Γραµµικες Μορφες Λογαριθµων Αλγεβρικων Αριθµων και Εφαρµογες

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Γραµµικες Μορφες Λογαριθµων Αλγεβρικων Αριθµων και Εφαρµογες"

Transcript

1 Γραµµικες Μορφες Λογαριθµων Αλγεβρικων Αριθµων και Εφαρµογες Νικόλαος Κατσίπης Μεταπτυχιακή Εργασία Επιβλέπων Καθηγητής Ν.Γ. Τζανάκης Τµήµα Μαθηµατικών - Πανεπιστήµιο Κρήτης Φθινοπωρινό εξάµηνο 2007 έκδοση

2 ii Η µεταπτυχιακή αυτή εργασία κατατέθηκε στο Τµήµα Μαθηµατικών της Σχολής Θετικών και Τεχνολογικών Επιστηµών του Πανεπιστηµίου Κρήτης τον Οκτώ- ϐριο του Την επιτροπή αξιολόγησης αποτέλεσαν οι : Γιάννης Αντωνιάδης Μιχάλης Κουλουντζάκης Νίκος Τζανάκης.

3 Περιεχόµενα Πρόλογος i 1 Εισαγωγή Ιστορική επισκόπηση Θεώρηµα του Baker. Ισοδύναµη διατύπωση Φράγµατα της απόστασης γινοµένου ακεραίων από το Περιγραφή της απόδειξης Η ιδέα της απόδειξης Θεώρηµα Gelfond - Schneider για πραγµατικούς αριθµούς Ανισότητα Liouville - Κάτω ϕράγµα της ορίζουσας p αδικές απόλυτες τιµές υπέρ το Q Απόλυτες τιµές σε αριθµητικό σώµα Αρχιµήδειες απόλυτες τιµές Μη αρχιµήδειες απόλυτες τιµές Ο τύπος του γινοµένου σε αριθµητικό σώµα Απόλυτο λογαριθµικό ύψος (Weil) Ανισότητες του Liouville Κάτω ϕράγµα για την ορίζουσα Κάτω ϕράγµα για το ύψος Ανω ϕράγµα της ορίζουσας Εφαρµογή του λήµµατος του Schwarz Πολλαπλότητα της ϱίζας z = 0 της συνάρτησης Ψ Κάτω ϕράγµα για το Θ n (L) Άνω ϕράγµα της ορίζουσας Γραµµική εξάρτηση των 1, β 1,..., β n Το κύριο αποτέλεσµα iii

4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εκτίµηση του συνόλου ϱιζών Απαλοιφή της µεταβλητής Y Η απόδειξη του ϑεωρήµατος του Baker Κάτω ϕράγµα για οµογενείς γραµµικές µορφές λογαρίθµων Παρουσίαση του ϕράγµατος - Περιγραφή της απόδειξης Υπερβατικό µέρος της απόδειξης Γραµµική ανεξαρτησία των συντελεστών Γραµµική εξάρτηση των λογαρίθµων Η εξίσωση του Thue Ιστορικά σχόλια Η κατασκευαστική απόδειξη Αʹ Παράρτηµα 171 Αʹ.1 Συνδυαστικό επιχείρηµα Αʹ.2 Μιγαδικές συναρτήσεις µιας µεταβλητής Αʹ.3 Σχόλια στα Αριθµητικά Σώµατα Αʹ.4 Μέτρο του Mahler Αʹ.5 Μια σχέση µεταξύ υψών Αʹ.6 Συναρτήσεις πολλών µιγαδικών µεταβλητών Αʹ.7 Σχόλια στην Αλγεβρική Γεωµετρία Αʹ.8 Ενα σχόλιο για την γραµµική ανεξαρτησία των l 1,..., l n+1 L 192 Αʹ.9 Απαλείφουσα δύο πολυωνύµων Αʹ.10Υπολογιστικά επιχειρήµατα Αʹ.11Θεώρηµα Γραµµικών µορφών Minkowski Βιβλιογραφία 203 Ευρετήριο 209

5 2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

6 Πρόλογος Υπερβατικός αριθµός είναι ένας µιγαδικός αριθµός, ο οποίος δεν είναι αλγεβρικός, δηλαδή, δεν είναι ϱίζα µη µηδενικού πολυωνύµου µε ακέραιους συντελεστές. Ο πρώτος υπερβατικός αριθµός κατασκευάστηκε το 1844 από τον J. Liouville, ο οποίος απέδειξε πρώτα ότι κάθε αλγεβρικός αριθµός α ικανοποιεί την εξής ιδιότητα (ϑεώρηµα του Liouville): Αν ο ϐαθµός του αλγεβρικού αριθµού α είναι d, τότε υπάρχει ϑετική σταθερά C, εξαρτώµενη µόνο από τον α, τέτοια ώστε α p q C q d, για οποιουσδήποτε ακεραίους p, q µε q > 0. Ο αριθµός που κατασκεύσε ο Liouville ήταν ο ξ = 10 n!, n=1 ο οποίος και ονοµάστηκε αριθµός του Liouville. Υστερα, το 1873 ο C. Hermite απέδειξε ότι ο e είναι υπερβατικός το ότι είναι άρρητος είχε αποδειχθεί από τον L. Euler πολύ ενωρίτερα, το Το 1874 ο G. Cantor απέδειξε µε συνολοθεωρητικά επιχειρήµατα το ότι σχεδόν όλοι οι µιγαδικοί αριθµοί είναι υπερβατικοί. Πρόκειται για ϑεώρηµα ύπαρξης, όχι κατασκευαστικό ϑεώρηµα. Λίγο αργότερα, το 1882, ο F. von Lindemann απέδειξε την υπερβατικότητα του π, δίνοντας και την τελειωτική -αρνητική- απάντηση στο ερώτηµα, που έθεσαν πρώτοι οι αρχαίοι Ελληνες, περί του τετραγωνισµού του κύκλου. Το 1900, ο D. Hilbert, στο διεθνές συνέδριο Μαθηµατικών στο Παρίσι, έθεσε τα 23 διάσηµα έκτοτε προβλήµατα, το έβδοµο εκ των οποίων είναι το εξής : Πότε ο α β, για α αλγεβρικό 0, 1 και β άρρητο, είναι υπερ- ϐατικός ; i

7 ii ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το παραπάνω ερώτηµα µπορεί να διατυπωθεί µε πολλούς ισοδύναµους τρόπους. Μπορούµε λοιπόν, να ϑέσουµε την παραπάνω ερώτηση και ως εξής : πότε ένας άρρητος λογάριθµος αλγεβρικού αριθµού µε ϐάση αλγεβρικό αριθµό είναι υπερ- ϐατικός ; ή αλλιώς, πότε ένα πηλίκο ϕυσικών λογάριθµων αλγεβρικών αριθµών είναι υπερβατικός ; Σχολιάζοντας τότε το 7ο πρόβληµα, ο D. Hilbert εξεφρασε την πεποίθηση του ότι δεν ϑα λυνόταν πριν την υπόθεση του Riemann ή πριν την απόδειξη του ϑεωρήµατος του Fermat. Το 7ο πρόβληµα όµως δεν άργησε να λυθεί. Το 1934, οι A.O. Gelfond και Th. Schneider, ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλο, απέδειξαν το εξής ϑεώρηµα : Για κάθε µη µηδενικούς αλγεβρικούς αριθµούς α 1, α 2, β 1, β 2 µε log α 1, log α 2 γραµµικώς ανεξάρτητους υπέρ το Q, ισχύει ότι β 1 log α 1 + β 2 log α 2 0. Το ϑεώρηµα αυτό λύνει το 7ο πρόβληµα του Hilbert. Εκείνη τη χρονική περίοδο διατυπώθηκε και η εικασία ότι το ϑεώρηµα των Gelfond-Schneider ισχύει για περισσότερους από δύο λογάριθµους, η οποία και αποδείχθηκε το 1966 από τον A. Baker. Συγκεκριµένα, ο Baker απέδειξε αυτό που σήµερα είναι γνωστό ως Θεώρηµα του Baker (οµογενής περίπτωση): Η γραµµική ανεξαρτησία των log α 1,..., log α n υπέρ το Q συνεπάγεται τη γραµµική ανεξαρτησία τους υπέρ το Q. Λίγο αργότερα, ο A. Baker απέδειξε και τη µη οµογενή περίπτωση : Η γραµµική ανεξαρτησία των log α 1,..., log α n υπέρ το Q συνεπάγεται τη γραµµική ανεξαρτησία των 1, log α 1,..., log α n υπέρ το Q. Περαιτέρω, ο A. Baker πέτυχε να δώσει µη τετριµµένα κάτω ϕράγµατα για τις απόλυτες τιµές µη µηδενικών οµογενών και µη οµογενών γραµµικών µορφών λογαρίθµων αλγεβρικών αριθµών. Η µέθοδός του κάνει χρήση ϐοηθητικής συνάρτησης πολλών µεταβλητών, η οποία έχει µηδενικές ϑέσεις σε κάποια προδιαγεγραµµένα σηµεία και µάλιστα µε κατάλληλα µεγάλη πολλαπλότητα. Ετσι υπεισέρχονται υπολογισµοί και εκτιµήσεις των παραγώγων κατάλληλα µεγάλης τάξεως της ϐοηθητικής συνάρτησης. Σε αυτή την εργασία : 1. Αποδεικνύεται η οµογενής περίπτωση του ϑεωρήµατος του A. Baker. 2. Αποδεικνύεται συγκεκριµένο κάτω ϕράγµα για την απόλυτη τιµή των οµογενών γραµµικών µορφών β 1 log α β n log α n, µε α i, β i αλγεβρικούς αριθµούς, όταν αυτή δεν είναι µηδέν.

8 iii 3. Εφαρµόζεται το προηγούµενο ϕράγµα στην επίλυση της εξίσωσης Thue. Η απόδειξη που ϑα παρουσιάσουµε (κεφάλαια 2 έως 6), διαφέρει σηµαντικά από εκείνη του Baker. Βασίζεται στην ιδέα του M. Laurent να χρησι- µοποιήσει, αντί της ϐοηθητικής συνάρτησης, µια ορίζουσα κατάλληλα µεγάλου µεγέθους, της οποίας τα στοιχεία είναι τιµές κάποιων συναρτήσεων σε προδιαγεγραµµένα σηµεία. Συγκεκριµένα, προκύπτει ότι η απόλυτη τιµή της ορίζουσας δεν είναι πολύ µεγάλη (κεφάλαιο 4). Αλλά από την άλλη, η γενίκευση της κλασικής ανισότητας του Liouville (κεφάλαιο 3) συνεπάγεται ότι, η αν η ορίζουσα δεν είναι µηδέν, τότε δεν µπορεί να είναι πολύ µικρή. Για κατάλληλες τιµές των παραµέτρων οι οποίες υπεισέρχονται στην ορίζουσα, τα προαναφερθέντα άνω και κάτω ϕράγµατα είναι αντιφατικά, οπότε προκύπτει το συµπέρασµα ότι η ορίζουσα είναι µηδέν. Ο µηδενισµός της ορίζουσας χρησιµοποιείται κατάλληλα στο κεφάλαιο 5 για την κατασκευή πολυωνύµου n µεταβλητών, ελεγχόµενου ϐαθµού, το οποίο µηδενίζεται σε προδιαγεγραµ- µένα σηµεία. Από αυτό έπεται το συµπέρασµα ότι στον διανυσµατικό χώρο K n, όπου K = Q(α 1,..., α n, β 1,..., β n ), υπάρχει ένα διανυσµατικός υπόχωρος µε συγκεκριµένες ιδιότητες, αρκετά τεχνικές για να περιγραφούν εδώ. Στο κεφάλαιο 6 αποδεικνύεται ότι η ύπαρξη αυτού του διανυσµατικού υποχώρου οδηγεί στο συµπέρασµα του ϑεωρήµατος του A. Baker. Για την µετάβαση από τον µηδενισµό της ορίζουσας στην ύπαρξη του συγκεκριµένου πολυωνύµου και από αυτό στην ύπαρξη του διανυσµατικού υποχώρου απαιτούνται κάποια ϐασικά εργαλεία της κλασικής Αλγεβρικής Γεωµετρίας, µε χαρακτηριστικότερο, µια εκδοχή του ϑεωρήµατος του Bézout. Στο κεφάλαιο 7 ϑα επαναλάµβουµε κάποια σηµεία της απόδειξης του ϑεωρήµατος του Baker πιο σχολαστικά ως προς τις υπολογιστικές λεπτοµέρειες, για να άποδείξουµε ένα συγκεκριµένο κάτω ϕράγµα γραµµικών µορφών λογαρίθµων αλγεβρικών αριθµών. Το ϕράγµα που ϑα παρουσιάσουµε δεν είναι το καλύτερο δυνατό από τα ήδη γνωστά ϕράγµατα, αλλά είναι αρκετά χρήσιµο για την (υπολογιστική) λύση αρκετών διοφαντικών εξισώσεων. Μια εφαρµογή του συγκεκριµένου ϕράγµατος ϑα παρουσιάσουµε στο τελευταίο (8ο) κεφάλαιο αυτής της εργασίας, όπου ϑα υπολογίσουµε ένα άνω ϕράγµα για της ακέραιες λύσεις της διοφαντικής εξίσωσης του Thue. Ευχαριστώ τον καθηγητή Νικόλαο Τζανάκη για το αµέριστο ενδιαφέρον και την πολύτιµη καθοδήγηση που µου παρείχε καθ όλη τη διάρκεια της συγγραφής αυτής της εργασίας. Ευχαριστώ, επίσης, τους γονείς µου που µε στήριξαν µε κάθε τρόπο όλα αυτά τα χρόνια σε κάθε µου προσπάθεια. Νικόλαος. Κατσίπης Ηράκλειο, Οκτώβριος 2007

9 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή Συµβολίζουµε µε Q την αλγεβρική κλειστότητα του Q στο C. Οπότε το Q είναι το σώµα των αλγεβρικών αριθµών. Επίσης, έστω L το σώµα των λογαρίθµων των µη µηδενικών αριθµών, το οποίο είναι η αντίστροφη εικόνα της εκθετικής συνάρτησης από την πολλαπλασιαστική οµάδα Q. L = {l C : e l Q }. Είναι συχνά ϐολικότερο να γράφουµε l = log α, α αλγεβρικός αριθµός, αλλά για α Q το σύνολο των l µε α = e l είναι µια κλάση του C modulo 2πıZ. Το L είναι Q διανυσµατικός υπόχωρος του C. εν είναι όµως Q διανυσµατικός υπόχωρος, αφού αν l 1 L και α Q το α l δεν ανήκει εν γένει στο L. Θεώρηµα του Baker (Οµογενής περίπτωση 1 ) Η γραµµική ανεξαρτησία των l 1,..., l n L υπέρ το Q συνεπάγεται τη γραµµική τους ανεξαρτησία υπέρ το Q. Το ϑεώρηµα αυτό αποδείχθηκε το 1966 από τον Alan Baker, [3], [4], [5], [6]. 1.1 Ιστορική επισκόπηση Ο Euler στο ϐιβλίο του «Introductio to analysin infinitorum» [14], όρισε την εκθετική και λογαριθµική συνάρτηση και είπε : «Από αυτά που ήδη γνωρίζουµε, έχουµε ότι ο λογάριθµος ενός αριθµού δεν είναι ϱητός αριθµός εκτός και αν ο αριθµός αυτός είναι δύναµη της ϐάσης του λογαρίθµου. Οπότε, ο λογάριθµος ενός αριθµού b δεν µπορεί να εκφραστεί ως ϱητός αριθµός, εκτός αν ο b είναι δύναµη της ϐάσης a του λογαρίθµου. Στην 1 Ο Baker απέδειξε και τη µη οµογενή περίπτωση ϐλ. πρόλογο. 1

10 2 1 Εισαγωγή περίπτωση που ο b είναι δύναµη της ϐάσης a του λογαρίθµου, τότε ο λογάριθµος του b δεν µπορεί να είναι άρρητος. Αν ακόµα log a b = n, τότε a n = b, το οποίο είναι αδύνατο αν οι a, b είναι ϱητοί. Επιθυµούµε λοιπόν, να γνωρίζουµε λογαρίθµους ϱητών αριθµών, αφού έτσι µπορούµε να ϐρίσκουµε λογάριθµους κλασµάτων και άρρητων. Αφού οι λογάριθµοι αριθµών, οι οποίοι δεν είναι δύναµη της ϐάσης του λογαρίθµου, δεν είναι ούτε ϱητοί ούτε άρρητοι, είναι αυτό που ονοµάζουµε υπερβατικοί αριθµοί. Γι αυτό το λόγο οι λογάριθµοι λέγεται ότι είναι υπερβατικοί αριθµοί.» Αργότερα, το 1900, στο διεθνές συνέδρειο Μαθηµατικών στο Παρίσι, ο D. Hilbert έθεσε την παρακάτω ερώτηση ως το έβδοµο πρόβληµα Hilbert: Η έκφραση α β, όπου α αλγεβρικός αριθµός και β άρρητος αλγεβρικός αριθµός (για παράδειγµα 2 2, e π = ı 2ı ) πάντα παριστάνει ένα υπερβατικό αριθµό ή τουλάχιστον ένα άρρητο αριθµό. Το πρόβληµα αυτό λύθηκε το 1934 από τους A.O. Gelfond και Th. Schneider: Θεώρηµα Αν l 1, l 2 είναι Q γραµµικά ανεξάρτητα στοιχεία του L, τότε αυτά είναι και Q γραµµικά ανεξάρτητα. Αυτό σηµαίνει ότι το πηλίκο l 1 l2, l 1, l 2 L, l 1, l 2 0, είναι είτε ϱητός είτε υπερβατικός αριθµός. εν µπορεί να είναι ένας άρρητος αλγεβρικός αριθµός, όπως για παράδειγµα ο 2. Αυτό διότι : Αν l 1 l2 δεν είναι ϱητός αριθµός τότε προφανώς, l 1, l 2 είναι Q γραµµικά ανεξάρτητα, άρα (Gelfond - Schneider) είναι Q γραµµικά ανεξάρτητα. Αλλά τότε αποκλείεται να είναι l 1 l2 Q, δηλαδή l 1 l2 είναι υπερβατικός. Η σύνδεση του ϑεωρήµατος µε το 7ο πρόβληµα του Hilbert, µπορεί να διαπιστωθεί πιο εύκολα, αν διατυπώσουµε το παρακάτω ϑεώρηµα το οποίο είναι ισοδύναµο µε το Θεώρηµα Αν l και β είναι δύο µιγαδικοί αριθµοί µε l 0 και β όχι ϱητός, τότε ένας από τους e l, β και e β l είναι υπερβατικός. Θεώρηµα Θεώρηµα 1.1.2: Αν e l Q τότε l L. Αν β Q ϑα δείξουµε ότι ο e β l είναι υπερ- ϐατικός. Πράγµατι, αν δεν ήταν, τότε β l L. Αλλά τα β l, l είναι Q γραµµικά εξαρτηµένα. Άρα από ϑεώρηµα είναι και Q γραµµικά εξαρτηµένα. Άρα β Q. Άτοπο. Θεώρηµα Θεώρηµα 1.1.1: Εστω l 1, l 2 L και α 1 l 1 + α 2 l 2 = 0, α 1, α 2 Q. Τότε l 1 = β l 2, όπου β Q. Εχουµε ότι : e l 2 Q (αφού l 2 L), β Q και e β l 2 = e l 1 Q (αφού l 1 L). Άρα

11 1.1 Ιστορική επισκόπηση 3 από το ϑεώρηµα έχουµε αναγκαστικά ότι ο β Q. Άρα οι l 1, l 2 είναι Q γραµµικά εξαρτηµένοι. Η υπερβατικότητα του e π έπεται από το ϑεώρηµα αν πάρουµε l = 2πı και β = ı 2. Ο Gelfond στο ϐιβλίο του [15], αναφέρεται στη σηµασία που ϑα είχε µια γενίκευση του ϑεωρήµατος για περισσότερους από δύο λογαρίθµους. Αυτό το πρόβληµα, όπως αναφέραµε, λύθηκε το 1966 από τον Alan Baker. Από το ϑεώρηµα του Baker µπορούµε να συµπεράνουµε το εξής : Αν ένας αριθµός της µορφής : α β αβ n n = e (β 1 log α β n log α n ), ( α i 0, β i αλγεβρικοί αριθµοί), είναι αλγεβρικός, τότε είτε οι αριθµοί log α 1,..., log α n είναι όλοι µηδέν, είτε οι αριθµοί 1, β 1,..., β n είναι γραµµικά εξαρτηµένοι πάνω από το Q. Η παραπάνω παρατήρηση προκύπτει χρησιµοποιώντας τα παρακάτω τρία ϑεω- ϱήµατα (συγκεκριµένα το ϑεώρηµα ). Θεώρηµα Κάθε µη µηδενικός γραµµικός συνδυασµός στοιχείων του L µε αλγεβρικούς συντελεστές είναι υπερβατικός. Με άλλα λόγια, για οποιαδήποτε l 1,..., l n L και οποιουσδήποτε αλγεβρικούς αριθµούς β 0,..., β n µε β 0 0, έχουµε β 0 + β 1 l β n l n 0. Απόδειξη. Για n = 0 ισχύει. Υποθέτουµε ότι ισχύει για n < m, όπου n, m N και ϑα το αποδείξουµε για n = m. Εξετάζουµε δύο περιπτώσεις : (i) l 1,..., l m (ii) l 1,..., l m Q γραµµικά ανεξάρτητα. Q γραµµικά εξαρτηµένα. Οπότε (i) Αν l 1,..., l m είναι Q γραµµικά ανεξάρτητα τότε από το ϑεώρηµα του Baker(µη οµογενής περίπτωση) είναι και Q γραµµικά ανεξάρτητα, άρα έ- χουµε το Ϲητούµενο. (ii) Αν l 1,..., l m είναι Q γραµµικά εξαρτηµένα, τότε µπορούµε να υποθέσουµε ότι υπάρχουν ρ 1,..., ρ m Q, όχι όλα µηδέν, τέτοια ώστε : ρ 1 l ρ m l m = 0.

12 4 1 Εισαγωγή Αν, έστω, ρ r 0 (1 r m), τότε ρ r (β 0 + β 1 l β m l m ) = = ρ r (β 0 + β 1 l β m l m ) (ρ 1 l ρ m l m ) = = β 0 + β 1l β m l m, όπου β 0 = ρ r β 0 0, β j = ρ r β j ρ j β r, (1 j m). Αλλά στην τελευταία γραµµική µορφή λογαρίθµων το πλήθος των λογαρίθµων είναι, στην πραγµατικότητα, m 1, διότι β r = 0, άρα από την επαγωγική υπόθεση, η γραµµική µορφή είναι 0. Αλλά ρ r 0, οπότε β 0 + β 1 l β m l m 0. Θεώρηµα (Πόρισµα του ϑεωρήµατος 1.1.3) Αν β 0,..., β n l 1,..., l n L τότε β 0 + β 1 l β n l n / L. Απόδειξη. Σε αντίθετη περίπτωση, έστω : Q και β 0 + β 1 l β n l n = l n+1 L. β 1 l β n l n l n+1 = β 0 Οπότε, β 1 l β n l n l n+1 = µη µηδενικός αλγεβρικός αριθµός. Αυτό όµως έρχεται σε αντίθεση µε το ϑεώρηµα Θεώρηµα Αν l 1,..., l n L και β 1,..., β n Q µε τους 1, β 1,..., β n γραµµικά ανεξάρτητους, τότε Q β 1 l β n l n / L. Απόδειξη. Αν β 1 l β n l n = l n+1 L, τότε β 1 l β n l n + ( 1)l n+1 = 0. Άρα, αρκεί να δείξουµε ότι για κάθε l 1,..., l k L και κάθε β 1,..., β k Q Q γραµµικά ανεξάρτητους, έχουµε ότι β 1 l β k l k 0. Για k = 1 ισχύει. Υποθέτουµε ότι ισχύει για k < m και ϑα δείξουµε ότι ισχύει και για k = m.

13 1.2 Θεώρηµα του Baker. Ισοδύναµη διατύπωση 5 Το αποτέλεσµα είναι συνέπεια του ϑεωρήµατος του Baker, αν οι l 1,..., l n είναι γραµµικά ανεξάρτητοι πάνω από το Q. Εστω ότι οι l 1,..., l n είναι γραµµικά εξαρτηµένοι πάνω από το Q. Άρα υπάρχουν ρ 1,..., ρ m Q και β j όπως στο ϑεώρηµα 1.1.3, αλλά τώρα β 0 = β 0 = 0. Είναι απλό να δούµε ότι αν β 1,..., β m είναι γραµµικά ανεξάρτητοι πάνω από το Q, το ίδιο συµβαίνει και για τους β j µε j = 1,..., r 1, r + 1,..., m και το ϑεώρηµα προκύπτει µε επαγωγή. Παραδείγµατα. Επειδή π = 2iLogi, όπου Log είναι πρωτεύον κλάδος του λογαρίθµου, ϐλέπουµε αµέσως τα εξής : Με εφαρµογή του ϑεωρήµατος έχουµε ότι ο π + log α είναι υπερ- ϐατικός για οποιονδήποτε αλγεβρικό αριθµό α και οποιοδήποτε λογάριθµο του α. Σηµειώνουµε εσώ ότι, για την εφαρµογή του ϑεωρήµατος απαιτείται να ξέρουµε ότι π + log α 0, το οποίο ισχύει διότι έχουµε ήδη δείξει ότι e π / L. Με εφαρµογή του ϑεωρήµατος έχουµε ότι e (α π+β) είναι υπερ- ϐατικός για οποιουσδήποτε αλγεβρικούς αριθµούς α, β µε β Θεώρηµα του Baker. Ισοδύναµη διατύπωση Οι µοναδικές σχέσεις γραµµικής εξάρτησης λογαρίθµων αλγεβρικών αριθµών, µε αλγεβρικούς συντελαστές, είναι οι τετριµµένες, όπως για παράδειγµα log 24 = 3 log 9 + (1 2 3) log log 4 + (3 2 2) log 2. Αν το ϑεώρηµα του Baker δεν ήταν αληθές, τότε από µια µη τετριµµένη µηδενική γραµµική σχέση στοιχείων l του L, µε αλγεβρικούς συντελεστές β και µε το ελάχιστο µήκος, ϑα προέκυπτε το συµπέρασµα ότι και τα β i και τα l i είναι Q γραµµικώς ανεξάρτητα. Λήµµα Εστω k K δύο σώµατα, E ένας K διανυσµατικός χώρος και M είναι k υποδιανυσµατικός χώρος στο E. Τα παρακάτω είναι ισοδύναµα : (i) Εστω m 1 και l 1,..., l m στοιχεία του M τα οποία είναι k γραµµικώς ανεξάρτητα. Τότε αυτά τα στοιχεία είναι επίσης γραµµικά ανεξάρτητα πάνω από το K στο E. (ii) Εστω m 1, l 1,..., l m στοιχεία του M, όχι όλα µηδέν, και έστω β 1,..., β m να είναι k γραµµικώς ανεξάρτητα στοιχεία του K. Τότε β 1 l β m l m 0.

14 6 1 Εισαγωγή (iii) Εστω m 1, l 1,..., l m k γραµµικώς ανεξάρτητα στοιχεία του M και β 1,..., β m k γραµµικώς ανεξάρτητα στοιχεία του K. Τότε : β 1 l β m l m 0. (iv) Εστω m 1, l 1,..., l m k γραµµικώς ανεξάρτητα στοιχεία του M και β 1,..., β m στο K τέτοια ώστε : β 1 l β m l m = 0. Τότε, τα β 1,..., β m είναι k γραµµικώς εξαρτηµένα. Απόδειξη. (i) (iii): Προφανής απόδειξη. (iii) (iv): Προφανής απόδειξη. (ii) (i): Υποθέτουµε ότι για m 1 έχουµε την σχέση : β 1 l β m l m = 0, µε β i K όχι όλα 0. ήλαδή υποθέτουµε ότι τα l 1,..., l m είναι γραµµικά εξαρτηµάνα πάνω από το K στο E και ϑα δείξουµε ότι τα l 1,..., l m είναι k γραµµικώς εξαρτηµένα (οπότε ϑα έχουµε το (i)). Εστω β 1,..., β s, µε 0 s m, µια ϐάση του k διανυσµατικού χώρου, τον οποίο παράγουν τα β 1,..., β m. Τότε : β i = s c ij β j, c ij k όχι όλα µηδέν, 1 i m. j=1 Οπότε : s β j j=1 ( m ) c ij l i = 0 2. i=1 Αφού τα β 1,..., β s είναι k γραµµικώς ανεξάρτητα (αποτελούν ϐάση), συµπεραίνουµε από το (ii) ότι m c ij l i = 0 1 j s. i=1 Οπότε τα l 1,..., l m είναι k γραµµικώς εξαρτηµένα. P 2 m i=1 cij li M, αφού cij k και M k υποδιανυσµατικός χώρος στο E

15 1.2 Θεώρηµα του Baker. Ισοδύναµη διατύπωση 7 (iii) (ii): Υποθέτουµε ότι β 1 l β m l m = 0, µε τα β 1,..., β m γραµµικώς ανεξάρτητα πάνω από το k στο K και τα l 1,..., l m M. Θα δείξουµε ότι : l 1 = l 2 =... = l m = 0. Αν τα l 1,..., l m δεν είναι όλα µηδέν, τότε ϑεωρώ ένα maximal υποσύνολο του L = {l 1,..., l m } µεταξύ των υποσυνόλων του L που αποτελούνται από k γραµµικώς ανεξάρτητα στοιχεία. Χωρίς ϐλάβη της γενικότητας έστω {l 1,..., l r } ένα τέτοιο υποσύνολο, οπότε 1 r m. Άρα : l i = Συµπεραίνουµε ότι r c ij l j, όπου c ij k, r + 1 i m j=1 r γ j l j = 0, µε γ j = β j + j=1 m i=r+1 c ij β i, 1 j r Χρησιµοποιώντας το (iii) ( αντικαθιστώντας το m µε το r ) συµπεραίνουµε από την γραµµική ανεξαρτησία των l 1,..., l r πάνω από το k, ότι τα r στοιχεία γ 1,..., γ r είναι k γραµµικώς εξαρτηµένα στο K. Αλλά αφού τα β 1,..., β m είναι k γραµµικώς ανεξάρτητα και λόγω της σχέσης γ j = β j + m i=r+1 c ijβ i έχουµε ότι και τα γ 1..., γ r είναι k γραµµικώς ανεξάρτητα. Άτοπο. Άρα δεν γίνεται να έχουµε κανένα l i k γραµµικώς ανεξάρτητο. Άρα l 1 = l 2 =... = l m = 0. Οταν k = Q, K = Q, M = L και E = C η περίπτωση (i) είναι το ϑεώρηµα του Baker. Συνεπώς, το ϑεώρηµα του Baker, ϐάση του (iv), µπορεί να επαναδιατυπωθεί ισοδύναµα ως εξής : Θεώρηµα Εστω l 1,..., l n+1 Q γραµµικώς ανεξάρτητα στοιχεία του L και β 1,..., β n αλγεβρικοί αριθµοί µε l n+1 = β 1 l β n l n. Τότε, τα 1, β 1,..., β n είναι Q γραµµικώς εξαρτηµένα.

16 8 1 Εισαγωγή 1.3 Φράγµατα της απόστασης γινοµένου ακεραίων από το 1 Το ϑεώρηµα του Baker µας δείχνει ότι αριθµοί της µορφής β 1 log α β m log α m, (µε β i, α i αλγεβρικοί αριθµοί για 1 i m) είναι µηδέν µόνο σε τετριµµένες περιπτώσεις. Μέσω της απόδειξης του ϑεωρήµατος του Baker προκύπτουν υπολογίσιµα κάτω ϕράγµατα για τέτοιου είδους αριθµούς. Ενα τέτοιο ϕράγµα ϑα παρουσιαστεί στο κεφάλαιο 7. Θα παρουσιάσουµε την απλή περίπτωση, όπου β i Z και α i Z µε α i 2, 1 i m. Εστω λοιπόν, a 1,..., a m ϱητοί ακέραιοι, οι οποίοι είναι 2 και b 1,..., b m ϱητοί ακέραιοι. Υποθέτουµε a b 1 1 a bm m 1, και αναζητούµε κάτω ϕράγµα για την απόσταση αυτών των αριθµών. Μία τετριµµένη εκτίµηση είναι η εξής : a b 1 1 a bm m 1 b i <0 a b i i e mb log A, e P m i=1 b i log a i όπου B = max{ b 1,..., b m } και A = max{a 1,..., a m }. Η γενίκευση της προηγούµενης εκτίµησης, όταν τα a είναι αλγεβρικοί αριθµοί, είναι το ϑεώρηµα (Ανισότητα Liouville). Η σχέση αυτού του είδους ϕραγµάτων µε κάτω ϕράγµατα γρµµικών µορ- ϕών λογαρίθµων, είναι η εξής : Αν a b 1 1 a bm m τότε 1 2 b 1 log a b m log a m a b 1 1 a b m m 1 2 b 1 log a b m log a m, (για z µιγαδικό αριθµό και για κάθε 0 θ < 1, αν e z 1 θ, τότε για τον πρωταρχικό λογάριθµο, log z 1 1 θ z 1 ). Άρα, η εύρεση ενός κάτω ϕράγµατος της απόστασης του 1 και του γινοµένου a b 1 1 a b m, είναι ισοδύναµο µε την εύρεση κάτω ϕράγµατος για µη µηδενικές γραµµικές µορφές b 1 log a b m log a m. Αποδεικνύεται, σχετικά εύκολα, το εξής

17 1.3 Φράγµατα της απόστασης γινοµένου ακεραίων από το 1 9 Λήµµα Εστω m, a 1,..., a m ϱητοί ακέραιοι οι οποίοι είναι 2. Ορί- Ϲουµε, A = max{a 1,..., a m }. Τότε, για κάθε ακέραιο B 4 log A, υπάρχουν ϱητοί ακέραιοι b 1,..., b m, µε τέτοιοι ώστε 0 < max 1 i m b i < B, a b 2m log A 1 1 a bm m 1 B m 1. Γενικά, λέµε ότι τα α 1,..., α n K, K σώµα, είναι πολλαπλασιστικώς εξαρτηµένα αν και µόνο αν υπάρχουν b 1,..., b n Z \ {0}, τέτοια ώστε : α b 1 1 αbn n = 1. ιαφορετικά λέµε ότι τα α 1,..., α n K είναι πολλαπλασιαστικώς ανεξάρτητα. Οπότε, αν τα a 1,..., a m είναι πολλαπλασιαστικώς ανεξάρτητα, τότε a b 1 1 a bm m 1 0. Το 1935, ο A. O. Gelfond (πρβλ. [15]), ένα χρόνο αργότερα αφού είχε λύσει το 7ο πρόβληµα του D. Hilbert, εφάρµοσε την υπερβατική µέθοδο του για να ϐρει ένα κάτω ϕράγµα για µη µηδενικές γραµµικές σχέσεις δύο λογα- ϱίθµων αλγεβρικών αριθµών µε αλγεβρικούς συντελεστές. Ενα απλό παράδειγµα τέτοιου είδους ϕράγµατος είναι το εξής Λήµµα Για a 1, a 2 πολλαπλασιαστικώς ανεξάρτητα ϑετικούς ϱητούς ακεραίους, για κάθε ε > 0 υπάρχει υπολογίσιµη σταθερά C 1 = C 1 (a 1, a 2, ε), τέτοια ώστε, για κάθε (b 1, b 2 ) Z 2, µε (b 1, b 2 ) (0, 0), όπου B = max{2, b 1, b 2 }. a b 1 1 a b C 1 e (log B)5+ε, Υστερα από αρκετές ϐελτιώσεις του εκθέτη 5+ε, ο A. O. Gelfond το 1949 απέδειξε το (πρβλ. [15], ϑεώρηµα ΙΙΙ) Θεώρηµα (Μη υπολογίσιµη εκτίµηση) Για κάθε m αδα (a 1,..., a m ) πολλαπλασιαστικώς ανεξάρτητων ϑετικών ϱητών ακεραίων, και για κάθε δ > 0, υπάρχει ϑετική σταθερά C 2 = C 2 (a 1,..., a m, δ), τέτοια ώστε, αν b 1,..., b m είναι ϱητοί ακέραιοι, όχι όλοι µηδέν, τότε όπου B = max{2, b 1, b 2 }. a b 1 1 a b C 2 e δb,

18 10 1 Εισαγωγή Ο A. O. Gelfond χρησιµοποίησε το αποτέλεσµα του ϑεωρήµατος σε πολλές διοφαντικές ερωτήσεις. Συγκεκριµένα, το εφάρµοσε για να υπολογίσει (µαζί µε τον Y. V. Linnik) το πρόβληµα του Gauss για τον υπολογισµό όλων των τετραγωνικών ϕανταστικών σωµάτων µε αριθµό κλάσεων ίσο µε ένα. Επίσης, το ϕράγµα του το εφάρµοσε για να µελετήσει και διάφορες διοφαντικές εξισώσεις. Στο ϐιβλίο του [15], αναφέρεται στη µεγάλη σηµασία που ϑα είχε για την Θεωρία Αριθµών, η εύρεση κάτω ϕραγµάτων για γραµµικές µορ- ϕές λογαρίθµων αλγεβρικών αριθµών µε ακέραιους συντελεστές. Το πρόβληµα αυτό λύθηκε το 1966 από τον A. Baker (πρβλ. [2]), ο οποίος ανακάλυψε ένα υπολογίσιµο ϕράγµα για γραµµικές µορφές λογαρίθµων αλγεβρικών αριθµών µε αλγεβρικούς συντελεστές.

19 Κεφάλαιο 2 Περιγραφή της απόδειξης Σκοπός του κεφαλαίου αυτού είναι η περιγραφή της απόδειξης του ϑεωρήµατος 1.2.2, το οποίο, όπως αποδείξαµε στην παράγραφο 1.2, είναι ισοδύναµο µε το ϑεώρηµα του Baker. Οπότε, σε αυτό το κεφάλαιο τα l 1,..., l n+1 είναι Q γραµµικώς ανεξάρτητα στοιχεία του L (το οποίο σηµαίνει ότι α i = e l i είναι αλγεβρικοί αριθµοί) και οι β 1,..., β n είναι αλγεβρικοί αριθµοί. Υποθέτουµε ότι l n+1 = β 1 l β n l n (2.1) και ϑέλουµε να αποδείξουµε ότι τα 1, β 1,..., β n είναι Q γραµµικώς εξαρτη- µένα. Θα γίνει πρώτα µια περιγραφή της απόδειξης του ϑεωρήµατος του Baker (παράγραφος 2.1). Υστερα, στην παράγραφο 2.2, ϑα γίνει η απόδειξη της περίπτωσης n = 1 του ϑεωρήµατος του Baker, όπου log α 1, β = β 1 είναι πραγµατικοί αριθµοί (πραγµατική περίπτωση του ϑεωρήµατος των Gelfond- Schneider). Θα αποδείξουµε δηλαδή ότι αν β log α 1 = log α 2 L (το οποίο σηµαίνει ότι α 2 Q), τότε ο β είναι ϱητός. Για παράδειγµα, έτσι προκύπτει ότι οι 2 2 και log 2 log 3 είναι υπερβατικοί. 2.1 Η ιδέα της απόδειξης Θα δουλέψουµε µε τις εξής n + 1 συναρτήσεις n µεταβλητών : z 1,..., z n, α z 1 1 αz n n, όπου ϕυσικά α z 1 1 αz n n = e z 1l z n l n (e l i = α i ). 11

20 12 2 Περιγραφή της απόδειξης Παρατηρούµε ότι λόγω της σχέσης (2.1), οι συναρτήσεις αυτές παίρνουν αλγεβρικές τιµές σε όλα τα σηµεία της µορφής (s 1 + s n+1 β 1,..., s n + s n+1 β n ), (s 1,..., s n+1 ) Z n+1. Το σύνολο των σηµείων αυτών είναι µια πεπερασµένα παραγόµενη υποοµάδα του C n, την οποία ϑα γράφουµε Y = Z n + Z(β 1,..., β n ). Επίσης, παρατηρούµε ότι οι συναρτήσεις αυτές είναι αλγεβρικώς ανεξάρτητες υπέρ το C 1, δηλαδή για κάθε µη µηδενικό πολυώνυµο P, n + 1 µεταβλητών µε µιγαδικούς συντελεστές η συνάρτηση F (z 1,..., z n ) = P (z 1,..., z n, α z 1 1 αz n n ) δεν είναι ταυτοτικά µηδέν 2. Επίσης, για συντοµία ϑα γράφουµε s για (s 1,..., s n+1 ) Z n+1. Οταν ο S είναι ϑετικός πραγµατικός αριθµός, ορίζουµε Z n+1 (S) να είναι το σύνολο των s µε s i < S, (1 i n + 1). Το σύνολο αυτό έχει (2[S] 1) n+1 στοιχεία. Για κάθε λ = (λ 1,..., λ n+1 ) N n+1, ορίζουµε την συνάρτηση f λ : f λ (z 1,..., z n ) = z λ zλ n n (α z 1 1 αz n n ) λ n+1. (Επειδή οι συναρτήσεις που ορίσαµε στην αρχή της παραγράφου είναι αλγε- ϐρικά ανεξάρτητες, προκύπτει ότι οι f λ δεν είναι ταυτοτικά µηδέν). ιαλέγουµε έναν αρκετά µεγάλο ακέραιο S. Το πόσο µεγάλο ϑα είναι αυτό το S ϑα µπορούσε να υπολογιστεί ακριβώς, αλλά είναι αρκετό εδώ να πούµε ότι πρέπει να είναι µεγάλο σε σχέση µε πεπερασµένες ποσότητες οι οποίες προκύπτουν από τα l i και β i, (από τους ϐαθµούς και επίσης την µεγαλύτερη από τις απόλυτες τιµές των συντελεστών των ελαχίστων πολυωνύµων τους). Επίσης χρειαζόµαστε και δύο ακόµα παραµέτρους, L 0 και L 1 (L 0, L 1 N), τέτοιες ώστε : λ λ n L 0 και λ n+1 L 1. Θεωρούµε τον πίνακα ( ) Π = f λ (s 1 + s n+1 β 1,..., s n + s n+1 β n ) λ,s ( = (s 1 + s n+1 β 1 ) λ 1... (s n + s n+1 β n ) λn( α s 1+s n+1 β 1 1 α sn+s n+1β n ) ) λn+1 n λ,s ( (σχέση (2.1)) = (s 1 + s n+1 β 1 ) λ 1... (s n + s n+1 β n ) λ ( n α s 1 1 αs n n α s ) ) n+1 λn+1 n+1, λ,s 1 Γενικά, οι αναλυτικές συναρτήσεις f 1,..., f d n µεταβλητών είναι αλγεβρικώς ανεξάρτητες υπέρ το C, αν και µόνο αν, για κάθε µη µηδενικό πολυώνυµο P C[X 1,..., X d ], η συνάρτηση P (f 1,..., f d ) δεν είναι η µηδενική συνάρτηση. 2 Η απόδειξη αυτού του ισχυρισµού είναι όµοια µε εκείνη του ϑεωρήµατος 2.2.2

21 2.1 Η ιδέα της απόδειξης 13 όπου ο δείκτης των γραµµών είναι λ και των στηλών s (Παρατηρούµε ότι ο Π είναι µη µηδενικός πίνακας, αφού οι f λ δεν είναι ταυτοτικά µηδέν). Μας ενδιαφέρει µόνο η τάξη του πίνακα Π. Επειδή το λ παίρνει όλες τις τιµές (λ 1,..., λ n+1 ) N n+1 τέτοιες ώστε : λ λ n L 0 και λ n+1 L 1, ( L ο αριθµός των γραµµών είναι 0 ) +n n (L1 + 1) 3. Από την άλλη το s παίρνει όλες τις τιµές (s 1,..., s n+1 ) Z n+1 (S), οπότε έχουµε (2S 1) n+1 στήλες. ιαλέγουµε τις παραµέτρους έτσι ώστε να ικανοποιείται η εξής ανισότητα ( ) (2S 1) n+1 L0 + n (L 1 + 1) n (αριθµός γραµµών µικρότερος από αριθµό στηλών). Η απόδειξη χωρίζεται σε δύο µέρη. Στο πρώτο µέρος (υπερβατικό µέρος της απόδειξης), ϑα αποδείξουµε ότι η τάξη του παραπάνω πίνακα είναι µικρότερη του L := ( L 0 ) +n n (L1 + 1). Στο δεύτερο µέρος (γεωµετρικό µέρος της απόδειξης), ϑα δείξουµε ότι ο ισχυρισµός αυτός για την τάξη του πίνακα συνεπάγεται την γραµµική εξάρτηση των 1, β 1,..., β n. 4 Στο πρώτο µέρος της απόδειξης, για να δείξουµε ότι η τάξη του πίνακα είναι µικρότερη από L, αυτό που κάνουµε είναι το εξής : Εξετάζουµε µία οποιαδήποτε L L υποορίζουσα του παραπάνω πίνακα. Αυτό σηµαίνει ότι έχουµε ένα υποσύνολο των s και γράφουµε ( = det (s 1 + s n+1 β 1 ) λ 1... (s n + s n+1 β n ) λ ( n α s 1 1 αs n n α s ) ) n+1 λn+1 n+1 Αν δείξουµε ότι = 0, τότε η τάξη του πίνακα είναι < L, οπότε έχουµε επιτύχει το στόχο του πρώτου µέρους της απόδειξης. Η απόδειξη του ότι = 0 συνίσταται στα εξής δύο ϐήµατα : Πρώτα ϐρίσκουµε ένα άνω ϕράγµα για την, συγκεκριµένα ϑα δείξουµε ότι 1 L log L1/n + c 1 (L 0 log S + L 1 S), όπου το c 1 εξαρτάται από τα n, l i, β i 5. Υστερα, µε την ϐοήθεια της ανισότητας του Liouville, ϑα δείξουµε ότι αν η 3 πρβλ. παράρτηµα Αʹ.1 4 Το δεύτερο µέρος της απόδειξης παρουσιάζεται στο κεφάλαιο 5 5 Η απόδειξη αυτού του ισχυρισµού αποδεικνύεται στο κεφάλαιο 4 µε εφαρµογή του λήµµατος του Schwarz λ,s.

22 14 2 Περιγραφή της απόδειξης δεν είναι µηδεν, τότε 1 L log c 2(L 0 log S + L 1 S), όπου το c 2 εξαρτάται από τα n, l i, β i 6. Υστερα, αφού επιλέξουµε τα L 0, L 1, S 2, να ικανοποιούν κάποιες συν- ϑήκες συναρτήσει ενός µεγάλου αριθµού c, (ο οποίος εξαρτάται µόνο από τα n, l i, β i ), εκτιµώντας κατάλληλα αυτόν το αριθµό c από τα c 1, c 2, (να είναι αρκετά µεγάλος από τα c 1, c 2 ), δείχνουµε ότι οι παραπάνω δύο ανισότητες είναι αντιφατικές, οπότε καταλήγουµε στο συµπέρασµα ότι = 0. Ως ένα παράδειγµα εφαρµογής των ιδεών που αναφέρθηκαν, ϑα παρουσιάσουµε την απόδειξη του ϑεωρήµατος του Baker για n = 1 (Θεώρηµα των Gelfond- Schneider ) στην περίπτωση που l 1, β 1 R. 2.2 Θεώρηµα Gelfond - Schneider για πραγµατικούς αριθµούς Η πραγµατική περίπτωση του ϑεωρήµατος των Gelfond - Schneider διατυπώνεται ισοδύναµα ως εξής : Θεώρηµα (Η πραγµατική περίπτωση των Gelfond -Schneider): Αν τα l 1, l 2 L R είναι Q γραµµικώς εξαρτηµένα τότε είναι και Q γραµµικώς εξαρτηµενα. Πριν την απόδειξη ϑα χρειαστούµε τα παρακάτω δύο ϑεωρήµατα. Θεώρηµα Εστω p 1 (t),..., p n (t) πολυώνυµα στον R[t] µε ϐαθµούς d 1,..., d n αντίστοιχα, και έστω w 1,..., w n διαφορετικοί ανά δύο πραγµατικοί αριθµοί. Τότε η πραγµατική συνάρτηση µιας µεταβλητής F (t) = n p i (t)e wit, i=1 έχει το πολύ d d n + n 1 πραγµατικές ϱίζες 7. Απόδειξη. Θα αποδείξουµε το λήµµα κάνοντας επαγωγή στον ακέραιο k := d d n + n. 6 Η απόδειξη αυτού του ισχυρισµού αποδεικνύεται στο κεφάλαιο 3 7 Σε αυτό το λήµµα οι ϱίζες υπολογίζονται µε τις πολλαπλότητες (αυτό είναι σηµαντικό για την απόδειξη η οποία ϑα γίνει µε επαγωγή)

23 2.2 Θεώρηµα Gelfond - Schneider για πραγµατικούς αριθµούς 15 Για k = 1, έχουµε ότι n = 1 και d 1 = 0 8. Υποθέτουµε ότι k 2. Εστω ότι η υπόθεση ισχύει για l = 1,..., k 1. ηλαδή αν n 1 και d 1,..., d n είναι µη αρνητικοί ακέραιοι, τέτοιοι ώστε d d n + n = l < k και p i (t) R[t] έχει ϐαθµό d i για i = 1,..., n τότε η συνάρτηση στην εκφώνηση του λήµµατος έχει l 1, το πολύ πραγµατικές ϱίζες. Θα δείξουµε ότι ισχύει αυτό και για l = k. Πολλαπλασιάζουµε την F µε e wnt. Αφού το πλήθος των ϱιζών της F και της e w nt F είναι το ίδιο, µπορούµε να υποθέσουµε ότι w n = 0. Ετσι, επειδή τα w 1,..., w n είναι διαφορετικά ανά δύο, έχουµε ότι w i 0 για 1 i n. Αν η F έχει τουλάχιστον N πραγµατικές ϱίζες τότε, από το γνωστό ϑεώρηµα του Rolle, η F έχει τουλάχιστον N 1 πραγµατικές ϱίζες. Οµως, αφού w n = 0, έχουµε ότι : F (t) = n 1 i=1 p i (t)e w it + d dt p n(t), όπου p i (t) = w i p i (t) = d dt p i(t) είναι πολυώνυµο ϐαθµού ακριβώς d i για i = 1,..., n 1 και ϐαθµού d n 1 για i = n 9. Οπότε για τους ϐαθµούς των πολυωνύµων p i t της F έχουµε ότι : d d n 1 + n = d d n + n 1 = l < k. Άρα από την επαγωγική υπόθεση η F έχει το πολύ : d d n 1 + n 1 πραγµατικές ϱίζες. Άρα N 1 d d n + n 2. Οπότε : N d d n + n 1. (N = πλήθος πραγµατικών ϱιζών της F ). Θεώρηµα Εστω r, R δύο πραγµατικοί αριθµοί µε 0 r R, f 1,..., f L συναρτήσεις µιας µεταβλητής, οι οποίες είναι αναλυτικές στον (0, R) και ζ 1,..., ζ L (0, r). Τότε η ορίζουσα : f 1 (ζ 1 )... f L (ζ 1 ) = det f 1 (ζ L )... f L (ζ L ) 8 ιότι d i N 9 Εδώ ϑεωρούµε ότι ο ϐαθµός του µηδενικού πολυωνύµου είναι πρβλ. Αʹ.2 για τους ορισµούς και τους συµβολισµούς

24 16 2 Περιγραφή της απόδειξης έχει άνω ϕράγµα : ( R r ) L L 1 2 L L! f λ R. λ=1 (Το συµπέρασµα είναι τετριµµένο στην περίπτωση R = r). Απόδειξη. Η ορίζουσα Ψ(z) του πίνακα ( ) f λ (ζ µ z) είναι µια µιγαδική συνάρτηση µιας µεταβλητής η οποία είναι αναλυτική στον (0, R). Παρακάτω ϑα αποδείξουµε ότι έχει στο 0 µηδενική ϑέση τάξεως τουλάχιστον L L 1 2. Οπότε από το λήµµα Αʹ , έχουµε ότι αν στο 0 έχει µηδενική ϑέση τάξεως N, τότε ( R ) N = Ψ(1) Ψ R r ( R r ) L L 1 2 Ψ R. Για το Ψ R έχουµε ότι : Ψ R = 12 = sgn(σ) f 1σ(1) f 2σ(2)... f Lσ(L) R σ S L f 1σ1 (1)... f 1σ1 (L) f 1σL! (1)... f 1σL! (L) Άρα : L! L f i R. i=1 ( R r ) L L 1 2 L! Για την τάξη του 0 : Κάθε f λ µε κέντρο το 0 έχει ανάπτυγµα Taylor: f λ (z) = n λ =0 L f i R. i=1 α nλ z n λ, όπου α nλ = f (nλ) (0). n λ! 11 Εφαρµόζουµε το λήµµα αντικαθιστώντας το r µε 1 και το R µε R r. 12 f ij = f i(ζ j) και S L : η οµάδα των µεταθέσεων των L στοιχείων

25 2.2 Θεώρηµα Gelfond - Schneider για πραγµατικούς αριθµούς 17 Άρα, = σ S L = n 1,...,n L Ψ(z) = [ ( sgn(σ) n 1 =0 ((α n1... α nl ) = n 1,...,n L σ S L sgn(σ)f 1σ(1)... f Lσ(L) = ) ( α n1 z n 1 ζ n 1 σ(1)... n L =0 )] α nl z n L ζ n L σ(l) = sgn(σ) z n1 ζ n1 σ(1)... zn L ζ n L σ(l) σ S L ( ) ) ( (α n1... α nl ) det z nλ ζ n λ µ µ,λ, ) = όπου 1 µ L. Αρκεί, λοιπόν να εξεταστούν οι περιπτώσεις όπου f λ (z) = z n λ. Σε µία τέτοια περίπτωση z n 1 ζ n z n Lζ n L 1 Ψ(z) = det = z n 1 ζ n 1 L... z n Lζ n L L z n ) ζ n λ µ 0 z n ] µ,λ = z n L ( ) = z n nL det. [( = det Η ορίζουσα Ψ(z) είναι ταυτοτικά µηδέν αν τα n j δεν είναι ανά δύο διαφορετικά. Άρα, αν η Ψ(z) δεν είναι ταυτοτικά µηδέν, τότε τα n j είναι διαφορετικά ανά δύο. Άρα ζ n λ µ n 1 + n n L (L 1) = Άρα, η Ψ(z) έχει στο 0 µηδενική ϑέση τουλάχιστον L(L 1) 2. L(L 1). 2 Απόδειξη του Θεωρήµατος 2.2.1: Εστω l 1 L R και β Q R, τέτοια ώστε : l 2 = βl 1 L. Ορίζουµε α i = e l i, (i = 1, 2), οπότε α i Q και α β 1 = α 2. Θέλουµε να δείξουµε ότι τα l 1, l 2 ειναι Q γραµµικώς εξαρτηµένα, δηλαδή ότι ο β είναι ϱητός.

26 18 2 Περιγραφή της απόδειξης Εστω c ένας επαρκώς µεγάλος αριθµός. Μία κατάλληλη τιµή για τον c µπορεί να υπολογιστεί µετά το τέλος της απόδειξης. Αυτή η τιµή ϑα εξαρτάται µόνο από τα l 1 και β (και ϑα περιέχει επίσης και τον αλγεβρικό αριθµό α 2 ). Στη συνέχεια διαλέγουµε τρεις ακέραιους αριθµούς L 0, L 1, S, οι οποίοι να ικανοποιούν τα εξής : L 0 2, L 1 2, S 2, (2.2) L := (L 0 + 1)(L 1 + 1), (2.3) cl 0 log S L, cl 1 S L, L (2S 1) 2. (2.4) Για παράδειγµα, ϑα µπορούσαµε να πάρουµε L 1 = log S 2 και L 0 = S 2 (log S) 3, µε το S επαρκώς µεγάλο. Τώρα, αν τροποποιήσουµε λίγο τον συµβολισµό και γράψουµε (λ 0, λ 1 ) αντί (λ 1, λ 2 ), για να προσαρµοστούµε στον συµβολισµό της ενότητας 2.1, ϐλέπουµε ότι η ορίζουσα εκείνης της ενότητας παίρνει την µορφή ( Π = (s 1 + s 2 β) λ ( 0 α s ) ) 1 1 αs 2 λ1 2 (λ 0,λ 1 ),(s 1,s 2 ) ( (αφού α 2 = α β 1 ) = (s 1 + s 2 β) λ ( 0 α s 1+s 2 β) ) λ1 µε 0 λ 0 L 0, 0 λ 1 L 1, s 1 S, s 2 S. 1 (λ 0,λ 1 ),(s 1,s 2 ), Ο πίνακας αυτός έχει L := (L 0 + 1)(L 1 + 1) γραµµές και (2S 1) 2 στήλες. Οπως είπαµε στην προηγούµενη ενότητα επιλέγουµε έτσι τα L 0 και L 1 ώστε : L := (L 0 + 1)(L 1 + 1) (2S 1) 2. Οπως αναφέραµε στην προηγούµενη ενότητα, η απόδειξη του ϑεωρήµατος του Baker χωρίζεται σε δύο µέρη. Ετσι και εδώ, στην πραγµατική περίπτωση για n = 1, ϑα χωρίσουµε την απόδειξη σε δύο µέρη. (i) Πρώτο µέρος της απόδειξης : Θα δείξουµε ότι ο πίνακας που ορίστηκε παραπάνω έχει τάξη < L. Εστω s (1),..., s (L) οποιαδήποτε στοιχεία του Z 2 (S). Παίρνουµε την L L ορίζουσα = ( (s (µ) 1 + s (µ) ( 2 β)λ 0 λ 1 α s(µ) 1 1 +s(µ) 2 β ) l1 ) µε λ = (λ 0, λ 1 ), 0 λ 0 L 0, 0 λ 1 L 1 και 1 µ L. Θα χρησιµοποιήσουµε το λήµµα µε r = S(1 + β ) και R = e 2 r, για λ,µ,

27 2.2 Θεώρηµα Gelfond - Schneider για πραγµατικούς αριθµούς 19 την f λ (z) = z λ0 e λ 1 z l 1, µε ζ µ = s (µ) 1 + s (µ) 2 β. Εχουµε λοιπόν ότι : ( R r ) L L 1 2 L L! f λ R = λ=1 όπου : L = e L(L 1) L! f λ R, λ=1 f λ R = z λ 0 e λ 1 zl1 R λ0 e λ 1R l 1 R λ0 e L 1R l 1. Οπότε : log L(L 1) + log L! + LL 0 log R + LL 1 R l 1 L(L 1) + L log L + LL 0 log R + LL 1 R l 1 L 2 + L + L log L + LL 0 log[e 2 S(1 + β )] + LL 1 R l 1 L 2 + L + L log(2s 1) 2 + LL 0 log[e 2 S(1 + β )] + LL 1 R l 1 L 2 + L + L log 4S 2 + LL 0 log[e 2 S(1 + β )] + LL 1 R l 1 L 2 + L + 2L log 2S + LL 0 log[e 2 S(1 + β )] + LL 1 R l 1 (L 0 2) L 2 + L + L 0 L log 2S + LL 0 log[e 2 S(1 + β )] + LL 1 R l 1 L 2 + LL 0 log 2 + LL 0 log S + 2LL 0 + LL 0 log[s(1 + β )] + LL 1 R l 1 (L LL 0 log S, 2LL 0 4LL 0 log S και S 2) L 2 + 7LL 0 log S + LL 0 log S(1 + β ) + LL 1 e 2 S(1 + β ) l 1 L 2 + 7LL 0 log S + LL 0 log[se (1+ β ) ] + LL 1 e 2 S(1 + β ) l 1 L 2 + LL 0 (10 + β ) log S + LL 1 e 2 S(1 + β ) l 1 L 2 + c 1 L(L 0 log S + L 1 S), όπου c 1 = max{10 + β, e 2 (1 + β ) l 1 }. Λόγω της επιλογής των L 0, L 1, S στην αρχή της απόδειξης καταλήγουµε στη σχέση log L2 2,

28 20 2 Περιγραφή της απόδειξης αν c 4c 1 (πρβλ. σχέση 2.4) και το L είναι αρκούντως µεγάλο. (Αυτό διότι λόγω των ανισοτήτων, cl 0 log S L και cl 1 S L, έχουµε ότι : L 2 + c 1 L(L 0 log S + L 1 S) L 2 + c 1 L( L c + L c ), οπότε για c 4c 1 έχουµε το Ϲητούµενο.) Στο κεφάλαιο 3, µεσω της ανισότητας του Liouville, ϑα δείξουµε ότι, είτε η είναι µηδέν, είτε log c 2 L(L 0 log S + L 1 S), όπου το c 2 εξαρτάται µόνο από τα l 1, β. Για c 3c 2 (πρβλ. προηγούµενη σχέση µας δίνει σχέση 2.4) η log > L2 2. (Η ανισότητα προκύπτει όπως και πριν στη περίπτωση του c 1, χρησιµοποιώντας την σχέση 2.4). Άρα συµπεραίνουµε ότι = 0, οπότε ο πίνακας Π έχει τάξη µικρότερη του L. (ii) εύτερο µέρος της απόδειξης : Θα δείξουµε ότι από το συµπέρασµα του πρώτου µέρους για την τάξη του πίνακα Π έπεται ότι ο β είναι ϱητός. Εχουµε ότι ο πίνακας ( Π = (s 1 + s 2 β) λ ( 0 α s 1+s 2 β) ) l1 1 µε (λ 0,λ 1 ),(s 1,s 2 ), 0 λ 0 L 0, 0 λ 1 L 1, s 1 S, s 2 S, έχει L := (L 0 + 1)(L 1 + 1)) γραµµές και (2S 1) 2 στήλες. Επίσης λόγω της επιλογης των παραµέτρων στην αρχή της απόδειξης έχουµε ότι : L (2S 1) 2. Αν λοιπόν ο πίνακας έχει τάξη µικρότερη του L τότε υπάρχουν c i R τέτοια ώστε : c 1 γ c L γ L = 0 R (2S 1)2, όπου γ 1,..., γ L οι γραµµές του παραπάνω πίνακα. ηλαδή, L c i γ i = 0, i=1 ή (λ 0,λ 1 ) c (λ0,λ 1 )γ (λ0,λ 1 ) = 0.

29 2.2 Θεώρηµα Gelfond - Schneider για πραγµατικούς αριθµούς 21 Άρα για κάθε z = s 1 + s 2 β µε (s 1, s 2 ) Z 2 (S) έχουµε ότι (λ 0,λ 1 ) c (λ0,λ 1 )(s 1 + s 2 β) λ ( 0 α s 1+s 2 β) l1 1 = 0. Οπότε το F (z) = c (λ0,λ 1 )z λ ( 0 α1) z λ1 13 (λ 0,λ 1 ) µηδενίζεται για κάθε z = s 1 + s 2 β όπου (s 1, s 2 ) Z 2 (S). Το πλήθος αυτών των z για τα οποία η F (z) µηδενίζεται γνωρίζουµε όµως ότι είναι (2S 1) 2. Οµως αυτό είναι αδύνατο, διότι, λόγω του λήµµατος 2.2.2, η F (z) = (λ 0,λ 1 ) c (λ0,λ 1 )z λ 0 e z λ 1 l 1 = = λ 1 [ λ 0 c (λ0,λ 1 )z λ 0 ]e zλ 1l 1, έχει το πολύ (L 1 + 1)L 0 + L , πραγµατικές ϱίζες το οποίο είναι µικρότερο του (2S 1) Άρα υπάρχουν z = s 1 + s 2 β, z = s 1 + s 2 β µε (s 1, s 2 ), (s 1, s 2 ) Z2 (S) και (s 1, s 2 ) (s 1, s 2 ) τέτοια ώστε : z = z. ηλαδή : s 1 + s 2 β = s 1 + s 2β, δηλαδή ο β είναι ϱητός. 13 F (z) = P (z, α z 1), όπου P (x, y) = P (λ 0,λ 1 ) xλ 0 y λ 1 14 Αφού (L 1 + 1)L 0 + L = (L 1 + 1)(L 0 + 1) 1 < L < (2S 1) 2.

30 22 2 Περιγραφή της απόδειξης

31 Κεφάλαιο 3 Ανισότητα Liouville - Κάτω ϕράγµα της ορίζουσας Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ϐρούµε ένα κάτω ϕράγµα της ορίζουσας (παράγραφο 3.6), η οποία ορίστηκε στην παράγραφο 2.1. Για να το πετύχουµε αυτό ϑα χρειαστούµε την ανισότητα του Liouville η οποία µας εξασφαλίζει κάτω ϕράγµα για κάθε µη µηδενικό αλγεβρικό αριθµό. Πιο συγκεκριµένα, η ανισότητα του Liouville µας δίνει ένα κάτω ϕράγµα για τον αλγεβρικό αριθµό P (γ 1,..., γ q ), όπου γ 1,..., γ q αλγεβρικοί αριθµοί και το πολυώνυµο P Z[x 1,..., x q ] δεν µηδενίζεται στο σηµείο (γ 1,..., γ q ). Το ϕράγµα αυτό εξαρτάται µόνο από το ϐαθµό του P, από το άνω ϕράγµα των απόλυτων τιµών των συντελεστών του και από τα µέτρα των γ i. Για να πετύχουµε τέτοια ϕράγµατα εισάγουµε την έννοια του ύψους αλγεβρικού αριθµού. Για τον σκοπό αυτό προτάσσουµε κάποιες ϐασικές γνώσεις από την αλγεβρική ϑεωρία αριθµών (πρβλ. και Αʹ.3). 3.1 p αδικές απόλυτες τιµές υπέρ το Q Εστω p ένας πρώτος αριθµός. Για κάθε x Z ορίζουµε ν p (x) = η µέγιστη δύναµη του p η οποία διαιρεί το x. Για x = a b Q, a, b Z ορίζουµε ν p (x) = ν p (a) ν p (b). Επίσης για x Q γράφουµε την ανάλυση του x σε γινόµενο πρώτων παραγόντων ως εξής : x = ± p νp(x). p 23

32 24 3 Ανισότητα Liouville - Κάτω ϕράγµα της ορίζουσας Για κάθε πρώτο p έχουµε λοιπόν µια απεικόνιση : ν p : Q Z, η οποία επεκτείνεται στο 0, µε ν p (0) =. Η απεικόνιση : ν p : Q Z { }, ονοµάζεται p αδική αποτίµηση πάνω από το Q και ικανοποιεί τις παρακάτω ιδιότητες : 1. Για κάθε x Q, ν p (x) = x = Για x, y Q, ν p (xy) = ν p (x) + ν p (y). 3. Για x, y Q, ν p (x + y) min{ν p (x), ν p (y)}. Η ν p σχετίζεται µε την απόλυτη τιµή p (p αδική απόλυτη τιµή) η οποία είναι µια απεικόνιση από το Q στο Q που ορίζεται ως εξής : Επιλέγουµε ϱ µε 0 < ϱ < 1 και ϑέτουµε { ϱ ν p(x), x 0 x p = 0, x = 0. Η p αδική απόλυτη τιµή ικανοποιεί τις παρακάτω ιδιότητες : 1. Για x Q, x p = 0 x = Για x, y Q, xy p = x p y p. 3. Για x, y Q, x + y p max{ x p, y p } ( x p + y p ). Μια τέτοια απόλυτη τιµή χαρακτηρίζεται µη αρχιµήδεια. Στο Q συνιθισµένη απόλυτη τιµή ( ) χαρακτηρίζεται αρχιµήδεια. Επιλέγουµε δηλαδή ϱ = 1 p < 1, οπότε x p = p νp(x). Η p αδική απόλυτη τιµή ορίζει απόσταση στο Q, άρα τοπολογία. Η µπάλα µε κέντρο a Q και ακτίνα p r µε r Z είναι, συνεπώς, το σύνολο D(a, r) := {x Q; x a p p r } = {x Q; ν p (x a) r}. Σε τυχαίο σώµα έχουµε τον εξής : Ορισµός Εστω K ένα τυχαίο σώµα. Μία συνάρτηση από το σώµα K στους πραγµατικούς αριθµούς καλείται απόλυτη τιµή του K, αν αυτή ικανοποιεί τις παρακάτω συνθήκες :

33 3.1 p αδικές απόλυτες τιµές υπέρ το Q a > 0 για κάθε a 0 και 0 = a + b a + b. 3. ab = a b. Αν αντί της τρίτης ιδιότητας η απόλυτη τιµή ικανοποιεί την πιο ισχυρή συνθήκη : 4. a + b max{ a, b }, τότε ονοµάζουµε την απόλυτη τιµή µη αρχιµήδεια. Η απόλυτη τιµή για την οποία ισχύει : x = 1 για όλα τα x 0 και 0 = 0, ονοµάζεται τετριµµένη απόλυτη τιµή. Αποδεικνύεται ότι οι µη τετριµµένες απόλυτες τιµές είναι µη ϕραγµένες. Η απόλυτη τιµή ορίζει απόσταση στο σώµα K και άρα τοπολογία στο σώµα K. Η έννοια της σύγκλισης ορίζεται ως εξής : Η ακολουθία {a n } στοιχείων του K συγκλίνει στο στοιχείο a K αν a n a 0 καθώς n. Επίσης : Μια ακολουθία {a n } στοιχείων του K καλείται Cauchy αν a n a m 0 καθώς n, m. Προφανώς κάθε συγκλίνουσα ακολουθία είναι ακολουθία Cauchy. Ενα σώµα εφοδιασµένο µε µια απόλυτη τιµή καλείται πλήρες ως προς αυτή την απόλυτη τιµή, αν κάθε ακολουθία Cauchy είναι συγκλίνουσα, µε όριο που ανήκει στο σώµα αυτό. Γνωρίζουµε ότι η πλήρωση του Q ως προς την συµηθισµένη απόλυτη τιµή είναι το σώµα των πραγµατικών αριθµών. Επίσης η πλήρωση του Q ως προς την p αδική απόλυτη τιµή είναι το σώµα των p αδικών αριθµών Q p. Κάθε x Q p µπορεί να γραφεί : x = + i=m a i p i, όπου a i {0, 1,..., p 1}, a m 0. Το m που µπορεί να είναι και αρνητικός ακέραιος συµβολίζεται µε ν p (x) και λέγεται p αδική αποτίµηση του x Q p. Επεκτείνοντας την p αδική απόλυτη τιµή που ορίσαµε πριν για τους ϱητούς, ορίζουµε x p = p ν p(x). ύο απόλυτες τιµές 1, 2 ενός σώµατος K λέγονται ισοδύναµες αν µια ακολουθία είναι Cauchy ως προς την 1 αν και µόνο αν είναι Cauchy ως προς την 2. Αυτό είναι ισοδύναµο µε το να πούµε ότι οι 1, 2 ορίζουν

34 26 3 Ανισότητα Liouville - Κάτω ϕράγµα της ορίζουσας την ίδια τοπολογία στο σώµα K. Αποδεικνύεται [10] ότι κάθε µη τετριµµένη απόλυτη τιµή του Q είναι ισοδύναµη είτε µε την p αδική απόλυτη τιµή είτε µε την συνηθισµένη απόλυτη τιµή στο Q (Θεώρηµα Ostrowski). Άρα οι µόνες πληρώσεις του Q είναι είτε το σώµα των πραγµατικών αριθµών είτε το σώµα των p αδικών αριθµών Q p. Πρόταση (Τύπος Γινοµένου υπέρ το Q) x x p = 1, p για κάθε x Q \ {0}, όπου, p είναι αντίστοιχα η συνηθισµένη και η απόλυτη τιµή του Q. Απόδειξη. Αρκεί να το δείξουµε για x Z, x > 0. Η περίπτωση το x Q\{0} µε x = a b, a, b Z \ {0} ανάγεται στην περίπτωση των ακεραίων αφού : a b p a b p = a p a p b p b. p Εστω λοιπόν x Z, x > 0, µε x = p a pa m m, p i πρώτοι και a i Z, a i > 0. Τότε : x q = 1, αν q p i, i = 1,..., m x pi = p a i i, για i = 1,..., m x = p a pa m m. Άρα : x x p = 1. p Ισοδύναµα από τον τύπο του γινοµένου έχουµε ότι : ν p (x) log p = log x, p για κάθε x Q \ {0}.

35 3.2 Απόλυτες τιµές σε αριθµητικό σώµα Απόλυτες τιµές σε αριθµητικό σώµα Θα µελετήσουµε τις απόλυτες τιµές πάνω από αριθµητικό σώµα K. Για να το κάνουµε αυτό ϑα πρέπει να εξετάσουµε πώς µπορεί να επεκταθεί µια απόλυτη τιµή από το Q στο K. Κατ αρχάς, παρατηρούµε ότι ο περιορισµός στο Q µιας µη τετριµµένης απόλυτης τιµής του σώµατος K είναι µη τετριµµένη απόλυτη τιµή του Q. Πράγµατι, έστω 1 µια µη τετριµµένη απόλυτη τιµή του αριθµητικού σώµατος K. Παίρνοντας τον περιορισµό της 1 στο Q έχουµε την απόλυτη τιµή 0 του Q. Θα δείξουµε ότι η 0 είναι µη τετριµµένη. Εστω η ϐάση ω 1,..., ω n του K υπερ το Q. Για κάθε x K έχουµε ότι x = q 1 ω q n ω n, µε q i Q, οπότε x 1 = q 1 0 ω q n 0 ω n 1. Αν η απόλυτη τιµή 0 είναι τετριµµένη τότε q i 0 1 και άρα : x 1 n ω i 1, i=1 για όλα τα x K. Άτοπο, αφού κάθε µη τετριµµένη απόλυτη τιµή δεν είναι ϕραγµένη. Από το ϑεώρηµα του Ostrowski συµπεραίνουµε ότι η 0 είναι ισοδύναµη είτε µε την p αδική απόλυτη τιµή (σε αυτή την περίπτωση η 1 είναι µη αρχιµήδεια), είτε µε την συνηθισµένη απόλυτη τιµή (σε αυτή την περίπτωση η 1 είναι αρχιµήδεια). Συµβολίζουµε µε M K το σύνολο όλων των κλάσεων απολύτων τιµών του σώµατος K ως προς την ισοδυναµία απολύτων τιµών και µε MK το υποσύνολο του M K, που αποτελείται από τις κλάσεις των αρχιµήδειων απολύτων τιµών. Για κάθε ισοδύναµη κλάση υ M K συµβολίζουµε µε K υ την πλήρωση του K ως προς την υ. Τα στοιχεία (κλάσεις ισοδυναµίας) του M K λέγονται και ϑέσεις του K και κάθε ϑέση χαρακτηρίζεται αρχιµήδεια ή µη αρχιµήδεια ανάλογα µε το αν είναι κλάση ισοδυναµίας αρχιµήδειας ή µη αρχιµήδειας απόλυτης τιµής, αντιστοίχως. Το ϑεώρηµα του Ostrowski λέει, ουσιαστικά, ότι το M Q αποτελείται από τη ϑέση της συνήθους απόλυτης τιµής και από τις ϑέσεις των p-αδικών απολύτων τιµών, καθώς ο p διατρέχει όλους τους πρώτους. Άρα, για υ 0 M Q, το Q υ0 είναι το R είτε το Q p για κάποιον πρώτο p. Αν το K είναι επέκταση του αριθµητικού σώµατος K 0 και υ 0 M K0, υ M K, ο συµβολισµός υ υ 0 σηµαίνει ότι µία (άρα και κάθε) απόλυτη τιµή στη ϑέση υ είναι επέκταση (ως συνάρτηση ορισµένη στο K) κάποιας απόλυτης τιµής που ανήκει στη υ 0.

36 28 3 Ανισότητα Liouville - Κάτω ϕράγµα της ορίζουσας Αν υ M K και υ υ 0 µε υ 0 M Q, τότε τον ϐαθµό d υ := [K υ : Q υ0 ] ορίζουµε ως ϐαθµό της υ ως προς τη συγκεκριµένη υ 0 ή, απλώς, ϐαθµό της υ αν είναι σαφές ποια είναι η ϑέση υ Αρχιµήδειες απόλυτες τιµές Εστω K = Q(α) αριθµητικό σώµα ϐαθµού n και f το ανάγωγο πολυώνυµο του α υπέρ το Q, το οποίο γράφοµε ως f(x) = a 0 X n + a n 1 X + a n Z[X], (a 0, a 1,..., a n ) = 1. Εστω r 1 το πλήθος των πραγµατικών ϱιζών και r 2 το πλήθος των Ϲευγών των συζυγών µιγαδικών ϱιζών του f, οπότε n = r 1 + 2r 2. Τις ϱίζες αυτές συµβολί- Ϲουµε α (1),..., α (r 1) (πραγµατικές), α (r 1+1), α (r 1+1),..., α (r 1+r 2 ), α (r 1+r 2 ) (µιγαδικές). Υπάρχουν ακριβώς n µονοµορφικές εµφυτεύσεις σωµάτων K C, συµ- ϐολιζόµενες σ 1,..., σ r1, σ r1 +1, σ r1 +1,... σ r1 +r 2, σ r1 +r 2, οι οποίες χαρακτηρίζονται από τις τιµές τους στο α: σ j (α) = α (j), 1 j r 1 + r 2, σ j (α) = α (j), r j r 1 + r 2. Σε κάθε εµφύτευση σ : K C, αντιστοιχεί µια απόλυτη τιµή σ η οποία ορίζεται ως εξής : x σ = σ(x), 1 για x K. Αποδεικνύεται ότι, µε αυτόν τον τρόπο παίρνουµε όλες (κατά προσέγγιση ισοδυναµίας απολύτων τιµών) τις αρχιµήδειες απόλυτες τιµές του K (όλες είναι επεκτάσεις της συνηθισµένης απόλυτης τιµής του Q στο K). Τη ϑέση της σ συµβολίζουµε υ σ M K και, σύµφωνα µε τα παραπάνω, κάθε υ MK ταυτίζεται µε κάποια υ σ. Κάνουµε τώρα την εξής σύµβαση : Οταν για κάποια υ MK γράφουµε υ, εννοούµε ότι αυτή η απόλυτη τιµή είναι µία από τις r 1 + r 2 απόλυτες τιµές σi για κάποιο i {1,..., r 1 + r 2 }. Αν σ = σ j για κάποιο j {1,..., r 1 }, τότε σ(k) R, άρα K υσ = R. Η εµφύτευση σ και η ϑέση υ σ χαρακτηρίζονται τότε πραγµατικές. Αν σ = σ j ή σ j για κάποιο j {r 1 + 1,..., r 1 + r 2 }, τότε K υσ = C και η εµφύτευση σ, καθώς και η ϑέση υ σ χαρακτηρίζονται µιγαδικές. Στην περίπτωση, που µελετούµε, είναι d υ = [K υ : R], οπότε { 1, αν υ = υσ για κάποια πραγµατική εµφύτευση σ, d υ = 2, αν υ = υ σ για κάποια µιγαδική εµφύτευση σ 1 Με εννούµε το συνηθισµένο µέτρο µιγαδικού αριθµού στο C του οποίου ο περιορισµός στο R είναι η συνηθισµένη απόλυτη τιµή

37 3.2 Απόλυτες τιµές σε αριθµητικό σώµα 29 και, συνεπώς, υ M K,υ υ 0 d υ = [K : Q] όταν υ 0 είναι η συνήθης απόλυτη τιµή του Q. (3.1) Επίσης, σύµφωνα µε τα παραπάνω, υ M K α dυ υ = n α (i) = a n, a 0 i=1 οπότε και υ M K n max{1, α υ } d υ = max{1, α (i) }. i= Μη αρχιµήδειες απόλυτες τιµές Εστω K, α, n, f, M K, MK όπως στην υποενότητα και p ϱητός πρώτος. Χρησιµοποιούµε, επίσης, τον εξής γενικό συµβολισµό. Για κάθε πρώτο ιδεώδες του K και για κάθε x K ορίζουµε την -αδική αποτίµηση ν (x) του x ως τον ακέραιο µε τον οποίον εµφανίζεται το στην κανονική ανάλυση σε πρώτα ιδεώδη του ιδεώδους x. Επεκτείνοντας την -αδική αποτίµηση και στο 0, ορίζουµε ν (0) =. Επίσης, µε e και d συµβολίζουµε, αντιστοίχως, τον δείκτη διακλάδωσης και τον ϐαθµό αδρανείας του. Η έννοια της -αδικής αποτίµησης στο K επεκτείνει την έννοια της p-αδικής αποτίµησης στο Q, που ορίσθηκε στην ενότητα 3.1, και σχετίζεται µε αυτήν ως εξης : ν (x) = e ν p (x) για x Q. Το f, αν και ανάγωγο πάνω από το Q, δεν είναι, εν γένει, ανάγωγο πάνω από το Q p. Εστω, λοιπόν, f(x) = g 1 (X) g m (X), g i (X) Q p [X] ανάγωγο (i = 1,..., m). (3.2) Τα g i είναι διαφορετικά µεταξύ τους (µ άλλα λόγια, το f δεν έχει πολλαπλές ϱίζες πάνω από το Q p ) και έστω ότι d i είναι ο ϐαθµός του g i (i = 1,..., m). Θέτουµε, επίσης K i = Q p (α i ), όπου g i (α i ) = 0. Κάθε x = c 0 + c 1 α + + c n 1 α n 1 Q(α) = K αντιστοιχεί στο x i K i, που προκύπτει όταν το α στην έκφραση του x αντικατασταθεί από το α i. Ακόµη ακριβέστερα, η αντιστοιχία αυτή είναι µονοµορφική εµφύτευση σωµάτων K K i, οπότε ϐλέπουµε στο εξής τα K i ως επεκτάσεις όχι µόνο του Q p, αλλά και του K. Είναι πολύ σηµαντικό ότι η ανάλυση του f σε ανάγωγα πολυώνυµα του Q p [X] έχει στενή σχέση µε την ανάλυση του ιδεώδους p σε πρώτα ιδεώδη του K. Συγκεκριµένα, έχουµε µια κανονική ανάλυση σε πρώτα ιδεώδη p = e 1 1 e m m, (3.3)

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι. 1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX 1.7 διαταξεις (σελ. 17) Παράδειγµα 1 Θα πρέπει να κάνουµε σαφές ότι η επιλογή των λέξεων «προηγείται» και «έπεται» δεν έγινε απλώς για λόγους αφαίρεσης. Μπορούµε δηλαδή να ϐρούµε διάφορα παραδείγµατα στα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σελίδα από 58 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 9. Ορισμοί... 9. Ιδιότητες... 9. Θεώρημα Cayley-Hamlto...9 9.. Εφαρμογές του Θεωρήματος Cayley-Hamlto... 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυμο...40 Ασκήσεις του Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί.

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί. Κεφάλαιο : ιατάξεις και Συνδυασµοί. Περιεχόµενα Εισαγωγή Βασική αρχή απαρίθµησης ιατάξεις µε και χωρίς επανατοποθέτηση Συνδυασµοί Ασκήσεις Εισαγωγή Μέχρι το τέλος αυτού του κεφαλαίου ϑα ϑεωρούµε πειράµατα

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Κεφάλαιο Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων και Πίνακες Εισαγωγή στα Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων Η µελέτη των συστηµάτων γραµµικών εξισώσεων και των λύσεών τους είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Πίνακες. χρησιµοποιώντας µόνο την ακόλουθη διάταξη αριθµών 1 1 2 1 2 5 1 0

Κεφάλαιο 3 Πίνακες. χρησιµοποιώντας µόνο την ακόλουθη διάταξη αριθµών 1 1 2 1 2 5 1 0 Σελίδα από 53 Κεφάλαιο 3 Πίνακες Περιεχόµενα 3 Ορισµοί Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 3 3 Πράξεις µε Πίνακες Πρόσθεση Πινάκων Πολλαπλασιασµός Πίνακα µε Αριθµό Πολλαπλασιασµός Πινάκων ιωνυµικό Ανάπτυγµα

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών

Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών Μαρίνα Χαραλαµπίδου Τµήµα Μαθηµατικών Τοµέας Αλγεβρας και Γεωµετρίας Πανεπιστηµίο Αθηνών Σεµινάριο Τοµέα Αλγεβρας και Γεωµετρίας 11/12/2012 1 / 47 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι. Θεωρητικα Θεµατα

Αλγεβρικες οµες Ι. Θεωρητικα Θεµατα Αλγεβρικες οµες Ι Θεωρητικα Θεµατα Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html 4 εκεµβρίου 2012

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 16 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 16 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία (Θεώρ Frmat) σχολικό βιβλίο σελ 6-6 Α Θεωρία (Ορισµός) σχολικό βιβλίο σελ 8 Α3 ΘΕΜΑ Β α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ B Έχουµε από υπόθεση

Διαβάστε περισσότερα

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών Συµπληρωµατικές σηµειώσεις για το µάθηµα Αλγόριθµοι Επικοινωνιών Ακαδηµαϊκό έτος 2011-2012 1 Εισαγωγή Οι παρακάτω σηµειώσεις παρουσιάζουν την ανάλυση του άπληστου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια Αριθµων. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος

Θεωρια Αριθµων. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Θεωρια Αριθµων Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html 25 Μαιου 2013 2

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στους πραγµατικούς και µιγαδικούς αριθµούς

Σηµειώσεις στους πραγµατικούς και µιγαδικούς αριθµούς Σηµειώσεις στους πραγµατικούς και µιγαδικούς αριθµούς Τα βασικά αριθµητικά σύνολα Οι πρώτοι αριθµοί που διδάσκεται ο µαθητής στο δηµοτικό σχολείο είναι οι φυσικοί αριθµοί Αυτοί είναι οι 0,,,, 4, κτλ Το

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Η Υποθεση του Riemann

Η Υποθεση του Riemann Η Υποθεση του Riemann Πτυχιακη Εργασια Νικολεντζος Πολυχρονης Α.Μ.: 311/2003066 Εισηγητης : Κοντογεωργης Αριστειδης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Αιγαιου Καρλοβασι, 2008 Εξεταστικη Επιτροπη: Ανούσης

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 1. Γραµµικές Απεικονίσεις

Κεφάλαιο 8 1. Γραµµικές Απεικονίσεις Σελίδα 1 από 9 Κεφάλαιο 8 1 Γραµµικές Απεικονίσεις Τα αντικείµενα µελέτης της γραµµικής άλγεβρας είναι σύνολα διανυσµάτων που χαρακτηρίζονται µε την αλγεβρική δοµή των διανυσµατικών χώρων. Όπως λοιπόν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1.

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: Οι Εξισώσεις Διαφορών (ε.δ.) είναι εξισώσεις που περιέχουν διακριτές αλλαγές και διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων Εμφανίζονται σε μαθηματικά μοντέλα, όπου η μεταβλητή παίρνει

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή και ανάλυση ευαισθησίας προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού. υϊκότητα. Παραδείγµατα.

Εισαγωγή και ανάλυση ευαισθησίας προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού. υϊκότητα. Παραδείγµατα. Η ανάλυση ευαισθησίας και η δυϊκότητα είναι σηµαντικά τµήµατα της θεωρίας του γραµµικού προγραµµατισµού και εν γένει του µαθηµατικού προγραµµατισµού, αφού αφορούν την ανάλυση των προτύπων και την εξαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Έστω fµια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το Α. Το σύνολο των τιµών της είναι f( A) { R = υπάρχει (τουλάχιστον) ένα A : f () = }. Ο προσδιορισµός του συνόλου τιµών f( A) της

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Δραστηριότητα για τους µαθητές µε το κόσκινο του Ερατοσθένη:.. (και άσκηση 10 σελ. 219 «Η φύση και η δύναµη των µαθηµατικών»)

Δραστηριότητα για τους µαθητές µε το κόσκινο του Ερατοσθένη:.. (και άσκηση 10 σελ. 219 «Η φύση και η δύναµη των µαθηµατικών») Πρώτοι αριθµοί: Τι µας λέει στο βιβλίο (σελ.25-26): 1. Μου αρέσουν οι πρώτοι αριθµοί, γι αυτό αρίθµησα µε πρώτους τα κεφάλαια. Οι πρώτοι αριθµοί είναι αυτό που αποµένει όταν αφαιρέσεις όλα τα στερεότυπα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 9 40 4 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 4 4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρείτε την αριθµητική τιµή των παραστάσεων. i) α -α 6α, ii) 4α, για α iii) αβ α β (αβ),

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα

ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Παρουσίαση εργασίας φοιτητή (x,a) 1) (xy)a=x(ya) x,y G και a A 1) a(xy)=(ax)y 2) ae=a

ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Παρουσίαση εργασίας φοιτητή (x,a) 1) (xy)a=x(ya) x,y G και a A 1) a(xy)=(ax)y 2) ae=a ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Ν. Λυγερός Παρουσίαση εργασίας φοιτητή Θα µιλήσουµε για το θεώρηµα του Lagrange. Αλλά προτού φτάσουµε εκεί, θα ήθελα να εισάγω ορισµένες έννοιες που θα µας

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 Συνεχή Κλάσματα Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 5 Νοεμβρίου 204 Ορισμός και ιδιότητες: Ορισμός: Έστω a 0, a, a 2,...a n ανεξάρτητες μεταβλητές, n N σχηματίζουν την ακολουθία {[a 0, a,..., a n ] : n N} όπου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( )

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( ) ΚΕΦΑΛΑΙ 6 ΕΥΘΕΙΑ-ΕΠΙΠΕ 6 Γεωµετρικοί τόποι και εξισώσεις στο χώρο Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών ρισµός 6 Θεωρούµε τη συνάρτηση F:Α,

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 1: Εισαγωγή Ασκήσεις και Λύσεις

Ενότητα 1: Εισαγωγή Ασκήσεις και Λύσεις Ενότητα 1: Εισαγωγή Ασκήσεις και Λύσεις Άσκηση 1 Αποδείξτε τη µεταβατική και τη συµµετρική ιδιότητα του Θ. Λύση Μεταβατική Ιδιότητα (ορισµός): Αν f(n) = Θ(g(n)) και g(n) = Θ(h(n)) τότε f(n)=θ(h(n)). Για

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας.

Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας. Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας. Περιεχόµενα ιακριτές τυχαίες µεταβλητές Συνεχείς τυχαίες µεταβλητές Μέση τιµή τυχαίων µεταβλητών Ροπές, διασπορά, και τυπική απόκλιση τυχαίων µεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss 4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Θεωρούµε το γραµµικό σύστηµα α 11χ 1 + α 12χ 2 +... + α 1νχ ν = β 1 α 21χ 1 + α 22χ2 +... + α 2νχ ν = β 2... α ν1χ 1 + α ν2χ 2 +... + α ννχ ν = β ν Το οποίο µπορεί να γραφεί

Διαβάστε περισσότερα

= (1, 0,1, 0) είναι γραµµικά ανεξάρτητα

= (1, 0,1, 0) είναι γραµµικά ανεξάρτητα ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Θέµα α) (µ) Θεωρούµε ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 7 Ιουλίου 3 (διάρκεια: 3 ώρες

Διαβάστε περισσότερα

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95 Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας Θ. Κεχαγιας Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95 Περιεχόµενα Εισαγωγη 1 Επιπεδα στον Τρισδιαστατο Χωρο 1 1.1 Θεωρια.................................... 1 1.2 Λυµενες Ασκησεις..............................

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Όταν το χ τότε το. στο,µπορούµε να θεωρήσουµε ότι το

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Όταν το χ τότε το. στο,µπορούµε να θεωρήσουµε ότι το ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ Όταν στα µαθηµατικά λέµε ότι το τείνει στο και συµβολίζεται, εννοούµε ότι οι τιµές προσεγγίζουν την τιµή, είτε µε από τιµές µικρότερες του δηλ από αριστερά του, είτε από τιµές µεγαλύτερες

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΥΠΟΓΡΑΦΕΣ

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΥΠΟΓΡΑΦΕΣ KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΥΠΟΓΡΑΦΕΣ 1 Γενικά Η ψηφιακή υπογραφή είναι µια µέθοδος ηλεκτρονικής υπογραφής όπου ο παραλήπτης ενός υπογεγραµµένου ηλεκτρονικού µηνύµατος µπορεί να διαπιστώσει τη γνησιότητα του,

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα

ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα 1 Λυµένες Ασκήσεις Ασκηση 1 Στρίβουµε ένα νόµισµα δύο ϕορές. Υποθέτοντας ότι και τα τέσσερα στοιχεία του δειγµατοχώρου Ω {(K, K, (K, Γ, (Γ, K, (Γ, Γ} είναι ισοπίθανα, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες)

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) Θέμα 1 Θέματα A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) B. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: i) Ο βαθμός του υπολοίπου της διαίρεσης P(x)

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΤΕ ΙΣΧΥΕΙ Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΔΡΑΣΕΩΣ. φυσικό σύστηµα; Πρόκειται για κίνηση σε συντηρητικό πεδίο δυνάµεων;

ΠΟΤΕ ΙΣΧΥΕΙ Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΔΡΑΣΕΩΣ. φυσικό σύστηµα; Πρόκειται για κίνηση σε συντηρητικό πεδίο δυνάµεων; ΠΟΤΕ ΙΣΧΥΕΙ Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΔΡΑΣΕΩΣ Είδαµε ότι η φυσική κίνηση ενός σωµατιδίου σε συντηρητικό πεδίο ικανοποιεί την αρχή ελάχιστης δράσης του Hamilton µε Λαγκρανζιανή, όπου η κινητική ενέργεια του

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Το φάσµα ενός χρονικά εξαρτώµενου σήµατος µας πληροφορεί πόσο σήµα έχουµε σε µία δεδοµένη συχνότητα. Έστω µία συνάρτηση µίας µεταβλητής, τότε από το θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ιατηρητικές δυνάµεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ιατηρητικές δυνάµεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ιατηρητικές δυνάµεις Στο υποκεφάλαιο.4 είδαµε ότι, για µονοδιάστατες κινήσεις στον άξονα x, όλες οι δυνάµεις της µορφής F F(x) είναι διατηρητικές. Για κίνηση λοιπόν στις τρεις διαστάσεις, µπορούµε

Διαβάστε περισσότερα

Τα είδη της κρούσης, ανάλογα µε την διεύθυνση κίνησης των σωµάτων πριν συγκρουστούν. (α ) Κεντρική (ϐ ) Εκκεντρη (γ ) Πλάγια

Τα είδη της κρούσης, ανάλογα µε την διεύθυνση κίνησης των σωµάτων πριν συγκρουστούν. (α ) Κεντρική (ϐ ) Εκκεντρη (γ ) Πλάγια 8 Κρούσεις Στην µηχανική µε τον όρο κρούση εννοούµε τη σύγκρουση δύο σωµάτων που κινούνται το ένα σχετικά µε το άλλο.το ϕαινόµενο της κρούσης έχει δύο χαρακτηριστικά : ˆ Εχει πολύ µικρή χρονική διάρκεια.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Στις φυσικές επιστήµες για να λύσουµε προβλήµατα ακολουθούµε συνήθως τα εξής βήµατα: 1. Μαθηµατική διατύπωση. Για να διατυπώσουµε µαθηµατικά ένα πρόβληµα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

ιανύσµατα στον 2-διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο

ιανύσµατα στον 2-διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο Κεφάλαιο 3 ιανύσµατα στον -διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο 3.1 Εισαγωγή στα ιανύσµατα (Γεωµετρική) Πολλές ϕυσικές ποσότητες, όπως το εµβαδόν, το µήκος, η µάζα και η ϑερµοκρασία, περιγράφονται πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ Τρισδιάστατες κινήσεις Οι µονοδιάστατες κινήσεις είναι εύκολες αλλά ζούµε σε τρισδιάστατο χώρο Θα δούµε λοιπόν τώρα πως θα αντιµετωπίζοµε την κίνηση υλικού σηµείου στις τρεις διαστάσεις Ας θεωρήσοµε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ http://www.economics.edu.gr 1 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ( τρόποι επίλυσης παρατηρήσεις σχόλια ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ο πίνακας παραγωγικών δυνατοτήτων µιας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

1 Απλή Αρµονική Ταλάντωση

1 Απλή Αρµονική Ταλάντωση ,Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Καραδηµητρίου Ε. Μιχάλης http://perifysikhs.wordpress.com mixalis.karadimitriou@gmail.com Πρόχειρες Σηµειώσεις 2011-2012 1 Απλή Αρµονική Ταλάντωση 1.1 Περιοδικά Φαινόµενα

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ.

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. Ν. Ε. Ηλιού Επίκουρος Καθηγητής Τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστηµίου Θεσσαλίας Γ.. Καλιαµπέτσος Επιστηµονικός

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΛΙΟ Ο ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ. Εισαγωγή Στην Θεωρία Πιθανοτήτων, ξεκινάµε από το λεγόµενο πείραµα δηλαδή µια διαδικασία η οποία µπορεί να επαναληφθεί θεωρητικά άπειρες φορές, κάτω από τις ίδιες ουσιαστικά συνθήκες,

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Πρόβληµα, Στιγµιότυπο, Αλγόριθµος Εργαλεία εκτίµησης πολυπλοκότητας: οι τάξεις Ο(n), Ω(n), Θ(n) Ανάλυση Πολυπλοκότητας Αλγορίθµων

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

«ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ»

«ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο «ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» ΜΠΙΘΗΜΗΤΡΗ ΒΑΣΙΛΙΚΗ ΣΤΕΛΛΑ Επιβλέπουσα: Αν. Καθηγήτρια

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 4. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε διάστηµα, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

Μια οµάδα m σηµείων προσφοράς. Μια οµάδα n σηµείων ζήτησης. Οτιδήποτε µετακινείται απο σηµείο προσφοράς σε σηµείο ζήτησης είναι συνάρτηση κόστους.

Μια οµάδα m σηµείων προσφοράς. Μια οµάδα n σηµείων ζήτησης. Οτιδήποτε µετακινείται απο σηµείο προσφοράς σε σηµείο ζήτησης είναι συνάρτηση κόστους. Να βρεθεί ΠΓΠ ώστε να ελαχιστοποιηθεί το κόστος µεταφοράς (το πρόβληµα βασίζεται σε αυτό των Aarik και Randolph, 975). Λύση: Για κάθε δυϊλιστήριο i (i=, 2, ) και πόλη j (j=, 2,, 4), θεωρούµε την µεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Σχέσεις Αναδρομής Γραμμικές Σχέσεις Αναδρομής με σταθερούς συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ 6.. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Για τον υπολογισµό των τάσεων και των παραµορφώσεων ενός σώµατος, που δέχεται φορτία, δηλ. ενός φορέα, είναι βασικό δεδοµένο ή ζητούµενο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 7 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α.1 Αν z 1, z είναι µιγαδικοί αριθµοί, να αποδειχθεί ότι: z 1 z = z 1 z. Α. Πότε δύο συναρτήσεις f, g λέγονται ίσες; Μονάδες 4 Α.3 Πότε η ευθεία y

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Πολυράκης Καθηγητής ΕΜΠ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ και Θεωρία Γενικής Ισορροπίας στην Οικονοµία ΑΘΗΝΑ 2009 2 Περιεχόµενα 1 Εισαγωγή 7 1.1 Η δυϊκότητα αγαθών-τιµών.................. 8 1.1.1 Λήψη αποφασεων...................

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 6. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός της συνάρτησης Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β λέγεται µια διαδικασία (κανόνας τρόπος ), µε την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟ φροντιστήριο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµα ο κ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Α. ώστε τον ορισµό της υπερβολής και γράψτε τις εξισώσεις των ασύµπτωτων της ( C ): (Μονάδες 9) α β Β. Να διατυπώσετε τέσσερις

Διαβάστε περισσότερα