרים 9 ממספר, התוצאה המתקבלת היא 8. האות n מייצגת את המספר. מהי המשוואה המתאימה לנתונים? א = 8 n 9 ב = 8 9 n ג = 9 n 8 ד = 9 8 n סכום שני מספרים הוא 96. אחד המספרים גדול מהמספר האחר ב- 20. האות n מייצגת את המספר הגדול. מהי המשוואה המתאימה לנתונים? א = 96 20) + +(n n ב = 96 n + 20 ג n n 2 = 96 ד = 96 20) (n n + סכום שני מספרים הוא 96. אחד המספרים גדול מהמספר האחר פי שניים. האות n מייצגת את המספר הקטן. מהי המשוואה המתאימה לנתונים? 2 n + n = 96 ד = 96 2 n n ג n + n 2 א = 96 n + 2 ב = 96 סכום שני מספרים הוא 96. אחד המספרים גדול מהמספר האחר פי שניים. האות n מייצגת את המספר הגדול. מהי המשוואה המתאימה לנתונים? 2 n + n = 96 ד = 96 2 n n ג n + n 2 א = 96 n + 2 ב = 96 רננה בת 15. היא צעירה מאחותה שרה ב- 3 שנים. האות a מייצגת את גילה של שרה. מהי המשוואה המתאימה לנתונים? 1 3 ד = 15 3 a א = 15 a 3 ב = a ג = 15 a סכום הגילים של ארבעה אחים הוא 38 שנים. הבכור גדול מהשני בשנתיים, השני גדול מהשלישי ב- 3 שנים, והשלישי גדול מהצעיר בשנתיים. א לפניכם ייצוג הגיל של הילדים. מהו הגיל של כל ילד? ב כתבו דרך אחרת למציאת הפתרון, כאשר הנעלם הוא גיל הבכור. הצעיר

18 79 אלכל אחת מהסכמות כתבו ביטוי אלגברי המבטא את ערך הקטע AB בעזרת. x A B 5 C 3 A x C 5 B 2 x x x x x 1 x A B A x מ"ר B 5 5 A x B 5 C 4 D C בקבעו בכל סעיף מהו הערך של, x אם = 20.AB בכל אחת מהשאלות מצאו מהו המבוקש, יצגו אותו באות, כתבו משוואה מתאימה, ופתרו אותה. לאחר מכן כתבו דרך אחרת למציאת הפתרון ללא שימוש במשוואה. דוגמה: מחיר המחשב עלה ב-, 540 וכעת הוא נמכר ב-. 4,790 מה היה מחירו המקורי של המחשב? המבוקש: מחיר המחשב לפני עליית המחיר. האות x תייצג את המחיר לפני עליית המחיר. מחיר המחשב אחרי העלייה הוא (540 + x), שהם, 4,790 לכן משוואה מתאימה היא = 4, x. פתרון המשוואה: = 4, = x תשובה: המחיר המקורי של המחשב היה. 4,250 אפשר לכתוב את פתרון המשוואה כך: x +540 = x = x = 4250 דייג דג כמה דגים. לאחר שהוא החזיר ארבעה דגים למים, נותרו לו שלושה עשר דגים. כמה דגים דג הדייג? 80 אחרי הנחה של 4.50 שילם יונה 41.5 תמורת ספר שקנה. מה היה המחיר של הספר לפני ההנחה? 81 במהלך הכנס עברו 28 אנשים מאולם "יסמין" לאולם "ורד". אחרי ההעברה נמצאים באולם "ורד" 330 אנשים. כמה אנשים היו באולם "ורד" לפני ההעברה? 82 בתחרות שח-מט לאה שיחקה 24 פעמים. מספר הניצחונות גדול ממספר ההפסדים פי שלושה. כמה הפסדים היו ללאה? 83 הילל הלך שליש מהדרך מביתו לתחנה, ונותר לו ללכת עוד 500 מטר. מהו המרחק בין הבית לתחנה?

19 משקלם של בקבוק ופקק ביחד הוא 100 גרם. משקל הבקבוק גדול ממשקל הפקק ב- 90 גרם. א סמנו ב- a את משקל הפקק. כתבו בעזרת a ביטוי אלגברי למשקל הבקבוק. בכתבו משוואה המתאימה לנתונים. גמהו משקל הפקק? מהו משקל הבקבוק? ד רונית מצאה את הפתרון לסעיף הקודם בדרך אחרת. בהתחלה היא סימנה ב- b את משקל הבקבוק וכתבה ביטוי אלגברי המתאים למשקל הפקק. כתבו איך, לדעתכם, פתרה רונית את השאלה. במגרש חניה חונים 100 כלי רכב - מכוניות ואופנועים. מספר המכוניות גדול ממספר האופנועים ב- 30. א סמנו ב- x את מספר האופנועים שבמגרש החניה. כתבו בעזרת x ביטוי אלגברי למספר המכוניות שבמגרש החניה. בכתבו משוואה המתאימה לנתונים. גכמה אופנועים וכמה מכוניות חונים במגרש? באיור שלפניכם מתואר "מובייל" שתלויים בו פירמידות, תיבות, כדור וקובייה. עקרון ה"מובייל" הוא שכל "קומה" דומה לנדנדה מאוזנת. א מהו המשקל של הפירמידה? במהו המשקל של הכדור? גמהו המשקל של הקובייה? גר' הצורה שלפניכם מורכבת מריבוע קטן ששטחו 4 יחידות שטח, וממלבן שמידותיו הן 3 יחידות אורך ו- x יחידות אורך. x א כתבו ביטוי אלגברי לשטח הצורה. ב שטח הצורה הוא 22 יחידות שטח. מהו אורך המלבן? הסבירו איך מצאתם אותו. 89 מידות של מלבן הן 3 ס"מ ו- x ס"מ. היקף המלבן הוא 10 ס"מ. מהו האורך של? x דבורה מכינה משלוח של 200 חוברות לחנות. בשתי חבילות אותו מספר חוברות ובחבילה השלישית 80 חוברות. מהו מספר החוברות בכל אחת מהחבילות? 90 פיצוחים 91 ביום בו התקיים מופע באולם, כל אחד מתלמידי כיתות ז' העביר שלושה כסאות לאולם. בסך-הכל התלמידים העבירו 180 כסאות. באותו יום חסרו ארבעה תלמידים מכיתות ז'. כמה תלמידים יש בכיתות ז'? 271

20 ב. 4. שאלות סכום והפרש מגלים בכל אחת מהשאלות המילוליות... א ציינו מה מייצג הנעלם; ב כתבו משוואה המתאימה לנתונים, ופתרו אותה; גבדקו את תשובתכם. 1 מספר אחד גדול ממספר אחר פי שלושה. סכום שני המספרים הוא 72. מהם המספרים? 2 מספר אחד גדול ממספר אחר פי שלושה. ההפרש בין שני המספרים הוא 72. מהם המספרים? 3 ההפרש בין שני מספרים הוא 15. אחד המספרים גדול מהמספר האחר פי ארבעה. מהם המספרים? לומדים כאשר נתונים סכום או הפרש של שני מספרים, עדיף לסמן את המספר הקטן כנעלם. ברוב המקרים, כאשר נתונים מכפלה או מנה של שני מספרים, עדיף לסמן את המספר הקטן כנעלם. דוגמאות: ישי מבוגר מראובן פי חמישה. סכום הגילים שלהם הוא 18. מהו הגיל של כל ילד? אם הנעלם y הוא הגיל של ישי, הגיל של ראובן הוא 5 y, והמשוואה המתאימה היא = y + y אם הנעלם x הוא הגיל של ראובן, הגיל של ישי הוא x 5, והמשוואה המתאימה היא = 18 x. x + 5 המשוואה השנייה פשוטה יותר. תשובה: ראובן בן 3 שנים. x + 5 x = 18 6 x = 18 x = 3 בעזרת הצבה מוצאים את הגיל של ישי: = בדיקה: = ההפרש בין שני מספרים הוא 24. סכום שני המספרים הוא 88. מהם המספרים? המשתנה x הוא המספר הקטן. אפשר לבטא את המספר הגדול כך: x 88 או כך: + 24 x. לפי הבחירה כותבים משוואה מתאימה. שתי המשוואות שקולות. זכרו! אם, a b = c מתקיים a = c + b וגם b = a c 272

21 אפשרות ב' + 24 x x x = 88 2 x + 24 = x = x = 64 :2 x = 32 בדיקה: = לכן המספר הגדול שווה ל: = (88 x) x = 24 אפשרות א' x x x = x = x 88 = x = 2 x 64 = 2 x :2 32 = x בדיקה: = = 32 32) (88 לכן המספר הגדול שווה ל: = תשובה: המספרים הם 32 ו- 56. משימות דוגמה: שירלי מבוגרת מאסתר פי שלושה. סכום הגילים הוא 24. בת כמה אסתר? בת כמה שירלי? א נסמן ב- x את הגיל של אסתר, לכן הגיל של שירלי הוא x 3. ב המשוואה: = 24 x x x = 24 x = 6 אסתר בת 6, ושירלי בת 18. ג בדיקה: = בכל אחת מהשאלות אציינו מה מייצג הנעלם; בכתבו משוואה המתאימה לנתונים, ופתרו אותה; גבדקו את תשובתכם. מיכל סידרה את 160 הספרים שלה בארון ועל מדף. מספר הספרים שבארון גדול ממספר הספרים שעל המדף פי שלושה. כמה ספרים סידרה מיכל על המדף? 92 מחיר שמלה גבוה ממחיר כובע פי ארבעה. שרה שילמה 540 תמורת הכובע והשמלה יחד. מהו מחיר השמלה? מהו מחיר הכובע? ההפרש בין שני מספרים הוא 15. אחד מהמספרים גדול מהמספר השני פי 4. מהם המספרים? 273

22 אם נכפיל ב- 6 את גילה של סמדר, ונחסר מהמכפלה את גילו של אחיה בן החמש, נקבל את גילו של אביהם. האב בן 43. בת כמה סמדר? סכום שני מספרים הוא 27. מספר אחד הוא חצי מהמספר השני. מהם המספרים? יונה קנה חולצה ומכנסיים. המכנסיים יקרים מהחולצה ב-. 50 יונה שילם בסך הכול. 190 מה מחיר החולצה, ומה מחיר המכנסיים? 97 תכולתו של סיר היא שני ליטרים. אפשר למלא אותו אם מרוקנים לתוכו בקבוק מים גדול ובקבוק מים קטן. ההפרש בין התכולות של שני הבקבוקים הוא 1 ליטר בדיוק. מה התכולה של כל בקבוק? מחירו של בקבוק יין הוא היין יקר מהבקבוק הריק ב-. 29 מהו מחיר הבקבוק הריק? 100 סכום שני מספרים עוקבים הוא 55. מצאו את המספרים. כתבו ביטוי אלגברי המבטא את הסכום של שלושה מספרים עוקבים, כאשר המשתנה x הוא המספר הקטן ביותר. 101 כתבו ביטוי אלגברי המבטא את הסכום של שלושה מספרים עוקבים, כאשר המשתנה x הוא המספר הגדול ביותר סכום של שלושה מספרים עוקבים הוא 36. מצאו את המספרים. איך מצאתם אותם? פיצוחים בגינה הייתה ערמה של גזרים. הארנבות אכלו שתי חמישיות מהגזרים, והארנב הקטן אכל 3 גזרים. בסך הכול נאכלו 17 גזרים. כמה גזרים היו בערמה? היקף של מלבן הוא 42 מטר. אורך המלבן קטן מפעמיים רוחבו ב- 3 מטרים. מהן מידות המלבן? משימות נוספות בעמודים

23 מיומנויות בשאלות מילוליות רבות אנחנו נדרשים למצוא מספר נתונים. המשוואה מסייעת במציאת הנתונים החסרים. נכתוב את המשוואה בשלבים. דוגמה: סבתא הזמינה לקראת ארוחת שבת משפחתית 36 פ רות מסוגים שונים: מלונים, תפוזים ותפוחים. מספר התפוחים גדול ממספר המלונים פי 5. מספר התפוזים שווה לחצי ממספר התפוחים והמלונים יחד. כמה תפוזים, תפוחים ומלונים קנתה סבתא? א הבנת נתוני השאלה ב בחירת הנעלם ג ניתוח הנתונים הנתונים: סך כל הפרות, קשרים בין כמויות הפרות. המבוקש: כמויות התפוזים, התפוחים והמלונים. נייצג את מספר המלונים באות. x "מספר התפוחים גדול ממספר המלונים פי 5." לכן הביטוי המתאים הוא x 5. "מספר התפוזים שווה לחצי ממספר התפוחים והמלונים יחד." 1 מספר התפוחים והמלונים יחד הוא, x + 5 x כלומר x.6.3 x, כלומר 6 x 2 מספר התפוזים הוא 2 ד כתיבת המשוואה בסך הכול "סבתא קנתה 36 פ רות". המשוואה המתאימה: = 36 x. x + 5 x + 3 ה פתירת המשוואה ו תשובה 9 x = 36 x = 36 : 9 x = 4 את ערך ה- x שהתקבל נציב בביטויים שכתבנו. ביטוי הצבה תשובה מספר המלונים x 4 4 מספר התפוחים x מספר התפוזים x = 36 ז בדיקה 275

24 מוכנים להמשיך? ציינו מהן התשובות הנכונות. א ב ג כן לא אי-אפשר לדעת האם = 3 x הוא פתרון המשוואה?x + 9 = 2 x מהו פתרון המשוואה : d 48 =?8 להוסיף 17 לחסר 17 לחסר 32 איזו פעולה צריך לבצע בשני האגפים של המשוואה + x 17 = 32 כדי "לבודד" את הנעלם? לשני האגפים משני האגפים משני האגפים.3 על-ידי איזו פעולה אפשר לפתור את המשוואה? y 5 = 11 יש לחסר 5 משני האגפים יש להוסיף 5 לשני האגפים יש להוסיף 11 לשני האגפים מהו פתרון המשוואה = 25 5 a? מהו פתרון המשוואה 10 b = 8? מהו פתרון המשוואה = 18 8 : t? מהו פתרון המשוואה = 7 f 15? 32 ס"מ 320 ס"מ 5 ס"מ מידותיו של מלבן הן 8 ס"מ ו- y ס"מ. שטח המלבן הוא 40 סמ"ר. מהו הערך של? y.9 10 ס"מ 6 ס"מ 7.5 ס"מ מידותיו של מלבן הן 5 ס"מ ו- t ס"מ. היקף המלבן הוא 30 סמ"ר. מהו הערך של? t

25 תרגילים נוספים משוואות 106 המספר 3 הוא פתרון של חלק מהמשוואות שכאן. מצאו את המשוואות. א = x ב x 4 = 6 ג 3 x = 9 ד : x 4 = 5 ה x 2 = ו x + 2 x 3 = פתרו את המשוואות. א = 12 x + 3 ב = 12 x + 4 ג = 12 x + 5 ד = 12 x + 6 ה = 9 2 x ו = 23 9 x ז = 45 6 x ח = 35 7 x 108 פתרו את המשוואות. x = = x ד 7 א = x ב 4 1 = x ג פתרו את המשוואות, ובדקו את תשובותיכם על-ידי הצבה. א = 112 x + 16 ב = x ג = x ד = 18 7 x ה = x ו = x 110 פתרו את המשוואות. א = 112 x ב = 0 36 x ג = x ד = 0 85 x ה = x ו = 0 x 34 ז = 15 x 15 ח = 0 x 17 פתרו את המשוואות. 3 7 ג 10 = x 5 1 ד 15 = x ב 8 = x 5 2 ג 10 = x א 6 = x 4 1 ב 8 = x פתרו את המשוואות. x ד 5 = 9 ג = 12 4 : x ב = 51 x 17 א = 18 x בנו שלוש משוואות מהמספרים 60 20, ומהנעלם, x ופתרו אותן. דוגמה: x = 997 נבחר ב- = 4 x 4 = x = x = 1001 בכל סעיף בחרו מספר כרצונכם במקום העיגול, ופתרו את המשוואה. א = 17 + x ב = 27 x + ג = 32 x ד = 80 x

26 תרגילים נוספים פשטו את האגף השמאלי של כל משוואה באמצעות כינוס איברים דומים, ולאחר מכן פתרו את המשוואה. א = 9 x x + 2 ב = 9 x x 2 ג = 9 x x 2 5 ד = 9 x x מצאו את המספר החסר. 3 4 = 18 = 4 3 ד = 7 5 ג ב א ) + (6 = אם מחסרים 7 ממספר, מקבלים 8. האות t מייצגת את המספר המבוקש. מהי המשוואה המתאימה לנתונים? א = 7 8 t ב = 8 7 t ג = t - ד = 8 7 t בכל סעיף בחרו את האות n כמייצגת את המספר המבוקש. כתבו משוואה מתאימה לתיאור, ופתרו אותה. א אם מוסיפים 8 למספר, התוצאה היא 29. ב אם מחסרים 5 מפעמיים מספר, התוצאה היא 25. ג אם מוסיפים 100 למספר, התוצאה היא שלוש פעמים המספר אם מחסרים 20 ממכפלת מספר ב- 8, מקבלים את הסכום של 30 ושל מכפלת המספר ב- 3. בכל סעיף כתבו משוואה מתאימה. א סכום שני מספרים עוקבים הוא 45. האות m מייצגת את המספר הקטן מבין השניים. בסכום שני מספרים עוקבים הוא 45. האות y מייצגת את המספר הגדול מבין השניים. גסכום שלושה מספרים עוקבים הוא 57. האות x מייצגת את המספר הקטן ביותר מבין השלושה. דסכום שלושה מספרים עוקבים הוא 57. האות x מייצגת את המספר הגדול ביותר מבין השלושה. הסכום שלושה מספרים עוקבים הוא 57. האות x מייצגת את המספר האמצעי מבין השלושה סרטטו איור מתאים לשאלה, כתבו משוואה מתאימה, ופתרו אותה. "יש פקק בכביש תל-אביב ירושלים, שלושה קילומטרים לפני שער הגיא." יעקב נמצא באותו כביש, שבעה קילומטרים לפני שער הגיא. כמה ק"מ נותרו ליעקב עד הפקק? 278

27 תרגילים נוספים פתרו כל שאלה מילולית בעזרת משוואה מתאימה. דוגמה: 122 אחרי שדני קנה מתנה ב-, 25 נותרו לו. 85 כמה כסף היה לדני לפני הקנייה? המבוקש: סכום הכסף לפני הקנייה. נסמן ב- x את סכום הכסף לפני הקנייה. אחרי הקנייה נותרו לו 25( )x, שהם, 85 לכן המשוואה המתאימה לשאלה היא = x. פתרון המשוואה: = x x = 110 בדיקה: נציב 110 במקום x במשוואה המקורית. השוויון = מתקיים. תשובה: לדני היו 110 לפני הקנייה. א לפני שבע שנים היה שמשון בן 6. מה הגיל של שמשון עכשיו? ב רוחבו של מלבן קטן מאורכו בחמישה סנטימטרים. מהו אורך המלבן, אם ידוע שרוחבו הוא שנים עשר סנטימטרים? ג אבי קנה CD שמחירו. 95 לאחר הקנייה נותרו לו. 30 כמה כסף היה לאבי? ד בעל חנות מוכר קומקום במחיר. 112 הרווח שלו הוא. 58 כמה שילם בעל החנות תמורת הקומקום? ה ורד צריכה להקליד 78 עמודים. נותרו לה 12 עמודים להקלדה. כמה עמודים כבר הוקלדו? y + = לפניכם כרטיסים. א כתבו בעזרתם משוואות שונות. בכל משוואה השתמשו בסימן פעולה אחד ובכל כרטיס אחר פעם אחת בלבד. ב פתרו את המשוואות שכתבתם. שאלות מילוליות A y מ' 3 מ' B 124 שטח המלבן המקווקו הוא 36 מ"ר. מהו אורך המלבן?ABCD 4 מ' D C 279

28 תרגילים נוספים 125 מספר אחד גדול ממספר אחר פי ארבעה. מהם המספרים, אם ההפרש ביניהם הוא 81? 126 אם כופלים מספר ב- 8 ומוסיפים למכפלה 12, התוצאה היא 52. מהו המספר? אימא שילמה 157 תמורת שלוש חולצות זהות ושתי חגורות שמחיר כל אחת מהן הוא. 35 מה מחירה של כל חולצה? הסכום של שני מספרים עוקבים הוא 33. מצאו את המספרים. 129 הסכום של שני מספרים עוקבים הוא 53. מהם המספרים? 130 הסכום של שלושה מספרים עוקבים הוא 333. מהם המספרים? הסכום של ארבעה מספרים זוגיים עוקבים )למשל, 8( 6, 4, 2, הוא 100. מצאו את המספרים. איך מצאתם אותם? הסכום של ארבעה מספרים עוקבים זוגיים הוא 60. מצאו את המספרים. איך מצאתם אותם? 133 האם כל מספר אי-זוגי הוא סכום של שני מספרים עוקבים? נמקו את תשובתכם. 134 האם 55 יכול להיות סכום של שלושה מספרים עוקבים? אורכי הצלעות של משולש הם מספרים עוקבים. א מצאו את אורכי הצלעות, אם היקף המשולש הוא 24 מטר. ב מצאו את אורכי הצלעות, אם היקף המשולש הוא 300 מטר יצחק מבוגר מבנו יעקב ב- 27 שנים, וצעיר מאביו אברהם ב- 32 שנה. סכום הגילים של כולם הוא 140 שנה. מהו הגיל של כל אחד מהגברים? 280

29 ממשיכים בתרגול 137 "כוורת פסקל" בנויה כך: בכל שורה )פרט לשורת דוגמה: 18 הבסיס( מספר האבנים קטן ב- 1 ממספר האבנים שבשורה שמתחתיה. המספר הרשום בכל אבן הוא סכום המספרים המופיעים בשתי האבנים שמתחתיה. לפניכם "כוורת פסקל". א כתבו משוואה בעזרת הנעלם a. ב מצאו את הערך של a. 21 ג בדקו את תשובתכם בעזרת משוואה אחרת a 10 4 פסקל היה פילוסוף ומתמטיקאי צרפתי מהמאה ה- 1623( 17.) ב הוא חקר את תכונות המשולש הידוע כ"משולש פסקל" הבנוי לפי עיקרון הדומה לבניית הכוורת שאנו מציגים כאן. A x 138 לפניכם איור. א הסבירו איך מוצאים את שטח המלבן.ABCD ב כתבו שני ביטויים אלגבריים לשטח המלבן התחתון. ג כתבו משוואה המתאימה לביטויים שכתבתם. ד בחרו מספר חיובי, ובדקו את תשובתכם על-ידי D 10 C B 4 הצבתו במקום. x 139 בחדר 20 אנשים. מספר האנשים המרכיבים משקפיים קטן ב- 10 ממספר האנשים שאינם מרכיבים משקפיים. א סמנו ב- x את מספר האנשים שאינם מרכיבים משקפיים. כתבו בעזרת x ביטוי אלגברי למספר האנשים המרכיבים משקפיים. ב כתבו משוואה המתאימה לנתונים. ג כמה אנשים המרכיבים משקפיים נמצאים בחדר? 140 גילה ורינה חושבות כל אחת על מספר אחר. סמנו ב- x את המספר של גילה וב- y את המספר של רינה. א גילה מוסיפה 5 למספר שלה וכופלת את התוצאה ב- 4. כתבו ביטוי אלגברי לחישוב של גילה. ב רינה כופלת את המספר שלה ב- 2. כתבו ביטוי אלגברי לחישוב של רינה. ג גילה ורינה קיבלו אותה תוצאה. כתבו משוואה המתאימה לעובדה זו. ד האם אפשר לדעת מהם המספרים של גילה ושל רינה? ה התוצאה שקיבלו גילה ורינה, היא 60. מצאו את המספרים של גילה ושל רינה. 281

30 ממשיכים בתרגול אורכי הצלעות של משולש ABC נתונים על-ידי הביטויים האלה:.BC = 4,AB = x 1,CA = x היקף המשולש הוא 14 ס"מ. מהם אורכי הצלעות? איזה משולש יתקבל? היקף משולש שווה-שוקיים הוא 25 ס"מ. אורך אחת הצלעות הוא 10 ס"מ. מהם אורכי שלוש הצלעות של המשולש? שימו לב, ישנם שני פתרונות שונים לשאלה. 142 הגדילו בשבעה מטרים כל צלע של ריבוע. עתה היקף הריבוע הוא 108 מטר. מה היה אורך הצלע של הריבוע המקורי? 143 בארנק של מר כהן יש בסך הכול חמישה מטבעות של, 1 ויש גם מטבעות של. 2 בארנק שלו יש בסך הכול. 21 כמה מטבעות של 2 יש למר כהן? 144 בארנק של גב' לוי יש בסך הכול שישה מטבעות של, 2 ויש גם מטבעות של. 5 בארנק שלה יש בסך הכול. 37 כמה מטבעות של 5 יש לגב' לוי? 145 בארנק של מר ישראל יש בסך הכול שלושה מטבעות של, 5 ויש גם מטבעות של 50 אגורות. בארנק שלו יש בסך הכול כמה מטבעות של 50 אגורות יש למר ישראל? 146 בכל סעיף כתבו משוואה מתאימה לשאלה, ופתרו אותה. א בגן ציבורי שני ארגזי חול: אחד בצורה של משולש שווה-צלעות ואחד בצורת ריבוע. צלע המשולש שווה לצלע הריבוע. כל ארגז מוקף גדר. אורך שתי הגדרות ביחד הוא שבעה מטרים. מהו אורך צלע הריבוע? 147 בבגן ציבורי שני ארגזי חול: אחד בצורה של משולש שווה-צלעות ואחד בצורת ריבוע. צלע המשולש שווה לצלע הריבוע. כל ארגז מוקף גדר. אורך הגדר סביב הריבוע גדול מאורך הגדר סביב המשולש בשבעה מטרים. מהו אורך צלע הריבוע? פיצוחים 148 בחצר המשק תרנגולות וכבשים. בחצר 30 ראשים ו- 86 רגליים. מהו מספר התרנגולות? 282

31 מה למדנו? משוואה היא שוויון שיש בו משתנה )או משתנים(. המשתנה במשוואה נקרא נעלם. למשוואה יש כל התכונות של השוויון. לעתים קרובות המשוואה היא שוויון שמתקיים רק בערכים מסוימים של המשתנה. משמעות פתירת משוואה היא מציאת הפתרון שלה. פתרון משוואה הוא כל ערכי הנעלם )או הנעלמים( שבהצבתם במשוואה השוויון מתקיים. שתי משוואות בעלות אותו משתנה ואותו פתרון הן משוואות שקולות. זהות היא שוויון שמתקיים בהצבת כל מספר במקום המשתנה. בעזרת זהויות אפשר לבטא חוקים וכללים. מהשימוש בחוקים ובכללים מתקבלות זהויות נוספות. כדי לפתור משוואה "מבודדים" את המשתנה באחד משני האגפים, ומרכזים את המספרים באגף האחר על-ידי "פעולות מותרות" המבוססות על חוקי פעולות החשבון ועל תכונות השוויון. שימוש בפעולות המותרות מוביל למשוואה השקולה לנתונה, כלומר למשוואה שפתרונה הוא פתרון של המשוואה המקורית. שלבים לפתירת שאלות מילוליות בעזרת משוואה מזהים את המבוקש. בוחרים אות לייצוג הנעלם )המבוקש או נתון לא-ידוע אחר(. כותבים משוואה מתאימה בעזרת ביטוי אלגברי. פותרים את המשוואה. בודקים את התוצאה בעזרת הצבת הפתרון במשוואה. אם הנעלם שמצאנו הוא המבוקש, כותבים את התשובה. אם לא, מחשבים את הנתון המבוקש, וכותבים את התשובה. בשאלות סכום והפרש של מספרים עדיף לסמן את המספר הקטן כנעלם. ברוב השאלות של כפל ושל חילוק כדאי לסמן את המספר הקטן כנעלם. 283

32 היסטוריה מתמטיקה בסין המתמטיקה בסין התפתחה במשך תקופה ארוכה באופן עצמאי, ללא קשר להתפתחות התרבות באגן הים התיכון. מעט מאוד ידוע על המתמטיקה בסין. ב- 1983, כאשר ארכיאולוגים פתחו קבר בז 'אנ גג 'י א ש אן שבמחוז הוביי, התגלה החיבור "ס ו אן ש ו ש וה" שפירושו "כתבים על התחשבנות". החיבור כתוב על 190 רצועות במבוק, ובו כ- 7,000 תווים. משערים שזו העדות הכתובה הקדומה ביותר הידועה, העוסקת במתמטיקה. מעדויות כתובות ידוע שהקבר נחתם בשנת 186 לפנה"ס, בתחילת שושלת האן המערבית. ספר אחר, מפורסם יותר, הוא "ג 'יו ג 'אנ ג ס ואן ש ו" שפירושו "תשעה פרקים של אמנות המתמטיקה", והוא פרי מחקריהם של מספר דורות של מלומדים החל מן המאה השנייה לפנה"ס ועד למאה הראשונה לספירה. כותרת הספר מופיעה על שני לוחות ארד משנת 179 לספירה, אך סבורים שהספר הופיע בתקופה מוקדמת יותר. בספר כתובות שיטות כלליות לפתרון בעיות מעשיות, והוא סייע רבות להתפתחות המתמטיקה העתיקה באזורי קוריאה ויפן. להלן מספר דוגמאות של בעיות המופיעות בכתבים הסיניים. בכלוב אחד כלואים יחד שפנים ועופות פסיון. בסך הכול יש שם 35 ראשים ו- 94 כמה בעלי-חיים יש מכל סוג? רגליים. מספר מסוים של סינים רכשו מספר פריטים. אילו היה כל אדם משלם 8 ליאנג, היה נותר עודף של 3 אילו היה כל אחד משלם 7 ליאנג, היה נוצר חוסר של 4 ליאנג. מהו מחיר הפריטים שנרכשו? בעיה של סאן סואן צ'ינג: אישה רחצה כלים במי הנהר. שאל אותה הפקיד הממונה על טיב מי הנהר: "מדוע יש לך כל-כך הרבה כלים?" השיבה: "מפני שערכנו מסיבה בבית." "מה היה מספר האורחים?" התעניין הפקיד. "אינני יודעת," אמרה האישה, "אבל כל שניים חלקו צלחת אורז, כל שלושה חלקו צלחת מרק, כל ארבעה חלקו צלחת עוף, ובסך הכול יש לי 65 צלחות." מה היה מספר האורחים? תמורת תרנגול משלמים חמישה מטבעות, תמורת תרנגולת משלמים שלושה מטבעות, ותמורת שלושה אפרוחים משלמים מטבע אחד. אם נקנו 100 עופות ב- 100 מטבעות, כמה עופות מכל סוג נקנו? אדם גנב סוס, ולאחר שרכב עליו 37 מיילים סיניים, גילה בעליו של הסוס את דבר הגנבה ויצא למרדף. ליאנג. לאחר שעבר 140 מיילים סיניים, כאשר היה במרחק 23 מיילים מן הסוס הגנוב, הוא ויתר על המרדף וחזר לביתו. לו היה ממשיך במרדף, לאחר כמה מיילים היה תופס את הגנב? 284

פתרון תרגיל מרחבים וקטורים. x = s t ולכן. ur uur נסמן, ur uur לכן U הוא. ur uur. ur uur

פתרון תרגיל מרחבים וקטורים. x = s t ולכן. ur uur נסמן, ur uur לכן U הוא. ur uur. ur uur פתרון תרגיל --- 5 מרחבים וקטורים דוגמאות למרחבים וקטורים שונים מושגים בסיסיים: תת מרחב צירוף לינארי x+ y+ z = : R ) בכל סעיף בדקו האם הוא תת מרחב של א } = z = {( x y z) R x+ y+ הוא אוסף הפתרונות של המערכת

Διαβάστε περισσότερα

א. חוקיות תשובות 1. א( קבוצות ספורט ב( עצים ג( שמות של בנות ד( אותיות שיש להן אות סופית ; ה( מדינות ערביות. 2. א( שמעון פרס חיים הרצוג. ב( לא.

א. חוקיות תשובות 1. א( קבוצות ספורט ב( עצים ג( שמות של בנות ד( אותיות שיש להן אות סופית ; ה( מדינות ערביות. 2. א( שמעון פרס חיים הרצוג. ב( לא. א. חוקיות. א( 1; ב( ; ג( השמיני; ד( ; ה( האיבר a שווה לפי - מיקומו בסדרה ; ו( = ;a ז( 9 = a ;.6 א( דוגמה: = a. +.7 א( =,1 + = 6 ;1 + ג( את המספר האחרון: הוא זה שמשתנה מתרגיל לתרגיל. 8. ב( 1 7 a, המספר

Διαβάστε περισσότερα

תרגול פעולות מומצאות 3

תרגול פעולות מומצאות 3 תרגול פעולות מומצאות. ^ = ^ הפעולה החשבונית סמן את הביטוי הגדול ביותר:. ^ ^ ^ π ^ הפעולה החשבונית c) #(,, מחשבת את ממוצע המספרים בסוגריים.. מהי תוצאת הפעולה (.7,.0,.)#....0 הפעולה החשבונית משמשת חנות גדולה

Διαβάστε περισσότερα

ל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך

ל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך מרובע שכל זוג צלעות נגדיות בו שוות זו לזו נקרא h באיור שלעיל, הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים, וכן הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים. תכונות ה כל שתי זוויות נגדיות שוות זו לזו. 1. כל שתי צלעות נגדיות

Διαβάστε περισσότερα

3-9 - a < x < a, a < x < a

3-9 - a < x < a, a < x < a 1 עמוד 59, שאלהמס', 4 סעיףג' תיקוני הקלדה שאלון 806 צריך להיות : ג. מצאאתמקומושלאיברבסדרהזו, שקטןב- 5 מסכוםכלהאיבריםשלפניו. עמוד 147, שאלהמס' 45 ישלמחוקאתהשאלה (מופיעהפעמיים) עמוד 184, שאלהמס', 9 סעיףב',תשובה.

Διαβάστε περισσότερα

שאלה 1 V AB פתרון AB 30 R3 20 R

שאלה 1 V AB פתרון AB 30 R3 20 R תרגילים בתורת החשמל כתה יג שאלה א. חשב את המתח AB לפי משפט מילמן. חשב את הזרם בכל נגד לפי המתח שקיבלת בסעיף א. A 60 0 8 0 0.A B 8 60 0 0. AB 5. v 60 AB 0 0 ( 5.) 0.55A 60 א. פתרון 0 AB 0 ( 5.) 0 0.776A

Διαβάστε περισσότερα

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשעד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, 635865 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 נתון: 1. סדרה חשבונית שיש בה n איברים...2 3. האיבר

Διαβάστε περισσότερα

סדרות - תרגילים הכנה לבגרות 5 יח"ל

סדרות - תרגילים הכנה לבגרות 5 יחל סדרות - הכנה לבגרות 5 יח"ל 5 יח"ל סדרות - הכנה לבגרות איברים ראשונים בסדרה) ) S מסמן סכום תרגיל S0 S 5, S6 בסדרה הנדסית נתון: 89 מצא את האיבר הראשון של הסדרה תרגיל גוף ראשון, בשנייה הראשונה לתנועתו עבר

Διαβάστε περισσότερα

פתרונות , כך שאי השוויון המבוקש הוא ברור מאליו ולכן גם קודמו תקף ובכך מוכחת המונוטוניות העולה של הסדרה הנתונה.

פתרונות , כך שאי השוויון המבוקש הוא ברור מאליו ולכן גם קודמו תקף ובכך מוכחת המונוטוניות העולה של הסדרה הנתונה. בחינת סיווג במתמטיקה.9.017 פתרונות.1 סדרת מספרים ממשיים } n {a נקראת מונוטונית עולה אם לכל n 1 מתקיים n+1.a n a האם הסדרה {n a} n = n היא מונוטונית עולה? הוכיחו תשובתכם. הסדרה } n a} היא אכן מונוטונית

Διαβάστε περισσότερα

שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם

שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם תזכורת: פולינום ממעלה או מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה p f ( m i ) = p m1 m5 תרגיל: נתון עבור x] f ( x) Z[ ראשוני שקיימים 5 מספרים שלמים שונים שעבורם p x f ( x ) f ( ) = נניח בשלילה ש הוא

Διαβάστε περισσότερα

שיעור.1 חופפים במשולש שווה שוקיים יחידה - 31 חופפים משולשים 311

שיעור.1 חופפים במשולש שווה שוקיים יחידה - 31 חופפים משולשים 311 יחידה :31חופפים משולשים נחפוף משולשים ונוכיח תכונות של אלכסוני משולשים שווה שוקיים ואלכסוני המלבן. שיעור.1חופפים במשולש שווה שוקיים נחקור ונוכיח תכונות של משולש שווה שוקיים נתון משולש שווה שוקיים שבו.

Διαβάστε περισσότερα

גיאומטריה גיאומטריה מצולעים ניב רווח פסיכומטרי

גיאומטריה גיאומטריה מצולעים ניב רווח פסיכומטרי מצולע הוא צורה דו ממדית, עשויה קו "שבור" סגור. לדוגמה: משולש, מרובע, מחומש, משושה וכו'. אלכסון במצולע הוא הקו המחבר בין שני קדקודים שאינם סמוכים זה לזה. לדוגמה: בסרטוט שלפניכם EC אלכסון במצולע. ABCDE (

Διαβάστε περισσότερα

חידה לחימום. כתבו תכappleית מחשב, המקבלת כקלט את M ו- N, מחליטה האם ברצוappleה להיות השחקן הפותח או השחקן השappleי, ותשחק כך שהיא תappleצח תמיד.

חידה לחימום. כתבו תכappleית מחשב, המקבלת כקלט את M ו- N, מחליטה האם ברצוappleה להיות השחקן הפותח או השחקן השappleי, ותשחק כך שהיא תappleצח תמיד. חידה לחימום ( M ש- N > (כך מספרים טבעיים Mו- N שappleי appleתוappleים בעלי אותה הזוגיות (שappleיהם זוגיים או שappleיהם אי - זוגיים). המספרים הטבעיים מ- Mעד Nמסודרים בשורה, ושappleי שחקappleים משחקים במשחק.

Διαβάστε περισσότερα

צעד ראשון להצטיינות מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים

צעד ראשון להצטיינות מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים קבוצות של מספרים ממשיים צעד ראשון להצטיינות קבוצה היא אוסף של עצמים הנקראים האיברים של הקבוצה אנו נתמקד בקבוצות של מספרים ממשיים בדרך כלל מסמנים את הקבוצה באות גדולה

Διαβάστε περισσότερα

סימני התחלקות ב 3, ב 6 וב 9

סימני התחלקות ב 3, ב 6 וב 9 סימני התחלקות ב 3, ב 6 וב 9 תוכן העניינים מבוא לפרק "סימני התחלקות" ב 3, ב 6 וב 9............ 38 א. סימני ההתחלקות ב 2, ב 5 וב 10 (חזרה)............ 44 ב. סימן ההתחלקות ב 3..............................

Διαβάστε περισσότερα

Charles Augustin COULOMB ( ) קולון חוק = K F E המרחק סטט-קולון.

Charles Augustin COULOMB ( ) קולון חוק = K F E המרחק סטט-קולון. Charles Augustin COULOMB (1736-1806) קולון חוק חוקקולון, אשרנקראעלשםהפיזיקאיהצרפתישארל-אוגוסטיןדהקולוןשהיהאחדהראשוניםשחקרבאופןכמותיאתהכוחותהפועלים ביןשניגופיםטעונים. מדידותיוהתבססועלמיתקןהנקראמאזניפיתול.

Διαβάστε περισσότερα

gcd 24,15 = 3 3 =

gcd 24,15 = 3 3 = מחלק משותף מקסימאלי משפט אם gcd a, b = g Z אז קיימים x, y שלמים כך ש.g = xa + yb במלים אחרות, אם ה כך ש.gcd a, b = xa + yb gcd,a b של שני משתנים הוא מספר שלם, אז קיימים שני מקדמים שלמים כאלה gcd 4,15 =

Διαβάστε περισσότερα

תרגיל 13 משפטי רול ולגראנז הערות

תרגיל 13 משפטי רול ולגראנז הערות Mthemtics, Summer 20 / Exercise 3 Notes תרגיל 3 משפטי רול ולגראנז הערות. האם קיים פתרון למשוואה + x e x = בקרן )?(0, (רמז: ביחרו x,f (x) = e x הניחו שיש פתרון בקרן, השתמשו במשפט רול והגיעו לסתירה!) פתרון

Διαβάστε περισσότερα

ב ה צ ל ח ה! /המשך מעבר לדף/

ב ה צ ל ח ה! /המשך מעבר לדף/ בגרות לבתי ספר על יסודיים סוג הבחינה: מדינת ישראל קיץ תשע"א, מועד ב מועד הבחינה: משרד החינוך 035804 מספר השאלון: דפי נוסחאות ל 4 יחידות לימוד נספח: מתמטיקה 4 יחידות לימוד שאלון ראשון תכנית ניסוי )שאלון

Διαβάστε περισσότερα

2 a 2 x ( ) a3 x 2

2 a 2 x ( ) a3 x 2 . טכניקה אלגברית חד-איבר (חזרה) ביטויים מהסוג: 5a,b (-)bc,-a 7,y המהווים מכפלה של מספרים, אותיות (משתנים) וחזקות, מכונים חד-איבר. גם מספר, משתנה או חזקה בודדים מכונים חד-איבר. לדוגמה, כל אחד מהביטויים

Διαβάστε περισσότερα

סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806

סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806 סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806 בבעיותמינימום מקסימוםישלחפשאתנקודותהמינימוםהמוחלטוהמקסימוםהמוחלט. בשאלות מינימוםמקסימוםחובהלהראותבעזרתטבלה אובעזרתנגזרתשנייהשאכן מדובר עלמינימוםאומקסימום. לצורךקיצורהתהליך,

Διαβάστε περισσότερα

שאלה 1 נתון: (AB = AC) ABC שאלה 2 ( ) נתון. באמצעות r ו-. α שאלה 3 הוכח:. AE + BE = CE שאלה 4 האלכסון (AB CD) ABCD תשובה: 14 ס"מ = CD.

שאלה 1 נתון: (AB = AC) ABC שאלה 2 ( ) נתון. באמצעות r ו-. α שאלה 3 הוכח:. AE + BE = CE שאלה 4 האלכסון (AB CD) ABCD תשובה: 14 סמ = CD. טריגונומטריה במישור 5 יח"ל טריגונומטריה במישור 5 יח"ל 010 שאלונים 006 ו- 806 10 השאלות 1- מתאימות למיקוד קיץ = β ( = ) שאלה 1 במשולש שווה-שוקיים הוכח את הזהות נתון: sin β = sinβ cosβ r r שאלה נתון מעגל

Διαβάστε περισσότερα

I. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx

I. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx דפי נוסחאות I גבולות נאמר כי כך שלכל δ קיים > ε לכל > lim ( ) L המקיים ( ) מתקיים L < ε הגדרת הגבול : < < δ lim ( ) lim ורק ( ) משפט הכריך (סנדוויץ') : תהיינה ( ( ( )g ( )h פונקציות המוגדרות בסביבה נקובה

Διαβάστε περισσότερα

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשע"א, מיום 31/1/2011 שאלון: מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן.

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשעא, מיום 31/1/2011 שאלון: מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן. בB בB תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשע"א, מיום 31/1/2011 שאלון: 035804 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 נתון: 1 מכונית נסעה מעיר A לעיר B על כביש ראשי

Διαβάστε περισσότερα

לדוגמה: במפורט: x C. ,a,7 ו- 13. כלומר בקיצור

לדוגמה: במפורט: x C. ,a,7 ו- 13. כלומר בקיצור הרצאה מס' 1. תורת הקבוצות. מושגי יסוד בתורת הקבוצות.. 1.1 הקבוצה ואיברי הקבוצות. המושג קבוצה הוא מושג בסיסי במתמטיקה. אין מושגים בסיסים יותר, אשר באמצעותם הגדרתו מתאפשרת. הניסיון והאינטואיציה עוזרים להבין

Διαβάστε περισσότερα

משרד החינוך המזכירות הפדגוגית אגף מדעים הפיקוח על הוראת המתמטיקה

משרד החינוך המזכירות הפדגוגית אגף מדעים הפיקוח על הוראת המתמטיקה משולשים חופפים, תיכון במשולש )41 שעות( ומשולש שווה שוקיים שתי צורות נקראות חופפות אם אפשר להניח אחת מהן על האחרת כך שתכסה אותה בדיוק )לשם כך ניתן להזיז, לסובב ולהפוך את הצורות(. בפרק זה נתמקד במשולשים

Διαβάστε περισσότερα

קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים.

קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים. א{ www.sikumuna.co.il מהי קבוצה? קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים. קבוצה היא מושג יסודי במתמטיקה.התיאור האינטואיטיבי של קבוצה הוא אוסף של עצמים כלשהם. העצמים הנמצאים בקבוצה הם איברי הקבוצה.

Διαβάστε περισσότερα

טריגונומטריה הגדרות הפונקציות הטריגונומטריות הבסיסיות

טריגונומטריה הגדרות הפונקציות הטריגונומטריות הבסיסיות טריגונומטריה הגדרות הפונקציות הטריגונומטריות הבסיסיות את הפונקציות הטריגונומטריות ניתן להגדיר באמצעות הקשרים בין הניצבים לבין היתר ובין הניצבים עצמם במשולש ישר זווית בלבד: לדוגמה: סינוס זווית BAC (אלפא)

Διαβάστε περισσότερα

קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות

קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות 1 מוטיבציה למשפט הקיום והיחידות אנו יודעים לפתור משוואות דיפרנציאליות ממחלקות מסוימות, כמו משוואות פרידות או משוואות לינאריות. עם זאת, קל לכתוב משוואה דיפרנציאלית

Διαβάστε περισσότερα

המחלקה להוראת המדעים כל הזכויות שמורות הוא מציב בכל צד מוט אופקי לתמיכה במסגרת כמו בתמונה. 1. א. באיזה משולש הקטע המקווקו הוא קטע אמצעים?

המחלקה להוראת המדעים כל הזכויות שמורות הוא מציב בכל צד מוט אופקי לתמיכה במסגרת כמו בתמונה. 1. א. באיזה משולש הקטע המקווקו הוא קטע אמצעים? יחידה 33: קטע אמצעים שיעור 1. קטע אמצעים במשולש מוטי בונה נדנדת גן. הוא מציב בכל צד מוט אופקי לתמיכה במסגרת כמו בתמונה. המוטות, הצבועים באדום, מחברים את אמצעי העמודים. כיצד יחשב מוטי את אורך המוט האדום?

Διαβάστε περισσότερα

שיעור 1. צלעות פרופורציוניות במשולשים דומים

שיעור 1. צלעות פרופורציוניות במשולשים דומים יחידה 14: דמיון משולשים שיעור 1. צלעות פרופורציוניות במשולשים דומים A 4 40 B 80 C במשימות בשיעור זה השרטוטים הם להדגמה, 4.5 D 80 ומידות האורך נתונות בס"מ. לפניכם שני משולשים. האם המשולשים דומים? F 0 9

Διαβάστε περισσότερα

עבודת קיץ לקראת כיתה ט' מצויינות מתמטיקה

עבודת קיץ לקראת כיתה ט' מצויינות מתמטיקה עבודת קיץ לקראת כיתה ט' מצויינות מתמטיקה העבודה כוללת שאלות מכל הנושאים שנלמדו במהלך השנה. את חלק מהשאלות כבר פגשתם, וזו הזדמנות עבורכם לוודא שאתם יודעים כיצד לפתור אותן. את העבודה יש להגיש במהלך השבוע

Διαβάστε περισσότερα

סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 005 שנכתב על-ידי מאיר בכור

סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 005 שנכתב על-ידי מאיר בכור סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 5 שנכתב על-ידי מאיר בכור. חקירת משוואה מהמעלה הראשונה עם נעלם אחד = הצורה הנורמלית של המשוואה, אליה יש להגיע, היא: b

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד

פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשעד פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד 1. לכל אחת מן הפונקציות הבאות, קבעו אם היא חח"ע ואם היא על (הקבוצה המתאימה) (א) 3} {1, 2, 3} {1, 2, : f כאשר 1 } 1, 3, 3, 3, { 2, = f לא חח"ע: לדוגמה

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה שאלון ו' נקודות. חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, טריגונומטריה שימוש במחשבון גרפי או באפשרויות התכנות עלול לגרום לפסילת הבחינה.

מתמטיקה שאלון ו' נקודות. חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, טריגונומטריה שימוש במחשבון גרפי או באפשרויות התכנות עלול לגרום לפסילת הבחינה. בגרות לבתי ספר על-יסודיים מועד הבחינה: תשס"ח, מספר השאלון: 05006 נספח:דפי נוסחאות ל- 4 ול- 5 יחידות לימוד מתמטיקה שאלון ו' הוראות לנבחן משך הבחינה: שעה ושלושה רבעים. מבנה השאלון ומפתח ההערכה: בשאלון זה

Διαβάστε περισσότερα

שיעור 1. זוויות צמודות

שיעור 1. זוויות צמודות יחידה 11: זוגות של זוויות שיעור 1. זוויות צמודות נתבונן בתמרורים ובזוויות המופיעות בהם. V IV III II I הדסה מיינה את התמרורים כך: בקבוצה אחת שלושת התמרורים שמימין, ובקבוצה השנייה שני התמרורים שמשמאל. ש

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 8 חורף תשע"ו ( ) ... חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה נפריד למקרים:

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 8 חורף תשעו ( ) ... חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה נפריד למקרים: לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 8 חורף תשע"ו ( 2016 2015 )............................................................................................................. חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה.1

Διαβάστε περισσότερα

יחידה - 7 זוויות חיצוניות

יחידה - 7 זוויות חיצוניות יחידה 7: זוויות חיצוניות שיעור 1. זווית חיצונית למצולע מה המשותף לכל הזוויות המסומנות ב-? נכיר זווית חיצונית למצולע, ונמצא תכונה של זווית חיצונית למשולש. זווית חיצונית למצולע 1 כל 1. הזוויות המסומנות במשימת

Διαβάστε περισσότερα

[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m

[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m Observabiliy, Conrollabiliy תרגול 6 אובזרווביליות אם בכל רגע ניתן לשחזר את ( (ומכאן גם את המצב לאורך זמן, מתוך ידיעת הכניסה והיציאה עד לרגע, וזה עבור כל צמד כניסה יציאה, אז המערכת אובזרוובילית. קונטרולביליות

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה טריגונומטריה

מתמטיקה טריגונומטריה אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה 5 לתלמידי 4 ו- יחידות לימוד כ- 50 תרגילים עם פתרונות מלאים הקדמה ספר זה הוא חלק מסדרת ספרים "המדריך המלא לפתרון תרגילים" הסדרה מיועדת לשימוש כהשלמה

Διαβάστε περισσότερα

דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות

דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות 1. מצאו צורה דיסיונקטיבית נורמלית קנונית לפסוקים הבאים: (ג)

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 2

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 2 אלגברה ליניארית א' פתרון 3 4 3 3 7 9 3. נשתמש בכתיבה בעזרת מטריצה בכל הסעיפים. א. פתרון: 3 3 3 3 3 3 9 אז ישנו פתרון יחיד והוא = 3.x =, x =, x 3 3 הערה: אפשר גם לפתור בדרך קצת יותר ארוכה, אבל מבלי להתעסק

Διαβάστε περισσότερα

יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012)

יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 6 נושא: תחשיב הפסוקים: הפונקציה,val גרירה לוגית, שקילות לוגית 1. כיתבו טבלאות אמת לפסוקים הבאים: (ג) r)).((p q) r) ((p r) (q p q r (p

Διαβάστε περισσότερα

"קשר-חם" : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי

קשר-חם : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי הטכניון - מכון טכנולוגי לישראל המחלקה להוראת הטכנולוגיה והמדעים "קשר-חם" : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי נושא: חקירת משוואות פרמטריות בעזרת גרפים הוכן ע"י: אביבה ברש. תקציר: בחומר מוצגת דרך לחקירת

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית (1) - פתרון תרגיל 11

אלגברה לינארית (1) - פתרון תרגיל 11 אלגברה לינארית ( - פתרון תרגיל דרגו את המטריצות הבאות לפי אלגוריתם הדירוג של גאוס (א R R4 R R4 R=R+R R 3=R 3+R R=R+R R 3=R 3+R 9 4 3 7 (ב 9 4 3 7 7 4 3 9 4 3 4 R 3 R R3=R3 R R 4=R 4 R 7 4 3 9 7 4 3 8 6

Διαβάστε περισσότερα

מתכנס בהחלט אם n n=1 a. k=m. k=m a k n n שקטן מאפסילון. אם קח, ניקח את ה- N שאנחנו. sin 2n מתכנס משום ש- n=1 n. ( 1) n 1

מתכנס בהחלט אם n n=1 a. k=m. k=m a k n n שקטן מאפסילון. אם קח, ניקח את ה- N שאנחנו. sin 2n מתכנס משום ש- n=1 n. ( 1) n 1 1 טורים כלליים 1. 1 התכנסות בהחלט מתכנס. מתכנס בהחלט אם n a הגדרה.1 אומרים שהטור a n משפט 1. טור מתכנס בהחלט הוא מתכנס. הוכחה. נוכיח עם קריטריון קושי. יהי אפסילון גדול מ- 0, אז אנחנו יודעים ש- n N n>m>n

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל דוגמא מרחב המדגם הוא כל הקומבינציות של 20 חודשי הולדת. לכל ילד 12 אפשרויות,לכן. לכן -

פתרון תרגיל דוגמא מרחב המדגם הוא כל הקומבינציות של 20 חודשי הולדת. לכל ילד 12 אפשרויות,לכן. לכן - פתרון תרגיל דוגמא מרחב המדגם הוא כל הקומבינציות של 0 חודשי הולדת לכל ילד אפשרויות,לכן לכן - 0 A 0 מספר קומבינציות שלא מכילות את חודש תשרי הוא A) המאורע המשלים ל- B הוא "אף תלמיד לא נולד באחד מהחודשים אב/אלול",

Διαβάστε περισσότερα

עבודת קיץ למואץ העולים לכיתה י' סדרות:

עבודת קיץ למואץ העולים לכיתה י' סדרות: ב( ג( א ) עבודת קיץ למואץ העולים לכיתה י' סדרות: תרגילי חימום.... בסדרה חשבונית האיבר השמיני גדול פי מהאיבר הרביעי. סכום אחד-אשר האיברים הראשונים בסדרה הוא. 0 ( מצאו את האיבר הראשון של הסדרה. ( מצאו את

Διαβάστε περισσότερα

חוברת תרגול וחזרה במתמטיקה לקראת התיכון.

חוברת תרגול וחזרה במתמטיקה לקראת התיכון. חוברת תרגול וחזרה במתמטיקה לקראת התיכון. מהדורה פנימית שאינה מיועדת למטרות רווח. תלמידים יקרים, לקראת פתיחת שנה"ל הקרובה, בה תחלו את צעדיכם הראשונים בתיכון המושבה, חוברה עבורכם חוברת זו אשר תקל על השתלבותכם

Διαβάστε περισσότερα

םיאלמ תונורתפ 20,19,18,17,16 םינחבמל 1 להי רחש ןולאש הקיטמתמב סוקופ

םיאלמ תונורתפ 20,19,18,17,16 םינחבמל 1 להי רחש ןולאש הקיטמתמב סוקופ פתרונות מלאים למבחנים 0,9,8,7,6 פוקוס במתמטיקה שאלון 3580 שחר יהל העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי, המהווה עברה פלילית. פתרון מבחן מתכונת מס' 6 פתרון שאלה א. נקודות A ו- B נמצאות על הפונקציה

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה לכיתה ח גאומטרייה חלק ג מהדורת ניסוי

מתמטיקה לכיתה ח גאומטרייה חלק ג מהדורת ניסוי מתמטיקה לכיתה ח גאומטרייה חלק ג מהדורת ניסוי צוות המתמטיקה במטח: ראש תחום מתמטיקה: ד"ר שרה הרשקוביץ מנהלת צוות פיתוח מתמטיקה לבית הספר העל יסודי: ד"ר בבה שטרנברג צוות הפיתוח: רגינה אובודנקו, ד"ר אלכס אוליצין,

Διαβάστε περισσότερα

גיאומטריה גיאומטריה מעגלים ניב רווח פסיכומטרי

גיאומטריה גיאומטריה מעגלים ניב רווח פסיכומטרי מושגים בסיסיים: פאי: π היא אות יוונית המביעה את הקשר בין רדיוס וקוטר המעגל לשטחו והיקפו (על הקשר עצמו נרחיב בהמשך). ערכו המספרי של π הוא 3.14 בבחינה הפסיכומטרית לרוב נתייחס ל- π בקירוב (הוא ממשיך אין-סוף

Διαβάστε περισσότερα

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד קיץ תש"ע מועד ב', מיום 14/7/2010 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן.

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד קיץ תשע מועד ב', מיום 14/7/2010 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן. תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד קיץ תש"ע מועד ב', מיום 14/7/2010 שאלון: 316, 035806 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 E נתון: 1 רוכב אופניים רכב מעיר A לעיר B

Διαβάστε περισσότερα

קבל מורכב משני מוליכים, אשר אינם במגע אחד עם השני, בכל צורה שהיא. כאשר קבל טעון, על כל "לוח" יש את אותה כמות מטען, אך הסימנים הם הפוכים.

קבל מורכב משני מוליכים, אשר אינם במגע אחד עם השני, בכל צורה שהיא. כאשר קבל טעון, על כל לוח יש את אותה כמות מטען, אך הסימנים הם הפוכים. קבל קבל מורכב משני מוליכים, אשר אינם במגע אחד עם השני, בכל צורה שהיא. כאשר קבל טעון, על כל "לוח" יש את אותה כמות מטען, אך הסימנים הם הפוכים. על לוח אחד מטען Q ועל לוח שני מטען Q. הפוטנציאל על כל לוח הוא

Διαβάστε περισσότερα

סוגי הסברים והצדקות בספרי לימוד במתמטיקה לכיתה ז '

סוגי הסברים והצדקות בספרי לימוד במתמטיקה לכיתה ז ' כל הזכויות שמורות כנס ירושלים השלישי למחקר בחינוך מתמטי סוגי הסברים והצדקות בספרי לימוד במתמטיקה לכיתה ז ' בועז זילברמן ורוחמה אבן מכון ויצמן למדע 17.02.2015 כ"ח בשבט התשע"ה מטרה לאפיין את ההצדקות וההסברים

Διαβάστε περισσότερα

brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק

brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק יום א 14 : 00 15 : 00 בניין 605 חדר 103 http://u.cs.biu.ac.il/ brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק 29/11/2017 1 הגדרת קבוצת הנוסחאות הבנויות היטב באינדוקציה הגדרה : קבוצת הנוסחאות הבנויות

Διαβάστε περισσότερα

b2n-1 ב. נשתמש בנוסחת סכום סדרה הנדסית אינסופית יורדת כדי לרשום את הנתון: 1-q = 0.8 b 1-q 1=0.8(1+q) q= 1 4 פתרון לשאלה 2

b2n-1 ב. נשתמש בנוסחת סכום סדרה הנדסית אינסופית יורדת כדי לרשום את הנתון: 1-q = 0.8 b 1-q 1=0.8(1+q) q= 1 4 פתרון לשאלה 2 פתרון מבחן מס' פתרון לשאלה א. להוכיח כי סדרה c היא סדרה הנדסית משמע להוכיח כי היחס בין איברים סמוכים בסדרה הוא מספר n c n +n c מכיוון ש- q הוא מספר קבוע, סדרה = b n+ = bq n =q cn bn- bq n- :b n קבוע. אם

Διαβάστε περισσότερα

33 = 16 2 נקודות. נקודות. נקודות. נקודות נקודות.

33 = 16 2 נקודות. נקודות. נקודות. נקודות נקודות. 1 מבחן מתכונת מס ' משך הבחינה: שלוש שעות וחצי. מבנה ה ומפתח הערכה: ב זה שלושה פרקים. פרק א': אלגברה והסתברות: נקודות. נקודות. נקודות. נקודות. 1 33 = 16 3 3 פרק ב': גיאומטריה וטריגונומטריה במישור: 1 33

Διαβάστε περισσότερα

אוסף שאלות מס. 3 פתרונות

אוסף שאלות מס. 3 פתרונות אוסף שאלות מס. 3 פתרונות שאלה מצאו את תחום ההגדרה D R של כל אחת מהפונקציות הבאות, ושרטטו אותו במישור. f (x, y) = x + y x y, f 3 (x, y) = f (x, y) = xy x x + y, f 4(x, y) = xy x y f 5 (x, y) = 4x + 9y 36,

Διαβάστε περισσότερα

פתרון 4. a = Δv Δt = = 2.5 m s 10 0 = 25. y = y v = 15.33m s = 40 2 = 20 m s. v = = 30m x = t. x = x 0.

פתרון 4. a = Δv Δt = = 2.5 m s 10 0 = 25. y = y v = 15.33m s = 40 2 = 20 m s. v = = 30m x = t. x = x 0. בוחן לדוגמא בפיזיקה - פתרון חומר עזר: מחשבון ודף נוסחאות מצורף זמן הבחינה: שלוש שעות יש להקפיד על כתיבת יחידות חלק א יש לבחור 5 מתוך 6 השאלות 1. רכב נוסע במהירות. 5 m s לפתע הנהג לוחץ על דוושת הבלם והרכב

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 נושאי התרגול: כמתים והצרנות. משתנים קשורים וחופשיים. 1 כמתים והצרנות בתרגול הקודם עסקנו בתחשיב הפסוקים, שבו הנוסחאות שלנו היו מורכבות מפסוקים יסודיים (אשר קיבלו ערך T או F) וקשרים.

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה.

פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. 16 במאי 2010 נסמן את מחלקת הצמידות של איבר בחבורה G על ידי } g.[] { y : g G, y g כעת נניח כי [y] [] עבור שני איברים, y G ונוכיח כי [y].[] מאחר והחיתוך

Διαβάστε περισσότερα

שיעור 1. מושגים והגדרות

שיעור 1. מושגים והגדרות יחידה 12: הגדרות, משפטים והוכחות שיעור 1. מושגים והגדרות בעבר הגדרנו מושגים רבים: זוויות צמודות, זוויות קדקודיות, חפיפה של מצולעים, דמיון של מצולעים ועוד. נדון בשאלות מהי הגדרה, וכיצד מגדירים מושג במתמטיקה.

Διαβάστε περισσότερα

סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות

סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות 25 בדצמבר 2016 תזכורת: תהי ) n f ( 1, 2,..., פונקציה המוגדרת בסביבה של f. 0 גזירה חלקית לפי משתנה ) ( = 0, אם קיים הגבול : 1 0, 2 0,..., בנקודה n 0 i f(,..,n,).lim

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6

אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6 אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6 התרגיל להגשה עד יום חמישי (12.12.14) בשעה 16:00 בתא המתאים בבניין מתמטיקה. נא לא לשכוח פתקית סימון. 1. עבור כל אחד מתת המרחבים הבאים, מצאו בסיס ואת המימד: (א) 3)} (0, 6, 3,,

Διαβάστε περισσότερα

(2) מיונים השאלות. .0 left right n 1. void Sort(int A[], int left, int right) { int p;

(2) מיונים השאלות. .0 left right n 1. void Sort(int A[], int left, int right) { int p; מבני נתונים פתרונות לסט שאלות דומה לשאלות בנושאים () זמני ריצה של פונקציות רקורסיביות () מיונים השאלות פתרו את נוסחאות הנסיגה בסעיפים א-ג על ידי הצבה חוזרת T() כאשר = T() = T( ) + log T() = T() כאשר =

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 12

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 12 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 נושאי התרגול: נוסחאות נסיגה נוסחאות נסיגה באמצעות פונקציות יוצרות נוסחאות נסיגה באמצעות פולינום אופייני נוסחאות נסיגה לעתים מפורש לבעיה קומבינטורית אינו ידוע, אך יחסית קל להגיע

Διαβάστε περισσότερα

( )( ) ( ) f : B C היא פונקציה חח"ע ועל מכיוון שהיא מוגדרת ע"י. מכיוון ש f היא פונקציהאז )) 2 ( ( = ) ( ( )) היא פונקציה חח"ע אז ועל פי הגדרת

( )( ) ( ) f : B C היא פונקציה חחע ועל מכיוון שהיא מוגדרת עי. מכיוון ש f היא פונקציהאז )) 2 ( ( = ) ( ( )) היא פונקציה חחע אז ועל פי הגדרת הרצאה 7 יהיו :, : C פונקציות, אז : C חח"ע ו חח"ע,אז א אם על ו על,אז ב אם ( על פי הגדרת ההרכבה )( x ) = ( )( x x, כךש ) x א יהיו = ( x ) x חח"ע נקבל ש מכיוון ש חח"ע נקבל ש מכיוון ש ( b) = c כך ש b ( ) (

Διαβάστε περισσότερα

דיאגמת פאזת ברזל פחמן

דיאגמת פאזת ברזל פחמן דיאגמת פאזת ברזל פחמן הריכוז האוטקטי הריכוז האוטקטוידי גבול המסיסות של פריט היווצרות פרליט מיקרו-מבנה של החומר בפלדה היפר-אוטקטואידית והיפו-אוטקטוידית. ככל שמתקרבים יותר לריכוז האוטקטואידי, מקבלים מבנה

Διαβάστε περισσότερα

c ארזים 26 בינואר משפט ברנסייד פתירה. Cl (z) = G / Cent (z) = q b r 2 הצגות ממשיות V = V 0 R C אזי מקבלים הצגה מרוכבת G GL R (V 0 ) GL C (V )

c ארזים 26 בינואר משפט ברנסייד פתירה. Cl (z) = G / Cent (z) = q b r 2 הצגות ממשיות V = V 0 R C אזי מקבלים הצגה מרוכבת G GL R (V 0 ) GL C (V ) הצגות של חבורות סופיות c ארזים 6 בינואר 017 1 משפט ברנסייד משפט 1.1 ברנסייד) יהיו p, q ראשוניים. תהי G חבורה מסדר.a, b 0,p a q b אזי G פתירה. הוכחה: באינדוקציה על G. אפשר להניח כי > 1 G. נבחר תת חבורה

Διαβάστε περισσότερα

{ : Halts on every input}

{ : Halts on every input} אוטומטים - תרגול 13: רדוקציות, משפט רייס וחזרה למבחן E תכונה תכונה הינה אוסף השפות מעל.(property המקיימות תנאים מסוימים (תכונה במובן של Σ תכונה לא טריביאלית: תכונה היא תכונה לא טריוויאלית אם היא מקיימת:.

Διαβάστε περισσότερα

דוגמה: יהי T עץ בינארי כפי שמתואר בציור הבא:

דוגמה: יהי T עץ בינארי כפי שמתואר בציור הבא: של שאלות מבחינות פתרונות.1 שאלהזוהופיעהבמבחןמועדג 01 דוגמה: יהי T עץ בינארי כפי שמתואר בציור הבא: הגדרות: עבור צומת בעץ בינארי T נסמן ב- T את תת העץ של T ששורשו. (תת העץ הזה כולל את ). נגדיר את תת העץ

Διαβάστε περισσότερα

TECHNION Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering מבוא לבקרה (034040) גליון תרגילי בית מס 5 ציור 1: דיאגרמת הבלוקים

TECHNION Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering מבוא לבקרה (034040) גליון תרגילי בית מס 5 ציור 1: דיאגרמת הבלוקים TECHNION Iael Intitute of Technology, Faculty of Mechanical Engineeing מבוא לבקרה (034040) גליון תרגילי בית מס 5 d e C() y P() - ציור : דיאגרמת הבלוקים? d(t) ו 0 (t) (t),c() 3 +,P() + ( )(+3) שאלה מס נתונה

Διαβάστε περισσότερα

משוואות רקורסיביות רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים. למשל: יונתן יניב, דוד וייץ

משוואות רקורסיביות רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים. למשל: יונתן יניב, דוד וייץ משוואות רקורסיביות הגדרה: רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים למשל: T = Θ 1 if = 1 T + Θ if > 1 יונתן יניב, דוד וייץ 1 דוגמא נסתכל על האלגוריתם הבא למציאת

Διαβάστε περισσότερα

הרצאה. α α פלוני, וכדומה. הזוויות α ל- β שווה ל-

הרצאה. α α פלוני, וכדומה. הזוויות α ל- β שווה ל- מ'' ל'' Deprmen of Applied Mhemics Holon Acdemic Insiue of Technology PROBABILITY AND STATISTICS Eugene Knzieper All righs reserved 4/5 חומר לימוד בקורס "הסתברות וסטטיסטיקה" מאת יוג'ין קנציפר כל הזכויות

Διαβάστε περισσότερα

חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי

חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי 0 חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי I גיא סלומון סטודנטים יקרים ספר תרגילים זה הינו פרי שנות ניסיון רבות של המחבר בהוראת חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי באוניברסיטת תל אביב, באוניברסיטה הפתוחה, במכללת שנקר ועוד. שאלות

Διαβάστε περισσότερα

ושל (השטח המקווקו בציור) . g(x) = 4 2x. ו- t x = g(x) f(x) dx

ושל (השטח המקווקו בציור) . g(x) = 4 2x. ו- t x = g(x) f(x) dx פרק 9: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי O 9 ושל בציור שלפניך מתוארים גרפים של הפרבולה f() = נמצאת על הנקודה המלבן CD מקיים: הישר = 6 C ו- D נמצאות הפרבולה, הנקודה נמצאת על הישר, הנקודות ( t > ) OD = t נתון:

Διαβάστε περισσότερα

אלגוריתמים ללכסון מטריצות ואופרטורים

אלגוריתמים ללכסון מטריצות ואופרטורים אלגוריתמים ללכסון מטריצות ואופרטורים לכסון מטריצות יהי F שדה ו N n נאמר שמטריצה (F) A M n היא לכסינה אם היא דומה למטריצה אלכסונית כלומר, אם קיימת מטריצה הפיכה (F) P M n כך ש D P AP = כאשר λ λ 2 D = λ n

Διαβάστε περισσότερα

הרצאה 3 קומבינטוריקה נוסחת ניוטון משפט מולטינומי. + t עבור ( ) + t

הרצאה 3 קומבינטוריקה נוסחת ניוטון משפט מולטינומי. + t עבור ( ) + t ROBABILITY AND STATISTIS הסתברות וסטטיסטיקה יוג'ין מאת קנציפר Eugee Kazieper All rights reserved 5/6 כל הזכויות שמורות 5/6 הרצאה קומבינטוריקה עצרת של מספר ופונקצית גאמא עקרון הכפל סידורים ובחירות תמורות

Διαβάστε περισσότερα

В.О. Бугаенко. Уравнения Пелля. Второе издание. МЦНМО, 2010.

В.О. Бугаенко. Уравнения Пелля. Второе издание. МЦНМО, 2010. ודים בוגיינקו תורגם ע"י מריה סבצ'וק משוואות פ ל זהו תרגום מרוסית של הספר: В.О. Бугаенко. Уравнения Пелля. Второе издание. МЦНМО, 00. http://biblio.mccme.ru/ode/34/shop קובץ PDF של ההוצאה הראשונה ברוסית:

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית גיא סלומון. α β χ δ ε φ ϕ γ η ι κ λ µ ν ο π. σ ς τ υ ω ξ ψ ζ. לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- כתב ופתר גיא סלומון

אלגברה לינארית גיא סלומון. α β χ δ ε φ ϕ γ η ι κ λ µ ν ο π. σ ς τ υ ω ξ ψ ζ. לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל-  כתב ופתר גיא סלומון 0 אלגברה לינארית α β χ δ ε φ ϕ γ η ι κ λ µ ν ο π ϖ θ ϑ ρ σ ς τ υ ω ξ ψ ζ גיא סלומון לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil סטודנטים יקרים ספר תרגילים זה הינו פרי שנות ניסיון רבות של המחבר בהוראת

Διαβάστε περισσότερα

Logic and Set Theory for Comp. Sci.

Logic and Set Theory for Comp. Sci. 234293 - Logic and Set Theory for Comp. Sci. Spring 2008 Moed A Final [partial] solution Slava Koyfman, 2009. 1 שאלה 1 לא נכון. דוגמא נגדית מפורשת: יהיו } 2,(p 1 p 2 ) (p 2 p 1 ).Σ 2 = {p 2 p 1 },Σ 1 =

Διαβάστε περισσότερα

חברה ותעסוקה. παρέα και απασχόληση

חברה ותעסוקה. παρέα και απασχόληση יוונית παρέα και απασχόληση γνωριµία πώς σας λένε; µε λένε... τί κάνετε; καλά, ευχαριστώ, κι εσείς; δόξα το θεό! γνωρίστε τον κύριο / την κυρία χάρηκα που σας γνωρίσα αίροµαι που σας βλέπω ותעסוקה היכרות

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשעו (2016) לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)............................................................................................................. חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה 1. עבור

Διαβάστε περισσότερα

x a x n D f (iii) x n a ,Cauchy

x a x n D f (iii) x n a ,Cauchy גבולות ורציפות גבול של פונקציה בנקודה הגדרה: קבוצה אשר מכילה קטע פתוח שמכיל את a תקרא סביבה של a. קבוצה אשר מכילה קטע פתוח שמכיל את a אך לא מכילה את a עצמו תקרא סביבה מנוקבת של a. יהו a R ו f פונקציה מוגדרת

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 8

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 8 אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 8.1 נניח כי (R) A M n מקיימת = 0 t.aa הוכיחו כי = 0.A הוכחה: נביט באיברי האלכסון של.AA t.(aa t ) ii = n k=1 (A) ik(a t ) ki = n k=1 a ika ik = n k=1 a2 ik = 0 מדובר במספרים ממשיים,

Διαβάστε περισσότερα

אלקטרומגנטיות אנליטית תירגול #2 סטטיקה

אלקטרומגנטיות אנליטית תירגול #2 סטטיקה Analytical Electromagnetism Fall Semester 202-3 אלקטרומגנטיות אנליטית תירגול #2 סטטיקה צפיפויות מטען וזרם צפיפות מטען נפחית ρ מוגדרת כך שאינטגרל נפחי עליה נותן את המטען הכולל Q dv ρ היחידות של ρ הן מטען

Διαβάστε περισσότερα

תורת המספרים 1 פירוק לגורמים ראשוניים סיכום הגדרות טענות ומשפטים אביב הגדרות 1.2 טענות

תורת המספרים 1 פירוק לגורמים ראשוניים סיכום הגדרות טענות ומשפטים אביב הגדרות 1.2 טענות תורת המספרים סיכום הגדרות טענות ומשפטים אביב 017 1 פירוק לגורמים ראשוניים 1.1 הגדרות חוג A C נקראת חוג אם: היא מכילה את 0 ואת 1 סגורה תחת חיבור, חיסור, וכפל הפיך A חוג. a A נקרא הפיך אם 0,a.a 1 A קבוצת

Διαβάστε περισσότερα

"קשר-חם": לקידום שיפור וריענון החינוך המתימטי

קשר-חם: לקידום שיפור וריענון החינוך המתימטי הטכניון מכון טכנולוגי לישראל המחלקה להוראת הטכנולוגיה והמדעים "קשרחם": לקידום שיפור וריענון החינוך המתימטי הנושא: פתרון משוואות במהלך ההיסטוריה ויישומים להוראת מתמטיקה הוכן ע"י: רותי רייז. תקציר: בחומר

Διαβάστε περισσότερα

חזרה על מושגים בסיסיים במתמטיקה

חזרה על מושגים בסיסיים במתמטיקה חזרה על מושגים בסיסיים במתמטיקה סימנים לפניכם טבלה של סימנים מקובלים הכתובים בבחינה. הסימן «x x x < x 0 < x, x ± x x : משמעותו הישרים ו- מקבילים זה לזה הישרים ו- מאונכים זה לזה זווית של 90, זווית ישרה

Διαβάστε περισσότερα

PDF created with pdffactory trial version

PDF created with pdffactory trial version הקשר בין שדה חשמלי לפוטנציאל חשמלי E נחקור את הקשר, עבור מקרה פרטי, בו יש לנו שדה חשמלי קבוע. נתון שדה חשמלי הקבוע במרחב שגודלו שווה ל. E נסמן שתי נקודות לאורך קו שדה ו המרחק בין הנקודות שווה ל x. המתח

Διαβάστε περισσότερα

מערכות חשמל ג' שתי יחידות לימוד )השלמה לחמש יחידות לימוד( )כיתה י"א(

מערכות חשמל ג' שתי יחידות לימוד )השלמה לחמש יחידות לימוד( )כיתה יא( מדינת ישראל סוג הבחינה: בגרות לבתי ספר על יסודיים משרד החינוך מועד הבחינה: קיץ תשע"ה, 2015 סמל השאלון: 845201 א. משך הבחינה: שלוש שעות. נספח: נוסחאון במערכות חשמל מערכות חשמל ג' שתי יחידות לימוד )השלמה

Διαβάστε περισσότερα

co ארזים 3 במרץ 2016

co ארזים 3 במרץ 2016 אלגברה לינארית 2 א co ארזים 3 במרץ 2016 ניזכר שהגדרנו ווקטורים וערכים עצמיים של מטריצות, והראינו כי זהו מקרה פרטי של ההגדרות עבור טרנספורמציות. לכן כל המשפטים והמסקנות שהוכחנו לגבי טרנספורמציות תקפים גם

Διαβάστε περισσότερα

דינמיקה כוחות. N = kg m s 2 מתאפסת.

דינמיקה כוחות. N = kg m s 2 מתאפסת. דינמיקה כאשר אנו מנתחים תנועה של גוף במושגים של מיקום, מהירות ותאוצה כפי שעשינו עד כה, אנו מדלגים על ניתוח הכוחות הפועלים על הגוף. כוחות אלו ומסתו של הגוף הם אשר קובעים את תאוצתו. על מנת לקבל קשר בין הכוחות

Διαβάστε περισσότερα

מודלים חישוביים תרגולמס 5

מודלים חישוביים תרגולמס 5 מודלים חישוביים תרגולמס 5 30 במרץ 2016 נושאי התרגול: דקדוקים חסרי הקשר. למת הניפוח לשפות חסרות הקשר. פעולות סגור לשפות חסרות הקשר. 1 דקדוקים חסרי הקשר נזכיר כי דקדוק חסר הקשר הוא רביעיה =(V,Σ,R,S) G, כך

Διαβάστε περισσότερα

מבני נתונים ויעילות אלגוריתמים

מבני נתונים ויעילות אלגוריתמים מבני נתונים ויעילות אלגוריתמים (8..05). טענה אודות סדר גודל. log טענה: מתקיים Θ(log) (!) = הוכחה: ברור שמתקיים: 3 4... 4 4 4... 43 פעמים במילים אחרות:! נוציא לוגריתם משני האגפים: log(!) log( ) log(a b

Διαβάστε περισσότερα

החשמלי השדה הקדמה: (אדום) הוא גוף הטעון במטען q, כאשר גוף B, נכנס אל תוך התחום בו השדה משפיע, השדה מפעיל עליו כוח.

החשמלי השדה הקדמה: (אדום) הוא גוף הטעון במטען q, כאשר גוף B, נכנס אל תוך התחום בו השדה משפיע, השדה מפעיל עליו כוח. החשמלי השדה הקדמה: מושג השדה חשמלי נוצר, כאשר הפיזיקאי מיכאל פרדיי, ניסה לתת הסבר אינטואיטיבי לעובדה שמטענים מפעילים זה על זה כוחות ללא מגע ביניהם. לטענתו, כל עצם בעל מטען חשמלי יוצר מסביבו שדה המשתרע

Διαβάστε περισσότερα

מבחן t לשני מדגמים בלתי תלויים. T test for independent samples

מבחן t לשני מדגמים בלתי תלויים. T test for independent samples מבחן t לשני מדגמים בלתי תלויים T test for independent samples מטרת המבחן השוואת תוחלות של שתי אוכלוסיות. דוגמים מדגם מקרי מכל אוכלוסיה, באופן שאין תלות בין שני המדגמים ובודקים האם ההבדל שנמצא בין ממוצעי

Διαβάστε περισσότερα

ניסוי מקרי: ניסוי שיש לו מספר תוצאות אפשריות ואי-אפשר לדעת מראש באיזה תוצאה יסתיים הניסוי.

ניסוי מקרי: ניסוי שיש לו מספר תוצאות אפשריות ואי-אפשר לדעת מראש באיזה תוצאה יסתיים הניסוי. 1 תורת ההסתברות מהי? העולם שבו אנחנו חיים הוא עולם של אי-ודאות. מכיוון שאין לנו דרך לקבוע בוודאות את תוצאותיו של תהליך אקראי, אנו מנסים לצמצם את אלמנט אי-הודאות ולהעריך את הסיכויים של התוצאות האפשריות

Διαβάστε περισσότερα

תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012

תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012 תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012 1 מערכת המספרים השלמים בשיעור הקרוב אנו נעסוק בקבוצת המספרים השלמים Z עם הפעולות (+) ו ( ), ויחס סדר (>) או ( ). כל התכונות הרגילות והידועות של השלמים מתקיימות: חוק הקיבוץ (אסוציאטיביות),

Διαβάστε περισσότερα