Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου"

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 15. Ευστάθεια Συστημάτων (Ευστάθεια Lyapunov - Ασυμπτωτική Ευστάθεια) Νίκος Καραμπετάκης

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Περιεχόμενα Ενότητας Κατάσταση ισορροπίας. Ευσταθής κατάσταση ισορροπίας. Είδη ευστάθειας. Ευστάθεια της κατάστασης ισορροπίας γραμμικών και χρονικά αναλλοίωτων ελεύθερων συστημάτων. Θετικά ημι-ορισμένες, ορισμένες συναρτήσεις. Τετραγωνικές μορφές. Συνάρτηση Lyapunov. Θεώρημα Lyapunov. 4

5 Σκοποί Ενότητας Μελέτη της έννοιας της κατάστασης ισορροπίας και της ευσταθούς κατάστασης ισορροπίας. Μελέτη των είδων ευστάθειας: Ευσταθής κατά Lyapynov. Ομοιόμορφη ευστάθεια. Ασυμπτωτική ευστάθεια. Εκθετικά ευσταθής. Ολικά ασυμπτωτικά ευσταθής. Ολικά εκθετικά ευσταθής. 5

6 Κατάσταση ισορροπίας Έστω το σύστημα x t = f x t, t, t t 0, x t 0 x 0 R n Ορισμός. Μια κατάσταση x e x t e R n ονομάζεται κατάσταση ισορροπίας κατά την χρονική στιγμή t e αν για κάθε t t e, f x e, t = 0. x = Ax, Ax e = 0 x e = 0 αν Α αντιστρέψιμος 6

7 Παράδειγμα 1 Έστω το σύστημα x 1 = x 1 3 x 2 = x 1 + x 2 x 2 x 1 = 0 x 1 + x 2 x 3 2 = 0 x 1 = 0 x 2 = 0,1, 1 x e1 = 0 0, x e 2 = 0 1, x e 3 = 0 1 7

8 Παράδειγμα 2 Έστω το σύστημα x 1 t = x 2 t x 2 t = ksin x 1 t x 2 t = 0 ksin x 1 t = 0 x e2 = 0 x e1n = nπ, n = 0, ±1, ±2, n = 0 x e1 = 0 0 n = ±1 x e2 = ±π 0 8

9 Ευσταθής κατάσταση ισορροπίας Σχήμα 1. Διαισθητική ερμηνεία ευσταθούς κατάστασης ισορροπίας (κατά (1), ασυμπτωτικά ευσταθούς κατάστασης ισορροπίας (2), ασταθούς κατάστασης ισορροπίας (3) και ουδέτερης κατάστασης ισορροπίας (4)) 9

10 Ευσταθής κατάσταση ισορροπίας (κατά Lyapunov) 10

11 Ευσταθής (κατά Lyapynov) (1) Μία ανοικτή περιοχή S ε x e της κατάστασης ισορροπίας x e ακτίνας ε > 0 (ή μια ε-γειτονιά του x e ) είναι το σύνολο των καταστάσεων x t μέσα στη «μπάλα» με κέντρο x e και ακτίνα ε > 0: S ε x e x t : x t x e < ε 11

12 Ευσταθής (κατά Lyapynov) (2) Ορισμός. Η κατάσταση ισορροπίας x e ή ισοδύναμα η λύση ισορροπίας x t = x t; x e, t 0 ενός ελεύθερου συστήματος x t = f x t, t ονομάζεται ευσταθής (κατά Lyapynov) (κατά τον χρόνο t 0 ) (Lyapunov stable at time t 0 ) αν για κάθε δεδομένο χρόνο t 0 και για κάθε ε > 0, υπάρχει σταθερά δ(ε, t 0 ) > 0 τέτοια ώστε με x 0 = x t 0 αν x 0 x e < δ ε, t 0 τότε για κάθε t t 0. x t; x 0, t 0 x e < ε 12

13 Ομοιόμορφα ευσταθής Ο αριθμός δ εξαρτάται από τον αριθμό ε και γενικά εξαρτάται επίσης από τον χρόνο t 0. Αν ο δ δεν εξαρτάται από τον t 0, τότε η κατάσταση ισορροπίας x e ονομάζεται ομοιόμορφα ευσταθής. Αν μια κατάσταση ισορροπίας x e είναι ομοιόμορφα ευσταθής, τότε είναι και ευσταθής. 13

14 Ασυμπτωτική ευστάθεια (1) Ορισμός. Η κατάσταση ισορροπίας x e ή ισοδύναμα η λύση ισορροπίας x t; x e, t 0 = x e ενός ελεύθερου συστήματος x t = f x t, t ονομάζεται ασυμπτωτικά ευσταθής (asymptotically stable), αν α) είναι ευσταθής (κατά τον χρόνο t 0 ) (κατά Lyapunov) και β) για κάθε t 0 υπάρχει αριθμός δ(t 0 ) τέτοιος αν x 0 x e < δ t 0 τότε ή lim t x t; x 0, t 0 = x e 14

15 Ασυμπτωτική ευστάθεια (2) ισοδύναμα για κάθε ε 1 > 0 υπάρχει χρόνος T ε 1, x 0, t 0 τέτοιος αν x 0 x e < δ t 0 τότε για κάθε t > t 0 + T. x t; x 0, t 0 x e < ε 1 Το σύνολο όλων των αρχικών καταστάσεων x t 0 =: x 0 R n για τις οποίες lim x t; x 0, t 0 = x e ονομάζεται περιοχή t έλξης της κατάστασης ισορροπίας x e. 15

16 Παράδειγμα 3 (1) x 1 t = θ t x 2 t = θ t x 1 t = x 2 t x 2 t = θ t = g l sin θ t x 2 t = g l sin x 1 t d 2 θ dt 2 + g l sinθ = 0 16

17 Παράδειγμα 3 (2) y t = θ t = x 1 t g = 9.81 m sec2, l = 1m x 1 t = x 2 t x 2 t = 9.81 sin x 1 t d 2 θ dt 2 + g l sinθ = 0 17

18 Παράδειγμα 3 (3) In[151]:= Out[151]= In[152]:= Out[152]= s NDSolve x ' t y t, y ' t 9.81 Sin x t, x 0 0.1, y 0 0, x t, y t, t, 0, 10 x t InterpolatingFunction 0., 10., t, y t InterpolatingFunction 0., 10., t Plot Evaluate x t. s, t, 0,

19 Παράδειγμα 3 (4) In[18]:= StreamDensityPlot x2, Sin x1, x1, 3.14, 3.14, x2, 3.14, 3.14, ColorFunction "RedBlueTones", StreamStyle Black, Axes True, ImageSize Large, AspectRatio Automatic 19

20 Παράδειγμα 3 (5) In[19]:= StreamDensityPlot x2, Sin x1 x2, x1, 3.14, 3.14, x2, 3.14, 3.14, ColorFunction "RedBlueTones", StreamStyle Black, Axes True, ImageSize Large, AspectRatio Automatic 20

21 Παράδειγμα 3 (6) 21

22 Ολική ασυμπτωτική ευστάθεια Ορισμός. Η κατάσταση ισορροπίας x e ενός ελεύθερου συστήματος ονομάζεται ολικά ασυμπτωτικά ευσταθής (asymptotically stable in the large), αν είναι ευσταθής (κατά Lyapunov) και για κάθε αρχική κατάσταση x 0 R n η λύση x t; x 0, t 0 συγκλίνει στην κατάσταση ισορροπίας x e, καθώς ο χρόνος t. Ορισμός. Η κατάσταση ισορροπίας x e ενός ελεύθερου συστήματος ονομάζεται ασταθής, αν υπάρχει ε > 0 τέτοιο ώστε για κανένα δ δεν ικανοποιούνται οι συνθήκες ευστάθειας κατά Lyapunov. 22

23 Αλλαγή του σημείου ισορροπίας Αρχικό Σύστημα x t = f x t, t, t t 0 f x e, t = 0 για x e 0 x t x t x e x t = x t + x e x e = 0 x t = x t = f(x t + x e, t), t t 0 f 1 x t, t f x t + x e, t x t = f 1 x t, t Τελικό Σύστημα f 1 0, t = f 0 + x e, t = f x e, t = 0 x e = 0 είναι κατάσταση ισορροπίας 23

24 Ευσταθής (κατά Lyapunov) (2) Ορισμός. Η κατάσταση ισορροπίας x t; x 0, t 0 = x e = 0 ονομάζεται ευσταθής (κατά Lyapunov) αν για κάθε ε > 0, υπάρχει δ = δ(ε) > 0 τέτοιο ώστε αν x 0 < δ, τότε x t; x 0, t 0 < ε για κάθε t 0. 24

25 Ασυμπτωτικά ευσταθής Ορισμός. Η κατάσταση ισορροπίας x t; x 0, t 0 = x e = 0 ονομάζεται ασυμπτωτικά ευσταθής αν είναι ευσταθής κατά Lyapunov και υπάρχει δ>0 τέτοιο ώστε αν x 0 < δ, τότε lim x t; x 0, t 0 = 0. t 25

26 Εκθετικά ευσταθής Ορισμός. Η κατάσταση ισορροπίας x t; x 0, t 0 = x e = 0 ονομάζεται εκθετικά ευσταθής αν υπάρχουν σταθερές α > 0, β > 0, δ > 0 τέτοιες ώστε αν x 0 < δ, τότε x t; x 0, t 0 < ae βt, t 0. 26

27 Ολικά ασυμπτωτικά/εκθετικά ευσταθής Ορισμός. Η κατάσταση ισορροπίας x t; x 0, t 0 = x e = 0 ονομάζεται ολικά ασυμπτωτικά ευσταθής αν είναι ευσταθής (κατά Lyapunov) και για όλες τις αρχικές συνθήκες x 0 R n, lim x t; x 0, t 0 = 0. t Ορισμός. Η κατάσταση ισορροπίας x t; x 0, t 0 = x e = 0 ονομάζεται ολικά εκθετικά ευσταθής αν υπάρχουν σταθερές α > 0, β > 0, δ > 0 τέτοιες ώστε αν x 0 < δ, τότε x t; x 0, t 0 < ae βt, t 0για όλες τις αρχικές συνθήκες x 0 R n. Ορισμός. Η κατάσταση ισορροπίας x t; x 0, t 0 = x e = 0 ονομάζεται ασταθής αν δεν είναι ευσταθής (κατά Lyapunov). 27

28 Θετικά ημι-ορισμένες συναρτήσεις V x : R n R S ε x e x t : x t x e < ε x = x 1 x 2 x n T R n S k 0 x R n : x k Ορισμός. Η συνάρτηση V x ονομάζεται θετικά ημιορισμένη στην S k 0, αν για όλα τα x S k 0 1. η V x έχει συνεχείς μερικές παραγώγους ως προς τις συνταταγμένες x i, i = 1,2,, n του x. 2. V 0 = V x 0. 28

29 Θετικά ορισμένες συναρτήσεις Ορισμός. Η συνάρτηση V x ονομάζεται θετικά ορισμένη στην S k 0, αν για όλα τα x S k 0 1. η V x έχει συνεχείς μερικές παραγώγους ως προς τις συνταταγμένες x i, i = 1,2,, n του x. 2. V 0 = 0 3. V x > 0. Ορισμός. Η συνάρτηση V x ονομάζεται αόριστη αν για x S k 0 λαμβάνει θετικές και αρνητικές τιμές. 29

30 Παράδειγμα 4 V x = x 2 = x x x n 2 θετικά ορισμένη V x = x x 2 2 θετικά ορισμένη μόνο αν n = 2 εφόσον για x 1 = x 2 = 0, V x = 0 V x = x 1 + x 2 2 θετικά ημι-ορισμένη x = x 2 x 2 x n T 0 V x = 0 30

31 Τετραγωνικές μορφές V x = x T Rx r 11 r 12 r 1n x 1 r = x 1 x 2 x 21 r 22 r 2n x 2 n = r n1 r n2 r nn x n = r 11 x r 12 + r 21 x 1 x r 1n + r n1 x 1 x n + r 22 x r 23 + r 32 x 2 x r nn x n όπου R R n n συμμετρικός πίνακας. 31

32 Θεώρημα Sylvester Θεώρημα Sylvester Η ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι η τετραγωνική μορφή V x = x T Rx θετικά ορισμένη είναι: οι πρωτεύουσες ορίζουσες του R είναι μεγαλύτερες του μηδενός ή det r 11 > 0, det r r 11 r 11 r 12 r r 21 r > 0, det r 21 r 22 r 23 > 0, 22 r 31 r 32 r 33, detr > 0 Αν οποιαδήποτε από τις παραπάνω ορίζουσες ισούται με μηδέν, η συνάρτηση V x είναι θετικά ημι-ορισμένη. 32

33 Παράδειγμα 5 V x = 2x x 1 x 2 + 4x x 2 3 4x 1 x 3 V x είναι θετικά ορισμένη x 1 V x = x T Rx = x 1 x 2 x x x 3 det r 11 = det2 = 2 > 0, det r 11 r 12 r 21 r = det = 7 > 0, r 11 r 12 r 13 det r 21 r 22 r 23 = det r 31 r 32 r = 19 > 0 33

34 Παράδειγμα 6 V x = 2x x 2 2 V x είναι θετικά ορισμένη V x = x 1 x x 1 x 2 = x T Rx > 0 θετικά ορισμένη. V x 2 = x 1 V x είναι θετικά ημι-ορισμένη V x = x 1 x 1 0 x x = x T Rx 0 θετικά ημιορισμένη. 2 34

35 Μπορούμε να πάρουμε R συμμετρικό στην μορφή x Rx ; V x = x T Rx = V x Τ = x T Rx Τ = x Τ R T x x T Rx = 1 2 xt Rx xt Rx = 1 2 xt Rx xt R T x R + RT T = x 2 x = x T R s x R s R+RT 2 είναι συμμετρικός πίνακας R s T = R + RT 2 T = R + RT 2 = R s 35

36 Θεώρημα του Schur Αν R R n n είναι συμμετρικός, αν δηλαδή R = R T, τότε οι ιδιοτιμές του R είναι πραγματικοί αριθμοί. Έστω λ = σ + jω C, σ, ω R και u = x + jy C n 1, x, y R n 1 Ru = λu u T Ru = λu T u Έχουμε ότι λ = σ jω C, σ, ω R και u = x jy C n 1, x, y R n 1 Ru = λ u u T Ru = λ u T u λ u T u = λ u T u T = λ u T u = u T Ru T = u T R T u = u T Ru = λu T u = λu T u u 0 u T u 0 λ = λ λ = σ R 36

37 Θεώρημα (1) Θεώρημα. Η τετραγωνική μορφή V x = x T Rx όπου R = R T είναι θετικά ορισμένη αν και μόνο αν όλες οι ιδιοτιμές λ i, i = 1,2,, n του R είναι θετικοί αριθμοί. Θεώρημα Η τετραγωνική μορφή V x = x T Rx όπου R = R T είναι θετικά ημι-ορισμένη αν και μόνο αν όλες οι ιδιοτιμές λ i, i = 1,2,, n του R είναι μη αρνητικοί αριθμοί. 37

38 Παράδειγμα 7 Έστω V x = x T Rx = x 1 x 2 6 x x = 2 = 2x x 1 x 2 + 2x 2 V x = x T R + R Rx = x 1 x T 2 2 = x 1 x 2 3 x x Οι ιδιοτιμές του πίνακα είναι 5, Η 2x x 1 x 2 + 2x 2 είναι αόριστη. x 1 x 2 38

39 Απλή-Κλειστή επιφάνεια V x : R n R S = x R n : V x = K για K > 0 Το σύνολο S ονομάζεται επιφάνεια στον R n. Απλή επιφάνεια S στον R n δεν τέμνει τον εαυτό της x 1 x 2 V x 1 V x 2 Κλειστή επιφάνεια Τέμνει όλες τις καμπύλες που ξεκινούν από το σημείο x = 0 και καταλήγουν στο άπειρο. 39

40 Απλή κλειστή επιφάνεια (1) Αν η βαθμωτή συνάρτηση V x είναι θετικά ορισμένη και V x, όταν x τότε το σύνολο των σημείων S = x R n : V x = K για K > 0 αποτελεί απλή κλειστή επιφάνεια. Επιπλέον, αν 0 < K 1 < K 2 η επιφάνεια V x περιβάλλει την επιφάνεια V x = K 1. Παράδειγμα: V x = x T Rx = x 1 x = K 2 πλήρως x 1 x 2 = x x 1 x 2 + 4x

41 Απλή κλειστή επιφάνεια (2) S 1 = x R 2 : V x = 2 S 2 = x R 2 : V x = 1 41

42 Συνάρτηση Lyapunov x t = f x t (1) Μία θετικά ορισμένη βαθμωτή συνάρτηση V x ονομάζεται συνάρτηση του Lyapunov αν το διάνυσμα x είναι λύση της (1) και έχει συνεχείς πρώτες μερικές παραγώγους ως προς τις συντεταγμένες x i t, i = 1,2,, n της λύσης x t της (1). dv x t V x t dx 1 t V x t dx n t V x = + + dt dx 1 dt dx n dt n n V x t V x t = x i t = f dx i dx i x i i=1 x t = Ax t, V x = x T x V x = dxt dt i=1 dx x + xt = dt xt A T x + x T Ax = x T A T + A x 42

43 Θεώρημα (2) Θεώρημα. Η κατάσταση ισορροπίας στην αρχή των συντεταγμένων του R n ή η μηδενική λύση x t; x e, t 0 = x e = 0 του συστήματος (1), είναι ευσταθής (κατά Lyapunov) αν σε μία περιοχή S k 0 = x R n : x k, k > 0 της αρχής των συντεταγμένων του R n υπάρχει μία συνάρτηση Lyapunov V x τέτοια ώστε η παράγωγος της V x υπολογισμένη επάνω στις λύσεις x t; x e, t 0 της (1) είναι αρνητικά ημι-ορισμένη, αν δηλαδή dv x t dt = n i=1 V x t dx i f i x 0. 43

44 Θεώρημα (3) Θεώρημα. Η κατάσταση ισορροπίας στην αρχή των συντεταγμένων του R n ή η μηδενική λύση x t; x e, t 0 = x e = 0 του συστήματος (1), είναι ασυμπτωτικά ευσταθής (κατά Lyapunov) αν σε μία περιοχή S k 0 = x R n : x k, k > 0 της αρχής των συντεταγμένων του R n υπάρχει μία συνάρτηση Lyapunov V x τέτοια ώστε η παράγωγος της V x υπολογισμένη επάνω στις λύσεις x t; x e, t 0 της (1) είναι αρνητικά ορισμένη, αν δηλαδή dv x t dt = n i=1 V x t dx i f i x < 0. 44

45 Ασυμπτωτική ευσταθεια της κατάστασης ισορροπίας στην αρχή των αξόνων (1) Ασυμπτωτική ευσταθεια της κατάστασης ισορροπίας στην αρχή των αξόνων στον R 2. 45

46 Ασυμπτωτική ευσταθεια της κατάστασης ισορροπίας στην αρχή των αξόνων (2) 46

47 Παράδειγμα 8 Έστω το σύστημα V x x 1 t x 2 t Ευσταθής κατά Lyapunov. = x 1 t x 2 t x e = x 1e x = 0 2e 0 V x = x 2 1 t + x 2 2 t = 2x 1 t x 1 t + 2x 2 t x 2 t = 2x 1 t x 2 t 2x 2 t x 1 t = 0 47

48 Παράδειγμα 9 Έστω το σύστημα x 1 t = x 1 t + x 2 t x 2 t = x 1 t x 2 t x 3 2 t x e = x 1e x = 0 2e 0 V x = x 2 1 t + x 2 2 t V x = 2x 1 t x 1 t + 2x 2 t x 2 t = = 2x 1 t x 1 t + x 2 t + 2x 2 t x 1 t x 2 t x 3 2 t = 2x 2 1 t 2x 2 2 t 2x 4 2 t = 2x 2 1 t 2x 2 2 t 1 + x 2 2 t V 0 = 0 x t 0, V x < 0 V x είναι αρνητικά ημι-ορισμένη. 48

49 Ευσταθής κατά Lyapunov x t = Ax t x t = x t; x 0, 0 = e At x 0 Ευσταθής κατά Lyapunov Αν για κάθε ε > 0 υπάρχει δ(ε) > 0 τέτοιο ώστε x 0 x e < δ t t 0 Κατάσταση ισορροπίας x e x e = e At x e x t; x 0, t 0 x e < ε 49

50 Θεώρημα 4 (1) Θεώρημα. Κάθε κατάσταση ισορροπίας x e της (1) είναι ευσταθής (κατά Lyapunov) αν και μόνο αν ο πίνακας e At είναι φραγμένος ή ισοδύναμα αν και μόνο αν υπάρχει σταθερά k τέτοια ώστε e At k <, t 0. Έστω ότι υπάρχει σταθερά k τέτοια ώστε e At k x e μία κατάσταση ισορροπίας x t x e = e At x 0 x e x t x e = e At x 0 x e e At x 0 x e k x 0 x e kδ = ε για κάθε ε > 0, δ = ε. k 50

51 Θεώρημα 4 (2) ( )x e είναι ευσταθής ο e At δεν είναι φραγμένος τουλάχιστον ένα στοιχείο ψ ij t του e At δεν είναι φραγμένο x 0 έτσι ώστε lim ψ ij t t x 0 x e = 0 0 a j 0 T, a j 0 x t x e = ψ 1j t ψ 2j t ψ ij t a j ψ nj t T lim x t x e x e δεν είναι ευσταθής t 51

52 Νόρμα του e At (1) J = Q 1 AQ κανονική μορφή Jordan J: = block diag J 1 J 2 J r R n n J i : = block diag J i1 J i2 J in R m i m i m i : = m i1 + m i2 + + m in, i = 1,2,, r ιδιοτιμή λ i J ij = λ i λ i λ i λ i R m ij m ij e At = Qe Jt Q 1 52

53 Νόρμα του e At (2) e Jt = e J it = e J 1t e J 2t e J rt e J i1t e J i2t e J irt 53

54 Νόρμα του e At (3) e J ijt = ! t 1 2! t m ij 1! tm ij 1 1 1! t 1 m ij 2! tm ij 2 1 m ij 3! tm ij 3 1 1! t e Jt = Q 1 e At Q = Q 1 e At Q e λ it 54

55 Νόρμα του e At (4) όπου k = 0,1,2,, m ij 1. λ i = σ i + jω i t k e σ it+jω i t Re λ i = σ i < 0 t k e σ it+jω i t είναι φραγμένη. Re λ i = σ i = 0 t k e σ it+jω i t είναι φραγμένη αν και μόνο αν k = 0. 55

56 Θεώρημα 5 (1) Θεώρημα. Κάθε κατάσταση ισορροπίας x e της (1) είναι ευσταθής (κατά Lyapunov), αν και μόνο αν όλες οι ιδιοτιμές λ i, i = 1,2,.., r του Α έχουν πραγματικό μέρος Re λ i 0 και οι ιδιοτιμές λ i με πραγματικό μέρος Re λ i = 0, i = 1,2,, q αποτελούν απλές ρίζες του ελάχιστου πολυωνύμου ψ n s του Α, έχουν δηλαδή πολλαπλότητες m ij = 1 για i = 1,2,, q. Ισοδύναμα η κατάσταση ισορροπίας x e της (1) είναι ευσταθής (κατά Lyapunov) αν και μόνο αν το ελάχιστο πολυώνυμο ψ n s του Α έχει τη μορφή 56

57 Θεώρημα 5 (2) ψ n s = s λ 1 m 1n s λ 2 m 2n s λ r m rn q = s m 1n s jω i m in i=2 r i=r q s λ i m in όπου m 1n = 0,1, m in = 0,1, i = 2,3,, q και Re λ i < 0, i = r q, r q + 1,.., r. Ισοδύναμα, αν J είναι η κανονική μορφή Jordan του Α τότε τα Jordan blocks που αντιστοιχούν στις ιδιοτιμές λ i με Re λ i = 0 έχουν όλα διαστάσεις 1 1 και όλα τα Jordan blocks που έχουν διαστάσεις ίσες ή μεγαλύτερες με 2 2 αντιστοιχούν σε ιδιοτιμές λ i με Re(λ i ) < 0. 57

58 Παράδειγμα 10 (1) Έστω το σύστημα x t = s 0 0 si 3 A = 0 s s + 1 Ιδιοτιμές: x 1 t x 2 t x 3 t λ 1 = 0 με πολλαπλότητα 2 λ 2 = 1 58

59 Παράδειγμα 10 (2) m 0 s : = 1, m 1 s = ΜΚΔ s, s, s + 1,0,0,0,0,0,0 = 1 ψ 1 s = m 1 s m 0 s =1 m 2 s = ΜΚΔ s 2, 0,0,0, s s + 1, s s + 1, 0 = s ψ 2 s = m 2 s =s m 1 s m 3 s = det si 3 A = s 2 s + 1 ψ 3 s = m 3 s = s s + 1 m 2 s 59

60 Παράδειγμα 10 (3) J 1 = J 12 0 = J e J1t = J 23 = J 2 = 1, e J2t = e t e Jt = e J 1t 0 0 e J 2t = Ευσταθής κατά Lyapunov e t 60

61 Παράδειγμα 11 Έστω το σύστημα x 1 t x t = x 2 t x 3 t ψ 1 s = ψ 2 s = 1, ψ 3 s = s 2 s + 1 J 13 = = J 1, e J13t = e J1t = 1 t 0 1 J 23 = 1 = J 2, e J2t = e t e Jt = e J 1t 0 0 e J 2t = 1 t e t 61

62 Θεώρημα 6 (1) Θεώρημα. Η κατάσταση ισορροπίας x e = 0 της (1) είναι ασυμπτωτικά ευσταθής αν και μόνο αν όλες οι ιδιοτιμές λ i, i = 1,2,.., r του A R n n έχουν αρνητικό πραγματικό μέρος, αν δηλαδή Re λ i < 0, i = 1,2,.., r. Ορισμός. Ένας πίνακας A R n n του οποίου όλες οι ιδιοτιμές λ i, i = 1,2,.., r έχουν αρνητικό πραγματικό μέρος ονομάζεται ασυμπτωτικά ευσταθής. V x = x T Rx, R = R T > 0 V x t < 0 62

63 Θεώρημα 6 (2) V x t = x T t Rx t + x T t Rx t = = x T t A T Rx t + x T t RAx t = x T t A T R + RA x t Αν ορίσουμε A T R + RA: = Q τότε V x t = d dt V x t = xt t Qx t όπου Q = Q T > 0. 63

64 Θεώρημα (Lyapunov) (1) Θεώρημα (Lyapunov) Όλες οι ιδιοτιμές λ i = σ i + jω i, i = 1,2,, n του πίνακα A R n n έχουν αρνητικό πραγματικό μέρος Re λ i = σ i < 0, i = 1,2,, n (ο A R n n είναι ασυμπτωτικά ευσταθής) αν και μόνο αν για κάθε συμμετρικό και θετικά ορισμένο πίνακα Q R n n (δηλαδή για κάθε Q = Q T > 0) η λύση R R n n της εξίσωσης Lyapunov A T R + RA: = Q είναι συμμετρική και θετικά ορισμένη. 64

65 Θεώρημα (Lyapunov) (2) 1. Διαλέγουμε ένα αυθαίρετο αλλά συμμετρικό και θετικά ορισμένο πίνακα Q π.χ. τον μοναδιαίο πίνακα I n. 2. Λύνουμε την εξίσωση Lyapunov A T R + RA: = Q ως προς R. 3. Αν ο πίνακας R είναι θετικά ορισμένος, τότε ο πίνακας Α είναι ασυμπτωτικά ευσταθής. Αν ο πίνακας R δεν είναι θετικά ορισμένος τότε ο πίνακας Α δεν είναι ασυμπτωτικά ευσταθής. 65

66 Παράδειγμα 12 (1) Έστω A = Έχει ιδιοτιμές: -1,-1, είναι ασυμπτωτικά ευσταθής R = Q = A T R + RA = Ο Q είναι αόριστος =

67 Παράδειγμα 12 (2) R είναι θετικά ορισμένος Q = Q = A T R + RA R =

68 Παράδειγμα 12 (3) In[5]:= a 1, 3, 0, 1 ; In[6]:= p r 11, r 12, r 21, r 22 Out[6]= r 11, r 12, r 21, r 22 In[7]:= Reduce Transpose a.p p.a IdentityMatrix 2, r 11, r 12, r 21, r 22 Out[7]= r && r && r && r

69 Θεώρημα (Lyapunov) (3) Θεώρημα (Lyapunov) Όλες οι ιδιοτιμές λ i = σ i + jω i, i = 1,2,, n του πίνακα A R n n έχουν αρνητικό πραγματικό μέρος Re λ i = σ i < 0, i = 1,2,, n (ο A R n n είναι ασυμπτωτικά ευσταθής) αν και μόνο αν για κάθε συμμετρικό και θετικά ορισμένο πίνακα Q R n n (δηλαδή για κάθε Q = Q T > 0) η λύση R R n n της εξίσωσης Lyapunov A T R + RA: = Q είναι συμμετρική και θετικά ορισμένη. 69

70 Θεώρημα (Lyapunov) (4) Λύση R = e ATt Qe At dt 0 Το ολοκλήρωμα είναι καλά ορισμένο (πεπερασμένο) δεδομένου ότι ο πίνακας Α είναι ασυμπτωτικά ευσταθής και συνεπώς η νόρμα του πίνακα μέσα στο ολοκλήρωμα συγκλίνει στο μηδέν εκθετικά καθώς ο χρόνος πάει στο άπειρο. Συνεπώς το ολοκλήρωμα συγκλίνει απολύτως. Ο πίνακας R ικανοποιεί την εξίσωση: 70

71 Θεώρημα (Lyapunov) (5) A T R + RA = A T e ATt Qe At dt = A T e ATt Qe At dt e ATt Qe At dt 0 + e ATt Qe At Adt = A T e ATt Qe At + e ATt Qe At A dt 0 d = dt e ATt Qe At dt = 0 = e ATt Qe At + = lim e ATt Qe At e AT 0 Qe A 0 0 t 0 = = A = = Q 71

72 Θεώρημα (Lyapunov) (6) Ο πίνακας R είναι συμμετρικός: R T = 0 + e ATt Qe At T dt = + 0 e At T Q T e AT t T T dt Ο πίνακας R είναι θετικά ορισμένος: z T Rz = + 0 z T e ATt Qe At zdt + z T Rz = 0 w T t Qw t dt 0 0, t 0 z = 0 Q=Q T 0 + e ATt Qe At T dt + = w T t Qw t dt 0 = R 0, Q > 0 = 0 w t = 0 e At z = 72

73 Θεώρημα (Lyapunov) (7) Η λύση R είναι μοναδική: A T R 1 + R 1 A = Q A T R 2 + R 2 A = Q A T R 1 R 2 + R 1 R 2 A = 0 e ATt A T R 1 R 2 e At + e ATt R 1 R 2 Ae At = 0 d dt e ATt R 1 R 2 e At = 0 e ATt R 1 R 2 e At = c R lim e ATt R 1 R 2 e At = 0 t R 1 = R 2 73

74 Παράδειγμα 13 Έστω Q = I 2, R = A = e ATt Qe At dt In[2]:= a 1, 3, 0, 1 ; In[5]:= r Integrate MatrixExp Transpose a t.identitymatrix 2. MatrixExp a t, t, 0, Infinity Out[5]= 1 2, 3 4, 3 4, 11 4 In[4]:= Out[4]= Det

75 Βιβλιογραφία Βαρδουλάκης Α.Ι.Γ., 2012, Εισαγωγή στην Μαθηματική Θεωρία Σημάτων, Συστημάτων και Ελέγχου, Τόμος Β.. Εκδόσεις Τζιόλα. Antsaklis P. and Michel A.N., 1977, Linear Systems, The McGraw-Hill Companies Inc. New York. Charles Ε., Donald G., James L., Melsa J., Rohrs C., Schultz D., 1996, Γραμμικά συστήματα αυτομάτου ελέγχου, Εκδόσεις Τζιόλα. Chen C.T., 1970, Introduction to Linear System Theory, Holt, Renehart and Winston Inc. New York. Kailath T., 1980, Linear Systems, Prentice Hall. 75

76 Σημείωμα Αναφοράς Copyright, Νικόλαος Καραμπετάκης. «. Ενότητα 15. Ευστάθεια Συστημάτων (Ευστάθεια Lyapunov - Ασυμπτωτική Ευστάθεια)». Έκδοση: 1.0. Θεσσαλονίκη Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: 76

77 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά - Παρόμοια Διανομή [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. [1] 77

78 Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 78

79 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τέλος Ενότητας Επεξεργασία: Αναστασία Γ. Γρηγοριάδου Θεσσαλονίκη, Εαρινό εξάμηνο

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 18. Ασυμπτωτική ευστάθεια και σταθεροποιησιμότητα γραμμικών συστημάτων Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Επίλυση Διακριτών Γραμμικών Συστημάτων Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 22. Ανατροφοδότηση εξόδου Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 7. Ισοδύναμες Περιγραφές Συστημάτων Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 9. Επανατοποθέτηση πόλων σε συστήματα πολλών εισόδων Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6: Συνάρτηση Μεταφοράς Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 8: Ομοιότητα και Όμοιες Περιγραφές Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 16. Ανάστροφο εκκρεμές (ανάδραση κατάστασης) Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Διακριτοποίηση συστημάτων Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 20. Παρατηρητής Κατάστασης Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 14. Ελάχιστες Πραγματώσεις Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3. Κανονικές μορφές Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 12. Παρατηρησιμότητα Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 11. Ελεγξιμότητα (μέρος 2ο) Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 7: Χρονική απόκριση συστημάτων Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Ο μετασχηματισμός Laplace Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 12: Κριτήρια Σύγκλισης Σειρών. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 12: Κριτήρια Σύγκλισης Σειρών. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Κριτήρια Σύγκλισης Σειρών Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 4: Ιδιότητες συστημάτων Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 6: Ακρότατα Συνάρτησης. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 6: Ακρότατα Συνάρτησης. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6: Ακρότατα Συνάρτησης Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 15: Επίλυση διοφαντικών εξισώσεων πολυωνύμων Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 11: Γεωμετρικός τόπος των ριζών Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 3. Ενότητα 19: Θεώρημα Πεπλεγμένων (γενική μορφή) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Λογισμός 3. Ενότητα 19: Θεώρημα Πεπλεγμένων (γενική μορφή) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 19: Θεώρημα Πεπλεγμένων (γενική μορφή) Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 10: Γραμμικό Τετραγωνικό Πρόβλημα. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών

Ενότητα 10: Γραμμικό Τετραγωνικό Πρόβλημα. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 10: Γραμμικό Τετραγωνικό Πρόβλημα Νίκος Καραμπετάκης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 6: Ακρότατα συναρτησιακών διανυσματικών συναρτήσεων. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών

Ενότητα 6: Ακρότατα συναρτησιακών διανυσματικών συναρτήσεων. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6: Ακρότατα συναρτησιακών διανυσματικών συναρτήσεων Νίκος Καραμπετάκης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 4: Εισαγωγή στο Λογισμό Μεταβολών. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών

Ενότητα 4: Εισαγωγή στο Λογισμό Μεταβολών. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 4: Εισαγωγή στο Λογισμό Μεταβολών Νίκος Καραμπετάκης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6: Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 15: Ολοκληρώματα Με Ρητές Και Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 15: Ολοκληρώματα Με Ρητές Και Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Ολοκληρώματα Με Ρητές Και Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 16: Ολοκλήρωση Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων, Γενικευμένα Ολοκληρώματα Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 16: Ολοκλήρωση Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων, Γενικευμένα Ολοκληρώματα Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 16: Ολοκλήρωση Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων, Γενικευμένα Ολοκληρώματα Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 14: Κριτήριο Nyquist Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 17: Αριθμητική Ολοκλήρωση, Υπολογισμός Μήκους Καμπύλης Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 17: Αριθμητική Ολοκλήρωση, Υπολογισμός Μήκους Καμπύλης Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 7: Αριθμητική Ολοκλήρωση, Υπολογισμός Μήκους Καμπύλης Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 9: Κίνηση Σε Πολικές Συντεταγμένες. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 9: Κίνηση Σε Πολικές Συντεταγμένες. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 9: Κίνηση Σε Πολικές Συντεταγμένες Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Ceative

Διαβάστε περισσότερα

Εκκλησιαστικό Δίκαιο. Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Τμήμα Νομικής Α.Π.Θ.

Εκκλησιαστικό Δίκαιο. Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Τμήμα Νομικής Α.Π.Θ. ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 6: Το γραμμικό τετραγωνικό πρόβλημα βέλτιστης Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα Αδειοδότησης

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 4 Ενότητα 10

Λογισμός 4 Ενότητα 10 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 10: Διαιρέσεις της μονάδας και επέκταση του ολοκληρώματος. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 14: Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες, Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 14: Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες, Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 1: Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες, Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 5: Το γραμμικό τετραγωνικό πρόβλημα ρύθμισης (LQ Regulators) Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 3. Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Λογισμός 3. Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 19: Υπολογισμός Εμβαδού και Όγκου Από Περιστροφή (2 ο Μέρος) Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 19: Υπολογισμός Εμβαδού και Όγκου Από Περιστροφή (2 ο Μέρος) Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 19: Υπολογισμός Εμβαδού και Όγκου Από Περιστροφή ( ο Μέρος) Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας

Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας Ενότητα 7η: Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Ιστορία της μετάφρασης

Ιστορία της μετάφρασης ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6: Μεταφραστές και πρωτότυπα. Ελένη Κασάπη ΤΜΗΜΑ ΑΓΓΛΙΚΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ ΚΑΙ ΦΙΛΟΛΟΓΙΑΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 8: Συστήματα πρώτης και δεύτερης τάξης Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας

Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας Ενότητα 10η: Απεσταλμένοι του Ρωμαίου Ποντίφικα και Ρωμαϊκή Κουρία Κυριάκος Κυριαζόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Και Στατιστική Στη Βιολογία

Μαθηματικά Και Στατιστική Στη Βιολογία ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά Και Στατιστική Στη Βιολογία Ενότητα : Λύση διαφορικών εξισώσεων & εξισώσεων διαφορών Μελέτη Ισορροπίας Στέφανος Σγαρδέλης Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Θεωρία Ελέγχου

Κλασική Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κλασική Θεωρία Ελέγχου Ενότητα 2: Σήματα Συνεχούς Χρόνου Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΑΝΟΙΚΤΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Γενικά Μαθηματικά Ι Ενότητα 11 : Ακολουθίες και Σειρές Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΑΝΟΙΚΤΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Γενικά Μαθηματικά Ι Ενότητα 11 : Ακολουθίες και Σειρές Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα : Ακολουθίες και Σειρές Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Ceative Commos. Για

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 8: Εφαρμογές Σειρών Taylor. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 8: Εφαρμογές Σειρών Taylor. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 8: Εφαρμογές Σειρών Tylor Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Cretive Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3: Μαθηματική περιγραφή συστημάτων Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Εκκλησιαστικό Δίκαιο

Εκκλησιαστικό Δίκαιο ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 8η: Ο νέος αντιρατσιστικός νόμος και ο ν.4301/2014 Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Αρμονικής Ανάλυσης

Θέματα Αρμονικής Ανάλυσης ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θέματα Αρμονικής Ανάλυσης Ενότητα 3: Αρμονικές Συναρτήσεις Μιχ. Μ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Και Στατιστική Στη Βιολογία

Μαθηματικά Και Στατιστική Στη Βιολογία ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά Και Στατιστική Στη Βιολογία Ενότητα 10 : Δυναμικά Συστήματα Στέφανος Σγαρδέλης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 16. Υπολογισμός αντισταθμιστή με χρήση διοφαντικών εξισώσεων Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 3. Ενότητα 13: Τύπος του Taylor. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 3. Ενότητα 13: Τύπος του Taylor. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 13: Τύπος του Taylor. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός 1/8 Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.05: Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 9: Περιγραφή συστημάτων στο πεδίο της συχνότητας Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 3: Το Θεώρημα του Lebesgue. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 3: Το Θεώρημα του Lebesgue. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3: Το Θεώρημα του Lebesgue. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 2: Εισαγωγή στη Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών

Ενότητα 2: Εισαγωγή στη Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Εισαγωγή στη Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου Νίκος Καραμπετάκης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 5: Ακρότατα συναρτησιακών μιας συνάρτησης. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών

Ενότητα 5: Ακρότατα συναρτησιακών μιας συνάρτησης. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Ακρότατα συναρτησιακών μιας συνάρτησης Νίκος Καραμπετάκης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 7: Συναρτησιακά καμπύλων με ασυνέχεια στις παραγώγους. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών

Ενότητα 7: Συναρτησιακά καμπύλων με ασυνέχεια στις παραγώγους. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 7: Συναρτησιακά καμπύλων με ασυνέχεια στις παραγώγους Νίκος Καραμπετάκης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.4: Ολοκλήρωση με Αντικατάσταση Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 4 Ενότητα 12

Λογισμός 4 Ενότητα 12 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Μη γνήσια ολοκληρώματα. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos.

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομία των ΜΜΕ. Ενότητα 7: Μορφές αγοράς και συγκέντρωση των ΜΜΕ

Οικονομία των ΜΜΕ. Ενότητα 7: Μορφές αγοράς και συγκέντρωση των ΜΜΕ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Οικονομία των ΜΜΕ Ενότητα 7: Μορφές αγοράς και συγκέντρωση των ΜΜΕ Γιώργος Τσουρβάκας, Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Δημοσιογραφίας και

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 5: Όρια και Συνέχεια Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική και Έλεγχος E-L Ηλεκτρομηχανικών Συστημάτων

Δυναμική και Έλεγχος E-L Ηλεκτρομηχανικών Συστημάτων Δυναμική και Έλεγχος E-L Ηλεκτρομηχανικών Συστημάτων Ενότητα 1: E-L Συστήματα Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα Αδειοδότησης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 5: Το Θεώρημα του Fubini. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 5: Το Θεώρημα του Fubini. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Το Θεώρημα του Fubini. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Παράκτια Τεχνικά Έργα

Παράκτια Τεχνικά Έργα ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΔΙΑΘΕΣΗ ΥΓΡΩΝ ΣΤΗ ΘΑΛΑΣΣΑ ΥΠΟΒΡΥΧΙΟΙ ΑΓΩΓΟΙ Ενότητα 5 η : Κατασκευαστικά παραδείγματα Γιάννης Ν. Κρεστενίτης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 3. Ενότητα 17: Απόδειξη Θεωρήματος Αντιστροφής. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Λογισμός 3. Ενότητα 17: Απόδειξη Θεωρήματος Αντιστροφής. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 17: Απόδειξη Θεωρήματος Αντιστροφής. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σεάδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 10: Δυναμοσειρές Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 8: Το γραμμικό τετραγωνικό πρόβλημα ρύθμισης (LQ) για συστήματα διακριτού χρόνου Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανολογικό Σχέδιο Ι

Μηχανολογικό Σχέδιο Ι ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα # 8: Άτρακτοι και σφήνες Μ. Γρηγοριάδου Μηχανολόγων Μηχανικών Α.Π.Θ. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα 3 η : ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Επ. Καθηγητής Γαύρος Κωνσταντίνος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης

Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης Ενότητα 7: Χρήσιμες ανισότητες Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας

Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας Ενότητα 11η: Σύγκριση Ρωσικής Ορθόδοξης Εκκλησίας και Καθολικής Εκκλησίας Κυριάκος Κυριαζόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 2: Ορισμός του ολοκληρώματος. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 2: Ορισμός του ολοκληρώματος. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Ορισμός του ολοκληρώματος. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ. Ενότητα 2: Ταχύτητα - Επιτάχυνση

ΦΥΣΙΚΗ. Ενότητα 2: Ταχύτητα - Επιτάχυνση ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗ Ενότητα 2: Ταχύτητα - Επιτάχυνση Παπαζάχος Κωνσταντίνος Καθηγητής Γεωφυσικής, Τομέας Γεωφυσικής Τσόκας Γρηγόρης Καθηγητής Εφαρμοσμένης

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 3. Ενότητα 15: Τοπικά ακρότατα υπό συνθήκες. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Λογισμός 3. Ενότητα 15: Τοπικά ακρότατα υπό συνθήκες. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 15: Τοπικά ακρότατα υπό συνθήκες. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σεάδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 6: Εφαρμογές του Fubini. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 6: Εφαρμογές του Fubini. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6: Εφαρμογές του Fubini. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 3. Ενότητα 5:Θεώρημα ακραίων τιμών και θεώρημα ενδιάμεσων τιμών- Ομοιόμορφη συνέχεια. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών

Λογισμός 3. Ενότητα 5:Θεώρημα ακραίων τιμών και θεώρημα ενδιάμεσων τιμών- Ομοιόμορφη συνέχεια. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5:Θεώρημα ακραίων τιμών και θεώρημα ενδιάμεσων τιμών- Ομοιόμορφη συνέχεια. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Ιστορία της μετάφρασης

Ιστορία της μετάφρασης ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Η μετάφραση των εβδομήκοντα, η εκπαίδευση των μεταφραστών κατά Κικέρωνα, η τέχνη της μετάφρασης από την αρχαιότητα μέχρι τα

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 7: Βέλτιστος έλεγχος συστημάτων διακριτού χρόνου Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2)

Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2) Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2) Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Κεφάλαιο Β.9: Το Διαφορικό Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.9: Το Διαφορικό 1 Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 12: PI-controllers, Lag compensators Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 5 η Άσκηση Συγχώνευση & απαρίθμηση Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Ενότητα 11: Είδη και μετασχηματισμοί πινάκων Σγάρμπας Κυριάκος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Είδη και μετασχηματισμοί

Διαβάστε περισσότερα

Συμπεριφορά Καταναλωτή

Συμπεριφορά Καταναλωτή ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 9 : Ομάδες αναφοράς Χριστίνα Μπουτσούκη Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Γεωργική Εκπαίδευση Ενότητα 9

Γεωργική Εκπαίδευση Ενότητα 9 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 9: Σχεδιασμός εκπαιδευτικών προγραμμάτων για τον αγροτικό χώρο Αφροδίτη Παπαδάκη-Κλαυδιανού Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 3. Ενότητα 10: Παραγώγιση Διανυσματικών Συναρτήσεων. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Λογισμός 3. Ενότητα 10: Παραγώγιση Διανυσματικών Συναρτήσεων. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 10: Παραγώγιση Διανυσματικών Συναρτήσεων. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σεάδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 2: Τριγωνομετρικές, Εκθετικές και Σύνθετες Συναρτήσεις. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 2: Τριγωνομετρικές, Εκθετικές και Σύνθετες Συναρτήσεις. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Τριγωνομετρικές, Εκθετικές και Σύνθετες Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 3. Ενότητα 4:Συνέχεια διανυσματικών συναρτήσεων-ιδιότητες της συνέχειας. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Λογισμός 3. Ενότητα 4:Συνέχεια διανυσματικών συναρτήσεων-ιδιότητες της συνέχειας. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 4:Συνέχεια διανυσματικών συναρτήσεων-ιδιότητες της συνέχειας. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα 4 η : ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Επ. Καθηγητής Γαύρος Κωνσταντίνος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 4. Ενότητα 9: Παραδείγματα από άλλες αλλαγές. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Λογισμός 4. Ενότητα 9: Παραδείγματα από άλλες αλλαγές. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 9: Παραδείγματα από άλλες αλλαγές. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 4: Το γενικευμένο πρόβλημα βέλτιστου ελέγχου για συστήματα συνεχούς Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών

Διαβάστε περισσότερα

Θερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής

Θερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Διπλ. Ναυπηγός Μηχανολόγος Μηχανικός M.Sc. Διασφάλιση

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.02: Βασικά Θεωρήματα Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Γ.02: Βασικά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 1: Εισαγωγή. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 1: Εισαγωγή. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 1: Εισαγωγή. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 4 Ενότητα 11

Λογισμός 4 Ενότητα 11 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 11: Θεώρημα αλλαγής μεταβλητών. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Οδοποιία IΙ. Ενότητα 14: Υπόδειγμα σύνταξης τευχών θέματος Οδοποιίας. Γεώργιος Μίντσης ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

Οδοποιία IΙ. Ενότητα 14: Υπόδειγμα σύνταξης τευχών θέματος Οδοποιίας. Γεώργιος Μίντσης ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Οδοποιία IΙ Ενότητα 14: Υπόδειγμα σύνταξης τευχών θέματος Οδοποιίας Γεώργιος Μίντσης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα