Γραµµικες Μορφες Λογαριθµων Αλγεβρικων Αριθµων και Εφαρµογες

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Γραµµικες Μορφες Λογαριθµων Αλγεβρικων Αριθµων και Εφαρµογες"

Transcript

1 Γραµµικες Μορφες Λογαριθµων Αλγεβρικων Αριθµων και Εφαρµογες Νικόλαος Κατσίπης Μεταπτυχιακή Εργασία Επιβλέπων Καθηγητής Ν.Γ. Τζανάκης Τµήµα Μαθηµατικών - Πανεπιστήµιο Κρήτης Φθινοπωρινό εξάµηνο 2007 έκδοση

2 ii Η µεταπτυχιακή αυτή εργασία κατατέθηκε στο Τµήµα Μαθηµατικών της Σχολής Θετικών και Τεχνολογικών Επιστηµών του Πανεπιστηµίου Κρήτης τον Οκτώ- ϐριο του Την επιτροπή αξιολόγησης αποτέλεσαν οι : Γιάννης Αντωνιάδης Μιχάλης Κουλουντζάκης Νίκος Τζανάκης.

3 Περιεχόµενα Πρόλογος i 1 Εισαγωγή Ιστορική επισκόπηση Θεώρηµα του Baker. Ισοδύναµη διατύπωση Φράγµατα της απόστασης γινοµένου ακεραίων από το Περιγραφή της απόδειξης Η ιδέα της απόδειξης Θεώρηµα Gelfond - Schneider για πραγµατικούς αριθµούς Ανισότητα Liouville - Κάτω ϕράγµα της ορίζουσας p αδικές απόλυτες τιµές υπέρ το Q Απόλυτες τιµές σε αριθµητικό σώµα Αρχιµήδειες απόλυτες τιµές Μη αρχιµήδειες απόλυτες τιµές Ο τύπος του γινοµένου σε αριθµητικό σώµα Απόλυτο λογαριθµικό ύψος (Weil) Ανισότητες του Liouville Κάτω ϕράγµα για την ορίζουσα Κάτω ϕράγµα για το ύψος Ανω ϕράγµα της ορίζουσας Εφαρµογή του λήµµατος του Schwarz Πολλαπλότητα της ϱίζας z = 0 της συνάρτησης Ψ Κάτω ϕράγµα για το Θ n (L) Άνω ϕράγµα της ορίζουσας Γραµµική εξάρτηση των 1, β 1,..., β n Το κύριο αποτέλεσµα iii

4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εκτίµηση του συνόλου ϱιζών Απαλοιφή της µεταβλητής Y Η απόδειξη του ϑεωρήµατος του Baker Κάτω ϕράγµα για οµογενείς γραµµικές µορφές λογαρίθµων Παρουσίαση του ϕράγµατος - Περιγραφή της απόδειξης Υπερβατικό µέρος της απόδειξης Γραµµική ανεξαρτησία των συντελεστών Γραµµική εξάρτηση των λογαρίθµων Η εξίσωση του Thue Ιστορικά σχόλια Η κατασκευαστική απόδειξη Αʹ Παράρτηµα 171 Αʹ.1 Συνδυαστικό επιχείρηµα Αʹ.2 Μιγαδικές συναρτήσεις µιας µεταβλητής Αʹ.3 Σχόλια στα Αριθµητικά Σώµατα Αʹ.4 Μέτρο του Mahler Αʹ.5 Μια σχέση µεταξύ υψών Αʹ.6 Συναρτήσεις πολλών µιγαδικών µεταβλητών Αʹ.7 Σχόλια στην Αλγεβρική Γεωµετρία Αʹ.8 Ενα σχόλιο για την γραµµική ανεξαρτησία των l 1,..., l n+1 L 192 Αʹ.9 Απαλείφουσα δύο πολυωνύµων Αʹ.10Υπολογιστικά επιχειρήµατα Αʹ.11Θεώρηµα Γραµµικών µορφών Minkowski Βιβλιογραφία 203 Ευρετήριο 209

5 2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

6 Πρόλογος Υπερβατικός αριθµός είναι ένας µιγαδικός αριθµός, ο οποίος δεν είναι αλγεβρικός, δηλαδή, δεν είναι ϱίζα µη µηδενικού πολυωνύµου µε ακέραιους συντελεστές. Ο πρώτος υπερβατικός αριθµός κατασκευάστηκε το 1844 από τον J. Liouville, ο οποίος απέδειξε πρώτα ότι κάθε αλγεβρικός αριθµός α ικανοποιεί την εξής ιδιότητα (ϑεώρηµα του Liouville): Αν ο ϐαθµός του αλγεβρικού αριθµού α είναι d, τότε υπάρχει ϑετική σταθερά C, εξαρτώµενη µόνο από τον α, τέτοια ώστε α p q C q d, για οποιουσδήποτε ακεραίους p, q µε q > 0. Ο αριθµός που κατασκεύσε ο Liouville ήταν ο ξ = 10 n!, n=1 ο οποίος και ονοµάστηκε αριθµός του Liouville. Υστερα, το 1873 ο C. Hermite απέδειξε ότι ο e είναι υπερβατικός το ότι είναι άρρητος είχε αποδειχθεί από τον L. Euler πολύ ενωρίτερα, το Το 1874 ο G. Cantor απέδειξε µε συνολοθεωρητικά επιχειρήµατα το ότι σχεδόν όλοι οι µιγαδικοί αριθµοί είναι υπερβατικοί. Πρόκειται για ϑεώρηµα ύπαρξης, όχι κατασκευαστικό ϑεώρηµα. Λίγο αργότερα, το 1882, ο F. von Lindemann απέδειξε την υπερβατικότητα του π, δίνοντας και την τελειωτική -αρνητική- απάντηση στο ερώτηµα, που έθεσαν πρώτοι οι αρχαίοι Ελληνες, περί του τετραγωνισµού του κύκλου. Το 1900, ο D. Hilbert, στο διεθνές συνέδριο Μαθηµατικών στο Παρίσι, έθεσε τα 23 διάσηµα έκτοτε προβλήµατα, το έβδοµο εκ των οποίων είναι το εξής : Πότε ο α β, για α αλγεβρικό 0, 1 και β άρρητο, είναι υπερ- ϐατικός ; i

7 ii ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το παραπάνω ερώτηµα µπορεί να διατυπωθεί µε πολλούς ισοδύναµους τρόπους. Μπορούµε λοιπόν, να ϑέσουµε την παραπάνω ερώτηση και ως εξής : πότε ένας άρρητος λογάριθµος αλγεβρικού αριθµού µε ϐάση αλγεβρικό αριθµό είναι υπερ- ϐατικός ; ή αλλιώς, πότε ένα πηλίκο ϕυσικών λογάριθµων αλγεβρικών αριθµών είναι υπερβατικός ; Σχολιάζοντας τότε το 7ο πρόβληµα, ο D. Hilbert εξεφρασε την πεποίθηση του ότι δεν ϑα λυνόταν πριν την υπόθεση του Riemann ή πριν την απόδειξη του ϑεωρήµατος του Fermat. Το 7ο πρόβληµα όµως δεν άργησε να λυθεί. Το 1934, οι A.O. Gelfond και Th. Schneider, ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλο, απέδειξαν το εξής ϑεώρηµα : Για κάθε µη µηδενικούς αλγεβρικούς αριθµούς α 1, α 2, β 1, β 2 µε log α 1, log α 2 γραµµικώς ανεξάρτητους υπέρ το Q, ισχύει ότι β 1 log α 1 + β 2 log α 2 0. Το ϑεώρηµα αυτό λύνει το 7ο πρόβληµα του Hilbert. Εκείνη τη χρονική περίοδο διατυπώθηκε και η εικασία ότι το ϑεώρηµα των Gelfond-Schneider ισχύει για περισσότερους από δύο λογάριθµους, η οποία και αποδείχθηκε το 1966 από τον A. Baker. Συγκεκριµένα, ο Baker απέδειξε αυτό που σήµερα είναι γνωστό ως Θεώρηµα του Baker (οµογενής περίπτωση): Η γραµµική ανεξαρτησία των log α 1,..., log α n υπέρ το Q συνεπάγεται τη γραµµική ανεξαρτησία τους υπέρ το Q. Λίγο αργότερα, ο A. Baker απέδειξε και τη µη οµογενή περίπτωση : Η γραµµική ανεξαρτησία των log α 1,..., log α n υπέρ το Q συνεπάγεται τη γραµµική ανεξαρτησία των 1, log α 1,..., log α n υπέρ το Q. Περαιτέρω, ο A. Baker πέτυχε να δώσει µη τετριµµένα κάτω ϕράγµατα για τις απόλυτες τιµές µη µηδενικών οµογενών και µη οµογενών γραµµικών µορφών λογαρίθµων αλγεβρικών αριθµών. Η µέθοδός του κάνει χρήση ϐοηθητικής συνάρτησης πολλών µεταβλητών, η οποία έχει µηδενικές ϑέσεις σε κάποια προδιαγεγραµµένα σηµεία και µάλιστα µε κατάλληλα µεγάλη πολλαπλότητα. Ετσι υπεισέρχονται υπολογισµοί και εκτιµήσεις των παραγώγων κατάλληλα µεγάλης τάξεως της ϐοηθητικής συνάρτησης. Σε αυτή την εργασία : 1. Αποδεικνύεται η οµογενής περίπτωση του ϑεωρήµατος του A. Baker. 2. Αποδεικνύεται συγκεκριµένο κάτω ϕράγµα για την απόλυτη τιµή των οµογενών γραµµικών µορφών β 1 log α β n log α n, µε α i, β i αλγεβρικούς αριθµούς, όταν αυτή δεν είναι µηδέν.

8 iii 3. Εφαρµόζεται το προηγούµενο ϕράγµα στην επίλυση της εξίσωσης Thue. Η απόδειξη που ϑα παρουσιάσουµε (κεφάλαια 2 έως 6), διαφέρει σηµαντικά από εκείνη του Baker. Βασίζεται στην ιδέα του M. Laurent να χρησι- µοποιήσει, αντί της ϐοηθητικής συνάρτησης, µια ορίζουσα κατάλληλα µεγάλου µεγέθους, της οποίας τα στοιχεία είναι τιµές κάποιων συναρτήσεων σε προδιαγεγραµµένα σηµεία. Συγκεκριµένα, προκύπτει ότι η απόλυτη τιµή της ορίζουσας δεν είναι πολύ µεγάλη (κεφάλαιο 4). Αλλά από την άλλη, η γενίκευση της κλασικής ανισότητας του Liouville (κεφάλαιο 3) συνεπάγεται ότι, η αν η ορίζουσα δεν είναι µηδέν, τότε δεν µπορεί να είναι πολύ µικρή. Για κατάλληλες τιµές των παραµέτρων οι οποίες υπεισέρχονται στην ορίζουσα, τα προαναφερθέντα άνω και κάτω ϕράγµατα είναι αντιφατικά, οπότε προκύπτει το συµπέρασµα ότι η ορίζουσα είναι µηδέν. Ο µηδενισµός της ορίζουσας χρησιµοποιείται κατάλληλα στο κεφάλαιο 5 για την κατασκευή πολυωνύµου n µεταβλητών, ελεγχόµενου ϐαθµού, το οποίο µηδενίζεται σε προδιαγεγραµ- µένα σηµεία. Από αυτό έπεται το συµπέρασµα ότι στον διανυσµατικό χώρο K n, όπου K = Q(α 1,..., α n, β 1,..., β n ), υπάρχει ένα διανυσµατικός υπόχωρος µε συγκεκριµένες ιδιότητες, αρκετά τεχνικές για να περιγραφούν εδώ. Στο κεφάλαιο 6 αποδεικνύεται ότι η ύπαρξη αυτού του διανυσµατικού υποχώρου οδηγεί στο συµπέρασµα του ϑεωρήµατος του A. Baker. Για την µετάβαση από τον µηδενισµό της ορίζουσας στην ύπαρξη του συγκεκριµένου πολυωνύµου και από αυτό στην ύπαρξη του διανυσµατικού υποχώρου απαιτούνται κάποια ϐασικά εργαλεία της κλασικής Αλγεβρικής Γεωµετρίας, µε χαρακτηριστικότερο, µια εκδοχή του ϑεωρήµατος του Bézout. Στο κεφάλαιο 7 ϑα επαναλάµβουµε κάποια σηµεία της απόδειξης του ϑεωρήµατος του Baker πιο σχολαστικά ως προς τις υπολογιστικές λεπτοµέρειες, για να άποδείξουµε ένα συγκεκριµένο κάτω ϕράγµα γραµµικών µορφών λογαρίθµων αλγεβρικών αριθµών. Το ϕράγµα που ϑα παρουσιάσουµε δεν είναι το καλύτερο δυνατό από τα ήδη γνωστά ϕράγµατα, αλλά είναι αρκετά χρήσιµο για την (υπολογιστική) λύση αρκετών διοφαντικών εξισώσεων. Μια εφαρµογή του συγκεκριµένου ϕράγµατος ϑα παρουσιάσουµε στο τελευταίο (8ο) κεφάλαιο αυτής της εργασίας, όπου ϑα υπολογίσουµε ένα άνω ϕράγµα για της ακέραιες λύσεις της διοφαντικής εξίσωσης του Thue. Ευχαριστώ τον καθηγητή Νικόλαο Τζανάκη για το αµέριστο ενδιαφέρον και την πολύτιµη καθοδήγηση που µου παρείχε καθ όλη τη διάρκεια της συγγραφής αυτής της εργασίας. Ευχαριστώ, επίσης, τους γονείς µου που µε στήριξαν µε κάθε τρόπο όλα αυτά τα χρόνια σε κάθε µου προσπάθεια. Νικόλαος. Κατσίπης Ηράκλειο, Οκτώβριος 2007

9 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή Συµβολίζουµε µε Q την αλγεβρική κλειστότητα του Q στο C. Οπότε το Q είναι το σώµα των αλγεβρικών αριθµών. Επίσης, έστω L το σώµα των λογαρίθµων των µη µηδενικών αριθµών, το οποίο είναι η αντίστροφη εικόνα της εκθετικής συνάρτησης από την πολλαπλασιαστική οµάδα Q. L = {l C : e l Q }. Είναι συχνά ϐολικότερο να γράφουµε l = log α, α αλγεβρικός αριθµός, αλλά για α Q το σύνολο των l µε α = e l είναι µια κλάση του C modulo 2πıZ. Το L είναι Q διανυσµατικός υπόχωρος του C. εν είναι όµως Q διανυσµατικός υπόχωρος, αφού αν l 1 L και α Q το α l δεν ανήκει εν γένει στο L. Θεώρηµα του Baker (Οµογενής περίπτωση 1 ) Η γραµµική ανεξαρτησία των l 1,..., l n L υπέρ το Q συνεπάγεται τη γραµµική τους ανεξαρτησία υπέρ το Q. Το ϑεώρηµα αυτό αποδείχθηκε το 1966 από τον Alan Baker, [3], [4], [5], [6]. 1.1 Ιστορική επισκόπηση Ο Euler στο ϐιβλίο του «Introductio to analysin infinitorum» [14], όρισε την εκθετική και λογαριθµική συνάρτηση και είπε : «Από αυτά που ήδη γνωρίζουµε, έχουµε ότι ο λογάριθµος ενός αριθµού δεν είναι ϱητός αριθµός εκτός και αν ο αριθµός αυτός είναι δύναµη της ϐάσης του λογαρίθµου. Οπότε, ο λογάριθµος ενός αριθµού b δεν µπορεί να εκφραστεί ως ϱητός αριθµός, εκτός αν ο b είναι δύναµη της ϐάσης a του λογαρίθµου. Στην 1 Ο Baker απέδειξε και τη µη οµογενή περίπτωση ϐλ. πρόλογο. 1

10 2 1 Εισαγωγή περίπτωση που ο b είναι δύναµη της ϐάσης a του λογαρίθµου, τότε ο λογάριθµος του b δεν µπορεί να είναι άρρητος. Αν ακόµα log a b = n, τότε a n = b, το οποίο είναι αδύνατο αν οι a, b είναι ϱητοί. Επιθυµούµε λοιπόν, να γνωρίζουµε λογαρίθµους ϱητών αριθµών, αφού έτσι µπορούµε να ϐρίσκουµε λογάριθµους κλασµάτων και άρρητων. Αφού οι λογάριθµοι αριθµών, οι οποίοι δεν είναι δύναµη της ϐάσης του λογαρίθµου, δεν είναι ούτε ϱητοί ούτε άρρητοι, είναι αυτό που ονοµάζουµε υπερβατικοί αριθµοί. Γι αυτό το λόγο οι λογάριθµοι λέγεται ότι είναι υπερβατικοί αριθµοί.» Αργότερα, το 1900, στο διεθνές συνέδρειο Μαθηµατικών στο Παρίσι, ο D. Hilbert έθεσε την παρακάτω ερώτηση ως το έβδοµο πρόβληµα Hilbert: Η έκφραση α β, όπου α αλγεβρικός αριθµός και β άρρητος αλγεβρικός αριθµός (για παράδειγµα 2 2, e π = ı 2ı ) πάντα παριστάνει ένα υπερβατικό αριθµό ή τουλάχιστον ένα άρρητο αριθµό. Το πρόβληµα αυτό λύθηκε το 1934 από τους A.O. Gelfond και Th. Schneider: Θεώρηµα Αν l 1, l 2 είναι Q γραµµικά ανεξάρτητα στοιχεία του L, τότε αυτά είναι και Q γραµµικά ανεξάρτητα. Αυτό σηµαίνει ότι το πηλίκο l 1 l2, l 1, l 2 L, l 1, l 2 0, είναι είτε ϱητός είτε υπερβατικός αριθµός. εν µπορεί να είναι ένας άρρητος αλγεβρικός αριθµός, όπως για παράδειγµα ο 2. Αυτό διότι : Αν l 1 l2 δεν είναι ϱητός αριθµός τότε προφανώς, l 1, l 2 είναι Q γραµµικά ανεξάρτητα, άρα (Gelfond - Schneider) είναι Q γραµµικά ανεξάρτητα. Αλλά τότε αποκλείεται να είναι l 1 l2 Q, δηλαδή l 1 l2 είναι υπερβατικός. Η σύνδεση του ϑεωρήµατος µε το 7ο πρόβληµα του Hilbert, µπορεί να διαπιστωθεί πιο εύκολα, αν διατυπώσουµε το παρακάτω ϑεώρηµα το οποίο είναι ισοδύναµο µε το Θεώρηµα Αν l και β είναι δύο µιγαδικοί αριθµοί µε l 0 και β όχι ϱητός, τότε ένας από τους e l, β και e β l είναι υπερβατικός. Θεώρηµα Θεώρηµα 1.1.2: Αν e l Q τότε l L. Αν β Q ϑα δείξουµε ότι ο e β l είναι υπερ- ϐατικός. Πράγµατι, αν δεν ήταν, τότε β l L. Αλλά τα β l, l είναι Q γραµµικά εξαρτηµένα. Άρα από ϑεώρηµα είναι και Q γραµµικά εξαρτηµένα. Άρα β Q. Άτοπο. Θεώρηµα Θεώρηµα 1.1.1: Εστω l 1, l 2 L και α 1 l 1 + α 2 l 2 = 0, α 1, α 2 Q. Τότε l 1 = β l 2, όπου β Q. Εχουµε ότι : e l 2 Q (αφού l 2 L), β Q και e β l 2 = e l 1 Q (αφού l 1 L). Άρα

11 1.1 Ιστορική επισκόπηση 3 από το ϑεώρηµα έχουµε αναγκαστικά ότι ο β Q. Άρα οι l 1, l 2 είναι Q γραµµικά εξαρτηµένοι. Η υπερβατικότητα του e π έπεται από το ϑεώρηµα αν πάρουµε l = 2πı και β = ı 2. Ο Gelfond στο ϐιβλίο του [15], αναφέρεται στη σηµασία που ϑα είχε µια γενίκευση του ϑεωρήµατος για περισσότερους από δύο λογαρίθµους. Αυτό το πρόβληµα, όπως αναφέραµε, λύθηκε το 1966 από τον Alan Baker. Από το ϑεώρηµα του Baker µπορούµε να συµπεράνουµε το εξής : Αν ένας αριθµός της µορφής : α β αβ n n = e (β 1 log α β n log α n ), ( α i 0, β i αλγεβρικοί αριθµοί), είναι αλγεβρικός, τότε είτε οι αριθµοί log α 1,..., log α n είναι όλοι µηδέν, είτε οι αριθµοί 1, β 1,..., β n είναι γραµµικά εξαρτηµένοι πάνω από το Q. Η παραπάνω παρατήρηση προκύπτει χρησιµοποιώντας τα παρακάτω τρία ϑεω- ϱήµατα (συγκεκριµένα το ϑεώρηµα ). Θεώρηµα Κάθε µη µηδενικός γραµµικός συνδυασµός στοιχείων του L µε αλγεβρικούς συντελεστές είναι υπερβατικός. Με άλλα λόγια, για οποιαδήποτε l 1,..., l n L και οποιουσδήποτε αλγεβρικούς αριθµούς β 0,..., β n µε β 0 0, έχουµε β 0 + β 1 l β n l n 0. Απόδειξη. Για n = 0 ισχύει. Υποθέτουµε ότι ισχύει για n < m, όπου n, m N και ϑα το αποδείξουµε για n = m. Εξετάζουµε δύο περιπτώσεις : (i) l 1,..., l m (ii) l 1,..., l m Q γραµµικά ανεξάρτητα. Q γραµµικά εξαρτηµένα. Οπότε (i) Αν l 1,..., l m είναι Q γραµµικά ανεξάρτητα τότε από το ϑεώρηµα του Baker(µη οµογενής περίπτωση) είναι και Q γραµµικά ανεξάρτητα, άρα έ- χουµε το Ϲητούµενο. (ii) Αν l 1,..., l m είναι Q γραµµικά εξαρτηµένα, τότε µπορούµε να υποθέσουµε ότι υπάρχουν ρ 1,..., ρ m Q, όχι όλα µηδέν, τέτοια ώστε : ρ 1 l ρ m l m = 0.

12 4 1 Εισαγωγή Αν, έστω, ρ r 0 (1 r m), τότε ρ r (β 0 + β 1 l β m l m ) = = ρ r (β 0 + β 1 l β m l m ) (ρ 1 l ρ m l m ) = = β 0 + β 1l β m l m, όπου β 0 = ρ r β 0 0, β j = ρ r β j ρ j β r, (1 j m). Αλλά στην τελευταία γραµµική µορφή λογαρίθµων το πλήθος των λογαρίθµων είναι, στην πραγµατικότητα, m 1, διότι β r = 0, άρα από την επαγωγική υπόθεση, η γραµµική µορφή είναι 0. Αλλά ρ r 0, οπότε β 0 + β 1 l β m l m 0. Θεώρηµα (Πόρισµα του ϑεωρήµατος 1.1.3) Αν β 0,..., β n l 1,..., l n L τότε β 0 + β 1 l β n l n / L. Απόδειξη. Σε αντίθετη περίπτωση, έστω : Q και β 0 + β 1 l β n l n = l n+1 L. β 1 l β n l n l n+1 = β 0 Οπότε, β 1 l β n l n l n+1 = µη µηδενικός αλγεβρικός αριθµός. Αυτό όµως έρχεται σε αντίθεση µε το ϑεώρηµα Θεώρηµα Αν l 1,..., l n L και β 1,..., β n Q µε τους 1, β 1,..., β n γραµµικά ανεξάρτητους, τότε Q β 1 l β n l n / L. Απόδειξη. Αν β 1 l β n l n = l n+1 L, τότε β 1 l β n l n + ( 1)l n+1 = 0. Άρα, αρκεί να δείξουµε ότι για κάθε l 1,..., l k L και κάθε β 1,..., β k Q Q γραµµικά ανεξάρτητους, έχουµε ότι β 1 l β k l k 0. Για k = 1 ισχύει. Υποθέτουµε ότι ισχύει για k < m και ϑα δείξουµε ότι ισχύει και για k = m.

13 1.2 Θεώρηµα του Baker. Ισοδύναµη διατύπωση 5 Το αποτέλεσµα είναι συνέπεια του ϑεωρήµατος του Baker, αν οι l 1,..., l n είναι γραµµικά ανεξάρτητοι πάνω από το Q. Εστω ότι οι l 1,..., l n είναι γραµµικά εξαρτηµένοι πάνω από το Q. Άρα υπάρχουν ρ 1,..., ρ m Q και β j όπως στο ϑεώρηµα 1.1.3, αλλά τώρα β 0 = β 0 = 0. Είναι απλό να δούµε ότι αν β 1,..., β m είναι γραµµικά ανεξάρτητοι πάνω από το Q, το ίδιο συµβαίνει και για τους β j µε j = 1,..., r 1, r + 1,..., m και το ϑεώρηµα προκύπτει µε επαγωγή. Παραδείγµατα. Επειδή π = 2iLogi, όπου Log είναι πρωτεύον κλάδος του λογαρίθµου, ϐλέπουµε αµέσως τα εξής : Με εφαρµογή του ϑεωρήµατος έχουµε ότι ο π + log α είναι υπερ- ϐατικός για οποιονδήποτε αλγεβρικό αριθµό α και οποιοδήποτε λογάριθµο του α. Σηµειώνουµε εσώ ότι, για την εφαρµογή του ϑεωρήµατος απαιτείται να ξέρουµε ότι π + log α 0, το οποίο ισχύει διότι έχουµε ήδη δείξει ότι e π / L. Με εφαρµογή του ϑεωρήµατος έχουµε ότι e (α π+β) είναι υπερ- ϐατικός για οποιουσδήποτε αλγεβρικούς αριθµούς α, β µε β Θεώρηµα του Baker. Ισοδύναµη διατύπωση Οι µοναδικές σχέσεις γραµµικής εξάρτησης λογαρίθµων αλγεβρικών αριθµών, µε αλγεβρικούς συντελαστές, είναι οι τετριµµένες, όπως για παράδειγµα log 24 = 3 log 9 + (1 2 3) log log 4 + (3 2 2) log 2. Αν το ϑεώρηµα του Baker δεν ήταν αληθές, τότε από µια µη τετριµµένη µηδενική γραµµική σχέση στοιχείων l του L, µε αλγεβρικούς συντελεστές β και µε το ελάχιστο µήκος, ϑα προέκυπτε το συµπέρασµα ότι και τα β i και τα l i είναι Q γραµµικώς ανεξάρτητα. Λήµµα Εστω k K δύο σώµατα, E ένας K διανυσµατικός χώρος και M είναι k υποδιανυσµατικός χώρος στο E. Τα παρακάτω είναι ισοδύναµα : (i) Εστω m 1 και l 1,..., l m στοιχεία του M τα οποία είναι k γραµµικώς ανεξάρτητα. Τότε αυτά τα στοιχεία είναι επίσης γραµµικά ανεξάρτητα πάνω από το K στο E. (ii) Εστω m 1, l 1,..., l m στοιχεία του M, όχι όλα µηδέν, και έστω β 1,..., β m να είναι k γραµµικώς ανεξάρτητα στοιχεία του K. Τότε β 1 l β m l m 0.

14 6 1 Εισαγωγή (iii) Εστω m 1, l 1,..., l m k γραµµικώς ανεξάρτητα στοιχεία του M και β 1,..., β m k γραµµικώς ανεξάρτητα στοιχεία του K. Τότε : β 1 l β m l m 0. (iv) Εστω m 1, l 1,..., l m k γραµµικώς ανεξάρτητα στοιχεία του M και β 1,..., β m στο K τέτοια ώστε : β 1 l β m l m = 0. Τότε, τα β 1,..., β m είναι k γραµµικώς εξαρτηµένα. Απόδειξη. (i) (iii): Προφανής απόδειξη. (iii) (iv): Προφανής απόδειξη. (ii) (i): Υποθέτουµε ότι για m 1 έχουµε την σχέση : β 1 l β m l m = 0, µε β i K όχι όλα 0. ήλαδή υποθέτουµε ότι τα l 1,..., l m είναι γραµµικά εξαρτηµάνα πάνω από το K στο E και ϑα δείξουµε ότι τα l 1,..., l m είναι k γραµµικώς εξαρτηµένα (οπότε ϑα έχουµε το (i)). Εστω β 1,..., β s, µε 0 s m, µια ϐάση του k διανυσµατικού χώρου, τον οποίο παράγουν τα β 1,..., β m. Τότε : β i = s c ij β j, c ij k όχι όλα µηδέν, 1 i m. j=1 Οπότε : s β j j=1 ( m ) c ij l i = 0 2. i=1 Αφού τα β 1,..., β s είναι k γραµµικώς ανεξάρτητα (αποτελούν ϐάση), συµπεραίνουµε από το (ii) ότι m c ij l i = 0 1 j s. i=1 Οπότε τα l 1,..., l m είναι k γραµµικώς εξαρτηµένα. P 2 m i=1 cij li M, αφού cij k και M k υποδιανυσµατικός χώρος στο E

15 1.2 Θεώρηµα του Baker. Ισοδύναµη διατύπωση 7 (iii) (ii): Υποθέτουµε ότι β 1 l β m l m = 0, µε τα β 1,..., β m γραµµικώς ανεξάρτητα πάνω από το k στο K και τα l 1,..., l m M. Θα δείξουµε ότι : l 1 = l 2 =... = l m = 0. Αν τα l 1,..., l m δεν είναι όλα µηδέν, τότε ϑεωρώ ένα maximal υποσύνολο του L = {l 1,..., l m } µεταξύ των υποσυνόλων του L που αποτελούνται από k γραµµικώς ανεξάρτητα στοιχεία. Χωρίς ϐλάβη της γενικότητας έστω {l 1,..., l r } ένα τέτοιο υποσύνολο, οπότε 1 r m. Άρα : l i = Συµπεραίνουµε ότι r c ij l j, όπου c ij k, r + 1 i m j=1 r γ j l j = 0, µε γ j = β j + j=1 m i=r+1 c ij β i, 1 j r Χρησιµοποιώντας το (iii) ( αντικαθιστώντας το m µε το r ) συµπεραίνουµε από την γραµµική ανεξαρτησία των l 1,..., l r πάνω από το k, ότι τα r στοιχεία γ 1,..., γ r είναι k γραµµικώς εξαρτηµένα στο K. Αλλά αφού τα β 1,..., β m είναι k γραµµικώς ανεξάρτητα και λόγω της σχέσης γ j = β j + m i=r+1 c ijβ i έχουµε ότι και τα γ 1..., γ r είναι k γραµµικώς ανεξάρτητα. Άτοπο. Άρα δεν γίνεται να έχουµε κανένα l i k γραµµικώς ανεξάρτητο. Άρα l 1 = l 2 =... = l m = 0. Οταν k = Q, K = Q, M = L και E = C η περίπτωση (i) είναι το ϑεώρηµα του Baker. Συνεπώς, το ϑεώρηµα του Baker, ϐάση του (iv), µπορεί να επαναδιατυπωθεί ισοδύναµα ως εξής : Θεώρηµα Εστω l 1,..., l n+1 Q γραµµικώς ανεξάρτητα στοιχεία του L και β 1,..., β n αλγεβρικοί αριθµοί µε l n+1 = β 1 l β n l n. Τότε, τα 1, β 1,..., β n είναι Q γραµµικώς εξαρτηµένα.

16 8 1 Εισαγωγή 1.3 Φράγµατα της απόστασης γινοµένου ακεραίων από το 1 Το ϑεώρηµα του Baker µας δείχνει ότι αριθµοί της µορφής β 1 log α β m log α m, (µε β i, α i αλγεβρικοί αριθµοί για 1 i m) είναι µηδέν µόνο σε τετριµµένες περιπτώσεις. Μέσω της απόδειξης του ϑεωρήµατος του Baker προκύπτουν υπολογίσιµα κάτω ϕράγµατα για τέτοιου είδους αριθµούς. Ενα τέτοιο ϕράγµα ϑα παρουσιαστεί στο κεφάλαιο 7. Θα παρουσιάσουµε την απλή περίπτωση, όπου β i Z και α i Z µε α i 2, 1 i m. Εστω λοιπόν, a 1,..., a m ϱητοί ακέραιοι, οι οποίοι είναι 2 και b 1,..., b m ϱητοί ακέραιοι. Υποθέτουµε a b 1 1 a bm m 1, και αναζητούµε κάτω ϕράγµα για την απόσταση αυτών των αριθµών. Μία τετριµµένη εκτίµηση είναι η εξής : a b 1 1 a bm m 1 b i <0 a b i i e mb log A, e P m i=1 b i log a i όπου B = max{ b 1,..., b m } και A = max{a 1,..., a m }. Η γενίκευση της προηγούµενης εκτίµησης, όταν τα a είναι αλγεβρικοί αριθµοί, είναι το ϑεώρηµα (Ανισότητα Liouville). Η σχέση αυτού του είδους ϕραγµάτων µε κάτω ϕράγµατα γρµµικών µορ- ϕών λογαρίθµων, είναι η εξής : Αν a b 1 1 a bm m τότε 1 2 b 1 log a b m log a m a b 1 1 a b m m 1 2 b 1 log a b m log a m, (για z µιγαδικό αριθµό και για κάθε 0 θ < 1, αν e z 1 θ, τότε για τον πρωταρχικό λογάριθµο, log z 1 1 θ z 1 ). Άρα, η εύρεση ενός κάτω ϕράγµατος της απόστασης του 1 και του γινοµένου a b 1 1 a b m, είναι ισοδύναµο µε την εύρεση κάτω ϕράγµατος για µη µηδενικές γραµµικές µορφές b 1 log a b m log a m. Αποδεικνύεται, σχετικά εύκολα, το εξής

17 1.3 Φράγµατα της απόστασης γινοµένου ακεραίων από το 1 9 Λήµµα Εστω m, a 1,..., a m ϱητοί ακέραιοι οι οποίοι είναι 2. Ορί- Ϲουµε, A = max{a 1,..., a m }. Τότε, για κάθε ακέραιο B 4 log A, υπάρχουν ϱητοί ακέραιοι b 1,..., b m, µε τέτοιοι ώστε 0 < max 1 i m b i < B, a b 2m log A 1 1 a bm m 1 B m 1. Γενικά, λέµε ότι τα α 1,..., α n K, K σώµα, είναι πολλαπλασιστικώς εξαρτηµένα αν και µόνο αν υπάρχουν b 1,..., b n Z \ {0}, τέτοια ώστε : α b 1 1 αbn n = 1. ιαφορετικά λέµε ότι τα α 1,..., α n K είναι πολλαπλασιαστικώς ανεξάρτητα. Οπότε, αν τα a 1,..., a m είναι πολλαπλασιαστικώς ανεξάρτητα, τότε a b 1 1 a bm m 1 0. Το 1935, ο A. O. Gelfond (πρβλ. [15]), ένα χρόνο αργότερα αφού είχε λύσει το 7ο πρόβληµα του D. Hilbert, εφάρµοσε την υπερβατική µέθοδο του για να ϐρει ένα κάτω ϕράγµα για µη µηδενικές γραµµικές σχέσεις δύο λογα- ϱίθµων αλγεβρικών αριθµών µε αλγεβρικούς συντελεστές. Ενα απλό παράδειγµα τέτοιου είδους ϕράγµατος είναι το εξής Λήµµα Για a 1, a 2 πολλαπλασιαστικώς ανεξάρτητα ϑετικούς ϱητούς ακεραίους, για κάθε ε > 0 υπάρχει υπολογίσιµη σταθερά C 1 = C 1 (a 1, a 2, ε), τέτοια ώστε, για κάθε (b 1, b 2 ) Z 2, µε (b 1, b 2 ) (0, 0), όπου B = max{2, b 1, b 2 }. a b 1 1 a b C 1 e (log B)5+ε, Υστερα από αρκετές ϐελτιώσεις του εκθέτη 5+ε, ο A. O. Gelfond το 1949 απέδειξε το (πρβλ. [15], ϑεώρηµα ΙΙΙ) Θεώρηµα (Μη υπολογίσιµη εκτίµηση) Για κάθε m αδα (a 1,..., a m ) πολλαπλασιαστικώς ανεξάρτητων ϑετικών ϱητών ακεραίων, και για κάθε δ > 0, υπάρχει ϑετική σταθερά C 2 = C 2 (a 1,..., a m, δ), τέτοια ώστε, αν b 1,..., b m είναι ϱητοί ακέραιοι, όχι όλοι µηδέν, τότε όπου B = max{2, b 1, b 2 }. a b 1 1 a b C 2 e δb,

18 10 1 Εισαγωγή Ο A. O. Gelfond χρησιµοποίησε το αποτέλεσµα του ϑεωρήµατος σε πολλές διοφαντικές ερωτήσεις. Συγκεκριµένα, το εφάρµοσε για να υπολογίσει (µαζί µε τον Y. V. Linnik) το πρόβληµα του Gauss για τον υπολογισµό όλων των τετραγωνικών ϕανταστικών σωµάτων µε αριθµό κλάσεων ίσο µε ένα. Επίσης, το ϕράγµα του το εφάρµοσε για να µελετήσει και διάφορες διοφαντικές εξισώσεις. Στο ϐιβλίο του [15], αναφέρεται στη µεγάλη σηµασία που ϑα είχε για την Θεωρία Αριθµών, η εύρεση κάτω ϕραγµάτων για γραµµικές µορ- ϕές λογαρίθµων αλγεβρικών αριθµών µε ακέραιους συντελεστές. Το πρόβληµα αυτό λύθηκε το 1966 από τον A. Baker (πρβλ. [2]), ο οποίος ανακάλυψε ένα υπολογίσιµο ϕράγµα για γραµµικές µορφές λογαρίθµων αλγεβρικών αριθµών µε αλγεβρικούς συντελεστές.

19 Κεφάλαιο 2 Περιγραφή της απόδειξης Σκοπός του κεφαλαίου αυτού είναι η περιγραφή της απόδειξης του ϑεωρήµατος 1.2.2, το οποίο, όπως αποδείξαµε στην παράγραφο 1.2, είναι ισοδύναµο µε το ϑεώρηµα του Baker. Οπότε, σε αυτό το κεφάλαιο τα l 1,..., l n+1 είναι Q γραµµικώς ανεξάρτητα στοιχεία του L (το οποίο σηµαίνει ότι α i = e l i είναι αλγεβρικοί αριθµοί) και οι β 1,..., β n είναι αλγεβρικοί αριθµοί. Υποθέτουµε ότι l n+1 = β 1 l β n l n (2.1) και ϑέλουµε να αποδείξουµε ότι τα 1, β 1,..., β n είναι Q γραµµικώς εξαρτη- µένα. Θα γίνει πρώτα µια περιγραφή της απόδειξης του ϑεωρήµατος του Baker (παράγραφος 2.1). Υστερα, στην παράγραφο 2.2, ϑα γίνει η απόδειξη της περίπτωσης n = 1 του ϑεωρήµατος του Baker, όπου log α 1, β = β 1 είναι πραγµατικοί αριθµοί (πραγµατική περίπτωση του ϑεωρήµατος των Gelfond- Schneider). Θα αποδείξουµε δηλαδή ότι αν β log α 1 = log α 2 L (το οποίο σηµαίνει ότι α 2 Q), τότε ο β είναι ϱητός. Για παράδειγµα, έτσι προκύπτει ότι οι 2 2 και log 2 log 3 είναι υπερβατικοί. 2.1 Η ιδέα της απόδειξης Θα δουλέψουµε µε τις εξής n + 1 συναρτήσεις n µεταβλητών : z 1,..., z n, α z 1 1 αz n n, όπου ϕυσικά α z 1 1 αz n n = e z 1l z n l n (e l i = α i ). 11

20 12 2 Περιγραφή της απόδειξης Παρατηρούµε ότι λόγω της σχέσης (2.1), οι συναρτήσεις αυτές παίρνουν αλγεβρικές τιµές σε όλα τα σηµεία της µορφής (s 1 + s n+1 β 1,..., s n + s n+1 β n ), (s 1,..., s n+1 ) Z n+1. Το σύνολο των σηµείων αυτών είναι µια πεπερασµένα παραγόµενη υποοµάδα του C n, την οποία ϑα γράφουµε Y = Z n + Z(β 1,..., β n ). Επίσης, παρατηρούµε ότι οι συναρτήσεις αυτές είναι αλγεβρικώς ανεξάρτητες υπέρ το C 1, δηλαδή για κάθε µη µηδενικό πολυώνυµο P, n + 1 µεταβλητών µε µιγαδικούς συντελεστές η συνάρτηση F (z 1,..., z n ) = P (z 1,..., z n, α z 1 1 αz n n ) δεν είναι ταυτοτικά µηδέν 2. Επίσης, για συντοµία ϑα γράφουµε s για (s 1,..., s n+1 ) Z n+1. Οταν ο S είναι ϑετικός πραγµατικός αριθµός, ορίζουµε Z n+1 (S) να είναι το σύνολο των s µε s i < S, (1 i n + 1). Το σύνολο αυτό έχει (2[S] 1) n+1 στοιχεία. Για κάθε λ = (λ 1,..., λ n+1 ) N n+1, ορίζουµε την συνάρτηση f λ : f λ (z 1,..., z n ) = z λ zλ n n (α z 1 1 αz n n ) λ n+1. (Επειδή οι συναρτήσεις που ορίσαµε στην αρχή της παραγράφου είναι αλγε- ϐρικά ανεξάρτητες, προκύπτει ότι οι f λ δεν είναι ταυτοτικά µηδέν). ιαλέγουµε έναν αρκετά µεγάλο ακέραιο S. Το πόσο µεγάλο ϑα είναι αυτό το S ϑα µπορούσε να υπολογιστεί ακριβώς, αλλά είναι αρκετό εδώ να πούµε ότι πρέπει να είναι µεγάλο σε σχέση µε πεπερασµένες ποσότητες οι οποίες προκύπτουν από τα l i και β i, (από τους ϐαθµούς και επίσης την µεγαλύτερη από τις απόλυτες τιµές των συντελεστών των ελαχίστων πολυωνύµων τους). Επίσης χρειαζόµαστε και δύο ακόµα παραµέτρους, L 0 και L 1 (L 0, L 1 N), τέτοιες ώστε : λ λ n L 0 και λ n+1 L 1. Θεωρούµε τον πίνακα ( ) Π = f λ (s 1 + s n+1 β 1,..., s n + s n+1 β n ) λ,s ( = (s 1 + s n+1 β 1 ) λ 1... (s n + s n+1 β n ) λn( α s 1+s n+1 β 1 1 α sn+s n+1β n ) ) λn+1 n λ,s ( (σχέση (2.1)) = (s 1 + s n+1 β 1 ) λ 1... (s n + s n+1 β n ) λ ( n α s 1 1 αs n n α s ) ) n+1 λn+1 n+1, λ,s 1 Γενικά, οι αναλυτικές συναρτήσεις f 1,..., f d n µεταβλητών είναι αλγεβρικώς ανεξάρτητες υπέρ το C, αν και µόνο αν, για κάθε µη µηδενικό πολυώνυµο P C[X 1,..., X d ], η συνάρτηση P (f 1,..., f d ) δεν είναι η µηδενική συνάρτηση. 2 Η απόδειξη αυτού του ισχυρισµού είναι όµοια µε εκείνη του ϑεωρήµατος 2.2.2

21 2.1 Η ιδέα της απόδειξης 13 όπου ο δείκτης των γραµµών είναι λ και των στηλών s (Παρατηρούµε ότι ο Π είναι µη µηδενικός πίνακας, αφού οι f λ δεν είναι ταυτοτικά µηδέν). Μας ενδιαφέρει µόνο η τάξη του πίνακα Π. Επειδή το λ παίρνει όλες τις τιµές (λ 1,..., λ n+1 ) N n+1 τέτοιες ώστε : λ λ n L 0 και λ n+1 L 1, ( L ο αριθµός των γραµµών είναι 0 ) +n n (L1 + 1) 3. Από την άλλη το s παίρνει όλες τις τιµές (s 1,..., s n+1 ) Z n+1 (S), οπότε έχουµε (2S 1) n+1 στήλες. ιαλέγουµε τις παραµέτρους έτσι ώστε να ικανοποιείται η εξής ανισότητα ( ) (2S 1) n+1 L0 + n (L 1 + 1) n (αριθµός γραµµών µικρότερος από αριθµό στηλών). Η απόδειξη χωρίζεται σε δύο µέρη. Στο πρώτο µέρος (υπερβατικό µέρος της απόδειξης), ϑα αποδείξουµε ότι η τάξη του παραπάνω πίνακα είναι µικρότερη του L := ( L 0 ) +n n (L1 + 1). Στο δεύτερο µέρος (γεωµετρικό µέρος της απόδειξης), ϑα δείξουµε ότι ο ισχυρισµός αυτός για την τάξη του πίνακα συνεπάγεται την γραµµική εξάρτηση των 1, β 1,..., β n. 4 Στο πρώτο µέρος της απόδειξης, για να δείξουµε ότι η τάξη του πίνακα είναι µικρότερη από L, αυτό που κάνουµε είναι το εξής : Εξετάζουµε µία οποιαδήποτε L L υποορίζουσα του παραπάνω πίνακα. Αυτό σηµαίνει ότι έχουµε ένα υποσύνολο των s και γράφουµε ( = det (s 1 + s n+1 β 1 ) λ 1... (s n + s n+1 β n ) λ ( n α s 1 1 αs n n α s ) ) n+1 λn+1 n+1 Αν δείξουµε ότι = 0, τότε η τάξη του πίνακα είναι < L, οπότε έχουµε επιτύχει το στόχο του πρώτου µέρους της απόδειξης. Η απόδειξη του ότι = 0 συνίσταται στα εξής δύο ϐήµατα : Πρώτα ϐρίσκουµε ένα άνω ϕράγµα για την, συγκεκριµένα ϑα δείξουµε ότι 1 L log L1/n + c 1 (L 0 log S + L 1 S), όπου το c 1 εξαρτάται από τα n, l i, β i 5. Υστερα, µε την ϐοήθεια της ανισότητας του Liouville, ϑα δείξουµε ότι αν η 3 πρβλ. παράρτηµα Αʹ.1 4 Το δεύτερο µέρος της απόδειξης παρουσιάζεται στο κεφάλαιο 5 5 Η απόδειξη αυτού του ισχυρισµού αποδεικνύεται στο κεφάλαιο 4 µε εφαρµογή του λήµµατος του Schwarz λ,s.

22 14 2 Περιγραφή της απόδειξης δεν είναι µηδεν, τότε 1 L log c 2(L 0 log S + L 1 S), όπου το c 2 εξαρτάται από τα n, l i, β i 6. Υστερα, αφού επιλέξουµε τα L 0, L 1, S 2, να ικανοποιούν κάποιες συν- ϑήκες συναρτήσει ενός µεγάλου αριθµού c, (ο οποίος εξαρτάται µόνο από τα n, l i, β i ), εκτιµώντας κατάλληλα αυτόν το αριθµό c από τα c 1, c 2, (να είναι αρκετά µεγάλος από τα c 1, c 2 ), δείχνουµε ότι οι παραπάνω δύο ανισότητες είναι αντιφατικές, οπότε καταλήγουµε στο συµπέρασµα ότι = 0. Ως ένα παράδειγµα εφαρµογής των ιδεών που αναφέρθηκαν, ϑα παρουσιάσουµε την απόδειξη του ϑεωρήµατος του Baker για n = 1 (Θεώρηµα των Gelfond- Schneider ) στην περίπτωση που l 1, β 1 R. 2.2 Θεώρηµα Gelfond - Schneider για πραγµατικούς αριθµούς Η πραγµατική περίπτωση του ϑεωρήµατος των Gelfond - Schneider διατυπώνεται ισοδύναµα ως εξής : Θεώρηµα (Η πραγµατική περίπτωση των Gelfond -Schneider): Αν τα l 1, l 2 L R είναι Q γραµµικώς εξαρτηµένα τότε είναι και Q γραµµικώς εξαρτηµενα. Πριν την απόδειξη ϑα χρειαστούµε τα παρακάτω δύο ϑεωρήµατα. Θεώρηµα Εστω p 1 (t),..., p n (t) πολυώνυµα στον R[t] µε ϐαθµούς d 1,..., d n αντίστοιχα, και έστω w 1,..., w n διαφορετικοί ανά δύο πραγµατικοί αριθµοί. Τότε η πραγµατική συνάρτηση µιας µεταβλητής F (t) = n p i (t)e wit, i=1 έχει το πολύ d d n + n 1 πραγµατικές ϱίζες 7. Απόδειξη. Θα αποδείξουµε το λήµµα κάνοντας επαγωγή στον ακέραιο k := d d n + n. 6 Η απόδειξη αυτού του ισχυρισµού αποδεικνύεται στο κεφάλαιο 3 7 Σε αυτό το λήµµα οι ϱίζες υπολογίζονται µε τις πολλαπλότητες (αυτό είναι σηµαντικό για την απόδειξη η οποία ϑα γίνει µε επαγωγή)

23 2.2 Θεώρηµα Gelfond - Schneider για πραγµατικούς αριθµούς 15 Για k = 1, έχουµε ότι n = 1 και d 1 = 0 8. Υποθέτουµε ότι k 2. Εστω ότι η υπόθεση ισχύει για l = 1,..., k 1. ηλαδή αν n 1 και d 1,..., d n είναι µη αρνητικοί ακέραιοι, τέτοιοι ώστε d d n + n = l < k και p i (t) R[t] έχει ϐαθµό d i για i = 1,..., n τότε η συνάρτηση στην εκφώνηση του λήµµατος έχει l 1, το πολύ πραγµατικές ϱίζες. Θα δείξουµε ότι ισχύει αυτό και για l = k. Πολλαπλασιάζουµε την F µε e wnt. Αφού το πλήθος των ϱιζών της F και της e w nt F είναι το ίδιο, µπορούµε να υποθέσουµε ότι w n = 0. Ετσι, επειδή τα w 1,..., w n είναι διαφορετικά ανά δύο, έχουµε ότι w i 0 για 1 i n. Αν η F έχει τουλάχιστον N πραγµατικές ϱίζες τότε, από το γνωστό ϑεώρηµα του Rolle, η F έχει τουλάχιστον N 1 πραγµατικές ϱίζες. Οµως, αφού w n = 0, έχουµε ότι : F (t) = n 1 i=1 p i (t)e w it + d dt p n(t), όπου p i (t) = w i p i (t) = d dt p i(t) είναι πολυώνυµο ϐαθµού ακριβώς d i για i = 1,..., n 1 και ϐαθµού d n 1 για i = n 9. Οπότε για τους ϐαθµούς των πολυωνύµων p i t της F έχουµε ότι : d d n 1 + n = d d n + n 1 = l < k. Άρα από την επαγωγική υπόθεση η F έχει το πολύ : d d n 1 + n 1 πραγµατικές ϱίζες. Άρα N 1 d d n + n 2. Οπότε : N d d n + n 1. (N = πλήθος πραγµατικών ϱιζών της F ). Θεώρηµα Εστω r, R δύο πραγµατικοί αριθµοί µε 0 r R, f 1,..., f L συναρτήσεις µιας µεταβλητής, οι οποίες είναι αναλυτικές στον (0, R) και ζ 1,..., ζ L (0, r). Τότε η ορίζουσα : f 1 (ζ 1 )... f L (ζ 1 ) = det f 1 (ζ L )... f L (ζ L ) 8 ιότι d i N 9 Εδώ ϑεωρούµε ότι ο ϐαθµός του µηδενικού πολυωνύµου είναι πρβλ. Αʹ.2 για τους ορισµούς και τους συµβολισµούς

24 16 2 Περιγραφή της απόδειξης έχει άνω ϕράγµα : ( R r ) L L 1 2 L L! f λ R. λ=1 (Το συµπέρασµα είναι τετριµµένο στην περίπτωση R = r). Απόδειξη. Η ορίζουσα Ψ(z) του πίνακα ( ) f λ (ζ µ z) είναι µια µιγαδική συνάρτηση µιας µεταβλητής η οποία είναι αναλυτική στον (0, R). Παρακάτω ϑα αποδείξουµε ότι έχει στο 0 µηδενική ϑέση τάξεως τουλάχιστον L L 1 2. Οπότε από το λήµµα Αʹ , έχουµε ότι αν στο 0 έχει µηδενική ϑέση τάξεως N, τότε ( R ) N = Ψ(1) Ψ R r ( R r ) L L 1 2 Ψ R. Για το Ψ R έχουµε ότι : Ψ R = 12 = sgn(σ) f 1σ(1) f 2σ(2)... f Lσ(L) R σ S L f 1σ1 (1)... f 1σ1 (L) f 1σL! (1)... f 1σL! (L) Άρα : L! L f i R. i=1 ( R r ) L L 1 2 L! Για την τάξη του 0 : Κάθε f λ µε κέντρο το 0 έχει ανάπτυγµα Taylor: f λ (z) = n λ =0 L f i R. i=1 α nλ z n λ, όπου α nλ = f (nλ) (0). n λ! 11 Εφαρµόζουµε το λήµµα αντικαθιστώντας το r µε 1 και το R µε R r. 12 f ij = f i(ζ j) και S L : η οµάδα των µεταθέσεων των L στοιχείων

25 2.2 Θεώρηµα Gelfond - Schneider για πραγµατικούς αριθµούς 17 Άρα, = σ S L = n 1,...,n L Ψ(z) = [ ( sgn(σ) n 1 =0 ((α n1... α nl ) = n 1,...,n L σ S L sgn(σ)f 1σ(1)... f Lσ(L) = ) ( α n1 z n 1 ζ n 1 σ(1)... n L =0 )] α nl z n L ζ n L σ(l) = sgn(σ) z n1 ζ n1 σ(1)... zn L ζ n L σ(l) σ S L ( ) ) ( (α n1... α nl ) det z nλ ζ n λ µ µ,λ, ) = όπου 1 µ L. Αρκεί, λοιπόν να εξεταστούν οι περιπτώσεις όπου f λ (z) = z n λ. Σε µία τέτοια περίπτωση z n 1 ζ n z n Lζ n L 1 Ψ(z) = det = z n 1 ζ n 1 L... z n Lζ n L L z n ) ζ n λ µ 0 z n ] µ,λ = z n L ( ) = z n nL det. [( = det Η ορίζουσα Ψ(z) είναι ταυτοτικά µηδέν αν τα n j δεν είναι ανά δύο διαφορετικά. Άρα, αν η Ψ(z) δεν είναι ταυτοτικά µηδέν, τότε τα n j είναι διαφορετικά ανά δύο. Άρα ζ n λ µ n 1 + n n L (L 1) = Άρα, η Ψ(z) έχει στο 0 µηδενική ϑέση τουλάχιστον L(L 1) 2. L(L 1). 2 Απόδειξη του Θεωρήµατος 2.2.1: Εστω l 1 L R και β Q R, τέτοια ώστε : l 2 = βl 1 L. Ορίζουµε α i = e l i, (i = 1, 2), οπότε α i Q και α β 1 = α 2. Θέλουµε να δείξουµε ότι τα l 1, l 2 ειναι Q γραµµικώς εξαρτηµένα, δηλαδή ότι ο β είναι ϱητός.

26 18 2 Περιγραφή της απόδειξης Εστω c ένας επαρκώς µεγάλος αριθµός. Μία κατάλληλη τιµή για τον c µπορεί να υπολογιστεί µετά το τέλος της απόδειξης. Αυτή η τιµή ϑα εξαρτάται µόνο από τα l 1 και β (και ϑα περιέχει επίσης και τον αλγεβρικό αριθµό α 2 ). Στη συνέχεια διαλέγουµε τρεις ακέραιους αριθµούς L 0, L 1, S, οι οποίοι να ικανοποιούν τα εξής : L 0 2, L 1 2, S 2, (2.2) L := (L 0 + 1)(L 1 + 1), (2.3) cl 0 log S L, cl 1 S L, L (2S 1) 2. (2.4) Για παράδειγµα, ϑα µπορούσαµε να πάρουµε L 1 = log S 2 και L 0 = S 2 (log S) 3, µε το S επαρκώς µεγάλο. Τώρα, αν τροποποιήσουµε λίγο τον συµβολισµό και γράψουµε (λ 0, λ 1 ) αντί (λ 1, λ 2 ), για να προσαρµοστούµε στον συµβολισµό της ενότητας 2.1, ϐλέπουµε ότι η ορίζουσα εκείνης της ενότητας παίρνει την µορφή ( Π = (s 1 + s 2 β) λ ( 0 α s ) ) 1 1 αs 2 λ1 2 (λ 0,λ 1 ),(s 1,s 2 ) ( (αφού α 2 = α β 1 ) = (s 1 + s 2 β) λ ( 0 α s 1+s 2 β) ) λ1 µε 0 λ 0 L 0, 0 λ 1 L 1, s 1 S, s 2 S. 1 (λ 0,λ 1 ),(s 1,s 2 ), Ο πίνακας αυτός έχει L := (L 0 + 1)(L 1 + 1) γραµµές και (2S 1) 2 στήλες. Οπως είπαµε στην προηγούµενη ενότητα επιλέγουµε έτσι τα L 0 και L 1 ώστε : L := (L 0 + 1)(L 1 + 1) (2S 1) 2. Οπως αναφέραµε στην προηγούµενη ενότητα, η απόδειξη του ϑεωρήµατος του Baker χωρίζεται σε δύο µέρη. Ετσι και εδώ, στην πραγµατική περίπτωση για n = 1, ϑα χωρίσουµε την απόδειξη σε δύο µέρη. (i) Πρώτο µέρος της απόδειξης : Θα δείξουµε ότι ο πίνακας που ορίστηκε παραπάνω έχει τάξη < L. Εστω s (1),..., s (L) οποιαδήποτε στοιχεία του Z 2 (S). Παίρνουµε την L L ορίζουσα = ( (s (µ) 1 + s (µ) ( 2 β)λ 0 λ 1 α s(µ) 1 1 +s(µ) 2 β ) l1 ) µε λ = (λ 0, λ 1 ), 0 λ 0 L 0, 0 λ 1 L 1 και 1 µ L. Θα χρησιµοποιήσουµε το λήµµα µε r = S(1 + β ) και R = e 2 r, για λ,µ,

27 2.2 Θεώρηµα Gelfond - Schneider για πραγµατικούς αριθµούς 19 την f λ (z) = z λ0 e λ 1 z l 1, µε ζ µ = s (µ) 1 + s (µ) 2 β. Εχουµε λοιπόν ότι : ( R r ) L L 1 2 L L! f λ R = λ=1 όπου : L = e L(L 1) L! f λ R, λ=1 f λ R = z λ 0 e λ 1 zl1 R λ0 e λ 1R l 1 R λ0 e L 1R l 1. Οπότε : log L(L 1) + log L! + LL 0 log R + LL 1 R l 1 L(L 1) + L log L + LL 0 log R + LL 1 R l 1 L 2 + L + L log L + LL 0 log[e 2 S(1 + β )] + LL 1 R l 1 L 2 + L + L log(2s 1) 2 + LL 0 log[e 2 S(1 + β )] + LL 1 R l 1 L 2 + L + L log 4S 2 + LL 0 log[e 2 S(1 + β )] + LL 1 R l 1 L 2 + L + 2L log 2S + LL 0 log[e 2 S(1 + β )] + LL 1 R l 1 (L 0 2) L 2 + L + L 0 L log 2S + LL 0 log[e 2 S(1 + β )] + LL 1 R l 1 L 2 + LL 0 log 2 + LL 0 log S + 2LL 0 + LL 0 log[s(1 + β )] + LL 1 R l 1 (L LL 0 log S, 2LL 0 4LL 0 log S και S 2) L 2 + 7LL 0 log S + LL 0 log S(1 + β ) + LL 1 e 2 S(1 + β ) l 1 L 2 + 7LL 0 log S + LL 0 log[se (1+ β ) ] + LL 1 e 2 S(1 + β ) l 1 L 2 + LL 0 (10 + β ) log S + LL 1 e 2 S(1 + β ) l 1 L 2 + c 1 L(L 0 log S + L 1 S), όπου c 1 = max{10 + β, e 2 (1 + β ) l 1 }. Λόγω της επιλογής των L 0, L 1, S στην αρχή της απόδειξης καταλήγουµε στη σχέση log L2 2,

28 20 2 Περιγραφή της απόδειξης αν c 4c 1 (πρβλ. σχέση 2.4) και το L είναι αρκούντως µεγάλο. (Αυτό διότι λόγω των ανισοτήτων, cl 0 log S L και cl 1 S L, έχουµε ότι : L 2 + c 1 L(L 0 log S + L 1 S) L 2 + c 1 L( L c + L c ), οπότε για c 4c 1 έχουµε το Ϲητούµενο.) Στο κεφάλαιο 3, µεσω της ανισότητας του Liouville, ϑα δείξουµε ότι, είτε η είναι µηδέν, είτε log c 2 L(L 0 log S + L 1 S), όπου το c 2 εξαρτάται µόνο από τα l 1, β. Για c 3c 2 (πρβλ. προηγούµενη σχέση µας δίνει σχέση 2.4) η log > L2 2. (Η ανισότητα προκύπτει όπως και πριν στη περίπτωση του c 1, χρησιµοποιώντας την σχέση 2.4). Άρα συµπεραίνουµε ότι = 0, οπότε ο πίνακας Π έχει τάξη µικρότερη του L. (ii) εύτερο µέρος της απόδειξης : Θα δείξουµε ότι από το συµπέρασµα του πρώτου µέρους για την τάξη του πίνακα Π έπεται ότι ο β είναι ϱητός. Εχουµε ότι ο πίνακας ( Π = (s 1 + s 2 β) λ ( 0 α s 1+s 2 β) ) l1 1 µε (λ 0,λ 1 ),(s 1,s 2 ), 0 λ 0 L 0, 0 λ 1 L 1, s 1 S, s 2 S, έχει L := (L 0 + 1)(L 1 + 1)) γραµµές και (2S 1) 2 στήλες. Επίσης λόγω της επιλογης των παραµέτρων στην αρχή της απόδειξης έχουµε ότι : L (2S 1) 2. Αν λοιπόν ο πίνακας έχει τάξη µικρότερη του L τότε υπάρχουν c i R τέτοια ώστε : c 1 γ c L γ L = 0 R (2S 1)2, όπου γ 1,..., γ L οι γραµµές του παραπάνω πίνακα. ηλαδή, L c i γ i = 0, i=1 ή (λ 0,λ 1 ) c (λ0,λ 1 )γ (λ0,λ 1 ) = 0.

29 2.2 Θεώρηµα Gelfond - Schneider για πραγµατικούς αριθµούς 21 Άρα για κάθε z = s 1 + s 2 β µε (s 1, s 2 ) Z 2 (S) έχουµε ότι (λ 0,λ 1 ) c (λ0,λ 1 )(s 1 + s 2 β) λ ( 0 α s 1+s 2 β) l1 1 = 0. Οπότε το F (z) = c (λ0,λ 1 )z λ ( 0 α1) z λ1 13 (λ 0,λ 1 ) µηδενίζεται για κάθε z = s 1 + s 2 β όπου (s 1, s 2 ) Z 2 (S). Το πλήθος αυτών των z για τα οποία η F (z) µηδενίζεται γνωρίζουµε όµως ότι είναι (2S 1) 2. Οµως αυτό είναι αδύνατο, διότι, λόγω του λήµµατος 2.2.2, η F (z) = (λ 0,λ 1 ) c (λ0,λ 1 )z λ 0 e z λ 1 l 1 = = λ 1 [ λ 0 c (λ0,λ 1 )z λ 0 ]e zλ 1l 1, έχει το πολύ (L 1 + 1)L 0 + L , πραγµατικές ϱίζες το οποίο είναι µικρότερο του (2S 1) Άρα υπάρχουν z = s 1 + s 2 β, z = s 1 + s 2 β µε (s 1, s 2 ), (s 1, s 2 ) Z2 (S) και (s 1, s 2 ) (s 1, s 2 ) τέτοια ώστε : z = z. ηλαδή : s 1 + s 2 β = s 1 + s 2β, δηλαδή ο β είναι ϱητός. 13 F (z) = P (z, α z 1), όπου P (x, y) = P (λ 0,λ 1 ) xλ 0 y λ 1 14 Αφού (L 1 + 1)L 0 + L = (L 1 + 1)(L 0 + 1) 1 < L < (2S 1) 2.

30 22 2 Περιγραφή της απόδειξης

31 Κεφάλαιο 3 Ανισότητα Liouville - Κάτω ϕράγµα της ορίζουσας Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ϐρούµε ένα κάτω ϕράγµα της ορίζουσας (παράγραφο 3.6), η οποία ορίστηκε στην παράγραφο 2.1. Για να το πετύχουµε αυτό ϑα χρειαστούµε την ανισότητα του Liouville η οποία µας εξασφαλίζει κάτω ϕράγµα για κάθε µη µηδενικό αλγεβρικό αριθµό. Πιο συγκεκριµένα, η ανισότητα του Liouville µας δίνει ένα κάτω ϕράγµα για τον αλγεβρικό αριθµό P (γ 1,..., γ q ), όπου γ 1,..., γ q αλγεβρικοί αριθµοί και το πολυώνυµο P Z[x 1,..., x q ] δεν µηδενίζεται στο σηµείο (γ 1,..., γ q ). Το ϕράγµα αυτό εξαρτάται µόνο από το ϐαθµό του P, από το άνω ϕράγµα των απόλυτων τιµών των συντελεστών του και από τα µέτρα των γ i. Για να πετύχουµε τέτοια ϕράγµατα εισάγουµε την έννοια του ύψους αλγεβρικού αριθµού. Για τον σκοπό αυτό προτάσσουµε κάποιες ϐασικές γνώσεις από την αλγεβρική ϑεωρία αριθµών (πρβλ. και Αʹ.3). 3.1 p αδικές απόλυτες τιµές υπέρ το Q Εστω p ένας πρώτος αριθµός. Για κάθε x Z ορίζουµε ν p (x) = η µέγιστη δύναµη του p η οποία διαιρεί το x. Για x = a b Q, a, b Z ορίζουµε ν p (x) = ν p (a) ν p (b). Επίσης για x Q γράφουµε την ανάλυση του x σε γινόµενο πρώτων παραγόντων ως εξής : x = ± p νp(x). p 23

32 24 3 Ανισότητα Liouville - Κάτω ϕράγµα της ορίζουσας Για κάθε πρώτο p έχουµε λοιπόν µια απεικόνιση : ν p : Q Z, η οποία επεκτείνεται στο 0, µε ν p (0) =. Η απεικόνιση : ν p : Q Z { }, ονοµάζεται p αδική αποτίµηση πάνω από το Q και ικανοποιεί τις παρακάτω ιδιότητες : 1. Για κάθε x Q, ν p (x) = x = Για x, y Q, ν p (xy) = ν p (x) + ν p (y). 3. Για x, y Q, ν p (x + y) min{ν p (x), ν p (y)}. Η ν p σχετίζεται µε την απόλυτη τιµή p (p αδική απόλυτη τιµή) η οποία είναι µια απεικόνιση από το Q στο Q που ορίζεται ως εξής : Επιλέγουµε ϱ µε 0 < ϱ < 1 και ϑέτουµε { ϱ ν p(x), x 0 x p = 0, x = 0. Η p αδική απόλυτη τιµή ικανοποιεί τις παρακάτω ιδιότητες : 1. Για x Q, x p = 0 x = Για x, y Q, xy p = x p y p. 3. Για x, y Q, x + y p max{ x p, y p } ( x p + y p ). Μια τέτοια απόλυτη τιµή χαρακτηρίζεται µη αρχιµήδεια. Στο Q συνιθισµένη απόλυτη τιµή ( ) χαρακτηρίζεται αρχιµήδεια. Επιλέγουµε δηλαδή ϱ = 1 p < 1, οπότε x p = p νp(x). Η p αδική απόλυτη τιµή ορίζει απόσταση στο Q, άρα τοπολογία. Η µπάλα µε κέντρο a Q και ακτίνα p r µε r Z είναι, συνεπώς, το σύνολο D(a, r) := {x Q; x a p p r } = {x Q; ν p (x a) r}. Σε τυχαίο σώµα έχουµε τον εξής : Ορισµός Εστω K ένα τυχαίο σώµα. Μία συνάρτηση από το σώµα K στους πραγµατικούς αριθµούς καλείται απόλυτη τιµή του K, αν αυτή ικανοποιεί τις παρακάτω συνθήκες :

33 3.1 p αδικές απόλυτες τιµές υπέρ το Q a > 0 για κάθε a 0 και 0 = a + b a + b. 3. ab = a b. Αν αντί της τρίτης ιδιότητας η απόλυτη τιµή ικανοποιεί την πιο ισχυρή συνθήκη : 4. a + b max{ a, b }, τότε ονοµάζουµε την απόλυτη τιµή µη αρχιµήδεια. Η απόλυτη τιµή για την οποία ισχύει : x = 1 για όλα τα x 0 και 0 = 0, ονοµάζεται τετριµµένη απόλυτη τιµή. Αποδεικνύεται ότι οι µη τετριµµένες απόλυτες τιµές είναι µη ϕραγµένες. Η απόλυτη τιµή ορίζει απόσταση στο σώµα K και άρα τοπολογία στο σώµα K. Η έννοια της σύγκλισης ορίζεται ως εξής : Η ακολουθία {a n } στοιχείων του K συγκλίνει στο στοιχείο a K αν a n a 0 καθώς n. Επίσης : Μια ακολουθία {a n } στοιχείων του K καλείται Cauchy αν a n a m 0 καθώς n, m. Προφανώς κάθε συγκλίνουσα ακολουθία είναι ακολουθία Cauchy. Ενα σώµα εφοδιασµένο µε µια απόλυτη τιµή καλείται πλήρες ως προς αυτή την απόλυτη τιµή, αν κάθε ακολουθία Cauchy είναι συγκλίνουσα, µε όριο που ανήκει στο σώµα αυτό. Γνωρίζουµε ότι η πλήρωση του Q ως προς την συµηθισµένη απόλυτη τιµή είναι το σώµα των πραγµατικών αριθµών. Επίσης η πλήρωση του Q ως προς την p αδική απόλυτη τιµή είναι το σώµα των p αδικών αριθµών Q p. Κάθε x Q p µπορεί να γραφεί : x = + i=m a i p i, όπου a i {0, 1,..., p 1}, a m 0. Το m που µπορεί να είναι και αρνητικός ακέραιος συµβολίζεται µε ν p (x) και λέγεται p αδική αποτίµηση του x Q p. Επεκτείνοντας την p αδική απόλυτη τιµή που ορίσαµε πριν για τους ϱητούς, ορίζουµε x p = p ν p(x). ύο απόλυτες τιµές 1, 2 ενός σώµατος K λέγονται ισοδύναµες αν µια ακολουθία είναι Cauchy ως προς την 1 αν και µόνο αν είναι Cauchy ως προς την 2. Αυτό είναι ισοδύναµο µε το να πούµε ότι οι 1, 2 ορίζουν

34 26 3 Ανισότητα Liouville - Κάτω ϕράγµα της ορίζουσας την ίδια τοπολογία στο σώµα K. Αποδεικνύεται [10] ότι κάθε µη τετριµµένη απόλυτη τιµή του Q είναι ισοδύναµη είτε µε την p αδική απόλυτη τιµή είτε µε την συνηθισµένη απόλυτη τιµή στο Q (Θεώρηµα Ostrowski). Άρα οι µόνες πληρώσεις του Q είναι είτε το σώµα των πραγµατικών αριθµών είτε το σώµα των p αδικών αριθµών Q p. Πρόταση (Τύπος Γινοµένου υπέρ το Q) x x p = 1, p για κάθε x Q \ {0}, όπου, p είναι αντίστοιχα η συνηθισµένη και η απόλυτη τιµή του Q. Απόδειξη. Αρκεί να το δείξουµε για x Z, x > 0. Η περίπτωση το x Q\{0} µε x = a b, a, b Z \ {0} ανάγεται στην περίπτωση των ακεραίων αφού : a b p a b p = a p a p b p b. p Εστω λοιπόν x Z, x > 0, µε x = p a pa m m, p i πρώτοι και a i Z, a i > 0. Τότε : x q = 1, αν q p i, i = 1,..., m x pi = p a i i, για i = 1,..., m x = p a pa m m. Άρα : x x p = 1. p Ισοδύναµα από τον τύπο του γινοµένου έχουµε ότι : ν p (x) log p = log x, p για κάθε x Q \ {0}.

35 3.2 Απόλυτες τιµές σε αριθµητικό σώµα Απόλυτες τιµές σε αριθµητικό σώµα Θα µελετήσουµε τις απόλυτες τιµές πάνω από αριθµητικό σώµα K. Για να το κάνουµε αυτό ϑα πρέπει να εξετάσουµε πώς µπορεί να επεκταθεί µια απόλυτη τιµή από το Q στο K. Κατ αρχάς, παρατηρούµε ότι ο περιορισµός στο Q µιας µη τετριµµένης απόλυτης τιµής του σώµατος K είναι µη τετριµµένη απόλυτη τιµή του Q. Πράγµατι, έστω 1 µια µη τετριµµένη απόλυτη τιµή του αριθµητικού σώµατος K. Παίρνοντας τον περιορισµό της 1 στο Q έχουµε την απόλυτη τιµή 0 του Q. Θα δείξουµε ότι η 0 είναι µη τετριµµένη. Εστω η ϐάση ω 1,..., ω n του K υπερ το Q. Για κάθε x K έχουµε ότι x = q 1 ω q n ω n, µε q i Q, οπότε x 1 = q 1 0 ω q n 0 ω n 1. Αν η απόλυτη τιµή 0 είναι τετριµµένη τότε q i 0 1 και άρα : x 1 n ω i 1, i=1 για όλα τα x K. Άτοπο, αφού κάθε µη τετριµµένη απόλυτη τιµή δεν είναι ϕραγµένη. Από το ϑεώρηµα του Ostrowski συµπεραίνουµε ότι η 0 είναι ισοδύναµη είτε µε την p αδική απόλυτη τιµή (σε αυτή την περίπτωση η 1 είναι µη αρχιµήδεια), είτε µε την συνηθισµένη απόλυτη τιµή (σε αυτή την περίπτωση η 1 είναι αρχιµήδεια). Συµβολίζουµε µε M K το σύνολο όλων των κλάσεων απολύτων τιµών του σώµατος K ως προς την ισοδυναµία απολύτων τιµών και µε MK το υποσύνολο του M K, που αποτελείται από τις κλάσεις των αρχιµήδειων απολύτων τιµών. Για κάθε ισοδύναµη κλάση υ M K συµβολίζουµε µε K υ την πλήρωση του K ως προς την υ. Τα στοιχεία (κλάσεις ισοδυναµίας) του M K λέγονται και ϑέσεις του K και κάθε ϑέση χαρακτηρίζεται αρχιµήδεια ή µη αρχιµήδεια ανάλογα µε το αν είναι κλάση ισοδυναµίας αρχιµήδειας ή µη αρχιµήδειας απόλυτης τιµής, αντιστοίχως. Το ϑεώρηµα του Ostrowski λέει, ουσιαστικά, ότι το M Q αποτελείται από τη ϑέση της συνήθους απόλυτης τιµής και από τις ϑέσεις των p-αδικών απολύτων τιµών, καθώς ο p διατρέχει όλους τους πρώτους. Άρα, για υ 0 M Q, το Q υ0 είναι το R είτε το Q p για κάποιον πρώτο p. Αν το K είναι επέκταση του αριθµητικού σώµατος K 0 και υ 0 M K0, υ M K, ο συµβολισµός υ υ 0 σηµαίνει ότι µία (άρα και κάθε) απόλυτη τιµή στη ϑέση υ είναι επέκταση (ως συνάρτηση ορισµένη στο K) κάποιας απόλυτης τιµής που ανήκει στη υ 0.

36 28 3 Ανισότητα Liouville - Κάτω ϕράγµα της ορίζουσας Αν υ M K και υ υ 0 µε υ 0 M Q, τότε τον ϐαθµό d υ := [K υ : Q υ0 ] ορίζουµε ως ϐαθµό της υ ως προς τη συγκεκριµένη υ 0 ή, απλώς, ϐαθµό της υ αν είναι σαφές ποια είναι η ϑέση υ Αρχιµήδειες απόλυτες τιµές Εστω K = Q(α) αριθµητικό σώµα ϐαθµού n και f το ανάγωγο πολυώνυµο του α υπέρ το Q, το οποίο γράφοµε ως f(x) = a 0 X n + a n 1 X + a n Z[X], (a 0, a 1,..., a n ) = 1. Εστω r 1 το πλήθος των πραγµατικών ϱιζών και r 2 το πλήθος των Ϲευγών των συζυγών µιγαδικών ϱιζών του f, οπότε n = r 1 + 2r 2. Τις ϱίζες αυτές συµβολί- Ϲουµε α (1),..., α (r 1) (πραγµατικές), α (r 1+1), α (r 1+1),..., α (r 1+r 2 ), α (r 1+r 2 ) (µιγαδικές). Υπάρχουν ακριβώς n µονοµορφικές εµφυτεύσεις σωµάτων K C, συµ- ϐολιζόµενες σ 1,..., σ r1, σ r1 +1, σ r1 +1,... σ r1 +r 2, σ r1 +r 2, οι οποίες χαρακτηρίζονται από τις τιµές τους στο α: σ j (α) = α (j), 1 j r 1 + r 2, σ j (α) = α (j), r j r 1 + r 2. Σε κάθε εµφύτευση σ : K C, αντιστοιχεί µια απόλυτη τιµή σ η οποία ορίζεται ως εξής : x σ = σ(x), 1 για x K. Αποδεικνύεται ότι, µε αυτόν τον τρόπο παίρνουµε όλες (κατά προσέγγιση ισοδυναµίας απολύτων τιµών) τις αρχιµήδειες απόλυτες τιµές του K (όλες είναι επεκτάσεις της συνηθισµένης απόλυτης τιµής του Q στο K). Τη ϑέση της σ συµβολίζουµε υ σ M K και, σύµφωνα µε τα παραπάνω, κάθε υ MK ταυτίζεται µε κάποια υ σ. Κάνουµε τώρα την εξής σύµβαση : Οταν για κάποια υ MK γράφουµε υ, εννοούµε ότι αυτή η απόλυτη τιµή είναι µία από τις r 1 + r 2 απόλυτες τιµές σi για κάποιο i {1,..., r 1 + r 2 }. Αν σ = σ j για κάποιο j {1,..., r 1 }, τότε σ(k) R, άρα K υσ = R. Η εµφύτευση σ και η ϑέση υ σ χαρακτηρίζονται τότε πραγµατικές. Αν σ = σ j ή σ j για κάποιο j {r 1 + 1,..., r 1 + r 2 }, τότε K υσ = C και η εµφύτευση σ, καθώς και η ϑέση υ σ χαρακτηρίζονται µιγαδικές. Στην περίπτωση, που µελετούµε, είναι d υ = [K υ : R], οπότε { 1, αν υ = υσ για κάποια πραγµατική εµφύτευση σ, d υ = 2, αν υ = υ σ για κάποια µιγαδική εµφύτευση σ 1 Με εννούµε το συνηθισµένο µέτρο µιγαδικού αριθµού στο C του οποίου ο περιορισµός στο R είναι η συνηθισµένη απόλυτη τιµή

37 3.2 Απόλυτες τιµές σε αριθµητικό σώµα 29 και, συνεπώς, υ M K,υ υ 0 d υ = [K : Q] όταν υ 0 είναι η συνήθης απόλυτη τιµή του Q. (3.1) Επίσης, σύµφωνα µε τα παραπάνω, υ M K α dυ υ = n α (i) = a n, a 0 i=1 οπότε και υ M K n max{1, α υ } d υ = max{1, α (i) }. i= Μη αρχιµήδειες απόλυτες τιµές Εστω K, α, n, f, M K, MK όπως στην υποενότητα και p ϱητός πρώτος. Χρησιµοποιούµε, επίσης, τον εξής γενικό συµβολισµό. Για κάθε πρώτο ιδεώδες του K και για κάθε x K ορίζουµε την -αδική αποτίµηση ν (x) του x ως τον ακέραιο µε τον οποίον εµφανίζεται το στην κανονική ανάλυση σε πρώτα ιδεώδη του ιδεώδους x. Επεκτείνοντας την -αδική αποτίµηση και στο 0, ορίζουµε ν (0) =. Επίσης, µε e και d συµβολίζουµε, αντιστοίχως, τον δείκτη διακλάδωσης και τον ϐαθµό αδρανείας του. Η έννοια της -αδικής αποτίµησης στο K επεκτείνει την έννοια της p-αδικής αποτίµησης στο Q, που ορίσθηκε στην ενότητα 3.1, και σχετίζεται µε αυτήν ως εξης : ν (x) = e ν p (x) για x Q. Το f, αν και ανάγωγο πάνω από το Q, δεν είναι, εν γένει, ανάγωγο πάνω από το Q p. Εστω, λοιπόν, f(x) = g 1 (X) g m (X), g i (X) Q p [X] ανάγωγο (i = 1,..., m). (3.2) Τα g i είναι διαφορετικά µεταξύ τους (µ άλλα λόγια, το f δεν έχει πολλαπλές ϱίζες πάνω από το Q p ) και έστω ότι d i είναι ο ϐαθµός του g i (i = 1,..., m). Θέτουµε, επίσης K i = Q p (α i ), όπου g i (α i ) = 0. Κάθε x = c 0 + c 1 α + + c n 1 α n 1 Q(α) = K αντιστοιχεί στο x i K i, που προκύπτει όταν το α στην έκφραση του x αντικατασταθεί από το α i. Ακόµη ακριβέστερα, η αντιστοιχία αυτή είναι µονοµορφική εµφύτευση σωµάτων K K i, οπότε ϐλέπουµε στο εξής τα K i ως επεκτάσεις όχι µόνο του Q p, αλλά και του K. Είναι πολύ σηµαντικό ότι η ανάλυση του f σε ανάγωγα πολυώνυµα του Q p [X] έχει στενή σχέση µε την ανάλυση του ιδεώδους p σε πρώτα ιδεώδη του K. Συγκεκριµένα, έχουµε µια κανονική ανάλυση σε πρώτα ιδεώδη p = e 1 1 e m m, (3.3)

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης 6 Απριλίου 2006 Περίληψη Θέµα της εργασίας αυτής, είναι η απόδειξη οτι η εξίσωση x 3 + y 3 = z 3 όπου xyz 0,

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 1. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Z είναι ανάγωγο επί του Q. Σωστό. 2. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Q είναι ανάγωγο επί

Διαβάστε περισσότερα

Mathematics and its Applications, 5th

Mathematics and its Applications, 5th Μαθηµατικα για Πληροφορικη Εφαρµογες και τεχνικες Ηλιας Κουτσουπιάς Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών Σχετικα µε το µαθηµα Σχετικα µε το µαθηµα Το µαθηµα πραγµατευεται καποια ϑεµατα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 16 Ιανουαρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ Κασαπίδης Γεώργιος Μαθηµατικός Στο άρθρο αυτό µελετάµε την πιο χαρακτηριστική ιδιότητα του συνόλου R των πραγµατικών αριθµών. ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Ένα σύνολο Α από πραγµατικούς

Διαβάστε περισσότερα

3 o Καλοκαιρινό Μαθηµατικό σχολείο Ε.Μ.Ε. Λεπτοκαρυά Πιερίας 2009

3 o Καλοκαιρινό Μαθηµατικό σχολείο Ε.Μ.Ε. Λεπτοκαρυά Πιερίας 2009 3 o Καλοκαιρινό Μαθηµατικό σχολείο Ε.Μ.Ε. Λεπτοκαρυά Πιερίας 2009 ιαιρετότητα και Ισοτιµίες Β και Γ Λυκείου Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Ιούλιος 2009 1 ιαιρετοτητα και Ισοτιµιες ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το

Διαβάστε περισσότερα

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι. 1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ Παραθέτουµε αρχικά τις βασικές ιδιότητες των δυνάµεων µε βάση έ- ναν θετικό πραγµατικό αριθµό και εκθέτη έναν ρητό αριθµό. α x.α y = α x+y (α.β) x = α x.β x α x :α

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Γ'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της Γ Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν ίσως το αποκορύφωµα των

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβληµα 2 (15 µονάδες)

Πρόβληµα 2 (15 µονάδες) ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ, 2013-2014 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ε. Μαρκάκης Πρόβληµα 1 (5 µονάδες) 2 η Σειρά Ασκήσεων Προθεσµία Παράδοσης: 19/1/2014 Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σελίδα από 58 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 9. Ορισμοί... 9. Ιδιότητες... 9. Θεώρημα Cayley-Hamlto...9 9.. Εφαρμογές του Θεωρήματος Cayley-Hamlto... 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυμο...40 Ασκήσεις του Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX 1.7 διαταξεις (σελ. 17) Παράδειγµα 1 Θα πρέπει να κάνουµε σαφές ότι η επιλογή των λέξεων «προηγείται» και «έπεται» δεν έγινε απλώς για λόγους αφαίρεσης. Μπορούµε δηλαδή να ϐρούµε διάφορα παραδείγµατα στα

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Γιώργος Αλογοσκούφης, Θέµατα Δυναµικής Μακροοικονοµικής, Αθήνα 0 Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης των εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Οκτωβρίου 006 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 0 Νοεµβρίου 006.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1 εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης Ρ ια να προσθέσουµε (ή να αφαιρέσουµε) δύο µιγαδικούς, προσθέτουµε (ή αφαιρούµε) τα πραγµατικά και τα φανταστικά τους µέρη, δηλαδή: ± = [Re

Διαβάστε περισσότερα

3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε.

3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. 3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. Στην εισαγωγή δείξαμε ότι η διαφορική εξίσωση του γραμμικού, χρονικά αναλλοίωτου συστήματος μιας εισόδου μιας εξόδου με διαφορική εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Θεωρίας Αριθµών. Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη

Σηµειώσεις Θεωρίας Αριθµών. Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη Σηµειώσεις Θεωρίας Αριθµών Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη Ευχαριστώ ιδιαίτερα τη ϕοιτήτριά µου Μαρίνα Παλαιστή για τη µεταφορά του χειρογράφου µου σε κείµενο "tex" Κεφάλαιο 1 Βασικές Ιδιότητες Ισοδυναµιών Η ϑεωρία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β.

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β. ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Φεβρουαρίου, 3 Θ. (α ) Εστω A, B µη κενά ϕραγµένα σύνολα πραγµατικών αριθµών. είξτε ότι αν inf A

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Γιάννης Σαραντόπουλος Αθήνα 7 Οκτωβρίου 5 Περιεχόµενα Συµβολισµός

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() + c, c

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ 174 46 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Εισαγωγή Ένα από τα αρχαιότερα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών είναι η αναζήτηση των ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν κάποιες δεδομένες σχέσεις Με σύγχρονη ορολογία

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 4η. η κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης (σε µονάδες rad/s) η κίνηση

Διάλεξη 4η. η κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης (σε µονάδες rad/s) η κίνηση Διάλεξη 4η Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Αρµονικός ταλαντωτής, σηµείο ισορροπίας, περιοδική κίνηση, ισόχρονη ταλάντωση. Ο αρµονικός ταλαντωτής είναι από το πλέον σηµαντικά συστήµατα στη Φυσική. Δεν

Διαβάστε περισσότερα

τέτοιες συναρτήσεις «πραγµατικές συναρτήσεις µε µία πραγµατική µεταβλητή». Σε αυτή

τέτοιες συναρτήσεις «πραγµατικές συναρτήσεις µε µία πραγµατική µεταβλητή». Σε αυτή Κεφάλαιο Ορίζουσες Η Συνάρτηση Ορίζουσα Είµαστε όλοι εξοικειωµένοι µε συναρτήσεις όπως η f(x) sin x και η f(x) x οι οποίες αντιστοιχίζουν έναν πραγµατικό αριθµό f(x) σε κάθε πραγµατική τιµή της µετα- ϐλητής

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 19/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 1 1 Μαθηµατική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί.

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί. Κεφάλαιο : ιατάξεις και Συνδυασµοί. Περιεχόµενα Εισαγωγή Βασική αρχή απαρίθµησης ιατάξεις µε και χωρίς επανατοποθέτηση Συνδυασµοί Ασκήσεις Εισαγωγή Μέχρι το τέλος αυτού του κεφαλαίου ϑα ϑεωρούµε πειράµατα

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόµενα I ΜΙΓΑ ΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1

Περιεχόµενα I ΜΙΓΑ ΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 Περιεχόµενα I ΜΙΓΑ ΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 1 ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 3 1.1 Στοιχειώδεις παρατηρήσεις.................... 3 1.2 + Ορισµός και άλγεβρα των µιγαδικών αριθµών........ 6 1.3 Γεωµετρική παράσταση των µιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ)

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) ΜΙΧΑΛΗΣ ΤΖΟΥΜΑΣ ΕΣΠΟΤΑΤΟΥ 3 ΑΓΡΙΝΙΟ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έννοια της συνάρτησης είναι στενά συνυφασµένη µε τον πίνακα τιµών και τη γραφική παράσταση.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003 http://edueapgr/pli/pli/studetshtm Page of 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 6 Ιουλίου Απαντήστε όλα

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 6: ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÏÑÏÓÇÌÏ

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÏÑÏÓÇÌÏ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία (θεώρ Frmat) σχολικό βιβλίο, σελ 6-6 Α Θεωρία (ορισµός) σχολικό βιβλίο, σελ 8 Α3 ΘΕΜΑ Β α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ B Έχουµε από υπόθεση

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Β. Τι

Διαβάστε περισσότερα

Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα:

Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: υναµικός Προγραµµατισµός Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Σχεδιασµός αλγορίθµων µε υναµικό Προγραµµατισµό Το πρόβληµα του πολλαπλασιασµού πινάκων ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 3- υναµικός

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Πίνακες. χρησιµοποιώντας µόνο την ακόλουθη διάταξη αριθµών 1 1 2 1 2 5 1 0

Κεφάλαιο 3 Πίνακες. χρησιµοποιώντας µόνο την ακόλουθη διάταξη αριθµών 1 1 2 1 2 5 1 0 Σελίδα από 53 Κεφάλαιο 3 Πίνακες Περιεχόµενα 3 Ορισµοί Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 3 3 Πράξεις µε Πίνακες Πρόσθεση Πινάκων Πολλαπλασιασµός Πίνακα µε Αριθµό Πολλαπλασιασµός Πινάκων ιωνυµικό Ανάπτυγµα

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα

Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου

Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου Έστω V ένας διανυσματικός χώρος επί του σώματος F. Ορισμός : Ένα υποσύνολο S του διανυσματικού χώρου V θα λέμε ότι είναι βάση του V αν ισχύει Α) Η θήκη του S παράγει

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών

Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών Μαρίνα Χαραλαµπίδου Τµήµα Μαθηµατικών Τοµέας Αλγεβρας και Γεωµετρίας Πανεπιστηµίο Αθηνών Σεµινάριο Τοµέα Αλγεβρας και Γεωµετρίας 11/12/2012 1 / 47 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Κεφάλαιο Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων και Πίνακες Εισαγωγή στα Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων Η µελέτη των συστηµάτων γραµµικών εξισώσεων και των λύσεών τους είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ΛΥΣΕΙΣ 3 ης. Άσκηση 1. , z1. Παρατηρούµε ότι: z0 = z5. = + ) και. β) 1 ος τρόπος: Έστω z = x+ iy, x, = x + y.

ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ΛΥΣΕΙΣ 3 ης. Άσκηση 1. , z1. Παρατηρούµε ότι: z0 = z5. = + ) και. β) 1 ος τρόπος: Έστω z = x+ iy, x, = x + y. ΛΥΣΕΙΣ ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση 6 6 Λύση: α) 7z + z (cosπ + isi π ) π+ kπ π+ kπ Κατά συνέπεια z (cos + isi ), k,,, 5 Παίρνουµε τις ρίζες 6 6 z (cos + isi ) ( + i ) + i, π π 6 6 6 z (cos + isi ) (cos

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµοθεωρητικοί Αλγόριθµοι και το. To Κρυπτοσύστηµα RSA

Αριθµοθεωρητικοί Αλγόριθµοι και το. To Κρυπτοσύστηµα RSA Αριθµοθεωρητικοί Αλγόριθµοι και το Κρυπτοσύστηµα RSA Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Υπολογισµός Μέγιστου Κοινού ιαιρέτη Αλγόριθµος του Ευκλείδη Κλάσεις Ισοδυναµίας και Αριθµητική modulo

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές Στοχαστικά Σήµατα & Εφαρµογές Ανασκόπηση Στοιχείων Γραµµικής Άλγεβρας ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής ιανύσµατα Ορίζουµετοδιάνυσµα µε Ν στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αθηνών Αθήνα 2015 Περιεχόµενα 1 Μέτρο Lebesgue 3 1.1 Εξωτερικό µέτρο Lebesgue........................... 3

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχειώδεις µιγαδικές συναρτήσεις.

2. Στοιχειώδεις µιγαδικές συναρτήσεις. Στοιχειώδεις µιγαδικές συναρτήσεις Γενικά Εστω A, B και f : A B είναι µια απεικόνιση τέτοια ώστε σε κάθε µιγαδικό αριθµό A να αντιστοιχεί µοναδικός µιγαδικός αριθµός w= f Λέµε τότε ότι η f είναι µια µιγαδική

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ορισμός Έστω U R, U και f : U R R συνάρτηση τότε: )Το λέγεται τοπικό ελάχιστο της f αν υπάρχει περιοχή V του ώστε f f για κάθε V U Το λέγεται τοπικό μέγιστο της f αν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τρίτη 3 Απριλίου 3 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Σχολικό βιβλίο,

Διαβάστε περισσότερα

e-mail: s97130@math.aegean.gr soviet@teivos.samos.aegean.gr http://iris.math.aegean.gr/software/kerkis/

e-mail: s97130@math.aegean.gr soviet@teivos.samos.aegean.gr http://iris.math.aegean.gr/software/kerkis/ A Π α ν ε π ι ς τ ή µ ι ο Α ι γ α ί ο υ Σ χ ο λ ή Θ ε τ ι κ ώ ν Ε π ι ς τ η µ ώ ν Τ µ ή µ α Μ α θ η µ α τ ι κ ώ ν Πτυχιακή εργασία Εκπονητής Χουσαΐνοβ Αλέξανδρος Α.Μ. 311/1997130 Σάµος, 2002 Τίτλος : Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα