P(n 1, n 2... n k ) = n 1!n 2! n k! pn1 1 pn2 2 pn k. P(N L, N R ) = N! N L!N R! pn L. q N R. n! r!(n r)! pr q n r, n! r 1!r 2! r k!

Transcript

1 Ασκήσεις Πιθανοτήτων - Στατιστικής Πρόβλημα 1 (Η Πολυωνυμική Κατανομή). Στο πρόβλημα αυτό θα μελετήσουμε μία γενίκευση της διωνυμικής κατανομής που συναντήσαμε στο μάθημα. Συγκεκριμένα, θα δούμε τί συμβαίνει όταν τα σωματίδια του αερίου που μελετάμε έχουν περισσότερες από 2 πιθανές καταστάσεις (π.χ. δεξιά, αριστερά, πάνω και κάτω ). 1.1 Θεωρείστε ότι ρίχνουμε 4 φορές ένα αμερόληπτο ζάρι και καταγράφουμε το αποτέλεσμα σε μία λίστα (π.χ. μία τυπική καταγραφή θα μπορούσε να είναι η (1, 5, 4, 1)). Να βρεθεί με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να φέρουμε 2 φορές το 1, 1 φορά το 4 και 1 φορά το Με βάση την απάντηση στο προηγούμενο ερώτημα, υπολογίστε την πιθανότητα να φέρουμε σε 4 ρίψεις ενός αμερόληπτου ζαριού 2 φορές 1, 1 φορά 4 και 1 φορά Θεωρείστε τώρα ότι ένα σωματίδιο μπορεί να βρίσκεται στην κατάσταση i = 1, 2, 3 με πιθανότητες p 1, p 2, p 3 αντιστοίχως. Να δείξετε ότι αν έχουμε ένα σύστημα που αποτελείται από n τέτοια σωματίδια που δεν αλληλεπιδρούν (και άρα η κατάσταση του ενός είναι ανεξάρτητη από την κατάσταση των υπολοίπων), τότε η πιθανότητα να έχουμε n 1 σωματίδια στην κατάσταση (1), n 2 σωματίδια στην κατάσταση (2) και n 3 σωματίδια στην κατάσταση (3) δίνεται από τη σχέση: P(n 1, n 2, n 3 ) = n 1!n 2!n 3! pn1 1 pn2 2 pn3 3. Σημείωση. Η γενίκευση αυτής της κατανομής για καταστάσεις ονομάζεται πολυωνυμική και δίνεται από τη σχέχη: P(n 1, n 2... n ) = n 1!n 2! n! pn1 1 pn2 2 pn Προφανώς, για = 2 αναγόμαστε στη διωνυμική κατανομή που είδαμε στο μάθημα και που εκφράζει την πιθανότητα να έχουμε N L σωματίδια στην κατάσταση αριστερά και N R σωματίδια στην κατάσταση δεξιά : P(N L, N R ) = N! N L!N R! pn L q N R. Η ονομασία των κατανομών αυτών προέρχεται από το διωνυμικό θεώρημα: (p + q) n = και την αντίστοιχη πολυωνυμική του γενίκευση: (p 1 + p 2 p ) n = r=1 r 1=1 r 2=1 r!(n r)! pr q n r, r =1 r 1!r 2! r! pr1 1 pr2 2 pr. Με βάση το παραπάνω πρόβλημα, προσπαθείστε να αποδείξετε τις παραπάνω εκφράσεις. Σελ. 1 από 5

2 Ασκήσεις Μικροκανονικής Συλλογής: Διακριτές Μικροκαταστάσεις Πρόβλημα 2 (Σύστημα Ν κλασικών spin). Θεωρείστε ένα κλειστό σύστημα N κλασικών μη-αλληλεπιδρόντων σπιν παρουσία μαγνητικού πεδίου. Σε αυτήν την περίπτωση η ενέργεια του κάθε σπιν i = 1,..., N δίνεται από τη σχέση: ɛ i = σ i h όπου το σ i = ±1 ανάλογα αν το σπιν έχει την ίδια (+) ή αντίθετη (-) κατεύθυνση με το μαγνητικό πεδίο. 2.1 Την εντροπία του συστήματος S(E, N) συναρτήσει της ενέργειας E και αριθμού σωματιδίων N. 2.2 Την εντροπία του συστήματος S(T, N) συναρτήσει της θερμοκρασίας T και αριθμού σωματιδίων N. Βρείτε τα όρια της εντροπίας για T 0+ T + T T Τη μέση ενέργεια του συστήματος E(T, N) συναρτήσει της θερμοκρασίας T και αριθμού σωματιδίων N. 2.4 Τη θερμοχωρητικότητα του συστήματος C N (T, N) συναρτήσει της θερμοκρασίας T και αριθμού σωματιδίων N. Η θερμοχωρητικότητα ορίζεται ως C N = Βρείτε τα όρια της θερμοχωρητικότητας για T 0+ T + E(T, N) = T S(T, N) Πρόβλημα 3 (Σωματίδιο με τρεις ενεργειακές στάθμες). Θεωρείστε ένα σωματίδιο με τρεις δυνατές ενεργειακές στάθμες E = 0, ±, οι οποίες έχουν πιθανότητα εμφάνισης p ±, p 0 αντίστοιχα. 3.1 Εκφράστε την εντροπία του συστήματος S σαν συναρτήση των πιθανοτήτων του. 3.2 Βρείτε τις τιμές των p ±, p 0, οι οποίες μεγιστοποιούν την εντροπία του συστήματος, με δεδομένο φυσικά τη συνθήκη κανονικοποίησης p = 1 Υπολογίστε την αντίστοιχη εντροπία. Υπόδειξη. Ορίσετε μια Lagrangian του συστήματος S = S λ p και βρείτε τα ακρότατα ως προς τις πιθανότητες. Σελ. 2 από 5

3 3.3 Εστω ότι είναι γνωστό ότι η μέση ενέργεια του συστήματος είναι ɛ = p E = (p + p ) Βρείτε τις τιμές των p ±, p 0, οι οποίες μεγιστοποιούν την εντροπία του συστήματος με δεδομένη την παραπάνω συνθήκη κανονικοποίησης αλλάκαι τη συνθήκη της ενέργειας. Υπολογίστε την αντίστοιχη εντροπία. Πρόβλημα 4 (Εντροπία Ελληνικής Γλώσσας). Χρησιμοποιήστε τον τύπο της εντροπία που συζητήσαμε στην τάξη, για να υπολογίσετε την εντροπία της ελληνικής γλώσσας, λαμβάνωντας υπόψη τις συχνότητες των γραμμάτων που δίνονται στον παρακάτω πίνακα. Γράμμα Α Ο Ε Ι Τ Σ Ν Η Ρ Π Υ Κ Συχνότητα % Γράμμα Μ Λ Ω Γ Δ Χ Θ Φ Β Ξ Ζ Ψ Συχνότητα % Σελ. 3 από 5

4 Ασκήσεις Μικροκανονικής Συλλογής: Συνεχείς Μικροκαταστάσεις Πρόβλημα 5 (Κλασικό ιδανικό αέριο). Θεωρείστε ένα κλειστό σύστημα N ομοίων κλασικών μη-αλληλεπιδρόντων σωματιδίων με μάζα m μέσα σε έναν όγκο V, με το καθένα να έχει ενέργεια που δίνεται από τη σχέση: ɛ i = p i 2 2m όπου p i είναι το 3-διάστατο άνυσμα της ορμής του. 5.1 Την εντροπία του συστήματος S(E, V, N). 5.2 Τη μέση ενέργεια του συστήματος E(T, N). 5.3 Την εντροπία του συστήματος S(T, V, N). 5.4 Την θερμοχωρητικότητα (σε σταθερό όγκο) 5.5 Την πίεση του συστήματος P (T, V, N) C V = T P = T S(T, V, N) S(T, V, N) V Σημείωση. Θα χρειαστείτε τον τύπο για την επιφάνεια μιας σφαίρας με μοναδιαία ακτίνα σε d διαστάσεις. όπου Γ(d/2) = (d/2 1)! A d = 2πd/2 ( d 2 1)! Πρόβλημα 6 (Κλασικός Αρμονικός Ταλαντωτής). Θεωρείστε ένα κλειστό σύστημα N ομοίων κλασικών μη-αλληλεπιδρόντων σωματιδίων, των οποίων η ενέργεια δίνεται από τη σχέση ɛ i = p i 2 2m + mω2 x i Την εντροπία του συστήματος S(E, N). 6.2 Τη μέση ενέργεια του συστήματος E(T, N). 6.3 Την εντροπία του συστήματος S(T, N). 6.4 Την θερμοχωρητικότητα C V (T, N). Σημείωση. Στον υπολογισμό του όγκου στο χώρο των φάσεων, εξετάστε την αλλαγή μεταβλητής των ορμών και των θέσεων, έτσι ώστε να μετατρέπεται το πρόβλημα σε ολοκλήρωμα πάνω σε (υπερ)σφαίρα. Πρόβλημα 7 (Αέριο Διδιάστατων Διατομικών Μορίων). Εστω ένα κλειστό σύστημα N ομοίων διατομικών μορίων, με τα άτομα να έχουν ίση μάζα m και βρίσκονται σε σταθερή απόσταση μεταξύ τους ίση με r 1 r 2 = R. Τα μόρια και τα άτομα μπορούν να κινηθούν μόνο πάνω σε μία επιφάνεια. Δείξτε ότι η Hamiltonian του κάθε μορίου μπορεί να εκφραστεί σαν H = P c 2 4m + p2 φ mr 2 όπου το P c είναι η διδιάστατη ορμή του κέντρου μάζας, και p φ η στροφορμή του κάθε μορίου. Θεωρώντας τη μικροκανονική συλλογή, υπολογίστε τις εξής ποσότητες : Σελ. 4 από 5

5 7.1 Την εντροπία του συστήματος S(E, N). 7.2 Τη μέση ενέργεια του συστήματος E(T, N). 7.3 Την εντροπία του συστήματος S(T, N). 7.4 Την θερμοχωρητικότητα C A (T, N). Συγκρίνετε την θερμοχωρητικότητα με αυτήν του αντίστοιχου διδιάστατου μονοατομικού αερίου. Πρόβλημα 8 (Θερμοκρασία για δεδομένη εντροπία (Pathria 1.10) ). Ενα mole από αέριο Ar και ένα mole από αέριο He, τα οποία μπορούν να θεωρηθούν ιδανικά αέρια, βρίσκονται σε δοχεία με ίσο όγκο V. Αν η θερμοκρασία του Ar είναι T = 300K, ποια είναι η θερμοκρασία του He, αν θεωρηθεί ότι έχουν την ίδια εντροπία S; Πρόβλημα 9 (Εντροπία Μίξης (Pathria 1.11) ). Εστω ότι έχουμε τέσσερα moles αζώτου σε όγκο V 1 και ένα mole οξυγόνου σε όγκο V 2, τα οποία τα αναμειγνύουμε με τελικό όγκο V = V 1 + V 2. Εστω ότι πριν και μετά την ανάμειξη τα αέρια βρίσκονται σε θερμοκρασία T = 300K και πίεση P = 1Atm. Ποια είναι η εντροπία ανάμειξης S (διαφορά αρχικής και τελικής εντροπίας) ανά mole τελικού αερίου. Σελ. 5 από 5